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Calculo 1.

Lectura No. 15. Aplicaciones de los lmites. La funcion derivada.

Hugo E. Zamora C.


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Calculo 1. Lectura No. 15. Aplicaciones de los lmites. La funcion derivada. Aplicaciones de los lmites

Seccion 1: Introduccion

La idea de aproximacion al valor de una cantidad que no se puede determinar en forma directa es un problemade la cotidianidad y ha sido un problema historico en el desarrollo de las matematicas. Los intentos por solucionarlos interrogantes derivados del problema, han posibilitado avances en diversas areas de la disciplina. Se proponeun estudio de formas de solucionar problemas relacionados con la nocion.

Seccion 2: Aplicaciones de los lmites

1. En los comienzos del siglo XVII se formula un interrogante, relacionado con la modelacion de fenomenosfsicos: Como determinar la ecuacion de una recta tangente T a una curva en un punto Pde ella? Comotangente se considera una recta que cerca de P tiene unicamente este punto en comun con la curva.

La dificultad de resolver el problema radica en el hecho que para determinar la pendiente de la recta T, serequiere conocer dos puntos de la recta, pero en este caso solo se conoce un punto, P, denominado punto detangencia. La figura 1 ilustra el problema.

Figura 1: Recta tangente a f en P

Para intentar resolver el problema se considera que P es un punto fijo de f. Se toma un punto Q, el cuase mueve a lo largo de la curva. (Vease la figura 1) La recta que pasa por P y Q se denomina secante S

a la grafica de f. La pendiente de la recta secante es mS = f(x) f(a)

x a y es conocida pues se conoce laexpresion que define la funcion f. As que al hallar la pendiente de la secanteS, se tiene una idea del valor

de la pendiente mTde la recta T. Para el caso particular de la figura 2 se asegura que mT < mS.

Con objeto de obtener un valor preciso de la pendiente de la recta T, se mueve el punto Q a lo largo dela grafica de fy hacia el punto P. Observe que las coordenadas de P y Q se han nombrado P(a, f(a)) yQ(x, f(x)). Entonces, a medida que la coordenada x de cada punto Q se acerca hacia a, es factible asumirque el valor de la pendiente de la secante respectiva se acerca suficientemente al valor de la pendiente de latangente. Este hecho se senala as:

funa funcion. La pendiente m de la recta tangente Ta la grafica de fen P(a, f(a)) es mT = lmxa

f(x) f(ax a

si el lmite existe.

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Figura 2: Rectas secantes a f

2. En el mundo del automovil se asegura que un carro que partiendo del reposo alcanza una velocidad de

100km/h en menos de 5 segundos, es un carro rapido. Se plantea el problema de determinar si un carrodel cual se conocen los datos acerca de la distancia (d en metros) que recorre en lapsos de tiempo (t ensegundos) menores a 5 segundos es rapido. La tabla muestra los datos.

t 0 1 2 3 4 5

d 0 10 24 42 64 90

Si se designad la variacion de distancia en un lapso de tiempot (o variacion de tiempo) especfico, lavelocidad promedio Vp en dicho lapso se determina mediante Vp =

dt . Para determinar la velocidad de

carro a los 5 segundos de partir, se requiere conocer la velocidad en dicho instante, lo que significa que lavariacion de tiempo en dicho momento es 0 y no es posible determinarla en forma directa.

Se plantea entonces una aproximacion a la velocidad en el instante t= 5 a traves de la velocidad promedioPara ello se considera un valor fijo, el correspondiente a la distancia que se recorre en 5 segundos y, se tomaun valor variable ty su respectiva distancia, el cual se acerque cada vez m as al instante t = 5. Si se designacomo t el valor fijo y como tn el valor variable, se tiene quet = t tn yd = d dn y por lo tantoVp=

d dnt tn

. La tabla muestra el proceso de aproximacion descrito.

tn 0 1 2 3 4

t 5 4 3 2 1d 90 80 66 48 26Vp 18 20 22 24 26

De acuerdo con la tabla se afirma que entre t = 4 y t = 5 la velocidad promedio del carro es de 26m/sgque equivale a 93, 6km/h. No es posible contestar aun el interrogante, pues esta velocidad promedio nocorresponde a la velocidad en el instante 5, es una aproximaci on cercana pero no precisa.

Al no tener mas datos reales, se puede tratar de ajustar los datos a un modelo funcional. (Este es un trabajoque en matematicas se denomina regresion y se estudia en profundidad en Estadstica). Aqu solamentereferimos que el modelo d(t) = 2t2 + 8t representa en forma adecuada el conjunto de datos. Por lo tanto, sepueden constuir datos en instantes de tiempo muy cercanos a t= 5, los cuales se ven en la tabla siguiente.

