Las matemáticas en 100 preguntas - nowtilus.com · Richard Feynman decía que «las matemáticas...

Las matemáticas

en 100 preguntas

Álvaro Sánchez González

100 PE MATEMATICAS.indd 5 18/02/2020 13:11:46

Colección: 100 preguntas esencialeswww.100Preguntas.comwww.nowtilus.com

Título: Las matemáticas en 100 preguntasAutor: © Álvaro Sánchez GonzálezDirector de colección: Luis E. Íñigo Fernández

Copyright de la presente edición: © 2020 Ediciones Nowtilus, S.L. Camino de los Vinateros, 40, local 90, 28030 Madridwww.nowtilus.com

Elaboración de textos: Santos Rodríguez

Diseño de cubierta: NEMO Edición y Comunicación

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47).

ISBN Papel: 978-84-1305-068-3ISBN Impresión bajo demanda: 978-84-1305-069-0ISBN Digital: 978-84-1305-070-6Fecha de publicación: marzo 2020

Impreso en EspañaImprime: ServinformDepósito legal: M-4310-2020


Para Irene y Claudia.Porque juntos, somos teorema.

Si quieres hablar con un español, aprendes español.Si quieres divertirte con un francés, aprendes francés.

Si quieres comulgar con la naturaleza, aprendes matemáticas.

Neil deGrasse Tyson (Astrofísico)


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Índice

Prólogo .................................................................................. 17

I. Sistemas de numeración

1. ¿Cuándo surgieron las matemáticas? ......................... 21

2. ¿Es la acción de contar

inherente y exclusiva del ser humano? ..................... 24

3. ¿Qué diferencia hay entre las cifras y los números? ... 27

4. ¿Es un error escribir IIII en lugar de IV

en el sistema de numeración romano? .................... 29

5. ¿Hay alguna razón para que

los huevos vengan en docenas? ................................. 33

6. ¿Cómo se lee la cantidad

más grande que podemos imaginar? ......................... 36

7. ¿Supuso la representación de la nada,

a través del 0, una verdadera revolución? ................... 39

II. Aritmética y teoría de números

8. ¿Fue psicológica la razón por la que

no se aceptaron los números negativos

hasta el siglo xviii? .................................................... 43


10

9. ¿De dónde viene la expresión

«estar en números rojos»? ..................................... 46

10. ¿Sabías que los números irracionales

fueron la principal causa

de desaparición de los pitagóricos? ......................... 49

11. ¿Existe alguna manera

de conocer todos los números primos? .................. 52

12. ¿Cómo surgen los números complejos? ..................... 55

13. ¿Hay ampliaciones útiles

más allá de los números complejos? ............................ 57

14. ¿Es la identidad de Euler

la fórmula más hermosa de las matemáticas? .............. 60

15. ¿Podría conocer Fermat la demostración

que, según él mismo, no entraba

en el margen de un libro? ........................................ 63

16. ¿Qué tiene de especial un coche

cuya matrícula lleve el número 1729? ...................... 67

17. ¿1+1 es siempre igual a 2? ........................................ 71

III. Álgebra

18. ¿Cómo se escribían las matemáticas

antes de que existieran

los símbolos aritméticos y algebraicos? .................... 75

19. ¿Sabías que el álgebra se llamó

así a raíz de un libro árabe del siglo vii? ................... 78

20. ¿Conoces la afrenta que se esconde tras

la fórmula de resolución de la ecuación cúbica? ...... 81

21. ¿Hay una fórmula para resolver

las ecuaciones de cualquier grado? ........................... 84

22. ¿Tenía fundamento la ley, propuesta en

el estado de Indiana, que establecía que π=3,2? ...... 89

23. ¿El orden de los factores nunca altera el producto? ... 93

24. ¿Es útil la resolución

de sistemas de ecuaciones lineales? .......................... 96


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IV. Análisis

25. ¿Hay huecos entre los números de la recta real? ...... 101

26. ¿Es posible que un niño de siete años

calcule en segundos la suma

de todos los números del 1 al 100? ........................ 105

27. ¿Cuántos dobleces son necesarios

en un papel para llegar a la luna? ......................... 108

28. ¿Es la recta siempre

el camino más corto entre dos puntos? .................. 110

29. ¿Sabías que hasta los matemáticos

más ilustres se han enfadado entre ellos? ................. 113

30. ¿Derivar e integrar una función

es solo calcular tangentes y áreas? ........................... 116

31 ¿Cómo se propaga el calor

en una plancha metálica? ................................... 119

32. ¿Puedo hacer pasar un sofá

por la esquina del pasillo de mi casa? ..................... 121

33. ¿Fue la fundación de Cartago

el origen del problema isoperimétrico? ................. 124

34. ¿Puede ser puntual un reloj que está parado? .......... 127

V. Geometría y topología

35. ¿A qué nos referimos cuando decimos que

alguien ha conseguido la cuadratura del círculo? ..... 131

36. ¿Cómo se podría asegurar que la Tierra

no es plana o medir las distancia a una estrella? ....... 136

37. ¿Descubrió Pitágoras

el archiconocido teorema que lleva su nombre? ..... 138

38. ¿Los ángulos de cualquier triángulo

suman siempre 180º? ............................................ 141

39. ¿Son perfectos los mapas terrestres

obtenidos desde los satélites? ................................ 144

40. ¿Cómo de redondo es un balón de fútbol? ........... 148

41. ¿Por qué las abejas elaboran

sus panales a partir de hexágonos? ........................... 152


12

42. ¿Cuál es la mejor manera

de colocar las naranjas dentro de una caja? .............. 155

43. ¿Qué tienen en común

un paquete de espaguetis y las pompas de jabón? .... 158

44. ¿Por qué nunca consigo

peinarme bien el remolino de la cabeza? ................. 161

45. ¿Podría un alfarero fabricar una taza

a partir de una masa de barro

sin perforarla ni romperla en partes? .......................... 164

46. ¿El número cuatro se escribe 4 o 4? ......................... 167

47. ¿Tienen los copos de nieve, el romanescu

o nuestro propio sistema sanguíneo

una estructura común? ............................................ 169

48. ¿Sabías que el símbolo internacional

del reciclaje es una banda de Möbius? ..................... 173

VI. Probabilidad y estadística

49. ¿Son matemáticos los estadísticos? ......................... 177

50. ¿Debo comprar lotería con varias

terminaciones o es mejor que sean todas iguales? ... 180

51. ¿Ganaré dinero en un casino

doblando mi apuesta en cada jugada? ........................ 182

52. ¿Cuál es la forma más justa

de repartir la apuesta de un juego

que queda interrumpido? ........................................ 185

53. ¿Está mal hecha una encuesta

que falla en sus predicciones? .................................... 188

54. ¿Hay un método justo de realizar

un reparto de escaños tras unas elecciones? ............. 191

55. ¿Es normal un suceso normal? ................................ 193

56. ¿Cúal es el parámetro

más representativo de una población? ...................... 196


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VII. Matemática discreta y combinatoria

57. ¿Cómo podemos enviar mensajes para que

no los pueda leer un espía aunque los intercepte? ...... 199

58. ¿Debo estar tranquilo

con mi cuenta bancaria o pueden robarme? ........... 203

59. ¿Es posible sentarme a la mesa con mi familia...

y evitar que mi cuñado se siente junto a mí? .......... 206

60. ¿Puedo recorrer todos los tramos del metro

de Madrid sin pasar dos veces por la misma vía? ..... 211

61. ¿Sabías que cualquier mapa

puede colorearse con solo cuatro colores? .............. 215

62. Pantalones, camisetas, zapatos...,

¿qué meto en mi maleta? ............................................ 218

VIII. Aplicaciones

63. ¿Mide un metro exactamente un metro? ................ 223

64. ¿Se mantiene el precio de un producto

si incrementan su coste y después

le aplican una rebaja equivalente? ............................ 227

65. ¿Es mala suerte que siempre

me toque la cola más lenta del supermercado? ........ 230

66. ¿Se pueden predecir con exactitud

los fenómenos metereológicos? ............................... 233

67. ¿Cómo surgió el primer ordenador? ....................... 236

68. ¿Sociología, psicología

o economía... sin matemáticas? ................................ 239

69. ¿Cómo ayudan las matemáticas

a las ciencias naturales e ingenierías? ...................... 242

70. ¿También hay matemáticas

en música, pintura o literatura? .............................. 244

IX. Lógica y teoría de conjuntos

71. ¿Hay la mitad de números pares

que de números naturales? ................................... 249

72. ¿Pueden un millón de monos redactar El Quijote

tecleando al azar en una máquina de escribir? ........ 253


14

73. ¿Es falsa la respuesta a esta pregunta? ....................... 256

74. ¿Tendré pizza para siempre

si solo tomo la mitad de lo que va sobrando? ......... 259

75. ¿Cómo se sabe que un problema

está bien resuelto si no lo ha hecho nadie antes? ..... 262

76. ¿Puden ser útiles

unas cuantas palomas para demostrar algo? ............ 264

X. Matemática recreativa

77. ¿Existen estrategias

para ganar siempre en un juego? .............................. 269

78. ¿Es difícil hacer el cubo de Rubik? ........................ 272

79. ¿Soy un genio por resolver sudokus nivel experto? ... 275

80. ¿En qué día de la semana naciste? ........................... 278

81. ¿Tiene la papiroflexia una base matemática? ........... 280

82. ¿Depende todo del punto de vista? ........................... 282

83. ¿ADN: la vida en un alambre matemático? ............. 286

XI. Mitos y controversias

84. ¿Hay un significado oculto

tras la palabra matemáticas? .................................... 289

85. ¿Están locos los matemáticos? ............................... 291

86. ¿Ha sido denostada la figura

de la mujer también en las matemáticas? ............... 294

87. ¿Tenía Alfred Nobel

algo en contra de los matemáticos? ......................... 296

88. ¿Son la filosofía y las matemáticas

dos caras de un mismo objeto? ............................. 301

89. ¿Se puede demostrar la existencia

de Dios mediante argumentos matemáticos? .......... 304

90. ¿Las matemáticas se descubren

o son solo un invento? .............................................. 307

XII. Matemáticas y sociedad

91. ¿De que viven los matemáticos? .............................. 311

92. ¿Importa el género o la raza

de una persona a la hora de hacer matemáticas? ...... 313


15

93. ¿Quieres ganar 1 millón de dólares

resolviendo un problema de matemáticas? .............. 315

94. ¿Tiene algún fundamento la numerología? ............. 318

95. ¿Es la astrología lo mismo que la astronomía? ......... 320

96. ¿De dónde proceden

los planes de estudio en matemáticas? ..................... 324

97. ¿Por qué tenemos que estudiar matemáticas

y cómo debemos hacerlo? ...................................... 327

98. ¿Me enseñaron en la escuela

todas las matemáticas o aún hay más? .......................... 329

99. ¿Hay belleza en las matemáticas?.............................. 332

100. ¿Sirven realmente para algo las matemáticas? ........... 335

Bibliografía recomendada ................................................... 339

Bibliografía consultada ....................................................... 343


