LA IDENTIFICACIÓN DE PROBLEMAS...
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INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO “ENRIQUE JOSÉ VARONA” LA IDENTIFICACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO CIENTÍFICO DE DOCTOR EN CIENCIAS PEDAGÓGICAS. AUTOR: Lic. Carlos Suárez Méndez Tutor: DrC Miguel Jorge Llivina Lavigne Ciudad de la Habana 2003
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INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO
“ENRIQUE JOSÉ VARONA”
LA IDENTIFICACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO CIENTÍFICO DE
DOCTOR EN CIENCIAS PEDAGÓGICAS.
AUTOR: Lic. Carlos Suárez Méndez Tutor: DrC Miguel Jorge Llivina Lavigne
Ciudad de la Habana
2003
AGRADECIMIENTO.
Agradezco a la Revolución Cubana, por la capacidad demostrada en la formación de un capital humano de extraordinario valor, del cual son genuinos representantes todos los que me guiaron y estimularon
en este empeño.
A todos Gracias
DEDICATORIA.
DDeeddiiccoo eessttaa oobbrraa aa ttooddooss llooss nniiññooss ccuubbaannooss ccoonn llaa ccoonnvviicccciióónn ddee qquuee sseerráánn eellllooss,, llooss ddiiggnnooss ccoonnttiinnuuaaddoorreess
ddee llaa oobbrraa ddee llaa RReevvoolluucciióónn..
INDICE INTRODUCCIÓN...................................................................................... 1 CAPÍTULO1: El trabajo con los problemas matemáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje en la Educación Primaria 1.1. Generalidades acerca del proceso de enseñanza-aprendizaje.. 11 1.2. La concepción desarrolladora en el proceso de enseñanza aprendizaje en la Educación Primaria.......................................... 18 1.3. Los problemas matemático en la Educación Primaria................ 29 1.4. La identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria............................................................................................ 43 1.5. Consideraciones teóricas sobre la estructuración didáctica... 53 CAPÍTULO 2: Propuesta de estructuración didáctica para la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria 2.1. Estado actual de la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria................................................................ 65 2.2 Validación empírica de la propuesta inicial de estructuración didáctica. ......................................................................................... 80 2.3 Propuesta de estructuración didáctica dirigida a favorecer la formación y desarrollo de la capacidad específica para la identificación de problemas matemáticos.................................. 83 CONCLUSIONES.....................................................................................116 RECOMENDACIONES............................................................................ 118 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................... 119 ANEXOS...................................................................................................
RESUMEN
La visión que la comunidad internacional tiene acerca del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática, ha evolucionado en las últimas décadas y existe un
cierto consenso al considerar que uno de los aspectos más importantes en la
enseñanza de esta disciplina, lo constituye el trabajo con problemas matemáticos,
aunque no quedan ocultas las dificultades relativas a su enseñanza y a su
aprendizaje. Por esta razón se ha configurado en la actualidad, como una de las
principales líneas de investigación.
El trabajo con problemas matemáticos en la Educación Primaria, debe favorecer la
formación y desarrollo de las capacidades específicas de identificación,
formulación y resolución de problemas. La identificación y la formulación
constituyen medios fundamentales para lograr el fin esencial que se propone la
escuela: resolver problemas matemáticos. La identificación de problemas no ha
constituido objeto de otras investigaciones.
En esta tesis se expone una conceptualización de la identificación de problemas
como una capacidad específica y se expresan los resultados obtenidos a partir de
las indagaciones teóricas y empíricas que permiten caracterizar su estado actual.
A partir de estos presupuestos, se diseña una estructuración didáctica, develando
las interrelaciones que subyacen entre los elementos estructurales, encaminada a
favorecer la formación y el desarrollo de esta capacidad específica en los
escolares de la Educación Primaria, a través del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática.
INTRODUCCIÓN: El estado actual de la ciencia y la técnica, caracterizado por su desarrollo
vertiginoso y por el enorme caudal de conocimientos acumulados por los hombres
en su desarrollo histórico-social, exige a la educación un extraordinario reto: la
preparación de las nuevas generaciones para que puedan vivir en un mundo en el
que los conocimientos científicos evolucionan con gran rapidez para dar paso a
otros más complejos.
Ningún sistema educacional, a través de la educación escolarizada, puede
transmitir a los alumnos toda la experiencia acumulada por la humanidad. Su
objetivo ineludible debe ser formar en ellos cualidades del pensamiento y de la
personalidad que los dote de las herramientas necesarias para participar
creativamente en la cimentación de una sociedad cada día más justa.
“Hoy, con un gran capital humano y en valores morales, gran espíritu
internacionalista y una elevada cultura política, cualquier objetivo en la educación y
la cultura, tanto artístico como político, incluidos conocimientos básicos sobre la
historia, la economía, las humanidades y las ciencias están a nuestro alcance”
(Castro, F. 2003; p.25)
El entorno en que vive la sociedad del siglo XXI, exige de un elevado énfasis en la
formación y desarrollo del capital humano, donde el valor del conocimiento, la
información y la innovación constituyan elementos esenciales encaminados a
fomentar una cultura para que los alumnos se preparen para aprender a aprender,
en correspondencia con las demandas histórico-concretas actuales. “Este principio de siglo se caracteriza por progresos económicos y científicos; pero
en un marco general de globalización neoliberal que plantea disyuntivas difíciles a
las políticas educativas en lo que respecta a la calidad, al desarrollo humano, al
respeto a la condición humana, al progreso material, a la equidad, a la
conservación de la naturaleza.” ( Martínez, M. 2002; p.1)
La evolución acelerada hacia una sociedad infotecnólogica demanda que se
instaure un nuevo modelo basado en la capacidad de producir y utilizar
1
conocimientos. La norma en el tercer milenio, será la de una educación a lo largo
de toda la vida, que cultive el intelecto, valores y principios y que conduzca a
modelos mentales tales como el aprendizaje continuo, el trabajo en equipos y la
capacidad de cambio, tomando como base los cuatro pilares básicos que
constituyen el fundamento de la educación en el siglo XXI, propuestos en el
Informe Delors (1996).
