La matemática y el trabajo...

164

Bloque 4164

La matemática y el trabajo colaborativo

Al enfrentarnos a un problema matemático, el diálogo y el debate son muy importantes, debido a que la diversidad de puntos de vista, opiniones y estrategias de solución enriquecen el trabajo para obtener mejores resultados. En este sentido, la clase de Matemáticas es un espacio para negociar, reflexionar y debatir con la finalidad de construir de manera conjunta nuevos conocimientos. En este bloque conocerás acerca de las sucesiones, donde hay que identificar regularidades; las relaciones de variables con temas de física, economía y biología; y el estudio de gráficas de proporcionalidad directa. En lo que se refiere a geometría, estudiarás los ángulos del círculo. Por último se explica la media ponderada, con la que interpretarás y resolverás diversas situaciones en las que la media aritmética resulta insuficiente.

S–RET_M2_B4_164–173_PDF_alta_maestro 164 3/13/13 10:20 AM

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Aprendizajes esperados

1. Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

2. Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

3. Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

4. Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.


166 Bloque 4 Lección 32

Lección 32 Sucesiones de números enteros

Entrenamiento

Agustín se prepara para competir en una olimpiada regional de ciclismo. Su plan de entrenamiento contempla aumentar a sus recorridos 0.5 km cada día.

1. Responde los siguientes planteamientos.

a) Un día recorrió 5 km. ¿Cuántos debe recorrer el siguiente día?

b) La tabla muestra el plan de entrenamiento de Agustín. Complétala.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

km 2.5 3

c) ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 15? ¿Y en el día 23?

d) Subraya la expresión que determina el número de kilómetros que deberá recorrer Agustín para un determinado día n. Explica en tu cuaderno por qué los primeros términos de la sucesión generada por la expresión coinciden con los valores de los recorridos de Agustín.

0.5n 2.5n + 0.5 0.5n + 2 0.5n + 2.5

e) Explica, en tu cuaderno, por qué la expresión que elegiste es la correcta.

f) En tu cuaderno escribe los primeros 20 términos que genera la expresión que elegiste en el inciso d) y explica qué relación tiene con los de la tabla del inciso b). Comenta con tus compañeros de grupo tus observaciones.

g) Otro competidor inicia su plan de entrenamiento con 10 km y cada día subsecuente aumentará 0.5 km. ¿Qué modificaciones necesitas hacer en la expresión anterior para que puedas obtener el

número de kilómetros que deberá recorrer este deportista? Anota la nueva expresión.

h) Otro ciclista se prepara para la misma competencia. Su plan de entrenamiento está determinado por la expresión 7.5 + n. Explica en tu cuaderno en qué consiste su plan.

i) Completa la tabla a partir de la expresión del inciso h). Explica en tu cuaderno por qué los primeros términos de la sucesión generada por la expresión coinciden con los valores de los recorridos de Agustín.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

km

j) Responde en tu cuaderno. ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 39? ¿Recorrer un total de 88 km en un día forma parte de su plan de entrenamiento? Explica.

k) Un cuarto deportista efectuó el siguiente plan de entrenamiento: 2, 3.5, 5, 6.5, 8… ¿Qué expresión

determina los kilómetros que deberá recorrer el deportista para un determinado día n?

l) Comparte tu respuesta anterior con tus compañeros. Observen diferencias y comprueben que la expresión sea correcta. Comenten si las expresiones tienen sentido para cualquier valor de n en estos ejemplos de entrenamiento de un ciclista.

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: patrones y ecuaciones

Contenido

Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros

Oriéntate

Las reglas algebraicas son fórmulas que permiten obtener valores para todos los casos.

5.5 km

9.5 km 13.5 km

0.5n + 9.5

R. P.

R. T. La tabla es igual a la del inciso b), pero con los

siguientes diez términos de la sucesión 0.5n + 2.

R. T. Que en su

primer día de entrenamiento recorre 8.5 km y cada día subsecuente aumenta 1 km.

46.5 km. R. T. No, la cantidad de kilómetros nunca es entera (8.5, 9.5, 10.5, …).

0.5 + 1.5n

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5


167Lección 32 Bloque 4

Lección 32

Un paso adelante

2. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y contesten.

En un laboratorio se lleva a cabo un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en diferentes temperaturas. Se coloca una muestra de la sustancia y se introduce en un enfriador que es controlado automáticamente. El sistema disminuye la temperatura 2 °C por minuto.

a) El experimento inicia con una temperatura ambiente de 8 °C. ¿Qué temperatura habrá después de 4 minutos? Escriban en su cuaderno el procedimiento que usaron.

b) Completen la tabla. Expliquen en su cuaderno por qué los valores coinciden con los primeros términos de una sucesión infinita.

Tiempo (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temperatura (ºC)

c) Denominen n a los minutos transcurridos y escriban una expresión algebraica en términos

de n que permita determinar la temperatura despues de n minutos.

d) Una forma de verificar si la expresión algebraica anterior es correcta es sustituir el valor de n por cualquier tiempo. Los resultados deben coincidir con los datos de la tabla.

e) Si el experimento inicia con una temperatura de 4 ºC, ¿qué modificaciones deberán hacer en la expresión algebraica anterior para que se determine la temperatura en cualquier minuto? Escriban

la nueva expresión.

f) Completen la tabla usando la nueva expresión algebraica.

Tiempo (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temperatura (ºC)

g) Compartan con sus compañeros de grupo las dos expresiones algebraicas que encontraron. ¿Qué regularidad o característica observan en cada sucesión? Comenten sus ideas y anoten una conclusión.

3. Fíjate en la siguiente sucesión numérica y responde.–1, –8, –15, –22, –29, –36, –43…

a) Observa que la diferencia entre un término y el siguiente es 7; escribe los siguientes seis términos

de una sucesión con la regla –7n = , , , , , ,

b) Compara término a término (uno a uno) la sucesión inicial y la sucesión que acabas de escribir. ¿Qué operación aritmética debes efectuar en cada término para que la segunda sucesión sea igual

a la primera?

c) Escribe la regla general de la primera sucesión a partir de esta información.

d) Con la ayuda de tu profesor validen las respuestas anteriores y escriban una conclusión.

En una sucesión de números, los puntos al final de la lista indican que la sucesión continúa.

Los elementos de una sucesión de números se llaman términos.

Oriéntate

–7

2°C; R. T. Como disminuye dos grados

por minuto, en el minuto 1 estaría a 8°C, en el 2 a 6°C, en el 3 a 4°C y en el minuto 4 a 2°C.

8 – 2n

4 – 2n

Sumar 6

–7n + 6

–14 –21 –28 –35 –42 –49

6 4 2 0 –2 –4 –6 –8 –10 –12

2 0 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16


168

Profundiza

4. Relaciona cada sucesión de la columna de la izquierda con su correspondiente regla o expresión algebraica de la columna de la derecha.

a) –10, –20, –30, –40, –50, –60... 9n

b) 3, 7, 11, 15, 19, 23... –3n

c) 1, 6, 11, 16... –10n

d) 6, 7, 8, 9, 10, 11… 4n – 1

e) 9, 18, 27, 36, 45, 54... 5n – 4

f) –3, –6, –9, –12, –15... n + 5

5. Resuelve los planteamientos.

a) Indica el término 10 de la sucesión –4, –9, –14, –19…

b) Escribe la regla de la sucesión 7, 12, 17, 22, 27…

c) Anota la regla de la sucesión –3, –10, –17, –24, –31…

d) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Escriban una conclusión sobre el procedimiento que usaron en cada caso: cuando se tienen los primeros términos de la sucesión y cuando se conoce la regla o expresión algebraica.

Lee de forma grupal. Propongan un ejemplo.Las sucesiones numéricas con progresión aritmética son aquellas donde la diferencia entre cada término es constante y, por lo tanto, cada nuevo término de la sucesión se obtiene sumando o restando un mismo número.La expresión algebraica de una sucesión describe el comportamiento de la misma, permite determinar el valor de cualquier término de la sucesión e indica la relación entre dos términos consecutivos.Por ejemplo, en la sucesión de números

3, 5, 7, 9, 11, 13…,la expresión algebraica es 2n + 1. En este caso 2n indica que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre 2.En los ejemplos del recorrido de los ciclistas y las temperaturas del enfriador, los valores que calcularon coinciden con los primeros n, términos de la regla general que se obtuvo en cada caso.

6. Escribe con un compañero los términos de la sucesión. Analicen la tabla y respondan.

Término de la sucesión –8 –12 –16 –20 –24 …

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

a) Escriban la regla general que genera la sucesión.

b) Escriban la regularidad en la sucesión.