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PRÓLOGO

Las matemáticas aparecen para resolver problemas de la vida cotidiana. Si preguntamos a una persona cualquiera qué es lo que estudian las matemáticas nos dirá que los números. Todavía mucha gente identifica matemáticas y cálculo, pero esta es una concepción incompleta. Desde muy antiguo las matemáticas han estudiado la geometría y, poco a poco, se han ido incorpo-rando otros elementos: desde la teoría de probabilidad hasta la compleja teoría que permite formular las ecuaciones de la física relativista. En el fondo, lo que siempre ha motivado el avance en matemáticas ha sido responder preguntas, en ocasiones, preguntas que afectaban directamente a las personas y a veces preguntas que se derivaban de los hechos que observaban y los conocimientos que iban adquiriendo, puesto que uno de los aspectos que apare-cen de modo común en todas las ramas de las matemáticas es la generalización. Al matemático no le basta con quedarse con la de-mostración o descripción de un hecho concreto, sino que intentará llevar al límite las condiciones para que ese hecho siga produ-ciéndose. También, en ocasiones, los avances de las matemáticas se han producido simplemente por el mero hecho intelectual de desarrollar una teoría y ver a dónde se puede llegar con ella y , sorprendentemente, siglos después esa teoría ha dado sus frutos. Quizás el ejemplo más significativo de este hecho es el desarro-llo por parte de George Boole de un álgebra sin el que no se


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Prólogo

habrían podido desarrollar los circuitos electrónicos como se hizo y, consecuentemente, ahora mismo no estaría escribiendo este texto desde un ordenador (o quizás sí, pero construido de un modo diferente a partir de una idea diferente). No en vano Richard Feynman decía que «las matemáticas son el lenguaje en el que habla la naturaleza». No deja de ser sorprendente que con matemáticas seamos capaces de describir tantos fenómenos distintos y que se adapten bien a nuestro modo de ver la vida.

Las matemáticas formulan preguntas y, en cierto modo, las matemáticas también tienen relación con la filosofía. Hoy el ac-ceso al conocimiento se ha generalizado, pero siglos atrás el conocimiento estaba monopolizado por personas que actuaban, dentro de sus posibilidades, al mismo tiempo como filósofos y como científicos. La física se entendía como filosofía natural y lo que pretendía era explicar el mundo. La matemática se encarga-ba de proporcionar ese lenguaje y esa formación. Por eso vemos que los primeros textos de matemáticas estaban escritos por filósofos: por quienes se hacen preguntas sobre el mundo exte-rior. A veces las preguntas de estos filósofos se resolvían de una forma que hoy consideraríamos errónea, pero que ha servido para dar pasos en el avance del conocimiento. Por ejemplo, nos encontramos con la paradoja de la imposibilidad de movimiento descrita por Zenón de Elea y hoy somos capaces de afirmar que lo que afirma no es correcto, puesto que vemos que cuando se lanza una flecha esta se mueve. El estudio de esa paradoja sentó las bases para que muchos siglos después se pudiera estudiar el movimiento e incluso formular las ecuaciones que lo describen. Por este hecho no debemos pensar que Zenón era un mal ma-temático, sino que tenemos que pensar el contexto en el que estaba. Además de este resultado que hoy no vemos como válido nos dejó un precioso modo de razonamiento que seguimos uti-lizando hoy: la prueba «por reducción al absurdo».

Las matemáticas las encontramos por todas partes. Y las mate-máticas nos encuentran a nosotros, incluso se dice que gracias a las matemáticas las empresas tecnológicas saben más de nosotros y nuestros gustos que nosotros mismos. Por esa razón recibimos anuncios personalizados cuando navegamos por internet y un comercio conoce qué productos son los que más va a vender incluso antes de implantarse en una determinada zona, puesto que aplica el conocimiento de las ventas de un comercio en una zona similar. Sabemos que es así y los matemáticos a veces nos


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sentimos un poco culpables de haber influido en la disminución de la privacidad de los conciudadanos, pero también nos apro-vechamos de la ciencia de datos y de los artilugios del siglo xxi basados en matemáticas. Las matemáticas ayudan a que otros puedan obtener nuestros datos, pero también a proteger lo que queremos proteger gracias a la criptografía. Y ahí aparece otro ejemplo donde partes de la matemática que se consideraban solo con interés teórico han encontrado su aplicación: los sistemas de claves y de codificación de la información se basan en ma-temáticas. Y podemos estar razonablemente tranquilos cuando nuestros secretos viajan por la red.

Incluso cuando queremos dejar de formularnos preguntas y relajarnos también encontramos matemáticas: en el cine de animación. Las películas de dibujos animados hoy día se hacen fundamentalmente por ordenador, pero utilizando matemáticas. Por un lado, el movimiento de los personajes se puede descri-bir en términos de grafos y nodos y los giros (cabeza, piernas al moverse, saltos…) en términos de cuaterniones (una de las extensiones de los números complejos) o matrices. Por cierto, cuando Rowan Hamilton ideó los cuaterniones no tenía ni idea de para lo que se iban a aplicar siglos más tarde. Muchos de los efectos especiales en el cine se hacen también por postproduc-ción digital e, incluso, la proyección ahora es digital. Eso quie-re decir que el proyector interpreta los 0 y 1 en los que se ha convertido la película, descodifica esa secuencia y nos ofrece las imágenes. Cuando hacemos una fotografía y queremos aplicar un filtro en realidad estamos aplicando una función matemática. Los colores en una pantalla se definen como RGB: mezcla de rojo, verde y azul y ahí podemos identificar un color por tres números, que nos indican la intensaidad de cada uno de esos tres colores básicos (o también por un único número, expresado en sistema hexadecimal, esto es, en base 16). Aunque no seamos conscientes, las matemáticas están ahí.

Las matemáticas están en todas partes. Ese es el lema que se ha elegido para celebrar en todo el mundo en 2020 el Día Internacional de las Matemáticas. La UNESCO ha elegido el 14 de marzo (3,14 con notación anglosajona) por recordar un nú-mero que todo el mundo identifica con las matemáticas: Pi. Este libro muestra muchas situaciones donde aparecen las matemáti-cas a través de cien preguntas muy bien formuladas, sin olvidar el contexto histórico en el que aparecieron esos conceptos e


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Prólogo

ideas. El libro va a ver la luz en un día muy próximo a la primera celebración mundial del Día Internacional de las Matemáticas. Este hecho no ha sido deliberado sino fruto del azar, cuyo es-tudio también forma parte de las matemáticas y también, como no podía ser de otra manera, se trata en este libro. Ahora ya solo queda que el lector lo disfrute.

Madrid, 28 de enero de 2020

Fernando Blasco

Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid

Presidente de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española


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ISISTEMAS DE NUMERACIÓN

1¿CUÁNDO SURGIERON LAS MATEMÁTICAS?

Si tú, lector, has decidido leer este apartado, quizá sea porque ya has leído otros anteriormente y te has preguntado cuál fue el detonante que hizo germinar esta prolífica disciplina. O quizá has comenzado por esta cuestión sencillamente porque está situada la primera de entre todas las que conforman este libro. En cualquier caso, tu inquietud te ha llevado a buscar respuesta a una pregunta que ni siquiera los historiadores de las matemáticas son capaces de responder con precisión. No por ello, sin embargo, debes resultar decepcionado: la explicación de tan difuso origen se encuentra precisamente en la distancia temporal que nos separa de esos co-mienzos y, como consecuencia de los avatares históricos, la falta de fuentes de información hace que no se pueda establecer un origen nítido de esta ciencia.

Pero si aun con estos condicionantes nos viéramos forzados a marcar un punto de un eje cronológico que establezca el surgi-miento de las matemáticas, podríamos situar este en los inicios de la civilización griega. Hasta ese momento, los humanos prehistó-ricos se habían preocupado de desarrollar unos pocos métodos


22

Sistemas de numeración

rudimentarios (aunque cada vez más sofisticados) para el conteo de cantidades y, posteriormente, las primeras civilizaciones mesopotá-micas desarrollaron reglas aritméticas y algorítmicas que conforma-ron un cierto saber prematemático, pero que aún no encajaba con los ideales de lógica, rigor y precisión que, desde una perspectiva moderna, reúnen las matemáticas para ser llamadas como tal. Los resultados obtenidos por mesopotámicos y egipcios fueron de eminente carácter práctico, principalmente a partir de problemas aritméticos relacionados con la economía y los repartos de terrenos.

Fragmento del papiro de Ahmes, también conocido como papiro de Rhind, uno de los documentos más antiguos del que se tiene constancia

con contenido matemático

Los documentos más antiguos que se conservan son los co-nocidos como papiro de Rhind y papiro de Moscú. En ellos se encuentra una variada colección de problemas que abordan lo que hoy son cuestiones de aritmética y geometría elementales. Las soluciones que se dan a los problemas propuestos son prin-cipalmente recetas de tipo práctico y exclusivamente dedicadas al problema particular que resuelven, pero no hay testimonios que evidencien un interés por resolver problemas de carácter genérico. Además, muchos de los cálculos allí realizados envuelven números irracionales como √2 o π de los que sin ningún rubor se tomaban burdas aproximaciones y que de hecho difieren según el docu-mento que se consulte o el problema que se resuelve. De estos textos se deduce que hay dos rasgos esenciales que distinguen la matemática creada por los griegos del saber protomatemático ya presente en civilizaciones anteriores: la primera de ellas el abordaje


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3¿QUÉ DIFERENCIA HAY ENTRE LAS CIFRAS Y LOS

NÚMEROS?

La confusión del término cifra con el término número es generaliza-da. Siendo precisos, una cifra es el símbolo utilizado en los sistemas de numeración para construir los números como entes que deno-tan una cantidad, de manera que el número es el concepto abstrac-to en cuestión. En el caso de nuestro actual sistema de numeración, por ejemplo, las cifras son los símbolos de 0 a 9. Es evidente que ni la forma de representación de las cifras ni el sistema de numeración han permanecido inmutables en el tiempo, sino que las diferentes civilizaciones han ido desarrollando sistemas de numeración cada vez más complejos conforme iban solventando las dificultades pro-pias de otros sistemas más rudimentarios.

Alrededor del 4000 a. C., los sumerios tuvieron la genial idea de sustituir guijarros de conteo por pequeñas piezas fabricadas ad hoc para que sirvieran a tal fin: conos, bolas o discos de arcilla de di-ferentes tamaños representaban las unidades de cierto conjunto de objetos, de tal forma que cuando se habían agrupado diez conos se retiraban y se contaba una bola, cada diez bolas se retiraban y se contaba un disco, etc. Después de contar por ejemplo las cabezas de ganado que formaban parte de un contrato, se estampaban en una tabla de arcilla tantos símbolos de conos o discos como fueran necesarios para representar el número. ¡Son las primeras cifras de la historia!

