ÁLGEBRA

TRUJILLO-PERU

CEPUNT MATEMÁTICA

Equipo de Matemática 112

INTRODUCCIÓN:

Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la

Matemática que emplea números, letras y signos para poder

hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término

tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un

vocablo árabe que se traduce al español

como “reducción” o “cotejo”.

Actualmente se entiende al álgebra como al área matemática que

se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La

disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco,

sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta,

multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se

vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto

permite formular leyes generales y hacer referencia a números

desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de

ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

1. TEORÍA DE EXPONENTES:

am . an = am + n

n

m

a

a = am – n

a0 = 1, a 0

a –n = na

1

(am)n = amn

{[(am)n]p}q = amnpq

““EXPRESIONES ALGEBRAICAS - POLINOMIOS”

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(a . b)n = an . bn

n

b

a

=

n

n

b

a

n

b

a

=

n

a

b

n ma = am/n

n ab =

nn b.a

n

n

n

b

a

b

a

m n a = mn a = mn

1

a

mnn m aa

n mnk mk aa

2. ECUACIONES EXPONENCIALES:

Igualdad de Bases:

ax = ay x = y, si a {0;1}

Igualdad de Exponentes:

ax = b x a = b, si x 0

Igualdad de Base y Exponente:

aa = xx a = x, si a {0;1}

3. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Es una asociación finita de variables y constantes donde

intervienen las operaciones fundamentales, suma, resta,

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multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en

los exponentes.

Ejemplos: 2x5 + 3x4 + 4x – 22; 7y2 – 3y 5

3.1. Término Algebraico:

Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se

encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas,

excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el

siguiente esquema.

- 6 x2 y2

3.2. Términos Semejantes:

Son aquellos que tienen la misma parte literal. Dos o más

términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes,

para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la

misma parte literal.

Ejemplos: 7x y2 ; - 4x y2 ; 3xy2 son semejantes y se pueden

reducir a: (7 - 4 + 3) x y2 = 6x y2

3.3. Clasificación de las expresiones algebraicas:

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la

naturaleza de sus exponentes o por el número de sus

términos:

3.3.1. Por su Naturaleza (Forma):

Coeficiente Parte literal (variables)

Signo

Exponentes

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A. Expresiones Algebraicas Racionales: Son aquellas

en las que los exponentes de sus letras o variables

son números enteros (Z).

Ejemplos: 2y

x6 x ; 3 x-2 + 4

A.1. Expresión Algebraica Racional Entera:

Son aquellas expresiones algebraicas racionales en donde

los exponentes de sus variables son números naturales

(incluido el cero).

Ejemplos: xy5 + 2x2 ; 2x

3

+ xy

A.2. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria:

Son aquellas expresiones algebraicas racionales en

donde alguna de sus variables tiene exponente negativo.

Ejemplos: 8 x – 2 + 3y ; zx

xy45

B. Expresiones Algebraicas Irracionales: Son aquellas

expresiones en las que una o más variables están

afectadas del signo radical o del exponente

fraccionario.

Ejemplos: xxy ; 5 3x + 2

3.3.2. Por el Número de Términos:

Las expresiones algebraicas pueden ser monomios y

multinomios.

a. Monomios: Son aquellas expresiones algebraicas

que constan de un solo término.

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Ejemplos: 2x4y5a ; 4

5

z

yx4

b. Multinomios: Son aquellas expresiones

algebraicas que tienen dos o más términos.

Ejemplos:

4xy + xy + 3 ; x1/2y + 2x4 ; 3

33

z

)yx(yx

3.4. Grado de Expresiones Algebraicas:

GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) entero no

negativo que afecta a una variable tomada como base. En

otras palabras se denomina grado al exponente de variables

pero no al exponente de constantes o coeficientes.

CLASES DE GRADO: Existen dos clases de grado, que son:

- Grado Relativo (G.R.) : Toma en consideración solo a

una de las variables

- Grado Absoluto (G.A.): Toma en consideración a todas

sus variables a la vez.

