LÓGICA. CÁLCULO PROPOSICIONAL - INTRODUCCIÓN · 2017. 5. 2. · Modalidad de cursada y...

Asignatura:

LÓGICA1º Cuatrimestre de 2016

Figura como asignatura nº 138 en los planes de estudio de

• Profesorado en Matemática• Licenciatura en Ciencias Matemáticas

de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Mar del Plata.

Cuerpo docente:

Teoría:

Profesor Adjunto Regular Roberto Enrique Tait

Trabajos Prácticos:

Jefa de Trabajos Prácticos Prof. Fabiana Vecchio Jefa de Trabajos Prácticos Prof. María Teresa Giménez

Horarios y Aulas:

Dos clases teóricas semanales (Tait):

Lunes de 12:00 hs a 14:00 hs, Aula a det., Anexo J B JustoViernes de 12:00 hs a 14:00 hs, Aula a det., Anexo J B Justo

Dos Comisiones de Trabajos Prácticos:

Comisión 1, dos clases prácticas semanales (Vecchio):Martes de 12:00 a 14:00 hs, Aula a det.Jueves de 12:00 a 14:00 hs, Aula a det.

Comisión 2, dos clases prácticas semanales (Giménez):

Martes de 18:00 hs a 20:00 hs, Aula a det.Jueves de 18:00 hs a 20:00 hs, Aula a det.

UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] - Guía de la clase teórica nº 1 – Pág. 1

Modalidad de cursada y aprobación de la asignatura:

La asignatura ofrece tres espacios: las Clases Teóricas, las Reuniones de Comisión de Trabajos Prácticos, y un Aula Virtual en una plataforma educativa de software libre dedicada a este fin, ubicada en Internet en la URL siguiente:

http://www.unmdp.su-campus.com.ar.

Las Clases Teóricas consisten en reuniones donde el profesor de la asignatura expone sus contenidos, interactuando con los alumnos en la medida en que éstos van planteando cuestiones y dudas sobre los temas expuestos. La exposición sigue los lineamientos de la correspondiente Guía de Clase Teórica proyectada en clase, a la cual luego los alumnos pueden acceder a través del Aula Virtual, y se basa en una bibliografía de base y bibliografía adicional de referencia cuyo detalle también se encontrará en dicha Aula Virtual. Se recomienda muy marcadamente asistir y tomar apuntes.

Además de las clases teóricas, hay dos tipos de ejercitación: los Trabajos Prácticos, que se atienden dos veces por semana en las Reuniones de Comisión, y las Prácticas de Teoría, que se realizan sobre determinados temas puntuales y que se atienden de modo virtual a través de la Internet.

Para los Trabajos Prácticos se cuenta con las “Guías de Trabajos Prácticos”, destinadas a ser resueltas en principio individualmente en el hogar, contándose además con La posibilidad de asistir a las reuniones de Comisión en donde los docentes de la Comisión, además de desarrollar ejemplos adicionales para orientar al alumno sobre las distintas modalidades de resolución, están permanentemente a su disposición para evacuar a nivel individual o grupal todo tipo de dudas que éste tenga; es altamente recomendable asistir a estas reuniones.

El alumno tendrá a su disposición en el aula virtual del curso, además de las Guías de Clases Teóricas, las Guías de Trabajos Prácticos y material electrónico adicional relacionado con la asignatura, para consultarlo en línea, bajarlo a su computador, tablet o celular y/o imprimirlo si así lo desea. También se remitirán por email, a medida que avanza la materia, copias de las Guías de Trabajos Prácticos al Centro de Estudiantes para quienes deseen fotocopiarlas. UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] - Guía de la clase teórica nº 1 – Pág. 2

La dedicación y la resolución de las correspondientes Guías de Trabajos Prácticos son conducentes a aprobar la cursada, y a este fin se realizarán dos Evaluaciones Parciales; si se desaprobaran, se cuenta además con la opción de recuperar una vez cada una.

La asistencia a las teorías, la dedicación manifestada por el alumno y la adecuada resolución vía Internet de las Prácticas de Teoría son conducentes a conformar un concepto que se tendrá presente en la instancia de corrección de las evaluaciones parciales y recuperatorios.

La asignatura se aprueba por medio de un Examen Final que versa tanto sobre los contenidos de las Clases Teóricas como los contenidos de las Prácticas de Teoría y de los Trabajos Prácticos de Comisión.

Dentro de las actividades adicionales está la prevista la posibilidad, si fuera necesario, de desarrollar sesiones de chat virtuales interactivas sobre algún tema puntual de teoría que lo requiera. En estos casos eventuales, el día, hora y duración de la sesión de chat se decidirá consensuándolo con los alumnos asistentes a la teoría.


LÓGICA

INTRODUCCIÓN

A través de esta asignatura nos iremos acercando a los elementos básicos y a los formalismos de las matemáticas en general; y para ello, nuestro punto de partida será la Lógica.

Podríamos comenzar directamente con los formalismos, es decir con las formas, y presentar a la Lógica directamente desde esta perspectiva.

Sin embargo, no lo haremos así.

La razón es la siguiente: en la coyuntura actual, el nivel del sistema educativo de donde proviene el estudiante que está comenzando sus estudios universitarios indica que es mejor, en esta primera etapa de sus estudios de matemática, ir conformando sus conceptos y esquemas conceptuales a partir de experiencias más concretas y más próximas a su realidad.

Pero para comprender mejor la diferencia entre comenzar formalmente y comenzar como lo haremos nosotros, veamos primero, muy brevemente, cómo podríamos construir una Lógica desde una perspectiva formal, es decir, moviéndonos con formal ismos (o sea, prestando más atención a la forma que a su significado).

Ejemplo de construcción de una lógica formal:

Si prestamos atención a la “forma”, se puede construir una Lógica comenzando por presentar aquellos elementos y criterios necesarios para construir bien sus formas lógicas.

Por ejemplo, podríamos construir una lógica con lo siguiente:

un conjunto de símbolos a usar (aquí presentamos nueve; cuéntelos):

{ } , , , ), (, , , , , p q r s- Ù Ú K ,

y

reglas que sirvan para construir fórmulas a partir de los elementos de este conjunto.

Veamos el siguiente ejemplo de construcción de una lógica:

Usemos el siguiente conjunto de símbolos y llamémoslo L:


p q r s… ( )

VARIABLES LÓGICAS

CONSTANTES LÓGICAS

SÍMBOLOS AUXILIARES

L

Y usemos las siguientes reglas para construir otro conjunto, el de las fórmulas que estén bien formadas (f.b.f.):

1. Una variable lógica es una fórmula bien formada.

2. Si A es una fórmula bien formada, entonces –A también es una f.b.f.

3. Si A y B son f.b.f., entonces AB es una f.b.f.

4. Si A y B son f.b.f., entonces AB es una f.b.f.

5. Ninguna fórmula está bien formada si no surgió de las reglas 1 a 4.

Para fijar ideas, veamos en cada uno de los siguientes casos si la fórmula es una f.b.f. o no está bien formada:

r ps rs sp (sp) r (s)s q sp sp rs (pq)(pr)

(En este ejemplo que hemos desarrollado, comenzamos a construir un “Cálculo para una Lógica de Orden Cero que utiliza Deducción Natural”, uno de los temas que la asignatura Fundamentos de la Matemática presenta pormenorizadamente).

Éste es el camino por el que se comienza a construir una Lógica prestando atención a la forma para luego dedicarse a estudiar el significado de aquellas fórmulas que se saben bien formadas (se suele hablar de “sintaxis” y de “semántica” para referirse respectivamente a la forma y al significado).

Y éste NO ES el camino que nosotros, al inicio de la carrera, utilizaremos para presentar la Lógica.

Comenzaremos por uno muy distinto, basándonos en conceptos ya vistos en el secundario, con la intención de irnos introduciendo y familiarizándonos casi imperceptiblemente con el mundo de los formalismos.


LÓGICA PROPOSICIONAL

LA COMUNICACIÓN Y EL LENGUAJE

La comunicación entre seres humanos se implementa a través de lenguajes.

Hay diversos tipos de lenguaje:

- Lenguaje oral- Lenguaje escrito- Lenguaje mímico- Lenguaje artístico- Otros tipos de lenguaje, por ejemplo el llamado lenguaje no verbal, etc.- Combinaciones (texto acompañado de imágenes, por ejemplo)

LOS LENGUAJES ORAL Y ESCRITO

En lo que sigue nos restringiremos a los lenguajes oral y escrito, esto es, a la lengua.

FUNCIONES DE LOS LENGUAJES ORAL Y ESCRITO

-Función Informativa

Sirve para describir tanto al universo exterior como a nuestro mundo interior.La función informativa se refiere a lo descripto como objetos y hechos.La función informativa puede relacionar descripciones utilizando razonamientos.Las descripciones que hacemos del mundo pueden ser verdaderas o falsas, y nuestros razonamientos pueden ser correctos o incorrectos (distinguir esto es ESENCIAL en la asignatura; volveremos sobre el tema).Un científico, por ejemplo, se comunica utilizando la función informativa del lenguaje.El lenguaje, en su función informativa, recibe también el nombre de discurso.(Y a esta función discursiva es a la que nosotros prestaremos más atención).

-Función Expresiva

Se refiere a la manifestación de emociones, o a la intención de provocarlas en los demás.Desde este enfoque, no tiene sentido decir que una expresión sea verdadera o falsa.Un poeta, por ejemplo, se comunica utilizando la función expresiva del lenguaje.

-Función Directiva

Busca resultados.Son las órdenes, las recomendaciones, los ruegos y las preguntas.No tiene sentido decir que una orden, recomendación, ruego o pregunta sea verdadera o falsa.

En la realidad, cuando nos comunicamos solemos mezclar estas tres funciones.


EL DISCURSO

La función informativa del lenguaje, o sea el discurso, puede presentar dos formas básicas:

Hay un tipo de discurso que se limita a mencionar realidades y hechos objetivos; lo llamaremos discurso descriptivo.

Y hay otro tipo de discurso el cual, además de mencionar realidades y hechos objetivos, expone razones a favor o en contra de los mismos; a éste lo llamaremos discurso argumentativo, y centraremos nuestro interés en él.

Ejercicios para diferenciar el discurso informativo del discurso argumentativo:

1. Indicar cuál de ambos es un discurso informativo y cuál un discurso argumentativo:

Tomó por la Avenida Luro, que estaba cortada a la altura de Hipólito Yrigoyen. Tomó por la Avenida Luro, pero llegó tarde pues estaba cortada a la altura de Hipólito

Yrigoyen.

2. Indicar si el siguiente discurso es informativo o argumentativo:

Hay una propuesta política que asegura mejorar los servicios municipales y simultáneamente disminuir las tasas y contribuciones municipales en el Municipio de General Pueyrredón.

Los servicios municipales se financian con las tasas y contribuciones municipales, con la coparticipación en la recaudación de los impuestos provinciales y con subsidios del estado nacional.

Los servicios municipales mejoran de dos maneras: o con mayor financiación o incrementando la eficiencia de los procedimientos actuales.

Esta propuesta declara no aumentar la coparticipación en los impuestos provinciales ni los subsidios del estado nacional.

Habiendo participado en el gobierno municipal, quienes realizaron la propuesta no han demostrado saber cómo mejorar la eficiencia de los servicios.

Entonces, esta propuesta o bien no mejorará los servicios municipales, o bien para mejorarlos no podrá cumplir con el compromiso de disminuir las tasas y contribuciones municipales.

3. Indicar si el siguiente discurso es descriptivo o argumentativo:

El partido Bánfield – Independiente estaba previsto para el viernes .

El partido Bánfield – Independiente del viernes fue suspendido hasta el día siguiente.

El sábado el partido Bánfield – Independiente se jugó, resultando en un empate.


El partido Bánfield – Independiente estaba previsto para el viernes.

El viernes llovió torrencialmente a la hora del partido Bánfield – Independiente.

Debido a que la lluvia torrencial impedía el desarrollo normal del partido, el árbitro decidió suspenderlo hasta el día siguiente.

El sábado el partido Bánfield – Independiente se jugó, resultando en un empate.



La China tiene gran incidencia en el mercado mundial de cereales.

Si la China pudiera autoabastecerse de soja, el precio internacional de la misma sería mucho menor.

El cultivo de soja acarrea monocultivo.

El monocultivo deteriora la tierra y se requieren muchos años para recuperar su calidad productiva.

En la Argentina la tendencia a la rotación de cultivos fue derivando hacia el monocultivo para producir soja, debido a los altos precios internacionales.

El monocultivo es consecuencia de la gran siembra de soja en detrimento de otros cereales como trigo, maíz y cebada.

Si el precio internacional de la soja fuera mucho menor, en la Argentina no se sembraría tanta soja y se sembraría más de otros cereales, para no deteriorar la calidad productiva de los campos.

Entonces, si la China se autoabasteciera de soja, en la Argentina la tierra no se deterioraría tanto debido al monocultivo.

EL DISCURSO ARGUMENTATIVO

Habiendo visto ya algunos ejemplos, antes de referirnos a las modalidades del discurso argumentativo, podríamos señalar que todo discurso argumentativo está compuesto así:

por una parte está formado por información, es decir por piezas de discurso informativo que pueden ser verdaderas o falsas y que llamaremos enunciados,

y por otra, está formado por razonamientos los cuales, tomando como punto de partida un conjunto de enunciados iniciales (a este conjunto de enunciados iniciales los llamaremos premisas) pretenden, basándose en ellos, arribar a otro enunciado (que se suele llamar conclusión).

Al procedimiento que se utiliza en el discurso argumentativo para llegar a una conclusión a partir de premisas se lo llama argumentación o inferencia.

Por supuesto, la argumentación que desarrollemos dependerá de la conclusión a la que querramos arribar. Por ejemplo, si mis premisas son que dispongo de agua caliente, leche caliente, café, yerba, azúcar y utensilios, para concluir que puedo preparar café con leche mi argumentación será distinta de la que usaré si quiero concluir que puedo preparar mate amargo.

Una argumentación, en general, puede ser concebida así:

1. Premisa (o sea, un enunciado inicial)2. Premisa (o sea, un enunciado inicial)· · ·n. Premisa (o sea, un enunciado inicial)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n+1. Enunciado adicional (si se lo necesitara, se lo crearía a partir de todos o algunos de los n enunciados anteriores)n+2. Enunciado adicional (si se lo necesitara, se lo crearía a partir de todos o algunos de los n+1 enunciados anteriores)· · ·_____________________________________________________________________________________m. Conclusión (se deriva de todos o algunos de los enunciados anteriores)


a) Ejemplo de argumentación, donde la conclusión surge directamente de las premisas:

1. El Complejo Universitario de la UNMdP está en Mar del Plata Premisa2. Mar del Plata no está en la Provincia de Tucumán Premisa______________________________________________________________ 3. El Complejo Universitario de la UNMdP no está en la Provincia de Tucumán Conclusión a partir de 1 y 2

b) Otro ejemplo de argumentación, donde para llegar a la conclusión necesitamos crear enunciados intermedios:

1. Si tengo café y leche calientes, y azúcar, puedo prepararar café con leche Premisa2. Tengo café caliente. Premisa3. Tengo leche caliente. Premisa4. Tengo azúcar. Premisa~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5. Tengo café y leche calientes Enunciado a partir de 2 y 36. Tengo café y leche calientes, y azúcar. Enunciado a partir de 5 y 4 _ .7. Puedo preparar café con leche Conclusión a partir de 6 y 1

c) Un tercer ejemplo de argumentación, donde necesitamos más enunciados intermedios:

1. Si apruebo el primero y el segundo parcial, puedo rendir el final. Premisa2. No puedo rendir el final. Premisa3. Aprobé el primer parcial. Premisa~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4. No es cierto que haya aprobado el primero y el segundo parcial Enunciado a partir de 2 y 15. O no es cierto que haya aprobado el primer parcial, o no es cierto que haya aprobado el segundo parcial ((aclaración: o ninguno de ambos)). Enunciado a partir de 4 ________ .6. No aprobé el segundo parcial Conclusión a partir de 5 y 3

d) Un cuarto ejemplo de argumentación; más adelante señalaremos claramente su diferencia con los anteriores:

1. Todas las bacterias son seres vivientes. Premisa.2. El escherichia colli es una bacteria. Premisa. ________ .3. El escherichia colli es un ser viviente. Conclusión a partir de 1 y 2.

e) Un quinto ejemplo de argumentación, que responde a otra modalidad que luego señalaremos más claramente:

1. El cordón umbilical de este bebé recién nacido tardó más de cuatro días en caer. Premisa2. El cordón umbilical de este otro bebé recién nacido tardó más de cuatro días en caer. Premisa3. El cordón umbilical de este otro bebé recién nacido también tardó más de cuatro días en caer. Premisa4. El cordón umbilical de ese otro bebé recién nacido, también tardó más de cuatro días en caer. Premisa _________ .5. El cordón umbilical de todo bebé recién nacido tarda más de cuatro días en caer. Conclusión a partir de 1,2,3,4

f) Otro ejemplo que responde a la misma modalidad anterior:

1. Si froto con un paño este trozo de bronce, su temperatura se eleva. Premisa2. Si froto con un paño este otro trozo de bronce, su temperatura se eleva. Premisa3. Si froto con un paño este nuevo trozo de bronce, su temeratura se eleva. Premisa4. Si froto con un paño este otro nuevo trozo de bronce, su temperatura también se eleva Premisa .5. Si se frota con un paño cualquier trozo de bronce, su temperatura se elevará Conclusión a partir de 1,2,3,4


g) Un par de ejemplos más de argumentaciones que responden a la misma modalidad anterior:

1. 2 es menor que 100 Premisa2. 4 es menor que 100 Premisa3. 6 es menor que 100 Premisa4. 8 es menor que 100 Premisa __________ .5. Todos los números pares son menores que 100 Conclusión a partir de 1,2,3,4

1. El cuadrado de 1 es impar Premisa2. El cuadrado de 3 es impar Premisa3. El cuadrado de 5 es impar Premisa4. El cuadrado de 7 es impar Premisa5. El cuadrado de 9 es impar Premisa _________ .6. Todos los cuadrados de números impares son impares Conclusión a partir de 1,2,3,4,5

h) Otro más que responde a la misma modalidad pero introduce una variante:

1. El cuadrado de 1 es impar. Premisa2. Si el cuadrado de un número impar n es impar, entonces el cuadrado dei siguiente impar también. Premisa ________ .3. Todos los cuadrados de números impares son impares Conclusión a partir de 1,2

Refiriéndonos a esta última modalidad de argumentación (casos e, f, g, h), nótese que la última variante (h) es la única que nos brinda seguridad de que la conclusión es verdadera si las premisas también lo son.

En los otros ejemplos de esta última modalidad evidentemente no sucede lo mismo: no estamos seguros de que, aún siendo verdaderas todas las premisas, sean verdaderas ni la conclusión sobre los cordones umbilicales, ni la conclusión sobre el bronce frotado con un paño, ni la conclusión de que los pares sean todos menores que 100, ni siquiera la conclusión obtenida en (g) de que todos los cuadrados de números impares son impares. En cambio, la variante presentada en el ejemplo (h) sí que lo asegura (suponiendo por supuesto que sus dos premisas sean verdaderas).

i) Veamos este otro caso de argumentación (el ejemplo en particular es de Galileo), que responde a otra modalidad diferente:

1. Las zonas de sombra de la tierra debidas a montañas que obstruyen la propagación lineal de la luz del sol, son similares a las zonas obscuras de la luna. Premisa _______ _______ . 2. Hay montañas en la luna. Conclusión a partir de 1

j) Otro ejemplo del mismo tipo de argumentación (volvimos a acudir a Galileo, para comparar):

1. Las depresiones de los mares terrestres son similares a las depresiones que se observan en la luna. Premisa _____ _ .2. Hay mares en la luna. Conclusión a partir de 1

k) Un tercer ejemplo de este tipo de argumentación:

1. Los peces son ovíparos, es decir, se reproducen a través de huevos. Premisa2. Los peces son muy parecidos a las ballenas. Premisa ________ .3. Las ballenas son ovíparas, es decir, se reproducen a través de huevos. Conclusión a partir de 1 y 2


MODALIDADES DE LAS ARGUMENTACIONES

Como ya se habrá observado claramente, las argumentaciones utilizan diversos modos de proceder para llegar a su conclusión. Intentemos clasificarlas de alguna manera.

Señalemos, básicamente, tres modos o modalidades de argumentar:

Argumentaciones por deducción (inferencias lógicas deductivas) Argumentaciones por inducción (inferencias lógicas inductivas) Argumentaciones por analogía (inferencias analógicas)

Señalaremos también que hay un modo más, la argumentación por abducción (inferencia lógica abductiva) que no trataremos en esta asignatura.

A las argumentaciones por deducción y por inducción (y por abducción también) se las denomina inferencias lógicas (inferencias lógicas deductivas, inductivas y abductivas respectivamente), para diferenciarlas del otro modo de argumentar, las inferencias analógicas.

Para famil iarizarnos con estos conceptos, primero hagámoslo intuit ivamente volviendo sobre cada ejemplo anterior para ir discirniendo y distinguiendo estas inferencias, de manera de señalar a cuál de las tres categorías argumentativas corresponde cada una de ellas.

Notemos ahora que los tres modos de argumentar tienen algo en común: parten de premisas que se asumen verdaderas.

Sin embargo, de los tres tipos de argumentación hay uno sólo que siempre garantiza que la conclusión también será verdadera cuando las premisas lo sean: la argumentación deductiva (inferencia lógica deductiva).

Esto no sucede ni en la argumentación inductiva (inferencia lógica inductiva) ni en la argumentación analógica (inferencia analógica). Vimos, sin embargo, que existe una variante particular de la argumentación inductiva la que sí garantiza que la conclusión también será verdadera partiendo de premisas verdaderas. A esta última variante se la suele llamar argumentación inductiva completa.

El que no brinden garantías a priori, sin embargo, no desvaloriza a las otras formas de argumentar. De hecho, según el campo disciplinar en que se esté trabajando, alguna de estas modalidades resultará ser mucho más provechosa que las otras.

Incluso en esta misma asignatura, nosotros nos dedicaremos a estudiar y aplicaremos la argumentación deductiva como herramienta básica para la construcción matemática; pero dedicaremos un capítulo íntegro para señalar cómo, en algunas áreas específicas de la misma, resulta también muy fructífera la aplicación de la argumentación inductiva completa.

En los ejemplos de argumentación deductiva que acabamos presentar, hemos trabajado con elementos que, por ser piezas de información, tienen la propiedad de ser, o verdaderas, o falsas. A estas piezas de información se las denomina proposiciones, y suelen tomar la forma de oraciones. Una premisa, un resultado intermedio o una conclusión de una inferencia deductiva son, entonces, proposiciones.

Y por lo tanto, a la lógica deductiva con la que hemos comenzado nuestros estudios se la denomina lógica proposicional.


CÁLCULO PROPOSICIONAL

LÓGICA DEDUCTIVA Y CÁLCULO DEDUCTIVO

Como hemos visto en la clase introductoria, los objetos de interés de la LÓGICA son las argumentaciones. Habiendo distintos tipos de argumentaciones, habrá por ende distintos tipos de Lógicas. Desde este punto de vista, entonces, podremos hablar de Lógica Deductiva, Lógica Inductiva, Lógica Abductiva, Analogía, etcétera.

Siendo nuestro interés el estudiar la LÓGICA DEDUCTIVA en particular, donde, a partir de premisas que se sepan verdaderas, si aplicamos ciertas reglas adecuadamente, entonces necesariamente inferiremos una conclusión también verdadera, el nombre que se le asigna a este tipo de procedimientos que derivan en conclusiones es el de CÁLCULO. O sea, el Cálculo Deductivo es el conjunto de procedimientos con que se vale la Lógica Deductiva para lograr su objetivo.

Así que comenzaremos a estudiar CÁLCULO DEDUCTIVO.

LOS ENUNCIADOS O PROPOSICIONES

Dijimos también, al hablar de enunciados o proposiciones (estos nombres, que en la asignatura los consideraremos sinónimos, son las “piezas” en un discurso informativo), que éstas pueden tomar dos valores en cuanto a su verdad: o bien ser verdaderas, o bien falsas1.

Comenzaremos distinguiendo ciertas proposiciones muy particulares: aquellas que no pueden ser subdivididas en otros enunciados.

PROPOSICIONES ATÓMICAS Y MOLECULARES

A estas proposiciones que no pueden ser subdivididas en otras proposiciones las llamaremos proposiciones atómicas, y las representaremos con las letras p, q, r, s,…2 .

(i). Determinar en cada caso si la proposición es, o no, atómica:

El mercurio es un metal y el cloro no lo es.

El Río de la Plata es ancho y poco profundo.

El café con leche es una combinación agradable.

Virginia aprobó y tuvo el verano libre.

O Alberto estudió mucho o el temario era muy fácil.

Eduardo aprobó o no aprobó.

Vanessa aprobó Geometría Diferencial Clásica.

9 es múltiplo de 3 y no es múltiplo de 2.

9 es múltiplo de 3 pero no de 2.

1 No es el único caso; pueden darse, por ejemplo, lógicas con más de dos valores, que no estuiaremos aquí.2 En la lógica formal que mencionamos en la introducción, las habíamos llamado “variables lógicas”.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] - Guía de la clase teórica nº 2 – Pág. 1

(ii). Verificar en cada caso si las siguientes proposiciones son atómicas:

p: El otoño precede al invierno.

q: El número 31 es un número primo.

r: El perro es un crustáceo.

s: Antes de llegar al siglo XXII se encontrará una cura para el resfrío común.

t: El número 30 es múltiplo de 2.

u: El número 30 es múltiplo de 4.

v: El número 6 es múltiplo de 2 y de 3.w: Hay 1010 210 - estrellas en el universo.

x. Los grupos abelianos son finitos.

y. El número 30+1 no es múltiplo de 2.

A las proposiciones atómicas las distinguimos de las proposiciones corrientes, pues estas últimas, si bien podrían ser ellas mismas atómicas, más frecuentemente están conformadas por proposiciones atómicas conectadas entre sí o afectadas por una negación.

A las proposiciones de este segundo tipo las llamaremos proposiciones moleculares, y no las representaremos con letras minúsculas (pues a estas letras las reservamos para las proposiciones atómicas) sino indicando, en cambio, las proposiciones atómicas que las componen, y de qué manera están conectadas para conformar una proposición molecular; por ejemplo ( ) ( ), , p p q p q p r- Ù - - ® Ú Ù - , etc.

VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES ATÓMICAS

Antes de estudiar cómo se “conectan” entre sí las proposiciones atómicas, detengámonos un momento en la siguiente cuestión.

A cada proposición atómica “podría asignársele arbitrariamente” un valor seleccionado de este conjunto:

{ V, F}

por lo cual, después de esa asignación, nuestra proposición particular siempre tendrá dicho valor, al que llamaremos el “valor de verdad” de esa proposición. Por ejemplo, a la proposición p podríamos asignarle arbitrariamente el valor de verdad V.

Nosotros, que partimos del mundo real para llegar a los formalismos, asignaremos estos valores, pero no arbitrariamente sino en cuanto reflejen, o no, a dicho mundo real.

Tenemos, en el ejemplo, la proposición p: el otoño precede al invierno.

En el mundo real, entonces, podemos decir que a nuestra proposición p le corresponde el valor V (V de Verdadero, F de Falso).

Para decir esto mismo más abreviadamente, introduciremos la función3 v “valor de verdad”, y para decir que la proposición p tiene valor de verdad V, lo representaremos así: v (p) = V.,

que se lee así: “el valor de verdad de p es V”.

3 Más adelante veremos por qué la llamamos “función”.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] - Guía de la clase teórica nº 2 – Pág. 2

(iii). Determinar los valores de verdad de las proposiciones atómicas de (ii).

v (p) = V v (q) = V v (r) = F v (s) = no lo conocemos aún

v (t) = V v (u) = F v (w) = no lo conocemos v (x) = F v (y) = V

CONECTIVOS LÓGICOS

Cuando tenemos una proposición molecular, conformada por ejemplo por las proposiciones atómicas p, q y r, necesitamos indicar de qué manera están conectadas para formar esa proposición molecular y no otra.

Para ello necesitamos distinguir de qué manera pueden conectarse, y a cada modalidad asignarle un símbolo para poder expresar la proposición molecular como fórmula4.

A estas formas de conectarse, y a los símbolos que las representan, se los llama conectivos logicos.

En nuestra lógica necesitaremos tres conectivos lógicos5: , , - Ù Ú

a los cuales, en el discurso informativo del mundo real, se los hace corresponder respectivamente al “no”, al “y” y al “o” inclusivo.

(Hablamos del “o” en su caso inclusivo, como cuando decimos “nos vemos mañana o pasado”, proposición molecular que permite el caso de verse ambos días, para diferenciarlo del “o” en su caso exclusivo, como en la proposición molecular “o voy o me quedo”, que está indicando además la imposibilidad de que sucedan ambas cosas a la vez).

Se los denomina así:

negación

conjunción

disyunción

-ÙÚ

Nótese que el conectivo - se aplica a una proposición mientras que los conectivos Ù y Ú vinculan a dos proposiciones. Se suele decir, entonces, que - es un conectivo unario y que Ù y Ú son conectivos binarios.

También resulta muy práctico utilizar un cuarto conectivo lógico:®

el cual, aunque no es imprescindible introducirlo pues puede ser reemplazado utilizando sólo los otros tres6, es muy práctico porque responde bastante bien a situaciones del lenguaje cotidiano que simplifican la representación simbólica de las proposiciones compuestas.

4 En la lógica formal que mencionamos en la introducción, hablábamos de fórmula “bien formada”, f.b.f.5 En la lógica formal mencionada en la introducción, hablábamos de constantes lógicas, las que permitían construir f.b.f. vinculando adecuadamente a las variables lógicas.6 En realidad, con un solo conectivo lógico, por ejemplo la barra de Sheffer “|” se pueden construir todos los demás conectivos, pero (en palabras del gran lógico del siglo XX W.V.Quine) las fórmulas que se necesitan para lograrlo son

“horripilantes”. UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] - Guía de la clase teórica nº 2 – Pág. 3

Se lo denomina así:

condicional®al que más abajo definiremos utilizando los conectivos Ú y - .

(Como otro ejemplo, señalemos que al Ú podría introducírselo usando sólo Ù y - ).

La proposición que precede a ® se denomina antecedente, y la que lo sigue, consecuente.

Además se suelen utilizar dos símbolos auxiliares, que permiten despejar cualquier duda sobre inconsistencias en el orden en que se aplican los conectivos. Son los conocidos paréntesis:

( y )

Por tanto, las proposiciones moleculares, conformadas por proposiciones atómicas vinculadas por conectivos lógicos, pueden ser (o tomar formas) como las siguientes:

(iv) Ejemplos de proposiciones moleculares que utilizan proposiciones atómicas de (ii):

a) El número 32 no es un número primo.

b) El número 31 no es un número primo.

c) El número 30 es múltiplo de 2 y es múltiplo de 4.

d) El número 30 es múltiplo de 2 o es múltiplo de 4.

Hasta aquí presentamos proposiciones concretas; ahora presentemos formas:

e) -q

f) Ùp q

g) -r

h) Ùp r

i) Ù -p r

j) ( )Ù -p r

k) - Út y

l) Út u

m) Úu t

n) Ùu t

o) - Ùu t

p) ( )- Ùu t

q) ( )Ú Ù -q r t

Y si, como habíamos anticipado, introducimos al conectivo “® ” a partir de la definición siguiente:

a b® es una notación equivalente a a b- Ú

y lo denominamos

"condicional"®

al disponer de este conectivo podremos utilizarlo para representar, también, proposiciones moleculares.


( p q® representa lo que en lenguaje corriente solemos expresar con “si p entonces q”, “p por lo tanto q”, “q si p”, “q porque p”, entre otras expresiones usuales con el mismo sentido).

Ejemplo:

r) Si ocho es múltiplo de cuatro entonces ocho es par.

s) Si la dosis es de más de 25 microgramos, hay que hacer controles diarios.

t) No resistirá si la carga es de más de 20 kilogramos.

u) ®t y

v) y t®

w) ( ) ( )t y y t® Ù ®

x) ® -r p

y) - Ú -r p

VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARES

Una proposición molecular puede estar formada por una o más proposiciones atómicas (las cuales ya tienen valores de verdad predeterminados) las que están vinculadas por conectivos lógicos. Conociendo el valor de verdad de las proposiciones atómicas que componen una proposición molecular, sus conectivos lógicos permitirán entonces conocer el valor de verdad de nuestra proposición molecular.

Si deseamos, entonces, conocer el valor de verdad de una proposición molecular, pueden suceder dos cosas:

que no conozcamos a priori los valores de verdad de sus proposiciones atómicas,

o que sí los conozcamos.

TABLAS Y ÁRBOLES DE VERDAD

Cuando NO CONOCEMOS los valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen a la proposición molecular, igualmente podremos analizar cuál es el valor de verdad de ésta para cada combinación de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Para ello se utilizan las tablas de verdad.

En cambio, si YA CONOCEMOS los valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen a la proposición molecular, no tendremos que analizar todos los casos sino sólo el que corresponde a los valores ya conocidos; en este caso se utilizan los árboles de verdad.

Se verá que un árbol de verdad corresponde, en realidad, a un renglón en particular de la correspondiente tabla de verdad.


ESTUDIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS BÁSICOS USANDO TABLAS DE VERDAD

Si bien las tablas de verdad sirven para analizar cualquier proposición molecular en general, resultan también muy útiles para comprender (y hasta podríamos decir “definir”) cómo funcionan los conectivos lógicos presentados.

Para estudiar los conectivos lógicos, y también para familiarizarnos con las tablas de verdad, construyamos las tablas correspondientes a cada uno de ellos:

Tabla de verdad de la negación lógica ‘ – ’

(También se usa ‘¬’):p -p

V F

F V

Esta tabla (y todas las demás) se leen renglón por renglón, de la siguiente forma: Cuando p es V, entonces -p es F; etcétera.

Como se puede apreciar, si una proposición tiene un valor de verdad, su negación toma el valor opuesto. Puede concebírselo como la afirmación “no p”.

Tabla de verdad de la conjunción lógica ‘Ù ’

(También se la denomina “producto lógico ‘ · ’ ”, ‘Y’, ‘&’ o ‘AND’ en algunos contextos; y para representar la conjunción también se usa la contigüidad, como en p q ):

p q Ùp q

V V V

V F F

F V F

F F F

Como se puede apreciar, una conjunción de proposiciones es verdadera sólo si las proposiciones que conecta son ambas verdaderas. En todos los demás casos, la conjunción de proposiciones es falsa. Puede concebírsela como la afirmación “p y q”.

Tabla de verdad de la disyunción lógica Ú

(“suma lógica ‘+’ ”, ‘O’, u ‘OR’ en algunos contextos):


p q Úp q

V V V

V F V

F V V

F F F

Como se puede apreciar en su tabla de verdad, la disyunción lógica es verdadera para todas las combinaciones de verdad de las proposiciones que la componen, salvo en el único caso en que ambas sean falsas. Puede concebírsela como la afirmación “p o q (o ambas)”.

Es importante reiterar, aquí, que a la disyunción lógica Ú (cuya tabla de verdad acabamos de presentar) es la disyunción lógica incluyente. Existe también otro conectivo lógico, la disyunción lógica excluyente , cuya tabla de verdad es distinta y responde a la afirmación “p o q pero no ambas a la vez”. A este conectivo lógico, la disyunción lógica excluyente, se lo suele denominar, en algunos contextos, ‘XOR’ para diferenciarlo de la disyunción lógica incluyente ‘OR’ que es la que nosotros hemos presentado, y se lo puede definir (como muchos otros útiles p. ej. en la electrónica, como el ‘NAND’, “no y”) a partir de los conectivos básicos , , - Ù Ú .

Tabla de verdad del condicional ® (ver su fundamentación en la página siguiente):

(En libros antiguos también se utilizaba para el condicional el signo É ):

Nótese que según la definición, las siguientes proposiciones con condicionales:

Si el sol sale a medianoche, entonces 3 8 2= , Si el sol sale a medianoche, entonces la luna tiene forma esférica y tiene forma cúbica, Si la luna tiene forma esférica y tiene forma cúbica, entonces 4 2- = ,

Si 4 2- = entonces todo número par es también impar,

… resultan ser todas VERDADERAS.

Si bien esta definición produjo bastante rechazo entre algunos lógicos, que repercutieron incluso hasta mediados del siglo pasado, su introducción permitió grandes avances en la lógica y consecuentemente en la matemática.

(Al condicional ® también se lo denomina “implicación material” para diferenciarlo de la “implicación lógica” que veremos más adelante y se simboliza con Þ )

El bicondicional

Así como se introduce al condicional p q® como una forma más breve de escribir p q- Ú , de la misma manera se introduce el conectivo “bicondicional” p q« como una forma más

breve de escribir ( ) ( )p q q p® Ù ® . Se lo suele leer “p si y sólo si q”, lo cual se suele abreviar, en libros de lógica y de matemática, también así: “p si i q”.


p q ®p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla de verdad del bicondicional « :

TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES MOLECULARES EN GENERAL

Dada una proposición cualquiera (no necesariamente atómica), por ejemplo p q- Ú , se puede construir su tabla de verdad a partir de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen, utilizando el procedimiento de agregar en la tabla de verdad columnas intermedias para llegar finalmente al valor de verdad de la proposición buscada:

En este caso se tuvo que agregar una columna intermedia, p- , para poder llegar a p q- Ú .

Por supuesto, los valores de verdad que se obtienen en cada columna responden a los valores de las tablas de verdad de los conectivos lógicos presentados en el título anterior.

(Nótese que esta tabla resultó ser la conocida fundamentación la tabla de verdad del conectivo condicional ® ).

La cantidad de renglones de la tabla depende de la cantidad de proposiciones atómicas que tenga la proposición molecular. Por ejemplo, si en vez de dos, una proposición molecular tuviera tres proposiciones atómicas, su tabla requeriría ocho renglones para poder cubrir todas las combinaciones posibles: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV y FFF.

(v) Ejercicio en clase: construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones del ejercicio (iv):

k), o), p), q), r), u), v), w)

(Nótese que, como en (r), no es imprescindible que la proposición compuesta esté simbolizada; puede simbolizársela expresamente para armar la tabla de verdad, e incluso se puede armar dicha tabla con las expresiones no simbolizadas, aunque de esa manera, obviamente, resultará más incómodo armarla).


p q p q«

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p- p q- Ú

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

ÁRBOLES DE VERDAD

Cuando SÍ se conocen los valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen una proposición molecular cuyo valor de verdad se desea averiguar, ya no es necesario construir toda la tabla pues en realidad se está preguntando por UNO de los renglones de ella.

En estos casos es más práctico trabajar directamente sobre la proposición molecular.

La idea básica del arbol sería trabajar “desde dentro hacia fuera”, idea que aplicada al ejemplo - Út y tendría los siguientes pasos:

| |

|

|

- Út y

Por ejemplo, para v (t) = V y para v (y) = F el árbol es:

t y- ÚV F

FF

Una variante ―que pierde de vista la secuencia pues ya no es “árbol”― pero si uno tiene claro el orden de precedencia de los conectivos entonces sirve para economizar espacio, es:

t y- Ú FV F F

árbol que se lee “la proposición molecular t y- Ú es falsa” atendiendo a la penúltima F.

(vi) Ejercicio en clase: construir árboles de verdad para los ítems n, o, p y r del ejercicio (iv) suponiendo que se sabe que v (t) = V, v (u) = F.

n) Ùu t

FFV o sea, v ( )u tÙ =Fo) etc.


CÁLCULO PROPOSICIONAL (continuación)

EL CONCEPTO DE FÓRMULA

Si reflexionamos un poco sobre el modo en que fuimos introduciendo los conceptos con los que estamos trabajando, notaremos que, partiendo de enunciados concretos como “si llego tarde no podré comprar los tickets”, “me abrigo o me quedo en casa”, “me olvidé el celular”, “es martes y llueve”, “si tengo poca nafta no llegaré a destino”, etc. etc., los aspectos de estos enunciados que nos interesan (en esta asignatura) nos llevan (1°) a detectar sus enunciados atómicos y simbolizarlos con con letras, para (2°) poder reescribir esos enunciados moleculares empleando dichas letras y los conectivos que las vinculan, obteniendo:

p qr stu vw x

® -Ú

Ù® -

A algunas de estas las conocemos como proposiciones atómicas, a otras como proposiciones moleculares, y en general las denominamos proposiciones.

Destaquemos que no sólo estas últimas cinco expresiones simbólicas son proposiciones; también son proposiciones las oraciones del primer párrafo. Es decir, “si llego tarde no podré comprar los tickets” también es una proposición.

Sin embargo, entre las oraciones del primer párrafo y estas cinco últimas hay una gran diferencia: sucede que nosotros dimos un salto desde las proposiciones expresadas en lenguaje corriente hasta las mismas proposiciones pero ya simbolizadas.

A este paso se lo denomina “subir un nivel de abstracción”. Igual que cuando todavía sólo operábamos con números concretos, 2, 2+4, etc. y nos encontramos con expresiones “n+4”. En aquella oportunidad también subimos un nivel de abstracción.

¿Para qué este comentario?

Porque ahora realizaremos otro paso más de abstracción, que venimos intuyendo y necesitando; pero esmerémosnos en dejarlo bien en claro:

A las expresionesp qr stu vw x

® -Ú

Ù® -

(que, como dijimos, son proposiciones) las llamaremos “fórmulas” para diferenciarlas de los enunciados concretos: “me abrigo o me quedo en casa” es un enunciado concreto, al que decidimos representarlo con la fórmula “ Úr s ”.

Además de llamarlas “fórmulas”, introduciremos una nueva notación para ellas, A, B, C,… (o, en caso de ser muchas, A1, A2, A3,…), letras que representan a la fórmula entera (si recuerdan la primera clase, serían las “fórmulas bien formadas”, “f.b.f.”, del cálculo formal que vimos como ejemplo). Por ejemplo, a “ ® -p q ” podríamos llamarla “fórmula A”. Y a la representación “ Úr s ” del enunciado concreto “me abrigo o me quedo en casa” la podemos llamarla “fórmula B " .

UNMdP–FCEN–LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 3 – Pág. 1

ALGUNAS ACLARACIONES PREVIAS SOBRE SIMBOLOGÍA

Para poder expresarnos con propiedad a partir de este punto, necesitaremos hacer algunas aclaraciones, en lenguaje coloquial, sobre el significado y las diferencias que existen entre los símbolos siguientes:

º , B , , É , \, Þ , Û , ® , «

El símbolo º :

Este símbolo, en esta parte de la asignatura, puede interpretarse como “lo que está a la izquierda es sinónimo de lo que está a la derecha”, suele llamarse “equivalencia”, y lo utilizaremos para indicar que el concepto representado a su izquierda es el mismo que el representado a su derecha. Por ejemplo:

Durazno º MelocotónOtro ejemplo:

En la clase anterior, al presentar al conectivo “condicional” ® , lo hicimos así:

equivale a ® - Úa b a b

Disponiendo del símbolo º , ya podemos presentarlo así, porque estamos afirmando lo mismo:

® - Úºa b a b

El símbolo B :

Este símbolo, conceptualmente, es análogo al símbolo º , pero se lo suele utilizar cuando al concepto que está a su izquierda se lo presenta por primera vez. En otras palabras, se lo utiliza para definir nuevos términos. Por ejemplo, si en un texto nunca se habló del conectivo ® , se lo puede presentar así: a b a b® - ÚB , que se lee que a b® “por definición es”

a b- Ú .

Los símbolos , É :

Estos símbolos indican que a partir de la proposición o de la lista de proposiciones que se encuentra a su izquierda, se deriva la proposición que está a la derecha.

NO pertenecen a la categoría de “conectivos lógicos” que conectan proposiciones (que pueden ser verdaderas o falsas) para conformar otra proposición (que a su vez puede ser verdadera o falsa).

Estos símbolos pertenecen al terreno de de la argumentación (terreno al cual, luego veremos, también pertenece por ejemplo el signo Þ ). En el terreno argumentativo, a partir de una o más proposiciones, llamadas premisas, se deriva otra proposición (llamada, en este caso, conclusión).

Señalemos una vez más que en este terreno ya no se habla de que una proposición sea verdadera o no, sino de que una argumentación sea correcta o no.

Estos dos símbolos se utilizan para las argumentaciones en general, tanto para la argumentación deductiva como para las argumentaciones inductiva y por analogía.UNMdP–FCEN–LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 3 – Pág. 2

Comentarios adicionales sobre el símbolo É :

1. Debemos señalar que con el símbolo É existe un problema histórico que hoy prácticamente impide su uso (a pesar de haber sido utilizado en tratados fundamentales en el estudio de la lógica) pues la forma del símbolo es exactamente contraria a la que debería tener para ser compatible con la teoría de conjuntos. Es decir: si bien aún no comenzamos a estudiar dicha teoría, con lo que sabemos del nivel secundario podemos afirmar que esta afirmación es verdadera:

( )Cualquiera sea , x x A x B A BÎ ® Î Þ Ì

Con el símbolo É sucede, sencillamente, que si lo quisiéramos utilizar para afirmar lo mismo, dicha afirmación quedaría expresada de esta otra manera sumamente confusa:

( )Cualquiera sea , x x A x B A BÎ ® Î ÌÉ ,

Debido a este tipo de expresiones, que resultan peligrosamente ambíguas, prácticamente su uso se está discontinuando.

2. Otro uso, también discontinuado por las mismas razones, es utilizar É en vez de ® en el terreno de los conectivos lógicos.

El símbolo \:

Este símbolo tiene el mismo significado que los dos anteriores: avisa que lo que le sigue es la conclusión. Se lo suele utilizar cuando las argumentaciones se exponen dedicando un renglón a cada proposición en vez de enumerarlas una al lado de la otra.

El símbolo Þ :

Este símbolo tiene el mismo significado que los tres anteriores, pero su campo de aplicación es más restringido: no se lo utiliza con cualquier modalidad de argumentación, sino que se lo utiliza sólo cuando la argumentación es deductiva. Se lo denomina “implicación lógica” y significa que a partir de una o más proposiciones, llamadas premisas, se deduce otra proposición (o que dichas premisas “implican lógicamente” otra proposición), llamada conclusión. Se lo suele utilizar cuando las argumentaciones se exponen en un mismo renglón, secuencialmente.

Éste es el momento de señalar que, así como una argumentación en general puede ser correcta o no serlo, en el caso de las argumentaciones deductivas se dispone de un concepto más preciso —que formalizaremos más adelante—, el concepto de “validez”: a una argumentación deductiva correcta se la denomina “deducción válida” o “argumentación deductiva válida”, y si no es correcta, “deducción inválida” o “argumentación deductiva inválida”.