Cifras babilónicas en

una copia de la tablilla Plimpton

322, datada alrededor de

1800 a. C.


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la primera agrupación de cinco), pero posteriormente se optó por IX (falta una unidad para completar la primera agrupación de diez). Y lo mismo es aplicable para el número cuatro, que se expresaría como IIII en un modelo arcaico pero también IV en la notación contraída. Por desgracia para los romanos, IV coinci-de con las iniciales en latín de Júpiter (Ivpiter, la máxima deidad romana) y la superstición hizo que se evitara esta escritura para no enfurecer al dios.

Convivimos con relojes que muestran el número cuatro en romano tanto en la forma arcaica IIII como mediante IV, y parece que todo tiene su

origen en una superstición

Hay que reseñar que existen rasgos culturales cuyo origen está en los primeros métodos de conteo. En particular, las lenguas de origen latino han heredado de la utilización de los guijarros amontonados el vocablo calculi, que da lugar a la palabra castella-na cálculo, refiriéndose tanto a su significado original de piedra pequeña como a su significado adquirido de la matemática en el sentido de realizar agrupaciones de cantidades para calcular. En lugar de montones de piedrecitas, los griegos utilizaban también pequeñas piezas de bronce denominadas psephoi con las que realizaban votaciones o podían conocer el número de bajas en una batalla si, por ejemplo, los soldados que dejaban una pequeña pieza al marchar la recogían al volver. La utilización babilónica y egipcia de piezas de barro para el conteo dio lugar a los marca-dores de bolas en los que estas se disponían ensartadas en varias varillas metálicas y al alcanzar en el conteo una cantidad prefijada (por ejemplo, diez) se retiraban todas las bolas y se ponía una en la varilla siguiente. Surgieron así los ábacos, que evolucionaron de diferentes formas según cada cultura pero que sin duda fueron las primeras máquinas de calcular.


34

Sistemas de numeración

embargo, estas bases desaparecieron debido a su dificultad operativa y su utilidad se restringió únicamente a la comparación de canti-dades.

Lo que no es tan difícil de imaginar es que si tenemos una mano ocupada escribiendo números entonces solo nos quedan cinco dedos en una mano para llevar cuentas, lo que podría ser una posible explicación (aunque solo eso, una conjetura) de la elec-ción de la base cinco para realizar las agrupaciones de los sistemas etrusco y romano. El hecho de que el ser humano solo reconozca agrupaciones de cuatro o cinco elementos de un vistazo puede que también motive las agrupaciones quinarias en las que la quinta barra cruza las cuatro anteriores y que aún hoy día utilizamos para, por ejemplo, llevar un borrador del recuento de una votación.

Con algo de ingenio y el uso de las falanges se puede llegar bastante lejos aun utilizando únicamente una de las manos. Si se utiliza el dedo pulgar para señalizar las tres falanges de cada uno de los dedos restantes, obtenemos un posible origen para la base 12. Hay evidencias de la utilización de esta base que han llegado hasta nosotros, y el ejemplo más claro lo encontramos en la forma de empaquetar huevos que tradicionalmente sigue haciéndose por docenas. En otros ámbitos más allá de la alimentación, como en ferretería o bisutería, se sigue conservando la denominación de gruesa para referirse a ciento cuarenta y cuatro unidades, que constituyen doce docenas. Quizá sea en el mundo anglosajón en el que más ha perdurado el sistema duodecimal, dado que en la escala de unidades de longitud la pulgada (equivalente a 2,54 cm) y el pie (equivalente a 30,48 cm) cumplen que en un pie hay doce pulgadas.

Utilizando el pulgar para señalar las falanges de su misma mano, pueden contarse hasta doce unidades. Si llevamos el conteo con los otros cinco dedos, entonces podremos llegar hasta 12 · 5 = 60, siendo este un posible origen de la base sexagesimal.


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Reloj de sol con gnomon, instrumento utilizado por diversas civilizaciones para realizar cálculos astronómicos

circulares del cielo’). Este manuscrito parece ser una compilación de varios autores orientales a lo largo del primer milenio antes de la era cristiana, en el que se tratan cuestiones astronómicas. De he-cho, en el propio título se avanza la utilización del gnomon como instrumento de medida para el paso del tiempo y la trayectoria de los cuerpos celestes.

A lo largo del libro de los Nueve capítulos se realiza por pri-mera vez un tratamiento riguroso de la aritmética de números negativos. Hay que tener en cuenta que la matemática occidental no aceptaría el uso de los números negativos hasta bien entrado el siglo xviii, con lo que la matemática china se adelantó a estos avances en casi dos milenios. En el Chui-chang suan-shu se utiliza un método de escritura numeral basado en varillas y combinado con una rudimentaria notación posicional. Las varillas relativas a cantidades positivas se escribían con tinta roja, mientras que los números negativos se escribían con tinta negra. El porqué del uso de estos colores forma parte de la pura especulación, pero segura-mente fuera debido a que eran las pigmentaciones más sencillas de conseguir en la época.


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Y aunque había aspectos de la matemática china que, como hemos visto, superaron los avances occidentales de su tiempo, la cultura china se caracterizó por un desarrollo tecnológico más avanzado que el matemático. Es así que en el siglo xiv se instala un claro declive de la matemática oriental y de hecho no vuelven a encontrarse matemáticos chinos relevantes hasta la universalización de la ciencia durante el siglo xx.

10¿SABÍAS QUE LOS NÚMEROS IRRACIONALES FUERON

LA PRINCIPAL CAUSA DE DESAPARICIÓN DE LOS PITAGÓRICOS?

Es posible que Pitágoras sea, de largo, el matemático más co-nocido en nuestra sociedad actual, pues el teorema que lleva su nombre es de los pocos resultados relevantes que se asocian explícitamente a un autor a lo largo de la etapa académica. Y, sin embargo, resulta que el enunciado en cuestión no fue

Triángulo aritmético, de Pascal o de Tartaglia, en

caracteres chinos


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Desde que Fermat conjeturó este resultado, los más importantes matemáticos se han interesado por él y han intentado dar con una demostración. Al principio los avances fueron lentos: para n = 3 la demostración se atribuye a Euler alrededor de 1770, el caso n = 4 al propio Fermat sobre 1640 y n = 5 a Legendre y Dirichlet en 1825. Y por Legendre sabemos que Sophie Germain hizo avan-ces más generales para primos menores que 100. De todas formas estaba claro que, aunque exitosas, las demostraciones de casos particulares uno a uno no podían ser el camino adecuado.

Por suerte, el caso n = 4 había dejado la puerta abierta a una gran reducción, pues ya solo era necesario probar el teorema para exponentes primos: dado que se sabe que el resultado es cierto para la cuarta potencia, también será cierto para exponentes múltiplos de 4 ya que si x4m + y4m = z4m tuviera alguna solución entera no trivial, también lo tendría (xm)4 + (ym)4 = (zm)4 en contra de lo probado por Fermat. Así, cualquier exponente n que no sea un múltiplo de 4 no es una potencia de 2 y al menos contienen un divisor primo p ≠ 2, por lo que basta con probar que no hay soluciones enteras a xp + yp = zp para cualquier p primo impar. Y en 1847 Kummer

Página de una edición de la Aritmética de Diofanto

que incluye las anotaciones de Fermat. En la cuestión

VIII se plantea que un cubo no se puede descomponer

como suma de dos cubos, una potencia cuarta tampoco es

suma de potencias cuartas y así sucesivamente. Este enunciado

se conoce ahora como el Último Teorema de Fermat

y generó 400 años de nuevas matemáticas.


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Aunque la inmensa mayoría de los fenómenos no son de na-turaleza lineal, la linealización de procesos más complejos supo-ne una simplificación en los tratamientos de los problemas que en ocasiones llevan a resolver los propios problemas no lineales de partida o, al menos, a vislumbrar soluciones. Para comprender la forma de proceder de este enfoque, piense el lector en nues-tro espacio tridimensional que realmente se desarrolla sobre un planeta esférico (no lineal) pero cuya comprensión pasa por una percepción del espacio tangente a la esfera, que no es más que un espacio bidimensional cercano a cada punto de la superficie terrestre (lineal).

El espacio tangente a una superficie es una variedad lineal y el estudio de los fenómenos de naturaleza lineal resulta clave ya que la comprensión del plano y su comportamiento bajo transformaciones permite sacar

conclusiones sobre un entorno cercano al punto de tangencia


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26¿ES POSIBLE QUE UN NIÑO DE SIETE AÑOS CALCULE

EN SEGUNDOS LA SUMA DE TODOS LOS NÚMEROS DEL 1 AL 100?

A finales del siglo xviii, en la escuela local de Brunswick, Alemania, un humilde profesor le pidió a su alumno Carl Friedrich que realizara la suma de todos los números del 1 al 100. El crío, en apenas unos segundos, respondió correctamente que 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050. El razonamiento, sencillo: si se realizan las sumas emparejando los números desde los extremos, siempre obtenemos 101. Puesto que hay 50 parejas de números, el re-sultado será 101 · 50 = 5050. El alumno en cuestión era el que pasaría a la posteridad con el título honorífico de Príncipe de las Matemáticas, el mejor matemático de todos los tiempos, Carl Friedrich Gauss.

C. F. Gauss, el Príncipe de las Matemáticas, demostró desde muy

pronto su talento. Y a lo largo de su vida obtuvo resultados relevantes en

prácticamente cualquier área de la disciplina y sus aplicaciones.

El truco utilizado por el infante Gauss está en la base de lo que se conoce como progresiones aritméticas, una sucesión de núme-ros (a

1, a

2, ... , a

n, ...) tal que la diferencia entre dos términos consecu-

tivos cualesquiera es constante, digamos d = ak+1

− ak para cualquier

k. En el caso de los 100 primeros números enteros, tenemos la progresión aritmética de diferencia d = 1 con término inicial a

1 = 1.


123


Siguiendo la idea descrita anteriormente, Gerver obtuvo en 1992 la que hasta ahora es la figura conocida de sofá de mayor área que salva una esquina. Esta solución, cuya forma recuerda a la de Hammersley, es una curva a trozos que encadena dieciocho partes diferentes y tiene un área de 2,2195 u2. Cabría esperar que esta cota se pudiera seguir mejorando en un futuro, aunque leves mo-dificaciones en los bordes de la figura solo darían unos pequeños incrementos en el área total. Sin embargo, y aunque el problema permanece abierto, la contrucción de Gerver realizada a través de curvas que son solución de cierto sistema de ecuaciones para mejorar los ángulos de giro del sofá tiene fundamentos para ser el óptimo buscado.

