La resonancia es uno de los fenómenos físicos más espectaculares y divertidos
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La resonancia es uno de los fenómenos físicos más espectaculares y divertidos. Lo notamos
cuando cantamos en la ducha, pulsamos el botón del microondas o empujamos el columpio
del niño. Su estructura interna es bastante sencilla: una fuerza externa periódica con la
frecuencia adecuada, un sistema que no quiere moverse de donde está, quizá algo de
disipación (energética, se entiende), y poco más. Es capaz de hacer estallar copas, hundir
puentes y si los Piratas del Caribe lo usan adecuadamente, pueden conseguir que arriba sea
abajo y volcar un barco.
Pero los tiempos cambian, y la resonancia ya no es lo que era. Ese bello fenómeno está
siendo desmontado ejemplo tras ejemplo. La guardiana de la puerta de Griffindor tuvo que
romper una copa con la mano porque su voz no conseguía el efecto resonante como Ella
Fitzgerald. Recientemente, el Amazing Enchufa2 nos demostró que la resonancia no era la
responsable de calentar el desayuno. Y para colmo, el ejemplo de los ejemplos muerde el
polvo.
Me refiero al puente de Tacoma Narrows. Durante décadas, los profes de Física lo hemos
utilizado como ejemplo de libro cuando explicamos el tema de la resonancia, y los libros de
texto suelen incluirlo con profusión de fotografías. El libro de Física de Giancoli afirma que el
colapso del puente fue debido a un fenómeno resonante ocurrido “como resultado de fuertes
ráfagas de viento impulsados al claro en un movimiento oscilatorio de gran amplitud.” El de
Serwett-Jewett lo explica en términos similares: “fue destruido por las vibraciones de
resonancia … los vórtices generados por el viento que soplaba a través del puente se
produjeron a una frecuencia que coincidió con la frecuencia natural de oscilación del puente.”
Sin embargo, el que considero mejor libro de texto en física general (el Tipler) ni siquiera
menciona el puente. Y otro libro me dice que “hay dudas al respecto”. ¿Qué dudas va a
haber? ¿Quién osa poner en duda el ejemplo de los ejemplos? Molesto por tamaña falta de
fe, me dispuse a averiguar la verdad. Y lo cierto es que, en cierto modo, todos tienen
razón. Hubo resonancia en el puente de Tacoma Narrows, pero no fue esa la causa de
su colapso.
Pongámonos en situación. Nos vamos a los EEUU de los años treinta, época de crisis
económica en la que el Estado invierte fuertemente en infraestructuras (¿les suena?). La
ciudad de Tacoma, en el noroeste del país, necesita un puente para conectarse con la
península de Kitsap, al norte. El resultado fue un hermoso puente colgante, inaugurado el 1 de
julio de 1940. Su forma recuerda al famoso Golden Gate de San Francisco, y era sólo algo
más pequeño: más de 1.800 metros de longitud, con una separación de 850 metros entre
soportes. Fue en su momento el tercer puente más grande del mundo, una mole compuesta
por miles de toneladas de acero y cemento, diseñado para durar. Y duró, ciertamente.
Exactamente cuatro meses y seis días.
Ya desde su nacimiento estaba claro que el puente de Tacoma era algo especial. Y no
precisamente por su diseño o sus dimensiones –que también– sino porque disfrutaba de una
particularidad única: era el único puente del mundo que hacía doblete como atracción de
feria. Los suaves vientos de la zona hacían que el tablero del puente subiese y bajase cada
pocos segundos. Evidentemente, eso no era lo que debía suceder, pero al público le
encantó. Los conductores recorrían decenas de kilómetros para cruzar por “Gertrudis
galopante,” como la bautizaron los obreros que la construyeron. Eso eran buenas noticias, no
sólo para el turismo local, sino para la cuenta de resultados del puente, que era de peaje.
