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PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA

CASO DE ESTUDIO: BATERIAS PARA PC’S

Suponga que con la tecnología actual se sabe que el tiempo medio de duración de las baterías para computador fabricadas por cierta empresa es igual a 120 minutos. Un grupo de ingenieros están trabajando en el desarrollo de una nueva tecnología para baterías de computador y sostienen que con las innovaciones efectuadas, el tiempo medio de duración de las baterías para computador fabricadas por la empresa será mayor a 120 minutos. Suponga que los tiempos de duración de las baterías siguen una distribución normal con varianza igual a 25 minutos 2, y que al someter a prueba una muestra de 20 baterías se encuentra una media muestral de 125 minutos.

A) Desarrollo de la prueba de hipótesisSe desea evaluar si efectivamente la nueva tecnología aplicada al desarrollo de las baterías produce un tiempo de duración mayor, considerando una probabilidad de 5% de rechazar una hipótesis nula verdadera. A continuación se detalla el procedimiento de prueba de hipótesis.

Paso 1: Formular la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternante (H1).H0: μ = 120 (La duración de las baterías es 120 minutos)H1: μ > 120 (La duración de las baterías es mayor de 120 minutos)

Paso 2: Determinar el nivel de significación α.α = Pr(Error tipo I)=Pr(Rechazar H0 | H0 es verdadera) = 0.05

Paso 3: Establecer las suposiciones necesarias para la validez de la prueba. El tiempo de duración de las baterías tiene distribución Normal (μ, 25). La muestra es aleatoria.

Además, en todo el procedimiento de prueba de hipótesis se asume que H0 es verdadera; es decir: µ = 120.

Paso 4: Elegir el estadístico de prueba apropiado.En este caso, dado que el interés es inferir para una media (μ), con varianza poblacional (σ2) conocida, el estadístico de prueba será el siguiente:

Paso 5: Establecer la regla de decisión (criterio para el rechazo o no de H0).Rechazar H0, si z0 > z(1-α) En este caso z(1-α) = z0.95= 1.644854

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Paso 6: Calcular el valor de la prueba estadística.

Paso 7: Concluir.La prueba nos indica que z0 = 4.4721 > z(1-α) = z0.95= 1.644854, de modo que z0 cae en la zona de rechazo, por lo que podemos concluir que: Existe suficiente evidencia estadística para rechazar H0, esto es, aceptar que el tiempo medio de duración de las baterías es mayor a 120 minutos.

B) Cálculo del valor de probabilidad (p valor)El valor de probabilidad p se define como la probabilidad de obtener, para el estadístico de prueba, un valor al menos tan extremo como el obtenido en la muestra, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. En el ejemplo, el valor de probabilidad será:

p = P(Z > z0) = P(Z > 4.4721) = 0.000003872

C) Reglas de decisiónLos criterios para el rechazo de la hipótesis nula H0, en este ejemplo son:

Criterio 1: z0 > z(1-α) , donde z(1-α) = z0.95= 1.644854Criterio 2: p < α , donde α = 0.05 Criterio 3: > 121.839

El criterio 3 se deduce a partir del criterio 1:

de modo que H0 se rechaza si en la muestra > 121.839Para todos los efectos, los 3 criterios son equivalentes, por lo que, cualquiera de ellos puede utilizarse.

D) Cálculo del error tipo II y poder de pruebaSuponga que en realidad μ = 122. En este caso la hipótesis nula H0: μ = 120 sería falsa y la probabilidad de rechazar esta H0 es lo que se conoce como el poder de la prueba.Se vio anteriormente que H0 se rechaza si > 121.839 (criterio 3). Dado que μ = 122 y σ = 5, con n=20, la probabilidad de rechazar H0 (que en este caso es falsa) es:

P( > 121.839) = P(

= P(Z > -0.1440028) = 0.5572509

Pero: 1-β = P(Rechazar H0|H0 es falsa) = 0.5572509 (Poder de la prueba)

De modo que: β = P(Aceptar H0|H0 es falsa) = 0.4427491(Error tipo II)

El poder de prueba puede calcularse en MINITAB, utilizando el menú: Stat / Power and Sample

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Size / 1-Sample Z...Se indica lo siguiente: Tamaño de la muestra = 20

Diferencia = µ (real) - µ0 (de H0) = 122-120 = 2Desv. Est. (Poblacional) σ = 5

En Opciones: Elegir el tipo de hipótesis alternativa (H1)Indicar el nivel de significación α = 0.05

Power and Sample Size 1-Sample Z Test

Testing mean = null (versus > null)Calculating power for mean = null + differenceAlpha = 0.05 Assumed standard deviation = 5

SampleDifference Size Power 2 20 0.557250

E) Determinación del tamaño de muestraLos ingenieros encargados del desarrollo de la nueva batería sospechan (realmente están casi seguros) que el tiempo promedio de duración con la nueva tecnología es de aproximadamente 126 minutos. Sin embargo, deben obtener datos para convencer al Directorio. Para ello quieren diseñar un experimento que les permita rechazar H0: μ = 120 a favor de H1: μ > 120 con un nivel de significación α = 0.01 (el jefe de los ingenieros es muy exigente) y un poder de prueba de 1–β = 0.90 (los ingenieros, que son tipos muy ocupados, quieren tener una alta probabilidad de rechazar H0 en este experimento, ya que no disponen de tiempo para realizar más experimentos luego). ¿Cuántas baterías deberían someter a prueba en el experimento?

Se puede demostrar que el tamaño de muestra necesario está dado por:

Si la hipótesis alternativa es unilateral

Si la hipótesis alternativa es bilateral.

