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La matemática de la proporción áurea en las construcciones arquitectónicas

The mathematics of the golden ratio in architectural construction

Carlos Sánchez Díez Eva Hernández García

Arquitectos. Escuela Superior de Arquitectura.

Universidad de Sevilla sanchezdiezcarlos@gmail.com

evahergar@gmail.com

Resumen En este estudio de la matemática basica de la proporción áurea mostramos cómo es posible encontrarla en ejemplos emblemáticos de la arquitectura, desde la antigüedad hasta nuetros días, analizando la estética de algunas muy conocidas construcciones de gran trascendencia histórica y monumental. Abstract In this study of the basic mathematics of the golden ratio show how it is possible to find outstanding examples of architecture from antiquity to nuetras days, analyzing the aesthetics of some well-known constructions of recognized historical and monumental importance. Palabras clave Proporción, áurea, número áureo, Fibonacci, sucesión, seccion áurea, rectángulo áureo, triángulo áureo, pentágono, pentalfa, modulor, Le Corbusier Keywords Proportion, golden mean, golden ratio, Fibonacci sequence, golden section, golden rectangle, golden triangle, pentagon, pentalfa, Modulor, Le Corbusier Introducción En la matemática tiene un papel destacado lo que conocemos como proporción áurea. El uso de la proporción áurea tiende a asociarse a los intentos continuados de fijar algún mecanismo infalible y permanente para construir el arte correcto que logre dar carácter sistemático a la actividad creadora. Sin embargo, ¿es simplemente una proporción que perduró en un pasado ya caduco de la historia de la matemática aplicada, o bien es el número áureo algo que está por encima de las fluctuaciones de tendencias o estilos en la arquitectura y en el arte?.

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Es obvio que la arquitectura se revela como una actividad de síntesis en la complejidad del pensamiento humano. Tratando de dotar al hombre de un escenario para su vida, manipula geométricamente el espacio de forma autónoma, integrando arte, ciencia, tecnología y humanismo. En el estudio de los diseños arquitectónicos, en el planteamiento de formas de estructuras, para todo tipo de proyectos, nos topamos de frente con la importancia de la proporcionalidad, de la adecuada relación o proporción entre los elementos de cualquier diseño o estructura sistemática. Aunque son diversas las técnicas matemáticas implícitas en el desarrollo de un diseño arquitectónico, parece obvio el protagonismo de la proporción áurea en la historia de la arquitectura. Nos encontramos, en efecto, con una proporción especial que aparece en una serie de diferentes construcciones a lo largo de la historia, de la que podemos resaltar algunos ejemplos ilustrativos en el antiguo Egipto (Pirámide de Keops), en la Grecia clásica, en Roma, en el Renacimiento, y obviamente también en nuestros días (la Torre CN de Toronto, Canadá, o el edificio sede las Naciones Unidas en la ciudad de Nueva York, son ambos ejemplos muy conocidos, por citar algunos de los más emblemáticos). La proporción áurea y la sucesión de Fibonacci - La proporción áurea Se entiende que dos magnitudes, a y b, se encuentran en proporción áurea si al dividir la primera por la segunda se obtiene el mismo resultado que al dividir la suma de ambas por la primera:

a y b en proporción áurea sii aba

ba +=

este cociente se obtiene fácilmente despejando una de las dos distancias en función de la otra:

bbbbbbababa2

512

52

).(1.4)(0222

22 ±=

±=

−−−±=→=−−

al ser una proporción entre dos distancias, ambas son positivas, por lo que la expresión válida es la que corresponde al signo positivo:

ba2

51+= y la proporción queda:

251+

=+

=aba

ba

. El número 2

51+,

representado comúnmente con la letra φ (phi) en honor del griego Phidias, es lo que se conoce como número áureo o número de oro. - La sucesión de Fibonacci El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonacci, se hizo famoso tanto por su gran contribución a la divulgación en Europa del sistema de numeración indo-arábigo que utilizamos hoy, como por el descubrimiento de una sucesión de números reales, que se conoce desde entonces con su nombre. Se trata de la sucesión que comenzando con los números f0=0, f1 =1, cada término resulta ser la suma de los dos anteriores:

(f)n = {0,1,1,2,3,5,8,13,...,fn,...} Así, pues, se tiene que

21,1 −− +=>∀ nnn fffn

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Aunque Fibonacci presentó la sucesión en su obra Liber Abaci, en 1202, manifestando haberla encontrado en el proceso de resolución del problema de la cría de conejos (“Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año, cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también”), en realidad, las ideas básicas de la sucesión se encontraban ya en la obra de algunos matemáticos hindues como Pingala (200 a.C.), y ya en el mismo siglo XII, la usaban Gopala (1135) y Hemachandra (1150). Cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci se obtienen, como luego se comprobaría, sumando las diagonales del Triangulo de Tartaglia, tal como indicamos en la figura

o sea:

,32112

03

,21111

02

,101

,111

4321 =+=

+

==+=

+

==

==

= ffff

.....,834123

14

05

,513122

13

04

65 =++=

+

+

==++=

+

+

= ff

Es decir:

∑

−

=

−−=>∀

21

0

1,0

n

jn j

jnfn , siendo

−

21n

la parte entera de (n-1)/2

- La relación con el número áureo Si dos números reales, a y b, se encuentran en la proporción áurea (es decir, si

φ=ba / ) entonces se verifica que

nn

nn

n bfbafanNn ...,0/ 11

−− +=>∈∀

Comprobación:

22 bababa

aba

+=→=+

. Multiplicando sucesivamente por a y simplificando se

obtienen: 22 baba += , 32223 2 bababbaa +=+= , 432234 23 babbabaa +=+= , ...

nn

nn

n bfabfa 11

−− += , ... ...

Si sustituimos ba .φ= , se tiene que

111 ... −−− +=→+= nn

nnn

nn

nn ffbfbbfb φφφφ

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También podemos obtener el número áureo desde la sucesión de Fibonacci, pues el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión, 1/ −nn ff , se aproxima al

número áureo cuando el orden n de los términos crece indefinidamente: Comprobamos:

2

11211

2

1

21

1 lim

11lim/111

−

−−−−−

−

−

−−

−

+=→+=+=+

=

n

nn

n

nnn

n

n

nn

n

n

fff

ffff

ffff

ff

llamando 2

1

1

limlim−

−

−

==n

n

n

n

ff

ffL , se tendrá: →=−−→+= 0111 2 LLLL

1

lim2

51−

=→=+

=→n

n

ffL φφ

Asimismo, es posible deducir una fórmula para la obtención de cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci en función del número áureo. Es la denominada Fórmula de Binet-Moivre:

−−=

nn

nf φφ 1

51

Veamoslo:

De ser 12 += φφ se tiene, multiplicando por 2−nφ : 21 −− += nnn φφφ

Análogamente, para la sección áurea φϕ /1−= , ( ) ( ) ( ) →−+−=− −− 21 /1/1/1 nnn ϕϕϕ

21111−− +−=→ nnn ϕϕϕ

, y multiplicando por n2ϕ : nnnnnn ϕϕϕϕϕϕ +=→+−= ++++ 1221

o lo que es lo mismo: 21 −− += nnn ϕϕϕ En definitiva, tanto la proporción áurea como la sección áurea verifican la relación de Fibonacci:

Vamos a tratar de expresar el término n-simo de la sucesión de Fibonacci como función lineal de la proporción áurea y de la sección áurea, tratando de encontrar

coeficientes, m,n, tales se verifique que nnn nmf ϕφ += , con las condiciones de que

2110 ,1,0 −− +=== nnn fffff . Debe, pues, cumplirse que

1,0 =+=+ ϕφ nmnm [*]

2211 −−−− +++=+= nnnnnnn nmnmnmf ϕφϕφϕφ

de [*]: )/(11)( ϕφϕφ −=→=−→−= mmmn O sea:

51

522

251

251

11==

−−

+=

−=

ϕφm ,

51

−=n

por tanto, finalmente:

−−=−=

nnnn

nf φφϕφ 1

51

51

51

21

21

−−

−−

+=+=

nnn

nnn

ϕϕϕφφφ

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Rectángulo y triangulo áureos. El pentágono regular - Rectángulos áureos Es claro que las dos magnitudes en proporción áurea definen los lados de un cierto rectángulo con la proporción áurea entre su largo y su alto, que se conoce como rectángulo áureo. Puede determinarse gráficamente tanto si se conoce el término mayor, a, de la proporción, como si se parte del término menor, b.

- Cuando se conoce el lado mayor, a, del rectángulo áureo, es muy sencillo obtener gráficamente la longitud b del lado menor:

a) Se traza un segmento de longitud a y otros dos por sus extremos, de la misma longitud, hasta completar un cuadrado de vértices ABCD en la figura.

b) Se marca su punto medio M del lado AB del cuadrado. c) Hacemos centro con el compás en el punto M y trazamos el arco de

circunferencia hasta tocar a la prolongación del lado AB en el punto E. La longitud del segmento BE es el lado menor, b, del rectángulo áureo.

