La ley de Biot-Savart

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl.ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, 0/4 = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.

El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial

Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.

Se integra sobre la variable  , expresando las variables x y r en función del ángulo  .

R=r·cos  , R=-y·tan  .

En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un papel, las corrientes perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se simbolizan con un puntode una pequeña circunferencia, y las corrientes en sentido contrario con una cruz  en el interior de una circunferencia tal como se muestra en la parte derecha de la figura.

La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.

 

La ley de Ampère

La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas cuando estas tenían simetría (esférica, cilíndrica o un plano cargado).

Del mismo modo la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.

Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de Gauss.

1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético.3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.

 

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto. 

2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radiocorriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma.

El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.

La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale

3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r. 

4. Despejamos el módulo del campo magnético B.

Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.

 

Fuerza entre dos corrientes rectilíneas

Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas de intensidades Ia e Ib paralelas y distantes d.

El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición de la otra corriente es

De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la figura, en forma vectorial Ba=-Bai

La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que circula una corriente Ib en el mismo sentido es

Como podemos comprobar, la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente de intensidadlongitud L de corriente rectilínea de intensidad Ia, es igual pero de sentido contrario.

La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas y paralelas, distantes d es

La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, se fundamenta en esta expresión:

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·107 newton por metro de longitud.

Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero de sentido contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura

Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d

las corrientes eléctricas que circulan en el mismo sentido, se atraen las corrientes eléctricas que circulan en sentido contrario, se repelen

 

Campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida de sección circular.

Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro radio interior a.

1. La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. 

2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnéticolargo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea

B·2 r

3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los dos casos siguientes.

r<a

4.-Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radiode la intensidad total i.

5.-Aplicando la ley de Ampère

r>a

4.-La intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r>R es

5.-Aplicando la ley de Ampère

 

Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco.

En el siguiente applet se representa mediante flechas el campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida, perpendicular al plano del applet y dirigida hacia el lector.

Pulsando en el botón titulado Siguiente, se representa el campo magnético producido por dos, tres, cuatro, etc, corrientes rectilíneas indefinidas situadas sobre la superficie lateral y paralelas al eje de un cilindro de radio a.

Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magnético en el interior, (para r<amagnético es tangente a circunferencias concéntricas de radio r>a. Vamos a ver cómo en esta situación es aplicable la ley de Ampère.

 

Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b.

1. Como hemos observado en el applet, la dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. 

2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea

B·2 r

3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.

r<a

Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<a es cero. Aplicando la ley de Ampère

B·2 r=  0  ·0

B=0

El campo magnético es nulo para r<a tal como hemos comprobado en el applet.

a<r<b

Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a<r<b es una parte de la intensidad total i.

Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección  b2- a2. La corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es la que pasa por la sección pintada de color rojo, cuya área es  r2- a2.

Aplicando la ley de Ampère

r>b

Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es

 

Fuerza entre corrientes de sección no nula

Hemos estudiado la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas separadas una distancia d. Cuando las corrientes circulan en el mismo sentido, la fuerza es atractiva y cuando las corrientes circulan en sentido contrario la fuerza es repulsiva. Hemos supuesto que el radio de la sección de las corrientes es muy pequeña comparada con la distancia d de separación entre las mismas.

En este apartado, vamos a considerar dos casos:

Cuando una de las corrientes tiene sección rectangular Cuando una de las corrientes tiene sección circular

y que las dimensiones de la sección son comparables con la separación d entre las mismas. Este aparatado, es de interés para los lectores que disfruten con el cálculo integral.

Corriente de sección rectangular

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, para distancias mayores que el radio de la sección circular, es.

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre una corriente rectilínea indefinida de sección rectangular de dimensiones 2l (largo)y 2w (ancho), distante d.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección rectangular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal (en color azul) es

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

cuyo módulo es dirección es radial sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)

Las componentes de dicha fuerza son:

dFx=dFcosθdFy=dFsenθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

El término ente paréntesis corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas

indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx  tendremos que calcular una integral doble

La integral con respecto a x es inmediata

Ahora, tenemos que resolver la integral

Integramos por partes

Descomponemos la integral racional en la suma de dos integrales, del siguiente modo

Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0, C=0, B=-2a2, D=2b2

Una vez que tenemos la función integrando calculamos el valor de la integral definida.

La fuerza resultante es

La fuerza de atracción entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, se ve afectada por un factor multiplicativo f que depende de las dimensiones (w, l) de sección rectangular de la corriente y de su separación d de la corriente rectilínea que produce el campo magnético.

Corriente de sección circular

Calculamos ahora, la fuerza sobre una corriente indefinida de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea indefinida que produce el campo magnético, ambas conducen la misma intensidad i pero en sentidos contrarios.

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, es.

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre la corriente de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección circular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal es

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

cuyo módulo es  dirección es radial sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)

Las componentes de dicha fuerza son:

dFx=dFcosθdFy=dFsenθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

El término ente paréntesis, corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx  tendremos que calcular una integral doble

Manteniendo y constante, como en la figura, los límites de integración de x son x1 y x2

La integral con respecto a x es inmediata

Ahora tenemos que resolver la integral

Hacemos el cambio de variable y=Rsenθ, dy=Rcosθ·dθ

con a=d2+R2 y b=2dR

Los nuevos límites de integración son –π/2 y π/2 que emplearemos para calcular la integral definida una vez conocida la función integrando. Integramos por partes

El resultado es

Para calcular la segunda integral, empleamos las relaciones trigonométricas

Para calcular la segunda integral, hacemos el cambio de variable,  tanθ=t, dθ=dt/(1+t2)

Es una integral racional que descomponemos en la suma de dos integrales, del siguiente modo

En este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0, C=0, B=-2a(a2-b2)/b, D=2a/b

Deshacemos los cambios

Finalmente, la integral queda

Teniendo en cuenta que   a=d2+R2 y b=2dR. La integral vale

La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por la corriente rectilínea sobre los elementos diferenciales de la corriente de sección R es

La fuerza de atracción es la misma que la deducida para conductores rectilíneos indefinidos de pequeña sección  comparada con la separación d entre las corrientes paralelas.