En este sentido, cuando escribimos A, B, C ÞD estamos en realidad afirmando que la argumentación deductiva A, B, C ÞD es válida, o dicho con otras palabras, afirmamos que si A, B, C fueran todas verdaderas, entonces necesariamente D es verdadera.


El símbolo Û :

Ya hemos visto que el símbolo Þ indica que la proposición –o la lista de proposiciones– que se encuentra a su izquierda, implica lógicamente (o sea, se deduce, se infiere deductivamente) la proposición que está a la derecha; por ejemplos, , , ... p q r tÞ (o bien A, B, C,… ÞM ).

Es evidente que no tiene sentido usarlo partiendo de una proposición para llegar a una lista de ellas: , , v w x yÞ . Si hay una lista separada con comas, estará a la izquierda.

Sin embargo, cuando se parte de una única proposición de la que se infiere lógicamente otra, como ser Þp q , y además sucediera (no siempre sucede, desde ya) que Þq p , estas dos afirmaciones pueden “abreviarse” en una sola con el símbolo Û , así: Ûp q .

Nos encontramos entonces con que Û no es un nuevo concepto, sino una “abreviatura”. Podremos definirlo, entonces:

( ) y además ( )p q p q q pÛ Þ ÞBDe la misma manera que al símbolo Þ lo denominamos “implicación lógica”, a nuestro nuevo símbolo Û lo denominaremos “equivalencia lógica”, y le asignaremos sentido siempre que nos estemos moviendo en el terreno de la argumentación deductiva.

El símbolo ® :

A este símbolo ya lo hemos definido; es un conectivo que vincula proposiciones, que pueden ser verdaderas o falsas, creando una nueva proposición, que a su vez puede ser verdadera o falsa. (Como decíamos, en algunos libros se ha llegado a usar para este fin al cuestionado símbolo “É ”).

También se lo suele denominar “implicación material” para diferenciarlo conceptualmente de la “implicación lógica” Þ ya descripta más arriba.

El símbolo « :

Hechas todas las aclaraciones anteriores, y ahora sin riesgos de confusión, podemos presentar al símbolo « como un nuevo conectivo lógico, el “bicondicional”, que vincula proposiciones, que pueden ser verdaderas o falsas, creando una nueva proposición, que puede ser verdadera o falsa. Este conectivo puede definirse a partir de los conectivos ya conocidos; la definición más corriente es la siguiente:

( ) ( )p q p q q p« ® Ù ®B

Tabla de verdad del bicondicional:


p q p q® q p® ( ) ( )p q q p® Ù ® «p q

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS

Vimos que una proposición atómica p puede tomar los valores de verdad v(p) = V o bien

v(p) = F.

Vimos también que el valor de verdad de una proposición molecular dependerá de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Debemos señalar que, sin embargo, existen también ciertas proposiciones moleculares cuyos valores de verdad puede demostrarse que no dependen del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Examinemos por ejemplo la proposición ( )® Úp q p por medio de su tabla de verdad:

El valor de verdad de la proposición molecular ( )® Úp q p no depende de los valores de

verdad de las proposiciones moleculares p y q, pues siempre es V.

Examinemos, por ejemplo también, esta otra proposición: ( )Ù - ®q p q :

El valor de verdad de la proposición molecular ( )Ù - ®q p q no depende de los valores de

verdad de las proposiciones moleculares p y q, pues siempre es F.

A las proposiciones moleculares que siempre resultan ser verdaderas cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que las componen, como la del primer ejemplo, se las denomina TAUTOLOGÍAS, y genéricamente se las suele representar con la letra T (proviene de la bibliografía en inglés, de “True”). A las tautologías también se las suele denominar “verdades lógicas”.

Tiene sentido utilizar una única letra, T, para representar cualquier tautología, pues como todas tienen los mismos valores de verdad en sus tablas (cualesquiera sean los valores de


p q ®p q ( )® Úp q p

V V V V

V F F V

F V V V

F F V V

p q ®p q ( )- ®p q ( )Ù - ®q p q

V V V F F

V F F V F

F V V F F

F F V F F

verdad de las proposiciones atómicas que la componen, sean dos, tres o más, su valor de verdad como proposición molecular es V), resultan ser todas equivalentes entre sí, o sea, en realidad existe una única proposición tautológica que puede ser representada de muchas maneras diferentes, como ( )® Úp q p , o bien Ú -p p , o bien ( ) ( )p q p r- Ú ® ® , etc…, o simplemente T.A las proposiciones moleculares que siempre resultan ser falsas cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que las componen, como la del segundo ejemplo, se las denomina CONTRADICCIONES, y genéricamente se las suele representar con la letra F (proviene de “False”).

Tiene sentido también aquí utilizar una única letra, F, para representar cualquier contradicción, pues como todas tienen los mismos valores de verdad en sus tablas (cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen, sean dos, tres o más, su valor de verdad como proposición molecular es F), resultan ser todas equivalentes entre sí, o sea, en realidad existe una única proposición contradictoria, la que puede ser representada de muchas maneras diferentes, como ( )Ù - ®q p q , Ù -p p , etc., o simplemente F.Pero, como es evidente, no todas las proposiciones moleculares son tautologías o contradicciones, por supuesto.

A todas las demás proposiciones moleculares, es decir, a aquellas cuyo valor de verdad podrá ser V o F según sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen, se las denomina CONTINGENCIAS.

Por ejemplo, la proposición ( )Ù ® -p p q

… resulta ser una contingencia, pues según sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas p y q, será el valor de verdad de la proposición molecular ( )Ù ® -p p q , en cuya

última columna encontramos a veces valores V y a veces F.


p q -q ® -p q ( )Ù ® -p p q

V V F F F

V F V V V

F V F V F

F F V V F

CÁLCULO LÓGICO DEDUCTIVO CON PROPOSICIONES

Decíamos en la clase inicial que un discurso argumentativo está formado, por una parte, por enunciados que pueden ser verdaderos o falsos; y por otra parte, por razonamientos que partiendo de unos enunciados nos permiten llegar a otros.

El caso de la argumentación deductiva, que es el caso que estamos estudiando ahora, es un caso particular de argumentación, así que por esta razón nos estamos encontrando por un lado con cierto tipo de enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, las proposiciones, y por otra parte con cierto tipo de razonamientos, los razonamientos deductivos, que partiendo de unos enunciados proposicionales nos pemiten llegar a otros.

Estos razonamientos deductivos, propios de la lógica deductiva, permiten –como ya hemos dicho- arribar a una conclusión verdadera partiendo de proposiciones que se saben verdaderas.

A las proposiciones que conforman el punto de partida de toda argumentación ―sea o no deductiva― se las conoce con el nombre de premisas.Cuando a partir de una serie de n premisas A1, A2, A3, … , An podemos deducir de ellas la conclusión B, diremos que A1, A2, A3, … , An implican lógicamente a B y a este hecho lo notaremos así:

A1, A2, A3, … , An Þ

B.7

Ésta, por supuesto, es una expresión general, y cada una de las fórmulas está representando alguna proposición, las que en este caso están planteadas en forma general. Pero si deseamos ser específicos y referirnos a algún razonamiento en particular, por supuesto no podemos utilizar cualesquiera proposiciones. Habrá razonamientos deductivos correctos, es decir, expresiones concretas que constituirán implicaciones lógicas válidas, y otros que no lo serán. Por ejemplo, es casi evidente que

, p p q q® Þ

es una implicación lógica válida, mientras que

, , - ( ) p q r r p sÙ Ú Þ

no lo es.

VALIDEZ DE UNA IMPLICACIÓN LÓGICA

Para saber si una implicación lógica dada es válida (¡para saber si el razonamiento deductivo es correcto!), se aplica el siguiente

Principio de Validez de la Implicación Lógica (PVIL):

A1, A2, A3, … , An Þ

B si y sólo si (A1ÙA2ÙA3Ù…ÙAn)® B es una Tautología.

7 Nótese que afirmar que A1, A2, A3, … , An implican lógicamente a B es afirmar que A1, A2, A3, … , An Þ

B es una implicación lógica válida. UNMdP–FCEN–LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 3 – Pág. 7

En otras palabras, para saber si un conjunto de proposiciones tomadas como premisas implican lógicamente a determinada proposición candidata a conclusión, hay que construir la tabla de verdad de una proposición molecular condicional que tiene como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente a la proposición que pretender ser conclusión.

Por ejemplo,

para saber si , , p q q r p r® ® Þ es una implicación lógica válida, hay que averiguar si

( ) ( )( )( )p q q r p r® Ù ® Ù ®

es una tautología.

Ejercicios en clase:

1. Construir la tabla de verdad de ( ) ( )( )( )p q q r p r® Ù ® Ù ® (de 16 renglones) para

determinar si es una Tautología, y de esta manera averiguar si la implicación lógica en cuestión,

, , p q q r p r® ® Þ ,

es una deducción válida.

2. Averiguar si la implicación lógica , , p q q r r p® - Ú - Þ - es válida.

3. Averiguar si la implicación lógica , p q p qÚ - - Þ es válida.

Forma elemental del Principio de Validez de la Implicación Lógica:

A Þ

B si y sólo si A® B es una Tautología.

Ejemplo:

Demostrar la validez de la siguiente implicación lógica: ( ) ( )p q p qÙ Þ Ú

Solución:

Dado que antes del signo Þ hay una sola proposición, aplicamos la forma elemental del Principio de Validez de la Implicación Lógica, construyendo la tabla de verdad de la proposición molecular ( ) ( )p q p qÙ ® Ú para ver si es tautológica:

p q ( )p qÙ ( )p qÚ ( ) ( )p q p qÙ ® Ú

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Como la proposición ( ) ( )p q p qÙ ® Ú resultó ser una Tautología, concluímos en que

la implicación lógica ( ) ( )p q p qÙ Þ Ú es VÁLIDA.



REGLAS Y LEYES LÓGICAS

Evidentemente, las tablas de verdad no son el mejor método para analizar razonamientos deductivos cuando éstos comienzan a ser medianamente complejos, pues la dimensión que alcanzan rápidamente se torna inmanejable al manipularlas manualmente.

Lo que se utiliza, en realidad, es un “atajo” más parecido a nuestros razonamientos intuitivos, esto es, descomponer el razonamiento deductivo complejo en pasos más sencillos, aplicando en cada uno alguna implicación o equivalencia lógica que ya se sepa válida; con este método se van obteniendo resultados intermedios, y aplicando estos pasos con criterio se puede llegar rápidamente a la conclusión ahorrándose la construcción de la tabla.

REGLAS LÓGICAS

Para ello se tienen estudiadas, de una vez y para siempre, algunas implicaciones lógicas que aparecen con mucha frecuencia y que se puede demostrar que son válidas. A estas implicaciones lógicas válidas, por el tipo de aplicación que se les da, en este texto las denominaremos “reglas lógicas”.

Y “estudiarlas de una vez y para siempre” significa hacer, una vez en la vida, la tabla de verdad de cada una de ellas para verificar su validez. Esto es, las reglas lógicas son implicaciones lógicas sencillas cuya validez demostramos en el curso desarrollando sus respectivas tablas de verdad.

Primero presentemos las más corrientes, y luego veamos cómo se las aplica, combinándolas, para averiguar si algún razonamiento deductivo es válido (también se las usa para saber si la conclusión que deducimos es verdadera; si se llega a ella aplicando reglas lógicas, el razonamiento deductivo íntegro será válido porque usamos pasos todos válidos, y por ende esa conclusión será necesariamente verdadera si las premisas también lo son).

(No está de más remarcar que las Reglas no constituyen un conjunto finito, una lista taxativa; simplemente son determinados procedimientos deductivos que se usan como tantos otros, pero cuya característica distintiva es, simplemente, que se utilizan con mucha frecuencia).

Regla: Modus Ponens (llamada también modus ponendo ponens)

A ® B, A Þ B

Regla: Modus Tollens (llamada también modus tollendo tollens)

A ® B, —B Þ —A


Regla: Silogismo Disyuntivo (llamada también modus tollendo ponens)

A Ú B, — A Þ B

Regla: Silogismo Hipotético

A ® B, B ® C Þ A ® C

Regla: Introducción de la Conjunción

A, B Þ A Ù B (También A, B Þ B Ù A)

Regla: Simplificación, o Eliminación de la Conjunción

A Ù B Þ A (También A Ù B Þ B)

Regla: Adición, o Introducción de la Disyunción

A Þ A Ú B (Notar: para cualquier B) (También: A Þ B Ú A)

Regla: Eliminación de la Disyunción

A Ú B, A ® C, B ® C Þ C

Regla: Dilema constructivo

(A ® B ) Ù (C ® D), A Ú C Þ B Ú D

Regla: Dilema destructivo

(A ® B ) Ù (C ® D), —B Ú —D Þ —A Ú —C

Reglas de Traslación:

(AÙB)®C Þ A® (B ® C)

A® (BÙC) Þ (AÙB) ® C

Regla de Introducción del Bicondicional:

A ® B, B ® A Þ A « B (También: A ® B, B ® A Þ B « A)

Regla de Eliminación del Bicondicional:

A « B Þ A ® B (También: A « B Þ B ® A)


Regla de Reducción al Absurdo:

A ® F Þ —A (Donde F es una Contradicción)7

Otras dos reglas de uso frecuente:

A ® B, C ® B Þ A Ú C ® B 8

A ® B Þ A Ù C ® B (Notar: para cualquier C )

Para remarcar una vez más que las Reglas no constituyen una lista taxativa, introduzcamos como regla “simplemente porque parece útil” la implicación lógica que demostramos válida en el ejemplo del fin de la clase anterior:

Otra regla:

A B A BÙ Þ Ú

LEYES LÓGICAS

Como decíamos, de la misma manera que con las implicaciones lógicas (Þ ) y por las mismas razones, se les suele prestar atención a algunas equivalencias lógicas ( )Û utilizadas con mucha frecuencia cuando argumentamos deductivamente para construir nuevas proposiciones a partir de premisas o de proposiciones intermedias obtenidas.

A estas normas de uso muy frecuente se las suele denominar “leyes lógicas”, y así lo haremos en este texto, para diferenciarlas de las “reglas lógicas” vistas arriba; esta nomenclatura destaca, simplemente, que las reglas se refieren a implicaciones lógicas ( )Þ mientras que las leyes se refieren a equivalencias lógicas ( )Û .

Al igual que con las reglas, antes de poder aplicarlas debemos saber si son válidas.

Enunciaremos entonces aquí el

Principio de Validez de una Equivalencia Lógica (PVEL): 9

A Û

B si y sólo si A« B es una Tautología.

Ya estamos en condiciones, entonces, de presentar y verificar la validez de las leyes de uso más frecuente en el cálculo lógico proposicional. Su demostración vía Tablas de Verdad se hará en la Práctica.

7 Nótese que como la proposición contradictoria F tiene un único valor de verdad, F, si se construye una tabla de verdad para demostrar la validez de esta implicación lógica, dicha tabla tendrá sólo dos renglones.8 Para leer una fórmula hay que tener presente la prioridad relativa entre sus conectivos lógicos: la prioridad uno la tiene la negación, luego la prioridad dos la tienen la conjunción y la disyunción, y por último la prioridad tres la tiene el condicional. Por esta razón, en este caso no es necesario escribir (A Ú C )® B.9 ¿Con qué derecho hablamos aquí de “validez de una equivalencia lógica” siendo que el concepto de validez es inherente a las argumentaciones lógicas deductivas, esto es, corresponde a las implicaciones lógicas? Lo presentamos de esta manera simplemente por razones prácticas; el derecho a hacerlo nos asiste puesto que hemos introducido más arriba a la “equivalencia lógica” como una abreviatura de dos implicaciones lógicas: ( ) y además ( )p q p q q pÛ Þ Þº sobre las que sí es aplicable el concepto de validez. Que una equivalencia lógica sea válida, entonces, nos está indicando que son válidas las argumentaciones deductivas tanto en un sentido como en el otro.UNMdP–FCEN–LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 4 – Pág. 3

Leyes de Idempotencia:Ú ÛÙ Û

p p p

p p p

Leyes Asociativas:

( ) ( ) (Esta ley permite que no sea ambiguo)

( ) ( ) (Esta ley permite que no sea ambiguo)

Ú Ú Û Ú Ú Ú ÚÙ Ù Û Ù Ù Ù Ù

p q r p q r p q r

p q r p q r p q r

Leyes Conmutativas:Ú Û ÚÙ Û Ù

p q q p

p q q p

Leyes Distributivas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ú Ù Û Ú Ù ÚÙ Ú Û Ù Ú Ù

p q r p q p r

p q r p q p r

Leyes de Identidad :

(Léase T: cualquier proposición tautológica, y F: cualquier proposición contradictoria):

Ûp p

T T T

F F F

p p p

p p p

Ú Û Ù ÛÚ Û Ù Û

Leyes de Complementos, o de Inversas:

T

F

p p

p p

Ú - ÛÙ - Û

Leyes de De Morgan:

( )

( )

- Ú Û - Ù -- Ù Û - Ú -

p q p q

p q p q

Ley de Involución, o de Doble Negación:

( )- - Ûp p

Ley de Transposición:

® Û - ® -a b b a

Ley de Exportación:

( ) ( )Ù ® Û ® ®p q r p q r


Y por supuesto, las introducciones que hicimos del condicional y del bicondicional también pueden considerarse leyes:

Ley del Condicional:® Û - Úp q p q

Leyes del Bicondicional:

( ) ( )« Û ® Ù ®p q p q q p

( ) ( )p q p q q p« Û - Ú Ù - Ú

Recordemos entonces que la utilidad principal tanto de las reglas como de las leyes es facilitar los procesos de inferencia deductiva, simplificando la construcción de nuevas proposiciones a partir de las anteriores a fin de arribar a la conclusión deseada de manera de lograr que estas inferencias deductivas resulten válidas.

Seguramente se habrá observado que, al presentar las Reglas Lógicas, se las expresó utilizando fórmulas , , A B C que pueden representar tanto a proposiciones atómicas como a proposiciones moleculares en general, mientras que al presentar las Leyes Lógicas, se las expresó utilizando directamente proposiciones atómicas , , p q r .

En realidad, una modalidad puede reducirse a la otra, debido al siguiente

Principio de Sustitución de Fórmulas Atómicas (PSFA)

Sea A una fórmula cualquiera, en la cual aparece un número n de veces una fórmula atómica cualquiera p . Si en A se sustituye p en todas sus apariciones por otra fórmula cualquiera (atómica o no) C que no contenga proposiciones atómicas que ya estén en A (a la fórmula obtenida la llamaremos A *), entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:

a) si A es una Tautología, entonces A * es también una Tautología,

b) si ÞA B , entonces * *ÞA B ,

c) si 1 2, , , n ÞA A A BK , entonces 1 2, , , n* * * *ÞA A A BK , y

d) si ÛA B , entonces * *ÛA B ,

donde, por supuesto, B * es la fórmula obtenida siguiendo el mismo procedimiento con que se obtuvo A *, esto es, substituyendo en ella todas las apariciones de p por C .

Ejemplo:

Sea la fórmula ( )p q rÙ ® donde deseamos substituir todas las apariciones de p (en este caso sólo hay una) por la fórmula s t® - ; nos quedará ( )( )s t q r® - Ù ® .

Como sabemos, por aplicación de la Ley de Exportación, que ( ) ( )Ù ® Û ® ®p q r p q r , entonces aplicando el PSFA (d) podemos afirmar que también se cumple la siguiente equivalencia lógica: ( ) ( )( ) ( )s t q r s t q r® - Ù ® Û ® - ® ® .



GENERALIZACIONES

Conectivos lógicos generalizados

Aquellos conectivos lógicos que poseen la propiedad asociativa, permiten ser “abreviados” con expresiones generalizadas (de la misma manera que la suma aritmética, que es asociativa, se la abrevia con S ).

Veamos: como Ú e Ù gozan de la propiedad asociativa, sabemos que

( ) ( )p q r p q rÚ Ú Û Ú Ú y que por lo tanto puede escribirse sin ambigüedad p q rÚ Ú

( ) ( )p q r p q rÙ Ù Û Ù Ù y que por lo tanto puede escribirse sin ambigüedad p q rÙ Ù

Esta propiedad no sólo es aplicable a tres proposiciones; es más general: por ejemplo,

( )( )( )( )1 2 3 4 np p p p pÚ Ú Ú Ú ÚK

es lógicamente equivalente a cualquier combinación de paréntesis, como

( )( ) ( )1 2 3 4 np p p p pÚ Ú Ú Ú ÚK (lo cual es fácilmente demostrable por aplicación reiterada

de la propiedad asociativa), y lo mismo vale para Ù , lo que permite escribir sin ambigüedad las proposiciones 1 2 3 4 np p p p pÚ Ú Ú Ú ÚK y 1 2 3 4 np p p p pÙ Ù Ù Ù ÙK .

Para estas situaciones se introduce una notación abreviada; en el caso particular de Ú y de Ù se introducen:

Disyunción generalizada: 1 21

n

i nip p p p

=Ú Ú ÚÚ B K

Conjunción generalizada: 1 21

n

i nip p p p

=Ù Ù ÙÙ B K

Aprovecharemos esta notación para presentar las

Leyes de De Morgan Generalizadas

1.

2.

i ii i

i ii i

p p

p p

- Û -

- Û -

Ú Ù

Ù Ú

Demostración de la primera (la segunda se demuestra en forma análoga):

( )( )( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

y aplicando reiteradamente este procedimiento,

i ni

n

n

n

ii

p p p p p

p p p p

p p p p

p p p p

p

- Û - Ú Ú Ú ÚÛ - Ú Ú Ú Ú

Û - Ù - Ú Ú ÚÛ - Ù - Ù - Ù Ù -Û -

Ú

Ù

KK

KK

UNMdP–FCEN-LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 5 – Pág. 1

Hagamos un aparte para presentar un tema el cual, si bien no sigue la secuencia conceptual que venimos presentando, por ser afín a estos conceptos corresponde presentarlo aquí; luego retomaremos el hilo principal.

LOGICA CLAUSAL

Si bien el ámbito más fructífero de aplicación del concepto de Cláusula que estamos presentando es el de la lógica bivaluada de predicados (el que comenzaremos a ver recién en una clase próxima), el ámbito en que nos estamos moviendo ahora, el de la lógica bivaluada proposicional, es muy adecuado para introducirlo. Y así lo haremos.

Dada una proposición (incluso las atómicas), denominaremos “su cláusula” (o forma normal de la proposición) a otra proposición, conformada por la conjunción de disyunciones (o la disyunción de conjunciones) de sus proposiciones atómicas o de sus negaciones.

Se suelen distinguir dos tipos principales de cláusulas:

Cláusula disyuntiva (o Forma Normal Disyuntiva, FND, de una proposición):

Son proposiciones conformadas por la disyunción de proposiciones atómicas y/o sus negaciones, y/o de conjunciones de proposiciones atómicas y/o sus negaciones.

Ejemplos:

Ú - Ú Ú Ú -p q r s t

( ) ( ) ( )Ù Ú Ù Ú Ù - Ú -p q r s t u v

Cláusula conjuntiva (o Forma Normal Conjuntiva, FNC, de una proposición):

Son proposiciones conformadas por la conjunción de proposiciones atómicas y/o sus negaciones, y/o de disyunciones de proposiciones atómicas y/o sus negaciones.

Ejemplos:Ù Ù - Ù -p q r s

( ) ( ) ( )p q r s t u v w x y z- Ù - Ú Ù Ú Ù Ù - Ú - Ú Ú Ú -

Propiedad:

La negación de una cláusula disyuntiva es una cláusula conjuntiva, y viceversa.

Esta propiedad, de fácil demostración, surge de la aplicación de las Leyes de De Morgan.

Propiedad:

La negación de una cláusula (disyuntiva o conjuntiva) es otra cláusula (conjuntiva o disyuntiva, respectivamente) con las mismas proposiciones atómicas, pero negadas si no lo estaban, o sin negar si lo estaban.

Esta propiedad surge de aplicar la Ley de Involución luego de aplicar las Leyes de De Morgan.


Ejemplos de estas dos propiedades (están escritos como renglones, asumiendo que se comienza aplicando una de las dos Leyes de De Morgan y luego las Leyes de Involución y de De Morgan en cuanto sea necesario):

( ) ( ) ( )

p q r s t p q r s t

p q r s t

- Ú - Ú Ú Ú - Û - Ù - - Ù - Ù - Ù - -Û - Ù Ù - Ù - Ù

( ) ( ) ( )

- Ù Ù - Ù - Û - Ú - Ú - - Ú - -Û - Ú - Ú Ú

p q r s p q r s

p q r s

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

p q r s t u v p q r s t u v

p q r s t u v

p q r s t u v

p q r s t u v

- Ù Ú Ù Ú Ù - Ú - Û - Ù Ù - Ù Ù - Ù - Ù - -Û - Ù Ù - Ù Ù - Ù - ÙÛ - Ú - Ù - Ú - Ù - Ú - - ÙÛ - Ú - Ù - Ú - Ù - Ú Ù

Propiedad

Cualquier proposición puede ser transformada en una cláusula lógicamente equivalente a ella.

Esta propiedad, que por ser constructiva quedará demostrada cuando más abajo expliquemos su método de construcción, si bien no es muy evidente, resulta ser la más importante de todas, y es la razón por la cual este tipo de proposiciones merece un estudio especial.

Una fundamentación muy importante de este hecho proviene del ámbito de las ciencias de la computación: dicha propiedad, aplicable a cualquier conjunto de proposiciones, al permitir operar con sus cláusulas equivalentes facilita enormemente el desarrollo de lenguajes computacionales destinados a la programación de cálculos lógicos, como ser los motores de inferencia de los sistemas expertos, tema perteneciente a la inteligencia artificial.

Otra razón por la que se estudiaron las Cláusulas proviene del mundo de la tecnología electrónica, pues su aplicación en el diseño de circuitos permite aumentar la eficiencia de su implementación, al permitir optimizar la construcción en función del costo relativo de los componentes electrónicos estandar del mercado.

CÓMO LLEVAR UNA PROPOSICIÓN CUALQUIERA A UNA FORMA NORMAL

Señalemos antes que nada que en este procedimiento nos conviene a utilizar Leyes, porque garantizan equivalencia lógica, y no nos conviene utilizar Reglas, porque si bien garantizan la implicación lógica no permiten retroceder, desde una cláusula, a la proposición original.

Recordemos además que los conectivos lógicos con los que comenzamos a desarrollar la lógica proposicional eran la negación, la disyunción y la conjunción ( , , )- Ú Ù , mientras que el condicional ( )® y el bicondicional ( )« los definimos más tarde, a partir de los primeros. Por tanto, nos convendrá (y además será sencillo) eliminar antes que nada a estos dos últimos si se encontraran en la proposición con la que deberemos trabajar.


MÉTODO PARA OBTENER LAS FORMAS NORMALES DE UNA PROPOSICIÓN:

Primer paso, eliminar los bicondicionales usando la Ley del Bicondicional, de ser necesario.

Segundo paso, eliminar los condicionales usando la Ley del Condicional, de ser necesario.

Tercer paso, introducir las negaciones dentro de los paréntesis usando las Leyes de De Morgan y la de Doble Negación, de ser necesario.

Cuarto paso, obtener la Forma Normal deseada aplicando las Leyes Distributivas, de ser necesario.

Ejemplo:

a) Obtener la Cláusula Conjuntiva (o Forma Normal Conjuntiva) de la proposición

( ( ))- Ù ®p q r

Resolución:

( ( ))- Ù ®p q r ( ( ))Û - Ù - Úp q r

( )Û - Ú - - Úp q r

( ( ) )Û - Ú - - Ù -p q r

( )Û - Ú Ù -p q r

( ) ( )Û - Ú Ù - Ú -p q p r , que es la Cláusula pedida.

b) Obtener la Cláusula Disyuntiva (o Forma Normal Disyuntiva) de la misma proposición:

( ( ))- Ù ®p q r

Resolución:

( ( ))- Ù ®p q r ( ( ))Û - Ù - Úp q r

( )Û - Ú - - Úp q r

( ( ) )Û - Ú - - Ù -p q r ( )Û - Ú Ù -p q r , que es la Cláusula pedida.


Retomemos ahora el hilo principal del desarrollo que veníamos llevando a cabo.

DEDUCCIÓN A PARTIR DE PREMISAS EN EL CÁLCULO PROPOSICIONAL

Estamos estudiando las argumentaciones deductivas, deducciones o inferencias lógicas. Comenzamos estudiando cómo deducir cuando contamos con proposiciones, por lo que nos introdujimos en el “cálculo proposicional”. Luego, ampliaremos el concepto aplicándolo a otro tipo de entidad, los predicados, en cuya oportunidad estudiaremos, entonces, el “cálculo de predicados”.A efectos de disponer de los elementos que nos permiten realizar “razonamientos” a partir de piezas de información dadas (en nuestro caso, las piezas son las proposiciones) hemos presentado reglas y leyes lógicas con las que podremos construir nuestras argumentaciones deductivas.Pero para poder aplicarlas, debemos presentar algunos principios básicos que tienen un nivel de abstracción superior al de las reglas y leyes. A estos Principios Básicos de la Lógica que vamos introduciendo en distintas partes de este texto, debido a que la Lógica que desarrollamos es sólo un capítulo de una asignatura introductoria del primer año de la Carrera, nos limitaremos a declararlos directamente como verdades evidentes que no necesitan ser demostradas. Y cabe señalar que, sin acudir a ellos, nos sería imposible construir muchas de las argumentaciones deductivas con las que nos encontraremos.Ya hemos presentado algunos: el Principio de Validez de la Implicación Lógica (PVIL), el Principio de Validez de la Equivalencia Lógica (PVEL) y el Principio de Sustitución de Fórmulas Atómicas (PSFA).A continuación enunciaremos otros más, en el contexto del Cálculo Proposicional, pero señalando expresamente que, igual que los anteriores, también serán de aplicación en todo el contexto del Cálculo de Predicados que veremos más adelante.

Principio de Implicación Tautológica de la Conjunción (PITC):

Si en un punto de una deducción hay proposiciones precedentes tales que su conjunción implica tautológicamente a una proposición A, podemos introducir allí a la proposición A.

Principio de Introducción de Premisa (PIP):

Podemos introducir como premisa una proposición B cualquiera, en cualquier punto de una deducción.11 (Evidentemente, este principio no se puede aplicar para introducir la proposición “conclusión” buscada).

Principio de Prueba Condicional (PPC):

Si de una proposición cualquiera R y de un conjunto de premisas se puede deducir S, entonces de dicho conjunto de premisas se puede deducir R ®S.

Si bien el siguiente no está al mismo nivel de independencia que los anteriores pues puede ser deducido de ellos aplicando reglas y leyes, por practicidad presentaremos como principio también al siguiente:

11 Puede parecer extraño que se permita introducir tan libremente una premisa en cualquier lugar de una deducción, sin ningún requisito sobre su valor de verdad. En el Ejemplo 4 que sigue se verá una aplicación que aclarará el sentido de este principio.


Principio de Reducción al Absurdo (PRA):

Suponiendo que en un punto de una deducción se introduce la conjunción P de todas las premisas y en algún punto posterior se introduce, por aplicación del PIP, una premisa adicional cualquiera B, entonces, si en otro punto posterior de la la inferencia se pudiera

deducir P ÙB®F (contradicción), entonces ‘por reducción al absurdo’ se puede deducir -B .

RELACIONES ENTRE CONDICIONALES: CÓMO SE LAS DENOMINA

Dado un condicional ®p q , existen otros tres condicionales relacionados con él, que reciben los siguientes nombres:

condicional recíproco del condicional ®p q : ®q p

condicional contrario del condicional ®p q : - ® -p q

condicional contrarrecíproco del condicional ®p q : - ® -q p

y esta relación puede representarse así 12:

La fórmula condicional ®p q , por ser proposición, puede ser verdadera o falsa. Y su valor de verdad, sabemos, dependerá del valor de verdad de sus proposiciones atómicas p, q.

Combinando los valores de verdad de p y de q obtendremos todas sus combinaciones posibles con lo cual, construyendo las tablas de verdad de los cuatro condicionales, podremos averiguar de inmediato, en cada caso, los valores de verdad de éstos. Estas tablas pondrán en evidencia que los únicos condicionales lógicamente equivalentes, son los contrarrecíprocos: , y .p q q p q p p q® Û - ® - ® Û - ® -

Y lo mismo sucede cuando nuestro condicional vincula dos proposiciones moleculares, por ejemplo A ® B.

12 El valor de verdad de p q® no condiciona al valor de verdad de su recíproco q p® ni al de su contrario p q- ® - ; pero sí condiciona al valor de verdad de su contrarrecíproco q p- ® - : los valores de verdad de un

condicional p q® y de su contrarrecíproco q p- ® - siempre coinciden: o ambos son verdaderos o ambos son falsos. Tienen la misma tabla de verdad; son lógicamente equivalentes, como ya sabemos: p q q p® Û - ® - . También sucede lo mismo con el otro par de contrarrecíprocos del diagrama: ellos dos también son lógicamente equivalentes entre sí: q p p q® Û - ® - . Todo esto es fácilmente demostrable construyendo las respectivas tablas de verdad.


Ejercicio en clase:

Enunciar el contrario, el recíproco y el contrarecíproco de cada una de las siguientes proposiciones con condicionales, y determinar sus respectivos valores de verdad:

a) Si el tanque no tiene nafta, entonces el automóvil no arranca.b) Si se eliminaran los recargos a las importaciones, muchas industrias locales cerrarían.

CÁLCULO DE ARGUMENTACIONES DEDUCTIVAS CON PROPOSICIONES

Desde el punto de vista conceptual ya hemos presentado todos los elementos necesarios para el cálculo proposicional, esto es, para operar sobre conjuntos de proposiciones llamados premisas con la finaldad de alcanzar en forma deductivamente válida otra proposición llamada conclusión.

Nos entonces queda estudiar este cálculo de manera práctica, viendo cómo se lo representa y cómo se lo desarrolla.

LA REPRESENTACIÓN DE LAS ARGUMENTACIONES DEDUCTIVAS

Como se habrá notado, a las Reglas y a las Leyes las hemos presentado, en la clase anterior, de manera horizontal, y utilizamos Þ y Û .

Con esa simbología estamos ahorrando espacio en el papel, pero también existe otra forma de expresar lo mismo, que suele ser más didáctica porque por una parte permite dejar indicado más claramente si cada proposición es una premisa, una proposición intermedia inferida deductivamente de las anteriores o la conclusión, y por otra parte permite aclarar pormenorizadamente las razones por las que se infiere cada nueva proposición:

Esta otra forma de expresarnos, ya vista en la primer clase cuando presentamos renglón a renglón premisas y resultados intermedios y trazamos una línea para indicar que arribamos a la conclusión, en realidad incluye un símbolo que allí omitimos: el símbolo \ (cabe notar que, como la línea “anuncia” la conclusión, es bastante corriente omitir este símbolo dejando solamente a ésta).

Es necesario aclarar, por último, que así como el símbolo “Þ ” se utiliza para las argumentaciones deductivas (que es el caso que estamos estudiando), el símbolo “\”, al

igual que “” y “É ”, se utiliza para las argumentaciones lógicas y analógicas en general,

es decir, tanto para la argumentación deductiva como para las argumentaciones inductiva, abductiva y por analogía.

DESARROLLO DE ARGUMENTACIONES DEDUCTIVAS CON PROPOSICIONES

Ejemplo 1:

1. Virgi irá al recital. Premisa

2. Edu irá al recital. Premisa

3. Si Virgi y Edu van ambos al recital lo harán en el auto de Edu Premisa

4. Virgi y Edu irán ambos al recital. . 1, 2, Regla de Intr de la Conj

\ Virgi y Edu irán en el auto de Edu 4, 3, Regla Modus ponens


Ejemplo 2:

1. p Premisa

2. q Premisa

3. Ù ®p q r Premisa

4. p Ù q .

1, 2, Regla de Introd de la Conjunción

\ r 4, 3, Regla Modus ponens

Ejemplo 3: Desarrollemos un ejemplo de inferencia lógica deductiva a partir de la expresión en lenguaje material de sus premisas y de la conclusión (antes de comenzar, responda a la siguiente pregunta: ¿este discurso es descriptivo o argumentativo?).

Si no se están descuidando las zonas críticas para la pesca de merluza, entonces es que existen controles gubernamentales adecuados sobre la pesca de merluza. Si hay controles gubernamentales adecuados sobre la pesca de merluza, entonces no habrá carencia de merluza en el futuro. O la pesca de merluza sostiene el rendimiento máximo sostenible, o habrá carencia de merluza en el futuro. Es un hecho que no se está respetando el rendimiento máximo sostenible en la pesca de merluza. Entonces se están descuidando las zonas críticas para la pesca de merluza.

Primero detectemos las proposiciones atómicas y asignémosles letras:

d: se están descuidando las zonas críticas para la pesca de merluzag: hay controles gubernamentales adecuados sobre la pesca de merluzac: habrá carencia de merluza en el futuros: la pesca de merluza sostiene el rendimiento máximo sostenible.

Las premisas, entonces, son las siguientes:

- ®d g® -g cÚs c-s

La conclusión a la que se intenta arribar es la siguiente:

d

Y la deducción que nos permite arribar a dicha conclusión es la siguiente:

1. - ®d g Premisa2. ® -g c Premisa3. Ús c Premisa4. -s Premisa5. c 4, 3, Regla de Silogismo disyuntivo6. ( )- -c 5, Ley de Involución o de Doble Negación7. -g 6, 2, Regla de Modus tollens8. ( )- -d 7, 1, Regla de Modus tollens

\ d 8, Ley de Involución o de Doble Negación.

Nótese que NO dijimos “esta inferencia deductiva válida nos permite deducir que la conclusión d es verdadera”, sino solamente “esta inferencia deductiva válida nos permite deducir la conclusión d”. Y punto. ¿Por qué? ¿Por qué no decimos que la conclusión d es verdadera?


Expliquémoslo formalmente: porque si las premisas 1, 2, 3 y 4 fueran todas verdaderas, entonces (y recién entonces) podríamos asegurar (debido a que usamos argumentos deductivos válidos), que la conclusión es verdadera. Si las premisas no fueran todas verdaderas, no podríamos conocer el valor de verdad de nuestra conclusión válidamente deducida.

Lo que expresado en lenguaje natural queda así:

Si las siguientes oraciones (proposiciones premisas) fueran todas verdaderas:

Si no se descuidan las zonas críticas para la pesca de merluza, entonces existen controles gubernamentales adecuados sobre la pesca de merluza. Si hay controles gubernamentales adecuados sobre la pesca de merluza, entonces no habrá carencia de merluza en el futuro. O la pesca de merluza sostiene el rendimiento máximo sostenible, o habrá carencia de merluza en el futuro. Es un hecho que no se está sosteniendo el rendimiento máximo sostenible en la pesca de merluza.

entonces será verdad que

se están descuidando las zonas críticas para la pesca de merluza,

porque

demostramos que esta última oración se deduce lógicamente de las anteriores.

pero si alguna de esas premisas no fuera verdadera

por si ejemplo no fuera verdadero (por ejemplo, podría suceder que por más controles gubernamentales que hubiese, la merluza estuviera contaminada irreversiblemente por algún motivo externo fuera del alcance de los controles, con lo que a pesar de ellos sí podría haber carencia de merluza en el futuro),

entonces no podríamos saber si la conclusión es, o no, verdadera.

O sea, desconoceríamos si se están descuidando, o no, las zonas críticas para la pesca de merluza.

Ejemplo 4:

Aceptando las nociones básicas y los postulados de la Geometría de Euclídes, y considerando ya demostrados todos los teoremas que se deducen de estos postulados y que preceden a éste, demostrar que, dadas tres rectas coplanares y distintas entre sí, si la primera recta es paralela a la segunda y ésta lo es a la tercera, entonces la primera y la tercera son paralelas entre sí.13

13 Hagamos propicia la oportunidad para presentar una versión corriente de las cinco premisas que Euclides postula como “evidentemente verdaderas” (un axioma es una premisa que se declara verdadera sin más, como se verá en otras asignaturas, mientras que un postulado –los postulados también son axiomas pues se aceptan como verdaderos– es una premisa cuya verdad se supone evidente pero por confrontarla al mundo real, que es lo que hizo Euclides):

POSTULADO 1.- "Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta".POSTULADO 2.-"Todo segmento puede prolongarse indefinidamente en una línea recta".POSTULADO 3.- "Dado un punto y un segmento cualesquiera se puede con ellos trazar una circunferencia".


1. a¹ b Premisa2. a¹ c Premisa3. b¹ c Premisa4. a // b Premisa 14 5. b // c Premisa 14 6. a¹ b Ù a¹ c Ù ÙK b // c 1 a 5: Prop A. Regla de Introd de la Conjunción

7. { }a c P= ¹ ÆI Premisa B introducida arbitrariamente según PIP

8. P aÎ “a pasa por P” 7, por concepto de pertenencia a la intersección

9. P cÎ “c pasa por P” 7, por concepto de pertenencia a la intersección

10. P bÏ “P es exterior a b” 3, 5, 9, propiedades de paralelismo (ver 14)

11. (P bÏ Ù P aÎ Ù P cÎ ) (a c)® = 8, 9, 10, Aplicación del 5º Postulado de Euclides

12. (P bÏ Ù P aÎ Ù P cÎ ) 8, 9, 10, Regla de Introducción de la Conjunción13. a c= 11, 12, Regla Modus Ponens

14. (a c) (a c)= Ù ¹ 13, 2, Regla de Introducción de la Conjunción

15. F 14, Segunda Ley del Complemento

\ a c = ÆI Prop -B de 6, 7, 15, aplicación del Principio PRA

En otras palabras, siendo a, c rectas coplanares, al ser a c = ÆI , esto significa que a // c.

Ejemplo 5: En los dos siguientes casos clásicos15 de aplicación del Principio PRA, indicar

cuál es la premisa B introducida arbitrariamente según el Principio PIP:

a) Una demostración (de Euclides) de la proposición “hay infinitos números primos”.

Supongamos que los números primos no son infinitos. Entonces, su enumeración sería finita, a saber 2, 3, 5, 7,... P, siendo P el mayor de todos los números primos.

Consideremos ahora el número (2 3 5 7 ) 1H P= × × × × × +KH no es primo, pues es mayor que P. Entonces H debe tener algún divisor primo.

Pero si dividimos H por cualquiera de los números primos, obtendremos resto 1, por la forma en que se ha definido H.

No hay ningún número primo, entonces, que divida a H. Por tanto, H es primo.

Hemos llegado a una contradicción. Luego la afirmación inicial es cierta: hay infinitos números primos.

b) Una demostración (de Cantor) de la proposición “el conjunto ¡ no es numerable”.

Supongamos que el conjunto ¡ es numerable. Entonces todos los números reales podrían disponerse formando una sucesión:

r1 = N1, a1a2a3a4a5 ...

r2 = N2, b1b2b3b4b5 ...

r3 = N3, c1c2c3c4c5 .....................................

POSTULADO 4.- "Todos los ángulos rectos son iguales entre sí".POSTULADO 5.- "Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y solo una a ella".

14 Afirmar “a // b” implica afirmar que tanto la recta a como la recta b pertenecen a un mismo plano, y que a b = ÆI .15 Ambas síntesis provienen de http://catedu.es/matematicas_mundo/PROBLEMAS/problemas_absurdo.htm .UNMdP–FCEN-LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 5 – Pág. 10

A partir de dicha sucesión, siguiendo un "camino en diagonal", construyamos un número r = 0, a b c ... donde a es una cifra distinta de a1, de 0 y de 9 (para evitar las ambigüedades del tipo 0,999... = 1,000); b es una cifra distinta de b2, de 0 y de 9, y así sucesivamente.

Este número r difiere de r1 en la primera cifra decimal, difiere de r2 en la segunda cifra decimal, y así sucesivamente.

Por lo tanto, números como r no pueden estar en la sucesión, lo cual es contradictorio con la premisa inicial, que afirma que en ella están todos los números reales.

Luego ¡ no es numerable.

(Esta demostración nos será útil cuando veamos el capítulo de Cardinalidad).



DEDUCCIÓN A PARTIR DE PREMISAS EN EL CÁLCULO PROPOSICIONAL (continuación)

Ejemplo 516: otro ejemplo de deducción por reducción al absurdo.

Si veinticinco divisiones son suficientes, entonces el general ganará la batalla. O se suministran tres alas de apoyo aéreo táctico, o el general no ganara la batalla. También, no es cierto que sean suficientes veinticinco divisiones y que se vayan a suministrar tres alas de apoyo aéreo táctico. En consecuencia, no son suficientes veinticinco divisiones.

Simbolicemos de la siguiente manera:

v: veinticinco divisiones son suficientesg: el general ganará la batallaa: se suministran tres alas de apoyo táctico

Las premisas entonces resultan ser v g®

( )a gv aÚ -

- Ù

A partir de las cuales queremos deducir v- .

Nuestra argumentación deductiva podría ser la siguiente:

1. Premisa2. Premisa3. ( ) Premisa4. IP, Principio de Introducción de Premisa5. 1,

v ga g

v avg

®Ú -- Ù

( )

( )

4, Regla de Modus Ponens6. 5, Ley de Doble Negación7. 2, 6, Regla de Silogismo Disyuntivo8. 3, Ley de De Morgan9.

ga

v aa

- -

- Ú -- -

7, Ley de Doble Negación10. 8, 9, Regla de Silogismo Disyuntivo 11. 4, 10, Regla de Introducción de la Conjunción12. F 11, C

vv v-Ù -

ontradicción por Ley de Complementos13. F 4, 12, Principio de Prueba Condicional

4, 13, Regla de Reducción al Absurdov

v®

-\Por tanto, podemos estar seguros de que si los tres supuestos (las tres premisas) fueran verdaderos, con seguridad no serán suficientes veinticinco divisiones.

Nótese que aquí no hemos necesitado utilizar el Principio de Reducción al Absurdo (PRA); la Regla de Reducción al Absurdo fue suficiente, pues para el paso 13 no necesitamos introducir la conjunción de todas las premisas 1 a 3, que es lo que pide aquel Principio; simplemente con la proposición 4 introducida por el Principio de Introducción de Premisa (PIP) y habiendo deducido además la proposición 12, en 13 pudimos aplicar otro principio,

el de Prueba condicional (PPC), que nos permitió deducir v ® F y aplicar directamente la Regla de Reducción al Absurdo ® Þ -A AF , la que nos permitió deducir la conclusión v-. (Esto no quita que también pueda existir otra demostración válida aplicando el PRA; los caminos deductivos no son únicos).

16 Adaptado de Suppes. P. Introducción a la Lógica Simbólica, CECSA, México, 1969, p.69.UNMdP–FCEN–LOGICA–1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 6 – Pág. 1

LA CONSISTENCIA DE LAS PREMISAS

En algunos contextos (suele ser más frecuente en campos disciplinares no matemáticos, como por ejemplo en la lógica que necesita aplicar un abogado), cuando se parte de un conjunto de premisas el interés puede no centrarse en derivar una conclusión a partir de ellas, sino en averiguar si es posible que puedan ser todas verdaderas al mismo tiempo.

