Sartenejas, 12 de febrero de 2015.Universidad Simón Bolívar.FS2181: Laboratorio de física I.Sección: 17.

Informe 6

Ley de Hooke Y Oscilador Masa-Resorte

Docente: Alumnos:

Iván Sánchez Andrés Campuzano # 13-10211 Celso Mosquera #13-10948

Introducción

En situaciones de la vida real, observamos que existen varios tipos de resortes y que

se utilizan con diferentes motivos, algunos son utilizados como dinamómetros, otros se

usan en trampolines para gimnastas e incluso en objetos de uso tan cotidiano como un

simple bolígrafo. Cada resorte mencionado tiene distintas características, las cuales pueden

ser: el material con que están hechos, el grosor de sus espiras o la masa que poseen. Pero lo

más fundamental a la hora de analizar un resorte es su fuerza de resistencia al ser estirado o

comprimido (si es posible), lo cual es la clave para decirnos de que forma lo utilizaremos,

dicha fuerza de resistencia viene determinada por una constante elástica representada por la

letra “k”,

Ahora bien, esta constante k tienen su origen en un principio físico denominado ley

de Hooke, la cual define el comportamiento de los resortes, en tal sentido, el objetivo de

esta práctica será determinar la constante “k” del resorte a través de la Ley de Hooke, y con

los resultados obtenidos calcular la masa de un objeto guindado al mismo.

En la segunda parte de la práctica, también se calculará la constante elástica, pero en

esta oportunidad será en función del período, tomando en cuenta la masa del resorte y

calculando la misma.

El informe está constituido primordialmente por un marco teórico, donde se dan las

nociones básicas para que el trabajo tenga sentido, luego una metodología donde se explica

cómo se llevo a cabo el procedimiento experimental, posteriormente se presentan los

resultados y finalmente se analizan y discuten los datos obtenidos.

Marco Teórico.

El experimento tiene su eje central en el resorte, es decir, todos los experimentos

giran alrededor del mismo, por tanto es elocuente definirlo, la Real Academia España lo

define como una “pieza elástica, ordinariamente de metal, colocada de modo que pueda

utilizarse la fuerza que hace para recobrar su posición natural cuando ha sido separada de

ella”

Al momento de realizar la primera parte de la práctica se necesitan una serie de

fórmulas que definiremos a continuación:

Mg=kx → x=Mgk

(Fórmula 1, Elongación de un resorte de constante k)

Donde la elongación (x) se despeja de la definición de fuerza que actúa sobre el

resorte, siendo M la masa del objeto, g la gravedad y k la constante elástica.

Como el objetivo del informe es conseguir la constante elástica, se graficará la

elongación en función de la masa, esto nos arrojará como resultado una recta donde la

pendiente está en función de k, despejando la misma obtenemos:

m= gk

→ k= gm

(Fórmula 2, constante elástica en función de m)

Donde m es la pendiente de la gráfica x en función M, g la gravedad y k la constante

elástica del resorte.

Estos cálculos tienen un error asociado, en el caso de la elongación (x) se debe a un

error de estimación por parte del operador, en cuanto a la pendiente (m) se consigue su

error mediante el ajuste de mínimos cuadrados, finalmente para calcular el error de la

constante elástica (k), se emplea el método de derivadas parciales:

∆ F=∑i=1

n |dF|¿dXi∨¿ ∆ Xi

¿

(Fórmula 3, definición general derivada parcial)

Una vez que se aplica este método se obtiene:

∆ k= g

m2∆ m

(Fórmula 4, propagación del error para k)

Donde g es la gravedad, m la pendiente y ∆ m el error de la pendiente.

Ahora es necesario calcular el valor de una masa, el mismo se obtendrá mediante la

ecuación de la recta de la gráfica de elongación en función de la masa:

x=mM +b → M = x−bm

(Fórmula 5, masa en función de la elongación, pendiente e intercepto)

Donde M es la masa, x la elongación, b el intercepto y m la pendiente de la recta.

