La Secuencia Didáctica para Fortalecer la Interpretación ...
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La Secuencia Didáctica para Fortalecer la Interpretación de
Problemas Matemáticos que Involucren las Cuatro Operaciones Básicas
Carol Adriana Mera Imbachi
Heidi Fernanda Ortega Medina
Martha Isabel Garay González
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Línea de Profundización en Matemáticas
Programa Becas para la Excelencia Docente
Ministerio de Educación Nacional
Santander de Quilichao, Octubre de 2017
La Secuencia Didáctica para Fortalecer la Interpretación de
Problemas Matemáticos que Involucren las Cuatro Operaciones Básicas
Carol Adriana Mera Imbachi
Heidi Fernanda Ortega Medina
Martha Isabel Garay González
Trabajo para optar el título de
MAGISTER EN EDUCACIÓN
Directora de trabajo de grado
Mag. Lina Gallego Berrio
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Línea de Profundización en Matemáticas
Programa Becas para la Excelencia Docente
Ministerio de Educación Nacional
Santander de Quilichao, Octubre de 2017
Nota de aceptación
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
Director________________________________
Mag. Lina Gallego Berrio
Jurado ________________________________
Dr. Dumas Manzano Franco.
Jurado ________________________________
Mag. Erik Donaldo Lambraño García
Fecha y lugar de sustentación: Santander de Quilichao, 14 de Octubre de 2.017
Dedicatoria
Hoy damos gracias a Dios por haber culminado un sueño, que será de gran ayuda para nuestra
labor pedagógica; al Ministerio de Educacional Nacional por haber facilitado nuestro proceso de
formación por medio del Programa Becas para la Excelencia Docente, gracias a la asesoría de la
Magister Lina Gallego Berrio, que con sus enseñanzas, experiencia, dedicación y paciencia, nos
encamino a la estructuración del contenido de este trabajo, por ultimo gracias a nuestras familias
quienes fueron pilares de apoyo constante para lograr esta meta.
Tabla de Contenido
Presentación .................................................................................................................................... 1
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos ......................... 3
1.1. Planteamiento ................................................................................................................... 3
1.2 Justificación ........................................................................................................................... 5
1.3 Objetivos ............................................................................................................................... 8
1.3.1 Objetivo General............................................................................................................. 9
1.3.2 Objetivos Específicos. .................................................................................................... 9
1.4 Contexto ................................................................................................................................ 9
1.5 Antecedentes, Estado del Arte o Estado de la Cuestión ................................................. 12
Capítulo 2: Referente Conceptual ................................................................................................. 18
2.1 Resolución de Problemas .................................................................................................... 18
2.2. ¿Qué es un Problema Según Polya? ................................................................................... 19
2.2.1 Diferencia entre ejercicio y problema matemático. ...................................................... 19
2.3 Tipos de Problemas ............................................................................................................. 20
2.4 Definición de una Situación Problema ................................................................................ 21
2.5 Métodos de Resolución de Problemas ........................................................................... 22
2.6. Interpretación ..................................................................................................................... 28
2.7. Secuencia Didáctica ....................................................................................................... 28
2.8. Investigaciones Relacionadas con la Resolución de Problemas Método Polya ................. 30
2.9. Aspecto Legal ..................................................................................................................... 33
2.9.1 Lineamientos curriculares. ............................................................................................ 33
2.9.2 Estándares básicos de competencias en matemáticas relacionados con el pensamiento
numérico y sistema numérico ................................................................................................ 34
2.9.3 Derechos básicos de aprendizaje matemáticas grado quinto. ....................................... 35
2.10. Operaciones Básicas ......................................................................................................... 36
2.11 Categorias de Análisis ....................................................................................................... 37
Capítulo 3: Referente Metodológico ............................................................................................. 39
3.1 Enfoque de Investigación .................................................................................................... 39
3.2 Tipo de Diseño .................................................................................................................... 39
3.3 Técnicas de Recolección de Información ............................................................................ 40
3.4 Participantes en el Estudio .................................................................................................. 41
3.5 Secuencia Didáctica ............................................................................................................ 41
Etapas..................................................................................................................................... 42
Implementación de la Secuencia Didáctica ............................................................................... 44
Descripción de la situación problema .................................................................................... 44
3.6 Prueba Diagnóstica .............................................................................................................. 45
Resultados Prueba Final ............................................................................................................ 57
3.8 Análisis Comparativo de Resultados Prueba Diagnóstica y Prueba Final .......................... 62
3.9 Cronograma de Actividades ................................................................................................ 66
3.10 Presupuesto ........................................................................................................................ 67
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones ............................................................................. 68
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................ 73
Lista de Figuras
Figura 1: Comparación de Porcentaje según Niveles de Desempeño por Año en Matemáticas, Quinto...... 7 Figura 2: Descripción General de los Aprendizajes .................................................................................... 10 Figura 3:Índice Sintético de Calidad Educativa, Institución Educativa Cauca ........................................... 11 Figura 4:Problema 1 .................................................................................................................................... 46 Figura 5: Problema 2 ................................................................................................................................... 48 Figura 6: Problema 3 ................................................................................................................................... 50 Figura 7: Problema 4 ................................................................................................................................... 52 Figura 8: Problema 5 ................................................................................................................................... 53 Figura 9: Prueba Diagnóstica ...................................................................................................................... 62 Figura 10: Prueba Final ............................................................................................................................... 63
Lista de Tablas
Tabla 1: Categoría de Análisis .................................................................................................................... 38 Tabla 2: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 1 ........................................................................... 46 Tabla 3: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 2 ........................................................................... 48 Tabla 4: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 3 ........................................................................... 50 Tabla 5: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 4 ........................................................................... 51 Tabla 6: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 5 ........................................................................... 53 Tabla 7: Análisis Comparativo de Resultados Prueba Diagnóstica y Prueba Final .................................... 65 Tabla 8: Cronograma de Actividades .......................................................................................................... 66
Tabla 9: Presupuesto ................................................................................................................................... 67 Tabla 10: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final ...................................................................... 79 Tabla 11: Etapa de Comprensión ................................................................................................................ 93 Tabla 12: Etapa de Descontextualización - Centros de Aprendizaje .......................................................... 94 Tabla 13: Etapa de Resolución de la Situación Problema ........................................................................... 95 Tabla 14: Etapa de Reflexión ...................................................................................................................... 95 Tabla 15: Listado de Materiales, Cantidad y Precio .................................................................................. 98
Lista de Anexos
Anexo 1. Evaluación diagnóstica y final .................................................................................................... 76 Anexo 2. Comparación prueba diagnóstica y prueba final ......................................................................... 79 Anexo 3. Resumen de actividades propuestas ............................................................................................ 93 Anexo 4. Análisis de los resultados obtenidos en los centros de aprendizaje ........................................... 108
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1
Presentación
El presente estudio se desarrolló con estudiantes de los grados 5-1 y 5-2 de la Institución
Educativa Cauca del Municipio de Santander de Quilichao, con el propósito de hacer un aporte al
Plan de Mejoramiento Institucional en el área de matemáticas, a través de una propuesta de
intervención en el aula, basada en el diseño y ejecución de una secuencia didáctica cuyas
actividades giraron alrededor de una situación problema (La Fiesta de Tinito) en las cuales los
estudiantes aplicando los pasos del método Polya resolvieron distintos problemas para ayudar a
organizar la fiesta.
El proyecto se lleva acabo partiendo de un diagnóstico inicial realizado con estudiantes
de grado quinto en el que se evidencio la debilidad existente para la resolución de problemas con
las cuatro operaciones.
La implementación de esta propuesta metodológica fue de gran importancia tanto para los
estudiantes como para nuestra práctica docente, porque se logró despertar el interés y la
motivación hacia las matemáticas y avanzar significativamente en la resolución de problemas
aplicando los pasos de Polya. Como docentes deja una brecha abierta para seguir explorando en
el campo de las matemáticas nuevas metodologías que ayuden a enriquecer la práctica educativa.
Cabe resaltar que la resolución de problemas es de gran importancia en el aprendizaje de
las matemáticas, en particular, en el caso de la educación básica primaria permite que el
estudiante reflexione frente a situaciones cotidianas y lo lleva a buscar la solución de manera
vivencial, lo que hace que organice sus ideas y llegue a la respuesta paso o paso.
Presentación
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El contenido del proyecto se encuentra estructurado de la siguiente forma: el primer
capítulo descripción del problema, planteamiento del problema y objetivos; el segundo capítulo a
fundamentación teórica; el tercer capítulo la estrategia metodológica, además del análisis de
resultados de la prueba diagnóstica y final; el capítulo cuarto las conclusiones y
recomendaciones y finalmente se encuentra la bibliografía y anexos.
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3
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
1.1.Planteamiento
La resolución de problemas es importante dentro del campo de la educación matemática,
porque es una herramienta útil en la comprensión y el desarrollo de los contenidos, permite el
análisis y la interpretación de situaciones concretas dentro de la cotidianidad, lo anterior permite
precisar una de las competencias propuestas por el MEN (2003) presentes en toda actividad
matemática:
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida
cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas misma. Ello requiere analizar la
situación, identificar lo relevante en ella, establecer relaciones entre sus componentes y con
situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en
distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas
que surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso flexible de conceptos,
procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para
formular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. (p. 51)
De acuerdo a lo planteado por el MEN se puede afirmar que existe una estrecha relación
entre las competencias matemáticas y los pasos que propone Polya (1945) para la resolución de
problemas matemáticos.
De ahí que se resalta la importancia de resolver un problema matemático para el
aprendizaje de los contenidos relacionados con las operaciones básicas, así pues, Polya (1954),
afirma que:
Para un estudiante un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido que un
crucigrama, o que un vigoroso trabajo intelectual, puede ser un ejercicio tan agradable como
un ágil juego de tenis. Habiendo gustado del placer de las matemáticas y no las olvidará
fácilmente presentándose entonces una buena oportunidad para que las matemáticas
adquieran un sentido para él y sean como un pasatiempo o una herramienta de su profesión,
o su profesión misma o la ambición de su vida (p. 5).
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Por lo anterior, en la educación primaria es donde las matemáticas deberán empezar a
cobrar realidad y sentido al aplicarlas para resolver diferentes situaciones cotidianas y en otros
campos del conocimiento. Según Furth (1971):
La resolución de un problema es un acto de conocimiento, es decir, una actividad, en
contraste con otras actividades como la motivación, la percepción, las operaciones sensorio
motoras y las operaciones concretas; sin embargo, cada una de estas son indispensables para
que el sujeto se enfrente a la resolución de problemas. (p.133)
Luego resulta imprescindible que los estudiantes en esta etapa educativa integren e
interioricen el conocimiento matemático de manera que les sirva para dar una mejor respuesta a
las diferentes situaciones con las que se enfrenten al interior del ámbito escolar o fuera de él.
Conviene sin embargo advertir que, entre las dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas en la educación primaria, se encuentra la poca interpretación por parte de los
estudiantes a la hora de plantear la resolución de un problema matemático, que le permita
comprender con facilidad cuál es el procedimiento que debe seguir para encontrar la solución
correcta y definir con precisión el tipo de operación que debe realizar.
Dentro de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria las cuatro operaciones
básicas son parte fundamental en el aprendizaje de las mismas, porque constituyen la base para
llegar a entender con mayor facilidad otros conceptos que necesariamente requieren de su uso e
interpretación tanto en el sistema escolar como fuera de él; el estudiante debe tener la capacidad
de relacionar los problemas del contexto con el tipo de algoritmo que se requiere, por ejemplo,
saber qué operación debe realizar, si va a comprar a la tienda, cuánto dinero le sobra, cuánto le
falta, qué tanto puede comprar, entre otros. En tal sentido MEN (2003) sustentó lo siguiente:
Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y
no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el principal eje
organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema proporcionan el
contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las
situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y, por ende, sean más
significativas para los alumnos. (p. 52).
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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5
La problemática identificada no es precisamente el algoritmo pues el estudiante lo
comprende con facilidad, la mayor debilidad ocurre cuando deben interpretar problemas
matemáticos que involucre las cuatro operaciones básicas, es decir, que el estudiante no
identifica el proceso que debe seguir para resolver la situación planteada, pues no tiene la
facilidad de deducir cómo emplear los datos del problema para llegar a una solución, ni el
algoritmo adecuado. Lo anterior, según una prueba diagnóstica realizada y nuestra experiencia
como docentes de la básica primaria, por lo general, los estudiantes tienden a utilizar la suma
como único camino para resolver problemas que involucren las cuatro operaciones.
La poca interpretación en la resolución de problemas matemáticos es un factor que
influye para que los estudiantes de quinto grado de primaria de la Institución Educativa Cauca
del Municipio de Santander de Quilichao, obtengan bajos resultados en el área de matemáticas
en pruebas semestrales de la Institución y posteriormente cuando presentan las Pruebas Saber.
Sin dejar de lado otros factores que influyen, tales como: poca colaboración por parte de los
padres de familia, desinterés, indisciplina, problemas de aprendizaje, problemas psicosociales y
las estrategias metodológicas utilizadas por los docentes porque deben favorecer el proceso de
resolución de problemas y no solamente la aplicación de procesos algorítmicos.
En consecuencia, se hace necesario fortalecer la competencia interpretativa a través de la
resolución de problemas, al estructurar una secuencia didáctica que permita realizar distintas
actividades centradas en tal sentido y de paso que contribuya a mejorar la actitud hacia las
matemáticas al proponer situaciones de contexto.
1.2 Justificación
Los Estándares Básicos de Competencias para el grado quinto en el área de matemáticas,
en cuanto al pensamiento numérico, explican lo siguiente: “resuelvo y formulo problemas cuya
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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6
estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus
operaciones” MEN (2009, p. 82), con ello se entiende que dentro del plan de estudios la
resolución de problemas debe hacer parte de las temáticas que se desarrollan en el área de
matemáticas en cuanto al pensamiento numérico. Por lo tanto, los estudiantes deben estar en la
capacidad de solucionar problemas identificando claramente la operación a utilizar, no de forma
mecánica sino por medio de la interpretación.
Así mismo, en busca del mejoramiento de la calidad educativa del país, el MEN presentó
en el año 2014 los Derechos Básicos de Aprendizaje, los cuales son una herramienta que ayudan
a identificar los saberes básicos que han de aprender los estudiantes en el área de matemáticas,
para el grado quinto propone la realización de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) con números naturales, relacionándolo con la resolución de problemas.
También las Pruebas Saber son un mecanismo estatal que permite medir el nivel de
desempeño de los estudiantes, a partir de las Competencias Básicas: argumentativa, propositiva e
interpretativa. La competencia interpretativa, objeto de interés de este proyecto implica la
habilidad que se tiene para identificar y comprender las ideas fundamentales en una
comunicación, un mensaje, una gráfica, un dibujo y para entender las relaciones existentes entre
estas ideas.
Es importante evidenciar los resultados obtenidos en pruebas saber, de los estudiantes de
grado quinto, en el área de matemáticas, donde se puede analizar los porcentajes de cada nivel de
desempeño por año; para entender porque la necesidad institucional de buscar estrategias de
mejoramiento académico para lograr los objetivos del PEI.
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Figura 1: Comparación de Porcentaje según Niveles de Desempeño por Año en Matemáticas,
Quinto
Fuente: Resultados pruebas saber 2016, Institución Educativa Cauca, reporte histórico de
comparación (2013-2014-2015-2016, P. 10).
La grafica muestra que la institución educativa mantiene los mayores porcentajes de
estudiantes en nivel de desempeño insuficiente y mínimo a partir del año 2013, mostrando una
mejoría en el año 2016 llegando al 35% de estudiantes en nivel de desempeño satisfactorio y tan
solo al 6% en un nivel avanzado.
Al tomar como referencia los resultados obtenidos en estas pruebas, la Institución
Educativa Cauca se encuentra en un nivel de desempeño insuficiente en el grado quinto de
primaria, ubicándola por debajo de la media nacional según el reporte del Índice Sintético de
Calidad Educativa (ISCE) para el año 2015. A partir del análisis de estos resultados según la
metodología planteada por el MEN y los informes que emite esta entidad pública, en la
competencia interpretativa es donde se identifican las principales debilidades de los estudiantes
en el área de matemáticas para la resolución de problemas, porque no identifican el
procedimiento a seguir, ni el tipo de operación que se debe utilizar para encontrar la solución.
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Esta realidad exige reconocer el papel del docente en la planeación de nuevas estrategias
de enseñanza para no quedarse solo en la parte algorítmica, sino que involucre la resolución de
problemas en su práctica educativa. Por esta razón, se considera necesario fortalecer la
interpretación, lo cual favorece no solo el logro de los objetivos en el área de matemáticas, sino
que estimula el fortalecimiento de otras capacidades útiles para la vida cotidiana.
De esta forma como docentes, el aporte que se pretende no solo beneficia a los
estudiantes sino también al resto de la comunidad educativa en diferentes aspectos:
En el ámbito educativo, es importante porque tiene los elementos metodológicos
que aportan al mejoramiento de una problemática identificada en el área de
matemáticas del grado quinto.
En lo social es relevante, porque los avances de los niños se reflejan en la vida
cotidiana, el apoyo de los padres de familia y de la comunidad en su conjunto,
generando con ello un ambiente de confianza entre los niños y una relación de
ayuda recíproca de la escuela.
En lo cognitivo, la resolución de problemas aporta al desarrollo del pensamiento
lógico del estudiante y se aleja del aprendizaje mecánico de las operaciones
básica, porque fortalece su capacidad interpretativa e interactúa con el contexto.
Por todo lo anterior, se hace necesario plantear la siguiente pregunta de investigación:
¿Cómo fortalecer la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro
operaciones básicas en los estudiantes de quinto grado de primaria de la Institución Educativa
Cauca del municipio de Santander de Quilichao?
1.3 Objetivos
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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1.3.1 Objetivo General.
Fortalecer la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro
operaciones básicas, por medio de la elaboración de una secuencia didáctica.
1.3.2 Objetivos Específicos.
1. Determinar las posibles dificultades que presentan los estudiantes para la interpretación
de un problema matemático que involucre las cuatro operaciones básicas.
2. Elaborar una secuencia didáctica que ayude a encauzar la interpretación de problemas
matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas, a partir del diagnóstico
realizado.
3. Emplear la secuencia didáctica y medir la pertinencia y efectividad para la interpretación
de problemas matemáticos con operaciones básicas.
1.4 Contexto
La Institución Educativa Cauca se encuentra ubicada en el Municipio de Santander de
Quilichao, al Norte del Departamento del Cauca, en la Carrera 9 Nº 1-14, Barrio El Centro. Se
caracteriza por ser urbana en donde acuden niños y niñas de los diferentes barrios del municipio
y de algunas veredas vecinas. Cuenta con 1.100 estudiantes, 35 docentes, dos jornadas y su
modalidad es académica.
El proyecto de investigación se aplicó a estudiantes de los grados quinto uno (5-1) y
quinto dos (5-2) quienes tienen edades comprendidas entre 9 y 11 años.
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Dado que en el año 2015 el grado tercero presentó la Prueba Saber con resultados poco
favorables, y actualmente son los mismos estudiantes que están cursando grado quinto, ellos se
tomaron como grupo de investigación, esperando contribuir en el mejoramiento de los resultados
de la Prueba Saber específicamente en la parte interpretativa y en la resolución de problemas.
Cabe resaltar que este tipo de pruebas evalúa cada uno de los componentes a través de la
resolución de problemas para lo que se hace indispensable la interpretación. Es precisamente en
este aspecto donde se muestra la mayor debilidad como se ilustra en la Figura 2, por lo tanto, se
hace necesario fortalecer el aprendizaje sobre la base de la interpretación de problemas
matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas.
Figura 2: Descripción General de los Aprendizajes
Fuente: Análisis Pruebas Saber MEN (2016, p. 18)
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Dentro de las metas institucionales que se tienen previstas para el año 2017 en el Plan de
Mejoramiento Institucional (PMI), está elevar los resultados de las Pruebas Saber y ubicar la
Institución en un nivel más alto, debido a que los resultados de las pruebas externas son muestra
de la existencia de una debilidad que es importante fortalecer (Figura 2).