Bloque 4 Lección 32

Lección 32 Sucesiones de números enteros

–49

5n + 2

–7n + 4

Disminuye de 4 en 4

–4n – 4

–28 –32 –36 –40 –44-4n

-4


169

c) ¿Cómo pueden obtener el término de la sucesión que ocupa la posición 20 a partir de la regla

general?

d) Prueben que, con la expresión anterior, obtengan cualquier término a partir de la posición n.

7. Analiza con un compañero la regla general de la última fila de la tabla de la derecha. Respondan.

a) ¿La regla –5(n – 1) – 10 genera los mismos términos de la sucesión de la tabla? Expliquen.

b) ¿Cómo calcularían el término de la sucesión que se localiza en la posición 20?

c) Comparen los procedimientos que utilizaron con los de otros compañeros.

Lee en grupo la siguiente información. Propongan un ejemplo en sus cuadernos. La expresión general para determinar cualquier término de una progresión aritmética esan = a1 + d (n – 1)donde an = término de la sucesióna1 = primer término de la sucesión d = diferencia entre dos términos de la sucesiónn = número del término de la sucesión que se busca

8. Completa la tabla.

a b an + b Diez primeros términos de la sucesión

2n – 30

–2n – 3

8, 6, 4, 2, 0, –2, –4, –6, –8, –10…

3, –1, –5, –9, –13, –17, , , ,

9. Concluye con el grupo sobre las diferencias entre las sucesiones de la forma kn, donde k es una constante negativa, y las sucesiones de la forma –an – b, donde a y b son cons-tantes negativas.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-169a, donde se presentan actividades interactivas sobre sucesiones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-169b. Completa las sucesiones y encuentra la expresión alge-braica asociada con cada una. Comparte tus respuestas con un compañero.

TIC

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 32 en la bitácora de la página 194.

Lección 32 Bloque 4

Lección 32

¿Cuál es la regla de la sucesión que se observa?

70

20

10

...

60

30

...

...

50

40

...

...

Término de la sucesión Posición

–10 1

–15 2

–20 3

–25 4

–30 5

…

–5n – 5 n

–10n + 80

Sustituyendo n por 20 en la regla general de la sucesión.

Sí. Si sustituimos, en la regla que genera la sucesión, n por cada posición suce-

siva, obtenemos los términos de la sucesión.

Sustituyendo n

por 20 en la regla que genera la sucesión.

2 –30 –28, –26, –24, –22, –20, –18, –16, –14, –12

–2 –3 –5, –7, –9, –11, –13, –15, –17, –19, –21, –23

–2 10 –2n + 10

–4 7 –4n + 7 –21 –25 –29 –33



Lección 33 Planteamiento y resolución de ecuaciones lineales

Las piezas de colores

1. Responde con un compañero los problemas.

a) Miguel y Mariano están modelando ecuaciones con piezas de colores. Los valores de las piezas se

indican a la izquierda. ¿Qué ecuación representa la figura 4?

Figura 4 Figura 5

b) Para mantener la igualdad se agrega una pieza amarilla a ambos lados de la igualdad (figura 5).

¿Qué ecuación representa la figura 5?

Figura 6 Figura 7

c) Expliquen por qué en la figura 6 ya no aparecen las piezas amarillas.

d) Se agregó una pieza azul marino a cada miembro de la igualdad (figura 7). Dibujen en sus cuadernos lo que se obtendrá en la siguiente figura y escriban la expresión resultante.

e) En su dibujo debe estar representado el valor de x. ¿Cuál es?

f) Comprueben en la ecuación inicial que con este valor la igualdad se cumpla.

g) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten lo siguiente: en las ecuaciones es fundamental mantener la igualdad entre las dos expresiones. Escriban una conclusión en el pizarrón sobre cómo se mantuvo la igualdad agregando valores en ambos lados de la ecuación.


Contenido

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

Oriéntate

Una igualdad relaciona dos expresiones; cada expresión contiene términos. Cada lado de una igualdad es un miembro.

= 1

= –1

= x

= –x

es igual a es igual a

es igual a es igual a

–2x + 1 = –x + 4

–2x = –x + 3

–3

–x = 3

3 + 3 + 1 = 3 + 4

R. T. Porque al colocar una pieza amarilla en el lado izquierdo de la ecuación,

se elimina la única roja que existe, y las cuatro piezas rojas del lado derecho

disminuyen a tres ya que una amarilla anula a otra roja.



Lección 33

Lee en grupo. Propongan más ejemplos.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.Resolver una ecuación consiste en determinar el valor o los valores de la incógnita que permiten que se cumpla la igualdad.

Por ejemplo: la ecuación 2x + 3 = x + 5 tiene como solución x = 2, pues al sustituir el valor se cumple la igualdad.

En la expresión 2x + 3, si x = 2 se obtiene 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7. Por otro lado, en la expresión x + 5, si x = 2, entonces 2 + 5 = 7. Así, con el valor x = 2 la igualdad se cumple.

2. Con base en la información anterior, responde las preguntas.

a) Manuel y Miriam juegan con una balanza usando piezas de madera. El valor de cada pieza se muestra a la derecha. Manuel colocó las piezas como se muestra en la figura 1. Escribe una ecuación que

refleja la igualdad de la balanza.

Figura 1 Figura 2

b) Miriam agregó 2x a un lado de la balanza (figura 2). ¿Cuánto debe agregar Manuel para que la

balanza esté en equilibrio?

c) Escribe la ecuación que refleje la igualdad de la balanza.

d) Analiza en grupo el concepto de equilibrio en una ecuación.

3. Responde en tu cuaderno las preguntas.

a) La igualdad 2x + 1 = 3 nos dice que si un número (x) se multiplica por 2 y se suma 1 al resultado, se obtiene el número 3. ¿De qué número se trata?

b) Resolver la ecuación 6x + 5 = 29 significa encontrar un valor de x para que se cumpla la igualdad. ¿Qué número hace que se cumpla?

c) De acuerdo con lo obtenido en el inciso anterior, ¿cuántos valores para x permiten que al sustituir en la expresión se cumpla la igualdad?

d) Un compañero de clase propuso que el valor que debe tomar x es 5. ¿Cómo comprobarías que ese valor no es el adecuado?

5x

3x

2x

x

2x + 2x + x = 5x

2x

1

4

Un valor.

Porque al sustituir x por 5 no se cumple la igualdad:

6(5) + 5 no es igual a 29.

3(2x) + x = 5x + 2x


172

Un paso adelante

4. Responde con un compañero las preguntas.

Mario y Mauricio leerán el mismo libro de cuentos. Mario lee seis páginas por día; Mauricio empezó a partir de la página 12 y lee tres páginas por día.

a) ¿Cuántas páginas habrá leído Mario en diez días? ¿Y en quince?

b) Describan en sus cuadernos el procedimiento que siguieron para responder.

c) Elijan la expresión algebraica que indique hasta qué página habrá leído Mario después de x días. 6x 6 + x 6x + x 6 – x

d) ¿Hasta qué página habrá leído Mauricio después de dos días? ¿Y después

de diez días?

e) Escriban una expresión algebraica que les permita determinar hasta qué página ha leído Mauricio

después de x días.

f) ¿En qué día Mauricio y Mario habrán llegado a la misma página? Igualen la expresión algebraica que eligieron para el caso de Mario con la que determinaron para el de Mauricio y anótenla.

g) Existe un número para x tal que se cumple la igualdad. ¿Cuál es? Una opción es probar diferentes números. Sustituyan el valor elegido en x, simplifiquen la expresión y determinen si se cumple la

igualdad. Prueben con 1, 2, etc. ¿Qué número satisface la igualdad?

h) Compartan su resultado con sus compañeros. Comprueben que el número sea correcto. Escriban en sus cuadernos una conclusión sobre su estrategia para encontrarlo.

Profundiza

5. Resuelve la siguiente ecuación. 3x + 5x – 2 = – 4x + 4

a) Completa la tabla. Efectúa las operaciones necesarias para dejar de un lado de la igualdad los términos que contengan la incógnita y del otro los valores numéricos.

Operaciones Descripción de operaciones (aplicadas a ambos miembros) Resultado

3x + 5x – 2 + 2 = –4x + 4 + 2 sumar 2 3x + 5x = –4x + 6

b) El valor de la incógnita es


Lección 33 Planteamiento y resolución de ecuaciones lineales

Operaciones Descripción de operaciones (aplicadas a ambos miembros) Resultado

3x + 5x – 2 + 2 = –4x + 4 + 2 sumar 2 3x + 5x = –4x + 6

3x + 5x + 4x = –4x + 4x + 6 Sumar 4x 12x = 6

12x ___

12 = 6 __

12 Dividir entre 12 x = 1 __

2

60 90

R. P.

18

42

12 + 3x

12 + 3x = 6x

4

1 _

2


173

Resolver una ecuación significa determinar el valor de la incógnita. Un procedimiento es separar la incóg-nita mediante operaciones en ambos lados de la igualdad, cuidando que se mantenga la igualdad.