Por supuesto, estamos teniendo presente que las premisas pueden ser proposiciones no atómicas, porque si las premisas fueran todas proposiciones atómicas p, q, r, …, t entonces como cada una puede tomar valores de verdad independientemente de las demás, es evidente de inmediato que pueden ser todas verdaderas al mismo tiempo ya que habrá un renglón de la tabla de verdad donde los valores de todas estas premisas (atómicas) es V.

Nos estamos refiriendo al caso general, donde podemos tener por ejemplo tres premisas así: , , ( )v g a g v a® Ú - - Ù cuyos tabla de valores de verdad, por depender de los valores de las proposiciones moleculares v, a y g que las componen (y que no son premisas), puede ser que impidan que exista un renglón donde estas tres premisas tengan, simultáneamente, valores de verdad V.

Cuando un conjunto de premisas goza de la propiedad de que existe alguna valoración de sus proposiciones atómicas que permite que todas ellas sean verdaderas, entonces diremos que el conjunto de premisas es Consistente.

Ejemplo:

aprovechemos el que acabamos de mencionar y construyamos en clase su tabla de verdad:

v g a g- v aÙ v g® a gÚ - ( )v a- Ù

V V V F V V V F

V V F F F V F V

V F V V V F V F

V F F V F F V V

F V V F F V V V

F V F F F V F V

F F V V F V V V

F F F V F V V V

Conclusión: el conjunto de premisas , , ( )v g a g v g® Ú - - Ù es consistente.

Como además se puede ver, a medida que aumenta la cantidad de proposiciones atómicas empleadas por un conjunto de premisas, el uso de tablas de verdad resulta ser un método cada vez menos eficiente para averiguar si este conjunto es, o no, consistente.

Entonces, como el tipo de problemas que surgen en la práctica no tiene la forma “demostrar que un conjunto de premisas es consistente” sino “demostrar que un conjunto de premisas es inconsistente”, como método alternativo se suele acudir a las reglas y leyes lógicas y construir alguna deducción válida que lleve a una contradicción.

UNMdP–FCEN–LOGICA–1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 6 – Pág. 2

Porque si suponer que todas las premisas de un conjunto son verdaderas lleva a una contradicción, es que al menos una de ellas no lo es según lo enuncia la Regla de Reducción al Absurdo e incluso el Principio de Reducción al Absurdo.

En otras palabras, si suponer que todas las premisas de un conjunto son verdaderas nos lleva a una contradicción, entonces en su tabla de verdad no habrá ningún renglón donde todas las premisas sean simultáneamente verdaderas. Con lo que dicho conjunto de premisas resulta no ser consistente, es decir, es inconsistente.

Cabe señalar, casi como curiosidad, que en el contexto de disciplinas donde se presenta este tipo de problemas, donde lo que se pretende es demostrar por medio de argumentaciones deductivas que un conjunto de premisas no es consistente, en realidad no se argumenta buscando deducir una conclusión determinada, sino una conclusión cualquiera a la que sólo se le pide que sea contradictoria, porque así se tendrá derecho, entonces, a declarar inconsistente al conjunto de premisas del que se partió.

(Hablando en lenguaje coloquial, es el método de interrogación donde se trata de que el interrogado “pise el palito”, es decir, se contradiga en algo… de donde se deduce que lo que está exponiendo “no cierra”, o sea, no es consistente).

(El resultado “las premisas son inconsistentes” también puede expresarse como que “las premisas se contradicen entre sí”).

Ejemplo.

Demostrar en clase que el siguiente conjunto de premisas es inconsistente:

1.

2.

3.

p q

r q

r p

Ù -®Ú -

Demostración:

1. Premisa

2. Premisa

3. Premisa

4. 1, Simplificación

5. 1

p q

r q

r p

p

q

Ù -®Ú -

-

, Simplificación

6. 2, 5, Regla de Modus Tollens

7. 3, 6, Silogismo Disyuntivo

4, 7, Regla de Introducción de la 8.

r

p

p p

--Ù -

Conjunción

F 8, Ley de Complementos\

Como partiendo de las premisas y aplicando inferencias deductivas pudimos derivar a una contradicción, podemos afirmar que es imposible que todas las premisas sean simultáneamente verdaderas; es decir, hemos demostrado que el conjunto de premisas es inconsistente.


CÁLCULO DE PREDICADOS

INTRODUCCIÓN

Dediquemos este breve apartado a definir algunos conceptos generales.

Hasta ahora hemos hablado de PROPOSICIONES, refiriéndonos a piezas de información u oraciones que pueden ser verdaderas o falsas:

Cristian consiguió el último CD de Calle 13.El número 2 es primo.La yerba Amanda trae mucho polvillo.

Desde una perspectiva lingüística, estas oraciones constan de un sujeto y un PREDICADO. Éstos consisten en declaraciones relacionadas al sujeto, las que como pueden ser, o no, verdaderas, hacen que la oración o proposición tome ese valor de verdad.

En nuestro ejemplo los predicados son

consiguió el último CD de Calle 13es primotrae mucho polvillo

Considerados así, aisladamente, vemos que estos predicados pueden ser aplicados a una variedad de sujetos pertenecientes a un conjunto que les dé sentido; por ejemplo:

Lorena consiguió el último CD de Calle 13.Nahuel consiguió el último CD de Calle 13.Anahí consiguió el último CD de Calle 13.16 es un número primo5 es un número primo324 es un número primoLa yerba La Tranquera trae mucho polvillo.La yerba Rosamonte trae mucho polvillo.La yerba Taragüí sin palo trae mucho polvillo.

Cada vez que elegimos un sujeto dentro del conjunto que da sentido al PREDICADO, obtenemos una PROPOSICIÓN, que será verdadera o falsa según el sujeto elegido.

(En los ejemplos anteriores, vemos que tales conjuntos son el conjunto de las personas, el conjunto de los números naturales y el conjunto de las marcas de yerba, respectivamente).

El sujeto (es decir, el valor al que aplicamos el predicado), decíamos que podrá ser elegido de un conjunto de referencia A, B, C,… Y en general, cuando no sea imprescindible señalar

a qué conjunto nos referimos, hablaremos de un universo de referencia U.

A los PREDICADOS también los denominaremos ESQUEMAS PROPOSICIONALES en esta asignatura, pues asignándoles valores a las variables del esquema, éstos se transforman en PROPOSICIONES.

(Más adelante podremos ver que nuestros PREDICADOS o ESQUEMAS PROPOSICIONALES responden a la definición de función; o sea, son FUNCIONES PROPOSICIONALES).

Como desde un punto de vista oracional un predicado sólo tiene sentido si se lo aplica a algo (en nuestro caso a un sujeto), entonces para enunciarlos adecuadamente si no conocemos de qué sujeto se trata (es decir, el caso descripto arriba) entonces los enunciamos indicando que el sujeto puede variar; es decir, que es VARIABLE:


x consiguió el último CD de Calle 13.n es un número primoy trae mucho polvillo

A su vez, a las consideraciones que haremos en nuestra asignatura relacionadas con predicados no nos interesará tanto de qué predicado se trata; en esos casos, al predicado le asignaremos una letra mayúscula, e indicaremos entre corchetes a quién se lo aplica.

Por ejemplo, los predicados o esquemas proposicionales mencionados arriba

A[x]P[n]Q[y]

que se leen

A aplicado a x,P aplicado a n,Q aplicado a y,

si los aplicáramos a los valores x = ‘Cristian’, n=2 e y= ‘yerba Amanda’ obtendremos las proposiciones

A[Cristian]P[2]Q[yerba Amanda]

que se leen

A aplicado a ‘Cristian’,P aplicado a 2,Q aplicado a ‘yerba Amanda’

y como

A es ‘consiguió el último CD de Calle 13’,P es ‘es un número primo’, yQ es ‘trae mucho polvillo’,

las proposiciones obtenidas luego de las substituciones son las siguientes:

A[Cristian]: ‘Cristian consiguió el último CD de Calle 13’,P[2]: ‘2 es un número primo’, yQ[yerba Amanda]: ‘la yerba Amanda trae mucho polvillo’.

LÓGICA DE PRIMER ORDEN – CÁLCULO DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN

A la Lógica Proposicional se la denomina “Lógica de Orden Cero” porque trabaja con elementos con valor de verdad (4 es primo; q; si 6 > 3 entonces 6 > 2; p qÙ - ; etc.).

Al Cálculo Proposicional, por lo tanto, se lo denomina “Cálculo de Orden Cero” o “Cálculo Lógico de Orden Cero”.

En cambio, al introducir el concepto de Predicado, surge naturalmente la posibilidad de efectuar substituciones o reemplazos17, y nos encontramos entonces con “Lógicas de Orden Superior”. Nosotros introduciremos aquí la “Lógica de Orden Uno”, que nos permite substituir variables por valores concretos pertenecientes al correspondiente universo de referencia.

17 Si bien no lo veremos aquí, señalemos que en rigor no es lo mismo “substituir” que “reemplazar”.


COMENTARIO: LÓGICAS DE ÓRDENES SUPERIORES

Así como a la Lógica de Proposiciones la denominamos también Lógica de Orden Cero, a nuestra Lógica de Predicados la llamaremos, entonces, Lógica de Orden Uno y a su Cálculo de Predicados, Cálculo de Orden Uno o Cálculo Lógico de Orden Uno.

No veremos en esta asignatura otras Lógicas de orden superior a uno.

Pero para que el alumno pueda tener una adecuada composición de lugar, señalaremos que si trabajáramos, por ejemplo, con un Cálculo de Orden Dos, y si en tal caso tuviéramos una variable, ésta no solamente podría substituírse por un valor concreto perteneciente al referencial (esto es, una Proposición, un elemento del Cálculo de Orden Cero) (para distinguir a este referencial, en este contexto se lo suele llamar “referencial material”), sino que también podría substituírse por un Predicado (perteneciente a un “referencial de predicados”).

Un ejemplo:

(1.) 8 es múltiplo de 2 Es una proposición, o sea, es un elemento del cálculo de orden cero.

(2.) x es múltiplo de 2 Si el referencial de x fuese, digamos, ¥ , entonces éste es un predicado de orden uno, o sea, es un elemento del cálculo de orden uno.

Si substituyéramos x por 8 resultaría (1) el cuales un elemento del cálculo de orden cero.

(3.) Si x es múltiplo de 4 entonces x es múltiplo de 2Declarémoslo otro predicado de orden uno; o sea,es un elemento del cálculo de orden uno.

(4.) w t® Declaremos a esta fórmula como predicado deorden dos. Por lo tantoes un elemento del cálculo de orden dos.

Entonces tendríamos derecho a substituir a w por ejemplo por el predicado de orden uno “x es múltiplo de 4” y a t por el predicado de orden uno “x es múltiplo de 2” y de esta manera nos queda la expresión (3.), que evidentementees un elemento del cálculo de orden uno.

(Éste es sólo un ejemplo; no siempre una substitución disminuye el orden del cálculo).

Otro ejemplo:

Hemos presentado a las expresiones del tipo [ ]X y como esquemas proposicionales (de orden uno), esto es, señalamos que dado el predicado X, si substituyéramos a la variable y por un elemento de su referencial, nos quedará una proposición.

Pero si concibiéramos a la misma expresión como perteneciente a un cálculo de orden dos, entonces estaríamos habilitando, no solamente la substitución de y por un elemento concreto de su referencial, sino también la substitución de X por un predicado particular dentro de un cierto referencial de predicados, o incluso la substitución de y por un predicado, esto es, que el referencial de X incluya predicados.

No proseguiremos con este tema, que pertenece a otras asignaturas. Sólo lo mencionamos para que el alumno pueda ubicarse contextualmente: habiéndonos ya introducido en un Cálculo de Orden Cero, estamos introduciéndonos, hoy, en un Cálculo de de Orden Uno.


LOS PREDICADOS Y LOS VALORES DE VERDAD

Los PREDICADOS o ESQUEMAS PROPOSICIONALES, de por sí, no pueden tomar valores de verdad, mientras que las PROPOSICIONES que se obtienen asignándoles valores SÍ pueden; de hecho, resultarán verdaderas V o falsas F según sea el valor (la “constante”, el elemento proveniente del respectivo universo de referencia) que se les asigne:

Substituyendo x por 2queda P [2]: ‘2 es un número primo’.con lo que v( P[2] ) = V

y substituyendo x por 4queda P [4]: ‘4 es un número primo’con lo que v( P[4] ) = F .

A diferencia de lo que sucede en Gramática, en Lógica se extiende el concepto de PREDICADO a un tipo de expresión más amplia que la del concepto gramatical, porque permite utilizar más de una variable dentro de la oración. Por ejemplo:

x consiguió el último CD de wy trae mucho zr fue con s a la casa de t

que podemos simbolizar, respectivamente, así (notar que ya no podemos usar los símbolos A, P, Q, que correspondían en los ejemplos a predicados que operaban con una única variable cada uno; deberemos utilizar otros, para destacar que en estos ejemplos se está operando con otras cantidades de variables: C y D con dos, E con tres):

C[x, w]D[y, z]E[r, s, t ]

y que, según cuántas variables substituyamos por valores constantes, seguirán siendo PREDICADOS o se transformarán en PROPOSICIONES:

C[x, w] es un esquema proposicional en x y wC[Cristian, w] es un esquema proposicional en wC[x, Calle 13] es un esquema proposicional en xC[Alberto, Manu Chao] es una proposición, que podrá ser verdadera o falsa

Teniendo en cuenta que usamos C para predicar “consiguió el último CD de”, se ve que estamos informando, respectivamente:

x consiguió el último CD de w (esquema proposicional en x y w)Cristian consiguió el último CD de w (esquema proposicional en w)x consiguió el último CD de Calle 13 (esquema proposicional en x)Alberto consiguió el último CD de Manu Chao (proposición)

Cuando un esquema proposicional tiene más de una variable, cada una de ellas tiene su propio conjunto de referencia (aunque en algunos casos podrá ser que algunas o todas las variables de una proposición tengan el mismo):

en C[x, w]: “x consiguió el último CD de w ”x pertenece al conjunto P de personas, y

w pertenece al conjunto M de músicos y grupos musicales.


Cuando un esquema proposicional tiene más de una variable, en determinadas situaciones nos resultará más conveniente escribir P[x1, x2, x3,,,,] en vez de P[x, y, z, …], denominando entonces así: U1, U2, U3,… en vez de U, V, W,… a los respectivos universos de referencia

de cada x i (o simplemente U si todas tuvieran el mismo).

Por razones análogas, a veces ante un conjunto de esquemas proposicionales nos convendrá más denominarlos P1, P2, P3, …, etc. en vez de P, Q, R…, etc.

CÓMO OBTENER PROPOSICIONES A PARTIR DE PREDICADOS

El Cálculo de Predicados se caracteriza, fundamentalmente, porque sus fórmulas son expresiones con un nivel mayor de abstracción que las del Cálculo Proposicional; a diferencia de éstas, sus fórmulas no necesariamente tienen un valor de verdad. De hecho, cuando lo tienen, se debe a que dichas fórmulas son Proposiciones, por lo que podemos decir que el Cálculo de Predicados incluye, como caso particular, al Cálculo Proposicional.

Toda fórmula del Cálculo de Predicados puede ser transformada en una Proposición.

Ejemplo:Supongamos el referencial U = { x / x fue miembro de la Primera Junta } y supongamos el esquema proposicional

[ ]M era masónx x= .

Evidentemente, [ ]M x no es ni verdadero ni falso, porque no es una proposición sino un esquema proposicional.

Pero a partir de este esquema pueden obtenerse una variedad de proposiciones, las que sí tendrán valores de verdad; por ejemplo:

Saavedra era masón.Moreno era masón.Paso era masón.Belgrano era masón.Castelli era masón.Alberti era masón.Matheu era masón.Larrea era masón.Azcuénaga era masón.Alguno de ellos era masón.Todos ellos eran masones.

Para transformar una fórmula del cálculo de predicados en una proposición, básicamente existen dos caminos:

Substituyendo variables Cuantificando variables

SUBSTITUCIÓN DE VARIABLES

Es el método que hemos ejemplificado al principio del capítulo:

Dado un esquema proposicional P[x1, x2, x3,…] y sus respectivos universos de referencia U1,

U2, U3,…, si seleccionamos para cada una de estas variables un valor constante


proveniente de su respectivo universo referencial, por ejemplo los valores a1, a2, a3,…, obtendremos la proposición P[a1, a2, a3,…], la cual, por ser proposición, tendrá un valor de verdad, V o F.

La substitución de variables es, entonces, una forma de crear proposiciones a partir de esquemas proposicionales.

Cuando más adelante veamos “ligaduras”, presentaremos un criterio que deberemos respetar para que la o las substituciones no introduzcan errores en las expresiones.

CUANTIFICACIÓN DE VARIABLES

Introducción

Tomemos, a nivel de ejemplo, el esquema proposicional M[x]: ‘x visitó la ciudad de Mendoza’, cuyo universo referencial es P = { Ignacio, Anahí, Nahuel, Germán, Estela }.

Sabemos que una forma de generar una proposición a partir de este esquema es elegir un elemento concreto del conjunto, y utilizarlo para substituir a la variable x en el esquema proposicional:

M[Germán]: ‘Germán visitó la ciudad de Mendoza’,

con lo que nos queda una proposición, que podrá ser verdadera o falsa.

Pero también podríamos decir que TODOS los elementos del universo de referencia visitaron la ciudad de Mendoza. Y esto también resulta ser una proposición, y por ende será verdadero o falso. En otras palabras, estamos creando una proposición a partir del esquema proposicional.

Y por último podríamos decir que ALGUIEN del universo de referencia visitó la ciudad de Mendoza, sin especificar de quién hablamos. Esto también es o verdadero o falso, y resulta ser una forma más de crear una proposición a partir de un esquema proposicional.

A estas dos últimas operaciones que crean proposiciones a partir de esquemas proposicionales se las denomina, en general, cuantificaciones.

A la primera se la denomina “cuantificación universal” y se la representa utilizando el signo

" ,

y a la segunda “cuantificación existencial” y se la representa utilizando el signo

$ .18

La cuantificación de variables, que más abajo presentaremos formalmente, resulta ser, entonces, otra forma de crear proposiciones a partir de esquemas proposicionales.

18 En algunos contextos resulta útil usar un cuantificador que presenta cierta analogía con éste, el cuantificador “ !∃ ”, cuyo

significado preciso es “existe un y sólo un”. Por ejemplo, ( ) [ ]!n P n$ significa “existe un único número primo”.UNMdP–FCEN–LOGICA–1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 6 – Pág. 9

Ejemplo introductorio previo 1:

Refiriéndonos a los mismos ejemplos que habíamos introducido arriba

x consiguió el último CD de Calle 13.n es un número primola yerba y trae mucho polvillo

que habíamos representado respectivamente con [ ]A x , [ ]P n y [ ]Q y ,las siguientes expresiones19

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]

A : todos consiguieron el último CD de Calle 13

P : existe al menos un número primo

Q : no todas las yerbas traen mucho polvillo

Q : no existe ni una yerba que traiga mucho polvillo

x x

n n

y y

y y

"$

- "- $

resultan ser proposiciones, o sea, tienen valor de verdad; por ejemplo, v ( ) [ ]( ) Pn n$ = V.

Ejemplo introductorio previo 2:

Refiriéndonos al ejemplo que habíamos introducido arribax consiguió el último CD de w

que podemos simbolizar como[ ]C ,x w

las siguientes resultan ser, respectivamente:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )

C , un esquema proposicional en y

w C , un esquema proposicional en

x C , un esquema proposicional en

x C , No

x w x w

x w x

x w w

x

""" [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

te va a gustar una proposición

x C , No te va a gustar una proposición

x C , un esquema proposicional en

w C , una proposición

w C , u

x

x w w

x x w

x x w

$$$ "" $( )( ) [ ]

na proposición

w C , una proposición x x w$ "

Enúncieselas en el lenguaje original, sin simbolizar. Préstese atención especial a las dos últimas.

19 Como ya hemos mencionado, la representación simbólica en la matemática, y muy especialmente en la lógica, no goza de demasiada uniformidad; y las cuantificaciones no son la excepción. El alumno probablemente encuentre un mismo concepto simbolizado de diversas maneras según sea el autor que esté leyendo; podrá encontrar cuantificaciones entre

paréntesis o sin ellos: [ ] Px x" o ( ) [ ]Px x" ; a veces (en libros antiguos) por restricciones tipográficas encontrará que al

universal se lo representa directamente sin símbolo, así: ( ) [ ]Px x y al existencial con la E mayúscula, así: [ ]E Px x o así:

( ) [ ]E Px x . Y también, particularmente con el existencial, encontrará que es corriente el uso de la barra “/” como

abreviatura de “tal que”, así: [ ]/ Px x$ o así: ( ) [ ]/ Px x$ , facilitándose la lectura de la expresión de esta manera: “existe al

menos un x tal que P de x”. Todas estas expresiones son respectivamente equivalentes a las dos presentadas, ( )x" y ( )x$ .UNMdP–FCEN–LOGICA–1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 6 – Pág. 10

CÁLCULO DE PREDICADOS (continuación)

VARIABLES LIBRES Y LIGADASINCIDENCIAS LIBRES Y LIGADAS DE UNA VARIABLEALCANCE DE UN CUANTIFICADOR

En un esquema proposicional P[x] de una variable x, ésta puede tomar cualquier valor dentro de su universo referencial. Por tal razón, se dice que x es una variable libre.

Al cuantificar un esquema proposicional en una variable, éste se transforma en proposición, por lo cual el rol de la variable deja de ser libre ya que pasa a formar parte de una afirmación que podrá ser verdadera o falsa. Por esta razón, a las variables cuantificadas se las llama variables ligadas. En :M[ ]x x" la variable x está ligada.

En una expresión sencilla como la anterior no cabe duda de que la variable x está ligada.

Pero para eliminar ambigüedades, como por ejemplo cuando uno se pregunta si en ( ) [ ] [ ]M Nx x x" Ú la aparición de la variable x en [ ]N x está dentro o fuera del alcance del cuantificador, se define que el “alcance del cuantificador en una fórmula” es el propio cuantificador junto con la fórmula mínima20 que sigue al cuantificador.

Y como la fórmula [ ] [ ]M Nx xÚ no es mínima pues es la disyunción de dos fórmulas,

[ ] [ ]M e Nx x , entonces el alcance del cuantificador es ( ) [ ]Mx x" ; y por la misma razón, la

variable x en [ ]N x no está cuantificada, pues está fuera del alcance de ese cuantificador.

Ejemplo:

Siendo [ ]P x : x es par, y [ ]T x : x es múltiplo de tres, entonces

( ) [ ] [ ]P Tx x x$ Ù : Existe al menos un número par, y además x es múltiplo de tres

( ) [ ] [ ]( )P Tx x x$ Ù : Existe al menos un número par, que además es múltiplo de tres

( ) [ ] ( ) [ ]P Tx x x x$ Ù $ : Existe al menos un número par, y existe al menos un número

que es múlt de tres

( ) [ ] ( ) [ ]P Tx x y y$ Ù $ : Existe al menos un número par, y existe al menos un número que es múlt de tres

Observemos que estamos hablando de la misma variable x, la que en el primero de estos dos casos, ( ) [ ] [ ]P Tx x x$ Ù , aparece primero dentro del alcance del cuantificador (en [ ]P x

está ligada) y en su segunda aparición aparece fuera (en [ ]T x está libre).

20 Lo que aquí llamamos fórmula, en el contexto de la lógica formal es —como en su momento señalamos— una “fórmula bien formada” fbf, la que o bien es atómica, o bien está construída recursivamente en algún lenguaje 20 bis a partir de otras fbfs negándolas o vinculándolas con conectivos binarios (conjunción, disyunción, condicional, bicondicional). Aquí llamaremos “fórmula mínima” a una fbf que no esté formada por conjunción, disyunción, condicional o bicondicional de

dos fbfs. ( ) [ ] [ ]( ), ( ), , , G , Hp q r s t w x y z- - Ú Ù - - Ú son cinco ejemplos de fórmulas mínimas, mientras que

( ) ( ) [ ] [ ], ( ), , G , Hq r p s r s t u u v x y z- Ú ® ® - Ù - ® Ú - ÚÙ son cuatro ejemplos de fórmulas que no son mínimas.

20 bis El conjunto de símbolos (lenguaje) de un cálculo de predicados tiene, por supuesto, más símbolos que el de un cálculo proposicional como el que presentamos en las primeras clases; entre otros incluye cuantificadores, letras para predicados, distingue entre letras para constantes y letras para variables, etc; y requiere también más reglas para construir fbfs.

UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 7 – Pág. 1

El ejemplo nos permite ver que una misma variable puede ser declarada tanto “variable ligada” como “variable libre” en una misma expresión. En nuestra expresión, la variable x es ligada y también es libre. Esta afirmación es correcta; si prestamos atención a la forma en que introdujimos informalmente las nociones de “variable ligada” y “variable libre”, podemos ver que “x es una variable ligada” y “x es una variable libre” no se contradicen.

Para evitar ambigüedades, entonces, diferenciaremos entre la variable en sí y su aparición en algún lugar en particular de una expresión. A esta aparición la llamaremos incidencia o instancia de la variable.

Habiendo introducido esta última noción, podemos entonces definir:

una incidencia (o instancia) de una variable diremos que es “incidencia libre en una fórmula” o bien “incidencia ligada en una fórmula”, según esté o no en el alcance de un cuantificador (está claro que no puede suceder que una incidencia sea ambas cosas a la vez);

una variable se dice “variable libre en una fórmula” si y sólo si al menos una de sus incidencias es libre en dicha fórmula;

una variable se dice “variable ligada un una fórmula” si y sólo si al menos una de sus incidencias es ligada en dicha fórmula.

Nótese entonces que estas definiciones permiten que una variable pueda ser tanto libre como ligada en una misma fórmula, pero cualquiera de sus incidencias será o libre o ligada en dicha fórmula, pero no ambas.

Ejemplo:

En ( )( )( )( )2 0 2 2 5y y y y y- = Ú $ ¹ Ù ¹ - Ù < la variable y es tanto libre como ligada, pero

su primera y quinta incidencias son libres mientras que la segunda, tercera y cuarta son ligadas.

NOTAR que en cálculo de predicados, un esquema proposicional cuantificado de tal manera que no tenga variables libres, resulta ser una proposición.

PRECAUCIONES QUE NO HAY QUE OBVIAR AL TRABAJAR CON CUANTIFICADORES

El concepto de “substitución de una variable por una constante” es más delicado de lo que parece a primera vista.

Supongamos tener el esquema proposicional [ ]P x y sea aÎU un elemento del universal de referencia de P. Hasta ahora, venimos diciendo que si substituímos a la variable x por la constante a, dicho esquema proposicional queda transformado en una proposición.

PERO es necesario tomar un recaudo adicional, que a primera vista puede pasar desapercibido: como la expresión [ ]P x podría referirse a una fórmula cuantificada, donde x

tenga al menos una incidencia libre, como ser si [ ] ( )P x y y x" £º , expresión que está afirmando que x es el máximo del referencial, si substituyéramos a la variable x por la constante a, dicho esquema proposicional queda transformado en la proposición [ ] ( )P a y y a" £º ; y afirmar que ( )y y a" £ es afirmar que la constante a es el máximo de

los elementos del referencial, o sea, estamos ante una proposición (que podrá ser verdadera o falsa, obvio; no viene al caso).


Ahora… ¿y si hubiéramos querido substituir en [ ]P x a la variable x por la constante y? Si

hiciéramos semejante cosa, nos quedaría que ( )y y y" £ , y esta expresión… ¡ya no significa que y sea máximo!

¿Qué sucedió en este último caso?

Sucedió que, para substituir una instancia libre de una variable (evidentemente las únicas que pueden substituirse, señalemos de paso), hemos elegido una constante que, al ser substituída, resultó quedar como variable ligada.

Precisamente éste es el problema que hay que evitar.

Y se evita tomando el siguiente recaudo:

Para realizar una substitución de una variable por una constante, como primer requisito la variable a ser substituida debe ser una instancia libre, y como segundo requisito, la constante que la substituirá, una vez hecha la substitución, no debe quedar ligada; debe seguir siendo una instanciación libre.

(Si se lee con detenimiento, se podrá observar que al declarar el Principio de Sustitución de Fórmulas Atómicas se tomó una precaución similar).

No ahondaremos sobre este tema pues encontraríamos una cantidad inesperada de derivaciones; simplemente respetaremos el recaudo que acabamos de definir, con lo que estaremos seguros de que nuestras substituciones no generarán contradicciones.

Detalles adicionales sobre cuantificadores en esquemas de una variable

La cuantificación universal se puede simbolizar de diversas21 maneras muy parecidas entre sí; por ejemplo,

" Îx U: P[x]

(" Îx U) P[x]

Con xÎU, x" P[x]

Con xÎU, x" : P[x]

Con xÎU, ( )x" P[x]

o, si no hay lugar a dudas de cuál es el universo de referencia, simplemente así:

x" P[x]

:"x P[x]

( )"x P[x]

Ejemplos::"x x vive en Mar del Plata

:"x (x vive en Mar del Plata ® x vive en la Argentina)

:"x (x vive en Mar del Plata ® x vive en la República Oriental del Uruguay)

21 Ya mencionábamos en la clase anterior que en ediciones con limitaciones tipográficas, suelen utilizarse otras notaciones que aprovechan la simbología disponible; por ejemplo, “p o q” por Úp q , “p&q” por Ùp q , (x) por "x , (Ex) por $x , etc.


:"x x vive en Mar del Plata ® x vive en la República Oriental del Uruguay

:" Î¥n n es primo

:" Î¥n (n es primo ® n+1 no es primo)

:" Î¥n (n es primo ® ( 2¹ ®n n+1 no es primo))

:" Î¥n n es primo ® ( 2¹ ®n n+1 no es primo)

Lo mismo sucede con la cuantificación existencial: también se la suele simbolizar de diversas maneras muy parecidas entre sí:

$ Îx U: P[x]

$ Îx U / P[x]

($ Îx U) P[x]

Con xÎU, x$ P[x]

Con xÎU, x$ : P[x]

Con xÎU, x$ / P[x]

Con xÎU, ( )x$ P[x]

Y si no hubiera dudas sobre cuál es el universo de referencia, así:

$x P[x]

$x : P[x]

$x / P[x]

( )x$ P[x]Ejemplos:

:$x x es de Banfield

: $ Î¥n n es primo

: 2$ Î Î¥ ¥n n

: ( 2 ( 1) 2 )$ Î Î Ù + Î¥ ¥ ¥n n n

Ejercicio en clase:

Tomemos como universo referencial el conjunto de números reales ¡ , conjunto numérico que conocemos ya desde el secundario (y, además, aprendimos a representarlo gráficamente por medio de una recta, la que considerada como conjunto de puntos y usada para este fin, se la llama “recta real”).

Considerando los siguientes esquemas proposicionales,

2 2 2

2

2

[ ] : ( ) 2

[ ] :

[ ] : 4

R x a x a ax x

S x x x

T x x

+ = + +

<

=

discutamos el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

[2] : [ ] : [ ]R x S x x T x" $


Cálculo con expresiones cuantificadas

Presentaremos los siguientes conceptos detalladamente para el caso de expresiones cuantificadas con una variable. Por razones de brevedad, la generalización para varias variables en algunos casos la presentaremos y en otros la asumiremos tácitamente.

Introducción a la Implicación y Equivalencia Lógicas en este cálculo

Así como venimos utilizando los símbolos A, B, C, … para representar fórmulas que son proposiciones (atómicas o moleculares), también los utilizaremos para representar fórmulas que sean, o incluyan, predicados.

Recordemos también que, dado un esquema proposicional [ ]P x , éste puede tener más de un referencial si bien el predicado P lo condiciona y, por tanto, no cualquier conjunto puede ser referencial del mismo.Recordemos también que, habiéndose fijado un referencial, los valores que pueden reemplazar a la variable x pueden ser varios, pero no cualesquiera; deben ser elementos del referencial fijado.Dicho esto, señalemos que ante el esquema proposicional [ ]P x podemos encontrarnos con una variedad de referenciales y una variedad de valores de la variable.

Implicación Lógica

El concepto de Implicación Lógica sigue vigente en el Cálculo de Predicados.Se lo define de la siguiente manera.Supongamos que las fórmulas A y B son predicados de una variable.

Entonces diremos que ÞA B

cuando ®A B para todo referencial posible

y para todo elemento perteneciente a cada referencial.

Ejemplo:

Sea ( ) es múltiplo de 4x xº "A y sea ( ) es múltiplo de 2x xº "B .

Entonces podemos decir que ÞA B .

Demostración:

Para cualquier referencial apto para A y B, que resultan ser conjuntos numéricos, nunca habrá un valor de x que sea múltiplo de 4 pero no lo sea de 2.

Equivalencia Lógica

De manera análoga, diremos queÛA B

cuando «A B para todo referencial posible

y para todo elemento perteneciente a cada referencial.


Leyes de De Morgan para expresiones cuantificadas

En este caso, dado que lo que puede estar, o no, negado es tanto el cuantificador como el predicado, los casos resultan ser cuatro.

Siguen siendo Leyes pues siguen siendo Equivalencias Lógicas.

Enunciémoslas, y demostremos alguna de ellas:

( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

a) P P

b) P P

c) P P

d) P P

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

" Û - $ -$ Û - " -

- " Û $ -- $ Û " -

Demostremos, por ejemplo, (c):

Para el caso en que el referencial no tenga elementos (sea vacío), más adelante, cuando veamos Conjuntos, quedará en claro que la demostración es trivial.

Supongamos entonces que, elegido un referencial cualquiera, éste tiene elementos, por ejemplo { }1 2, , , nx x xK .

Entonces

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]

( ) [ ]

1 2

1 2

P por definición

por De Morgan

P por definición

n

n

x x P x P x P x

P x P x P x

x x

- " Û - Ù Ù Ù

Û - Ú - Ú Ú -Û $ -

K

K generalizado

A las dos últimas, (c) y (d), también se las conoce como

Leyes de negación de cuantificaciones en esquemas con una variable.

Ley de Eliminación de la Negación del Cuantificador Universal:( ) ( )P[ ] P[ ]x x x x- " Û $ -

Ley de Eliminación de la Negación del Cuantificador Existencial:( ) ( )P[ ] P[ ]x x x x- $ Û " -

las que, además de ser fáciles de demostrar como hemos visto, expresan conceptos intuitivamente evidentes: (1°) que si dado un universo referencial afirmamos que no a todos sus elementos les sucede P, eso es equivalente a decir que existe en dicho conjunto al menos un elemento al que no le sucede P, y (2°) que si en el conjunto universal se afirma que no existe elemento alguno al que le suceda P, ello equivale a afirmar que a cualquier elemento que pertenezca al universo referencial le sucederá no P.


Introducción y Eliminación de Cuantificadores en esquemas de una variable

Las Reglas y Leyes Lógicas presentadas en el Cálculo Proposicional (lógica de orden cero) siguen siendo de aplicación en nuestro Cálculo de Predicados (lógica de orden uno), siendo que éste es una extensión del primero.

Pero existen además otras Reglas y Leyes que son propias del Cálculo de Predicados, pues es éste el ámbito donde se las necesita. Veamos dos Reglas Lógicas15 22 las que, junto con las leyes que acabamos de presentar, nos brindan elementos suficientes para resolver la mayoría de los problemas de la inferencia deductiva del Cálculo de Predicados.

Regla de Introducción del Cuantificador Existencial

Si contando con un esquema proposicional [ ]P x con universo de referencia U se cuenta

con la proposición [ ]P a , es válido deducir que existe un elemento x en U tal que [ ]P x :

[ ]P a xÞ $ Î U [ ]/ P x

donde la substitución de a por x no es necesario que se haga en todas las instancias de x.

Demostración:

Sea [ ]P a verdadera. Siendo verdadera [ ]P a resulta que aÎU , por lo cual éste no es

vacío. Al no serlo, se lo puede escribir como { }1 2 3, , ,...a a a=U .

Por aplicación reiterada de la Regla de Adición, inferimos que

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3P P P P iia a a aÚ Ú Ú ºÚK

es una proposición verdadera, es decir, [ ] / Px x$ ÎU es verdadera.

Ejemplos:

[ ]P 5 : 5 2 x> Þ $ ÎU / 2x >

[ ]Q : c c A B xÎ Þ $ ÎI U / x A BÎ I

[ ]R 24 : 24 6 24 8 x· ·æ ö= Ù = Þ $ Îç ÷

è øU / 6 8x x

· ·æ ö= Ù =ç ÷è ø

[ ]R 24 : 24 6 24 8 x· ·æ ö= Ù = Þ $ Îç ÷

è øU / 6 24 8x

· ·æ ö= Ù =ç ÷è ø

22 El edificio de la Lógica puede construirse siguiendo una multiplicidad de caminos; algunos de ellos nos llevan a resultados semejantes, y otros nos conducen a distintas lógicas. Si lo que construímos es una Lógica de Predicados y lo hacemos a partir de los Axiomas de Bertrand Russell, las “Leyes” de eliminación de la negación en cuantificaciones son en realidad Definiciones; si la construyéramos ampliando dichos Axiomas con las Reglas de Lukasiewikz, las “Leyes” presentadas arriba resultan ser teoremas demostrables; si la construímos sin axiomas, esto es, con “deducción natural”, toman la forma de Leyes, las cuales, si bien pueden ser demostradas, no lo haremos en esta asignatura; las aceptaremos a partir de su enunciado, dando por sentado que en realidad están demostradas. Es lo que haremos con las Reglas de Introducción y Eliminación de Cuantificadores que presentamos aquí, las cuales son dos de las cuatro reglas de este tipo que en realidad existen (introducción y eliminación tanto de cuantificadores existenciales como de universales). A las otras dos no las presentaremos porque la complejidad de los requisitos necesarios para su aplicación excede esta introducción.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 7 – Pág. 7

Regla de Eliminación del Cuantificador Universal

Si siendo x un elemento genérico del universo de referencia U se tienen las proposiciones aÎU y x" [ ]: P x , es válido deducir [ ]P a :

aÎU , x" ÎU [ ] [ ]: P Px aÞ

La premisa aÎU es necesaria debido a que, como es correcto aplicar el cuantificador universal " a cualquier conjunto, incluso al conjunto vacío (como por ejemplo en la proposición verdadera : x x x" ÎÆ ¹ ) si pudiéramos aplicar la eliminación del cuantificador universal en cuantificaciones como ésta sin saber previamente si existe algún elemento en el conjunto referencial, podríamos llegar a conclusiones contradictorias, como en este caso, en que concluiríamos en que a a¹ , que significa que existe cierto elemento a que es distinto de sí mismo. Llegamos a esta contradicción porque no hemos tomado la precaución de fijarnos si en U había al menos algún elemento —que llamamos genéricamente a— o bien estaba vacío.

Demostración:

Como aÎU , éste no es vacío. Al no serlo, se lo puede escribir como { }1 2 3, , ,...a a a=U .

Como [ ] [ ]: P P iix x a" Î ÙU B , aplicando reiteradamente la Regla de Simplificación en

[ ] [ ] [ ]1 2 3P P Pa a aÙ Ù ÙK , deducimos que es verdad [ ]P a .


CÁLCULO DE PREDICADOS (continuación)

Cuantificadores en esquemas de una variable (continuación)

Comencemos con un ejercicio:

Demostrar la siguiente inferencia deductiva, en la que aparecen cuantificaciones:

1. Todos los hombres son mortales2. Sócrates es hombre.·. Sócrates es mortal

Solución

Primero simbolicemos:[ ][ ]

[ ] [ ]( )

H : es hombre

M : es mortal

(H y M tienen el mismo referencial: )

: Sócrates

x x

x x

x x

s s ÎU

U

Ahora infiramos deductivamente en forma simbólica:

( ) [ ] [ ]( )[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )( )[ ] [ ]( )

[ ] [ ]( )

1. H M Premisa

2. H Premisa

3. H M Principio de Introducción de Premisa

4. H M 3, Ley de Doble Negación

5. H M 4, Ley de De Morgan


7. H M 6,

x x x

s

s s

s s

s s

s s

s s

" ®

Ù -

- - Ù -

- - Ú - -

- - Ú

- ®

( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( )

[ ] [ ]( )F

Definición de Condicional

8. H M 7,

9. H M 8, Ley de Negación del Universal

10. 1, 9, Regla de Conjunción

11. H M 3, 10, Principio de Reducción al Ab

x x x

x x x

s s

$ - ®

- " ®

- Ù -

Regla de Introducción del Existencial

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

[ ]( )[ ]

surdo

12. H M 11, Ley de De Morgan


14. H 2, Ley de Doble Negación

M 13, 14, Regla de Silogismo Disyuntivo

s s

s s

s

s

- Ú - -

- Ú

- -

\

Otra solución, señalada en clase por alumnos del 1er Cuatrimestre de 2016:

( ) [ ] [ ]( )[ ]

[ ] [ ][ ]

1. H M Premisa2. H Premisa3. Definición de Referencial de un Predicado4. H M 3, 1,

M 4, 2, Modus Ponens

x x xs

ss ss

" ®

Î®

\Regla de Eliminación del Universal

U

UNMdP – FCEN – LOGICA – 1ºC’16 – Prof Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 8 – Pág. 1

La Lógica Aristotélica

Históricamente Aristóteles puede considerarse el padre de la lógica, como es bien sabido. Durante más de dos mil años se estudió la lógica desde el enfoque que propuso, predicando hechos a partir de la experiencia concreta, y recién en este último par de siglos se logró lentamente desarrollar un enfoque que superara esta perspectiva (que escondía enormes limitaciones ocultas tras las ambigüedades generadas por el lenguaje coloquial) despegándose del concepto de valor de verdad a priori y desarrollando otro enfoque totalmente formal que facilita y potencia enormemente el cálculo lógico.

Nuestro punto de partida en esta asignatura, dada la coyuntura que está atravesando el contexto de nuestra educación media, debe ser ubicada cerca del punto de partida aristotélico, acercándonos por ejemplo al concepto de conjunto a través de su definición por propiedades; y está bien que comencemos así porque el desarrollo del razonamiento abstracto que los alumnos hace pocas décadas experimentaban en la segunda mitad del ciclo medio, hoy por hoy recién lo suelen completar ya iniciados sus estudios superiores, y negar esta realidad es cerrar caminos más que allanarlos. Pero que se parta de este nivel no significa de ninguna manera quedarse en él, sino por el contrario, debe hacerse alentando una rápida toma de conciencia del propio proceso constructivo de los conceptos abstractos a fin de superar las construcciones y moverse con fluidez en el plano formal.

Es por esta razón que aquí se hace una breve referencia a la lógica aristotélica tradicional: se lo hace para ubicarla en un contexto donde se la pueda visualizar en su real envergadura, y comprender por ejemplo que los “silogismos categóricos” que en la visión de Aristóteles eran centrales, sin pretender quitarles su significación histórica éstos resultan ser no más que un conjunto de breves inferencias deductivas del actual cálculo de predicados de primer orden con una variable, que se caracterizan simplemente por tener todos ellos una forma parecida, y que merecieron la atención de Aristóteles debido a que son de uso sumamente corriente.

Las ‘Leyes de Oposición de la Lógica Aristotélica’

Aristóteles describió cuatro Leyes que consideró básicas para su Lógica. Procederemos a enunciarlas con el enfoque con que hemos presentado la asignatura, estas Leyes pueden ser demostradas aplicando las Reglas y Leyes que hemos introducido previamente, o sea, en forma de equivalencias lógicas entre esquemas proposicionales de una variable:

Dado un universo referencial U¹ Æ entonces se puede demostrar que:

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )

1. P Q P Q

2. P Q P Q

3. P Q P Q

4. P Q P Q

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

" ® Û - $ Ù -

" ® - Û - $ Ù

$ Ù Û - " ® -

$ Ù - Û - " ®

Reglas que, aplicadas al ejemplo donde el referencial es U: el conjunto de los animales:

[ ][ ]

P : es una oveja

Q : es blanca,

x x

x x

nos brindan las siguientes proposiciones lógicamente equivalentes entre sí:


Todo animal, si es oveja entonces es blanco No existe animal que sea una oveja y no sea blanco

Todo animal, si es oveja no es blanco No existe animal que sea una oveja y sea blanco

Existe al menos un a

Û

Û

nimal que es oveja y es blanco No todo animal, si es oveja entonces no es blanco

Existe al menos un animal que es oveja y no es blanco No todo animal, si es oveja entonces es blanco

Û

Û

las que se podrían enunciar más coloquialmente, resignando precisión, así:

Todas las ovejas son blancas No existen ovejas no blancas

Todas las ovejas son no blancas No existen ovejas blancas

Existe al menos una oveja blanca No todas las ovejas son no blancas

Existe al menos

Û

Û

Û

una oveja que es no blanca No toda oveja es blancaÛ

y que en el contexto de la lógica aristotélica se suelen enunciar más brevemente como

Todas las ovejas son blancas No existen ovejas no blancas

Todas las ovejas son no blancas No existen ovejas blancas

Alguna oveja es blanca No todas las ovejas son no blancas

Alguna oveja es no blanca

Û

Û

Û

No toda oveja es blancaÛ

Demostrémoslas.

Primera Ley de Oposición Aristotélica:

( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( )( )( ) [ ]( ) [ ]( )( )

)

1. P Q Premisa

2. P Q 1, Ley de Definición del condicional

3. P Q 2, Ley de Doble negación

4. P Q 3, Ley de De Morgan

x x x

x x x

x x x

x x x

Þ

" ®

" - Ú

" - - - Ú

" - - - Ù -

( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( )

5. P Q 4, Ley de Doble negación

P Q 5, Ley de Negación del Existencial

)

x x x

x x x

" - Ù -

- $ Ù -

Ü

\

Es válido también recorrer el camino inverso en la argumentación anterior, pues todos los pasos consisten en equivalencias lógicas (en todos los pasos se aplicaron Leyes).

Por lo tanto, es más corriente y práctico desarrollar la demostración así:

Primera Ley de Oposición Aristotélica

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ]( )( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ] [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

P Q P Q Def del condicional

P Q Doble negación

P Q De Morgan

P Q Doble Negación

P Q Negación de

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

" ® Û " - Ú

é ùÛ " - - - Úë ûé ùÛ " - - - Ù -ë û

é ùÛ " - Ù -ë ûÛ - $ Ù - l Existencial

Las otras tres leyes se demuestran de manera análoga.


Los ‘Silogismos Categóricos’ de Aristóteles

Aristóteles había asignado un lugar central en su Lógica a algunas formas de argumentación cuyo real mérito es que resultan ser de aplicación relativamente corriente, pero que como dijimos no son más que unas pocas aplicaciones de nuestras reglas y leyes de argumentación deductiva, y que responden a un patrón de forma sencilla con algunas variantes entre sí.

