Calculo 1.Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales.

Hugo E. Zamora C.

Calculo 1. Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales. La idea intuitiva del lmite

Seccion 1: Introduccion

En el mundo fsico, es corriente la situacion de querer conocer el valor de una cantidad que se puede medir peroa la que no se puede acceder por medios directos, por ejemplo mediante los sentidos. Se afirma que la temperaturaen el centro de la tierra es aproximadamente de 6000 grados centgrados. Es claro que no es posible verificaresta afirmacion en forma directa, as que se recurre al conocimiento que permite establecer una relacion entre latemperatura y la distancia a medida que se desciende de la capa exterior de la tierra (Por cada 100 metros quese descienda, la temperatura aumenta en 3 grados). Si se modela esta situacion mediante una funcion donde latemperatura depende de la distancia hacia el centro de la tierra, es posible conjeturar que a medida que hay unacercamiento al centro de la tierra (6500 km.) la temperatura se hace cercana a los 6000 grados. En suma, mientrasque la variable independiente (la distancia) se acerca suficientemente al centro de la tierra, la variable dependiente(la temperatura) se acerca a los 6000 grados.

El razonamiento anteriormente expuesto ayuda a pensar en la idea de lmite, nocion que esta asociada a lasfunciones. A continuacion se propone un estudio de esta nocion desde una vision intuitiva, para posteriormenteplantear un estudio un poco mas formal en cuanto a propiedades y utilizacion de la nocion.

Seccion 2: La idea intuitiva del lmite

Dada una funcion f , se plantea el interrogante: Es posible caracterizar como se comportan las imagenes de fcuando los valores del dominio se acercan suficientemente a un valor real a?En principio se desarrollan dos ideas intuitivas que proceden del estudio de las funciones en sus representacionesgraficas y mediante una tabla de valores.Sea f la funcion cuya grafica se representa en las figuras ?? y ??. Si se usa la figura ?? para estudiar el compor-tamiento de las imagenes de f , cuando x se acerca suficientemente al valor a, se observa que:

Si se hace un acercamiento por la derecha de a, es decir si se toman valores x cercanos a a pero mayores quea, las respectivas imagenes se acercan suficientemente al valor L.

Si se hace un acercamiento por la izquierda de a, es decir si se toman valores x cercanos a a pero menoresque a, las respectivas imagenes se acercan suficientemente al valor L.

En consecuencia, se asegura que a medida que x se acerca suficientemente hacia a, los valores de f(x) se acercanarbitrariamente a L. Este hecho se resume en la afirmacion: El lmite de f(x) cuando x tiende a a es L y senota: lm

xa f(x) = L. Se asevera tambien que el lmite cuando x tiende a a existe y es L.Ahora, si se estudia el comportamiento de f(x) cuando x se acerca hacia b (Figura ??) se aprecia que:

Si se hace un acercamiento por la derecha de b, es decir, si se toman valores x cercanos a b pero mayores queb, las respectivas imagenes se acercan suficientemente al valor M .

Si se hace un acercamiento por la izquierda de b, es decir, si se toman valores x cercanos a b pero menoresque b, las respectivas imagenes se acercan suficientemente al valor L.

Se nota que no es posible caracterizar en forma unica el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a b, as quese afirma que lm

xbf(x) no existe.

Notas importantes

Para determinar la existencia o no del lmxa f(x) no es necesario que exista f(a)

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Calculo 1. Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales. La idea intuitiva del lmite

Figura 1: Lmite de una funcion Figura 2: Lmite de una funcion

Si f(x) se acerca arbitrariamente a L cuando x se acerca suficientemente hacia a, siendo x > a, se afirmaque El lmite de f(x), cuando x tiende a a por la derecha es L y se nota lm

xa+f(x) = L

Si f(x) se acerca arbitrariamente a L cuando x se acerca suficientemente hacia a, siendo x < a, se afirmaque El lmite de f(x), cuando x tiende a a por la izquierda es L y se nota lm

xaf(x) = L.

Afirmacion: lmxa

f(x) = L y lmxa+

f(x) = L si y solo s lmxa f(x) = L

2.1: Ejemplos

1. El calculo de lmites de una funcion con base en su grafica exige datos precisos. En el caso de la funcion dela figura ?? se pueden calcular algunos lmites.

Figura 3: Lmite de una funcion

lmx3

h(x) = 0

lmx0

h(x) = 2

lmx3

h(x) = 4. Observe que h(3) no existe.

lmx6

h(x) no existe, pues lmx6

h(x) = 6 y

lmx6+

h(x) = 8

lmx9

h(x) = 8. Estime f(9). Note la diferencia entre

f(9) y lmx9

h(x)

2. La grafica de una funcion g permite estudiar el lmite de la funcion en situaciones particulares. Se usa lagrafica de la figura ?? para tal efecto.

Con base en la grafica, se aprecia que a medida que x toma valores positivos cada vez mas grandes, lasimagenes se acercan suficientemente al valor L. Este hecho se declara as: El lmite cuando x tiende ainfinito de g(x) es L y se nota lm

x g(x) = L

Mediante un razonamiento similar se afirma que en este caso El lmite cuando x tiende a menosinfinito de g(x) es 0 y se nota lm

x g(x) = 0. Especifique el razonamiento que permite esta afirmacion.

