LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

CLCULO AUTOMTICO DE INTEGRALES

La integral de una funcin (definida o indefinida) puede obtenerse en DERIVE

pulsando el icono Clculo integral, .

Tambin puede obtenerse desplegando la opcin Clculo/Integrales... de la barra de

mens, pulsando CTRL.+May+I o introduciendo directamente la expresin INT(f(x),

x) para la integral indefinida, o INT(f(x), x, a, b) para la integral definida entre x = a

y x = b.

Introduce la funcin f(x):=3x^2-4. Para ello, pulsa F2 o el icono , introduce su

expresin y pulsa S para confirmar. Vamos a hallar la integral de y = f (x) entre x = 2

y

x = 3. Sita el cursor sobre la funcin que acabas de definir para resaltarla. A

continuacin, pulsa el icono Clculo integral , activa la opcin Definida y

rellena los valores de los extremos inferior y superior. Por ltimo, pulsa S para

verificar si la expresin se adapta a lo pretendido. Por ltimo, pulsa el icono

Simplificar y observa el resultado.

Representa el rea limitada por el eje OX y la curva y = f (x) entre x = 2 y x = 3.

Puedes hacerlo con la expresin conjunta [f(x),x=2,x=3] (introducir, simplificar y

representar).

Repite la prctica anterior entre x = 0 y x = 1. Qu significa el resultado negativo?

Halla la integral de f (x) entre x = 0 y x = 2.

Para comprender los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, vamos a representar la

funcin y = f (x). Para representarla, resalta la funcin colocando el cursor sobre ella y

pulsa el icono para abrir la ventana de grficos . Una vez abierta, es necesario

volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana grfica) para que se dibuje realmente

la grfica. Cada vez que se pulse el icono , se redibuja la funcin activa en un nuevo

color. Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de grficos permiten centrar

la grfica y hacer zoom.

Comprueba cmo las zonas de rea negativa se compensan con las de rea positiva en el ltimo resultado obtenido.

Practica

1. Resuelve como integrales definidas con DERIVE los ejercicios que se resuelven por

mtodos geomtricos en las pginas 382 y 383 del libro.

2. Resuelve los ejercicios propuestos en la pgina 383 del libro. Compara los

resultados de DERIVE con los obtenidos por mtodos geomtricos. Representa las

funciones si es preciso.

3. Resuelve los ejercicios 11, 12 y 15 de la pgina 397 del libro, y el ejercicio 21 de la

pgina 398.

4. Resuelve el ejercicio 26 de la pgina 398 del libro. Para ello, tras introducir

f(x):=ax^3+bx^2+cx+d, debes introducir entre corchetes [f(0)=0, f(1)=0, f(0)=0, INT(f(x), x, 0, 1)=5/4]. Al simplificar, obtendrs un sistema de cuatro

ecuaciones que puedes resolver con .

NOTA: Las asignaciones de la forma a:=5 asocian valores a literales, que se conservan

para futuras operaciones pudiendo distorsionar resultados. Para inicializar o limpiar variables basta simplificar a:=. Es recomendable introducir una herramienta como

INIZ:=[a:=, b:=, c:=, d:=, k:=, m:=, n:=, x:=, y:=] y simplificarla de vez en cuando

para hacer limpieza. La expresin a = 5 es una ecuacin y no deja rastro; la expresin a:=5 es una asignacin y se mantiene hasta que no se cambie o elimine.

5. Resuelve de forma anloga a la prctica anterior el ejercicio 24 de la pgina 398.

Representa la parbola obtenida y observa si hay algn recinto negativo. Considera que al tratarse de un rea debes utilizar valores absolutos.

6. Resuelve el ejercicio 27 de la pgina 398 del libro. Para ello, tras introducir

f(x):=2x^3-3x^2+k, debes resolver con la ecuacin INT(f(x), x, -1, 2)=0.

Representa la funcin f (x) resultante.

APROXIMACIN DE LA INTEGRAL

Dada una funcin f (x) definida en un intervalo [a, b], hacemos una particin en n

subintervalos. Construimos una aproximacin del rea bajo la curva o integral,

sustituyendo la curva por una poligonal y el rea por n trapecios.

El proceso es el siguiente:

Definimos una funcin f(x):=x^34x.

Generamos seis puntos (x, f (x)) con x desde 0 a 5:

VECTOR([x, f(x)], x, 0, 5)

Generamos las barras verticales:

VECTOR([[x, 0], [x, f(x)]], x, 0, 5)

Introducimos las tres expresiones, las simplificamos y las representamos (no olvidemos elegir la opcin de puntos conectados Opciones Pantalla (o pulsar F11) - Puntos - Unir - S del men de la pantalla de grficos).

