Fuerzas sobre una superficie plana

(Compuerta inclinada)

1.1 Objetivo General

Aplicar conceptos básicos de física e hidrostática para la determinación de

fuerzas que actúan sobre una compuerta plana inclinada

1.2 Objetivos Específicos

Determinar analíticamente la altura de agua que es necesaria para abrir las

compuertas(teórico y experimental)

Determinar en base a las alturas calculadas los errores.

1. Fundamento teórico.

Las fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas están relacionadas con el

efecto del peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Por

ejemplo, un depósito con una base plana y horizontal de área Ab que

contenga una altura H de agua soportará una fuerza vertical hacia abajo en la

base, la cual queda expresada por:

Fb=γ H Ab

La presión sobre cualquier superficie sumergida varía linealmente con la

profundidad, en nuestro caso que nos referimos a superficie plana, este se

relaciona a un problema de flexión y compresión combinadas en resistencia

de materiales, ya que en ambos se presenta una distribución lineal de

esfuerzos; desde el punto de vista de la hidrostática se utilizaran fórmulas

que incluyen al centro de gravedad y momentos de inercia de la sección

plana.

Fig,1 superficies planas sumergidas

A las superficies planas para el análisis se las ha dividido de la siguiente

manera:

Superficie plana horizontal

Superficie plana vertical

Superficie plana inclinada

SUPERFICIE PLANA INCLINADA

Fig.6 Fuerzas sobre superficie plana inclinada

En cualquier área pequeña existe una fuerza dF que actúa en forma

perpendicular al área, debido a la presión P del fluido. Pero la magnitud de la

presión a cualquier profundidad h en un líquido estático de peso específico γ

es:

P=γ h

Por lo cual, la fuerza es:

dF=P (dA )=γ h(dA)

Debido a que el área esta inclinada un ángulo θ, es conveniente trabajar en

su plano, la posición sobre el área a cualquier profundidad h, es:

h= y Senθ

Donde “y” se mide a partir del nivel de la superficie libre del fluido, a lo

largo del ángulo de inclinación del área.

dF=γ ( y Senθ )dA

La suma de la fuerza en toda la superficie se obtiene por medio de:

FR=∫A

❑

dF=∫A

❑

γ ( y Senθ ) dA=γ Senθ∫A

❑

y dA

Por mecánica sabemos que

∫A

❑

y dA

Es igual al producto del área total por la distancia al centroide del área desde

el eje de referencia. Es decir:

∫A

❑

y dA=LC A

La Fuerza resultante FRes:

FR=γ Senθ(LC A )

Al hacer la sustitución hc=LC Senθ encontramos que:

FR=γ hc A

Expresado en palabras, la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre

una cara de una superficie sumergida en un líquido en reposo es igual al

producto del área por la presión en su centroide.

CENTRO DE PRESIÓN:

Es el punto sobre el área donde actúa la fuerza resultante, tiene el mismo

efecto que una fuerza distribuida en toda el área debido a la presión del

fluido.

Fig.7 Centro de presión

Para su deducción se empieza definiendo que, el momento de cada fuerza

pequeña dF con respecto a su eje es :

dM =dF y

Pero

dF=γ ( y Senθ ) (dA )

∴dM= y [γ ( y Senθ ) (dA ) ]

dM =γ Senθ ( y2dA )

Integrando obtenemos

∫ dM=∫ γ Senθ ( y2 dA )

FR Lp=γ Senθ∫ ( y2dA )

El momento de inercia de toda área con respecto al eje desde el que se mide

se define por :

∫ ( y2dA )

FR Lp=γ Senθ ( I )

Despejando

Lp=γ Senθ ( I )

FR

Sabemos que

FR=γ Senθ(LC A )

Entonces

Lp=γ Senθ ( I )

γ Senθ (LC A)

Lp=I

LC A

Por el teorema de transferencia de momento, tenemos:

I=IC+ A LC2

La ecuación final de centro de presión resulta ser:

Lp=IC

LC A+LC

Donde:

Lp →la posicionde los puntos centrode presiones

IC→momento de inercia del area conrespecto desu propioeje centroidal

LC→distancia del eje dereferencia al centroide

A →area plana

2. Materiales y equipos.

Flexo o regla

Calibrador

Un Marcador

Banco hidráulico

Pesos

Agua

Compuerta

2.1. Descripción del Equipo.

3. Procedimiento.

En la práctica se llevaron a cabo los siguientes procedimientos:

En primer lugar se hizo un esquema preliminar de la práctica, en el cual se

determino las variables a medir y las variables a calcular, luego se procedió

que medir las distintas longitudes del tanque, las palancas y la compuerta.

Los datos restantes fueron proporcionados por el docente como ser el peso

de contrapeso y el peso de la compuerta.

El siguiente paso fue llevar a cabo el experimento

Una vez tomadas todas las medidas, consideraciones y precauciones se

procedió a llevar a cabo la práctica.

Se llenó el tanque con agua poco a poco mediante una bomba, en la base

inclinada del tanque, existe un orificio, el cual esta cubierto por una

compuerta de forma circular, que esta sujeta por el brazo de una palanca, la

cual resulta accionada por un contrapeso, cuyo efecto será transmitido a la

palanca y esta a su vez a la compuerta hasta que este efecto sea vencido por

el peso del agua

Una vez que vamos llenando el tanque, la compuerta cede y se observa

pequeñas fugas en la misma, en este instante leemos una altura inicial de

flujo de agua poco después la compuerta se abre totalmente y casi todo el

agua sale por la misma; en este instante se realiza la lectura correspondiente

del nivel de altura que alcanza el agua, esta altura será la Hexp.

4. Registro de datos

a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) a4(cm) a5 (cm)

20 40 8.8 8.9 40

dc (cm) L1 (cm) L2 (cm) L3 (cm)

2.73 1.60 5.0 24.5

m (gr) mc (gr) hexp (cm)

1746.42 1000 25.9

5. Cálculos y gráficas.

5.1. Ecuaciones.

w⃗=m∗g⃗

w⃗ c=mc∗g⃗

Fh=hcg∗A∗γ H2O

Analitico:

b=√a2−c2

tgθ=b /c

A=πD2

4

x=Senθ∗a3

z=hexp−b

hcg=z+

D2∗1

2

h1=hexp−hcg

hteo=hcg+h1

Experimental:

A=πD2

4

x=Senθ∗a3

hcp=¿

I cg=πD4

64

hcg} = {d} over {2} + ¿

hcg=hcg} + {h} rsub {cp¿

h1=hexp−hcg

hteo=hcg+h1

5.2. Cálculos.

Cálculos, Analítico :

b=√28.202−202

tgθ=19.88 /20

A=π10.52

4

x=Sen (44.288 )∗8.8

z=25.9−19.88

hcg=12.165+

10.52

∗1

2

h1=25.9−14.79

hteo=14.79+11.11

Cálculos, Experimental:

A=π10.52

4

I cg=π10.54

64

hcg} = {10.5} over {2} +12.16¿

hcp=( 596.6611.27∗86.590 )+11.27

hcg=11.27+11.88

h1=25.9−23.15

hteo=23.15+11.88

Ea=|25.9−34.26| Er=1

34.26Er=

125.9

% E teo=0.24∗100% Eexp=0.324∗10

5.3. Registro de cálculos.

Analíticos

b(cm) θ (°) A(cm2) x(cm) z(cm) hcg(cm) h1(cm) hteo(cm)

19.8 44.288 86.590 6.145 12.165 14.79 11.11 25.9

Errores(Experimental)

%Eteo %Eexp

24 32

6. Conclusiones y recomendaciones.

5.4. Conclusiones.

5.4.1. Flores Velasco Adriana Vianca

Experimental

A(cm2) Icg(cm4) hcg "(cm) hcp(cm) hcg(cm) h1(cm) hteo(cm)

86.590 596.66 11.27 11.88 23.15 11.11 34.26

Habiendo aplicado los conceptos básicos de física e hidrostática para la

determinación de fuerzas que actúan sobre una compuerta plana

inclinada y determinando tanto analítica como experimentalmente las

alturas del agua del cual finalizamos con el cálculo de los errores.