Para que se preserve la igualdad se aplican a ambos lados de la ecuación las mismas operaciones.

1. Reducir términos semejantes en ambos miembros de la igualdad.2. Aplicar las operaciones necesarias para dejar de un lado la incógnita y del otro los demás términos.

A este procedimiento se le conoce como despeje.

6. Resuelve con un compañero las ecuaciones. Determinen el valor de x con el que la igualdad se cumpla. Escriban las etapas paso a paso en sus cuadernos.

a) 3x + 1 = 10x – 2 b) 5x – 3 = 3x + 1 c) 5x – 5 = 20 – 2x

d) 4x – 2 = 2x + 6 e) 3x + 1 = 28 + 5x f) 10x – 10 = 2x – 6

7. Determinen si las expresiones son una ecuación y expliquen en sus cuadernos por qué.

a) 2x + 1 = 3 b) 3(x+ 3) c) 5x = 1

8. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones.

a) 9x + 4x – 2 = 4x + 3x + 12 b) 3.2x + 4.5x + 3 – 2 = –2.2x + 5x – 7

c) 6(6x –1) + 4x = 5x + 50 d) 4x + 2(10 – x) = 50

9. Resuelve con un compañero la siguiente ecuación.

a) La suma de dos números consecutivos es igual a 193 menos el primer número.

i) Si al primero le llamamos x, ¿cómo escribimos su “consecutivo”?

ii) Escriban la ecuación correspondiente.

iii) ¿Cuál es el valor de x?

10. Debate en grupo el concepto de igualdad: cómo preservar la igualdad, la equi-valencia entre ambos miembros y el despeje manteniendo la igualdad.

Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-173a. Explica los procedimientos que conozcas para resolver las ecuaciones de primer grado. Comenta con un compañero tu respuesta.

Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-173b. Resuelve los ejercicios de nivel 4. Si tienes errores, revisa de nuevo las actividades 1 y 5 de esta lección.

TIC

Para la bi†ácora



Lección 33

Un terreno rectangular tiene un perímetro de 80 m. Determina las dimensiones del terreno sabiendo que un lado mide 20 m más que el otro.

x + x + 1 = 193 – x

x = 64

30 m de largo por 10 m de ancho

x = 3

__

7

Sí, es una igualdad

algebraica.

x = 2

No, no es una igual-

dad algebraica.

x = 25

___

7

Sí, es una igualdad

algebraica.

x = 14

__

6 x =

–8

___

4.9

x = 56

___

35 x = 15

x = 4 x = –27

___

2 x =

1

__

2

x + 1



Lección 34 Resuelve problemas con ecuaciones

Un acertijo matemático

El doble de un número más 6 es igual a ese número más 10. ¿Sabes qué número es?

1. Responde con un compañero las preguntas.

a) ¿Cómo representarían el valor desconocido?

b) Escriban una expresión algebraica para el doble de un número.

c) Anoten una expresión algebraica para el enunciado “el doble de un número más 6”.

d) Escriban una para “un número más 10”.

e) Igualen la expresión del inciso b) con la del c) y resuelvan la ecuación correspondiente.

¿Cuánto vale x?

f) Para comprobar si el valor encontrado es correcto, se sustituye este en la ecuación y se revisa que se cumpla la igualdad. Comprueben que el resultado sea correcto.

Cuando se resuelven problemas que conducen a ecuaciones, frecuentemente se requiere pasar del lenguaje coloquial a expresiones algebraicas (lenguaje algebraico). Existen palabras clave si se trata de suma, resta, multiplicación o división.

Suma Resta Multiplicación División

más aumentar

incrementaradición

mayor quemás grande que

ganar

menosdiferenciadisminuir

perdermenor que

productoveces

multiplicadodoble, triple, etc.

cocientemitad, tercera, etc.

razóndivido por

2. Escribe la expresión algebraica que corresponda. Si es necesario usa paréntesis. Observa el ejemplo.

a) El triple de un número más 2.

b) El triple de un número disminuido en 5.

c) La suma de tres números consecutivos.

d) La mitad de un número menos el doble de otro.

e) El triple de un número, menos su mitad aumentada en 4.

f) La tercera parte de un número.

g) Un número agregado a 5 es 12.

h) La suma de los cuadrados de dos números.


Contenido

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

3x + 2

R. P.

R. T. 2z

R. T. z + 10

R. T.

2z + 6 = z + 10; z = 4

3x – 5

n + n + 1 + n + 2

x

__

2 – 2y

3x – ( x

__

2 + 4)

x

__

3

x + 5 = 12

x2 + y2

S–RET_M2_B4_174–181_PDF_alta_maestro 174 3/11/13 1:12 PM


Lección 34

Un paso adelante

3. Trabaja con un compañero. Repártanse los siguientes problemas. Planteen la ecuación co-rrespondiente y respondan lo que se pide. Al final comparen sus procedimientos y validen sus respuestas con ayuda del profesor.

a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 27 menos el número más pequeño. ¿Qué

números son?

b) Felipe repartirá $180.00 entre sus tres hijos: a Juan le tocarán $10.00 más que a Ramiro, y Luis

recibirá lo de Juan y Ramiro juntos. ¿Cuánto le tocará a cada uno?

c) En una granja hay tres veces más gallinas que gallos, y los pollitos son el doble que las gallinas y los gallos juntos. Si hay 180 animales, ¿cuántas gallinas, gallos y pollitos hay?

d) La edad de Alberto es el doble de la de Julián. Hace diez años, la edad de Alberto era el triple de la de Julián.

i) Determina las expresiones algebraicas que indican las edades de Alberto y Julián.

ii) Escribe una expresión algebraica para indicar “la edad de Alberto hace 10 años”.

iii) Escribe una expresión algebraica para indicar el triple de la edad de Julián hace 10 años.

iv) Construye una ecuación igualando los incisos ii) y iii). Determina las edades actuales de Alberto

y Julián.

e) Un autobús recorre una autopista a 100 km/h. Otro se dirige al mismo destino pero lleva tres horas de ventaja, aunque viaja a 60 km/h. ¿En qué tiempo ambos estarán en el mismo punto?

4. Resuelve las ecuaciones. Analiza en grupo las diferencias y expliquen por qué los resultados son diferentes. No olviden considerar el orden de las operaciones.

a) x + 1 · 3 = 4x + 2 b) (x + 1) · 3 = 4(x + 2)

5. Resuelve en tu cuaderno. Compara las respuestas con tus compañeros de grupo.

a) x + 3(x – 3) = 3x + 2 + 2x b) 12 + 2x + 2 – (x – 3) = 10x – (2x + 7x + 1)

c) (x + 1) – (x – 1) = [(x + 1) + 4)] – (2x + 2) d) (2 + x) – 3x – 2 – (10x + 1) = 3x + 3

6, 7 y 8

A Juan, 50; a Ramiro,

40; y a Luis, 90.

R. T. Alberto: 2x y Julián: x

2x – 10

3x – 30

2x – 10 = 3x – 30; Julián 20 años y Alberto 40 años.

4.5 horas.

R. T. Las soluciones son

diferentes porque, al considerar los paréntesis, las operaciones son distintas y por tanto las ecuaciones también lo son.

1

__

3

–11

1

–5

No hay solución.

–4

__

15

45 gallinas, 15 gallos y 120 pollitos.


176

6. Resuelve el siguiente acertijo matemático.

Una cuarta parte de un número más su tercera parte es igual al doble de ese número menos 17.

a) Escribe la expresión que representa la situación anterior.

b) Ahora es posible reducir términos semejantes y simplificar la expresión, dejando del lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen x, y del derecho, los valores numéricos. Finalmente se

resuelven las operaciones para obtener la solución. ¿Cuál es el valor de x?

