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LA INTERPRETACIÓN DEL PROFESOR SOBRE EL ENFOQUE DE MATEMÁTICAS COMO FACTOR DETERMINANTE EN EL
APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS DE SECUNDARIA.
T esís presentada
Por
JUANA GABRIELA ZAVALA MIRANDA
Ante la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
como requisito parcial para optar al titulo de
MAESTRA EN EDUCACION, ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS
Mayode2001
INSTITl)TO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIOR.ES DEMONTERREY
UNIVERSIDAD VIRTUAL
CAMPUS TOLUCA
ACTA DE EXAMEN Y AUTORIZACION DE LA EXPEDICION
DE GRADO ACADEMICO
110
l,r>a s11i:ir.·dtos, miemllros del jurad.o calificador del examen de,~a.d9 s~-~~n,t~o hoy
por Jw,nq Gabriela Zavala Miranda
en opci AT! al grado académico de
Maestra en Educación con especialidad en Matemáticas
hacon1,,h oonsta.r que el sustentante resultó flfiof>ADA fop UNANIM.IPA [},
Mtro.
___ ;,( _________ _ Mtro /"n'CO Antonio Serrato García
· • ,,0ctal 1 Benhur·iea
Hago cnnstar qua al sustentante, de s.cuerdo con documantos contenidos en su
axped, "!! te, ha cumplido con los requisitos de gt t:id uación, estehleé1dba en el
R~lamento Académico de loa programa.a de graduados de la Universidé.d Virtual.
f :~t~rI~f~D;_¿;\r;~_ WRfóWs y . /l / 1 / DE>.'~ ''<RREY / i / -:, l HAY~ ·Ja 2001; L ¡ · ir/ 11"-" ¡ c. Aux1 1k r~ Ba esteros Valle
l CAMl"l!S TC>LUCA or de rvic10 acola.res
O,RECCi:)t,i DE: SERVICIOS E:iCOL/\R~S -----... ~. ------
Expídr,rn el grado a.cadámio mencionado con fecha 29 de mayo de 2001. ~ ',
~·---~~-Ing. Carlos Cruz Limón----,
Reot"" --1 ,,. la Universidad Virtual
'r'nlqca, Edo. de México, a 11 de mayo de 2001.
AMIS PADRES
Que con mano firme y certera han sabido guiarme, me han brindado su apoyo incondicional y su infinito amor de padres. Por sus consejos:
GRACIAS MAMI, GRACIAS PAPI.
A MI ESPOSO
En tu memoria, y en recuerdo del inmenso amor que nos unió. Se que desde donde estás seguirás cuidando y protegiendo a los que te amamos.
AMI HIJO Luz que guía mi camino, razón
de mi existencia, por quien trabajo y sigo adelante.
Por tu apoyo y tu sacrificio.
GRACIAS HIJO.
GRACIAS, MI AMOR ETERNO.
A MI ESCUELA, ALUMNOS, Y COMPAÑEROS
Por su apoyo incondicional, por saber esperar y Colaborar en el desarrollo de este sencillo trabajo.
GRACIAS, POR TODO.
¡¡
RESUMEN
LA INTERPRETACIÓN DEL PROFESOR SOBRE EL ENFOQUE DE MATEMÁTICAS COMO FACTOR DETERMINANTE EN EL APRENDIZAJE DE
LOS ALUMNOS DE SECUNDARIA.
MAYO2001
JUANA GABRIElA ZAVAlA MIRANDA
LICENCIADA EN EDUCACIÓN MEDIA BASICA CON ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS
ESCUELA NORMAL DE CHALCO
Dirigida por el Maestro en C. Jaime Alarcón Celis
Entendiendo por enfoque las acciones pedagógicas que desarrollan los
docentes al interior del aula nos preocupa saber si la interpretación que éstos
hagan del enfoque de los programas actuales de enseñanza de las
matemáticas en educación secundaria ha de tener alguna influencia en el
aprovechamiento logrado por sus alumnos.
Para tal efecto se ha elegido una metodología de investigación de corte
cualitativo, dado que se trabaja con seres humanos con cualidades más que
con cantidades; el estudio de casos viene a ser nuestra directriz en esta
búsqueda.
En el presente trabajo se analizan los enfoques de los últimos tres
programas de matemáticas de secundaria que han existido en nuestro país y
que de alguna manera han determinado las estrategias de enseñanza y de
aprendizaje, revisamos las diferentes fuentes que han influenciado y
determinado los papeles tanto del docente como del alumno, sustentamos en
teorías acordes a la época en que existieron cada uno de tales programas y
consideramos el desarrollo del alumno basándonos principalmente en la teoría
evolutiva de Piaget.
iii
Así mismo, se presenta la observación del actual quehacer docente de
tres profesores con características propias, analizando y comparando con las
sugerencias dadas en el libro del maestro, su principal herramienta donde
pueden consultar sobre el enfoque actual de las matemáticas.
Una vez que se detectan los errores, se plantean nuevamente las
experiencias en ef aula desarrollando una propuesta de integración de
contenidos y participación activa de los alumnos.
Finalmente surge la necesidad de analizar y evaluar los alcances de esta
investigación, presentada en el último capítulo. Se consideran aspectos que
componen el quehacer educativo desde el docente y el alumno, hasta las
estrategias de enseflanza y aprendizaje.
iv
INDICE DE CONTENIDOS
RESUMEN ................... - ...................... - •• -·-··-·-·-·-··--·--·----·-··-..................... - ............ _ .... -;;;
INDICE DE CONTENIDOS.-···--··-·-·-·------... - ........... ·-·-··-··-·-·-··-····-··-· ... V
CAPITULO 1 ..... - ..... - .......................... - ......... - .. -·-----··---····-··-·-·---·-··-··-··-·-·-·-·· 1 O
1.1. Conc:e,,tos ciare ..................... -·-··-·-··------··-·-··---··-··-··-·-·-··-·-··-··-··--11 1.2. Seleet:'itín. del escen.arit> ·····-·-·--·-·-··-·-·--··-·-··---·····---··-··-··-·-··-····-··-·--11 1.3. ~'ieti;ms ........................ - .......................... _________________ ..................................................... _ ••••• 12 1.4 • .Dest:ripc'ión de la. .,,,,,.esll'a. .............. ________________________________________________ J J
1.6. Se"1!cc'itín. de lt,s 'insullmentos .............. --·-·---··-·-··-·-·-··-·-··-··-··-·-··---14
1.7. E~ de recolecciti,,, de 1t, m[ormcitín ..... - ......... - .. ···-·-·-··-·· .. ·-··-·--·----15 CAPI~O 11 ·-··-· ... ··-·-·-·····-----·----··--................. - .... - ... --··-·-·---·-··-··-··-------16 2 • .Jl.l.t4RCO TEORI.CO ·-··-....... - ............................. __________ ........... _ ............................ - ................. 16
2 .. 1. En."foque., Pedagógico., ___ .. ____ .. _________ ......, ...... _ .............................. - .... --........................... 16
2. 1. l. Centrado en la materia
2.1.2. Enfoque centrado en el aprendizaje de los estudiantes
2.1.3. Enfoque centrado en lo social
2.1.4 .. T-res modelos de en .. teñanze. y aprmdiz.qie.___. .......................................................... 23
2.1.4.1. Primer modelo _____________________ _
2.1.4.2. Segundo modelo
2.1.4.3. Tercer modelo
2.2 .. Necesidades "básica., de aprentl.izek--·-·------··-·---........................ _ ... _. ....... _. 27
2.2.1. Instrumentales.
2.2.2. Relacionales.
2J. Ntllllraleze de la enseñan.ze de m ---·--··-·-·-··-·-.. -··----· .. ··----10
1.4. Resolución de problemas: eie medular de la m.señanza de las matemátiau ..... -.31
2.5. E~ de Apttn.d.izg.if;.-... _. _______ .. __ .... _ .. _ .... _ .. - ............. - •• ---· .. --.... - ..... _ ..... 34
2.5.1. Trabaio en equipo _____________________ _
2.5.2. Matemáticas: un punto de vista dinámico
2.5.3. Aprendizaie significativo.
2 .. 6 .. Corrien.i-es ep'istemológ'icaa .......... - •• - ..... ---·---··-·-··---·-··-·-··-·-··-·-"-·-·····48
V
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24
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28
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36
38
2.6.1. Conductismo 40 ----------------------2. 6. 2. Estructuralismo 41
2.6.3. Constructivismo 41
2. 7. De la. 'Preadolt!scen.cia. a 'Ja_ Adohcencia ........ .-.... ,...-.--................................. _ •• _ ............... _ ...... 43
2.7.1. Los estadios del desarrollo cognitivo 43
2.7.2. El niño de once y doce años __________________ 46
2.7.2.1. El estadio de las operaciones formales 46
2. 7.2.2. La lógica combinatoria 48
2.7.2.3. El ,popamiento hipotético 48
2. 7.J. El niAo de aece t' catorce años.-··-·-·--·-·-·-··-·· ........ ___ ............ _ ......... _ .............. 48
2.7.3.1. El razonamiento proporcional ________________ 48
2. 7.3.2. El uso de supuestos o proposiciones 50
2.7.3.3. La experimentación científica 50
2. 7.4. Los ióvenes tle quince y d-ieci&& lliios ----·-··-· ... -··-·-· ............ -·-----·-··-·-··-.. 51 CAPITULO III.--........................ - ..... - ..... - . ._.___... ..... _______ ., ....... - ..... - .... ---··-·-·-··52
3. "ANAL/SIS DE LOS ENFOQUES" ·-··-·---·--··-·-··----··-·-··-·-·-··--··---··--52 3.1. Enfoque del plan tradicional (trabaiado hasta 1974) _________ 52
3.2. La reforma educativa (Desde 1974 hasta 1993) 55
3.3. Enfoque actual (Modernización Educativa) ____________ 58
3.4. Conprac'ión de ltJs pri:n.c;,aJ.a ll!lDeckls.----·---............................................... - .• - ........ _ ... ,. ... 62
3.4.1. Obietivos generales ____________________ 63
3.4.2. Las actividades sugeridas (presentación de contenidos) 64
3.4.3. El profesor 65
3.4.4. El alumno 67
3.4.5. El saber 68
3.4.6. Los problemas. 68
3.4.7. Ambiente de trabaio 69
3.4.8. El papel de los errores 70
CAPITULO IV········-··-····-·········· ..... -.................. -·-·-·-··-·· .... -.............. -.. -............. -.. -......... 71 ,
4. "EXPE"Rl.ENCIAS DIDAC11.C.AS-" ....... .--... ... - •• -·---·· .. --·-··-·-·-··-·-··-··---·-· 71
4.1. Análisi, de 'los tegi'llrtJs de tJIJ.,en,aeií•------·-·---···-··-··-··-·-·--·--··-....... ---. 71
4.2. Planteamiento de las e:rúategia.1. ........................ .._ ............. - .......................................... 90
4J. 'Pl,an,eacitJn con;,,n.m de las .1aitJno. ......................................................................... - ............... 94
vf
..Pu.esta en. práctica de la,. plt,.neacití& ·-··--··-· .. • .. ··-·-··-.. -··-·-··-·-· ... ·-·----··· 95
4.4. Anámü de las experien.cias ditltictit:t,s.-... ·-----.. ··-·-··-··-··-.............................. _106
CAPITULO V ..... - ..... _ ................ - ................ --·--·----··-··-·-··-·-·-··-· ... ·-··-.............. _ •• J 08
5. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS-··-·-··-·-·-··-·-··---··-·-··--·-··-·-···· JO&
5.1. Jnstn,,nm.tos tle El'llblación ................................................................................................ 114
5.2. Exf11111!11 de pri,,,er grado ·-··-·-··-·-·-··-·-.............. _ ............................................................ 115
5.J. Finalidad del examen de prünergrado _____________ 111
CONCLUSIONES.-........................... - •• - ..... - ..... - ••••. .. ·····-·-··-··-··-·---·-·-··-.............. _ ........ 122
SUGE'RENC"JAS ••••• - ••••• - •••• - •• -·-··---··-·--..... ·-·-·---··-··-·-··-····-··-·-··-··-··-· .... 125
'REFERENC"JAS BIBLIOO'RA.FICAS ....... _ ...... _._ ......... - ........ _ ...... - •. -.-·-··-·-··-··-----127
vii
INTRODUCCIÓN
En la constante búsqueda por mejorar el aprendizaje se han planteado
diferentes enfoques de lo que es enseftar matemáticas, cuyo objetivo en común
es el de innovar las estrategias que les parecen útiles para el quehacer
educativo.
A pesar de los cambios que han ido sufriendo los planes y programas de
la educación matemática en secundaria, los resultados de alto indice de
reprobación persisten, el rechazo a la materia está latente, mientras el interés
del alumno va en decremento. Ello nos ha lleva.do a pensar que no basta con
los cambios dados a estos documentos, el cambio, quizá, deba ir más allá, al
docente mismo y a la interpretación que da al enfoque de lo que es ensefiar
matemáticas.
En el presente trabajo se desarrolla un análisis de tales enfoques
buscando las causas que llevan al profesor a mantener un rol de poseedor de
los conocimientos y le impiden replantear su práctica docente.
En el primer capítulo se establecen las condiciones, los objetivos y los
instrumentos de investigación que nos sirvieron de gura y herramientas para el
desarrollo de los capítulos subsecuentes, además de las normas y directrices
que seguimos en todo el trabajo de investigación.
En el segundo capitulo establecemos el marco teórico que nos permite
fundamentar nuestras premisas y darle una visión de conjunto a la problemática
por analizar. Iniciamos por definir el enfoque como tal, posteriormente las
diferentes formas de ensenar que han estado presentes en diferentes épocas,
así como las estrategias de ensenanza que se proponen actualmente, por ello
es importante aclarar que se manejan nombres de profesores que acb.Jalmente
están investigando y participando en la elaboración de libros de texto, revistas y
publicaciones que sirven de apoyo al dificil quehacer docente. Tal es el caso del
profesor Juan carios Xique Anaya o de Marco Antonio García Juárez, que
vifi
colaboran muy de cerca con los diferentes departamentos de educación,
aunque no son muy reconocidos.
Se incluye un apartado sobre las teorías del desarrollo genético de los
alumnos, dado que los programas actuales siguen fundamentándose en los
estadios del desarrollo cognitivo de Piaget
En el tercer capitulo se presenta un análisis de los programas manejados
en tres momentos de la historia educativa del país: el plan tradicional (en los
años 60's), el programa que se trabajó durante la reforma educativa (de 1974
hasta 1993) y el programa que se maneja actualmente. Se susten1a el análisis
con las aportaciones de autores de cada una de las épocas, aunque no resulten
de gran renombre son actores que vMeron de cerca el enfoque dado a cada
programa. Se enuncian los objetivos o propósitos que se perseguían y se
persiguen con la enselianza matemática.
En el cuarto capitulo, titulado experiencias didácticas se presentan el
antes y el después de la practica cotidiana de los docentes involucrados en este
trabajo. Primero se hace una contrastación entre su práctica y las sugerencias
del Libro del Maestro, posteriormente y después de haber trabajado con ellos se
presentan las experiencias didácticas acordes con el enfoque actual del
programa. También en este capítulo encontraremos un análisis comparativo de
tales experiencias.
Finalmente, en el quinto capítulo incluimos algunos instrumentos que nos
permiten evaluar el trabajo no solo de los alumnos, sino también de !os
docentes. Cabe aclarar que la naturaleza de esta investigación es cualitativa.
ix
CAPITULO 1
1 ... DISEÑO DE INVESTIGACIÓN"
¿Cómo afecta la interpretación que hace el docente de planes y
programas en el nivel de aprovechamiento de los alumnos?
A pesar de que los "nuevos" planes y programas se implementaron desde
1993, aún existen muchos profesores que continúan trabajando
tradicionalmente y apegados a las estrategias de aprendizaje anteriores. Dentro
de la propuesta metodológica actual se enuncia el desarrollo de habilidades del
pensamiento, se coloca como principal estrategia la resolución de problemas y
el trabajo en equipo como una forma de socializar el conocimiento.
Sin embargo, en la realidad los docentes siguen utilizando la exposición
como principal técnica o método de trabajo, esporádicamente permiten al
alumno manipular y difícilmente los responsabilizan de sus propias estrategias
de aprendizaje. La metodología de aprendizaje sigue siendo la misma que
emplearon décadas atrás: el dominio de procedimientos operacionales, el
seguimiento de fórmulas y procesos de solución. los problemas son vistos
como una forma de ·aplicar· o más bien de mostrar el dominio del conocimiento
adquirido.
En suma, generalmente los profesores ignoran el actual enfoque de la
matemática y ello parece repercutir en el bajo aprovechamiento en el área de
matemáticas, problema añejo que se agudiza con la equíwca interpretación
que se está dando a los planteamientos de la modernización educativa. La
presentación actual del programa propicia que el profesor decida la profundidad
del contenido; al no mencionar qué conducta o producto se pretende lograr,
dejan al docente la responsabilidad de buscar el qué, el cómo y más aún el
cuándo enseñar determinado tema.
Ante esta responsabilidad, el docente se refugia en lo que antes hacía,
persigue los mismos objetivos del plan anterior y evita entrar en conflictos con el
10
alumno presentando el contenido de manera estructurada y a través de la
exposición. Las técnicas empleadas en la impartición del curso están alejadas
de la realidad del alumno, por lo cual no logran atraer el interés o la atención del
educando.
1.1. Conceptos crave
Los planes y programas se fundamentan en bases epistemológicas
como son el estructuralismo y el constructivismo, dando origen al enfoque
que sustenta los objetivos y propósitos del mismo. La interpretación de éste
determina las estrategias de enseñanza de los docentes, así como la
metodología y el rol que desempet\an tanto los profesores como los alumnos.
Por tanto, será en tomo a las relaciones entre estos conceptos que
girará la presente investigación. Y serán también las ideas núcleos que
generarán el marco teórico.
1.2. Selección del escenario
Según Colás1, ·et escenario inicial oeal se puede definir como aquel al
que el observador tiene fácil acceso, establece una buena relación inmediata
con los informantes y ofrece datos directamente relacionados con las
cuestiones claves del estudio. Los escenarios se convierten intrínsecamente en
importantes fuentes para suscitar problemas 'I cuestiones teóricas·.
De ahí que se haya elegido iniciar el trabajo en dos escuelas
pertenecientes a la zona 02-08 de secundanas generales, ambas ubicadas en
Chalco, México, ia Secundaria Oficial 0110 "Luis G. Urbina"' y ia Secundaria
Oficial 0476 ªProfr. Manuel Hinojosa Gilesª y particulannente con tres
profesores de matemáticas que presentan las siguientes características:
• Una profesora que tiene más de 20 anos de servicio, así que ha trabajado
mínimo dentro de los dos últimos enfoques de las matemáticas y parte de su
11
educación se desarrolló dentro del enfoque clásico. De entrada presenta una
gran resistencia al cambio, evita el manejo de nuevos materiales y ha
desarrollado su propia estrategia de ensenanza.
• Un profesor que tiene 10 aflos de servicio, que presenta características de
transición entre los dos últimos enfoques de la enseñanza de las
matemáticas. caractertzado en un principio como un buscador de
innovaciones que le faciliten la práctica.
• Finalmente, una profesora que no cuenta con la preparación adecuada, con
un año de servicio. Sigue el desarrollo temático del libro de texto como única
herramienta de trabajo.
Se pretende realizar una observación participante en las diferentes
aulas en que trabajan estos compañeros, teniendo asi una muestra de 12
grupos con aproximadamente 50 alumnos cada uno.
1.3. Obietivos
Nuestro objetivo general es proponer un enfoque de la matemática
donde el profesor busque que el estudiante de secundaña pueda integrar
la teoría con la práctica.
Esta investigación pretende en una primera instancia realizar un
análisis comparativo de los diferen1es enfoques dados a la educación
matemática en los planes y programas de secundaria antecedentes a la
modernización educativa y el programa actual.
Un segundo punto de interés seria el inwstigar como in1erpretan los
docentes de la zona 02-08 de secundarias generales, el enfoque actual de
la enseñanza matemática, a través de encues1as, entrevistas y pláticas
directas, además de la observación participativa.
t Colás Dravo, Ma. P. (l 937) La metodoJoeía cualitativa en el estudio de cuestiones educativas, Cuestiones ped.,gógicas 4-5, p. 256.
12
En un tercer momento, se pretende plantear un enfoque integrador
de las matemáticas, donde tanto el docen1e como ef alumno jueguen un
rol decisivo de participación, construcción y reconstrucción del saber
matemático. Fundamentándonos en metodologías y estrategias de diversos
autores. Esta propuesta se llevará a la práctica en grupos pilotos, se realizarán
registros anecdóticos, observaciones directas y comparaciones con el trabajo
de otros docentes.
1.4. Descripción de la muestra
ªLa selección de la muestra adquiere en esta metodología un sentido
bastante singular. Tiene como principal objetivo obtener tanta información corno
sea posible para fundamentar el diseño y generar una teoría."2 De ahí que la
selección de la muestra busque no la uniformidad, sino las máximas
variaciones.
Así, la muestra seleccionada presenta a grandes rasgos las siguientes
características:
• Dos instituciones consideradas como las más grandes de la zona, con
salones pequenos, saturación de alumnos, mobiliario en mal estado, con
espacios reducidos.
• Profesores que difieren en su nivel de preparación, años de servicio y forma
de trabajo. Definidos someramente en el apartado anterior.
• Alumnos que oscilan entre los 11 y 15 años de edad, con todos los rasgos
característicos de la pubertad y la adolescencia. Inquietos, inmersos en un
mundo cambiante, bombardeados por los avances tecnológicos y con
intereses alejados del centro escolar.
1 Cohen Louis y Marion Lawrence. Métodos de inyc9tigatjón cducatiw . .Ed. La Mur.ti.la, J990 2 Pattón, M .. Oualitative Evatnation Mcthods (Méeodos di: cv1dnaci.ón ~uafüatival. lkverly [fil~ Sage,. l9S4, p. 254
13
• Planes y programas de estudio relativamente nuevos, implan1ados en 1993.
Contrastados éstos con los planes y programas anteriores.
• Materiales de apoyo, estrategias de enseñanza - aprendizaje que se derivan
de los anteriores.
1.6. Selección de tos instrumentos
Según Pattón3 la entrevista cualitativa puede adoptar tres modalidades,
implicando diferencias en su preparación e instrumentación:
a) Entrevista basada en una conversación infonnal o no directiva
b) Entrevista basada en directrices o entrevista focalizada
e) Entrevista estandarizada
Estas tres modalidades presentan como características comunes:
a) Que las personas entrevistadas expresan sus propias perspectivas
personales.
b} El entrevistador nunca predetermina frases o categorías que puedan ser
utilizadas como respuestas.
e) El objetivo básico es comprender la posición de los participantes, conocer su
terminología y captar la complejidad de sus percepciones y experiencias
individuales.
El presente estudio se va a realizar con los profesores de matemáticas
ya mencionados. La recolección de datos se llevará a cabo mediante
entrevistas, diario de prácticas y fichas de observación del aprendizaje.
Las entrevistas (inicial, durante las observaciones y final} pretenden
conocer los antecedentes y experiencias educativas, las acciones previstas
derivadas de las creencias sobre las matemáticas y la ejecución real.
El díario de prácticas descríbírá cómo perciben la enseñanza de las
matemáticas y cómo se comportan a través de la práctica diaria. Estos datos
3 Pattón. M .. Oo.alitative Evaluatioo Mc:thods (Mé:lodos de evablacion cualitativa), t:levcdy Hills. Sage. 1984, p. 254
14
nos posibilitarán validar la reconstrucción de las creencias verbalizadas en la
entrevista.
En las fichas de observación de aprendizaje se analizarán las razones
por las que, según los profesores, sus alumnos comprenden o no determinadas
tareas o nociones matemáticas.
La naturaleza diferente de los datos aportados por estas tres fuentes
nos proporcionará criterios de validez a través de la triangulación .
1. 7. Estramgias de recolección de la informa:ión
La exploración de los datos mediante estrategias de inducción nos
permitirá identificar variables así como posibles relaciones entre ellas,
generándose una panorámica global de las creencias de los docentes sobre el
enfoque de las matemáticas, así como la relación entre su interpretación y sus
prácticas. Se aplicará el análisis de contenido a la información obtenida
reduciendo los datos a formulaciones más manejables a través de la
codificación y categorización.
Para describir el sistema de creencias, el análisis se apoyará en los
trabajos de Harvey (1986) y Oberg (1987), que utilizan como conceptos
básicos: ·;c1ea núcleo {ideas básicas a través de los cuales se apoyan y
articulan los sistemas conceptuales), perspectivas de acción (estrategias
pedagógicas que se aplican al manejo o transmisión de conocimientos a los
alumnos) y razón (declaraciones verbales, argumentos que puedan apoyar el
establecimiento de las ideas núcleo )-4.
Este doble análisis, que combinará procesos inductivos y deductivos
( aplicación de un sistema de categorías estabtecido) permitirá interpretar la
problemática observada en una forma mucho más completa
-1 C'.olás 13. ~t ( L 987). op.ci.t. p. 27')
15
CAPITULO 11
2. MARCO TEORSCO
nuna vez que se ha planteado el problema social objeto de estudio y se
han definido los objetivos de la investigación, el siguiente paso consiste en
sustentar1o debidamente mediante la exposición y análisis de aquellas teorías y
enfoques teóricos que se consideren válidos para su correcto encuadre (marco
teórico). La presentación de las teorías debe manejarse conjuntamente con las
ideas, conceptos y experiencias que se tengan sobre el tema..s
De tal forma, en el presente capitulo se abordan algunos temas que
sirven de fundamentación al problema, con lo que se pretende elaborar las
bases teóricas en tomo a las cuales gira la investigación. Claro es, que ello no
indica que la exposición de una línea teórica significa el rumbo de la
investigación, sino una base de la cual se toman sólo los elementos necesarios
para fundamentar nuestras afirmaciones.
2.1. Enfoques Pedagógicos
Por enfoques pedagógicos se entiende el sentido, la razón de ser de la
labor docente. La problemática del docente puede situarse dentro de tres
enfoques pedagógicos: centrado en la materia, en el aprendizaje de los
estudiantes y en la situación social.
2.1.1. Centrado en la materia
AJ realizar la tarea de enseñanza-aprendizaje se puede centrar la
atención en cuestiones del tipo siguiente:
• ¿ Qué es lo que tengo que enseñar?
• ¿Qué cosa tiene que saber el alumno?
5 Rojas Smano Raúl Métodos pin Ja inv~stiwión sooial. Méxioo, 1990. p. l 6
16
• ¿Cómo "imbuirles· la materia para que obtengan una buena calificación?
Tales cuestiones nos remiten al primer periodo, o periodo de transición,
de la historia del desarrollo curricular (1900 - 1925). En este periodo se pone
énfasis en la materia de estudio y se tiene en cuenta solamente los criterios de
la lógica del tema y se utilizan como instrumentos principales el libro de texto, el
pizarrón, la palabra y los exámenes, se produce asr un aprendizaje memorístico
(acumulación de datos) y una falta de compromiso personal del alumno y el
maestro hacia el aprendizaje que adquiera significado o sea valioso para el
estudiante.
rF:DAGOGIA C'ENTRADA F..N J.OS CONTENIDOS
, 1 MJ\.TERJJ\.DE ENSEÑANZA
l I MAESTRO 1
' ' 1 Al.UMNO !
" • Tema
• Objetivo
• Motivación PROCESO ENSEÑANZA.
APRF..NDJZAJE • Desarro]Jo
• Afumución
• Comprobación
• Métodos
• Material Didáctico NIVELES: • Observaciones Coooeimicnk,s •
• Hábi1os
• Habtlid!Kb
• Capacidades
• Actitudes
Diagrama 2. 1. Enfoque centrado en tos conteni<fos de enseñanza
17
Observamos en el diagrama 2. 1, que el enfoque pedagógico centrado en
la materia de ensenanza ocupa un lugar privilegiado con relación al docente y al
alumno. Es el docente quien tiene las decisiones sobre motivación,
metodología, desarrollo y todos los aspectos de la clase.
Al centrar la atención en lo que ·deben saber· los alumnos, se recurre a
la motivación extñnseca, es decir, a la amenaza, a los premios y castigos, a la
coacción, al uso de recursos y procedimientos didácticos como fin y no como
medio para lograr el aprendizaje. El estudiante hace el papel del que no sabe y,
por tanto, la tarea del maestro es transmitirle su sabiduría. El papel del profesor
es cubrir un programa extenso, cumplir con sus obligaciones de transmitir, de
informar y de calificar al estudiante para ver si es apto o no para continuar con
sus estudios. (Véase diagrama 2. 1)
·Et concepto de hombre al que responde este enfoque es el de un
hombre incapaz de decidir, falto de iniciativa, de creatividad, sin claridad de lo
que realmente quiere y en cómo lograrlo; es un hombre tipo grabadora: ªYo
maestro, te digo; tú alumno, me repites lo que yo te dije; yo maestro, te adjudico
o tü, alumno, obtienes un 10·. 6
2.1.2. Enfoque centrado en el aprendiza¡e de los estudiantes
otros tipos de problemas docentes corresponden a estas preguntas:
• ¿De qué manera se produce el aprendizaje en los sujetos que tengo a mi cargo?
• ¿Cómo adecuar el contenido de la materia a sus necesidades e intereses?
• ¿ Cómo despertar su necesidad por aprender?