Puedo decir que para realizar la practica correctamente es necesario que

se conozca tanto el funcionamiento del equipo como conceptos básicos,

ya que al tomar datos seleccionados por unos mismo, es posible que no

se tomen todos los necesarios, lo cual podría complicar los cálculos o

incluso hacer el problema irresoluble en cuanto al porcentaje de error

que se obtiene puede involucrar tanto errores de la persona que mide,

como del diseño de los equipos, como ser al obtener la altura de líquido

el cual era muy inestable y pudo haber existido una lectura inadecuada.,

haciendo una análisis de los errores calculados esto se dio por la toma

datos del cual los errores son relativamente bajos .

Con la practica realizada pudimos verificar y afirmar que el centro de

presión de la compuerta se encuentra un poco más abajo del centro de

gravedad de la misma. Por lo cual pudimos darnos cuenta de que en un

problema de compuertas en la vida real es totalmente diferente que en un

problema teórico, debido a que nosotros ya tenemos que razonar y así

poder solucionar el problema al medir y sacar todos los datos necesarios,

que utilizaremos en los cálculos, algo que no pasa en la parte teórica.

5.4.2. Gabriel Gonzales Norma

En esta práctica Observamos que el porcentaje de error es relativamente

bajo podríamos relacionarlo a la mala medición de las longitudes por la

falta de comodidad al tiempo de medirlos e instrumentos de precisión,

también a los errores humanos que se cometieron en la medición de los

ángulos en este caso. También por otra parte la lectura de la altura

experimental se lo realizo con un grado de error por la rapidez con que

sucede el cambio de altura cuando se abre la compuerta, sale el fluido y

por el movimiento brusco del fluido.

5.4.3. Marca Montaño Maria Cecilia

Los errores son debido a la mala medición , es decir, a la falta de

exactitud de las mediciones, que podría ser atribuidas a los errores

humanos.

5.4.4. Rodríguez Vásquez Elizabeth

En la práctica se pudo obtener el valor de la altura de agua

experimental . La misma no fue medida con exactitud ya que se uso una

reglan la cual en la parte superior no era completamente recta por lo

cual la variación es dada por este motivo, la altura de agua teórica fue

calculada como se muestra en las operaciones realizadas anteriormente ,

presentando una margen de error considerable , por la inexactitud de la

toma de datos.

5.5. Recomendaciones.

Para encontrar la fuerza resultante que actúa sobre la superficie plana, se debe inicialmente encontrar el centro de presión del área de interés, dado

que en este punto actúa esta fuerza. Tener presente que el centro de presión siempre estará bajo el centroide. Identificar la forma de la superficie donde actúa la fuerza para así utilizar el

procedimiento acorde a la misma. Tomar en cuenta que la presión atmosférica en ciertos casos actúa sobre

ambas partes de la superficie, por lo que la misma se anula, pero en otros casos esta presión si se considera.

6. Referencias bibliográficas.

STREETER, V. Mecánica de fluidos, México – Editorial Mc Graw Hill, 6ta Ed. 1975, pág. 56 – 60

SOTELO, G. Hidráulica generalvolumen 1,Fundamentos, México – Editorial Limusa S.A. 5ta Ed. 1981, pág. 45 – 49

MOTT, R. Mecánica de fluidos aplicada. México – Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S. A., 1996, pág. 86 – 96

SHAMES, I. La mecánica de los fluidos, España – Ediciones del Castillo, 1967, pág. 61 - 67