Fundacin Universitaria Los Libertadores

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES ALEJANDRO MESA MUOZJHON LEANDRO TORRES AGUILARFacultad de Ingeniera Ingeniera ElectrnicaLaboratorio aplicado a la Convolucion Discreta

RESUMENEste documento busca proporcionar grficamente los conceptos relacionados con el muestreo identificando a la convolucion discreta como tema a tratar ya que La convolucin discreta se define en base a la respuesta de un sistema LTI a cualquier entradaEste resultado se conoce como la suma de convolucin y la operacin del miembro derecho define la convolucin de las secuencias x[n] y h[n] en este documento implementa un sistema sencillo en el cual se identifica en primera instancia el tipo de filtro LIT y desarrolla la ecuacin perteneciente al sistema, de all se identifica el tipo de filtro, este paso se identifica la respuesta al impulso del sistema y se compara la solucin obtenida en matlab con la posible respuesta terica.

Palabras claves: FIR,IIR, convolucion discreta.

ABSTRACTThis paper aims to provide graphically the concepts related to sampling by identifying the discrete convolution as a subject to be treated as the discrete convolution is defined based on the response of an LTI system to any input This result is known as the convolution sum and operation of Member law defines the convolution of sequences x [n] and h [n] in this paper implements a simple system which is identified in the first instance the filter type equation LIT and develops within the system, hence identifying the type filter, this step identifies the impulse response of the system and compares the solution obtained in matlab with the possible theoretical answer.

Keywords: FIR, IIR, LTI discrete convolution.

Presentado A:Luis Fernando Cancino de GreiffFundacin Universitaria Los Libertadores fdocancino@hotmail.com

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1. INTRODUCCIONuna forma de representar un sistema es a travs de su respuesta enfrecuencia o funcin transferencia; existe otra forma de caracterizar un sistema, en el dominio del tiempo y es mediante su respuesta al impulso. Es decir:

Cuando x[n]= [n], la salida y[n], la cual llamaremos h[n], ser la respuesta al impulso o

respuesta impulsiva. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta a

x[n] = A[n-k]serAh[n-k]

Esto nos permitir conocer la respuesta a cualquier entrada arbitraria x[n] ya que siempre podemos expresar a x[n] como:

x[n] = Ak.[n-k]

Por lo tanto aplicando superposicin:

y[n] = Ak.h[n-k]Esto se conoce como convolucin discreta o suma de convolucin entre la entrada (definida por los Ak) y la respuesta impulsiva h[n]

y[n] = x[n]* h[n]

1.1 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION DSICRETA

1. Conmutatividad:

x[n]*y[n]= y[n]*x[n]

2. Asociatividad:

(x[n]*y[n]*w[n] = x[n]*(y[n]*w[n])

Esto es aplicable por ejemplo si queremos determinar la salida para la cascada de 2 sistemas con respuesta impulsiva h1[n] y h2[n] respectivamente. Esta propiedad permite concluir que el orden de colocacin de los sistemas no es importante.

(x[n]* h1[n])*h2[n] =(x[n]* h2[n])*h1[n]

3. Distributividad:

(x[n]+y[n])*w[n] = x[n]*w[n] + y[n]*w[n]

Esta propiedad nos permite determinar la salida cuando la seal de entrada pasapor dos sistemas conectados en paralelo.

Ejemplo:Un sistema con respuesta h[n] es alimentado con una seal x[n], tal y como se muestra a continuacin.

Determine la salida y[n] de dicho sistema mediante convolucin.

Pasos para resolver la convolucin discreta.

1.- Se cambia la variable n por k(x[n] x[k])y(h[n]h[k]) y se refleja h[k] es decir h[-k]

2.- Se debedesplazarh[-k]n unidades, es decir, h[n-k], consiguiendo h[-(k-n)]

3.- Buscar los intervalos para los cuales x[k].h[n-k] = 0, para hallar el comienzo y fin de la convolucin.

Para determinar estos valores se grafica dejando x[n] en su lugar y dibujando h[n-k] hacia la izquierda y derecha de x[n].

Como sigue a continuacin:

Para que x[k].h[n-k] = 0,hacia la izquierdan+12

n >2+1

n>3Por lo tanto, la convolucin comenzar en n = -1yterminar en n=3.

4.- Luego se deben multiplicar x[k].h[n-k], solo desplazando h[n-k] hacia la derecha. En este caso desde n= -1 hasta n = 3Para n=-1

y[-1]= 4 x 10 = 40

Para n = 0

y[0]= 4 x 20 + 3 x 10= 110

Para n = 1

y[1]=4 x 10 + 3 x 20 + 2 x 10 = 120

Para n = 2

y[2]=3 x 10 + 2 x 20 = 70

Para n = 3

y[3]= 2 x 10= 20

Seal:y[n] = x[n]* h[n]

2 EJERCICIOS

Solucin del laboratorio

Con base en el siguiente sistema :

sistema a desarrollar.

a) Determinar si el sistema es FIR o IIR.

RTA.