Un ejemplo de ‘silogismo categórico’ (específicamente, el 1ª-AII) es el siguiente:

1. Todos los marplatenses son bonaerenses

2. Algunos argentinos son marplatenses

\Algunos argentinos son bonaerenses.

Presentaremos a continuación, de la manera más esquemática posible, todos los silogismos categóricos que resultan ser deductivamente válidos.

Todos tienen la forma de una argumentación deductiva con dos premisas y una conclusión.

Las premisas son proposiciones cuyas fórmulas son expresiones cuantificadas sencillas en las que se utilizan dos de tres predicados cualesquiera, que llamaremos S[x], M[x] y P[x] o sus negaciones, y donde la variable x pertenece a un mismo universo referencial no vacío

¹ ÆU .

Por ejemplo, en (1.) podemos representar a “Todos los marplatenses son bonaerenses” con

“ ( ) [ ] [ ]( )M Px x x" ® ” donde M[x]: x es marplatense y P[x]: x es bonaerense.

Para indicar cuáles dos se usan y en qué orden, lo abreviaremos indicando las iniciales de sus predicados; para cada premisa se usa, entonces, una de las siguientes combinaciones ‘M con P’ (MP), ‘S con M’ (SM), ‘P con M’ (PM) y ‘M con S’ (MS). La conclusión es otra proposición cuya fórmula es, también, una expresión cuantificada sencilla en la que interviene el tercer predicado aún no utilizado junto con uno de los ya usados, y que siempre resulta ser ‘S con P’ (SP).

En el ejemplo, la conclusión (\) “Algunos argentinos son bonaerenses” queda así: “

( ) [ ] [ ]( )S Px x x$ Ù ” donde, evidentemente, S[x]: x es argentino.

Como cada silogismo categórico tiene dos premisas y una conclusión, según lo anterior nos encontraremos con seis proposiciones que quedan totalmente determinadas si indicamos sus iniciales. Hay cuatro maneras de usarlas, y a cada una la llamaremos “figura”.

Las figuras entonces son Primera figura, MP, SM \ SP (abreviada así: MP SM SP)

Segunda figura PM, SM \ SP (abreviada así: PM SM SP)

Tercera figura MP, MS \ SP (abreviada así: MP MS SP)

Cuarta figura PM, MS \ SP (abreviada así: PM MS SP)Decíamos también que las fórmulas intervinientes son expresiones cuantificadas sencillas en las que se usan los predicados S[x], M[x] y P[x] o sus negaciones. Estas expresiones, a su vez, también tienen cuatro maneras de presentarse, y a cada una la llamaremos “modo”.

Los modos entonces son Modo A Todos los 1 son 2Modo E Todos los 1 son no 2Modo I Algún 1 es 2Modo O Algún 1 es no 2

Y combinando los modos con las figuras podremos construir 64 combinaciones diferentes.


Ejemplos:Todos los M son P, todos los S son M, luego todos los S son P.

Algunos M son P, algunos S son M, luego todos los S son no P.

Algún P es no M, todos los M son no S, luego algún S es P.

(Ya a nivel intuitivo se puede detectar que el primer ejemplo es una inferencia deductivamente válida, cualesquiera sean S, M y P, mientras que el segundo no lo es; ¿y el tercero?).

De estas 64 combinaciones, hay 19 de ellas que, utilizando recursos que ya hemos estudiado previamente, se puede demostrar que constituyen inferencias deductivas válidas. Nótese que son deducciones válidas en virtud de su forma, más allá de su significado.

Estas diecinueve argumentaciones deductivas válidas son las siguientes:

Silogismos categóricos de la primera figura, MP SM SP:AAA Todos los M son P, todos los S son M, luego todos los S son P 23 24.

EAE Todos los M son no P, todos los S son M, luego todos los S son no P25.

AII Todos los M son P, algún S es M, luego algún S es P.

EIO Todos los M son no P, algún S es M, luego algún S es no P.

Silogismos categóricos de la segunda figura, PM SM SP:EAE Todos los P son no M, todos los S son M, luego todos los S son no P.

AEE Todos los P son M, todos los S son no M, luego todos los S son no P.

EIO Todos los P son no M, algún S es M, luego algún S es no P.

AOO Todos los P son M, algún S es no M, luego algún S es no P

Silogismos categóricos de la tercera figura, MP MS SP:AAI Todos los M son P, todos los M son S, luego algún S es P26.

IAI Algún M es P, todos los M son S, luego algún S es P.

AII Todos los M son P, algún M es S, luego algún S es P.

EAO Todos los M son no P, todos los M son S, luego algún S es no P.

OAO Algún M es no P, todos los M son S, luego algún S es no P.

EIO Todos los M son no P, algún M es S, luego algún S es no P.

Silogimos categóricos de la cuarta figura, PM MS SP:

23 Ejemplo: Todas las sales de sodio son solubles en agua. Todos los jabones son sales de sodio. Por lo tanto, todos los jabones son solubles en agua.24 Otro ejemplo: no podemos afirmar que el valor de verdad de la conclusión de la siguiente argumentación –que también responde al silogismo categórico 1ª-AAA– sea V: “Todos los lípidos son solubles en agua. Todas las grasas poliinsaturadas son lípidos. Por lo tanto, todas las grasas poliinsaturadas son solubles en agua”, pues para poder hacerlo, necesitaríamos que ambas premisas sean verdaderas, y no es éste nuestro caso (es sabido que no todos los lípidos son solubles en agua). Esto no significa que la conclusión sea falsa; simplemente, significa que no podemos concluir nada al no ser ambas premisas simultáneamente verdaderas. Las grasas poliinsaturadas podrán, o no, ser solubles en agua; pero si lo fueran, eso no surge de las premisas por más que la argumentación sea perfectamente válida, pues –ya lo sabemos- para que podamos garantizar que se deduce una conclusión verdadera no es suficiente con que la argumentación sea válida, también será necesario que las premisas sean todas verdaderas. Las grasas poliinsaturadas ¿son solubles en agua?25 Ejemplo desarrollado en clase por los alumnos del 1er Cuatr. 2014: para M[x]: “x es un ave”, S[x]: “x es un pato”, P[x]: “x es un cuadrúpedo” nos queda el silogismo “Todas las aves son no cuadrúpedos, todos los patos son aves, por lo tanto todos los patos son no cuadrúpedos”. Siendo válida la argumentación, como las premisas son ambas verdaderas, la conclusión también es verdadera.26 Otro ejemplo desarrollado en clase por los alumnos del 1er Cuatr. 2014: para M[x]: “x es un rectángulo”, S[x]: “x es un polígono”, P[x]: “x es un cuadrilátero” nos queda “Todos los rectángulos son cuadriláteros, todos los rectángulos son polígonos, entonces algunos polígonos son cuadriláteros”. Siendo válida la argumentación (pues es uno de los 19 silogismos categóricos de Aristóteles), como las premisas son ambas verdaderas, la conclusión necesariamente será verdadera.


AAI Todos los P son M, todos los M son S, luego algún S es P.

AEE Todos los P son M, todos los M son no S, luego todos los S son no P.

IAI Algún P es M, todos los M son S, luego algún S es P.

EAO Todos los P son no M, todos los M son S, luego algún S es no P.

EIO Todos los P son no M, algún M es S, luego algún S es no P.

Ejercicio:

Representar simbólicamente los diecinueve silogismos categóricos válidos.

Ejemplos:

Primera figura, AAA: ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )M P , S M S Px x x x x x x x x" ® " ® Þ " ®

Tercera figura, EAO: ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )M P , M S S Px x x x x x x x x" ® - " ® Þ $ Ù -

(Notar que en estos silogismos las expresiones con cuantificadores universales son esquemas condicionales, mientras que las expresiones con cuantificadores existenciales son conjunciones).

Conociendo que las Leyes de Oposición de Aristóteles y los Silogismos Categóricos de Aristóteles son argumentaciones deductivamente válidas, pueden ser utilizados, respectivamente, como Leyes y como Reglas (pues las Oposiciones son Equivalencias Lógicas y los Silogismos Categóricos son Implicaciones Lógicas).

De la Lógica clásica tradicional también provienen los denominados “Principios Lógicos Clásicos”, cuya validez puede ser deducida con nuestras herramientas:

Principio de Identidad ®A A

Principio de no contradicción ( )- Ù -A A

Principio de tercero excluído Ú -A A

Principio de no contradicción generalizado ( ) [ ] ( ) [ ]( ) P P x x x x- " Ù $ -

Principio de tercero excluído generalizado ( ) [ ] ( ) [ ]P Px x x x" Ú $ -


Cuantificadores en esquemas de más de una variable

Ya presentamos a los esquemas proposicionales en n variables, P[x1, x2, …, xn…,]. Usemos ahora, para simplificar la presentación de los conceptos, la notación P[x, y, z, …].

Es evidente que, tanto sea si se substituye una variable en un esquema proposicional como si se la cuantifica (en cuyo caso queda ligada), se obtiene un esquema proposicional en las variables libres restantes:

P[x, y, z] P[a, y, z] :x$ P[x, y, z] :x$ P[x, b, c] ( )( )" $x y P[x, y, z]27 ( )( ) ( )$ " - "x y z P[x, y, z] 28

resultan ser, respectivamente,

un esquema proposicional en las variables x, y y z, un esquema proposicional en las variables y y z, un esquema proposicional en las variables y y z, una proposición, un esquema proposicional en la variable z, una proposición.

Universales de Referencia en expresiones con más de un cuantificador

Cuando el contexto indica que todas las variables pertenecen al mismo universo de referencia, y no cabe duda de cuál es este, no es necesario indicarlo en la expresión.

Ejemplo:

Siendo ¡ el universo referencial, la proposición 2 2( x)( y) (x y) (x y) x y" " + × - = - es V.

Si en cambio algunas variables tuvieran un universo referencial distinto de otras, la expresión podrá expresarse de dos29 maneras. Una de ellas es indicar previamente a qué referencial pertenece cada variable, como en este ejemplo:

Para x,y Î¡ y para nÎ¥ es ( )( ) [ , , ]" $x n P x y n

y la otra forma es indicarlo mientras se cuantifica:

Con Î¡y es ( )( ) [ , , ]" Î $ Î¡ ¥x n P x y n 30

27 En estos casos nos resulta más cómoda la notación “ ( )"x ” en vez de su equivalente “ :"x ”28 Nótese que cuando una expresión tiene más de un cuantificador, siempre que se pueda y para mayor claridad los paréntesis se omiten, pues se sobreentiende que el alcance de cada uno incluye a la fórmula mínima que le sigue, aún si está cuantificada.

Por ejemplo, es mucho más inteligible el miembro izquierdo de la siguiente equivalencia:

( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]( )( )( )( )P , , P , , x y z x y z x y z x y z$ " - " º $ " - "

29 En realidad hay una tercer manera. Cuando estudiemos conceptos como “conjunto de partida”, “dominio”, “imagen” y otros relacionados, encontraremos que éstos ya definen, de por sí, universos de referencia para las variables.

30 Atención: la expresión y Î ¡ es ( )( )( ) [ , , ]x n n P x y n" Î $ Î Ù¡ ¥ , que afirma lo mismo, NO ES la misma expresión.UNMdP – FCEN – LOGICA – 1ºC’16 – Prof Roberto Tait, [email protected] – Guía de la clase teórica nº 8 – Pág. 7

Ejemplos:

( )( ) 0a b a b" Î $ Î + =¢ ¥ , proposición con valor de verdad F,2 2( )( ) ( )( )a b a b a b a b" Î " Î + - = -¥ ¢ , proposición con valor de verdad V.31

( ) 2 1x x$ = - , proposición con valor de verdad F para =U ¢ , y V para =U £ .

Sobre la conmutatividad de los cuantificadores

Dado un esquema proposicional, total o parcialmente cuantificado, otro esquema proposicional similar pero con el orden de sus cuantificadores intercambiado no es necesariamente equivalente al primero.

Esto se puede demostrar con un simple contraejemplo:32

Si la intercambiabilidad fuera una propiedad, las siguientes proposiciones serían equivalentes; pero sucede que,

es evidentemente verdadero que en ¢ , ( )( ) 0" $ + =x y x y y es evidentemente falso que en ¢ , ( )( ) 0$ " + =y x x y .

O sea, no es válida en general la conmutatividad de cuantificadores.

Sin embargo, resultan válidas las siguientes equivalencias e implicaciones lógicas que se refieren a determinados casos particulares de conmutatividad, las que por su practicidad se las considera, respectivamente, leyes y reglas:

Ley de conmutatividad del cuantificador universal

( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ], ,x y P x y y x P x y" " Û " "

Ley de conmutatividad del cuantificador existencial

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ], ,x y P x y y x P x y$ $ Û $ $

Regla de conmutatividad entre cuantificadores existencial y universal

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ], ,x y P x y y x P x y$ " Þ " $ (¿Por qué no vale Ü?)

31 Por convención, cuando los dominios están ordenados por un orden total de inclusión, se considera que las operaciones y eventuales resultados intermedios pertenecen al dominio de referencia más incluyente, que en este caso es ¢ .32 Cuando se declara una propiedad que se supone válida para todos los casos en cierto contexto, con mostrar un solo caso del contexto donde esta propiedad no se cumple queda demostrado que dicha propiedad es falsa. Es interesante señalar que si a la “propiedad de x ” la denominamos “ ( )P x ”lo que estamos diciendo es que al decir que si “ ( ) ( )$ -x P x ” es V,

entonces la afirmación “ ( ) ( )"x P x ” es F. La negación de un cuantificador puede expresarse con el otro cuantificador pasando la negación a lo que sigue. Ésta es la fundamentación de que un contraejemplo es suficiente para demostrar que un enunciado que se pretende general, no es válido: encontrar al menos un caso en el cual este enunciado no se cumple.


Distribución de cuantificadores

Son válidas (démoslas por demostradas dada la brevedad de la asignatura, pero téngase presente que resulta un ejercicio enriquecedor tratar de demostrarlas por cuenta propia) las siguientes leyes y reglas que se refieren a distribución de cuantificadores.

(El único requisito, obvio, es que tanto P como Q compartan el mismo referencial).

Leyes y reglas de distribución del cuantificador universal

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

1a. P Q P Q

1b. P Q P Q

x x x x x x x

x x x x x x x

" Ù Û " Ù "

é ù" Ú " Þ " Úë û

Leyes y reglas de distribución del cuantificador existencial

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ]

2a. P Q P Q

2b. P Q P Q

x x x x x x x

x x x x x x x

$ Ú Û $ Ú $

$ Ù Þ $ Ù $

Regla mixta de distribución de cuantificadores

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]( )3. P Q P Qx x x x x x x$ Ù " Þ $ Ù

Veamos una demostración para ejemplificar. Demostremos 1a.

Sea el referencial genérico { }1 2, , , nx x xK . Entonces,

( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )

( ) [ ] ( ) [ ]

1 1 2 2

1 2 1 2

P Q P Q P Q P Q

P P P Q Q Q

P Q

n n

n n

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

" Ù Û Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Û Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Û " Ù "

K

K K

Ejercicios para discutir en clase:

1) En los siguientes incisos escribiremos al valor absoluto | |-a b para referirnos a la distancia entre los puntos a y b, cualquiera sea su orden (porque | | | |- = -a b b a ). Nótese que por la forma en que construímos el concepto de distancia, éste es siempre 0³ pues es un valor absoluto.Aquí utilizaremos el conjunto { }/ 0+ = Î >¡ ¡x x , los números reales positivos.

Se desea saber si las siguientes proposiciones son V o F:

( )( )( ) | |+ +" Î " Î " Î - <¡ ¡ ¡a b c a c b

( )( )( ) | |+ +" Î " Î $ Î - <¡ ¡ ¡a b c a c b

( )( )( ) | |+ +" Î $ Î $ Î - <¡ ¡ ¡a b c a c b

( )( )( ) | |+ +" Î $ Î " Î - <¡ ¡ ¡a b c a c b


2) ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1

1

1

1

1

1

0,2

nn

nn

nn

m n n mn

m n n mn

m n n mn

+

+

+

+ +

+ +

+ +

" Î $ Î <

$ Î " Î <

$ Î " Î <

æ ö$ Î $ Î " Î > ® <ç ÷è øæ ö" Î $ Î " Î > ® <ç ÷è øæ ö$ Î " Î " Î > ® <ç ÷è ø

<

e e

e e

e e Ù e

e e

e e

e e

¥ ¡

¡ ¥

¡ ¥

¡ ¡ ¥

¡ ¡ ¥

¡ ¡ ¥

Negación de cuantificaciones en esquemas con más de una variable

Se aplican directamente las leyes de negación de cuantificadores en esquemas de una variable, pues si se tiene una serie de cuantificadores y ella está negada (o sea, la negación está a la izquierda de la expresión total), lo que está negado en realidad es el primer cuantificador, por lo cual dicha negación puede pasar dentro de su alcance cambiándole a éste el sentido.

Ejemplo:[ ] [ ]( )( )( ) , , ( ) ( )( ) , ,- " $ " Û $ - $ "x y z P x y z x y z P x y z

Por supuesto, si a uno le resulta conveniente, puede continuar introduciendo la negación más a la derecha, hasta llegar a negar directamente el esquema cuantificado:

[ ] [ ]( )( )( ) , , ( ) ( )( ) , ,- " $ " Û $ - $ "x y z P x y z x y z P x y z

[ ]( )( ) ( ) , ,Û $ " - "x y z P x y z

[ ]( )( )( ) , ,Û $ " $ -x y z P x y z

Ejercicios a discutir en clase.

En la siguiente proposición introducir las negaciones lo más a la derecha posible:

[ ] [ ][ ]

[ ]

( )( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) , ,

( )( ) ( ) , ,

( )( )( ) , ,

a b c Q a b c a b c Q a b c

a b c Q a b c

a b c Q a b c

- $ " - " Û " - " - "Û " $ - - "Û " $ "

Ídem, en el siguiente esquema proposicional:

[ ] [ ][ ]

[ ]

( )( ) , , ( ) ( ) , ,

( )( ) , ,

( )( ) , ,

z z

z

z

P P

P

P

- $r "j - r j Û "r - "j - r jÛ "r $j - - r jÛ "r $j r j


En la siguiente proposición desplazar a la derecha la tercera negación y hacia la izquierda la segunda:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) , , , ( ) ( )( )( ) , , ,

( )( )( )( ) , , ,

( )( )( )( ) , , ,

t s w f t s w t s w f t s w

t s w f t s w

t s w f t s w

- " - $ "q - " q Û - " - $ "q $ - qÛ - - $ $ "q $ - qÛ $ $ "q $ - q

En la siguiente proposición introducir la negación lo más a la derecha posible hasta lograr aplicar una Ley de De Morgan que habilite el empleo de los signos Ï y ¹ , e informar el valor de verdad de la proposición:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1

1

1

1

m n m n m n

m n m n m n

m n m n m n

m n m n m n

m n m n m n

- $ Î " Î - Î Ú - = ÛÛ " Î - " Î - Î Ú - =Û " Î $ Î - - Î Ú - =Û " Î $ Î - - Î Ù - - =

Û " Î $ Î - Ï Ù - ¹

¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥

¥ ¥ ¥


LA ARGUMENTACIÓN INDUCTIVA EN LA MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN

Si bien en la matemática la modalidad argumentativa que predomina es la argumentación deductiva, hay situaciones en las cuales también resulta fructífera la argumentación inductiva. Más precisamente, un tipo particular de argumentación inductiva que se suele denominar usualmente “inducción completa”.

Habíamos mencionado que la argumentación inductiva simple no es útil en la matemática, pues en las argumentaciones

P1 Primera premisaP2 Segunda premisa···Pn n-ésima premisa_____C Conclusión

necesitaríamos saber que si todas las n premisas tienen v(Pi) = V, con i desde 1 hasta n,

entonces la C necesariamente deberá tener v(C)=V, si pretendemos que la argumentación nos sirva para estructurar alguna teoría formal de las que usamos en matemática.

Y la argumentación inductiva simple no nos puede asegurar categóricamente que v(C)=V.

A lo único que se puede llegar, inductivamente, es a que v(C)=V será más o menos probable.

Esto puede ser útil y conveniente en otros campos disciplinares, pero a la matemática formal no le sirve.

Seamos más precisos con un ejemplo: dando por conocido al conjunto de los números naturales ¥ (conocido del ciclo secundario, aunque su correcta presentación formal y estudio se realizará en otras asignaturas de la carrera), y si dispusiéramos además de una cantidad finita (y por ende numerable, pero en su sentido lato33) m de premisas todas de la misma forma [ ]P Pii º 34, de cada una de las cuales, además, supiéramos que su v(P i)=V, entonces, si escribiéramos esto:

P1 Primera premisaP2 Segunda premisa···Pm m-ésima premisa________________________________

( ) ( )Pn n" Î¥ Conclusión,

33 “Lato” o “amplio”; es decir, en esta frase usamos “numerable” en el sentido de que tales premisas pueden numerarse a partir del número natural 1 en adelante, en este caso terminando en el número natural m, asignado a la última premisa. Es importante señalar que hemos usado el término “numerable” en un sentido lato (libre, amplio, elástico) porque más adelante necesitaremos formalizar una noción mucho más precisa del concepto de “numerabilidad”, que no coincide con la interpretación coloquial anterior. Por el momento, anticiparemos esa noción (que formalizaremos mejor más adelante) diciendo, a partir de ahora, que un conjunto cualquiera se dirá “numerable” si sus elementos pueden asociarse, uno a uno, con el conjunto de todos los números naturales ¥ (el cual, sabemos, no tiene último elemento).

34 Aquí se está indicando que utilizaremos en forma indistinta las notaciones [ ]P i y

P i .UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 9 – Pág. 1

esta argumentación inductiva simple no deriva su conclusión basándose sobre todas las premisas posibles de forma Pi, sino sólo sobre la cantidad finita m de premisas de la lista, por lo que

(1°) al ignorarse el valor de verdad de otras premisas de forma Pi con i Î¥ ,

(2°) no hay argumentos que demuestren que necesariamente v( ( ) [ ]Pn n" Î¥ )=V, en particular para el caso n m> .

En otras palabras, esta argumentación inductiva no alcanza a ser deductivamente válida, por más grande que sea el conjunto finito de premisas que utilicemos.

Son claras, entonces, las razones por las cuales la argumentación inductiva simple no resulta útil para los desarrollos matemáticos: no tiene forma de asegurar que la conclusión sea verdadera.

En la matemática, para que este tipo de argumentación sea útil, deberíamos disponer de un esquema argumentativo el cual, partiendo de algún conjunto en particular U (numerable35) y

de algún esquema proposicional P[n] con nÎU, este esquema argumentativo nos permita inferir y obtener conclusiones36 que presenten la conveniente forma

( n" Î U) v(P[n])=V.

Este tipo de argumentación sería posible si lográsemos completar de alguna manera nuestro conocimiento del valor de verdad v(Pi) de una todas las proposiciones Pi de una lista necesariamente infinita si el conjunto referencial U es infinito numerable, donde hubiera una Pi para cada i Î¥ 37:

P1 Primera premisaP2 Segunda premisa···Pm m-ésima premisa···_____( ) ( )Pn n" Î¥ Conclusión,

porque en este caso nuestra lista de premisas, como nos está diciendo que es verdadera P i

para cada número natural i Î¥ , aplicando un paso deductivo simple que derive la conjunción de todas ellas “ 1 2P P PmÙ Ù Ù ÙK K ” llegaríamos de inmediato a la conclusión

buscada “ ( ) ( )Pn n" Î¥ ” por la propia definición de la cuantificación universal.

Con este tipo de argumentación inductiva (notar que incluye un paso deductivo: introducir la conjunción de todas las premisas, conjunción que se abrevia con “" ”), a pesar de que es constructivamente imposible obtener la lista infinita de premisas Pi con i Î¥ , igualmente podremos obtener la conclusión buscada si aplicamos un principio que aceptaremos como evidente y que llamaremos:

35 Aquí ya comenzamos a utilizar con precisión el término “numerable”, es decir: pedimos que los elementos de ese conjunto U puedan “asociarse, uno a uno”, con los del conjunto ¥ .36 En forma de proposiciones, que según su importancia o uso a veces se las suele distinguir denominándolas “lemas”, “teoremas” o “propiedades”, constituyendo todas estas conclusiones, como expresión general, “tesis” de nuestro cálculo.37 En esta parte de la exposición utilizamos como referencial al conjunto de los números naturales ¥ en vez del referencial

genérico presentado U pues, sin pretender aún formalizar la “coordinación”, podemos ya señalar que los elementos de éste

pueden “coordinarse” uno a uno con todos o parte de los elementos de ¥ , según sea U finito o infinito numerable.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 9 – Pág. 2

Principio básico de Inducción Matemática (también conocido como Principio de Inducción Completa)

si se sabe que

(1º) ( )1v P =V, y que

(2º) ( )i" Î¥ ( ( )v Pi =V ® ( )1v Pi+ =V)

entonces puede inferirse que ( )( )v Pii" Î¥ =V.

A este Principio, si llamamos “siguiente de i Î¥ ” al número 1i + Î¥ , puede enunciárselo en lenguaje coloquial, afirmando que «si se sabe que una proposición cuya forma depende de un número natural es verdadera para el número 1, y además se sabe que es verdad que si se cumpliera para algún número natural cualquiera dado también se cumplirá para el siguiente, entonces esa proposición resulta verdadera para todo número natural».

Señalemos que al paso más elaboradamente deductivo de este principio, el paso “v(P[n])=V®v(P[n+1])=V” se lo denomina tradicionalmente “paso inductivo” o “salto inductivo”.

(Hemos utilizado el símbolo “® ” porque si bien este paso de deducción, en realidad, señala que [ ] [ ]1Þ +P n P n , sabemos que “ si y sólo si Þ ®A B A B ” es una tautología)38.

Variantes del Principio de Inducción Matemática

En las aplicaciones prácticas, el principio de inducción matemática presenta algunas variantes que reciben, cada una, una denominación particular:

Cuando asumimos verdaderas todas las Pi pero no desde i = 1 sino desde un valor mayor, digamos 0 0 con 1Î >¥n n , entonces podremos aplicar la misma modalidad de

argumentación inductiva, pero la conclusión ya no será válida ( ) ( )" Î¥n n sino sólo

0( ) ( )" Î Ù ³¥n n n n . A esta modalidad de argumentación inductiva se la denomina “inducción matemática generalizada”.

Cuando, para llegar a la conclusión ( ) [ ]" Î¥n P n necesitamos argumentar no sólo pasando de la verdad de una premisa P[n] a la verdad de la premisa P[n+1] sino que, para demostrar la verdad de la premisa P[n+1] necesitamos suponer verdaderas más de una (a veces, incluso, todas) de las premisas anteriores P[1], P[2], …, P[n], a este otro tipo de argumentación inductiva se la denomina “inducción matemática global”.

Y en los casos más corrientes donde, siendo verdadera P[1], para arribar a que es verdadera P[n+1] es suficiente suponer verdadera a P[n], se habla de “inducción matemática completa”, que es el que hemos presentado ya desde el principio. No debemos confundirnos; el término “inducción completa” se usa en dos niveles de precisión: como concepto general que engloba a todos estos casos y además, como señalamos aquí, como caso particular. Podríamos haber dicho entonces en esta última parte “éste es el caso de inducción completa propiamente dicha”.

38 Otra forma con que se suele presentar a este principio es la siguiente: siendo Pi esquema proposicional con referencial ¥ ,

si se sabe que (1º) ( )1v P = V,

y que (2º) ( )1v P Pi i+® = Ventonces puede inferirse que ( )( )v P ii" Î ¥ = V.

UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 9 – Pág. 3

Por último, antes de presentar algunos ejemplos, señalemos otras tres cuestiones:

En el “paso inductivo” v(P[n])=V ® v(P[n+1])=V, como estamos asumiendo que P[n] es

V (sin que en realidad lo sepamos) pues de esa manera, según la tabla de verdad de “ ® ”

será V también P[n+1], para ser coherente con otros capítulos de la ciencia la “suposición de que es verdadera P[n]” la denominaremos “hipótesis”, más precisamente la llamaremos Hipótesis Inductiva.

Nótese que para saber si el condicional [ ] [ ]P P 1n n® + es V sólo necesitamos investigar

el caso en que P[n] es V (lo que llamamos Hipótesis Inductiva). No necesitamos analizar

qué pasa si P[n] es F, pues ya sabemos que si el antecedente de [ ] [ ]P P 1n n® + fuera F,

el condicional resultará V.

En determinadas situaciones, en vez de deducir P [ ]Þn P[ ]1+n resulta más símple, o en

ocasiones tiene notación menos engorrosa, la deducción P [ ]1- Þn P[ ]n . Es evidente que tanto una como otra modalidad son válidas, pues estamos hablando de un salto inductivo usando un Î¥n cualquiera indeterminado.

Ejemplos:

1. Demostrar que 2 2

3 3 3 ( 1)( ) 1 2

4

n nn n

+" Î + + + =¥ K

Demostración:

a) Es verdad para 2 2

3 (1 1) 11: 1 1 y 1.

4

+ ×= = =n

b) Supongamos que es verdad para un n cualquiera: que 2 2

3 3 3 ( 1)1 2

4

++ + + =K n n

n .

(Esta suposición sería nuestra Hipótesis Inductiva).

Veamos entonces qué sucede con 3 3 3 31 2 ( 1)+ + + + +K n n .

3 3 3 31 2 ( 1)+ + + + +K n n2 2

3( 1)( 1)

4

+= + +

n nn

2 22( 1)

( 1) ( 1)4

+= + + +

n nn n

22( 1) ( 1)

4

æ ö= + + +ç ÷

è ø

nn n

224

( 1) ( 1)4 4

æ ö= + + +ç ÷

è ø

nn n

221

( 1) 4 ( 1)4 4

æ ö= + × + +ç ÷

è ø

nn n


221 4

( 1) 4( 1)4 4

æ ö= + × + +ç ÷

è ø

nn n

( )2 21( 1) 4 4

4= + × + +n n n

( )221( 1) 2

4= + × +n n

[ ]221( 1) ( 1) 1

4= + × + +n n

[ ]2 2( 1) 1 ( 1)

4

+ + +=

n n

O sea, hemos demostrado que, suponiendo verdadero a2 2

3 3 3 ( 1)1 2

4

++ + + =K n n

n

resulta verdadero

[ ]2 23 3 3 3 ( 1) 1 ( 1)

1 2 ( 1)4

+ + ++ + + + + =K

n nn n

Con lo cual podemos afirmar que

( ) [ ]2 22 23 3 3 3 3 3 3 ( 1) 1 ( 1)( 1)

1 2 1 2 ( 1)4 4

n nn nn n n n

æ ö+ + ++ç ÷" Î + + + = ® + + + + + =ç ÷è ø

¥ K K

En consecuencia, habiendo demostrado (a) y (b), por el Principio de Inducción Completa la proposición

2 23 3 3 ( 1)

( ) 1 24

+" Î + + + =¥ K n n

n n resulta ser V.

2. Demostrar, aplicando inducción generalizada, que ( ) ( 4) ! 2nn n n n" Î Ù ³ >¥

Demostración:

a) Evidentemente, para n=4 es verdadera.

b) Supongamos que ! 2> nn es verdadera para algún n cualquiera, que cumpla n > 4.

Entonces demostremos que para ese n también es verdadera 1( 1)! 2 ++ > nn


Como ( 1)! ( 1) !+ = + ×n n n , trabajemos con esta última expresión.

( ) ( )1 1n n+ = +

! 2> nn

por lo que, multiplicando miembro a miembro y siendo ambos miembros positivos, es

( 1) !+ ×n n ( 1) 2> + × nn

12 +> n , pues siendo 4n > , resulta 1( 1) 2 2 2 2n n nn ++ × > × = , de donde

( 1)!+n 12 +> n

O sea, en el paso (b) demostramos que si 4n > entonces ( ) 1! 2 1 ! 2n nn n +> ® + >

Por lo tanto, habiendo demostrado (a) y (b), por el Principio de Inducción Generalizada resulta que la proposición ( )( 4) ! 2" Î Ù ³ >¥ nn n n n es V. O sea, la hemos demostrado.

3. Demostrar aplicando inducción global que, dada la sucesión definida por

( )1 2 1 23; 5; y , 2 2 2n n na a n n a a a- -= = " Î > = + -¥

Se cumple que

( ) 2 1nnn a" Î = +¥

Demostración

a) Es verdad para 1n = , pues 11 3 2 1a = = + . *

b) Primero supongo cierta ( ) 2 1nnn a" Î = +¥ (1° Hipótesis Inductiva)

Además supongo cierta ( ) 11 2 1n

nn a --" Î = +¥ (2° Hipótesis Inductiva)

Debo demostrar que ( ) ( )1

1 1 1 1 22 2 2 1n

n n na a a +

+ + - + -º + - = + :

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 21

1

1

1

2 2

2 2

2 1 2 2 1 2 (por 1ª y 2ª Hipótesis Inductivas)

2 1 2 2 2

2 2 1 0

2 1

n nn

n n

n n

n n

n

n

a aa

a a

+ - + -+

-

-

+

+ -== + -

= + + + -

= + + + -= × + += +

Con lo que parecería quedar demostrado por inducción global, que llamando [ ]P n a

la proposición “ ( ) 2 1nnn a" Î = +¥ ” (y habiendo hecho uso de [ ]P n y [ ]P 1n -

asumiéndolas ciertas en dos hipótesis inductivas), se cumple que v [ ]( )P n =V, o sea,

v ( )( ) 2 1nnn a" Î = + =¥ V.

La inducción global se utiliza así. En este caso, dos hipótesis inductivas fueron suficientes para resolver el problema; en otros problemas pueden necesitarse más, hasta incluso una hipótesis inductiva para cada [ ]P k donde k n£ .

Pero ¡atención!En realidad, esta demostración está incompleta. ¿Por qué?


INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

PRESENTACIÓN

Hay diversas formas de introducirse en la Teoría de Conjuntos. Al ser éste un capítulo de una asignatura inicial de la carrera, sólo se pretende introducir al alumno en las nociones más elementales de tal Teoría. Por lo tanto se utilizará la vía intuitiva, o sea que se aceptará, por ejemplo, como “sabido intuitivamente” que los conjuntos existen, sin definir el concepto.

Tal enfoque se concilia con el hecho de que el alumno ya trae estructurada esta conceptualización desde ciclos educativos previos al universitario, ofreciéndole así una continuidad que, al basarse en nociones que le son próximas, le facilitará la construcción mental de los nuevos esquemas conceptuales y niveles de abstracción con los que irá encontrándose en sus estudios.

CONCEPTOS Y NOTACIONES BÁSICAS

Pertenencia

El concepto principal39 de la teoría de los conjuntos es el concepto primitivo de pertenencia: que x pertenece a A se notará Îx A , donde A es un conjunto y x es un elemento del conjunto A.

Si x no pertenece a A se notará Ïx A , que es una abreviatura de ( )x A- Î .

Para indicar que varios elementos x, y, z, … pertenecen a A se notará , , , ÎKx y z A .

Se da por supuesto que los elementos de un conjunto son distintos entre sí.

Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto A puede tener una cantidad finita de elementos; en caso contrario, se dice que tiene una cantidad infinita de elementos. Por brevedad, se habla de conjuntos finitos e infinitos. Por el momento, esta caracterización de conjuntos finitos e infinitos será suficiente.

CÓMO SE DEFINE A UN CONJUNTO EN PARTICULAR (Cómo se lo describe)

Definición de un conjunto a partir de sus elementos

Todo conjunto debe estar definido; debe contar con una definición que permita saber cuáles son sus elementos y cuáles no.

Al indicar cuáles son los elementos de un conjunto en particular, se lo está definiendo.

Para indicar cuáles son los elementos de un conjunto se utilizan dos caminos distintos: por extensión y por comprensión. En ambos casos se utilizan llaves, “{“ y “}”.

39 Halmos, P. Teoría intuitiva de los conjuntos.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 10 – Pág. 1

Definición por extensión

Un conjunto A está definido por extensión cuando se presenta una enumeración o lista de sus elementos.

Por ejemplo, A = { 2, 4, 8} . Ésta es la definición por extensión del conjunto finito A.

Para indicar por extensión que un conjunto es infinito se utilizan puntos suspensivos: B = { 2, 4, 8, 16, … }.

Esta forma de representar conjuntos infinitos sólo puede utilizarse cuando existe alguna forma de enumerar (de organizar una lista) de sus elementos, como en el caso de B. En cambio, el conjunto de puntos del intervalo real [0, 1] no puede ser representado por extensión pues sus elementos no pueden ser presentados de esa manera.

Se dijo que los elementos de un conjunto son todos distintos entre sí: el conjunto {2, 4, 4, 5} tiene tres elementos, pues, en realidad, es el conjunto {2, 4, 5} pero mal escrito pues al 4, uno de sus elementos, se lo escribió dos veces siendo que es un único elemento.

Al definir por extensión un conjunto, no importa el orden en que se presentan sus elementos; por ejemplo, {a, b} es el mismo conjunto que {b, a}.

Definición por comprensión

Un conjunto C está definido por comprensión cuando, una vez indicada la variable elegida para representar a sus elementos, se indica un esquema proposicional en dicha variable que caracterice al conjunto (digamos, la propiedad o predicado que caracteriza al conjunto), o sea, se usa la forma C = { x / P[x] } donde, teniendo en cuenta a la barra “/”, podemos leer lo anterior así: “el conjunto formado por los elementos x tales que al substituirse en el esquema proposicional P[x], lo transforman en una proposición verdadera”40.

Un ejemplo concreto puede ser { } / 1 2D x x x x= Î Ù £ Ù <¡ .

Este ejemplo nos servirá para presentar dos tipos de abreviaturas.

Una de estas abreviaturas, ya conocida, es ésta: cuando no haya riesgo de ambigüedad, podrá utilizarse la notación abreviada equivalente 1 2 1 2x x x£ Ù < £ <º .

La otra es que, si dentro del esquema se indica que x pertenece a un conjunto que con evidencia incluye al conjunto que se está definiendo (como en este caso, donde ¡ incluye a D), ese conjunto puede ser considerado como universal de referencia U del esquema proposicional [ ]P x que define al conjunto [ ]{ }/Px x , mencionándolo, por lo tanto, antes del signo barra “/”: [ ]{ }/ PA x x= ÎU .

En nuestro ejemplo, { } / 1 2D x x x= Î £ Ù <¡ . O bien { } / 1 2D x x= Î £ <¡

Otro camino para llegar al mismo concepto es el siguiente. Si en nuestras consideraciones, en vez de partir introduciendo la noción de conjunto, partimos de un esquema proposicional [ ]P x con universal de referencia U, entonces al subconjunto formado por los elementos

xÎU que al ser substituídos en el esquema proposicional [ ]P x lo transforman en una proposición verdadera (subconjunto que se llama “conjunto de verdad del predicado [ ]P x ”) ése resulta ser, precisamente, nuestro conjunto [ ]{ }/ PA x x= ÎU . Es decir,

[ ]( ){ }/ v PA x x= Î =U V .

No todos los conjuntos pueden ser definidos por extensión. Sin embargo, todos los conjuntos pueden ser definidos por comprensión.

40 Nótese que, de la misma manera que en sucede con el cuantificador existencial, en la definición de conjuntos por comprensión a la barra “/” se la lee así: “tal que”.


Conjunto unitario

Al conjunto que tiene un único elemento, por ejemplo E = { Uruguay }, se lo llama “conjunto unitario”.

Relaciones elementales entre conjuntos

Dados dos conjuntos, éstos pueden estar relacionados de determinadas formas que merecen señalarse.

Relación de igualdad entre conjuntos

Una de las formas de relacionar conjuntos es la igualdad.

Dados los conjuntos A y B, se define que “son iguales entre sí” (y se usa el signo “ = ”) cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) xA B A B x A x B" " = " Î « ÎB 41

De aquí puede demostrarse, considerando que la notación “ ¹ ” abrevia la negación de una proposición con “= ”, la siguiente equivalencia lógica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B x x A x B x x A x B" " ¹ Û $ Î Ù Ï Ú $ Ï Ù Î .

(Su demostración queda como ejercicio para el alumno).

Relación de inclusión entre conjuntos

Otra forma en que se pueden vincular dos conjuntos es la inclusión.

Dados los conjuntos A y B, se define como que “el conjunto A está incluído en el conjunto B” (y se usa el signo “Ì ”) cuando todo elemento que pertenezca al primer conjunto también pertenece al segundo:

( ) ( ) ( )( ) x" " Ì " Î ® ÎBA B A B x A x B

A partir de esta definición, y considerando a la notación “Ë ” como abreviatura de la negación de una proposición con “Ì ”, puede demostrarse la siguiente equivalencia

( ) ( ) ( ) ( ) A B A B x x A x B" " Ë Û $ Î Ù Ï

Y a partir de las definiciones anteriores puede demostrarse fácilmente esta otra equivalencia:

A B A B B A= Û Ì Ù Ì

( es decir, ( ) ( )( ) A B A B A B B A" " = « Ì Ù Ì 42

Si bien es menos utilizado, es correcto definir a una inclusión de esta otra manera, usando el símbolo “É ”:

B A A BÉ ÌB .

41 En definiciones expresamente cuantificadas (como por ejemplo la que sigue) para evitar confusiones convendría usar corchetes de esta manera ( )( ) ( )( )[ ]xA B A B x A x B" " = " Î « ÎB :, para no complicar la lectura se indica que el alcance de los cuantificadores abarca a la efinición, dejando suficiente espacio en blanco entre ellos y la expresión subsiguiente, sobreentendiéndose entonces que está toda ella dentro su alcance. De esta manera se expresa que, aunque en principio una definición no sería verdadera ni falsa, dentro de la teoría que la incluye se la considerará de la misma manera que una proposición con valor de verdad V.42 Es corriente en los textos, cuando se presenta una propiedad, obviar las cuantificaciones universales.


También pueden demostrarse sin dificultad las siguientes proposiciones:

( )( ) ( ) ( ) ( )

A A A

A B C A B B C A C

" Ì

" " " Ì Ù Ì ® Ì

Si A está incluído en B, es decir, si ÌA B , se dice que A es subconjunto de B.

En determinada bibliografía se habla de “subconjuntos propios”; podemos definir así a este concepto:

A subconjunto propio de B Ì Ù ¹B A B A B

El conjunto vacío

Introduciremos ahora el concepto de “conjunto vacío con respecto a un universo de referencia”.

De los niveles de educación primaria y secundaria el alumno ya ha construído el concepto de “conjunto vacío”, como aquel conjunto que no tiene ningún elemento43.

Sin embargo debemos ser más cuidadosos con este concepto, porque la definición anterior acarrea contradicciones, y una teoría deductiva en la cual sea posible llegar a una conclusión contradictoria forzosamente se derrumbará (como sabemos), pues en cualquier argumentación deductiva, si en un “® ” se parte de un antecedente falso, resultará verdadero cualquier consecuente. En otras palabras, partiendo de que es verdadera una conclusión contradictoria puede demostrarse que es verdad… cualquier cosa.

Una contradicción inmediata surgirá cuando veamos la operación de complementación de un conjunto:

si aceptáramos la definición anterior de conjunto vacío, estaríamos también aceptando que se lo puede complementar (la noción de complemento ya la conocemos de los niveles de educación previa), y su complemento resultaría ser un “conjunto que contiene todo”, idea vaga de “conjunto universal” que no resiste ningún análisis riguroso.

Por esta razón en esta asignatura utilizamos “universales de referencia de esquemas proposicionales”, concepto mucho más preciso y que no presenta la vulnerabilidad de este supuesto “conjunto universal”.

Este tipo de problemas sacudió los cimientos de toda la matemática construída hasta principios del siglo XX y forzó no sólo revisiones generales, sino también la introducción de nuevos conceptos y enfoques superadores, como la teoría de los tipos de Bertrand Russell por mencionar sólo un ejemplo.

Por tal razón, nosotros introduciremos una definición más restringida de conjunto vacío, que evita este tipo de problemas: el “conjunto vacío con respecto a un universo de referencia U”, donde U es un conjunto preexistente (pre-existente; exigiremos, entonces, que el tal U exista previamente).

43 Al menos, entre los alumnos que pasaron por esta asignatura esto sucedía con las cohortes nacidas hasta mediados de la década del ’90.


Definición de subconjunto vacío

Definamos, entonces, al “subconjunto vacío en U”:

Sea el conjunto preexistente U. Entonces { }/ Æ Î ¹BU x U x x

Existencia del subconjunto vacío

Aplicando el criterio intuitivo de evidencia, se considerará evidente que, dado un conjunto cualquiera U, existe UÆ (el cual, como por definición está formado por los elementos de U que cumplen con el requisito de no ser iguales a sí mismos, no poseerá ningún elemento).

Unicidad del subconjunto vacío

Definido de esta manera, parecería que existe un subconjunto vacío para cada conjunto existente U.

Esto no es así, como lo demuestra el siguiente

Teorema. Si U y V son dos conjuntos existentes cualesquiera, entonces Æ = ÆU V .

Demostración. Por tener antecedente falso, el condicional ÎÆ ® ÎÆU Vx x resulta

verdadero. Por lo tanto, aplicando la definición de inclusión, resulta verdadero Æ ÌÆU V .

Razonando de manera análoga con ÎÆ ® ÎÆV Ux x , resulta también verdadero Æ ÌÆV U .

Y por último, si a la proposición que vimos ( ) ( ) ( ) ( )( ) A B A B A B B A" " = « Ì Ù Ì , la

aplicamos así: ( ) ( ) ( ) ( )( ) U V U V V UU V" " Æ = Æ « Æ ÌÆ Ù Æ Ì Æ , podemos concluir que

Æ = ÆU V .

Comentario basado en las dos conclusiones anteriores44: lo que se demostró, en realidad, es que existe un único subconjunto vacío, sea cual sea el universo de referencia U, conjunto de referencia al cual se le exige, como única condición… que exista previamente.45

Habiendo realizado estas consideraciones, ahora sí se está en condiciones de hablar del “conjunto vacío” a secas, “Æ ”, siempre que se tenga presente que no es el conjunto vacío estudiado en los niveles educativos previos:

Definición de conjunto vacío

Definamos, entonces, al “conjunto vacío en U” o “conjunto vacío” a secas, así:

( ) { } / U x U x x" Æ Î ¹B

el cual sabemos que existe, y además es único.

Dicho lo anterior, puede entonces demostrarse sin dificultades la siguiente proposición:

( ) " Æ ÌA A

Cómo demostrarlo: aprovechando que ( )x" v ( )xÎÆ = F, y aplicando la definición de “Ì ”.

Notación alternativa para el conjunto vacío: { } Æ º .

44 A estas conclusiones adicionales a un teorema se las suelen llamar “corolarios”.45 Es corriente en la matemática, al presentar determinados conceptos, demostrar (si correspondiera) su “existencia y unicidad”. Aquí, partiendo de la existencia de U, demostramos que Æ existe y es único.