Figura 3: Índice Sintético de Calidad Educativa, Institución Educativa Cauca
Fuente: Pruebas Saber MEN (2016, p. 20)
Como se aprecia en la Figura 3 del índice sintético de la I.E Cauca se encuentra en un
promedio de 4,8, evidenciando que estamos por encima del promedio de la entidad territorial,
pero que aún se deben utilizar estrategias de mejoramiento institucional para llegar a sobrepasar
el promedio nacional.
Se hace necesario, además, que en la práctica educativa se hagan comprensibles y
accesibles los contenidos al educando, de tal forma que a través de estrategias pedagógicas
motivantes como las que se pretenden llevar a cabo en este proyecto, los estudiantes logren
entrar en contacto con la práctica de los conceptos matemáticos que quizá han visto con un grado
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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alto de dificultad. Si se tiene en cuenta que no solo se busca beneficiar el proceso de aprendizaje
de los estudiantes si no también brindar una estrategia didáctica que permita una enseñanza más
efectiva que ayude a alcanzar el objetivo principal que es la interpretación de un problema
matemático, donde el educando sea capaz de llegar a la solución de una manera lógica y
consiente. Asimismo, los docentes van a adquirir a través de este proyecto una herramienta de
aprendizaje que oriente su labor, de manera que logren motivar a los estudiantes y de paso
concentren su atención, para que realice sus actividades con mayor agilidad y rapidez.
La pertinencia de este trabajo de investigación está en que los estudiantes puedan
interpretar de forma consciente un problema matemático y darse cuenta ¿Qué operación debe
realizar? (suma, resta, multiplicación o división) a la vez que puedan mejorar sus competencias y
cambiar la apatía que se tiene por las matemáticas.
Como docentes de esta Institución el aporte que se hace para ayudar a mejorar las metas
institucionales es la elaboración y aplicación de una propuesta pedagógica de intervención en el
área de matemáticas (secuencia didáctica) que brinde herramientas para fortalecer la
interpretación y lograr acceder al conocimiento de manera consciente, pasar de ser un estudiante
pasivo a un ser activo en la búsqueda del mismo.
1.5 Antecedentes, Estado del Arte o Estado de la Cuestión
El presente trabajo ha tomado como base para la elaboración de la propuesta
metodológica estudios realizados a nivel internacional y nacional que si bien es cierto hacen un
aporte a la enseñanza o el aprendizaje de las matemáticas, también dejan una brecha abierta para
seguir explorando nuevas propuestas. Dentro de los estudios encontrados tenemos:
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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Aguirre, Cortes, & Rojas (2015) presentaron un proyecto enfocado a diseñar estrategias
lúdicas con el objetivo elevar el nivel de las competencias cognitivas, interpretativas y
propositivas de los estudiantes en la resolución de problemas que involucran las cuatro
operaciones básicas, con estudiantes de los grados cuarto y séptimo de dos instituciones una
publica y otra privada en la ciudad de Bogotá. Los resultados obtenidos mostraron que al aplicar
estrategias lúdicas en el aula en la resolución de problemas con operaciones básicas los
estudiantes son más receptivos y los conceptos matemáticos son mucho más fáciles de transmitir,
los resultados indica que con la propuesta se lograron los objetivos.
En otra investigación realizada por Mastachi (2015) que tenía como propósito principal
que los alumnos de quinto grado en una escuela de México aprendieran las operaciones de
multiplicación y división por medio de la estrategia de resolución de problemas. Aplicando
como metodología la investigación-acción, por medio de una estrategia didáctica de intervención
en el aula. En los resultados se evidencia que mejoraron en algunos aspectos, pero en la resta,
multiplicación y división tiene un porcentaje muy bajo de aprovechamientos, además se puede
concluir que lo único que dominan es la suma.
Por otra parte, el trabajo realizado por Ramirez (2015), en Medellín, se basó en el diseño
de un proyecto de aula que contribuyó al manejo del lenguaje simbólico en la interpretación de
situaciones problema desde la operación de la multiplicación en los números naturales a partir de
una unidad didáctica para estudiantes de grado tercero. Los resultados de la prueba diagnóstica
aplicada mostraron las distintas debilidades para la multiplicación.
Aristizabal, Colorado, & Gutierrez (2015) en Armenia-Quindío, realizaron una
investigación que buscó desarrollar distintas habilidades y relaciones para familiarizarse y
reforzar las cuatro operaciones básicas en estudiantes de grado quinto. La estrategia didáctica
consistió en trabajar una serie de actividades o juegos en cada una de las operaciones
matemáticas y la combinación de estas, al igual que en la resolución de problemas, cuya
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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implementación permitió generar mayor motivación e interés en los estudiantes en el tema
propuesto, lo que permitió la apropiación de conceptos y desarrollo de pensamiento numérico.
Teniendo en cuenta que el juego es parte fundamental para el aprendizaje de las
matemáticas, Alvarado (2015) en Guatemala, propuso un estudio con el objetivo de establecer la
incidencia que tiene el uso del juego bingo matemático en el aprendizaje de operaciones
aritméticas básicas. Los sujetos de estudio fueron 15 estudiantes de 12 a 14 años, la
investigación fue de tipo cuantitativa y en cuanto a la metodología estadística que se uso fue la t
de Student, la metodología se llevó a cabo realizando las entrevistas al iniciar la investigación
para obtener la información necesaria con relación a los objetivos de estudios, el pre test se
realizó antes de iniciar el trabajo de campo, se aplicó el juego bingo matemático y
posteriormente se pasó la encuesta de siete elementos y el post test para poder realizar el análisis
de los resultados de la investigación, los cuales arrojaron como resultado que en el promedio de
calificaciones de los estudiantes que realizaron el juego se notó una considerable mejora en el
aprendizaje de las operaciones básicas, esta experiencia y los resultados obtenidos en la presente
investigación permitieron proponer a todos los docentes pero específicamente a los docentes de
Matemática del nivel básico utilizar el juego como estrategia didáctica pues queda comprobada
su eficiencia y eficacia en el logro de los aprendizajes esperados.
Con el objetivo de buscar la transversalidad en la enseñanza de las matemáticas y se
propicie un aprendizaje significativo, Hideki (2004) realizó una investigación con estudiantes de
quinto grado en la ciudad de Medellín. La propuesta se enfocó en actividades que permitieran
integrar las matemáticas con las demás áreas del conocimiento articulándola con el análisis de
datos estadísticos y las operaciones básicas. Con el objetivo de propiciar en la escuela una
enseñanza donde el estudiante indague, formule hipótesis, gestione recursos, resuelva problemas
de la vida cotidiana aplicando procedimientos matemáticos y favorezca su relación con los
demás. En cuanto a los resultados concluyen que se observa una gran motivación por parte de
los estudiantes cuando se utilizan metodologías que garantizan el aprendizaje de conceptos a
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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través de la interacción con el entorno y que se pudo observar motivación y avance en cada una
de las temáticas abordadas.
Astola, Salvador, & Vera (2012), en el Perú presentó una investigación centrada en
conocer e identificar la efectividad del programa “GPA-RESOL” en el incremento del nivel de
logro en la resolución de problemas aritméticos aditivos y sustractivos en estudiantes de segundo
grado de primaria de dos instituciones educativas, una de gestión estatal y otra privada del
distrito de San Luis, la investigación fue de tipo experimental y el diseño de la investigación
cuasi experimental con pre test – post test, el tamaño de la muestra fue de 49 sujetos. Realizó un
estudio de comparación de dos grupos no equivalentes y donde las técnicas de procesamiento y
análisis de datos estadísticos se realizaron con ayuda del programa estadístico Statistical Package
of Social Science, SPSS, y un nivel inferencial, mediante dos pruebas: t de Student, y las
comparaciones múltiples con el Alfa de Bonferroni. Como resultado de la investigación se
obtuvo que la efectividad del programa “GPA-RESOL” en el incremento del nivel de logro en la
resolución de problemas aritméticos aditivo y sustractivo en estudiantes de segundo grado de
primaria, es altamente significativo.
Losada & Rodas (2011), elaboraron un proyecto en Caquetá con el propósito de buscar
alternativas para mejorar la problemática que se presenta en la enseñanza de las matemáticas,
con estudiante de grado primero, por medio de un proyecto de aula sobre el tema de la suma.
Ellos diseñaron actividades que facilitaron la resolución de problemas mediante el juego y
manipulación de objetos. Al final se muestra que la estrategia utilizada arrojo buenos resultados
y se logró la motivación y el aprendizaje significativo de los niños.
Lozzada & Ruiz (2011) en su proyecto plantearon el desarrollo y aplicación de
estrategias didácticas para la enseñanza aprendizaje de la multiplicación y división en el primer
año de educación secundaria en Venezuela, con un enfoque de investigación cualitativa de
carácter descriptivo donde la muestra del objeto de estudio quedó conformada por tres docentes
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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que imparten la asignatura de matemáticas y 18 estudiantes de sus instituciones. Después del
diagnóstico, se elaboraron las estrategias para la enseñanza de la multiplicación y una unidad
didáctica en formato electrónico con intervención práctica en el aula, en la fase de evaluación se
realizaron cuestionarios, entrevistas y observaciones, los autores concluyeron que los estudiantes
presentan dificultades en la ejecución de las operaciones básicas de multiplicación y división y
que las unidad didáctica es una buena herramienta de enseñanza, porque permitió descubrir que
las deficiencias de los estudiantes puede tener su origen en la didáctica desarrollada por los
docentes.
Monje (2010) en Caquetá, realizó una investigación basada en el estudio y planificación
de estrategias lúdicas para enseñar las matemáticas en grado primero, para el desarrollo del
aprendizaje de a suma y la resta. Al realizar la propuesta en el aula obtuvo como resultado que a
aplicar estrategias lúdicas cambia la dinámica de la clase y los contenidos dejan de ser aburridos,
además existe la posibilidad de comprender la realizad e intervenir en ella.
Duran (2007), estudió en la comunidad indígena de Comachuen (México) a un grupo de
26 estudiantes de quinto grado de primaria, para mejorar la comprensión en la resolución de
problemas con operaciones básicas. Las estrategias que se utilizó fueron: el trabajo en equipo,
trabajo individual, motivación con juegos, estimulación con objetos o dulces e involucrar a
padres de familia. Los resultados que obtuvieron muestran que no se lograron los objetivos en su
totalidad.
Canales (2006), ejecutó un proyecto con estudiantes de primer curso del ciclo común en
Honduras, con el objetivo de aplicar métodos alternativos de enseñanza para el aprendizaje de la
multiplicación y división de números naturales. El trabajo se realizó en tres etapas: inicialmente,
se hace un diagnóstico para conocer sobre los métodos utilizados para realizar las divisiones y
multiplicaciones, luego otra prueba diagnóstica para identificar los conocimientos que se tenían
con modelos alternativos de aprendizaje y por último se realizaron actividades con guías, para
Capítulo 1: Descripción del Problema, Planteamiento del Problema y Objetivos
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validar el modelo de enseñanza con métodos alternativos para llegar a resolver correctamente la
multiplicación y división. Los resultados obtenidos con la aplicación de las guías muestran que
los estudiantes si son capaces de entender los modelos alternativos para realizar las operaciones
básicas y que si estos modelos se introducen en la educación primaria será más fácil el
entendimiento de las operaciones básicas en matemáticas.
Después de realizar un análisis de las anteriores investigaciones, relacionadas con la
resolución de problemas con operaciones básicas, es importante destacar la diferencia de este
trabajo de investigación con los demás, a pesar de ser el mismo objeto de estudio, las demás
investigaciones se basaron en la parte algorítmica, en el uso de programas educativos (software),
en utilizar una o dos operaciones, en el juego y en la lúdica. Mientras que este trabajo se enfatiza
básicamente en la resolución de problemas de situaciones reales involucrando las cuatro
operaciones básicas, donde el estudiante se motiva a través de su contexto y se concientiza de la
aplicabilidad que tiene para la vida. Se trabajó la parte interpretativa en el enunciado de un
problema lo que marcó la diferencia, porque, a través de la organización y planeación de una
fiesta, llamada “La Fiesta de Tinito”, ellos interactuaron con el medio y lo relacionan con las
situaciones que viven a diario, logrando identificar el tipo de operación que debían aplicar en
cada una de las actividades de acuerdo a los pasos del Método Polya.
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Capítulo 2: Referente Conceptual
En el aprendizaje de las matemáticas se debe potenciar en los niños el desarrollo personal
y el desarrollo de habilidades básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a
la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y
estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad. Por esto es importante dejar claro que
la resolución de problemas conforma uno de los principales ejes de la actividad matemática, por
lo que debe ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático, puede agregarse que “La
resolución de problemas debería darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las operaciones en
vez de después, como aplicaciones de éstas”, según Kamii (1994), citado por Ruiz & Garcia
(2003, p. 326) de igual manera afirma que gracias a la sumatoria de estas habilidades los niños
pueden asumir una actitud crítica ante la realidad de su contexto.
Dentro del desarrollo del proyecto es importante tener claro los siguientes conceptos:
2.1 Resolución de Problemas
Polya (1965), considera que, en el campo de las matemáticas, la resolución de problemas
consiste tanto en un proceso de aprendizaje como en una técnica básica que debe ser
desarrollada. Declara además lo que significa el resolutor ideal, es decir el sujeto que al resolver
un problema avanza linealmente desde el enunciado hasta la solución.
De igual forma afirma que cualquier persona con ayuda de un tutor puede lograr asimilar
las técnicas de resolución de problemas hasta convertirse en un buen resolutor de problemas.
Todo esto da a entender entonces que la resolución de problemas matemáticos requiere de una
Capítulo 2: Referente Conceptual
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19
técnica específica que encamine al estudiante a seguir unos pasos para llegar a la solución
esperada de manera clara.
Por su parte Montaña & Contreras (2003, p. 35), plantean que “la matemática escolar
pensada desde la formulación y resolución de problemas puede contribuir a los fines de la
educación en Colombia, al desarrollar un pensamiento crítico, reflexivo y analítico, necesario
para crear disciplina y habilidades de trabajo, promover el desarrollo de la autonomía, facilitar
los procesos de participación y promover el desarrollo científico”. En conclusión, la importancia
de la resolución de problemas matemáticos está en el fortalecimiento de las competencias
necesarias para su desarrollo integral.
2.2. ¿Qué es un Problema Según Polya?
Polya (1962), expone el significado de un problema matemático como la búsqueda
consiente, con alguna acción apropiada, para lograr un objetivo claramente concebido, pero no
alcanzable, donde se deben realizar ciertas fases que permitan llegar a la solución de dichos
problemas. No obstante, se necesita confiar en que el conocimiento y las habilidades que se
poseen son adecuados y suficientes para abordarlo.
Aquí vale hacer una pequeña digresión entre lo que es un problema matemático y un
ejercicio.
2.2.1 Diferencia entre ejercicio y problema matemático.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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20
Un planteamiento para ser problema debe poseer suficiente complejidad que implique
utilizar la información que el estudiante ya posee (conocimientos previos) de una manera nueva,
debe representar un reto que le provoque una acción cognitiva superior. Por el contario, si se
trata de realizar tareas repetitivas en el que el estudiante sabe qué hacer para resolver un
planteamiento, esto es un ejercicio.
Teniendo en cuenta los anteriores conceptos es pertinente identificar algunos tipos de
problemas matemáticos:
2.3 Tipos de Problemas
A continuación, se presenta la clasificación de problemas más usados en matemáticas
según Blanco (1993, p.12):
Problema de reconocimiento. Con este ejercicio se pretende resolver, reconocer o
recordar un factor específico, una definición o una proposición de un teorema.
Problema de algorítmicos o de repetición. Son ejercicios que pueden ser resueltos con
un proceso algorítmico, a menudo un algoritmo numérico.
Problemas de traducción simple o compleja. Son problemas formulados en un contexto
concreto y cuya resolución supone una traducción del enunciado, oral o escrito, a una
expresión matemática.
Problemas de procesos. Son problemas que se diferencian de los anteriores, dándose la
posibilidad de conjeturar varios caminos para encontrar la solución.
Problemas sobre situaciones reales. Se trata de plantear actividades lo más cercana
posible a situaciones reales que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos
matemáticos.
Problemas de puzles. Son problemas en los que se pretende mostrar el potencial
recreativo posiblemente no suponga su solución necesariamente matemática, pero pueden
resolverse mediante una chispa o una idea feliz.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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Problemas de historias matemáticas. Frecuentemente se puede observar en librerías
libros de cuentos, novelas entre los que se encuentran son algunas propuestas o
planteamientos que requieren de un esfuerzo que impliquen algún concepto matemático.
Para el caso específico de este proyecto el tipo de problema que se seleccionó fue
problemas sobre situaciones reales, porque se pretendía que el estudiante viera la aplicabilidad de
un problema en su vida cotidiana e interactuará con el contexto y a partir de sus saberes previos y
habilidades, encontrará la relación con los conceptos que están inmersos en la resolución de
problemas matemáticos.
2.4 Definición de una Situación Problema
Una situación problema la podemos interpretar como un contexto de participación
colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos, y con el
profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando
procesos conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir la
acción, la exploración, la sistematización, la confrontación, el debate, la evaluación, la
autoevaluación, la heteroevaluación.
Al respecto Moreno & Waldegg (2002) afirman que “la situación problema es el
detonador de la actividad cognitiva, para que esto suceda debe tener las siguientes características
(p.20):
Debe involucrar implícitamente los conceptos que se van a aprender.
Debe representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe ser
accesible a él.
Debe permitir al alumno utilizar conocimientos anteriores.”
Capítulo 2: Referente Conceptual
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2.5 Métodos de Resolución de Problemas
Existen varias propuestas que permiten abordar un problema de manera organizada y
sistemática, en el caso de este trabajo se analizaron cinco de ellos, siendo el método Polya el que
se selecciona como soporte teórico porque brinda las herramientas necesarias para llevar a cabo
la metodología de trabajo del proyecto, teniendo en cuenta que las otras propuestas se están
basadas en el método Polya y que sus aportes se derivan de él.
De Guzmán (1991, p.139), propone cuatro pasos para la resolución de problemas:
Familiarización con el problema: Comprender el enunciado, tener una idea clara de
los datos que intervienen, las relaciones entre ellos y lo que se pide, ser capaces de
encontrar el problema con nuestras palabras.
Búsqueda de estrategias: Encontrar formas de abordar el problema a través de
estrategias generales como: empezar por un caso fácil, experimentar y buscar
regularidades, hacer figuras, esquemas y diagramas, escoger un lenguaje o notación
adecuados, buscar semejanzas, empezar por el final, suponer que no es posible,
técnicas específicas(matemáticas). Además, llevar adelante la estrategia, seleccionar
la estrategia que parece más viable y llevar adelante la estrategia con decisión,
confianza, orden, tesón y sosiego. Asegurarse de haber llegado a la solución. Apuntar
ideas nuevas que puedan surgir, evitar desviaciones del camino trazado. Revisar la
idoneidad de la estrategia elegida sino prospera.
Revisar el proceso y sacar consecuencias. En este paso es importante tener un buen
protocolo del problema: tener escrito los datos, las ideas, los pasos, las conclusiones y
los problemas. Revisión: ¿era adecuada la estrategia, se ha seguido correctamente, la
solución está de acuerdo con el problema? Consecuencias: ¿hay otras formas de
resolver, permite generalizar conclusiones, interesan variaciones del problema?
Capítulo 2: Referente Conceptual
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De Guzmán (1991), basado en el modelo de Polya (1945) y Schoenfeld (1985) hace un
aporte importante en cuanto a la resolución de problemas proponiendo los pasos anteriores, en la
explicación de este modelo es necesario tener una idea clara, un modelo, al que pensamos que
nuestra forma de proceder se debe ajustar.