Una aproximacin numrica de la suma de los trapecios para una funcin f (x),

previamente definida, puede obtenerse con la siguiente utilidad en funcin de un

intervalo [a, b] y de n subintervalos:

TRAPECIOS(a, b, n):=(b-a)/n(f(a)/2+SUM(f(a+i(b-a)/n), i, 1, n-1)+f(b)/2)

Por ejemplo: TRAPECIOS( 2 , 5 , 50 ) obtiene una aproximacin de la integral definida

de la funcin activa en el intervalo [2,5] mediante 50 trapecios.

Podemos aplicarlo a otra funcin integrable, sin ms que cambiar la definicin de f (x).

REPRESENTACIN GRFICA DE UNA FUNCIN Y SU FUNCIN

INTEGRAL

La integral indefinida es una funcin rea. Para visualizarlo, vamos a representarla conjuntamente con f (x):

Resalta la expresin de f(x):=x^3-4x del ejercicio 1, pulsa el icono de Clculo integral, elige Indefinida y simplifica. Por ltimo, representa la funcin obtenida.

Analiza los intervalos de crecimiento de la funcin integral en relacin a los

intervalos en que f (x) es positiva o negativa. Recuerda que la funcin primitiva no

es nica, depende de la constante de integracin.

Elimina las grficas generadas.

Ahora, vamos a generar las dos grficas simultneamente. Introduce entre corchetes la expresin:

[f(x), INT(f(x), x), 0]

Pulsa S para confirmar y, a continuacin, pulsa el icono de Simplificar para obtener las expresiones de las funciones. (Se incluye 0 para evitar que DERIVE

interprete una sola funcin en coordenadas paramtricas).

Mientras estn resaltadas, pulsa el icono para representarlas y haz un zoom si es preciso.

Practica

7. Repite la prctica anterior con las siguientes funciones:

f(x):=x^2-2x+2 f(x):=sin x f(x):=x^3-4x^2+3x

PROPIEDADES

Introduce las funciones [f(x):=3x^2+x-2, g(x):=2x-5] y evala las siguientes

integrales:

INT(f(x), x, 1, 3) INT(f(x), x, 3, 1) INT(f(x), x, 3, 3)

INT(f(x), x, a, a) INT(f(x), x, 1, 2) INT(f(x), x, 2, 3)

INT(f(x), x, 1, 3) INT(f(x), x, 1, 2)+INT(f(x), 2, 3)=INT(f(x), x, 1, 3)

Interpreta el resultado.

INT(f(x), x, a, b)+INT(f(x), x, b, c)=INT(f(x), x, a, c)

Interpreta el resultado.

INT(g(x), x, 1, 3) INT(f(x)+g(x), x, 1, 3)

INT(f(x), x, 1, 3)+INT(g(x), x, 1, 3)=INT(f(x)+g(x), x, 1, 3)

Interpreta el resultado.

INT(f(x), x, 1, 3)-INT(g(x), x, 1, 3)=INT(f(x)-g(x), x, 1, 3)

Interpreta el resultado.

INT(f(x), x, a, b)+INT(g(x), x, a, b)=INT(f(x)+g(x), x, a, b)

INT(5f(x), x, 1, 3) 5INT(f(x), x, 1, 3) INT(-f(x), x, 1, 3)

INT(kf(x), x, a, b)=k INT(f(x), x, a, b)

Interpreta el resultado.

Observa que g(x) < f (x) en [1, 3] y lo mismo ocurre con sus integrales. Observa

tambin que en [1, 2], f (x) > 0 y su integral tambin, mientras que g(x) < 0 y su

integral tambin. Puedes visualizarlo representando la expresin siguiente:

[f(x), g(x), x=1, x=2, x=3]

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Considera la funcin f(x):=3x^2+x-2 de la prctica anterior.

El teorema del valor medio del clculo integral prev la existencia de un valor, a,

que cumple la ecuacin:

INT(f(x), x, 1, 3)=f(a)(3-1)

Introdcela y, tras simplificarla, pulsa para resolverla (especifica a como

incgnita). Representa la expresin [f(x), f(a), x=1, x=3] sustituyendo a por el valor

obtenido, f (2.0756), y compara las reas respectivas.

REGLA DE BARROW

Define h(x):=INT(f(x), x). Se trata de una integral indefinida. Halla h(3) h(1) y compralo con la integral definida de f (x) entre 1 y 3.

Esta propiedad es la regla de Barrow. Comprubala tambin con la funcin g(x).

Practica

8. Comprueba las propiedades ilustradas en los dos ejemplos anteriores con otras

funciones, f(x) y g(x). Para ello, basta que las redefinas y vuelvas a evaluar las

expresiones anteriores situando el cursor sobre ellas. Los resultados se actualizarn a

las nuevas funciones.