Propuestas de Gerver y Romik, candidatos a ser solución del problema del sofá para uno y dos recodos respectivamente. Obsérvese que las

ecuaciones que definen el problema dan lugar a soluciones con multitud de segmentos curvos.

Como de costumbre en el mundo matemático, este problema tiene varias generalizaciones. La primera de ellas es al caso tridi-mensional, en el que se considera no el área de una región plana sino el volumen de un objeto que deba pasar por un pasillo. Sin embargo, este problema carece de demasiado interés dado que su solución será el de la figura cilíndrica generada con la base obte-nida del problema de dos soluciones. De mayor interés podría ser el problema enunciado con doble ángulo, uno para girar en un pasillo y el otro para pasar, por ejemplo, por una puerta de casa o un ascensor. Hasta que los enunciados de estas generalizaciones se


Análisis

126

Representación de un grafo fractal que rellena el plano cuando se considera una iteración hasta el límite. Los objetos construidos

secuencialmente a partir de dimensión uno, como las curvas de tipo Peano-Hilbert, pueden resultar en límites de diferente dimensión.

Las curvas que se obtienen como límite de la iteración de una sucesión de curvas suelen ser ejemplos de la no continuidad de la función longitud. La longitud de cualquier curva se puede definir como la distancia de la poligonal que mejor aproxima a la curva (es decir, un supremo que no siempre tiene por qué ser alcanzado en un máximo) y se llama curva no rectificable a aquellas cuya longitud es infinita. Otro ejemplo de curva fractal no rectificable es la curva copo de nieve de Koch que comienza a partir de un triángulo equilátero y al que en cada paso de la sucesión se le agrega un nuevo vértice en cada uno de sus lados. Supongamos que la longitud inicial de cada lado es 1, y por tanto la figura tiene perímetro de 3 unidades, en cada paso se elimina el seg-mento central de cada lado, tres en total, y se sustituye por dos

espacio unidimensional (el intervalo). Con la aparición de la teoría de funciones, se pudo demostrar la existencia de aplicaciones continuas (pero no diferenciables y por tanto no representables) que rellenaban el plano y en la última década del siglo xix el matemático italiano G. Peano halló una forma de construir familias de curvas, de tal manera que su límite rellenaba el plano.


127


nuevos de igual longitud en cada lado, con lo que el cómputo glo-bal es de añadir seis nuevos segmentos, esto es, hemos aumentado la longitud de la figura en 1 y por tanto ahora es de 4 unidades. Si se analiza cada una de las iteraciones, vemos que el proceso de eliminar en cada paso los segmentos centrales y sustituirlos por dos nuevos en forma de vértice hacen que la relación entre la longitud de una iteración y la siguiente sea siempre de 4/3. Es decir, que la relación de la n-ésima iteración con respecto al primer triángulo es (4/3)n, que es una sucesión divergente cuando n tiende a infinito y por tanto la longitud de la figura límite no es finita.

La conmoción generada por el hallazgo de estas curvas dio paso rápidamente a desarrollar diferentes teorías de la dimensión, en las que se deja atrás la concepción intuitiva de punto para dimensión cero, línea para dimensión uno, etcétera, y se axiomatiza la defini-ción. Destacan rápidamente las definiciones de la dimensión topo-lógica a través de las diferentes formas de recubrir un espacio y la dimensión geométrica del espacio euclídeo. Y a mitad de camino entre ellas, surgen en el siglo xx multitud de definiciones para los objetos fractales, que tienen una dimensión no entera, pero que resulta situarse siempre entre estas dos.

34¿PUEDE SER PUNTUAL UN RELOJ QUE ESTÁ PARADO?

Es indudable que un reloj de agujas que está parado, digamos, a la 1 en punto, al menos da la hora correctamente dos veces al día: el momento en el que es la 01:00 de la madrugada y el momen-to en el que son las 13:00 de la tarde. Mientras que un reloj que

Seis iteraciones del copo de nieve de Koch. La longitud del borde aumenta en cada iteración en la proporción 4:3 y por tanto en el límite tiene

longitud infinita, pese a que encierra un área evidentemente finita. La dimensión de Hausdorff del borde es aproximadamente 1,26.


Geometría y topología

134

Del trabajo de Wantzel se desprende también que los otros dos problemas, el de duplicación del cubo y el de trisección del án-gulo, son irresolubles. Si a y A son las aristas de los cubos dado y buscado respectivamente, entonces debe cumplirse que A3 = 2a3, y por tanto la duplicación del cubo implicaría la construcción de la raíz cúbica de dos. Sin embargo, este valor es raíz de P(x) = x3 − 2 que es un polinomio irreducible como polinomio sobre los racio-nales, lo que hace que, pese a ser algebraico, la raíz cúbica de dos no sea construible con regla y compás.

En cuanto a la trisección del ángulo, sí existen varios ángulos que pueden trisecarse (la construcción para un ángulo de 90o es casi inmediata). Pero la respuesta para un ángulo arbitrario es en general negativa, pues inmiscuye senos y cosenos. En particular, para un ángulo de 60o sería necesario determinar un punto del plano cuyas coordenadas fueran (cos(20), sen(20)). Al utilizar fór-mulas trigonométricas se llega a que cos(20) es raíz del polinomio P(x) = 8x3 − 6x − 1 que no tiene raíces racionales, lo que hace tam-bién que cos (20) no sea construible con regla y compás.

Más allá de los tres problemas clásicos, los matemáticos a lo largo de la historia han mostrado interés por la construcción de polígo-nos regulares con el solo uso de regla y compás. Las construcciones de triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono son elementales y probablemente conocidas por el lector desde su época de estudian-te. Podría pensarse que siempre existe un método, por complejo

El problema de la cuadratura del círculo consiste en construir con regla y compás el lado de un cuadrado de igual área que el de un círculo. Dicho proceso involucra necesariamente la construcción de √π, pero, como demostró Lindemann, π no es algebraico y por tanto no construible.


139


En el caso de Pitágoras, se sabe que nació alrededor del año 580 a. C. en Samos, una isla en el lado este del mar Egeo. Es pro-bable que su formación corriera a cargo de Thales y Anaximandro, y tras sus años de juventud completó su conocimiento durante los viajes que realizó por Mesopotamia y Egipto, recorriendo parte del mundo conocido, pasando por zonas que habían sido impor-tantes centros culturales y de conocimiento, y llegó incluso hasta zonas cercanas a la actual India. A su regreso se instaló en Crotona, ya en edad madura, donde fundó una comunidad que conjugaba aspectos religiosos, científicos y filosóficos y se dedicó a enseñar los conocimientos adquiridos anteriormente.

El resultado mundialmente conocido como teorema de Pitágoras nos habla de la relación existente entre los tres lados de un triángulo rectángulo: si en tal triángulo denominamos a y b a sus catetos y c a su hipotenusa, entonces resulta que a2 + b2 = c2.

Existen innumerables versiones de

demostraciones visuales del teorema de Pitágoras: mediante la reordenación

de las piezas en las que se dividen los cuadrados

sobre los catetos, obtenemos el cuadrado

construido sobre la hipotenusa.

Pero, más aún, si un triángulo de lados (a,b,c) cumple que a2 + b2 = c2 entonces es un triángulo rectángulo en c. De hecho, una terna pitagórica es cualquier trío de números (x,y,z) tales que x2 + y2 = z2, es decir, que cumplen el teorema de Pitágoras y Thales porque los tres números son enteros. Las ternas pitagóricas son todas de la forma x = 2mnk, y = (m2 − n2)k, z = (m2 + n2)k con m,n enteros de distinta paridad. En efecto, si k = 1, (2mn)2 + (m2 − n2)2 = (m2 + n2)2 sin más que desarrollar las expresiones. Las ternas así



142

la obviedad e inmediatez de su quinto postulado, y trató de probar que este podía deducirse como consecuencia de los cuatro ante-riores. Sin embargo, no tuvo éxito en esta empresa y en los siglos venideros nadie repararía en ella, hasta que tras la Edad Media en Europa se comienza de nuevo a cuestionar la validez de este pos-tulado. Hasta mediados del siglo xviii, diversos matemáticos rea-lizaron esfuerzos notables en demostrar el postulado de Euclides, llegando simplemente a cantidad de enunciados equivalentes a él, como son por ejemplo el enunciado moderno del postulado o el hecho de que un cuadrilátero con tres ángulos rectos deba tener, necesariamente, el cuarto ángulo también recto, siendo Saccheri y Lambert los dos nombres más destacados en torno a esta cuestión.

No sería hasta principios del siglo xix cuando Lobachevski, Bolyai y Poincaré, de forma independiente, demostraran que el quinto postulado no puede deducirse de los cuatro anteriores y que, de hecho, se puede sustituir por otras afirmaciones diferentes. Comenzaron a definirse formas de hacer geometría que, aun res-petando las cuatro primeras afirmaciones de Euclides, incumplían la quinta de ellas, bien porque no existiera ninguna paralela o porque existieran infinidad de ellas. Estas geometrías recibieron el nombre de geometrías no euclídeas, siendo el plano proyectivo y el espacio hiperbólico los dos ejemplos más relevantes de ellas.

Dos ejemplos de modelos de geometría no euclídeos: en una esfera no existen círculos máximos paralelos y los ángulos de los triángulos suman

más que un llano, mientras que en el disco hiperbólico hay múltiples segmentos de arco que no se cortan entre sí y los ángulos de los triángulos

suman menos de 180°


145


El tercero y más importante de los inconvenientes, derivado de querer convertir una superficie esférica en otra plana, es el hecho de que la superficie esférica no es desarrollable y por tanto no pueden conservarse simultáneamente los ángulos, las distancias y las proporciones entre áreas. Es decir, no existe una proyección de la esfera al plano que sea simultáneamente con-forme (ángulos), isométrica (distancias) y equivalente (áreas).

De una forma intuitiva, es sencillo observar cuándo una su-perficie dada tiene curvatura o no, aunque el concepto formal de curvatura depende de la dirección en la que se recorra la superficie. Un cilindro, por ejemplo, está curvado en un sentido físico aunque tiene una dirección en la que no hay curvatura y que coincide, precisamente, con la dirección que genera al cilindro. En general, la curvatura gaussiana de una superficie se puede definir como un producto de dos curvaturas llamadas principales y que consiste en tomar direcciones perpendiculares distinguidas que optimizan cierta ecuación de curvaturas. En este sentido, el plano es claramente una superficie de curvatura nula, mientras que la esfera es una superficie de curvatura cons-tante estrictamente positiva. Como consecuencia del teorema Egregio de Gauss, que establece que la curvatura es un inva-riante al aplicar una superficie sobre otra, se sigue entonces que no puede haber una representación plana fidedigna de la Tierra al completo.