Schoenfiel (1985, pp. 334-370), influenciado por la teoría de Polya en cuanto a resolución
de problemas, señala las siguientes fases:
Análisis
1. Trazar un diagrama si es posible
2. Examinar casos particulares:
a. Elegir valores especiales que sirvan para ejemplificar el problema y adquirir
mano.
b. Examinar casos límites, para explorar la gama de posibilidades.
c. Asignar a los parámetros enteros que puedan figurar la secuencia de valores 0,
1, 2, y buscar una pauta inductiva.
3. Probar a simplificar el problema:
a. Sacando partido de posibles simetrías, o
b. Mediante razonamientos sin pérdida de generalidad (incluidos los cambios de
escala).
Exploración
1. Examinar problemas esencialmente equivalentes:
a. Por sustitución de las condiciones por otras equivalentes,
b. Por recombinación de los elementos del problema de distintos modos,
c. Introduciendo elementos auxiliares,
d. Replanteando el problema mediante cambio de perspectiva o de notación,
considerando el razonamiento por contradicción o el contra reciproco,
suponiendo que se dispone de una solución y determinando cuales serían sus
propiedades.
2. Examinar problemas ligeramente modificados:
a. Elegir sub objetivos ( satisfacción parcial de las condiciones)
Capítulo 2: Referente Conceptual
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24
b. Relajar una condición y tratar de volver a imponerla.
c. Descomponer el problema en casos y estudiar caso por caso.
3. Examinar problemas ampliamente modificados:
a. Construir problemas análogos con menos variables,
b. Mantener fijas todas las variables menos una, para determinar qué efecto tiene
esa variable,
c. Tratar de sacar partido de problemas afines respecto a la forma, los datos o las
conclusiones,
d. Recordar que, al manejar problemas afines más fáciles se debería sacar partido,
tanto del resultado, como del método de resolución.
Comprobación de la solución obtenida:
1. ¿verifica la solución obtenida los criterios específicos siguientes?:
a. ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
b. ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?
c. ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
2. ¿Verifica los criterios generales siguientes?:
a. ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
b. ¿Puede quedar concretada en casos particulares?
c. ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
d. ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
Schoenfeld realizó trabajos con estudiantes y profesores en las que proponía problemas a
resolver lo suficientemente difíciles, siguiendo las ideas de Polya con lo cual baso su libro
Mathematical Solving en 1985.
Brandford & Stein (1984, p.4), expresan que se está en presencia de un problema, cuando
existe una discrepancia o brecha entre un estado inicial y un estado final o meta, sin que exista
una solución conocida o de fácil acceso para resolverlo. El estado inicial es el punto en el cual se
Capítulo 2: Referente Conceptual
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está al comienzo del proceso de resolución del problema y el estado meta es el punto al cual se
quiere llegar al finalizar el proceso. Para esto plantearon, El Método Ideal para mejorar las
habilidades personales en la resolución de problemas donde cada una de las letras de la palabra
Ideal, representa una fase metodológica propuesta por estos autores.
Identificar los problemas en el método Ideal:
El primer paso consiste en identificar y definir claramente el problema y especificar
como su resolución representa una oportunidad para mejorar la calidad de respuesta
del individuo o grupo.
Definir metas: en esta etapa se deben definir un mínimo de dos o tres metas las cuales
una vez logradas permitirán considerar el problema como resuelto. Al incluir varias
metas u objetivos, el problema es atacado desde diversas perspectivas y de manera
más amplia.
Explorar posibles estrategias: esta etapa involucra un nuevo análisis de las metas
propuestas, además de la evaluación de las opciones o estrategias que tentativamente
pueden ser empleadas para alcanzar dichas metas.
Anticipar las posibles consecuencias y actuar: esta cuarta fase del método IDEAL,
destaca la importancia de anticipar posibles efectos negativos que pudieran resultar al
implementar las estrategias seleccionadas. Una evaluación adecuada podría evitar
decisiones que lleven a resultados no deseados. Muchas de las posibles consecuencias
negativas pueden ser divisadas en la etapa de anticipar, permitiendo de esta forma
tomar precauciones para evitarlas. Una vez anticipadas las posibles consecuencias y
tomadas las decisiones pertinentes en base a los resultados de dicho análisis, se
procede a implementar la estrategia o plan de acción seleccionado.
Lecciones aprendidas: una de las maneras más efectivas de aprender consiste en
analizar los resultados de las acciones aprendidas y elaborar conclusiones o lecciones
aprendidas. Esta última fase del método hace énfasis en la importancia de tomarse el
tiempo de registrar e internalizar lo aprendido en cada una de las etapas después de su
aplicación en la resolución de un problema.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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Manson, Burton, & Stcey (1988, p.167) proponen un modelo que no pretende ser un
instrumento de estudio o de análisis, sino una ayuda para la instrucción, en este modelo se
muestra tres fases:
Abordaje: esta fase está encaminada a comprender, interiorizar y familiarizarnos con el
problema.
Después de leer cuidadosamente el problema es necesario contestar las siguientes
preguntas:
¿Qué es lo que se?
¿Qué es lo que quiero?
¿Qué es lo que puedo usar?
La fase puede darse por concluida cuando somos capaces de representar y organizar la
información mediante símbolos, diagramas o gráficos.
Ataque: es la fase más compleja ya que en ella se trata de asociar y combinar toda la
información de la fase anterior.
Es en esta fase donde intervienen las distintas estrategias heurísticas que nos permiten
acercarnos a la solución del problema.
Los procesos matemáticos fundamentales que aparecen en esta fase son:
La inducción, que se materializa en el hecho de hacer conjeturas orientadas a conseguir la
solución del problema,
La deducción, que pretende justificar dichas conjeturas mediante las leyes lógicas a
través de los teoremas matemáticos.
Revisión: cuando se consigue una solución es conveniente revisarla e intentar
generalizarla a un contexto más amplio, para esto es necesario:
Comprobar la solución, los cálculos, el razonamiento y que la solución corresponde al
problema.
Reflexionar en las ideas, en los momentos clave, en las conjeturas y en la resolución.
Generalizar a un contexto más amplio, buscar otra forma de resolverlo o modificar los
datos iniciales.
Redactar la solución dejando claro que es lo que se ha hecho y porque.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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Según Polya para resolver un problema se realizan cuatro fases:
Entender el problema
Resume la información dada y que deseas determinar. Empiece por el enunciado del
problema. Trate de visualizar el problema como un todo, tan claramente como pueda. No
se ocupe de los detalles por el momento. De esta manera Comprenderá el problema, se
familiarizará con é1, grabando su propósito en su mente. La atención dedicada al
problema puede también estimular su memoria y prepararla para recoger los puntos
importantes.
Diseñar un plan.
Empiece por considerar las partes principales del problema. Empiece cuando dichas
partes estén, por usted, caramente dispuestas y concebidas gracias a su trabajo previo, y
cuando considere que su memoria responde. Considere el problema desde varios puntos
de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos.
Considere el problema desde varios puntos de vista. Subraye las diferentes partes,
examine los diferentes detalles, examine los mismos detalles repetidamente, pero de
modo diferente, combine entre sí los detalles de diversos modos, abórdelos por diferentes
lados. Trate de ver algún nuevo significado en cada detalle, alguna nueva interpretación
del conjunto. Puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Trate de
acordarse de lo que le ayudó en el pasado ante circunstancias análogas. Trate de
reconocer algo familiar en lo que examina y de encontrar algo útil en lo que reconoce.
Ejecución del plan.
Empiece por la feliz idea que le conduce a la solución. Empiece cuando esté seguro de
tener el correcto punto de partida y esté seguro de poder suplir los detalles menores qué
pueden necesitarse.
Examinar la solución obtenida
Considerar la solución desde varios puntos de vista y buscar los puntos de contacto con
sus conocimientos previamente adquiridos. Considere los detalles de la solución y trate
de hacerlos tan sencillos como pueda; reconsidérelos más extensamente y trate de
condensarlos; trate de abarcar de un vistazo la solución completa. Trate de modificar, en
beneficio de ellas, tanto las partes principales como las secundarias; trate de mejorar la
solución en su conjunto de tal modo que se adivine por sí misma y que quede grabada, en
Capítulo 2: Referente Conceptual
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28
forma natural, en el cuadro de sus conocimientos previos. Examine atentamente el
método que le ha llevado a la solución, trate de captar su razón de ser y trate de aplicado
a otros problemas.
Para entender el propósito de este trabajo de investigación que se basa en el
fortalecimiento de la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro
operaciones básicas en matemáticas es importante entender el concepto de interpretar teniendo
en cuenta que en el primer paso del método Polya se debe realizar.
2.6. Interpretación
Para entender el propósito de este trabajo de investigación que se basa en el
fortalecimiento de la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro
operaciones básicas en matemáticas es importante tener claridad de lo que significa interpretar.
¿Qué es interpretar? “Es un acto consistente en la captura de una información presente en
un contexto determinado, atribuyéndole un significado dentro de un campo del conocimiento, lo
cual se hace a partir de las experiencias previas del individuo”. Niño Rojas (2005, p.3), lo que
quiere decir en matemáticas que el niño no solo interpreta algoritmos, sino que relaciona el
enunciado del problema con el contexto.
2.7. Secuencia Didáctica
Es importante desarrollar algunas nociones de secuencia didáctica pues esta enmarca las
actividades que ayudaron a mejorar y superar las dificultades presentadas por los estudiantes al
momento de solucionar problemas que involucren las cuatro operaciones básicas. En tal sentido
Capítulo 2: Referente Conceptual
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es necesario destacar el valioso aporte que hace el MEN a la Educación Pública en Colombia
para la básica primaria con textos que desarrollan una propuesta metodológica basada en un
modelo de secuencia didáctica que toma los pasos del método Polya para la resolución de
problemas matemáticos. Es este modelo de secuencia didáctica propuesto por el MEN el que se
ha tenido en cuenta para el desarrollo del presente proyecto y para el cual se diseñaron una serie
de actividades realizadas en tres centros de aprendizajes, que parten de una situación problema
llamada “La Fiesta de Tinito”, cuyo objetivo era que los estudiantes a partir de la organización
de esta fiesta fortalecieran la interpretación de problemas matemáticos. Partiendo de lo anterior
se destaca el concepto de secuencia didáctica emitido por el MEN (2013):
Tienen el propósito de ayudar al docente en la planeación y ejecución de varias sesiones de
clase, y están desarrolladas desde la perspectiva del aprendizaje basado en la resolución de
problemas y la indagación. Se trata entonces de un material que facilitará al docente que
trabaja reflexiva y críticamente, enriquecer sus conocimientos didácticos del contenido
matemático, y al estudiante encontrar el sentido y el sindicado de lo que está aprendiendo, un
propósito que involucra tanto los contenidos a enseñar como la didáctica para hacerlo. (P. 9)
De igual forma es importante referenciar otros conceptos de autores como:
Frade (2009) afirma “Es la serie de actividades que articuladas entre sí en una situación
didáctica, desarrollan la competencia del estudiante. Se caracteriza porque tiene un principio y
un fin, son antecedentes con consecuentes”. (p.11).
Para Zavala (2008) son un “conjunto de actividades ordenadas, estructuradas y
articuladas para la consecución de unos objetivos educativos que tienen un principio y un final
conocidos tanto por el profesorado como por el alumnado”. (p.16)
A su vez Tobón, Pimienta, & Garcia (2010) describen la secuencia didáctica como:
“Conjuntos articulados de actividades de aprendizaje y evaluación que con la mediación de un
docente, buscan el logro de determinadas metas educativas, considerando una serie de recursos”.
(p.20)
Capítulo 2: Referente Conceptual
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2.8. Investigaciones Relacionadas con la Resolución de Problemas Método Polya
En cuanto a resolución de problemas se pueden identificar muchos estudios basados en el
método Polya a nivel internacional y nacional donde se detalla el empleo e importancia de este
método y los resultados que se han obtenido. De acuerdo a estos estudios la presente
investigación ha tomado como referencia algunos de ellos, entre los que se destacan:
Internacionales
En Guatemala, Escalante (2015), realizó una investigación con niños de quinto de
primaria con una metodología cuantitativa de diseño cuasi experimental. Dicha investigación se
basó en procesos como la observación, se aplicó una pre-evaluación y luego una pos-evaluación,
esto con la finalidad de comprobar la efectividad del Método Polya aplicado a la resolución de
problemas matemáticos. Los resultados obtenidos mostraron que los estudiantes desarrollaron la
parte analítica y racional; compartieron ideas, criterios e intereses fomentando la unidad y el
trabajo en equipo.
Otra investigación de interés fue el proyecto realizado por Vega (2014) en Perú, con 14
estudiantes de primer grado, utilizando un diseño de investigación cuasi experimental con pre y
post test. Al utilizar el diseño se obtuvieron diferencias significativas entre los resultados
obtenidos con la aplicación del test, logrando mejorar el talento de los estudiantes en cuanto a la
resolución de problemas matemáticos.
Otra investigación de tipo descriptivo y diseño descriptivo-correlacional la realizó
Romero (2012) en Perú, con el propósito de conocer la relación que existe entre la comprensión
lectora y la resolución de problemas matemáticos en los estudiantes del segundo grado de
Capítulo 2: Referente Conceptual
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primaria. Se aplicó a 76 estudiantes de ambos sexos, con edades entre 6 y 9 años; aplicándose la
prueba de Comprensión Lectora de Complejidad Lingüística Progresiva (CLP), forma A, nivel II
de Felipe Alliende, Mabel Condemarin y Neva Milicic (1990). De igual manera se empleó una
prueba de Resolución de Problemas Matemáticos adaptada por Romero (2009) de acuerdo al
Diseño Curricular Nacional. Los resultados obtenidos mostraron que sí existe relación positiva y
significativa: a mayor comprensión lectora mejores resultados en la resolución de problemas
matemáticos.
Por su parte, Bahamonde & Vicuña (2011), en Chile, realizaron una investigación sobre
innovaciones pedagógicas en el área de matemáticas para la resolución de problemas. La muestra
correspondió a 51 alumnos de primero y tercero básico de una escuela oficial con edades entre 6
y 7 años. El objetivo fue analizar e incrementar los niveles cognitivos de análisis aumentando su
habilidad para resolver problemas en el área de matemáticas. Los resultados mostraron que el
aprendizaje asociado a la resolución de problemas matemáticos se puede lograr usando diversas
estrategias focalizadas en el tipo de situación problemática, en su reformulación verbal y
teniendo en cuenta los pasos del método Polya.
En el trabajo de investigación de Gonzalez (2008), en España, se realizó una propuesta de
intervención educativa dividida en tres fases: la primera con una evaluación inicial, la segunda se
explican las pautas para aplicar el método Polya y en la tercera fase plantearon nuevos problemas
para resolver empleando el método. Los resultados mostraron la efectividad del método Polya y
González concluyó que hay individuos que tiene más capacidad que otros para resolver
problemas que otros de su misma edad y formación, por lo tanto, es necesario replantear la
resolución de problemas no solo porque es un contenido dentro de las matemáticas sino porque
ayuda al desarrollo integral del alumno.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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Nacionales
Vargas (2015), realizó un estudio en Chía- Cundinamarca con el propósito de facilitar el
desarrollo de la habilidad para resolver problemas matemáticos de estructura multiplicativa, a
partir del diseño e implementación de una intervención de aula, con el fin de que evolucionen en
sus niveles de pensamiento mediante la formalización progresiva de las estrategias mentales,
pasando a utilizar estrategias formales para la resolución de problemas de proporcionalidad
simple, comparación multiplicativa y combinatoria. El estudio se realizó con 40 estudiantes en
edades entre 9 y 10 años de edad. Al final se alcanzan resultados favorables porque se evidenció
que al seguir un ciclo de análisis didáctico bien planteado y un proceso representacional de
acuerdo a los modelos organizadores, los estudiantes evolucionaron en sus procesos mentales lo
que incidió positivamente en la utilización de estrategias formales en la resolución de problemas
matemáticos.
De igual forma, Bueno (2012)) en Medellín, abordo una propuesta metodológica para
mejorar la interpretación, análisis y solución de ejercicios y problemas matemáticos en los
estudiantes de quinto grado; la metodología empleada se basó en la elaboración de unas guías de
enseñanza con actividades encaminadas a la resolución de problemas empleando el método
Polya, los resultados de esta investigación mostraron un interés general por perfeccionar la
metodología para resolver problemas.
Cada trabajo de investigación antes mencionado, expuso las bases conceptuales y teóricas
que sirvieron como aportes importantes para el desarrollo del contenido del proyecto, se
enfocaron en buscar cómo mejorar la habilidad de los estudiantes en resolución de problemas,
por medio de ciertas intervenciones en el aula y de las cuales en su mayoría obtuvieron los
resultados que esperaban. En la propuesta: “La secuencia didáctica para fortalecer la
interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas”, se
realiza una intervención en el aula con una propuesta innovadora llamada “La fiesta de Tinito”;
se caracteriza por usar una situación real, tomada del contexto de los estudiantes, se encuentra
Capítulo 2: Referente Conceptual
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conformada por tres centros y cada uno posee actividades que involucran las operaciones básicas
de suma, resta, multiplicación, división y combinaciones de ellas, cuyo objetivo final es la
organización de la fiesta; las actividades buscan relacionar situaciones de vida cotidianas con los
conocimientos previos de los estudiantes y la colaboración del docente para guiar al niño a la
resolución de problemas matemáticos utilizando los pasos del método Polya.
2.9. Aspecto Legal
La educación pública en Colombia se rige a partir de los Lineamientos Curriculares y
Estándares Básicos de Competencias que son la guía para la enseñanza y aprendizaje de cada
área del conocimiento. Uno de los lineamientos más recientes lo constituyen los Derechos
Básicos de Aprendizaje que son aquellos aprendizajes mínimos que debe adquirir un estudiante
en cada área para pasar de un grado a otro, MEN (2016). Partiendo de lo anterior la presente
investigación se apoya en los lineamientos que para el área de matemáticas en grado quinto
ofrece el MEN:
2.9.1 Lineamientos curriculares.
Los Lineamientos Curriculares MEN (2014) hacen referencia, entre otros, a los cinco
tipos de pensamiento matemático (numérico, espacial, métrico o de medida, aleatorio o
probabilístico y variacional. Se describe a continuación el pensamiento numérico por poseer
mayor importancia dentro de nuestra investigación y referirse concretamente a nuestro objeto
matemático de estudio, las cuatro operaciones básicas.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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El pensamiento numérico y los sistemas numéricos
Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos
curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los
significados de los números y de la numeración; la comprensión del sentido y significado de las
operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y
estimación. Dichos planteamientos se enriquecen, si además, se propone trabajar con las
magnitudes, las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender mejor
los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento
métrico. Por ejemplo, para el estudio de los números naturales, se trabaja con el conteo de
cantidades discretas y, para el de los números racionales y reales, de la medida de magnitudes y
cantidades continuas. MEN (2006)
2.9.2 Estándares básicos de competencias en matemáticas relacionados con el
pensamiento numérico y sistema numérico.
Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y
propiedades de los números naturales y sus operaciones.
Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en
situaciones aditivas y multiplicativas.
Identifico, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o
aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos.
Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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2.9.3 Derechos básicos de aprendizaje matemáticas grado quinto.
Los Derechos Básicos de Aprendizaje para grado quinto de primaria no contemplan la
resolución de problemas con números naturales, esta parte se encuentra para el grado tercero,
siendo la resolución de problemas un aspecto fundamental en las matemáticas de grado quinto,
consideramos importante tener en cuenta los estándares básicos de competencia antes
mencionados que se relacionan con la resolución de problemas, integrado con los Derechos
Básico de Aprendizaje que se indican a continuación:
Puede estimar el resultado de un cálculo sin necesidad de calcularlo con exactitud.
Por ejemplo, el colegio tiene 8 salones y en cada salón hay 32 estudiantes.
¿Aproximadamente cuántos estudiantes hay en el colegio? Para obtener la cifra exacta
calcula 32×8. Sin embargo, para estimar el valor, calcula mentalmente 30×8 = 240 y
35×8 = 70×4 = 280 y concluye que el número de estudiantes está entre 240 y 280.
(Derecho Básico de Aprendizaje N°4.)