Estos cuatro pilares básicos determinados por la UNESCO y que constituyen una
excelente guía para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza-aprendizaje
en los momentos actuales son: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a
vivir juntos y aprender a ser.
La educación asume la responsabilidad de formar a los alumnos para que sepan
desenvolverse en un mundo en el que acontecen constantes transformaciones, no
solo en lo que concierne a los adelantos científicos y tecnológicos, sino también en
lo que corresponde al orden social.
“La educación cubana tiene que responder a las demandas que emergen a escala
internacional y al mismo tiempo ha de adecuarse a las realidades de nuestra región
latinoamericana, tanto como al contexto nacional y a los problemas propios de los
territorios, las escuelas, las familias y todas las personas participantes en el
proceso educativo.“ ( Castellanos, D y otros. 2002; p.3)
La Educación Primaria constituye un eslabón fundamental dentro del Sistema
Nacional de Educación. Esta afirmación, se evidencia en la especial atención que
se dedica actualmente a promover el cambio educativo en este nivel de
enseñanza, como parte de la Tercera y Profunda Revolución Educacional que se
desarrolla en el país. Este cambio educativo debe propiciar una transformación en
la labor educativa a realizar con los alumnos encaminada a “conducirlos en la vida
en su formación moral, en la convicción de la utilidad de la virtud, en transitar por la
escuela y sacarlos afuera con armas para la batalla en el diálogo con la vida y con
posibilidades de enfrentar sus retos”. (MINED. 2002; p.4)
El proceso de enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en la Educación Primaria,
debe aprovechar las potencialidades que ofrece el trabajo con los problemas
2
matemáticos en función de “contribuir a la formación integral de la personalidad del
escolar, fomentando desde los primeros grados la interiorización de conocimientos
y orientaciones valorativas que se reflejen gradualmente en sus sentimientos,
formas de pensar y comportamiento, acorde con el sistema de valores e ideales de
la Revolución Socialista Cubana”. (Rico, P y otros. 2000; p.6).
Diferentes investigadores coinciden en que el trabajo con los problemas
matemáticos en la Educación Primaria constituye una vía idónea para contribuir al
desarrollo del pensamiento en el escolar. Esta contribución será mayor, en la
medida en que se garantice una adecuada conducción del proceso de enseñanza-
aprendizaje por parte del maestro.
El trabajo con problemas matemáticos en la Educación Primaria, debe favorecer el
desarrollo en los escolares de tres capacidades básicas: la identificación, la
formulación y la resolución de los mismos. Desde el punto de vista epistemológico
e histórico, estas tres capacidades han caracterizado el quehacer matemático y
desde el punto de vista pedagógico la identificación y la formulación son medios
fundamentales para lograr el fin esencial que se persigue en la escuela, es decir,
que los alumnos puedan resolverlos.
En las investigaciones desarrolladas por diferentes autores en Cuba, entre los que
se destacan Campistrous, L y Rizo, C (1980,2002), Torres, P (1993), Suárez, C y
otros (1995), Llivina, M (1999), González, D (2001), Cruz, M (2002), Mazarío, I
(2002), Capote, M (2003) se han constatado disímiles dificultades por parte de los
escolares que evidencian restricciones para operar con un alto nivel de
pensamiento al identificar, formular y resolver problemas matemáticos.
Las dificultades relativas a los conocimientos acerca de qué es un problema
matemático, de los elementos de su estructura externa y de las etapas que deben
tenerse en cuenta para su resolución, provocan en los escolares la tendencia a
realizar las tareas sin considerar un tiempo para la reflexión y “por tanto una
realización a ciegas o por ensayo-error. Este fenómeno es conocido como
tendencia a la ejecución”. ( Fariñas, G. 1999; p.4)
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Lo expresado anteriormente tiene múltiples formas de manifestación vinculadas al
trabajo que desarrollan los escolares de la Educación Primaria, al emprender el
proceso de resolución de problemas, entre las cuales se pueden señalar:
• El insuficiente desarrollo en los escolares de la habilidad para el análisis del
ejercicio propuesto.
• Las limitaciones en la exploración de diversas vías de solución.
• La tendencia a concentrar la atención en el resultado obtenido y no en el
proceso que se desarrolló para obtener este resultado.
• En el caso particular de los problemas aritméticos se aprecia poco dominio
de los conceptos de las operaciones de cálculo con números naturales y de
los significados prácticos asociados a estas operaciones.
Se hace un marcado énfasis en la función que desempeñan los problemas
matemáticos como medio de asimilación de conocimientos y no en las
potencialidades que brindan al desarrollo del pensamiento de los escolares.
Motivados por estas contradicciones que aún se revelan en el proceso de
enseñanza-aprendizaje relativo al trabajo con problemas, varios investigadores se
han dedicado a estudiar desde diferentes aristas esta problemática. Se destacan,
entre otros, los siguientes:
Luis Campistrous Pérez, Celia Rizo Cabrera (1980,2002) profundizan en lo
relacionado con el proceso de resolución de problemas y proponen técnicas de
gran valor didáctico dirigidas a perfeccionar este proceso.
Miguel Jorge Llivina Lavigne (1999) presenta una propuesta metodológica para
contribuir al desarrollo de la capacidad de resolver problemas.
Daniel González González (2001) diseñó una estrategia de superación para el
desarrollo en los maestros primarios de las acciones intelectuales necesarias para
la formulación de problemas matemáticos.
Israel Mazarío Triana (2002) elaboró una propuesta metodológica para contribuir
al desarrollo de la habilidad de resolver problemas matemáticos.