Las superficies desarrollables sobre un plano, o simplemen-te superficies desarrollables, son entonces aquellas que tienen curvatura gaussiana nula, como es el caso del cono o el cilindro. Así, el proceso de representación de la superficie terrestre sobre un plano es equivalente a encontrar aplicaciones de la esfera en alguna superficie desarrollable para después realizar una

El mapa emblema de las Naciones Unidas eligió

como centro de proyección el Polo Norte para evitar dar

preferencia a ningún país


147


las representaciones llamadas de compromiso destaca la de Robinson y otras ligeras modificaciones de esta, que apuestan por encontrar puntos intermedios entre las aplicaciones con-formes y las equivalentes.

Otras representaciones más exóticas de nuestro planeta han surgido a partir de las proyecciones poliedrales de la su-perficie esférica para después realizar el desarrollo plano de un octaedro o un icosaedro, también con formas sinusoidales, de sector circular o alabeadas, como la homolosena de Goode o la proyección ortográfica que es similar a lo que obtendríamos mediante una fotografía desde el espacio y que solo permite ver un disco con un hemisferio representado mientras que el otro permanece oculto. En cualquier caso, ninguna de todas ellas podrá alcanzar nunca la perfección en todos los sentidos de for-ma simultánea y del propósito para el que se emplee dependerá la elección de uno u otros criterios de elaboración.

En la proyección de Peters se mantienen las proporciones en la extensión que ocupa cada parte de terreno, pero se sacrifican las longitudes y formas. Mientras que en la proyección de Mercator observamos una Groenlandia de tamaño más grande del que le corresponde, en la proyección de Peters

tenemos un continente africano muy estirado.



150

Además de sólidos platónicos, arquimedianos y de Catalan, existen otros muchos poliedros convexos que no entran en estas clasificaciones. Existen los deltaedros, formados exclusivamente por triángulos, de los cuales tetraedro, octaedro e icosaedro son solo tres ejemplos de los ocho deltaedros convexos que existen. Los restan-tes cinco forman parte de la clasificación de poliedros de Johnson realizada en 1966, que contiene hasta noventa y dos poliedros a los que se les requiere la única condición de que sean convexos y cuyas caras sean polígonos regulares. Entre estos poliedros se encuentran nombres tan exóticos (a la vez que representativos) como la girobicúpula pentagonal elongada formada por 30 aristas, 60 vértices y 32 caras (10 triángulos, 20 cuadrados, 2 pentágonos) con forma de cúpula doble, una de ellas girada con respecto a la otra, unidas mediante cinco cuadrados.

Todos los poliedros mencionados hasta el momento cumplen, por ser convexos, la fórmula de Euler que relaciona el número de caras, aristas y vértices mediante la expresión C + V = A + 2. Pero existen poliedros que no verifican necesariamente dicha fórmula y se encuentran dentro de la familia de poliedros no convexos. Entre estos destacan los poliedros estrellados y en particular los cuatro regulares, conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot.

Se pueden encontrar ejemplos del uso de poliedros en arte y en la construcción de estructuras, Durero o Da Vinci son muestras de ello. Pero también en el más popular de los deportes, puesto que el tradicional balón de fútbol formado por pentágonos y hexágonos responde a la descripción (5,6,6) y se corresponde con

Relación de dualidad entre el cubo y el octaedro


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el truncamiento de un icosaedro. Aunque asociamos el balón a una superficie esférica, el poliedro correspondiente no es el que tiene la mayor redondez de entre todos los poliedros semirregulares. Existen diferentes criterios para hablar de cómo de parecido es un poliedro con respecto a una esfera, siendo la similitud con la esfe-ra inscrita y la circunscrita uno de estos. Sin embargo, ocurre que el dodecaedro es más redondo que el icosaedro cuando se considera la circunferencia inscrita y viceversa al considerar la circunscrita. Dado que, como demostró Cauchy, la estructura de los vértices junto con el área de las caras determina completamente cada poliedro, se puede definir la redondez mediante el cociente isoperimétrico, introducido por Polya. El término esfericidad hace alusión a una especie de promedio del volumen con respecto al área y se corresponde con la raíz cúbica del cociente isoperimétri-co. En estos términos de redondez, la del dodecaedro es entonces aproximadamente de 0,911 y la del icosaedro de 0,939 mien-tras que la del balón de fútbol es de 0,967. Estos quedan superados por el 0,986 del hexaquisicosaedro, un sólido de Catalan que es el dual del icosidodecaedro truncado. Sin embargo, el elevado número de costuras y parches que requeriría su construcción lo

Los poliedros estrellados fueron

estudiados por Johannes Kepler

para intentar dar explicación a la interacción y movimientos

planetarios y de cuerpos celestes



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hacen inviable industrialmente. Y es que a base de truncar vértices y añadir aristas siempre podemos construir poliedros que sean cada vez más esféricos, como demostró Buckminster Fuller al construir su cúpula biosfera para el pabellón de Estados Unidos para la Expo de Montreal.

41¿POR QUÉ LAS ABEJAS ELABORAN SUS PANALES A

PARTIR DE HEXÁGONOS?

En ocasiones se dice que la naturaleza es sabia. Incluso en mu-chos casos podríamos decir que la naturaleza sabe de matemáti-cas. Entre otros muchos ejemplos de inteligencia y optimización de recursos en el mundo animal y vegetal, el caso particular de las abejas nos sorprende por la regularidad de las formas que utilizan en la elaboración de panales. Y es que la razón de la uti-lización de hexágonos por parte de las abejas tiene un fuerte contenido de geometría.

Se llama teselado a cualquier forma de recubrir el plano mediante figuras geométricas y aquellos que utilizan un solo

El poliedro que da forma a un balón de fútbol clásico es un sólido Arquimediano que se obtiene de truncar los vértices de un dodecaedro. La esfericidad de este poliedro es más que aceptable y además no requiere el

cosido de tantas aristas como el hexaquisicosaedro.


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42¿CUÁL ES LA MEJOR MANERA DE COLOCAR LAS

NARANJAS DENTRO DE UNA CAJA?

Es gustosa la sensación de entrar en una frutería y encontrar todos sus productos perfectamente apilados, habitualmente en torres o pirámides en las que unas piezas encajan sobre las inferiores. Esta imagen es especialmente habitual cuando hablamos de mandarinas o naranjas, y eso que la misma forma de apilamientos ya se uti-lizaba también en el almacenamiento de munición para cañones. Detrás del simple apilamiento hay una interesante cuestión que transita entre la frontera de la física y la matemática, cuestión co-nocida como la conjetura de Kepler y cuyo enunciado es sencillo: si tenemos una colección (arbitraria y posiblemente infinita) de esferas del mismo radio, se busca obtener la estructura del agrupa-miento más denso posible. La noción de densidad en este contexto no es más que la proporción entre el volumen que queda relleno por las esferas con respecto al volumen del recinto del empaque-tamiento, es decir, buscamos de qué manera debemos disponer las esferas para desperdiciar la menor cantidad posible del espacio que ocupan.

El apilamiento de naranjas del frutero permite aprovechar el 74 % del espacio y es mejor que cualquier otro apilamiento aleatorio


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hiperboloide es además una superficie reglada, que son aquellas que se pueden generar mediante una familia de rectas. La gran ventaja de estas superficies es que permiten su realización ar-quitectónica sin más estructuras que las vigas.

La otra gran familia de superficies a la que dedicamos nuestra atención es a la de superficie mínima. El problema de minimalidad consiste en encontrar las superficies de menor área de entre las cercanas a ellas, y resulta que las pompas de jabón modelizan con sorprendente exactitud esta teoría.

Según las leyes que estableció Plateau en el siglo xix, las pompas de jabón se comportan siguiendo las siguientes tres nor-mas: 1. ocupan siempre la menor superficie posible, teniendo una pompa curvatura constante en todos sus puntos; 2. si varias láminas de jabón se cortan será siempre de tres en tres forman-do ángulos de 120°; 3. si varias láminas de jabón coinciden en un punto, lo hacen de seis en seis y con ángulos triedros iguales.

Como consecuencia, una pompa libre sin restricciones siempre será esférica atendiendo a la presión ejercida por el aire interior y exterior en las paredes de ella. Especialmente de la pri-mera ley se obtiene que, cuando establecemos unas condiciones rígidas de contorno, entonces la película de jabón se adapta a esas condiciones y forma superficies mínimas. Resulta interesante ex-perimentar con diferentes alambres las formas sorprendentes que toma el jabón, muchas veces inesperadas pero siempre coherentes con las leyes de Plateau.

Un paquete de espaguetis nos demuestra que el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada



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para el disco, (C) = 0 para la circunferencia y (S) = 2 para la esfera. A su vez, para superficies sin borde la característica de Euler está relacionada con el género g de la superficie, que intuitivamente describe el número de asas que tiene el espacio mediante la fór-mula (S) = 2 − 2g. De lo dicho anteriormente se deduce que g(C) = 1 mientras que g(S) = 0.

En conclusión, si un alfarero parte de una pelota de barro, esta será una bola sin agujeros mientras que la taza tendrá el agujero debido a su asa (y ninguno más, si es que está bien fabricada) con lo que no son espacios topológicamente equivalentes y por tanto tendrá que romper la bola inicial para hacer el agujero del asa o bien deberá emplear una segunda pieza de barro para fabricar el asa por separado y después unirlo.

El toro es la figura generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje externo. Como es una superficie de una única pieza con dos caminos que no se pueden contraer, sus números de Betti son (1,2,1) y la característica de Euler (T) = 1 − 2 + 1 = 0 con lo que su

género es 1.

Es habitual escuchar la chanza de que un topólogo no sabe distinguir entre una taza y un donuts, aunque sí distingue la tetera. El donuts puede moldearse hasta convertirlo en una taza pero no en una tetera, pues esta tiene dos agujeros mientras que los otros tienen solo uno.



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situación, aparentemente paradójica: tendremos un mínimo recodo de barranco o arena que deberemos obviar y, por tanto, queda-rá una medida inferior que considerar como patrón de medida mientras que, por otro lado, la longitud que vamos acumulando en las correspondientes poligonales va en aumento.

Un experimento similar al anterior fue imaginado por Benoît Mandelbrot en su obra How long is the coast of Britain?, en el que trataba de justificar el porqué de las diferencias de medidas en las longitudes de fronteras, ríos, etc. La única y exclusiva razón es que todas ellas son curvas altamente irregulares y, por tanto, no se les puede asociar una longitud concreta. El trabajo de Mandelbrot dio lugar a la teoría de fractales, objetos de la geometría que se encuentran de forma natural en nuestro entorno y para los que, sorprendentemente, no hay aún una definición común rigurosa y aceptada que los englobe a todos. Típicamente, un fractal se define como una figura autosimilar de frontera irregular (no diferencia-ble) que tiene una dimensión no entera.

