Tomando la función de transferencia del motor DC

G (s )= 2.72680.6074 s+1

ecuacion1

Se hace uso de la funcion rlocus de MATLAB para calcular los polos en lazo cerrado de la ecuación 1 sin controlador con el siguiete código. s=-1.65 como muestra la figura 1

Figura1. Lugar geométrico de las raíces de la planta sin controlador

%lugar de raíces de la planta sin compensarnum=[2.7268];den=[0.6074 1];G=tf(num,den);figure(1)rlocus(num,den) sgrid(.8,0)%0.8 corresponde a sobrepaso de 5% frecuencia natural wn constantetitle('Root Locus sin Coontrolador')

Para el diseño del controlador PID observamos las características del sistema en lazo abierto. Cuando la entrada del sistema es una función escalón de amplitud 1 la función de transferencia de la ecuación 1 tiene una ganancia de 2.67, tiempo de establecimiento de 2,32 segundos y error de estado estable 0%. Ver figura 2.

Figura2. Respuesta con entrada escalón unitario del sistema de la ecuacion1

Se busca un sistema con tiempo de estado estable de 2 segundos, error de estado estable de 1% dado que el funcionamiento real de la planta no es ideal.

Teniendo en cuenta la ecuacion2

τ= 4ω∗σ

ecuacion2

Reemplazando los valores de tiempo se establecimiento de 2s y el factor de amortiguamiento de 1 se obtiene que ω=2.01 .Esto corresponde a ubicar un polo complejo en -2±0.2j.

Para el diseño del controlador se calcula la función de transferencia del sistema de la figura3.

❑❑

Escriba aquí la ecuación.La ecuación característica para

Con la funcion rlocfind de MATLAB se calcula la ganancia que corresponde a una posición dada de los polos de lazo cerrado del lugar de raíces con el código que se muestra a continuación.

%Ganancia con compensador[k,poles] = rlocfind(num,den) [numc,denc]=cloop(k*num,den,-1); figure(2)t=0:0.01:6; step(numc,denc,t) title('Step response with gain')

AL seleccionar el punto -1.9941 + 0.2011i en el lugar geométrico la ganancia que se obtiene es 0.0895 y polo en -2.0480. La ganancia se puede observar en la figura 3,

Figura3. Magnitud de la respuesta a entrada escalón del polo en punto -1.9941 + 0.2011i

Como se observa en la figura3 es posible cumplir la condición de tiempo y error de estado estable pero la ganancia presenta un error de 80%

Si para reducir el error se incrementa la ganancia, el sobrepaso sería excesivo, por lo tanto se recurrirá a un compensador por atraso. La función de transferencia del compensador es

Gc ( s)= s+2s+0.2

ecuacion3

Haciendo uso de las funciones de convolucion y rlocus se grafica el sistema en lazo cerrado con el siguiente código:

%Compensador z1=2;

p1=0.2; numa = [1 z1]; dena = [1 p1]; numb=conv(num,numa); denb=conv(den,dena); figure(3) rlocus(numb,denb) sgrid(.8,0) title('Root Locus with a lag controller')

[k,poles]=rlocfind(numb,denb) [numc,denc]=cloop(k*numb,denb,-1); figure(4)t=0:0.01:3; step(numc,denc,t) title('Step response with a lag controller')

Si observamos la grafica de ganancia

Utilizando del método del lugar de las raíces para definir la ecuación del controlador PID con polos en