EL sistema es un sistema FIR porque la respuesta al impulso h(n) es cero fuera de un intervalo finito de valores de n, es decir.

h(n) =0 para n Npor lo tanto la convolucion para el sistema FIR toma la forma

y[n]= x[n] ay[n-1]+bx[n-1]

b) Encuentre la respuesta y(n) al impulso si a = 0.

RTA.

y[n]=x[n]+by[n-1]

c) Encuentre la respuesta y(n) al impulso si b =0.

RTA.

y[n]=x[n]ax[n-1]

1) implemente en matlab el siguiente sistema del punto anterior :

a) Con a=1/2 y b=1 aplique una seal impulso grafique y guarde la respuesta h(n) correspondiente a 50 muestras

a=[1 -1/2];b= [1 1];x=0:50;x=zeros (51,1);x (1)=1;y=filter (b, a, x);Stem (y).

Este el sistema en el cual se define sus dos primeras filas las variables de a y b , despus se coloca el correspondiente rango de muestras (n) que puede ser de 50.

Grafica 1 respuesta aplicando impulso de 2.

a) Aplique un escalon unitario y grafique la respuesta para 50 muestras

a=[1 -1/2]; b= [1 1]; x=0:50; x=zeros (51,1); x (1)=2;y=filter (b, a, x);Stem (y).

Anexando al cdigo la siguiente fila

x(1)=2. Se obtiene la siguiente grafica

Grafica 2 respuesta aplicando impulso unitario.

b) Aplique una seal sinusoidal de periodo de 10 muestras y encuentre las salidas correspondientes a 50 muestras.

Anexando las dos siguientes filas al codigo.n=0:10;x=sin(2*pi*n);

obtenemos la siguiente grafica

a=[1 -1/2]; b= [1 1]; x=0:50; x=zeros (51,1); x (1)=1;x (1)=2;n=0:10;x=sin(2*pi*n);y=filter (b, a, x);Stem (y)

Grafica 3 respuesta aplicando una seal sinusoidal periodo 10. De esta manera se obtuvo las tres respuestas de las graficas modificando la seal de entrada al sistema.modificando el periodo a la seal Grafica4: comportamiento de la seal a 50 muestras.b) Mediante la funcin conv de matlab determine: a) Y(n)=conv(x,h) cuando x corresponde a un escalon unitario y h a la respuesta impulso obtenida en el numeral (a) del segundo punto

Anexando la siguiente fila con la funcin convolucion

y1=conv(x,y)

obtenemos la siguiente grafica

a=[1 -1/2]; b= [1 1]; x=0:50; x=zeros (51,1); x (1)=1;y=filter (b, a, x);stem (y); y1=conv(x,y)stem(y1)

Grafica 5: convolucion de la respuesta con un impulso.

De esta manera se puede observar el resultado de esta convolucion al existir un impulso a la entrada del sistema.

b) Y(n)= conv(x,h) cuando x corresponde a la seal sinusoidal del numeral (c) y h la respuesta impulso obtenida en el numeral (a) del segundo punto.

En este punto se realiza como entrada una seal sinusoidal para el sistema para observar su comportamiento.

a=[1 -1/2]; b= [1 1]; x=0:50; x=zeros (51,1); n=0:10;x=sin(2*pi*n); y=filter (b, a, x);stem (y); y1=conv(x,y)stem(y1)

Solucin del sistema proporcionada por matlab

y1 = 1.0e-028 *

Columns 1 through 8

0 0 0.0006 0.0033 0.0100 0.0230 0.0445 0.0768

Columns 9 through 16

0.1224 0.1836 0.2628 0.3623 0.4553 0.5312 0.5835 0.6079

Columns 17 through 21

0.6009 0.5596 0.4814 0.3636 0.2040 (25)

Grafica6: convolucion de la respuesta del sistema con una seal sinusoidal de entrada.

4. CONCLUSIONESComparacin: Si existe una respuesta al impulso en un sistema y se aplica una seal impulso unitaria esta convolucion da igual y el resultado aumenta en nmero de muestras pero en peridicamente la respuesta es la misma al hallar la funcin h(t) se define para t>=0 y decrece cuando t->00, para la mayora de los sistemas fsicos. Por tanto, La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasados de la entrada

Grafica 7: convolucion con 50 muestras. Respuesta de la convolucion.

Grafica 8: respuesta del sistemaLas dos graficas que se obtienen y se pueden observar que hay diferencias, la respuesta del sistema tiene impulsos negativos y peridicamente no forma ninguna seal, en cambio la convolucion final obtenida tiene impulsos positivos. Los valores ms recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes ms antiguos (y ms grandes) valores de h(t). formando la grafica de la figura 6 y 7, las muestras en la convolucion se duplican si la respuesta era de 100 la convolucion alcanza un muestreo de 200.

5. BIBLIOGRAFIASeales y Sistemas. Oppenheim, Alan V. Editorial Prentice Hall. 2Ed1998Fundamentos de Seales y Sistemas usando Matlab Kamen, Edward. Editorial Prentice Hall. 2000

Procesamiento de Seales Analgicas y Digitales. Ambardar, Ashok. Editorial Thomson. 2Ed. 2002