El motivo de las galopadas de Gertrudis es la resonancia. Veamos cómo es eso posible, y
con esto comienza la clase de hoy. En la naturaleza existen muchos sistemas que, alejados
de la posición de equilibrio, tienden a volver a él. Eso le sucede, por ejemplo, a un muelle
cuando lo estiramos, o a un péndulo cuando lo separamos de la horizontal. Eso implica una
fuerza que tiende a restaurar el estado inicial. Cuando esa fuerza es proporcional a la
distancia que el cuerpo se ha alejado del equilibrio, tenemos el llamado movimiento
armónico simple. La solución es sencilla: el sistema efectúa un movimiento sinusoidal con
una frecuencia angularωo (también llamada frecuencia natural). Le pondría la consabida
fórmula “x igual A por coseno etc, etc” pero me he apostado que no voy a incluir ni una sola
ecuación en este artículo. Manías que me han dado hoy. De momento, voy ganando.
La naturaleza, por su parte, suele imponer fuerzas disipativas (viscosidad, rozamiento,
amortiguamiento magnético), así que ni el muelle ni el péndulo van a estar oscilando
eternamente, y la amplitud de las oscilaciones se va reduciendo con el tiempo. Para
compensarlo, podemos efectuar una fuerza externa. Es lo que todo abuelo que se precie
hace con el columpio de su nieto.
Tenemos, pues, tres fuerzas en juego: la fuerza recuperadora, que depende de la posición del
cuerpo; la fuerza disipativa, que podemos representarla como algo proporcional a la velocidad,
y por último la fuerza externa que hacemos para que el sistema no se pare. Si esa última
fuerza es sinusoidal (e incluso si es periódica, es decir, que va repitiéndose con el tiempo),
tenemos el llamado movimiento armónico forzado. La expresión para su movimiento es
similar a la anterior, pero con algunas diferencias. La más significativa es que la amplitud A ya
no es constante, sino que depende de los parámetros del sistema.
Lo divertido del caso viene cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la
frecuencia ωo. En ese caso tenemos el fenómeno de la resonancia: la amplitud A puede
tomar valores muy grandes, incluso para fuerzas externas pequeñas. Lo que sucede
entonces es que la energía que recibe el sistema, por así decirlo, es absorbida por el sistema
en su forma más eficiente. Las oscilaciones crecen tanto más cuanto menor sean las fuerzas
disipativas; y si éstas son muy pequeñas, el sistema oscilará como si se lo llevasen los
diablos.
Eso lo vemos a diario. Las vibraciones de la maquinaria suelen deberse a que oscilan en una
frecuencia resonante. Cuando conectamos el móvil, las ondas entran en resonancia con un
circuito que sirve para aumentar su intensidad. También el abuelo que ve a su nieto en el
columpio lo sabe. Por eso empuja con una cadencia igual a la frecuencia natural del sistema,
y con una intensidad tal que el columpio no oscile más de lo debido.
Y eso es lo que sucedió en el puente de Tacoma Narrows. En ese caso, el papel de abuelo lo
hacía el viento, que soplaba transversalmente. El puente estaba formado por un tablero
horizontal y dos paneles verticales a los lados (todo sujeto a dos grandes torres por medio de
la consabida maraña de cables), de forma que si le diésemos un corte transversal tendríamos
una figura en forma de H, con el trazo horizontal mucho más largo que los verticales. El viento
viene horizontalmente, digamos de izquierda a derecha. Cuando topa con el panel izquierdo,
se desdobla en dos flujos de aire, que recorren el puente. Pero como el puente carecía de
línea aerodinámicas, el aire formaba remolinos en la parte superior, y también en la inferior.
Vean un hermoso ejemplo de estos remolinos, llamados también vórtices de Karman,
rodeando una de las Islas de Juan Fernández frente a la costa de Chile. En esta imagen,
tomada el 15 de septiembre de 1999 por el satélite Landsat 7, el viento fluye de la esquina
superior izquierda a la inferior derecha:
Imagen: | Wikimedia Commons Foto original: NASA
He aquí otro ejemplo, también de Wikimedia commons. Como puede verse, los remolinos se
crean en la parte inferior (violeta) y superior (verde) del objeto, que en este caso es el círculo
de la izquierda.
Cada vez que un vórtice abandona el puente por la parte superior, crea una fuerza de arriba
abajo; cuando lo hace por la parte inferior, la fuerza tiene sentido opuesto. Fíjense cómo
ambos remolinos se forman en instantes diferentes, la combinación de ambos es una fuerza
periódica. La frecuencia de esta fuerza (llamada frecuencia de Strouhal). Si coincide con la
frecuencia natural del puente, o más bien con una de las frecuencias naturales del puente (un
objeto complejo tiene más de una), tendremos resonancia.