7. Completa las tablas que muestran un proceso para resolver la ecuación.

a) 1 __ 4 x + 1 __ 3 x – x = x + 1 __

4 x + 32

Operaciones Descripción de operaciones (efectuadas a ambos miembros) Resultado

1 __ 4 x + 1 __

3 x – x = x + 1 __

4 x + 32 restar x

restar 1 __ 4 x

simplificar términos semejantes

dividir entre – 5 __ 3

b) x __ 6 + 10 = 1 __ 4 –2x


x __ 6 + 10 = 1 __

4 –2x sumar 2x

restar 10


dividir entre 13 __ 6

c) 1 __ 2 x + 2 = 1 __

6 x + 5


1 __ 2 x + 2 = 1 __

6 x + 5 restar 2

restar 1 __ 6 x


Oriéntate

La ecuación 1 __ 2 x = 4 se puede

resolver multiplicando por dos en ambos lados de la igualdad: 2 ( 1 __

2 x) = 2(4).

Entonces x = 8.


Lección 34 Resuelve problemas con ecuaciones

x

__

4 +

x

__

3 = 2x – 17

12

x

__

3 – 2x = 32

x

__

3 – 2x = 32

–5x

___

3 = 32

–5x

___

3 = 32 x =

–96

___

5

x __

6 + 2x = 1 __

4 – 10

x

__

6 + 2x =

1

__

4 – 10

13x

___

6 =

–39

___

4

13

__

6 x =

–39

___

4 x =

–117

___

26

x

__

2 –

x

__

6 = 5 – 2

x

__

2 –

x

__

6 = 5 – 2 s

x

__

3 = 3

x

__

3 = 3 multiplicar por 3 x = 9


177

Profundiza

8. Trabaja con un compañero. Respondan los problemas en su cuaderno.

a) Hace seis años, la edad de Pablo era la mitad de la que tendrá dentro de 20 años.

i) Escriban una ecuación que iguale la edad de Pablo hace seis años y la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años, y resuélvanla. ¿Cuál es la edad actual de Pablo?

b) Hugo tiene seis años más que Gabriel. Hace seis años la edad de Hugo era 5 __ 2 de la edad de Gabriel.

¿Cuáles son las edades de Hugo y Gabriel?

i) Escriban una ecuación que iguale la edad de Hugo hace seis años con los 5 __ 2 de la edad de Gabriel

hace seis años. ¿Cuáles son las edades de Hugo y Gabriel?

c) Con la ayuda del profesor validen las respuestas de los incisos a) y b). Resuelvan sus dudas y dificultades.

d) Planteen un problema semejante a los que acaban de resolver en los incisos a) y b) y resuélvanlo.

9. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y escriban una justificación.

a) Una de las condiciones al resolver una ecuación es mantener la igualdad en todo momento. ¿Se puede escribir la ecuación 6x + 2 = 3x – 2x +1 como 6x – 3x = –2 – 2x +1? Argumenten su respuesta y propongan una forma de validarla.

10. Las ecuaciones se utilizan en muchos contextos de la vida cotidiana; por ejemplo: en el cálculo de dimensiones de superficies. Resuelve los planteamientos.

a) Determina las dimensiones de un terreno de forma rectangular, donde el largo es dos veces

el ancho menos 3 m, y el perímetro es de 36 m.

b) Reúnete con un compañero. Comparen sus respuestas y analicen el procedimiento de solución.

11. Efectúa un debate grupal coordinado por el profesor. Analicen el concepto de igualdad en una ecuación y su proceso se solución. Escriban una conclusión al respecto.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-177a. En tu cuaderno, elabora una explicación de las estrategias que te ayudan a resolver problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-177b, donde encontrarás una lista de ecuaciones para resolver.

TIC

Para la bi†ácora



Lección 34

Una persona ganó en cuatro días $900.00. Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó cada día?

x – 6 = x + 20

_____

2

32 años

Hugo: 16 años; Gabriel: 10 años

x + 6 – 6 = ( 5

__

2 ) (x – 6)

Sí; R. T. Porque a ambos miembros de la ecuación se les ha restado 2 y 3x.

11 m de largo por 7 m de ancho

R. T. Se iguala el valor del perímetro (36) con la expresión algebraica que lo

representa: 2(2x – 3) + 2x = 36; donde 2x – 3 es el largo y x es el ancho,

posteriormente se despeja x para conocer las dimensiones del rectángulo.

Ganó $480.00 el primer día, $240.00 el segundo día, $120.00 el tercer día y $60.00 el cuarto día.


178

Oriéntate

Elementos del círculo y el ángulo.


Lección 35 Ángulos inscritos y centrales de un círculo

Eje: forma, espacio y medidaTema: medida

Contenido

Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones

Los puntos en un círculo

1. Analiza los siguientes ángulos y responde con un compañero.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

a) ¿Dónde se ubican los vértices?

b) ¿Qué elementos del círculo son los lados de los ángulos en las figuras 1 y 3?

c) ¿Y los de la figura 2?

d) ¿Qué elementos son los de la figura 4?

e) Discutan lo siguiente: por la posición del vértice, ¿cuántos tipos de ángulos se forman con los

elementos del círculo? Escriban su conclusión.

f) ¿Se puede formar un ángulo con dos diámetros? Expliquen de qué tipo puede ser.

g) Compartan las dos últimas respuestas con el grupo. Escriban en su cuaderno una conclusión.

h) Lean la siguiente información y compárenla con lo que escribieron en el inciso e). Con ayuda del profesor validen sus respuestas del inciso g).

Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro del círculo y sus lados coinciden con los radios.

Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas o una cuerda y un diámetro.

Circunferencia

CuerdaCentroDiámetro

RadioArco

Ángulo

Ángulo

Lado

LadoVértice

Figuras 1 y 3, en el centro. Figuras 2 y 4 sobre la

circunferencia.

Radios.

R. T. Dos tipos de ángulos: unos forma-

dos por radios y otros por cuerdas (centrales e inscritos, respectivamente).

Sí. R. P.

Cuerdas (una de ellas es un diámetro).

Cuerdas.



Lección 35

Un paso adelante

2. Haz con un compañero lo que se pide. Después respondan.

a) Tracen tres círculos del mismo tamaño y en ellos un ángulo inscrito y uno central, de manera que sus lados coincidan con el mismo arco, como lo indica el ejemplo. En los tres círculos deben ser iguales los ángulos.

b) Recorten el ángulo inscrito de los dos primeros círculos y sobrepóngalos en el central del tercero.

¿Observán alguna relación entre los dos ángulos? Expliquen.

c) Reúnete con cuatro compañeros. Comparen sus observaciones, midan sus ángulos y completen la tabla.

Alumno Medida del ángulo central Medida del ángulo inscrito

1

2

3

4

d) Con base en los resultados de la tabla discutan en grupo lo siguiente. ¿Qué relación observan entre la medida de un ángulo inscrito y la de uno central cuando sus lados coinciden con el mismo arco?

e) Lean en grupo la siguiente información y validen con lo que respondieron en los incisos b) y d).

Si un ángulo central y uno inscrito comparten el mismo arco, el ángulo central mide dos veces lo que el inscrito.

Si dos ángulos inscritos comparten el mismo arco, miden lo mismo.

3. Resuelve los problemas.

a) Si dos ángulos, uno central y uno inscrito, comparten un arco, y el central mide 120º, ¿cuánto mide

el ángulo inscrito?

b) Si dos ángulos, uno central y uno inscrito, comparten un arco, y el inscrito mide 90º, ¿cuánto mide

el ángulo central?

c) Con la participación de tu profesor validen las respuestas de los planteamientos anteriores, analicen dudas y dificultades, y resuélvanlas.

Recuerda que un arco es una parte de la circunferencia.

Oriéntate

R. T. Sí, los dos ángulos

inscritos caben exactamente en el central.

R. T. La medida del central es el doble que la del inscrito.

60°

180°

R. T. 80° 40°90° 45°64° 32°52° 26°


180

Profundiza

4. Efectúa con un compañero lo que se pide. Completen la tabla.

A

P Q

R

S

T

B

A

P Q

R

S

T

B

A

B

a) Tracen una circunfe-rencia y marquen dos puntos sobre ella.

b) Tracen una cuerda AB y marquen otros cinco pun-tos en la circunferencia.

c) Marquen el arco AB y tracen cinco ángulos con vértices en los puntos anteriores.

Ángulo ∠APB ∠AQB ∠ARB ∠ASB ∠ATB

Medida del ángulo

i) ¿Cómo es la medida de los ángulos anteriores?

5. Haz con otro compañero lo que se pide. Completen la tabla.

A

B

O

AP Q

R

S

T

B

O

AP Q

R

S

T

B

O

a) Tracen una circunferen-cia y un diámetro AB sobre ella.

b) Marquen el arco AB y otros cinco puntos en la circunferencia.

c) Tracen cinco ángulos con vértices en los puntos anteriores y arco AB.