6RugRrcí11 Torres A. JI11ci11 el mgommiento de L, educación univenitaria Cap. 5 m 61elltido docente y SWI con11ecuencias en la educación. Ed Tnllm México, 1999_ p 47
18
• ¿Cómo organizar al grupo de tal manera que se comprometan a participar en el logro de su propio aprendizaje?
En este enfoque se ha redescubierto la importancia del papel que el
estudiante tiene para adquirir su propio aprendizaje. Desde el momento que
hablamos de aprendizaje centrado en el alumno y aprendiZaje centrado en la
materia, nuestro punto de partida y de llegada es distinto. En el diagrama 2.2
podemos observar como las acciones y conductas a desarrollar parten del
alumno; la tecnología educativa busca que el maestro desarrolle conductas
específicas en el alumno.
¿Qué significa partir del estudiante? Significa tener conciencia que frente
a nosotros está un sujeto diferente. la persona del estudiante. con quien
establecemos una relación que debe sustentarse con una intención común: el
aprendiZaje educativo. No se niega que el maestro aprenda, sino que el
verdadero sentido de la relación docente es el aprendizaje del alumno.
En este encuadre de la relación educativa hay un ven:tadero
aprendizaje significativo, transformador y facilitador del desarrollo personal del
estudiante, si se dan al menos dos condiciones:
a} El respeto por la persona del estudiante, que implica aceptar su grado
de desarrollo, sus conocimientos, sus habilidades, sus valores y partir de ellos
para educarlos
b) La conciencia de lo que significa ser docente, es decir, la apertura y
disponibilidad para ir descubriendo nuevas opciones, nuevos caminos que
promuevan la actividad de enseñanza-aprendizaje que abra, por un lado, la
perspectiva del maestro al mundo de la educación y, por otro, la de facilitarte al
alumno su desarrollo personal y su compromiso con la realidad, sobre todo
social.
Es necesario destacar, en este enfoque, la importancia de recurrir a
disciplinas académicas que enriquezcan la labor docente por la visión del
19
hombre que nos aportan. Tanto la filosOffa como la psicología y la sociología
presentan elementos para nuestra reflexión educativa, que nos ayudan a
descubrir la dimensión de nuestra actividad, dirigida esencialmente a propiciar
el aprendizaje del alumno como ser humano en un contexto con una hist:>ria
determinada.
Tecnologla Educativa
PHOAGOGlA CENTRADA EN LOS ClBJIITlVOS
CONDUCTISMO
----------------Maestro
----------- Alumno
Proce8o enseftanza.eprendizaje:
Objetivo• ~
Evalusión
Dirigir nuestra atención al aprendizaje de los alumnos propicia •una toma
de conciencia progresiva, por parte del alurmo, del proceso educativo en que
está inmerso, al desarrollar habilidades, actitudes y un método personal que le
ayude a recobrar la confianza y a contar consigo mismo como el mis adecuado
20
recurso para enfrentarse a !os complejos problemas que le plantea su profesión.
Este enfoque considera al hombre como una persona en proceso de
crecimiento, con una historia personal, con el poder de crear, de decidir, de
enfrentar sus limitaciones y con capacidad de relación y compromiso'"7
2.1.3. Enfoque centrado en lo social
Algunos profesores podrían plantearse las preguntas siguientes:
• ¿De qué manera abordo como profesor la materia que imparto, para que el estudiante pueda ir haciendo la integración entre la teoría y la práctica?
• ¿De qué manera el alumno, a partir de la materia que imparto, cuestiona su realidad social y encuentra elementos para actuar en ella?
• ¿ Cómo tener en cuenta la historia académica y famitiar de los estudiantes como parte de un proceso educativo?
"Plantearse interrogantes, tener conciencia al detectar desde dónde se
actúa y tener alternativas de solución, es tarea y responsabilidad del docente
que pretende hacer de su labor una activKiad educativa que coopere, por un
lado, al crecimiento del individuo, y por otro que prepare a éste para un
compromiso de servicio a una sociedad.a_ El sentk1o de la labor docente estará
fuertemente influido por lo social. En el djagrama 2.3 se aprecia este enfoque
de corte constructivista. Más adelante damos nuestra postura sobre esta
corriente, por ahora solo se presentan el papel del docente y del alumno.
Los postulados más importantes que sostienen este enfoque son:
• No destruir el flujo vital que une al alumno con el medio circundante.
• El conocimiento se da como configuración de una totalidad: el estudiante va incorporando el conocimiento a estructuras preconcebidas.
7 Ibidcm, p. 51 8 Ibidem, p. 55
21
000908
• Para que la función globalizadora entre en acción, se requiere la intervención de un interés y todo interés debe nacer de una necesidad verdaderamente sentida y válida.
• Las sesiones y los problemas de clase se estructuran y desarrollan alrededor de "centros de interésª, los cuales abarcan diversas disciplinas cuyo núcleo central, tanto para la estructura de los programas como para el método de enseñanza-aprendizaje, gira alrededor de problemas reales o situaciones generadoras.
[ ALUMNO
ENFOQUE CONSTRUCTIVJ~'T A
1 PROCESOS 1
) MAESTRO
_AP_RE_ND_ll_AJE_~,4 ~~,-EN-SE_N ____ '\N_Z_.-A-~
,-----1 EV ALUAClON
Se coooihe a1 alumno i.x'lfflo centro de la ~ión. El estudiante asume un papel protagónico Construye sus propios apn:ndi7.ajcs a travé..~ de complej011 pr~s cognitivos - cognoscitivos. Se toman en cuenta su cosmovú.i.óu, su mundo de signifü,';llciones,. sus experiencia&, 11011 vivencias
Se oonvierte en ~ilitüw, promotor, guia Elabora sus estrategias de emedaoza. Promuc~:c situaciones de apn:ndi7.ajc Se convierte en mediador entre d alumno y el oonocimiento
HABILIDADES _,...... HABITOS
Diar,ama 23. Enfoque centrado en la construcción del conocmiento
22
En cuanto a la enset'ianza de la matemática, podemos afirmar que no ha
podido sustraerse de estas etapas de transición por las que ha atravesado la
educación en general Albert J. A. (1996)9 y Chevallard (1997)1º, entre otros,
afirman que seguimos inmersos en el primer enfoque;
2.1.4. Tres modelos de enseftanza y aprendizaje
Chamay11, en su libro ·Aprender (por medio de) la resolución de
problemas· ( 1994} plantea que en un salón de clases se establece cierto tipo de
interacción entre el maestro, los alumnos y las actividades que se realizan para
favorecer el aprendizaje de las matemáticas. La interrelación que se da entre
estos tres componentes, la denomina "modelo de aprendizaje· (estrategia que
el maestro pone en juego para que sus alumnos aprendan) y considera que el
origen de los diferentes modelos radica en la concepción que el maestro tiene
sobre las matemáticas, qué es hacer matemáticas y cómo se aprende.
También señala que en la práctica el docente no utiliza exclusivamente
uno de los modelos, sino que combina elementos de uno y otro. En seguida
intentaré caracterizar desde mi interpretación, tres de los modelos de
aprendizaje más comunes presentados por Chamay.
2.1.4.1. Primer modelo
Si el maestro considera que las matemáticas son un conjunto de
conocimientos acabados (definiciones, algoritmos, fórmulas) que el alumno
debe saber reproducir, centra su actividad docente en la comunicación de estos
conocimientos con el fin de que sean memorizados o mecanizados y
posteriormente aplicados en la resolucíón de problemas hechos de tal manera
para que los alumnos simplemente tengan que efectuar alguna operación.
9 Albert J. A. Lm1 nrohlema11 de l11 didácti08 de las n,a1e,nMicas (Capihllo l). f,.u:mwn--geHcícule -~·e,ie.f en el nivel .mperior.Méxioo: CINVE~"T A V-IPN. Tei¡is dol.1-ontl, p 1-23. ti) Chevallanl Y. Bosch M. G88QÓn J. Ha,,.er y estudiar matcmátipas (Unidad 1) del libro El eslabón perdido entre la enseñanza y aprendizaje. Ban:clona Harsori p. 46 - 63. l l Charnay, Rolando. ""Aprenda (por medio de) )a resolución de problemas'", en Dídáctioa de )$
MatemMicas. Aportes y re.flexiones, oomps. C-ecifü, Pairn e lrma Sainz, Méxiro, PAi~ 1994. Pp. 52 - 63.
23
2.1.42. Segundo modelo
Si considera que el conocimiento matemático puede y debe construirse a
partir de los intereses del alumno , el maestro indaga sobre sus motivaciones,
sus necesidades, su entorno y a partir de éstos intenta proponer actividades o
situaciones que se relacionen, de manera natural, con algunos contenidos
matemáticos y que a su vez, motiven a los alumnos a buscar información, a
organizarla y a ejercitar los conocimientos que finalmente les ensena el
maestro.
2.1.4.3. Tercer modelo
En el tercer modelo, al igual que en el anterior, el maestro considera que
el conocimiento matemático puede y debe ser construido por los propios
alumnos. La diferencia radica en que, por un lado, considera a la resolución de
problemas como fuente de aprendizaje que permite ensayar, buscar, proponer
soluciones y confrontarlas para que puedan validarse o invalidarse. Por otro
lado, toma en cuenta el proceso que siguen los alumnos para aprender los
contenidos matemáticos que se enseñan en la escuela.
Durante varias décadas el aprendizaje de los conocimientos
matematicos se ha centrado en el primer modelo y los resuHados que se han
obtenido hasta ahora no son los esperados, ya que los alumnos olvidan
fácilmente los conocimientos adquiridos, tienen dificultad para resolver
problemas y en general rechazan el estudio de esta asignatura. Además, se han descuidado otros aspectos importantes como el desarrollo de habilidades y
destrezas que son fundamentales para lograr un conocimiento funcional.
En el segundo modelo, al centrar la atención en los intereses del
alumno no se considera la secuencia didáctica necesaria para abordar los
contenidos matemáticos relacionados con dichos intereses y que favorece la
evolución de las propias estrategias de los alumnos. Además, se corre el ñesgo
de dejar fuera algunos de los contenr:ios del currlculum por no formar parte de
los intereses del alumno. Este es el modelo vigente, aunque en forma teórica,
24
durante la reforma educativa que se trató de implementar desde 1974 hasta
1993.
El tercer modelo de aprendizajes el que más se aproxima a las
actuales exigencias sociales y a los resultados de las inve~aciones en
didáctica de las matemáticas. sobre lo que se ha functamen1ado la
reformulación del enfoque para su ensef\anza y su aprendizaje, con el propósito
de desarrollar en los alumnos el gusto por el estudio de esta asignatura, así
como aprendizajes sólidos, significativos y permanentes. El reto que plantea
este modelo consiste, por un lado, en diseñar secuencias de situaciones
problemáticas para cada uno de los contenidos del currículum, capaces de
generar ese interés y por otro, un cambio de actitud del maestro frente a las
matemáticas y un dominio más amplio y sólido de sus conocimientos.
Para Marco Antonio Garcia Juárez12 (1998), es importante señalar que
"el solo hecho de que el maestro maneje los contenidos matemáticos, conozca
los propósitos curriculares y las nuevas ideas del enfoque actual para la
enseñanza de la matemática, no garantiza su aplicación en el aula ni mucho
menos la construcción, apropiación y desarrollo de nociones, habilidades,
destrezas y actitudes, por parte de los alumnos, Hace faHa mucho más:
decidirse a probar nuevas estrategias, poner atención a lo que dicen y hacen
los alumnos para resolver las situaciones, cambiar de actitud frente a sus
procedimientos aunque éstos sean diferentes a los convencionales."
De ahí que en lo sucesivo se aborden aportaciones de diversos autores
que nos permitan apropiamos de tales estrategias y conocer más a fondo la
labor docente. Tal es el caso de Rosa María Torres13 {1998), que afirma que en
·e1 proceso actual de modernización educativa, los libros y demás materiales de
apoyo para los maestros han experimentado cambios profundos tanto en el
tratamiento didáctico de los contenidos como en su presentación.· A partir de
12 García Juárez, Man;o Antonio . .Aspectos de Ja Didáctic;t.. En Un Reto M:is. Boletín seme:str.11. Número
3, Julio 1998. SEP, p. 5.
25
esto vale la pena reflexionar hasta dónde el uso de los mismos textos en todo el
país es contradictorio con la creatividad que se reclama de los maestros y con
la recuperación de su papel técnico y profesional; o si por el contrario, es un
elemento más que contribuye a su superación. Es decir, existen profesores para
quienes los libros son todo su apoyo y material, siguen lección tras lección el
libro de texto y no salen de la línea que este les plantea. Mientras, otros
docentes, prefieren ignorar estos libros y se proveen de su propio material,
buscando en diferentes textos, materiales de apoyo, revistas e inculcando la
investigación a sus alumnos.
Para Rosa María Torres (1998), enseñanza - aprendizaje constituyen
una unidad dialéctica que se ha perdido debido a que en algún momento la
enseñanza cobró autonomía. Por lo tanto dice, ·hay que restituir esa unidad en
vez de buscar ahora la autonomía por el lado del aprendizaje"'. 14
En los cursos actuales se está generalizando la idea de la enseñanza y
el aprendizaje como una unidad, así lo refleja el enunciado que en días pasa.dos
leímos en el pizarrón de una escuela primaria: ''Yo enseño, tú aprendes: ¿uno o
dos procesos?"
Un asunto más es el problema de la idealización del docente como
portador del saber, lo que no le permite: equivocarse, ignorar, dudar y, lo más
importante, /a posíbiHdad de aprender y de reconocer que aprende. En realidad,
para Hugo Balbuena Corro15 (1998), ·éste es un obstáculo importante para el
Programa Nacional de Actualización Permanente que se realiza en México y
tiene razón quien sefiala que dicha idealización constituye la propía cárcel del
maestro·.
11 ROSll Maria Torres. Ooé y cómo aprendq. Méx.iC<.1, SEP, 1998 (Bil:,li(J(~ pn la Ad.:ualización del Maestro), p. 36
14 Jbidem. P. 38 1
~ IJatbuena Corro, [[ugo. AS!pedos de la didádjca. Revista sc:mcstral Un Reto Más No. 5, ~féxim. l'J"J'), p.8
26
Algunos asuntos que se relacionan directamente con las tareas del
maestro y del alumno, como "aprender a aprender", "aprender a estudiar:
·aprender a ensefiar", ·aprender a recuperar el conocimíento~ ·aprender a
aplicar fo aprendido", en opinión de Balbuena Corro16 (1998), "'no pueden
considerarse como procesos aislados, puesto que todos ellos se derivan del
tipo de actividades que se realizan en la escuela y de la forma en que se llevan
a cabo. En la medida en que el profesor plantea situaciones que representan un
reto para los alumnos y éstos tienen la posibilidad de utilizar sus propios
recursos para solucionarlas, así como de confrontar diferentes procedimientos,
todo lo entrecomillado se da de manera naturar
Con todo lo anterior es indispensable dar un vistazo a la normatividad,
es decir, cuáles son los fundamentos que retoman estos autores para sus
afirmaciones, cómo considera la parte oficial que deben impartirse estos
conocimientos matemáticos necesarios para el desarrollo del alumno de
secundaria.
2.2. Necesidades básicas de aprendizaie
En sentido muy general podemos entender por necesidades básicas de
aprendizaje los requerimientos fundamentales para el desarrollo del individuo
en la sociedad y de la sociedad a través de los individuos que la conforman .
.. Ambas dimensiones de desarrollo (individual y social) son correlativas y
complementarias; es decir, la satisfacción de las necesidades básicas de
educación beneficia a cada miembro del grupo social y este beneficío individual
redunda en el bien general de la sociedad, por lo que para efectos de la
educación preescolar, primaria y secundaria, estas dos dimensiones de las
necesidades básicas debe considerarse conciliables, en estrecha y permanente
interacción·11.
16 Ibidem. P. 21. 17 SEP. CONALTE. Perfiles de desempeño p,mt ~ar, p-imarm y secundaria., Méxioo., 1993, p. 57
27
Los seis grupos de necesidades básicas de aprendizaje 18 consideradas
por el CONAL TE (Consejo Nacional Técnico de la Educación, 1994) son los
siguientes:
2.2.1. Instrumentales.
» Acceso a la información: Se refiere a la capacidad de interpretar distintos
tipos de mensajes y códigos, desde textos escritos hasta sistemas
automatizados de información; comprende procesos para localizar. traducir,
organizar, procesar, analizar y suministrar datos en diferentes contextos y
propósitos.
)- Claridad de pensamiento: Se refiere al desarrollo de las capacidades de
razonamiento que el ser humano necesita poner en juego para insertarse
productivamente en la vida. Implica la educación de una mentalidad analítica
para plantear problemas. Se vale de los principios e instrumentos de las
ciencias, entre ellas se destacan la matemática. la geometría. la física, la
química, la biología, la estadística, para entender y transformar la realidad.
» Comunicación efectiva: Se refiere a la capacidad para poder manejar los
diferentes lenguajes que facilitan la expresión y el intercambio de ideas y
sentimientos tales como el dominio de la lengua materna - en forma oral y
escrita -, el lenguaje de nuestro cuerpo, el de las imágenes, los sonidos y
otros.
2.2.2. Relacionales.
» Comprensión del medio ambiente: Incluye los valores, conocimientos y
habilidades que sirven para entender. preservar y mejorar el mundo que le
rodea.
» Comprensión del hombre y la sociedad: Hace referencia a la
comprensión que el educando necesita tener del proceso histórico del que
forma parte, para ubicarse y descubrir los distintos papeles principales y
111 Estas seis categorias resultaron de la combinación de loa plaiteamieolos teóricos del Modelo Educativo explicitado p« CONALT.E y de una p-opuesta para la .Educación de Ja U.N.ESCO, de Hamburgo,
28
complementarios que ha de desempeflar para interactuar en forma
responsable en los distintos ámbitos y desarrollarse en arrnonia dentro de la
sociedad en la que vive.
:);. Desarrollo personal: (el individuo frente a si mismo} Este desarrollo implica
el despliegue de potencialidades físicas, étnicas, estéticas e intelectuales
que cada individuo posee y emplea para expresarse, para fortalecer su
propia concepción positiva de si mismo, y a la vez adquirir métodos que le
permitirán seguir aprendiendo durante toda su vida.
El tema de las necesidades básicas de aprendizaje es medular en este
estudio. En el caso concreto de las matemáticas se plantea como necesidad
básica el desarrollo de la capacidad para resolver probJemas, detectarlos,
formularlos e identificarlos.
Emilia Ferreiro19 (1998), destaca dos aspectos importantes: la necesidad
de que una propuesta de innovación curricular atienda /as necesidades
cognoscitivas de Jos alumnos, lo que implica un trabajo previo sobre los
procesos que siguen para aprender y el tipo de situaciones didácticas que
garantice que los alumnos adquieran un conocimiento funcional."
A propósito de las necesidades básicas de aprendizaje, Cesar Coll
asigna una gran importancia a la memoñzación comprensiva, ·tomando en
cuenta que fa capacidad para utilizar un conocimiento adquírído va siempre
acompañada de un dominio amplio de conocimientos especlficos,;¿o. También
hace un llamado sobre la necesidad de realizar trabajos de investigación que
nos lleven a conocer lo que realmente sucede en el aula, el currículo en acción_
Luis A. Santaló en ·1a matemática para no matemáticos· refle}dooa
acerca de las exigencias que los avances del mundo científico y tecnológico
AJem1mi1t 19 Ferreiro, Emilia. La vida y oma de Piaget Fundamentos Psicológicos y Sociológioos de Ja educ. ll'ESM, México 1991, p. 45 20 Coll t~. (1998) "'Significado y sentido en el ap:erutizeíe S§QQ)ar. Reflexiones en tamo aJ ~pto de gendiz1tje significativo" en lnfimci11 y Ap-endiz'!ie No. 41, p. 2J
29
imponen a la enseñanza de las matemáticas. Opone la idea de formar alumnos
en las matemáticas puras, la necesidad de "'una mezcla coordinada y bien
equilibrada de matemática pura y aplicada o de matemática como filosofía y de
matemática como instrumento de cálculo._ 21
2.3. Naturaleza de la enseñanza de las matemáticas
Lerman (1990) recalca la importancia de discutir los puntos de vista de
las matemáticas que están inmersos en la practica de enseriar matemáticas:
"los cambios en la educación matemática necesitan retar /as suposicíones
acerca de las naturaleza de las matemáticas. de lo contrario tendrán un efecto
ma,ginal.a2
Al respecto Robítaílle & Dírks (1982) discuten tres diferentes
orientaciones del Currículo matemático que se relacionan con diferentes puntos
de vista de lo que son las matemáticas: "B Currículo francés el wal enfatiza el
tipo formal de /as matemáticas, el Currículo británíco que resalta las
aplicaciones de esta disciplina. y el curriculo noTteamericano que le da
ímportancía a la resolución de problemas pero con múltiples ínterpretaciones,;z;i
El enfoque actual de la enseñanza de las matemáticas en educación secundaria
retoma el tercero, es decir centra el aprendizaje en la resolución de problemas.
Cobb24 (1988) sugiere que una meta importante de la instrucción
matemática es proveer las condiciones que ayuden a los estudiantes a
desarrollar una estructura más poderosa que la que los estudiantes tienen al
inicio del curso. Por su parte, Wimbish25 (1972} mantiene que ·1os diferentes
puntos de vista acerca de la naturaleza de las matemáticas debe ser parte del
21 Santaló, Luis A. Matemáticll!I para los no matemálicos.. Cea.lia Parra e Trma Saínz (comptladoras). Argentina. Piados .Educador. 1994. p. 98. 22 L.:rm-. S. AIU:rmdi..,t: pcrseaj.i..,t: ofllk: iww-t: ofmitilbt:ma'"*-··(Pg~..,. altanati..,,. tk t. natunileza de las matemáticas) Rritish F.dooati<W1a( R~rnh Joumal, 16(1), 1990 I'· 6~ 2., Citados en Sftfttos Trig(), Luz Manuel. y Jlw!()hp;ión de probtema11: Elemeatgs pn una pr<Jp0e1!ta en el
~e-de 111!1 ~enuítíc1111. Cuadc:"1os de in~lli~ M~ico~ 1993. . . . - Cobb. P. J he tem1on bctween thec.riea of Jearnmg and msb'Uco1on 1ft mathemabcs educabon . .Edal Psychologi.'11, 23. 2.~ Citado JlOI" Smtos Trigo, op. Cit. P. 9.
30
contenido que se discute durante la clase·. Es decir, que da crédito al enfoque
que tanto el profesor como el alumno dan al proceso de ensefianza -
aprendizaje de la matemática, sugiriendo un papel activo tanto para el docente
como para el alumno al mencionar la discusión en clase.
Oossey26 (1992) indica que ·e1 aprender matemáticas debe aceptarse
como una actividad humana, una actividad no gobernada estrictamente por
alguna escuela de pensamiento. Es decir que el aprendizaje de las matemáticas
incorpore los elementos que describen la práctica real de desarroHar o hacer
matemáticas.,_
2.4. Resolución de problemas: eje medular de la enseñanza de las ma1emáticas
En el estudio de las matemáticas et resolver problemas desempeíía un
papel muy importante. Halmos27 (1980} menciona que ·en las matemáticas
existen axiomas, principios y métodos importantes; pero el resolver problemas
es el corazón de esta disciplina~ Kleiner (1986) afirma que ·e1 desano/lo de
conceptos y teorías matemáticas se originan a partir de un esfuerzo por resolver
un determinado problema·. Diudonne establece que ·1a historia de las
matemáticas muestra que los avances matemáticos casi siempre se originan en
un esfuerzo {XJr resolver un problema específico· ( citado en Kleíner, 1986, p.
31 ). Recientemente, el National Council of Teachers of Mathematics ·NCTM"
( 1989, 1991 ) identifica a la resolución de problemas como una de las metas
más importantes en el aprendizaje de las matemáticas.
Como podemos observar en las opifliooes anteriores, resolver problemas
es una actividad esencial en el desarrollo y aprendizaje de las matemáticas, por
tanto, los programas actuales aciertan al ubicar1os como centro de nuestra
acnvídad docente.
2tj Dossey. J. A The nature of matbematic.s. lts r~e an4 ita ínflucn~ In TI. Grou\\'!i { ed). 27 Ilalmos, P. R. (1980) The heart of matltematios. American Mat.hematKlal MoolhJy, 37, 5] 9--524.
31
Emest28 afirma que ·un método activo *1soluci6n de problemas- puede
aceptar la importancia de los métodos utilizados por los estudiantes cuando se
enfrentan a tareas matemáticas. En contraste, un punto de vista platónico o
instrumentalista acepta que el maestro debe insistir en la existencia de un solo
método con-ecto para resolver cada problema ·- Entonces, es esencial tomar en
cuenta las decisiones, estrategias y recursos utilizados por nuestros alumnos.
Para el profesor Santos Trigo29 (1993), "/a propuesta de aprender
matemáticas a través de la reso/ucíón de problemas reconoce a las
matemáticas como un cuerpo de conocimientos no tenninado. Es una discíplina
en constante extensíón tanto en resultados particulares como en métodos y
principios generales. El estudiante en el aprendizaje de esta materia discute
estrategias, emplea ejemplos y contraejemplos, critica y valoriza los resultados,
y compaTte que la búsqueda de argumentos sólidos es esencial en la resolución
de problemas"
Y es precisamente esa visión la que se desea retomar en esta propuesta,
darte al alumno esa oportunidad de vivir realmente la matemática, hacer
matemáticas y reconstruir sus propios conceptos_ Y como en el enfoque actual
de esta materia se gira en tomo a la resolución de problemas, veamos algunas
opiniones al respecto.
Polya30, trabajó específicamente en la solución de problemas
matemáticos, pero su heurística aplicable a otros campos motivan la
concepción de la resolución de problemas como una habilidad general y la
resolución de problemas matemáticos simplemente como un caso especial.
Polya {1945), resalta la identificación de vanas etapas o categorías en el
proceso de resolver problemas: inicialmente habla de la fase de entendimiento
del problema {entender la información del enunciado y sus relaciones);
211 Emest. P. The knowledse. Bdid's, d altitudes ofthe mathematios teaoher: A modi:J. P. 35 29
&mi.os Trigo, Luz Manuel. La resolución de problemas: Elementos paa una pnpuesla en el ~e de matemáticas. Cuadernos de ín~!ltigación. P 9. 30 Poi ya, G. 1 Jow Solve it (Cómo re90Jver probJemas ), Princenton University, J 94:'i.
32
posteriormente, la concepción de un plan y el proceso de llevarlo a cabo;
finalmente, la fase de una evaluación de la solución o soluciones y el llevar a
cabo una visión retrospectiva del potencial del problema. Polya sugiere también,
pensar en un problema más simple, el buscar algún patrón, el usar diagramas o
gráficas y tablas.
Mason (1985), citado por Santos Tngo31 identifica en el proceso de
resolver problemas tres fases importantes: "La entrada del problema (entry), e/
atacar el problema (attack), y la revisión o evaluación del proceso (review). En
la primera fase sugiere discutir tres preguntas: ¿ Qué es lo que sé? ¿ Qué es lo
que quiero? ¿Qué es /o que puedo usar?. Para atacar e/ problema propone
actividades como conjeturar, convencer, justif,car y cómo reaccionar ante
posibles dificultades (beíng stuck). Para /a fase final, Mason sugiere analizar la
situación, revisar operaciones, reffexionar acerca de las ideas y momentos
importantes del proceso y extender el problema a contextos más amplios".
Una matemática activa, que lleve al alumno a cuestionarse sobre lo
aprendido y lo que necesita aprender, una constante reflexión sobre su propia
acción en el proceso de ensenanza - aprendizaje es lo que podemos identificar
en esta propuesta, el resolver problemas no es simplemente buscar resultados,
sino más bien todo un proceso de construcción y reflexión.
Por su parte , Schoenfeld32 encontró que existen cuatro dimensiones que
influyen en el proceso de resolver problemas. Dominio deJ conocimiento o
recursos, estrategias cognoscitivas, estrategias metacognitívas y sistemas de
creencias.
El dominio del conocimiento o los recursos incluye a las definiciones, los
hechos y a los procedimientos usados en el dominio matemático. Por ejemplo,
si el problema involucra raíces de polinomios, entonces los recursos sertan el
•11 Santos Trigo, op cit. P. 26
33
conocimiento de lo que es un polinomio, el grado, las operaciones y lo que son
las raíces. Las estrategías cognoscítivas incluyen métodos heurísticos tales
como descomponer el problema en simples casos, establecer metas
relacionadas, invertir el problema, el uso de tablas y dibujar diagramas.
Las estrategias metacognitívas se relacionan con el monitoreo empleado
al resolver el problema, por ejemplo, el proceso de selección de una estrategia
y la necesidad de cambiar de dirección como resultado de una evaluación
permanente del proceso. Es decir, que el estudiante esté consciente del
proceso que utiliza al resolver un problema. Finalmente, los sístemas de
creencias incluyen las ideas que los estudiantes tienen acerca de las
matemáticas y como resolver problemas. Aquí, lo que el estudiante píense de
las matemáticas tiende a influenciar la forma de trabajar los problemas
matemáticos.
2.5. Estra1egias de Aprendizaie
Para responder a las interrogantes de qué es lo que se debe enfocar o
en qué aspecto se debe centrar la enseñanza, se identifican tres posiciones en
este sentido. Una la que asegura que se debe ensenar enteramente para el
desarrollo de un conocimiento local, es decir, materia por materia. El otro
camino apuesta a que se debe invertir una gran cantidad de teCUISDS en el
desarrollo de habilidades generales para resolver problemas, autoregularse, y
evaluar el propio aprendizaje. Una tercera posición afirma que, en realidad, esta
dicotomia oscurece algunos aspectos importantes. Es decir, se debe apuntar a
una combinación de estrategias generales y particulares.