No disponemos el puente para hacer mediciones, y el último que lo intentó tuvo que salir
corriendo; pero una simulación realizada posteriormente en túneles de viento mostró que para
velocidades del viento bajas hay al menos tres frecuencias de resonancia entre 0,13 y 0,3 Hz.
Eso se corresponde aproximadamente a la frecuencia con que el período con el que Gertrudis
galopaba arriba y abajo (entre 0,1 y 0,2 Hz, dependiendo de la velocidad del viento), y también
con la frecuencia de Strouhal para velocidades de entre 8 y 20 km/h.
A pesar del regocijo de los conductores, las autoridades no estaban contentas con el
comportamiento tan poco serio de su puente, y encargaron al profesor Frederick Farquharson,
de la Universidad de Washington, que les recomendase alguna solución. Hubiera sido tan
sencillo como perforar agujeros en los paneles laterales, o cubrirlos con paneles adicionales
que le diesen al puente una forma más aerodinámica.
Pero antes de que Farquharson pudiese seguir sus investigaciones, llegó el día del desastre.
El 7 de noviembre de 1940, cuatro meses después de su inauguración, los vientos en la zona
eran más fuertes que lo habitual, unos 65 km/h. Hacia las diez de la mañana, el puente se vio
sacudido por fuertes movimientos de torsión. El tablero central no se limitaba a subir y bajar
suavemente, sino que se retorcía de una forma que solamente podemos calificar como
salvaje.
Las grabaciones de entonces muestran a una persona corriendo mientras el puente oscilaba
de un lado a otro. Se trataba de un periodista del Tacoma News Tribune que tuvo la mala
fortuna de presenciar el inicio del movimiento de torsión mientras cruzaba el puente en su
coche. Tuvo el tiempo justo de abandonarlo y ser testigo de los instantes finales. A las once y
diez de la mañana, secciones enteras del tablero del puente caían al agua, incluidos el coche
del periodista.
Aunque la resonancia originada por los vórtices de Karman explican los movimientos
verticales del puente, no sirven para entender por qué el puente cayó destrozado en la
mañana del 7 de noviembre. Para una velocidad del viento como la de aquella mañana, la
frecuencia de Strouhal era 1 Hz; sin embargo, el puente se retorcía con una frecuencia de 0,2
Hz. Además, la amplitud de las oscilaciones era tremenda.
Los resultados del estudio realizado para esclarecer las causas muestran que sí hay un efecto
de torsión a 0,2 Hz, tanto más violento cuanto mayor fuese la velocidad del viento.
Experimentalmente, pues, el túnel de viento muestra que el puente debió romperse, y eso es
exactamente lo que hizo. Pero no se trató de un fenómeno de resonancia.
El concepto se llama autoexcitación aerodinámica, y como me caen bien voy a explicárselo
sin echar mano de las ecuaciones (sigo con mi apuesta particular). Para entenderlo, volvamos
al puente. Recordarán cómo los vórtices o remolinos se iban generando tanto encima como
debajo del puente, generando en éste un movimiento vertical. Lo importante ahora es que
también provocaban un movimiento rotacional, esto es, una torsión.
Digamos que la torsión es en el sentido de las agujas del reloj. Ahora el trazo vertical
izquierdo de la H está más elevado que el de la derecha. La consecuencia es que el viento,
que viene del lado de la izquierda, genera en la parte superior un remolino más grande que en
la parte inferior.
Fuente: Billah y Scanlan, 1991
Si la velocidad del viento es pequeña, el remolino irá recorriendo el puente durante más de un
período de torsión. Es decir, mientras el remolino se encuentra a medio camino, la torsión del
puente habrá cambiado de sentido y ahora se formará un remolino en la parte inferior. El
efecto de ambos remolinos se anula. Es algo así como el abuelo que empuja el columpio en
todo momento, tanto a la ida como cuando a la vuelta.
