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Calculo 1.Lectura No. 14. Lımites infinitos y al infinito. Lımites trigonometricos.

Hugo E. Zamora C.

Calculo 1. Lectura No. 14. Lımites infinitos y al infinito. Lımites trigonometricos. Lımites infinitos y al infinito

Seccion 1: Introduccion

Se propone el estudio de lımites de funciones, los cuales se analizan o calculan con base en las propiedades denumeros reales, de los lımites o en propiedades de la continuidad de funciones. Este estudio amplıa el campo deutilizacion de los lımites y permite que se verifique el dominio de las nociones basicas de lımites.

Seccion 2: Lımites infinitos y al infinito

Las propiedades que permiten calcular lımites de funciones y los procedimientos que se han empleado parasalvar obstaculos que impiden el uso directo de tales propiedades, deben ser complementados con el desarrollode habilidad en el analisis del comportamiento de las imagenes de funciones, cuando los valores de la variableindependiente se acercan suficientemente a un numero real o se alejan hacia numeros reales grandes tanto comose quiera pensar.

Con base en la grafica de la funcion f(x) =1

x, que se muestra en la figura ??, en forma intuitiva se puede

asegurar que lımx→0+

f(x) =∞ o que lımx→∞

f(x) = 0

Figura 1: Lımite infinito y al infinito de una funcion f

Con objeto de superar las limitaciones de la grafica de una funcion, se requiere de procedimientos que permitan

calculos efectivos de este tipo de lımites. Es ası que calcular lımx→2−

x2 + 5

x2(x− 2)se plantea en estos terminos: La funcion

f(x) =x2 + 5

x2(x− 2)es racional, pero para x = 2 no existe la imagen, ası que no es posible realizar el lımite por

calculo directo. El intento de aplicar propiedades de numeros reales y sus operaciones, que permitan simplificar laexpresion (x− 2) es infructuoso. Ası que se apela al siguiente razonamiento:

Si x→ 2+ entonces la expresion x2 + 5→ 9

Si x→ 2+ entonces x2 → 4

Si x → 2+ entonces (x − 2) → 0−. Esta afirmacion es importante en la medida que se logra identificar quecuando una expresion tiende a 0, significa que los valores cercanos a 0 pueden ser positivos o negativos. En

1


este caso, estos valores son negativos y se han caracterizado afirmando que la expresion (x− 2) se acerca a0 por la izquierda (−).

Una vez realizados estos analisis se puede concluir que si x → 2+ entonces se tiene quex2 + 5

x2(x− 2)→ 9

4(0−).

Notese que se sigue que x2(x − 2) → 0−. Entonces, se tiene que el numerador de la fraccion que se analiza seacerca suficientemente a 9, mientras que el denominador se acerca suficientemente a 0 mediante valores negativos.

Esto significa quex2 + 5

x2(x− 2)sera un valor negativo muy pequeno, hecho que se senala mediante la afirmacion

x2 + 5

x2(x− 2)→ −∞. Y ası se asegura que lım

x→2−

x2 + 5

x2(x− 2)= −∞. Este tipo de lımites se denominan lımites infinitos.

Un lımite al infinito es un lımite donde la variable independiente de una funcion toma valores suficientementegrandes y se desea analizar el comportamiento de sus imagenes. Para calcular estos lımites se hace uso del resul-

tado: Si r es un numero racional positivo y xr existe, entonces lımx→∞

1

xr= 0 y lım

x→−∞

1

xr= 0.

Las propiedades de los lımites que se declararon cuando la variable independiente de la funcion tiende a unnumero real a, son validas para los lımites infinitos. En este sentido, por ejemplo si lım

x→∞f(x) = L y lım

x→∞f(x) = M ,

entonces lımx→∞

f(x) + g(x) = L+M

2.1: Ejemplos

1. La determinacion de lımx→−4+

3

x+ 4se basa en el analisis de la expresion x+ 4. Se observa que a medida que

x→ −4+ entonces x+ 4→ 0+. Ası que3

x+ 4→ 3

0+, o sea que lım

x→−4+3

x+ 4=∞

2. Para calcular lımx→0+

ln(1x

)se procede ası:

lımx→0+

ln

(1

x

)= lım

x→0+(ln 1− lnx) Propiedad de logaritmos.