Propiedades de la relación de inclusión entre conjuntos

Se suelen destacar las siguientes propiedades básicas de la relación de inclusión entre conjuntos, de alguna manera ya anticipadas:

Propiedad reflexiva ( ) A A A" Ì

Propiedad antisimétrica ( ) ( ) A B A B B A A B" " Ì Ù Ì ® =

Propiedad transitiva ( ) ( )( ) A B C A B B C A C" " " Ì Ù Ì ® Ì

Propiedad de inclusión del conjunto vacío ( ) A A" Æ Ì

Demostración de las propiedades del capítulo

Citando a Halmos (op. cit.), digamos que «Todo estudiante de matemáticas debe demostrar estos hechos para sí mismo cuando menos una vez en su vida». Además, recién después de haberlas demostrado, el alumno descubrirá que no tiene sentido estudiar las propiedades de memoria, pues cuando las necesite surgirán solas46.

(La demostración de todo tipo de propiedades, reglas, leyes y teoremas es uno de los puntos que se enfatizan en los exámenes finales).

Enfatizando la recomendación de que el alumno debe intentar demostrar estas propiedades por sí mismo, se presentan a título de referencia dos de ellas, sugiriéndose no leerlas sin haber primero intentado resolverlas por cuenta propia; es una oportunidad que jamás volverá a tener. Por supuesto, el alumno puede haber encontrado otros caminos deductivos, diferentes a éstos, en sus demostraciones. Como es sabido, no existe un camino único para deducir válidamente una conclusión a partir de premisas.

Demostración de la Popiedad Reflexiva ( ) A A A" Ì

1. ( ) ( ) xA B x A x BÌ " Î ® ÎB Premisa (definición de inclusión)

2. p pÚ - Premisa (Principio de Tercero Excluído)

3. p p- Ú 2, propiedad conmutativa

4. p p® 3, definición del condicional

5. x A x AÎ ® Î 4, Princ. de Sustit. de Fórmulas Atómicas

6. ( ) ( )x x A x A" Î ® Î 5, pues es una expresión general

7. A AÌ 6, 1, aplicación de la definición

∴ ( ) A A A" Ì 7, pues es una expresión general

46 Por supuesto, estas Guías de Clases Teóricas se complementan con las clases de Trabajos Prácticos donde el alumno recibirá apoyo adecuado si tuviera dudas o dificultades en tales demostraciones. El texto de Halmos citado arriba debe considerarse, por lo tanto, como un muy recomendable consejo y no como una imposición.


Demostración de la Propiedad antisimétrica ( ) ( ) ( ) A B A B B A A B" " Ì Ù Ì ® =

1. ( ) ( ) xA B x A x BÌ " Î ® ÎB Premisa (definición de inclusión)

2. ( )( ) xA B x A x B= " Î « ÎB Premisa (definición de igualdad)

3. A B B AÌ Ù Ì Principio de Introducción de Premisa

4. A BÌ 3, simplificación

5. ( ) ( )x x A x B" Î ® Î 4, 1, aplicación de la definición

6. B AÌ 3, simplificación

7. ( ) ( )x x B x A" Î ® Î 6, 1, aplicación de la definición

8. ( ) ( ) ( ) ( )x xx A x B x B x A" Î ® Î Ù " Î ® Î 5, 7, conjunción

9. ( ) ( )x x A x B" Î « Î 8, definición del bicondicional

10. A B= 9, 2, aplicación de la definición

11. A B B A A BÌ Ù Ì ® = 1, 2, 3, Principio de Prueba Condicional

∴ ( ) ( )( )A B A B B A A B" " Ì Ù Ì ® = 11, pues es una expresión general

Los conjuntos como elementos

Un conjunto, según nuestra definición, es una colección de objetos. No hay ningún impedimento para que algunos de estos objetos, o todos, sean a su vez conjuntos.

Esta característica nos obliga a ser cuidadosos al redactar o leer textos sobre conjuntos, principalmente en cuanto a distinguir entre las relaciones de pertenencia y de inclusión.

Ejemplos para discutir en clase:

Sean { }{ } { } { } { } { } [ ]{ }, , 2, 4, 6 , , , , 4 , , / A p q B C A D A B E F x U P x= = = = = Æ = Î

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:


{ }{ }

{ }{ } { } { }

{ } { }{ }{ } { }{ } { }{ }

1.

4.

12.

13. 14. 15.

17. 18.

19. 20.

2, 4 2. 3.

2, 4 5. 4 6.

7. 8. 9.

10. 11.

16. 4, 6 4, 6

, ,2, 4, 6 , , 2, 4, 6 21.

22. 23.

B p C p C

B B A C

A C A C q C

q A q A q A

p A p A q A

B D D D

p q D p q D B

B

Î Î Ì

Ì Î =

Ì Î Î

Ì Î Ì

Î Ì Î

Ì Ì Î

Ì Ì ÆÎ

Æ Ì Æ

24.

25. 26. 27.

E E

F U F U F U

Î Æ Ì

Î Ì =

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS (Continuación)

CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto cualquiera A, definiremos al “conjunto de partes de A” o “conjunto potencia de A” P(A) al conjunto que tiene como elementos a cada uno de los subconjuntos de A:

P(A) { }/ ÌB X X A

(Notar que se utilizan mayúsculas para resaltar que los X son conjuntos).

En el enfoque intuitivo que estamos dando a esta teoría de conjuntos, aceptaremos sin demostración que todo conjunto A tiene conjunto de partes.

En conjuntos finitos su existencia es obvia, pero ya no es demasiado evidente cuando el conjunto A no es finito, y menos aún cuando es infinito no numerable; ¿por qué? porque estamos hablando de todos sus subconjuntos, esto es, estamos presuponiendo que existe un conjunto así47.

Ejemplos

Los conjuntos de partes de los conjuntos A = {2, 4, 6} y B = {a, {b, c}} son, respectivamente,

P(A) { } { } { } { } { } { } { }{ }, 2 , 4 , 6 , 2,4 , 2,6 , 4,6 , 2,4,6= Æ

P(B) { } { }{ } { }{ }{ }, , , , , , a b c a b c= Æ

Notar que cualquiera sea el conjunto C, pertenecen a ( )CP el Æ y el propio C.

E.jercicios para discutir en clase:

Sean los conjuntos { } { }{ } { } { }, , , , , , A a b B c d C B D e= = = = Æ

Describir el conjunto de partes de cada uno de los conjuntos A, B, C y D.

En el tercer caso, P(C), reemplazar a B por su definición por extensión, y volver a

escribir P(C).

Sean los conjuntos { }A a= , { }{ }B a= , { }{ },C a b= , y sea { }, U a b= .

Informar el valor de verdad de:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. . .

. . .

. . .

A U A U A U U

B U B U B U U

C U C U C U U

Ì Ì Ì ÈÌ Ì Ì ÈÌ Ì Ì È

P PP PP P

47 Ya al principio del capítulo advertimos que nuestro enfoque de la teoría de conjuntos sería “intuitivo”. Para tratar con total rigurosidad la cuestión del conjunto de partes debe acudirse a otros enfoques. En particular, una teoría así debe construirse de manera axiomática, y sus axiomas deben ser tales que incluyan a los de Zermelo, como se verá en asignaturas posteriores a ésta.


Informar el valor de verdad de:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

. . .

. . .

. . .

A U A U A U U

B U B U B U U

C U C U C U U

Î Î Î ÈÎ Î Î ÈÎ Î Î È

P PP PP P

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Veremos en principio a los operadores unarios, que son aquellos que al aplicarse a un conjunto determinan un nuevo conjunto; luego a los operadores binarios, que son los que aplicados a dos conjuntos (presentados éstos en orden, o sea distinguiendo a cuál se lo considera el primero y a cuál el segundo) determinan un tercer conjunto; y luego generalizaremos.

La operación conjuntista unaria que veremos en esta asignatura es la operación complemento.

Las operaciones binarias entre conjuntos que veremos son la unión, la intersección, la diferencia, la diferencia simétrica y el producto cartesiano.

Por último, las operaciones conjuntistas generalizadas que veremos son la unión generalizada, la intersección generalizada y el producto cartesiano generalizado.

Operaciones unarias:

Complemento de un conjunto

Podríamos sentirnos tentados, siguiendo la línea de lo estudiado en la educación media, a definir al “complemento de un conjunto A“ como al “conjunto de todos los elementos que no pertenezcan a A”. Pero esto lleva a que necesariamente haya elementos que no pertenezcan a A conformando éstos, junto con los de A, un “conjunto universal” o “conjunto de todos los elementos” (a menos que el propio A sea tal “conjunto universal” o “conjunto de todos los elementos”), concepto al que le sucede lo mismo que al “conjunto vacío” a secas mencionado arriba: resulta muy riesgoso y puede derivar en contradicciones, por lo cual, volvamos a señalarlo, aceptar un concepto tal de complemento derrumbaría toda la teoría que estamos construyendo.

Porque ―como ya hemos anticipado― así como es peligroso hablar del “conjunto vacío” sin tomar ningún recaudo, igual de peligroso es hablar del “conjunto universal” o “conjunto de todos los objetos” sin tomar recaudos, ya que en principio uno sería, de esta manera, “complemento” del otro48.

Por tanto, es necesario introducir la noción de complemento de un conjunto tomando también algunas precauciones.

Dado que, como dijimos, todo conjunto A puede ser definido por comprensión a partir de un esquema proposicional así: [ ]{ }/ A x P x= y como todo esquema proposicional cuenta con un universal de referencia (al cual en su momento lo veníamos representando con U y a partir de este capítulo, por ser dicho referencial en realidad un conjunto, lo representaremos con U), esto nos permite definir a A por comprensión de esta otra manera más explícita que la anterior: [ ]{ }/ A x U P x= Î .

48 Por la misma razón que mencionábamos en (33), para poder tratar con rigor estos conceptos de conjunto vacío, de complemento y de universo, es necesario desarrollar a la teoría de conjuntos con un enfoque axiomático particular, como se podrá ver en asignaturas posteriores como por ejemplo “Fundamentos de la Matemática”.


Esta forma de expresar al conjunto pone en evidencia dos cosas: primera, que los elementos x de A están en U, y segunda, que a estos elementos x “les sucede” [ ]P x , esto es, hacen que v [ ]( )P x =V. Es evidente entonces que A es un subconjunto de U (es evidente también que A podría, quizás, ser un subconjunto propio de U; más precisamente cuando éste tuviera también elementos a los que no les “sucediera” P ).

Pero U, universo de referencia de [ ]P x , es algo totalmente distinto del conjunto universal “conjunto de todos los objetos”. A los universales de referencia de un esquema proposicional los hemos definido con precisión cuando vimos cálculo de predicados.

Por lo tanto, ahora sí podremos trabajar, porque como universal de referencia utilizaremos a U. Dicho lo cual, ya estamos en condiciones de definir el complemento de un conjunto.

Teniendo predefinido U y dado el conjunto [ ]{ }/ = ÎA x U P x , se define al “complemento de A” (y se lo representa con A , con AC , con A’ o con CA ) al conjunto de los elementos de U que no pertenecen a A, es decir,

{ } / Î ÏBA x U x A

o bien [ ]{ } / Î -BA x U P x

Cuando del contexto surgen distintos conjuntos que pueden ser considerados universales de referencia de [ ]P x , al complementar es necesario indicar cuál de tales conjuntos es el que se considerará universal U. En tales casos se habla del “complemento de A respecto de U” y resulta de utilidad la notación CUA.

Nótese que parecerían innecesarias tantas consideraciones para arribar, finalmente, a una definición de “complemento de A” tan sencilla que podría ser planteada directamente sin haberse ocupado de realizar tantas aclaraciones sobre el universal U.

Sin embargo (acéptese la insistencia) debemos tener presente que éste universal U no es un conjunto universal “cualquiera”; está cumpliendo con una condición adicional que introdujimos ya al definir nuestro concepto de “conjunto vacío” y que no debemos olvidar: nuestro universal de referencia debe ser un conjunto preexistente, es decir, un conjunto del cual conocemos previamente su existencia. Ésta es la característica adicional que nos garantiza que nuestras deducciones jamás derivarán en contradicciones49, y fue ésta la razón por la que nos detuvimos a realizar todas estas consideraciones. Si nos aseguramos de tenerlas presentes, podremos prescindir de referirnos a ellas en lo sucesivo manteniéndolas implícitamente aceptadas, con lo cual en muchos casos podremos hasta prescindir de la mención de U.

Definida la complementación de esta manera, puede demostrarse que goza entre otras de las siguientes propiedades:

A A= (Propiedad de Involución o de doble complementación)

; Æ = = ÆU U

Ì « ÌA B B A

(Siguen siendo vigentes las consideraciones expresadas anteriormente sobre la importancia de que el alumno, al menos una vez, intente demostrar por cuenta propia las propiedades del capítulo).

49 En algunos desarrollos teóricos, a estas consideraciones se las engloba en forma de un axioma equivalente, el “Axioma de Extensión”.


Demostración de la Propiedad de Involución de la operación Complementación:

{ }( ){ }( )( ){ }

{ }

/

/

/

/

A x U x A

x U x A

x U x A

x U x A

A

Î Ï

= Î - Î

= Î - - Î

= Î Î=

B

Operaciones binarias:

Unión de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, se define la “unión de ambos conjuntos” (y se usa el signo “È ”) al conjunto formado tanto por los elementos que pertenezcan a uno, al otro o a ambos, es decir,

( ) ( ) { } / " " È Î Ú ÎBA B A B x x A x B

Presentaremos también otra definición alternativa, equivalente a la presentada arriba, que hace referencia a las definiciones por comprensión de A y de B; esta definición tiene un contenido lógico más evidente50 pues utiliza explícitamente los predicados que permiten

definir a A y a B. Es ésta: siendo [ ]{ }/ =A x P x y siendo [ ]{ }/ =B x Q x ,

( ) ( ) [ ] [ ]{ } / " " È ÚBA B A B x P x Q x

Propiedades de la operación de unión de conjuntos

Se suelen mencionar las siguientes propiedades básicas de la unión de conjuntos:

Propiedad de idempotencia ( ) A A A A" È =

Propiedad conmutativa ( ) ( ) A B A B B A" " È = È

Propiedad asociativa ( ) ( )( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C" " " È È = È È

Propiedad de identidad del vacío ( ) , A A A A A" ÈÆ = ÆÈ =

(para la operación unión, el vacío genera identidad)

Propiedad de universalidad del referencial

( ) A A U U" È =

junto con esta otra de uso muy corriente:

( ) ( ) A B A B A B B" " Ì « È =

además, la propiedad asociativa permite escribir, sin ambigüedad,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C A B C" " " È È = È È = È È

50 Así como buena parte de la matemática se apoya en la teoría de conjuntos, ésta a su vez se sustenta en la lógica.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 11 – Pág. 4

Algunos lineamientos para las demostraciones

Dado que nuestra teoría no es axiomática sino intuitiva, los caminos de demostración no parten de axiomas sino que necesariamente deberán partir de las definiciones presentadas en esta teoría y de las conclusiones (proposiciones, propiedades, teoremas, etc.) que de ellas se derivan, o bien acudir a las propiedades del cálculo deductivo sobre el cual la teoría está basada[ver 33].

Demostración de la idempotencia de la unión, È =A A A , utilizando en todo lo posible las propiedades del cálculo lógico:

Siendo [ ]{ }/ =A x P x , se infiere que [ ] [ ]{ }/ È = ÚA A x P x P x

[ ]{ }/ = x P x

= A

Demostración de la existencia de elemento neutro para la unión, ÈÆ =A A , usando definiciones y propiedades demostradas anteriormente en la teoría de conjuntos:

Por definición, { }/ È Î Ú ÎBA B x x A x B , definición válida "B ; entonces se infiere que

{ }/ ÈÆ = Î Ú ÎÆA x x A x y como ÎÆx siempre es F,

{ }/ = Îx x A

= A

Demostración de la propiedad asociativa ( ) ( )È È = È ÈA B C A B C .

A esta propiedad la demostraremos dos veces, para comparar métodos. Primero utilizando en todo lo posible las herramientas de la teoría de conjuntos y luego empleando más explícitamente a la lógica, siempre subyacente a la teoría de conjuntos.

1º) Demostración utilizando resultados previos de la teoría de conjuntos:

( ) ( )( )" " "A B C ( )( )Î È Èx A B C ( )Û Î È Ú Îx A B x C

( )Û Î Ú Î Ú Îx A x B x C

( )Û Î Ú Î Ú Îx A x B x C

( )Û Î Ú Î Èx A x B C

( )( )x A B CÛ Î È È

de donde ( ) ( )( )" " "A B C ( ) ( )È È = È ÈA B C A B C

2º) Demostración acudiendo a los esquemas proposicionales que caracterizan a los conjuntos:

Si llamamos [ ]{ }/ =A x P x , [ ]{ }/ =B x Q x y [ ]{ }/ =C x R x ,

entonces resulta que

( )È ÈA B C [ ]{ } [ ]{ }( ) [ ]{ }/ / Q x / = È Èx P x x x R x por substitución,

[ ] [ ]{ } [ ]{ }/ Q x / = Ú Èx P x x R x por definición de unión,


[ ] [ ]( ) [ ]{ }/ Q x= Ú Úx P x R x por definición de unión,

[ ] [ ] [ ]( ){ }/ Q x= Ú Úx P x R x por asociatividad de la disyunción,

[ ]{ } [ ] [ ]{ }/ / Q x= È Úx P x x R x por definición de unión,

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }( )/ / Q x / = È Èx P x x x R x por definición de unión,

( )= È ÈA B C por substitución.

Por supuesto, en ambas demostraciones utilizamos pasos lógicos, pues de la lógica no se puede prescindir; lo que intenta este doble ejemplo es señalar que pasos como

( ) Î È Ú Îx A B x C ( ) x A x B CÛ Î Ú Î È

encierran tras ellos argumentaciones deductivas del cálculo de predicados:

como la siguiente es una equivalencia lógica,

[ ] [ ]( ) [ ]Q xP x R xÚ Ú [ ] [ ] [ ]( ) Q xP x R xÛ Ú Ú

es válido realizar la siguiente substitución:

[ ] [ ]( ) [ ]{ }/ Q xx P x R xÚ Ú [ ] [ ] [ ]( ){ } / Q xx P x R x= Ú Ú


Para { } { } { }{ } { }{ } { } { }1, 3, 5 , 1, 2 , 3 , 1, 3, 5 , 1, 3, 5, 7, , / 5= = = = = Î ³K ¥A B C D E x x

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

A C A B A E A D

C A B C B E B D

C D A B C A B D A C E

A E B E C E B C E

È È È ÈÈ È È ÈÈ È È È È È È

È È È È È

Intersección de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, se define la “intersección de ambos conjuntos” (y se usa el signo “Ç ”) como el conjunto formado por los elementos que pertenezcan tanto a uno como al otro, es decir,

( ) ( ) { } / " " Ç Î Ù ÎBA B A B x x A x B

Definición alternativa utilizando explícitamente los predicados que permiten definir a A y a B:

siendo [ ]{ }/ =A x P x y siendo [ ]{ }/ =B x Q x ,

( ) ( ) [ ] [ ]{ } / " " Ç ÙBA B A B x P x Q x

Propiedades de la operación de intersección de conjuntos

Se suelen mencionar las siguientes propiedades básicas de la intersección entre conjuntos:

Propiedad de idempotencia ( ) A A A A" Ç =


Propiedad conmutativa ( ) ( ) A B A B B A" " Ç = Ç

Propiedad asociativa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C" " " Ç Ç = Ç Ç

Propiedad cancelativa del vacío ( ) A A" ÇÆ = Æ

Propiedad de identidad del universal ( ) A A U A" Ç =

(para la operación intersección, el universal de referencia genera identidad)

junto con esta otra de uso muy corriente:

( ) ( ) A B A B A B A" " Ì « Ç =

además, la propiedad asociativa permite escribir, sin ambigüedad,

( ) ( )( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C A B C" " " Ç Ç = Ç Ç = Ç Ç


Para { } { } { }{ } { }{ } { } { }1, 3, 5 , 1, 2 , 3 , 1, 3, 5 , 1, 3, 5, 7, , / 5= = = = = Î ³K ¥A B C D E x x

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

A C A B A E A D

C A B C B E D E

C D A B C A B D A D E

A E B E C E B C E

Ç Ç Ç ÇÇ Ç Ç ÇÇ Ç Ç Ç Ç Ç Ç

Ç Ç Ç Ç Ç

Diferencia entre conjuntos

Dados los conjuntos A y B, se define la “diferencia entre ambos conjuntos” (y se usa el signo “- ”) como el conjunto formado por los elementos que pertenezcan al primero pero no al segundo, es decir,

( ) ( ) { } / " " - Î Ù ÏBA B A B x x A x B



( ) ( ) [ ] [ ]{ } / " " - Ù -BA B A B x P x Q x

Propiedades de la operación de diferencia entre conjuntos

Se suelen mencionar las siguientes propiedades básicas de la diferencia entre conjuntos:

Propiedad cancelativa ( ) A A A" - = Æ

No es conmutativa en general ( ) ( ) A B A B A B B A" " ¹ ® - ¹ -

No goza de la propiedad asociativa

Propiedad de neutro a derecha ( ) A A A" -Æ =

Propiedad cancelativa a izquierda ( ) A A" Æ - = Æ


junto con estas otras de uso muy corriente:

( ) ( ) A B A B A A B" " - = « Ç = Æ

( ) ( ) A B A B A B" " - = Æ « Ì

( ) ( ) A B A B B A" " - Ç - = Æ


Para { } { } { }{ } { } { }1, 3, 5 , 1, 2 , 3 , 1, 3, 5, 7, , / 5= = = = Î ³K ¥A B D E x x

describir por extensión, considerando que el universal de A, D y E es ¥ y que el universal

de B y C es ( )È¥ ¥P :

1 23 45 67 89 1011 12

. . . . . . . . . . . .

D A A DB A A BD B B DD B B DB E D EA E E A

- -- -- -- -- -- -

Diferencia simétrica entre conjuntos

Dados los conjuntos A y B, se define la “diferencia simétrica entre ambos conjuntos” (y se usa el signo “D ”) como el conjunto formado por los elementos que pertenezcan al primero o al segundo pero no a ambos, es decir,

( ) ( ) { } / A B A B x x A B x A B" " D Î È Ù Ï ÇB



( ) ( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ } / A B A B x P x Q x P x Q x" " D Ú Ù - ÙB

Propiedades de la operación de diferencia simétrica entre conjuntos

Propiedad cancelativa ( ) A A A" D = Æ

Propiedad conmutativa ( ) ( ) A B A B B A" " D = D

Propiedad asociativa ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C A B A B C A B C" " " D D = D D

Propiedad del vacío como elemento neutro ( ) ( ) , A A A A A A" D Æ = " Æ D =



Para { } { } { }{ } { } { }1, 3, 5 , 1, 2 , 3 , 1, 3, 5, 7, , / 5= = = = Î ³K ¥A B D E x x

describir por extensión, considerando que el universal de A, D y E es ¥ y que el universal

de B y C es ( )È¥ ¥P :

1. 2. 3.

4. 5. 6.

A B A D A E

A E B E D E

D D D

D D D

Producto cartesiano de dos conjuntos

Definición previa: par ordenado de elementos de conjuntos previamente conocidos.

Dados los conjuntos [ ]{ }/ A x P x= y [ ]{ }/ QB y y= , y tomando en cuenta el orden en que

estos conjuntos se presentan, llamaremos “par ordenado proveniente de los conjuntos A y B” al par ( ), a b donde , a A b BÎ Î y se tiene en cuenta su orden, el mismo en que fueron presentado los conjuntos de origen51, lo que ya vimos al describir las operaciones binarias.

Igualdad de pares ordenados

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , A

A B C D a A b B c C d D

a b c d C B D a c b d

" " " " " Î " Î " Î " Î

= Û = Ù = Ù = Ù =

(puede demostrarse utilizando la definición formal de par ordenado, citada en la nota al pie nº 51).

Definición: producto cartesiano de dos conjuntos.

Dados los conjuntos A y B, se define al “producto cartesiano de ambos conjuntos” (y se usa el signo “X”) como el conjunto formado por todos los pares ordenados provenientes de estos, es decir:

( ) ( ) ( ){ } X , y / A B A B x x A y B" " Î Ù ÎB

Ejemplo: Para { } { }, , , , A a e i B r s= = es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } X , , , , , , , , , , ,A B a r a s e r e s i r i s= .

51 Más formalmente, dados A y B en ese orden con , a A b BÎ Î , se llama “par ordenado proveniente de A y B ” al

conjunto { } { }{ }, ,a a b (definido así para no dejar dudas sobre cuál es el primer elemento), conjunto que se abrevia con

( ), a b . No debe perderse de vista, entonces, que ( ), a b es una representación abreviada de un conjunto., y que

( ) ( ), , a b b a¹ salvo cuando A B a b= Ù = . Cabe aquí, también, citar las sensatas consideraciones de Halmos P.

Teoría intuitiva de los conjuntos, CECSA, México, 1967, pág. 38 (Secc. 6 in fine):

«Por muy importante que sea ahora la teoría de los conjuntos, cuando comenzó, algunos eruditos la consideraron como una enfermedad de la cual era

deseable que los matemáticos se recobrasen pronto. Por esta razón, muchas consideraciones de la teoría de los conjuntos fueron llamadas patológicas y la

palabra tiene cabida en la usanza matemática: a menudo se refiere a algo que no gusta al que habla. La definición explícita ( ) { } { }{ }, , ,a b a a bB de par

ordenado es relegada frecuentemente a la teoría de conjuntos patológica. En pro de aquellos que consideran que en este caso el nombre es merecido,

hacemos notar que la definición ha servido a su propósito por ahora y no se volverá a usar más. […]».


Notación: cuando A B= se suele escribir 2 XA A AB .

Propiedades de la operación de producto cartesiano de conjuntos

Se suelen utilizar las siguientes propiedades básicas del producto cartesiano de conjuntos:

( ) ( ) X X A B R A S B R S A B" " Ì Ù Ì Û Ì

( ) X , X A A A" Æ = Æ Æ = Æ

Nótese que el producto cartesiano no goza de la propiedad conmutativa.

Señalemos que, utilizando la definición formal de par ordenado que acabamos de presentar, el producto cartesiano como operación binaria tampoco goza de la propiedad asociativa. Pero cabe señalar al respecto que al producto cartesiano como operación generalizada, el cual presentaremos poco más adelante, sí se lo puede dotar de la propiedad asociativa como podemos anticipar con el siguiente

ejemplo:

{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ }

( )

Sean los conjuntos/ es vocal del idioma castellano y

/ es consonante del idioma castellano ;

entonces es X , , , ,..., , , , , , ,..., , , , , , ,..., , .

Siendo además 1,2,3,... , resulta

X X

A x x

B x x

A B a b a c a z e b e c e z u b u c u z

A B

==

=

=¥

( )( ) ( )( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( )( ) ( )( ){ }

( ) { } { }{ }( )( ) ( ){ } ( ){ }{ } { } { }{ }{ } { } { }{ }{ }{ }( )( ) { }

, ,1 , , ,1 ... ,

y como

X ,1 , ,1 ,..., ,1 , ,2 ,... , resulta

X X , ,1 , , ,1 ,... .

Aplicando la , , , , obtenemos por ejemplo

, ,1 , , , ,1 , , , , , ,1 y

, ,1

a b a c

B b c z b

A B a b a c

x y x x y

a b a b a b a a b a a b

a b a

=

=

=

= =

=

¥

¥

¥

Bdefinición formal de par ordenado

( ){ }{ } { } { } { }{ }{ }{ }( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , ,1 , , , ,1 .

De aquí, evidentemente, , ,1 , ,1 , o sea, en general, , , , ,

y por lo tanto, X X X X ; o sea, en general, X X X X .

a b a a b b

a b a b x y z x y z

A B A B X Y Z X Y Z

=

¹ ¹

¹ ¹¥ ¥

En otras palabras, si en nuestra exposición de la teoría (nótese que es un discurso argumentativo) utilizáramos la definición formal de par ordenado ( ) { } { }{ }, , ,x y x x yB , arribaríamos deductivamente a que la operación binaria de producto cartesiano NO goza de la propiedad asociativa.

Lo que nos impediría hablar, aquí, por ejemplo de un supuesto elemento ( ) , ,1 X Xa b A BÎ ¥ o, más generalmente, de una supuesta pertenencia ( ) , , X Xx y z X Y ZÎ .

Pero sucede que convendría que la operación de producto cartesiano que se necesita en la matemática aplicada, SÍ gozara de esa propiedad. Sin ir más lejos, para dar entidad lícita y poder operar cómodamente, por ejemplo, con puntos del espacio geométrico intuitivo tridimensional ( ) 3, ,x y z Î¡ donde, recordemos, 3 X X=¡ ¡ ¡ ¡ .


Por este tipo de razones, en lo que sigue utilizaremos otro camino para introducir la operación “producto cartesiano generalizado”, camino que nos permitirá inferir lógicamente que el producto cartesiano SÍ goza de la propiedad asociativa (relea las consideraciones de Halmos citadas anteriormente).


Para { } { }{ } { } { }1, 3, 5 , 1, 3, 5 , / 5 , , A C E x x F a e= = = Î ³ =¥

1. describir por extensión, considerando que el universal de A y E es ¥ , que el universal

de C es ( )È¥ ¥P y que el universal de F es el conjunto de vocales del alfabeto castellano:

1 2 3 4 5 6 7. X . X . X . X . X . X . X A F F A A C F E F C C E A A

2. ¿Cuál o cuáles de los incisos anteriores cambiaría(n) si el universal de F fuera el conjunto de todas las letras del alfabeto castellano?


INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS (Continuación)

Algunas propiedades en las que intervienen más de una operación con conjuntos

Luego de presentar operaciones con conjuntos, hemos continuado en cada caso con las propiedades más importantes de cada una.

Pero también existen otras propiedades que involucran a más de una operación; y como es conveniente presentarlas por separado, las trataremos aquí.

Enunciemos entonces algunas de ellas, dando por declarados el referencial U y las respectivas cuantificaciones universales sobre U que les corresponden por ser “propiedades”:

Propiedad distributiva de la unión con respecto a la intersección

( ) ( ) ( )A B C A B A CÈ Ç = È Ç È

Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión

( ) ( ) ( )A B C A B A CÇ È = Ç È Ç

Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia simétrica

( ) ( ) ( ) A B C A B A CÇ D = Ç D Ç

NOTA: la distribución de la unión con respecto a la diferencia simétrica no es propiedad.

Propiedad distributiva del producto cartesiano con respecto a la unión

( ) ( ) ( ) X X B X CA B C A AÈ = È

Propiedad distributiva del producto cartesiano con respecto a la intersección

( ) ( ) ( ) X X B X CA B C A AÇ = Ç

Relaciones entre el complemento y el universal de referencia

Sea U el universal de referencia; entonces

A U A= -

Propiedades (conocidas por extensión como “Leyes”) de De Morgan

A B A BÈ = Ç

A B A BÇ = È

Relación entre la inclusión y la complementación

A B B AÌ Û Ì


OPERACIONES GENERALIZADAS CON CONJUNTOS

Introducción

Hasta ahora hemos definido operaciones unarias (“1-arias”) y binarias (“2-arias”).

Algunas de ellas gozan de la propiedad asociativa. Esto es, suponiendo por un momento que estamos hablando de una operación cualquiera e , si esta operación gozara de la

propiedad ( ) ( )A B C A B C=e e e e , esto nos da derecho a escribir, sin riesgo de

ambigüedad, ( ) ( )A B C A B C A B C= =e e e e e e .

Es el caso, por ejemplo, de la unión donde hemos demostrado que podemos escribir ―sin riesgo de cometer ambigüedades― A B CÈ È , o el de la intersección, A B CÇ Ç . Por supuesto, de la demostración de la propiedad asociativa también surge que esta notación puede extenderse a más de tres conjuntos; sea a título de ejemplo:

( )( ) ( )A B C D A B C DA B C D

È È È = È È È= È È È

y de la misma manera

( )( )( )( )

( )( )

A B C D A B C D

A B C D A B C D

A B C D A B C D

È È È = È È ÈÈ È È = È È ÈÈ È È = È È È

O sea, sin riesgo de ambigüedades puede extenderse a una cantidad finita de conjuntos, a una cantidad infinita de conjuntos que sea numerable, e incluso a cualquier otra cantidad infinita de conjuntos incluso no numerable.

Esto nos permite ampliar la definición de estas operaciones excediendo el marco de las operaciones “binarias”, permitiendo que sus operandos sean más de dos (para aclarar ideas, a A B CÈ È la podemos concebir como la “unión de tres conjuntos”).

Familias de conjuntos

Formalicemos el concepto de “familia de conjuntos”.

Sea el conjunto referencial U , y sea su conjunto de partes ( ) { } / U A A U= ÌP , conjunto

formado por todos los subconjuntos de U , es decir, formado por todos los conjuntos incluídos en el universal de referencia U .

Sea F un subconjunto de ( )UP . Por lo tanto, F es un conjunto cuyos elementos son

subconjuntos de U .

A cualquier conjunto F que satisfaga ( )UÌF P se lo denomina familia de conjuntos F .

Ejemplo:

Sea { }, U s t= , de donde ( ) { } { } { } { }{ } { } { }{ }, , , , , , ,U s t s t s t U= = ÆP .

Entonces son familias, por ejemplo, { }{ }, ,s U= ÆF , { } { }{ }, ,s t t=G , { }, = Æ = ÆH I .


A la familia { }, ,A B C=F se la suele referir también como la “familia F formada por los conjuntos , y A B C ” (pues por la propia definición de familia, todos sus elementos al ser subconjuntos resultan ser conjuntos).

Siendo cada elemento X del conjunto F a su vez un conjunto, aunque no se inique explícitamente a qué universal se refiere F igualmente puede afirmarse que existe al menos un conjunto que satisface los requisitos para serlo; si lo llamamos U, éste sería

{ }/ U x X X= Î ÎF ,

o sea, el conjunto formado por todos los elementos pertenecientes a los conjuntos que pertenecen a la familia F .

Al concepto de “familia” (o también el de “clase” o “colección”, como sinónimos de “familia”, base de lo que en teorías más avanzadas permite introducir el concepto de “tipo”) introducido de esta manera, lo presentamos aquí porque lo necesitamos para construir otro concepto, el de operación generalizada, puesto que utilizando familias evitamos el riesgo de caer en el concepto vago de “conjunto de conjuntos” que nos puede llevar al de “conjunto de todos los conjuntos” el cual, como ya mencionamos en más de una oportunidad, constituye una contradicción.

Recorramos diversas variantes de familias.

Hay familias de conjuntos que tienen una cantidad finita de elementos, como ser

la familia formada por , , , , A B C D E

o bien

1 2 3 4 5la familia formada por , , , , A A A A A

que se puede abreviar como

la familia de los donde 1, 2, ,5iA i = K

o como

{ }la familia de los donde 1, 2, ,5iA i Î K

o bien

[ ]la familia de los donde 1, 5iA i Î Ì ¥

(está claro que [ ]1, 5 es el intervalo cerrado de los números naturales del 1 al 5),

o en el caso de que sea { }1, 3, 5L = Ì ¥ , la familia 1 3 5, , A A A puede ser descripta como

la familia de los donde iA i LÎ .

A todas estas notaciones las estamos presentando porque nos serán útiles para definir las operaciones generalizadas.

Hay, también, familias de conjuntos que tienen una cantidad infinita numerable de elementos, como ser

la familia formada por , , , , ,A B C D EK

o bien

1 2 3 4 5la familia formada por , , , , ,A A A A A K


la que se puede abreviar como

la familia de los donde 1, 2, 3,iA i = K

o como

{ }la familia de los donde 1, 2, 3,iA i Î K

o bien como

la familia de los donde iA i Î¥

o en el caso de que sea { }1, 3, 5,L = ÌK ¥ , 1 3 5la familia , , , puede describirse comoA A A K

la familia de los donde iA i LÎ

(notar que en este caso el conjunto L es un conjunto infinito).

Y así como en este último caso L es un conjunto infinito numerable , sin entrar aún en mayores precisiones (las que haremos en un capítulo posterior) podríamos presentar este otro caso, el de un conjunto infinito no numerable:

siendo por ejemplo [ ]0, 1L = Ì ¡ , podremos definir a

la familia de los donde A LÎl l ,

que es una familia con una cantidad infinita no numerable de conjuntos pues L es un conjunto infinito no numerable.

Por ejemplo:

la familia de los intervalos abiertos de forma ( )0, donde A L= Ì Î¡l l l

En este último caso hemos utilizado l como subíndice para evitar usar i, j, etc. pues éstos se utilizan para contar (toman valores naturales), lo que sucede cuando se trabaja con conjuntos infinitos numerables, y no es éste el caso.

Tomando todo lo anterior en consideración, estamos ya en condiciones de definir las siguientes operaciones generalizadas, y la notación abreviada que se utiliza para representarlas.

Operaciones generalizadas

Teniendo presente las definiciones de las operaciones binarias presentadas, y la acotación que hicimos sobre la asociatividad del Producto Cartesiano (la que nos permitirá hablar con libertad de n-uplas ordenadas), introduciremos a las operaciones generalizadas como una simple generalización de sus respectivas operaciones binarias, pero aplicadas, en este caso, a todos los miembros de una familia F de conjuntos en vez de sólo a dos conjuntos.

Unión generalizada de conjuntos

Definición:

Sea el referencial U y la familia de conjuntos ( )UÌF P ; entonces

( ){ }/ A

A x A x AÎ

$ Î ÎF

FBUUNMdP – FCEN - LOGICA – 2ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 12 – Pág. 4

Nótese que si tuviéramos, por ejemplo, la familia { }1 2 3 4, , , A A A A=F , el verdadero concepto de ‘unión generalizada de todos sus elementos’ es 1 2 3 4A A A AÈ È È , expresión que en los párrafos anteriores intentamos dar sentido pues hasta ahora la unión era sólo una operación binaria. La notación

A

AÎFU es sólo una expresión abreviada y útil de ese concepto.

Dependiendo de la cardinalidad de la familia F (más adelante definiremos con precisión el concepto de “cardinalidad”; por el momento léase “dependiendo de la cantidad de elementos de la familia F”), es práctico agregar algo más de precisión a la definición.

Cuando la familia es finita:

1 21

i n

n

iA A A A

=È È ÈB KU

o bien, siendo { }1, 2, ,L n= ÌK ¥ un conjunto finito:

1 2i ni L

A A A AÎ

È È ÈB KU

Cuando la familia es infinita numerable:

1 2 31

ii

A A A A=

¥È È ÈB KU

o bien

1 2 3ii

A A A AÎ

È È È¥

B KU

o bien, siendo L el conjunto infinito numerable { }1 2 3, , ,L n n n= ÌK ¥ ,

1 2 3i i

i

n n n n nin L

A A A A AÎÎ

È È È =¥

B KU U .

Pongamos un ejemplo: sea el conjunto { } { }1, 3, 5, / 2 1 con L n n i i= = Î = × - ÎK ¥ ¥ y

llamemos, por comodidad, 2 1in i= × - . Con esta notación, L resulta ser { }1 2 3, , ,L n n n= K

. Y si deseáramos usar a { }1, 3, 5,L = K como subíndices de la familia 1 3 5, , ,A A A K , entonces en vez de 1, 3, 5, … podremos denotar a la familia de esta otra manera:

1 2 3, , ,n n nA A A K , que es lo que nos permitó escribir la definición de arriba así:

ini

AÎ¥U

pues estamos hablando, en realidad, de

2 1ii

A -Î¥U .

La unión de una familia infinita no numerable de conjuntos toma la siguiente forma:

, siendo en este caso un conjunto infinito no numerableL

A LÎl lU .


Intersección generalizada de conjuntos

Definición:

Sea el referencial U y la familia de conjuntos ( )UÌF P ; entonces

( ){ }/ A

A x A x AÎ

" Î ÎF

FBIDependiendo de la cardinalidad de la familia F, es práctico agregar algo más de precisión también a la definición de intersección generalizada.


1 21

i n

n

iA A A A

=Ç Ç ÇB KI

o bien, siendo { }1, 2, ,L n= ÌK ¥ un conjunto finito:

1 2i ni L

A A A AÎ

Ç Ç ÇB KI

Cuando la familia es infinita numerable:

1 2 31

ii

A A A A=

¥Ç Ç ÇB KI

o bien

1 2 3ii

A A A AÎ

Ç Ç Ç¥

B KI

o bien, siendo L el conjunto infinito numerable { }1 2 3, , ,L n n n= ÌL ¥ ,

1 2 3in L i

i in n n n nA A A A AÎ Î

Ç Ç Ç =¥

B KI I .

La intersección de una familia infinita no numerable de conjuntos toma la siguiente forma:

, siendo en este caso un conjunto infinito no numerableL

A LÎl lI .

Introducción a la definición de producto cartesiano generalizado de conjuntos

Así como para presentar el producto cartesiano hemos necesitado introducir previamente el concepto de par ordenado, para la generalización del concepto de producto también se necesita generalizar el concepto de par:

Concepto de n-upla ordenada

Para definir Producto Cartesiano Generalizado, primero debemos definir expeditivamente a la n-upla ordenada de elementos, como generalización informal del concepto de par ordenado (dupla ordenada) de elementos de un par de conjuntos presentados en orden52

52 Esta generalización informal consiste en considerar “indistinguibles” a las ternas ordenadas ((a,b),c) y (a,(b,c)) por ejemplo, permitiendo escribirlas como (a,b,c) y acarreando como consecuencia adicional que el producto cartesiano generalizado así SÍ RESULTA SER una operación asociativa: en el caso, ( ) ( ) X X X X X X A B C A B C A B C= = . Decimos “informal” porque estamos obviando la formalización (a,b) = {{a}, {a,b}}, y obviarla es un argumento válido pues nuestra teoría de conjuntos es intuitiva.


(sin hacer uso de la definición formal de par ordenado; sencillamente, la ubicación de cada componente de una n-upla ordenada indica unívocamente, a través del subíndice, a cuál de los factores del producto cartesiano de donde proviene pertenece: pertenecerá a aquel conjunto que, en la expresión del producto, tenga el mismo subíndice, o sea, a aquel factor que esté en la misma posición que la respectiva componente), así:

Definición:

Sea el intervalo natural L Ì ¥ finito o infinito numerable donde 1 LÎ ; sea un referencial

cualquiera U; sea una familia de conjuntos ( )UÌF P subindicada iA con i LÎ ; entonces llamaremos

n-upla ordenada ( )1 2, , , ix x xK con i LÎ

(eventualmente tupla infinita ordenada ( )1 2, , , ,ix x xK K con i LÎ )

a cualquier sucesión ( )i i Lx Î de elementos ix encerrada entre paréntesis, provenientes cada

uno de estos elementos de cada uno de los conjuntos iA ÎF respectivamente subindicado

con i LÎ , es decir, i ix AÎ .

Ejemplo:

Sea el intervalo natural { }1,2,3L = Ì ¥ ;

Sea el referencial { }/ es una letra del alfabeto castellanoU x x= ;

Sean la familia { }1 2 3, , A A A=F donde

{ }{ }{ }

1

2

3

/ es una vocal del alfabeto castellano

/ es una consonante del alfabeto castellano

/ es una vocal del alfabeto castellano

A x x U

A x x U

A x x U

= Ì= Ì= Ì

y donde los subíndices i de los Ai pertenecen a L ;

entonces, si a las siguientes sucesiones ( )i i Lx Î (o a cualesquiera otras que respondan a

esta ley de formación):

u, h, i

o, t, u

a, b, i

las encerráramos entre paréntesis, obtendremos las 3-uplas (o triples) ordenados siguientes:

( ) 1 2 3, , X X u h i A A AÎ

( )

3

1

, , X ii

o t u A=

Î

( )

, , X ii L

a b i AÎ

Î


Producto Cartesiano generalizado de conjuntos

Contando con la definición previa de n-upla ordenada, ya estamos en condiciones de definir la operación Producto Cartesiano Generalizado.

Definición:

Sea el intervalo natural L Ì ¥ finito o infinito numerable donde 1 LÎ ; sea el referencial U;

sea la familia de conjuntos ( )UÌF P subindicada iA con i LÎ ; entonces llamaremos

Producto Cartesiano Generalizado de los conjuntos de la familia F subindicada con L, a:

( ){ }

/ X i i i ii Li LA x x AÎÎ

ÎB

Dependiendo de la cardinalidad de L, es práctico agregar algo más de precisión a la definición.

Para comenzar consideraremos el siguiente ejemplo finito con [ ]1, 5L = Ì ¥

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , , , X X X X a a a a a A A A A AÎ

Más generalmente, para una cantidad finita de n conjuntos iA dados en el orden natural ¥ ,

o sea, con [ ]1, L n= Ì ¥ , tenemos:

( )1 1, , X X n na a A AÎK K

También consideraremos el caso infinito numerable de conjuntos presentados en el mismo orden que el conjunto natural ¥ , es decir, L = ¥ :

( )1 2 3 1 2 3, , , X X X a a a A A AÎK K

Definidas estas n-uplas ordenadas (nótese que en esta asignatura no consideramos el producto carsesiano para el caso infinito no numerable), ya estamos en condiciones de definir notaciones abreviadas para el caso finito y para el caso infinito numerable:


1 21 X X X X i n

n

iA A A A

=B K

o bien, siendo [ ]1, 2, ,L n= ÌK ¥ un conjunto finito53 (cuyo orden claramente respeta el

orden de los ¥ pues es un intervalo natural, e incluye además al 1 como primer elemento):

1 2 X X X X i ni LA A A A

ÎB K

53 Nótese que, a pesar de que { }1, 2, ,L n= K es un conjunto finito, no sería correcto definir

1 2 X X X X nii LA A A A

ÎB K ,

pues en ningún lugar de X ii L

AÎ

queda indicado el orden de selección de los iA , y como L no es un conjunto ordenado, no hay nada que

indique el orden en que aparecen las componentes de las n-uplas; o sea, no pueden ser “n-uplas ordenadas”, siendo imprescindible que lo

sean para concebir la operación de producto cartesiano. Por ejemplo, hay que saber a cuál de los iA corresponde la primera componente.


Y cuando la familia es infinita numerable:

1 2 31 X X A X X ii

A A A=

¥B K

o bien

1 2 3 X X A X X ii

A A AÎ¥

B K


Siendo

[ ] ( )

[ ]

[ ] [ ] [ ]

1, 1 , 1 ,

1 11, 1 1, 1 0, 1

1, 4 0, 1 0, 1

i i

i i i

i i i

iA i i B i i C i ii

D E Fi i

G Q T

é ù= + Ì = + Ì = + Ìê úë û

é ù æ ö= + Ì = + Ì = Ìç ÷ê úë û è ø

= Ì = Ì = Ì

¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡

¥ ¤ ¡

Evaluar

5 5 5 5

0 0 0 1

5 5 5 5

1 1 1 1

5 5

1 1 1 1

2 3 3

1 1 1 1

2 22

1 1

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18.

