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Modelización, Simulación y Validación de Sistemas Dinámicos
Presentado por: Héctor Camilo Serrano Sánchez- 2420111015
Daniel Felipe Pérez Borja- 2420111005
Grupo Numero: 10
Presentado a: Oscar Barrero Mendoza, PhD.
Profesor Asociado, Programa Automatización Industrial
Universidad de Ibagué
Control electrónico II
Ibagué
2015
OBJETIVOS GENERALES
Verificar y simular el modelo matemático de la planta
Preparar herramientas base para el desarrollo de las practicas siguientes
de laboratorio
Aplicar y validar conceptos de modelamiento matemático en sistemas
dinámicos
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Comprobar el diseño del filtro, comparando el comportamiento del sistema
real con el modelo de simulación que para nuestro caso será nuestra planta
Realizar una validación cuantitativa del modelo en un valor que nos
permita valorar el ajuste de la respuesta del modelo con respecto al
sistema original, se utilizara un indicador llamado la ‘’raíz cuadrada del error
medio cuadrático’’
Realizar la correcta adquisición de la señal ya que en tiempo discreto es
de gran importancia cuando hablamos de diseños de sistemas de control
digital o en tiempo discreto
Hacer el adecuado análisis del proceso o planta para el muestreo de
señales, basándonos en un tiempo constante ‘T’, el cual nos indicara el
tiempo de muestreo de nuestra señal
INTRODUCCION
El modelamiento de los sistemas dinámicos es una etapa muy importante
en el diseño de controladores basados en modelos matemáticos, los cuales
se basan en información presente y pasada de las variables, y esta descrito
por una ecuación diferencial, para llegar al modelamiento matemático
podemos iniciar desde varios puntos como , el circuito eléctrico , el diagrama
de bloques, espacio de estados , la función de trasferencia .Para nuestro
caso partimos de la función de transferencia que caracterizaba un filtro activo
de tercer orden pasa bajo que sería analizado no como un filtro si no como
nuestra planta , la cual tendría una respuesta paso de segundo orden ante
una entrada paso, con la función de transferencia podemos relacionar la
ubicación de los polos s1 y s2 con las respuesta transitoria del sistema de
segundo orden para caracterizar nuestra señal de salida con los siguientes
parámetros ‘’tiempo pico , tiempo de asentamiento, tiempo de oscilación,
tiempo de establecimiento’’ etc. Luego se procede a realizar la toma de datos
para la validación del modelo con ayuda de la tarjeta de adquisición, para
esto lo más importante es tener claro nuestro tiempo de muestreo la cual la
obtendremos con ayuda de nuestro ‘’Td’’, para la adquisición de datos se
utilizó un tarjeta de adquisición de la National Instruments (Figura 1).
Fig.1 Tarjeta de adquisición para tomar los datos
Por último se procedió a Realizar la validación cuantitativa del modelo, en
un valor que nos permitiera valorar el ajuste de la respuesta del modelo
con respecto al sistema original, con ayuda de la raíz cuadrada del error
medio cuadrático
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Primera Sesión (1 clase) - Modelamiento y Simulación de sistemas
dinámicos
En esta sesión se obtiene previamente la función de transferencia del sistema de
un filtro activo de tercer orden topología Sallen-Key, Y se prosigue a obtener
.
Figura N°1 Filtro de tercer orden topología Sallen-Key
Función Transferencia Filtro
𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐅𝐢𝐥𝐭𝐫𝐨 𝟏𝐞𝐫 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧
1Cs Vin
R3 +1Cs
= R5 ∗ Vo
R5 + R4
𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨𝐕𝐨
𝐕𝐢𝐧
R5 + R4
R5(Cs ∗ R3 + 1)=
Vo
Vin
1 +R4R5
Cs ∗ R3 + 1=
Vo
Vin
𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐅𝐢𝐥𝐭𝐫𝐨 𝟐𝐞𝐫 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧
𝐕𝐨𝐥𝐭𝐚𝐣𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐍𝐨𝐝𝐨𝐬
𝐍𝐨𝐝𝐨 𝐕𝟏
Vin − V1
R1= (V1 − Vo)C2s +
V1 − Vo
R2
𝐎𝐫𝐠𝐚𝐧𝐢𝐳𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬
Vin
R1+ Vo ∗ C2s +
Vo
R2=
V1
R1+ V1 ∗ C2s +
V1
R2
Vin
R1+ Vo (C2s +
1
R2) = V1(
1
R1+ V1 ∗ C2s +
1
R2)
Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1
R1 ∗ R2= V1(
R2 + R1 ∗ R2 ∗ C2s + R1
R2 ∗ R1)
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 (𝟏)
Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1 = R2 + R1 ∗ R2 ∗ C2s + R1
𝐕𝐨𝐥𝐭𝐚𝐣𝐞 𝐕+= 𝐕 −
𝐕−= 𝐕𝐨
𝐍𝐨𝐝𝐨 𝐕 +
V1 − Vo
R2= VoC1s
𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐕𝟏
V1 = Vo ∗ C1s ∗ R2 + Vo
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 (𝟐)
V1 = Vo (C1s ∗ R2 + 1)
𝐑𝐞𝐞𝐦𝐩𝐥𝐚𝐳𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟐 𝐞𝐧 𝟏
Vin ∗ R2 + Vo(C2s + 1)R1
= R22C1sVo + R22R1C2sC1sVo + R2R1C1sVo + R2Vo + VoR1R2C2s
Vin ∗ R2 = Vo( R22C1s + R22R1C2sC1s + R2R1C1s + R2 + R1R2C2s + R1 − R1
− R1C2SR2)
Vin
Vo=
1
1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2
Multiplican Las dos Funciones de Transferencia de ambos filtros
Vout(s)
Vin(s)=
1
1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2.
