La recta

7/21/2019 La recta

http://slidepdf.com/reader/full/la-recta-56d8f4fe59c99 1/13

LA RECTAPágina 40

3.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA

Existen dos formas para dejar bien definida a una recta, pero antes de señalarlas es indis- pensable comprender bien el significado de la frase quedar bien definido.

Un objeto queda mal definido cuando la descripción que se hace de él es insuficiente, demanera que admite otros objetos que cumplen con la descripción y que no son el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguientemanera: Es un ser viviente. Esta descripción hecha de unhombre, aunque cierta, es insuficiente, ya que admite a ani-males y vegetales que no son hombres, como los perros,gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., que cumplen con ladescripción, es decir que son "seres vivos". Por lo tanto, sedice que está mal definido.

En el caso particular de la recta, si se desea definir unarecta determinada diciendo únicamente que "pasa por el

punto ", está mal definida ya que admite a otras( )A 2 1 ,

rectas que cumplen con la descripción y no son la que se pretende definir, como lo muestra la parte superior de lafigura 3.15.

O bien, si se dice nada más que tiene una inclinación de45o, también queda mal definida por admitir muchas rectasque cumplen esa descripción, tal como se ve en la parte in-

ferior de la figura 3.15.

En cambio, un objeto queda bien definido cuando la des-cripción que se hace de él no admite a otros objetos que nosea el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguientemanera: Es un ser viviente y pensante. Esta descripción he-cha de un hombre ya no admite a animales y vegetales co-mo a los perros, gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., puesninguno de ellos cumple con la descripción de "ser pensan-te". Por lo tanto, se dice que está bien definido.

En el caso particular de la recta, si se define una recta determinada diciendo que pasa por

los puntos y , está bien definida ya que no admite a otras rectas que cum-( )A 2 1 , ( )B 3 7 ,

plan con la descripción; solamente hay una recta que pasa por esos dos puntos.

O bien, si se dice que tiene una inclinación de 45o y además pasa por el punto ,( )A 0 4 ,

también de esta manera queda bien definida por no admitir a ninguna otra recta que cumpla

¿Cuál es, si todaspasan por A(2, 1)?

A(2, 1)

¿Cuál es, si todasestán a 45 grados?

figura 3.15

7/21/2019 La recta


esa descripción; solamente existe una recta que pueda pasar por el punto mencionado y conesa inclinación.

De manera que las dos formas para dejar bien definida a una recta son:

1) Conociendo las coordenadas de dos puntos por los que pasa; y2) conociendo un punto por el que pasa y su pendiente.

En ambos casos se tiene una fórmula respectiva para calcular la ecuación de la recta quecumple con una de las dos condiciones, las cuales se dan en el siguiente recuadro:

De las dos fórmulas anteriores, por comparación se infiere que la pendiente de una recta

de la que se conocen las coordenadas de dos puntos por la que pasa y( )1 1A x , y

, es( )2 2B x , y

1 2

1 2

y ym

x x

−=

−

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 4) y B(0, - 2).

Solución: En este caso: x1 = 1 ; x2 = 0 y1 = 4 ; y2 = - 2

Utilizando la fórmula de "dos puntos" y sustituyendo valores:

1) La ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos

y es( )1 1A , x y ( )2 2B , x y

( )1 21 1

1 2

y y y y x x

x x

−− = −

−

2) La ecuación de la recta que pasa por un punto conocido y( )1 1A , x y

de pendiente m conocida, es

( )1 1 y y m x x− = −

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 42

( )1 21 1

1 2

y y y y x x

x x

−

− = −

−

( ) ( )4 24 11 0

y x− −− = −

−

( )4 2

4 11

y x+

− = −

( )4 6 1 y x− = −

4 6 6 y x− = −

6 6 4 y x= − +

6 2 y x= −

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y tiene pendiente .4m =

Solución: En este caso: x1 = - 3 y1 = 2m = 4

Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:( )1 1 y y m x x− = −

( )2 4 3 y x− = − −

( )2 4 3 y x− = +

2 4 12 y x− = +

4 12 2 y x= + +

4 14 y x= +

3.8 COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN

Una herramienta muy práctica en la resolución de problemas es la localización de lascoordenadas del punto de intersección de dos rectas, las cuales se obtienen resolviendo "por simultáneas" las ecuaciones respectivas de cada una de las rectas que se cortan entre sí.

7/21/2019 La recta


Ejemplo 3: Hallar el punto de intersección de las rectas 3 x + 5 y - 2 = 0 y 2 x - 3 y + 5 = 0 (ver figura3.16).

