“LA MECANICA MATRICIAL DE HEISENBERG”Murillo caballero Víctor Frank

Mecánica Cuántica I Universidad Nacional de Trujillo, Perú

17 de mayo del 2013

1.- INTRODUCCION

A inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clásicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Einstein, Niels, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecánica cuántica. Sin embargo, esta ruptura con la mecánica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc. En la década de los veinte, un grupo de relativamente jóvenes físicos tomaron el liderazgo en la elaboración de una teoría acorde con los nuevos postulados encontrados; teoría que, contraria a la formulación clásica, debía ser basada en los experimentos y no en la intuición. Además de requerir un lenguaje matemático más preciso.

En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero completar una formulación matemática más elaborada de la mecánica cuántica. Esta formulación se basa en que los aspectos teóricos de los sistemas están fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En mecánica cuántica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulación exitosa de la mecánica cuántica basado en la teoría de matrices.

Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados a la transición atómica de las interacciones de los átomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera él argumentó que las cantidades relacionadas a las transiciones eran los objetos básicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemática coherente acerca de la teoría atómica para los átomos.

2.- RAZONAMIENTO DE HEISENBERG

En opinión de Heisenberg, una teoría física correcta ha de hacer uso única y exclusivamente de cantidades o magnitudes observables. Luego haciendo uso del principio de correspondencia de Bohr se lanzó a entender los estados estacionarios del átomo.Su razonamiento era, aproximadamente el siguiente: Una carga en movimiento con una determinada frecuencia debía emitir radiación con dicha frecuencia –como en la teoría clásica–.Este hecho era una consecuencia matemática del análisis de Fourier que Heisenberg aplicaba al mundo cuántico. Como frecuencias del espectro dependían de dos índices ωnm (véase la fórmula de Balmer), Heisenberg postulaba que debía haber tantos índices como estados estacionarios –no sólo como niveles de energía, pues se sabía que las series espectrales se modificaban al introducir los átomos en fuertes campos magnéticos–. A continuación da un salto cualitativo al afirmar que toda magnitud física clásica a (t) debe transformarse en Werner Heisenberg

el conjunto Anm (t). Así, por ejemplo la posición del electrón x (t) debía ser sustituida por una tabla Xnm (t). A continuación Heisenberg razona como habría de calcularse X2 nm (t) hasta obtener la fórmula

xnm2 ( t )=∑

kxnk (t) xkm(t ),

es decir, las cantidades Xnm eran matrices.

Dadas dos matrices X nm y Pnm que describen dos cantidades físicas, Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo al combinar los términosX nk Pkm, que oscilan con la frecuencia correcta. Como los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolución de estos coeficientes de forma separada, la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que estas matrices debían ser multiplicadas:

(XP)mn=∑k=0

∞

XmkPkn

Max Born notó que esta es la ley de multiplicación para matrices, por lo que la posición, el momento, la energía y todos los observables son interpretados como matrices. Debido a la regla de multiplicación el producto depende del orden, es decir XP≠PK .

La matriz X describe completamente el movimiento de una partícula mecanocuántica. Debido a que las frecuencias en el movimiento cuántico no son múltiplos de una frecuencia común, los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clásica. No obstante, como X (t ) y P ( t )son matrices, satisfacen las ecuaciones clásicas del movimiento.

3.- FORMULACION MATEMATICAUna vez que Heisenberg introdujo las matrices X y P, pudo encontrar los elementos de la matriz en casos especiales guiado por el principio de correspondencia. Como los elementos de matriz son la analogía mecanocuántica de los coeficientes de Fourier de las órbitas clásicas, el caso más simple es el oscilador armónico; donde X y P son sinusoidales.

3.1.- Oscilador Armónico  

En unidades donde la masa y la frecuencia de un oscilador son uno, la energía del oscilador es:

H=12(P2+X2)

La órbita clásica con energía E es igual a:

X (t )=√2E cos ( t ) P (t )=¿√2 E sin (t )¿La condición que requería la antigua teoría cuántica decía que la integral de PdXsobre una órbita, que es el área del círculo en el espacio de fases, debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. El área del círculo de radio √2E es 2πE, por lo que:

E= nh2 π

o en unidades donde ℏ es uno, la energía es un entero.

