LEYES QUE RIGEN LA MATERIA

2 ECUACIN DE EQUILIBRIO DE EXCITACIN DE BOLTZMANNSi un determinado sistema fsico se encuentra en condiciones de equilibrio termodinmico estricto, la Fsica Clsica predice entonces que la probabilidad P(E) de que una partcula de dicho sistema tenga una cierta energa E, es proporcional al denominado factor de Boltzmann e-E/kT. Una simple grfica de P(E) en funcin de la energa E demuestra que el factor de Boltzmann tiende a favorecer los estados de baja energa (Figura 4-1). Por otra parte, dado que el factor de Boltzmann aumenta con la temperatura, la poblacin de un determinado nivel E aumentar tambin a medida que se incrementa la temperatura, siempre que se trate de niveles elevados.El punto de vista anterior est de acuerdo con la Fsica Clsica. En los sistemas mecnico-cunticos tambin existe la misma dependencia con la energa, slo que en este caso hay que tener en cuenta la degeneracin del nivel. En efecto, recordemos que la descripcin mecnico-cuntica completa del estado de excitacin de un tomo, requiere el conocimiento de cuatro nmeros cunticos. En general, suele interesar la energa del tomo y no su estado mecnico-cuntico completo. Sin embargo, pueden existir varios estados mecnico-cunticos diferentes correspondientes a un nico valor de la energa. El nmero de tales estados que corresponde a un cierto nivel de energa se denomina el peso estadstico o degeneracin del nivel. En trminos de la Mecnica Cuntica, la anterior aseveracin se expresa diciendo que pueden existir diferentes funciones de onda (autovectores) que corresponden a un mismo autovalor de la energa. La degeneracin del nivel se pone en evidencia ante la presencia de un campo magntico, pues ste desdobla el nivel en diferentes estados Zeeman. El peso estadstico del nivel resulta ser 2J+1, donde J es el nmero cuntico correspondiente al momento angular total de tomo. El peso estadstico del nivel es 2J+1, ya sea que existan condiciones de acoplamiento LS o j-j.Resulta evidente que la probabilidad de que un nivel con alto peso estadstico sea ocupado, es mayor que la probabilidad de que esto ocurra en un nivel con bajo peso estadstico. La expresin clsica (factor de Boltzmann) debe ser entonces modificada; la probabilidad de que un tomo tenga una energa E debe ser ahora proporcional al producto g(E). e-E/kT, siendo g(E) el peso estadstico del nivel de energa E.Sean Nj y Nk los nmeros de tomos, por unidad de volumen, con energas Ej y Ek respectivamente. La poblacin relativa de los dos niveles, por unidad de volumen, ser :