Pero si el viento sopla con fuerza, el remolino recorrerá el puente con rapidez y saldrá por el
lado de la derecha antes de que el tablero del puente haya vuelto a la horizontal. Cuando la
torsión sea la opuesta, será la parte inferior la que genere un remolino. Ahora el abuelo está
empujando el columpio desde atrás, corre hacia delante y vuelve a empujar en sentido
opuesto. En ambos casos, los efectos se refuerzan. Y lo hacen de modo espectacular.
Eso es lo que pasó en el puente de Tacoma Narrows. Cada vez que se inclinaba
lateralmente, se generaban remolinos, los cuales ejercían un momento de torsión que retorcía
el puente cada vez más. A cada oscilación, la torsión crecía, lo que incrementaba el tamaño
de los remolinos, que a su vez aumentaba la torsión, y así sucesivamente. El efecto es un
“bombeo” de energía del viento al puente. En apenas una hora, la energía cinética acumulada
partió el puente y lo hizo añicos.
Lo descrito se asemeja a la resonancia, pero no lo es. Las causas son diferentes, y también
el tratamiento matemático. La condición de la resonancia es la existencia de una fuerza
externa periódica, con una frecuencia igual a la frecuencia del movimiento resultante. En el
caso de la autoexcitación, la frecuencia del movimiento es la frecuencia natural del sistema,
no depende de lo que le hagamos desde fuera. La propia fuerza responsable del movimiento
depende de la velocidad, igual que las fuerzas disipativas, pero en este caso actúa con signo
opuesto, como una fuerza “antidisipativa” que introduce energía al sistema en vez de
extraerlo. En cierto modo, el puente se empuja a sí mismo.
Podemos concluir diciendo que, en su etapa inicial, el puente de Tacoma Narrows oscilaba
verticalmente, en un fenómeno de resonancia debido al efecto de los vórtices de Karman. En
ese sentido, el ejemplo es válido. Pero los sucesos de la última hora, que acabaron en la
destrucción del puente, se deben a un fenómeno de autoexcitación aerodinámico, muy
complejo y sobre el que todavía se debaten los detalles.
El puente, amigos profesores, no fue destrozado por fuerzas resonantes, y todos los libros de
texto que lo afirman (incluyendo el vídeo 17 de la excelente colección El Universo Mecánico)
pecan de sensacionalismo. El hecho es que, como hemos visto, sí había efecto resonante
durante casi toda la vida del puente (salvo la última hora, quizá). Un artículo de 1991
publicado por Yusuf Billah y Robert Scanlan en el American Journal of Physics aclara la
naturaleza del movimiento de torsión, y artículos posteriores lo confirman. Sin embargo,
Tacoma es a la Física lo que el Titanic a la navegación: un símbolo poderoso que se niega a
desaparecer de nuestra memoria. Indudablemente, Se non è vero, è ben trovato.
De no haber sufrido autoexcitación, quizá el puente de Tacoma seguiría en pie, como su primo
el Golden Gate, con la ventaja de que seguiría “galopando” arriba y abajo. Nunca lo
sabremos. Apenas un año después de su desaparición, Estados Unidos entró en guerra y el
acero del puente era necesario para el esfuerzo bélico. Sólo en 1950 pudo construirse un
puente nuevo, eso sí, tras concienzudas pruebas en los túneles de viento. El crecimiento de
la ciudad hizo necesario un segundo puente, que fue inaugurado en 2007. Ahora los
tacomanenses tienen dos puentes, uno para ir y otro para volver.
Por cierto, si piensan que los constructores de puentes tienen a estas alturas dominado el
tema, se equivocan.
En 2000, el Millennium Bridge, un puente peatonal de Londres, tuvo que ser cerrado a los dos
días de su inauguración. El motivo recibe un nombre técnico bastante pretencioso, pero
viene a ser tres cuartos de lo mismo. En ese caso, la excitación del puente provenía de … las
propias personas que lo cruzaban. Por lo visto, la frecuencia de los pasos entraba en
resonancia con el puente, la gente acompasaba el paso con el movimiento del puente y éste
se movía todavía más. Total, que hubo que cerrarlo durante dos años. Tras una
remodelación que costó varios millones de euros, se consiguió arreglar el problema. Ahora no
se bambolea. Hatajo de aguafiestas.