Miguel Cruz Ramírez (2002) propone una estrategia metacognitiva dirigida a
favorecer la formulación de problemas por parte de los profesores en formación.
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Manuel Capote Castillo (2003) elaboró una estructuración didáctica para la etapa
de orientación en la solución de problemas aritméticos con texto en el primer ciclo
de la Educación Primaria.
Los fundamentos teóricos que revelan los estudios realizados por estos autores,
así como las propuestas de solución elaboradas, constituyen valiosos aportes a la
Didáctica de la Matemática, aunque es necesario precisar que no se ha
profundizado en ningún caso en el proceso que permite a los alumnos descubrir la
existencia de contradicciones en la realidad objetiva, o sea, entre determinado
estado actual de un objeto o fenómeno de la realidad y el estado que sus
conocimientos, percepciones, sentimientos, hacen deseable. Esto es precisamente
lo que se asume por identificación de problemas.
Por ello se decidió abordar el siguiente problema científico: ¿ Cómo contribuir a
la adecuada identificación de problemas a través de la enseñanza- aprendizaje de
la Matemática?
El objeto que se asume en esta investigación lo constituye el proceso de
enseñanza-aprendizaje relativo al trabajo con problemas matemáticos en la
Educación Primaria. Las contradicciones que aún se revelan en cuanto al trabajo con problemas
matemáticos, sugieren la necesidad de instrumentar formas de trabajo que
incentiven la participación activa de los alumnos en este proceso, por lo que se
propone como objetivo: Diseñar una estructuración didáctica para la identificación
de problemas matemáticos mediante la enseñanza-aprendizaje de la Matemática
en la Educación Primaria. Campo de acción: El proceso de enseñanza-aprendizaje de la identificación de
problemas matemáticos en la Educación Primaria.
Idea a defender: El diseño de una estructuración didáctica que comprenda como
componentes esenciales el diagnóstico, los ejercicios con carácter propedéutico y
las consideraciones metodológicas, puede favorecer la identificación de problemas
matemáticos en la Educación Primaria.
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Esta investigación se inserta en el Programa Ramal no. 2 del Ministerio de
Educación “ El cambio educativo en la Educación Básica: un reto de la revolución
educacional” y se corresponde con la prioridad “ El aprendizaje escolar”.
Las tareas de investigación en correspondencia con el objetivo propuesto fueron
las siguientes:
• Sistematización de los fundamentos teóricos que sustentan la dirección del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la identificación de problemas
matemáticos.
• Caracterización del estado actual de la identificación de problemas
matemáticos en la Educación Primaria.
• Diseño de una estructuración didáctica que favorezca la formación y el
desarrollo de la capacidad para la identificación de problemas matemáticos
en la Educación Primaria.
Se asume como concepción metodológica general la dialéctica materialista y
fueron aplicadas las indagaciones teóricas y empíricas que se señalan a
continuación.
El análisis documental se empleó para el estudio y profundización de la literatura
especializada relacionada con el tema y para la exploración de los resultados de
investigaciones afines, lo que permitió al autor adoptar posiciones teóricas
relacionadas con el objeto de la investigación. El método histórico-lógico se empleó para conocer las tendencias nacionales e
internacionales relacionadas con el objeto de la investigación.
El método de modelación se utilizó en la elaboración de la propuesta de
estructuración didáctica para la identificación de problemas matemáticos.
El criterio de expertos ( Método Delphy) se aplicó a un total de 32 especialistas
seleccionados a partir de su experiencia, dominio del tema, trabajo investigativo y
su disposición a participar, con el objetivo de someter a su consideración la
propuesta de estructuración didáctica.
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La encuesta, se aplicó a directores, jefes de ciclo y maestros de la Educación
Primaria para obtener información relativa al trabajo con los problemas
matemáticos por parte de los alumnos. El Método Delphy, se aplicó además, para realizar el procesamiento estadístico a
partir de los resultados obtenidos al aplicar las encuestas a directores, jefes de
ciclo y maestros de la Educación Primaria.
Las pruebas pedagógicas se aplicaron a alumnos de cuarto grado de la
enseñanza primaria, para constatar el comportamiento de determinados
indicadores correspondientes a la identificación de problemas matemáticos.
La observación pedagógica, se aplicó con la finalidad de valorar a través de
observaciones a clases la labor del maestro y de los alumnos en el proceso de
enseñanza- aprendizaje relativo al trabajo con problemas matemáticos.
El aporte teórico consiste en la conceptualización de la identificación de problemas
matemáticos como una capacidad específica, lo que constituye un enriquecimiento
a la Didáctica de la Matemática.
La significación práctica está dada porque se propone una estructuración didáctica
para la identificación de problemas matemáticos que pudiera aplicarse en los
diferentes grados de la Educación Primaria en el país.
La novedad científica se expresa en que por primera vez se aborda la identificación
de problemas matemáticos como una capacidad específica y se elabora una
propuesta para favorecer su formación y desarrollo.
Los resultados de la investigación, han sido socializados en diferentes eventos
nacionales e internacionales, entre los cuales se encuentran:
Evento provincial de Pedagogía Ciudad de la Habana 1996, 2000 y 2002.
V Encuentro Taller sobre la Enseñanza de la Matemática y la Computación, abril,
2003. “Cátedra Dulce María Escalona”. La Habana.
I Taller Nacional de profesores de los cursos emergentes para la formación de
Maestros Primarios, mayo, 2003. La Habana.
VIII Congreso Nacional de Matemática y Computación, noviembre, 2003. Sancti
Spíritus.
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Congreso Internacional de Pedagogía 1997, 2001 y 2003. La Habana
II Congreso Internacional Didáctica de las Ciencias y VII taller Internacional sobre
la Enseñanza de la Física, 2001. La Habana.
Evento Internacional “El maestro ante los retos del siglo XXI”, 2002. La Habana
V Encuentro Internacional “ La enseñanza de la Matemática y la Computación“,
2002. Matanzas.
La tesis consta de una introducción, dos capítulos, conclusiones,
recomendaciones, bibliografía y 19 anexos.