Conoce los números naturales: 0, 1, 2… Realiza operaciones entre ellos (sumas,
restas, multiplicaciones de números de máximo 4 cifras por una cifra o de tres cifras
por dos cifras, divisiones de números de máximo 4 cifras entre una cifra). Comprende
algunas de sus propiedades. Por ejemplo, entiende que 73×19 = 19×73 o que 3× (5 +
2) = (3×5) + (3×2). (Derecho Básico de Aprendizaje N°1.)
Comprende que el residuo en una división corresponde a lo que sobra al efectuar un
reparto equitativo. Por ejemplo: Al dividir 32 entre 3 (32÷3) se obtiene un residuo de
2. Igualmente, si se reparten 32 manzanas entre 3 personas de manera equitativa, cada
persona recibe 10 manzanas y sobran 2. 32 = (3 × 10) + 2. (Derecho Básico de
Aprendizaje N°3.)
Capítulo 2: Referente Conceptual
_____________________________________________________________________________________
36
2.10. Operaciones Básicas
La importancia de las operaciones básicas radica en que son parte fundamental en las
distintas actividades del diario vivir, porque por medio de ellas se hace frente a situaciones que
requieran de números, motivo por el cual los aprendizajes de estas son esencial para la
adquisición de conocimientos que servirán de base para abordar otros temas, en este sentido se
hace necesario emitir un concepto de cada una de las operaciones:
Operación: Es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o
expresiones.
Suma: Es la operación matemática que consiste en combinar o añadir dos números o más
para obtener una cantidad final o total.
Términos: sumandos y suma o total
Resta: Se trata de una operación de descomposición que consiste en: dada cierta
cantidad, eliminar una parte de ella y el resultado se conoce como diferencia.
Términos: minuendo, sustraendo y diferencia
Multiplicación: Es una operación aritmética de composición que consiste en sumar
reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda.
Términos: factores y producto
División: Es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar
cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).
Términos: dividendo, divisor, cociente y residuo.
Capítulo 2: Referente Conceptual
_____________________________________________________________________________________
37
2.11 Categorias de Análisis
En la Tabla 1 se encuentra un resumen de las categorias de analisis que surgieron a partir
del marco teorico, en ella se definen las categorias, subcategoria del tema de investigación y los
descriptores que marcan la pauta para realizar el análisis de resultados según la metodología
empleada.
Capítulo 2: Referente Conceptual
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38
Tabla 1:
Categoría de Análisis
Categoría
central
Subcategorías
teóricas
Autores Categoría
empírica
Categoría
teórica
Descriptores
Resolución
de problemas
Método
Polya(pasos):
- Entender el
problema
- Diseñar un
Plan
- Ejecución del
Plan
- Examinar la
solución
- El estudiante resume el enunciado de la situación problema.
- Visualiza el problema relacionándolo con sus vivencias.
- Piensa en la situación de manera general sin mirar los detalles.
- Se familiariza con el problema interiorizándolo.
- Estimula la memoria recordando experiencias similares.
- Identifica las partes que componen la situación problema y proyecta el
tipo de operación que puede aplicar (suma, resta, multiplicación y
división).
- A partir de los conocimientos previos piensa en distintas maneras o
formas de llegar a la solución.
- Relaciona con sus conocimientos previos y la familiariza con la
situación, analizando detalladamente el tipo de operación que lo lleva a
la solución correcta.
- Describe la idea que lo conduce a la solución aplicando correctamente
el algoritmo en la solución del problema.
- Considera la solución desde varios puntos de vista.
- Interpreta los datos del problema y brinda una solución completa.
- Examina el método que lo llevo a la solución.
- Trata de captar su razón de ser para aplicarlos a otros problemas.
Nota Fuente: Elaboración propia.
_____________________________________________________________________________________
39
Capítulo 3: Referente Metodológico
3.1 Enfoque de Investigación
El presente proyecto corresponde a una investigación cualitativa, la cual: “Estudia con
profundidad una situación concreta y profundiza en los diferentes motivos de los hechos”, Peréz
(1994, p. 83), este enfoque busca la comprensión e interpretación de la realidad humana y social,
con un interés práctico, es decir, con el propósito de ubicar y orientar la acción humana y su
realidad subjetiva. De igual modo, este tipo de investigación “busca comprender el
comportamiento de los sujetos implicados dentro de un proceso, intentando, interacciones y
significados de los sujetos entre sí y con el medio ambiente” Scashore (1982, p. 99).
La estrategia utilizada corresponde a la resolución de problemas matemáticos, que
permitió conocer a fondo cuales fueron las particularidades de cada niño en cuanto a la
interpretación de los mismos y permitió reconocer el procedimiento correcto para su solución.
3.2 Tipo de Diseño
El método de investigación que se escogió fue el estudio de caso, con el objeto de
observar las características de los estudiantes y profundizar un poco en los diferentes
comportamientos que estos presentaron y los cambios que surgieron en ellos al hacer la
intervención en el aula con la propuesta metodológica planteada. Según Cohen (1990, p. 164)
“El investigador del estudio de casos observa las características de una unidad, un niño, una
pandilla, una escuela o una comunidad”. En términos generales este método consiste en buscar
soluciones a través del análisis de un problema o dentro de un grupo.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
40
Para realizar un estudio de caso Martinez (1987, p. 42) plantea tres fases que permiten
profundizar en los hechos y de las cuales utilizamos dos en el desarrollo del proyecto:
Fase proactiva: tiene en cuenta los fundamentos epistemológicos que completan el
problema o caso, los objetivos pretendidos, la información de que se disponen, los
criterios de selección de los casos, influencia del contexto donde se han
desarrollado los estudios, los recursos y las técnicas que se han de necesitar.
Fase interactiva: corresponde al trabajo de campo y a los procedimientos y al
desarrollo del estudio utilizando diferentes técnicas cualitativas: toma de contacto
y negociación, que sirven para delimitar las perspectivas iniciales del
investigador, las entrevistas, la observación y las evidencias documentales.
3.3 Técnicas de Recolección de Información
Las técnicas seleccionadas para recolectar la información en esta investigación fueron: la
entrevista y la observación. Teniendo en cuenta que estos instrumentos son necesarios para
obtener información relevante dentro de una investigación se hace necesario tener un concepto
claro de cada uno de ellos.
Entrevista: Arias (2006, p. 70) define la entrevista como “una técnica basada en un
diálogo o conversación “cara a cara” entre el entrevistador y el entrevistado, con un
tema previamente determinado, de tal manera que el entrevistador pueda obtener la
información requerida. De igual forma clasifica la entrevista en: estructurada o
formal, no estructurada o informal y semiestructurada.” Para el proyecto se
seleccionó la entrevista semiestructurada, se caracteriza porque aunque tenga una guía
de preguntas el entrevistador puede realizar otras no contempladas inicialmente. Esto
se debe a que una respuesta puede dar origen a una pregunta adicional o
extraordinaria. Esta técnica se caracteriza por su flexibilidad. (p. 74), por tanto este
tipo de preguntas es más que un simple interrogatorio, son espontáneas y se
relacionan con las conversaciones guiadas por la curiosidad, con el propósito de
ampliar el conocimiento en el tema de investigación, para generarle confianza y
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
41
tranquilidad al entrevistado con el ánimo de conocer y comprender antes que
interrogar o juzgar, al respecto.
Observación: es una técnica que consiste en visualizar o captar mediante la vista, en
forma sistemática cualquier hecho, fenómeno o situación que se produzca en la
naturaleza o en la sociedad, en función de unos objetivos de investigación
preestablecidos. La técnica de observación utilizada es la observación libre o no
estructurada, pues se ejecutan en función de un objetivo, pero sin una guía
prediseñada que especifique cada uno de los aspectos que deben ser observados. Arias
(2006, p. 69).
3.4 Participantes en el Estudio
Para Balestrini (1997, p. 126) la población se define “como cualquier conjunto de
elementos de la que se quiere conocer o investigar alguna de sus características”. Partiendo de
este concepto en la presente investigación la población está conformada por 55 estudiantes de
grado quinto de primaria en edades comprendidas entre 9 y 12 años de la Institución Educativa
Cauca.
3.5 Secuencia Didáctica
La propuesta metodológica que se implementó fue una Secuencia Didáctica con el objetivo
de fortalecer la interpretación de problemas matemáticos en los estudiantes de los grados 5-1 y 5-
2 en la I.E. Cauca del Municipio de Santander de Quilichao. Que de acuerdo al MEN (2013)
afirma:
Están desarrolladas desde la perspectiva del aprendizaje basado en la resolución de
problemas y la indagación. Se trata entonces de un material que facilitará al docente que
trabaja reflexiva y críticamente, enriquecer sus conocimientos didácticos del contenido
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
42
matemático, y al estudiante encontrar el sentido y el significado de lo que está aprendiendo
(p. 9).
Es así como esta Secuencia Didáctica contó con una serie de actividades previamente
estructuradas con el fin de obtener los resultados que permitan un análisis comparativo entre el
estado inicial y final de los estudiantes, la presentación completa de las actividades y análisis de
resultados observa en el anexo 4.
El modelo para estructurar la Secuencia Didáctica es la propuesta del Ministerio de
Educación Nacional de la guía de enseñanza para docentes de primaria del programa Todos a
Aprender en matemáticas grado quinto para el año 2016. Se presenta una estrecha relación entre
el Método de Resolución de Problemas descrito por Polya (1969, p.28) que consta de cuatro
fases: “comprensión del problema, concepción de un plan, ejecución de un plan, y visión
retrospectiva”; en las cuales cada una de las etapas de esta secuencia se acomodan y relacionan
de forma directa así:
Etapas
Etapa de comprensión
Esta corresponde a las dos primeras fases de Resolución de problemas descritas por Polya
(1945). En ella se presenta el contexto de la situación problema, teniendo en cuenta los
conocimientos previos de los estudiantes, utilizando diferentes tipos de apoyo. Esta etapa finaliza
con la realización de un plan de acción, mediado por un esquema de solución que el docente
diseñará con el apoyo de los estudiantes.
Etapa de descontextualización (centros de aprendizaje)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
43
En esta etapa se desarrollan varios centros de aprendizaje. Cada centro de aprendizaje
consta de varias actividades realizadas por fuera del contexto de la situación problema. Mediante
estas actividades los estudiantes construyen y afianzan conceptos, comprenden y practican
procedimientos necesarios para resolver la situación problema. Cada estudiante deja registros de
los aprendizajes alcanzados en cada centro. El centro finaliza con la evaluación de los
aprendizajes de los estudiantes y su capacidad de transferir lo aprendido a otros contextos.
Etapa de Resolución
Esta etapa corresponde a la fase de ejecución del plan en las fases de Resolución de
problemas descritas Polya. En esta etapa se hace un retorno al esquema de la situación problema
descrito en la etapa de comprensión y un enriquecimiento del mismo a partir de los conceptos y
procedimientos desarrollados en los centros de aprendizaje. Cada estudiante diseña una estrategia
de resolución definiendo un orden y una combinación apropiada de los conceptos y
procedimientos adquiridos previamente. Finalmente se socializan las diversas estrategias de
resolución y se procede a una validación de la solución.
Etapa de reflexión
Corresponde a la fase de visión retrospectiva descrita por Polya. Consiste en un proceso
de metacognición que se realiza colectivamente: los estudiantes guiados por preguntas
reflexionan sobre lo aprendido y sobre su proceso de aprendizaje y toman conciencia de sus
procesos mentales. Esta etapa facilita la transferencia de conocimientos en posibles situaciones
futuras dentro y fuera del habla.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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44
Implementación de la Secuencia Didáctica
Descripción de la situación problema
La Secuencia Didáctica diseñada para este proyecto presenta la siguiente estructura: parte
inicialmente con una situación problema llamada “La Fiesta de Tinito” a partir de la cual se
inicia la etapa de comprensión, luego la etapa de descontextualización en donde se llevaron a
cabo 3 centros de aprendizaje que están formados por 3 actividades cada centro.
Después de realizar los centros de aprendizaje se llega a la etapa de resolución donde los
estudiantes diseñan la estrategia de resolución basada en los conceptos adquiridos, y por último
se hace un análisis de los aprendizajes adquiridos y se reflexiona frente a lo mismo.
Objetivos asociados al pensamiento numérico
Traducir una situación de suma o resta mediante un material concreto, esquemas o
ecuaciones (transformar, agregar, remover, reunir, comparar).
Desarrollar procesos de cálculo escrito (suma y resta) mediante procedimientos
convencionales.
Desarrollar procesos de cálculo escrito (multiplicación y división), mediante estrategias
propias, utilizando algún material o dibujos.
Derechos Básicos de Aprendizaje
Conoce los números naturales y realiza operaciones entre ellos.
Comprende que el residuo en una división corresponde a lo que sobra al efectuar un
reparto equitativo.
Reconoce la jerarquía de las operaciones.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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45
3.6 Prueba Diagnóstica
Para llevar a cabo la presente investigación se realizó una prueba diagnóstica aplicada a
los estudiantes de los grados 5-1 y 5-2 con el objeto de identificar las posibles debilidades que se
presentaron en la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones
básicas, partiendo de un análisis basado en los pasos del método Polya. Para ello, se entregó a
cada estudiante una prueba que contaba con cinco problemas de situaciones reales y en cada uno
se pretendía que el estudiante interpretara los datos del problema relacionándolo con sus saberes
previos, buscara la operación adecuada para llegar a la solución y diera la respuesta de forma
individual y sin la orientación del docente.
Una vez obtenidos los resultados en esta prueba diagnóstica se realizó nuevamente el
cuestionario con el fin de evaluar la efectividad de la propuesta metodológica (secuencia
didáctica) y mostrar los avances de los estudiantes comparando la prueba diagnóstica y la prueba
final.
3.5.1. Hallazgos encontrados en la prueba diagnóstica.
A continuación, se describen los hallazgos encontrados en cada una de los problemas
aplicados en la Prueba Diagnóstica Tablas 2 a la 6, donde se evidencian algunas dificultades para
resolver problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas. Del total de los
hallazgos se seleccionaron tres (3) casos relevantes cuyas características muestran las
dificultades o aciertos al resolver un problema teniendo en cuenta cada paso del método Polya.
Los criterios de selección de estos casos se realizaron partiendo de aquellas situaciones que se
repitieron con mayor frecuencia y que fueron una constante durante la Prueba Diagnóstica, pero
después de aplicar la Secuencia Didáctica se observaron avances significativos en la Prueba
Final.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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46
Análisis de resultados
Problema 1: Según Polya para conocer si se llevó a cabo el primer pasó del método, el
estudiante debía interpretar los datos del problema correctamente y entender el enunciado
relacionándolo con sus saberes previos para llegar a la solución. Teniendo en cuenta lo anterior,
al aplicar la prueba diagnóstica se presentaron tres casos puntuales: Caso 1: los estudiantes
identificaron la suma como operación, pero no interpretaron los datos del problema para hallar la
solución correcta de acuerdo a las cantidades requeridas, por tanto, no solucionaron
adecuadamente los otros ítems que necesariamente requerían de la solución correcta del ítem a).
Caso 2: el estudiante no tomó en cuenta las cantidades que se necesitaban de los artículos y
realizó operaciones con el valor unitario de cada uno de ellos, razón por la cual no obtuvo la
respuesta correcta. Caso 3: entendió los datos del problema, pero no realizó correctamente el
algoritmo, pues no organizó las cantidades de acuerdo a su valor posicional, por lo tanto, obtuvo
la respuesta incorrecta, los hallazgos se encuentran en la Tabla 2.
Tabla 2:
Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 1
Pregunta Casos e ilustraciones
Objetivo: Aplicar el algoritmo de
la suma para hallar el total de
artículos teniendo el precio de uno
Figura 4:Problema 1
Los estudiantes no tienen en cuenta el valor por unidad
de los artículos para hallar el total, según la cantidad
requerida.
Caso 1, ilustración 1 ilustración 2
(Continua)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
47
Tabla 2: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 1(continuación)
Pregunta Casos e ilustraciones
Caso 2, ilustración 1
Caso 3, ilustración 1
Caso 1 ilustración 1 y 2, caso 2, ilustración 1 y caso 3,
ilustración 1. Corresponder a las respuestas del problema 1 de
la prueba diagnóstica, ítems a), b), c) y d).
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
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Figura 5: Problema 2
Problema 2. Se identificaron los siguientes casos: Caso 1: Los estudiantes no
interpretaron correctamente los datos ni identificaron la operación (resta) por lo tanto no se
realizaron el primer y segundo paso del método Polya. En el Caso 2, la principal dificultad se
encontró al momento de realizar la operación pues los estudiantes colocaron las cifras sin tener
en cuenta que la resta no es conmutativa por lo que a la cantidad menor le sustrajeron la mayor,
esto indica que presentaron debilidades en el segundo, tercero y cuarto paso del método Polya.
Caso 3, se llegó al primer paso del método, pero no desarrolló de forma correcta los otros tres,
debido a que no tomo los valores adecuados por consiguiente la respuesta fue incorrecta.
Tabla 3:
Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 2
Pregunta Casos e ilustraciones
Objetivo: Identificar el algoritmo
de la resta al interpretar los datos
del problema teniendo en cuenta
las cantidades.
Los estudiantes no interpretaron los datos del problema,
ni identificaron el algoritmo de la resta, o presentan
dificultades para restar ya que no tienen en cuenta que la
resta no es Conmutativa.
Caso 1, ilustración 1 ilustración 2
(Continua)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
49
Tabla 3: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 2 (Continuación)
Pregunta Casos e ilustraciones
Caso 2, ilustración 1
Caso 3, ilustración 1
Caso 1 ilustración 1 y 2, caso 2, ilustración 1 y caso 3,
ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 2 de la prueba diagnóstica, ítems a), b), c) y d).
Problema 3: Caso 1: interpretó de forma incorrecta los datos del problema y aplicó de
forma inadecuada el algoritmo. Caso 2: el estudiante utilizó la suma como única solución al
problema, esto debido al poco dominio para recordar las tablas de multiplicar. Caso 3: interpretó
de forma lógica los datos y realizó adecuadamente el algoritmo, pero la respuesta fue incorrecta,
porque no tuvo en cuenta las cantidades de los artículos y su valor unitario, al relacionar los tres
casos con el método Polya se puede deducir lo siguiente: teniendo en cuenta que la interpretación
Capítulo 3: Referente Metodológico
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50
de un problema es el primer paso del método Polya, el estudiante debió identificar los datos del
problema y resumir la idea central de esta manera podría llegar a los siguientes pasos, que le
permiten aplicar el algoritmo correcto para llegar a la solución del problema, de acuerdo a esto se
observa que en ninguno de los tres casos se aplicó el método Polya.
Tabla 4:
Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 3
Pregunta Casos e ilustraciones
Objetivo. Identificar el algoritmo
de la multiplicación al interpretar
los datos del problema.
Figura 6: Problema 3
Las dificultades encontradas, se generalizan en que no
tomaron en cuenta los datos del problema para aplicar
correctamente el algoritmo de la multiplicación, de
acuerdo a esto se presentaron tres casos:
Caso 1, ilustración 1
Caso 2, ilustración 1
(Continua)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
51
Tabla 4: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 3 (continuación)
Pregunta Casos e ilustraciones
Caso 3, ilustración 1
Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3,
ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 3 de la
prueba diagnóstica, ítems a) y b).
Problema 4: Caso 1: recurrieron a la suma como única solución al problema y no
utilizaron el algoritmo correcto (división), de acuerdo a lo descrito por Polya, en este caso no se
llevó a cabo la interpretación correcta de los datos del problema y como resultado no se
realizaron los siguientes pasos del método. Caso 2: identificó el algoritmo, interpretó
incorrectamente los datos y no obtuvo la solución adecuada al problema, es decir el estudiante
solo realizó el paso 3 de Polya. Para el Caso 3: no se cumplió ningún paso del método Polya
debido a que se les dificulto interpretar los datos del problema, no se identificó el algoritmo
adecuado y recurrieron a la multiplicación en lugar de la división, por lo tanto, no se obtuvo la
solución correcta.