XX X X

X X

i j i ii j i i

i i i ii i i i

i i i ii i i i

i i i ii i i i

i ii i

A A B C

D E F F

A D D E

G Q G T

= = = =

= = = =

= = = =

¥

= = = =

= =

¥ ¥

º º¢ ¢ ¡ ¡

U U U U

U U U I

I I I I

3 52 3 5

1 1

19. 20. X Xi ii i= =

º º¡ ¡ ¥ ¥


RELACIONES

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora, en nuestra introducción a la teoría de Conjuntos nos hemos encontrado con dos categorías conceptuales importantes: por una parte, las entidades conceptuales básicas, sus vínculos y categorizaciones (conjunto y elemento, pertenencia, inclusión, conjunto vacío, conjunto universal de referencia, conjunto de partes) y por otra, las operaciones que se pueden realizar con estas entidades (complementación, unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, producto cartesiano, operaciones generalizadas).

En lo que sigue veremos otra manera de vincular conjuntos (y de vincular sus elementos) que resulta ser una de las bases más fructíferas de la matemática: las Relaciones, y más específicamente un caso particular de ellas, las Funciones.

Será muy conveniente tener presente, de aquí en más, que en todos los desarrollos haremos permanente referencia, por más que no los mencionemos cada vez, a los conjuntos, y en particular al producto cartesiano de conjuntos.

Y a su vez, subyacente a todo nuestro soporte conjuntista, estará siempre presente la lógica.

RELACIONES ENTRE DOS CONJUNTOS

Partiremos de dos conjuntos cualesquiera [ ]{ }/A x U P x= Î y [ ]{ }/B y V Q y= Î , esto es,

conjuntos A y B definidos respectivamente por dos esquemas proposicionales cualesquiera

[ ]P x y [ ]Q y con sus respectivos universos de referencia U y V.

Habiendo definido con claridad quiénes son A y B, tenemos también definido su producto

( ){ } X , /A B x y x A y BÎ Ù ÎB

el cual, como sabemos, es también un conjunto.

Ya estamos en condiciones de definir una “Relación” o “Correspondencia” entre dos

conjuntos; en general, se las suele simbolizar por cursivas mayúsculas: R, S, T, U, V, etc.:

diremos entonces que cualquier subconjunto de A X B es una Relación R entre los

conjuntos A y B:

Relación R entre los conjuntos A y B B un conjunto R X A BÌ

Ejemplo.

Sean los referenciales U { } , , , , ,a b c y z= K y V= ¥ , y sean los conjuntos

{ }, ,A p q r U= Ì y { }1, 2B = Ì ¥ .

Sabemos que el producto cartesiano de estos dos conjuntos, dados en ese orden, es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } X ,1 , ,2 , ,1 , ,2 , ,1 , ,2A B p p q q r r= .


A partir de esto, ya podemos definir algunas relaciones entre A y B:

R ( ) ( ) ( ){ },1 , ,2 , ,1p p q=

S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ },1 , ,2 , ,1 , ,2 , ,1 , ,2p p q q r r=

U ( ) ( ) ( ){ },2 , ,2 , ,2p q r=

V ( ) ( ) ( ){ },1 , ,1 , ,2p r r=

Utilizando ejes coordenados cartesianos ortogonales para el primer y segundo factor del producto cartesiano (en realidad no se los suele dominar “factores”, se usan otros nombres, como veremos) y A U B VÌ Ì , podemos plantear sus representaciones gráficas:


En estas gráficas debe ser claro que tanto A como B son los conjuntos de tres y de dos elementos, respectivamente, y no las líneas contínuas utilizadas, para mayor claridad, como ejes coordenados.

Consideración sobre notaciones

Para tener totalmente definida una relación, es necesario conocer cuáles son los dos conjuntos de cuyo producto dicha relación es subconjunto; esto es, para tener totalmente definida R hay que saber cuáles son los A y B tales que XA BÌR .

Sin embargo, esto no significa que siempre haya que explicitarlos; A y B pueden omitirse, siempre y cuando se puedan desprender del contexto de la expresión.


Otras consideraciones previas

Hay situaciones (que son las que más nos interesarán) donde el vínculo entre la primera y la

segunda componente del par ordenado puede ser expresado en forma comprensiva

(entiéndase “comprensiva” en el sentido en que se utilizó este término cuando hablamos de

definición de conjuntos: por “forma comprensiva” no estamos diciendo que es una expresión

que “se comprende mejor”, sino que permite expresar la relación en forma sintética, por

medio de una definición por comprensión).

Ejemplos:

Dados los siguientes conjuntos definidos por comprensión

{ }/ es una letra del alfabeto castellanoA x x= y

{ }/ es una vocal del alfabeto castellanoB y y= ,

podemos definir por comprensión la relación

P ( ){ }, X / sea una palabra de la lengua castellanax y A B xy= Î

relación que (no cabe duda) sería muy laborioso definir por extensión:

P { }, , , , , , ,si no lo ve se le va= K

(nótese, por ejemplo, que g oÏP ).

Dados los conjuntos ¥ y ¡ podemos definir por comprensión la relación

D ( ){ }, X sea el doble que x y I y x= Î¥ ¡

la cual, sabiendo que tenemos por referencia a X¥ ¡ , puede escribirse

D ( ){ }, X = 2 x y I y x= Î ×¥ ¡

relación cuyos pares, evidentemente, tendrán la forma ( ), 2x x XÎ¥ ¡ .

Anticipemos informalmente por ahora, algunos conceptos que más adelante formalizaremos.

Al primer conjunto del producto cartesiano, A, se lo suele denominar también “conjunto de partida”, y al segundo conjunto del producto cartesiano, B, se lo suele denominar “conjunto de llegada”.

(En nuestro primer ejemplo, el conjunto de partida A sería el conjunto de todas las letras del alfabeto castellano, y el conjunto de llegada B sería el conjunto de las vocales).

La expresión ( ),a b ÎR también puede escribirse a bR .

Al conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados pertenecientes a una relación R se lo denomina “dominio” de la relación R, y se lo simboliza Dom(R).

Al conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados pertenecientes a una relación R se lo denomina “imagen” de la relación R, y se lo simboliza Im(R).


Relación “en” un conjunto dado A

En general, dados A y B cualesquiera, a cualquier subconjunto XA BÌR lo llamamos “relación entre A y B”.

Otra noción y denominación útil es el de “relación en A”. Cuando se tiene un producto cartesiano donde tanto el primer conjunto factor como el segundo son iguales (podríamos hablar del caso A X B donde A = B, pero es más sencillo hablar del caso A X A), entonces, a cualquiera de sus subconjuntos, como por ejemplo R X A AÌ , se lo denomina “relación R en A”.

Ejemplos de relaciones.

Un ejemplo de relación en { }, ,A p q r= es la “relación W en A” definida por

W ( ) ( ){ }, , , X p r r r A A= Ì .

Sea, [ ]0, 1A = Ì ¡ y [ ]1, 1B = - Ì ¡

La siguiente relación entre A y B : M Ì A X B definida comprensivamente así:

M ( ){ }, X / x y A B y x= Î =

tiene la siguiente gráfica:

Del propio gráfico surge cuáles son Dom(M) e Im(M). En este caso coinciden con los

conjuntos de partida A y de llegada B: Dom(M) = A e Im(M) = B.

Definamos por comprensión la relación N en ¥ , así

N ( ) ( ){ }2, / x y n y n x= Î $ Î = ×¥ ¥

la cual, dado un xÎ¥ , nos permite obtener los “múltiplos de x”, o sea, todos los yÎ¥

que satisfagan ( ),x y Î N.Ejercicio:

Encontrar algunos pares ordenados ( ),x y Î N.


Sea el conjunto { } { }2, 3, 4, 1A = = -K ¥ y sea la relación T en A definida por

T ( ) ( ) ( )( ){ }, X / x y A A z m A n A z mx z ny= Î $ Î $ Î $ Î = Ù =¥

Ejercicios:

Determinar algunos pares ordenados ( ),x y Î T. ¿Cómo definiría a T?

Encontrar cuál es la relación J = { ( ) ( ), / ,m n m n satisface la relación T }

Sea el conjunto { } { }2, 3, 4, 1A = = -K ¥ , y sea la relación D en A definida por

D ( ){ }, X / divide a x y A A x y= Î

(A esta misma relación, pero definida en ¢ , se la suele notar

D ( ){ }, X / |x y x y= Î¢ ¢ )

Ejercicios:

Determinar algunos pares ordenados ( ),x y Î D.

Determinar algunos pares ordenados ( ),x y que pertenezcan al complemento de D con respecto a su universal de referencia 2A .

Sea R el conjunto de todas las rectas del plano 2¡ , es decir, { }2 / es una rectaR r r= Ì ¡

(puesto que, por ser cada r un conjunto de puntos ( ) 2,x y Î¡ , cada recta r es un

subconjunto de 2¡ ).

Defininamos la siguiente relación en R :

P ( ){ }1 2 1 2, X / // r r R R r r= Î .

Ejercicios:

Determinar Dom(P).

Determinar Im(P).

¿Está bien planteada, así, la relación de paralelismo entre rectas del plano?

P ’ ( ){ }1 2 1 2, X / // r r r r= Ì ¡ ¡ .

¿Por qué?

¿Y así?

P’’ ( ){ }2 21 2 1 2, X / // r r r r= Î¡ ¡ .


RELACIONES (continuación)

LA RELACIÓN R COMO OPERADOR DE A Y B.

CONJUNTOS DE PARTIDA, LLEGADA, DOMINIO E IMAGEN; INVERSIONES

Hemos ya introducido informalmente los conceptos de Conjunto de Partida, Conjunto de Llegada, Dominio e Imagen de una relación R.

Ahora formalizaremos más adecuadamente tales conceptos, para lo que nos convendrá ampliar nuestro concepto de R , el que si bien es un subconjunto de AXB, como si se da un

elemento a AÎ puede obtenerse —o no, según esté o no el par ( ), Xa b A BÎ en R— un

elemento b BÎ , entonces a la relación R también puede conceptualizársela como un operador que, para determinados elementos de A, permite obtener elementos de B.

Extenderemos ahora el concepto de imagen al presentar la “imagen de un conjunto”, más precisamente la “imagen de un subconjunto T incluído en el dominio de R “, y por otra parte presentaremos el concepto “opuesto” o “inverso” del de imagen de un conjunto, la “imagen inversa de un conjunto”.

Por último presentaremos el concepto de “relación inversa de una relación dada”.

Para facilitar el estudio, presentaremos todas las definiciones juntas a pesar de haber ya anticipado anteriormente algunas de ellas.

Sean, entonces, dos conjuntos cualesquiera A, B incluídos en un mismo universal de referencia U 56, y sea una relación cualquiera X A BÌR .

Recordemos la operación binaria Producto Cartesiano

El producto cartesiano X entre los conjuntos A y B, si bien es un conjunto formado por todos los pares ordenados provenientes de A y de B en ese orden, lo hemos presentado como una operación entre ambos conjuntos.

Como en toda operación entonces, X es el operador, y A, B son los operandos.

Otra forma corriente de visualizar a la operación producto cartesiano AXB de los conjuntos A y B, es viéndola como “el operador X operando a A y a B”, lo que se nota [ ],X A B .

Un ejemplo aclaratorio:

Siendo { }, ,A p q r= y { },B v w= resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }X , , , , , , , , , , ,A B p v p w q v q w r v r w=

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }X , , , , , , , , , , , ,A B p v p w q v q w r v r w=

Visto esto, a continuación aplicaremos un razonamiento análogo aplicado a las Relaciones.

56 Las definiciones y conceptos siguientes pueden ser inmediatamente extendidos a dos conjuntos cualesquiera A y B con sendos universales de referencia U1 y U2 no necesariamente coincidentes.

UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de las clases teóricas nº 14 – Pág. 1

La relación R como Operación

La relación R entre los conjuntos A y B, si bien es un conjunto formado por algunos (o ninguno, o todos) los pares ordenados provenientes de AXB, también podemos presentarla como una operación entre ambos conjuntos.

Como en toda operación entonces, R es el operador, y A, B son los operandos.

Consecuentemente, para hablar de R podremos utilizar, alternativamente, las notaciones

ARB o bien R[A,B], que “presentan” a la relación destacando su rol de operación, a

diferencia de la notación R a secas, que destaca su rol de conjunto.

Ejemplo:

Siendo { }, ,A p q r= , { },B v w= y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }X , , , , , , , , , , ,A B p v p w q v q w r v r w= ,

la relación ( ) ( ) ( ){ } , , , , , p v q v r w=R

puede ser concebida como una operación R aplicada a los operandos A y B, que da como resultado un conjunto de pares.

Lo que se puede notar de estas dos maneras:

( ) ( ) ( ){ }[ ] ( ) ( ) ( ){ }

, , , , ,

, , , , , ,

A B p v q v r w

A B p v q v r w

=

=

RR

Particularizando sobre cada elemento de la relación (cada par de R). a la proposición

( ),a b ÎR se la nota [ ] o bien ,a b a bR R y al predicado ( ),x y ÎR se lo nota

[ ] o bien ,x y x yR R .

(Por supuesto, al referirnos a una relación R decimos que es “un conjunto X A BÌ ” y no “el conjunto X A BÌ ” porque, salvo excepciones, los productos cartesianos A X B tienen más de un subconjunto).

Desde, hacia

Dada una relación cualquiera X A BÌR , formada por pares donde debe prestarse atención al orden en que aparecen su primer y segundo componente, a cada uno de los pares de la relación se lo puede concebir como la expresión de que, partiendo de cierto elemento del conjunto de partida A, se llega a cierto elemento del conjunto de llegada B.

Vista así, la relación R puede ser considerada como la expresión de ciertos vínculos que van desde algunos elementos de A hacia algunos elementos de B. Los relaciona.

De aquí surgen los conceptos de partida y de llegada, recientemente anticipados:


Conjunto de partida de una relación RDada una relación cualquiera X A BÌR , al conjunto A lo llamamos conjunto de partida de

la relación R.

Conjunto de llegada de una relación RDada una relación cualquiera X A BÌR , al conjunto B lo llamamos conjunto de llegada de

la relación R.

Dominio de una relación R

Dada una relación cualquiera X A BÌR , al conjunto ( ) ( ){ }/ ,x A y B x yÎ $ Î ÎR lo

llamamos dominio de la relación R y lo notamos Dom(R).

Es claro entonces que Dom(R) AÌ .

Y también es claro que Dom(R) no necesariamente coincide con A.

Imagen de una relación R

Dada una relación cualquiera X A BÌR , al conjunto ( ) ( ){ }/ ,y B x A x yÎ $ Î ÎR lo

llamamos imagen de la relación R y lo notamos Im(R).

Es claro también que Im(R) BÌ .

Y que Im(R) no necesariamente coincide con B.

Imagen de un conjunto según una relación RDada una relación cualquiera X A BÌR y dado un conjunto cualquiera T Ì Dom(R) (al

cual sólo le exigimos que sea subconjunto del dominio de la relación R), al conjunto

( ) ( ){ }/ ,y B x T x yÎ $ Î ÎR lo llamamos imagen del conjunto T según la relación R y lo

notamos Im(T, R).

Cuando el contexto indica de qué relación se trata, se suele utilizar directamente la notación Im(T).

Restricción de una relación RPara representar la imagen de un conjunto T Ì Dom(R) también se utiliza la notación /TR

(léase “R restringida a T”) que está indicando que las segundas componentes de la relación

R en este caso no se deben buscar acudiendo a todo su dominio sino restringiéndose a T.

(Esta notación permite conceptualizar, también, a R como un “operador unario” que

aplicado al conjunto T da como “resultado” el conjunto Im(T) ).


Imagen inversa de un conjunto según una relación RDada una relación cualquiera X A BÌR y dado un conjunto cualquiera V Ì Im(R)

(conjunto al cual sólo le exigimos que sea subconjunto de la imagen de la relación R), al

conjunto ( ) ( ){ }/ ,x A y V x yÎ $ Î ÎR lo llamamos imagen inversa del conjunto V según la

relación R y lo notamos Im-1(V, R). También se lo suele llamar pre-imagen de V según R.

Cuando el contexto indica de qué relación se trata, se suele utilizar directamente la notación Im-1(V).

Relación inversa de una relación R

Dada una relación cualquiera X A BÌR , al conjunto ( ) ( ){ }, X / ,y x B A x yÎ ÎR lo

llamamos relación inversa de la relación R y lo notamos R-1.

Nótese que R-1 es una nueva relación, y que R-1 X B AÌ .

Puede demostrarse prácticamente de inmediato que ( ) ( ) 1, ,x y y x -Î « ÎR R .

La notación R-1 como operador para representar la imagen inversa de un conjunto

Para representar la imagen inversa de un conjunto V Ì Im(R) también se utiliza la notación

R-1 [V] , pues ella está indicando que las primeras componentes de la relación R en este caso no se deben buscar acudiendo a toda su imagen sino restringiéndose a V. Esta notación presenta a R-1 como un “operador” que aplicado a V da como “resultado” la Im-1(V).

Notación abreviada para conjuntos con un solo elemento

Señalemos que dados t TÎ y v VÎ , a los conjuntos R { }té ùë û BÌ y R { }1 v- é ùë û AÌ , por

abuso de notación, no se los suele notar así sino de esta forma: conjuntos R[ ]t BÌ y R[ ]1 v-

AÌ .


1 Dados los conjuntos ¥ y ¡ y definida la relación

¥D ¡ ( ){ }, X sea el doble que x y I y x= Î¥ ¡

( ){ }, X = 2 x y I y x= Î ×¥ ¡Llamando P al conjunto de los naturales pares, hallar

i) Im(P, D ) con P Ì ¥

ii) Im-1(P, D ) con P Ì ¡

iii) D[ ]2

iv) D-1[ ]6


2 Sean los conjuntos { }, , A a b c= y { }1, 2B = , y sean las relaciones

T[ ],A B ( ) ( ) ( ){ },2 , ,2 , ,1a b b=

U[ ],A B ( ){ },1c=

Obtener sus relaciones inversas

T-1=

U-1=

RELACIÓN VACÍA

Sean A, B conjuntos cualesquiera. A la relación , XA B A BÆ Ì definida por { },A BÆ =ÆB se

la denomina “relación vacía en AXB”.

Corolario: cualesquiera sean A, B, la “relación vacía en AXB” es única: Æ (demostración inmediata).

Corolario: el conjunto Æ es una relación.

(Si bien ya sabemos que lo es pues satisface la definición de Relación, esta argumentación lo vuelve a demostrar).

RELACIÓN DE IDENTIDAD EN UN CONJUNTO

Sea A un conjunto cualquiera. A la relación

I[A] ( ){ }2, / x y A x y= Î = ,

que también puede escribirse como

I[A] ( ){ }, / x x x A= Î ,

se la denomina relación de Identidad en A.

Corolario: Dada una familia de conjuntos, cada elemento de la familia, o sea cada conjunto, tiene su propia relación de identidad en él.

Corolario: Dada una familia de conjuntos, cada elemento de la familia, o sea cada conjunto, tiene una única relación de identidad en él.

Corolario: La relación de identidad no es única.

Ejemplos:

Sea A = { a, b, c }. Entonces I[A] = { (a, a), (b, b), (c, c) }.

Consideremos al conjunto ¥ . Entonces I[ ] ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 ,=¥ K .

Pregunta:

¿Cómo se interpreta, en dos de los últimos corolarios, la expresión “en él”?


PROPIEDADES DE LAS RELACIONES “EN”

Sea R alguna relación en A, es decir, sea R alguna relación R X A AÌ .

Dependiendo de cuál sea nuestra R en A, podremos, o no, decir que posee alguna o algunas de las propiedades que pasamos a definir57.

R es reflexiva ( ) a A" ÎB aRa

R es irreflexiva ( ) a A" ÎB –(aRa)

R es simétrica ( ) ,a b A" ÎB (aRb ® bRa)

R es asimétrica ( ) ,a b A" ÎB [aRb ® –(bRa)]

R es antisimétrica ( ) ,a b A" ÎB [(aRb Ù bRa) a b® = ]

R es transitiva ( ) , ,a b c A" ÎB [(aRb Ù bRc) ® aRc]

R es intransitiva ( ) , ,a b c A" ÎB [(aRb Ù bRc) ® - (aRc)]

R es completa o débilmente conexa ( ) ,a b A" ÎB [ a b¹ ® (aRb Ú bRa)]

R es fuertemente conexa ( ) ,a b A" ÎB (aRb Ú bRa)


1. Sea { }, , A p q r= . Indicar en las siguientes relaciones en A, a simple vista, cuál o cuáles propiedades de las declaradas arriba poseen:

a) S ( ) ( ) ( ){ } { } { }, , , , , , , X , ,p q q r p r p q r p q r= Ì

b) T ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , X p q p p p r q q A A= Ì

c) U ( ){ } 2, p q A= Ì

d) V 2 A= Æ Ì

e) W ( ){ },p p=

f) ( ) ( ) ( ){ }, , , , ,p p p q p r

g) ( ) ( ) ( ){ }, , , , ,p p p q q p

h) ( ) ( ) ( ){ }, , , , ,p q q r p r

57 Notaciones del tipo ( ),a b A" Î evidentemente abrevian expresiones como, en este caso, ( )( )a A b A" Î " Î .UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de las clases teóricas nº 14 – Pág. 6

i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , ,p p p q q r p r q p

j) ( ) ( ){ }, , ,p p q q

k) ( ) ( ){ }, , ,p r r p

l) ( ) ( ){ }, , ,p p p r

m) ( ) ( ) ( ){ }, , , , ,p r r p q q

2. Sea { }1, 2, 4B = . En caso de que existan, construir relaciones en B que posean:

a) las propiedades simétrica y completa.

b) la propiedad antisimétrica pero no la propiedad completa.

c) las propiedades irreflexiva y simétrica.

d) las propiedades reflexiva y simétrica.

e) las propiedades reflexiva y antisimétrica.

f) las propiedades reflexiva y transitiva.

g) las propiedades simétrica y transitiva.

h) las propiedades irreflexiva y transitiva.

i) las propiedades antisimétrica y transitiva.

j) las propiedades reflexiva e irreflexiva.

k) las propiedades simétrica y asimétrica.

l) las propiedades simétrica y antisimétrica.

m) las propiedades intransitiva y fuertemente conexa.

n) las propiedades asimétrica y transitiva, pero no la propiedad completa.

Informar además, en cada inciso, si la relación ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }, / 1,1 , 2,2 , 4,4x x x BÎ = (“relación diagonal” o “ relación identidad”) y las relaciones “triviales” Æ y XB B son soluciones.

3. Llamando R ÌP ( )2¡ al conjunto de todas las rectas 2r Ì ¡ , indicar cuales

propiedades, de la lista presentada en clase, tienen las siguientes relaciones en R:

a) ( ){ }2, / es paralela a r s R r sÎ

b) ( ){ }2, / es perpendicular a r s R r sÎ

c) ( ){ }2, / pasa por un punto Pr s R r sÎ Ï

d) ( ) ( ){ }2 2, / P Pr s R r sÎ - $ Î Ç =¡


4. Indicar también, en cada una de las siguientes relaciones, qué propiedades poseen:

a) ( ){ }2, / |m n m nÎ¥ (donde como ya dijimos, |m n indica que m divide a n).58

b) ( ) 2, / m n m n·ì üÎ =í ý

î þ¥ (donde m n

·

= indica que m es múltiplo de n).

c) ( ){ }2, / m n m nÎ ¹¥

d) ( ){ }2, / m n m nÎ =¡

e) ( ){ }2, / m n m nÎ £¡

f) ( ){ }2, / m n m nÎ <¡

g) Siendo { }2 / es un círculoC c c= Ì ¡ , la relación ( ){ }21 2 1 2, / c c C c cÎ Ì

h) Siendo { } /A a a= Ì =¢ P( )¢ , la relación ( ){ }21 2 1 2, / a a A a aÎ =

5. ¿Cuál es la razón por la que estamos definiendo estas propiedades específicamente para las relaciones R en A?

Es decir, ¿por qué describimos propiedades para aquellas R definidas en productos

AXB donde B=A, y no lo hacemos con las R que relacionen dos conjuntos cualesquiera A y B?

58 En este contexto, |m n debe interpretarse como que “ m divide exactamente a n ”, es decir, ( ) p m p nÎ × =$ ¥ . Es necesario realizar esta aclaración pues en determinadas situaciones al conjunto ¥ se lo suele dotar de otra operación de división distinta de la de “división exacta”: la denominada “división entera”.



COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Así como al introducirnos en la Teoría de Conjuntos presentamos operaciones con ellos (la operación unaria complementación, las operaciones binarias unión, intersección y otras, y las operaciones generalizadas), también se puede hacer lo mismo con las Relaciones: se puede operar con ellas.

De hecho, para las Relaciones ya hemos presentado una operación unaria: la inversión “-1”, la que aplicada a una relación cualquiera R, permite obtener su relación inversa R-1, que es una nueva relación.

Manteniendo esta perspectiva presentaremos, para las Relaciones, una operación binaria: la composición “ o ”, la que, aplicada a dos relaciones R y S que cumplan con ciertos requisitos,

permite obtener su relación compuesta SoR, que es una nueva relación.

Sean, entonces, tres conjuntos cualesquiera A, B y C con un mismo referencial U, y sean dos relaciones cualesquiera R[A,B] y S[B,C] . Entonces estamos en condiciones de definir la

composición de las relaciones R y S, a la que llamaremos “R compuesta con S” y

notaremos SoR (notar que en la notación se las menciona en orden inverso), a:

SoR ( ){ ( ) ( )( , X / ,x z A C y B x y= Î $ Î ÎR ( ),y zÙ Î )}S .En esta instancia del desarrollo conceptual, nos resultará conveniente acudir a un soporte gráfico que se utiliza usualmente para facilitar la interpretación de nociones de este tipo.

REPRESENTACIÓN DE RELACIONES CON GRÁFICAS DE FLECHAS

Introduzcamos este método de representación, generalmente utilizado para conceptualizar ejemplos, por medio… de un ejemplo.

Sean { } { }, , , y ,A a b c B p q= = .

A estos conjuntos los podemos representar asi:


A B

a

b

c

p

q

A cada elemento de su producto cartesiano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } X , , , , , , , , , , ,A B a p a q b p b q c p c q= , o

sea, a cada par ordenado, lo podemos representar con una flecha, así:

Y a cualquier relación R X A BÌ (recordemos que también la notamos R[ ],A B o bien ARB) la podemos representar de la misma manera, trazando aquellas flechas que corresponden a cada uno de los pares ordenados de R.Por ejemplo a la relación R ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,a p b p b q c q= se la grafica así:


A B

a

b

c

p

q

A B

a

b

c

p

q

R

O también, siendo { }, ,C t u v= , a la relación S X CBÌ siguiente: S ( ) ( ){ }, , ,q u q v= se la grafica así:

Si deseamos representar una composición de relaciones, a la relación “R compuesta con S”

que notamos con SoR, la representamos así:

Este gráfico permite visualizar claramente por qué SoR ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,b u b v c u c v= .

Por ejemplo, el par ( ),b u Î SoR porque ( ) ( ) ( )( ) , ,q B b q q u$ Î Î Ù ÎR S .

En el gráfico se ve claramente, además, que la relación SoR X A CÌ pues X A C es


B C

p

q

St

qu

v

A B

a

b

c

p

q

Rt

u

v

C

S

A

a

b

c

t

u

v

C

y SoR X A CÌ es

(Comparar a este último gráfico con el antepenúltimo).

POR QUÉ A LA COMPOSICIÓN DE R CON S SE LA SIMBOLIZA SoR

La razón resulta clara con un simple ejemplo.

Utilizando las relaciones R y S del ejemplo anterior y definiendo { },T b c A= Ì , es

De la gráfica se ve que R[ ] { }T q= y que a su vez S { } { },q u vé ù =ë û .

Expresado de otra manera, S[ R[T] ] { },u v=

Aquí se ve claramente por qué razón a SoR se la lee “R compuesta con S”, o expresado de otra manera, por qué “R compuesta con S” se nota SoR : porque primero se aplica R, la relación mencionada a la derecha de S[R[T]] y de SoR, y a ese resultado se le aplica entonces S, la mencionada a la izquierda.

Señalemos que S[R[T]] { },u v= también se nota (SoR)[ ] { },T u v= dado que, de por sí, SoR es una relación, SoR X A CÌ , o sea, un conjunto de pares ordenados cuyos primeros elementos pertenecen a A y sus segundos elementos pertenecen a C.


A

a

b

c

t

u

v

C

SR

A B

a

b

c

p

q

Rt

u

v

C

S

T

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Notemos entonces que disponiendo de conjuntos A, B y C incluídos en un universal de referencia U y teniendo relaciones XA BÌR y XB CÌS , puede hablarse de su composición, la relación oS R . Observemos también que, a menos que se presenten situaciones muy particulares, no existirán pares que pertenezcan a la relación oR S . Una situación particular donde sí pueden encontrarse pares en oR S es cuando tanto R como S son “relaciones en”, es decir, cuando A, B y C son iguales entre sí ( XA AÌR , XA AÌS ).

Proposición.- La composición de relaciones en un conjunto no goza de la propiedad conmutativa. O sea, siendo A un conjunto cualquiera y R[A] y S[A] relaciones cualesquiera en A, no siempre se cumple que SoR = RoS.

Demostración: Como sabemos, para demostrar un “no para todo” es suficiente mostrar que “existe un caso en que no…”, es decir, un contraejemplo:

( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) A A A A A A- " " " = Û $ $ $ ¹R S S R R S R S S R R So o o oEl siguiente es un contraejemplo.

Sea el conjunto { }, ,A a b c= y sean las relaciones R[ ] ( ) ( ){ }, , ,A a a a b= y S[ ] ( ){ },A a b=

entonces (SoR)[ ] ( ){ },A a b= mientras que (RoS) [ ] { } A = , vacío.

Por lo tanto, en este caso SoR ¹ RoS. Contraejemplo.

Y como conclusión, deducimos que la composición no goza de la propiedad conmutativa.

Corolario44.- La composición de relaciones entre conjuntos cualesquiera no goza de la propiedad conmutativa.

Demostración: Con un contraejemplo cualquiera. Por caso, el utilizado arriba.

Proposición.- La composición de relaciones entre conjuntos cualesquiera de un mismo referencial (lo que incluye como caso particular la posibilidad de que se trate de la composición en un conjunto, haciendo A=B=C=D) goza de la propiedad asociativa, o sea, para A, B, C y D conjuntos cualesquiera incluídos en un mismo referencial U y para R[A,B], S[B,C] y T[C,D] relaciones cualesquiera, se cumple que To (SoR) = (ToS)oR .

Esto permite escribir, sin ambigüedad, ToSoR.

Demostración: se verá en las clases prácticas.

Proposición.- Para cualesquiera conjuntos A, B y C de un mismo referencial U y para cualesquiera relaciones R[A,B], S[B,C] , la relación inversa de su composición es igual a la

composición de sus inversas en orden inverso, es decir, (SoR)-1 = R-1oS-1.

Demostración.-

Sea ( ),x z Î SoR.

Por lo tanto, ( ),z x Î (SoR)-1.

Recordando que por definición de composición de relaciones es

SoR ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }, X / , ,x z A C y B x y y z= Î $ Î Î Ù ÎR S ,se deduce que si ( ),x z Î SoR, entonces ( ) ( ) ( )( ) , ,y B x y y z$ Î Î Ù ÎR S .

De aquí puede afimarse que ( ) ( ) ( )( )1 1 , ,y B y x z y- -$ Î Î Ù ÎR S .

44 Un “corolario” es una proposición como cualquier otra, pero cuya demostración, si se parte de la o las proposiciones inmediatamente anteriores, resulta ser casi evidente.


Por la conmutatividad de la conjunción, entonces, ( ) ( ) ( )( )1 1 , ,y B z y y x- -$ Î Î Ù ÎS R .

Pero por la misma definición de composición de relaciones, esto se puede reescribir como

( ) ( ) ( ) ( )( ){ }1 1 1 1, X / , ,z x C A y B z y y x- - - -Î $ Î Î Ù Î = oS R R S .

Con lo que queda demostrado que para cualesquiera conjuntos A, B y C de un mismo referencial U y para cualesquiera relaciones R[A,B], S[B,C] se cumple (SoR)-1 = R-1oS-1.


RELACIONES (continuación)RELACIONES DE ORDEN

INTRODUCCIÓN

Como seguramente se habrá observado, y expresándonos de manera informal, cuando una relación es transitiva y está dada “en” un conjunto, uno puede concebir “caminos” -a través de los elementos de ese conjunto- a través de los cuales se puede pasar de un elemento a otro del conjunto, siguiendo lo que indiquen los pares ordenados de la relación transitiva.

Si a esta particularidad de ciertas relaciones (estamos hablando de aquellas que poseen la propiedad transitiva) le agregáramos como particularidad adicional la de que, una vez dejado atrás un elemento en cualquiera de sus “caminos”, ese “camino” jamás nos llevará nuevamente a él… podremos decir, entonces, que estamos ante una Relación de Orden.

Resulta ser que en el mundo fáctico hay una gran variedad de relaciones que responden a esta idea básica.

Siguiendo con nuestra exposición informal, podríamos pensar por ejemplo en relaciones que tengan una estructura de árbol (si siguiéramos un camino en las ramas, jamás llegaríamos al punto de donde partimos); o por ejemplo en relaciones que tengan una estructura de cadena abierta (si partiéramos de un eslabón en un sentido, jamás llegaríamos al eslabón de partida); etcétera.

Pero para avanzar en el tema, deberemos formalizar estos conceptos.

Y para ello nos resultarán muy útiles varias de las propiedades que hemos definido para las relaciones en un conjunto A.

RELACIONES DE ORDEN

(Antes que nada, y para claridad expositiva, debe tenerse presente que toda relación asimétrica es antisimétrica; si usted no está seguro, repáselo ahora, pues le facilitará la lectura).

Comencemos por la definición general de una relación de orden:

Definición

Dado un conjunto cualquiera A y dada una relación cualquiera R en A, diremos

R es una “relación de orden en A” B R en A es antisimétrica y transitiva.

CLASIFICACIONES DE LAS RELACIONES DE ORDEN

Hay una variedad de relaciones de orden que merecen distinguirse entre sí.

Por un lado, se distingue entre ‘orden amplio’ y ‘orden estricto’ según se acepten o no pares ordenados cuya primer componente sea igual a la segunda (“pares de la diagonal”). Si se exige que estén todos, o sea si la relación de orden es reflexiva, se dice que es ‘amplia’, mientras que si no se acepta ninguno, o sea si la relación es irreflexiva, se dice que es ‘estricta’. Resumiendo, el orden amplio es un orden reflexivo, y el orden estricto es un orden irreflexivo (recuerde que la reflexividad y la irreflexividad son excluyentes; no es que sean


uno la negación del otro, pero si se da una propiedad, no se da la otra)60. Por tanto, si un orden es amplio no es estricto, y viceversa. A aquellas relaciones de orden que incluyen al menos a un par la diagonal pero no a todos, no las tendremos en cuenta ni les asignaremos nombre, pues no presentan aplicaciones prácticas. Podríamos decir a lo sumo que son un caso 'hibrido'.

Por otro lado, se distingue entre ‘orden parcial’ y ‘orden total’ en que en el primer caso no se exige que cada par de elementos de A distintos entre sí aparezcan, en un orden u otro, en algún par ordenado de la relación (por eso lo de ‘parcial’); es decir, dados dos elementos de A distintos entre sí, podrían, o no, compartir algún par de la relación. Mientras que en el segundo caso, en cambio, sí se exige que todo par de elementos de A distintos entre sí esté, en un orden u otro, en algún par ordenado de la relación (por eso lo de ‘total’). Si explicamos esto mismo acudiendo a las propiedades, se ve –según la definición– que una relación de orden cualquiera es de por sí un orden parcial, pero si además se le exige que goce de la propiedad de ser completa (o sea, parcialmente conexa), entonces resulta ser un orden total. Se puede señalar, entonces, que el orden total es un caso particular de orden parcial. Aquí no sucede que los órdenes parcial y total sean excluyentes, como sí sucedía con los órdenes amplio y estricto; cuando hablamos de órdenes total y parcial, debemos tener presente que uno es un caso particular del otro.

Resumamos. Hablando de relaciones de orden, entonces, por un lado distinguiremos entre órdenes amplios y estrictos, y por otro lado hablaremos de órdenes parciales y totales. Las combinaciones de estos conceptos nos permitirán discriminar, de manera formal, varios tipos de relaciones de orden que aparecen muy frecuentemente en diversos cuerpos teóricos.

Distingamos entonces todas estas combinaciones según sus propiedades.

Una relación es cuando es

de orden antisimétrica y transitiva

de orden amplio reflexiva, antisimétrica y transitiva

de orden estricto irreflexiva, antisimétrica y transitiva61 62

de orden parcial antisimétrica y transitiva

de orden total antisimétrica, transitiva y completa

de orden amplio parcial reflexiva, antisimétrica y transitiva

60 Estas dos propiedades no son una negación de la otra: por ejemplo, con { }, ,A p q r= , la relación ( ) ( ){ }, , ,p p p q no es

reflexiva, pero tampoco es irreflexiva. Al ser también antisimétrica y transitiva resulta ser un orden, pero éste no es ni amplio ni estricto; es un híbrido.61 Como la irreflexividad ( R es irreflexiva ( ) a A" ÎB –(aRa) ) impide que en R se encuentren pares (a, b) con a igual a

b, si además se exige antisimetría ( R es antisimétrica ( ) ,a b A" ÎB [(aRb Ù bRa) a b® = ] ), como ello impide que

aparezcan duplas de pares (a, b) y (b, a) con a distinto de b, entonces si a la relación R se le pide que sea irreflexiva y

antisimétrica, resultará que también es asimétrica ( R es asimétrica ( ) ,a b A" ÎB [aRb ® –(bRa)] ) pues si estuviera el

par (a, b) entonces no podría estar el par (b, a) en ningún caso: el caso “a igual a b” no podría suceder por irreflexividad, y

el caso “a distinto de b” tampoco, por antisimetría. O sea, irreflexividad y antisimetría implican lógicamente asimetría.

Y por esta razón, al orden estricto también se lo suele caracterizar como una relación R “asimétrica y transitiva”.

62 Algunos autores que se sumergen en las variantes que presentan los órdenes, intentan sortear de diversas maneras las complicaciones que surgen en su sistematización. Algunos plantean, por ejemplo, que “un orden estricto no es un orden” (cf. Trejo C. A. Matemática Elemental Moderna, EUDEBA, Bs. As., 1968, pág. 149) o bien evitan, en lo posible, referirse a las categorías de orden amplio y estricto (cf. p. ej. Oubiña L, Introducción a la Teoría de Conjuntos, EUDEBA, Bs. As., 1965).


de orden amplio total reflexiva, antisimétrica, transitiva y completa

de orden estricto parcial irreflexiva, antisimétrica y transitiva

de orden estricto total irreflexiva, antisimétrica, transitiva y completa

Esta clasificación surge naturalmente al combinar las caracterizaciones presentadas más arriba.

Se observará también que algunas de ellas coinciden entre sí.

Esto se debe a que, así como la definición de ‘orden’ coincide con la de ‘orden parcial’ en cuanto a que se refieren a un caso general, la definición de ‘orden amplio’ coincide, por la misma razón, con la de ‘orden amplio parcial’ y la de ‘orden estricto’ con la de ‘orden estricto parcial’.

Podríamos haber presentado, entonces, sólo aquellas caracterizaciones que resulten distintas entre sí; pero si lo hubiéramos hecho de esa manera, al estudiante le sería difícil encontrar coherencia entre sus denominaciones.

De esta otra manera, en cambio, quedan claramente fundamentadas las diferencias que realmente existen entre ciertos órdenes, mientras que el estudiante podrá elegir, de acuerdo al contexto en donde esté trabajando, el nombre que desee usar cuando se refiera a algún orden que posea más de uno.

Otra categorización, a presentar más adelante

Existe también otra categorización muy importante en los órdenes. Se distinguen, entre los conjuntos ordenados, a aquellos que se denominan “bien ordenados”. Pero este concepto no puede ser introducido aquí pues aún nos faltan conocer otros previos; lo haremos recién cuando hayamos presentado el concepto de “primer elemento”.

Conjuntos ordenados. Notación corriente para los conjuntos ordenados

A los conjuntos dotados de algún orden (llamados “conjuntos ordenados”), lo mismo que sucede con muchas otras entidades de la matemática, se los puede representar sintéticamente mencionando en una n-upla ordenada los elementos que lo componen. En nuestro caso, para tener un conjunto ordenado es necesario (y suficiente) tener un conjunto A y una relación R en él ―que sea de orden, obvio―, pudiendo notarse entonces sucintamente al conjunto ordenado así:

(A, R).

Ejercitación en clase

1. Indicar si las siguientes relaciones son de orden, y en tal caso, clasificarlas:

a) En el conjunto A = {x / x es un ser humano}, la relación R en A definida por “tiene por

padre a”, es decir, xRy « x tiene por padre a y.

b) En el conjunto A = {x / x es un ser humano}, la relación p en A definida por “desciende biologicamente de”, es decir, ( ) , x y Î «p x desciende biológicamente de y.

(Notar que este símbolo está concebido para ser utilizado más claramente así:

x y «p x desciende biológicamente de y ).


c) En el conjunto A = {x / x es un grupo y factor}, la relación definida por “puede donar sangre a” basada en la siguiente tabla:

( http://www.salud.com.ar/es/donacion-de-sangre-tipos-y-compatibilidad.html , 01/06/2015)

d) Definir además a la relación por extensión.

e) Dibujar el grafo orientado63 de la relación .

2) En el conjunto ¥ , sea la relación | en ¥ definida por “divide exactamente a”, es decir, x | y « x divide exactamente a y.

a) Demostrar que la relación “|” es un orden.

Demostración:

Para ello, debemos demostrar que es antisimétrica, y además, que es transitiva.

Busquemos una definición más adecuada para nuestros propósitos. Podemos definir a nuestra relación de esta otra manera, más formal:

( ) ( )( ), | /x y x y r r x y" Î « $ Î × =¥ ¥

Para que sea antisimétrica, debe darse que si |x y y además |y x , entonces necesariamente sucederá que x y= . Veamos.

Decir que | , es afirmar que /x y r r x y$ Î × =¥ . Igualmente, si | , /y x s s y x$ Î × =¥ .

Siendo r x y× = y además x s y= × , si en dividimos miembro a miembro por r

nos queda y

xr

= Î¥ . Por tanto, de y de resulta y

s yr

× = Î¥ en donde,

multiplicando miembro a miembro por r y dividiendo miembro a miembro por y

63 Toda relación R en un conjunto A, por ser un conjunto de pares ordenados de elementos de A, puede ser representada gráficamente dibujando un círculo por cada elemento de A y un arco orientado (flecha) para cada par ordenado de la relación R, arco que parte del primer elemento del par y llega al segundo. A esta representación gráfica se la denomina “grafo orientado de R en A”. Como se ve en la Teoría de Grafos, un grafo orientado es un caso particular de grafo; la particularidad consiste en que el arco está orientado (el vínculo entre dos nodos es un par ordenado), lo que en la gráfica implica que el trazo incluye en un extremo una punta de flecha. En un grafo genérico los arcos no son flechas; no se indica un orden entre los nodos que se vinculan.


http://www.salud.com.ar/es/donacion-de-sangre-tipos-y-compatibilidad.html

obtenemos que y

r sy

× = con y Î¥ , esto es, 1r s× = con ,r sÎ¥ . Por lo tanto,

necesariamente es 1 1r s= Ù = . Debido a lo cual, si acudimos a la definición de nuestra relación “|”, concluímos para nuestro caso que x y= .Con lo que acabamos de demostrar que nuestra relación “|” es antisimétrica, porque demostramos que si se diera el caso que |x y y además que |y x , entonces x = y.

Para que | sea transitiva, debe darse para cualquier terna x, y, z de números naturales que, si |x y y además |y z , entonces |x z .

Decir que | , es afirmar que /x y r r x y$ Î × =¥ .

Decir que | , es afirmar que /y z s s y z$ Î × =¥ .

Por tanto, decir que |x y y que | , es afirmar que , /y z r s s r x z$ Î × × =¥ .

Como ,r s r sÎ ® × Î¥ ¥ .

Llamando t r s= × , se infiere que afirmar que |x y y que |y z implica afirmar que /t t x z$ Î × =¥ . Pero esta última afirmación es equivalente a afirmar que |x z .

Por lo tanto, ( ) ( ), , | | |x y z x y y z x z" Î Ù ®¥ , o sea, “|” es una relación transitiva.

Por lo tanto, siendo “|” una relación antisimétrica y transitiva, resulta ser una relación de orden.

b) Si “|” es un orden, clasificarlo.

Queda para que los alumnos clasifiquen en clase a la relación de orden “|”.

3) En el conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

a) Definir por extensión la relación “ |” en A, adaptando al caso la definición por comprensión presentada en el ejercicio (2).

b) Construir su grafo orientado.

c) Suponiendo demostrado que (A, |) es un orden, indicar qué tipo de orden es.

4) Sea en el conjunto ¢ , la relación < definida por “es menor que”, es decir, x y< « x es menor que y.

Indicar si es orden, y en tal caso, clasificarlo.

5) Sea la relación £ en ¢ definida por “es menor o igual que”, es decir, x y£ « x es menor o igual que y.

Indicar si es orden, y en tal caso, clasificarlo.

6) Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, sea la relación p en P (A) definida por “está incluído

estrictamente64 en”, es decir, (( ) ( ))B C B C B C« Ì Ù ¹p . 64 Un conjunto está “incluído estrictamente” en otro cuando todos los elementos del primero pertenecen al segundo, pero el segundo tiene al menos un elemento más, es decir, no son iguales. (Algunos textos suelen utilizar el símbolo Ø para este tipo de orden, pero utilizado aisladamente genera ambigüedades (no es muy sencillo ver a simple golpe de vista qué


Analizar si (P (A), p ) es un conjunto ordenado, y en tal caso, clasificar el orden.

Si lo fuera, construir además su grafo orientado.

7) Sobre el mismo conjunto A del ejercicio anterior, sea la relación Ì en P (A).

Analizar si es un orden, y en tal caso, clasificarlo.

Construir su grafo orientado, sea o no un orden.

8) Considerando al conjunto A de los clubes que jugaron el último Campeonato de Fútbol, sea la relación R en A “le ganó a o empató con”.

Analizar si es orden, y en tal caso, clasificarlo.

9) Sea en el conjunto ¤ la relación <.

Indicar si es de orden, y en tal caso, clasificarla.

10) Sea en el conjunto ¡ la relación £ .

