Ingeniera de Control I Laboratorio N 2

Sistemas no lineales y modelos linealizados.

Sistemas sobreamortiguados. 1 INTRODUCCIN En esta segunda prctica de la asignatura Ingeniera de Control I se plantea cubrir los siguientes objetivos:

Comparar el comportamiento de un sistema no lineal y su correspondiente modelo linealizado. En concreto, el estudio se centra en un sistema de primer orden. Se parte de la ecuacin diferencial no lineal y se obtiene un modelo linealizado cuya ganancia y constante de tiempo dependen del punto de operacin.

Analizar el comportamiento de los sistemas en el dominio del tiempo en respuesta a seales patrn (impulso y escaln). Este comportamiento est caracterizado por la respuesta transitoria, debida a la dinmica del sistema y definida por su funcin de transferencia, y por la respuesta estacionaria, debida a la constancia de la excitacin.

() = () + (); lim

() = 0

Familiarizarse con el entorno Matlab y, ms concretamente, con el Toolbox Simulink, que permite simular sistemas dinmicos mediante un entorno grfico de ventanas.

2 MODELO NO LINEAL Y MODELO LINEALIZADO Considrese el sistema formado por un tanque cilndrico de seccin constante (ver Figura 1) al que entra un caudal () de un cierto fluido. El tanque descarga por gravedad un caudal (), que depende del nivel del fluido almacenado en el tanque, ().

Figura 1 Tanque cilndrico de seccin constante

Se conoce el modelo no lineal que relaciona la altura () con el caudal de entrada ()

()

= () ()

Siendo:

= 10

= 1 2

PREPARACIN DE LA PRCTICA

Sabiendo que el caudal de entrada () en el punto de operacin es de 10 , obtener el modelo linealizado alrededor de dicho punto.

Obtener la funcin de transferencia del modelo linealizado. REALIZACIN EN EL LABORATORIO La respuesta temporal de un sistema no lineal y/o de un modelo linealizado puede calcularse mediante un programa de simulacin como Matlab. Adems de la potencialidad de clculo que ofrece este programa, existen un conjunto de Toolboxes, algunas de ellas especficas para el diseo de sistemas de control. Concretamente, nos vamos a centrar en SIMULINK, un entorno interactivo para el modelado, anlisis y simulacin de sistemas dinmicos. Permite de una manera fcil y rpida construir diagramas de bloques, simular su comportamiento y ver grficamente los resultados de la simulacin. El objetivo de esta primera parte de la prctica es analizar la validez de un modelo linealizado alrededor de un punto de operacin, para lo que se estudia mediante simulacin la respuesta del modelo no lineal y del modelo linealizado para diferentes saltos en la entrada. Introduccin a Simulink Vamos a utilizar el entorno Simulink, ejecutable desde Matlab, para crear un fichero Simulink que contenga el diagrama de bloques del modelo no lineal y el del modelo linealizado considerados en el apartado anterior. En concreto, el diagrama de bloques que se va a construir es el presentado en la Figura 2. Los pasos que se deben dar son los siguientes: 1. Arrancar Simulink desde el prompt de la ventana de comandos de Matlab: >> simulink o pulsando el icono de la figura 3 enmarcado en un crculo:

Figura 2 Diagrama bloques a construir en Simulink

Figura 3 Arrancando Simulink

y aparecer la ventana Simulink que contiene un conjunto de libreras de bloques que se utilizarn para la construccin de diagramas.

Figura 4 Libreras de Simulink

2. Seleccionar la opcin NewModel del men File para abrir una ventana nueva vaca en la que se va a construir el modelo. La nueva ventana se llamar Untitled; el nombre se asignar cuando salvemos el fichero Simulink en el disco. 3. Haciendo click en una librera de bloques se abre una nueva ventana que muestra los bloques que la componen. A continuacin abrimos la librera Continuous y presionando con el ratn en el bloque Transfer Fcn lo arrastramos hasta copiarlo en la nueva ventana.