1 +R4R5
1 + R3C3s
Diseño del filtro de tercer orden, para este caso la planta:
Vout(s)
Vin(s)=
1
1 + C1(R1 + R2)s + R1R2C1C2 s2.
1 +R4R5
1 + R3C3s
C2 = 10C1
R1,2 =C2 ± √C22 − 4C1C2
2Wc. C1. C2
R3 =1
WcC3,
R4
R5= 0.5
Wc = 15 − NG
Wc = 15 − 10
𝐖𝐜 = 𝟓𝐫𝐚𝐝
𝐬
𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐂𝟏 = 𝟏𝐮𝐟
C2 = 10(1uf)
𝐂𝟐 = 𝟏𝟎𝐮𝐟
R4 = 0.5R5
𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐑𝟓 = 𝟐𝟏𝐤Ω
𝐑𝟒 = 𝟗, 𝟕𝐤Ω
𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐂𝟑 = 𝟏𝐮𝐟
R3 = 1/wcC3
R3 =1
(4rad
s ) (10uf)
𝐑𝟑 = 𝟏𝟗𝟗. 𝟔𝐤Ω
R1 =C2 + √C22 − 4C1C2
2WcC1C2
𝐑𝟏 = 𝟏𝟖𝟒. 𝟑𝐤Ω
R2 =C2 − √C22 − 4C1C2
2WcC1C2
𝐑𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟒𝐤Ω
Simulación en Matlab
Código mediante el cual obtenemos Respuesta en el tiempo de la
planta de tercer orden
%Funcion de Transferencia Hs1=tf(1,[R1*R2*C1*C2 C1*(R1+R2) 1]); Hs2=tf(1+R4/R5,[R3*C3 1]); Hs=Hs1*Hs2; step(Hs);
FIGURA 1° SEÑAL DE LA RESPUESTA DE NUESTRA PLANTA OBTENIDA DE
MATLAB
Para corroborar que la respuesta de nuestra planta es la obtenida en Matlab,
procedemos a simular nuestro filtro de tercer orden en proteus y observaremos si
la señal de salida de ese filtro es el mismo que obtuvimos en Matlab.
Simulación en proteus del filtro de tercer orden
FIGURA 2° SEÑAL DE LA RESPUESTA DE NUESTRA PLANTA OBTENIDA DE
PROTEUS
ANALISIS Y RESULTADOS
SALIDA SOBRE ENTRADA
(737,5mV) / (518.8mV) =1,48V
En la figura 3° el tiempo pico (Tp)
de esta figura podemos observar
que es de 1.080 seg, es el pico
más alto de esta figura.
Figura 3°
En la figura 4° hallamos el tiempo de
establecimiento (Ts) que nos da un valor
aproximado de 2.160 seg, este tiempo de
establecimiento es el tiempo que tarda
en entrar a la banda de tolerancia
Figura 4°
En la figura 5° obtenemos el valor del
sobreimpulso (Mp) nos dio un valor
aproximado de 12,50mV. Este valor
es la diferencia entre el valor máximo
y el valor de estado estable.
Figura 5°
En la figura 6° podemos observar el
valor de Td es de 1 seg, ese tiempo lo
obtenemos del tiempo pico máximo y
el periodo de una oscilación senoidal
Figura 6°
En la figura 7° obtenemos el valor del tiempo de elevación (Tr) , que es el tiempo que la respuesta tarda de ir del 10% al 90% del valor de estado
estable.