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t 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

d 71.38 76.5 79.12 81.78 84.48 87.12

La tabla que a continuacion se presenta, muestra la aproximacion a la velocidad en t = 5, a traves de lavelocidad promedio.

tn 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

t 0.7 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1d 18.62 13.5 10.88 8.22 5.52 2.78Vp 26,6 27 27,2 27,4 27,6 27,8

De acuerdo con los datos parece plausible asumir que a medida quet se acerca a 0, entonces la velocidadpromedio se acerca a 28m/sg que se acepta como la velocidad en el instante t = 5. Esta situacion se describemediante la afirmacion: Si la distancia d que recorre un movil se describe en terminos del tiempo t, entonces

la velocidad en un instante t esta dada por lmt0

dt . Ahora, la velocidad en un instante t = a esta dada por

lmta

d(t)

d(a)

t aUna vez hechos los calculos, se responde el interrogante planteado en el problema. A los 5 segundos de haberpartido del reposo, el carro alcanza 100, 8 km/h, luego, puede ser catalogado como un carro rapido.

2.1: Ejemplos

1. Especificar la ecuacion de la recta tangente a f(x) = 3x2 2x en x= 1 requiere de la determinacion de lapendiente mediante mT = lm

xa

f(x) f(a)x a . Por lo tanto se tiene,

mT= lmx1

f(x) f(1)x 1 = lmx1

3x2 2x 1

x 1 = lmx13x2 2x 1

x 1 =

lmx1

(3x + 1) (x 1)x 1 = lmx1 (3x + 1) = 4

Es decir mT= 4. Ahora, si x = 1, entonces f(1) = 1, de tal forma que en el modelo y = mx+b, se tiene1 = 4(1) + b, es decir b= 3 y as la ecuacion de la recta tangente a f en x= 1 es y= x 3

2. La pendiente de la recta tangente T a la grafica de la funcion f en x = a se determina tambien medianteotra expresion algebraica. En la figura 3 que ilustra el problema original se nombra h la distancia de lacoordenada adel punto fijo Pa la coordenada xdel punto Q.

La pendiente de la recta tangente a f(x) = xen x= 3 es mT= lmh0f(a + h)

f(a)

h . Es decir:

mT= lmh0

f(3 + h) f(3)h

= lmh0

3 + h3

h = lm

h0

3 + h3

h

3 + h +

3

3 + h +

3

= lmh0

3 + h 3h

3 + h +

3 = lm

h0

13 + h +

3

= 1

2

3

En consecuencia la pendiente de la recta tangente a f(x) =

xen x= 3 es 1

2

3

3


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Figura 3: Recta tangente a una funcion f

Se tiene que x= a+h. Luego x a = h. Ademasi x aentonces h 0. Al reemplazar x en mT =lmxa

f(x) f(a)x a

se obtiene:

mT= lmh0

f(a + h) f(a)h

3. Si se conoce que la posicion s (medida en metros desde el punto de partida) de un movil que se desplaza enlnea recta, se describe mediante s = 3t2 + 1, con t tiempo en segundos, entonces la velocidad instantanea

para t= 3 se halla mediante lmt0

s

t

expresion equivalente con lmta

s (t) s (a)t

a

. As que:

lmt3

s (t) s (3)t 3 = lmt3

(3t2 1) 26t 3 = lmt3

3t2 27t 3 = lmt3

3

t2 9

t 3= lm

t3

3 (t 3) (t + 3)t 3 = lmt3 3 (t + 3) = 18

Por lo tanto, se asegura que 3 segundos despues de partir del reposo la velocidad del movil es de 18 m/sg.

2.2: Ejercicios

1. Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de cada funcion en los valores indicados.

a) f(x) = 1

x + 2 en x = 1

b) g(x) = 1

x en x= 14

c) h(x) =x3 xen x= 1. Ilustre esta situacion en un plano cartesiano.2. Determine las coordenadas del punto de tangencia de una recta T con la grafica de g(x) = 5x2 7x si la

pendiente de dicha recta es 3.

3. Determinar en que puntos de su grafica la funcion f(x) = 3x3 x2 tiene tangentes horizontales, es decirtangentes que son paralelas al eje horizontal.

4. Los problemas de velocidad instantanea que se expusieron en la discusion teorica y en los ejemplos, sedenominan problemas de razon de cambio instantanea. En este sentido se afirma que la razon de cambioinstantanea de y respecto a x en x = x0 es la pendiente de la recta tangente a y = f(x) en (x0, f(x0) y

esta dada por lmxx0

f(x)f(x0)xx0

La utilidad U (en euros) por la produccion y venta de x unidades de un artculo se modela mediante laexpresion U(x) = 7x 0,002x2. Determinar:

La utilidad por la venta de 1000 artculos.

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Calculo 1. Lectura No. 15. Aplicaciones de los lmites. La funcion derivada. La funcion derivada

La razon de cambio instantanea de la utilidad en x= 1700. Interpretar el valor obtenido

La razon de cambio instantanea de la utilidad en x= 2000. Interpretar el valor obtenido

5. Se determina por autoridades sanitarias que al comienzo de una epidemia de gripa, el numeroCde personascontagiadas t das despues que se identifico la aparicion de la enfermedad se puede hallar mediante laexpresion C(t) = 150t2

3t + 100. Determinar:

El numero de personas que se identificaron inicialmente como enfermas de gripa.