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Calculo 1. Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales. Otra aproximacion intuitiva a la nocion de lmite

Figura 4: Lmites de una funcion

Si se estudia el comportamiento de g(x) cerca de x = b, se observa que si x se acerca suficientementea b, las imagenes de f se hacen arbitrariamente grandes en valor negativo. Se afirma entonces que Ellmite de g(x) cuando x tiende a b es mas infinito y se nota como lm

xbg(x) =.

Finalmente, si se intenta caracterizar el comportamiento de las imagenes de g cuande se hace un acerca-miento hacia a, se advierte que este comportamiento difiere al acercarse hacia a por la derecha y por laizquierda de este valor. Cada uno de los comportamientos especificados se registra as: lm

xag(x) =.

y lmxa+

g(x) = . En consecuencia se afirma que lmxa g(x) no existe.

Seccion 3: Otra aproximacion intuitiva a la nocion de lmite

Si se conoce la expresion algebraica que define una funcion f , es posible intentar el calculo de un lmite de lafuncion, el cual se aparte del enfoque grafico estudiado anteriormente.

Para calcular lmxa f(x) se elabora un tabla de valores donde se consideran numeros reales x cercanos a a y se

calculan sus imagenes, con la expectativa de poder identificar el comportamiento de las imagenes y, por lo tanto,establecer la existencia o no del lmite de acuerdo con las afirmaciones hechas en parrafos anteriores.

3.1: Ejemplos

1. Si f(x) =x2 93 x Con objeto de calcular (si existe) lmx3 f(x) se construye una tabla de valores como la que

se muestra a continuacion.

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 3 3,0001 3,001 3,01 3,1

f(x) 5,9 5,99 5,99 5,999 No existe 6,0001 6,001 6,01 6,1

Se han tomado los valores en forma decimal y aproximada, para tratar de identificar el comportamiento de

3

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las imagenes de f a medida que x se aproxima a 3. Note tambien que 3 no es un elemento del dominio de f .

De acuerdo con los valores de la tabla, intuitivamente se afirma que lmx3+

f(x) = 6 y lmx3

f(x) = 6. As que

se concluye que lmx3

f(x) = 6.

2. Generalmente una tabla de valores como la del ejercicio anterior se construye tomando los valores dadospor una calculadora. Debido a la limitacion de la memoria de una calculadora, no siempre es confiable elcalculo de un lmite en el enfoque mostrado. Consulte acerca de los problemas de precision en las operacionesaritmeticas de una calculadora.

Con el proposito de apreciar las dificultades derivadas del uso de la calculadora para determinar el valor de

un lmite, se muestra la tabla de valores que se elabora para intentar determinar el valor de lmx0

39 + xx

.

Los valores x cercanos a 0 se especifican en notacion cientfica.

x 1 106 1 109 1 1012 0 1 1012 1 109 1 106f(x) 1,666 0 0 No existe 0 0 1,666

La intuicion nos conduce a afirmar que lmx0

39 + xx

= 0. Sin embargo en nuestro estudio posterior

veremos que esta aseveracion no es cierta.

3.2: Ejercicios

1. De acuerdo con el grafico de la funcion g desarrollar los interrogantes.

Figura 5: Lmite de una funcion

Determinar si cada afirmacion es verdadera o falsa. Jus-tificar la respuesta.

lmx2

g(x) no existe.

lmx g(x) = 0.

g(12) < 0Estimar cada uno de los lmites

lmx2+

g(x).

lmx1

g(x).

lmx0

g(x).

2. Elabore la grafica de una funcion f que cumpla las condiciones: lmx f(x) = 1 ; lmx0

f(x) = ; lmx2+

g(x) =; lmx2

g(x) = ; f(1) = 2

3. Elabore la grafica de una funcion h que cumpla las condiciones: lmx3

h(x) =; lmx1

h(x) = 2 ; lmx1

h(x) = 3;

h(1) no existe; h(1) = 4.

4

Calculo 1. Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales. Propiedades de los lmites

4. Construya una tabla de valores para estimar el valor de cada lmite

lmx0

sinx

x

lmx0

[x2 cosx

10,000

]

Seccion 4: Propiedades de los lmites

Se ha estudiado una aproximacion intuitiva a la nocion de lmites, con base en graficas y tablas de valores. Seha concluido la imprecision e inseguridad en el calculo de lmites usando estos enfoques. Se propone el calculo delmtes con base en propiedades, las cuales se exponen de manera informal. Es decir, no se demuestra la validez dela propiedad, solamente se usan las afirmaciones.

Se muestran inicialmente dos propiedades de los lmites. En la figura ?? se aprecia que lmxa f(x) = a, o tambien

lmxax = a. De la misma manera, en la figura ?? se observa que lmxa f(x) = k, o tambien lmxa k = k con k un numeroreal.