Las componentes de Fourier de X ( t ) y P (t ) son muy simples, mucho más si se los combina con:

A (t )=X (t )+ iP (t )=√2Ee¿

A† (t )=X (t )−iP ( t )=√2Ee−¿

donde ambos A y A† tienen una sola frecuencia y, X y P pueden ser encontrados de su suma o diferencia.

Como A ( t ) tiene una serie de Fourier clásica con una sola frecuencia más baja y el elemento de matriz Am es el (m−n)−ésimo coeficiente de Fourier de la órbita clásica, la matriz para A no es cero solo en la línea sobre la diagonal. En cuyo caso es igual a √2En. La matriz para A† es de la misma manera pero en la línea de abajo de la diagonal con los mismos elementos. Reconstruyendo X y P de A y A† obtenemos:

√2 X (0 )=√ h2π [ 0 √1 0

√1 0 √20 √2 0

00√3…

⋮]

√2P (0 )=√ h2π [ 0 i√1 0−i√1 0 i √20 −i√2 0

00i √3

…

⋮]

las cuales, dependiendo del sistema de unidades utilizado, son las matrices de Heisenberg para el oscilador armónico. Ambas matrices son hermíticas debido a que son construidas a partir de los coeficientes de Fourier de cantidades reales. Para hallar X ( t ) y P (t ) es simple una vez que conocemos que los coeficientes de Fourier en el caso cuántico son los que evolucionan en el tiempo:

X mn ( t )=Xmn (0 ) e i (Em−En) t Pmn(t )=Pmn(0)ei (Em−En ) t

El producto matricial de X y P no es hermítico, pero tiene una parte real e imaginaria. La parte real es la mitad de la expresión simétrica (XP+PX ), mientras que la parte imaginaria es proporcional al conmutador ⌊X ,P ⌋=(XP−PX). Es fácil verificar explícitamente

que (XP−PX) en el caso del oscilador armónico es ih2π , multiplicada por la matriz identidad.

Además también se puede verificar que la matriz:

H=12(X2+P2)

es una matriz diagonal con valores propios Ei.

3.2.- Conservación de Energía  

El oscilador armónico es muy especial debido a que es fácil encontrar las matrices exactas y es muy difícil descubrir las condiciones generales de esas formas especiales. Por esta razón, Heisenberg investigó al oscilador anarmónico de Hamiltoniano:

H=12X2+ 1

2P2

+ϵ X3

En este caso las matrices X y P no son matrices diagonales debido a que las correspondientes órbitas clásicas están desplazadas y aplastadas; así se tiene los coeficientes de Fourier de cada frecuencia clásica. Para determinar los elementos de matriz, Heisenberg requirió que las ecuaciones de movimiento clásicas obedezcan las ecuaciones matriciales:

dXdt

=P dPdt

=−X−3 ϵ X2

Heisenberg notó que si esto podría hacerse entonces el Hamiltoniano, considerado como una función matricial de X y P , tendría creo derivadas temporales:

dHdt

=P∗dPdt

+(X+3 ϵ X2 )∗dX

dt=0

donde A∗B es el producto simétrico A∗B=12(AB+BA).

Dados que todos los elementos de la diagonal tienen una frecuencia no cero, al ser H constante implica que H es diagonal. Era claro para Heisenberg que en este sistema la energía podría ser conservada exactamente en un sistema cuántico arbitrario, un signo muy estimulante.

El proceso de emisión y absorción de fotones parece demandar que la conservación de la energía se mantenga por lo menos en promedio. Si una onda que contiene exactamente un fotón atraviesa algunos átomos y uno de ellos lo absorbe, ese átomo necesita informar a los otros que ya no pueden absorber más fotones. Pero si los átomos están alejados cualquier señal no podrá llegar a los otros átomos a tiempo, éstos terminarán absorbiendo el mismo fotón de todas maneras y disipando la energía a su alrededor. Cuando una señal los alcanza, los otros átomos deben de alguna manera retomar esa energía. Esta paradoja indujo a Bohr, Kramers y Slater a abandonar la conversión de energía exacta. El formalismo de Heisenberg, cuando se quiere introducir el campo electromagnético, va a obviamente enfrentar este problema; una pista que la interpretación de la teoría involucrará el colapso de la función de onda.

