Lección 6. Inversa de una...

Leccion 6. Inversa de una matriz

Cuerpo Academico de Algebra Lineal

Universidad Autonoma de Yucatan

Merida, Yucatan, Mexico

Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios

Indice

1 Matriz inversa

2 Propiedades

3 Rango de una matriz

4 Ejercicios

Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



En esta seccion se obtendra un algoritmo para determinar lainversa de una matriz invertible y se analizaran algunaspropiedades basicas de las matrices invertibles.




Matriz invertibleSi A es una matriz cuadrada de orden n y si se puede encontraruna matriz B del mismo tamano tal que

AB = BA = In,

entonces se dice que A es invertible y B se denomina una matrizinversa de A.




Ejemplo

La matriz B =

[3 51 2

]es una inversa de A =

[2 −5−1 3

]ya que

AB =

[2 −5−1 3

] [3 51 2

]=

[1 00 1

]= I2

y

BA =

[3 51 2

] [2 −5−1 3

]=

[1 00 1

]= I2




Ejemplo

La matriz B =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

es una inversa de

A =

1 2 32 5 31 0 8

por que

AB =

1 2 32 5 31 0 8

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3

y

BA =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

1 2 32 5 31 0 8

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3




Observacion1 Existen muchas matrices cuadradas que no son invertibles.

Una matriz cuadrada que no es invertible se denominasingular.

2 Una matriz invertible se denomina no singular.




TeoremaSi una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.

Como una consecuencia de este importante resultado, ahora esposible hablar de “la” inversa de una matriz invertible.

ObservacionSi A es invertible, entonces su inversa se denota por el sımboloA−1. Ası,

AA−1 = A−1A = In




Se desarrollara un metodo para determinar inversas de matricesinvertibles de cualquier tamano; sin embargo, el siguiente teoremaestablece condiciones bajo las cuales una matriz de 2× 2 esinvertible y proporciona una formula sencilla para encontrar lainversa.




TeoremaLa matriz

A =

[a bc d

]es invertible si ad− bc 6= 0, en cuyo caso la inversa esta definidapor la formula

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

]




Ejemplo

Calcula las inversas de las siguientes matrices.

1 A =

[3 15 2

]2 B =

[2 00 3

] 3 C =

[2 −34 4

]4 D =

[1 i−i 3

]

Solucion.Las cuatro matrices son invertibles, ası que:

1 A−1 =

[2 −1−5 3

]2 B−1 =

[ 12 00 1

3

] 3 C−1 =

[ 15

320

− 15

110

]4 D−1 =

[ 32 − i

2i2

12

]




Ejemplo

Calcula las inversas de las siguientes matrices.

1 A =

[3 15 2

]2 B =

[2 00 3

] 3 C =

[2 −34 4

]4 D =

[1 i−i 3

]Solucion.Las cuatro matrices son invertibles, ası que:

1 A−1 =

[2 −1−5 3

]2 B−1 =

[ 12 00 1

3

] 3 C−1 =

[ 15

320

− 15

110

]4 D−1 =

[ 32 − i

2i2

12

]




Ahora, se aplicara el algoritmo de eliminacion de Gauss-Jordanpara determinar la inversa de una matriz invertible.




Sea A una matriz cuadrada de orden n, el siguiente procedimientoproporciona un metodo para encontrar A−1.

Paso 1. La matriz identidad se adjunta a la derecha de A,con lo que se obtiene una matriz de la forma

[A | I] .

Paso 2. Se aplican operaciones elementales en los renglones aesta matriz hasta que la matriz A se reduce a lamatriz identidad I.

Paso 3. El lado derecho se convierte en A−1, de modo que lamatriz final es de la forma

[I | A−1]




Ejemplo

Encontrar la inversa de

A =

1 2 32 5 31 0 8




Primero se escribe A seguido de I en la forma de matriz aumentada

[A | I] =

1 2 3 | 1 0 02 5 3 | 0 1 01 0 8 | 0 0 1

Para reducir a la forma escalonada reducida se aplica el algoritmo deGauss-Jordan1 2 3 | 1 0 0

2 5 3 | 0 1 01 0 8 | 0 0 1

∼R2 → R2 − 2R1R3 → R3 − R1

1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1




1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1

∼R3 → R3 + 2R2

1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 −1 | −5 2 1

∼R3 → (−1)R3

1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1

La ultima matriz esta en forma escalonada. Ahora, se determinara suforma escalonada reducida.




1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1

∼R3 → R3 + 2R2

1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 −1 | −5 2 1

∼

R3 → (−1)R3

1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1

La ultima matriz esta en forma escalonada. Ahora, se determinara suforma escalonada reducida.




1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1

R1 → R1 − 3R3R2 → R2 + 3R3

∼

1 2 0 | −14 6 30 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1

R1 → R1 − 2R2∼

1 0 0 | −40 16 90 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1

= [I|A−1]




Solucion.Por lo tanto,

A−1 =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1




Para verificar que la matriz encontrada en realidad es la inversa deA unicamente se tiene que calcular el producto A−1A

A−1A =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

1 2 32 5 31 0 8

=

1 0 00 1 00 0 1

= I

por lo que la matriz encontrada es la inversa.