En el capítulo 1 “ El trabajo con los problemas matemáticos en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Primaria”, se expone un
análisis teórico correspondiente al proceso de enseñanza-aprendizaje con énfasis
en lo relativo al trabajo con problemas matemáticos, esencialmente en lo que
corresponde a la capacidad específica para identificar problemas matemáticos.
El capítulo 2, “Estructuración didáctica para la identificación de problemas
matemáticos” contiene el diseño de una propuesta de estructuración didáctica
dirigida a favorecer la formación y el desarrollo de la capacidad específica para la
identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria.
CAPÍTULO 1
El trabajo con los problemas matemáticos en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en la Educación Primaria.
En este capítulo se abordan aspectos generales relativos al proceso de
enseñanza-aprendizaje en la Educación Primaria, particularizando éstos en el
trabajo con problemas matemáticos bajo una óptica de enseñanza y aprendizaje
desarrollador. Se expone también la caracterización de la identificación de
problemas matemáticos como una capacidad específica, así como los
presupuestos teóricos de partida para la estructuración didáctica que se propone.
1.1 Generalidades acerca del proceso de enseñanza-aprendizaje.
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El proceso de enseñanza-aprendizaje ha ocupado a lo largo de la historia de la
Pedagogía y de la Psicología un lugar privilegiado, son muchos los investigadores
que han puesto su empeño en tratar de revelar las regularidades del mismo. En
consecuencia, aparecen en la literatura un número considerable de reflexiones
teóricas encaminadas a explicar los procesos que inciden en su desarrollo y
perfeccionamiento continuo.
Al respecto este autor coincide con la idea de que “El proceso de enseñanza-
aprendizaje debe estudiarse e investigarse desde su dimensión proyectiva, que
incluye su diseño, ejecución, evaluación y orienta sus resultados a lo personal y
social, partiendo de un presente diagnosticado hasta un futuro deseable, donde se
debe reconocer la multilateralidad de interrelaciones así como la heterogeneidad
de los participantes”. ( Addine, F y otros. 2002; p.4)
Los educadores e investigadores manifiestan su interés por contribuir a que los
alumnos participen de manera activa y responsable en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, a partir del empleo de formas novedosas a las que el docente debe
acudir para enseñar, considerando de forma consensuada que la razón de ser de
la enseñanza es el aprendizaje.
La enseñanza, puede ser considerada como “el proceso de organización de la
actividad cognoscitiva, práctica y valorativa de los alumnos y alumnas que implica
la apropiación por estos de la experiencia histórico social y la asimilación de la
imagen ideal de los objetos, su reflejo o reproducción espiritual, lo que contribuye a
mediatizar toda su vida favoreciendo la socialización y la formación de valores”
( Zilberstein, J. y Portela, R. 2002; p.22)
En los momentos actuales, no debe verse la enseñanza únicamente como la vía
que contribuye a brindar información actualizada a los alumnos, sino ante todo
como las diferentes vías que les proporcionen posibilidades diversas para que se
conviertan en agentes activos en la búsqueda de la información, es decir, dotarlos
de las herramientas necesarias para que logren la justa aspiración de aprender a
aprender.
9
Hoy se debe analizar esta realidad con una nueva perspectiva donde, aunque no
se disminuye el papel del profesor en la dirección del proceso de enseñanza-
aprendizaje, hay que tener en cuenta el predominio que en él ejercen otros
agentes, fundamentalmente el grupo docente, así como las potencialidades que
ofrecen los propios ejercicios que se proponen al alumno, de forma tal que se
privilegien las interacciones alumno-ejercicio, alumno-maestro, alumno-alumno y
alumno-grupo.
Se acepta como aprendizaje “El proceso dialéctico de apropiación de los
contendidos y las formas de conocer, hacer, convivir y ser construidos en la
experiencia sociohistórica, en el cual se producen, como resultado de la actividad
del individuo y de la interacción con otras personas, cambios relativamente
duraderos y generalizables, que le permiten adaptarse a la realidad, transformarla
y crecer como personalidad” (Castellanos, D y otros. 2002; p.27)
Ahora bien, la enseñanza y el aprendizaje, resultan inseparables, manifestándose
entre ellos, una unidad dialéctica.
“Aprender conforma una unidad con enseñar. A través de la enseñanza se
potencia no sólo el aprendizaje sino el desarrollo humano siempre y cuando se
creen situaciones en las que el sujeto se apropie de las herramientas que le
permitan operar con la realidad y enfrentar al mundo con una actitud científica,
personalizada y creadora.” ( Addine,F y otros. 2002; p. 10.)
Las transformaciones actuales de la Educación Primaria, derivadas de la Tercera y
Profunda Revolución Educacional demandan que “se debe desarrollar un proceso
de enseñanza-aprendizaje en una constante actividad creadora, innovadora, para
tratar de solucionar la contradicción que existe entre la tendencia a la estabilidad
del proceso y el vertiginoso desarrollo científico técnico” ( Ibídem; p.13)
En el análisis de las dificultades que manifiestan los alumnos y de las causas que
las generan, se advierte la privación de tiempo y procedimientos adecuados para
la reflexión en el análisis de las vías empleadas, lo que constituye un aspecto tan
importante como la obtención misma del resultado.
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La reflexión es la “cualidad que expresa el funcionamiento del pensamiento como
un sistema autorregulado del individuo, que le permite plantearse problemas ante
diferentes situaciones que se le presentan, estimula el planteamiento de hipótesis
sobre las causas que propician estos problemas y posibilita la búsqueda de vía(s)
adecuada(s) para su solución”.(Canfux, V. 2001; p.4).