Tabla 5:
Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 4
Pregunta Casos e ilustraciones
Objetivo: Identificar el algoritmo de la
división al interpretar los datos del problema.
En el problema los estudiantes no tuvieron en
cuenta los datos para aplicar correctamente el
algoritmo de la división.
(Continua)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
52
Tabla 5: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 4 (continuación)
Pregunta Casos e ilustraciones
.
Figura 7: Problema 4
Caso 1 ilustración1 Caso 2, ilustración 1
Caso 3, ilustración 1
Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3, ilustración
1: Corresponde a las respuesta del problema 4 de la prueba
diagnóstica, ítems a) y b).
Según Polya, en el paso 1 del método el estudiante deberá entender el problema, además
identificar los datos y el algoritmo adecuado para llegar a la respuesta correcta, en el Caso 1 se
pudo observar que el estudiante no interpreto los datos, ni lo que solicito cada ítem, también
presento dificultad al resolver problemas que involucraran las cuatro operaciones, pues no
identificó el algoritmo adecuado para encontrar la solución. Para el Caso 2 interpretó de forma
incorrecta los datos, pero identificó las operaciones y utilizó el algoritmo adecuado. Caso 3 el
estudiante identificó la operación para cada ítem, pero no resolvió adecuadamente el algoritmo.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
53
Tabla 6:
Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 5
Pregunta Casos e ilustraciones
Objetivo: Identificar el tipo de
algoritmo que debe aplicar a un
problema que involucra las cuatro
operaciones.
Figura 8: Problema 5
En el problema los estudiantes no interpretaron los datos
del problema y no identificaron las operaciones
adecuadas para resolver cada ítem.
Caso 1, ilustración 1.
Caso 2, ilustración 1
(Continua)
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
54
Tabla 6: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 5 (continuación)
Pregunta Casos e ilustraciones
Caso 3, ilustración 1
Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3,
ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 5,
ítems a), b), c), d) y e).
Según Polya, en el paso 1 del método el estudiante deberá entender el problema, además
identificar los datos y el algoritmo adecuado para llegar a la respuesta correcta, en el Caso 1 se
pudo observar que el estudiante no interpreto los datos, ni lo que solicito cada ítem, también
presento dificultad al resolver problemas que involucraran las cuatro operaciones, pues no
identificaron el algoritmo adecuado para encontrar la solución. Para el Caso 2 interpreto de
forma incorrecta los datos pero identificó las operaciones y utilizó el algoritmo adecuado. Caso 3
el estudiante identificó la operación para cada ítem pero no resolvió adecuadamente el algoritmo.
Después de detectar las dificultades en la prueba diagnóstica, se seleccionaron tres
entrevistas realizadas a los estudiantes (E6, E28 y E37), quienes fueron seleccionados de acuerdo
a su desempeño en la realización de las actividades de la prueba, con el objetivo de conocer las
razones por las cuales presentaron ciertas fallas al interpretar y resolver el problema 5 que
involucran las cuatro operaciones.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
55
A la pregunta: Por qué al resolver el ítem a, que se refiere a: ¿Cuántas monedas de la
colección de la abuela hay en cada cofre, usted realizó una resta?, el estudiante E37 respondió:
Profe, yo hice una resta porque pensé que en los tres cofres había 200 monedas en cada uno,
ósea 600 y 6000 de la abuela menos 600 pues me da 5400 monedas, eso fue lo que hice.
La respuesta dada por el estudiante indica que de acuerdo a los pasos de Polya, no entendió el
problema, por lo tanto, no realizó la operación correspondiente. Se concluye que al existir una
dificultad para interpretar los datos del problema es imposible llevar a cabo los demás pasos del
método.
Al preguntar a E6 sobre el ítem c, ¿Cuántas monedas hay en cada cofre?, su respuesta fue
2000 monedas, por lo que se le pregunta: ¿Cuál fue el procedimiento que usted siguió para dar
esa respuesta?: E6, responde: Vea profe, lo hice así, como dice que hay 6000 monedas
distribuidas en tres cofres yo dividí 6000 entre 3 y me dio 2000. El docente agrega: ¿usted tomó
en cuenta que además de las 6000 monedas de la colección de la abuela, en cada cofre había otra
cantidad de monedas de plata y de bronce? E6 manifiesta: ah! Si profe se me olvido, no leí bien.
El procedimiento que el estudiante desarrollo en el ítem c, demuestra que no analizó
detenidamente los datos del problema para dar la respuesta, aunque aplicó correctamente los
pasos 2, 3 y 4 de Polya, de nuevo la dificultad se presentó en la interpretación del problema.
Se pregunta a E28: ¿para resolver el problema cinco que procedimiento realizó?
Responde E28: Bueno, pues yo primero leí y me imagine, que era lo que tenía que hacer,
entonces yo para ir contestando las preguntas, pensé: bueno yo que operación hago aquí y
empecé a resolver así: para el ejercicio a, yo dividí 6000 que eran todas las monedas de la
colección entre 3 porque eran 3 cofres, para el b, multiplique 200 por 2 porque era el doble y
luego al resultado lo multiplique por 3, luego para el c, sume todas las monedas, para el d,
multipliqué lo que me dio de las monedas por los 3 cofres y para el último que era el e, lo que
hice fue restar lo que tenía la abuela menos lo que le dio a la nieta, y así me dio todo, bueno eso
creo.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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56
El docente agrega: usted tenía todo muy claro sobre las operaciones que debía utilizar en
cada pregunta del problema, entonces ¿Por qué los resultados en cada una de las operaciones
estaban incorrectos? El estudiante responde con gestos de asombro, ¡ay!, profesora yo creo que
fue por al afán de irnos rápido porque ya iban a tocar el timbre y mi mamá me estaba
esperando, pero yo sé hacer las operaciones bien.
Analizando lo anterior, y tomando como referencia el Método Polya, se puede deducir
que el E28, resolvió el problema cinco, aplicando los pasos de Polya. A partir de esto se observó
que algunos estudiantes de ambos grados resolvieron problemas ya que tenían presente los
conocimientos previos necesarios y las dificultades encontradas fueron mínimas. Mientras que
la mayoría de estudiantes de los dos grupos presentaron problemas para interpretar e identificar
del algoritmo adecuado.
Conclusiones de la prueba diagnóstica
1. Es evidente que existe una dificultad para interpretar los datos de un problema debido a
diferentes factores que pueden influir, como son: poca comprensión lectora, falta de
concentración, poca disponibilidad de parte del estudiante y falta de conocimientos
previos para resolver algoritmos.
2. La apatía que se tiene hacia la lectura hace que algunos estudiantes sientan pereza cuando
se enfrentan a un problema y contestan rápidamente sin una interpretación lógica por lo
que la solución en muchos casos no es la adecuada.
3. Al resumir la idea central de un problema creen en la suma como único camino para
llegar a la solución. Un requisito básico en el estudiante de grado quinto es tener dominio
en el manejo de las tablas de multiplicar, esta es una de las dificultades más notorias pues
les impide realizar aquellas operaciones que requieran de su uso, por tal razón cuando el
estudiante se enfrenta a esta clase de problemas aunque sepa que debe aplicar una
multiplicación emplea la suma.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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57
4. Cuando se enfrentan a un problema que combina varias operaciones confunden los datos
y se les dificulta identificar el procedimiento correcto y la operación adecuada en cada
paso.
5. Algunos estudiantes aplican de manera incorrecta el algoritmo de la resta y de la división
pues en primera instancia al aplicar la resta en la resolución de un problema utilizan la
cantidad menor para sustraer la cantidad mayor, el proceso de la división requiere
principalmente de conocimientos previos en resta y multiplicación por esta razón al no
tenerlos presentes les impide realizar la división de forma correcta.
Partiendo de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica se llevó a cabo la
intervención en el aula con una secuencia didáctica que permitió fortalecer la interpretación de
problemas matemáticos aplicando las cuatro operaciones básicas a través de la organización de
“La Fiesta de Tinito”, llevando a cabo una serie de actividades que motivaron a los estudiantes a
resolver problemas aplicando los pasos del método Polya, lo que permitió fortalecer las
debilidades detectadas en la prueba diagnóstica como se evidencia en los resultados obtenidos en
la prueba final mostrados a continuación.
Resultados Prueba Final
Para la prueba final se utilizó el mismo cuestionario empleado durante la Prueba
Diagnóstica, el cual está diseñado con cinco problemas de situaciones reales que de acuerdo a
Blanco (1993, p.12) “se trata de plantear actividades lo más cercanas posibles a situaciones
reales que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos matemáticos”, es decir son
problemas que los estudiantes relacionan con sus vivencias y que pueden interpretar fácilmente.
Se seleccionaron problemas con estas características pues tenían un lenguaje fácil de
comprender, estaban al alcance de los conocimientos de los estudiantes y despertaban la
motivación por las situaciones planteadas, ya que les permitían relacionarlos con sus saberes
previos.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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58
Después de realizarse las actividades de la secuencia didáctica, se aplicó la Prueba Final
con el objetivo de analizar los avances de los estudiantes en cuanto a la interpretación de
problemas que involucren las cuatro operaciones básicas, tomando como referencia los pasos del
Método Polya (1945) en la resolución de problemas de situaciones reales.
Para realizar el análisis de esta prueba, se relacionaron los resultados obtenidos, las
entrevistaron a los estudiantes y los descriptores de cada paso del método Polya y resolución de
problemas matemáticos.
Las entrevistas se realizaron a los E28, E6 y E37, quienes representan tres grupos en los
que se dividieron los grados 5-1 y 5-2 al aplicar la prueba diagnóstica de acuerdo a los resultados
obtenidos.
E28, representa aquellos estudiantes que inicialmente presentaron algunas dificultades
debido a la rapidez en la realización de la prueba, pero tienen buena interpretación de los
problemas y el manejo correcto de las operaciones básicas.
Otro grupo de estudiantes se encuentra representado por E6, quienes presentaron dudas
en cuanto a la interpretación y requirieron orientación en las actividades de la secuencia didáctica
y en el desarrollo de la parte algorítmica.
Y un tercer grupo está representado por E37, al que pertenece aquellos estudiantes que no
obtuvieron buenos resultados al aplicar la prueba diagnóstica por debilidades en la parte
interpretativa y del algoritmo, pero que en la prueba final mostraron avances significativos.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
59
En la entrevista a E28 se le preguntó: en el problema cinco de la prueba diagnóstica usted
presentó algunas dificultades en la aplicación de los algoritmos, luego al compararlo con la
prueba final, el problema se encuentra correctamente solucionado, ¿cuál cree usted que fue la
dificultad inicial? Responde E28: Profe, al comienzo el problema estaba un poquito enredado
porque tenía muchos datos y yo si entendí, pero hice mal las operaciones porque quería
terminar de primera pero luego cuando lo volví a hacer en la prueba final, leí detenidamente y
me aseguré de las operaciones que debía hacer y que me quedaran bien.
Se pregunta a E28: de acuerdo a los que usted acaba de mencionar, ¿qué cree que es lo
más importante para resolver un problema matemático? Responde E28: Profe, yo pienso que lo
más importante es leer bien, o sea entender todo lo que dice el problema y que se debe hacer.
Para poder no equivocarme en la operación.
La respuesta de E28 da a entender que después de realizar la Prueba Final está aplicando
los pasos del Método Polya, pues resalta la importancia del primer paso que es: entender el
problema, que según los descriptores (tabla 1): se resumen el enunciado de la situación problema
relacionándolo con sus vivencias, se familiariza con él, lo interioriza y estimula la memoria
recordando experiencias similares, lo que da pie a que pueda realizar los demás pasos. Basado
en lo anterior se concluye que E28 tuvo un avance significativo en cuanto a la resolución de
problemas.
Entre los problemas presentados en la prueba final, el problema 5 causó mayor dificultad
en el grupo de estudiantes representados por E6 debido a que involucraba las cuatro operaciones
básicas y el estudiante debía identificar la operación correcta para cada ítem del problema.
Se pregunta a E6: en el problema cinco, usted inicialmente presentó errores en el
desarrollo de los ítems, ¿cómo logro resolver el problema correctamente en la prueba final? E6
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
60
responde: Profesora, vea, yo leí muchas veces el problema, como cinco veces y de todos modos
le pedí su ayuda por eso me demore tanto en resolverlo, aunque todavía me confundo, ya pude
entender cuáles son las operaciones que tengo que hacer y cuando es una suma, una resta, una
multiplicación o una división, la división casi no me gusta porque me demoro mucho haciéndola.
Se preguntó nuevamente a E6 ¿Qué aprendió después de realizar la secuencia didáctica y que se
aplicó en la prueba final? E6 responde: pues que al hacer un ejercicio hay que leer muy bien
para no confundirse y también que se debe estar pendiente de los datos porque cuando se tiene
una lista de precios se debe tener en cuenta lo que vale uno para hallar la cantidad total. Se
pregunta a E6 ¿cómo puede usted identificar el tipo de operación en un problema? Responde E6:
hay que analizar bien lo que están preguntado y si por lo menos me dicen el valor de un artículo
y necesito saber cuánto valen varios yo multiplico, y así mismo cuando termine de multiplicar
todo sumo las cantidades para saber los totales, necesito saber cuánto me quedo resto y si tengo
que dar a varias personas algo hago una división. Se menciona a E6 debes tener en cuenta que
no todos los problemas son iguales a los que se presentaron en la prueba y que en alguno casos
no es fácil identificar la operación. Se pregunta ¿qué hace usted en este caso? E6 responde:
jummm, pues toca leer bien y hacer varios problemas para que operación debo hacer.
De acuerdo lo descrito por Polya (1945) para el tercer paso Ejecutar el Plan y teniendo en
cuenta los descriptores planteados en las categorías de análisis, el estudiante considera la
solución desde varios puntos de vista, interpreta los datos del problema y brinda una solución
completa, examina el método que lo llevo a la solución y trata de captar su razón de ser para
aplicarlos a otros problemas. En relación con la entrevista realizada a E6 re refleja como
resultado que creo conciencia de la importancia de la leer e interpretar bien el problema para
encontrar la operación correcta que lo lleva a la solución, esto indica que implícitamente y
gracias a las actividades de la secuencia didáctica se lograron obtener avances notorios frente a
los pasos del método Polya.
El grupo representado por E37, presentó muchas dificultades al realizar la prueba
diagnóstica porque le costaba interpretar los datos de un problema y reconocer la operación
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
61
correcta pues suponía que todos los ejercicios se solucionaban con una suma, además al
enfrentarse a una suma de varias cantidades no ordenaba correctamente las cifras según su valor
posicional, no obstante, en la prueba final los resultados mostraron que pudo resolver paso a paso
el problema uno. Para saber que ocurrió se preguntó a E37: ¿En el problema uno de la prueba
final, usted logro hacerlo correctamente mientras que en la prueba diagnóstica no lo hizo, que
debía hacer para resolverlo de forma acertada? A continuación, E37 responde: bueno, yo me sentí
muy bien haciendo la actividad, yo no entendía porque no sabía si sumar o multiplicar, además,
el problema estaba muy largo y tenía muchos datos y precios y no tuve en cuenta el precio de un
solo artículo, sino que sume todo lo que había en el problema, es que yo estaba perdido, no
sabía si hacer multiplicación o suma a lo último me explicó y yo aprendí cuando multiplicar y
cuando sumar. ¿Usted identificó fácilmente las operaciones que debía realizar en todos los
ejercicios? Responde E37: Si señora, yo las hice correspondiente y no le copie a nadie, las hice
por mi cuenta y ya sé que si voy a comprar 5 tomates a la tienda debo saber cuánto vale uno y
multiplico por 5 y ahí se cuánto valen todos.
De acuerdo a las observaciones que se hicieron en el grupo representado por E37 y
basándonos en la respuesta de la entrevista, en relación con Polya se llega parcialmente al
segundo paso que es Diseñar el Plan, en el que se encuentran los descriptores: identifica las
partes que componen la situación problema y proyecta el tipo de operación que puede aplicar, a
partir de los conocimientos previos piensa en distintas formas de llegar a la solución. Debido a
que solo logran identificar cuando sumar en un problema matemático, pero se siguen
presentando dificultades para identificar las demás operaciones.
Por los que se concluye que hubo un progreso que aunque no fue total si fue muy
significativo porque se logró despertar el interés y la motivación en la realización de problemas
que involucren las operaciones básicas, donde el estudiante entiende la importancia de leer
repetidamente el enunciado, interpretar los datos, aplicar el algoritmo adecuado y llegar a la
solución o soluciones correctas del problema, además pensar en la aplicación que puede tener en
su vida cotidiana.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
62
3.8 Análisis Comparativo de Resultados Prueba Diagnóstica y Prueba Final
En las Figuras 9 y 10 se encuentran los resultados que se obtuvieron al aplicar las pruebas
diagnostica y final a los 55 estudiantes de 56 matriculados inicialmente en los grados 5-1 y 5-2,
de los cuales se retiró uno. El análisis se basó en los objetivos que se perseguían con respecto a
los pasos del Método Polya para resolver problemas matemáticos. Se visualiza los resultados del
problema número 5 partiendo de los descriptores (Tabla 1) que indican si se cumplió o no cada
paso del método. Se selecciona el problema 5 porque es una situación que involucra las cuatro
operaciones básicas donde se pudo evaluar si el estudiante identificó la operación, interpretó
correctamente los datos del problema, aplicó adecuadamente el algoritmo y llegó a la solución
correcta.
Figura 9: Prueba Diagnóstica
Fuente: Elaboración propia. Convenciones: E.P: Entender el problema; D.P: Diseñar el plan; EJ.P: Ejecutar el Plan; E.S: Examinar la Solución;
D: descriptor; S: Si; N: No
La prueba diagnóstica del problema 5, Figura 9, revela para el primer paso de Polya:
entender el problema, la dificultad que presentaron más de la mitad de los estudiantes en
0
10
20
30
40
50
60
S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N
D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
E.P D.P EJ.P E.S
Est
ud
ian
tes
Pasos método Polya
PRUEBA DIAGNÓSTICA
PROBLEMA 5
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
63
familiarizarse con el problema y relacionarlo con situaciones de su contexto. El resto de
estudiantes evidenciaron cumplir totalmente el primer paso resaltando lo obtenido en el
descriptor tres donde el estudiante piensa en la situación problema de forma general sin tener en
cuenta los detalles.
Figura 10: Prueba Final
Fuente: Elaboración propia. Convenciones: E.P: Entender el problema; D.P: Diseñar el plan; EJ.P: Ejecutar el Plan; E.S: Examinar la Solución;
D: descriptor; S: Si; N: No
En la figura 10 de la Prueba Final se puede apreciar un progreso al entender el problema
pues con respecto a la primera prueba, la cantidad de estudiantes que presentaron dificultad
disminuyó.
Los tres descriptores que indican el segundo paso del Método Polya en la prueba
diagnóstica, donde el estudiante debía diseñar un plan basado en identificar las partes del
problema y a partir de sus conocimientos previos analizar el tipo de operación y pensar en
distintas formas de llegar a la solución, como se evidencia fue el paso que causó menor dificultad
05
1015202530354045
S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N
D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
E.P D.P EJ.P E.S
Est
udia
nte
s
Pasos método Polya
PRUEBA FINAL
PROBLEMA 5
Capítulo 3: Referente Metodológico
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64
para la Prueba Diagnóstica, sin embargo, al compararlo con la Prueba Final se puede observar
que la cantidad de estudiantes que si lo llevó a cabo de forma acertada aumentó. En cuanto al
tercer paso: la ejecución del problema según Polya, el descriptor menciona que el estudiante
describe la idea que lo conduce a la respuesta aplicando correctamente el algoritmo en la
solución del problema. La Figura 9, indica que en la prueba diagnóstica solo 7 estudiantes
lograron llevar a cabo el paso 3 de forma adecuada, mientras que, en la Prueba Final, como
indica la Figura 10, la cantidad de estudiantes que realizan acertadamente este paso aumentó en
24. Por último, Polya expone en su cuarto paso que el estudiante finalmente examina la solución,
interpretando los datos y reconociendo el método que lo llevó a la respuesta correcta y es
precisamente aquí donde se nota que los estudiantes en su gran mayoría al realizar la prueba
diagnóstica presentaban dificultades al resolver problemas, como se indica en la Figura 9, el
número de estudiantes que no llevaron a cabo este paso son más de la mitad, teniendo en cuenta
que para llegar aquí el estudiante tenía que desarrollar de forma correcta los otros pasos; la
Prueba Final, muestra en la Figura 10 que si hubo un avance significativo que indica que la
mayoría de estudiantes logró aplicar correctamente el paso y como resultado final aplicaron el
Método Polya.