El propósito central de los planes y programas de estudio de la
educación básica es • integrar conocimientos, habilidades y valores que
permitan a los alumnos continuar su aprendizaje con un alto grado de
independencia, dentro o fuera de la escuela; fact1itar su incorporación
12 Scboenfeld, A. Mathcmatic.al pt:oblem 119lyíng. A~íc Pre.!111. New York, 1935_, p. 46
34
productiva y flexible al mundo de trabajo, y participar responsablemente en la
vida social, política y cultural del país . .ro
Así que, revisemos algunas estrategias que se han ido desarrollando con
el fin de dar una respuesta satisfactoria a la demanda del enfoque actual de las
matemáticas donde un maestro que sepa dirigir el trabajo activo del alumno y la
socialización del conocimiento parecieran ser los conceptos centrales.
2.5.1. Trabajo en equipo
Una buena estrategia para lograr los propósitos de la enseñanza de las
matemáticas, desde la clase misma, es el trabajo en equipo. Se tra1a de
generar un ambiente de trabajo donde todos asuman la responsabilidad de un
objetivo común: resolver el problema o actividad planteada por el profesor. De
esta manera los alumnos aprenden a relacionarse con el profesor y con sus
compañeros, haciéndose responsable de sus propios argumentos, respetando
el punto de vista de los demás y, mejor aún, ayudando a que todos entiendan y
participen en el proceso.
Cuando el profesor delega en los equipos la responsabilidad de resolver
un problema o realizar una actividad, permite, por un lado, que hagan uso de
sus conocimientos previos, elaboren conjeturas, las comun~uen a sus
compañeros y las validen. Con esto adquieren cada vez. mayor seguridad en sí
mismos, ya que dejan de ser solamente receptores pasivos de las explicaciones
del profesor y aplicadores de técnicas y procedimientos enseñados en el
pizarrón. Esta forma de trabajo tes permite encontrar más de una estrategia
para resolver un mismo problema que constituyen una gran riqueza didáctica
porque favorecen la comprensión más profunda de los conceptos y los
principios involucrados, al socializarlas y buscar argumentos para defenderlas o
invalidarlas.
La forma en que el alumno interactúa en el equipo dice mucho del
ambiente familiar en el que se desenvuelve y es una buena oportunidad para
33 ~'EP. Lit.-o del Maestro de Mith:máticas. Secundnriit, 1993, Mfa-ioo. P. 8.
35
formar al Muro ciudadano, responsable de las tareas comunitarias y respetuoso
de las ideas de otros.
Trabajar en equipo, según el profesor Xique AnayaM (1999), •ofrece al
profesor la posibilidad de acercarse más a sus alumnos para conocer el grado
de avance que va logrando cada uno de ellos. al observar la calidad de las
intervenciones y la manera en la que uti#zan los recursos matemáticos para
realizar la actividad o enfrentar la situación problemática planteada"'. El profesor
tiene la responsabilidad de proponer a los alumnos actividades o problemas que
resulten interesantes, que provoquen en los alumnos una actitud de búsqueda e
investigación tomando en cuenta que los conocimientos que ya poseen sirva de
base para encontrar la solución.
Durante la sesión, fle/ profesor coordina el trabajo y anima a los alumnos
a resolver la situación planteada. Puede plantear algunas preguntas u ofrecer
algunas sugerencias o nuevos retos por ejemplo: ¿para qué sirve esta
operación? ¿qué significa este número? ¿setá la única forma de resolverlo?
¿por qué de esa manera? ¿ cómo podemos comprobar el resultado?~
2.5.2. Matemáticas: un punto de vista dinámico
Comúnmente, la práctica de estudiar matemáticas se relaciona con el
recordar y aplicar la regla correcta a las preguntas de los maestros, y la
veracidad de las respuestas se deteITTiinan con Ja ratificación por parte de los
maestros o los libros de texto. (Schoenfeld, 1985) afirma que ·estas ideas
acerca de las matemáticas y el significado de su aprendizaje se adquieren a
través de los años al obseNar, escuchar y practicar actividades matemáticas,oo
Barbeau37 (1989) indica que ·1a mayoría de la gente pe,cibe a /as
matemáticas como un conjunto fijo de conocimientos pulidos y acabados. Se
ubica como una disciplina fria y austera que le da poco espacio al juicio y a la
l-4 Xique Anaya, Juan Carlos. ;Trabajar: en equipo! Una buena eirtrategia pan educar haciendo matemáticas. Aspect08 de la didáctica. Un Reto Más. Revista Semestral No. K, Méxic:io, 2000. p. 6 31 Ibídem p. 7 36 ~oocofcld, op cit. p. 58
36
creatividad". Este punto de vista refleja el tipo de matemáticas que se estudian
en la escuela actualmente.
De ah( que, Lester38 (1983) afirma que los maestros muestran a los
estudiantes solamente los movimientos correctos al resolver un problema. Es
decir, seleccionan el método adecuado. trabajan correctamente las operaciones
y obtienen una solución correcta. De esta manera, los estudiantes prensan que
resolver problemas es un acto de seleccionar una serie de "trucos" que son
solamente accesibles a unos cuantos.
Un punto de vista contrario a lo anterior, acepta a las matemáticas como
disciplina falible, cambiante y semejante a otras disciplinas como producto de la
inventiva humana. Por eHo, Romberg39 (1992) afirma que un punto de vista
dinámico de las matemáticas tiene consecuencias importantes en su
aprendizaje. Así, el NRC (National Research Council, 1989} establece que
"existen evidencias que afirman que los estudiantes aprenden matemáticas sólo
cuando ellos construyen activamente sus conceptos". 40
Entonces, los alumnos deben apropiarse de habilidades asociadas a
verbos como examínar, representar, transformar, resolver, aplícar, probar y
comunicar.
Esto se da si el alumno trabaja en grupos, participa en discusiones,
realiza representaciones y en algunos caminos se encargan del desarrollo de su
propio aprendizaje.
En suma, la National Council of teachers of mathematics (NCTM, 1990)
afirma que un punto de vista dinámico de las matemáticas conlleva a un
ambiente de aprendizaje que tienda:
37 Citado r,cw SantO!I Trigl,, op. Cit. 38 Lelller, F. K. Trends m;l issues in mathem.atic.al probtem wtving reseoo;b. Orlando, FL, 1983_, p. 235. :w Romberg. T. A. Further thouts on the slancwds: A reactiop to AJmle. Joumal for rescarch in matbematics educatíon. 2.i(5 ). 10
National Researcb. Council Evqy body countll: A«aNrt on tlw fytnrc ofm~ cdm:ations (Toda la gente cuenta: Un n:port.e en el fütuo de la educación matemática) W asbington l 989.
37
• "Hacia la aceptación de un salón de clases como una comunidad matemáfica
• Hacia el uso de la lógica y evidencia matematica como un medio de
verificación. En contrapuesta a ver al maestro como la sola autoridad para
dar las respuestas correctas.
• Hacia el desarrollo del razonamiento matemático. Es decir, no ubicar a las
matemáticas como un conjunto de fórmulas o reglas a memorizar.
• Hacía la resolución de problemas y no solamente el énfasis en el proceso de
encontrar soluciones mecánicas Hacia la conexión y aplicación de las
matemáticas Es decir, no concebirla como un cuerpo aislado de conceptos y
procedimientos _•41
2.5.3. Aprendizaje signifacativo.
Durante los últimos años, en el ámbito educativo, se ha hablado mucho
sobre desarrollar en el alumno un aprendizaje significativo, entendiendo éste
como aquel que despierta un interés en el alumno y una necesoad de
aprender, al respecto, Edwars y Merce.-'2, (1998) afirman que ·1o que
necesitamos es una comprensión de la educación corno proceso en el que se
ayuda y guía al alumno hacia una participación activa y creativa en su cultura
(. . .) Lo que precisamos es una nueva síntesis en la que la educación se vea
como el desarrollo de la comprensión conjunta. De ahf que señalemos las
siguientes necesidades en el aprendizaje de las matemáticas:
• Que las construcciones de los alumnos se aproximen progresivamente a
las que se consideran correctas y adecuadas para comprender la
realidad.
41 NationaJ Council of Teachers of Mathematfos.,ProfesaionaJ standards for: teaching mathematics: Wotting draft. Restan,. V. A. 1989. ~2 Citado por Santos Trigo, op.cit, p. 51
38
• Girar y proporcionar los recursos y el andamiaje necesarios para que los
significados que éste construye se aproximen paulatinamente a los del
cuniculum escolar.
• Que el profesor intervenga activamente en el proceso de enselianza y
aprendizaje, tanto en la fase de planificación y organización del mismo
como en lo que se refiere a la interacción educativa con los alumnos.
• Que los alumnos se sientan motivados para abordar nuevos aprendizajes
en un enfoque en profundidad que les lleve a establecer relaciones y
vínculos entre los que ya saben y los que deben aprender.
• Intervenir contingentemente sobre los obstáculos y avances que
experimentan los alumnos en la construcción conjunta de significados.
Y de tales necesidades surgen los objetivos a segui" dentro de la
enseñanza de las matemáticas bajo este precepto de aprendizaje significativo,
enunciados a continuación: Con el aprendizaje de las matemáticas se
pretende que el alumno:
• Desarrolle procesos metacognoscitivos que le permitan analizar su
gradual avance en la adquisición de una cultura mateméitica cambiante
pero con hístoria
• Que identifique, siga, rompa y produzca patrones de comportamiento
numéricos, geométricos.
• Que analice figuras y cuerpos geométricos con el fin de identificar las
propiedades, características y relaciones entre ellos.
• Que desarrolle su ubicación espacial a través del estudio de figuras y
cuerpos geométricos por superposición, permutación, simetría, ensamble
39
y otras actividades que le lleven a una interacción directa con su objeto
de aprendiZaje.
• Que asimile procesos mentales y creativos, que lo lleven a la
comprensión, reproducción, perrepción, a la abstracción reflexiva y a la
comprensión verbal.
• Que desarrolle un razonamiento lógico analítico a través de procesos de
construcción tales como transferencias a aplicaciones, relaciones,
funciones e interrelación entre los diferentes contenidos matemáticos.
• Que aplique procesos metodológicos en la representación, análisis y
soluciones de situaciones problemas, tales como el analisis, la sintesis,
la inducción y la deducción.
2.6. Corrientes epistemológicas
2.6.1. Conductismo
De acuerdo a esta teoría la educación es uno de los procedimientos que
emplea la sociedad para controlar la conducta de las personas. La escuela es
principalmente transmisora. Privilegia la homogeneización sobre la
individualización.
Las técnicas y procedimientos para conseguir el aprendizaje son el
moldeamiento, donde se va reforzando diferencialmente aquellas conductas
que se aproximan cada vez más al conocimiento deseado. Si al alumno le
resulta difícil conseguirlo, se le puede ayudar a hacerlo, con la condición de ir
retirando este apoyo hasta que lo pueda lograr por si mismo.
Esta perspectiva concibe al profesor como un tecnólogo de la aplicación.
Su tarea consiste básicamente en estar continuamente monitoreando el
rendimiento de los alumnos y corrigiendo sus respuestas.
40
2.6.2. Estructuralismo
uEn distintos momentos de la evolución de las matemáticas se han
propuesto modelos teóricos que explican la forma de ver1a y enseñarla, uno de
ellos es el "estructuralismo" que es adoptado y aplicado en los programas de
esta asignatura en la escuela secundaria de 1975 hasta 1992, y que se
caracterizó por el estudio de siete aspectos básicos, que configuraron la
estructura del aprendizaje de las matemáticas, basadas en la teorta conjuntos y
en las propiedades estructurales y axiomática de los números, que en su
momento fueron el pilar de la aritmética, el algebra, la geometría, la es1adistica
y la probabilidad--43
El estructuralismo en la matemática escolar se corresponde en el tiempo
con la tecnología educativa y se trabaja paralelo a ésta por aproximadamente
17 anos, pero luego se abandona a partir de la puesta en marcha de los planes
y programas de estudio en 1993.
2.6.3. Constructivismo
El constructivismo surgió inicialmente como una teoría epistemológica
que explica cómo se ongína y cómo se modifica et conocimiento; al cabo de los
años, la teoria epistemológica ha dado lugar a una serie de teoñas psicológicas
del aprendizaje y a varias corrientes pedagógicas y didácticas. La teoría
epístemológíca tíene como hípótesís de base que el conocímíento es una
constroccíón (de ahí su nombre) que realiza el individuo a partir de su
experiencia previa y mediante su interacción con el medio circundante. Esto
quiere decir, en prímer lugar, que cada indívíduo tiene que construir su propio
conocimiento.
El constructivismo se opone a las teorías empiristas que afirman que el
conocimiento es una copia de la realidad, producida por intermediación de los
sentidos. Según las teorías empiristas, basta observar cuidadosamente !a
naturaleza para conocerla. Se opone, también, a las teoñas racionalistas que
suponen que el conocimiento es una elaboración pura del indivi:fuo, quien al
41
nacer viene dotado de ciertas estructuras cognoscitivas que le permiten hacer
esa elaboración con independencia de la realidad.
Una de las teorías epistemológicas constructivistas más influyentes del
siglo veinte fue elaborada por el epistemólogo suizo Jean Piaget, quien tuvo
una gran ascendencia sobre las subsecuentes elaboraciones psicológicas y
pedagógicas constructivistas, sin embargo, él mismo nunca elaboró una
didactica constructivista.
Las tesis centrales del constructivismo son las siguientes:
» El aprendizaje es un proceso de construcción del conocimiento (no una
copia o absorción de la realidad)
» El aprendizaje depende del conocimiento previo (la gente usa su
conocimiento para construir nuevos conocimientos)
}- El aprendizaje esta fuertemente influenciado por la situación en la que
tiene lugar qué aprendemos, (depende del contexto en que lo hacemos)
Las teorías del aprendizaje desarrolladas bajo la influencia del ps.cólogo
soviético Lev Vygotski, conocidas como corrientes socioculturales, agregan a
estas tres tesis una cuarta:
,.. El aprendizaje tiene lugar, primordialmente. en una interacción social.
Al poner mayor o menor énfasis en alguna de estas tesis, se han
desarrollado distintas teortas constructivistas, por ejemplo, el coostructivismo
radical, el construccionismo social, los acercamientos socio - históricos, el
constructivismo social, los sistemas cibernéticos y de procesamiento de la
información, etc. 44
43 SECyHS üui.a para el Libro de Apoyo Oidáetico. Matq111i1jc¡p Se_gondo Unido .. México. l993. p-8 H Véase por ejemplo. Ste.ffe. L y Gale. J. (Eds) (l ??5): Constryg:ivi.sm in Educatim., Lawrencc Tirlbawn Associates, Pub)ishers_ N: .Jer,;ey
42
La perspectiva constructivista reivindica el papel activo del estudiante y
su responsabilidad en su aprendizaje, pero no despojando al maestro de su
papel central en este proceso. Si bien el alumno construye su propio saber, el
maestro tiene la misión de guiarlo hacia el conocimiento socialmente aceptado
(el conocimiento científico), poniéndolo en contacto con situaciones y problemas
interesantes que le permitan desarrollar distintos medios para elaborar los
conceptos.
2. 7. De la Preadolescencia a la Adolescencia
La edad de los alumnos de secundaria fluctúa entre los 11 y 16 aoos,
por tanto hemos de centrar nuestro interés en las características que presentan
los niños y jóvenes ubicados en este margen de edad. A continuación se
presentan una serie de consideraciones principalmente, sobre el desarrollo de
la inteligencia y las características propias del desarrono de sus habilidades,
dado que son estos factores de gran importancia dentro del enfoque actual de
la enseñanza de las matemáticas.
Cabe mencionar que el estudio de estas teorías será de tal manera que
la información apuntale la investigación a realizar en este trabajo, recordando
que estamos considerando el desarrollo cognitivo del alumno, así como de las
habilidades del pensamiento propias de su edad, mencionadas en el enfoque
actual de las matemáticas.
2. 7.1. Los estadios del desarrollo cognitivo
En el estadio senSCHTIOtor (desde el nacimiento hasta los dos anos) el
niño Ueva a cabo la construcción de un mundo elemental, básico y
eminentemente práctico. Su inteligencia progresa de acuerdo con la teoría de
Piaget, desde ·tos reflejos simples, la percepción vaga del medio ambiente
hacia percepciones más distintas, complejas y precisas hacia respuestas más
sistemáticas y bien organizadas-45
1~ P. Mus.sen, Pedagogía y Psí90logía Infantil. DíNíot~ para padres y educada-es.. Pubertad y
AdaJescenci11, D11roelooa, España, 1995, p. 72
43
El estadio preoperatorio o preoperacional (de los dos a los siete años}
marcará el fin de la dependencia de los niños a los objetos y los
acontecimientos inmediatamente presentes, rasgo característico de la fase
anterior, y le permitirá utilizar símbolos mentales que representen objetos o
hechos no presentes. En esos momentos, sin embargo, el pensamiento es
esencial, egocéntrico y lineal: el individuo no puede tener en cuenta el
pensamiento de otra persona ni más de un aspecto de la realidad. Con la
socialización del nino y el aumento del lenguaje, entre los cinco y los siete años,
asistiremos a una serie de cambios evolutivos de la mayor importancia.
El estadio de las operaciones concretas { de siete a once aoos) marca la
superación de tas limitaciones que han restringido en la fase precedente la
actividad intelectual del niño. Su pensamiento es ahora más sólido y flexible y le
permite realizar procesos lógicos sencillos-Operaciones-, siempre sobre la base
de percepciones y acontecimientos concretos. Todavía no ha llegado el
momento de las reflexiones abstractas o los razonamientos hipotéticos.
Esta capacidad se adquiere, por fin, en el estadio de /as operaciones
formales (de once a quince anos y toda la vida adulta) en cuyo desarrollo el
nil'io aprende a aplicar razonamientos lógicos a problemas y conceptos
abstractos. Tal actividad constituye la esencia del pensamiento adulto y señala
el término de la evolución intelectual. En lo sucesivo, los avances que consiga
el individuo en este campo no obedecerán a cambios cualitativos sino a
progresos cuantitativos o acumulativos.
La intensidad de ese proceso así como el alcance de los logros
definitivamente adquiridos a su finalización, dependen, mucho más de que las
facultades innatas a la persona, del efecto estimulante de su entorno y, sobre
todo, de la intervención de la propia vida afectiva del sujeto. La efectividad es el
soporte básico que moviliza la inteligencia, pero no puede a su vez prescindir
de esta, que le proporciona los medios y le confiere a los objetivos.
44
Sobre la base del desarrollo evolutivo presentado por Piaget, se van
adquiriendo habilidades del pensamiento, cambios en el razonamiento, en la
lógica del alumno y en su misma visión del mundo, en el cuadro 2.1, se
esquematiza dicha evolución partiendo de los 11 y hasta los 16 años.
EDAD PENSAMIENTO RAZONAMENTO LOGICA VISIONOEL
1 MUNDO
), Fle::a"bilidad >- Reverst"bilidad 1
), lógica >- Tranqimidarl l ), Reverstble del pensamiento . oonoreta neledual 11 > Mayor oijetMdad enlos > lnlerrelaciona > Olg1111ización de Fmde
razonamieolos ooooeptos sift los la > Noción de necesidad de conocimienlos etapa
1
conservación una adql.iridos opera del peso en una comparaaón ¡ cio disolución real :nm
1 l 1 > Pasodel > Parecido al > En el plano de > 1..1>ertad menor l
pensamieni razooamietio las idelllS ¡;.. Seguridad ¡ 112 ! conaelo al :.ma1 cientifico eltpr8Sadas en inteledual al : l > Pensamiento en el cualqljer defender ¡
que se maneja la > Realiza t.pótesis lengw¡je opiniones
1 absiraa:ión );o- Revisión de
> Hipotétioo ), Puede estar valores deductivo basada en algo > Conlraposición i 1 > ~gocenbismo
)- RellexioneG acerca rldicio o ra1so. ooneladutto j Esla<H j 13 desi mismo >Construye > Reefun.ació.1 1 ode
teorlas personal 1: ),, Proyectos de . reíommrel 14 mundo 1 cluale
1 l > Inclinación a la sy 1
1 1
auk>IK»nlaya ~a 15 las reinvindica-
ciones
Afedividad: las perturbaciones afedivas propias de la addescencia repen::uten en algunas casos 1 en el rendimMrio intelectual.
16 Sociablliz9cioo'. Independencia de ideas y jujcjos y necesidad de ~ con el grupo_
. . Cuadro 2. 1. Desarrollo evolutivo de la inteligencia
Posteriormente se retoma esta clasificación, con el fin de identificar las
habilidades que pueden desarrollar en cada etapa, asi por ejemplo veremos
que los alumnos a los 11 años están aptos para desarrollar el razonamiento
hipotético y la lógica combinatoria, como se expone más adelante.
45
1
1
2. 7 2. El nifio de once y doce años
El niño de once años empieza a exhibir nuevos patrones y formas de
conducta, contrastando con el nifio apacible y equilibrado que, al menos en
apariencia era un año atrás, ahora es inquieto y curioso, investigador, y muestra
una gran preocupación por afirmar su personalidad y por profundizar en la
comprensión del mundo de los adultos. A los doce votverá a ser más tranquilo,
razonable y conversador y reflexivo, bas1ante objetivo ante todo lo que
concierne a los demás e inclusive en relación consigo mismo.
Es probable que a los once afíos no sea fácil apreciar cambios en su
evolución intelectual, sin embargo está poniendo fin a su paso por la etapa de
las operacíones concretas y a punto de iniciar la fase final del desarrollo
cognitivo: el estadio de las operaciones formales.
La posibilidad de razonar al margen de los objetos y de las experiencias
reales, que constituyen la base que hace posible el desarrollo de las
operaciones concretas, y en su lugar deducir conclusiones a partir de
enunciados y conceptos abstractos; operar con las formas, prescindiendo de los
contenidos verídicos, va a abrir su pensamiento a todas las posibilidades
resolutivas y especulativas que la lógica permite. ·poco a poco el adolescente irá revisando y ordenando sus ideas, analizando sus creencias, modíticando su
visión del mundo y las cosas, percibiendo y utilizando significados cada vez
más proñlndos y complejos en situaciones aparentemente exentas de tocia
comp/ejídaci"16.
2. 7 .2.1. El estadio de las operaciones formales
Aproximadamente a los once-doce anos el niño que ha ido superando las
anteriores etapas del desarrollo cognitivo inicia el estadio de las operaciones
formales que Piaget describió como el punto más alto que alcanza
cualitativamente todo individuo en su desarrollo intelectual. ·Los progresos
16nnoiclopedia: füblíoteca Danae para paa-es. Pubertad y AdoJes,gencía , Darcelooa, España,. 1995, pp. 107-108
46
sucesWos serán únicamente cuantitativos. Es decir, basados en la aplicación a
la resolución de nuevos problemas de las operaciones lógicas que ahora mismo
están siendo asimiladas. No existe una fase posterior de evolución cualitativa;
todos los procesos deductivos o hipotéticos que el futuro manejará el adulto
terminan en esta etapa, que se puede dar por concluida hacia los catorce
quince años. ""1
En el periodo anterior, o de las operaciones concretas, los niños sólo
resuelven aquellos problemas en los que los juicios lógicos aluden directamente
a contenidos concretos, es decir, en los que las operaciones utilizan
representaciones que responden a la verdad y a la realidad. Dicho de otra
forma, pueden utilizar la lógica cuando cuentan con la ayuda de apoyos
concretos. En cambio en las operaciones formales pueden separar de los
contenidos reales la forma lógica de los juicios, y son capaces de razonar sobre
conceptos abstractos y razonamientos o premisas no comprobadas en las que
el sujeto cree a título de hipótesis.
Cabe aclarar que el desarrollo mental del niño no avanza a saltos ni por
simple posposición de etapas sucesivas e independientes sino en base a un
proceso evolutivo en el cual •cacJa etapa prolonga la precedente,
reconstruyéndola en un nuevo plano para superarla después definitivamente·,
en palabras del mismo Piaget. quien considera que esta que acaba de
cumplirse hacia los doce años constituye un conjunto de síntesis que colma
antiguas lagunas y proyecta nuevas y amplias perspectivas sobre las edades
posteriores.
De acuerdo a ello, los ninos de once y doce años tieneo la posibilidad de
desarrollar sus habilidades de pensamiento en dos aspectos que son: La lógica
combinatoria y el razonamiento hipotético, los cuales son someramente
expuestos a continuación.
47 Ballesteros Usano, Antonio. Desarrollo del adol~. p. W7
47
2. 7 .2.2. La lógica combina1Dria
La lógica combinatoria y eJ razonamiento hipotético forman parte de los
procesos fundamentales que utiliza el niño que efectúa operaciones formales,
junto con el uso de supuestos, de razonamientos proporcionales y de la
experimentación científica.
2.7.2.3. El razonamiento hipotético
El razonamiento hipotético surge con la posibilidad de aplicar a las ideas
o proposiciones verbales la misma técnica combinatoria que de modo
sistemático se utiliza con los objetos concretos. Permite que el niño aprenda
poco a poco a abstraer los datos esenciales de una situación no real hasta
llegar, operando en fonna de afirmaciones y negaciones. a una conclusión
lógica.
2.7.3. El niño de trece y catorce años
Los brotes de emotividad y las cñsis internas, acompañados por los
cambios fisiológicos y hormonales propios de la edad, en estos momentos van
a tener una gran incidencia en el rendimiento intelectual Aunque los conflictos
que vive el adolescente constituyen episodios inevitables en el desarrollo del
ser humano, los jóvenes sucumben temporalmente a la incertidumbre y
ansiedad. En semejante situación reaccionan poniendo en juego sus recursos
cognitivos, que al ser desviados de su función original disminuyen
temporalmente las facultades intelectuales del individuo. Es una especie de
desfallecimiento intelectual causado por el aumento de pulsaciones y de
tensiones libidinales, de las que se defienden desviando y poniendo en juego
sus recursos cognitivos.
2. 7 .3.1. El razonamiento proporcional
En el estadio de las operaciones formales, el niño descubre el concepto
de proporcionalidad y desarrolla su capacidad para operar con proporciones. Un
razonamiento proporcional penníte utilizar una relación matemática cierta y
completa para deducir una segunda relación también matemática. Contemplado
desde una perspectiva exclusivamente aritmética, este aprendizaje está
previsto en los programas de cálculo que debe desarrollar el escolar. Sin
48
embargo, es necesario hacer hincapié en la diferencia existente entre adquirir
la mecánica operatoria que permite aplicar correctamente una ecuación a la
resolución de un problema, y asimilar la noción de proporcíonalidad apficada a
diferentes ámbitos lógicos. Esta noción es una de las habilidades o facultades
cognitivas fundamentales y el nioo la adquiere a través de la observación, la
reflexión y la experimentación.
Piaget ha explicado cómo los niños, después de haber cumplido once o
doce años, recorriendo este camino pueden llegar a comprender el concepto de
proporcionalidad con distíntos ejemplos. Entre ellos el del equilibrio en los
brazos de la balanza. En primer lugar, el sujeto ha de descubrir que
aumentando uno solo de los dos pesos rompe el equilibrio y hace inclinar la
balanza a su favor. A continuación, descubre que el equilibrio se recupera y
mantiene en cuanto los pesos son iguales en ambos lados y están sífuados a la
misma distancia del centro. Seguidamente, en una tercera operación, descubre
que sin variar el peso es posible inclinar la balanza situándolo a mayor distancia
del centro. Entonces llega a una importante conclusión: se alcanza el equilibrio
con dos pesos iguales, a condición, únicamente, de que ambos estén situados
a la misma distancia del eje de la balanza. 48
Al llegar a este punto ha alcanzado la comprensión de dos funciones o
relaciones lineales, todavía independientes una de otra: a)el equilibrio en
función de dos pesos y b} el equilibrio en función de las distancias. No le es
difícil, a continuación, descubrir la relación de proporcionalidad que existe entre
pesos y longitudes. Fácilmente podrá comprobar experimentalmente, después,
que es lo mismo, en efecto, aumentar un peso y disminuir su distancia al centro
de la balanza, que disminuir el peso y aumentar la distancia_4'9
411 Véase por ejemplo, Gesell, Amold Emociones, actitudes e ioteraes del adolescente. Ed. Siex 8.-ral. México. 19 Este e:xpc:rimento de Piaget está incluido demro del prognima 8':tWll de matemáticas como i~ión al álgebra en l!Cg\nulo grado.
49
Es decir, para asimilar el concepto de proporcionalidad, el individuo ha de
descubrir dos relaciones previas, y a su vez, la relación que ambas man1ienen
entre sí.
2. 7 .3.2. El uso de supuestos o proposiciones
Las proposiciones o supuestos son enunciados operatorios que se usan
momentáneamente para representar la realidad, pero sobre cuya veracidad no
existe demostración ni evidencia de ningún tipo. Un adulto o un niño que se
encuentra en el estadio de las operaciones formales podrá desprenderse de los
datos concretos de un problema y manejar razonamientos probables e
improbables. No tienen ninguna dificultad para utilizar supuestos en sus
razonamientos. En cambio, mientras el individuo permanece aún en el estadio
de las operaciones concretas difícilmente puede dejar de remitirse a las
experiencias reales.