Para ello no debe ocurrir que el proceso de enseñanza-aprendizaje, se centre en el
profesor, sin atender con carácter diferenciado a cada uno de los alumnos, porque
se limitan las posibilidades de confrontar diferentes puntos de vista a partir de sus
valoraciones, con la finalidad de contribuir a la formación de juicios y
razonamientos que permitan su transferencia a nuevas situaciones.
“El aprendizaje que comprende una organización significativa de experiencias
puede ser transferido con mayor facilidad que el aprendizaje adquirido
mecánicamente”. (Parra, I. 2002; p.37)
Esta organización significativa del aprendizaje requiere de la debida participación
del profesor y del grupo, de manera tal que se potencie al máximo el desarrollo de
los alumnos para que desempeñen un rol protagónico en el proceso de enseñanza-
aprendizaje.
Cuando se le ofrece al estudiante la oportunidad para expresar sus criterios sobre
su propia evaluación en armonía con los del docente y con los del grupo, se
beneficia el desarrollo de una actitud positiva para que ellos se impliquen con los
resultados de su propio aprendizaje.
Los criterios de los estudiantes deben ser objeto de discusión explícita en el aula,
pues cuando los alumnos comentan, comparan y deciden sobre la utilidad y la
consistencia de las concepciones que exponen están explicitando sus propios
criterios de comprensión, lo que propicia su aplicación a nuevas situaciones.
Las exploraciones realizadas alrededor de esta temática por investigadores de
nuestro país, entre los que se destacan Silvestre, M y Zilberstein, J (2000), Rico, P
y otros (2000), Castellanos, D ( 2002), Addine, F (2002), revelan que los docentes
se concentran más, en conseguir que los estudiantes lleguen a las respuestas
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correctas, y menos en analizar las múltiples variantes que se deben utilizar y que
de hecho, teniendo en cuenta el carácter individual del aprendizaje, se emplean en
un mismo grupo docente al resolver determinado ejercicio.
Es indispensable lograr que el estudiante tome conciencia acerca de las
estrategias de aprendizaje que emplea, incluyendo el caso en que éstas sean
erróneas, porque “no hay conocimiento sin errores, pero es necesario prevenirlos,
luchar contra ellos”. ( Burlatski, F. 1881; p. 145).
Se asume por estrategia de aprendizaje “los procedimientos que la persona
adquiere en la actividad y en la comunicación, los que perfecciona y transfiere al
constituirse en recursos de autoorientación, control y valoración, en su propio acto
de aprendizaje, tanto en el proceso de estudio que realiza en la clase como en su
estudio individual o colectivo, lo que contribuye a la formación de cualidades de la
personalidad” (Zilberstein, J. 2002).
El hecho de que el alumno pueda determinar sus propias limitaciones al solucionar
una tarea, ejerce una influencia educativa de extraordinario valor para su futuro
desempeño en la vida, pues contribuye a que aprendan a tomar conciencia
metacognitiva y a ejercer un control positivo de sus propios modos de actuación.
En el mundo contemporáneo se generan múltiples reflexiones que convergen en
afirmar que el proceso de enseñanza-aprendizaje debe orientarse a dotar a los
escolares de herramientas del pensamiento que les permitan desarrollar una
actividad intelectual cada vez más compleja.
No obstante, se percibe una minimización de las funciones lógicas y analíticas, es
decir, el nivel de complejidad mental involucrado en las acciones de aprendizaje se
caracteriza por la inclusión de ideas aisladas.”El aprendizaje escolar es concebido
en términos de acumulación de conocimientos y experiencias, como ejercicio de
memorización y repetición, mientras que el sujeto que aprende es visto como un
receptor, almacén o reservorio”. ( Castellanos, D y Otros. 2001; p.20).
El maestro debe asumir la responsabilidad tanto a partir de su ejemplo personal,
como de su papel como conductor del proceso de enseñanza-aprendizaje, de
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demostrar a los alumnos que no asisten a la escuela para acoger y confirmar
órdenes, sino para investigar a partir del empleo de sus propias capacidades, cómo
realizar de manera creativa tareas cada vez más complejas.
En los momentos actuales el proceso de enseñanza-aprendizaje debe potenciar el
objetivo irrenunciable de lograr que el alumno aprenda a aprender a través de la
utilización de estrategias que posibiliten relacionar lo aprendido con el nuevo
material y realizar nuevos aprendizajes.
El aprender a aprender no es algo que se concibe de forma independiente, aislada,
es el producto de las actividades que como parte del proceso de enseñanza-
aprendizaje ejecutan los alumnos en estrecha interrelación con el maestro y con el
grupo docente.
Según las concepciones que sustentan los nuevos paradigmas, es así que se
garantiza la validez de dicho proceso. Por tanto, “una definición contemporánea de
la Didáctica deberá reconocer su aporte a una teoría científica del enseñar a
aprender” (Silvestre, M y Zilberstein, J. 2000; p.4).
Las nuevas y cada vez más crecientes exigencias que el desarrollo científico,
tecnológico y social plantean a la escuela, requieren del perfeccionamiento
continuo de los métodos de enseñanza, pues estos adquieren una significación
esencial en la formación de los alumnos.
Debe promoverse una cultura en la que el maestro asegure que el alumno se
convierta en “un participante activo, reflexivo y valorativo de la situación de
aprendizaje, donde asimila la cultura en forma personalizada, consciente, crítica y
creadora en un proceso de crecimiento contradictorio y dinámico en el que
construye y reconstruye con otros sus aprendizajes de la vida, con vistas a
alcanzar su realización plena”. (Addine, F. 2002; p. 10).
La educación está llamada a promover cambios en los alumnos, los que
dependerán en gran medida de la forma en que se organice el proceso de
enseñanza-aprendizaje, encaminado a elevar la calidad de la misma.
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“Calidad de la educación se refiere a las características del proceso y a los
resultados de la formación del hombre, condicionados histórica y socialmente, y
que toman una expresión concreta a partir de paradigmas filosóficos, pedagógicos,
psicológicos y sociológicos imperantes en la sociedad de que se trate”.