ObservacionSi una matriz A de n× n no es invertible, entonces A no se puedereducir a la matriz identidad In por medio de operacioneselementales en los renglones. Es decir, la forma escalonadareducida de A contiene por lo menos un renglon de ceros.




Ejemplo

Sea

A =

1 −3 42 −5 70 −1 1

encuentra A−1, si existe.




Se realizara el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:1 −3 4 | 1 0 02 −5 7 | 0 1 00 −1 1 | 0 0 1

R2 → R2 − 2R1∼

1 −3 4 | 1 0 00 1 −1 | −2 1 00 −1 1 | 0 0 1

∼

R3 → R3 + R2

1 −3 4 | 1 0 00 1 −1 | −2 1 00 0 0 | −2 1 1

Dado que en el lado izquierdo se ha obtenido un renglon de ceros, lamatriz A no puede reducirse a la matriz identidad I3. Por lo tanto, seconcluye que A es no invertible.




TeoremaUna matriz A de n× n es invertible si y solo si la forma escalonadareducida de A es la matriz identidad de n× n.




Teorema1 Una matriz triangular es invertible si y solo si todos sus

elementos diagonales son diferentes de cero.

2 La inversa de una matriz triangular inferior invertible estriangular inferior, y la inversa de una matriz triangularsuperior invertible es triangular superior.




TeoremaSea

D =

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · dn

una matriz diagonal de orden n. D es invertible si y solo si todoslos elementos en su diagonal principal son diferentes de cero y, eneste caso, su inversa es

D−1 =

1/d1 0 · · · 0

0 1/d2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1/dn




Ejemplo

(I) La matriz diagonal A =

1 0 00 −3 00 0 2

es invertible y su

inversa es A−1 =

1 0 00 − 1

3 00 0 1

2

(II) La matriz diagonal A =

4 0 0 00 0 0 00 0 −1 00 0 0 2

no es invertible ya

que un elemento en su diagonal principal es cero.




Indice

1 Matriz inversa

2 Propiedades


4 Ejercicios




TeoremaSi A y B son matrices invertibles del mismo tamano, entonces

1 AB es invertible.

2 (AB)−1 = B−1A−1.

ObservacionUn producto de cualquier numero de matrices invertibles esinvertible, y la inversa del producto es el producto de las inversasen orden invertido.




Ejemplo

Considerar las matrices A =

[1 21 3

], B =

[3 22 2

], AB =

[7 69 8

]Entonces

A−1 =

[3 −2−1 1

]B−1 =

[1 −1−1 3

2

], (AB)−1 =

[4 −3− 9

272

]Tambien

B−1A−1 =

[1 −1−1 3

2

] [3 −2−1 1

]=

[4 −3− 9

272

]Por consiguiente, (AB)−1 = B−1A−1.




Definicion

Si A es una matriz cuadrada y p es un entero positivo, entonces laspotencias enteras no negativas de A se definen como

A0 = I, Ap = AA · · ·A︸︷︷︸p factores

Ademas, si A es invertible, entonces las potencias enterasnegativas de A se definen como

A−p =(

A−1)p

= A−1A−1 · · ·A−1︸︷︷︸p factores




TeoremaSi A es una matriz invertible, entonces

1 A−1 es invertible y(A−1)−1

= A.

2 An es invertible y (An)−1 =(A−1)n

para n = 0, 1, 2, . . .3 Para cualquier escalar α 6= 0, la matriz αA es invertible y

(αA)−1 =1α

A−1.




Ejemplo

Sea A =

[2 04 1

]. Calcula A−3.

Solucion.

A−3 =

18 0

− 72 1




Indice

1 Matriz inversa

2 Propiedades


4 Ejercicios




Definicion

Si una matriz A de m× n tiene una forma escalonada E, se defineel rango de A, denotado por rango(A), como el numero de pivotesde E.




Ejemplo

Encuentra el rango de la matriz

A =

1 −2 0 12 1 5 −30 1 3 5

Solucion.La forma escalonada por renglones de A es

B =

1 −2 0 10 1 1 −10 0 1 3

Como B tiene tres pivotes, entonces el rango de A es 3, es decirrango(A) = 3.




TeoremaSea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz A es invertible siy solo si rango(A) = n.




Indice

1 Matriz inversa

2 Propiedades


4 Ejercicios




Ejercicios VI.1

Encuentra la inversa de la matriz dada si la matriz es invertible, ycomprueba la respuesta.

(I) A =

[2 13 2

](II) B =

[6 −4−3 2

]

(III) C =

1 1 10 1 10 0 1

(IV) D =

1 6 42 4 −1−1 2 5

(V) E =

3 2 10 2 20 0 −1

(VI) F =

2 −1 4−1 0 519 −7 3

(VII) G =

1 −3 0 −23 −12 −2 −6−2 10 2 5−1 6 1 3




Ejercicios VI.2

Encuentra el rango de las siguientes matrices.

1 A =

1 42 21 −4

.

2 B =

2 1 −3 11 1 −1 23 1 −2 3

.

3 C =

1 −1 35 −4 −47 −6 2

.

4 D =

2 0 −14 0 −20 0 0

.



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