En estas expresiones μ 0 es el valor supuesto de μ en H0 y μ 1 es el valor supuesto de μ en H1.

En el ejemplo se tiene que:

Por lo tanto, 10 baterías serían suficientes para satisfacer los criterios de probabilidad requeridos.

A continuación se muestra el resultado obtenido con MINITAB:

Power and Sample Size 1-Sample Z Test

Testing mean = null (versus > null)Calculating power for mean = null + differenceAlpha = 0.01 Assumed standard deviation = 5

Sample TargetDifference Size Power Actual Power 6 10 0.9 0.929000

EJERCICIOS SOBRE PRUEBAS DE HIPOTESIS

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Para la media:

Ejemplo: Una fábrica de gaseosas controla periódicamente el funcionamiento de su máquina embotelladora de gaseosas de 275 ml. Si se encuentran evidencias muestrales de que el contenido medio de las botellas difiere de los 275 ml especificados entonces la máquina es calibrada nuevamente. Suponga que la desviación estándar es fija e igual a 3 ml, y que en determinado momento, con una muestra aleatoria de 25 botellas, se obtiene un volumen medio de 269 ml. ¿Será la máquina calibrada nuevamente? Considere un nivel de significación de 0.05.

Ejemplo: Una fábrica de acero produce cables con una resistencia a la rotura promedio de 1770 N/mm2. De detectarse una disminución en la resistencia a la rotura promedio, la fábrica podría sufrir grandes pérdidas económicas. Suponga que con una muestra de 30 cables se obtuvo una media de 1762 y una desviación estándar de 12 N/mm. Evalúe las hipótesis correspondientes con un nivel de significación de 0.01

Para la Varianza.

Ejemplo: El tiempo de duración de las baterías para computador fabricadas por cierta empresa sigue una distribución normal con media y variancias desconocidas. Para investigar la variabilidad en las duraciones se toma una muestra de 15 baterías. Luego de utilizarlas hasta el agotamiento, y registrar sus tiempos de duración, se obtiene una desviación estándar de 5.3 minutos. Evalúe si es posible afirmar que la varianza de los tiempos de duración es menor que 30 minutos2 con un nivel de significación del 1%.

Para la proporción

Ejemplo: Un sistema de control de calidad califica a los artículos producidos como perfectos, imperfectos reparables e imperfectos no reparables. Normalmente se observa un 15% de artículos en la categoría imperfectos reparables. Si en una muestra aleatoria de 80 artículos se han encontrado 22 imperfectos reparables, ¿se puede concluir con un nivel de significación del 2% que la proporción usual ha Aumentado?

Para la razón de varianzas

Ejemplo: Una fábrica de aceros está desarrollando un nuevo proceso para los cables que produce. Se toma una muestra de 20 cables producidos con el proceso actual y 20 producidos con el proceso experimental y se obtienen desviaciones estándar de 10 y 12 N/mm2. Evalúe con un nivel de significación del 5% la hipótesis de igualdad de variancias.

Para la diferencia de medias

Ejemplo: Una fábrica de gaseosas posee dos máquinas embotelladoras para sus gaseosas de 275 ml. Se sabe que la máquina A tiene una desviación estándar de 3 ml. mientras que la máquina B tiene una desviación estándar de 4 ml. En una muestra aleatoria de 15 botellas desde la máquina A y 13 botellas desde la máquina B se han encontrado medias muestrales de 271 ml y 274 ml respectivamente. ¿Existen diferencias significativas entre ambas máquinas con un nivel de significación del 2%?

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Ejemplo: Una fábrica de aceros está desarrollando un nuevo proceso para los cables que produce. De obtenerse mayor resistencia a la rotura con el nuevo proceso este será implementado de forma permanente. Se toma una muestra de 20 cables producidos con el proceso actual y 20 producidos con el proceso experimental y se obtienen medias muestrales de 1764 y 1773 N/mm2 y desviaciones estándar de 10 y 12 N/mm2. Efectúe la prueba de hipótesis correspondiente con un nivel de significación del 5%.

Ejemplo: Con el objetivo de comparar dos sistemas de destilado de aguardiente, A y B, se han realizado una serie de pruebas. Con una muestra de 8 destilados con el método A y 7 con el método B se han encontrado volúmenes de alcohol promedio de 40.1 y 42.3 grados y desviaciones estándar de 1.2 y 1.6 grados. Suponga que las variancias poblacionales son diferentes. ¿Se puede concluir con un nivel de significación del 6% de que las medias de los volúmenes alcohólicos son diferentes?

Para la diferencia de proporcionesEjemplo: Con el objetivo de comparar la efectividad de dos empresas de mensajería se ha registrado el número de mensajes que llegan tarde al destinatario. En una muestra de 100 envíos con la empresa A y 120 envíos con la empresa B se han registrado 10 y 16 mensajes entregados tarde. ¿Existen diferencias significativas entre las proporciones de mensajes entregados tarde por ambas empresas con un nivel de significación del 5%?

Para la media en muestras pareadasEjemplo: En la siguiente tabla se muestran los volúmenes de exportación (en miles de soles) para cada uno de 10 exportadores en dos años consecutivos.

Exportador

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año 1 4.81

5.03

2.38 3.25

5.49

3.66

8.13

0.99

3.79

4.26

Año 2 4.27

5.97

2.61 3.22

4.65

3.95

7.00

1.25

3.51

3.96

Evalúe la hipótesis de que las exportaciones han disminuido con un nivel de significación del 1%.