2.7.3.3. La experimentación científica
En el estadio de las operaciones formales aparece también la
experimentación científica. Experimentar significa probar o ensayar distintas
hipótesis, buscando la solución de un problema. El nitio que atraviesa el estadio
de las operaciones concretas experimenta por el sistema de tanteos, y nada se
opone a que muchas veces consiga dar con el resultado perseguido. No
obstante, ni siquiera después de haber resuelto con éxito determinada
operación puede justificar su razonamiento o enumerar los distintos ensayos
que ha ido efectuando.
En cambio, cuando ha alcanzado cierta habilidad en el desarrollo de
operaciones formales procede sistemáticamente, trabajando con una lista de
todos los factores que pueden intervenir en la solución y teniendo en cuenta los
correspondientes niveles o variables. Es decir, procede de forma científica y
sistemática. La experimentación científica es un logro que se alcanza, por
término medio, a partir de los trece anos.
"Se entiende por experimentar, no el hecho de provocar sucesos más o
menos insólitos para observarlos - cosa que ya era viable al final de la edad
50
escolar - sino la posibilidad de controlar sistemáticamente las variables que
pueden incidir en un determinado fenómeno, de forma que pueda estudiarse
cual es la influencia de cada una de ellas, y de todas conjuntamente, sobre
• 1 ,,50 e.
2.7.4. Los jóvenes de quince y dieciséis años
El nivel madurativo intelectual alcanzado por el adolescente a los
quince-0ieciséis anos. o a los diecisiete a lo sumo. y la misma dinámica
imperante en la sociedad parecen ponerse de acuerdo para conferir a los
jóvenes el estatus que se ha dado en llamar por algunos autores de ·preadulto".
Lo que hubiera sido prematuro reconocer uno o dos años atrás, en el niño de
catorce, activo y feliz, seguro de si mismo, parece factible ahora con el
introvertido, delicado e incluso indiferente adolescente de quince o dieciséis
años. A los quince y dieciséis años está haciendo un gran esfuerzo para
completar el conocimiento de sí mismo y conseguir el refrendo de los demás.
Cargado de idealismos y sentimientos trascendentes, sus preocupaciones
principales son ahora de tipo filosófico y humanístico.
"Si, por ejemplo, se le dan a un nif\o de 11 anos distintos objetos y un
cubo de agua, y se le pide que averigüe de qué depende el que un cuerpo flote,
podemos observar como se pone inmediatamente a trabajar metiendo distintos
objetos en el agua. Pero lo hace sin un plan definido de trabajo, y, desde luego,
sin intentar controlar las distintas características de un cuerpo que puede influir
en su flotabilidad. Un adolescente de dieciséis at\os procederá, normalmente,
de forma muy distinta. Procurará tomar en cuenta las distintas variables a
estudiar { el peso, el volumen, la superficie del contacto, etc.). de modo tal que
los cuerpos sucesivamente introducidos variarán solamente en una
característica, de forma que la diferencia que se dé dentro de la experiencia A y
la experiencia B, con una sola variable, pueda ser rápidamente atñbulda a
ésta'ó1
!lll Enciclopedia. Biblioteca Danae. Pubertad y adol~ia. Barcelona, España. l m. p. 80 '1Ibí.dem, p. 80-81
51
CAPITULO 111
3 ... ANALISIS DE LOS ENFOQUES"
A continuación, se presentan los enfoques dados a la matemática en
tres momentos, antes de la Reforma Educativa, durante la Reforma Educativa
y la Modernización Educativa, dada en 1993. Se realizan comparaciones más
en el sentido de tratamiento de la materia que en el aspecto de contenidos.
3.1. Enfoque del plan tradicional (trabajado has1a 1974)
Para José E Rozán52 {1944) calcular rápidamente y con exactitud, es el
objetivo principal de la enseñanza de la aritmética en las clases elementales.
Por ese motivo se daba ya en los cursos de esa época, más importancia a la
práctica que a la teoría, y se proponían numerosos ejercicios y problemas. El
maestro celoso e inteligente tenía que saber multiplicarlos y variartos,
componiendo otros parecidos a los indicados, y ejercitando a los alumnos en
esa misma composición de problemas.
A medida que el niño adquiere mayor desarrollo, continúa Rozán,
"conviene acompañar los ejemplos y ejercicíos intuitivos con algunas
explicaciones y razonamientos sencillos al alcance de su inteligencia a fin de
que los conocimientos que se le comunican ejerzan una influencia educadora
sobre sus facultades intelectuales-53_ Con este mismo objeto, el maestro
debería procurar presentar a sus alumnos las nuevas nociones del cálculo con
un riguroso encadenamiento lógico y se esforzará por acostumbrarlos a la
propiedad de los términos y a la claridad en la expresión. Siendo el cálculo
mental de suma importancia, por ser más rápido que el cálculo escrito, y porque
les sirve de base y de preparación, el maestro debe prever y preparar el
material necesario para la ense/Janza intuitiva, y hacer que los discípulos no
solamente lo vean, sino que lo manejen y ejerciten en él sus sentidos, para que
las lecciones sean interesantes y provechosas. A su vez el alumno ha de
colaborar activamente a la lección. observando, comparando y aplicando las
n Rozim. José E. Aritmética y nociones de Goomebia. Segundo Grado. México, l 944. p. l '
3 Ibidem, p. 2.
52
nociones que aprende a lo que ve en tomo suyo en la vida cada día. Cabe
aclarar que la obra era una innovación de aquella época.
Para Kline54 ( 1976), el plan tradicional no presta mucha atención a la
comprensión. Confía en la práctica para lograr que los alumnos hagan el
proceso rápidamente. Se enseñan multitud ele procedimien1os como
descomponer en factores, resolver ecuaciones, uso de los exponentes, suma,
sustracción, multipticación y división de polinomios, operaciones con negativos
y con radicales. ( Véase cuadro 3.1). En cada caso se les pide que ªimiten· lo
que el maestro y el libro hacen. Por tanto los alumnos se enfrentan con una
variedad desconcertante de procedimientos que aprenden de memoria a fin de
dominarlos. Casi siempre el aprendizaje es completamente memoristíco.
Los temas están desconectados entre sí, son como páginas arrancadas
de un centenar de libros diferentes, ninguno de los cuales, expresa la vida, el
significado y el espíritu de la matemática.
El repentino cambio del algebra mecanica a la geometria deductiva es
molesto para la mayor parte de los alumnos. Hasta ahora no han aprendido en
su educación matemática, lo que es una "demostración· e inevitablemente
deben dominar este concepto además de aprender a dominar la propia materia.
Estas demostraciones no se hacen de modo natural, son un montón de
conjeturas y experimentaciones que no se les ocurriría espontáneamente a los
adolescentes. Así, el alumno hace en geometrfa lo mismo que en álgebra.
Aprende de memoria la demostración.
El defecto más grande de las matemáticas tradicionales, es la falta de
motivación. Son abstractas y frías. La mayor motivación es el uso futuro que
pudiesen dar1e, pero ello no es suficiente. La idea de estudiar matemáticas para
poder ingresar al siguiente nivel y seguir memorizando procesos no es atractiva.
CUADRO 3.1. SJNIESJSDELI'ROGRAMA DKMATEMATJCASDE SECUNDARJA (1961)
~ KJíne, Moms. ru .fracaso de Ja matemática IOOderna. Pa- qye Ju.anito no .sabe sumar. Ed. Sig)o XXI, México, 1976. p. 38-40.
53
SEMESTRE PRIMER GRADO
ARITMÉTICA PRIMER Numeración hablada y
SEMESTRE escrita. Operaciones fundamnales CXlf'I enteros positivos Propiedade& de los n~ Fracciones COITUles Fraccion• decimales Sistema rnélrico decimal Otros sistemas de medición
Denominados
GEOMETRIA ), Conceptos Básb>s ), Puntos
Lineas U.O de tos OOles de
»Z:::S
SEGUNDO ARITMÉTICA SEMESTRE > Potmcias y ralees
Números racionales e inaáonales
), Razones y propo,cioll8S >- Problemas
Regla de3 Tantoporciatio
> Problemas de interés y proporcione&
Gráftcas de bara. poligonales. De sectores y pictográficas.
GEOMETRÍA Triángulos
> Cuadrtéterm ), Poligonoa > Circulo
Elipse > Angu1os ciedro6 y po1mos >- Poliedros r...,-• e
Irregulares > Área y volúmenes
SEGUNDO GADO
INTROOlCClóN AL ÁLGEBRA > Usoe Uapialación de
lileralas corno .......... ), Signos de rela:ión y de ........ > LenfJJ8je algebraico > F1111dones > Tabu"8cio,,es > Ecua::iona6 sencilla
ARITMETICA ), Números posilivos y
negativos > Eacala gráfica
ÁLGEBRA >Operaciones oon
fflOlanios. > Leyes de la igualdad >Operaciones con
pclinomioG > Produc:los nolables
ÁLGEBRA ), OiviBi6n de polinomios > Cocielllas notables > Facbizaciát > Fracciones algebraicas > Eqgvalema •
fracciones > Operaciones con
fraccioneg
), Ecuaciones de primer grado
> Transpca :it1n de ténnino8 > Despeje de litallles ), Siakaw de ecua::iora5
por llldllCCión y metodo gráfico.
GEOMETRÍA > Razoranierm deductivo > lglraldad y "eslgliaklad
de -.,nenlD6 y 6ngulos >- razones Y proporciones > bisectriz y n-clablz
IERCSI GRADO
GEOMETRiA PI.ANA ), Breve resefta hi&lódca de
lageomebíadela antigfadad
> Razonamienkl sistemático >- La demoslracidn en >= > Denl01llracioll18S
referanles a 1m ángulos > Triénglh > Denataaciot•
refererus a los biángulos >- GetieraliMrles ,te loa
polígonos > Demomadón de igualdad ·~ ), Plia:ipius de la meda
pR)pOlt:ÍOlllll > Tecnrna de P1ágoras > Mowninos rigidoa GECM:TRIA DEL ESPACIO > 0*2S1Üi-.i6.1 de un plano > Prisma. c:ilindlo. cono,
.r.a.
ÁLGEBRA > Operacionescon
potancias > Exponenlas fraccionarios > Ecum:iones de segundo
grado > Ejelacios y problemas > l.ogallmm
TRIGONOMETRÍA > Funcio11es trigonométrica > Resolución de Wn~
raotángulos ), Resoluci6n de lñíngulos
oblic:uángulos > Área de '1ánglh
oblic:uángulos
A menudo se defiende la ensefianza de las matemáticas como un
·entrenamiento mentalª Pero es posible lograr el mismo efecto con un contenido
54
más comprensible y agradable. El hecho es que en el enfoque del plan
tradicional no se ofrece ninguna motivación para el estudio de la matemática.
Los estudiantes lo hacen porque se les obliga. Una motivación verdadera les
permítiria comprender el verdadero significado de la matemática.
En el cuadro 3. 1 se presentan los contenidos programáticos de este
enfoque, como se puede apreciar están organizados por semestres.
Se podría enseñar las fonTias de razonamiento usadas comúnmente
recurriendo a problemas sociales cuya importancia en la vida es más clara. Otra
justificación para su enseñanza a nivel medio, es la belleza. ·Pero sabemos que
los temas que se enseñan no han sido seleccionados por su belleza. Han sido
escogidos porque son necesarios para el estudio posterior de la matemática. No
Hay belleza alguna en la suma de las fracciones, en la resolución de
ecuaciones cuadráticas o en la fórmula del seno,65
3.2. La reforma educativa (Desde 1974 hasta 1993)
En el prólogo del libro ªMatemática explicadaª, se afirma que ·en
nuestro sistema de enseñanza, las matemáticas son una de las asignaturas
básicas del contexto programático - educativo; su aprendizaje requiere de una
técnica que reúna: claridad en la iniciación y exposición de sus principios; bases
psicopedagógicas para la comprensión, retención y fijeza del conocimiento;
desarrollo de un espíritu de investigación que unidos al dinamismo del niño, a la
curiosidad investigadora del joven y a la lógica del razonamiento del adulto,
pueda ubicar a los estudiantes corno promotores de su propio aprendizaje, y
como medios para la creación de hábitos que agilicen el razonamiento e
infundan al alumno confianza en si mismo, y, en fin, que proporcionen
conocimientos valiosos exigidos por el desarrollo cultural moderno, dentro de un
proceso natural de enseñanza". En este proceso de enseñanza el profesor es
un técnico por su preparación y por sus conocimientos pedagógicos. Lo cual
.'.l.'.I lhidcm p. 14
55
nos permite afirmar que el enfoque de las matemáticas en éstos planes se
centra en la actividad de los alumnos.
Ahora bien, adentrémonos un poco hacia los cambios significativos
dados en es1a Reforma enmarcada en la corriente de las Matemáticas
Modernas. De acuerdo a Kline (1973), ·e/ plan de matemática moderna incluye
el desarrollo lógico como camino para la comprensión. el rigor. la precisión
mediante la terminología y el simbolismo. Todavia se enseñan, en el nuevo
plan, los viejos temas: la aritmética, el álgebra .. la geometrfa euclídea. la
trigonometría y los elementos de geometría analltica.o Naturalmente la
proporción de estos temas vañan de una versión a otra (Véase cuadro 3.2).
Entre los nuevos temas destaca la teoría de conjuntos y el afán de
buscar interpretaciones conjuntistas para el resto del contenido, se habla de los
números como el conjunto de símbolos que ... , o del conjunto solución de tal
ecuación, el triángulo como el conjunto de tres puntos no colineales unidos por
un conjunto de segmentos. La problemática es entonces, la nueva terminología
de definiciones y conceptos.
También, los sistemas de numeración en distinlas bases, se
introdujeron al nuevo plan con el pretexto de dar mayor significado a las reglas
y normas de nuestro sistema de numeración actual. Y con este, se justifica un
tercer tema, el estudio de congruencia, con la aritmética del reloj como principal
objetivo. Este tema se ensena por su interés matemático y de hecho el tema
pertenece a la teoría numérica.
Otro tema de interés es la inclusión de las desigualdades, comúnmente
perteneciente al nivel de preparatoria. Lo destacable de estas reformas es la
rigurosidad que toma este nuevo plan, el uso y manejo de propiedades, las
complejas definiciones de conjuntos y cuerpos de números le dan sin duda una
imagen más abstracta a esta matemática.
:16 Reyes Parra. Juvencio. Prólogo de Matemáticas El\l)li~ Un mac.i,tro en el hogar. M~ .• l '173 57 lhidem. P. 98.
56
Cuadro 3.2: contenidos cumculares: presentados po, as.pedo$ básicos de las matemáticas en educación secundaria (programa 1914)
ASPECTOS BASICOS PRIMER GRADO SEGUl'VO GRADO TERCER GRADO
LOGICA Y CONJUNTOS Operaciones de conjunttis.. C,oo«tiltos l6gícos lnclusí6n de c,cquntos
Concei:tos de relación y Igualdad y diferencia de lmplícacioo función conjuntos.
Calsgoñade Gráfica de relaciones propedades.axiomas,
teofemas v ca-olarios..
RELACIONES Y Concet:to Y qx,s Propiedades de la igualdad Desíguaidades FUIICIONES
Ecuaciones üneaes Gráñ:asde
Grtdicas de eculEiones ~
lineales con dos 'la!"~ ~8$ de ecl.lQCM)M!,
OPERAClONES Naturales u propiedades Leves de bs exponentes lc.ga¡ en nos NUMÉRICAS
Enteros y propiedades Tabulación de mollOOlios y
Racionales po&ilívos y ~-
propiedades
FACTORIZACION mcmyMCD Fa:torización de monanios y Fa:loiización de polinomios tmomios de 'Z' ~
Operacíones con monomios Ecuaciones wam1ilicas 1 oolinomíai.
VECTORES NUMERICOS Y Vectores binarias, GRAFICAS ~ traslacioo,
símelrfa e ísomelria.
ESlRUCTURAS Racionales positivos y Sistemas de ecuaciones Ecuaciones ~ ALGEBRAICAS propiedades lineáescondosvanables
{Slllución po.vaños métodCJS}
GEOMETRIA Y MÉTRICA Segmentos., ángulos. Propiedades de ísometrfa perpendcula,es, paralelas yhomoteáa
Pollgonos Aplicaciones de la
SMO rotación
Trasraci<:m y simema a Perlmetras, áreas y problemas de mecmca y
YOlúmenes ópíca
r,· a
REGISTROS Registros y !T<lficas Conslrucción de gráficas Variación de funciones ESTAD!STlCOS Y
Fórmulas bé.sícas de Medidas de tendencia central CUMl normal de error PROBABIUOAD probabaidad
f>robahiida1 tle la unión de lrlerencias de eventos. r
En el cuadro 2, solamente se han anotado los contenidos sobre los cuak!s se establece
comparación con los planes y programas de estudio de 1993.
En estos planes la teoría de conjuntos es un formalismo hueco que
obstaculiza ideas que son más fáciles de comprender intuitivamente. Su uso
excesivo lleva a mayores confusiones. Algunos temas como las desigualdades
y las bases son traídas del nivel inmediato superior. Nos ofrecen una versión
abstracta y rigurosa de la matemática, que oculta su rica y fructífera esencia y
57
hace hincapié en generalidades poco inspiradoras aislada de todo cuerpo de
conocimientos. El formalismo de este plan solamente puede conducir a una
disminución de la vitalidad de las matemáticas y a una enseñanza autoritaña, al
aprendizaje mecánico de nuevas rutinas, mucho más inútiles que las
tradicionales.
3.3. Enfoque actual (Modernización Educativa)
El programa para la Modernización Educativa set\ala que el Nuevo
Modelo Educativo plantea que:
La educación se enfoca al cambio de relaciones del individuo consigo
mismo, con la sociedad y con su entorno, encaminada a contribuir en la
transformación del país para que la vida de los mexicanos sea mejor y se
cumplan los propósitos nacionales de bienestar, identidad nacional, justicia,
democracia y soberanía,68
Así se hace cada vez más explícita la diferencia entre una propuesta de
contenidos educativos centrados en disciplinas y otra en la que estas
responden a necesidades básicas de aprendizaje, lo cual propicia que los
alumnos se sirvan eficazmente de los aprendizajes disciplinarios al ser
expresados en desempenos de su vida cotidiana; ya que de esta manera,
matemática, espanol, civismo, historia, ciencias, tecnología, arte -con sus
lenguajes y métodos- responden a necesidades reales de aprendizaje.
El programa para la modernización Educativa señala que "ei sistema
educativo debe ser capaz de proporcionar al educando los conocimientos,
habilidades para aprender de manera autónoma, descubrir y asumir valores,
analizar y resolver problemas, vivir en sociedad y aportar todo eao para mejorar
sus condiciones de vida y contribuir eficazmente al desarrollo del país·.59
·El estructuralismo en la matemática escolar se corresponde en el tiempo
con la tecnología educativa y se trabaja paralelo a esta por aproximadamente
.!'s SEP. Libro del maestro, Matemáticas. México, l993. p. l7 ssi SEP. Planes y progt'J!lllas de educación ~\11\daria. Méicioo 1993. p. 15
58
17 años, pero luego se abandona a partir de la puesta en marcha de los planes
y programas de estudio de 1993..00
En la práctica, las ideas pedagógicas aplicadas a la reforma a la
educación secundaria de 1975 no dieron resultados esperados y pusieron de
manifiesto una realidad que motivó una nueva concepción que rescata al sujeto
que aprende. En esta vertiente, las generalizaciones matemáticas deben
adquirir un significado en las operaciones mentales que realiza el sujeto, si en la
práctica la estrategia didáctica lo favorece, entonces el alumno las usará; es
entonces cuando ciertas estructuras abstractas adquieren sentido en
experiencias concretas de aprendizaje de los alumnos.
A continuación realizaremos una anaJogía entre los planes de 1974 y
los de 1993, a fín de vislumbrar los cambios determinantes para este nuevo
enfoque:
Los contenidos del programa (1974) están distribuidos en ocho
unidades, se habla de una integración al interior de cada una de ellas y las
nociones de teoría de conjuntos de la primera unidad es algo que está
presente en el enfoque de una buena parte de los conceptos que se revisan en
las siete unidades restantes_ La mayor parte de los contenidos de aritmética y
las nociones básicas de geometría y medición se contemplan sólo en primer
grado, los del álgebra, en segundo y las transformaciones geométricas en
segundo y tercero. (Véase cuadro 3.2.).
En el programa de 1993 son cinco areas, como puede apreciarse en el
cuadro 3.3. Los temas de aritmética y geometría están distribuidos en los tres
grados. En primero se vislumbra un ligero acercamiento al álgebra (preálgebra),
desde la aritmética, mediante la jerarquización de operaciones y el uso de
paréntesis, además de la iniciación al uso de literales y las primeras reglas de
escritura algebraica, así como ecuaciones de un paso.
60 SEC,-DS. Guí" para eJ Libro de Apoyo Didmtioo. Matemáticas Seeimdo Grnoo. Me.i.ioo, l 993 p. 8.
59
El álgebra se programa para segundo y tercer grado, en éste último
se incluyen algunos temas que pertenecían al segundo grado, pero no existe
separación entre ellos, hay más bien una secuencia y una disminución de la
carga temática del grado intermedio. El estudio de las transformaciones
geométricas y los contenidos de medición, corresponden a los tres grados
escolaras. Registros estadísticos y probabilidad, que anteriormente
correspondían a una unidad, se distribuyen en dos áreas que son
respectivamente, Presentación y Tratamiento de la Información y Probabilidad.
la teoría de conjuntos ya no está presente en el estudio de la Probabilidad.
El cálculo mental y la estimación de resultados no es específicamente
un contenido, aunque en algunos temas de aritmética de operaciones naturales
y decimales se indica su práctica, más bien es un aspecto a trabajarse no sólo
en una área. Lo mismo ocurre con el uso de la calculadora.
Esta secuencia no es rt1urosa, se presenta a nivel de sugerencia: Se
deja la posibilidad abierta de modificar el orden de los contenidos, según crea el
maestro, más conveniente.
Una diferencia muy notable es el énfasis puesto en las propiedades
estructurales de los diferentes dominios numéricos, esto desaparece en el
tratamiento de los contenidos de aritmética y álgebra. La estadística se trabaja
en un contexto más amplio, se construye a partir de situaciones extraídas de las
demás áreas de la misma matemática y fuera de ella como la física, la biología,
la geografía y la economía.
La comprensión de las nociones a través de la resolución de problemas.
Esto aparece en todo momento del proceso de la enseñanza y aprendizaje. A
diferencia de los planes anteriores, donde aparecían después de haber
trabajado ron la definición, los conceptos, tos ejercicios y su presencia se
justificaba como aplicación de los conocimientos aprendidos. Había una
separación entre noción y concepto y los problemas. Actualmente se busca
contextualizar las operaciones y los conceptos, de ahí que los problemas no
60
aparecen al final sino durante el proceso de aprendizaje. No es el profesor
quien tiene que encontrar la respuesta, es el alumno, con sus procedimientos,
el que tiene que hallar las soluciones.
Conducir el aprendizaje de matemáticas en términos de una propuesta
de integración y construcción del conocimiento por el escolar. de comunicación
y de descubrimiento, implica estar mucho más cerca de una concepción de
aprendizaje que rescata al sujeto que aprende, y este es un factor, que junto
con la renovación de contenidos en la enseñanza busca favorecer una
perspectiva constructívista.
Cuadro 3.3: contenidos curricularttS plantJS y programas de 1993
AREAS PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADO
ARm.ETJCA Los números Numeros naturales y Cálculo de la raíz cuadrada por Nociones a partir de la naturales y sus decmales diversos métodos solución de problemas operaciones Conleo Errores de aproxina:ión Estrategias de conteo y eo..-eo Números primos y cálculo mental Sistemas de compuestos Estimación de resulados numeración Fracciones Uso de la calculadora Decimales y sus Nümeros con signo
operaciones Fracciones y Proporcionalidad Números con signo
ALGEBRA Preálgebra Iniciación al lengl.Bje Plano cartesiano y funciones Aprovechar recuisos de Jerarquia de las del álgebra. Operaciones con expresiones siuaciones de la operaciones y uso de Ecuaciones lineales algebíaicas (fracciones aritméfica v la geomelría paréntesis en Plaoo Ca,1,asiano algebraicas) Diseñar actividades que aritmética Sislemasde Ecua:iones lineales propicien trabajar con Expresiones con ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lifB8les tablas de valores y sus literales (méfDdo de sustitución) (sisfemas de ~ y 3x3, gráficas Operaciones Operaciones con sollrión por varios métodos) Operar con una variable asociadas con el uso mommios y polinomios. Produclos notables y y de grado menor de la incógnita fadorización Uso de la calculadora Casos sencillos de Ecuaciones cuadráticas
ecuaciones GECWETRIA Dibujo y trazos Fl!JIAS básicas y trazos Triálglh y cuadriláleros Esrudio de las geométrú:os geomaricos Semejanza propiedades y Simetría axial Simema axial y cemal Demostración del teorema de caracteriaicas de las Medición y calculo de Angulas enlre paralelas Pitágoras por <iversos métodos figuras medante bazos áreas y perimeiros y una sacante y aplicaciones al cacuk> de Uso de los ins1rumemos Sólidos Equivalencia de figuras d"IStancias y lados demángmos, de mecida y cáll;tjo de áreas rectángulos, distancias entre dos
puntos (plano cartesiano) Nociones a partir de Demosfraciones del sluaclones problema de Teorema de Pitágoras Sólidos cálculo geométrico (descomposición y ELEMENTOS DE Manipulación de sólidos equivakft';ia de figuras) TRIGONOMETRiA Iniciación gradual al ~idos Razones trigo~ razonamiento deductivo Valoresbi de
61
1
i
ángukls especiates; IJ50 de ! 1
tablas (ejercicios de 1 ' interpolación) y calculadora para ¡
otros valores. Resolución de triángulos rectángulos
PRESENTACION Y lectura y elaboración Ofganización y Tases, sus usos y apficaciooes TRATAMIENTO DE LA de tablas y gráfacas pn!S8liación de dabs Me<idas de Tendencia central INFORMACION. Análisis de la Tirios por ciento, por Dispersión de datos de una lista
1 Nociones a partir de vañación proporoional mil y partes por millón Población y muesara situaciones y actividades de cantidades en ('lislos desde la Censo y encuesta muy diversas. tablas y ~ presentación de ta c,emplos de estudios
1 Lectura y eiaboración de Razones y iníonnación) estadísticos tabfas r gráffcas. porcentajes (V,stos Promedios r Manejo de canlidades desde la presentación Densidades 1 relativas de la información) Relaci6n entre dos Uso de la calculadora cantidades (noción de
función)
PROBABILIDAD Resjstro y tratamiento Noción frecuencial de la Problemas de probabilidad (Uso Contrastar expectativas de experimentos que pmbaü!idad: registros y de la noción frecuenciaJ y y COMtruif modelos de se repiten varias tratammode apficaciooes diVefSQS de la probabilidad para simular veces experimentos fórmula clásica) y resoJver problemas. Resultados de una al&atooos. Probabifidad de que un evento Uso de diagramas de expa iencia aleatoria Valoras de la no.....,., de que....,...., de
1
árbol Estimación y pmbabilidad y su dos eventos, principio de la comparación de significado usual. suma probabilidades Experiencias aleataria5 Uso de áragramas da cirbol Sih,aciones ideales de y fórm"3 clásica Probabilidades de traosición la probabilidad Elaboración de tablas y Regla del producto Uso gradual de la gr.íficas de probabiidad Simulación. terminologla Simulación empleada en Probabilidad de que un probabilidad evetto no ocuna. Diagfamas de árbol y Regla de la -suma arreglos rectangulares Probabilidad de 181 evento como fraccioo, decmal y porcenla_je
Con'tinuación del cuadro 3.3: contenidos airriculares planes y programas de 1993
3.4. Comparación de los principales aspectos
Sin duda, la elaboración de un programa educativo responde a las
necesidades básicas de una sociedad, y es a partir de ellas, de su ideología y
su forma de interpretar al mundo que surge un plan de educación general, del
cual forma parte la escuela secundaria. A través del análisis de programas
podemos inferir las causas que los motivaron a plantear un determinado plan de
62
1
1
1
l
estudio, por ello, a continuación analizaremos los aspectos más importantes de
los tres programas en cuestión.
3.4.1. Obietivos generales
Analicemos en el cuadro siguiente los objetivos generales de la
educación matemática en secundaria, que en los 60's se denominaron
finalidades; en los 70's, fueron objetivos; y, actualmente, se presentan como
propósitos.
Cuadro 3.4. Comparación de finalidades, objetivos y prop6slos
PROGRAMA DE 1964
ANALDAOES )- Realizar el
desenvolvimiento inlegral, fisico, moral e inleledual del allnno, capaclándolo para hacer el bien a los que le rodean, a su patria, a la hwnanidad y a SÍ mismo.
);o- Esta finalidad se subdívide en un fin utilitario teórico o de transmisión de los conocimientos: la ilstrucción.
)!> Y en un fin pedagógico: la formación de buenas costumbres y habilidades
> La educación se obtiene mediante la repetición de buenos actos y la práctica de Jos conocimientos adqwidos..
PROGRAMA DE 1974
OB.ETIVOS 1. Cultivara 1a capacidad y
la actitud de pensar en forma matemática y lógica cano elementos esenciales de su desenvolvimiento inlegral
11. Comprenderá el valor y la signíficación de la matemática como un sistema coordinado de procesos y ,-incipio6.
111. Utilizara la rnaernalica como un lenguaje técnico de aplicación urwversal
IV. Descubrirá la uliidad de la matemática cmno un recurso de interpretación, dominio y Sl4)eración del ambienle flSico, social y culbnl.