A. GRADOS DE UN MONOMIO

A.1. GRADO RELATIVO:

Está indicado por el exponente de la variable al cual se hace

mención; para ello la expresión debe estar previamente

reducida o simplificada.

Así: el monomio: 4𝑥2𝑦5𝑧8 es:

Con respecto a “x”: de 2do grado

Con respecto a “y”: de 5to grado

Con respecto a “z”: de 8vo grado.

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A.2. GRADO ABSOLUTO

Se determina sumando algebraicamente los exponentes de

sus variables.

Ejemplo:

G.R. (x) G.R. (y)

P(x,y) = 6𝑎2𝑥4𝑦5

...G.A: = G.R (x) + G.R. (y) = 4 + 5 = 9

B. Grados de un Polinomio:

B.1. Grado Relativo: Está indicado por el mayor exponente

que afecta a la variableen uno de los términos del polinomio.

Así: El polinomio

𝐹(𝑥;𝑦;𝑧) = 3𝑥2𝑦4𝑧3 − 5𝑥3𝑦2𝑧 + 4𝑥5𝑦𝑧2es :

Mayores exponentes

Con respecto a x, de 5to grado

Con respecto a y, de 4to grado

OBSERVACION I. P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es

indefinido. Ejemplo: P(X)= 25

su grado es cero por ser una constante.

II. El grado de toda constante siempre es cero; cte0

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Con respecto a z, de 3er grado

B.2. Grado Absoluto: Lo determina el mayor grado que

posee uno de los términos del polinomio.

Así: El polinomio

P(x,y) = 3a4x2y3z4 + bx10y12z3 + x5y6z

G.R. (x) = 2 G.R. (x) = 10 G.R. (x) = 5

G.R. (y) = 3 G.R. (y) = 12 G.R. (y) = 6

G.R. (z) = 0 G.R. (z) = 0 G.R. (z) = 0

G.A = 5 G.A = 11

... El G.A. de P(x,y) = 22

C. Grados en Operaciones con Polinomios:

Dados los polinomios P (x) de grado m y Q (x) de grado n ,

siendo m > n:

Operación Procedimiento Grado

Resultante

Adicion:

P (x) + Q(x)

El grado de la suma

o resta es del

polinomio de mayor

grado.

𝑚

Sustracción

P (x) - Q(x)

𝑚

Multiplicación

P (x) × Q(x)

Sumamos los grados

de los factores.

𝑚 + 𝑛

División:

P (x) ÷ Q(x)

Restamos el grado

del dividendo menos

el grado del divisor.

𝑚 − 𝑛

G.A = 22

MAYOR

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Ejemplo 1:

En la expresión: 3x2y + 5x5y3 + 2

G.R. (x) = 5 ; G.R. (y) = 3

El término de mayor grado es el segundo: G.A. = 5 + 3 = 8, luego

el grado de la expresión es 8.

Ejemplo 2:

Si en la siguiente expresión algebraica

P(x; y) = 7 xa+3 yb2 z6a + 5 xa+2 yb3 za+b

se sabe que: G.RxG.Ry = 3 G.A(P) = 13, entonces el valor de

“a b” es:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 12

Resolución: De la siguiente expresión algebraica se observa:

G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1 ; G. Ry = b 2

a + b = 12 Clave E

4. POLINOMIOS:

Polinomio es una expresión algebraica racional entera que consta

de dos o más términos {monomios) en cantidad finita. Cuando los

coeficientes son reales se dice que es un polinomio en .

4.1. Clasificación según el número de términos:

a. Monomio.- Es la expresión algebraica racional entera de

un solo término.

b. Binomio.- Es el polinomio de dos términos.

Potenciación:

P (x) + Q(x)

Multiplicamos el

grado de la base por

el exponente.

𝑚 × 𝑘

Radicación:

P (x) + Q(x)

Dividimos el grado

del radicando entre

el índice del radical

𝑚

𝑘

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c. Trinomio.- Es el polinomio de tres términos.