( Valdés, H y Pérez, F. 2001; p.13)
El proceso de enseñanza-aprendizaje tiene que ir cada vez más privilegiando
espacios para que el escolar desarrolle la independencia cognoscitiva que le
permita interactuar en el contexto en correspondencia con las constantes
transformaciones que se operan en el tercer milenio.
1.2 La necesidad de cambio en los momentos actuales está La concepción desarrolladora en el proceso de enseñanza
aprendizaje en la Educación Primaria.
motivada por los requerimientos que plantea la razón objetiva de sobrevivir en un
mundo que se modifica aceleradamente. En correspondencia con estas
concepciones hay que tener en cuenta no solamente qué se enseña, sino al
mismo tiempo, cómo se enseña, por lo que se deben incorporar al quehacer
pedagógico, métodos activos que faciliten el proceso de asimilación de
conocimientos y que propicien el desarrollo de hábitos y habilidades para un
proceso de aprendizaje continuo en el alumno, contribuyendo de esta forma a una
educación desarrolladora.
Se asume como educación desarrolladora “aquella que conduce al desarrollo, que
va delante del mismo –guiando, orientando, estimulando- que tiene en cuenta el
desarrollo actual para ampliar continuamente los límites de la zona de desarrollo
próximo o potencial, y por lo tanto, los progresivos niveles de desarrollo del sujeto.
La educación desarrolladora promueve y potencia los aprendizajes
desarrolladores”. (Castellanos D y otros, 2001; p.3)
Es incuestionable admitir que la enseñanza también debe transformarse, por lo que
nuestros enfoques, métodos e instrumentos deben estructurarse en
correspondencia con estas transformaciones.
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La enseñanza desarrolladora es “el proceso sistémico de transmisión de la cultura
en la institución escolar en función del encargo social, que se organiza a partir de
los niveles de desarrollo actual y potencial de los estudiantes, y conduce el tránsito
continuo hacia niveles superiores de desarrollo, con la finalidad de formar una
personalidad integral y autodeterminada, capaz de transformarse y transformar la
realidad en un contexto sociohistórico concreto”.
(Castellanos, D y otros. 2002; p. 47)
Teniendo en cuenta esta concepción en la cual debe desarrollarse la enseñanza,
es necesario destacar que el nivel primario constituye una etapa muy importante
con relación al desarrollo de potencialidades en los escolares, no exclusivamente
en el área intelectual, sino también en el área afectivo-motivacional, conformando
ambas, premisas que son indispensables para su desarrollo exitoso en etapas
ulteriores.
“Un aprendizaje desarrollador es aquel que garantiza en el individuo la apropiación
activa y creadora de la cultura, propiciando el desarrollo de su auto
perfeccionamiento constante, de su autonomía y autodeterminación en íntima
conexión con los necesarios procesos de socialización, compromiso y
responsabilidad social” (Castellanos, D y otros. 2002; p.36).
Para lograr este propósito, el profesor debe tener en cuenta en la dirección del
aprendizaje, las potencialidades que el mismo tiene para el desarrollo integral de la
personalidad del alumno, por lo que es indispensable garantizar un papel activo y
reflexivo en el niño al resolver diferentes ejercicios.
La adquisición de la cultura acumulada por la humanidad, se produce a partir de
procesos de aprendizaje, pero deben tenerse en cuenta las exigencias de cada
contexto histórico-concreto, de forma tal que cada aprendizaje se constituya en una
vía para el desarrollo que debe alcanzar el escolar en la obtención de nuevos
aprendizajes.
A partir de la concepción teórica asumida, el aprendizaje para que sea
desarrollador, tiene que cumplir con los tres criterios básicos siguientes:
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Promover el desarrollo integral de la personalidad del educando.
De la forma en que se estructure, organice y dirija el proceso de enseñanza-
aprendizaje y del papel que se le asigne al escolar, depende en gran medida que
se logre la formación de cualidades de la personalidad tales como: la
responsabilidad, la persistencia, el colectivismo, la independencia, entre otras, las
que deben contribuir a su formación integral y propiciar la interacción entre la
apropiación consciente de conocimientos con la formación de valores, convicciones
e ideales encaminados a lograr la integralidad a la que se aspira en los escolares
de la enseñanza primaria.
Propiciar el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y a la
autorregulación.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje debe prestarse especial atención a la
utilización coherente de actividades que favorezcan la independencia en los
escolares de la Educación Primaria. Esto constituye un elemento esencial para que
puedan afrontar la solución de las nuevas y cada vez más complejas tareas, para
crear confianza en sí mismo y para contribuir a desarrollar la creatividad, que
constituye una necesidad apremiante en la sociedad contemporánea.
La ayuda debe propiciar que el escolar desarrolle su autocorrección, que
profundice no solamente en el error cometido, sino también en las causas que lo
provocaron. Se deben aprovechar las potencialidades que brinda el colectivo en
este proceso de ayuda, lo que favorece el desarrollo de cualidades de la
personalidad en correspondencia con las aspiraciones actuales.
Desarrollar capacidades para lograr aprendizajes a lo largo de la vida.
Este criterio permite al escolar adaptarse al ciclo cambiante de la vida, en el que el
estudio, la recreación y el tiempo libre, no se encontrarán separados sino que
estarán en estrecha interacción, propiciando como norma aceptada, la educación
permanente.
Es apremiante tomar en cuenta este criterio, en estrecha interacción con los
analizados anteriormente, pues en la medida en que a través del proceso de
16
enseñanza-aprendizaje se logre el desarrollo de cualidades de la personalidad en
correspondencia con los requerimientos actuales y que se propicie la
independencia y la autorregulación en los escolares, estarán dotados de las
posibilidades para desarrollar el aprendizaje a lo largo de toda la vida.