Solución: Resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 3 5 2 0 x y+ − =

(2) 2 3 5 0 x y− + =

multiplicando por 3 la ecuación (1) y por 5 la ecuación (2) se obtiene:

(1) 9 x + 15 y - 6 = 0(2) 10 x - 15 y + 25 = 0

S)))))))))))))))))))Q

sumando: 19 x + 19 = 0

despejando: 19 x = - 19 x = - 1

sustituyendo este valor en la ecuación (1):

(1) 3(- 1) + 5 y - 2 = 0 - 3 + 5 y - 2 = 0

5 y = 2 + 3 y = 1

de manera que las coordenadas donde se cortan estas dos rectas son .( )P 1 1 ,−

3.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

La condición obvia para que dos rectas sean paralelas es que tengan exactamente el mismoángulo y, por lo tanto, la misma inclinación o pendiente.

La condición para que dos rectas sean perpendiculares no es tan obvia; sin embargo, se pueden resumir en la siguiente regla:

3 x + 5 y - 2 =

0

2 x - 3 y

+ 5 =

0

punto deintersección

figura 3.16

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir que

1 2m m=

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 44

3.10 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

Cuando se conocen las coordenadas de un punto P y la ecuación de una recta, es posible

calcular la distancia que hay entre ese punto de coordenadas y la recta de ecua-( )1 1P x , y

ción .D E F 0 x y+ + =

Aquí una cosa muy importante es definir de quémanera debe medirse esa distancia desde el puntohasta la recta, porque, dentro de las múltiples opcio-nes que existen, puede hacerse la medición de dife-rentes formas.

En la figura 3.17 se ve que efectivamente, la dis-

tancia 1 tiene diferente medida que la distancia 2. Yconforme se mide con diferente inclinación, la dis-tancia será cada vez diferente. Surge necesariamen-te la pregunta: ¿Cuál de todas las medidas es la co-rrecta? ¿Y por qué?

Se puede ver fácilmente que cada medición esmayor cuando la inclinación aumenta y menor cuando disminuye la inclinación. Esto implica queno hay límite en cuanto a la medida más grande po-sible, pero en cambio sí hay una, entre todas, que es la más pequeña. Esa es exactamente la

que se hace en forma perpendicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confusiones, se definela distancia de un punto a una recta como la medida más pequeña que es posible realizar; enotras palabras, es la medida perpendicular a la recta.

De manera que cada vez que se haga referencia a una distancia, debe darse por hecho quese refiere, por definición, a la medida perpendicular.

Tal distancia se puede calcular por medio de la siguiente relación:

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y

de signos opuestos, o sea que

12

1m

m= −

recta

d = 52d = 41

¿Cuál de todas las

distancias es la buena?

figura 3.17

7/21/2019 La recta


en donde D, E y F son las constantes de la ecuación de la recta en la forma general, mien-tras que x 1 , y1 son los valores de las coordenadas del punto conocido. Las dos lineas vertica-

les que abarcan al numerador significan "valor absoluto", es decir, que si alguna vez da ne-gativo, no debe tomarse en cuenta ese signo negativo.

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7, 4) y que es también paralela a la rec-

ta (ver figura 3.18).2 5 0 x y− − =

Solución: Como las dos rectas son paralelas, deben tener lamisma pendiente; de manera que debe obtenersela pendiente de la recta que se conoce su ecua-

ción y "pasársela" a la otra: Para obtener la pen-diente de la recta debe escribir-2 5 0 x y− − =

se en la forma particular, es decir, debe despejar-se la variable y. Haciéndolo, se obtiene:

2 x - y - 5 = 0 2 x - 5 = y

y = 2 x - 5

la pendiente de esta recta es m = 2. De manera que esta pendiente es la misma que la de la

recta pedida. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto , uti-( )A 7 4 ,

lizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1 y y m x x− = −

( )4 2 7 y x− = −

4 2 14 y x− = −

La distancia entre el punto conocido y la recta de( )1 1P x , y

ecuación esD E F 0 x y+ + =

1 1

2 2

D E F

D E

x yd

+ +

=

+

2 x

- y - 5 = 0

r e c t a

b u s c a d a

A

7

4

2

6

1 3 9

figura 3.18

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 46

2 14 4 y x= − +

2 10 y x= −

Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(- 3, 1) y que es perpendicular a larecta 4 x + 2 y - 5 = 0 (figura 3.19).