3 ECUACIN DE EQUILIBRIO DE IONIZACIN DE SAHASaha demostr que el nmero Ni+1 de tomos en el estado de ionizacin (i+1) respecto del nmero Ni en el estado de ionizacin i, est dado por : , (4.12)en la cual Ne es el nmero de electrones libres por unidad de volumen e Ii el potencial de ionizacin del estado de ionizacin i. La ecuacin de equilibrio de ionizacin de Saha (4.12) expresa que la frecuencia con la cual los iones en el estado de ionizacin i se ionizan una vez y pasan al estado (i+1), es igual a la frecuencia con la cual los iones en el estado de ionizacin (i+1) se recombinan con electrones libres para formar iones en el estado i. Es decir, la frecuencia de ionizaciones y recombinaciones es la misma (equilibrio termodinmico). Sustituyendo los valores numricos de las constantes y tomando logaritmos en (4.12) resulta : (4.13)en la cual los factores numricos son tales que, al igual que antes, la temperatura debe medirse en grados Kelvin y el potencial de ionizacin en eV, mientras que Ne representa electrones por centmetro cbico.Una forma alternativa de la ecuacin de Saha se obtiene introduciendo en (4.13) la presin electrnica Pe. Puesto que Pe = NekT, resulta : (4.14)Para el tomo de hidrgeno neutro y una vez ionizado las funciones de particin valen: U1 = 2 y U2 = 1, respectivamente. Luego, para el mencionado tomo a 5.000 K, 15.000 K y 25.000 K, se obtienen de (4.14)COMBINACIN DE LAS ECUACIONES DE BOLTZMANN Y SAHAEn muchos casos resulta conveniente combinar las ecuaciones de Boltzmann y Saha para encontrar el nmero de tomos en un determinado estado de ionizacin y en un nivel de excitacin, con respecto al nmero total de tomos de ese elemento. Por ejemplo, si N1n es el nmero de tomos una vez ionizados en el nivel n de excitacin y Nt representa el nmero total de tomos, ambos por unidad de volumen, se tendr : , (4.18)en la cual N0, N1, N2, etc. representan los nmeros de tomos neutros, una vez ionizados, dos veces ionizados, etc. del elemento considerado, por unidad de volumen. Dividiendo numerador y denominador de (4.18) por N1 se tiene : (4.19)El numerador de (4.19) puede calcularse usando la ecuacin de Boltzmann (4.16) y cada uno de los trminos del denominador pueden calcularse usando la frmula de Saha (4.13) o (4.14). En la prctica suele ser suficiente incluir elementos hasta el tercer estado de ionizacin.LEYES DE PLANCK Y KIRCHHOFFEn la clase anterior se hizo referencia a que la intensidad especfica monocromtica del cuerpo negro est dada por la funcin de Planck. El significado de dicha funcin fue tambin descripto en ese captulo. Anlogamente, en condiciones de equilibrio termodinmico es vlida la ley de Kirchhoff (2.2), en la cual (,T) coincide con la funcin de Planck. De all que esta ley suele tambin denominarse ley de Kirchhoff-Planck. Ms adelante regresaremos sobre esta ley, una vez que se hayan definidos los coeficientes de absorcin y emisin.LEY DE MAXWELL DE DISTRIBUCIN DE VELOCIDADESEn condiciones de equilibrio termodinmico las velocidades de las partculas en un gas obedecen la Ley de Maxwell de distribucin de velocidades, tambin conocida como Ley de distribucin de velocidades de Maxwell y Boltzmann. De acuerdo a esta ley, el nmero de partculas con componentes de velocidad en la direccin del eje x comprendidas entre x y x+dx , es : , (4.20)en la cual N es el nmero total de partculas del gas y m la masa de una partcula. Introduciendo la variable , definida de la siguiente manera : , (4.21)resulta : (4.22)La (4.22) es una funcin Gaussiana. En efecto, si se grafica N (x) en trminos de x para el caso del gas hidrgeno a T = 6.000 K y T = 24.000 K, por ejemplo, se obtienen las gaussianas de la Figura 4-3.Anlogamente, las fracciones de partculas del gas con velocidades en la direccin de los ejes y y z, y en los rangos vy, vy+dvy y vz+dvz , se escriben como : (4.23) (4.24)Por lo tanto, la fraccin de partculas del gas con componentes de velocidad en el rango vx,vx+dvx , vy, vy+dvy , vz , vy+dvz , es (4.25)Para lograr que la (4.25) tenga un significado ms intuitivo, podemos introducir la funcin N(vx , vy , vz), la cual representa el nmero de partculas con componentes entre vx y vx + dvx, vy y vy + dvy, y vz y vz + dvz . Luego : (4.26)En muchas ocasiones resulta de inters considerar los mdulos de las velocidades de las partculas, en lugar de sus componentes de velocidad. En este caso, no interesa conocer la direccin en la cual se mueve una determinada partcula. En la Figura (4-4) todas las partculas con vectores velocidad desde el origen hasta un punto de la esfera verifican la ecuacin : ,en la cual v es el mdulo del vector velocidad.

LEY DE DISOCIACIN MOLECULAREs bien sabido que las leyes de excitacin de Boltzmann y de ionizacin de Saha permiten describir, al menos cualitativamente, los espectros atmicos de la secuencia de Harvard. Anlogamente, existe una ley conocida como de ley de disociacin molecular, que permite explicar los espectros moleculares de las estrellas ms fras de dicha secuencia. Esta ley, cuya derivacin escapa al alcance de esta obra, tiene la siguiente forma : , (4.36)donde n(A) y n(B) representan los nmeros de tomos A y B respectivamente; n(AB) es el nmero de molculas formadas por un tomo del tipo A y otro del tipo B, y K'(AB) suele denominarse constante de disociacin correspondiente a la molcula AB. Esta constante puede calcularse para cada molcula en particular.Si bien no es nuestro propsito describir el clculo de K'(AB), puede resultar de inters mencionar los parmetros que involucra su determinacin. La constante de disociacin K'(AB) admite la siguiente expresin analtica : , (4.37) en la cual pA, pB y pAB representan las presiones parciales producidas por los tomos A, B y las molculas AB, respectivamente, UAB es la funcin de particin interna de la molcula, UA y UB son las funciones de particin de los tomos A y B respectivamente, M es la masa reducida de la molcula y D el potencial de disociacin.La funcin de particin interna de la molcula puede expresarse como la sumatoria sobre los distintos niveles de energa de la molcula, del producto de tres trminos, cada uno de los cuales representa un tipo de energa determinado en la molcula. O sea que : UAB = Urot . Uvib . Uel , (4.38)