Veamos la comprobación: Como ME es la abertura del compás, coincide con la distancia MC, que determinamos fácilmente mediante el teorema de Pitágoras:

aaMCMEaaaMC25

45

45

2222

22 ===→=+

=

En la figura vemos que

aBEaaaaMEBEBEaME2

152

1522

522

−=→

−=−=−=→+=

Es decir, bBEBEa

=→=+

=−

=−

= φ2

5115

2

215

1

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- Cuando lo que se conoce es el lado menor, b, sigue siendo válida la construcción gráfica anterior, ya que AEFD es también rectángulo áureo. La comprobación es inmediata, si despejamos ahora AE:

aAEbAEbbbBEABAE =→=

+=→

+=

−+=+= φ

251

251

215

- Si lo que se conoce es la suma, a+b, de ambos términos de la proporción áurea, también podemos determinar gráficamente ambas magnitudes.

a) Trazamos un segmento AB de longitud a+b y marcamos su punto medio, M.

b) Trazamos por B un segmento perpendicular, BC, de longitud AB/2. c) Trazamos el segmento AC. d) Con el compás hacemos centro en C y trazamos un arco que pasa por B.

Marcamos el punto de corte D de este arco con el segmento AC e) Hacemos centro en A y trazamos el arco que pasa por D hasta cortar a AB

en el punto E. El lado mayor a del rectángulo áureo es, precisamente, la longitud AE=AD. Comprobación: Como ha de ser φ==+ baaba //)( , comprobaremos que (a+b)/AD es el

número áureo φ . Del teorema de Pitágoras:

)(25)(

45

2)( 2

22222 baACbababaBCABAC +=→+=

+

++=+=

Por tanto:

=+

→+−

=+−+=−==AEbabababaDCACADAE )(

215)(

21)(

25

aAE =→=+

=−

= φ2

51

215

1

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- Triángulos áureos Asimismo, dos magnitudes en proporción áurea definen un triángulo isósceles en el que el lado repetido es la longitud mayor de la proporción, o bien un triángulo isósceles en el que el lado que se repite es la magnitud menor de la proporción. Se trata del llamado triángulo áureo o triángulo sublime. Ambos pueden ser determinados gráficamente calculando los tres ángulos en los vértices.

- Triangulo áureo mayor o triangulo sublime

Es todo triángulo isósceles en donde los lados desiguales están en proporción áurea, siendo el menor el lado no repetido. Los ángulos se determinan de inmediato:

º72)309017756.0arccos(21arccos

21

212/coscos ==

==→====

φφBA

ab

abBA

º36)(º180 =+−= BAC - Triangulo áureo menor o triangulo divino

Es todo triángulo isósceles en donde los lados desiguales están en proporción áurea, siendo el mayor el lado no repetido. Determinamos del mismo modo los ángulos:

º36)809015.0arccos(21arccos

21

212/coscos ==

==→==== φφ BA

ba

baBA

º108)(º180 =+−= BAC - Diagonales en el pentágono regular El hecho de que en el triángulo áureo al menos uno de los ángulos sea de 36º, y que en el pentágono regular sea de 108º el ángulo en cada uno de sus vértices, permite la obtención de un buen número de triángulos áureos cuando se trazan las diagonales en la figura pentagonal. En esquema:

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Se obtiene, como se observa, un nuevo pentágono regular, y por repetición fractal del proceso, infinitos pentágonos regulares desde un pentágono regular dado. Los triángulos son áureos, mayores y menores. La figura llamada pentalfa, o estrella de cinco puntas, utilizado en la antigüedad como símbolo por la escuela de los pitagóricos, se evidencia resaltada en la figura anterior. La proporción áurea en construcciones de la antiguedad De la infinidad de construcciones en donde aparece esta proporción hemos elegido unos pocos ejemplos muy conocidos, de los cuales podemos utilizar las medidas reconocidas que permitan la comprobación de la existencia de la proporción áurea. - En la gran pirámide de Guiza en Egipto La Gran Pirámide de Guiza o de Keops, es una estructura de base cuadrada que fue edificada en tiempos del Faraón Keops, de la cuarta dinastía, hace unos 4.600 años, situada en la meseta de Guiza, a pocos kilómetros de la zona metropolitana de El Cairo. Las dimensiones actualmente aceptadas son de 146,6 metros de altura y de 230,4 metros de lado de la base. La proporción áurea aparece cuando dividimos la altura d de la cara triangular por la mitad de lado l/2 de la base. Efectivamente: Del teorema de Pitágoras, se tiene que