Solución: Como las dos rectas son perpendiculares, sus pendientes deben ser recíprocas y de signoscontrarios; de manera que debe obtenerse la pendiente de la recta que se conoce su ecua-ción y "pasársela" a la otra por medio de lacondición de perpendicularidad. Para obtener

la pendiente de la recta ,4 2 5 0 x y+ − =

tiene que escribirse en la forma particular, esdecir, debe despejarse la variable y. Hacién-dolo, se obtiene:

4 x + 2 y - 5 = 0 2 y = - 4 x + 5

y = - 2 x + 5/2

la pendiente de la recta dada es m = - 2. De manera que la pendiente de la perpendicular es

. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto , utili-2

1

2m = ( )P 3 1 ,−

zando la fórmula de punto y pendiente de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1 y y m x x− = −

( )1

1 32

y x− = − −

( )1

1 32

y x− = +

( )2 1 3 y x− = +

2 2 3 y x− = +

2 2 3 0 x y− + − − =

2 5 0 x y− + =

r e c t a

p e d i d a

P(- 3, 1)4

+ 2

- 5 =

0

x

y

figura 3.19

7/21/2019 La recta


Ejemplo 6: Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a otra recta que tiene por

ecuación y que ade-6 5 30 0 x y− − =

más pasa por el punto de intersección

de las rectas y3 7 6 0 x y+ − =

(ver figura 3.20).9 2 0 x y− − =

Solución: Como la recta pedida es paralela a otra

cuya ecuación es ,6 5 30 0 x y− − =

deben tener la misma pendiente; demanera que despejando la variable y deesta última ecuación para obtener su pendiente y pasársela a la otra:

6 5 30 0 x y− − =

5 6 30 y x− = − +

5 6 30 y x= −

6 30

5

x y

−=

66

5 y x= −

de donde se ve que m1 = 6/5.

El punto de intersección de las rectas y se obtie-3 7 6 0 x y+ − = 9 2 0 x y− − =

ne resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 3 x + 7 y - 6 = 0(2) x - 9 y - 2 = 0

multiplicando por - 3 la ecuación (2) se obtiene:

(1) 3 x + 7 y - 6 = 0(2) - 3 x + 27 y + 6 = 0

S))))))))))))))))Q

sumando: + 34 y = 0despejando: y = 0/34

0 y =

sustituyendo este valor en la ecuación (2) original:

3 x + 7 y - 6 = 0

x - 9 y - 2 = 0

6 x - 5 y

- 3 0

= 0

r e c t a

p e d i d

a

p a r a l e l a s

figura 3.20

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 48

(2) x - 9(0) - 2 = 0 x - 0 - 2 = 0

2 x =

de manera que las coordenadas del punto P donde se intersecan estas dos rectas son

. Se tienen ya la pendiente y un punto conocido de la recta que se pide su( )P 2 0 ,

ecuación, por lo que, en este caso:

x1 = 2 y1 = 0

6

5m =

Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1 y y m x x− = −

( )6

0 25

y x− = −

( )5 6 2 y x= −

5 6 12 y x= −

6 5 12 0 x y− + + =

6 5 12 0 x y− − =

Ejemplo 7: Los vértices de un cuadrilátero son: ;( )A 2 2 ,−

; y . Investi-( )B 1 1 , − ( )C 2 5 ,− − ( )D 5 2 ,− −

gar si es cuadrado, rectángulo, rombo, romboideo trapecio.

Solución: Graficando los puntos en el plano para ir efec-tuando las deducciones y razonamientos en baseal dibujo previo se obtiene la figura 3.21.

Lo primero que hay que investigar es si hay lados paralelos, para saber si se trata de un paralelogra-mo o no. Para eso deben obtenerse las pendientesde los cuatro lados.

A

B

C

D

figura 3.21

7/21/2019 La recta


Con la fórmula de la pendiente descrita en la página 41, se obtiene:1 2

1 2

y ym

x x

−

=

−

pendiente mAB :

( )AB

2 1

2 1m

− −

=

− −

AB

3

3m =

−

AB 1m = −

pendiente mDC :

( )

( )DC

2 5

5 2m

− − −

=

− − −

DC

3

3m =

−

DC 1m = −

pendiente mBC :

( )

( )BC

1 5

1 2m

− − −

=

− −

BC

1 5

1 2m

− +=

+

BC

4

3m =

pendiente mAD :

( )

( )AD

2 2

2 5m

− −

=

− − −

AD

2 2

2 5m

+=

− +

AD

4

3m =

Como mAB = mDC y además mBC = mAD , se puede ya obtener la primera conclusión: Setrata de un paralelogramo. El siguiente paso es investigar si los lados forman ángulos rec-tos o no. Para ello se requiere, por la condición de perpendicularidad, que las pendientessean recíprocas y de signos contrarios y en este caso no lo son, lo que significa que los la-dos no son perpendiculares. Por lo tanto no es cuadrado ni tampoco rectángulo.