Con relación a lo anterior el análisis general de los 5 problemas se puede observar en la
Tabla 7, donde se muestran los resultados de los 55 estudiantes respecto a los descriptores de
cada paso del Método Polya, en particular se seleccionaron los resultados de tres estudiantes que
han sido objeto de estudio. Por efecto de espacio no es posible exponer la tabla completa.
Capítulo 3: Referente Metodológico
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65
Tabla 7:
Análisis Comparativo de Resultados Prueba Diagnóstica y Prueba Final Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan
Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Est Prueba PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
Problema
E6 1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI NO SI NO SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E28 1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E37 1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
66
3.9 Cronograma de Actividades
En la Tabla 8 se relaciona cada una de los apartados del proyecto en relación con el tiempo en que se desarrollaron.
Tabla 8: Cronograma de Actividades ACTIVIDAD SEMESTRE I SEMESTERE II SEMESTRE III SEMESTRE IV
Sep Oct Nov Dic Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Feb Mar Abr May Jun
Formulación del
problema
X X
Objetivo general y
específicos
X X
Elaboración del
anteproyecto
X X X X
Ajustes al primer
informe
X
Diseño de las
actividades de la
secuencia didáctica
X
Intervención en el
aula
X X X X
Elaboración del
segundo informe
X
Ajustes al segundo
informe
X
Recolección de
datos y
sistematización
X X X X X
Nota Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 3: Referente Metodológico
_____________________________________________________________________________________
67
3.10 Presupuesto
Para llevar a cabo el proyecto se requirieron los insumos expuestos en la tabla 9.
Tabla 9:
Presupuesto
MATERIALES PRECIO
Material didáctico (marcadores, coles, tijeras, colbón, lápices,
borradores, sacapuntas)
$ 100.000
Fotocopias $ 50.000
Papelería $ 36.000
Transporte $ 50.000
Refrigerio $ 100.000
Otros $ 50.000
TOTAL $ 386.000
Fuentes: Elaboración propia.
_____________________________________________________________________________________
68
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones
Después de haber llevado la intervención en el aula (secuencia didáctica), partiendo de
los objetivos específicos planteados (resaltados en negrilla) se concluye lo siguiente.
Determinar las posibles dificultades que presentan los estudiantes para la
interpretación de un problema matemático que involucre las cuatro operaciones básicas.
1. En cuanto a las características del grupo es importante mencionar en términos generales
que la mayoría de los estudiantes presentaron dificultades con respecto a temas básicos
como es el desarrollo y manejo de las operaciones básicas.
2. El diagnóstico en la parte cognitiva permitió conocer algunos de los errores que cometen
los estudiantes al resolver problemas que involucren las operaciones básicas. Mostrando
que en su mayoría recurren al camino de la suma para llegar a la solución, en algunos
casos por no tener el manejo adecuado de las otras operaciones y en otros casos por no
saber las tablas de multiplicar y la falta de interpretación.
3. Las metodologías de enseñanza de las matemáticas no se deben quedar en la parte teórica
y algorítmica, sino que deben permitir al estudiante interactuar con su contexto y ver la
aplicabilidad en su quehacer cotidiano.
Elaborar una secuencia didáctica que ayude a encauzar la interpretación de
problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas.
1. La secuencia didáctica diseñada aportó al fortalecimiento y a la interpretación de
problemas matemáticos y despertó el interés en los estudiantes para resolver otras
situaciones cotidianas aplicando las operaciones. Esto puede verse en las soluciones de
los E28, E6 y E37 (Tabla 7).
2. El modelo de la secuencia didáctica diseñada parte de una situación real “La Fiesta de
Tinito”, permitió que los estudiantes interactuarán con su entorno y realizarán las
actividades de una manera vivencial, lo que favoreció la interpretación de problemas e
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones
_____________________________________________________________________________________
69
identificación del algoritmo adecuado.
3. El diseño de la secuencia didáctica fue realizado con base en el modelo del Programa
Todos A aprender del Ministerio de Educación y tomando como basa los pasos del
Método Polya, lo que permitió hacer un análisis paso a paso de la aplicación de este
método en la resolución de problemas matemáticos.
Emplear la secuencia didáctica y medir la pertinencia y efectividad para la
interpretación de problemas matemáticos con operaciones básicas.
1. La secuencia didáctica fue de gran utilidad como herramienta didáctica para resolver
problemas. Según el comparativo del análisis diagnóstico y final, los resultados
mostraron el avance de la gran mayoría de los estudiantes y la superación de las
dificultades iniciales para interpretar y resolver problemas matemáticos con las cuatro
operaciones básicas. Una mínima cantidad de estudiantes no lograron avanzar en los
pasos del Método Polya para resolver problemas matemáticos, debido a la existencia de
algunos vacíos conceptuales de años anteriores.
2. De acuerdo a los resultados arrojados en la Prueba Final se considera pertinente la
aplicación de esta propuesta para el fortalecimiento de la interpretación de problemas
matemáticos con las operaciones básicas, ya que logró despertar la motivación en los
estudiantes y crear nuevas expectativas para resolver otros problemas de situaciones
reales.
3. Los avances que presentaron los estudiantes con respecto a la Prueba Diagnóstica
después de aplicar la secuencia didáctica muestran la efectividad de la aplicación del
Método Polya en la resolución de problemas.
Aspecto Educativo
Se fortaleció la competencia interpretativa como aporte al Plan de Mejoramiento
Institucional, en busca de mejorar la calidad educativa y los resultados de pruebas internas y
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones
_____________________________________________________________________________________
70
externas, ya que los avances de los estudiantes en cuanto a la interpretación de problemas que
involucran las cuatro operaciones básicas les permitieron adquirir destrezas y habilidades
aplicando sus saberes previos y conceptos matemáticos, además de relacionar los problemas con
situaciones de la vida diaria.
Aporte Teórico
Aplicar el método Polya para la resolución de problemas, fue un aporte valioso en el
campo de las matemáticas en la Institución Educativa Cauca, porque permitió al estudiante dejar
de lado el aprendizaje mecánico de las operaciones básicas tomando conciencia de los pasos que
se deben seguir para resolver un problema y llegar a la solución correcta.
Aporte Metodológico
Con el diseño y aplicación de una secuencia didáctica cuyo tema central fue la
organización de “la Fiesta de Tinito”; lo que marcó la diferencia entre este proyecto y otros
estudios realizados, se logró despertar la motivación de los estudiantes de grados 5-1 y 5-2,
fortaleciendo la competencia interpretativa, aplicando los pasos del método Polya, donde cada
paso contribuyó a mejorar las dificultades para resolver problemas matemáticos que involucren
las cuatro operaciones básicas.
Formación del Estudiante de Primaria
Los resultados de las pruebas aplicadas y la secuencia didáctica permitieron detectar en
los estudiantes los vacíos conceptuales existentes de grados anteriores que permiten avanzar en
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones
_____________________________________________________________________________________
71
el proceso de resolución de problemas al aplicar los pasos del método Polya, porque algunas
temáticas son la base fundamental para encontrar la solución de un problema; por ejemplo: el
poco manejo en las tablas de multiplicar hace que el estudiante busque opciones diferentes
(suma) en la identificación de operaciones, siendo estas necesarias para resolver problemas que
involucre la división y la multiplicación. En el estudiante de primaria es importante fortalecer la
comprensión lectora desde cada una de las áreas del conocimiento, teniendo en cuenta que es un
aspecto básico para la interpretación de contenidos y en caso de las matemáticas para la
resolución de problemas.
Reflexiones del Docente
Después de realizar el proceso de formación de la Maestría en Educación, y la
implementación de la propuesta metodológica, se hace necesario reflexionar acerca de la
importancia del papel del docente en el proceso educativo, este debe estar en constante proceso
de aprendizaje y capacitación, porque el estudiante de hoy así lo exige, requiriendo nuevas
estrategias metodológicas de enseñanza. El aporte que brindo la maestría en este sentido es de
vital importancia porque permitió replantear la forma de impartir los conocimientos, pues generó
nuevas expectativas en cada una de nosotras que permiten brindar un aporte a la Institución
Educativa desde la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y queda claro que es fundamental
seguir explorando nuevas metodologías en busca del mejoramiento de la calidad educativa.
Recomendaciones
Al llevar a cabo esta investigación se alcanzaron los objetivos propuestos, a la vez que se
logró identificar algunas problemáticas como la falta de tiempo, las cuales quedan pendientes
para propiciar futuras investigaciones:
1. Proponer a la Institución Educativa Cauca y docentes de primaria en matemáticas la
Capítulo 4: Conclusiones y Recomendaciones
_____________________________________________________________________________________
72
utilización del Método Polya, como herramienta para la resolución de problemas
matemáticos, junto con el aprendizaje de las operaciones básica.
2. Se propone la secuencia didáctica como una estrategia metodología para el aprendizaje de
las operaciones básicas y el fortalecimiento e interpretación de problemas matemáticos.
3. Se sugiere diseñar actividades encaminadas a fortalecer las dificultades en la parte
algorítmica de las operaciones básicas.
4. Se recomienda utilizar estrategias metodológicas que lleven al estudiante a resolver
problemas matemáticos de situaciones reales y que permitan disminuir el temor hacia las
matemáticas.
5. Que los docentes consideren la resolución de problemas como estrategia para la
interpretación de otros conceptos matemáticos, que le permita al estudiante adquirir
habilidades y destrezas.
6. Se propone para futuras investigaciones examinar los motivos que llevan al estudiante a
utilizar la suma como única operación para resolver problemas que involucre la
multiplicación.
7. Se recomienda investigar sobre la comprensión de textos matemáticos, para que el
estudiante tenga mayor facilidad de entender las temáticas del área.
_____________________________________________________________________________________
73
Referencias Bibliográficas
Aguirre, Cortes, & Rojas. (2015). Ludica en la resolución de problemas matemáticos una alternativa de
cambio en el aula experiencia en grados cuartos y sextos. Fundación Universitaria los
Libertadores. Bogotá - Colombia.
Alvarado. (2015). Bingo matemático y su incidencia en el aprendizaje de operaciones aritméticas básicas. .
Universidad Rafael Landivar: Guatemala.
Arias. (2006). El proyecto de investigación, introducción a la metodología cienífica. pp 70, 74, 69. 5ta.
Edición.
Aristizabal, Colorado, & Gutierrez. (2015). "El juego como estrategia didáctica para el desarrollo del
pensamiento númerico en las cuatro operaciones básicas". Universidad del Quindio: Quindio.
Astola, Salvador, & Vera. (2012). Efectividad del programa "Gpa- Resol" en el incremento del nivel de logro
en la resolución de problemas aritméticos aditivos y sustractivos en estudiantes de segundo grado
de primaria de dos instituciones educativas, una de gestión estatal y otra privada. Pontificia
Universidad CAtolica del Perú: Perú.
Bahamonde, & Vicuña. (2011). Resolución de problemas. Universidad de Magallanes. Chile.
Balestrini. (1997). Como se elabora el proyecto de investigación. Caracas: BL Consultores Asociados.
Blanco. (1993). La resolusión de problemas una revisión teórica. Revista sumas, p. 12.
Brandford, & Stein. (1984). The IDEAL problem solver, p. 4. WH Freeman and Company. New York: Labor:
barcelona.
Bueno, D. (2012). Propuesta metodologica para mejorar la interpretación, análisis y solución de ejercicios
y problemas matemáticos en los estudiantes de quinto grado del Instituto Alejandro Velezon.
Universidad Nacional de Colombia:. Medellín.
Canales. (2006). Estudio exploratorio sobre el uso de modelos alternativos para la enseñanza y
aprendizaje de la división y la multiplicación con estudiantes de primer curso de ciclo común.
Universidad Pedagogica Nacional:. Honduras.
Cohen. (1990). Método de Investigación Educativa. Madrid:: La Muralla.
De Guzman, M. (1991). Para pensar mejor, p. 139. Barcelona: Labor: Barcelona.
Duran. (2007). Solución de problemas que involucren las operaciones básicas suma, resta, multiplicación y
división con números naturales de quinto grado de primaria. Universidad pedagogica Nacional:.
ZAmora, Michoacán.
Escalante, S. (2015). Método Polya en la resolución de problemas matemáticos. Universidad Rafael
Landivar:. Guatemala.
Frade Rubio, L. (2009). Planeación por competencias. Mexico: Ed. Inteligencia Educativa.
Referencias Bibliográficas
_____________________________________________________________________________________
74
Furth, H. (1971). Las ideas de Piaget, p. 133. Buenos Aires: Ed. Kapeluz.
Gonzalez, S. (2008). Estrategia para la resolución de problemas. Universidad de Valladolid:. España.
Hideki. (2004). "Detectives matemáticos": una propuesta metodológica para la enseñanza de las
matemáticas en la básica primaria Omar Hideki Buitrago Giraldo. Universidad Nacional de
Colombia:. Medellin.
Losada, & Rodas. (2011). Proyecto de aula para mejorar el desarrollo del pensamiento númerico y
sistemas númerico la adición en la I.E Juan Bautista Migani pra el grado primero de la jornada de
la tarde "jugando y cantando vamos sumando". Universidad de la Amazonia:. Florencia-Caqueta.
Lozzada, & Ruiz. (2011). Estrategias didácticas para la enseñanza-aprendizaje de la multiplicación y
división en los alumnos de primer año. Universidad de los Andes. Venezuela.
Manson, Burton, & Stcey. (1988). Pensar matemáticamente, p.167. Barcelona: Labor: Barcelona.
Martinez. (1987). Estudio de caso en la investigación educativa. Revista investigación en la escuela, p. 42.
Mastachi. (2015). Aprendizaje de las operaciones básica en aritmética a través de la resolución de
problemas. Universidad Veracruzana: México.
MEN. (2003). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanias. p
52. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
MEN. (2003). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, p. 51. Bogotá. Ministerio de
Educación Nacional.
MEN. (2006). Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
MEN. (2006). Secuencias Didácticas en Matemáticas para Educación Básica Primaria. Obtenido de
Obtenido de Google Académico: www.mineducación.gov.co.
MEN. (2009). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas.
p.82. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
MEN. (2013). Secuancias Didácticas en Matemáticas para Educación Básica Primaria. p.9. Imprenta
Nacional de Colombia.
MEN. (2014). Derechos Básicos de Aprendizaje de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación
Nacional.
MEN. (2014). Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.
MEN. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educacion
Nacional.
MEN. (2016). Todos Aprender, Grado 4, Modulo C. Matemáticas. Bogotá: Imprenta Nacional de Colombia.
Monje. (2010). La lúdica: una alternativa para la enseñanza de la suma y resta en el grado primera de la
Institución Educativa La Salle. Florencia, Caqueta: Universidad de la Amazonia.
Montaña, & Contreras. (2003). Evaluación por Competencias. p 35. Bogotá: Edición.
Referencias Bibliográficas
_____________________________________________________________________________________
75
Moreno, & Waldegg. (2002). Fundametacion cognitivadel curriculo de matemáticas centros de
investigación y estudios avanzados. p.20. México.
Niño Rojas, V. (2005). Compentecia en la comunicación. Hacia las prácticas del discurso. Bogotá: Ecoe:
Ediciones.
Pérez. (1994). Investigación cualitativa retos e interrogantes. p. 83. Madrid,: La Muralla S.A.
Polya. (1945). How to Solve. 1 Edición Inglesa, p.28. Princenton University Press. Princenton, New Yersey.
Polya. (1954). Inductión and analogy in Mathematics, p. 5. Princenton University Press.
Polya. (1962). Mathematical Discovery, on understandins, learning, and teaching problem solving. New
York.
Polya. (1965). Como planear y resolver problemas. México: Trillas: primera edición en español.
Polya. (1969). Como Planear y Resolver Problemas, p.28. México: Trillas.
Ramirez, L. (2015). Propuesta metodologia para manejar el lenguaje simbolico en la interpretacion de
situaciones problematicas en los estudiantes de tercero de primaria de la compañia de Maria "La
Enseñanza" de Medellín. Universidad Nacional de Colombia: Medellín.
Romero. (2012). Comprensión lectora y resolución de problemas en alumnos de segundo de primaria del
distrito Ventanilla.Callao. Universidad San Ignacio de Loyola. Perú.
Ruiz, D., & Garcia, M. (2003). El lenguaje como mediador en el aprendizaje de la aritmética en la primera
etapa de educación básica. Educare, la revista venezolana de educación., 326.
Scashore. (1982). Paradigmas cuantitativo y cualitativo metodologia de la investigación, p.99.
Schoenfiel, A. (1985). Mathematical Prblem Solving, pp. 334-370. New York: Academic Press.
Tobón, S., Pimienta, J., & Garcia, J. (2010). "Secuencias didacticas: aprendizajes y evaluación por
competencias, p. 20. México: Pearson-Prentice Hall.
Vargas. (2015). Resolviendo problemas de estructura multiplicativa mediante modelos oranizadores.
Universidad de la Sabana:. Chia- Cundinamarca.
Vega. (2014). Aplicación del método Polya para mejorar el talento en la resolución de problemas
matemáticos en los estudiantes de primer grado de educación secundaria de la I.E Victor Berrios
Contrera-Cullanmayo Cutervo. Universidad Nacional de Cajamarca. Perú.
www.ditutor/números_naturales/operaciones.html. (23 de 02 de 2017).
Zavala, A. (2008). La práctica educativa. Como enseñar, p. 16. México: Graó.
_____________________________________________________________________________________
76
ANEXOS
Anexo 1. Evaluación diagnóstica y final
Grado quinto de primaria - Institución Educativa Cauca
Problemas que involucran las cuatro operaciones básicas
1. Camila decide acompañar a su mamá a comprar algunos víveres en el supermercado de la
ciudad, para ello hacen una lista de todo lo que necesitan y además los precios de las
marcas de los productos en el supermercado.
Camila y su mamá cuentan con $75.000 para comprar lo que necesitan. De acuerdo a lo anterior,
responde las siguientes preguntas:
a. ¿Le alcanza el dinero a la mamá de Camila para comprar lo que necesita de la
marca 1? Explica tu respuesta.
b. ¿Le alcanza el dinero a la mamá de Camila para comprar lo que necesita de la
marca 2? Explica tu respuesta.
c. ¿Cuánto dinero le sobra si compra los productos de la marca 1?
d. ¿Cuánto dinero le sobra si compra los productos de la marca 2?
Lista Precios en el Supermercado
Marca 1 Marca 2
3 libras de arroz $2.500 (libra) $2.300 (libra)
2 libras de sal $700 (libra) $800(libra)
2 libras de azúcar $1.000 (libra) $900(libra)
1 frasco mediano de aceite $6.800 $7.200
1 paquete de espaguetis $2.100 $2.000
2 atunes en aceite $4.500 (1 atún) $5.000 (1 atún)
1 libra de lentejas $1.500 $1.300
1 libra de frijol $3.600 $3.500
1 panal de huevos AAA $8.500 $8.700
1 paca de papel higiénico $12.000 $10.000
1 bolsa de detergente mediana $8.600 $9.000
1 barra de jabón azul $2.800 $2.800
1 ambientador para pisos $5.500 $5.500
Anexos
_____________________________________________________________________________________
77
e. ¿Cómo podríamos ayudarle a la mamá de Camila a economizar en sus compras?
f. ¿Qué productos podría comprar de la marca 1 y la marca 2, para economizar algún
dinero? Realiza una nueva lista con los precios más favorables para la mamá de
Camila.
g. ¿Cuál es la diferencia en pesos de los productos de una marca y otra?