4.2. Notación Polinómica.- Si un polinomio tiene una sola variable

“x” su notación será:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……..+ an-1x + an

Donde n Z+ ;n: grado del polinomio.

a0: coeficiente principal no nulo.

an: término independiente ;

Los polinomios con dos o más variables se denotan por:

P (x, y) : Polinomio con variables x, y

P (x, y, z): Polinomio con variables x, y, z.

Aunque cada polinomio se denota como identidad, siendo su

símbolo la notación = se empleara en lo sucesivo el símbolo

de igualdad (=).

4.3. Valor numérico de un Polinomio:

Consiste en asignar a la variable o variables un número

definido tal que al reemplazar en la expresión original se

obtenga una cantidad definida.

Ejemplo: Si : P(x) = 3x2 + 4x + 5 ; Para : x = 0 , entonces :

P(O) = 3(0)2 + 4(0) + 5 = 5

4.4. Polinomios Especiales:

Son polinomios que poseen características particulares que los

diferencian de otros. Estos son:

A. Polinomio Homogéneo :

Es aquel cuyos términos están constituidos por más de

una variable y presentan el mismo grado.

Ejemplo: P(x, y) = 2 x y4 - 3 x3y2+ y5 es homogéneo de 5to

grado.

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B. Polinomio Ordenado:

Cuando los exponentes de la variable que se toma como

referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o

descendente.

Ejemplo:P(x, y) = x y - x3y + x y3 , es ordenado en forma

decreciente respecto a x , y en forma creciente respecto a

y.

C. Polinomio Entero en x:

Es aquel que depende únicamente de la variable x, siendo

sus coeficientes números enteros.

Ejemplo: P(x) = 3x3+ 2x2 +x - l ; es un polinomio entero

en x de tercer grado.

D. Polinomio Mónico:

Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por ser

su coeficiente principal igual a la unidad.

Ejemplo:P(x) = x2+ 7x + 4 ; es un polinomio Mónico de

segundo grado (cuadrático).

E. Polinomio Completo:

Es el que contiene todos los exponentes de la variable que

se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta

el exponente cero o término independiente.

Ejemplo:P(x) = - 2x + 3 x2+ x3 - 7 es completo, de 3er

grado y tiene cuatro términos, uno más que el grado.

F. Polinomios Idénticos:

Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo

coeficiente.

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Ejemplo:

Si P(x) = a x3 + b x2 + c y

Q(x) = m x3+ n x2 + p

Son idénticos P(x) = Q (x), se cumplirá que: a = m ; b = n

y c = p

G. Polinomios Equivalentes:

Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes

aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de

valores asignados a sus variables.

Ejemplo:Dados los polinomios:

P(x;y) = (x + y)2 - (x - y)2Q(x;y) = 4xy

Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier

valor de "x" e "y", entonces serán equivalentes; veamos:

Hagamos: x= 2 y = 1 ; en :

P (x;y): P(2 ; 1) = (2 + 1)2 - (2-1)2 = 8

Hagamos: x = 2 y = 1 ; en:

Q(x;y): Q(2 ; 1) = 4 (2) (1) = 8

Se observa que: P(2 ; 1) = Q(2 ; 1), entonces son

polinomios equivalentes P(x; y) y Q(X ; y).

H. Polinomio Idénticamente Nulo:

Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor

es cero para cualquier valor de la variable.

Ejemplo: Si P(x) = ax3+ bx + c, es idénticamente nulo, se

cumplirá: a = 0; b = 0 y c = 0

Y se podrá representar así: P(x) = 0

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Propiedades:

- En cualquier Polinomio, se cumple que su suma de

coeficientes, se obtiene reemplazando a la variable o

variables, con las cuales se está trabajando por la

unidad.

coeficientes de P(x) = P(1)

- El termino Independiente: T.I., se obtiene

reemplazando a la variable (es) por cero.