Indicar si es un orden, y en tal caso, clasificarla.

significaría su negación, por ejemplo); otros textos, intentando evitar esta ambigüedad, utilizan para la inclusión el símbolo

Í

y reservan el símbolo Ì o el símbolo Ø para la inclusión estricta, por analogía con el £ y el <. Nosotros en esta asignatura no hemos adoptado estas modalidades puesto que, a diferencia de lo que sucede con los desarrollos de órdenes numéricos, en la teoría de conjuntos ―que es aplicable también a muchas otras situaciones― es mucho más frecuente encontrar desarrollos donde se utiliza la inclusión amplia, la que nosotros hemos simbolizado con Ì ).



DEFINICIONES DESTACABLES EN LOS CONJUNTOS ORDENADOS

Cuando tenemos un conjunto ordenado (A, p )65 y un subconjunto no vacío B AÌ (debe ser B ¹ Æ , pero podría ser que B A= ), conviene introducir ciertos conceptos que cumplen un rol destacado en distintos capítulos de la matemática. Definamos entonces algunos elementos destacables a AÎ en situaciones de este tipo:

Cota superior

El elemento a AÎ es cota superior de B si ( ) x B x a" Î p

Cota inferior

El elemento a AÎ es cota inferior de B si ( ) x B a x" Î p

Conjunto acotado superiormente

El conjunto B AÌ se dice que está acotado superiormente, si ( )a A$ Î / a es cota superior de B.

Conjunto acotado inferiormente

El conjunto B AÌ se dice que está acotado inferiormente, si ( )a A$ Î / a es cota inferior de B.

Conjunto acotado

El conjunto B AÌ se dice que está acotado, a secas, si está acotado tanto superior como inferiormente.

Elemento máximo

El elemento a AÎ es máximo de B si es cota superior de B y además a BÎ .

Se lo nota a = máx B.

Elemento mínimo

El elemento a AÎ es mínimo de B si es cota inferior de B y además a BÎ .

Se lo nota a = mín B.

Elemento maximal

El elemento a AÎ es maximal de B si ( ) ( )( ) a B x B a x a xÎ Ù " Î ® =p .

65 Aquí usamos “p ” en vez de “R” sólo para indicar con mayor claridad que nuestra relacion es un Orden. Podríamos

haber usado también “O”, pero como esta vocal tiene tantos otros usos y además es parecida al cero, para evitar confusiones preferimos –aquí– no utilizarla como símbolo genérico de una relación de orden. Optamos en cambio por emplear “p ”. Téngase presente entonces que así como R, S, T, … se usan para representar relaciones cualesquiera, al símbolo p lo utilizaremos, como es bastante usual, para representar una relación cualquiera… que sea de orden.


Elemento minimal

El elemento a AÎ es minimal de B si ( ) ( )( ) a B x B x a x aÎ Ù " Î ® =p .

Elemento supremo (de un subconjunto B AÌ )

El elemento a AÎ es supremo de B si a es cota superior de B y si b¹ a fuera cota superior de B entonces a bp .

Se lo nota a = sup B.

Elemento ínfimo

El elemento a AÎ es ínfimo de B si a es cota inferior de B y si b¹ a fuera cota inferior de B entonces b ap .

Se lo nota a = ínf B.

Conjunto bien ordenado

Un conjunto ordenado (A,p ) se dice que está “bien ordenado” si ( ) ( )B A B min B" Ì ¹ Æ ® $ .

Ejercicios a discutir en clase:

1. A partir del conjunto A = {0-, 0+, A-, A+, B-, B+, AB-, AB+} del ejercicio 3, y del subconjunto B AÌ definido por B = {A+, A-, B-, AB-}, determinar si el conjunto B tiene alguna cota superior, alguna cota inferior, si está acotado superiormente, si está acotado inferior mente, si está acotado, si tiene elemento máximo, si tiene elemento mínimo, si tiene elementos maximales, si tiene elementos minimales, si tiene supremo y si tiene ínfimo. Para facilitar el análisis utilícese el grafo de (A, ):


2. El conjunto ordenado A ¿está bien ordenado por ? Fundamente.

ALGUNAS DERIVACIONES DE LOS CONCEPTOS DE ORDEN VISTOS

Proposición.- Sea p una relación de orden cualquiera en A. Entonces su inversa 1-p también es una relación de orden en A.

Demostración: Si p es una relación de orden en A, es antisimétrica y transitiva.

Por ser p antisimétrica, se cumple ( ) ( ) ( ), a b A a b b a a bé ù" Î Ù ® =ë ûp p . O sea, es verdad

que ( ) ( ) ( ) , , , a b A a b b a a bé ù" Î Î Ù Î ® =ë ûp p . Por conmutatividad de la conjunción,

esta proposición es lógicamente equivalente a esta otra:

( ) ( ) ( ) , , , a b A b a a b a bé ù" Î Î Ù Î ® =ë ûp p , que por ende resulta verdadera. Pero

acudiendo a la definición de 1-p , vemos que esta última expesión puede escribirse

( ) ( ) ( )

1 1, , , a b A a b b a a b- -é ù" Î Î Ù Î ® =ë ûp p , expresión que a su vez equivale


AB+

A+

B+

A–

B–

0+

0–

AB–

lógicamente a ( ) ( ) ( )1 1, a b A a b b a a b- -é ù" Î Ù ® =ë ûp p y que por ser verdaderas sus

expresiones equivalentes, ella resulta también verdadera. Como esta última es la definición de la propiedad de antisimetría aplicada a la relación

1-p , concluimos en que

1-p es antisimétrica.

Por otra parte, por ser p transitiva, se cumple que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

, , , ,

, ,

, ,

a b c A a b b c a c a b c A b c a b a c

a b c A c b b a c a

c b a A c b b a c a

- - -

- - -

é ù é ù" Î Ù ® Û " Î Ù ®ë û ë ûé ùÛ " Î Ù ®ë ûé ùÛ " Î Ù ®ë û

p p p p p p

p p p

p p p

de donde queda demostrado que también 1-p es transitiva.

Siendo 1-p antisimétrica y transitiva, entonces es una relación de orden.

Concluímos entonces que si p una relación de orden cualquiera en A, su inversa 1-p también es una relación de orden en A.

Proposición.- Si un conjunto B AÌ tiene al menos un máximo, entonces este máximo es único.

Demostración: Recordemos que por definición, a = máx B si a es cota superior de B y además a BÎ . Recordemos también que por definición, a AÎ es cota superior de B si ( ) x B x a" Î p .

Supongamos que ( )a A$ Î / a = máx B. Y supongamos también que ( )d A$ Î / (d = máx B a dÙ ¹ ).

Como tanto a como d son máximos, ambos pertenecen a B. Además, ambos son cotas superiores de B. En particular, a es cota superior de B. Pero esto implica que todo elemento x de B verifica x ap . En particular, como d BÎ , se verifica que d ap . Y como introdujimos el supuesto d a¹ , entonces no es cierto que d sea cota superior de B pues no es cierto que ( ) x B x d" Î p , de donde, al no ser d cota superior de B, tampoco es máximo de B.

Contradicción que se produce por haber supuesto (por haber introducido como premisa adicional) que d es un máximo de B distinto de a. Por tanto, esta última premisa es falsa.

Al resultar falso este supuesto, concluímos en que, si B tuviera un máximo, éste es único.

Ejercicio: plantear formal y rigurosamente la inferencia deductiva anterior fundamentando cada paso.

Proposición.- Si un conjunto B AÌ tiene al menos un mínimo, entonces este mínimo es único.

Demostración: Totalmente análoga a la anterior.



RELACIONES DE EQUIVALENCIA

PRESENTACIÓN DEL CONCEPTO

Definición: Dado un conjunto cualquiera A y dada una relación cualquiera R en A, diremos

que R es una “relación de equivalencia en A” si R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo:

Sea { }, ,A a b c=

Analicemos la relación en A R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , ,a a a b b b c c b a= .

Estando los pares ( ) ( ) ( ), , , y , ,a a b b c c entonces ( ) a A" Î aRa; con lo que R es reflexiva.

Como se satisface ( ) ,a b A" Î (aRb ® bRa), entonces R es simétrica.

Y como también se cumple ( ) , ,a b c A" Î ((aRb Ù bRc) ® aRc), entonces R es transitiva

Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.


1. Llamando R ÌP ( )2¡ al conjunto de todas las rectas 2r Ì ¡ , indicar si las siguientes

relaciones en R son relaciones de equivalencia:

a) ( ){ }2, / es paralela a r s R r sÎ

b) ( ){ }2, / es perpendicular a r s R r sÎ

2. Indicar cuál o cuáles de las siguientes relaciones son de equivalencia, si las hubiera:

a) ( ){ }2, / |m n m nÎ¥

b) ( ){ }2, / m n m nÎ =¡

c) ( ){ }2, / 5m n m nÎ - =¢

3. Sea { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = Ì ¢ y sea la relación

M ( ) 2, / 3x y A x y·ì ü= Î - =í ý

î þ.

Determinar si M es una relación de equivalencia.


CLASES DE EQUIVALENCIA

Sea A un conjunto cualquiera, y sea R una relación de equivalencia en A, es decir, una

relación R X AAÌ que goza de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Consideremos un elemento cualquiera a AÎ .

Llamaremos “Clase de equivalencia del elemento a AÎ generada por la relación R”, o más

brevemente “Clase de equivalencia de a generada por la relación R” o tambien “Clase de

equivalencia de a módulo R ”, y la notaremos [a]R, a:

[a]R B R[ ]a 65

o sea [a]R, la clase de equivalencia de a generada por R, es

[a]R ( ){ / ,x A a x= Î ÎR } donde, recordemos, R X AAÌ .

En lenguaje coloquial podríamos decir que la “clase de equivalencia del elemento a” es el conjunto de todos los elementos de A relacionados con él, o sea, “equivalentes” a él.

Lo que hace interesante a las relaciones de equivalencia es, precisamente, que nos proveen de estas “clases de equivalencia”, que son conjuntos derivados de la relación de equivalencia original R que presentan unas cualidades sumamente interesantes.

Proposición.- Sea cualquier conjunto A ¹ Æ y sea cualquier relación de equivalencia R en

A. Entonces R¹ Æ .

Demostración: A a A¹ ÆÞ $ Î . Por otra parte, si R es de equivalencia, entonces es

reflexiva. Lo que significa que, como ( ) ( ) ,a A a a" Î ÎR, al existir al menos un elemento

a AÎ , entonces ( ),a a$ ÎR. Conclusión, R¹ Æ .

Proposición.- Sea cualquier conjunto A ¹ Æ y sea cualquier relación R de equivalencia en

A . Entonces existe al menos una clase de equivalencia no vacía generada en A por R.

Demostración: A a A¹ ÆÞ $ Î . Y como R es de equivalencia, es reflexiva. De donde

( ),a a ÎR. Vemos entonces que / a A$ Î ( ),a a ÎR, que también se puede escribir

/ a A a$ Î Î [a]R. De donde se concluye que $ [a]R / [a]R¹ Æ .

Corolario.- Sea cualquier conjunto no vacío A y sea R cualquier relación de equivalencia en A. Entonces todo elemento a AÎ pertenece a alguna clase de equivalencia generada en A por R.

Demostración: Como R es una relación de equivalencia en A, es reflexiva. De donde ( ),a a Î

R. Y como por definición [a]R ( ){ / ,x A a x= Î ÎR } , resulta que ( )a A a" Î Î [a]R.

65 Recordar que R[ ]a º R { }[ ]a es la imagen del conjunto {a} según la relación R.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 18 – Pág. 2

Lema66.- Sea cualquier conjunto no vacío A, sean cualesquiera , ,b c q AÎ , sea R cualquier

relación de equivalencia en A, y sean [b]R y [c]R dos clases de equivalencia en A. En tal

caso, si sucediera que qÎ [b]R y qÎ [c]R, entonces [b]R = [c]R .

Demostración: qÎ [b]R ( ),b q® ÎR . qÎ [c]R ( ),c q® ÎR . Como por ser R de equivalencia

es simétrica, ( ),q c ÎR . Y como por la misma razón R es transitiva, entonces ( ),b c ÎR.

De donde si se dan qÎ [b]R y qÎ [c]R, entonces cÎ[b]R y además bÎ [c]R, cualesquiera sean b y c.

Además, de la misma definición de clase de equivalencia, es bÎ [b]R y cÎ[c]R.

Recordando que por definición de clase de equivalencia, es [b]R ( ){ / ,x A b x= Î ÎR } y

[c]R ( ){ / ,x A c x= Î ÎR } , y que de las cuantificaciones ( ) ( ) ( )b A c A q A" Î " Î " Î del

enunciado sólo se introducen condiciones a la variable q, entonces, si se dan qÎ [b]R y qÎ

[c]R, se cumple que

( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ]z A z b z c z c z b" Î Î ® Î Ù Î ® ÎR R R R

expresión que, por definición de igualdad entre conjuntos, significa que

[b]R = [c]R

que es la conclusión que buscábamos.

Conclusión que, expresada en lenguaje coloquial, dice que si un elemento está en dos clases entonces éstas son iguales, o, dicho en otras palabras, que no puede existir un elemento que pertenezca a dos clases distintas.

Corolario.- [b]R¹ [c]R Þ [b]RÇ [c]R= Æ lo que suele leerse así: “las clases de equivalencia tienen intersección vacía entre sí, de a pares”.

Proposición.- Sea cualquier conjunto A ¹ Æ y sea cualquier relación R de equivalencia en

A. Entonces ( )( )[ ] [ ]q A b q b" Î $ ÎR R .

Lo que suele leerse “dada una relación de equivalencia en un conjunto, todos sus elementos pertenecen a alguna de sus clases de equivalencia”.

Demostración: Por ser R de equivalencia, es reflexiva; por tanto, ( ) ( ) ,q A q q" Î ÎR.

De aquí se ve que qÎ [q]R pues [q]R ( ){ / ,x A q x= Î ÎR } . Que es la conclusión que

buscábamos: dado un q AÎ cualquiera, demostramos que existe una clase de equivalencia a la cual pertenece.

Corolario: Sea cualquier conjunto A ¹ Æ y sea cualquier relación R de equivalencia en A.

Entonces la unión de las clases de equivalencia inducidas por R es igual al conjunto A.

66 Un “lema” es una proposición algo más importante que las demás, pero que, sin embargo, no llega a tener demasiada trascendencia. A las proposiciones que realmente tienen una repercusión significativa dentro del cuerpo de la teoría a la que pertenecen, se las denomina “teoremas”.


Demostración: Supongamos que la unión de las clases de equivalencia inducidas en A por la relación de equivalencia R no es igual a A. Esto implica que existe al menos un elemento q AÎ que no pertenece a ninguna clase de equivalencia. Pero por un corolario anterior

sabemos que qÎ [q]R . Contradicción, que surge de haber supuesto que la unión de las clases de equivalencia no es igual a A. Por lo tanto, concluímos en que la unión de las clases de equivalencia generadas por la relación de equivalencia R en A es igual a A.

Definición: Representante de clase. Puesto que todos los elementos de una clase de equivalencia son equivalentes entre sí, para representar a una clase en particular se suele utilizar a un elemento de la misma; en general se elige uno cualquiera, salvo que en la clase haya algún elemento destacado, en cuyo caso se utiliza éste.

Ejercicio para discutir en clase: En cada relación de equivalencia hallada en el ejercicio anterior, determinar una de sus clases y encontrar un representante de la misma.

CONJUNTO COCIENTE

Nótese que las clases de equivalencia tienen la propiedad de ser disjuntas, según se demostró en un corolario anterior, y que su unión es igual al conjunto A, según se vió en otro corolario.

Por lo tanto, se puede decir que una relación de equivalencia R parte a un conjunto A en clases de equivalencia.

Al conjunto formado por las clases de equivalencia generadas por la relación R en A se lo

denomina “cociente de A por R” y se lo nota A/R.

Si al conjunto A se lo da por conocido, se habla del “conjunto cociente generado por R”. De

la misma manera, si a la que se da por conocida es a la relación R, se habla del “conjunto cociente de A”. En ambos casos se está haciendo referencia al conjunto cociente de A por R.

Ejercicio para discutir en clase: En cada relación de equivalencia hallada en el ejercicio anterior, determinar su conjunto cociente.

Siendo que R parte a A en subconjuntos, formalizaremos entonces el concepto de partición de un conjunto.

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Definición. Sea un conjunto A, y sean A1, A2, …, An subconjuntos de A tales que

( ) , i jA A i j i jÇ = Æ " ¹ y que 1

n

ii

A A=

=U . Entonces se dice que { }1 2, , , nA A AK es una

partición finita del conjunto A.

Definición.- Sea un conjunto A, y sean A1, A2, …, An, … subconjuntos de A tales que

( ) , i jA A i j i jÇ = Æ " ¹ y que 1

ii

A A=

¥

=U . Entonces se dice que { }1 2, , , , nA A AK K es una

partición infinita numerable del conjunto A.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 18 – Pág. 4

(De manera formalmente análoga pueden definirse particiones infinitas no numerables de un conjunto A, pero no nos extenderemos aquí en ese concepto).

Dicho de manera coloquial, dado un conjunto A, una “partición” del mismo es otro conjunto, cuyos elementos son a su vez conjuntos; pero no cualesquiera, sino una colección de subconjuntos de A (no todos, sino algunos) que tienen la propiedad de ser disjuntos y de “cubrir” a todo el conjunto dado.

Una forma de “partir” un conjunto A, es utilizando una relación de equivalencia en A, pues ésta genera clases de equivalencia, que resultan ser ni más ni menos que particiones.

Más aún, si se tiene cualquier conjunto A y algún criterio para obtener una partición de A, este criterio nos llevará a la “relación de equivalencia asociada al mismo”.

Observemos además que un conjunto A, en general, puede ser “partido” de diversas maneras, puesto que en un conjunto A pueden definirse distintas relaciones de equivalencia.

De donde hablar de relaciones y clases de equivalencia, y hablar de particiones de un conjunto, no es más que referirse a lo mismo desde distintas perspectivas. Así como nosotros hemos introducido los conceptos de relación de equivalencia y de clases de equivalencia y llegamos al concepto de partición, de la misma manera podríamos haber presentado el concepto de partición de un conjunto y a partir de él introducir las nociones de relación de equivalencia y de clases de equivalencia en ese conjunto.


1. Discutir sobre las clases de equivalencia que generan las siguientes relaciones de equivalencia:

a) En el conjunto de todos los alumnos de la Universidad Nacional de Mar del Plata el día de hoy, la relación de equivalencia “tener la misma cantidad de asignaturas aprobadas”.

b) En el conjunto de todos los alumnos de la Universidad Nacional de Mar del Plata el día de hoy, la relación de equivalencia “tener la misma fecha de cumpleaños”. ¿Cuántas clases de equivalencia hay?

c) En el conjunto de todos los polígonos, la relación de equivalencia “tener la misma cantidad de lados”. Elegir una clase de equivalencia y mencionar algunos miembros de la misma.

d) En el conjunto de todas las rectas del plano, la relación de equivalencia paralelismo. ¿De qué se está hablando en realidad? O, expresado en otros términos: ¿Qué representa cada clase de equivalencia?

e) En el conjunto de todos los átomos del universo, la relación de equivalencia “tener la misma cantidad de protones”.

2. En el conjunto de todas las personas hoy mayores de edad de la República Argentina, la relación “simpatizar con el mismo club de fútbol” ¿es una relación de equivalencia?

3. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente de las siguientes relaciones de equivalencia:

a) La relación de equivalencia R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , ,a a a b b b c c b a= en { }, ,A a b c=

b) La relación de equivalencia M ( ) 2, / 3x y A x y·ì ü= Î - =í ý

î þ en { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A =


4. Dada la siguiente relación de equivalencia:

( ) 2, / 3x y x y·ì üÎ - =í ý

î þ¢

a) Determinar sus clases de equivalencia. ¿Cuántas son?

b) Determinar el conjunto cociente.

c) Elegir representantes para las clases, y notarlas con [ ].

d) Elegir al azar pares de números en una misma clase de equivalencia, sumarlos, y determinar a qué clase de equivalencia pertenece el resultado. Probar con otras clases.

e) Elegir al azar pares de números en una misma de equivalencia, multiplicarlos, y determinar a qué clase de equivalencia pertenece el resultado. Probar con otras clases.

f) Elegir al azar pares de números de distintas clases de equivalencia indicando cuáles son éstas, sumarlos, y determinar a qué clase de equivalencia pertenece el resultado.

g) Elegir al azar pares de números de distintas clases de equivalencia indicando cuáles son éstas, multiplicarlos, y determinar a qué clase de equivalencia pertenece el resultado.

h) Intentar detectar si hay alguna regla que permita conocer la clase del resultado de la operación “suma en ¢ ” conociendo las clases de sus operandos.

i) Intentar detectar si hay alguna regla que permita conocer la clase del resultado de la operación “producto en ¢ ” conociendo las clases de sus operandos.

j) Intentar, informalmente, definir operaciones , Å e análogas a la suma y al producto entre

enteros, pero que operen con clases de equivalencia (o sea, [ ] [ ] [ ] [ ] y a b a bÅ e con a y bÎ¢ ), indicando en ambos casos cuál sería la clase de equivalencia resultante.

k) Encontrar razones por las que al conjunto cociente se lo denomina “ ¢ módulo 3”, se lo nota con 3/¢ , y se lo considera “¢ partido por 3”.


FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

Una vez presentado el concepto de Relación, introdujimos algunos tipos especiales de relación, como por ejemplo las relaciones denominadas “Relaciones de Orden” y las relaciones denominadas “Relaciones de Equivalencia”.

En este capítulo introduciremos otro tipo especial de relación, quizá el más importante de todos en cuanto a la amplitud de los ámbitos de la matemática en donde se lo encuentra: las relaciones denominadas “Funciones” (también se las suele llamar “Correspondencias” o “Aplicaciones”).

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Planteado coloquialmente, podemos presentar el concepto de función como una relación cuyo dominio es todo el conjunto de partida, y donde cada elemento del dominio está presente (como primer elemento, desde ya) en un par de la relación, y sólo en uno.

Más brevemente aún, podemos decir que una función es una relación donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un y sólo un elemento del conjunto de llegada.

Definición: Dados dos conjuntos A y B cualesquiera y dada una relación R cualquiera en

AXB, se dice que la relación R es una función cuando satisface los dos siguientes requisitos:

Dom(R) = A

( ) ( ) ( ) ( ) , , , x A y z B x y x z y zé ù" Î " Î Î Ù Î ® =ë ûR R

Generalmente, cuando se habla de alguna función genérica, en vez de utilizar la letra r mayúscula cursiva (inicial de “relación”) R, se suele utilizar la letra f minúscula cursiva

(inicial de “función”) f. Pero esta diferencia notacional no implica ninguna diferencia conceptual: ambas son relaciones (más allá de que, como se desprende de la definición, no todas las relaciones son funciones pero todas las funciones son relaciones; las funciones son relaciones con ciertas características particulares).

Cuando se hace referencia a una función, se lo suele hacer indicando los conjuntos de partida y de llegada de esta manera: a la relación XA BÌf se la denomina “función f que va desde A hacia B” (o “va de A a B”) y a esta caracterización se la nota así:

: A B®f .

La función, por ser una relación, es un subconjunto de AXB, o sea, un conjunto de pares ordenados. Y como conjunto que es, puede ser descripto tanto por extensión como por comprensión (como todo conjunto, sucede que algunas funciones no pueden ser definidas por extensión, pero todas pueden ser definidas por comprensión).


Ejemplo de una función definida por extensión:

Con { }, ,A p q r= y { }, ,B e i u= , la función : A B®f definida por

( ) ( ) ( ){ }, , , , ,p e q u r e=f .

Ejemplo de una función definida por comprensión:

Con { }2,4,6A = y { }0,2,4,6,8,10,12B = , la función : A B®g definida por

{ }( , ) X / 2x y A B y x= Î = ×g .

CONSIDERACIONES SOBRE NOTACIÓN

La función f , por ser una relación, posee dominio e imagen.

Su dominio, según la propia definición de función, es todo el conjunto de partida:

Dom(f) = A.

Su imagen, como en cualquier otra relación, es

Im(f) ( ) ( ){ } / ,y B x A x y= Î $ Î Î f

Dado un subconjunto del dominio, digamos T AÌ , se puede hablar de la imagen de T por f como siempre:

Im(T, f) ( ) ( ){ } / ,b B a T a b= Î $ Î Î f

pudiéndose también en este caso usar la notación alternativa

Im(T, f) º f [T].

Y dado un subconjunto de la imagen, digamos ( ) BU ImÌ Ìf , se puede hablar de la pre-

imagen (o imagen inversa) de U por f como siempre:

Im-1(U, f) ( ) ( ){ } / , a A b U a b= Î $ Î Î f .

pudiéndose también en este caso usar la notación alternativa

Im-1(U, f) º f -1[U]

donde, tengámoslo muy presente, se está hablando de la RELACIÓN inversa f -1.

Caso al que hay que prestar especial atención.

Un subconjunto del dominio, digamos T AÌ , puede estar conformado por un solo elemento; digamos, { }T x= .

Por ser { }x AÌ , le cabe, como todo subconjunto de A (como hemos señalado en su

momento) hablar de su imagen Im({ },x f ) { }( ) ( ){ } / ,b B a x a b= Î $ Î Î f .

O, más concisamente pues estamos admitiendo a priori la existencia del elemento x,

Im({ },x f ) { ( ) / ,b B x b= Î Î f } ,

a lo cual, como le sucede a toda relación, le cabe usar la notación alternativa

Im({ },x f ) { }xé ùº ë ûf


Recuérdese, además, que por abuso de notación, al hablar de relaciones vimos que se permite usar también la siguiente notación abreviada:

{ } [ ]x xé ù ºë ûf f

Todo lo dicho no es más que una repetición de lo que ya hemos desarrollado para cualquier relación R; la única diferencia está en que a la relación la estamos llamando f.

PERO f, además de ser una relación, es una función. Tiene propiedades que le son propias; por ejemplo, cada elemento x del dominio A figura en un único par ordenado:

( ) ( ), ,x y x z y zÎ Ù Î ® =f f .

Esta cualidad hace que sea corriente, necesario y útil, mencionar “al elemento y de B que le corresponde al elemento x de A” cuando se está hablando de elementos y no de conjuntos.

Y en el caso de las funciones, esto se puede hacer: si uno menciona a un elemento x de A, habrá un único elemento y de B asociado a él por la f, y además, eso le sucederá a

cualquier elemento de A pues el dominio de f es todo A.

¿Cuál es la notación que se usa, entonces, para indicar que de acuerdo a la función f, el elemento y es el elemento que le corresponde al elemento x?

Más precisamente: ¿cuál es la notación que se usa para indicar que y BÎ es el elemento

que le corresponde a x AÎ según la función : A B®f ?

La respuesta la da la conocida notación

( )x y=f .

A esta altura ya debe ser claro que la notación ( )xf , no debe ser confundida con [ ]xf ,

pues, mientras [ ] { } { }x x yé ùº =ë ûf f está refiriéndose a un subconjunto { }y BÌ , en cambio,

( )x y=f se está refiriendo a un elemento y BÎ .

Mientras que [ ] { } { }é ùº =ë ûf fx x y está expresando

“según la relación f, la imagen del conjunto cuyo único elemento es x, es el conjunto cuyo único elemento es y”,

( ) =f x y está expresando

“según la relación f, que es una función, la imagen del elemento x, es el elemento y”.

Obsérvese que ( )x y=f es una notación alternativa para ( ),x y Î f , notación que para funciones no es ambigua pues a cada x le corresponde un único y.



1. Las siguientes relaciones ¿son funciones? ¿Por qué?a) { } { }lápiz, tijera, fuego ; cortar, dibujar, calentar ;A B= =

X , A B x yÌ BR R x “sirve para” y.

b) { } { }lápiz, tijera, birome, fuego ; cortar, dibujar, calentar ;A B= =

X , A B x yÌ BS S x “sirve para” y.

c) { } { }lápiz, tijera, pinzas, birome, fuego ; cortar, dibujar, calentar ;A B= =

X , A B x yÌ BT T x “sirve para” y.

d) { } { }lápiz, tijera, birome, fuego ; cortar, dibujar, calentar, medir ;A B= =

X , A B x yÌ BU U x “sirve para” y.

e) { } { }lápiz, tijera, birome, fuego ; cortar, dibujar, calentar, medir, escribir ;A B= =

X , A B x yÌ BV V x “sirve para” y.

2) Las siguientes relaciones ¿son funciones? ¿Por qué?

a) ( ){ }2, / x y x y= Î ³¥R

b) ( ){ }, X / 2x y y x= Î =¥ ¢S

c) ( ){ }, X / 2x y y x= Î =¢ ¥T

d) ( ){ }2 2, / x y y x= Î =¡f

e) ( ){ }2 2, / x y y x= Î =¡g

f) ( ){ }2 3, / x y y x= Î =¡h 65

Cuando una relación es una función (por ejemplo, ( ){ } , X / / 2x y y x= Î =f ¥ ¤ , se puede

utilizar esta otra notación que también la define de manera completa:

( ):

/ 2x x=definida por

ff¥ ¤®

que se lee así:

función f que va de los ¥ a los ¤ , definida por: f aplicada a x es igual a x/2.

Nota 1: esta última perspectiva deja en claro por qué a las funciones también se las llama “aplicaciones”.

Nota 2: obsérvese por qué se suele escribir ( )y x= f .

65 OBSERVACIÓN 1: De siete alumnos presentes en una clase teórica del 2º cuatrimestre de 2013, y consultados uno a uno a expresos efectos de diagnóstico, sólo uno de elos sabía si un número real tiene o no una única raíz cúbica. OBS. 2: Según lo declarado ante una consulta diagnóstica por los once alumnos presentes en una clase teórica en el 2° cuatrimestre de 2014, algunos cursantes y otros recursantes, algunos provemientes de Mar del Plata y otros de otras localidades, algunos habiendo cursado el nivel secundario en instituciones públicas provinciales y municipales y otros en instituciones privadas, salvo un caso, ninguno de ellos había tomado contacto, en ningún nivel educativo previo al universitario, con siquiera uno de estos conceptos: inclusión, pertenencia, unión ni intersección; no habían visto tampoco la noción básica de conjunto.


FUNCIONES67 (continuación)

IGUALDAD DE FUNCIONES

Para tener definida una función, es necesario y suficiente tener definidos el conjunto de partida, el conjunto de llegada y el conjunto de pares ordenados que la componen.

Por tanto, para establecer que dos funciones son iguales entre sí, debe cumplirse que sus conjuntos de partida lo sean entre sí, e igualmente los conjuntos de llegada y los conjuntos de pares ordenados que las componen:

Sean f: A B® y g:C D® , entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) A C B D x A x x= = Ù = Ù " Î =f g f gB

Como se habrá notado, la definición de igualdad entre funciones, siendo que éstas son relaciones, surge naturalmente de la definición de igualdad entre relaciones ya introducida anteriormente.

ALGUNAS FUNCIONES CON CARACTERÍSTICAS PARTICULARES

Ya caracterizamos a las funciones como cierto tipo de relaciones a las que le suceden dos cosas adicionales: que todo elemento del conjunto de partida aparece en algún par de la relación, y que todo elemento del conjunto de partida aparece sólo en uno de los pares de la relación.

Siguiendo con este tipo de consideraciones, dentro del universo de las funciones podemos encontrar algunas que tienen características adicionales y que merecen destacarse por su importancia. Son las funciones inyectivas, las funciones sobreyectivas y las funciones biyectivas.

Veamos sus definiciones, enunciadas para una f: A B® cualquiera con A y B cualesquiera:

Función inyectiva

Se dice que una función es inyectiva si las segundas componentes de sus pares ordenados son todas distintas entre sí.

( ) ( ) inyectiva : / A B a b a b® = ® =Bf f f f

Función sobreyectiva (o “función suryectiva”, o “función exhaustiva”, o “función sobre …”

Se dice que una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada figuran –como segunda componente, desde ya- en alguno de los pares ordenados de la relación.

f sobreyectiva B Im(f) = B

Función biyectiva (o “función biunívoca”)

Se dice que una función es biyectiva si es, simultáneamente, inyectiva y sobreyectiva.

Dicho de otra manera, una función biyectiva es una función donde todo elemento de B es imagen de un único elemento de A.

67 Puede encontrar una descripción de la evolución histórica del concepto de función, en el siguiente enlace: astroseti.org - Historia del concepto de función .


http://astroseti.org/?/historia-de-las-matematicas/historia-del-concepto-de-funcion

FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Dada una relación f X A BÌ que sea función, por ser relación siempre existirá su relación

inversa f -1 X B AÌ .

Pero que la relación f sea una función no implica que la relación f -1 también lo sea. En otras palabras, no todas las funciones tienen función inversa.

Para que una función tenga función inversa debe suceder lo siguiente.

Proposición.- La relación inversa f -1 de una función biyectiva f: A B® es también una función.

Demostración informal, interactuando dialogadamente con los alumnos en clase:

Demostrémoslo coloquialmente (la demostración formal queda como tarea). En la proposición que sigue a ésta prestaremos más atención a la rigurosidad de las expresiones.

Aparentemente, nos será útil tener en cuenta que la función, al ser biyectiva, entonces es tanto inyectiva como sobreyectiva.

Para ello nos conviene imaginar un diagrama de flechas para nuestra función biyectiva (cada flecha representa un par ordenado), e imaginar que a cada flecha la damos vuelta (o sea, invertimos los componentes de cada par ordenado de la relación, con lo que conseguimos su relación inversa).

Analicemos entonces el ex-conjunto de llegada B, del cual, ahora, PARTEN flechas hacia el conjunto A.

[1] Sabiendo que “como f es sobreyectiva, a todo elemento de B le llegará una flecha”, si las invertimos, de todo elemento de B partirá una flecha.

[2] Por otra parte, como f es inyectiva, esto indica que de aquellos elementos de B de donde

ahora parte una flecha, partirá sólo una (pues por ser f inyectiva las imágenes de los elementos de A, que son elementos de B, son todos distintos; no hay dos elementos de A que vayan al mismo elemento de B).

De [1] y [2] vemos que la relación formada por los pares de la función f expresados en orden

opuesto, esto es, la relación f -1, resulta ser una relación que va de B hacia A que a cada elemento de B le hace corresponder una flecha, y sólo una, que va hacia un elemento de A.

Por lo tanto, la relación f -1 resulta ser una FUNCIÓN.

Con lo que queda demostrado que si la relación f es una función biyectiva, su relación

inversa f -1 es una función.

Proposición.- La inversa f -1 de una función biyectiva f es una función biyectiva.

Demostración: Que f es función ya está demostrado en la Proposición anterior.

Por ser f sobreyectiva, Im(f) = B. De donde, por definición de imagen inversa de una

función, surge que f -1[B] = Im-1(B, f) { ( ) ( ) / ,a A b B a b= Î $ Î Î f }= A.

En síntesis, f -1[B] = A, o sea, f -1 es sobreyectiva.

Por otra parte, por ser f inyectiva, es f (a) = f (b) ® a = b. Y como al ser también f sobreyectiva (pues es biyectiva), esto sucederá para todos los elementos f(a)=c y f(b)=d de

B pues todos son imagen de algún elemento de A. Entonces (repitamos, por ser f inyectiva)

es a = b ® c = d o sea, f -1(c) = f -1(d)® c = d. Lo que equivale a decir que f -1 es inyectiva.

Por lo tanto, siendo f -1 sobreyectiva e inyectiva, concluímos que f -1 es biyectiva.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 20 – Pág. 2

ASPECTO AL QUE HAY QUE PRESTAR ESPECIAL ATENCIÓN

Cuando se manipulan funciones, se suelen presentar situaciones donde los objetos con que se opera son conjuntos y no elementos; en estos casos, debe tenerse presente que las funciones son relaciones, y evitar confusiones de notación. Por ejemplo, dada una función f:A B® y dado un elemento b BÎ , uno, partiendo de b, podría preguntarse por “su f -1 “.

En estos casos debe tenerse muy en claro qué es lo que uno está preguntando.

Por un lado, si está hablando de la relación inversa de f o de la función inversa de f,

porque como caso general, la función inversa de f puede no existir (de hecho, no

existirá salvo que f sea biyectiva).

Y por otro lado, si se está hablando del elemento b BÎ o del conjunto { }b BÌ , aspecto estrechamente relacionado al anterior.

Por lo tanto, es necesario dejar explícito si se está preguntando por la f -1(b), notación que

asume que f -1 es función y está aplicada al elemento b BÎ o si se está preguntando por

f -1[b] que, como dijimos, es la notación abreviada de f -1[{b}] , expresión que debe ser considerada como representando un conjunto, pues es el resultado de aplicar la relación inversa f -1 al conjunto {b}, que da como resultado un subconjunto de A: el conjunto

( ){ / ,a A a bÎ Î f } .

Y tenemos que tener muy presente, también, que solamente cuando la función f sea

biyectiva tendremos derecho a considerar a f -1 como función –como lo hemos demostrado

arriba– con lo que recién entonces tendremos derecho a utilizar la notación f -1(b), es decir,

la aplicación de la función : f -1:B A® al elemento b BÎ , que dará como resultado un

elemento de A., el elemento a = f -1(b).

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Así como dos relaciones pueden componerse (concepto que se aplica a conjuntos que pueden ser el dominio, la imagen o subconjuntos de los mismos, y da como resultado conjuntos), de la misma manera pueden componerse funciones pues ellas son relaciones, y estos conceptos se siguen aplicando a dominios, imágenes o subconjuntos de los mismos. En esto no hay nada nuevo.

Pero así como luego presentamos al elemento y = f(x) BÎ como la imagen de un elemento x AÎ , y pasamos entonces a hablar del elemento f(x) y no del conjunto f[x], de la misma manera, al referirnos a la composición de funciones, si tenemos tres conjuntos cualesquiera A, B y C y dos funciones cualesquiera f:A®B y g:B®C, volveremos a hablar de su composición (concepto ya conocido pues las funciones son relaciones, y al presentar la composición de relaciones hablábamos de conjuntos y subconjuntos), pero esta vez lo haremos refiriéndonos a funciones (caso particular de las relaciones) con lo cual ahora podremos referirnos expresamente a los elementos de tales conjuntos.

Y lo haremos de esta manera:


La función “f compuesta con g” puede definirse como

go f ( ) ( ){ , X / x z A C y BÎ $ ÎB y=f(x)Ù z=g(y) }de donde

(go f) (x) = g(f(x))

que es una definición de composición que parte de su aplicación a un elemento x y da como resultado un elemento z.

No es del todo redundante señalar, una vez más, que esta definición de composición, aplicada a funciones, satisface todos los requisitos de la anteriormente definida composición de relaciones, lo que el alumno puede verificar, y que continúa siendo vigente para el caso de las funciones, por la que también es totalmente aplicable en este caso. La ventaja de introducir la noción de composición de funciones de la manera arriba expuesta reside en que es una definición que puede aplicarse directamente a elementos y no a conjuntos, y esto resulta muy conveniente pues el uso corriente del concepto de función se presenta mucho más frecuentemente en situaciones donde se desea averiguar el valor de una función aplicada a un elemento en particular.

Ejercicios para desarrollar en clase

1. Dados los siguientes conjuntos y relaciones entre ellos, indicar cuáles de ellas son funciones y en tal caso señalar si pertenecen a algún tipo especial:

{ }{ }{ }{ }

, , ,

, , ,

1,2,3

, ,

A a e i o

B p q r s

C

D a b c

=

=

=

=

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

1, , 2, , 3,

,1 , ,2 , ,3

,2 , ,1 , ,3 , ,2

1, , 2, , 3,

, , , , , , ,

f b a a

g b a a

h p q r s

p a c b

k a p e q i s o p

=

=

=

=

=

2. Con los conjuntos y funciones indicados responder las siguientes preguntas, orientadas a analizar la composición p ho :

a) ¿Quiénes son h(q) y h(r)?

b) ¿Quiénes son p(3) y p(1)?

c) ¿Quiénes son p(h(q)) y p(h(r))?

d) ¿Quiénes son ( p ho )(q) y ( p ho )(r)?


e) ¿De dónde y hacia dónde van la función h, la función p y la función ( p ho )?

Respuesta al inciso (e):

( ): : :h B C p C D p h B D® ® ®o

3) Sean , , y A B C D conjuntos cualesquiera y sean : , : y :A B B C C D® ® ®f g h funciones biyectivas.

a) Indicar de dónde a dónde van, en cada caso, las siguientes funciones:

( )

1

1

1 1

i)

ii)

iii)

iv)

-

-

- -

o

o

o

h gg

g f

g h

b) Representar las respuestas de a) en un diagrama de flechas como el que aparece en el ejercicio 2.e). (Se pueden utilizar flechas adicionales para mejor comprensión, pero deben resaltarse las cuatro flechas solución).

OTRAS FUNCIONES DESTACABLES

Función Constante

Sean A, B conjuntos, y sea b un elemento cualquiera perteneciente a B.

A la función ( ): definida por A B x b x A® = " Îf f se la llama función constante.

Función Identidad

Sea A un conjunto.

A la función ( ): definida por A A x x x A® = " Îf f se la llama función identidad en A.

Nótese que se destaca “en” puesto que en este caso la función f es una relación “en” A.

A esta clase de funciones se las suele simbolizar Id, o sea,

( ): definida por A A x x x A® = " ÎId Id

Recordando que por ser relación, Id es un conjunto de pares, subconjunto de AXA; si representáramos dicho producto cartesiano con un par de ejes cartesianos ortogonales esta relación Id resulta ser la diagonal de dicha gráfica.


B

C

D

h

p

p O h

De hecho, la Función Identidad no es más ni menos que la Relación Identidad ya conocida. En otras palabras, siguiendo el camino anterior podría demostrarse que la Relación Identidad es una Función.

Función Vacía

Proposición.- La Relación Vacía es una función.

Demostración:

i) Demostremos, por el absurdo, que ( )Dom Æ = Æ , es decir, que el dominio coincide con el

conjunto de partida. Si no fuera así (recordemos que siempre estamos utilizando la Lógica, y aquí estamos introduciendo la premisa ( )Dom Æ ¹ Æ ), dado que el dominio está incluído en el conjunto de partida, en éste debe existir algún elemento. Llamémoslo z. Con lo que zÎÆ , o sea, Æ ¹ Æ . Contradicción que proviene de suponer que el dominio

de Æ no coincide con el conjunto de partida. Conclusión, ( )Dom Æ = Æ . La primera de las dos condiciones para que una relación sea función queda, entonces, demostrada.

ii) Veamos entonces si es verdad la segunda condición, que aplicada a nuestro caso es

( ) ( ) ( ) ( ) , , , x y z x y x z y zé ù" ÎÆ " ÎÆ Î Ù Î ® =ë ûÆ Æ . Se ve de inmediato que esta

expresión es verdadera por ser un condicional con antecedente falso (nótese, dicho sea de paso, que el rol del vacío en el primer cuantificador es el de conjunto de partida, en el segundo cuantificador es el del conjunto de llegada, y en el antecedente del condicional es la relación, o sea el subconjunto del resultado del producto cartesiano del conjunto de partida por el de llegada: XÆ ÌÆ Æ ) . La segunda de las dos condiciones para que una relación sea función queda entonces, también, demostrada.

Por lo tanto, queda demostrado que la Relación Vacía así definida es una función, llamada Función Vacía.

PUNTO FIJO DE UNA FUNCIÓN

Sea A un conjunto cualquiera y sea f una función cualquiera tal que : A A®f

Se dice que un elemento 0x AÎ es un punto fijo de la función f si ( )0 0x x=f .

Ejemplo:

Sea ( ) 3: definida por x x® =f f¡ ¡ .

Los elementos 1, 0, 1 - Î ¡ son puntos fijos de f. El elemento 2Î¡ no lo es.


FUNCIONES (continuación)

FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES

Si bien una función va de un conjunto a otro, estos conjuntos pueden, a su vez, ser productos cartesianos.

Dos ejemplos:

la función ( )( ): X definida por , 2x y x y® = +f f¡ ¡ ¡ que, por abuso de notación, se

escribe ( ), 2x y x y= +f . Notar que ( ), X y que 2x y x yÎ + Î¡ ¡ ¡ , que esta función le

hace corresponder a cada elemento de 2¡ un valor de ¡ , y que si se la representara en ejes cartesianos ortogonales, esta función queda representada por una superficie (plana en este caso) en el espacio tridimensional ( )

3X X X X= =¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ .

la función ( ) ( )2: X definida por 1, x 2x x® = +g g¡ ¡ ¡ . Notar que en este caso xÎ¡

y ( )2 1, x 2 Xx + Î¡ ¡ , que esta función le hace corresponder a cada elemento de ¡ un

elemento de 2¡ , y que si se la representara en ejes cartesianos ortogonales, esta función queda representada por una línea (curva en este caso) en el espacio tridimensional ( )

3X X X X= =¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ .

Este tipo de funciones, por ser relaciones –como sucede con cualquier función–, son subconjuntos de productos cartesianos. Las de los ejemplos son, respectivamente,

( )( ) ( ){ }, , X X / 2x y z z x y= Î = +f ¡ ¡ ¡ y ( )( ) ( ){ }2, , X X / 1 2x y z y x z x= Î = + Ù =g ¡ ¡ ¡ .

Tratamiento de las n-uplas ordenadas

Siguiendo el criterio introducido cuando presentamos el Producto Cartesiano Generalizado, utilizamos en concepto allí presentado de n-upla ordenada como elemento del conjunto resultante de realizar el producto cartesiano entre más de dos conjuntos, operación que allí señalamos como poseedora de la Propiedad Asociativa.

En el caso de tres conjuntos cualesquiera A, B, C resulta entonces, como decíamos, que

( ) ( )X X X X X XA B C A B C A B C= =

Y por tanto, siendo ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , X X y , , X Xa b c A B C a b c A B CÎ Î , puede también escribirse

( )( ) ( )( ) ( ), , , , , ,a b c a b c a b c= =

Y también

( ), , X Xa b c A B CÎ

El criterio, que aquí ejemplificamos con “ternas ordenadas” ( ), ,a b c , es totalmente aplicable

a “n-uplas ordenadas” ( )1 2 1 2, , , X X Xn na a a A A AÎ ¼K .


“Varias variables”

Por lo tanto, cuando nos encontramos con funciones del tipo presentado arriba –refirámonos

a nuestras funciones f y g del ejemplo anterior para mayor claridad–,

en vez de decir que

la función f asigna a cada valor variable ( ) 2,x y Î¡ un valor variable zÎ¡o más precisamente, que

la función f asigna a cada valor variable independiente ( ) 2,x y Î¡un valor variable dependiente zÎ¡ ,

se suele decir que

la función f asigna a cada par de valores variables ,x y Î¡ el valor variable zÎ¡o más precisamente, que

la función f asigna a cada par de valores variables independientes ,x y Î¡el valor variable dependiente zÎ¡ .