V. Obtendré los antecedentes educalivos que le permitan el acceso a tipos superiores de estudio cienlificos o técnicos, en los que la educación matemática es irn escinl:il:M.
PROGRAMA DE 1993
PR ;¡.. La enseñanza de las
matemáticas tiene entre sus propósitos transmitir a los alumnos una parte irnportanle del aceM) rullural de la hi.manídad.
), Propiciar el desarrollo de nocioties y concepk>& que les sean útiles para comprender su entorno y resolver problemas de la vida real.
)- Proporcionar conocimientos y habilidades de pensamiento y razouamienlo necesarios para avanzar en sus estudios de malemálicas.
}o Y corno propósilo ;
fundamental, el desanollo de 1 las habilidades operatorias, de comurica:ión y de 1
descul:ñniento de los alumnos.
Si nos referimos a la vida social de cada momento comprobaremos que
la ideología del momento determinaba el enfoque dado a los objetivos del
programa, así, observamos en el cuadro 3.4, que en los años sesentas, la
educación era el medio para formar buenas costumbres, se requería de un
ciudadano que fuera bueno, que aprendiera a respetar, que estuviera listo para
ser un buen trabajador. El rol del docente era el de transmitir contenidos y
desarrollar hábitos, mientras que el alumno asimilaba los conocimientos por
repetición y a través de la práctica diaria.
63
Refiriéndonos al primer programa, observamos las finalidades
propuestas que se dieron en los 60's: Una de ellas sugería alcanzar un fin
utilitario teórico, lo que significaba transmitirte al alumno el conocimiento
matemático y otro fin pedagógico relacionado con la "formación de buenas
costumbres y habilidades-61
En el segundo programa se ven objetivos estructurados, jerarquizados y
dirigidos al dominio teórico de los contenidos. Los objetivos generales,
particulares y específicos determinaban sin lugar a dudas la conducta que
deberían presentar los alumnos y las actMdades explícitas de los docentes. El
docente era un buen ejecutor del programa si lo desarrollaba y el alumno
tendría éxito si dominaba el proceso teórico y las propiedades de las
operaciones. El rol del docente estaba bien def1nido en la estructuración lógica
de los objetivos a desarrollar, mientras el alumno debía buscar alcanzar de
manera óptima las conductas establecidas en cada objetivo específico, cuando
lo lograban es que estaban desempenancto un buen papel como estudiantes.
Un programa estructurado tan rigurosamente, exigía esa misma formalidad en
los alumnos
Finalmente, en el programa actual, se concibe al alumno como un ser
que piensa, razona y construye al interior de su educación. El profesor tiene una
tarea más completa: desarrollar habilidades operatorias, de comunicación y
descubrimiento, lo que lo lleva a tener que replantear su papel en la educación.
El alumno tiene la oportunidad de desenvolverse en una mayor libertad de
acción.
3.4.2. Las actividades sugeridas (presentación de contenidos)
Para comprender en qué radica principalmente la diferencia entre las
finalidades, los objetivos y los propósitos de estos tres programas, nos
adentraremos al análisis de la forma en que se organiza la presentación de
contenidos en cada uno de ellos.
61 Plan y progrnmas de esludio para Secundaria. Matemáticas SEP. Mé.'íico., 1964, p. J9
64
En la década de los 60's, se daba en tres tiempos: el primero, en el que
el sujeto tenía su primer contacto con el objeto y con las circunstancias que
prevalecían en ese momento. Los ejemplos que ilustran a las definiciones era
un segundo proceso. Después, el alumno ejercitaba la adquisición de las
nociones. Una sugerencia presente en cada actividad es ·establecer la regla
práctica y proponer suficientes y variados ejercicios..&2
En tanto que en los programas de 1974, se recomienda el empleo de las
técnicas para la conducción del aprendizaje, a fin de favorecer una dinámK:a en
el aula y propiciar situaciones donde la creatividad del alumno quede de
manifiesto. Se da lugar a la reflexión de los conocimientos matemáticos, a la
expresión del pensamiento del alumno y a la crítica, entendida esta como una
conducta que debiera ser positiva, racional y de acuerdo a la normatividad de la
clase. Estas actividades deberían ser ·evaluadas oportunamente por el
maestro, con el propósito de determinar si eran adecuadas para alcanzar los
objetivos.&
En los programas actuales se sugiere para la mayoría de los contenidos,
la posibilidad de elegir situaciones y disenar problemas que tengan importancia
para el alumno y con ello, los elementos de conocimiento que conformarán, de
tal modo que estos no sean ajenos a lo que se ha aprendido en cursos o
unidades anteriores.
A partir de cada fonna de presentar los contenidos se desprenden el rol
del docente y de los alumnos, el lugar que ocupan los contenidos, la
metodología.
3.4.3. El profesor
Otro aspecto a considerar dentro de este análisis es la representación
que el profesor tiene de las matemáticas y de su ensefíanza y las influencias
que ellas ejercen sobre la elección de sus estrategias de aprendizaje que pone
621hi.dcm, p. 236.
65
en marcha y que regirán el funcionamiento de la clase, en el siguiente cuadro
analizaremos los tres modelos derivados de cada uno de los enfoques de los
programas en cuestión, a los que, dadas sus características les llamaremos
·normativo", ·incitativo· y ·aproximativo·
PLAN TRADICIONAL RER>RMA EDUCATIVA MODERNIZACION EDUCATIVA
ASPECTO '"NORMATIVO• iNCITATIVO" "APROXMATIVO"
Escucha al alumno, Propone y organiza una serie suscita su a.aiosidad, le de situaciones, maneja la
ROL DEL Muestra las nociones, las ayuda a lfiz.-fuentes comunca:ión en clase, da, MAESTRO introduce, proporciona de irlrmiación, responde llegado el momer1o, elememJS
ejemplos a sus Pf81JJnlas convencionales del saber.
ROL DEL Escucha, aprende, imila, se Busca, orgarliza, astucia, Inventa, busca, hace hipótesis, ALUMNO entrena.aplica babaja de manera propone soluciones, las
autónoma confroria con sus compañeros, las defiende ...
Eslá ligado a las necesidades de la vida,
SABER Es dado de manera ya del entorno (su esbuctura Es mnsiderado con su propia acabada, ya construido propia pasa a segundo lógica.
plano)
PROBLEMAS Son presentados al final del El problema es un móvil El problema es medio de recmido con fines de del ap1911Cizaje, es aprerdzaíe evaluación. conaelo, ocasional.
En cuanto al rol del maestro, se observa en el cuadro 3.5, las diferencias
más significativas de su desempeño en cada programa que estamos
analizando. Vemos como en los afios 60's, dentro del plan tradicional, su papel
era de un ejecutor del programa, simplemente tenía que mostrar el *objeto de
conocimiento·, proporcionar las nociones y los ejemplos de tal forma que el
alumno pudiese adquirir1os. En la reforma educativa, se empezaba a hablar de
las necesidades de los alumnos y de sus intereses, por tanto el programa era
incitativo, centrado en el educando, proponía al profesor un rol secundario, le
63 Plan y programas de estudio. Educación Media Básica. Mab:mátil.,._ SEP. México, 1974, p. 23
66
sugería escucharlo, suscitar su curiosidad, y guiarlo hacia la ·respuesta
correctaN.
En ambos casos no se daba al profesor un papel real, acorde con su
entorno social y su condición humana, en ambos casos quedaba como
·ejecutor-, en cambio para los programas actuales se requiere de un profesor
capaz de proponer y organizar situaciones problemas, de comunicarse con sus
alumnos, de guiarlos a la construcción de su propio conocimiento. Esas son las
principales diferencias de cada plan.
El enfoque de corte constructivis1a demanda al profesor seleccionar y
disertar cuidadosamente la situación problema y abstenerse de dar
explicaciones adicionales que limiten los razonamientos espontáneos de los
estudiantes, ya que se busca que éstos pongan en juego sus conocimientos
anteriores
3.4.4. El alumno
¿ Y que sucede con el alumno? Sin duda los cambios han sido más
detenninantes, en el primer caso no se le brindaba mayor crédito (véase cuadro
3.5), su papel era excesivamente pasivo, escuchar, imitar, entrenarse, aplicar
eran sus obligaciones. No podía cuestionar, no podía preguntar. Con el enfoque
estructuralista que se dio en el segundo caso, se especificaba claramente en el
programa, la conducta que debía desarrollar el alumno, así empezaron a surgir
otros verbos para describir su desempeño: buscar, organizar, interpretar.
Los objetivos específlCOS de los programas no dejaban lugar a dudas
sobre lo que se consideraría como conducta aceptable en el alumno. En la
tercera columna de este rubro se le solicita un papel más activo, ser más
humano en sus experiencias de aprendizaje, intentar, buscar, proponer
soluciones son acciones que desarrollamos en nuestro ambito social
cotidianamente. Los verbos que se utilizan en este último programa considera
las habilidades de pensamiento del alumno.
67
3.4.5. El saber
Profesor, alumno y saber o conocimiento, han sido durante mucho
tiempo los principales componentes del proceso enseñanza - aprendizaje. Y la
forma en que el último sea considerado determinará sin duda el tratamiento que
se le dé, como podemos observar en el tercer rubro del cuadro 3.5. Para el
aprendizaje ·normativo· tenemos un saber que se consideraba ya acabado,
construido previamente y sobre el cual no podñan actuar ni el docente ni el
alumno. Por tanto solo tenía que ser transmitido de generación en generación.
En la columna del aprendizaje "incitativo", el conocimiento se subordina a las
necesidades del que aprende, con la novedad que implicaba la aportación de
las teorías de evolución genética de Piaget, se enfoca el saber a las
necesidades e intereses del alumno, quedando su propia estructura en segundo
plano. El problema que alcanzamos a vislumbrar en este enfoque, es que no
habia una relación real entre el alumno y el docente, se cayó en un
conductismo que rayaba en lo clásico. Los programas especificaban qué
conducta nos llevaba al saber requerido, así el profesor simplemente
desarrollaba las actividades especificadas en el programa y demandaba este
saber.
3.4.6. Los problemas.
El aspecto más relevante dentro de los programas actuales es sin lugar a
dudas, la resolución de problemas. Actualmente se considera que . la
matemática debe aprenderse a través de la resolución de situaciones prob&ema
que son capaces de movilizar los conocimientos previos del estudiante y que
resultan tan atractivos que éste los consk!era un reto intelectual, son
situaciones privilegiadas para el aprendizaje de las matemáticas. Desde el
punto de vista tradicional, los problemas son empleados en la ciase de
matemáticas para "aplicar" los conocimientos adquiridos con anterioridad. En
general, se trataba de problemas rutinarios cuya solución requiere del concepto
o de la operación estudiada inmediatamente antes. Incluso, en la dosificación
de los dos programas anteriores al actual, se les colocaba al final de cada tema
o unidad como ·problemas de aplicación·.
68
El alumno no tiene la necesidad de tomar una decisión sobre la
pertinencia del concepto o de la operación requerida para la solución de estos
problemas. El principio teórico que subyace a esta perspectiva es que, en
primer lugar, se aprende el concepto o la operación (escuchando con atención
al maestro, memorizando la definición o el algoritmo y viendo como el profesor
resuelve el problema de "muestra" en el pizarrón) y después se aplica este
conocimiento para adquirir una cierta habilidad en su uso.
Por el contrario, en el tercer programa, como podemos apreciar en el
cuadro 3.5, los problemas son el medio para adquirir los conceptos; a partir de
la resolución de problemas, el alumno modifica sus procedimientos y nociones
previas, dándoles más generalidad o encontrando sus limites de validez.
3.4.7. Ambiente de trabajo
De todos los aspectos anteriores se desprende el ambiente de trabajo,
que es la situación que se vive dentro del aula de clases. Seguramente durante
la ejecución del primer plan, el ambiente era demasiado rígk:io, los papeles
estaban bien delimitados, la interacción maestro - alumno era nula y por tanto
era un ambiente despersonalizado, enfocado al ·objeto de ensef\anza·. Al
ponerse en práctica el segundo enfoque, el ambiente no cambió demasiado,
siguió siendo rígido, en una búsqueda por el dominio de reglas y
procedimientos, en una falsa atención a las necesidades de los alumnos, se
exigía cierto nivel en el alcance de las conductas claramente especificadas en
los programas, ·e1 objeto de enseñanza" establecido exigía un ambiente de
trabajo rígido, donde tampoco era relevante la interacción docente - alumno. no
habfa socialización del conocimiento, el ambiente era ·competrnvo·, el mejor
alumno era aquel que mostrara mayor dominío del conocimiento.
En el enfoque actual el salón de clases en donde se utiliza la resolución
de problemas como medio para producir un aprendizaje tendrá características
muy distintas a las tradicionales:
69
}.- Los alumnos trabajan, comentan y discuten continuamente en equipos,
por lo que la "disciplina" tradicional ya no tiene cabida.
;¡;., El maestro no ·explica. el concepto en el pizarrón, sino que recorre los
equipos, escuchando atentamente las distintas soluciones propuestas y
dando orientaciones cuando así se requiere.
)., El ambiente en este salón es claramente un ambiente de aprendizaje en
donde la mayoría de los participantes disfruta vivamente de la actividad.
;¡.. El tiempo transcurre rápidamente y después de finalizar la clase los
alumnos continúan discutiendo y comentando los problemas.
3.4.8. El papel de los errores
Tradicionalmente un error se considera como sinónimo de fracaso, si el
alumno se equivoca quiere decir que no adquirió de forma correcta el
conocimiento y tendrá que darse una retroalimentación del contenido. Sin
embargo, desde el punto de vista constructivista, estos errores son,
justamente, el medio para que el alumno confronte sus conocimientos, los
modifique y elabore nuevos conceptos, de ninguna manera deben considerarse
como fracasos. "aprender de sus errores· es una máxima constructivista.
Quitarte al error la connotación negativa (como un fracaso} es una ardua
tarea que se le confiere al docente dentro del enfoque actual. El alumno no
debe decepcionarse al cometer errores, por el contrario, debe sentirse
estimulado para continuar su búsqueda y alcanzar resultados que le convenzan
y sean consistentes con el conocimiento establecido.
70
CAPITULO IV
4. "EXPERIENCIAS DIDÁCTICAS"
La puesta en práctica de los planes y programas difiere de un profesor a
otro, cada profesor pone en juego todo un conjunto de experiencias, estrategias
y modos de interpretar lo que el programa le demanda y a partir de ello, las
capacidades y habilidades que ha de propiciar en los alumnos.
Dentro de nuestra investigación hemos elegido la observación como un
medio de conocer tales estrategias y modos de enseñanza que los docentes
seleccionados ponen en juego y poder contrastarlo con la recogida de daros por
otros medios. A continuación se presentan los registros de observación
realizada con los tres profesores, en la primera columna se presentan las
acciones realizadas en cada sesión; en la segunda columna, se citan las
sugerencias que respecto a cada tema da el Libro del Maestro de Matemáticas.
4.1. Análisis de los registros de observación
En el transcurso de la observación de esta clase surgieron algunas
interrogantes tales como: ¿por qué no se consideraron los conocimientos
previos del alumno? ¿por qué la profesora no comprobó si sus alumnos sabían
manejar adecuadamente los instrumentos de medición? ¿qué tan interesante
podrá resuttarfe al alumno realizar cinco rectas de diferente medida, cinco
segmentos, y demás trazos que la profesora realizó en el pizarrón? (véase
figura 5. 1.) ¿qué aplicación del conocimíen1D se está dando? ¿cómo está
construyendo su aprendizaje?
71
PRIMERA OBSERVACION PROFRA. AZUCENA MONTERO PAI.MA SEC. 0110 "LUIS G. URBINA,. PRIIER GRADO GRUPO "O" UNIDAD 4: DIBUJOS Y TRAZOS GEaETRICOS
ACTMDADESENELAULA SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO ! 1
> La profesora incica que inician midad, así que > Que las dvidades en clase sean lo más ricas y l tienen tiempo para hacer su carátula. lleJCibles posibles,. asi se ada~ a los clstinlos 1
inleJ! , es y rilmos de apendizaje de los aunnos ¡ >- Algunos ahmnos le preguran si no piensa revisa
la tarea de fracciooes y les dice que después. > No deberá limilarse a la exposición del maestro o ·
> La maestra realiza trazos en el pizarrón dando la espalda a los al001nos.. Véase ffgln 4.1.
a las tareas individuales necaaias para ejen:lar. los procedimientos básicos. ¡
~ > los alumnos tienen ya OOIIDcimier*> de la > Les inclca a los alumnos que dividan su aalemo
en dos partes y los alumnos lo interpretan de formas dlerertes.
)- De cara al pizarrón empieza a dicta las > defiriciones de cada trazo.
> Al malizar el dictado da tiempo para terminar de copiar los dibqos.
)l. Dicta ejercicios: "llilizando la regla reaizal los sig.-ertes trazos" y dicta cinco ejemplos de cada bazo de dif«entes medidas, unos en milimelros y otros en centimaros.
> El tiempo restante (15 minutos) de¡a que las aunnos realícen el ejercicio sin mayor oomertaio.
geomelria (c011ocirnierms previos), no deben ignc:nrse sino relomarlos y hacerlos evolucionar gradualmente ha:ia temas más avanzados.
Es impol1ante que los alumnos conozcan y ~! ulilicen con propiedad el lenguaje de la geomelría. ¡ Pero no basta con que apandan y recuenten los ¡ 1.mlbies de las 1igmas. es nec; __ k) que puedan
1
1.
Mplorar e ínvesligar las propiedades geomébicas de la& figwas
Figura 4.1. Estos son los trazos que la prife,vro hizo en el. pizarrún.
UNEAREC"'TA SEGMENTO BISECTRIZ
A B
SEMIRECTA GRADO ANGULO
/. 72
Si revisamos en el marco teórico encontraremos que la profesora está
dentro del enfoque centrado en la materia. El estudiante hace el papel del que
no sabe y, por tanto, la tarea del maestro es transmitirte su sabiduria. El papel
del profesor es cubrir un programa extenso. cumplir con sus obligaciones de
transmitir, de informar y de calificar al estudiante para ver si es apto o no para
continuar con sus estudios.
SEGUNDA OBSERVACION PROFRA. AZUCENA MONTERO PALMA SEC. 0110 "LUIS G. URBINA• PRIMER GRADO GRUPO -e-UNIDAD 4: CLASIFICACION DE ANGULOS
ACTIVIDADES EN EL AUlA
>- La profesora enlra al salón y pide al primer alumno de cada fila que revise la tarea.
>- Después que revisan la tarea, varios ., alumnos leen su investigación sobra ángulos complementarios y suplemen1ari0&.
» Durante la lectura de sus conceplos no hay retroalinentación, la irlorrnación leida es repe.tiliva.
> Después de participar clez al1.IJIIIOS,. la profesora escribe en el pizarrón:
» CCM>LEMENTARIOS
1cr + 20" = oo·
SUPLEMENTARIOS:
CON.AJGADOS:
> Pide que copien los ejemplos y les dicta el tercer concepto, porque no aa parte de la taea.
)- Pide a un ahnno que pase a diqar los complementarios, incicando que marque el ánguk> de 7fr prmero y luego lo que le fala para 90"'
> El alumno lo hace pe,o la fig..a resulanle queda inclinada
)- La profesora de incica que le quedó chu«:o que
73
SUGERENOA.S EN EL LERO DEL MAESTRO
> Las delnciones dificilmenle van a modiflCBí sus ideas si no se acx1mpa11an de actividades que los conclm:an a explorar de manera inbmal las propiedades de las figuras básicas, con objeto de que puedan reconocer aquellas que son JaleYantes para la solución de proUernas y el ,arunanlienlo geomébico.
> B dibujo y las lrazos geomébícos, la exploración de 1as simelrias y «*os aspecos de la geomebia eslán lenas de situacunes inleresantes.
>- B prclesor podrá adzatas para que sus ' abnnos illvesl9l8fl las l1llaciones enb8 los 1 elerheiitos de las figuras, descubran sus ~ propiedades eaaaclefíslicas y aprendan a ), ulilizartas en la solución de problema& ¡ L06 alumnos necesitan COlllpfl!Qdef" lo que • se mide y aear sus propios procedimienlos de- medición para poder luego utiliza los insbumenlos y comprender las fórmulas que se les proponen.
> Diseilar actividades para que se desanolle y afine la noción de ángdo. se adquiera fanliaridad con los tisliims tipos de • ánguk>s y se utilice el transpatador para meclrlosy,ep,omcirtos.
>- Un e¡emp1o es que al inlemlr' reprom,cir un paragono o íabricar un plano de un teneno inagular de lados rectos, los allmlJOS se percaten de que además de los lados, necesian mecir los áng'*-.
> Es oonvenienle incluir ejeR:icios y problemas '
lo vueMI a hacer.
)i;, Al repetir1o hace un trazo como el siguiente:
» Y la profesora dice que está bien.
)o- Un altanno dice que a él le saió dlerenle y la profesora le dice que eso es posible.
>- Después otra alumna reaiza el tercer ejemplo, baza el án~ de 11<r y no sabe como trazar el de 25<r. se escuchan varios comentarios, dudas, pero no hay aclaraci6n por parte de la profesora.
), La profesora le indica que lo que resta del cin:ao son los 2509, que ya está bien.
)> Pdo seguido, dicla CS1CO ejacicios de cada tipo de ángulos.
> El resto del tiempo es para que realicen sus ejercicios.
)l- Se sierta a revisar" la tarea del día anterior.
> Muchos alumnos terminan su tarea pera entregar1a.
);o- Los akmnos saben que el ejercicio se qued..-á de tarea como siempre así que no se apresuran a realizarlos y se dedcan a todo tipo de . actividades.
> La profesora es rodeada por los ahn1110S CJJe van a revisarse su tarea, hasta el final de la clase.
74
rm siluaciones de ta vida c.Aoa.a donde 1 sólo se requiera estimar una magnitud y no r.ecesaanente medirla rm ~ador o , calctllarla con preciaión i
1 1
> Es necesario que el alumno idenlifi:lue su error y sea capaz de corregido, discmencb rm sus cornpañeros sus diíerades pos1uras, as1 comaruirá realmente su I
.erdzaje. !
Un grave problema dentro de esta sesión es no dar a la investigación, el
papel que se le asigna en los nuevos programas, pues los conceptos
investigados al no ser discutidos quedan como mera acumulación de la
información, el alumno debe participar libremente y analizar su información, no
leerla o reproducir lo que el libro dice.
Otro problema es no darte al error la dimensión que toma dentro del
constructivismo, como una fuente de aprendizaje; en este caso simplemente se
condenó el error y se demandó la corrección. Pero, curiosamente, al corregir
existe un error en la forma de concebir la figura de la profesora y del alumno y
ese fallo no es corregido. Nuevamente se deja a la ejercitación la tarea del
aprendizaje.
En la tercera observación se pueden destacar diferentes aspectos, el
primero y más preocupante es el lenguaje usado, a decir verdad ni yo misma
como observadora entendía que es lo que se iba a realizar, es decir, mi idea
sobre un hexágono con 18 triángulos de 1, 2 y 3 an no concordaba con lo que
después aclaró el alumno. Y creo que era el sentir de la mayoña del grupo.
Se desaprovechó la actividad de los alumnos en la búsqueda de
estrategias de solución al problema, en efecto había varias ideas que al no ser
expuestas al grupo, ni discutidas en plenaria se quedaron ahí como una serie
de conjeturas que fe permite al alumno decir que las matemáticas son
incomprensibles, el alumno es capaz de establecer estrategias y pautas de
solución, pero no hay el cauce correc1D a estas observaciones.
La comunicación maestro alumno es prácticamente nula, no existe el
intercambio real de ideas entre ambos. El papel central es de la profesora y al
alumno solo le queda el imitar lo que ella le expone.
75
TERCERA OBSERVACION PROFRA.. AZUCENA MONTERO PALMA SEC. 0110"LUISG. URSINA" PRIMER GRADO GRUPO "A" UNIDAD 4: lRAZOS CON REGLA Y COMPAS
ACTIVIDADES 8'I EL Al.Jl.A
> La proíesora empieza a re'llisar la ta-ea por filas,
> En esla ocasión los altmnos .-eproclqeron unos trazos de su ibro de fedr>_ Sin expíicación alguna
> Se trataba de dírerentes díseftos derivados del trazo del hexágono con regla y ccmpás.
)- Después de revisar las ocho fias, clc:t6 un problema:
·oix.a,- 11"1 hexágono con 18 triángoos eqlililero&. NOTA: seis triAngulos miden 1 cm por lado. seis míden 2 cm por lado y los otms seis miden 3 an por lado".
> Unos alumnos reázaron un circulo y empezaron a buscar como díbu_¡¡.- los triángulos equílAteros.
> Una alumna 1raz6 triálgulos de 1cm. de 2cm y de 2an de alo y los recort6.
> Otras alumnas trazaron un hexágono de cuakper tanano y empezaron a discutir sobre como acomodar los tríéngulos equilálef0&.
> Otro pequeno !71Jpo consultó el libro y no encontraron nada
> Mieltras tanto, la proíesora permanecla recargada en el escritorio. viendo al infinim.
> Después de un rab, se dírígi6 a la esquina Ol]Uesla al observador y le pidió a un alumno su cuaderno y su compás.
> Reaizó varios 1raZos, le dio índicaáones y ~ al esatorio.
> Al sooa- el tmbre. la profesora le Pl!QUntó al ah.mno que si ya habla terminado
> Y pidió (Jle explicara al !.J'UPO cómo realizó su hexágono con 18 triángoos dentro_
> B ak.lmno titubeo y cijo: "Prímem, la maeslra me cijo que trazara un circulo de 6 cm de racio porque 1+2+3 = 6 y ya tracé el helCágono y se formaron en los picos de la estrella los triéngulos de 3 cm, luego un dra vez las vértices y salió dra estrella y sus tríénguk::& miden 2 an y luego voM a unir y salÍEl'On los de 1 cm·
> Después de felicitar al alumno incica que queda de tarea el trazo y finaliza la sesión.
76
SUGERENCIAS Da LIBRO DEL MAESTRO
> De5de el inicio es COINellienle poner en práctica una pedago{Ja que desa role en los alumnos la apreciación por los dibujos pNCisos, hechos con prq>iedad y impieza. si, que ello se convierta en algo més importarte que el coruinido matemático de la tarea_
> Se sugiere que el ak.lmno abra una carpeta paa coleccionar sus dibujos y donde el profesor pueda evalua- sus progresas.
> Para orientar a los alumnos haáa un trabajo cudadoso. hecho con instrumentos muy precisos puede sdicílar1es la repoduccí6n de fVJras_ Solicitándoles tant:ién la e,q,licación e identific:aciOn de trazos geomébicos y cualidades de los mismos..
Cabe aclarar que las observaciones descritas anteriormente
corresponden a la práctica educativa de una profesora que tiene licenciatura en
contabilidad y no en educación, que tiene una experiencia mínima y que su
estrategia es desarrollar los objetivos y temas de acuerdo a la secuencia del
libro de texto, que funciona como su único apoyo didáctico.
Ahora, siguen las experiencias didácticas observadas con nuestro
segundo profesor, con licenciatura en matemáticas, aproximadamente 10 af\os
de servicio, que ha asistido a diferentes cursos de actualización, congresos
nacionales y talleres en diversos sitios.
Esta ocasión, al observar el trabajo del profesor nos damos cuenta como
la interpretación personal que él le da al enfoque de la asignatura es errónea
en varios aspectos: en primer lugar, la participación de los alumnos no es
espontánea, no existe la confianza para discutir sus conjeturas y no hay el
interés por parte de los alumnos; de hecho, la gran mayoría esperaba a ver los
resultados en el pizarrón y se limitaban a copiar en su cuaderno lo que otros
habían realizado.
PR.111.ERA OBSERVACION PROFR. ALEJANDRO PADIUA MELENDEZ SEC. 0110 "LUIS G. URBINA'" TERCER GRADO GRUPO "C"' TEMA: APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIOIES
ACTIVIDADES EN EL AULA SUGERENCIAS EN El LIBRO DEL MAESTRO
)- Pasa lista, mencionando nombres completos. >- El apreniizaie de las ecuaciones ineales
> Bona el pizarrón , coloca la fecha y el tema
> Dice al grupo que van a resolver problemas donde apliquen los sistemas de ecuaciones. >
)- Dicta el siguiente problema:
"Una fábrica de muebles produce sillas de metal y madera, las primeras tienen un costo de $35 y las segundas de $50. Una muebleria le ha:e im
pedido de 50 silas, enviando un cheque p« $2080, > pero sin especiicar cuantas de cada clase ¿qué cantidad de cada tipo de sila debe remitir la fábrica?
77
es flDdarneffal para todo el desarrolo posterior del álgebra y el tiempo que se le ~ podrá recuperarse después.
La ensefianza de los sistemas de ewa:iones lineales debe empezar con problemas sencillos, donde las eca.a:iones que resulen no pongan a prueba la habilidad de los estuclarfes para opsar con expresiones algebraicas.
Es mejor que se apropien gradualmenle de las nociones de ecuaciones sinuláneas y sustitución algebraica, que intentar ensei'iar desde el principio todos bs métodos para resolverlas.
> Les pide que lean y planteen el sistema de >ecuaciones.
> Los ahannos opinan para formar el sistema de ecuaciones.
> El profesor recoge las opiniones colocando las ecuaciones en el pizarrón.
> lnáica que la solución la van a enconlrar eme todos.
Es imporblnte que los sistemas de ecua::iones se introduzcan mediante problemas.