Aunque la presencia de estructuras fractales es espontánea en la naturaleza, su estudio como vertiente del análisis de procesos secuenciales iterados no se hizo posible hasta el desarrollo de los ordenadores. Los fractales como estructuras geométricas abs-tractas responden a algoritmos sencillos que tienen como límite conjuntos de naturaleza extraña, y que los ordenadores permiten recrear con asombrosa facilidad. Si iteramos funciones polinó-micas de variable compleja y asignamos colores en función de la órbita descrita por la iteración de cada punto, se obtienen figuras verdaderamente hipnóticas que reciben el nombre de conjuntos de Mandelbrot y fronteras de Julia.

Conjunto de Mandelbrot, definido como aquellos puntos p del plano complejo que hacen que la sucesión recursiva z

n+1=z

n

2+p con z0=0, esté

acotada


171


Pero antes de la época de los ordenadores ya habían surgido y sido estudiados algunos fractales como el triángulo de Sierpinski, el tamiz de Apolonio o la curva de Koch.

Triángulo de Sierpinski como límite de la sucesión

que en cada iteración elimina a cada triángulo

el triángulo en la posición central

Un fractal que tiene versiones en las tres primeras dimensio-nes es el conjunto de Cantor para dimensión uno, la alfombra de Sierpinski para dimensión dos y la esponja de Menger para dimen-sión tres. Partiendo respectivamente de un segmento, un cuadrado o un cubo, la forma de construir estos conjuntos es dividir cada segmento, lado o arista en tres partes iguales y eliminar la parte central de cada una de estas divisiones. Los conjuntos fractales nombrados resultan ser el conjunto límite de la repetición de estas iteraciones. Observemos que, gracias a que provienen de una suce-sión de conjuntos compactos del espacio euclídeo, la intersección de todos ellos será no vacía y por tanto tiene sentido la definición.

Un fractal tiene la propiedad de ser autosimilar, con lo que no podríamos saber en qué nivel de la esponja de Menger estaríamos en esta imagen



172

El concepto de dimensión entera, que tan bien había funciona-do hasta este momento para los espacios euclídeos, se ve desbordado por la aparición de objetos fractales. Ya la curva de Hilbert había demostrado la imposibilidad de diferenciar conjuntistamente un segmento de un cuadrado. Se hacía necesario un nuevo concepto de dimensión que ampliara al antiguo, y de entre todos los que aparecieron en su momento, se impuso el concepto de dimensión en el sentido de Hausdorff-Besicovitch. Dada la propiedad de au-tosimilitud de los fractales, este concepto de dimensión compara el tamaño de la figura a gran escala con una de sus partes a pequeña escala. Por ejemplo, la alfombra de Sierpinski resulta ser tres veces más grande que cada uno de los ocho modelos que aparecen repli-cados en el interior de la primera iteración. Como el área de una figura guarda una relación con respecto a otra semejante según un factor de conversión, que es una potencia de la constante de proporcionalidad entre las figuras, resulta que la dimensión busca-da debe ser tal que 3d = 8 y, tomando logaritmos, se obtiene que d = log

38 ≈ 1,8927.

El romanescu o las venas de una hoja son ejemplos de estructuras fractales en la naturaleza

Podemos encontrar ejemplos de autosimilitud de forma natural en verduras como el romanescu y en general en la distribución de las hojas de helechos y otras plantas. También surge estructura frac-tal a raíz del proceso de cristalización que da lugar a la formación de los copos de nieve. Por supuesto, el sistema de riego sanguíneo a través de venas y vasos capilares de los seres vivos también sigue una estructura fractal. La propiedad de autosimilitud hace que se mantenga una presión sanguínea constante y la extensión a escalas cada vez más pequeñas permite llegar hasta cada célula de la forma


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dimensión uno sin necesidad de levantar el campo vectorial (mar-cado por nuestro dedo que recorre el borde).

Es posible que estas propiedades, que recuerdan a un ciclo sin principio ni final y dos caras fusionadas en una sola, fueran de-terminantes para que la banda de Möbius se erigiera en símbolo internacional del reciclaje desde el último cuarto del siglo xx. También fue utilizada la banda de Möbius como elemento en la máxima expresión artística de la obra de M. C. Escher, que utilizó este recurso geométrico en muchas de sus obras.

El símbolo internacional del reciclaje se creó inspirado en la banda de Möbius, una superficie no orientable y que evoca un ciclo sin

comienzo ni final

Abstrayendo la construcción análoga de la banda de Möbius se obtienen otros ejemplos de superficies no orientables, como son la botella de Klein o el plano proyectivo, pero con una desventaja que ya hemos insinuado antes. Pese a que matemáticamente responden a la definición de superficies dos-dimensionales, no pueden repre-sentarse en el mundo tridimensional sin realizar autointersecciones.


Probabilidad y Estadística

184

independientemente de la ronda en la que llegue. Ningún proble-ma, en lugar de empezar con una moneda, el apostante ambicioso puede comenzar con la apuesta que se desee e ir duplicándola en cada paso. Pero la lentitud del proceso de ganancia se queda en ape-nas nada en comparación con el inconveniente que representa la velocidad de crecimiento de la apuesta. Aunque en un comienzo pueda parecer asequible, el hecho de doblar la apuesta en cada paso hace que el crecimiento de esta sea exponencial, además de ir acu-mulando las pérdidas de los pasos anteriores. Utilizando la suma de una serie geométrica, vemos que en la n-ésima apuesta sin aciertos previos se habrá tenido que invertir 1 + 2 + 4 + ... + 2n = 2n+1 −1. Esto hace que si habíamos comenzado con una moneda en la décima apuesta, llevemos gastadas más de mil monedas, mientras que el apostante ambicioso que comenzó con una cantidad inicial superior, digamos veinte monedas, deberá invertir esta multiplicada por mil y, por tanto, llevará veinte mil monedas invertidas. Lo que nos lleva a los inconvenientes de tipo práctico, como son el fondo limitado del que un jugador puede disponer y, sobre todo, los lími-tes superiores que las casas de apuestas suelen establecer.

La existencia de una casilla 0 a la que no se puede apostar par/impar o rojo/negro hace que victoria y derrota no sean sucesos equiprobables en el juego de la ruleta. Además, las no tan improbables malas rachas hacen que

no exista un método de apuesta que sea sostenible a largo plazo.

El método descrito anteriormente se conoce como martingala y sirve de representante ejemplificador sobre los fallos e inconvenien-tes de otros sistemas descritos habitualmente. Su principal inconve-niente es el mismo que los de casi cualquier método de supuestas ganancias seguras, y radica en que no soportan bien las llama-das malas rachas, una serie relativamente grande de fallos consecu-tivos, algo que es estadísticamente plausible, aunque los jugadores


Probabilidad y Estadística

196

gráfica de su función de densidad es más o menos aplanada que la curva normal. Y, aunque la distribución real sea desconocida, siempre es posible recurrir a una argucia matemática de base pro-babilística, consistente en considerar los experimentos en conjunto, de tal forma que el resultado de la experiencia aleatoria sea suma de muchos factores. En este caso, y aunque el modelo teórico sea pre-dictivo de peor calidad, se puede suponer siempre que, a partir de un cierto número de repeticiones el experimento se ajusta a una distribución normal.

56¿CUÁL ES EL PARÁMETRO MÁS REPRESENTATIVO DE

UNA POBLACIÓN?

Son muchas las ocasiones en las que los ciudadanos se ven acosa-dos con informaciones contradictorias sobre datos tales como el salario medio, el porcentaje de paro o la presión fiscal a nivel de impuestos. Las estrategias políticas en estos asuntos giran en torno a una filosofía que explota el desconocimiento general del ciuda-dano en materia de estadística y busca retorcer los datos objetivos

La máquina de Galton muestra muy gráficamente cómo un experimento discreto puede aproximar a una distribución continua cuando el número de repeticiones es alto.


Matemática discreta y combinatoria

204

llamó máquina Enigma y traería de cabeza al bando aliado du-rante la Segunda Guerra Mundial.

Aunque el bando alemán se creía en posesión de un arma in-falible para enviar mensajes, científicos polacos habían tenido la posibilidad de estudiar el funcionamiento de una de ellas debido a un envío interceptado por los servicios de inteligencia. Rejewski, Rozycki y Zygalski desarrollaron algoritmos para identificar las posiciones iniciales de las que partía la máquina y, cuando en 1939 Hitler invadió Polonia, estos entregaron al gobierno británico sus avances. A partir de entonces, el servicio de inteligencia concentró a las mejores mentes en Bletchley Park, entre ellos a Alan Turing, para trabajar en el descifrado de Enigma. Una vez descubierto el funcionamiento general de la máquina, descifrar los mensajes ale-manes fue tarea relativamente rutinaria.

Tras el final de la guerra, los modernos computadores eran capaces de realizar ya rápidas operaciones de comprobación de códigos, con lo que los sistemas tradicionales quedaban obsoletos.

Un ejemplar de la máquina Enigma alemana en la que se pueden apreciar en la parte superior los rotores con los que se configuraba la máquina para después escribir el mensaje. A cada letra se le aplicaba una permutación según la posición seleccionada y, una vez escrita, los rotores giraban a otra combinación. Esto hacía que el código fuera casi irrompible pues a diferentes letras les podía corresponder un mismo carácter en el cuerpo del mensaje.


Matemática discreta y combinatoria

212

Los habitantes de Königsberg se preguntaban si sería posible realizar un paseo por la ciudad que pasara por los siete puentes, sin dejar ninguno sin atravesar, pero que tampoco repitiera travesía por alguno de ellos. Este problema fue resuelto por Euler en el año 1736 con una respuesta en sentido negativo.

Dado un grafo, se llama recorrido euleriano a aquel camino que comienza y termina en el mismo vértice y recorre todas las aristas solo una vez. Esta condición es equivalente a realizar un dibujo con un solo trazo sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por la misma línea, reto que innumerables veces se plantea a los niños para dibujar una casita con una cruz dentro. Un análisis detenido de la situación nos revela la importancia de la paridad en cada vértice, pues cada vez que visitamos el nodo eso será lo que permita entrar y volver a salir para continuar con el recorrido. Solo podríamos tener una cantidad impar de aristas en caso de ser el punto de comienzo o el de llegada y, por tanto, no puede haber más de dos nodos con esta característica. La formalización de esta idea se conoce como teorema de Euler y da una caracterización para los grafos eulerianos.

Plano de la antigua ciudad de Königsberg atravesada por el río Pregel y cuyas orillas y dos islas están unidas por siete puentes. El grafo asociado es no euleriano y, por tanto, la ciudad no puede recorrerse atravesando una, y

solo una vez, todos los puentes.