Quedan solamente dos posibilidades: que sea rombo o que sea romboide. Para investigarlohay dos opciones, de acuerdo con las propiedades de los paralelogramos vistas en la página

8: Primera, por el tamaño de sus lados, sabiendo que el rombo tiene sus cuatro lados igua-les; segunda, por sus diagonales, sabiendo que las diagonales del rombo son perpendicula-res.

Por el tamaño de sus lados: obteniendo la distancia entre los puntos A y B y luego entrelos puntos B y C , utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos.

Para la distancia A-B se tiene que

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 50

( ) ( )2 2

1 2 1 2d x x y y= − + −

en donde: x1 = - 2 ; y1 = 2 x2 = 1 ; y2 = - 1

sustituyendo valores

[ ] ( )2 2

AB 2 1 2 1d = − − + − −

( ) ( )2 2

AB 3 3d = − +

AB 9 9d = +

AB 18d =

Para la distancia B-C se tiene que

( ) ( )2 2

1 2 1 2d x x y y= − + −

en donde x1 = 1 ; y1 = - 1

x2 = - 2 ; y2 = - 5

sustituyendo valores

( ) ( )2 2

BC 1 2 1 5d = − − + − − −

( ) ( )2 2

BC 3 4d = + −

BC 9 16d = +

BC 25d =

BC 5d =

Se ve que el lado AB es diferente al lado BC . Por lo tanto, se trata de un romboide.

Otro método: Por sus diagonales. Deben sacarse las pendientes de las rectas (las diagona-les) AC y BD y verificar si son o no perpendiculares. Recordar que las diagonales del

7/21/2019 La recta


rombo son perpendiculares mientras que las del romboide no.

Con la fórmula de la pendiente (ver página 41), se obtiene:1 2

1 2

y ym

x x

−=

−

pendiente mAC :

( )

( )AC

2 5

2 2m

− −

=

− −

AC

2 5

2 2m

+=

− +

AC

7

0m = = ∞

pendiente mBC :

( )

( )BD

1 2

1 5m

− − −

=

− −

BD

1 2

1 5m

− +=

+

BD

1

6m =

Como las pendientes no son recíprocas y de signo contrario, las diagonales no son perpen-diculares; por lo tanto, no es un rombo. Conclusión: se trata de un romboide.

Ejemplo 8: Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .8 3 21 0 x y− − = 8 3 18 0 x y− + =

Solución: Se localizan las coordenadas de cualquier pun-to P

que pertenezca a cualquiera de las dos

rectas y se calcula la distancia de ese punto a laotra recta, con la fórmula de la página 45. Demanera que tabulando un punto cualquiera de

la recta , por ejemplo, para8 3 21 0 x y− − =

, se obtiene3 x =

x 3

y 1

La distancia entre ese punto y la recta está da-

da por la fórmula de la página 45:

1 1

2 2

D E F

D E

x yd

+ +

=

+

En donde , y (son las constantes de la ecuación de la recta), mien-D 8= E 3= − F 18=

tras que y (son las coordenadas del punto). Sustituyendo valores en la1 3 x = 1 1 y =

fórmula se obtiene:

8 x

- 3 y

+ 1

8 =

0d i s t a n c i a

P(3, - 1)

figura 3.22

7/21/2019 La recta


LA RECTAPágina 52

( ) ( ) ( ) ( )

( )22

8 3 3 1 18

8 3d

+ − +

=

+ −

24 3 18

64 9d

− +

=

+

39

73d =

¡Cuidado!: Un error muy frecuente quesuele cometer el alumno es el de tabular un punto en cada una de las rectas y lue-go calcular la distancia entre esos dos pu nto s. Por eje mplo , el pu nt o

y el punto ,( )A 2 1 6; .− ( )B 2; 0 6.−

como se muestra en la figura 3.23.

El error está en que una distancia debeser medida perpendicularmente por lasrazones expuestas en la página 44, y elhecho de localizar dos puntos, uno encada recta, no garantiza de ninguna for-ma que queden en ángulo recto con las

rectas a las que pertenecen. Por lo tanto,la distancia obtenida entre esos dos pun-tos no es, en la mayoría de los casos, laque hay realmente entre uno de esos puntos y la otra recta.

¿ d i s t a

n c i a ?

figura 3.23

La recta

Documents

Transcript of La recta