Sin la ayuda de problemas es muy ltfd que los abnlnos comprendan por (Jlé en un sistema de ecuaciones, las incós,1ilas X e y representan los mismo& valores en ambas 1
ecuaciones.
> "Pasa Nidia a despejar a x en ambas ecuaciones ), Los alwnnos deben tener la oportunidad como hemos resuel:o todos los sistemasª de explorar y construir tablas que les permtan
> "Jessica continua igualando las ecuacionesª
)lo- "José pase a hacer los procb:tos cruzados, >recuerde que el denominador de la izquierda pasa a la derecha• (borra con inseguridad y el profesor le dice que estaba bien y vuelve a colocarlo)
)- ·Mnana, hay que agrupar las y y obtener su > valor"
> "Vega, calculamos x • (resuelve copiando de su cuademo)
rasdYer sislemas de ecuaciones sencilas.
Se trala de proponer situaciones cuya sdución erwiquezca las adquisiciones anleriores y permila avanzar hacia la comprensión y asimilación de nuevos conocimientos
Deben provocar rápidamente Ul'B actitud de blísqueda, oriemada a proponer~ y posibles ecuaciones.
> Es importante que el maemo evile > "Mórw:a, la ccmprobacioo con la segunda bansmitir la impresión de que ensefia algo ecuación" (también lo copia de su cuaderno). df'ICil 8 algt.ien que nada sabe O entiende.
> "Damos respuesta al problema:
> Dicta un segundo problema y les plantea la > ecuación en el pizanón, después indica que resuelvan de manera individual, pues se hace todo igual.
Seguir con ctadado la acti~dad de los aunnos al resolver un problema, para ver si realmente éste favorece la apkación de los conocinientos previstos, y si las ~uras y las soluciones producidas con:uen:ian Q)fl lo6 propósit06 originales. i
Una segunda observación es que cuando en el libro del maestro se habla
del profesor como un guía no quiere decir que el docente pase a un alumno al
pizarrón y le de indícaciones sobre el trabajo que realice al frente. En tercer
lugar, comentaremos que se sugiere partir de la resolución de un problema y no
el resolver1o como actividad final de aplicación.
Esta visión del problema corresponde a los planes y programas
anteriores. Donde al final de cada unidad se manejaba corno tema final resolver
problemas donde se aplicara el contenido. En los programas actuales, es eje
medular de la ensefíanza de las matemáticas, se sugiere al docente partir
siempre de una situación problema.
78
SEGUNDA OBSERVACION PRa=R. ALEJANDRO PADIU.A MELENDEZ SEC. 0110 i.UIS G. lJRBINA• TERCER GRADO GRUPO -e• TEMA: BNOMIOS AL CUADRADO
ACTIVIDADES EN EL AULA
)- kicia la sesión con el pase de llsla mencionando > los nombres completos.
> Les imica que a los que realizaron la in~ del cuadrado de un binomio que se formen para > revisarles. Ceroa del observador, algunos ah.mnos copian la investigación de olros compafieros.
> Terminando de revisar las tareas de los alumncls, ooloca el tema en el pizarrón.
SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO
Conviene imom:;ir los pmdudos notables j apoyándose en modelos CJJ& las den wi soporte ~ visual intuitivo. í
!
Sut,;ere modebs como los empleados por el profesor, con la diferencia que se busca que sea el mismo altunnO quien desa,bra los pmdldos notables y no que trale de aju&lattos a su investigación.
> Los alumnos necesian ejerciarse en la )- Expica que en la clase anterior hiáeron una figura
como la sigliente
a b
b l
a a
> Pero con medidas de a =15 y b = 6 . Y para obtener el área total tendiamos que sumar:
(15x15)+(1Sx6)+(6x15)+(6x6) = 225+90+90+-36
=441.
> Ahora si vamos a sacar el área de cualquier cua<hdo entonces utilizamos mejor a y b ¿cuál sería la expresión para obtener el wea?
> Chequen la invesligación que hicieron con esto ¿qué podemos rescata-?
> No hay respuestas y entonces clce: Si vamos a obtener el ál"ea A = I x I 6 I x I = A (a+b)(a+b} = A = (a+b)
ulilización de los JWOduclos notables ya sea para desarrollar expn,siones sencillas o bien paa . agilizar cálculos en expresiones más aJmplicadas.
> B c:alcdo de productos notalHs y la
>
factorización de polinomios no deben mantenerse de forma separada, pues el alumno debe oornpender que se tr&fa de procesos inversos
B batamiento de los prodldos notables y la j fa:toriz.ación de polinomios no tiene por qué l reducilse a su ejercilación !
Hay muchas siluaciones y problemas que j permiten rnoarar aplicaciones neresanles en ¡ otros campos de las matemáticas elemenlalas. '
El libro del maeslm da ejemplos variados e neresantes. ¡
¡ En esla ocasión se está realzando la !
' investigación de un lana nuevo. Una sugerencia i denlro del nuevo enfoque. 1
1 l ¡ ¡
En esta ocasión, el profesor está empleando los modelos que se
sugieren para introducir la enseñanza de los productos notables ( como el que
aparece en este registro de observación, arriba) pero sin buscar el desarrollo de
79
alguna habilidad en el alumno, es decir, está mostrando el mcx:telo y
simplemente lo relaciona con la investigación que hicieron los alumnos,
desperdiciando la riqueza que le brinda el manejo de estas figuras.
Por una parte lo relaciona con el área, lo cual es oorrecto, pero la
participación y el trabajo del alumno es nulo; no hay construcción de
aprendizaje, solo asimilación. El alumno no recurre a sus oonocimientos previos
para resolver una situación , el docente se la resuelve. El alumno sabe que no
necesita esforzarse, si no entiende de cualquier forma tendrá la solución, dada
por el maestro, claro está.
Este es otro ejemplo de interpretación e implementación inadecuada del
enfoque actual del programa de matemáticas que lleva al docente a elegir
métodos, actividades y formas de organizar su contenido no siempre acordes a
las pretensiones de los programas actuales.
Cabe mencionar que la enseftanza de las matemáticas tiene como
propósito fundamental el desanollo de las habilidades ope,atorias, de
comunicación y de descubrimiento en los alumnos y por ello sugiere la
modelación, el trabajo en equipo, el método de resolución de problemas y
diferentes estrategias que reclaman un alumno activo, oonsciente de su
aprendizaje y capaz de discutir y establecer conjeb.Jras, como podrá apreciarse
en el marco teórico donde son descritas someramente tales estrategias.
Continuemos con el tercer reporte de observación del trabajo del
profesor Alejandro; como esta sesión fue complementaria de la anterior,
continuaremos ron las observaciones hacia el tratamiento de estos temas.
80
TERCERA OBSERVN:ION PROFR. Al.EJI\NORO PADILLA MELENDEZ SEC. 0110 "LUIS G. URBINA" TERCER GRADO GRUPO "B" TEMA: BINOMIOS CON.lJGAIX>S
ACTIVIDADES EN ELAULA 51.JGEREN:IAS DEL LIBRO DEL MAESlRO
>- l!ffla con el pase de lista. >- Las aumnos deben\n involucrarse activamefte en todas las fases por las que pasa la solucí6n de
>- Les pide que dibujen e1 modek> que han eslado un problema, desde el ¡:jarteamíerm mismo, la utilizando en su cuaderno pnxb:cíón de las primeras CCJnjeluras y su
discusí6n, hasta la redacción de la solucíón.
b
b
a a
> Mierúas forma a qtienes terminaron su trabajo del dla anteria (binomio& al cua1rado)
)l- En el modelo arterioc marca de la siguíenl& forma:
b
b
a a
>- resuellle Ahora l&nemos de un lado a+b y de olro a -b, entonces (a+b) (a-b}=a2+ab--abt-b2 = a2-b2
>- Compioba,,os con las medidas que hicieron su modelo en su cuaderno y continua escribiendo en el pizarrón. los alumnos solamerte observan lo que el profesor está realizando:
a) (12x7)+(5X7) = 84 +35 = 119
b) (12+5)(12-5) = (17)(7) = 119
C) (12)2-(5)2:: 144- 25 = 119
81
>- Es impor1arte que ta enseftanza de las maleméticas torne en cuenla la dwaá6n y las elapas por las que pasan áertDs apendizaíes y ahtzca a los alumnos la qx¡rtunídad de esta" en cantado frecuerte con las oociones y procedimientos l:é>icos, en siluacianes que les pennilan utiiz.- los conocimienlDs wm; con arterioridad, a meóda que se ~ graciJalmente hacia conocimientos mÉ avanzados.
> En este nU81/0 enfoque se busca que sea el mismo alunno quien descltlra, ob&eNe y valide las propiedades de tas operaciones y las figuras geamélricas.
)o Pre{Jmtó sí se entendí6, como hlbo respues1as negativas, volvió a repetir el procedimiento y da tiempo para copiarlo.
)o OespJés indica que escriliran ejemplos borra el pizarrón y coloca <iez productos de bincmios conj~os con varias ínc6gnítas y hasta con coeficientes taccionaños.
)o Identifica la; términos de cma ejemplo y el primero, preguntando a ll'la ahmna, pero como no hay respuesta, contestando él mismo.
)o Y asl resolvió todos, ya por el cu.vto eja"ci:io algunos iwmnos coreaban el resultado.
>- Comen1a "ahl esl.ln los res~. ¿hay preguntas?' como no hubo respuesta se dedica a anotar la wea del lado derecho del pzarrón y 1a clase se terminó
j
1
Uno de los más graves errores que se cometen en la enseñanza de las
matemáticas y que le dan esa característica de diflciles e inacces1bles es el
plantarse ante el pizarrón y exponer al alumno una serie de procesos que
creemos que entiende, pero no lo verificamos, elegir un modelo interesante no
es suficiente cuando no se da el tiempo adecuado para la asimilación del
alumno, si no se genera la discusión y se dejan de lado los conocimientos
previos del alumno y todo ello es lo que sucedió en esta clase.
Se tomó el modelo, se expuso ante los alumnos, se ejercitó con ejemplos
y a fuerza de repetición del proceso de solución, se logró que los alumnos
entendieran qué debían reproducir y así lo hicieron en los ejercicios
subsecuentes ·siguieron las reglasª.
Continuando con el análisis del trabajo del profesor Alejandro, llegamos a
la cuarta observación, donde se dio un giro al trabajo desempenado hasta el
momento.
Esta cuarta sesión es un ejemplo demasiado claro de los riesgos que
podemos correr al no dar una adecuada interpretación al enfoque, los
propósitos, actividades sugeridas y en si a la naturaleza misma de la
82
matemática. Es curioso ver como algunos compañeros subdividen a la
asignab.Jra en matemáticas recreativas y las otras, las de siempre, las aburridas,
las difíciles, las tediosas.
CUARTA OBSERVACION PROFR. ALEJANDRO PADILLA M=LENDEZ SEC. 0110 ·wis G. URBNA· TERCER GRADO GRUPO "'B" TEMA: DOBLADO DE PAPEL
ACTlVIDADES EN EL AULA SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO
¡.. Es día viernes., así que corresponde la clase de > En reatidad lo que se sugiere es que se "malemáticas a-ealivas• Cl.6te la creatividad del alumno en todo
morner*>, no solo un día. )- El profesor pidió 15 cuadrados de 10 x 10 cm.
> La aeatividad im~ica que 1os aumnos > La clase inicia ccmo siempre con el pase de
lista, algunos akannos se tapan la boca entre sí para que no contesten a tiempo
> Al terminar, empieza a escucharse la música > dentro del salón, los alumnos corean la canción.
¡.. B maestro les dice que corten sus cuadrados a la mitad obteniendo 15 rectángulos.
> Alguien comenta que entonces serían 30 y no 15 rectángulos.
> El profesor tiene que esperar porque muchos no llevaban reoorlados sus cuadrados.
), Ahora es casi todo el grupo quien entona la canción de moda que se escucha.
>- El profesor toma un rec1ángulo de la ah.nana que está hasta delante y realiza unos dobleces apoyándose en el pizarrón.
> Una jovencla identificó las figuras y sacó de su bolsa de hojas las que ya habían hecho la semana pasada.
)- El profesor aclara que son las mismas pero que van a necesitar 15.
> Después sale al pasilo a platicar con un exalumno.
> Los alumnos pasan la clase intentando doblar sus reclángulos y áasbayéndose con la música.
> El tiempo se termina y el profesor indica que continuaran el próximo viernes de -matemálicas recreativas•
83
pongan en juego sus habilidades y cmocímientos previos y sean capaces de relacionarbs con una situación problema.
En cuanto a ambiente de trabajo, es importante que el maeslro evite transmitir la idea de que enseña ai¡p dificil a alguien que no sabe o entiende.
Las actividades en clase debenín realizarse en un ambienle estimulante, de colaboración y respeto nuuo, donde los akAnnos tengan la oporttndad de expresar su pensamiento, comunicar y disccdir sus ideas.(46)
No se trata de abrir espacios de esparcimientos, donde se relaje la
disciplina, se pierda el tiempo y finalmente el alumno no llegue a nada nuevo;
en esta clase, muchos alumnos no solo no entendieron los dobleces que les
explicó el profesor, tampoco les parecía divertido. Trabajaron con hojas de
colores, las que recortaron en cuadrados de un tamaño determinado y con las
cuales se pretendía que armaran una figura.
La sugerencia del nuevo enfoque va en otro sentido, va en sentido de
darle vida a la matemática de comprender y hacer comprender a los alumnos
que cada conocimiento matemático tienen razón de ser, tiene aplicabilidad y
tiene relación con el entorno mismo, es ir a la naturaleza de las matemáticas, es
descubrir la riqueza que encierra en los trazos, los dobleces, las figuras que se
forman, etc.
Además la creatividad en las matemáticas debe buscarse en toda
actividad de ensenanza - aprendizaje, en cada tema y en cada sesión, no en un
ªviernes social·, pues creo que estas actividades solo provocan mayor aversión
a la ensetianza de la matemática, es decir todos los alumnos esperaran el
viernes para divertirse en lugar de complicarse tratando de entender el álgebra
que les expone el profesor el resto de los días.
Al parecer la interpretación del enfoque de la enseñanza de las
matemáticas no está influenciada por la preparación profesional del docente,
sino de la lectura y de la comprensión que se haga de enfoque en los planes y
programas, el profesor Alejandro tiene la especialidad y las oportundades para
dar el gran brinco hacia las verdaderas matemáticas, pero parece faltarte
decisión y trabajo al respecto. No basta con decir que somos constructivistas,
hay que aprender a construir realmente.
Finalmente, presentamos las observaciones hechas al trabajo docente de
la profesora que con más de veinte anos de experiencia ha tenido oportunidad
84
de trabajar dos enfoques diferentes, de replantear una y otra vez su práctica, de
reestructurar su propio enfoque y descubrir muchas estrategias.
En esta primera sesión remarcaremos el error de proporcionar al
alumno en primera instancia la información teórica y posteriormente
demandarles la reproducción de procedinientos prees1ablecidos, ello parece
corresponder a la forma de trabajo de los programas anteriores.
Cuando se trabajan contenitos que por su propia naturaleza presentan
un alto grado de abstracción, no se puede pretender que con la lectura
anticipada de un ejemplo resuelto, el alumno comprenda el procedimiento de
resolución y las propiedades de las operaciones empleadas.
PRIMERA OBSERVACK>N PROFRA. MARTliA EVANGEUNAZARZA FRAGOSO SEC. 0476 "PROFR. MANUEL HINOJOSA GILES'" TERCER GRADO GRUPO W' TEMA: M:TOOO DE DETERMNANTES EN SISTEMAS DE ECUACIONES 3 X3
ACTIVIDADES EN EL AULA
)1- La clase anterior tuvo que saíir, así que dejó a ), una alumna su cuaderno para que lictara el tema y el ejemplo.
);,- Aclara que van a revisar lo que hicieron la clase anterior.
),). Coloca el sistema de ecuaciones en el pizarrón y pmgun1a ¿cpén me va a ayudar? )-
2x - y+ z = 6
~x+ 3y-z=-10
4x+ 7y+2z=3
);,- Pregurta a los alumnos cuales son los :,. coeficientes, recomándoles que son nlnlBRlS con valor CCW'locido.
);,- Codestan varios alumnos y esaibe el determinante.
85
SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO
Las actividades deberán desarrollarse en un embiente de babejo donde lo6 alumnos puedan expicar y COfl'UIÍCaf su pensamiento • tarnores, al mismo tiempo que se apropian g,adualmente del vocabtaio y los mecios de expresión que les propon:ionan las malenlláticas.
La expresión y rmd111icación del pensamiento, tanto en forma oral como eecñla, juega m papel impatalt& en el aprendizaje de las maletnálicas porque incita a ISia comprensión más prdunda de los cmceJias y principios involucrados.
Los alumnos no deberan ser meros receptores pasiws de las eaplitacioa,es daf maeslm, o solamente ejercitase en la aplicación de las técnicas y procedmientos vistos en el pizanón.
> Resuelve y les iooica que ese será denominador para todas las variables.
el ! > Además de las exposiciones del maesbo, los alumnos pockán reaizsr invesligaciones y uponer los resultados en clase, asi como
),- Continua explicando como bmar determinante para x y luego para y.
el organizarse para resolver P"dllemas y cisculir sus conjeb.-as y soluciones erü"e ellos y el maesbo.
),- Una alumna escribe en el pizarrón mientras ella le dicta los números.
),- Otro alumno le cice que no eooende como acomodar los valores y pregunta por qué se van cambiando los coeficientes de x, y, z por los l'8SIMados de las ecuaciones.
> Pasa a tres alumnos y una alumna al frerie para que snan de modelo, la niña es colocada al fmal, el primer nifto es x, el segundo y, el ten:en> z y la riña es el término independiente.
> Dice •si busco a x, entonces ella se pone en el lugar de x; si busco a y, se pone en el lugar de y; y si busco z, ella ~ el lugar de z. ¿Eriendido?"
)- Pasa una alumna a resolver el determinante Dx y tiene errores, pregunta al grupo donde está el error y luego corrige ella misma.
), Otro alumno empieza a resolver Dx, pero como no entiende, ella le cicta el procedmierto.
)- En ese momento, descubre que un alumno no hace nada, toma su cuaderno y le coloca un recado con color rojo, ·mañana quiero a tus papásaqur
> Otra alumna pasa a corregir los errores de su compañero en el pizarrón
)- Pasa a Jorge, el alumno al que puso recado al pisaron y resuelve sin problemas Dy.
> Pregunta a otro alumno "¿qué ha hecho Roberto?" y le escribe también su recado.
)- Resuelven individual Dz.
),- Comprueban los restJtados, al mismo tiempo. tres alumnos en el pizanón
),- Dice que llegó la sección de dudas.
> Un alumno Pf19Jn1a si siempre se va a dividr por el primero
),- La maestra contesta que eso dijo al principio.
86
), Otro alumno dice que no entendió desde la sustitución (o sea desde que empezaron).
),- La maestra dicta la tarea.
}o- Dice que lo ideal es que Femando (el almlm de la duda) pasara al frente, pero como oo hay tiempo repite el proceso completo y finaliza la ! sesión. Í
Otra observación importante es que está muy lejos del interés del
alumno el reproducir una solución que ya tienen escrita en sus cuadernos, así
que no es necesaria su atención. Ello se comprueba cuando al final un alumno
dice que no entendió ·desde el principio·. Los roles establecidos están bien
marcados: la profesora les proporciona los elementos para resolver ecuaciones
y los alumnos tendrán que reproducirlos en ejercicios posteriores (forma de
trabajo sugerida en los programas de los 60's).
Revisemos, en seguida, nuestro segundo reporte de observación del
trabajo de la profesora Martha. No podemos negar que sus alumnos aprenden,
lo hacen a través de la reproducción de procedimientos y el reforzamiento a
través de la solución de ejercicios similares al ejemplo.
SEGUNDA OBSERVACK>N PROFRA. MARTHA EVANGEUNA z.AAZ.A FRAGOSO SEC. 0476 'PROFR. MANUEL HINOJOSA GNB>· TERCER GRADO GRUPO "C" TEMA: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ACTMDADES EN EL AULA SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO
»- Revisa la larea por filas e indica que van a )- Es conveniente que se sigan resolviendo resolver problemas. problemas para que los alumnos afinen su
comprensión de las relaciones enlre los dalos )> Dicta el primer problema y les (ice que y las incógmas de un problema.
resolverán todos juntos.
> Los alrmnos tienen <ificullades para establecer las ecuaciones, entonces la maestra mloca el sistema en el pizarron y lo resuelve.
> Dicta el segmdo problema, les pide ayuda para establecer el sistema resultante y les pide que lo resuelvan.
87
> Una sugerencia de estos programas es que el profesor guíe al alumno en la cc:mprensión y establecirnierm de sus ecuacíones, no que el púesor les evite este baba¡o.
)1, Después de cierto tiempo, ella realza todo el procecimienlo en el pizarrón
)1, Pide que abran su libro de texto y proeta"en resolver el siglienle problema
)1, Al existir dudas, establece las ecuaciones y les dice que resuelvan.
)1, De tarea, el resto de los problemas y empezamos con productos nmables.
Volvemos a caer en el error de pedir al alumno como conducta
deseable, la reproducción de procedimientos mostrados por la profesora. Los
problemas carecen de interés para el alumno, los procedimientos son largos y
engorrosos y la interacción maestro - alumno es prácticamente nula.
TERCERA OBSERVACION PROFRA. MARTHA EVANGEUNA ZARZA FRAGOSO SEC. 0476 'PROFR. MANUEL HINOJOSA GILES• TERCER GRADO GRUPO ªA .. TEMA: PRODUCTOS NOTABLES
ACTIVIDADESENELAULA
)1, Como es tema nuevo, les «ida los con > conceptos de los lres tipos de produdos nolables:
a) Binomio al cuadrado
SUGERENCIAS DEL LIBRO DEL MAESTRO
Conviene introducir los productos notables apoyándose en modelos que les den soporte visual intuitivo (mosbados en las observaciones anteriores)
)- Los alumnos necesitan ejefcilaise en la b) Binomios conjugados
e) Binomios con término comúi
>- Coloca ejemplos de cada uno de ellos y les >acla'a los pasos a seguir para resolverlos.
)1, Les pide que noten las ciferencias en cada caso, destacando que los términos cuacnticos aparecen en los tres. Pero no hay p¡.11icipaáón de los alumnos.
> Entonces les pregunta que falta en el segundo caso y explica que es porque un signo es poslivo y el mro negativo.
> Coloca ejercicio6 en el pizarrón
»- indicando que se guien por el apunte y maiza la sesión.
88
utilización de los prOGJCto& notables, ya sea para desanollar expresiona. sencillas o bien para agilizar los cálcdos en expresiones más complicadas.
El cálculo de productos nolables y la factorización de polinomios no deben bata'Se en rncmen1os separados, pues es impm1arde que los alumnos comprendan que se trata de procesos invetSOS y mflcen desde el inicio los productos ootables para factoñzar polinomio&.
La profesora está siguiendo un patrón definido dentro de la enset\anza
tradicional, proporciona toda la información que considera necesaria, incluye un
ejemplo, mismo que es ·resuetto· en el grupo y continúa con la sección de
ejercicios. La participación de los alumnos no es libre, está guiada por el dictado
hecho anteriormente.
Kline64, afirma que el plan tradicional no presta mucha atención a la
comprensión. Confía en la práctica para lograr que los alumnos hagan el
proceso rápidamente.
Se ensenan multitud de procedimientos como descomponer en factores,
resolver ecuaciones, uso de los exponentes, suma, sustracción, multiplicación y
división de polinomios, operaciones con negativos y con radicales. En cada
caso se les pide que imiten lo que el maestro y el libro hacen. Por tanto los
alumnos se enfrentan con una variedad desconcertante de procedimientos que
aprenden de memoria a fin de dominarlos. Casi siempre el aprendizaje es
completamente memorístico.
Este sigue siendo, como pudimos observar en los tres casos, el problema
más grave de la enseñanza de las matemáticas. A pesar de todos los cambios
que se han ido generando en planes, estrategias y metodología, de los cursos
que se han abierto para los docentes tanto de Carrera Magisterial como del
Pronap (Programa Nacional de Actualización Profesional), de que en los
talleres de actualización se ha propuesto el análisis exhaustivo de planes,
programas, libro del maestro, fichero didáctico y demás materiales de apoyo,
los docentes siguen trabajando dentro del enfoque tradicionalista, son
constructivos teóricamente, pero no han sabido aterrizar todo ello en su
práctica.
64 Kline, Moms. Por qué Juanito no sabe sumar. El &acaso de la matemátioa modmla,. Méxioo, 1973, p. 38
89
De ahí surge la idea de tratar de cubrir esta necesidad a través del
trabajo colegiado, es decir, formando un verdadero equipo de trabajo donde los
companeros de la misma asignatura tengan la posibilidad de corregir y superar
su práctica docente. Por ello, se les dió a conocer el análisis de las
observaciones anteriores, revisando las sugerencias e identificando sus errores,
pero valorando también sus aciertos.
El siguiente paso en esta investigación es entonces poner en prádica los
siguientes puntos.
» Planteamiento de las estrategias a seguir para corregir errores y
aumentar los aciertos.
)., Planeación conjunta de una serie de sesiones subsecuentes,
tomando en cuenta las sugerencias de sus materiales de apoyo y
de los autores contemporáneos incluidos en el marco teórico de
este trabajo de investigación.
).. Puesta en práctica de tal planeación y comparación de resultados.
4.2. Planteamiento de las estrategias
La idea no es eliminar a la matemática del curriculum, ni disfrazarla como
un juego divertido, más bien, la intención es darle un sentido real y natural al
aprendizaje de esta disciplina, es llevar al alumno de la mano por el vasto
campo de la matemática de una forma tal que tenga la oportunidad de
desarrollar esas habilidades y destrezas que le son requeridas por los planes
actuales.
Construir sus propios significados le demandan al alumno el
experimentar, probar y disprobar, descubrir y toda una serie de acciones que
realizaron los matemáticos a través de la historia misma.
90
El conocimiento matemático ha tenido que evolucionar, irse
reestrucb.Jrando cada vez que un científico realiza algunos estudios. Esta
constante reconstrucción es la que le pennitiría al alumno comprender de fondo
la esencia de las matemáticas.
El error de la ensenanza de las matemáticas es su propia
institucionalización, la frialdad de la que hablan los diversos autores es por la
separación del conocimiento matemático que se ha hecho con relación a los
fenómenos físicos que le dieron origen y que generalmente, son ignorados por
profesores y alumnos, cuestiones como ¿quién inventó las matemáticas? ¿Para
qué sirven? ¿Para que aprendemos álgebra?
Y otras más que son expresadas originalmente como una protesta a la
andanada de conceptos, procedimientos, fórmulas y demostraciones que el
alumno debe dominar, debieran ser puntos de partida del verdadero proceso de
ensenanza aprendizaje.
La curiosidad, el reto, el afán de búsqueda son características comunes
de matemáticos como Pitágoras, Arquímides, Newton, Pascal y demás. ¿Por
qué no permitir esas mismas acciones a los alumnos?
Un nioo tiene una curiosidad natural por el mundo que le rodea,
pregunta, cuestiona y experimenta, pero todo ello, lamentablemente, fuera del
ámbito escolar. Cuando el docente plantea un experimento, este ya esta
preestablecido, el maestro sabe qué busca y qué debe encontrar y eso se le
exige al alumno. No podemos ignorar que el ser humano tiene un contexto y
que dentro de tal se desarrolla y se cuestiona sobre muchas cosas ¿será
posible aprovechar tales interrogantes? Probablemente si.
La cuestión entonces no va en dirección de cambiar los contenidos, sino
de la forma de ensenartos, de la forma de conducir al alumno hacia su
apropiación, construcción o práctica.
91
Si decimos al alumno, una palabra, por ejemplo triángulo, suscitaremos
en él un sin fin de situaciones, habrá quien recuerde que se clasifican por sus
lados o por sus ángulos, habrá quien piense en tomo a como construirlos, en
calcular su área, en cómo dibujarlos y tal vez en el teorema de Pitágoras, lo que
un profesor tradicionalmente hace con todo esto, es ignorarlo y dar paso a su
organización ya preestablecida. Es común escuchar, ·por ahora no hablaremos
de eno·, "eso corresponde al siguiente ciclo·, ·en tercero te lo ensenaran·.
La propuesta, entonces, es aprovechar todas esas interrogantes,
desarrollarlas discutirlas, tomar en cuenta los conocimientos previos para
engarzar los conceptos nuevos, socializar y compartir el conocimiento, puede
ser que Juanito sepa clasificarlos, pero no calcular su área, pero platicando con
Pedro al respecto, adquirirá esa destreza. Si recurrimos al propósito general de
la ensetianza media, encontraremos que se pretende desarrollar en el alumno
habilidades comunicativas y de descubrimiento. Así que si además buscan
cómo dibujarlos, crean modelos, dibujos que incluyan el triángulo como trazo
básico, analizan otras figuras que pueden descomponerse en triángulos,
comprueban por modelación el teorema de Pitágoras y todo lo que se les
ocurra, estarán cumpliendo con tal propósito.
Lo anterior no sale del contexto de la ma1emática, más bien lo amplia al
contexto social del alumno y lo coloca como el verdadero constructor de su
conocimiento, el docente en este punto es igualmente valioso, pues es la guía,
es el generador de procesos y el controlador de las interacciones entre los
alumnos. Es momento de proporcionar al alumno las herramientas y los objetos
que le faciliten esa búsqueda de la verdad.