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mhld 44,1866,347626,1462,115)2/( 2222 ==+=+=

Al dividir este valor de d por la mitad del lado resulta el número áureo:

618.12,11544,186

2/==

ld

Es obvio que podría tratarse de una pura coincidencia, es decir, de una proporción casual en el sentido de que la construcción de la pirámide pudo no haberse planificado con la idea de que existiera semejante proporción entre la altura de cada cara y mitad del lado de la base. Sin embargo existe un importante indicio de que pudo haber sido diseñada con la intención de que se obtuviera la proporción áurea. Es la afirmación del historiador griego Herodoto, que dice “…haber aprendido de los sacerdotes egipcios que la gran pirámide se construyó de forma que el área de cada cara triangular coincidiera con el área del cuadrado cuyo lado fuera la altura h de la pirámide…”. De esta afirmación se hacen eco diferentes estudiosos del tema, como el astrónomo británico John Herschel (1792-1871) en su artículo de 1860 “British modular Standard of lenght“, o el escritor Martin Gardner en su libro ”Fad and Fallacies in the name of Science”. Asimismo, el ingeniero de Telecomunicaciones Midthat J. Gazalé en su obra de 1999 “Gnomon: From Pharaohs to Fractals”, reconociendo todos la existencia de la afirmación de Herodoto.

Es fácil probar que si se verifica la afirmación de Herodoto de la igualdad del área de cada cara triangular con el cuadrado de la altura de la pirámide, entonces se verifica la proporción áurea antedicha:

012/2/

1

2222

2

.21

2

2

222

222

2

=−

−

→+

=

→

+=→

+=

=

ld

ld

ld

ldllddlhd

ldh

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llamando 2/ldx = , se tiene que 012 =−− xx , de donde

251+

=x , es decir,

φ=2/ld

.

Esto nos permite deducir que dividiendo la superficie lateral total por la superficie cuadrada de la base se obtiene también el número áureo:

φ===2/

22..4

2 ld

ld

l

ld

Asimismo, si dividimos la superficie total de la pirámide (las cuatro caras triangulares más el cuadrado de la base) por la superficie lateral (las cuatro caras triangulares) se obtiene el inverso del número áureo más una unidad:

φ112/1

21

22

2..4

2..4 2

+=+=+=+

=+

dl

dl

dld

ld

lld

También, dividiendo la superficie total por la superficie de la base, se obtiene el número aureo más una unidad:

112/

22..4

2

2

+=+=+

=+

φld

lld

l

lld

- En el Parthenon de Atenas El conocido templo griego dedicado a la diosa Athenea Parthenos fue construido alrededor de 430 a.c., por los arquitectos griegos Ictinos y Calícrates, actuando Fidias y su grupo de colaboradores como supervisores de las obras. Aunque se reconocen al templo unas medidas para la planta de asentamiento de las columnas de 69,5 m de largo por 30.88 m de ancho, no existe un acuerdo claro sobre la verdadera medida original de la altura, para que podamos establecer en la fachada la existencia de la proporción áurea.

Para que exista la proporción áurea AB/DC=1,618, habría de cumplirse que DC=AB/1,618=30.88/1.618=19,09 m.

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Y para que también sea DC/AC=1.618, ha de cumplirse que AC=DC/1.618=19.09/1.618=11.80 m, siendo DA=19.09-11.80=7.29 m, con lo que también sería AC/DA=19.09/7.29=1.618. Sin embargo, los estudios realizados por el matemático George Markowsky, de la universidad de Maine, y plasmados en su artículo de 1992 “Misconceptions about the Golden Ratio” ponen en duda que las medidas anteriormente expresadas sean las que verdaderamente se utilizaron en el diseño y construcción del templo. Asimismo, en “Architecture: From Prehistory to post-Modernism”, obra de Marvin Trachtenberg y de Isabelle Hyman, de 1985, se otorga al Parthenon una altura DC de 45 pies y 1 pulgadas (13.74 m), y un ancho de 101 pies y 3.75 pulgadas (30.88 m) con lo que resultaría que AB/DC=30.88/13.74=2.25, claramente distinto del número áureo. También Stuart Rositer, en su libro “Greece” (1977) afirma que, tomando incluso la altura del pedestal de asentamiento de las columnas, la altura DC total daría 59 pies (unos 17.98 m) con lo que la proporción ahora sería AB/DC=30.88/17.98 =1.717, que tampoco coincide plenamente con el número áureo. La proporción áurea en construcciones actuales - En la Torre CN de Toronto