= lımx→0+

(0− lnx) Calculo del logaritmo

= − lımx→0+

lnx Propiedad de los lımites

Si x→ 0+, entonces lnx→ −∞

lımx→0+

ln

(1

x

)= −(−∞) =∞

3. El calculo de lımx→∞

3x2 − xx− x3

se realiza teniendo en cuenta los resultados de lımx→∞

1

xr= 0 y lım

x→−∞

1

xr= 0. Para

ello se divide cada termino de la fraccion entre la mayor potencia de la variable en el denominador. Es

2


decir:

lımx→∞

3x2 − xx− x3

= lımx→∞

3x2 − xx3

x− x3

x3

Se divide entre x3

= lımx→∞

3x2

x3− x

x3

x

x3− x3

x3

Propiedad de la suma de fracciones

= lımx→∞

3

x− 1

x21

x2− 1

Simplificacion

=lımx→∞

3

x− lımx→∞

1

x2

lımx→∞

1

x2− lımx→∞

1Propiedades de lımites

=3 lımx→∞

1

x− lımx→∞

1

x2

lımx→∞

1

x2− lımx→∞


lımx→∞

3x2 − xx− x3

=3(0)− 0

0− 1= 0

4. Calcular lımx→∞

√x2 − 1

xse hace en forma similar al anterior lımite. es decir:

lımx→∞

√x2 − 1

x= lım

x→∞

√x2 − 1

xx

x

Dividir entre x

= lımx→∞

√x2 − 1√x2x

x

Propiedad: x =√x2

= lımx→∞

√x2 − 1

x2x

x

Propiedad de radicales

= lımx→∞

√1− 1

x2

1Simplificacion

lımx→∞

√x2 − 1

x= 1 Calculo de lımites

5. Los lımites infinitos y al infinito son herramientas utiles en la determinacion precisa de las asıntotas de lagrafica de una funcion. Al efecto se asumen los siguientes resultados:

f una funcion. Si se da una de las siguientes posibilidades: lımx→a+

f(x) =∞; lımx→a−

f(x) =∞; lımx→a

f(x) =

∞; lımx→a+

f(x) = −∞; lımx→a−

f(x) = −∞; lımx→a

f(x) = −∞, entonces se afirma que f tiene una asıntota

vertical en x = a.

3


f una funcion tiene una asıntota horizontal en y = k con k una constante, si lımx→∞

f(x) = k, o

lımx→−∞

f(x) = k

Ası que para determinar las asıntotas de f(x) =3− xx− 2

se procede ası:

Las posibles asıntotas verticales se localizan en los valores reales para los cuales no esta definida la fun-

cion. en este caso en x = 2. Para corroborar la suposicion se calcula lımx→2+

3− xx− 2

. Al recurrir al analisis

de la expresion que define la funcion se afirma que lımx→2+

3− xx− 2

= ∞. Por lo tanto, f tiene asıntota

vertical en x = 2.

Observacion: Notese que se planteo uno de los lımites senalados en el resultado para determinar asıntotasverticales de una funcion.

El calculo de lımx→∞

f(x) permite identificar (si existen) las asıntotas horizontales. Se tiene entonces que

lımx→∞

3− xx− 2

= lımx→∞

3

x− x

xx

x− 2

x

Dividir entre x

= lımx→∞

3

x− 1

1− 2

x

Simplificacion

=lımx→∞

3

x− lımx→∞

1

lımx→∞

1− lımx→∞

2

x

Propiedades de lımites

lımx→∞

3− xx− 2

= −1 Calculo de lımites

En consecuencia, f(x) =3− xx− 2

tiene una asıntota horizontal en y = −1. Con la ayuda de los elementos

fundamentales de f y el trazo de su grafica se pueden verificar los resultados obtenidos. La figura ??muestra dicha grafica.

2.2: Ejercicios

1. Calcular los lımites indicados.

a) lımx→0

2− xx2 (3− x)

b) lımx→−1+

x+ 3

x (1 + x)

c) lımx→−1−

√−3x

x+ 1

d) lımx→π

sec(x

2− π

)e) lım

x→0−

[[x]]

x

4

Calculo 1. Lectura No. 14. Lımites infinitos y al infinito. Lımites trigonometricos. Lımites trigonometricos

Figura 2: Asıntotas horizontales y verticales de una funcion

f ) lımx→∞

2x3 − x+ 1√3x3 + x2 − 1

g) lımx→∞

3− x√1 + x2

h) lımx→∞

(√4x+ x2 − x

)i) lım

x→−∞

2 + x√x2 − 1

j ) lımx→∞

x3 − x1− x2

2. Para cada una de las funciones dadas, determine si existen las asıntotas horizontales y verticales y esboce lagrafica de la funcion.

a) y =3− x2

x2 − 4

b) g (x) =−2x

1− x2

c) y =4

x2 + 2

3. La recta y = mx+ b se llama asıntota oblicua de la grafica de una funcion f si lımx→∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0,

o lımx→−∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0.