Ángulo ∠APB ∠AQB ∠ARB ∠ASB ∠ATB

Medida del ángulo

i) ¿Qué triángulos se forman con los lados de los ángulos y el diámetro?

ii) ¿Cómo es la medida de los ángulos anteriores?

iii) ¿Cuánto mide el ∠AOB?

iv) ¿Qué concluyen de la actividad?

v) Tracen tres ejemplos de ángulos inscritos que midan más de 90º.


Lección 35 Ángulos inscritos y centrales de un círculo

Constante

Triángulos rectángulos.

Constante (90°)

180°

R. T. Que los ángulos inscritos en una circunfe-

rencia que abarcan un mismo arco miden lo mismo.

63° 63° 63° 63° 63°

90° 90° 90° 90° 90°


181

6. Mide los ángulos y contesta.

A

B

D C

W

X

Y

Z

Figura A Figura B

a) ¿Qué elemento del círculo es el segmento AC?

b) ¿Cuánto mide el ángulo ABC?

c) ¿Y el ángulo ADC?

d) ¿Cuánto suman los ángulos ABC y ADC?

e) ¿Qué elemento del círculo es el segmento WY?

f) ¿Cuánto mide el ángulo WXY?

g) ¿Y el ángulo WZY?

h) ¿Cuánto suman los ángulos WXY y WZY?

i) Concluyan en grupo sobre el análisis anterior.

7. Rescata las características y propiedades de un ángulo central y uno inscrito, y las rela-ciones entre ellos; y coméntalas en grupo.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-181a. Contesta las preguntas y, si tienes dudas, revisa las acti-vidades 2 y 4 de esta lección.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-181b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, elabora una explicación de lo que aprendiste usando tus propias palabras. Coméntala con un compañero.

TIC

Para la bi†ácora



Lección 35

Observa la figura y responde.

¿Cuál es la medida del ángulo inscrito ∠ACB?

A

O

B

C

Cuerda.

72°

108°

180°

Diámetro.

90°

90°

180°

45°



Lección 36 Análisis de gráficas de proporcionalidad

Los polígonos en el plano cartesiano

1. Analiza los elementos de un plano cartesiano.

y

x1

–1–2–3–4–5–6–7–8 12345678

origen

eje de las ordenadas

cuadrante I(+, +)

cuadrante IV(+, –)

cuadrante II(–, +)

cuadrante III(–, –)

eje de las abscisas

–1–2–3–4–5–6–7–8 2 3 4 5 6 7 8

2. Trabaja en pareja. Efectúen lo que se pide y contesten.

1

W

Y

1

X

Z

y

x

a) ¿En qué cuadrante se encuentra el polígono?

b) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del polígono anterior?

W( , ); X( , ); Y( , ); Z( , )

c) Si le suman tres unidades a la abscisa de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma?

¿Cuáles son sus coordenadas?

d) Si le restan una unidad a la ordenada de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma?

¿Cuáles son las coordenadas del nuevo polígono?

e) Si duplican las coordenadas de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma?

¿Cuáles son sus coordenadas?

f) Compartan sus respuestas con sus compañeros de grupo. Con la participación del profesor analicen las dudas y dificultades, y escriban una conclusión en sus cuadernos.

Eje: manejo de la informaciónTema: proporcionalidad y funciones

Contenido

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano

Oriéntate

En el plano cartesiano los puntos se ubican mediante una pareja de números (x, y); al primer número (x) se le nombra abscisa y al segundo (y) se le llama ordenada.

En el cuadrante I.

1 4 1 44 4 1 1

Cuadrado

Cuadrado W(1, 3); X(4, 3);

Y(1, 0); Z(4, 0)

W(4, 4); X(7, 4); Y(4, 1); Z(7, 1)

Cuadrado W(2, 8); X(8, 8); Y(2, 2); Z(8, 2)



Lección 36

Un paso adelante

3. Reúnete con dos compañeros. Lean el planteamiento, analicen las gráficas y contesten en sus cuadernos.

Alicia trabaja en una empacadora de chocolates y debe entregar al encargado cierta cantidad de cajas por hora. Este registra el número de cajas a lo largo de la jornada y presenta la información en gráficas como se muestra a continuación. Alicia trabaja ocho horas diarias, seis días a la semana.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

250

300

3060

90120

150180

210240

horas

caja

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

250

300

5080

110140

170200

230260

horas

caja

s20

Día 1 Día 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

250

300

1030 40

70100

150

240

horas

caja

s

160

0 1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

250

5080

110140 140

170200

horas

caja

s

20

230

Día 3 Día 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

4020

8060

120100

160140

180

2040

6080

100120

140160

horas

caja

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

250

300

4060

100140

180220

240

horas

caja

s

20

Día 5 Día 6

a) ¿En qué parte de la gráfica se indica la hora de inicio?

b) ¿En qué días, las horas trabajadas y el número de cajas son conjuntos de cantidades directamente proporcionales?

c) ¿Qué día o días Alicia inició su jornada de trabajo con cajas listas para entregar?

d) ¿Qué día o días Alicia trabajó de manera constante e inició su trabajo desde 0?

e) ¿Qué similitudes tienen entre sí las gráficas anteriores?

f) ¿Qué gráfica tiene asociada la expresión algebraica y = 20x?

g) Compartan sus respuestas con el grupo. Concluyan sobre la gráfica correcta.

En ninguna, la hora de inicio no se sabe aunque el inicio de la jornada es el punto (0, y).

En los días 1 y 5.

Los días 2 y 4.

Los días 1 y 5.

R. T. Son gráfi cas crecientes.

La gráfi ca del día 5.



Lección 36 Análisis de gráficas de proporcionalidad

Profundiza

4. Reúnete con dos compañeros. Analicen la gráfica y respondan.

La gráfica registra el desplazamiento de un móvil.

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

140

20

40

60

80

100

120

Tiempo (horas)

Dis

tanc

ia (k

m)

a) ¿Qué distancia recorrió el móvil en 1 h?

b) Completen la tabla.

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6

Distancia (km)

c) ¿Qué distancia recorrió el móvil en 6 h?

d) Si la velocidad del móvil no hubiera sido constante, ¿cómo sería la gráfica?

e) Si el móvil se hubiera desplazado más lento, ¿cómo sería la gráfica?

f) Si el móvil se hubiera desplazado más rápido, ¿cómo sería la gráfica?

g) Discutan en grupo. ¿La gráfica podría cortar a los ejes en otro punto diferente del origen?

Justifiquen sus respuestas.

h) Si el tiempo es x y la distancia y, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la gráfica?

i) Comparen las expresiones con las de otros compañeros y validen sus respuestas con ayuda del profesor.

120 km

Sí.

20 km

R. P.

y = 20x

R. P.

R. T. Menos inclinada.

R. T. Más inclinada.

0 20 40 60 80 100 120


185

5. Escribe en cada gráfica el inciso que le corresponde.

Analiza en grupo la siguiente información.En una gráfica, si todos los puntos pertenecen a una misma recta que pasa por el origen, se está representando una situación directamente proporcional.

6. Traza en tu cuaderno la gráfica correspondiente a cada planteamiento.

a) Un móvil se desplaza a velocidad constante de 100 km/h. ¿Cómo cambia la distancia recorrida?

b) Juán es mesero. Hoy comenzó su jornada con $50 en la bolsa, después ganó $40 de propinas en la primera hora, $60 en la segunda y $20 en la tercera. ¿Cómo cambia el dinero que tiene Juán?

c) Ramiro ahorrá $200 por mes, pero este año comenzó con $500 extra que recibió por su cumpleaños.¿Cómo cambia el ahorro de Ramiro a lo largo del año?

7. Para cada gráfica argumenta si es de proporcionalidad directa. Compara tus argumentos con los de un compañero.

0 1 2 3 4 5 6

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6

50

100

150

200

250

300

8. Analiza con el grupo si la gráfica del desplazamiento de un móvil depende de su forma, de su punto de partida o de su velocidad.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-185a. En tu cuaderno, elabora una explicación de la relación que encuentras entre los datos de las tablas y la elaboración de las gráficas asociadas.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-185b. Comenta con un compañero qué dificultades tuvieron. Si tienes dudas de alguna sección consúltalas con tu profesor.

TIC

Para la bi†ácora


Un móvil se desplazó con rapidez constante en una pista circular. Dibuja en tu cuaderno la gráfica que representa la distancia recorrida (el tiempo es el eje x y la distancia, el eje y) .


Lección 36

a) Andrea tenía $20.00 en su alcancía; el lunes le dieron

$30.00 y el martes, $50.00.

b) Leonor gana $30.00 por día. c) Israel ahorra $5.00 diarios; inició con $12.00.