9. Comprueba el ejercicio resuelto en la pgina 388 del libro, y resuelve los ejercicios

propuestos. Para ello, define h(x):=INT(f(x), x) en cada caso y compara

h(b) h(a) con la integral definida de f (x) hallada con .

RELACIN ENTRE INTEGRAL Y DERIVADA. TEOREMA

FUNDAMENTAL DEL CLCULO INTEGRAL

La relacin entre derivacin e integracin se pone de manifiesto hallando sucesivamente

la funcin derivada y la integral indefinida de una funcin.

Considera la funcin f(x):=3x^2-4. Halla su funcin derivada y la integral indefinida

del resultado, utilizando los iconos y .

Comprueba la coincidencia del resultado final y la funcin inicial.

Repite el proceso de la prctica anterior en orden inverso.

Repite las prcticas anteriores con otras funciones.

Considera la funcin f(x):=3x^2-4. Halla su integral definida tomando como extremo

inferior x = 0 y como extremo superior x = 2z + 5.

Deriva la funcin resultante respecto a z.

A continuacin, simplifica la expresin f (2z+5). Qu relacin hay entre los dos

resultados? Cul es la derivada de x=2z+5 respecto a z?

Introduce la funcin f(t):=3t^2+4t-1. Pulsa el icono para hallar su integral. Elige

las opciones Definida e incluye las siguientes especificaciones:

Variable: t

Lmite inferior: 0

Lmite superior: 2x+1

Acepta con S para comprobar que se trata de la integral pretendida. Por ltimo,

simplifica para obtener el resultado.

Cul ser la derivada (en x) de la ltima expresin? Comprubalo con .

Ahora, introduce f (2x + 1) y simplifica. Deriva con el resultado obtenido y

compralo con el hallado anteriormente.

Observando lo obtenido en la prctica anterior, considera la siguiente funcin f (x)

como integral de otra funcin, g, entre los lmites a y h(x). Cul ser la derivada

(en x) de esta funcin f (x)? Introduce para analizarlo las siguientes funciones:

g(x):=x^2-5

h(x):=3x+1

f(x):=INT(g(t), t, a, h(x)) No podemos utilizar la misma variable x en f (x) y

g(x).

A continuacin, deriva f (x) con o con f (x) y anota el resultado.

Ahora, simplifica g(h(x)) y deriva el resultado. Deriva tambin h(x) y multiplica los

dos ltimos resultados obtenidos g(h(x)) h(x) . Compara el resultado final con el resultado anotado.

Practica

10. Comprueba los ejercicios resueltos en la pgina 387 del libro, y resuelve los

ejercicios propuestos.

11. Comprueba el ejercicio 11 de la pgina 395 del libro.

12. Comprueba el ejercicio 12 de la pgina 396. Define f (x) y, a continuacin,

resuelve f (x).

13. Resuelve el ejercicio 25 de la pgina 398 del libro. Para ello, debes resolver primero

las ecuaciones f (x) = 0 y f (x) = 6, para hallar los puntos de tangencia (x = a) y, luego, obtener unas ecuaciones de las rectas tangentes con la expresin

f (a) + f (a)(x a). Representa la curva y sus tangentes para apreciar la figura.

REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN, SU DERIVADA Y SU

INTEGRAL

La expresin [f(x), f (x), int(f(x), x)] permite representar conjuntamente una funcin, f (x), su funcin derivada, f (x), y una integral indefinida. De esta forma, podemos analizar la relacin entre sus crecimientos respectivos y los intervalos en los que son

positivas o negativas.

Practica

17. Utilizando la funcin anterior, f(x):=3x^2-4, representa [f(x), f(x), int(f(x), x)].

18. Define g(x):=int(f(x)) y simplifica. A continuacin, representa [g(x), g(x), g(x)]. Qu relacin hay con los resultados del ejercicio anterior?

19. Repite los ejercicios anteriores con otras funciones.

CLCULO DE REAS ENTRE UNA CURVA Y EL EJE OX , O ENTRE DOS CURVAS

Para determinar los intervalos de rea positiva o negativa, es preciso obtener los puntos de corte con el eje OX (bien de f (x), o de h(x) = f (x) g(x)). Para ello,

introduce la ecuacin f(x)=0 y pulsa el icono Resolver, .

Una vez obtenidos los valores de x, se introduce en los apartados Extremo inferior y

Extremo superior de la integral definida correspondiente.

Vamos a hallar el rea limitada por el eje OX y la grfica de la curva y = x2 5x + 6.

Introduce la expresin f(x):=x^2-5x+6. Resuelve la ecuacin f(x)=0. Sita el cursor

sobre la expresin de f (x) y pulsa el icono de Clculo integral. Elige Integral

definida e introduce los valores obtenidos (2 y 3) como extremos inferior y superior.

Recuerda que el rea real ser el valor absoluto del resultado obtenido.