Para la segunda parte de la práctica, se emplearán las siguientes fórmulas:

T=2 π √ M+M eq

k

(Fórmula 6, período T en función de M, Meq y k)

Como el objetivo de la práctica no es conseguir el período (T) sino la constante elástica (k), se elevará la fórmula 6 al cuadrado:

T 2=4 π2

kM + 4 π2

kM eq

(Fórmula 7, período al cuadrado T2 en función de k, M y Meq)

Donde M es la masa, T el período, k la constante elástica y Meq la masa equivalente del resorte, que deberá ser un tercio de la masa total:

Podemos notar que al estar el período al cuadrado nos queda una función de M en la forma de la ecuación de una recta, en consecuencia la pendiente de la misma quedará en función de k:

m=4 π 2

k→ k=4 π2

m

(Fórmula 8, constante elástica en función de la pendiente)

Para determinar su error se aplicará el método de derivadas parciales en la fórmula 8:

∆ k=4 π2

m2 ∆ m

(Fórmula 9, propagación del error para k)

De la misma manera el intercepto queda en función de la Meq:

b=4 π2

kM eq → M eq=

bk4 π2

(Fórmula 10, masa equivalente en función de b y k)

El valor de la gravedad está definido por:

g=9,777828 m /s2

Metodología

Instrumentos:

1. Resorte helicoidal (máxima carga 1kg).

2. Porta-pesas y juego de pesas (ΔM = ±0,5g).

3. Regla.

4. Cronómetro.

5. Objeto de masa desconocida.

6. Base, nuez y barra de soporte.

Parte A.

En la realización del experimento se comenzó guindando el resorte en la barra de

soporte, y paralelo a él se colocó la regla con el objetivo de medir la elongación del resorte

con cada pesa colocada en él, al momento de acomodar el resorte paralelo a la regla, se fijó

un punto de referencia en la regla para tener una mayor precisión a la hora de medir su

elongación. Este punto se fijó colocando el porta-pesas, tomando como referencia su

extremo inferior, ya que sería el punto donde se ubicaría el extremo inferior de la masa

colocada.

Luego se procedió a colocar distintas cantidades de masas sobre el porta-pesas,

comenzando por 0,2kg y aumentando dicho número en 0,05 unidades hasta llegar a 0,6kg.

Como el porta-pesas también tiene una masa que no es despreciable, se procedió a medir

dicha masa para tomarla en cuenta a la hora de analizar la cantidad soportada por el resorte.

La medición obtenida de dicha magnitud del porta-pesas fue de 0,049kg, por lo que a la

masa colocada le agregamos esta cantidad y comenzar las medidas desde 0,25kg hasta

0,65kg. Con cada masa medida se midió el estiramiento del resorte en su punto de

equilibrio y se procedió a hacer una tabla (Tabla 1), y con dicha tabla realizar un gráfico del

estiramiento del resorte en función de la masa.

Al realizar este gráfico se obtuvo una ecuación lineal del desplazamiento en función de

la masa, utilizando dicha ecuación se procedió a calcular la masa del objeto cuya magnitud

es desconocida. Para eso se colocó el objeto en el resorte para medir la elongación del

mismo y colocar ese valor en la ecuación obtenida del gráfico 1 para determinar su masa y

su peso utilizando la gravedad.

De igual forma utilizando esta gráfica se calculó el valor de la constante elástica por la

fórmula 2.

Parte B.

En esta parte de la práctica se buscó analizar la influencia de la masa en el período de

oscilación del resorte, para este procedimiento se repitió el procedimiento anterior de

colocar varias masas distintas en el resorte, comenzando con 0,25kg y continuando

colocando 0,05kg adicionales por cada medida hasta llegar a 0,65kg. Al colocar dichas

masas se estiró un poco el resorte y se soltó para medir el tiempo en que realizaba cincuenta

oscilaciones. Luego se midió el período dividiendo el tiempo obtenido entre el número de

oscilaciones, y se procedió a hacer una tabla (tabla 2) de los valores de la masa, tiempo

total de las cincuenta oscilaciones, período, valor del período elevado al cuadrado y el error

del período.