Figura 6: Grafica de f(x) = x Figura 7: Grafica de f(x) = k. k constante

Se presenta a continuacion un listado de propiedades basicas de los lmites. Si n es un entero positivo, k es unaconstante, lm

xa f(x) y lmxa g(x) existen, entonces:

1. lmxa

kf(x) = k lmxa

f(x)

2. lmxa

[f(x) + g(x)] = lmxa

f(x) + lmxa

g(x)

3. lmxa

[f(x) g(x)] = lmxa

f(x) lmxa

g(x)

4. lmxa

[f(x)g(x)] = lmxa

f(x) lmxa

g(x)

5. lmxa

f(x)

g(x]=

lmxa

f(x)

lmxa

g(x)con lm

xaf(x) 6= 0

6. lmxa

[f(x)]n =[

lmxa

f(x)]n

7. lmxa

nf(x) = n

lmxa

f(x) con lmxa

f(x) > 0 sin n es par.

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Calculo 1. Lectura No.12. Lmites. Ideas fundamentales. Propiedades de los lmites

4.1: Ejemplos

1. Calcular lmx2

x2 3x + 1 mediante propiedades se realiza as:

lmx2

(x2 3x + 1) = lmx2

x2 lmx2

3x + lmx2

1 =

( lmx2

x)2 3 lmx2

x + lmx2

1 = (2)2 3(2) + 1 = 11

La intuicion nos dice que el calculo de este lmite se puede realizar sustituyendo el valor de x por 2 en el po-linomio x23x+1. Esto es cierto pues si P es un polinomio tal que P (x) = anxn+an1xn1 + . . .+a1x+a0,entonces calcular lm

xcP (x) equivale a lmxc anxn + an 1xn1 + . . . + a1x + a0. Mediante el uso de propieda-

des de lmite se obtiene que lmxc anx

n + an 1xn1 + . . . + a1x + a0 = ancn+an1cn1+. . .+a1c+a0 = P (c).Identifique y esciba cada una de las propiedades utilizadas para hallar este resultado. En suma, si P es unpolinomio, entonces lm

xcP (x) = P (c).

En forma semejante se muestra que si f(x) =P (x)

Q(x), es decir si f es una funcion racional, entonces

lmxc

P (x)

Q(x)=P (c)

Q(c)con Q(c) 6= 0

As que lmx1

(x

1 x2)

=11 1 =

1

2

2. Verificar o refutar que lmx3

x2 93 x = 6 (estimado en forma grafica) equivale a intenta aplicar propiedades

con objeto de calcularlo. Se aprecia la imposibilidad en principio de utilizar dichas propiedades (el lmitede un cociente de funciones), pues en x = 3 el denominador de la funcion se hace 0. Se recurre entonces apropiedades de los numeros reales y sus operaciones, para transformar la expresion que define la funcion, detal manera que se puedan aplicar propiedades de lmites.

lmx3

x2 93 x = lmx3

(x 3)(x + 3)3 x = lmx3

(x 3)(x + 3)1(x 3) =

lmx3(x + 3) = (3 + 3) = 6

Observe que se uso la ley distributiva del producto respecto de la suma, para factorizar x2 9 y 3 x yas lograr simplificar la fraccion, de tal forma que se haga posible la aplicacion de propiedades de lmites.

3. Veamos por que razon la estimacion de lmx0

39 + xx

= 0 es incorrecta. De nuevo, al intentar aplicar

propiedades de lmites (lmite de un cociente) se aprecia la imposibilidad de hacerlo, pues x = 0 convierte eldenominador de la fraccion en 0. Para eliminar este obstaculo se procede as:

lmx0

39 + xx

= lmx0

39 + xx

3 +

9 + x

3 +

9 + x

La fraccion se amplifica por el conjugado del numerador

= lmx0

9 (9 + x)x(3 +

9 + x)

= lmx0

xx(3 +

9 + x)

6

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Se simplifica el numerador de la expresion

= lmx0

1(3 +

9 + x)

=1

3 +

9 + 0=16

4.2: Ejercicios

1. Utilizar propiedades de lmites para calcular cada uno de los lmites dados. De ser necesario escriba argu-mentos que justifiquen su respuesta

a) lm

x1

2

3x2 + 2x 12x + 1

b) lmx1

1 x5 x2 2

c) lmx0

1

2 + x 1

2x

d) lmx4

35 + x28 x

e) lmx0

(x + x)2 x2x

f ) lmx2

f(x) f(2)x 2 si f(x) = 3x

2 2x + 1

g) lmh0

f(x + h) f(x)h

si f(x) =x + 1

h) lmh0

a(x + h)2 ax2h

i) lmx3+

x|5x 15|6 2x

j ) lmx2

(1

x 2 2 + 2x x2x2 2x

)k) Si

f(x) =

x3 8x 2 , si 2 < x < 5,5x2 8x + 4

2x 4 , si -1

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a) lmx0

x2 sin

(12x

). Sugerencia: 1 sin

(12x

) 1

b) lmx0

f(x), si se sabe que |f(x) 2| x2 con x 6= 0

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