2. Carlos sale a comprar el regalo de cumpleaños de su hermano Daniel, en el almacén
observa un letrero de promociones con los precios de algunos artículos:
a. Carlos quiere comprar 2 artículos distintos para su hermano y ahorrar lo que más
pueda. ¿Qué artículos debe comprar Carlos?
b. Si Carlos cuenta con $40.000 ¿Qué artículos podría comprar? ¿Cuánto dinero le
sobra o le falta?
c. A Carlos le están ofreciendo 3 camisetas talla s de diferente color en $65.000,
¿Cuánto es el descuento por comprar las tres camisetas? ¿El dinero que tiene le
alcanza?
d. ¿Cuánto tendría que pagar Carlos si compra 6 pares de medias? ¿Cuánto dinero le
sobraría? ¿Cuánto pagaría si compra 8 gorras? ¿Le sobra dinero?
3. Ana y Luis van a hornear una torta para celebrar el día de la madre por lo que deciden
comprar los ingredientes en la tienda, don Pedro, el dueño de la tienda vende todo los
artículos por unidad y por libras. Ana y Luis necesitan comprar 15 huevos, 3 libras de
harina, 1 kilo de azúcar y 1 libra de mantequilla; los precios en la tienda son: huevo por
unidad $500, harina por libra $1.900, azúcar por libra $900 y mantequilla por libra $5.000.
con la información anterior responde:
a. ¿Cuánto debe pagar Ana y Luis por la compra de los huevos? ¿Cuánto por la
compra de la harina, el azúcar y la mantequilla? ¿Cuál es el total de la compra?
Camisetas talla s: $25.000
Pantalonetas talla s: $15.000
Par medias deportivas tobilleras: $5.000
Gorras: $18.000
Anexos
_____________________________________________________________________________________
78
b. ¿Cuánto pagaría Ana si compra 20 huevos? ¿Cuál sería el total de la compra?
4. Alejandro tiene 750 fichas repetidas de su álbum de figuritas y decide donarlas a sus
amigos, los reúne en su casa para ver la forma correcta de darlas a cada uno.
a. ¿Qué operación debe realizar Alejandro?
b. Si Alejandro tiene 6 amigos y decide darle a cada uno por igual ¿Cuántas fichas le
corresponde a cada uno?
5. La abuela María colecciona monedas de todos los países donde ha estado, tiene un total de
6000 monedas distribuidas por igual en 3 cofres. Además, en cada cofre hay 200 monedas
de plata y 2 veces más monedas de bronce que de plata.
a. ¿Cuántas monedas de la colección de la abuela hay en cada cofre?
b. ¿Cuántas monedas de bronce hay en cada cofre?
c. ¿Cuántas monedas hay en cada cofre?
d. ¿Cuál es el total de monedas de los tres cofres?
e. La abuela María regala a su nieta 2500 monedas del total ¿Cuántas monedas le
quedan?
Anexos
_____________________________________________________________________________________
79
Anexo 2. Comparación prueba diagnóstica y prueba final
Tabla 10: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E1
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI
3 SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E2
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E3
1 SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI NO NO NO NO NO NO
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
4 SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
5 SI NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E4
1 SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
80
Tabla 11: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E5
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO
3 SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E6
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI NO SI NO SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E7
1 SI NO NO NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 SI NO NO NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI
4 SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E8
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
81
Tabla 12: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E9
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E10
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI
3 SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E11
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E12
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
82
Tabla 13: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E13
1 SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI
E14
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
E15
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
3 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E16
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
83
Tabla 14: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E17
1 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E18
1 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
3 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
4 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E19
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E20
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO NO NO NO NO NO SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
84
Tabla 15: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E21
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E22
1 NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
3 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
4 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E23
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E24
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
85
Tabla 16: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E25
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI SI SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E26
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E27
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI SI SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI
E28
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
86
Tabla 17: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E29
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E30
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E31
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E32
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
87
Tabla 18: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E33
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E34
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI SI SI S SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E35
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E36
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
88
Tabla 19: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E37
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E38
1 NO SI SI SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E39
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E40
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
89
Tabla 20: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E41
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E42
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E43
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E44
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
90
Tabla 21: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E45
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E46
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E47
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E48
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
91
Tabla 22: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E49
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E50
1 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
2 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
3 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
4 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E51
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO NO NO NO SI NO NO NO NO NO SI NO SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO
E52
1 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
(continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
92
Tabla 23: Comparación Prueba Diagnóstica y Prueba Final (continuación)
Método Polya Entender el problema Diseñar el plan Ejecución
del plan Examinar la solución
Descriptores D1 D2 D3 D4 D5 D1 D2 D3 D1 D1 D2 D3 D4
Estu-
diante
prueba
PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF PD PF
problema
E53
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E54
1 NO SI NO SI SI SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI SI SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
E55
1 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
2 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
3 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
4 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
5 NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI
Anexos
_____________________________________________________________________________________
93
Anexo 3. Resumen de actividades propuestas
A continuación, se describen las etapas de la secuencia didáctica asociadas a la situación
problema “La Fiesta de Tinito”. Cada etapa se presenta con el tiempo de duración aproximado,
las subetapas, los objetivos y el material correspondiente que se requiere para llevarla a cabo.
Tabla 24: Etapa de Comprensión
SUBETAPA OBJETIVOS MATERIAL
1. Etapa de comprensión ( 1 sesión de clase)
Presentación del contexto
Realizar una lluvia de
ideas con los
estudiantes para
identificar los
conocimientos previos
con respecto a la
situación problema.
Fotocopia con el
texto de la situación
problema para cada
estudiante
Presentación de la situación
problema para entender la
tarea
Leer la situación
problema con los
estudiantes para
analizar en conjunto
que se debe hacer.
Fotocopias
Hojas de block
Construcción del esquema
de la situación problema Retomar la lectura de
la situación problema
y proponer la tarea
que se debe realizar y
que resultados se
esperan.
Encontrar la forma de
solucionar la tarea de
manera exitosa a
partir de las
propuestas hechas por
los estudiantes.
Esquema de la
situación problema
Cartelera con todos
los aportes hechos.
Material
manipulativo.
Tablero
Anexos
_____________________________________________________________________________________
94
Tabla 25:
Etapa de Descontextualización - Centros de Aprendizaje
SUBETAPA OBJETIVOS MATERIAL
2. Etapa de descontextualización- centros de aprendizaje ( 3 sesiones de clase por
centro)
Centro 1:
Hagamos Cálculos
Entender la aplicación
de la suma y la resta en
un problema
matemático.
Diferenciar la suma de
la resta en la resolución
de un problema.
Comprender el sentido
de sumar o restar.
Lista de precios y
cantidades
Cotizaciones
Billetes didácticos
Material
manipulativo de la
lista para la fiesta
Centro 2:
Repartiendo me divierto Entender que dividir
corresponde a hacer
reparticiones iguales.
Distinguir la relación y
las diferencias que hay
entre la multiplicación
y la división.
Comprender distintas
situaciones problema
que involucren
multiplicación y
división.
Caramelos
Bolsas
Sorpresas
Relojes
Bolsos
Ingredientes para
hornear una torta
Centro 3:
Combinando ando Analizar diversas
situaciones donde se
involucren las cuatro
operaciones básicas.
Explicar el orden lógico
de las operaciones para
obtener las respuestas
correctas.
Calcular sumas,
diferencias, productos y
cocientes.
Billetes didácticos
Paquetes de vasos,
platos y cucharas
desechables.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
95
Tabla 26:
Etapa de Resolución de la Situación Problema
SUBETAPA OBJETIVOS MATERIAL
3. Etapa de resolución de la situación problema - centros de aprendizaje (2 sesiones
de clase)
Inicio de la resolución de la
situación problema Se regresa
nuevamente a la
tarea con el esquema
que se elaboró y los
materiales de
memorias colectivas
de los estudiantes.
Esquema de la
situación problema
y memorias
colectivas.
Marcha silenciosa Los estudiantes
caminaran por todo
el salón de clase
para observar los
trabajos De los
demás estudiantes
del grupo comparten
las estrategias
encontradas por
cada uno.
Carteles de
estrategias.
Búsqueda de solución de la
situación problema Socializar y
compartir las
distintas estrategias
de solución de la
situación problema.
Finalizar la solución
de la situación
problema.
Esquema de la
situación problema
y memorias
colectivas.
Carteles de
estrategias.
Tabla 27:
Etapa de Reflexión
SUBETAPA OBJETIVOS MATERIAL
4. Etapa de reflexión(1 sesión de clase)
Se regresa al esquema de la
situación y carteleras con
los aportes de los
estudiantes
Reflexionar sobre el
proceso de
aprendizaje
Cartelera del esquema de
la situación problema.
Cartelera con los aportes
de los estudiantes y
estrategias.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
96
Actividades Secuencia Didáctica
Situación problema
La Fiesta de Tinito
La señora Dora madre de Tino ha decidido realizar una fiesta de cumpleaños para él,
Tinito (así le dice su familia desde muy pequeño) es un niño muy juicioso, responsable y
obediente, además obtiene las mejores calificaciones en la escuela y siempre ocupa los primeros
puestos, razón por la cual la señora Dora desde hace un tiempo está ahorrando para festejar el
cumpleaños de su hijo y tiene pensado invitar a todos sus amigos, familiares y vecinos pues
Tinito se lo merece. Ella desea que la fiesta sea muy bonita, pero necesita que le ayudes a
organizarla de tal forma que sus ahorros le alcancen, para esto necesita tener claro todo lo que
debe hacer para que sea una magnifica e inolvidable fiesta. Debemos tener en cuenta que la
señora Dora cuenta con $2´000.000 para organizar la fiesta del niño y piensa invitar
aproximadamente a 60 personas.
Para ayudar a la señora Dora a organizar la fiesta debemos colaborarle con las siguientes
actividades:
Realiza una lista de todo lo que necesita la señora Dora para la fiesta, no olvides ni un
solo detalle.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
97
Averigua los precios y pide cotizaciones en almacenes donde venden artículos
desechables, supermercados, confiterías y ayúdale a ahorrar la mayor cantidad posible.
Debes ayudarle a hacer las cuentas y realizar las compras para que todo su dinero le
alcance y así organizar la fiesta de cumpleaños del niño.
Ayúdale a elaborar la lista de invitados para tener en cuenta la cantidad de sorpresas torta
y comida que se necesita.
Comprensión
Se entrega la situación problema en una fotocopia a cada estudiante, cada uno debe leerla
posteriormente se hace una lluvia de ideas donde cada estudiante da sus aportes para una posible
solución a la situación problema. Luego se entrega por parte del docente a los estudiantes el plan
de acción para llevar a cabo la resolución de la situación problema elaborada con base en sus
ideas.
Centro 1 – Hagamos cálculos
Descripción del centro de aprendizaje
Las actividades del Centro Uno están encaminadas a fortalecer la interpretación de
situaciones relacionadas con suma y resta permitiendo que el estudiante identifique la operación
que necesita para resolver la actividad.
Objetivos de las actividades
Entender la aplicación de la suma y la resta en un problema matemático.
Diferenciar la suma de la resta en la resolución de un problema.
Comprender el sentido de sumar o restar.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
98
Material necesario
Lista de precios y cantidades
Cotizaciones
Billetes didácticos
Material manipulativo de la lista para la fiesta
Actividad 1- Centro 1
Vamos a realizar la lista de todos los materiales y utensilios que necesitamos para
ayudarle a la señora Dora a organizar la fiesta, todo debe tener su precio y cantidad.
Tabla 28:
Listado de Materiales, Cantidad y Precio
Concepto Cantidad Precio
Vasos desechables de 7 onzas Paquete por 25 $1.300
Platos desechables pequeños para torta Paquete por 20 $1.300
Platos desechables grandes para comida Paquete por 20 $3.200
Cucharas desechables pequeñas para
torta
Paquete por 50 $950
Cucharas desechables para helado Paquete por 50 $950
Cucharas grandes para la comida Paquete por 50 $1.500
Tenedores desechables grandes Paquete por 50 $1.500
Cuchillos desechables grandes Paquete por 50 $1.500
Servilletas decoradas de superhéroes Paquete por 600 unidades $4.500
Manteles decorados de superhéroes Por unidad $5.000
Centros de mesa con flores Por unidad $15.000
Bombas grandes R12 Paquete por 12 $5.600
Bombas pequeñas R9 Paquete por 12 $1.900
Alquiler sillas Por unidad $300
Alquiler mesas Por unidad $2.000
Serpentinas Por paquete de 10 rollos $4.640
Confeti Por paquete $3.820
Cartel holográfico de cumpleaños $3.820
Piñata llena Grande $25.000
Piñata vacía Grande $20.000
Helado un sabor Caja 5l $18.400
Helado doble sabor Caja 5l $20.400
(Continúa)
Anexos
_____________________________________________________________________________________
99
Tabla 15: Listado de Materiales, Cantidad y Precio (continuación)
Concepto Cantidad Precio
Galletas Paquete por 12 unidades $4.200
Gaseosa Paca de 8 unidades $36.650
Bombones varios sabores Paquete de 24 $5.000
Masmelos Paquete por 100 unidades $4.120
Gomitas Paquete por 100 $3.370
Papas fritas Paquete grande $7.000
Salsa rosada Bolsa grande $6.000
Maní con pasas Paquete grande $4.000
Chocobreak Paquete por 50 $5.400
Torta Grande para 60 personas $45.000
Perros calientes Por unidad $2.500
Pizza grande 8 porciones $2.000
Cena de cumpleaños Plato por unidad $10.000
Show de payasos Por hora $20.000
De acuerdo a la lista anterior, realiza las siguientes actividades:
a. Si los invitados son aproximadamente 60 personas, ¿cuánto necesita comprar de cada
artículo de la lista y cuál es total que debe pagar la señora Dora en el almacén?
b. La señora Dora tiene $400.000 en su bolso, ¿Cuánto debe pagar para comprar lo que
necesita? ¿cuánto dinero le sobra?
c. Los centros de mesa con flores ya no le parecen muy bonitos a la señora Dora por lo que
decide cambiar las flores por bombas de colores medianas y pequeñas, cada centro de
mesa lleva 3 bombas medianas que cuestan $1.000 la unidad y 5 bombas pequeñas que
cuestan $500 la unidad, según lo anterior ¿cuál es el valor por un centro de mesa nuevo?
Si son 10 mesas para decorar en el centro, ¿cuánto debe pagar por los centros de mesa
que necesita?
d. La señora Florinda le va a colaborar a la madre de tino con la decoración de la casa con
bombas de colores, cada arreglo tiene forma de una flor y esta consta de cinco pétalos de
bombas grandes y un centro con una bomba pequeña, si necesitan 35 flores para decorar
¿Cuántos paquetes de bombas utilizara doña Florinda? ¿cuánto cuesta cada arreglo, según
el valor de las bombas? ¿cuánto le debe pagar la madre de Tinito a doña Florinda si le
cobra $3.500 por cada arreglo? (ver en lista de artículos los precios de las bombas
grandes y pequeñas).
Anexos
_____________________________________________________________________________________
100
Actividad 2 – Centro 1
La señora Dora tiene planeado para la cena de los adultos un plato que tenga 2 clases de
carne: pollo en salsa de champiñones y lomo de cerdo en salsa agridulce, además del arroz y una
ensalada de frutas.
a. Hay 45 adultos invitados y solo 30 han confirmado su asistencia. Si cada plato cuesta
$10.000, ¿Cuánto debe pagar por la cena?
b. Cada cambio de ingrediente en el plato tiene un valor adicional de $3.500. si 8 personas
han pedido cambio de algunos ingredientes ¿Cuánto debe pagar la señora Dora por los 8
platos?
c. Los platos están acompañados por un vaso de gaseosa. La mitad de los invitados
mencionaron no poder tomar gaseosa por salud; La señora Dora decide ofrecer un vaso
de jugo por lo que adicional al valor del plato le cobran $1.500. ¿Cuánto debe pagar por
los platos que llevan vaso de jugo?
d. La señora Dora cuenta con $600.000 para pagar los platos de la cena, según el cambio en
las carnes ¿Cuánto debe pagar en total?
e. Según el cambio de los vasos de gaseosa por vasos de jugo ¿Cuánto debe pagar por los
platos?
f. ¿Cuánto paga en total por la cena? ¿Le alcana el dinero? ¿Porque?
Actividad 3 – Centro 1
1. La señora Dora sale de compras para la fiesta de Tinito y pide ayuda a algunos de sus
amigos; uno de ellos dice que para él es muy fácil calcular cuál es el vuelto que le dan
cada vez que hace una compra. Escribió en una hoja y explicó:
Anexos
_____________________________________________________________________________________
101
Si tengo que calcular 150 - 116, yo cuento los billetes que voy recibiendo:
Camila dice que para ella es más fácil resolver 150 - 116 de esta manera:
150 - 100 = 50
50 - 10 = 40
40 - 6 = 34
a. Elijan alguna de las dos estrategias para calcular estos vueltos:
150 - 134 = 100 - 76 = 250 - 238 =
b. Además de los que ya les contamos, los chicos saben algunos trucos para comparar
diferencias. Andrea dice que es muy fácil comparar 248 - 154 con 248 - 164. ¿Pueden
explicar por qué?
c. Hay que comparar el resultado de 125 - 49 con el de 138 - 49. Marcos dice que
también es muy fácil. ¿Cómo lo resolverían ustedes?
d. Nicolás los desafía y les pide que comparen los resultados de 134 – 45 y de 162 - 38
sin hacer la cuenta escrita. Él dice que sabe hacerlo muy rápido usando las estrategias
anteriores. ¿Cómo creen ustedes que lo resuelve?
e. Juana y Horacio están jugando un juego en el que Juana hizo 486 puntos y Horacio,
518.
¿Cuántos puntos más hizo Horacio que Juana? ¿Usaron alguna de las estrategias
anteriores para darse cuenta? Si no las usaron, intenten hacerlo.
Centro 2 – Repartiendo me Divierto
Descripción del centro de aprendizaje
Anexos
_____________________________________________________________________________________
102
En este centro se encuentran tres situaciones problemas, con el objetivo de que los
estudiantes puedan saber qué operación deben realizar y mediante los ejercicios de caramelos,
que consisten en determinar cómo se pueden repartir estos dulces y la compra de sorpresas
donde se quiere saber qué cantidad se deben comprar, esto con el fin de que los estudiantes
diferencien la multiplicación de la división, la multiplicación puede ser una suma repetida y
cuando hay muchas cantidades la forma rápida es por medio de esta y la división me permite
repartir ya sea en parte iguales o que sobre alguna cantidad, esta actividad permitirá tener una
comunicación sobre los procedimientos utilizados y que resultados se obtuvieron en la resolución
de la situación problema.
Es importante encontrar en ellos la identificación de las diferentes estrategias de cálculo y
las distintas operaciones que te permiten resolver un mismo problema.
Objetivos de las actividades
Entender que dividir corresponde a hacer reparticiones iguales.
Distinguir la relación y las diferencias que hay entre la multiplicación y la división.
Comprender distintas situaciones problema que involucren multiplicación y división.
Materiales necesarios para las actividades
Caramelos
Bolsas
Sorpresas
Relojes
Bolsos
Ingredientes para hornear una torta
Actividad 1 – Centro 2
Anexos
_____________________________________________________________________________________
103
Para festejar el cumpleaños de Tino, la señora Dora compró un paquete de 50 caramelos.
Quiere que cada uno de sus invitados y reciban una bolsita con caramelos. Ella piensa poner 5
caramelos en cada bolsita.
a. Algunos chicos dicen que le alcanzará para más de 20 bolsitas.
Otros dicen que seguro alcanzará para más de 10 bolsitas.
¿Ustedes qué piensan?
Sin hacer cuentas, expliquen cómo lo pensaron.
b. La maestra se da cuenta de que no tiene suficiente cantidad de caramelos para darle 5
a cada chico. Puede darle una bolsita a cada invitado sólo si pone 4 caramelos en cada
una.
Un chico del grupo dice que los invitados son 20. ¿Les parece que tiene razón?