0 1 2 3 4 5

5

1510

2520

303540

0 Lunes Martes

20

60

40

100

80

120

0 1 2 3 4 5

20

6040

10080

120140160

ab c

Trazar como respuesta una recta en el plano cartesiano que pase por el origen.

R. T. La primera sí,

pues es una recta

que pasa por el

origen; la segunda

no, pues no pasa

por el origen.


186

De la biblioteca al parque

Carlos, Octavio y Jaime salieron juntos de la biblioteca y se dirigieron al parque por el mismo camino. Se desplazaron en línea recta 1.2 km; cada uno recorrió el trayecto de forma distinta: Carlos caminó, Octavio corrió y Jaime fue en bicicleta; los tres mantuvieron un avance constante, es decir, sin aumento ni disminución de su rapidez.

1. Contesta con un compañero.

a) ¿Quién de los tres hizo el recorrido en el menor tiempo?

b) ¿Quién tardó más tiempo en llegar?

c) Jaime tardó cuatro minutos en llegar de la biblioteca al parque. ¿Qué distancia avanzó los primeros

dos minutos?

d) Carlos, por su parte, demoró diez minutos en llegar. Completen las tablas.

Jaime

Tiempo (s) Distancia (m)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

1 100

240 1 200

Carlos

Tiempo (s) Distancia (m)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

1 100

600 1 200

e) ¿Cuántos metros por segundo avanzó Jaime? Escriban una expresión

que permita determinar los metros recorridos (y) en un tiempo dado (x).

f) ¿Cuántos metros por segundo avanzó Carlos? Escriban una expresión

que permita determinar los metros recorridos (y) en un tiempo dado (x).

g) Verifiquen las expresiones anteriores con las tablas que completaron y escriban una conclusión sobre el procedimiento que siguieron para obtener las expresiones.

h) Comenten lo siguiente y escriban sus argumentos. ¿Las expresiones que obtuvieron en e) y f) son

de la forma y = ax + b? Expliquen qué sucede con el término b.

Eje: manejo de la informaciónTema: proporcionalidad y funciones

Contenido

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b


Lección 37 Variación lineal

Jaime.

5 m/s

y = 5x

2 m/s

y = 2x

R. T. Sí, en ambos casos

b = 0.

Carlos.

0.6 km

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550


187

Un paso adelante

2. Lee los planteamientos y responde.

a) En un laboratorio se formula una nueva bebida para deportistas. En una probeta hay 50 cm3 de un concentrado de sabor y cada hora se le agregan 2.5 cm3 de una solución de agua y endulzante para lograr una mezcla homogénea.

i) Después de 2 h, ¿cuánto líquido hay en la probeta?

ii) En 12 h, ¿cuánto líquido tendrá la probeta?

iii) Completa la tabla.

Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Volumen (cm3) 52.5

iv) ¿El volumen depende del tiempo o el tiempo depende del volumen? Justifica en el cuaderno.

v) Escribe una expresión que te permita determinar el volumen a partir del tiempo.

vi) Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias, compartan sus dudas para resolver posibles dificultades y escriban en su cuaderno una conclusión sobre el procedimiento que usaron para hallar la expresión.

A algunas cantidades que dependen de otras se les puede asociar una expresión algebraica que permite encontrar el valor de una de las variables cuando se conoce el valor de la otra. Normalmente, la literal x se usa para nombrar la cantidad variable cuyos valores se escogen de manera arbitraria (variable independiente) y la letra y se emplea para la cantidad, tambien variable, que depende del valor que tome x (variable dependiente).

b) Considera individualmente la información anterior y resuelve. En algunos países del mundo, la temperatura ambiental se mide con la escala Fahrenheit (°F). En nuestro país usamos la escala Celsius (°C). Para convertir grados Celsius a Fahrenheit se utiliza la fórmula F = (1.8) C + 32.

i) 0 °C equivalen a °F. El punto de ebullición del agua al nivel del mar es de 100 °C.

¿A cuánto equivale en grados Fahrenheit?

ii) Completa la tabla. Determina la variable dependiente e independiente.

°C –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

°F

iii) Compara tus respuestas con las del grupo. Valídenlas con ayuda del profesor.


Lección 37

55 cm3

80 cm3

212°F

Variable depen-

diente °F; Variable independiente °C

R. T. v = 2.5t

R. T. El volumen depende del tiempo (el recíproco también es cierto).

32

55 57.5 60 62.5 65 67.5 70 72.5 75 77.5 80

23 24.8 26.6 28.4 30.2 32 33.8 35.6 37.4 39.2 41 42.8


188

Profundiza

3. Trabaja en pareja. Hagan lo que se indica y contesten.

Los árboles no tienen un crecimiento constante. En su primera etapa de vida el crecimiento es muy rápido, después es constante y finalmente se vuelve lento. Al cuarto año de edad, un árbol mide 6 m y crecerá 4.8 m por año de forma constante hasta que cumpla siete años de edad.

a) ¿Cuánto medirá el árbol después de cuatro años y seis meses?

b) Completen la siguiente tabla.

Edad (años) (x) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Altura (m) (y)

c) Escriban una expresión que determine el tamaño del árbol (y) para cualquier edad (x) en el periodo

comprendido entre el cuarto y séptimo año de edad.

d) Anoten una expresión que indique el tamaño del árbol (y) para cualquier semestre (x) en el periodo


e) Indiquen una expresión que describa el tamaño del árbol (y) para cualquier mes (x) en el periodo


f) Elaboren con las fórmulas obtenidas las tablas correspondientes en sus cuadernos (para el periodo comprendido entre cuatro y siete años de edad). No olviden que en una de las tablas la variable x está asociada con los semestres y en otra, con los meses.

4. Lee el plantemiento y responde.

Rubén contrató un plan de renta para teléfono celular, que incluye 60 minutos de llamadas locales por $190.00 al mes; después de agotar los 60 minutos debe pagar $0.75 por minuto.

a) Al finalizar la tercera semana llevaba un total de 100 minutos consumidos. ¿Cuál es su cuenta

actual de teléfono?

b) Al finalizar el mes acumuló un total de 155 minutos. ¿Cuál fue la cantidad total que pagó?

c) Escribe una expresión que determine la cantidad que debe pagar Rubén (y) a partir de los minutos consumidos (x). (Considera que la fórmula será de utilidad una vez que se hayan agotado los 60

minutos del plan.)

d) Con la ayuda del grupo y el profesor valida los resultados obtenidos en las actividades 3 y 4. Corrijan lo que sea necesario.


Lección 37 Variación lineal

6 8.4 10.8 13.2 15.6 18 20.4

8.4 m

R. T. y = 4.8(x – 4) + 6; x solo

toma valores entre 4 y 7

R. T. y = 2.4(x – 8) + 6; x solo


R. T. y = 0.4(x – 48) + 6; x solo


$220.00

$261.25

y = 190 + 0.75(x – 60); x solo toma valores a partir de 60


189

Lee la siguiente información de forma grupal. Escriban un ejemplo.La expresión y = –2x + 3 es un ejemplo de una ecuación lineal con dos variables, donde el valor de y depende de los valores que tome x en la expresión –2x + 3.La forma general de una ecuación lineal es ax + by = c.La ecuación y = –2x + 3 también puede expresarse como 2x + y = 3 (forma general). En ambos casos existe una infinidad de pares de valores que cumplen la igualdad como se muestra en la tabla.

x y

–2 7

–1 5

0 3

1 1

2 –1

5. Con base en la información anterior, resuelve con un compañero.

César pidió un préstamo de $5 400.00 a una caja de ahorros. Le cobrarán una tasa de interés fija de 5% mensual sobre la cantidad prestada.

a) ¿Cuánto debe en total después de un mes?

b) Completen la tabla de la derecha.

c) Escriban una expresión que determine la cantidad total que debe para cualquier mes.

d) ¿Cuánto debe pagar César después de dos años y siete meses?

e) Con la ayuda del profesor validen los resultados obtenidos anteriormente; corrijan lo que sea necesario. Comenten en grupos sus procedimientos para determinar la expresión algebraica.

6. Analiza con tu grupo cómo se integra lo estudiado en la lección anterior (sobre gráficas) con el contenido de esta lección.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-189a. Comenta con un compañero las estrategias que utilizaste para ganar el juego. Si tienes alguna duda, revisa la actividad 4 de esta lección.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-189b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, explica cuándo hay una variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

TIC

Para la bi†ácora



Lección 37

Para calcular el volumen de sangre de una persona se multiplica su peso por 0.07. Escribe una expresión para obtener el volumen de sangre a partir del peso.