Para ofrecer oportunidades de aprendizaje a lo largo de la vida es ineludible
considerar la diversidad de necesidades de los alumnos y las diferencias de
contexto, por lo que se hace necesario el tránsito a un proceso de enseñanza
aprendizaje flexible que ofrezca variadas opciones para que logren desarrollar una
actitud comprensiva y diversificada de la realidad.
Estas transformaciones imponen nuevos retos al Sistema Nacional de Educación,
con respecto a la responsabilidad que le corresponde en la formación de las
nuevas generaciones, haciendo énfasis en la educación axiológica de niños y
jóvenes, que supone contribuir conscientemente al desarrollo del intelecto en
armonía con los sentimientos, actitudes y valores en correspondencia con nuestra
identidad nacional. Para ello, se hace necesario que las tareas que se propongan
a los alumnos, propicien de forma equilibrada aprendizajes encaminados al
desarrollo integral de la personalidad.
“El proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador constituye la vía
mediatizadora esencial para la apropiación de conocimientos, habilidades, normas
de relación emocional, de comportamientos y valores legados por la humanidad,
que se expresan en el contenido de enseñanza, en estrecho vínculo con el resto de
las actividades docentes y extradocentes que realizan los estudiantes”
( Silvestre, M y Zilberstein, J. 2000; p.14).
El modo de proceder que debe adoptar el maestro en la conducción del proceso
de enseñanza-aprendizaje desarrollador, así como el papel que debe desempeñar
el alumno, se comprende a partir de los aspectos que pueden caracterizarlo y que
fueron expuestos por un equipo de investigadores del ISPEJV, dirigido por la Dra.
Doris Castellanos (2002) en el texto “Enseñar y aprender desde la escuela: una
concepción desarrolladora”, los cuales se valoran a continuación.
17
Papel del maestro:
El maestro actúa como un mediador en el proceso de desarrollo de los
alumnos, donde su función fundamental es garantizar las condiciones y las
tareas necesarias y suficientes, para propiciar el tránsito gradual del
desarrollo desde niveles inferiores hacia niveles superiores.
Para ello, resulta esencial el diagnóstico integral con un enfoque científico, para
garantizar que realmente los ejercicios propuestos propicien el tránsito de los
escolares hacia niveles superiores, a partir de la correspondencia que debe existir
entre el diagnóstico y las exigencias de los ejercicios que deben realizar. Para ello,
resulta necesario que el maestro logre una mayor precisión al determinar las
potencialidades de cada alumno.
Propicia la creación de una atmósfera de confianza, seguridad y empatía en
el aula.
Para la formación de cualidades de la personalidad en los escolares, resulta de
gran importancia la interacción que se logre entre los propios alumnos del grupo a
través de la adecuada organización del aula, para la realización de los ejercicios
en equipos de hasta 5 estudiantes, a partir de criterios pedagógicos y psicológicos
determinados previamente por el maestro.
Organiza situaciones de aprendizaje basadas en problemas reales,
significativos, que favorezcan el desarrollo de motivaciones intrínsecas.
La motivación intrínseca que se debe lograr en los alumnos, con vistas a resolver
los ejercicios propuestos, constituye un desafío que el docente debe vencer
sistemáticamente, por la incidencia que este aspecto tiene en los resultados del
aprendizaje. La necesidad objetiva de asignar un nuevo rol al docente, para que
actúe como mediador y facilitador del aprendizaje en sus alumnos, exige de su
capacidad para proponer ejercicios que realmente motiven su realización.
Apoya a los alumnos para que acepten los retos y aprendan a identificar, a
formular y a resolver problemas.
18
Es muy importante, para la enseñanza en general, y especialmente para la
enseñanza de las ciencias, que los alumnos sean capaces de identificar
problemas, como un elemento que puede contribuir a la resolución y a la
formulación consciente de estos.
Propicia la participación de todos los alumnos del grupo, animando a los
más pasivos y cuidando que ninguno monopolice la atención del grupo.
El maestro debe facilitar frecuentemente el intercambio de ideas entre los
alumnos, garantizando que todos tengan posibilidades de expresar sus puntos de
vista como una de las vías que proporciona la atención a la diversidad. Aunque
este aspecto debe contemplarse durante el desarrollo de todo el proceso de
enseñanza-aprendizaje, el control del ejercicio propuesto constituye un espacio de
singular importancia que no debe desaprovecharse.
Evita que se desechen ideas prematuramente. Emplea el error con fines
educativos y estimula la atribución consciente de los éxitos y fracasos
escolares a causas controlables, modificables.
En ocasiones, los resultados alcanzados por los alumnos no son los correctos y la
atención que se ofrece, resulta poco estimulante para ellos. Se debe garantizar la
preparación del maestro para que ofrezca la ayuda con una adecuada orientación
pedagógica, de forma tal que no sustituya en modo alguno, la actividad
cognoscitiva que debe desplegar el alumno, y al mismo tiempo, la estimule. Se
trata de aprovechar las posibilidades educativas de los errores, en primer lugar,
para destacar que en la Matemática – a pesar de ser una Ciencia Exacta- se
pueden cometer errores, en segundo lugar, para reflexionar en cómo evitarlos en el
futuro, y por último llegar incluso a un nivel superior en la elaboración teórica.
Diagnostica dificultades y potencialidades en el aprendizaje y sobre la base
de ellas, concibe estrategias de enseñanza compensadoras, dirigidas a
convertir las potencialidades en desarrollo actual.
19
Es oportuno señalar que en todos los escenarios, este tema es de obligado debate,
aunque a juicio del autor, aún resulta limitada la orientación del diagnóstico del
aprendizaje, para determinar las potencialidades de los alumnos.
En la práctica educativa se ha comprobado, a través de visitas de inspección,
entrenamientos metodológicos, observaciones a clases que generalmente se
privilegia el qué no saben hacer los alumnos por si solos, por encima del que serán
capaces de hacer con la ayuda de otros.
