SEGUNDA LEY DE KEPLERLa recta que une el planeta al Sol, barre reas proporcionales a los tiempos transcurridos durante el movimiento del planeta, tambin llamada ley de reas.La segunda ley se ilustra en la siguiente figura (fig.1) significa que el planeta debe de moverse ms lentamente cuando est ms alejado del Sol, y ms rpidamente cuando est ms cercano a l. Newton pudo demostrar posteriormente que esta observacin, igual que las otras dos leyes eran consecuencia de su ley de gravitacin universal.La lnea que une cualquier con el Sol barre reas iguales en tiempos iguales, lo que es una consecuencia del principio de conservacin del momentun angular.

Figura 1.Segunda ley de Kepler

La ley de gravitacin universal predice q las fuerzas ejercidas entre los cuerpos de masas y separados una distanciaes proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

Dnde: F es el mdulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su direccin se encuentra en el eje que une ambos cuerpos. Si entonces el rea 1= rea 2 Donde G es una constante de proporcionalidad universal igual a:

3.44 x Como se puede observar en el grafico el >, por lo tanto , esto ocurre porque el divisor en la primera frmula es menor que el de la segunda, nos referimos al radio. La es mayor que la porque la est ms cerca al Sol que la , esto ocurre porque a mayor cercana mayor es la fuerza gravitacional, y tambin la velocidad.

Figura 2.

Demostracin:Supongamos que un planeta de masa m ubicado en el punto P de la Fig. 3 se desplaza hacia el punto Q en un tiempo , barriendo un rea .Para un pequeo, podemos asumir que la recta es aproximadamente igual al arco (=).Luego por calculo vectorial o geometra es:

(i)La distancia podemos poner en funcin de la velocidad (v) y .V ; luego (i) queda:

(ii)Por otro lado, el movimiento angular o momento cintico del planeta respecto al Sol es: = x (m) (iii)

Para pequea en la Fig. 3 el ngulo formado entre es ( en el limite), luego de (iii) tenemos: = r m v sen (iv)Finalmente reemplazando (iv) en (ii) se obtiene: (v)Anlogamente para otros tiempos tendremos:

Pero el momento angular y la masa m son constantes, luego se cumple que:

TERCERA LEY DE KEPLER

Un satlite terrestre no es sino un proyectil que cae alrededor de la Tierra. En un experimento ficticio representado en la figura A, imagine que usted est sobre la Tierra y lanza pelotas de beisbol a velocidades cada vez mayores. Cuanta ms velocidad imparte a la bola, ms larga es la trayectoria curva hasta el suelo. Puesto que la superficie de la Tierra es curva, uno no puede sino imaginar que si la velocidad fuera lo suficiente grande, al caer la pelota simplemente seguira la superficie curva alrededor de la Tierra. Por supuesto este ejemplo adolece de dos serios problemas: primero, que la superficie de la Tierra no es uniforme y que definitivamente habra obstrucciones; segundo, que debido a la gran aceleracin habra cerca de la superficie terrestre, la velocidad tendra que ser excepcionalmente grande. Los clculos muestran que se requeriran del orden de 29 000km/h o 18 000mi/h. La pelota se quemara y quedara reducida cenizas rpidamente a tales rapideces debido a la friccin atmosfrica sin embarg hoy en dia hay un gran nmero de satlites colocados en rbita alrededor de la tierra en altitudes donde la resistencia y la rapidez excesiva no constituye un problema. Alguno se mueven en orbitas que son casi circulares mientras caen alrededor del planeta .Si se colocara una estacin espacial en rbita circular alrededor de la tierra , ni el vehculo espacial y los pasajeros quedara ingrvidos por el contrario la fuerza gravitacional peso es la que proporcin la fuerza centrpeta necesaria para el movimiento circular .Considere por un momento el satlite de masa m que se mueve alrededor de la Tierra en una orbita circular de radio r , como se muestra en la figura(4) , la fuerza centrpeta se determina a partir de la ley de la gravitacin de newton:

Simplificando y resolviendo para la velocidad v queda: (1.19)

Observe que solo hay una rapidez v que un satlite puede tener para permanecer en una rbita de radio fijo r. Si cambia la rapidez, lo hace tambin el radio de la rbita.

Figura (4) .La fuerza centrpeta necesaria para el movimiento circular se origina por la fuerza gravitacional de atraccin .Por tanto, un satlite slo puede tener una rapidez v que le permita permanecer en una rbita de radio fijo.

Para un gran nmero de satlites en perodos T, sea el tiempo que me lleva al satlite dar una revolucin completa en su rbita es muy importante por ejemplo los satlites de comunicacin de la tierra en un periodo igual al que necesitan en dar un giro; en otras palabras, necesitan un da. Se dice que tales orbitas son geosincronicas y los satlites se llaman satlites sincronicos. Esos satlites permanece en un punto accesible en una latitud necesariamente constante ,lo que permite que con facilidad de comunicacin directa entre dos puntos de la tierra Son necesarios tres satlites de estos para permitir la comunicacin por lnea directa entre todos los puntos de la Tierra .La obtencin de una relacin entre el periodo T (o de un planeta) y el radio r de su rbita puede lograrse aplicando los conceptos que ya se han estudiado en este captulo. Si suponemos una rbita , la velocidad del satlite es :

Igualando esta expresin a v, como se indica en ecuacin (1.19) , tenemos

Al resolver para T se obtiene la ecuacin siguiente:

(

El cuadrado del periodo de una revoluciones proporcional al cubo de la orbita.Durante miles de aos se ha estudiado el movimiento de los planetas y las estrellas desde el siglo ll D.C, el astrlogo griego Claudio Ptolomeo postul la teora de que la tierra era el centro del universo muchos siglos despus Nicols Coprnico en (1473 -1543) fue capaz de demostrar que la tierra y otros planetas en rbitas circulares alrededor del sol el astrnomo dans Tycho Brahe (1546- 1601) realiz un gran nmero de mediciones sobre el movimiento de los planetas durante un perodo de 20 aos proporcionando medidas de notable precisin sobre el movimiento de los planetas y de ms de 700 estrellas visibles al ojo humano .Puesto que el telescopio todava no se inventaba, Bhahe en sus mediciones utilizando un sextante y un comps. A partir de las primeras observaciones el modelo del sistema solar ha evolucionado hasta llegar al que se acepta actualmente . El astrnomo alemn Johannes Kepler, discpulo de Brahe , retom los innumerables datos recopilados de su mentor y trabajo con ellos muchos aos intentando desarrollar un modelo matemtico que concordara con los los datos observados .Al principio esta investigacin pareca obvio a Kepler que las orbitas de los planetas pudieran no ser circulares .Sus estudios demostraron la que la rbita del planeta Marte era en realidad una elipse , con el Sol en uno de sus focos .Esta conclusin posteriormente se generalizo para todos los planetas que giran alrededor del Sol, y Kepler fue capaz de establecer varios enunciados matemticos relacionados con el sistema solar. Hoy en da dichos enunciados se conocen como las leyes de Kepler del movimiento planetario.

El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia meda del planeta al Sol. Esta ley tambin se conoce como la ley de periodos.La tercera ley de Kepler se representa claramente por medio de la ecuacin (1) la cual obtuvo para un satlite en una rbita circular. Tambin es cierta para elipses si reemplazamos R (la distancia media del planeta al Sol) con a, el eje semimayor de la elipse. En consecuencia, una forma ms general para la ecuacin (1) puede escribirse as:

Observe que cuando la trayectoria del planeta es circulas ,a = R.