Si la curva representa ms de dos puntos de corte, debes descomponer el rea total en

recintos donde la funcin no cambie de signo y sumar los valores absolutos de las reas

de cada uno. Puedes representar la funcin para visualizarlo.

Practica

20. Halla el rea limitada por el eje OX y la grfica de la curva y=x^3-9x.

21. Halla el rea encerrada entre la curva y=x^2-1, el eje X y las rectas x=-2 y x=3.

Representa conjuntamente la expresin [x^2-1, x=2, x=3] para visualizar toda la

situacin.

22. Aplica el mismo proceso a los ejercicios que aparecen en la pgina 390 de tu libro.

Para hallar el rea limitada por dos curvas, y = f (x) e y = g(x), introduce la

expresin h(x):=f(x)-g(x) y simplifica. Aplica el procedimiento descrito a la nueva

funcin h(x).

23. Comprueba los ejercicios 1 a 8 de las pginas 392, 393 y 394 del libro. Representa

los recintos.

24. Resuelve los ejercicios 1 a 8 de la pgina 397 del libro. Representa los recintos.

25. Resuelve los ejercicios 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22 y 23 de las pginas 397 y 398

del libro. Representa los recintos.

26. Resuelve los ejercicios 32, 34, 35, 42 y 43 de las pginas 398 y 399 del libro.

27. Resuelve el ejercicio 28 de la pgina 398 del libro. Para ello, introduce la siguiente

expresin:

INT(x^2-a, x, 0, k)=INT(a-x^2, x, k, 1)

y resulvela en la variable a con . Observa que si ambas curvas se cortan para

x = k, la diferencia f g cambia de signo a partir de x = k. (Se ha utilizado k en vez de x0).

28. Resuelve el ejercicio 36 de la pgina 399 del libro. Para ello, introduce y resuelve en

la variable b la expresin:

INT(x^2-bx, x, 0, b)=9/2

Observa que las dos funciones se cortan para x = 0 y x = b.

29. Resuelve el ejercicio 37 de la pgina 399 del libro. Para ello, introduce y resuelve en

la variable a la expresin:

INT(-x^2+ax, x, 0, a)=36

Observa que se debera incluir el valor absoluto de la integral por si fuera negativa,

aunque en este caso no lo sea.

30. Resuelve de forma anloga a las prcticas anteriores los ejercicios 38, 39 y 41 de la

pgina 399.

31. Resuelve el ejercicio 40 de la pgina 399. Para ello, tras introducir f(x):=x^2-2x-3,

debes hallar f (0), f (1) y la recta determinada por los dos puntos.

VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIN

Considera la funcin f(x):=x^2+1. Introdcela y represntala para observarla.

Vamos a hallar el volumen de la figurada engendrada por su grfica al girar en torno al

eje X entre las abscisas x = 0 y x = 3. Sabemos que ese volumen es la integral de

f 2(x) entre los lmites 0 y 3. Introduce los datos pulsando o mediante la expresin INT(pif(x)^2, x, 0, 3).

Construye la siguiente herramienta para hacerlo automticamente para cualquier

funcin f (x) entre x = a y x = b:

VOL(a , b):= INT(pi f(x)^2, x, a, b)

Aplcala al ejemplo anterior con VOL(0, 3). Comprueba que obtienes el mismo

resultado ( se aplicar a la definicin activa de la funcin f(x)).

Practica

32. Halla los siguientes volmenes (se incluye entre corchetes la funcin y el volumen

generado) :

[f(x):=1/x , VOL(0,3) ] [f(x):=sinx ,VOL(0, pi)] [f(x):=x ,VOL(0, 5)]

[f(x):=(1-x^2), VOL(-1, 1)] [f(x):=(4-x^2), VOL(-2, 2)]

[f(x):= (r^2-x^2),VOL (-r, r)] Volumen de una esfera de radio r.

[f(x):= b(a^2-x^2)/a, VOL(-a, a)] Volumen de un elipsoide de semiejes a y b.

[f(x):= 1/x, VOL(1, inf)] Trompeta de San Gabriel.

33. Para interpretar las figuras de la prctica anterior, introduce y representa las

siguiente expresiones:

[1/x, -1/x, x=1, x=3] [sinx, -sinx, x=pi] [x, -x, x=5]

(1-x^2) x^2/9+y^2/4=1

Considera la funcin f(x):=x^2-4 y halla VOL(0, 2), VOL(2, 5) y VOL(0, 5).

Observa que el ltimo volmen es la suma de los otros dos.

Representa f (x) y observa dnde es negativa. No habra que descomponer el volumen

en [0, 5] en dos partes, [0, 2] y [2, 5], como en el caso de las reas? Nota que al ser

f 2

(x) un cuadrado, siempre es positivo.