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grado de desconocimiento que se tiene sobre la evolución futura del sistema.

Imaginemos un evento importante desde hoy en tres días, para lo que consultamos la predicción meteorológica. Al día siguiente, cuando ya solo quedan dos días, la predicción habrá cambiado ligeramente. Por un lado, los datos de entrada a las variables del modelo se han actualizado con los datos del día ya amanecido y, por tanto, tienen información real y no basada en la evolución de otra predicción. Por otro, el día objetivo está mucho más cerca y el tiempo que hay que dejar evolucionar la simulación del sistema es menor, con lo que las discrepancias a partir de datos iniciales similares serán menores también. Cuando llegue el día del evento, la predicción inicial diferirá de la predicción dada el día anterior precisamente por las razones descritas anteriormente.

Por tanto, la teoría del caos en matemáticas no se refiere a un fenómeno incomprensible sino al desconocimiento sobre el estado futuro al que llega un fenómeno cuya modelización hemos com-prendido. Es determinista en tanto en cuanto que somos capaces de describir las variables y relaciones que intervienen en el fenó-meno, pero desconocemos las predicciones a largo plazo. En otras palabras, el caos refleja la inestabilidad de un fenómeno en apa-riencia sencillo, pero al que se deja evolucionar en el tiempo y esta inestabilidad está presente en prácticamente todos los fenómenos de evolución que se estudian en las diferentes ramas de la ciencia.

Los sistemas dinámicos pueden dar lugar a soluciones

muy dispares cuando se les deja evolucionar en

el tiempo, aunque las condiciones iniciales de

partida fueran similares. El atractor de Lorenz surge al estudiar las ecuaciones que

rigen el comportamiento de la atmósfera terrestre y fue el

punto de surgimiento de la teoría del caos.


Aplicaciones

236

67¿CÓMO SURGIÓ EL PRIMER ORDENADOR?

A día de hoy estamos completamente acostumbrados a manejar ordenadores y dispositivos electrónicos tales como móviles, tabletas o incluso calculadoras y relojes que también son ordenadores en miniatura. El rápido desarrollo tecnológico en el que nos vemos envueltos en pleno siglo xxi, ya con modelos de inteligencia ar-tificial inimaginables hace poco más de medio siglo, hace que no reflexionemos sobre lo realmente joven que es este tipo de tec-nología y nos cueste reconstruir el largo proceso seguido hasta la implementación efectiva de los primeros modelos de ordenador.

Las máquinas autómatas son mecanismos diseñados para realizar operaciones que devuelven un elemento de salida a partir de una o varias instrucciones o datos de entrada. La creación de estos se concibieron ya en el siglo xvii, siendo el ábaco de Napier o la regla deslizante de Oughtred los primeros inventos que permitían rea-lizar operaciones aritméticas relativamente complejas. Este último artilugio fue de uso común en ingeniería hasta la segunda mitad del siglo xx, cuando las calculadoras electrónicas y la aparición de los primeros ordenadores y programas informáticos la hicieron caer en desuso. Una de las primeras máquinas calculadoras es la pascalina, nombre tomado de su inventor, Pascal, que en 1645 dise-ñó un sistema de engranajes que permitía hacer sumas, en los que diez ruedas dentadas representaban los dígitos de 0 a 9.

Diseño de la cubierta y el sistema interno de una pascalina, rudimentaria calculadora ideada por Pascal


Aplicaciones

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A los planteamientos de Babbage y Lovelace junto con álgebra booleana les siguieron innumerables intentos de desarrollo de má-quinas autómatas mecánicas o electromecánicas, y se considera la máquina Z1 alemana la primera computadora de carácter general en el sentido moderno, aunque parte de su funcionamiento era mecánico.

Con la necesidad de desentrañar los códigos secretos de co-municación de la Alemania nazi, singularmente generados por la máquina Enigma, se diseñó en Inglaterra la máquina Colossus, que operó en el centro de Bletchley Park en el que trabajó Turing (pero que no tuvo relación con el diseño y construcción de la má-quina). Colossus no traducía los mensajes encriptados, sino que hacía los complejos cálculos necesarios para conocer las posiciones en las que estaban los rotores de Enigma. También auspiciados por la carrera bélica de la Segunda Guerra Mundial, la empresa americana IBM comenzó a trabajar en la construcción del MARK I, aparato au-tomático fundamentado en las ideas de Babbage pero con mejor potencia de cálculo. Sin embargo, antes de que se terminara ya ha-bía quedado obsoleta ante el proyecto de construcción de ENIAC, esta sí, considerada la primera computadora totalmente electrónica. Entre los impulsores de este proyecto estaba John von Neumann, que elaboró un informe para el Ejército sobre las potenciales posi-bilidades que el desarrollo de los ordenadores ofrecían.

El gigantesco ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) está considerado el primer ordenador completamente electrónico y

precursor de los utilizados hoy en día


Aplicaciones

246

Con este completado del espacio afín usual se obtiene un prin-cipio de dualidad verdaderamente útil, pues por dos puntos pasa una única recta (un punto y una dirección, en caso de que el punto pertenezca al infinito), pero ahora también cualquier par de rectas se cortan en un punto. Esto hace que los resultados obtenidos en esta área sean dobles, como ocurre con los teoremas del hexagrama místico de Pascal y su dual, el teorema de Brianchon.

En algunos casos, los resultados resultan ser autoduales, como el celebrado teorema de Desargues que caracteriza el modo en que dos proyecciones provienen, en realidad, del mismo triángu-lo, pero se dan desde y sobre diferentes planos. Estos importantes teoremas cayeron en el olvido hasta el siglo xix, cuando se recu-peró el interés por la geometría que había quedado desplazada por los grandes avances del álgebra y el análisis en los dos siglos precedentes.

Un caso particular de proyecciones que atrajo la atención de algunos artistas importantes son las anamorfosis, presentes en pin-turas de los siglos xv y xvi y en los estudios de perspectiva de Da Vinci, y fue una técnica utilizada posteriormente por pintores vanguardistas como Dalí. Y los cubistas, con Picasso a la cabeza, se atrevieron a dar un paso más allá en el uso de la perspectiva y los diferentes puntos de vista que fusionaron en un único cuadro.

Retrocediendo un poco en el tiempo, encontramos en el arte musulmán una de las más llamativas formas de expresión artística

Representación del teorema de Desargues. Las rectas que unen los vértices correspondientes de cada triángulo se cortan en un punto si y solo si las

prolongaciones de los lados se cortan en puntos alineados.


Lógica y teoría de conjuntos

250

de un conjunto se llama cardinal del conjunto y este puede ser un número (finito) o infinito.

Las ideas relativas a la teoría de conjuntos, junto con las propie-dades que cumplen los cardinales de estos, fueron desarrolladas en el siglo xix por el matemático ruso Georg Cantor. Decimos que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal si podemos estable-cer emparejamientos entre los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del conjunto A le asociamos un solo elemento del conjunto B (la relación es una función), dos elemen-tos distintos del conjunto A se asocian con elementos distintos del conjunto B (propiedad inyectiva) y que no quede ningún elemen-to del conjunto B sin asociar con uno del conjunto A (propiedad sobreyectiva). Esta relación se llamará biyección entre los conjuntos A y B.

La biyección entre dos conjuntos con el mismo número de elementos parece intuitiva cuando la cantidad de elementos de cada conjunto es finita, pues los conjuntos se acaban y podemos dar la relación entre los conjuntos de forma explícita y exhaustiva. Sin embargo, la definición anterior ofrece resultados sorprendentes cuando los conjuntos son infinitos. Para ilustrar esto daremos una versión reducida del ejemplo del Hotel de Hilbert ideado por David Hilbert para explicar las ideas de la teoría de conjuntos.

Georg Cantor (1845-1918) y David Hilbert (1862-1943) respectivamente el impulsor y un ferviente defensor del paraíso de la teoría de conjuntos y

cardinales


Matemática recreativa

272

78¿ES DIFÍCIL HACER EL CUBO DE RUBIK?

Desde su lanzamiento al mercado en 1974, el cubo de Rubik es considerado el rompecabezas más exitoso de la historia. Cuando el arquitecto y escultor húngaro Ernö Rubik diseñó un aparen-temente inocente juego mecánico en forma de cubo, no podía imaginar que millones de personas iban a aceptar el desafío de reconstruir sus seis caras de colores y que se convocarían campeo-natos para su resolución a lo largo y ancho del planeta.

La gran cantidad de configuraciones del cubo de Rubik hace que su resolución siga siendo un desafío y lo convierte en el rompecabezas que goza de mayor popularidad desde su comercialización

En su versión más clásica, el 3 x 3 x 3, la estructura interna del cubo permite rotar las piezas exteriores que conforman las caras, habiendo, como es lógico en un cubo, 8 cubitos en los vértices cada uno con tres caras de color, y 12 cubitos en las aristas cada uno con dos caras de color. Utilizando un poco de combinatoria elemental se pueden obtener todas las disposiciones diferentes del cubo. Cada cubito de esquina puede ocupar 8 posiciones (8!) y cada uno de ellos se puede poner en tres posiciones diferentes (38), mientras que los cubitos de arista pueden estar en 12 posicio-nes (12!) y colocarse de dos formas diferentes cada uno (212). El único detalle a tener en cuenta es que habrá algunas ordenacio-nes del cubo para las que no es posible devolverlas a su posición original. Un ejemplo sencillo consiste en tomar un cubo resuelto y descolocarle solo una pieza de arista. Por mucho que juguemos con él, nunca lo devolveremos a una posición con todas las caras


283


a comprender el funcionamiento de nuestra mente y entender el significado de la compleja acción de ver. Algunas de estas percep-ciones son involuntarias, pero otras han sido creadas de forma expresa por el ser humano, como los juegos de sombras que apro-vechan la habilidad (o más bien, la falta de ella) del cerebro para percibir formas tridimensionales de cóncavo y convexo.

Los cubos ideados por el artista sueco Reutersvärd en 1934 son una composición imposible de realizar en la realidad tridimensional por la incoherencia de su disposición que confunde las posiciones relativas y

fueron inspiración para el triángulo imposible de Penrose

Entre las primeras personas en experimentar con los mundos imposibles se encuentra el artista sueco Reutersvärd, que en 1934 realizó el dibujo de nueve cubos en una configuración espacial que es absurda de reproducir en un mundo tridimensional.

La disposición de estos cubos, en los que las posiciones relativas de arriba y abajo parecen confundirse con las de derecha e izquier-da, tuvo su análogo continuo en el Tribar, un marco triangular imposible debido al físico Penrose, en colaboración con su padre. En general, una figura imposible se produce por una contradicción entre la continuidad de las superficies en combinación con la posi-ción de estas, que resulta de jugar con sus uniones y ocultamientos. Durante el tercio central del siglo xx hubo una espectacular proli-feración de este tipo de figuras que formaron parte de pasatiempos y expresiones artísticas en general y que buscaban experimentar con los límites de la percepción.