Mes(x)

Deuda(y)

1

2

3

4

5

6

270

540

810

1 080

1 350

1 620

$5 670.00

$13 770.00

vs = 0.07 p

y = 5 400 + 270x



Lección 38 Resolución de situaciones de medias ponderadas

La calificación final

En la clase de Historia de México, el profesor explicó que para obtener la calificación final asignaría un porcentaje (peso de importancia) a cada bimestre según su nivel de dificultad.

Bimestre 1º 2º 3º 4º 5º

Peso 15% 20% 20% 40% 5%

1. Con base en el planteamiento anterior, responde.

a) Elías obtuvo 8, 9, 7, 10 y 8 en sus calificaciones. Si se aplicara un promedio convencional, ¿cuál

sería su calificación?

b) Considera el peso de cada bimestre y obtén el promedio.

c) Explica cómo lo calculaste.

d) Discute con un compañero cuál es la mejor forma de obtener el promedio. Escriban sus conclusiones.

2. Analiza las calificaciones de Alicia y Verónica de la siguiente tabla y responde.

Bimestre Peso Alicia Verónica

1º 15% 7 8

2º 20% 8 8

3º 20% 8 7

4º 40% 6 8

5º 5% 8 6

a) ¿Qué observas en las calificaciones de ambas alumnas?

b) ¿Quién de las dos alumnas obtendrá mejor promedio? ¿Por qué lo

consideras así?

c) Comenta con un compañero por qué el profesor le asigno al 4º bimestre más peso y al 5º bimestre

menos peso que al resto de los bimestres. Escriban sus conclusiones.

Eje: manejo de la informaciónTema: análisis y representación de datos

Contenido

Resolución de situaciones de medias ponderadas

Oriéntate

Ponderar significa determinar el peso o el valor de algo.

8.4

8.8

Verónica

porque obtuvo mejor califi cación en el bimestre con

más peso.

R. T. Multiplicando cada califi cación por el peso dado y

sumando los valores obtenidos de cada periodo.

R. P.

R. P.

R. T. Tienen el mismo promedio

si no se considera el peso de cada periodo.



Lección 38

Un paso adelante

3. Lee el siguiente anuncio del periódico y responde.

Núm. de bimestre 1º 2º 3º 4º 5º 6º

Bimestre dic-ene feb-mar abr-mayo jun-jul ago-sep oct-nov

Mínimo número de piezas para alcanzar bono

4 500 2 500 4 500 2 500 2 500 3 500

Bono 30% 5% 30% 5% 5% 25%

Ganancia

a) ¿Cuál sería el ingreso promedio bimestral de una persona que lograra vender el mínimo de piezas

por bimestre?

b) Completa la tabla anterior y comenta con un compañero cómo obtuviste el resultado. Escribe tu

procedimiento.

c) Si una persona decidiera trabajar medio año, ¿en qué temporada le convendría?

Explica la razón.

d) ¿Por qué razón se le asignó un peso mayor de comisión al primer y tercer bimestre?

e) Con ayuda del profesor valida en grupo tus respuestas. Corrijan lo que sea necesario.

En grupo discute la siguiente información.

Cuando en un conjunto de datos se requiere obtener un promedio pero el “peso” asignado a cada dato es diferente, a la media se le llama media ponderada. Por ejemplo: en la actividad 1, el cuarto bimestre pesa 40%, por lo que cada punto vale 40 ___

100 de la

calificación final. Elías obtuvo 10 de calificación. ¿Cuál es su valor? 40 ___ 100

× 10 o 40 × 10 _____ 100

Trabaja desde casa empacando juguetes. Pago por pieza: $30.00; mínimo 1 000 piezas por mes. Ofrecemos bono bimestral por productividad como se muestra en la tabla.

$175 500.00 $78 750.00 $175 500.00 $78 750.00 $78 750.00 $131 250.00

$119 750.00

R. P.

R. P.

R. T. De diciembre a mayo, porque hay bonos mayores.



Lección 38 Resolución de situaciones de medias ponderadas

Profundiza

4. Trabaja en pareja. Con la ayuda del profesor validen los resultados obtenidos en las acti-vidades y corrijan lo que sea necesario.

a) Rosaura tiene un puesto de mariscos en el mercado. La tabla muestra los precios de algunos de sus productos.

Producto pulpo camarón pescado blanco almeja

Precio por kg ($) $92.00 $143.00 $65.00 $27.00

i) Rosaura preparó un surtido para sopa, mezclando 8.5 kg de pulpo, 4.25 kg de camarones y 5.1 kg de pescado blanco. ¿A cuánto debe vender el kilogramo de la mezcla para que la ganancia

sea igual que si vendiera cada producto por separado?

ii) Rosaura hizo también una mezcla para paella, usando 8.2 kg de pulpo, 12.7 kg de camarón

y 16.5 kg de almeja. ¿A cuánto debe vender el kilogramo esta vez?

5. Julio presentó un examen de ingreso a la universidad. A continuación se muestran las ponderaciones por áreas de conocimiento de acuerdo con las políticas de la institución, así como el puntaje que obtuvo Julio.

Área de conocimiento Ponderación

Matemáticas 40%

C. Sociales 20%

Física 30%

Inglés 10%

Área de conocimiento Puntaje

Matemáticas 230

C. Sociales 330

Física 310

Inglés 350

a) Determina la media ponderada de puntos que obtuvo Julio.

6. Un examen de matemáticas consta de cinco secciones. Raúl y Pablo obtuvieron el siguiente puntaje.

Sección A Sección B Sección C Sección D Sección E

Raúl 5 7 5 7 6

Pablo 3 5 6 4 7

a) El profesor asignó una ponderación a cada sección como se muestra en la tabla.

Sección A B C D E

Ponderación (puntos) 2 1 2 4 1

b) ¿Quién tiene mejor puntaje en el examen?

c) ¿Cuál es el promedio ponderado de cada uno?

$96.43

$81.85

286

Raúl.

Raúl: 6.1 y Pablo: 4.6



Lección 38

7. Reúnete con un compañero. Contesten los planteamientos.

a) Cuatro mujeres y dos hombres viajarán en una avioneta. El piloto les advierte que el peso máximo es de 450 kg. Si se sabe que el peso promedio de los hombres es de 85 kg y el de las mujeres es

de 63 kg, ¿cuál es el peso de las seis personas?

b) En la clase de Inglés, los primeros cuatro exámenes tienen el mismo valor, pero el examen final vale el doble que uno de los cuatro primeros. César obtuvo las siguientes calificaciones.

Evaluación Calificación obtenida

1ª 8.3

2ª 9.5

3ª 6.8

4ª 9.3

5ª (final) 7.7

i) ¿Cuál es su calificación final?

ii) ¿Cuál sería su calificación si se aplicara un promedio convencional?

8. Resuelve y comenta con un compañero tus estrategias de solución. Valídenlas con el profesor.

a) Un taxista consumió los siguientes litros de gasolina por mes.

Mes enero febrero marzo abril mayo junio

Litros 210 198 189 230 240 254

i) Considera que el precio del combustible era de $10.00 en enero y cada mes subsecuente aumentó $0.15. Calcula el gasto mensual promedio en combustible.

9. Analiza de forma grupal y con el profesor las diferencias entre la media aritmética y la media ponderada.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-193a, donde se muestran actividades interactivas sobre media.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-193b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, explica cuándo hay una variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

TIC

Para la bi†ácora


El precio del gas en enero era de $10.73 por litro; cada mes aumentó $0.63. En la fonda de doña Mary le surtieron cada mes, desde enero, los siguientes litros: 96 L, 90 L, 88 L, 95 L y 93 L. Obtén el gasto mensual promedio en gas.

422 kg

8.21

8.32

$2 289.07

$1107.75


Bitácora

Lección 32

a) Un edificio ubicado en un puerto tiene su planta baja justo a 4 m sobre el nivel del mar. El primer piso se ubica a 4 m de la planta baja; el segundo, a 4 m del primer piso; etc. Escribe una regla algebraica para determinar a qué altura está el piso n sobre el nivel del mar.

Lección 33

a) Completa la tabla que muestra el proceso de solución de la ecuación 5x – 2x + 4 = 3x – 5x – 12.


5x – 2x + 4 – 4 = 3x – 5x – 12 – 4


x = – 16 __ 5

Lección 34

a) Un atleta se prepara para un maratón y se ha propuesto aumentar cada día 3 km más a su rutina diaria, empezando desde 1.5. Otro competidor aumentará 1.5 km diarios a su rutina, aunque inició su cuenta a partir de 15 km. ¿Qué día ambos corredores recorreran los mismos kilómetros?

Plantea una ecuación para la situación y resuélvela en tu cuaderno.