Figura 7°
Toma de datos Para la validación del modelo
Con el fin de obtener los datos para validar el modelo matemático, se deben
muestrear y almacenar los datos de la entrada y salida del sistema real, y así poder
comparar estos con la respuesta del modelo.
Ganancia= 1.48
Td=1.2 aplicando la fórmula para tiempo de muestreo a partir de Td
𝑡𝑑
30 ≤ 𝑇 ≤
𝑡𝑑
10
Obtenemos un tiempo de muestreo:
T= 0.06 tiempo de muestreo
FIGURA 8°
En la figura 8° anterior podemos observar la señal de entrada y salida de nuestra
planta, la señal de entrada es una señal cuadrada de 1v pp (señal azul), y la señal
de salida es la planta con una ganancia de A=1.48v (señal verde)
0 5 10 15 20 25 30 35-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
FIGURA 9°
Esta figura 9° es la validación de la planta real comparando los
datos adquiridos contra los datos de la planta en simulación,
con dichos datos podemos implementar la ecuación para hallar
el error medio cuadrático
IMPLEMENTADO CODIGO EN MATLAB PARA HALLAR EL
ERROR.
% Calculo del el error medio cuadratico RMSE
n=length(ysim);
RMSE=sqrt((1/n)*(sum((b-ysim).^2)))
RMSE = 0.4638
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Sistema Real Vs Sistema Modelado
CONCLUSIONES
Se concluye que para una mayor exactitud y correcta elección del tiempo de
muestreo se debe realizar una medición muy precisa del Tiempo de retardo
‘’td’’ y el valor máximo de amplitud en ese punto, ya que está directamente
relacionado a la hora de la elección de nuestro tiempo de muestreo.
Se concluye que nuestra practica no es necesario polarizar con una fuente
dual (+,-), ya que veremos en nuestro osciloscopio nuestra señal deseada y
una señal invertida que para fines de nuestra practica es innecesaria, tan
solo con una fuente de alimentación positiva nos basta para realizar el
correspondiente análisis de nuestra planta.
Se concluye que para la validación cuantitativa, que consiste en arrojar una
cifra de ajuste entre lo simulado y lo real, tenemos que realizar la
correspondiente medición de nuestros implementos a utilizar, tales como
resistencias, condensadores y nuestra propia alimentación si queremos unos
datos más reales ya que sabemos que dichos dispositivos presentan
perdidas por tanto sus valores no son exactos y difieren a los que tenemos
simulados.
Se puede concluir que con ayuda del modelamiento matemático, podemos
tener una representación numérica más sencilla de nuestro circuito, el cual
nos dará una mayor flexibilidad a la hora de realizar el correspondiente
análisis.
ANEXOS DE CODIGO
%LAB 1 DISEÑO DE LA PLANTA %DANIEL FELIPE PEREZ BORJA Y HECTOR CAMILO SERRANO %GRUPO NUMERO 10 %% Wc=15-10; C1=1e-6 C2=10e-6 C3=1e-6
R1=184.3e3 R2=21.4e3 R3=199.6e3 R4=9.7e3 R5=21e3 %R1=(C2+(sqrt(C2^2-(4*C1*C2))))/(2*Wc*C1*C2) %R2=(C2-(sqrt(C2^2-(4*C1*C2))))/(2*Wc*C1*C2)
%%Funcion de Transferencia Hs1=tf(1,[R1*R2*C1*C2 C1*(R1+R2) 1]); Hs2=tf(1+R4/R5,[R3*C3 1]); Hs=Hs1*Hs2; step(Hs);
código#2 obtención datos de la tarjeta de adquisición
%% Carga de datos y grafica del sistema real
load datos.lvm
t=datos(:,1);
t=t-t(1)
ch1=datos(:,2);
ch2=datos(:,3);
figure(2)
plot(t,ch1,t,ch2);% Grafica los voltajes tomados en los canales 1 y
2 en funcion del tiempo.
a=ch2(35:107);
b=ch1(35:107);
figure(3)
plot([a,b])
title 'Grafica Sistema Real'
grid on
Código #3 validación comportamiento del modelo %% Validacion del Modelo
Ts=0.06;
T=0:Ts:((length(a)-1)*Ts);%Para la grafica correcta, tiene que
hacer la entrada paso entre 0 y 2
ysim=lsim(Hs,a,T).*0.66; % a-a(1) para que la entrada este entre 0
y 2
figure(4)
plot(T,ysim,'b',T,a,'k',T,b,'r') %b-b(1) para que la grafica este
entre 0 y 3
%ysim:simulada azul,a+1:entrada negra,b:salida real roja
title 'Sistema Real Vs Sistema Modelado'
grid on