El numero de personas contagiadas a los 35 das de la deteccion de la enfermedad.

La razon de cambio del numero de personas contagiadas cuando t = 35. Interpretar este valor.

6. Si se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio de 120 metros, la altura (en metros) sobre el suelodespues de t segundos esta dada por 120 0, 49t2. Determinar la rapidez con que cae la pelota 3 segundosdespues de haber sido soltada.

7. Si el lado de un cuadrado aumenta, su area tambien aumenta. Determine la razon de cambio del area de uncuadrado respecto de su lado, en el instante en que el lado mide 4.

Seccion 3: La funcion derivada

Se estudia una funcion la cual se construye con base en una funcion fy en la nocion de lmite. A tal efectosi y= f(x) es una funcion, la funcion derivada o simplemente la derivada de frespecto a la variable xy que senota f(x) (se lee f prima de x) se define como:

f(x) = lmh0

f(x + h) f(x)h

siempre que el lmite exista.

As que si f(x) = 3x2 1, entonces al calcular lmh0

f(x + h) f(x)h

se obtiene la expresion algebraica que

definef(x). Por lo tanto:

f(x) = lmh0

f(x + h) f(x)h

= lmh0

3(x2 + 2xh + h2) 1 3x2 + 1h

= lmh0

3x2 + 6xh + 3h2 3x2h

= lmh0

6xh + 3h2

h = lm

h0

3h (2x h)h

= lmh0

3 (2x h) = 6x

En consecuencia, si f(x) = 3x2 1, entonces f(x) = 6xSi a es un elemento del dominio de una funcion f, entonces la derivada de f en x= a o simplemente f(a) =

lmh0

f(a+h)f(a)h

siempre que el lmite exista. Se afirma quef es derivableo diferenciableen x = a. De la misma

manera fes derivable en (a, b) si es derivable en cada punto del intervalo.

Se afirma que f(a) es la pendiente de la recta tangente a la gr afica de fen el punto P(a, f(a))

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3.1: Ejemplos

1. La pendiente de la recta tangente ag(x) = 1

x en x= 2 es g(2) y se calcula as:

g(2) = lmh0

g(2 + h) g(2)h

= lmh0

1

2 + h 1

2h

= lmh0

2 (2 + h)2(2 + h)

h

= lmh0

h2h(2 + h)

= lmh0

12(2 + h)

= 14

2. Si se conoce la grafica de una funcion f, un ejercicio interesante es la construccion aproximada de la graficade f. Para ello se hace uso de la nocion de pendiente de la tangente en puntos de la grafica de f.

En la figura 4 se observa como se estima el valor de la pendiente en x = 1 y x= 1,6. Para ello hay que usarla nocion analtica de pendiente de una recta, es decir si se toman dos puntos de la recta, m = y

x donde

y senala la diferencia entre las ordenadas de los puntos y x indica la diferencia entre las abcisas. Porejemplo, para x = 1 se puede estimar que la pendiente de la tangente es m = 3. Lo mismo se hace para otros

puntos del dominio de f.

En otro plano cartesiano se ubican estas estimaciones a manera de puntos y se unen con un curva suave (verfigura 5), que sera la grafica de f

Figura 4: Grafica de la funcion f Figura 5: Grafica de la funcion f

3.2: Ejercicios

1. Determine la expresion algebraica que define la derivada de cada funcion. Calcule las derivadas indicadas.

a) f(x) =

1

x . Calcular f

(2). Compare este resultado con el ejemplo de la discusion teorica.b) g(x) =x3 + 1. Calcular g(13)c) h(x) =

2x + 1

2. Demuestre que cada afirmacion es verdadera.

a) Si f(x) = x + 1

x 2 entonces f(x) =

3(x 2)2

b) Si g (x) = sin x, entonces g(x) = cos x

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Figura 6: Grafica de la funcion f Figura 7: Grafica de la funcion g

Figura 8: Grafica de la funcion h

c) Si h(x) = tan x, entonces h (x) = sec2 x

3. Para cada una de las funciones cuyas graficas se dan, trazar la grafica aproximada de la funcion derivada.

4. Las funciones cuyas graficas se dan estan definidas por partes. Se ha escrito la definicion que corresponde acada parte. Calcule las derivadas como lmites, por derecha y por izquierda de los puntos senalados en lasgraficas. Muestre que las derivadas son diferentes. Este hecho muestra que si una funci on es continua en unpunto, no necesariamente es derivable en el punto.

Sin embargo la afirmacion inversa es verdadera, es decir: Si una funcion es derivable en x= a, entonces escontnua en x= a. Consulte acerca de la demostracion de esta afirmacion.

Figura 9: Grafica de la funcion f Figura 10: Grafica de la funcion g

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