3.3.- Tratamiento Hamiltoniano  

En la formulación hamiltoniana, los corchetes de Poisson de las funciones de las coordenadas y

momentos canónicos son:

esta definición implica que:

Los corchetes de Poisson son invariantes respecto a cualquier transformación canónica. Además tiene otras importantes propiedades:

lo que implica que:

donde : es el Hamiltoniano. Mediante las ecuaciones de movimiento de Hamilton, las relaciones anteriores son:

La derivada temporal de una función general de coordinadas y momentos canónicos se obtiene de las ecuaciones de movimiento de Hamilton:

es decir:

que es una ecuación clásica. Para transformarla en una ecuación cuántica, Dirac formuló la relación:

donde es el conmutador de operadores (o matrices) a y b. De esta manera la ecuación de movimiento mecanocuántica correcta es:

donde u y H son matrices infinitas en general, que tienen la condición que son matrices hermíticas. Esta ecuación es conocida como la Ecuación de movimiento de Heisenberg.

Suponiendo que u no depende explícitamente del tiempo, esta ecuación del movimiento es:

Esta ecuación es una ecuación matricial, y debido a esto representa a un conjunto infinito de ecuaciones:

Por lo que el fundamental problema de la mecánica matricial de Heisenberg es el encontrar las

matrices infinitas y donde se cumplan las condiciones (dadas por la condición de Dirac):

y que el Hamiltoniano se convierta en una matriz diagonal.

4.- COMENTARIOS

Un hecho histórico interesante es que, al poco tiempo de ser descubierta la Mecánica Matricial, Max Born le sugirió a Heisenberg convertir sus manejos matriciales a ecuaciones diferenciales con la finalidad de explorar la posibilidad de que se pudiesen simplificar algunos de los problemas que estaba estudiando Heisenberg tal como el de los niveles de energía del átomo de hidrógeno. Aunque Heisenberg no siguió este consejo, de haberlo hecho muy posiblemente habría terminado creando también la Mecánica Ondulatoria.

En no pocos historiadores de la ciencia ha surgido la duda de que Schrödinger pudiera haber “hecho trampa” tomando los trabajos de Heisenberg haciendo la conversión de los mismos a

su formato en ecuaciones diferenciales para terminar obteniendo de este modo por una vía no tan indirecta su famosa ecuación. Después de todo, Schrödinger era un matemático experimentado que estaba al tanto sobre la equivalencia plena entre los procedimientos matemáticos matriciales y los procedimientos matemáticos utilizados en la solución de ecuaciones diferenciales. También es cierto que el descubrimiento de la Mecánica Matricial fue un hecho previo al descubrimiento de la Mecánica Ondulatoria por cuestión de unos cuantos meses. Y también es cierto que fué el mismo Schrödinger el que posteriormente demostró de manera formal la equivalencia entre la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria. Sin embargo, la Mecánica Ondulatoria descansa sobre bases filosóficas distintas a las bases filosóficas utilizadas por Heisenberg el cual no se apoyó en la relación de Louis de Broglie para el análisis de ondas de materia. Mientras que a Heisenberg lo único que le interesaba eran las observables desechando todo aquello que no pudiera ser medido u observado así fuese indirectamente (como el radio de un electrón en su órbita circular en torno al núcleo atómico o la velocidad del electrón moviéndose alrededor del núcleo), la ecuación de onda de Schrödinger fue desde un principio una ecuación de onda elaborada para ondas de materia, inspirada en las ecuaciones de onda del electromagnetismo clásico y en la propuesta de De Broglie. Simple y sencillamente no hay punto de comparación entre ambas bases

filosóficas. Si Schrödinger realmente hizo “trampa”, cubrió tan bien sus huellas que sólo con una declaración suya para tal efecto se podría despejar la duda, algo que ciertamente nadie en el lugar de Schrödinger haría.