La Torre CN en Toronto (Canada’s National Tower) es una estructura independiente, de las más altas del mundo. Construida entre los años 1973 y 1976 bajo la dirección de los arquitectos John Andrews, Webb Zerafa, Menkes Housden y ER Badwin Archit, tiene una altitud reconocida de 553,33 metros de altura. La plataforma de observación principal co-mienza a los 342 metros del suelo (piso de vidrio), conteniendo cuatro metros

más alto el centro recreativo Horizonts Café y la zona de observación, asi como un restaurante (Restaurant 60) en la misma plataforma, aunque un piso más arriba, ya a 351 metros del suelo.

Tiene además una segunda plataforma, el observatorio, a 446,5 metros del suelo, uno de los elementos de observación públicos más altos del mundo. La CN Tower es un ejemplo claro de diseño usando la proporción áurea para la colocación de la plataforma principal:

353,33/342=342/211,33=1,618 Hoy día esta edificación está considerada por la Asociación Americana de Ingenieros Civiles como una de las siete maravillas del mundo moderno.

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- En el edificio de la Secretaria General de las Naciones Unidas, en New York La torre de la Secretaría general de la O.N.U. en Nueva York es la edificación predominante de un complejo constituido además por otros tres edificios (Asamblea General, Biblioteca Dag Hammarskjold y Centro de Conferencia y Visitantes). Fue construida en 1949-1950 bajo la dirección del arquitecto Harrison Wallace Kirkman y un equipo de arquitectos asociados entre los que se encontraban los nombres de Le Corbusier y Oscar Niemeyer.

(Imagen de Steve Boland.

Skyscraperpage.com)

La torre, de 39 pisos y con una altura total de 153.90 metros, presenta dos fachadas principales, Este y Oeste, con un ancho de 83 m, construidas enteramente con aluminio y cristal y mostrándose exteriormente en cada fachada tres bandas horzontales que dividen la superficie total en cuatro zonas rectángulares desiguales, cuyos alturas son de 53.9 m para la superior, de 40 m para las dos siguientes y de 20 m para la zona baja. Prescindiendo de la banda inferior de 20 m de alto, las tres bandas restantes conforman un rectángulo de 133,9 m de alto por 83 m de ancho, que tiene, en definitiva la proporción áurea, ya que

61803.183

9.133=

Si toda la fachada, considerando por tanto las cuatro bandas horizontales, se divide en tres rectáangulos de 51.3 m de alto cada uno se obtiene también para cada uno de ellos la proporción áurea:

61803.13.51

83=

En definitiva, la fachada principal del edificio puede dividirse en tres partes iguales, en donde la superior coincide prácticamente con la primera banda, definiendo cada una de estas tres partes un rectángulo áureo.

Las tres bandas superiores definen un rectángulo áureo

El total de la fachada define tres rectángulos áureos

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El modulor de Le Corbusier Charles Eduard Jeanneret-Gris (1920-1987), más conocido como Le Corbusier, fue uno de los más influyentes arquitectos del siglo XX. Teórico de la arquitectura, desarrolló una gama de proporciones basadas en la razón áurea, el cuadrado, y el ángulo recto, que denominó Modulor y que utilizó con bastante éxito en prácticamente todas sus obras arquitectónicas a partir de 1950. La idea del Modulor: De la misma manera que existen sistemas de medida tales como ‐ pulgada, pie, milla (sistema anglosajón) ‐ centímetro, metro, kilometro (sistema métrico decimal) con el modulor Le Corbusier pretendió crear un sistema de medición aplicable a la arquitectura y basado en la proporción áurea y la sucesión de Fibonacci. Se trataba de usar la medida estándar de un hombre (de una altura de 1.83 metros, es decir, 6 pies aproximadamente en el sistema anglosajón), que con la mano extendida llegaría a una medida de 2.26 metros. Para poder medir en un determinado sistema necesitamos obviamente una medida patrón con la cual pueda compararse la magnitud que se intenta medir. Si en el sistema métrico decimal la medida patrón es el metro, y en el sistema anglosajón es el pie, en el modulor la medida patrón es la medida de un hombre estándar. Y sus divisores se obtendrán mediante la división por el número áureo. Así, si dividimos la medida patrón por 61803.1=φ encontramos dos números relacionados con la medida estándar del hombre mediante la proporción áurea:

mmm 70.0,13.1,83.1

ya que se verifica la definición de la proporción áurea:

13.113.170.0

70.013.1 +

=

análogamente, y reiterando el proceso, podemos dividir por 61803.1=φ también el

número 70.0 , obteniendo 43.0 y 27.0 , ya que también se verifica que

43.043.027.0

27.043.0 +

=

con lo cual tendremos ya los números

27.0 , 43.0 , 70.0 , 13.1 , 83.1

En definitiva, por reiteración del proceso obtendríamos la sucesión de Fibonacci que Le Corbusier denominó La serie Roja:

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,...79.4,96.2,83.1,13.1,70.0,43.0,27.0,...,0 Análogamente, partiendo de la medida del hombre con la mano extendida, m26.2 , se genera la sucesión de Fibonacci que Le Corbusier llamaba La serie azul:

...,92.5,66.3,26.2,40.1,86.0,54.0,...,0

se observa que, si se confrontan ambas sucesiones, los términos n-simos de la serie azul se obtienen duplicando los términos (n-2)-ésimos de la serie roja:

Serie Roja Serie Azul

... __5.92 4.79__

__3.66 2.96__

__2.26 1.83__

__1.40 1.13__

__0.86 0.70__

__0.54 0.43__

__0.33 0.27__

... ... De ambas series se obtienen todas las medidas del modulor. Las posibilidades combinatorias de los números 1.83 y 2.26 usando la razón áurea son tan grandes que Le Corbusier mantuvo siempre que eran suficientes para obtener cualquier medida sin necesidad de memorizar ninguna tabulación.

Sin embargo, aunque la obra arquitectónica de Le Corbusier ha tenido y tiene gran influencia en la actual arquitectura, curiosamente el estudio de la modulación y en concreto del sistema del Modulor, ha tenido muy poca repercusión en los desarrollos arquitectónicos actuales.

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Mencionaremos brevemente solo uno de los proyectos clave en los que la idea del Modulor está muy patente. Se trata de la Unidad Habitacional de Marsella, proyecto de referencia básica en la actual arquitectura, que comenzó a construirse en

1951. En realidad es una de las varias unidades habitacionales diseñadas por este arquitecto. La Unidad Habitacional de Marsella es una edificación proyectada para 1600 habitantes con unas medidas de 140 m de largo, por 24 m de ancho y 54 m de altura, fue construida con una visión innovadora de la integración de bienes y servicios autónomos en el espacio de habitabilidad, que garantizaba una autonomía de funcionamiento con respecto al exterior.

Conclusión En definitiva, vemos como la proporción áurea, que pudo representar en el pasado la búsqueda de un mecanismo infalible para la construcción del arte correcto, ha tenido un papel indiscutible en la historia de la matemática aplicada al quehacer arquitectónico, colocandose por encima de las modas y los estilos que surgen en la arquitectura y en el arte. Desde luego, se encuentra prácticamente en todas las épocas de la historia del hombre, desde el monomento más antiguo que conocemos, la Gran Pirámide de Guiza, hasta nuestros días. Bibliografía Curtis, William; Le Corbusier, Ideas y formas, Ediciones Blume, 1987, Madrid. Dibujos a escala del edificio de la secretaría de las Naciones Unidas http://skyscraperpage.com/diagrams/?buildingID=805 Gardner, Martin; Fad and Fallacies in the name of Science, Dover Publications, 1957.

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Gazalé, Midhat J.; Gnomon: From the Pharaohs to Fractals, 199, Princeton University Press. Ghyka, Matila; El nu mero de oro, Poseidon, 1968, Barcelona. Ghyka, Matila; Estetica de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidon. Barcelona 1977. Huntley, H.E.; The divine proportion, Dover Publications, Inc., 1970, Nueva York. Livio, Mario; La proporción áurea, Editorial Ariel, 2011, Madrid. Markowsky G., Misconceptions about the golden ratio. College Math. J. 23 2-19 (1992). Rossiter, Stuart; Greece (Blue Guides), Ed. Ernest Benn Ltd, London, 1977. Tractenberg, M.,Hyman, I.; Architecture, from Prehistory to Postmodernity, Edit H.N. Abrams, 2002, New York. William Matthew Flinders Petrie; The Pyramids and Temples of Gizeh http://www.ronaldbirdsall.com/gizeh/petrie/index.htm