Lección 35

a) Escribe en cada polígono regular la medida del ángulo marcado.

A

B

A = B =

y = 4n + 4; y es la altura y n, el número del piso. PB es el piso 0.

El décimo día.

60° 36°

5x – 2x + 5x – 3x =

–12 – 4

5x = –16

Sumar 5x

Restar 3x

Dividir entre 5

5x – 2x + 5x – 3x =

–12 – 4

5x = –16

194 Bloque 4


Bitácora

Lección 36

a) Identifica la gráfica correspondiente al planteamiento.

Jesús gana en su trabajo $70.00 por hora. ¿Qué gráfica representa el dinero que ha ganado a lo largo del día?

Lección 37

a) Una familia va de vacaciones a una reserva natural. El paquete que compraron de $3 700.00 incluye transporte terrestre, ida y vuelta desde una ciudad, alimentos y hospedaje por cinco noches. Sin embargo, deciden quedarse otros días más, y el gerente les informa que el costo por noche adicional es de $355.00. Anota una expresión que determine el precio total (y) que deben pagar tomando en cuenta los días adicionales (x).

Lección 38

a) Una papelería registró en una tabla sus ventas.

Papel Venta ($) Porcentaje de ganancia

Bond blanco 12 560.00 5.2

Opalina 7 430.00 2.1

Color 3 540.00 3.3

i) ¿Cuál fue el total obtenido por las ganancias?

ii) ¿Cuál fue la venta total?

iii) ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia real?

1 2 3 4 5 6 7 80

100

200

300

400

500

600

Horas

Suel

do

08 16 32 64 128 256 512

500

1 500

1 000

2 000

2 500

4 000

5 000

4 500

3 500

3 000

Horas

Suel

do

$925.97

La gráfica de la derecha.

y = 3 700 + 355x

$23 530.00

3.94%

195Bloque 4


Laboratorio de matemáticas

Ángulo central y proporcionalidad directa aplicada al reloj

1. Observa la imagen de la izquierda.

a) Al prolongar las manecillas, ¿cuánto mide el ángulo central que forman?

Si el ángulo central más grande de una circunferencia es de 360º y en una hora hay 60 minutos, entonces el minutero avanza 360 ___

60 = 6º por minuto.

b) Completa la tabla.

Manecilla de los minutos

En un reloj, un ángulo completo incluye 12 h; por lo tanto 360 ___

12 = 30º, es decir, la manecilla horaria

avanza 30º por hora, pero como cada hora tiene 60 minutos, entonces 30 __ 60

= 0.5º por minuto.

c) Completa la tabla.

Manecilla de las horas

El punto de partida de las manecillas es el número o la marca que representa las 12:00.

Si se desea representar las 05:10, primero se obtienen los grados de la manecilla de los minutos.

1 min ____ 6°

= 10 min _____ x x = 6° (10 min) _______

1 min x = 60° ___

1 x = 60°

La manecilla de los minutos debe estar en 60º a partir de la marca de las 12:00.

Ahora se debe transformar la hora en minutos: 5 (60 min) + 10 min = 310 min. 1 min ____

0.5° = 310 min _____ x x = 0.5° (310min)

_________ 1 min

x = 155° ____ 1 x = 155°

La manecilla de las horas debe estar a 155º a partir de la marca de las 12:00.

Una vez ubicadas las manecillas se resta al ángulo mayor el ángulo menor 155º – 60º = 95º para saber el ángulo que se forma entre las manecillas cuando son las 05:10.

2. Traza en tu cuaderno cinco relojes con las horas indicadas; calcula el ángulo comprendido entre las manecillas y escríbelo.

a) 10 :35 b) 12:15 c) 03:30

d) 01:25 e) 07:42

Minutos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Grados 6

Minutos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Grados 0.5

B

A 90°

107.5° 82.5° 75°

107.5° 21°

12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

196 Bloque 4


En el tintero

Más sucesiones

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170-1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano. Difundió en Europa el sistema de numeración indoarábigo (base 10 o decimal) y describió la sucesión que lleva su nombre: la sucesión de Fibonacci.

1. Analiza el planteamiento y completa la tabla.

Patricia pidió a su abuela que le regale algunas monedas de su enorme colección, a lo que ella le contestó: “Cada vez que vengas a visitarme te daré una moneda”. Su nieta, no conforme, le planteó la siguiente oferta: “Mejor me das la cantidad de monedas que lleve acumuladas” y la abuela le dijo: “Hoy te daré una moneda y en la siguiente visita, otra; pero a partir de la tercera visita te entregaré el número de monedas de tus dos últimas visitas”, y Patricia aceptó.

a) ¿Cuántas monedas tendrá Patricia después de haber visitado doce veces a su abuela?

b) Completa la tabla.

Número de visitas Monedas que le da su abuela

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6

7

8

9

10

11

12

c) La colección de monedas de la abuela consta de 609. ¿En qué número de visita se las habrá dado todas a Patricia?

d) Cualquier número natural se puede escribir como una suma de términos distintos de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, 14 = 8 + 5 + 1. Escribe los números 34, 71 y 123 como una suma de términos distintos de la sucesión de Fibonacci.

e) Calcula la longitud del lado de cada cuadrado azul y escríbelas de menor a mayor. ¿Forman parte de la sucesión de Fibonacci?

609 monedas.

En la visita 13.

34 = 21 + 13; 71 = 34 + 21 + 13 + 3;

123 = 55 + 34 + 21 + 13

1, 1, 2, 3, 5, 8. Sí forman parte de la sucesión de Fibonacci.

8

13

21

34

55

89

144

197Bloque 4


198

Bloque 4 Evaluación

Lee con atención los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.

1. Si en una sucesión la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es 6 y el cuarto término es –12, ¿cuál es su expresión general?

A) 6n – 12 B) 6n – 36 C) 6n – 24 D) 6n + 12

2. ¿Cuál es el término mil de la sucesión 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51…?

A) 7 995 B) 8 000 C) 8 003 D) 8 005

3. Para comprar juntos un coche de $30 000, Andrea y Alejandro ahorran, respectivamente, $800.00 y $1 200.00 al mes. ¿Qué ecuación permite saber en cuántos meses (x) juntarán el dinero?

A) 800 + 1 200x = 3 0000x B) 800x + 1 200x = 3 0000x

C) 800x + 1 200 = 3 0000x D) 800x + 1 200x = 3 0000

4. Juan tiene el doble de dinero que Luis; entre los dos juntan $36.00. ¿Cuánto dinero tiene Luis?

A) $24.00 B) $16.00 C) $12.00 D) $8.00

5. ¿Qué gráfica muestra una relación de proporcionalidad directa?

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D) y

x

6. Un grupo de voluntarios organizó una feria para recaudar fondos; la entrada cuesta $50.00 y cada juego, $10.00. ¿Cuál es el costo total (c) de subirse a n juegos?

A) c = (50 + 10)n B) c = 50n + 10 C) c = 50(10 + n) D) c = 50 + 10n

7. Federico tiene una rosticería; el lunes vendió 20 pollos chicos, a $40.00 cada uno; 20 me-dianos, a $55.00 cada uno; y 10 grandes, a $80.00 cada uno. ¿Cuál fue el precio promedio por pollo?

A) $50.00 B) $54.00 C) $57.50 D) $58.33



199Evaluación Bloque 4

8. ¿Qué gráfica representa a la tabla?

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5

Distancia (km) 5 10 15 20 25 30

A)

10

5

10

15

2 3 4 5

distancia

tiempo

B)

10

5

10

15

2 3 4 5

distancia

tiempo

C)

5 10 15 20 25 30 35 40

distancia

0

1

2

3

4

5

tiempo

D)

5 10 15 20 25 30 35 40

distancia

0

1

2

3

4

5

tiempo

9. En la figura, el punto rojo es el centro de la circunferencia. ¿Qué relación tienen los án-gulos A y B?

A) B = 3A

A BB) B = 2A

C) A = B

D) A = 2B

10. Sofía obtuvo las siguientes calificaciones en su clase de español.

Examen primer parcial segundo parcial tercer parcial final

Calificación 7 9 8 10

Si el examen final equivale a dos parciales y todos los parciales tienen el mismo valor, ¿cuál fue el promedio de Sofía?

A) 8.3 B) 8.5 C) 8.8 D) 9.2

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 4

1. A B C D 5. A B C D 9. A B C D

2. A B C D 6. A B C D 10. A B C D

3. A B C D 7. A B C D

4. A B C D 8. A B C D

En grupo y con la ayuda de tu profesor compara y valida tus respuestas a la evaluación.

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La matemática y el trabajo...

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