¿Suena ambicioso? Sin duda lo es, es como darle a la matemática su
característica natural, es como recrear cada anécdota vivida por los
matemáticos, es darle al alumno la oportunidad de investigar, de descubrir y de
avanzar por sí solo en el campo de la matemática educativa. No se pretende
sugerir una inclusión o exclusión de temas, más bien, el uso de diversas
92
estrategias que permitan al docente aprender mientras enseña, descubrir
mientras sus alumnos buscan.
Cantorar5, sugiere que la matemática crezca a la par del educando. Si
el alumno ubica el contenido a tratar dentro de un marco histórico, comprenderá
el por qué, el cómo y el cuándo de tal concepto. Además conocer el fenómeno
físico que le dio origen le ayudará en la apropiación del significado y le permitirá
una relación natural con otras asignab.Jras, más aún si puede reproducir tal
fenómeno. Muy pocos docentes saben o dan a conocer que la gran mayoría de
los contenidos matemáticos surgieron a partir del esb.Jdio de un fenómeno
físico, la distancia, el movimiento, la aceleración, dieron origen a conocimientos
que actualmente se ven como fños, rígidos y sin sentido.
Además, si revisamos los programas actuales del nivel subsecuente
(preparatoria), encontraremos que se está trabajando esta relación, es decir,
dentro de la enseñanza de la geometña analítica y del cálculo se consideran los
trabajos de Arquímedes, Newton y otros científicos que dieron a la matemática
esa visión de interpretación de los fenómenos físicos. Y no tiene por qué ser
hasta este momento que se presente al alumno tal relación.
Quizá debiera ser requisito indispensable para el docente de secundaria
el conocer qué es lo que se le demandará al alumno en el siguiente nivel y de
ah i darle las bases para que pueda desenvolverse satisfactoriamente. Además
de conocer cuales son las características de esta edad y el nivel de desarrollo
de la inteligencia que en promedio han logrado y se supone deberán optimizar
en el tiempo que están bajo su cargo.
Y es que, dentro del enfoque mismo de la asignatura de matemáticas
se compromete al docente a desarrollar las habilidades operatorias, de
comunicación y de descubrimiento, lo cual debe generarle también la
necesidad de conocer un poco sobre los estadios en que clasifica Jean Piaget a
los seres humanos a través del desarrollo de la intetigencia. Según Piaget
93
nuestros alumnos transitan entre las operaciones concretas y las operaciones
formales
4.3. Planeación coniunta de las sesiones.
Después de analizar los reportes de observación de sus prácticas en
equipo, se les planteó a los profesores Azucena y Alejandro la posibilidad de
establecer una propuesta para trabajar con sus alumnos, donde se consideren
las sugerencias del libro del maestro, de su fichero didáctico y de la corriente
que sustenta los nuevos programas.
Se platicó sobre el rol que deben desempeñar y el que deben buscar en
sus alumnos. Se trabajó con ellos previamente para invitarlos a una mayor
acción en clase, se les invitó a investigar, a razonar y a descubrir en la materia.
Todo ello dio como fruto una planeación caracterizada por las
sugerencias que dan los diferentes materiales de apoyo, el trabajo en equipo de
los profesores, el análisis y la discusión del enfoque de los programas acb.Jales
y el establecimiento de un diseño, mismo que los docentes llevaron a cabo al
interior de sus grupos.
A continuación se citarán sib.Jaciones escogidas para no resultar tan
repetitivos en la presentación de desarrollos completos de las sesiones. Se
incluyen también comentarios textuales de los docentes y de los alumnos.
Con la profesora Azucena se continuó con el estudio de la geometría
plana y del espacio, trazos con regla y compás y la obtención de áreas y
volúmenes.
Para reforzar el trabajo del profesor Alejandro y la comprensión de sus
alumnos se continuó con el estudio de los productos notables y la factorización,
ecuaciones y funciones cuadráticas, tabulación, gráficas, series y sucesiones.
65 Canten), Ric.-do. Historia de las matemáticas.. ITESM, México. 1999.
94
4.3. Puesta en práctica de la planeación.
En este apartado analizaremos las experiencias didácticas de los
profesores involucrados en la propuesta de enfoque integrador de las
matemáticas. Aclaremos que se realizó un análisis exhaustivo de los reportes
de observación de sus prácticas, mismos que se incluyen en este capítulo con
antelación.
Se identificaron los principales errores cometidos confrontándolos con las
sugerencias que al respecto se dan en el Libro del Maestro de Matemáticas. se
trabajó el enfoque actual de la materia y se les proporcionaron algunos
fundamentos teóricos, incluidos en el capítulo del marco teórico.
Por otro lado, los alumnos también estuvieron trabajando en el cambio
del rol que desempeñan, se les orilló a establecer estrategias propias de
solución a los problemas planteados, se les inculcó el hábito de la investigación,
se les mostró la forma activa de aprender matemáticas. Y una vez preparado el
escenario, se procedió a trabajar con la planeación hecha en conjunto.
A continuación analizaremos algunos fragmentos de la labor
desempeñada por la profesora Azucena y sus alumnos con el fin de identificar
los avances y cambios que se presentaron.
Como podemos apreciar en este reporte de observación, la interacción
entre los alumnos y la profesora es de cordialidad, los alumnos han aprendido a
ser más abiertos en la expresión de sus ideas. Por su parte la profesora ha
cambiado totalmente su papel frente a ellos, ya no se presenta como quien les
va a proporcionar la información, por el contrario, una de las sugerencias de
este nuevo enfoque de la materia es tomar en cuenta los conocimientos previos
de los alumnos.
95
MAESTRA: Iniciemos nuestro babajo con un juego sencilo, les diré una palabra y
ustedes mencionaran lo que saben al respecto o también lo que les gustaría
saber o que ya no recuefdan ¿de acuenlo?
ALUMNO: ¿ También podemos preguntar?
MAESTRA: Eso es, y la primera palabra que se me ocurre es "triángulo•, veamos que saben y que quieren preguntar sobre esta palabra.
ALUMNO: ¡Tienen tres lados!
ALUMNO 2: Y también tres ángulos ¿no maesba?
ALUMNO 3: Y hay algunos que tienen todos sus lados iguales
ALUMNO 4: ¿Esos son los escalenos maeslra?
MAESTRA: ¿Alguien desea contestar la pregunta de Luis?
ALUMNO: ¡Yo! No son escalenos son los equiláteros.
MAESTRA: ¡Muy bien!
ALUMNO: También hay isósceles que tienen dos lados iguales
ALUMNO: Y entonces los escalenos no tienen lados iguales.
MAESTRA: Bueno, parece que saben mucho de triángulos. Ahora, la palabra es cuadrlátero.
ALUMNO: ¿No será cuadrado?
ALUMNO 2: ¡Sí, maestra! Los que tienen cuatro lados son los cuadrados.
ALUMNO 3: Pero el rectángulo también tiene cuatro lados.
ALUMNO 4: Y el rombo, también tiene cuatro lados
MAESTRA: ¡Muy bien! Efectivamente todos ustedes han nombrado algunos de los cuadñáteros que existen y se llaman así porque tienen cuatro lados como dijo Omar.
ALUMNO: ¡Maestra, hay uno que parece faldita! ¿lo dibujo en el pizarrón?
MAESTRA: Por supuesto, recuerden que la dase la hacemos todos
ALUMNO: ¡Yo sé como se llama! Es el trapecio ...
96
Por su parte los alumnos han abandonado su rol de simples receptores,
no están tomando el dictado como en las sesiones anteriores, ellos están
haciendo uso de los conocimientos que han adquirido anteriormente.
La sesión se concluyó con algunas comparaciones entre los triángulos y
cuadriláteros y quedó como tarea extra clase la investigación teórica de las
propiedades de ambos.
En otra sesión, se les solicitó a los ah.Jmnos que llevaran varias fguras
geométricas recortadas con medidas específicas proporcionadas por los
alumnos, previo a ello se trabajó construcciones con regla y compás de algunos
triángulos y cuadriláteros. El propósito de esta sesión era que los alumnos
establecieran una estrategia para obtener áreas de figuras combinadas.
MAESTRA: ¡ Bien, mis pequei'\os matemáticos! Espero que no hayan olvidado su
material, porque hoy van a experimentar con las figuras geomémcas.
ALUMNO: ¿Se podía hacer las figuras en hojas de colores maestra?
MAESTRA: Si, aqul lo importante es que hayan hecho con precisión sus figuras, empecemos con las más fácies, ¿cuál es el área del cuadrado?
ALUMNO: Usted los pidió de 4 centímetros por lado ¿no?
ALUMNO2: maestra, ¿el área se saca m..._,licando un lado por otro lado?
ALUMNO 3: Si, ¿qué ya no te acuerdas?, maestra, verdad que son 16 centímetros
MAESTRA: ¿Qué opinan los demás son 16 certirnetros?
ALUMNO: Cuadrados, le faltó decir cuadrados, porque cuando se saca el área siempre se dice cuadrados.
MAESTRA: Eso es, las unidades de medida del área son centímetros o metros cuadrados. Y ahora, dlganme cual es el área del triángulo rectángulo.
ALUMNO: Pues como tiene un lado de 4 y otro también de 4, son 16.
ALUMNO 2: Pero te faltó dividirto entre 2
ALUMNO 3: Son 8, maestra son 8
ALUMNO 4: Maestra además es la mitad del cuadrado mire si doblo mi cuadrado así
97
salen dos triángulos.
MAESTRA: Muy buena obseivación, de hecho de ahí surgió la fónnula del triángulo, por eso se divide entre dos.
ALUMNO: A mi me ensefiaron que la fórmula del área es la miad de la del reclángulo, maestra.
ALUMNO: Pero acuérdate que en lo que investigamos decfa que el cuadrado también es rectángulo ¿o no maestra?
MAESTRA: Qué bueno que hacen uso de los contenidos anteriores, asi entendemos mejor cada día ...
La clase se fue en obtener las áreas de los cuadrados, triángulos,
círculos y rectángulos que habían llevado los alumnos y aunque no fue el
propósito original de la sesión, el trabajo fue muy interesante. Sin esperarlo, se
habló de la relación que hay entre las fórmulas y ya que la maestra hizo la
observación de la fórmula del triángulo, los alumnos preguntaron e informaron
sobre las relaciones de la fórmula del trapecio con la del rectángulo.
MAESTRA: Ahora si trabajaremos con nuestras figwas, tomemos un circulo y lo partimos a la mitad, ¿cómo podríamos sacar su área?
ALUMNO: Pues partimos también el área a la mitad.
ALUMNO: Si, se saca el área de todo el circulo y k.lego se divide entre dos, como el triángulo.
MAESTRA: Bueno, ahora formemos una figura utilizando las dos miades del círculo y el cuadrado. ¿Cómo les quedó? (Los alumnos hicieron varios modelos)
MAESTRA: ¿Cómo sacamos el área de estas figuras?
ALUMNO: Tendríamos que hacer una fórmula j.mtando la del círculo y la del cuadrado.
ALUMNO 2: Pero ué no será más fácil sumar el área de cada mitad de círculo la del
98
cuadrado?
ALUMNO 3: Si, es cierto, además ya sabemos cuál es el área de cada uno.
ALUMNO 4: Pero, maestra, ¿qué no es más fácil sumar el área del círculo completo y la del cuadrado? Porque son dos mitades de circulo ¿no?
MAESTRA: Parece que lo que propone Ornar es lo mas fácil y eso es lo que van a hacer en estas otras figuras (obtenidas del Hbro del maestro, pág. 256-257)
ALUMNO: ¿ Las vamos a copiar?
MAESTRA: No, simplemente quiero que me digan cómo obtenemos sus áreas, pueden auxiliarw con sus figuras que bajeron, no quiero que obtengan la fórmula, primero quiero que discutan entre ustedes, con los más cercanos a su k,gar, ¿cómo obtendrfan el área?
Con ello, Azucena comprendió que el programa es flexible, que permite
cambiar un poco el rumbo si ese es el interés de los alumnos, no tiene porque
postergarlo para después. Además, le permitió reforzar los temas que aunque
ya se trabajan desde la primaria hay muchas dudas entre los alumnos.
En otra sesión, se prosiguió con el propósito de encontrar el área de las
figuras compuestas. La participación de los alumnos es más abierta y decidida,
la profesora deja que sean ellos quienes construyan sus estrategias, que
aprendan de sus errores y sobre todo ella los guía en lugar de proporcionar1es
toda la información.
Las clases se han vuelto más dinámicas y agradables para los alumnos,
la profesora tiene tiempo de observar más a sus alumnos mientras ellos
trabajan y parece que su interpretación del enfoque actual de la asignatura es
más claro que antes. Aún falta mucho, pero hemos comprendido que con el
trabajo en equipo que se ha estado desarrollando, se puede transformar
nuestra práctica y mejorar así el aprovechamiento de los alumnos.
Por su parte, los alumnos llegan siempre con información extra, en
ocasiones hasta juegos o adivinanzas, es momento de desarrollar las
habilidades que según Piaget deben tener los jóvenes de esta edad y la
matemática es una herramienta muy útil para ello.
99
Veamos ahora, cuáles han sido los cambios más significativos en la
práctica diaria de los alumnos de tercer grado y del profesor Alejandro.
El álgebra ha sido una parte de las matemáticas que más índice de
reprobación ha tenido entre los alumnos y paradójicamente, uno de los temas
que más utilizarán en el nivel subsecuente de estudios. Así que se trató de
trabajar al respecto.
Aunque el profesor sigue dirigiendo la clase y parece que le cuesta un
poco de trabajo dejar de ser protagonista, hubo un cambio importante, son los
alumnos quienes van descubriendo el procedimiento que se siguió. De esta
forma están analizando la respuesta, y no simplemente copiando como sucedía
anteriormente.
Al analizar la figura le dan un mayor significado que cuando el profesor
les daba ya la imagen, ahora ellos la construyeron a partir del análisis del
enunciado. Además le dieron significado a cada figura que utilizaron en su
modelo y la relacionaron con la expresión algebraica y con el enunciado. Esto
es precisamente lo que se sugiere en el nuevo enfoque de las matemáticas.
MAESTRO: Les voy a platicar sobre un matemático que resolvía de manera verbal las ecuaciones de segundo grado, se llamaba al-Khowarizmi y escribió un libro llamado Al-jabr wa'I muqabalah.
ALUMNO: Parece que nos está ensenando inglés, profe.
ALUMNO 2: ¿y cómo resolvía sus ecuaciones maestro?
MAESTRO: La ecuación de al-Khowarizmi trataba con tres tipos de cantidades: raíces, cuadrados y números, ¿los recuerdan ustedes:
ALUMNO: ¿Son los tém1inos de las expresiones algebraicas que estamos trabajando?
ALUMNO 2: Las constantes son los números ¿no maestro?
ALUMNO 3: ¿ Y las raíces?
ALUMNO 4: Solo que sean las x, usted les ha llamado raíces algunas veces.
100
MAESTRO: Así es, las x son las raíces y los cuadrados ...
ALUMNO: Pues no queda otra que las x al cuadrado.
MAESTRO: Bueno, escuchen este ejemplo que nos mues1ra como operaba dichas ecuaciones: ·un cuadrado y diez de sus rafees son iguales a treinta y nueve" Y su solución se lee como sigue: "Tome la mitad del nómero de ratees, es decir, cinco, y multiplique esto por si mismo para obtener veinticinco. Agregue esto al treinta y nueve, dando sesenta y cuatro,. Tome la ralz cuadrada, ocho y substráigala de la mitad del nómero de rafees, cinco. él resultado, tres es la raíz buscada,1,6
ALUMNO: A ver maestro, ¿cómo está eso de que aumenta 25 a 39?
ALUMNO 2: Según entendí primero sacó la mitad de 1 O que son las x, y luego multiplicó 5 por sí mismo y de ahí salió 25. Pero ¿para qué a la mitad?
ALUMNO 3: Oiga maestro y ¿cómo podemos comprobar que está bien?
MAESTRO: Parece que esto ha provocado vanas dudas, puedo ayudarles diciéndoles que AI-Kuarizmi vertfica sus algoritmos mediante construcciones geométricas, utilizando un modelo como los que hicimos en los productos notables ¿alguien los trae?
ALUMNO: ¡Yo los traigo!
MAESTRO: Coloca la x cuadrada y en cada lado pon cinco tiras que son las x o raíces. Eso es igual a treinta y nueve, según el enunciado. Pero no formamos un cuadrado ¿ verdad?
ALUMNO: No se forma, le faltan los cuadrados que valen uno ¿no maestro?
MAESTRO: Exactamente, le faltan las constantes ¿con cuántas unidades completas el cuadrada? (luego de varias intentas el alumna encuentra que san veinticinco)
ALUMNO: Claro, como puso cinco x de cada lado entonces se forma como quien dice un cuadrado de cinco por cinco o sea de veinticinco .
ALUMNO 2: Y como se le aumentó entonces por eso se suman treinta y nueve más veinticinco ¿no maestro?
MAESTRO: Esa es la idea, ahora tenemos un cuadrado que completo tiene un área de sesenta y cuatro ¿cuánto mide cada lado?
ALUMNO: Si el área se saca multiplicando lado por lado entonces buscamos el número que multiplicado por sí mismo de sesenta y cuatro.
ALUMNO 2: Por eso AI-Kuarizmi sacó la raiz de sesenta y cuatro y le dio ocho ¿no maestro?
MAESTRO: Bien. ahora cuántas unidades tenemos en cada lado?
66 Cantora!, Ricardo. Historia de las matemáticas. P. 36
101
ALUMNO: Son cinco unidades en cada lado
ALUMNO 2: ¡Ya sé! Si tenemos cinco unidades y el lado mide ocho, entonces la x vale 3 ¿no?
MAESTRO: Bueno, parece que desciframos lo que hizo Al Kuarizmi. .. ---------------------'
Más adelante, los alumnos estuvieron estableciendo sus ecuaciones
como Al Kuarizmi, de "forma verbal" y resolviéndolas. Si analizamos el
procedimiento seguido por este matemático, encontraremos el método de
completando el trinomio cuadrado perfecto, tema de gran envergadura en
cursos del siguiente nivel. Y su comprensión fue mucho mayor que si el
profesor les hubiese dado el procedimiento y ellos lo memorizaran por
repetición.
Para los alumnos fue muy significativo el hecho histórico, parece darle
respuesta a una de tantas interrogantes que se plantean continuamente: ¿ quién
inventó el álgebra? ¿para qué? La historia de las matemáticas es muy vasta en
ejemplos de este tipo y hasta ahora los docentes desprecian este material de
apoyo. Este fue otro gran acierto del profesor.
Continuemos con otra sesión del profesor Alejandro, donde resolverán
ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos, la idea es irlos acercando poco
a poco a la obtención de la fórmula general. AJ respecto en el libro del maestro
se sugiere resolver múltiples ejemplos dando oportunidad a que los alumnos
identifiquen procedimientos de factorización y productos notables, pues no tiene
caso simplemente aplicar la fórmula.
También sugiere que se parta de una situación problema sin que sea
requisito indispensable el dominio de los procedimientos y que se le permita a
los educandos emplear cálculos aritméticos, gráficas o métodos y estrategias
personalizados.
102
MAESTRO: Buenos días, jóvenes. ¿ Se han puesto a pensar cuántos apretones de mano se darán si cada uno de nosotros saludamos a todos los demés?
ALUMNO: ¿Quiere decir que todos saludamos a todos?
ALUMNO: Sí, de eso se trata, yo tengo que saludar a todos ustedes y así cada uno, ¿si maestro?
MAESTRO: Esa es la idea, cada uno de ustedes saluda a todos los demás.
ALUMNO: Si somos 50 y todos nos saludamos a todos entonces multiplico 50 x 50 y son (hace operaciones en su cuaderno) 2500 saludos.
ALUMNO: ¡Estás loco! Son muchos.
ALUMNO 2: Además, yo no saludo a 50, ni modos que diga "hola mi misma, ¿como estás?"
ALUMNO 3: ¡Claro! Entonces son 49 x 49 ¿no profe?
MAESTRO: ¿Estas seguro que son 49 x 49?
ALUMNO: No, porque de todos modos somos 50, pero cada uno saluda nada más a 49, entonces son 50 x 49, eso pienso yo.
ALUMNO 2: Ya hice la operación y sale 2450 ¿eso está bien profe? Yo creo que son muchos.
ALUMNO 3: ¿Podríamos comprobarlo con alguna figura o de otra forma maestro?
MAESTRO: Bueno, quizá si empezamos por pensar en menos personas, digamos 10 o menos si quieren.
ALUMNO: ¡Maestro! Hay algo, cuando yo saludo a Miguel ¿el me está saludando también o me tiene que volver a saludar?
MAESTRO: ¿Qué será lo normal? Cuando saludas a alguien, ¿ese alguien te vuelve a saludar?
ALUMNO: No, claro que no, entonces si tienen que ser menos.
ALUMNO 2: Maestro, yo dibujé en mi cuaderno 1 O bolitas como si fueran personas y luego con rayas conté los saludos y me salen bien poquitos, a lo mejor me equivoqué, ¿puedo hacerlo en el pizarrón, así me ayudan a contar.
MAESTRO: Por supuesto que si puedes pasar, recuerden que se trata de que ustedes busquen cómo resolver su problema.
ALUMNO: Maestro, yo escribí en mi cuaderno hasta el número 9, luego escribí hasta 9, luego hasta 8 y así hasta que nada más me quedó uno y luego conté los números que escribí, me salen 45.
ALUMNO 2: ¿por qué fuiste quitando uno en cada renglón? No entiendo
103
ya nadie lo va a volver a saludar y luego de los otros 9, otra vez el primero saluda a 8 y así ¿no maestro?
MAESTRO: Es otro método muy bueno ¿qué les parece si también lo escribe en el pizarrón? (aceptación generalizada del grupo)
ALUMNO: Pero imagínese profesor, para dibujar 50 bolitas o para hacer una plana de números esta largo ¿no? ¿no hay una fónnula o algo?
MAESTRO: Quizá si seguimos buscando encontremos esa fórmula Toranzas.
ALUMNO: Oiga maestro, yo hice esto: como ya habían dicho que si fueran 1 O, cada uno saluda a 9, multiplique 1 O x 9 y me salen 90, ahora a José le salen 45 y ya dijeron que por ejemplo si yo saludo a Miriam, ella también me está saludando, pues si divido 90 entre dos ya me da 45 como a José ¿no podemos hacer lo mismo para los 50 que somos en el grupo?
ALUMNO: Pero ¿por qué divides entre dos?
ALUMNO: Pues ya dijo que porque si nosotros nos saludamos, este saludo cuenta entre los dos (Se dan el apretón de manos) y si te saludo a ti también ya está contando por otros dos, o sea que de los 49 saludos que tu das a los demás, ellos ya no van a contar 49, porque el tuyo ya está contado ...
ALUMNO: Entonces ya está la fónnula porque en los dos ejemplos del pizarrón ya dio también 45 ¿esa es la respuesta profesor?
MAESTRO: Efectivamente esa es la respuesta, pero veamos lo que mencionan sus campaneros: tenemos que si son 1 O, multiplicamos por 9 y luego dividimos entre 2. ¿Cómo escribirían su fónnula?
ALUMNO: Pues al total de personas le quitamos uno y luego multiplicamos y ya dividimos.
MAESTRO: Supongamos que el número de personas es n, una variable. ¿Cómo representaríamos el 9 o el 49?
ALUMNO: Pues quitándole 1
ALUMNO 2: O sea menos 1
MAESTRO: ¿Cómo escribimos ese ·quitándole 1" en expresión algebraica?
ALUMNO: ¿No será n-1?
ALUMNO 2: Sí, porque sin es 10 y le quitamos uno da 9.
MAESTRO: Bien, ya dijimos que el número de personas es n y el número de saludos que da cada persona es n -1 y que se divide luego entre 2 ¿quién tiene ya la fónnula?
ALUMNO: Yo creo que queda ·n por n-1 y todo entre 2"
ALUMNO 2: Yo paso al pizarrón ~---- -· - -·-·--·- ·------ --·-- - - - -------------------'
104
MAESTRO: Hazlo (el alumno pasa y escribe la fómiula correcta) ...
Partir de una situación problema que les sea familiar a los alumnos es
una de las principales sugerencias del enfoque actual y al profesor se le tradujo
esto en una mayor participación y un creciente interés de los alumnos.
Otro gran acierto del profesor es tomar en cuenta sus propias
estrategias, es decir, no tuvo que decirles como resolver, los alumnos se
sienten capaces de experimentar y de exponer sus ideas, se habló de una tabla
donde comprobaron su fórmula, se generalizó para la suma de los números
naturales, cuando el profesor les propuso el problema, la mayoría de los
alumnos identificó la fórmula correspondiente.
MAESTRO: Les voy a platicar una anécdota de un matemático, se llamaba Gauss, sucede que siendo nino, su profesor les pidió que sumaran del 1 hasta el 100, pensando que todos se tardarían demasiado, se sorprendió cuando Gauss en un lapso muy corto de tiempo le dio el resultado ¿cómo creen que le hizo?
ALUMNO: ¿Podemos hacerlo como queramos?
MAESTRO: Desde luego, si quieren pueden hacerlo en parejas o en equipo. Inicien y yo los visito en su lugar para ver que están haciendo.
ALUMNO: ¿Podemos usar una tabla como la de los saludos?
MAESTRO: Si pueden hacerlo. (Después de alrededor de 15 minutos hubo varias respuestas)
MAESTRO: Ya analizamos sus respuestas y casi todas están correctas ¿ya vieron los demás en qué se equivocaron? (afimiación generalizada)
ALUMNO: Maestro ¿cómo quedaría la fórmula?
MAESTRO: Utilicemos el ejemplo donde escribieron la serie, vean si sumamos el primer témiino y el último ¿cuánto nos da?
ALUMNOS: (En coro) Da 101.
ALUMNO: Y también 99 más 2 da 101
MAESTRO: ¿Cuántas sumas podemos hacer si son 100 números?
ALUMNO: Pues como van de dos en dos, otra vez dividimos entre dos, entonces son 50 sumas ¿no maestro?
ALUMNO 2: Pero, ¿de que nos sirve saber que son 50 sumas?
105
ALUMNO 3: A ver maestro, yo le explico: si cada suma son 101 y tenemos 50 sumas, entonces como los saludos, pues multiplicamos 50 sumas por 101 que da de resultado y salen 5050.
ALUMNO 4: Nada más que en los saludos era quitando uno y ahora en lugar de 99 son 101, o sea que ahora sumamos.
MAESTRO: Muy buen análisis, muchachos, ahora vamos a escribir la fónnula, ¿quién es n?
ALUMNOS: (En coro) Los cien números que sumamos
MAESTRO: ¿qué otra expresión tenemos?
ALUMNO: Maestro, ¿podrían ser las sumas que siempre dan 101?
ALUMNO: Pero ¿dónde queda el 50?
MAESTRO: Te cambio la pregunta ¿porqué multiplicamos 101 por 50?
ALUMNO: Pues porque salieron 50 sumas de 101
ALUMNO 2: ¡Ya la tengo! Si pensamos como en los saludos podemos tener que si sumamos los 100 números, el primero y el último siempre da 101 y serían 100 sumas, pero cada número lo tenemos dos veces ¿voy bien maestro?
MAESTRO: Yo creo que vas excelente, ¿quién quiere continuar?
ALUMNO: ¡Ya está fácil! Si cada número lo usamos dos veces, entonces dividimos entre dos y ya queda el resultado ¿no?
MAESTRO: Buena conclusión
ALUMNO: Entonces tenemos que la fónnula es el total de números, multiplicados por la suma y dividido entre dos.
ALUMNO 2: Si n es el total de números, ¿cómo escribimos la suma?
ALUMNO 3: Pues si es 101, ¿podemos escribir n + 1 maestro?
MAESTRO: Así es, escribimos n + 1. Y la fórmula ya está completa ~-·---·-··---- - -------··- ___ . .._ ·-·--·----------~~-----------·-----~·-----------'
4.4. Análisis de las experiencias didácticas
Para fundamentar nuestro análisis es conveniente citar de forma textual
algunas consideraciones de los profesores involucrados en esta propuesta, por
ejemplo para la profesora Azucena "es importante recalcar que estos temas
pertenecen a los correspondientes de primaria, que aunque no se tratan con
mucha formalidad, la noción debía quedar en la memoria de ellos" , y continúa
106
diciendo que esto nos lleva a visualizar un problema que se encuentra con
frecuencia en la enseñanza de la matemática: "el alumno, en muchas
ocasiones, sólo estudia y aprende momentáneamente, no para retener el
conocimiento a futuro".
Pero después de trabajar de cerca con ellos y utilizar diversas
estrategias ella misma afirma que "el trabajo colectivo es muy productivo,
porque los alumnos intercambian sus estrategias y se explican entre ellos
mismos, si es que alguien no entendió. Además entre ellos existe más
confianza por preguntarse"
A los alumnos les pareció interesante el trabajo con los triángulos y el
que ellos mismos fueran descubriendo las relaciones entre los diferentes
elementos empleados. Además es más fácil comprender los términos
geométricos a través de la manipulación y en equipo, ya que ellos construyen
sus propios conceptos.
Para Alejandro, "como en la mayor parte de los temas que se imparten
en matemáticas (incluyendo operaciones básicas de aritmética), un 90%
aproximadamente, de los alumnos olvidan el conocimiento, siempre se tienen
que plantear las clases como conocimientos nuevos"
Después de trabajar la estrategia propuesta opina que "en esta forma
de dar esta clase se da uno cuenta que es muy importante la participación del
alumno y el manipuleo de los objetos que se están estudiando, ya que esto les
ayuda demasiado en su aprendizaje y es un poco difícil que el alumno olvide lo
que ha aprendido"
107
CAPITULO V
S. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
En la primera entrevista, aplicada a los profesores de la zona 02 de
secundarias generales, ubicada en Chalco, en la coordinación regional 08 del
Estado de México, se les hizo únicamente una pregunta: ¿ Cuál es el enfoque
actual de la enseñanza de las matemáticas en educación secundaria?
tema central de nuestra investigación.