Retorciendo y desafiando a nuestra intuición, algunas de estas imágenes incluso se muestran fotografiadas a partir de construc-ciones reales, como la referida del triángulo imposible. En verdad,


287


La mayoría de los objetos que se presentan enlazados como juegos topológicos, si estuvieran construidos de otro material, podrían deformarse (sin romperlos) hasta parecer cuerdas anuda-das. Precisamente hay una parte de la topología que se denomina teoría de nudos y es la encargada de estudiar las diferentes formas de presentar una circunferencia retorcida, que es a lo que en ma-temáticas se llama nudo. Es decir, el objeto de estudio son cuerdas que hemos anudado como si fuéramos marineros y después unido los extremos. Dos nudos son equivalentes entre ellas si podemos encontrar una transformación continua del espacio tal que nos permite deformar un nudo en otro, pudiéndose estudiar también configuraciones de varios nudos enredados entre sí, que son cono-cidos como enlaces.

Nudo trébol, el ejemplo más sencillo de un nudo que no es equivalente

al nudo trivial y, por tanto, no puede desanudarse sin ser cortado

El nudo más elemental consiste en no anudar la cuerda para obtener lo que se conoce como nudo trivial, y uno de los más sencillos de visualizar que no se puede deformar en el trivial, es el nudo trébol. Su forma, que recuerda a la hierba del mismo nom-bre, consiste en hacer pasar la cuerda por un espacio interior a ella y cerrarla.

Para poder dar una clasificación de los diferentes tipos de nudos, se utilizan propiedades que se mantienen entre nudos equivalentes, llamadas invariantes, tales como el tipo y número de cruces que ocurren, pero cuyo tratamiento requiere de unas técnicas compli-cadas que se desarrollaron durante la segunda mitad del siglo xx, y que tuvieron sus orígenes en matemáticas de siglos anteriores. Algunas de estas propiedades, como el grupo asociado a un nudo, tienen en cuenta no solo el nudo, sino también su complementa-rio, es decir, el espacio ambiente en el que están (al igual que los juegos topológicos introducidos anteriormente).


Matemática recreativa

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Además de para construir juegos de ingenio, la teoría de nu-dos tiene diversas aplicaciones principalmente en los terrenos de la biología y la química, mientras que alguna de las propiedades que se estudian para clasificar nudos establecen conexiones de esta teoría con la física cuántica y la teoría de cuerdas. Quizá la más co-nocida e interesante hasta ahora sea la que encontramos al estudiar las cadenas de ácido desoxirribonucleico, el ADN.

Cadenas de ADN vistas al microscopio en las que pueden observarse retorcimientos y entrelazamientos propios de los nudos

Resulta que la información contenida en las cadenas de ADN debe comprimirse de tal forma que ocupe un espacio ínfimo, con lo que en ocasiones surgen plegados y nudos dentro de una ca-dena, poniendo en riesgo la transmisión de información genética correctamente. Podemos pensar en un larguísimo cable de teléfono (de los antiguos, claro) que está enrollado en hélice, pero que poco a poco se va anudando y retorciendo. De hecho, estos dos paráme-tros pueden cuantificarse y juntos nos dan el número de enlace de la cadena. El estudio y comprensión de los anudamientos, así como del efecto que diferentes enzimas tienen sobre la topología de la cadena, ayuda a entender el comportamiento de los cromosomas y, por tanto, la secuencia del genoma humano.


301


La Academia Noruega de Ciencias y Letras retomó en 2003 el premio creado a propuesta de Lie y Mittag-Leffler y se con-vocó el premio Abel que, a diferencia de la medalla Fields, es de concesión anual y no tiene restricciones de edad. El premio honra a Niels Henrik Abel que, a pesar de su temprana muerte a los 26 años debido a una tuberculosis, ha sido el matemático noruego de mayor relevancia por obtener notables resultados principalmente en álgebra y teoría de grupos. Según sus contemporáneos, Abel dejó trabajo a los matemáticos para los próximos quinientos años.

88¿SON LA FILOSOFÍA Y LAS MATEMÁTICAS DOS CARAS

DE UN MISMO OBJETO?

De los significados de las palabras filosofía (amor por la sabiduría) y matemáticas (aquello que se aprende), se observa de forma clara una raíz común en el surgimiento de ambas disciplinas. La cien-cia en general, las matemáticas y la filosofía surgen de un interés latente en la antigua Grecia por conocer el universo y explicar los fenómenos que en él suceden, así como las relaciones entre sus elementos. Todas las disciplinas (la física, la astronomía, la música) que más tarde se separarían, formaban parte de un tronco común que hundía sus raíces en las explicaciones mitológicas y teológicas, así como en un gusto estético-geométrico que impulsaba a encontrar

La medalla Fields, en la que aparece el rostro de Arquímedes, es una de las mayores distinciones a las que aspira cualquier investigador en matemáticas


Mitos y controversias

302

patrones de comportamiento. La conjunción de estas inquietudes explotarían en un desarrollo de la filosofía (entendida como con-tenedora de los razonamientos científicos y matemáticos) y del pensamiento crítico alrededor del siglo vi a. C., en la etapa que se conoce como paso del mito al logos en la civilización griega.

Con una historia de la que tenemos datos desde Thales y Pitágoras, la fundamentación de los argumentos lógicos, que cristaliza singularmente en Aristóteles, y la rigorización presente en la obra de Euclides, propician el desarrollo de las artes y las ciencias desde un punto de vista racional que, a tenor de los siglos venideros, mostraría la gran capacidad de imaginación y deducción para elaborar teorías sorprendentemente similares a las que aún sos-tenemos ya de forma rigurosa hoy día. En este sentido, se deben mencionar especialmente las concepciones pitagóricas sobre las vibraciones que el sonido producía en el aire, la teoría atomista de Demócrito y los pensamientos de Arquitas sobre la influencia de la matemática en la enseñanza.

La Escuela de Atenas (1509-1510) de Rafael Sanzio, alegoría en la que se representan filósofos y matemáticos de diferentes épocas. El lema de la Academia en su frontispicio «No entre aquí quien no sepa geometría»

deja clara la relación entre ambas disciplinas, así como el plan de estudios ideado por Platón y según el cual todo hombre debía instruirse en las

siete artes liberales.


321


y Pitágoras fueron los primeros en conjeturar que la tierra era es-férica. Continuaron en esta línea figuras como Heródoto, Platón o Aristóteles. Y esta teoría fue confirmada en el siglo ii a. C. por Eratóstenes al realizar una aproximación del radio de la Tierra a partir de mediciones desde Siena y Alejandría aplicando la técnica de la paralaje. Ptolomeo, en el siglo ii d. C. daría más argumentos en favor de la teoría de un planeta esférico, estableciendo coorde-nadas de latitud y longitud muy similares a las que se utilizan hoy en día. Sin embargo, todos ellos sostenían teorías geocéntricas.

La astronomía había nacido con la astrología en estos tiempos, y es algo que se evidencia en la concepción platónica del universo. Los sólidos regulares, también llamados platónicos, son cinco: te-traedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro (poliedros regulares formados, en ese orden, por 4 triángulos equiláteros, 6 cuadrados, 8 triángulos equiláteros, 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros). Platón asumía que estos cuerpos geomé-tricos estaban en los fundamentos de nuestro planeta y en el Timeo describe cómo cada uno de ellos representaba los elementos bási-cos del mundo: fuego, tierra, aire, éter (quintaesencia que mantiene unido el universo) y agua respectivamente.

Los cinco cuerpos regulares fueron identificados por Platón como los elementos básicos del universo. Tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro se correspondían, por este orden, con el fuego, la tierra, el aire, el

éter y el agua.


333


El reverso matemático de la belleza física lo codifica la suce-sión de Fibonacci, en la que cada término f

n de esta sucesión se

obtiene como la suma de los dos anteriores, siendo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... los primeros de esta. El término general de la sucesión es fn = f

n-1 + f

n-2 y está asociada a la ecuación x2 = x + 1, o equivalente-

mente x2 − x − 1 = 0, cuya solución positiva es precisamente . Las relaciones de la sucesión de Fibonacci con el número de oro son muchas y diversas, reflejándose en las propiedades de los términos de esta sucesión, como el hecho de que el cociente entre dos tér-minos consecutivos f

n+1/f

n tiene como límite cuando n tiende a

infinito.

Página del Liber Abaci en la que se aprecian en

el margen derecho los primeros términos de la

sucesión de Fibonacci

Más allá de esta relación con el mundo que nos rodea, las experiencias de belleza matemática en sí misma se suelen asociar, principalmente y dada su conexión sensorial, con la geometría. El número de oro juega también aquí un papel, estando presente por ejemplo en las diagonales de un pentágono o en los rectán-gulos inscritos de un dodecaedro. Tradicionalmente ha sido la representación de poliedros la franja que más elogios ha recogido


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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Aigner, M. y Ziegler, G. M. (2005). El libro de las demostracio-nes. Madrid: Nivola.

Los autores materializan la idea de Paul Erdös de un libro en el que se recogen los resultados y las demostraciones más bellas de las matemáticas. Es un compendio de prue-bas rigurosas y técnicas a la vez que concisas, que también realiza explicaciones aclaratorias en un lenguaje más sen-cillo.

Boyer, C. B. (2016). Historia de la matemática. Madrid: Alianza.

Recorrido que abarca de forma extensa y en profundi-dad todos los nombres y avances matemáticos desde la prehistoria hasta mediados del siglo xx. Es uno de los libros de cabecera en cuanto a historia se refiere, impres-cindible para tener una visión global y muy profunda de la evolución de los conceptos matemáticos y los nombres relevantes de esta disciplina.

Ernst, B. (2006). Mundos imposibles. Colonia: Taschen.

Se presenta una panorámica de la representación artístisca de mundos imposibles, analizando en profundidad va-rias obras desde diferentes puntos de vista tales como la


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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

LIBROS

Benjamin, A. y Shermer, M. (2006). Secrets of mental math. Nueva York: Three Rivers Press.

Byrne, O. (2013). The first six books of the Elements of Euclid. Colonia: Taschen.

Cajori, F. (1929). A history of mathematical notations. Chicago: Open court publishing.

Corrales, C. (2017). Matemáticas y pintura. Madrid: Calamar.

Descartes, R. (2010). Discurso del Método. Madrid: Austral-Espasa Calpe.

Dörrie, H. (1965). 100 great problems of elementary mathematics, their history and solution. Nueva York: Dover.

Ghyka, M. (1977) The Geometry of art and life. Nueva York: Dover.


Las matemáticas en 100 preguntas - nowtilus.com · Richard Feynman decía que «las matemáticas...

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