¿Cuántos caramelos sobran si los reparten de esta forma?
c. Si las bolsas se hacen con 6 caramelos, ¿cuántas bolsas pueden hacerse? ¿Cuántos
caramelos sobran en este caso?
d. Si los chicos invitados fueran más de 20 y menos de 30, ¿cuántos caramelos como
máximo se podrían poner en cada bolsita, para que todos recibieran la misma cantidad?
De esta forma, ¿cuántos caramelos sobran?
Hagan una tabla como la siguiente para anotar los distintos repartos:
¿Cuántos caramelos hay que poner en cada bolsita para que sobre una cantidad impar de
caramelos? Escriban más de una solución.
Actividad 2 – Centro 2
Anexos
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104
La señora Dora quiere que le ayudes a comprar las sorpresas para dar a los niños en la fiesta y
para esto debes tener en cuenta lo siguiente:
La cantidad de niños es el doble que la cantidad de niñas, a los niños se les darán relojes y a las
niñas bolsos, el valor por unidad de cada reloj es $2000 y de cada bolso es de $2200, si hay que
comprar 28 relojes ¿Cuántos bolsos debes comprar? ¿Cuál es el valor total de los relojes? ¿Cuál
es el valor total de los bolsos? ¿Cuantas sorpresas son en total? ¿Cuánto cuestan? Reúnanse en
grupos y piensen como ayudar a la señora Dora.
Actividad 3 – Centro 2
La señora Dora necesita hornear la torta para la fiesta de tinito y va a la salsamentaría del
centro a comprar los ingredientes que son:
1 libra de harina…… $1500
1 libra de azúcar……$1300
1 libra de mantequilla……$5400
12 huevos……$4200
¼ de uvas pasas……$1000
1 litro de vino……$5000
¼ de frutas cristalizadas……$1200
1 bolsa pequeña de polvo para hornear……$1500
1 frasco pequeño de esencia de vainilla……$2000
Anexos
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105
Los ingredientes de la lista anterior son para preparar una torta de una libra que bien
porcionada alcanza para 20 personas; si la mamá de tinito quiere invitar aproximadamente 60
personas, ¿Cuál sería la nueva lista de ingredientes? ¿Cuál sería el nuevo valor que deberá pagar
por los ingredientes si la torta es para 60 personas? ¿Cuál es el total que debe pagar si compra los
ingredientes para hacer una torta para 20 personas? ¿Cuál es el total que debe pagar por comprar
los ingredientes para hacer la torta para 60 personas? ¿Para cuantas personas alcanza una torta de
3 libras?
Centro 3 – Combinando Ando
Descripción del centro
En este centro se desarrollan actividades que permitan resolver diferentes situaciones
presentadas en la cotidianidad y en la fiesta de tinito donde están involucradas las cuatro
operaciones básicas, aquí el estudiante deberá realizar el análisis correspondiente a cada
situación y explicara cuales operaciones debe realizar y en qué orden. El docente utilizara otras
formas de resolución de problemas y entre todos llegaremos a la conclusión de cuál es la
correcta.
Objetivos de las actividades
Analizar diversas situaciones donde se involucren las cuatro operaciones
básicas.
Explicar el orden lógico de las operaciones para obtener las respuestas correctas.
Calcular sumas, diferencias, productos y cocientes.
Materiales necesarios
Billetes didácticos.
Artículos desechables.
Números en cartulina
Ladrillos de icopor
Anexos
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106
Actividad 1 – Centro 3
Para el día de la fiesta de Tinito, la señora Dora contrata un payaso para la recreación de
los niños, el payaso le pide a los niños que participen en un juego donde hay que encontrar
números mágicos con los que se pueden realizar dos operaciones combinadas. El juego tiene
unas puertas mágicas formadas por dos ladrillos, que van a tener a su respaldo los números
mágicos que permitirán obtener la respuesta correcta.
Por ejemplo, si en una pared el código secreto es 6 y 5, para encontrar el tesoro hay que
buscar dos ladrillos juntos cuyos números sumen 6 y multiplicados sean 5.
a. ¿Cuáles pueden ser los números que aparecen en los dos ladrillos para que el
código secreto sea 9? Escriban todas las posibilidades.
b. ¿Cuáles pueden ser los números que multiplicados sean 5 y restados sean 4?
c. ¿Cuáles son dos números que sumados den como resultado 6 y multiplicados sean
8?
d. Busca dos números que restados den como resultado 5 y sumados 15.
e. Encuentra dos números que sumados den 7 y multiplicados 10.
f. Busca dos números que divididos den como resultado 5 y multiplicados 80.
g. Cuando el juego termina la señora Dora debe pagarle al payaso por su trabajo,
teniendo en cuenta que ha trabajado 4 horas ¿Cuánto le pagara? (observa en la
lista de la fiesta cuánto cobra el payaso).
Actividad 2 – Centro 3
Llegó la hora de hacer las compras y debes ayudarle ahorrar la mayor cantidad de dinero
a la señora Dora. Las sorpresas para los niños cuestan aproximadamente $10.000 y las sorpresas
para las niñas $12.000, teniendo en cuenta la cantidad de invitados para entregarles las sorpresas
(15 niños y 15 niñas) ¿cuánto pagara la señora Dora por las sorpresas de los niños? ¿Cuánto
pagara por las sorpresas de las niñas?
Anexos
_____________________________________________________________________________________
107
a. Si al comprar las sorpresas para niños y niñas a la señora Dora le sobran
$100.000 ¿Con cuánto dinero contaba inicialmente? ¿Qué debes hacer para
saberlo?
b. La señora Dora decide comprar unos ositos de peluche para regalar a las
niñas, si la docena le cuesta $108.000 ¿Cuál es el valor de cada osito de
peluche? ¿Cuánto debe pagar por los 15 que necesita para todas las niñas
invitadas?
Actividad 3 – Centro 3
Para la fiesta de Tinito dos de sus amigos invitados a la fiesta irán con 10 acompañantes,
Pablo amigo de Tino, llevara a sus hermanas gemelas Sara y Salome además de sus primos
Camilo, Sebastián y Juliana. Otro amigo Jaime ira con sus hermanos Guadalupe, Carolina y
Juancho y sus vecinos Alejandro y Carlos; la madre de Tino debe comprar más vasos, platos y
cucharas, si el paquete de vasos desechables por 25 unidades cuesta $1.300, ¿Cuánto cuestan 10
vasos solamente?, El paquete de platos desechables para torta por 50 unidades tiene un valor de
$950, ¿Cuánto cuestan 10 platos?, El paquete de platos desechables para cena por 20 tiene un
valor de $3.200 ¿Cuánto le costaran 10 platos?, Por último, el paquete de cucharas grandes por
50 unidades tiene un valor de $1.500, ¿Cuánto cuestan 10 cucharas? ¿Cuánto debe pagar en total
por los vasos, platos y cucharas que compró adicionalmente?, Si cuenta con $25.000 para pagar
los desechables, ¿Cuánto dinero le queda después de pagar lo que compró?
Anexos
_____________________________________________________________________________________
108
Anexo 4. Análisis de los resultados obtenidos en los centros de aprendizaje
Este apartado describe los resultados obtenidos al aplicar la secuencia didáctica a
estudiantes de los grados 5-1 y 5-2 en cada uno de los centros de aprendizaje. Para realizar este
análisis se seleccionaron tres tipos de estudiantes, ubicados en tres niveles de acuerdo a las
siguientes características: estudiante nivel superior, se destaca por realizar cada una de las
actividades sin colaboración del docente además se notó que sus conocimientos previos para
resolver problemas de acuerdo a los resultados de la prueba diagnóstica, ya existían. En el nivel
alto se ubicaron los estudiantes que necesitaron algunas orientaciones del docente, debido a que
presentaron debilidades en la parte de interpretación del problema, por ultimo tenemos el nivel
medio que está conformado por aquellos estudiantes que, a pesar de presentar dificultades al
realizar la prueba diagnóstica, requirieron de orientación constante durante el desarrollo de los
centros y lograron aclarar significativamente las dudas al respecto. Aunque fueron varios
estudiantes que se ubicaron en cada nivel, la presentación de este análisis se hizo tomando como
muestra el estudiante E28, en el nivel superior, E6 en el nivel alto y E37 en el nivel medio.
Centro 1: Hagamos Cálculos
Actividad 1
El desarrollo de la actividad 1, se realizó con 55 estudiantes, empleando una sesión de 6 horas
donde el objetivo principal era que los estudiantes a partir de sus experiencias previas y teniendo
en cuenta el listado de artículos obtenido mediante una lluvia de ideas, a partir de la lectura de la
situación problema: La Fiesta de Tinito; debían encontrar las cantidades y el valor de cada
artículo necesario para organizar la fiesta.
Análisis de resultados.
Enunciado de la actividad 1
Anexos
_____________________________________________________________________________________
109
Vamos a realizar la lista de todos los materiales y utensilios que necesitamos para
ayudarle a la señora Dora a organizar la fiesta, todo debe tener su precio y cantidad.
De acuerdo a la lista anterior, realiza las siguientes actividades:
a. Si los invitados son aproximadamente 60 personas, ¿cuánto necesita comprar de cada
artículo de la lista y cuál es total que debe pagar la señora Dora en el almacén?
b. La señora Dora tiene $400.000 en su bolso, ¿Cuánto debe pagar para comprar lo que
necesita? ¿cuánto dinero le sobra?
c. Los centros de mesa con flores ya no le parecen muy bonitos a la señora Dora por lo que
decide cambiar las flores por bombas de colores medianas y pequeñas, cada centro de
mesa lleva 3 bombas medianas que cuestan $1.000 la unidad y 5 bombas pequeñas que
cuestan $500 la unidad, según lo anterior ¿cuál es el valor por un centro de mesa nuevo?
Si son 10 mesas para decorar en el centro, ¿cuánto debe pagar por los centros de mesa
que necesita?
d. La señora Florinda le va a colaborar a la madre de tino con la decoración de la casa con
bombas de colores, cada arreglo tiene forma de una flor y esta consta de cinco pétalos de
bombas grandes y un centro con una bomba pequeña, si necesitan 35 flores para decorar
¿Cuántos paquetes de bombas utilizara doña Florinda? ¿cuánto cuesta cada arreglo, según
el valor de las bombas? ¿cuánto le debe pagar la madre de Tinito a doña Florinda si le
cobra $3.500 por cada arreglo? (ver en lista de artículos los precios de las bombas
grandes y pequeñas).
Ítem a
La estudiante E28, leyó el enunciado del problema, resumió la idea central y se familiarizó con el
problema. Esto se evidencia porque realizó la lista de artículos y las cantidades necesarias para
60 invitados a la fiesta partiendo del valor unitario de cada artículo, lo que significa que
interpretó correctamente los datos.
Anexos
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110
Ilustración 1
Ítem b.
E28, identifica los datos que componen la situación problema y proyecta el tipo de operación a
utilizar para hallar la respuesta correcta, lo que se evidencia porque realiza la suma de todos los
artículos y luego la resta al total de dinero que tiene la señora Dora en su bolso.
Ilustración 2
Ítem c
El E28, aplicó correctamente cada uno de los algoritmos para hallar la solución tomando cada
dato del problema de forma adecuada, lo que se evidencia porque conociendo el valor por
unidad, llega al total de cada artículo y con el resultado de cada operación encuentra la relación
para dar respuesta a cada pregunta del problema.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
111
Ilustración 3
Ítem d
El E28, luego de interpretar correctamente los datos y aplicar el algoritmo adecuado, examina el
método que lo llevo a obtener la respuesta al problema y lo aplica en otros problemas, se
evidencia porque desarrolla paso a paso cada pregunta y aplica el algoritmo correcto.
Ilustración 4
Análisis de resultados actividad 1, estudiante nivel alto (E6).
Anexos
_____________________________________________________________________________________
112
Ítem a
La estudiante E6, leyó el enunciado del problema, pero no resumió la idea central de forma
inmediata, necesito interiorizar varias veces el problema y recurrió a algunas orientaciones del
docente. Esto se evidencia porque realizó la lista de artículos y las cantidades necesarias para 60
invitados a la fiesta partiendo del valor unitario de cada artículo, lo que significa que se
familiarizó con el problema y logro interpretarlo con algunas dificultades.
Ilustración 5
Ítem b
La E6, identifica los datos que componen la situación problema, con un poco de dificultad para
encontrar la operación que la llevara a la solución, realiza la suma de todos los artículos, pero
para identificar la resta requiere de orientación.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
113
Ilustración 6
Ítem c
El E6, aplicó correctamente cada uno de los algoritmos para hallar la solución pero tuvo
algo de dificultad para encontrar los datos del problema, requiriendo de orientación del docente.
Ilustración 7
Anexos
_____________________________________________________________________________________
114
Ítem d
El E6, interpretar los datos y aplica el algoritmo adecuado, recurriendo a distintos
caminos, pero finalmente encuentra el algoritmo correcto para obtener la respuesta al problema y
lo aplica en otros problemas, se evidencia porque desarrolla paso a paso cada pregunta y aplica el
algoritmo correcto.
Ilustración 8
Análisis de resultados actividad 1, estudiante nivel medio (E37).
Ítem a
El estudiante E37, leyó el enunciado del problema, pero no resumió la idea central de
forma inmediata, necesito interiorizar varias veces el problema y recurrió de forma constante a
las orientaciones del docente. Esto se evidencia porque realizó la lista de artículos varias veces y
tuvo dificultad para hallar las cantidades necesarias para 60 invitados a la fiesta partiendo del
valor unitario de cada artículo, finalmente logró realizar de forma correcta la lista, lo que
significa que se familiarizó con el problema y logro interpretarlo con algunas dificultades.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
115
Ilustración 9
Ítem b
El E37, no identifica los datos que componen la situación problema de forma inmediata,
requiere mayor lectura y presentó mayor dificultad para encontrar la operación que la llevó a la
solución, realizo la suma de todos los artículos, pero tuvo dificultad con el resultado, necesitó
rectificarla varias veces para identificar la resta requirió de orientación ya que a simple vista no
lo dedujo.
Anexos
_____________________________________________________________________________________
116
Ilustración 10
Ítem c
El E37, aplicó correctamente cada uno de los algoritmos para hallar la solución pero tuvo
mayor dificultad para encontrar los datos del problema, esto se evidenció ya que requirió de
orientación del docente de forma constante.
Ilustración 11
Anexos
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117
Ítem d
El E37, interpretó los datos, pero presento algunas dudas en el tipo de operación que
debía aplicar, sin embargo tuvo un poco de más claridad que en los puntos anteriores, recurrió a
distintos caminos, pero finalmente encontró el algoritmo correcto para obtener la respuesta y lo
aplicó en otros problemas, se evidenció porque desarrolla paso a paso cada pregunta y llegó a la
solución del problema.
Ilustración 12
Análisis de los resultados obtenidos en los centros de aprendizaje
Centro 2: Repartiendo me Divierto
Actividad 2
El desarrollo de la actividad 2, se realizó con 55 estudiantes, empleando una sesión de 2
horas donde el objetivo principal era que los estudiantes a partir de sus experiencias previas
identificaran la multiplicación y la división como operaciones en el problema que se planteó para
la compra de las sorpresas de la fiesta de Tinito.
Anexos
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118
Enunciado de la actividad 2
La señora Dora quiere que le ayudes a comprar las sorpresas para dar a los niños en la
fiesta y para esto debes tener en cuenta lo siguiente:
La cantidad de niños es el doble que la cantidad de niñas, a los niños se les darán relojes y a las
niñas bolsos, el valor por unidad de cada reloj es $2000 y de cada bolso es de $2200, si hay que
comprar 28 relojes ¿Cuántos bolsos debes comprar? ¿Cuál es el valor total de los relojes? ¿Cuál
es el valor total de los bolsos? ¿Cuantas sorpresas son en total? ¿Cuánto cuestan? Reúnanse en
grupos y piensen como ayudar a la señora Dora.
Análisis de resultados actividad 2, estudiante nivel superior (E28).
La E28 resumió la idea central del problema identificó los datos del problema y las operaciones
(multiplicación y división) para llegar a la solución, se evidenció en la forma como lo resolvió
paso a paso y dio respuesta a los interrogantes, sin requerir a la ayuda del docente.
Ilustración 13
Análisis de resultados actividad 2, estudiante nivel alto (E6).
Anexos
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119
La E6 resumió la idea del problema e identificó las operaciones con algo de dificultad,
requirió de mayor tiempo para llegar a la solución, esto se evidenció ya que pidió orientaciones
para llegar a la interpretación correcta del enunciado.
Ilustración 14
Análisis de resultados actividad 2, estudiante nivel medio (E37).
El E37 presentó mayor dificultad para resumir la idea del problema e identificar las
operaciones, requirió de mayor tiempo para llegar a la solución, esto se evidenció ya que pidió
orientaciones de manera constante para llegar a la interpretación correcta del enunciado.
Ilustración 15
Análisis de los resultados obtenidos en los centros de aprendizaje centro 3: combinando ando
Anexos
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120
Actividad 3.
El desarrollo de la actividad 3, se realizó con 55 estudiantes, empleando una sesión de 2
horas donde el objetivo principal era que los estudiantes en un problema que involucrara las
cuatro operaciones pudiera identificar la operación que debía aplicar en cada caso a partir de sus
experiencias previas, para la compra de regalos en la fiesta de Tinito.
Enunciado de la actividad 3
Para la fiesta de Tinito dos de sus amigos invitados a la fiesta irán con 10 acompañantes,
Pablo amigo de Tino, llevara a sus hermanas gemelas Sara y Salome además de sus primos
Camilo, Sebastián y Juliana. Otro amigo Jaime ira con sus hermanos Guadalupe, Carolina y
Juancho y sus vecinos Alejandro y Carlos; la madre de Tino debe comprar más vasos, platos y
cucharas, si el paquete de vasos desechables por 25 unidades cuesta $1.300, ¿Cuánto cuestan 10
vasos solamente?, El paquete de platos desechables para torta por 50 unidades tiene un valor de
$950, ¿Cuánto cuestan 10 platos?, El paquete de platos desechables para cena por 20 tiene un
valor de $3.200 ¿Cuánto le costaran 10 platos?, Por último, el paquete de cucharas grandes por
50 unidades tiene un valor de $1.500, ¿Cuánto cuestan 10 cucharas? ¿Cuánto debe pagar en total
por los vasos, platos y cucharas que compró adicionalmente?, Si cuenta con $25.000 para pagar
los desechables, ¿Cuánto dinero le queda después de pagar lo que compró?
Análisis de resultados actividad 3, estudiante nivel superior (E28).
La E28 interpretó correctamente el enunciado del problema, identifico la operación que
debía aplicar en cada interrogante del problema, lo que indica que llega a la solución de manera
correcta, esto se evidencia en la manera como va dando respuesta a cada pregunta y como
muestra la operación realizada.
Anexos
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121
Ilustración 16
Análisis de resultados actividad 3, estudiante nivel alto (E6).
La E6 resumió la idea central del problema e identificó algunas de las operaciones pero,
tuvo un poco de dificultad para identificar la división y encontrar el precio de un artículo.
Requirió de mayor tiempo para llegar a la solución, esto se evidenció ya que en vez de dividir
restó. Pidió orientaciones para llegar a la interpretación correcta del enunciado.
Ilustración 17
Anexos
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122
Análisis de resultados actividad 3, estudiante nivel medio (E37).
El E37 resumió la idea central del problema con algunas dificultades de interpretación e
identificó las operaciones, pero, tuvo un poco de dificultad al realizar la división y encontrar el
precio de un artículo. Esto se evidencio en que el resultado no fue correcto, requirió de mayor
tiempo para llegar a la solución y pidió orientación permanente para llegar a la interpretación del
enunciado.
Ilustración 18
Evaluación final se busca observar los avances que presentaron los estudiantes al resolver
problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas, después de haber aplicado
la secuencia didáctica. Para esto se trabajó el cuestionario con las preguntas de la prueba
diagnóstica, con el objetivo de hacer un análisis comparativo y medir su pertinencia y
efectividad.