Se aplicó el análisis de contenido a la información obtenida reduciendo
los datos a formulaciones más manejables a través de la codificación y
categorización, utilizando como conceptos básicos: idea núcleo, perspectivas
de acción y razones.
Este análisis originó una serie de proposiciones (conexiones y relaciones
entre categorías). La expresión gráfica de esas conexiones pueden observarse
en el diagrama 5.1 donde se presentan las relaciones establecidas entre las
que hemos identificado las ideas núcleo y las declaraciones verbales de los
docentes, que apoyan el establecimiento de nuestras ideas núcleo.
En el mismo diagrama 5.1 se aprecia que en cada categoría se exponen
las citas textuales que nos permitieron establecer las variables a analizar al
interior de las observaciones. En él también se muestran las relaciones entre
las categorías que establecimos.
La secuencia de análisis sigue un proceso de aproximaciones sucesivas,
a través del cual se van compensando los primeros borradores del mapa con
los datos que se van obteniendo y con los anteriores.
Los resultados se reflejan en la lectura del diagrama 5.1. En él se
identifican cuatro categorías y sus relaciones.
108
La resolución de problemas se presenta como una idea núcleo central
en nuestro mapa dado que el enfoque actual concibe que la enseñanza de las
matemáticas se da a través del planteamiento y la resolución de situaciones
problema. También se considera el objetivo de desarrollar habilidades como
idea núcleo.
RAZONES IDEAS NUCLEO 1 RAZONES EXPECTATIVAS
Yo no le meterla al MATEMATICAS: Que el alumno V CIENCIA DEL Al alumno se le alumno tanto lío
aprenda a descubrir ~
debe ayudar a RAZONAMIENTO - teórico, las el conocimiento
~ ~ desarrollar su enfocarla a cosas raciocinio más prácticas
ENSEÑANZA: Aplique el
r+ Para desarrollar conocimiento en la resolución de ....-- RESOLUCION DE estrategias
1 i
problemas PROBLEMAS
¡ ~ Que los alumnos busquen alternativas
Resolver de solución a Que aprenda a
OBJETIVOS: problemas de diversos problemas -construir sus - la vida real por caminos que ellos
conocimientos y UTILIDAD PRACTICA vayan descubriendo o
a experimentar 1
creando DESARROLLO DE con ellos HABILIDADES -- Obtener
~ Adquirir conocimientos aprendizajes
Que sepan para proseguir con significativos
~ estudios superiores comunicar su ,, conocimiento
PROPORCIONAR dentro y fuera de Proporcionarle
la escuela ELEMENTOS PARA elementos que le J/ OTRAS - sirvan como ASIGNATURAS herramientas y
~ • medios para Relacionando
PROPORCIONAR Yo creo que las solucionar la asignatura
DESTREZAS matemáticas no problemas con otras
BASICAS van encaminadas a eso, los alumnos se hartan de resolver problemas
Diagrama 5. 1.: Categorización de resultados sobre el enfoque de las matemáticas
En su interpretación del enfoque los docentes reconocen que el alumno
debe construir •u conocimiento, algunos hablan de descubrirlo. Dentro de
109
sus expectativas se identifica su intención por dejar la teoría y darle más
espacio a la práctica. En cuanto a la categoría de resolución de problemas,
reconocen que es importante, algunos hablan de la aplicación del
conocimiento, desarrollo de estrategias y de que los problemas sean de la
vida real.
Consideran también el desarrollo de habilidades del pensamiento
como objetivo central de las matemáticas y reconocen la necesidad de que el
alumno sepa comunicar sus conocimientos dentro y fuera de la escuela.
También reconocen su relación con otras asignaturas y vislumbran el poder
brindarles herramientas que les permitan solucionar problemas.
Entonces, podemos afirmar basándonos en este mapa conceptual que
los docentes conocen el enfoque actual del programa, al menos en teoría. Es
decir, que el problema no está en el desconocimiento del programa.
¿Qué sucede entonces? ¿Por qué, si los docentes saben las
pretensiones del nuevo enfoque, siguen con prácticas anteriores encaminadas
a la memorización, reproducción y ejercitación? ¿Por qué si reconocen el papel
central de los problemas los utilizan como aplicación del conocimiento?
Para resolver estas y otras cuestiones que fueron surgiendo como se
avanzaba en la investigación, se empleó la observación directa en las aulas y el
acercamiento con profesores y alumnos.
Como resultado de tales observaciones se planteó la tabla 5. 2 donde se
retoman las cuatro categorías identificadas en el mapa conceptual anterior y se
hace una contrastación entre las razones que dieron los docentes en sus
respuestas y las acciones que se observaron en clase.
En la tabla 5.2 se observa que únicamente dos de las respuestas (parte
sombreada en la tabla) dadas por los docentes concuerdan con las
observaciones realizadas, que son referente a considerar los problemas como
una forma de aplicación del conocimiento y por tanto carentes de interés para
110
los alumnos, estas dos afirmaciones, permiten vislumbrar que aún cuando el
docente manifiesta conocer el enfoque de su programa, su actuar diario no lo
refleja, dado que la resolución de problemas juega un papel central en la
enseñanza actual de las matemáticas.
CATEGORIAS
MATEMÁTICAS: CIENCIA DEL RAZONAMIENTO
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
DESARROLLO OE
HABILIDADES
PROPORCIONAR ELEMENTOS PARA OTRAS ASIGNATURAS Y PARA
RESPUESTAS DADAS POR LOS DOCENTES
ACCIONES OBSERVADAS EN EL AULA
Que el alumno aprenda a descubrir el El conocimiento se da como conocimiento preestablecido, se dictan los conceptos y
se dan ejemplos.
Ayudar al alumno a desarrollar su Después de dictar el concepto, los raciocinio alumnos resuelven muchos ejercicios
similar9$ al ejemplo.
Enfocar las matemáticas a cosas más Trazan o resuelven mínimo cinco prácticas ejercicios como los explicados o
expuestos por el docente
Que resuelva problemas para desarrollar Los problemas fueron resueltos bajo la estrategias. dirección precisa del docente.
Que busque alternativas de solución a diversos problemas por caminos que vayan creando o descubriendo.
El procedimiento que siguen los alumnos es similar al expuesto en los problemas de ejemplo que resolvió previamente el profesor.
Que el alumno aprenda a construir sus El profesor dicta los conceptos, da conocimientos y a experimentar con ellos. ejemplos y después, pide la ejecución de
ejercicios que son similares.
Que el alumno obtenga aprendí.tajes La clase está estructurada previamente, significativos por lo que no hay cuestionamiento a los
alumnos sobre su significatividad.
Comunicación del conocimiento dentro y La disposición del grupo y la dinámica de fuera de la escuela las clases no permiten una libre
comunicación entre los alumnos.
Relacionar la asignatura con otras.
¡¿
No hay relación entre las diferentes ramas de las matemáticas, tampoco se consideran aplicaciones en otras áreas.
DESARROLLAR DESTREZAS 1----------------------------< Proporcionarle herramientas resolver problem•.
para El profesor les proporciona el prOClldimiento a uguir para resolver el problema.
Tabla 5.2. Contrastacíón entrevista - observaciones en el aula
111
En el resto de las respuestas de los profesores y las acciones
observadas en el aula no hay concordancia. Por tanto podemos afirmar, que si
bien es cierto que en las entrevistas manifiestan conocimiento de las demandas
del nuevo enfoque de matemáticas, estas no son cumplidas al interior del aula.
En la tabla 5. 3 se hacen algunas consideraciones sobre el análisis del
trabajo de los docentes observados. Se consideran diferentes aspectos con el
fin de establecer elementos de comparación.
CATEGORIA
MATEMÁTICAS COMO CIENCIA DE
RAZONAMIENTO.
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
DESARROLLO DE
HABILIDADES
PRIMERAS OBSERVACIONES
Los ejercicios que resuelven los alumnos son análogos a los ejemplos resueltos o expuestos por el docente. No tiene que razonar simplemente reproducir.
El descubrimiento del alumno se reduce a los pasos que el docente emplea en los •j11mploa
SEGUNDAS OBSERVACIONES
Cuándo los alumnos van buscando las respuestas, las cualidades o las relaciones entre los temas estudiados pueden estar razonando sobre su conocimiento.
Al discutir •n el grupo sobre fas características que observan el alumno descubre relaciones entre ellas y por ende su conocimiento.
Para verificar si aprendieron el concepto El problema pone en evidencia el profesor dicta algunos problemas a los lo que el alumno sabe y lo que alumnos. necesita aprender.
El procedim;.nto para ruolver el problema fue explicado por el profesor en los ejemplos. Los alumnos repiten los pasos.
Los alumnos buacan y discuten cómo resolver el problema, dan sus opiniones e intentan sus estrategias de solución.
Oespu'5 de escribir al concepto y ver al El alumno indaga en sus ejemplo en el pizarrón el alumno realiza conocimientos previos qué ejemplos similares. puede utilizar para resolver.
Los ejercicios carecen de significado para Al alumno se le hace los alumnos, tienen que aprenderlos. interesante encontrar un patrón
o una respuesta a un problema que está discutiendo con sus compal'leroe.
PROPORCIONAR ELEMENTOS PARA Los temas se dan desligados entre si, OTRAS ASIGNATURAS Y PARA siguiendo un orden lógico y sin relación DESARROLLAR DESTREZAS con otras asignaturas o con la vida real
Se toman ejemplos simples como el saludo para llegar a un concepto matemático y de él se puede volver a otra situación real o cercana al alumno.
del alumno.
Al alumno le aburre resolver problemas parecidos donde establece ecuaciones similares
Tabla 5.3. Comparación de los resultados de las obseNaciones
112
El nuevo problema que se le plantea al alumno, le permite uaar 11U conocimiento previo sin que parezca más de lo mismo.
En la columna de primer bloque hablaremos de las primeras
observaciones, donde la única intervención fue la observación. En el segundo
bloque se presentan los cambios después del análisis conjunto de los errores y
aciertos de la primera parte, así como de los programas, las sugerencias y las
corrientes que sustentan el enfoque actual. Seguiremos considerando las
categorías establecidas en el mapa conceptual mostrado en el diagrama 5. 1.:
Al observar la tabla 5.3, podríamos pensar que estamos haciendo una
comparación entre los programas de 197 4 y el actual. Puesto que las
actividades, métodos y estrategias utilizados por los docentes en la primera
fase corresponden a las sugerencias contenidas en el primer programa.
Los problemas eran un instrumento de aplicación de los conocimientos,
el profesor debía desarrollar una conducta específica en el alumno y por tanto
no se permitía que él discutiera y construyera su propio aprendizaje. Eso
cambio en el nuevo programa o más bien dicho debió de cambiar. Lo cual no es
difícil, como se puede apreciar en la columna que corresponde a las segundas
observaciones, basta con que el profesor se siente a analizar su programa, el
enfoque, las sugerencias que se le da y tenga la oportunidad de comentarlo con
sus compañeros, es decir, socialice su práctica.
En el capítulo IV de este mismo trabajo se presentan las fichas de
observación del trabajo de estos docentes, se habla también de las acciones
intermedias entre un bloque y otro. Primero se observó el trabajo de los
profesores, posteriormente se trabajó con ellos, orientándolos al enfoque actual
de su programa y materiales de apoyo. También se propició un ambiente de
trabajo adecuado para ef desarrollo de esta propuesta, se motivó al estudiante
para que participara más libremente en la construcción de su conocimiento.
El problema de los profesores involucrados no era el desconocimiento
sino el cómo interpretaban le inmersión de la resolución de problemas en las
clases de matemáticas en la secundaria.
113
5.1. Instrumentos de Evaluación
Un enfoque constructivista para la ensef'lanza y el aprendizaje de las
matemáticas es un enfoque integral que debe abarcar todas las actividades
escolares, incluidas las tareas extra-clase y la evaluación.
Se puede evaluar a un alumno mientras se observa cómo se
desenvuelve dentro de un grupo de discusión, o a través de la tradicional
prueba escrita. En el primer caso, la evaluación del alumno nos permite tomar
decisiones que favorezcan su mejor desempeño, corregir el error
inmediatamente, comentar diferentes puntos de vista; en el segundo caso,
podremos detectar, quizás, dificultades en ciertas habilidades operatorias, pero
no tenemos la oportunidad de hacerlas notar en su momento al alumno.
Sin embargo, una de las formas más comunes y factibles para medir el
aprovechamiento escolar es sin lugar a dudas la aplicación de un examen
escrito que involucre los contenidos abordados en clase a tiempo que demande
las habilidades que a decir del enfoque actual deben desarrollarse en los
alumnos. Así que para poder cuantificar los avances logrados en esta
investigación se llevó a cabo la aplicación de exámenes escritos al grupo que
funcionó como piloto y a los otros grupos que nos sirvieron como grupos
control.
Para la aplicación de los exámenes se contó con el auxilio de los
profesores del área y en ocasiones también con la ayuda de los docentes de
diferentes asignaturas. Esto, por encontrar rechazo en algunos directivos y
maestros de matemáticas. Sin embargo, se logró el objetivo del material que
era el de medir el aprendizaje de los alumnos en los distintos grupos
involucrados, con la finalidad de comparar el conocimiento adquirido en cada
una de ellas.
En seguida, se presentan los formatos que integraron cada uno de los
exámenes, en forma consecutiva, con sus respectivos resultados, expresados
114
en porcentajes de frecuencias de error por grupo a través de cuadros de
concentración.
5.2. Examen de primer grado
Se eligió como grupo control al primer grado grupo "C" de la escuela
secundaria Luis G. Urbina, donde labora la profesora Azucena, recordemos que
es la más joven de los profesores involucrados, que presenta falta de
experiencia y desconocimiento de muchos aspectos didácticos, por no ser su
profesión la docencia, pero que presenta un gran interés en subsanar todos
estos obstáculos.
Tales características nos permitió trabajar en el cambio tanto con la
profesora como con los alumnos, como puede apreciarse en las fichas de
observación del capítulo IV. A continuación podemos observar el formato del
examen aplicado, mismo que fue realizado por la investigadora responsable de
este trabajo.
INSTRUCCIONES: Selecciona la respuesta correcta, colocando la letra que le
corresponda dentro del paréntesis de la izquierda. Realiza todos tus procedimientos en la
misma hoja.
1. Sofía cortó este rectángulo en las tres piezas que se muestran y con ellas formó un trapecio isósceles ¿Cuál es el perimetro del trapecio isósceles?
a) 15 cm
b) 20 cm
e) 22 cm
d) 24 cm
4
2
3
2. En la figura siguiente, los segmentos marcados son iguales, el área en blanco es de 6 centímetro cuadrados ¿Cuál es el área total del rectángulo en centímetros cuadrados?
a) 6
b) 10
e) 12
d) 15
115
.--------------------------------------
3. El primero de enero de 2001 fue lunes. El número de lunes que habrá este ano es
a) 51 b) 52 c) 53 d) 54
4. En un mapa, un centímetro representa 6 km. En el mapa existe un cuadrado de perímetro 16 ¿Qué área representa?
a) 64 km cuadrados
b) 96 km cuadrados
e) 256 km cuadrados
d) 576 km cuadrados
5. Observa la siguiente representación de una construcción con popotes y plastilina y encuentra el número de popotes necesarios para hacer una hilera de 7 cubos?
a) 84
b) 56 /
c) 60
d) 70
6. Se dispone de un cubo de madera de 1 m de lado. Se corta el cubo en decímetros, primero de aniba abajo, luego de izquierda a derecha y finalmente de adelante hacia atrás ¿Cuántos cubos obtendremos?
a) 1 000 000 cubos
b) 100 000 cubos ( o c) 10 000 cubos
d) 1 000 cubos
7. Un ladrillo mide 20 x 10 x 5 cm ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar un metro cúbico?
a) 100
b) 1 000
o ( c) 3 000
d) 10 000
116
8. Las aristas de una caja como la de la figura se van a proteger con cinta plástica adhesiva ¿Cuánta cinta se necesita?
a) 130 cm
b) 520 cm
c) 680cm
d) 72 ooo cm
9. Obtener el área de la siguiente figura:
a) 17.5 cm cuadrados
b) 29.2S cm cuadrados
c) 36cm
d) 58.5 cm 4.5
1 O. Se tienen cuatro triángulos iguales como tos que aparecen a continuación. Dibuja todas las figuras que puedan formarse al juntar los cuatro triángulos, bajo la condición de que al juntarse dos triángulos tengan un lado en común ¿Cuáles son sus áreas? ¿cuáles sus perímetros?
4
3
'------------------------- -------·-------- ---- ---·- --- - -
5.3. Finalidad del examen de primer grado
Este examen tiene como fin primordial el de servir como instrumento de
medición del aprendizaje adquirido por los alumnos del primer grado de
secundaria en cada uno de los temas referidos en el mismo.
Se optó por retomar el formato que presentan exámenes que les son
aplicados como indicadores nacionales del aprovechamiento, tal es el caso del
117
programa de Carrera Magisterial, las Olimpiadas matemáticas y el mismo
examen de selección para las admisiones al nivel medio superior, así como del
Libro del Maestro, rompiendo así con la estructura clásica de una batería
pedagógica.
En seguida, se enumeran las finalidades que persiguen cada una de las
preguntas, así como los temas centrales que abarca:
NUMERO TEMAS A EVALUAR PROPÓSITOS DEL PROGRAMA
1 Peri metro, figuras geométricas simples y Resolver problemas que conduzcan al compuestas. cálculo de perímetros de figuras usuales.
2 Áreas de figuras combinadas Resolver problemas que conduzcan al cálculo de áreas de figuras compuestas.
3 Patrones numéricos, series y sucesiones Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.
4 Perímetro, área, escala, razones y Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporciones. proporcional y sus aplicaciones.
5 Sólidos geométricos, disel'los y patrones Desarrollar la imaginación espacial a partir geométricos, patrones numéricos de la construcción, manipulación y
representación plana de cubos y paralelepípedos.
6 Concepto de volumen. Equivalencia de las Iniciarse gradualmente en el razonamiento unidades de volumen proporcional y sus aplicaciones.
7 Volumen de sólidos geométricos Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.
8 Sólidos geométricos (elementos), Perímetro. Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción, manipulación y representación plana de cubos y paralelepípedos.
9 Áreas, clasificación de cuadriláteros. Resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros de figuras usuales.
10 Área, perímetro y figuras compuestas Resolver problemas que conduzcan al cálculo de áreas de figuras compuestas.
Tabla 5. 4. Finalidad del examen
Cada cuestión enmarca una serie de acciones que tendrá que
desempeñar el alumno para obtener la respuesta correcta, abarcando varias
118
aptitudes y habilidades a la vez. El manejo de conceptos está implícito en la
toma de decisiones para atacar la situación problema.
Después de aplicar el examen se realizó el vaciado de resultados en el
siguiente cuadro, donde se manejan porcentajes, a pesar de ser esta una
investigación cualitativa. Se ve la necesidad de incluir esta herramienta
cuantitativa para comparar los aprovechamientos de los grupos en que se
trabajaron y los grupos observados.
En el cuadro 5. 5 se presentan en la primera columna el número de
pregunta, la segunda columna denominada G.1 corresponde al grupo piloto,
donde trabajamos con la profesora Azucena una propuesta de enfoque integral
de la teoría y la práctica; las tres columnas restantes (G.2, G.3 y G.4)
corresponden a los grupos restantes con profesores que trabajaron
normalmente su propio enfoque de las matemáticas, la única intervención en su
práctica fue la observación de sus clases.
No. G.1. G.2. G.3. G.4. -·-·---·---·- ·-···--------------- -· ··-··· - -· -- -·- ----~-- -··--- . ,,.. __ , ... , .............. .. ,.. --····--
1 12% 3Q% 50% 34%
2 13 13 75 33
3 34 40 70 90
4 43 51 87 92
5 20 88 61 58
6 53 96 96 100
7 46 92 100 98
6 15 40 74 61
9 14 77 79 63
10 36 61 96 79
Cuadro 5. 5. Porcentajes de error en e/ examen
Este examen permitió comprobar el nivel alcanzado en el cumplimiento
de la finalidad planteada para cada reactivo. En su aplicación, se observó que la
119
estructura fue la adecuada, puesto que en general, no hubo problemas de
interpretación en el contenido de las cuestiones.
Se elaboró un cuadro concentrando la frecuencia de error por grupo
(véase cuadro S. S), en el cual se puede observar qué grupos tuvieron mayor o
menor porcentaje de error, lo cual se puede interpretar de la siguiente manera.
Por ejemplo, en la primera pregunta, se visualiza que el menor
porcentaje de error es para el grupo piloto (G. 1 ), se trata de una pregunta que
pone en juego la habilidad de la imaginación espacial, el alumno debe tener
presente el concepto de perímetro y del trapecio isósceles. El manejo de estos
temas se mostró mejor para aquel grupo que trabajó dentro de nuestra
propuesta.
De esta manera, se puede analizar cada uno de los reactivos restantes,
llegando a la conclusión de que la primera columna presenta el menor
porcentaje en cada cuestión.
Esto nos permite afirmar que el nivel de aprovechamiento de los alumnos
es mayor cuando el profesor le da el enfoque adecuado a la asignatura,
estableciendo estrategias que le permitan al alumno participar activamente en la
construcción de su propio conocimiento.
Con esta ultima herramienta y las tablas comparativas anteriores tenemos
elementos suficientes para afirmar que la interpretación que hace el docente del
enfoque actual de las matemáticas determina las estrategias, métodos, modos y
formas de abordar la enseñanza y por ende el nivel de aprovechamiento
alcanzado por sus alumnos.
En suma, los objetivos de esta investigación se ven alcanzados, pudimos
comprobar que los docentes interpretan de diversas formas el enfoque actual
de la enseñanza y que en la gran mayoria de los casos, su interpretación no
concuerda con su puesta en práctica en las aulas de clase. Observamos
también que cada programa implementado en nuestro país trae consigo toda
120
una serie de ideologías, métodos, formas y requisitos que determinan el actuar
del docente y del alumno.
Comparar los enfoques de esos distintos programas permitió al investigador
formar un enfoque propio que busca integrar la teoría y la práctica, el desarrollo
de habilidades y la apropiación del conocimiento, la discusión en equipo y la
investigación y sobre todo, una enseñanza de las matemáticas que permita
entenderlas por su propia naturaleza, que convierta a maestro y alumno en
"creadores y recreadores" de los conocimientos matemáticos.
121
CONCLUSIONES
Al buscar establecer los resultados en esta investigación, se llega a la
reflexión de lo realizado a través del desarrollo de la misma, a la comprensión
del importante papel que desempeñan tanto docentes como alumnos y el saber
en el quehacer educativo.
A continuación se presentan las conclusiones obtenidas al finalizar el
presente trabajo:
La resolución de problemas es el eje central del enfoque actual de
matemáticas de secundaria a diferencia de los programas anteriores que
únicamente consideraban la aplicación del conocimiento en la solución de
problemas.
El profesor ha tenido múltiples oportunidades de conocer sus planes y
programas actuales, así como el enfoque de los mismos. Sin embargo, son
muy pocos quienes tienen un real conocimiento de todos estos materiales.
Los docentes conocen las finalidades de los programas vigentes, pero
ello no implica definitivamente que sepan como desarrollarlos.
El docente y el alumno rechazan los temas que le exigen un mayor
razonamiento, por el grado de complejidad que le presentan.
El alumno discierne un problema e intuye posibles soluciones cuando ha
trabajado su capacidad de raciocinio en las sesiones diarias, en un ambiente
adecuado y con múltiples oportunidades de participación.
Comprende mejor el contenido cuando éste ha surgido de manera
natural en clase, como producto de su quehacer educativo y no como algo ya
preestablecido.
122
El profesor debe ser un conductor del aprendizaje, nunca un poseedor
del conocimiento, puesto que esto lo aleja del alumno.
Considerar el aprendizaje obtenido en niveles anteriores de educación
evita la pérdida de tiempo en repasos y apoya la elaboración del conocimiento
en el alumno de secundaria. Le permite discutir con sus compañeros y
reestructurar su propio conocimiento.
Procurar que los conocimientos resulten más significativos o de interés
suscita que el alumno, al buscar descubrir un nuevo tema, desarrolle
habilidades y destrezas planteadas por la modernización educativa.
Los planes y programas educativos están condicionados por las
ideologías sociales predominantes de cada época.
El cambio más significativo en los planes se ha dado en cuanto al papel
que desempeñan alumnos y docentes, así como el tratamiento del saber a
enseñar.
En cuanto a contenido, los programas no han tenido cambios
significativos, a excepción de la unidad de lógica y conjuntos que apareció en
197 4 y desapareció en 1993.
En los programas de 197 4 hasta 1993, se daba una jerarquización de
contenidos, donde los objetivos específicos determinaban claramente la
conducta a desarrollar en los alumnos.
En los programas actuales ya no se presentan a manera de objetivos,
sino de propósitos a desarrollar y es el profesor el que determina la profundidad
que dará a cada tema.
A los alumnos les pareció más interesante el que ellos mismos fueran
descubriendo lo relacionado a los temas trabajados en contraposición a
reproducir lo que el docente realiza en el pizarrón.
123
Para que los docentes hagan una adecuada interpretación del enfoque
actual del programa es necesario que se actualicen constantemente,
adquiriendo nuevas estrategias de enseñanza y técnicas didácticas.
Es necesario que los docentes analicen sus programas y demás
materiales de apoyo para que comprendan lo que el nuevo enfoque les
demanda en su actuar docente.
Es necesario que el concepto de trabajo en equipo se desarrolle también
entre los docentes, pues cuando tienen la oportunidad de analizar en equipo,
discutir y discernir sobre los elementos de sus materiales, pueden establecer
estrategias, resolver dudas y compartir experiencias.
A partir de la interpretación que el docente hace de sus planes y
programas, estable la metodología, las estrategias de enseñanza, los
materiales y demás elementos que conforman su práctica diaria.
En la ensef'lanza de las matemáticas se debe buscar el desarrollo de las
habilidades operatorias y de descubrimiento del alumno, de tal manera que
sean capaces de resolver cualquier situación problema que se les plantea.
La discusión grupal o en equipo permite a los alumnos recurrir a sus
conocimientos previos para comprender los nuevos contenidos que se le
presentan o establecer sus propias estrategias de solución a las situaciones
problemáticas planteadas, originando una participación más activa en la
construcción de su conocimiento.
124
SUGERENCIAS
En seguida se presentan las sugerencias derivadas de la puesta en
práctica de la propuesta de esta investigación y de la propia experiencia del
docente:
Sugerimos al docente:
Analizar el enfoque actual de planes y programas para entender lo que
el sistema educativo nacional demanda de los alumnos de secundaria y sobre
todo de la enseñanza de las matemáticas.
Reunirse con los compañeros de su institución para realizar un análisis
conjunto de sus materiales de apoyo y planear la implementación en su práctica
diaria.
Planear y diseñar en equipo las actividades, alcances, profundidad y
tratamiento de los temas que conforman su programa, buscando una
continuidad entre los tres grados de secundaria.
Analizar las estrategias de aprendizaje que proponen autores
contemporáneos, planear su puesta en práctica, seguir de cerca su desarrollo y
evaluar en trabajo colegiado los alcances de cada profesor.
Considerar a su alumno como un ser social, con habilidades y aptitudes a
desarrollar.
Conocer o investigar la etapa psicológica por la que está atravesando el
alumno en su desarrollo, y tomarlo en cuenta para la evaluación de su
desempeño escolar, así como para la planeación y realización de sus clases.
Considerar el estadio del desarrollo cognitivo del alumno para determinar
el nivel de abstracción y dificultad que se da a cada contenido.
125
Aprovechar el interés de unos cuantos alumnos por determinado tema
para generar la participación activa de todo el grupo y poder llevar a efecto cada
uno de los contenidos del programa.
Dar a los alumnos los contenidos no como algo ya terminado o rígido,
sino más bien, que sea él mismo quien encuentre las relaciones entre los temas
y aplique sus propias estrategias para resolver problemas.
Buscar el razonamiento en el alumno, haciendo que ellos mismos
generen nuevos temas de interés para la materia y favoreciendo el
"redescubrimiento" de los contenidos.
Sugerimos que el profesor no explique el tema, exponga o imponga su
punto de vista, sino que sea un moderador o colaborador en la construcción del
conocimiento, un generador de situaciones de aprendizaje en el grupo.
Ubicar al alumno en un ambiente de redescubrimiento de relaciones
matemáticas entre los contenidos para lograr mayor efectividad en el
aprendizaje.
Proporcionar al alumno los elementos necesarios para que se convierta
en un investigador, buscador de soluciones a las situaciones problemas que le
sean planteadas.
Dar continuidad a los temas interrelacionándolos entre sí y no concebir
un conocimiento en forma aislada, sino como parte integrante de un todo. Es
decir, un contenido puede usarse constantemente, conforme a su necesidad en
la resolución de un problema o en el establecimiento de conceptos.
Sugerimos promover más la investigación y actualización docente como
una forma de garantizar un mejor aprovechamiento en matemáticas.
Brindar más apoyo a los profesores investigadores por parte de las
instituciones escolares, para que sean ellos quienes colaboren de cerca con los
docentes en la interpretación e implementación del programa.
126
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