Término independiente de P(x) = P(0)

- Todo Polinomio completo y ordenado de grado “n”,

posee: “n + 1” términos

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. El grado del producto indicado:

P(x) = (x3 + 1)(x7 + 1)(x11 + 1) … … . . (x79 + 1), es:

A) 205 B) 250 C) 400 D) 650 E) 820

Resolución:

Su grado será : 3 7 11 ……… 79 , lo cual es equivalente:

( 4 – 1 ) (8 – 1 ) (12 – 1 ) ……… ( 80 – 1 )

[4(1) − 1] + [4(2) − 1] + [4(3) − 1] + ⋯ … . . +[4(20) − 1]

4. [1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +20] + (−1). 20 = 4.(20).(21)

2− 20 = 820

CLAVE: E

2. Si el polinomio:

P (x, y, z) = A x 2a + 2b – c + B y 2b + 2c - a + C z 2c + 2a –b

Es homogéneo, entonces el valor de :𝐅 =(𝐚+𝐛)𝐧 +(𝐛+𝐜)𝐧

(𝐜+𝐚)𝐧 ,es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

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Resolución:

Si el polinomio es homogéneo se cumple:

2a + 2b – c = 2b + 2c - a = 2c + 2a – b, se halla : a = b = c ,

reemplazando en : 𝐅 =(𝐚 + 𝐚)𝐧 +(𝐚 + 𝐚)𝐧

(𝐚 + 𝐚)𝐧 = (𝟐𝐚)𝐧+(𝟐𝐚)𝐧

(𝟐𝐚)𝐧 = 𝟐.(𝟐𝐚)𝐧

(𝟐𝐚)𝐧 = 𝟐

CLAVE : B

3. El grado de P(x). Q2 (x) es 13 y el grado de P2(x). Q3 (x) es 22. El

grado de P2 (x) + Q3 (x) es:

A) 22 B) 20 C) 18 D) 12 E) 10

Resolución:

Sea:

Grado → [P(x)]° = a ; [P(x)]° = b → reemplazando en los datos ∶

[P(x). Q2 (x)]° = 13 a 2b = 13 y [P2(x). Q3 (x)]° = 22 2a 3b = 22

Resolviendo ambas ecuaciones se halla: a = 5 ; b = 4 ,

entonces reemplazando el grado de [P2 (x) + Q3 (x)]°[ 2a + 3b]°

el grado de [ 10 + 12]° es 12

CLAVE: D

4. Si los grados de los polinomios P(x) es (3n + 2); de Q (x) es

(4n - 3) y de R (x) es (2n + 1) y el grado de P2(x). Q(x) + Q2(x).

R(x) + R3(x) es 31, entonces el grado de Q (x) es :

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolución:

Si los grados de: [P(x)]°= (3n + 2);[Q(x)]° = (4n − 3) y

[R(x)]° = (2n + 1), entonces el grado de:

[P2(x). Q(x)]°= 2(3n + 2) (4n - 3) = 10 n 1

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[Q2(x). R(x)]°= 2. (4n - 3) (2n + 1) = 10 n – 5 ;

[R3(x)]°= 3. (2n + 1) = 6n 3 ; se observa que el mayor es:

10 n 1 = 31

Se halla: n = 3 ; entonces el grado de:

[Q(x)]° = (4n − 3) = 12 – 3 = 9

CLAVE : E

5. Si el polinomio :P(x)= a. (x + 2)2 + b. (x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es

idénticamente nulo, el valor de : √a − bc

es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución:

Resolviendo y agrupando :

P(x) = (a + b − 4)x2 + (4a + 6b − 12)x + (4a + 9b − 9 + c),

entonces por ser un polinomio idénticamente nulo, se cumple: a +

b − 4 = 0 ;

4a + 6b − 12 = 0; 4a + 9b − 9 + c = 0 , resolviendo se halla: a = 6;

b = -2 ; c = 3 , reemplazando en: √a − bc

→ √6 − (−2)3→ √8

3= 2

CLAVE: B