De la misma manera, en vez de decir que

la función g asigna a cada valor variable xÎ¡ un valor variable ( ) 2,y z Î¡

o más precisamente, que

la función g asigna a cada valor variable independiente xÎ¡

un valor variable dependiente ( ) 2,y z Î¡

se suele decir que

la función g asigna a cada valor variable xÎ¡ un par de valores variables ,y zÎ¡

o más precisamente, que

la función g asigna a cada valor variable independiente xÎ¡un par de valores variables dependientes ,y zÎ¡ .

Esta forma de expresarse es válida en general, cualquiera sea la cantidad de variables.

Debe tenerse presente que, detrás de esta simplificación en la notación de las variables, está la función, que en realidad siempre sigue asignando a un elemento del conjunto de partida (expresado cada elemento, quizá, como en nuestro ejemplo f, por más de una variable) un y solo un elemento del conjunto de llegada (expresado quizás cada uno de

estos elementos, como en nuestro ejemplo g, por más de una variable).

Cuando se habla de “funciones con varias variables” es en este sentido en que se lo hace. Puede parecer que vincula a muchas variables con muchas otras, pero en realidad mantiene siempre su característica esencial: vincula un elemento del dominio con uno de la imagen.


PROYECCIONES CARTESIANAS

Sean A, B dos conjuntos cualesquiera y sea f una función cualquiera que vaya de A en B.

Por ser función, f es relación, o sea, f es un subconjunto de AXB. Destaquemos esto último:

f es un conjunto, un conjunto de pares ordenados.

Primera proyección cartesiana

Contando con todos estos elementos, A, B y f, podemos referirnos a este otro producto

cartesiano de conjuntos: fXA.

Este producto cartesiano fXA, como todos los productos cartesianos, estará formado por pares ordenados. La particularidad de estos pares ordenados estriba en que su primera componente es un elemento de f, o sea, es a su vez un par ordenado de AXB, mientras que

la segunda componente es un elemento de A. Toman la forma ( )( ), ,x y z con , , x z A y BÎ Î .

Cada subconjunto de este producto cartesiano fXA será una relación, pues ésa es la definición de relación.

Lo que haremos, después de toda esta introducción, es referirnos en particular a una de estas relaciones subconjuntos de fXA, a la que llamaremos P1, y que definiremos así:

( )( ){ }1 , , X / x y z A z x= Î =P f

Expresión que puede sintetizarse así:

( )( ){ }1 , , Xx y x A= ÎP f

Proposición.- La relación P1 es una función.

Demostración:

El conjunto de partida de P1 son todos los pares de f, y como la definición de P1 no pone

ninguna restricción a la primera componente, surge de inmediato que el dominio de P1

coincide con su conjunto de partida, es decir, 1( )Dom =P f . Por tanto se cumple con el

primero de los requisitos para que P1 pueda ser considerada función.

Por otra parte, como los pares ordenados tienen un y sólo un primer componente (y un y sólo un segundo componente, también), en el caso particular de los pares ordenados de f también sucederá lo mismo. Y si consideramos cómo está definido P1, veremos que en los

pares ordenados de P1, cada primer componente (que es un par ordenado de f)

necesariamente aparecerá sólo en uno de los pares de P1, o sea, se cumple con el segundo

de los requisitos para que P1 pueda ser considerada función.

Por lo tanto, queda demostrado que la relación P1 es una función.

Siendo función, podemos definirla con más precisión:

( )( ) 1

1

: X

definida por ,

A B A

x y x

Ì ®=

P fP

y denominada primera proyección cartesiana de la función fPor abuso de notación, también se suele escribir

( ) 1 ,x y x=P .


Con lo que finalmente, podemos ver claramente que la primera proyección cartesiana de una función asocia a cada par ordenado de la misma, su primera componente.

Segunda proyección cartesiana

Siguiendo un procedimiento exactamente similar, dada una función cualquiera f, se puede construir otra que asocia a cada par ordenado de la misma, su segunda componente. A ésta se la llama P2, segunda proyección cartesiana de la función f:

( )( ) 2

2

: X

definida por ,

A B B

x y y

Ì ®=

P fP

Y como en el caso anterior, por abuso de notación, también se suele escribir

( ) 2 ,x y y=P .

Vigencia de estos conceptos para conjuntos que a su vez sean productos cartesianos

Partimos de A, B dos conjuntos cualesquiera y f una función cualquiera que va de A en B:: A B®f .

Nada impide que o bien el conjunto A, o el conjunto B, o ambos, sean a su vez productos cartesianos de otros conjuntos.

Para fijar ideas, supongamos que 1 2XA A A= y que 1 2XB B B= . Entonces es

1 2 1 2: X XA A B B®f .

La primera proyección cartesiana de la funcion f será, aplicando la definición anterior,

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2

1 1 2 1 2 1 2

: X X X X

definida por , , , ,

A A B B A A

x x y y x x

Ì ®

=

P fP

expresión que puede simplificarse aplicando el criterio de asociatividad mencionado:

( )( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2

1 1 2 1 2 1 2

X: X X X


A A B B A A

x x y y x x

Ì ®=

P fP

Y la segunda proyección cartesiana de la funcion f resultará ser, por las mismas razones,

( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2

X: X X X


A A B B B B

x x y y y y

Ì ®=

P fP

O sea

( )( ) ( ) 1

1 1 2 1 2 1 2

: X


A B A

x x y y x x

Ì ®=

P f P

y

( )( ) ( ) 2

2 1 2 1 2 1 2

: X


A B B

x x y y y y

Ì ®=

P f P

Lo planteado en este ejemplo es evidentemente general: independientemente de que los conjuntos de partida y/o de llegada de una función sean productos cartesianos de otros conjuntos, las definiciones de las proyecciones cartesianas primera y segunda siguen siendo las mismas que antes.


Proyecciones sobre factores cartesianos

Sin embargo, cuando los conjuntos de partida y/o de llegada de una función son productos cartesianos de otros conjuntos, como en el caso expuesto recién, las proyecciones no sólo se pueden hacer sobre los conjuntos de partida o de llegada (primera y segunda proyección cartesiana, respectivamente), sino también sobre alguno o algunos de los conjuntos factores de tales productos cartesianos.

Esta posibilidad expande la cantidad de variantes de proyección. Veamos.

En nuestro ejemplo, con la función XA BÌf y siendo 1 2XA A A= y 1 2XB B B= , además de

1 2 y P P podrán realizarse varias otras proyecciones combinando de diversas maneras estos factores cartesianos, como ser, por caso:

proyección sobre el factor cartesiano 1A :

( )( ) 1

1

1

1 2 1 2 1

:


A

A

A

x x y y x

®

=

P f P

proyección sobre el factor cartesiano 2B :

( )( ) 2

2

2

1 2 1 2 2

:


B

B

B

x x y y y

®

=

P f P

proyección sobre los factores cartesianos 2A y 1B :

( )( ) ( ) 2 1

2 1

2 1

1 2 1 2 2 1

: X

definida por , , , , ,

A B

A B

A B

x x y y x y

®

=P

P f

etcétera, además de las dos proyecciones cartesianas presentadas al principio:

( )( ) ( ) 1

1 1 2 1 2 1 2

:


A

x x y y x x

®=

P f P

y

( )( ) ( ) 2

2 1 2 1 2 1 2

:

definida por , , , , .

B

x x y y y y

®=

P f P

Para mayor claridad, presentemos un ejemplo más concreto.

Especifiquemos para una función cualquiera f un conjunto de partida en particular, ¡ , un

conjunto de llegada en particular, 2X º¡ ¡ ¡ que nos conviene escribir

22 3X º¡ ¡ ¡

(atención: aquí, 2 y 3 son subíndices destinados a denominar unívocamente a los factores del producto cartesiano X¡ ¡ ), una función en particular 2: ®f ¡ ¡ definida en nuestro

ejemplo por ( ) ( )1, 2x x x= +f (es decir ( ) ( ) 2,x y z= Îf ¡ con 1y x= + , 2z x= ), y una

proyección en particular, la proyección sobre el factor cartesiano 3¡

3 3 : ®P f¡ ¡

definida por ( )3 , ,x y z z=P¡

o sea,

( )3 , 1, 2 2x x x x+ =P¡ .


RESTRICCIÓN Y EXTENSIÓN DE FUNCIONES

Restricción

Sean A, B conjuntos cualesquiera, sea : A B®f una función cualquiera de A en B, y sea T un subconjunto cualquiera de A: T AÌ .

Por ser f función con dominio A, todos los elementos de A tienen, según esa función f, una y solo una imagen en B. Siendo T subconjunto de A, a todos los elementos de T les sucederá lo mismo, es decir, a todo elemento x TÎ se le asocia, según el criterio f, un y solo un elemento y BÎ .

Por tanto, si estamos asociando a todo elemento x TÎ un y solo un elemento y BÎ , estamos ante una función.

Antes de continuar pongamos un ejemplo: sea : ®f ¢ ¤ definida por ( ) 2x x=f y tomemos

al conjunto ¥ que es subconjunto del dominio de f (pues Ì¥ ¢ ).

Si a cada xÎ¥ le asociamos 2x x® , estamos evidentemente ante una función de ¥ en ¤ pues a todo xÎ¥ le estamos asociando un y solo un elemento 2x Î¤ .

Ahora podemos continuar. Y lo haremos con la siguiente pregunta: ¿esta función, es la función f que teníamos?

Toda función es una relación, y ya conocemos el criterio a aplicar para saber si dos relaciones son iguales: ambas tienen que tener los mismos pares ordenados, el mismo conjunto de partida y el mismo conjunto de llegada. Lo mismo señalamos también para funciones.

Evidentemente entonces esta nueva función no es la función f, pues, a menos que el subconjunto del dominio coincida con él (y no es nuestro caso, pues ¹¥ ¢ ), no tienen ambas el mismo conjunto de partida y, además, habrá pares ordenados de f que no estarán en esta nueva función: aquellos pares cuya primer componente no sea natural, como por ejemplo el par ( )3, 3 2- - .

SIN EMBARGO, es evidente que existe una fuerte relación entre nuestra nueva función y la función f original: si un elemento del dominio de f está en ¥ , la imagen de ese elemento

según la función f será la misma que su imagen según la nueva función.

A esta nueva función aún no le hemos dado nombre. Como conociendo f inmediatamente podemos conocer nuestra nueva función si decidimos “restringir” el dominio a un subconjunto del dominio original, el nombre que tiene la nueva función heredará el nombre de la función original, pero aclarando que se hizo una restricción del dominio, y señalando además cuál fue esa restricción.

Todo esto se sintetiza, en nuestro ejemplo, con la notación |f ¥ .

La barra indica que a dicha función se la restringió, y el conjunto mencionado indica el nuevo dominio.

|f ¥ , entonces, es esa función que va de en ¥ ¤ y está definida por ( ) 2x x=f|¥ .68

Expresemos esta noción, ahora, en forma general.

68 La notación /f ¥ , bastante similar y muy corriente, suele ser màs cómoda pues es menos confusa. ( )/ 5 5 2=f ¥ es

más fácil de leer que ( )| 5 5 2=f ¥ . En ambos casos se lee “la función f restringida a los naturales, aplicada a 5, es 5/2”.UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 21 – Pág. 6

Definición.- Si A, B son conjuntos cualesquiera, : A B®f es una función cualquiera de A

en B, y T AÌ es un subconjunto cualquiera de A, llamaremos “función f restringida a T” y notaremos |Tf , a la función

( ) ( )| :

definida por | .

T T B

T x x

®=

ff f

Extensión

El concepto de “extensión” de una función es exactamente el recíproco del de “restricción”.

Sean A, B conjuntos cualesquiera, sea : A B®f una función cualquiera de A en B, y sea T

un subconjunto cualquiera de A: T AÌ . Si la función :T B®g resultara ser la restricción |Tf de f a T , entonces se dice que “la función f es la extensión de la función g a A”.

UN TEOREMA CON MUCHAS IMPLICANCIAS

Para enunciar y demostrar este teorema, necesitamos demostrar previamente las siguientes dos proposiciones:

Proposición 1.- La composición de funciones sobreyectivas es una función sobreyectiva.

Demostración:

Tenemos que demostrar que ( ) :g f A C®o es función sobreyectiva, o sea, que

( ) ( )Im g f A C=o .

Describamos la propiedad sobreyectiva de una función de esta otra manera, equivalente:

: A B®f función sobreyectiva ( ) ( ) ( ) b B a A a bÛ " Î $ Î =f ,

: B C®g función sobreyectiva ( )( ) ( ) c C b B b cÛ " Î $ Î =g .

Expresandonos así, deberemos demostrar que ( ) ( ) ( )( ) c C a A a c" Î $ Î =fg o , lo que

significaría que ( )fg o es función sobreyectiva.

Veamos. Sea un c CÎ cualquiera. Por ser g función sobreyectiva, ( ) ( ) b B b c$ Î =g . Y por

ser f función sobreyectiva, podemos afirmar que, para ese b, ( ) ( ) a A a b$ Î =f .

De donde, partiendo de ese elemento a que acabamos demostrar que existe, y

reemplazando, sucede que ( )( )g a c=f . Y por la forma en que lo planteamos, esto sucede

para un c CÎ cualquiera, esto es, sucede c C" Î .

Por lo tanto, ( ) ( ) ( )( ) c C a A a c" Î $ Î =fg .

Con lo que, aplicando la equivalencia ( )( ) ( )( )x xºf fgg o , hemos demostrado que

( ) ( ) ( )( ) c C a A a c" Î $ Î =fg o , esto es, ( )fg o es sobreyectiva.


Proposición 2.- La composición de funciones inyectivas es una función inyectiva.

Demostración:

Por definición, una función cualquiera : D E®h es inyectiva si, para cualesquiera 1 2,d d DÎ ,

si sucediera que ( ) ( )1 2d d=h h es porque 1 2d d= .

Queremos demostrar que, siendo : A B®f y : B C®g funciones inyectivas, su

composición ( ) : A C®fg o también lo es.

Tomemos dos elementos 1 2,a a AÎ cualesquiera, que satisfagan ( )( ) ( )( )1 2a a=f fg go o .

Por la definición de composición de funciones, tenemos que ( )( ) ( )( )1 2a a=f fg g .

Como g es inyectiva, por definición se cumple que ( ) ( ) r s r s= ® =g g , lo que aplicado a

nuestro caso, es ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2a a a a= ® =f f f fg g ; y por resulta ( ) ( )1 2a a=f f .

A su vez, como f es inyectiva, por definición se cumple que ( ) ( ) p q p q= ® =f f , lo que

aplicado a nuestro caso, es ( ) ( )1 2 1 2a a a a® ==f f , y por concluímos en que 1 2a a= .

En síntesis, demostramos que ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2, a a A a a a a" Î = ® =f fg go o , o sea, la

función fg o es una función inyectiva.

Teorema.- La composición de funciones biyectivas es una función biyectiva.

Demostración:

Si las funciones que se están componiendo son biyectivas, entonces son sobreyectivas e inyectivas.

Por la Proposición 1 anterior, la composición de tales funciones es una función sobreyectiva, y por la Proposición 2 anterior, dicha composición también es inyectiva.

Por lo tanto, la composición de funciones biyectivas es una función biyectiva.


CARDINALIDADINTRODUCCIÓNLa teoría de Cardinalidad está orientada a formalizar el concepto intuitivo de “cantidad de elementos” de un conjunto cualquiera, y le dedica especial atención a los conjuntos cuya cantidad de elementos no es finita.

El marco dentro del cual desarrollamos esta teoría da por supuesta la existencia previa del conjunto ¥ de los números naturales. No es la única forma de presentarla; hay otros caminos. Incluso, algunos permiten construir a ¥ basándose en una teoría de cardinalidad desarrollada en forma previa; aquí no lo haremos así; como dijimos, consideraremos al conjunto ¥ previamente conocido.

Cabe señalar también, a efectos de satisfacer el plan de contenidos de la asignatura, que se presenta una teoría de Cardinalidad que no exige la introducción previa de la teoría de Ordinalidad. En particular, presenta el concepto de número cardinal sin hacer referencia a los números ordinales, en el entendimiento de que tales cuestiones exceden este espacio y serán incluídas en otros espacios curriculares posteriores.

El concepto intuitivo de “cantidad de elementos de un conjunto” no es preciso; es ambiguo.

Cuando los conjuntos no tienen una cantidad finita de elementos, suceden cosas inesperadas, que con los conjuntos finitos no suceden.

Por ejemplo, si un conjunto es finito, y tuviéramos un subconjunto propio del mismo (un subconjunto propio, como ya hemos dicho, es un subconjunto que no es igual al conjunto que lo contiene), es evidente que la cantidad de elementos del subconjunto propio es menor que la del conjunto que lo contiene, debido a que existirán elementos pertenecientes a éste que no pertenecen a aquél, por lo que si los contamos, habrá más.

Pero esta propiedad… ¡no es general!

No siempre sucede, si bien con los conjuntos finitos sí.

Hay otros conjuntos donde esto no se puede afirmar. Son los que conocemos informalmente como “conjuntos infinitos” pues ellos incluyen subconjuntos propios que tendrían “la misma cantidad de elementos” que el conjunto continente.

Por lo tanto, cuando usemos la frase “cantidad de elementos”, lo haremos teniendo siempre presente que lo hacemos a nivel intuitivo y al sólo efecto de remarcar referencias concretas entre el desarrollo teórico y nuestras experiencias previas (si la frase “cantidad de elementos” fuera una expresión formal –que no lo es–… deberíamos afirmar, con buenas razones, que el conjunto ¥ “tiene la misma cantidad de elementos” que el conjunto ¢ ).

Por estas mismas razones, por ahora hablaremos de “conjuntos infinitos” sólo de manera informal, hasta que logremos definirlos con precisión.

Para comenzar, la primera noción que introduciremos será la de coordinabilidad, que nos permitirá formalizar la idea intuitiva de “comparación de las cantidades de elementos” de dos conjuntos.

RELACIÓN DE COORDINABILIDADSean , ,A BK conjuntos, y sea F un nuevo conjunto cuyos elementos son de la clase presentada previamente; es decir, sus elementos son conjuntos tales como , ,A BK En capítulos anteriores ya habíamos presentado a F como “familia” de conjuntos.

Definamos entonces la relación X» Ì F F así:

( ){ } , X / : biyectivaA B A B» Î $ ®fF FBUNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 21 – Pág. 9

de donde( ) , : biyectivaA B A BÎ » Û $ ®f

o sea : biyectivaA B A B» Û $ ®f .

Proposición.- La relación » es de equivalencia.

Demostración:

La reflexividad de » resulta evidente pues para todo par de conjuntos ( ), XA A ÎF F

existe la relación de Identidad en A, que es una biyección en A A® , con lo que ( ) ,A A Î »

La simetría de » también es evidente pues como para todo par de conjuntos ( ),A B ÎF ,

si existiera : biyectivaA B®f entonces existiría la función 1 : B A- ®f que también es

biyectiva, resulta que si ( ) ,A B Î » entonces ( ) ,B A Î » .

Y la transitividad de » también, pues que ( ) ( ) , , ,A B B C Î » implica que : A B$ ®f y que

: B C$ ®g ambas biyectivas, y como la composición de funciones biyectivas es una

función biyectiva, resulta que : A C®g fo es una función biyectiva, por lo que ( ) ,A C Î ».

Al ser » reflexiva, simétrica y transitiva, resulta que » es una relación de equivalencia.

A la relación » la llamaremos relación de coordinabilidad (o de equipotencia).

Y entonces cuando A B» , diremos que A y B son conjuntos coordinables o equipotentes, o que ambos tienen la misma potencia.

En breve: dos conjuntos A y B son coordinables si existe alguna biyección entre ellos.

Veamos ahora que esta relación de coordinabilidad dada en una familia cualquiera F de conjuntos cumple con los requisitos de existencia y unicidad69.

Proposición.- Dada una familia de conjuntos F , siempre existe una relación de coordinabilidad » en ella.

Demostración:

Si la familia F es vacía, XF F no tiene ningún par, o sea, es el conjunto vacío. De donde el único subconjunto de XF F , el conjunto vacío Æ , es la única relación posible en F , la relación vacía, la que no tiene ningún par. Con lo que siempre será verdadera la

expresión ( ) ( )( ), , : biyectivaA B A B A B" ÎÆ® $ ®f , o sea, si la familia F es vacía,

existe la relación vacía que es de coordinabilidad.

Nos queda por analizar el caso de que la familia F no sea vacía.

Al ser F no vacío, XF F contendrá al menos un par ordenado de conjuntos.

Por tanto, a la relación ( ) X : biyectiva/ A B A B» Ì » Û $ ®fF F siempre se la podrá definir ; y podrá, o no, tener elementos (pares de conjuntos).

Si no existiera biyección alguna entre los distintos conjuntos de F , esta relación de coordinabilidad » será el conjunto vacío. Si sí existiera alguna biyección entre algún par

69 Ante un nuevo concepto, es muy corriente en la matemática que se comience demostrando (si correspondiera) que existe y que es único, lo que se suele denominar “requisitos de existencia y unicidad”.


de conjuntos de F , ese par pertenecerá a la relación de coordinabilidad » , o sea, » será un conjunto no vacío. Pero tanto en uno u otro caso, » existe (pues el conjunto vacío existe).

En definitiva, sea vacía o no la familia F , a veces la relación de coordinabilidad » en Ftendrá pares de conjuntos y otras veces estará vacía, pero siempre existirá.

(Si la relación es vacía los que no existen son sus elementos, pero sí existe la relación, pues hemos definido desde el principio que la entidad “conjunto vacío” existe).

Proposición.- Dada una familia de conjuntos F , la relación de coordinabilidad » en él es única.

Demostración:

Sean las relaciones 1 2 y X» » Ì F F , o sea, ( ){ }1 , X / : biyectivaA B A B» = Î $ ®fF F y ( ){ }2 , X / : biyectivaA B A B» = Î $ ®fF F . Sabemos que tales relaciones existen.

Supongamos ( ) 1,A B Î » . Entonces : biyectivaA B$ ®f , de donde ( ) 2,A B Î » . Por lo

tanto, 1 2» Ì » . Con un razonamiento análogo, 2 1» Ì » . Por lo tanto, 1 2» = » .

En conclusión, para cualquier familia F , la relación de coordinabilidad » en F es única.

Podemos decir, en consecuencia, que la relación de coordinabilidad en una familia de conjuntos satisface los requisitos de existencia y unicidad.

Saber esto nos permite hablar de “la” relación de coordinabilidad cuando estemos refiriéndonos a conjuntos de una familia.

Prosigamos avanzando entonces con nuestro desarrollo formal, orientados a conformar un concepto bien definido (una proposición, una ‘fórmula bien formada’, que surja como conclusión de argumentaciones deductivas que partan de proposiciones previas que sabemos verdaderas), que nos sirva para asociarlo a nuestra idea informal de “cantidad de elementos de un conjunto”.


CARDINALIDAD - Continuación

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Por ser de equivalencia, la relación de coordinabilidad » parte a F en clases de equivalencia.

Sabemos que cualquiera sea un conjunto dado, si está definida una relación de equivalencia en él, para cualquier elemento que pertenezca al conjunto estará también definida la clase de equivalencia de ese elemento.

Apliquemos esto al caso particular de este capítulo, donde los elementos son conjuntos.

Tenemos entonces al conjunto F que es una familia de conjuntos; sabemos que existe la relación de coordinabilidad » en F , y hemos demostrado que esta relación es de equivalencia. Entonces, para cualquier elemento A de la familia F (en nuestro caso estos

elementos son conjuntos, AÎF , BÎF , …) , estará definida la clase de equivalencia [ ]

A » de ese elemento.

Definición.- Sea una familia cualquiera F y sea un conjunto cualquiera AÎF . A la clase de

equivalencia [ ]

A » de A se la denomina clase de equivalencia cardinal del conjunto A, cardinal del conjunto A, cardinal de A o potencia de A, y se lo representa con la notación

( ) [ ]

card A A »B .70

Ejemplo:

Sea la familia (definida arbitrariamente) siguiente:

{ } { } { } [ ] { } { } { } { } [ ] { }{ } [ ]{ } , , , , 1,3 , , 7,4 , 2 , , 5,8 , , , 1,2 , 1,1a p q s a e o= mF ,

aclarando además que en esta familia, sus elementos [ ] [ ] [ ]1,1 , 1,3 , 5,8 Ì ¥ .

Se ve por ejemplo que { } { }a » m , que { } { }, 1,2p q » , que { } { }, 7,4p q » , que { } [ ]1,1a » , que

{ } [ ], , 1,3a e o » , que ni { } ni [ ]5,8 coordinan con ningún otro conjunto de la familia.

Recordemos también que afirmar que { } { }, 7,4p q » equivale a afirmar que existe al menos

una f : { } { }, 7,4p q ® que es biyectiva. Y se cumple, por ejemplo, con ( ) ( ){ },7 , ,4p q=f pues

lo es.

La relación de coordinabilidad asociada a la familia F resulta ser

{ » = ({ }.{ }), ({a},{a}), ({a},{}), ({a},{2}), ({a},{s}), ({a},[1,1]), ({},{a}), ({},{}),

({},{2}), ({},{s}), ({},[1,1]), ({2},{a}), ({2},{}), ({2},{2}), ({2},{s}), ({2},[1,1]),

({s},{a}), ({s},{}), ({s},{2}), ({s}.{s}), ({s},[1,1]), ([1,1],{a}), ([1,1],{}), ([1,1],{2}),

([1,1],{s}), ([1,1], [1,1]), ({p,q},{p,q}), ({p,q},{7,4}), ({p,q}.{1,2}), ({7,4},{p,q}),

({7,4},{7,4}), ({7,4},{1,2}), ({1,2}.{p,q}), ({1,2},{7,4}), ({1,2},{1,2}), ({1,2,3},{1,2,3}),

({1,2,3},{a,e,o}), ({a,e,o},{1,2,3}), ({a,e,o},{a,e,o}), ([5,8],[5,8]) } XÌ F F .

70 La notación para la cardinalidad no está generalizada. Existen muchas otras notaciones, como c(A), A , A , ( )# A , # A

, etc. Debe prestarse especial atención al contexto, porque en determinada bibliografía algunos de estos signos, como por ejemplo el #, no se usan para indicar números cardinales sino para indicar números ordinales.


Las clases de equivalencia determinadas en F por la relación de coordinabilidad » (que demostramos que es una relación de equivalencia) son

{ } {»é ù =ë û { } } que puede escribirse también [ ] { } »Æ = Æ

{ } {a »é ù =ë û {a}, {}, {2}, {s}, [1,1] }

{ } {,p q »é ù =ë û {p,q}, {7,4}, {1,2} }

{ } {1,2,3 »é ù =ë û {1,2,3}, {a,e,o} }

[ ] {5,8 »é ù =ë û [5,8] }

Puede apreciarse, también, que el cardinal del conjunto {} es { } { }[ ]( )card a »=m ( la clase de equivalencia del conjunto {a} según la relación de equivalencia » ), y que el cardinal del conjunto {a,e,o} es { } { }[ ]( , , ) 1,2,3card a e o »= .

También puede apreciarse que el cardinal del conjunto {} es { } { }[ ]( ) 2card »=m , o que el

cardinal del conjunto {} es { } [ ][ ]( ) 1,1card »=m , pues cualquier miembro de una clase de equivalencia puede ejercer el rol de representante de su clase.

Ejercicio:

Utilizando la familia F del ejemplo, (1°) volver a escribir la relación » , (2°) volver a escribir las clases de equivalencia que ésta determina, y (3°) cotejar por último sus resultados con los arriba obtenidos. (Recomendado).

COORDINABILIDAD CON INTERVALOS [ ]1,n Ì ¥

Proposición.- Existen conjuntos coordinables con intervalos naturales de la forma [ ]1, , n nÌ " Î¥ ¥ .

Demostración: La demostración de existencia es inmediata, pues es suficiente mostrar que existe al menos un conjunto coordinable con [1,n] para cada nÎ¥ , y siendo [1,n] él mismo un conjunto existente (pues presupusimos la existencia de ¥ ) y coordinable consigo mismo, la existencia pedida queda trivialmente demostrada.

Esta existencia nos permitirá introducir varios conceptos nuevos.

CONJUNTOS FINITOS

Definición.- Diremos que el conjunto A es finito si [ ] / 1,A n A n» Æ Ú $ Î » Ì¥ ¥ .

(Notar que A A» Æ « = Æ ).

NÚMEROS CARDINALES FINITOS

Consideremos sólo a los conjuntos finitos no vacíos.

Todos estos conjuntos finitos, por definición, son coordinables con lintervalos naturales [1,n].


Por ende, cada conjunto finito pertenece a la misma clase de equivalencia que su correspondiente intervalo natural71.

Sabemos que cualquier miembro de una clase de equivalencia puede cumplir el rol de representante de la misma, y también sabemos que en determinadas circunstancias, cuando hay algún miembro que tiene características destacadas con respecto a los demás de su misma clase, se lo elije a éste como representante.

Siguiendo este criterio, cuando las clases de equivalencia corresponden a la relación de coordinabilidad » y se tienen clases de equivalencia según » de conjuntos finitos, se decidió de una vez y para siempre utilizar como representantes de esas clases a los intervalos [ ]1,n Ì ¥ , y se adoptó además una notación abreviada que recibe el nombre de numero cardinal del conjunto finito A:

Definición.- Se denomina número cardinal n del conjunto finito A coordinable con [ ]1,n Ì ¥ , a:

[ ]( ) [ ]1, 1,card n n »é ùº ë ûBn

Ejemplos:

[ ] [ ]( 1,1 ) 1 con 1,1card = Ì ¥

{ }( ) 1card a =

{ }( , ) 2card x y =

[ ] [ ]( 7,8 ) 2 con 7,8card = Ì ¥

[ ] [ ]( 1,2 ) 2 con 1,2card = Ì ¥

{ }( 1,2 ) 2card =

{ }( 1,3 ) 2card =

[ ] [ ]( 1,3 ) 3 con 1,3card = Ì ¥

{ }( 1,2,3 ) 3card =

{ }{ }( 1,2,3 ) 1card =

[ ] [ ]( 0,2 ) 3 con 0,2card = Ì ¢

{ }( , , , , , , ) 7card do re mi fa sol la si =

{ }( )2/ 1 2card x xÎ = - =£

La definición anterior no alcanza a todos los conjuntos finitos, pues habíamos excluído al caso A = Æ . Para considerar este caso introducimos otra

Definición.- El número cardinal del conjunto finito Æ , es:

( ) [ ]card »Æ º Æ0 B

71 Para ser más precisos, deberíamos especificar que si nuestro conjunto finito A pertenece a la familia F, para realizar con rigor nuestras consideraciones deberíamos ampliar a la familia agregando, si no estuvieran ya, todos los elementos de tipo [1,n] que fueran necesarios para poder hablar de coordinabilidad en F.


Ejemplos:

{ }( ) 0card = por aplicación inmediata de la definición pues { }Æ B

{ }( )2/ 1 0card x xÎ = - =¡

{ }( )/ 0card x U x xÎ ¹ = cualquiera sea el universal de referencia U.

Considerando ambas definiciones en conjunto, contamos ahora con una definición precisa del número cardinal de un conjunto finito cualquiera, sea o o no vacío.

Es obvio que en estas definiciones, el ente definido n no es un número natural (ni entero en el caso del 0) sino la abreviatura de un cardinal, o sea, de una clase de equivalencia.

Cuando del contexto surge con claridad el nuevo rol de esta notación n, su uso resulta sumamente útil para desarrollar nuevos conceptos de forma sencilla, como por ejemplo, en el capítulo de la matemática llamado aritmética transfinita.

Definición.- Los números cardinales de conjuntos finitos se denominan números cardinales finitos.

Proposición.- Los números cardinales finitos existen y son 0, 1, 2, 3, …

Demostración: La existencia queda directamente demostrada por una proposición anterior, y su entidad surge de la existencia de las clases de equivalencia (generadas por la relación de coordinabilidad) de los intervalos de forma [ ]1, con n nÌ Î¥ ¥ .

CONJUNTOS INFINITOS

Definición.- Diremos que el conjunto A es infinito si es coordinable con un subconjunto propio de sí mismo.

Ejemplo:

El conjunto ¥ es infinito, pues es coordinable por ejemplo con el conjunto de los números naturales pares, que es un subconjunto propio de los números naturales.

Si definimos al conjunto de los números naturales pares como { }/ 2 , P x x n n= = Î¥ , la

coordinabilidad queda demostrada con la función : P®f ¥ definida por ( ) 2n n=f , que es biyectiva.

Y como P ¥Ø 72, el conjunto¥ resulta ser infinito.

Criterio de exclusión.- Un conjunto es infinito si y sólo si no es finito.

Esta proposición la adoptaremos como criterio (o sea, la aceptaremos sin demostración), pues tal demostración excede el breve marco del presente capítulo de esta asignatura introductoria. Este criterio afirma, simplemente, que un conjunto o bien es finito o bien es infinito pero no puede ser ambas cosas a la vez, y que tampoco hay una tercera posibilidad.

72 En este caso sí resulta cómodo notar A BØ usando el símbolo de inclusión estricta, abreviatura de A B A BÌ Ù ¹ .UNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 22 – Pág. 4

Tiene sentido que introduzcamos esta afirmación como Criterio, porque si examinamos las definiciones de conjuntos finitos e infinitos, podemos observar que en principio no son una negación de la otra.

Corolario.- Ningún conjunto finito es coordinable con un subconjunto propio de sí mismo.

CONJUNTOS INFINITOS NUMERABLES

Sea A un conjunto infinito. Si ( ) ( )card A card= ¥ se dice que A es numerable o contable.

Ejemplos:

/ 5A n n·ì ü= Î =í ý

î þ¥ (conjunto de ciertos números naturales),

( ){ }3 1 , 3 1 / B n n n= - + Ì Î¡ ¥ (conjunto de ciertos intervalos reales abiertos y encajados),

{ }1, 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, C = - - K (conjunto de ciertos números racionales),

11 /

n

D nn

ì üï ïæ ö= + Î Îí ýç ÷è øï ïî þ

¡ ¥ (conjunto de ciertos números reales), y

( ){ }{ }2, / E x nx n= Î Î¡ ¥ (conjunto de ciertas rectas del plano que pasan

por el origen)

son todos numerables, pues (como es evidente) existe al menos una biyección entre los elementos de estos conjuntos y ¥ .

Nótese además que todas las sucesiones, por su propia construcción, constituyen conjuntos infinitos numerables.

NÚMEROS CARDINALES TRANSFINITOS

Extendiendo la noción presentada para los conjuntos finitos, se introduce la noción de número cardinal aplicada ahora a conjuntos infinitos, basada en el concepto inicial de cardinal de un conjunto. A estos números cardinales, para diferenciarlos de los números cardinales finitos, se los denomina números cardinales transfinitos. Recordemos que a los otros los habíamos denominado números cardinales finitos.

Con los conjuntos infinitos no dispondremos, ya, de números naturales para representar a sus números cardinales; deberemos utilizar otros representantes de clase.

Presentaremos un par de estos números.

Definición.- El número cardinal de un conjunto numerable es:

( ) [ ]0 card »À ºB ¥ ¥

Este símbolo, áleph, es la primera letra del alfabeto hebreo. El número cardinal de un conjunto numerable, entonces, se llama áleph sub cero. En particular, el número cardinal del conjunto de los propios números naturales ¥ es 0À .


ALGUNOS CONJUNTOS NUMERABLES DESTACADOS

Como se habrá venido observando, la noción de que “el conjunto A es coordinable con el conjunto B” es la que substituye, formalmente, la idea de intuitiva de que “el conjunto A tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto B”, y de hecho, en el lenguaje coloquial, se la suele aplicar como sustituto; por ejemplo, cuando se afirma que “el conjunto de números pares tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de números naturales”.

Si la argumentación se agota allí, la afirmación es coloquialmente aceptable.

Pero debe tenerse presente que en el fondo se está afirmando algo muy distinto, pues afirmar la coordinabilidad –especialmente en conjuntos infinitos– no es lo mismo que afirmar una supuesta coincidencia en “cantidad de elementos”, siendo que la cantidad de elementos de un conjunto infinito (la cantidad es un número, una constante) es un concepto inherentemente ambiguo.

Por tanto –salvo en argumentaciones sencillas y que no pretendan utilizar sus conclusiones como base para razonamientos posteriores– debe evitarse hablar de “cantidad de elementos de un conjunto infinito”.

Proposición.- El conjunto ¢ es numerable, o sea, ( ) 0card =À¢ .

Demostración: Hay que demostrar que ¢ es coordinable con ¥ , para lo cual es suficiente construir una función : ®f ¥ ¢ que sea biunívoca.

Esta función queda totalmente definida asociando el 1 al primer elemento de la sucesión siguiente, que es el cero; el 2 al segundo elemento según indican las flechas, y así sucesivamente.

1

0 ®

2

1 ®

3

–1 ®

4

2 ®

5

–2 ®

6

3 L

Proposición.- El conjunto 2X =¥ ¥ ¥ es numerable, o sea, ( )20card =À¥ .

Demostración: Para demostrar la coordinabilidad de 2¥ con ¥ es suficiente construir una

función 2: ®f ¥ ¥ que sea biunívoca.

Esta función queda totalmente definida asociando el 1 al primer elemento de la tabla siguiente, que es el par ordenado (1,1); el 2 al segundo elemento según las flechas, y así sucesivamente.

(1,1) (1,2) ® (1,3) (1,4) ® · L

¯ Z [ Z [(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) · L

[ Z [ Z(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) · L

¯ Z [ Z [(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) · L

[ Z [ Z· · · · · L

M M M M MUNMdP – FCEN - LOGICA – 1ºC 2016 – Profesor Roberto Tait – Guía de la clase teórica nº 22 – Pág. 6

Proposición.- El conjunto n¥ con nÎ¥ es numerable, o sea, ( ) 0ncard =À¥ .

Demostración: Por inducción sobre n a partir de 2n = , aplicando el método de la demostración anterior. Desarrollarlo como ejercicio, teniendo presente la asociatividad del producto cartesiano y la noción de n-upla ordenada introducidas en capítulos anteriores.

Por ejemplo, 3¥ es numerable.

Proposición.- Cualquiera sea el conjunto A numerable, el conjunto nA con nÎ¥ es

numerable, o sea, ( ) 0ncard A =À .

Demostración: Construyendo la función f que a cada n-upla ( )1 2

1 2, , , nmm m nna a a AÎK le

asocie biunívocamente la n-upla ( )1 2, , , nnm m m ÎK ¥ que según la proposición anterior es un

conjunto numerable.

Por ejemplo, supongamos 3P siendo P los naturales pares. Entonces a la terna

( ) 32,8,10 PÎ formada por el primer, el tercer y el cuarto par, le asociamos ( ) 31,3,4 Î¥ de

donde 3P es coordinable con 3¥ , y siendo 3¥ numerable, resulta 3P numerable.

Proposición.- Sea cualquier conjunto A numerable. Entonces cualquier subconjunto B AÌ o es finito o es numerable.

Demostración: Llamemos a los elementos de A así: { }1 2 3, , ,A a a a= K .

Si B = Æ entonces es finito.

Si B ¹ Æ entonces sea 1ma el primer elemento de la enumeración de A que pertenezca a B,

sea 2ma el segundo, y así hasta agotar todos los elementos de B.

Por tanto, { } 1 2 3, , ,m m mB a a a= K .

Si el conjunto de números naturales { }1 2 3, , ,m m m K tiene cota superior, el conjunto B resulta

ser finito. Si no tiene cota superior, entonces B es coordinable con ¥ , es decir, es un conjunto numerable.

Proposición.- Sea A BÌ , B CÌ y sean A y C numerables. Entonces B es numerable.

Demostración: B no puede ser finito pues entonces A no podría ser numerable. Por otra parte, B al ser subconjunto de un conjunto numerable, por la proposición anterior o bien es finito o bien es numerable. Por lo tanto, B es numerable.

Proposición.- El conjunto { }/ 0x x+ = Î >¤ ¤ es numerable, o sea, ( ) 0card + =À¤ .

Demostración: Utilizando la demostración de que 2¥ es numerable, se puede asociar a cada

par ( ) 2,m n Î¥ el número m n q += Î¤ . Esta asociación es una función, pues a todo par

( ) 2,m n Î¥ le corresponde un único número q +Î¤ . Es, además, sobreyectiva, pues las

imágenes de estos pares de 2¥ cubren todo +¤ . Pero no es inyectiva, pues cada número

q +Î¤ es imagen de infinitos pares ( ) 2,m n Î¥ que conforman fracciones equivalentes.


Seleccionando cualquier q +Î¤ , queda determinado un conjunto de fracciones equivalentes, una sola de las cuales es irreducible.

Por lo tanto, existe una asociación entre estas fracciones irreducibles, subconjunto de 2¥ , y

el conjunto +¤ , que esta vez es una función no sólo sobreyectiva sino también inyectiva, o sea, es una biyección.

Por lo tanto, este conjunto de fracciones irreducibles, subconjunto de 2¥ , es coordinable

con +¤ .

Por otra parte, el conjunto de fracciones irreducibles incluye al conjunto { }1 1, 1 2, 1 3,K

que es evidentemente coordinable con ¥ por lo que no es finito sino numerable, y por otra parte está incluído en el conjunto de fracciones m n mencionado al principio, que es coordinable con 2¥ y por lo tanto también es numerable. Aplicando la proposición anterior, resulta que el conjunto de las fracciones irreducibles es numerable.

Por lo tanto, como este conjunto de fracciones irreducibles es coordinable con +¤ (es, en

realidad, +¤ ) se concluye que +¤ es un conjunto numerable.

Proposición.- El conjunto ¤ es numerable, o sea, ( ) 0card =À¤ .

Demostración: Basándose en la proposición anterior, la demostración es casi inmediata. Queda como ejercicio.

Proposición.- El conjunto [ ]0,1 Ì ¡ no es numerable.

Demostración:

Para demostrarlo, utilizaremos la siguiente propiedad de los números reales: dada cualquier sucesión de intervalos cerrados 1 2 3, , ,I I I K donde 1 2 3I I IÉ É ÉK , siempre existe un número real que pertenece a todos ellos.

Para demostrar la proposición, introduzcamos como premisa que el conjunto [ ]0,1 Ì ¡ sí es numerable, o sea, puede ser descripto por extensión enumerando sus elementos, así:

[ ] { }1 2 30, 1 , , , x x x= K

Ahora construyamos una sucesión de intervalos cerrados.

Para determinar el primer intervalo, 1I , dividamos a [0,1] en tres intervalos contiguos de

longitud 1/3: [0,1/3], [1,3,2/3] y [2/3,1]. Consideremos al primer elemento de la lista, 1x ; éste

puede pertenecer, a lo sumo, a dos de estos tres intervalos. Llamemos [ ]1 1 1,I a b= al

intervalo al que este elemento no pertenece: 1 1x IÏ .

Para determinar el segundo intervalo, 2I , dividamos a 1I en tres intervalos contiguos de longitud 1/32: [a1, a1+1/9], [a1+1/9, a1+2/9], [a1+2/9, b1]. Consideremos al segundo elemento de la lista, 2x ; éste puede pertenecer, a lo sumo, a dos de estos tres intervalos. Llamemos

[ ]2 2 2,I a b= al intervalo al que este elemento no pertenece: 2 2x IÏ .

Continuando en forma sucesiva con este procedimiento, podemos construir una sucesión de intervalos cerrados 1 2 3, , , I I I K donde 1 2 3I I IÉ É ÉK , sucesión que tiene la particularidad

de que, para cualquier elemento [ ] { }1 2 30,1 , , ,jx x x xÎ = K , existe un intervalo jI de dicha

sucesión al que no pertenece, esto es, [ ]( ) { }( )1 2 3 0,1 , , , j j j jx I I I I x I" Î $ Î ÏK .


Según la propiedad de los números reales indicada al principio, si se cuenta con una sucesión de intervalos cerrados 1 2 3, , , I I I K donde 1 2 3I I IÉ É ÉK , necesariamente tiene que existir al menos un número real perteneciente a todos ellos.

Por la forma de construir la sucesión, ese número real debe pertenecer al intervalo [ ]0,1 .

Pero acabamos de demostrar que no hay ningún { } [ ]1 2 3, , , 0,1ix x x xÎ =K que pertenezca simultáneamente a todos los intervalos de la sucesión que hemos construído.

Contradicción, debida a haber introducido como premisa adicional que el conjunto [ ]0,1 Ì ¡ sí es numerable.

Conclusión, el conjunto [ ]0,1 Ì ¡ no es numerable.

Esto significa que, si bien los naturales, los enteros y los racionales son coordinables entre sí (y por ende tienen el mismo número cardinal, 0À ), el conjunto de los números reales no es coordinable con ellos.

CARDINAL DEL CONTÍNUO

Por razones a estudiar en asignaturas posteriores, a la clase de equivalencia de los números reales según la relación de coordinabilidad, [ ]»¡ se la denomina cardinal del contínuo.

Y para representar a la clase de equivalencia de los números reales se usa la siguiente

Definición.- El número cardinal del contínuo es:

( ) [ ]cardc »ºB ¡ ¡

COMENTARIOS FINALES DEL CAPÍTULO

La teoría que prosigue inmediatamente a la expuesta aquí sigue dos caminos principales.

Uno de ellos, más operativo, es la aritmética con números cardinales, capítulo de la aritmética transfinita, donde la consecuente interacción conceptual con los números ordinales —que no hemos introducido aquí— ha resultado muy fértil.

Otro camino, más conceptual, es el estudio de los vínculos entre los cardinales transfinitos, dos de los cuales hemos presentado, 0 y cÀ .

En esta rama, se hace cada vez más importante la elección de la axiomática a utilizar para desarrollar las teorías; dependiendo del cuerpo de axiomas elegido podrán, o no, deducirse determinadas conclusiones.

Temas básicos de esta rama de la teoría son, entre otros, si es posible ordenar los cardinales transfinitos; cuál es el menor cardinal transfinito; si el cardinal de ( )P ¥ es 0À u otro mayor que de existir se lo denomina 1À ; si ese tal 1À coincide con c ; si existen conjuntos que fundamenten la existencia de una sucesión de cardinales transfinitos

0 1 2, , ,À À À K ; etcétera.

Esto se refiere a la zona cercana de los desarrollos de la teoría. Por supuesto, no termina todo aquí, sino más bien comienza: las polémicas sobre la existencia misma del infinito y del contínuo, los interrogantes sobre si la base empírica que ofrece el mundo real hace o no imprescindible su formalización teórica, e incluso los cuestionamientos sobre la posibilidad de que tales desarrollos teóricos puedan o no arribar a contradicciones son, por ejemplo, cuestiones totalmente vigentes. ▀


LÓGICA. CÁLCULO PROPOSICIONAL - INTRODUCCIÓN · 2017. 5. 2. · Modalidad de cursada y...

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