Determine la asıntota oblicua de y =x2 − x+ 1

x− 1y elabore su grafica de f

Seccion 3: Lımites trigonometricos

Los lımites que contienen funciones trigonometricas se puede intentar calcularlos usando la continuidad de

estas funciones y las propiedades de lımites y continuidad. Por ejemplo lımx→π

2

sin(x− π

4

)= sin lım

x→π2

(x− π

4

)=

5


sin(π

2− π

4

)= sin

(π4

)=

√2

2.

Se expone a continuacion la demostracion de lımt→0

sin t

t= 1, lımite util para calcular lımites trigonometricos.

Para ello se hace uso del resultado: Si t es la medida en radianes de un angulo central t de una circunferencia de

radio r, entonces el area del sector circular determinada por t, esta dada portr2

2. Se asume que la circunferencia

dada en la figura ?? es de radio 1. Ademas, como t es un angulo en posicion estandar, las coordenadas del puntoC sobre el lado final de t son (cos t, sin t). Ası que de acuerdo con el grafico se tiene:

Figura 3: Demostracion de lımt→0

sin t

t= 1

Area(SectorOAB) ≤ Area(4OAC) ≤ Area(SectorODC)

t cos2 t

2≤ sin t cos t

2≤ t

2Calculo de areas

t cos2 t ≤ sin t cos t ≤ t Dividir entre 2

cos t ≤ sin t

t≤ 1

cos tDividir entre t cos t

Como lımx→0

cos t = 0 y lımx→0

1

cos t= 0, entonces de acuerdo al teorema de intercalacion se afirma que lım

x→0

sin t

t= 1

6


3.1: Ejemplos

1. El resultado que se ha obtenido util para demostrar que lımx→0

cosx− 1

x= 0, pues:

lımx→0

cosx− 1

x= lım

x→0

cosx− 1

x× cosx+ 1

cosx+ 1= lım

x→0

cos2x− 1

x (cosx+ 1)=

lımx→0

(1− sin2x

)− 1

x (cosx+ 1)= lım

x→0

−sin2x

x (cosx+ 1)= lım

x→0

− sinx

cosx+ 1× sinx

x

= lımx→0

− sinx

cosx+ 1lımx→0

sinx

x=

(0

1 + 1

)1 = 0

2. El calculo de lımx→0

sin 2x

sin 5xse realiza con base en el resultado lım

x→0

sin t

t= 1, pues se intenta obtener una expresion

equivalente a la dada que contenga este lımite. Esta accion se desarrolla ası:

lımx→0

sin 2x

sin 5x= lım

x→0

(sin 2x

2x

)2x(

sin 5x

5x

)5x

Expresar 1 como2x

2xy

5x

5x

= lımx→0

(sin 2x

2x

)(

sin 5x

5x

) lımx→0

2x

5xPropiedad de lımites

=

lımx→0

(sin 2x

2x

)lımx→0

(sin 5x

5x

) lımx→0

2


lımx→0

sin 2x

sin 5x=

(1

1

)(2

5

)=

2

5Calculo de lımites

3.2: Ejercicios

Utilizar propiedades de lımtes y de continuidad para calcular los lımites senalados.

1. lımx→2

sin

(x2 − 5x+ 6

2− x

)2. lım

x→π3

ecos(π6−x)

3. lımx→0

sin 3x

5x

4. lımx→π

2

ln(

tan(x− π

4

))5. lım

x→0sec

(1− sinx

x

)

7


6. lımx→0

x+ x cosx

sinx cosx

7. lımx→(π

3 )+

cot(x− π

3

)

8. lımx→0

sin 2x

tan 3x

9. lımx→π

6

csc3x− π

2

x− π6

10. lımx→0

2x3 − sin(x2

)5x

8

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