Luego se procedió a realizar una gráfica del cuadrado del período en función de la

masa, obteniendo una función lineal y con la ecuación lineal obtenida, relacionándola con

la fórmula 7, hallaremos la constante elástica del resorte por medio de la pendiente de la

recta, y la masa equivalente por medio de la intersección con el eje Y, dichos valores de la

pendiente y de la intersección se calcularon por el método de los mínimos cuadrados.

Luego se compararon los valores obtenidos de la constante elástica por el método usado en

la parte A y el usado en la parte B.

Por último en la práctica se utilizó el objeto que inicialmente era de masa

desconocida y se determinó su período de la misma forma en que se calculó el período de

las distintas masas, luego con el período calculado se utilizó la fórmula 10 para determinar

la masa y compararla con la masa obtenida en la parte A.

Resultados

En la parte A de la práctica se realizaron distintas mediciones, en principio se midió la

masa del porta-pesas con un resultado obtenido de 0,049kg, y un error calculado por

estimación de 0,05kg, reportando como valor de la masa del porta-pesas:

M porta−pesas=(0,50 ± 0,05)kg

Luego se procedió a colocar varias masas distintas en el porta-pesas, para medir la

elongación realizada por el resorte y su respectivo error para cada masa de distinta

magnitud y se realizó la siguiente tabla (tabla 1)

Tabla 1

Masa (kg) Elongación X (m) Error ΔX (m)

0,25 0,016 0,01

0,30 0,027 0,01

0,35 0,039 0,01

0,40 0,053 0,01

0,45 0,067 0,01

0,50 0,081 0,01

0,55 0,096 0,01

0,60 0,11 0,01

0,65 0,12 0,01

Luego se calculó la masa del objeto cuya magnitud era desconocida, primero se

colocó en el resorte y se midió su elongación, con un valor obtenido de 0,09m, este valor se

sustituyó en la fórmula 5 y despejando la masa encontramos:

m=0,53 kg

También se midió dicha masa con una balanza y se obtuvo como resultado:

m=0,50 kg

Con un error de:

∆ m=0,05 kg

Luego se calculó la constante elástica k del resorte utilizando la fórmula 2 y se

obtuvo:

k=36,04 kg /s2

Y su respectivo error dado por la fórmula 4 y se obtuvo el valor de:

∆ k=0,57 kg/ s2

Por lo tanto el valor reportado de la constante elástica k en la parte A de la práctica,

fue de:

k=(36,0± 0,6 ) kg /s2

En la parte B del experimento realizado, se procedió a medir el período de ciertas

cantidades de masa, expresando los valores en la siguiente tabla (tabla 2).

Tabla 2

Masa total (kg) 50 T (s) T(s) T2(s2) Error ΔT (s)

0,25 23,08 0,46 0,21 0,1

0,30 27,10 0,54 0,29 0,1

0,35 30,78 0,62 0,38 0,1

0,40 32,94 0,66 0,43 0,1

0,45 35,16 0,70 0,49 0,1

0,50 37,03 0,74 0,55 0,1

0,55 38,75 0,78 0,60 0,1

0,60 40,20 0,80 0,65 0,1

0,65 41,98 0,84 0,70 0,1

Donde T es el período de oscilación del resorte.

Luego se realizó un gráfico del período al cuadrado en función de la masa total (ver

gráfico 2) y la ecuación obtenida fue relacionada con la fórmula 7 y utilizando el valor de la

pendiente obtenida en la ecuación del gráfico se empleó la fórmula 8:

k=33,05 kg /s2

Y su error calculado utilizando la fórmula 9 fue:

Δk=1,20kg /s2

Por lo tanto el valor reportado de la constante elástica k en la parte b de la práctica

fue de:

k=(33 ±1 )kg /s2

Y posteriormente se halló la masa equivalente empleando la fórmula 10:

meq=0,048 kg

Con un error respectivo calculado por el método de derivadas parciales de:

∆ meq=0,015 kg

Reportando un valor de:

meq=(0,05 ± 0,02 ) kg

Finalmente el período del objeto definido inicialmente como “objeto de masa desconocida”

fue medido obteniendo un valor de:

T=0,78 s

Utilizando la fórmula 6 se calculó la masa y se obtuvo un valor de:

m=0,509 kg

Discusión y Conclusiones.