Figura 5 Bloque Funcin de Transferencia

4. Haciendo doble-click en el bloque Transfer Fcn, aparece una ventana que permite introducir los coeficientes del numerador y denominador de la funcin de transferencia que se desee, siempre como vectores (entre corchetes) cuyos elementos representan los coeficientes del polinomio y en orden decreciente de potencias de s. Por ejemplo, como se muestra en la Figura 6, para la funcin de transferencia del modelo linealizado, los coeficientes a introducir son: numerador

[1] y denominador [1 5].

Figura 6 Establecimiento de coeficientes en el Bloque Funcin de Transferencia

5. De la librera Sources se puede obtener el bloque Step (entrada escaln). Haciendo doble-click en el bloque Step, se define la amplitud del escaln y el instante en que se aplica. Por ejemplo, para un escaln de amplitud 1 en t = 5, habr que introducir los siguientes parmetros:

Step Time 5 Initial Value 0 Final Value 1

6. Para almacenar los datos de la simulacin en variables del entorno Matlab se utiliza el bloque To Workspace que se encuentra en la librera Sinks. Si conectamos este nuevo bloque a la salida del bloque funcin de transferencia, el resultado de la simulacin (en nuestro caso la salida del sistema a respuesta escaln) se almacena en una variable (en este caso un vector) del espacio de trabajo de Matlab. Haciendo doble-click sobre el bloque aparecern varios campos. En uno de ellos se da nombre a la variable que almacenar el vector, y en el segundo se indica el n mximo de puntos que tendr ese vector columna. Para que los datos se guarden en forma de vector, se deber elegir en el campo Save Format la opcin Array. 7. Una vez que se tienen definidos los bloques que forman el modelo, es necesario conectarlos para formar el diagrama de bloques que se desea. Para dibujar las lneas que conectan los bloques se debe situar el puntero del ratn en la salida de un bloque, presionar el botn izquierdo del ratn y arrastrarlo hasta la entrada del bloque al que se desea conectar. 8. Por cada vector que deseemos almacenar en memoria para una posterior visualizacin grfica, es necesario un bloque To Workspace. As, vamos a almacenar en el espacio de trabajo de Matlab cuatro vectores: el vector salida del modelo no lineal, el vector salida del modelo linealizado, el vector de entrada que lo obtendremos a la salida del bloque step, y el vector de tiempo, ya que tanto las simulaciones en Matlab como el anlisis temporal se hace en base a un vector de tiempos. Este vector de tiempo se puede definir en la opcin Data Import/Export del men Configuration Parameters de la ventana que hemos creado (ver Figura 7). Para no limitar el nmero de valores de tiempo a almacenar en el vector, se debe quitar la seleccin de Limit data points to last, tal y como aparece marcado por una circunferencia en la Figura 7. El nombre del vector de tiempos, se puede definir en la zona recuadrada de la Figura 7. Para salvar el modelo editado en un fichero de extensin .mdl se debe elegir la opcin save as del men file.

Figura 7 Definicin del vector de tiempo

9. Otros bloques utilizados, como por ejemplo, gain, integrator, etc, se pueden buscar fcilmente, tal y como se muestra en la Figura 8. Concretamente, el operador raz cuadrada, sqrt, se encuentra en la librera math functions.

Figura 8 Bsqueda de bloques en Simulink

10. Antes de pasar a simular el comportamiento del sistema, vamos a ver cules son los parmetros a definir para realizar una correcta simulacin. El tiempo de simulacin quedar fijado mediante los parmetros tiempo de inicio y tiempo de fin de la misma. Por otra parte, debido a que la simulacin de modelos Simulink implica la integracin numrica de un conjunto de ecuaciones diferenciales, habr que elegir, dependiendo del tipo de sistema y de la dinmica del mismo, un algoritmo o mtodo de integracin de entre los disponibles en Simulink (para sistemas lineales se recomienda utilizar ode45 (Dormand-Prince)). En el caso de utilizar este mtodo conviene seleccionar un paso de integracin fijo (Fixed-step) y un tamao de paso fijo con un valor que se selecciona dependiendo de la dinmica del sistema. Por ejemplo, si la constante de tiempo de 3,5 min., debemos elegir un paso de integracin tal que en esos 3,5 min. nos calcule el nmero de puntos en funcin de la precisin deseada. Con un paso de 0.01 calcular 350, con un paso de integracin de 0.1 calcular 35. Por otro lado, se debe elegir un tiempo final que asegure que el sistema ha llegado al estacionario pero que no sea demasiado largo, porque si lo es, el transitorio prcticamente no se distinguir. Por tanto, se deber calcular el tiempo de establecimiento con el objetivo de seleccionar como tiempo final un valor superior pero no alejado de dicho valor. Observar que una vez definido el tiempo de inicio y el tiempo final, el nmero de puntos que se generar con paso de integracin fijo ser:

() =

+ 1

En este caso, si tomamos como paso de integracin 0.01 y como tiempo final 10 , el nmero de puntos que se generarn ser de 1001. Por tanto, este es el nmero de puntos que deben contener los vectores ToWorkspace. Alternativamente, se puede fijar el parmetro Limit Data Points To Last al valor inf, en cuyo caso se almacenan todos los puntos de la simulacin. Todos estos parmetros se definen en la opcin Solver del men Configuration Parameters de la ventana que hemos creado. Aparecer la ventana de parmetros, con unos valores por defecto, que tendremos que fijar de acuerdo con la simulacin que deseemos realizar.

Figura 9 Parmetros de simulacin

11. Si ahora seleccionamos la opcin Start del men Simulation, comenzar la simulacin y se detendr en el instante definido en Stop Time. 12. Una vez finalizada la simulacin, podemos dibujar los vectores que interesen en funcin del tiempo. Las grficas se dibujan en la ventana grfica mediante el comando plot(). Si, por ejemplo, quisiramos representar grficamente la entrada

y la salida del modelo no lineal, hNL, respecto al tiempo, debemos ir a la ventana de comandos de Matlab y ejecutar el comando plot() (para ms informacin utilizar el comando help plot desde la ventana Matlab. >> plot (t,Fe,g,t,hNL,b) Este comando Matlab dibuja los vectores Fe (en verde) y hNL (en azul) en el eje de ordenadas y el vector t en el eje de abscisas. Para completar el grfico, se puede dar un ttulo a la grfica: >> title (Respuesta del modelo no lineal) As mismo, se pueden etiquetar los ejes: >> xlabel (tiempo (minutos)) >> ylabel (Fe(t) verde, hNL(t) azul)

13. Si variamos algn parmetro de este sistema y volvemos a simular para comparar el nuevo resultado con el anterior, podemos mantener las grficas anteriores. Para ello es necesario ejecutar en la pantalla de comandos de Matlab la siguiente orden: >> hold on Este comando mantendr las grficas mientras no se ejecute el comando hold off. El comando clc borra la pantalla grfica. Comparacin del comportamiento del modelo no lineal y del modelo linealizado Como ya se ha comentado, el objetivo de la primera parte de la prctica es analizar el rango de validez del modelo linealizado. Para ello, se van a comparar las respuestas de ambos modelos (no lineal y linealizado) ante distintos saltos en la entrada a partir del punto de operacin. Para realizar la simulacin se proceder de la siguiente manera:

Determinar el punto de operacin a estudiar. Para ello, se deber indicar, en los bloques constantes denominados PO Fe y PO h en el diagrama de bloques, los puntos de operacin del caudal de entrada y del nivel,

respectivamente. Calcular este punto si se conoce el valor de la entrada =10 . El valor del nivel en el P.O. se puede calcular a partir de la ecuacin esttica.

Determinar el incremento en la entrada. El incremento en la entrada, denominado en el diagrama de bloques Incremento Fe, es un escaln

aplicado en = 5 (Step Time=5). De esta manera se consigue que la simulacin de la respuesta del sistema a distintas entradas se realice a partir del punto de operacin.

Comparar las respuestas del modelo no lineal y del modelo linealizado para los siguientes valores del punto de operacin y de la entrada:

o Incremento = 1 o Incremento = 4

Disctase los comportamientos observados y dedzcase para qu casos el modelo linealizado es una buena aproximacin.