En esta práctica el objetivo principal fue calcular el valor de la constante elástica de

un resorte por dos métodos distintos y comparar sus resultados finales, así como también

evaluar por dos métodos distintos la masa de cierto objeto para comprobar la exactitud de

cada método realizado.

El primer resultado relevante a la hora de analizar el experimento es el gráfico

obtenido en la parte A de la práctica. En este gráfico perfectamente podemos ver que se

obtiene una función lineal como se estimó previamente, pero observando la ecuación

obtenida de la recta, podemos darnos cuenta de que el intercepto es negativo, lo cual quiere

decir que para una cantidad nula de masa, el resorte tiene una elongación negativa (hacia

arriba), este resultado no tiene ningún tipo de sentido puesto que si no le agregamos masa al

resorte ni le aplicamos ninguna fuerza externa, este debe permanecer en su punto de

equilibrio. Este extraño resultado nos lleva a analizar las causas de dicha medida. Y el

problema radicó a la hora de establecer el punto de referencia del resorte en el equilibrio,

pues se tomó el punto de referencia equivocadamente con el porta-pesas colgado al resorte,

y como dicho objeto tiene una masa no despreciable, él influye directamente en la

elongación del resorte. Como a la hora de usar como dato en nuestra gráfica la masa

soportada por el resorte se tomó en cuenta la masa del porta-pesas, se llegó a un resultado

errado. Si se hubiera establecido adecuadamente el punto de referencia en el equilibro con

la masa soportada por el resorte igual a cero, se hubiera llegado a un resultado mucho más

preciso.

Otro valor llamativo obtenido en el proceso experimental fue en el gráfico 2, del

período en función de la masa. En la ecuación lineal obtenida de dicho gráfico se puede

observar un intercepto negativo también, pero este resultado no tiene sentido por dos

motivos: en primer lugar estamos hablando de período que se mide en unidad de tiempo, y

no existe valor negativo para el tiempo por lo tanto este resultado es erróneo, y en segundo

lugar es un valor elevado al cuadrado, por lo que tampoco le corresponden valores

negativos. Estos dos aspectos nos hacen darnos cuenta de que hay una irregularidad en

dicho resultado la cual pudo deberse a una equivocación del operador encargado de medir

el tiempo de oscilación del resorte en algún momento.

Ahora se comparará el valor obtenido de las constantes elásticas. El primer valor

que se obtuvo fue de 36,0 kg/s2 con un error reportado de ±0,6 kg/s2. Mientras que el

segundo valor reportado fue de 33kg/s2 con un error de ±1 kg/s2. Si observamos estos

resultados se encuentran relativamente cerca, y si tomamos en cuenta las equivocaciones

mencionadas previamente observamos que podemos lograr resultados más cercanos.

Luego comparemos los resultados obtenidos de la masa del objeto desconocido con

la masa medida a través de la balanza, en la parte A se calculó la masa en 0,53 kg y en la

parte B se calculó en 0,51 kg y con un error respectivo de 0,05 kg para cada uno. Y el valor

medido en la balanza fue de 0,50 kg lo cual nos demuestra que se obtuvo un valor muy

cercano al valor real de la masa del objeto.

Y por último analizamos la masa equivalente del resorte que dio un valor de 0,048

kg mientras que la masa del resorte medida con la balanza dio 0,042kg, por lo tanto el

resultado de la masa equivalente es totalmente ilógico ya que por definición, la masa

equivalente debe ser un tercio de la masa total.

Como en numerosos cálculos de esta práctica se obtuvieron resultados erróneos, se

propone realizar de nuevo con más cuidado dichos experimentos para obtener unos

resultados más coherentes.

Bibliografía.

-Guía Laboratorio de Física I. Douglas Figueroa, Luis E. Guerrero, Alfredo

Sanchez, Nery Suárez, Rafael Escalona y Diego Sanjines.

RAE - http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=muelle (al

02/11/2015)