Papel del alumno:
Es y se siente protagonista del proceso, y no como simple espectador o
receptor de la información.
Para ello el alumno debe asumir un rol protagónico durante la orientación, la
ejecución y el control de los ejercicios propuestos. Este aspecto constituye una
necesidad para contribuir a la formación de ciudadanos que actúen reflexivamente
en correspondencia con las múltiples y profundas transformaciones que se operan
en la realidad.
Despliega una actividad intelectual productiva y creadora en todos los
momentos del proceso, enfrentando su aprendizaje como un proceso de
búsqueda de significados y de problematización permanente.
Este aspecto resulta muy necesario en función de promover cambios en los
alumnos, a través de un proceso de enseñanza-aprendizaje, que vaya de la simple
comunicación de conocimientos, a un proceso encaminado a indagar, a investigar,
estimulando en todo momento el éxito en la realización de los ejercicios.
Está motivado para asumir progresivamente la responsabilidad de su propio
aprendizaje.
Para que el alumno asuma esta responsabilidad, es necesario formar la convicción
de que en los momentos actuales el aprendizaje continuo, a lo largo de toda la
vida, constituye una meta inaplazable.
20
Conoce sus deficiencias y limitaciones como aprendiz y sus fortalezas y
capacidades, y es capaz de autoevaluar adecuadamente la eficacia de sus
propios procesos.
Para ello, resulta trascendental el trabajo en función de garantizar en los alumnos,
el tránsito progresivo del control externo, realizado por el maestro u otro
compañero, al control interno o autocontrol, logrando que asuman una actitud
positiva ante los errores, que analicen las causas que los originan y que
manifiesten disposición para erradicarlos, para ello deben llegar a realizar
conscientemente la reflexión metacognitiva en el desarrollo de cualquier actividad.
Es parte activa de los procesos de comunicación y cooperación que tienen
lugar en el grupo.
Se garantizará el tránsito de un modelo de enseñanza-aprendizaje con un enfoque
individualista, a un modelo que se desarrolle sobre la base de la colaboración, de
la ayuda entre los alumnos. Es recomendable y necesaria la organización de
equipos para resolver los ejercicios, proporcionando la colaboración y el debate.
Valora el aprendizaje como parte intrínseca de su vida y como fuente de su
crecimiento personal no solo intelectual, sino también afectivo, moral, social.
Evidentemente, se corrobora que la escuela no es un espacio para transferir
únicamente los conocimientos acumulados por la humanidad, sino para propiciar
la preparación integral del alumno para su participación en la transformación de la
sociedad en que vive.
La enseñanza, el aprendizaje, el desarrollo y la educación son categorías que se
encuentran estrechamente relacionadas entre sí, entendiendo esta última en su
sentido amplio, como “un conjunto de actividades y prácticas sociales mediante las
cuales, y gracias a las cuales, los grupos humanos promueven el desarrollo
personal y la socialización de sus miembros y garantizan el funcionamiento de uno
de los mecanismos esenciales de la evolución de la especie: la herencia cultural”.
( Zilberstein, J y Portela, R.2002; p. 26)
21
Concebir la enseñanza y el aprendizaje de manera tal que se tenga en cuenta su
efecto en el desarrollo del alumno, ayudará a formar en los niños y jóvenes
cualidades de la personalidad que les permitan, además de su adaptación a los
constantes cambios que se operan, transformar creadoramente la sociedad en
que viven.
Para que esta aspiración se convierta en realidad, la escuela no puede estar ajena
a los recientes descubrimientos científicos por lo que ellos significan en el
desarrollo de la sociedad en el ámbito internacional. Tampoco a los profundos
cambios económicos y sociales que se producen en Cuba, especialmente los que
se operan en el propio Sistema Nacional de Educación.
1.3 Los problemas matemáticos en la Educación Primaria.
El desarrollo histórico de la humanidad ha estado vinculado estrechamente a los
adelantos relativos a la Matemática, los que se han utilizado con los fines más
diversos. Constituye una disciplina de especial importancia, tanto desde el punto
de vista científico como social, pues propicia el desarrollo de procesos mentales
para adquirir conocimientos sobre el mundo que nos rodea y proporciona la
adquisición de métodos para ello.
A través del proceso de enseñanza-aprendizaje de cualquier disciplina,
especialmente de la Matemática, debe hacerse explícita la significación social de lo
que el alumno aprende, lo que se expresa concretamente por la manifestación que
tiene lo que asimila en la ciencia, en la técnica, en la sociedad en general y
especialmente por la revelación en su actuación contextual.
Por esta razón, la labor educativa de esta disciplina, se establece no solamente por
su declaración en los programas de las diferentes enseñanzas, sino por las
particularidades de su objeto de estudio y de su evolución histórica, lo que se
evidencia en el papel desempeñado en el perfeccionamiento de la sociedad.
22
“La Matemática por sus características y posibilidades educativas, puede contribuir
a satisfacer las demandas de la preparación del hombre para su inserción en el
mundo contemporáneo”. ( Llivina, M. 1999; p.1 ).
Esta disciplina, brinda una contribución fundamental al desarrollo del pensamiento
en los escolares, facilitando la adquisición de conocimientos y el desarrollo de
capacidades y habilidades de gran utilidad para el estudio de otras disciplinas
escolares y para enfrentar las múltiples y variadas situaciones que se le presentan
producto de su constante y necesaria interacción con el medio.
Existe coincidencia en el ámbito internacional, al considerar que la Matemática es
un área privilegiada para el desarrollo de saberes y destrezas básicas en los
escolares. Esta disciplina permite el desempeño exitoso de los alumnos en la
identificación y en la comprensión de los problemas de la realidad objetiva porque
estimula la aplicación de técnicas y procedimientos que permiten la proposición
de soluciones creativas para generar climas propicios en función del desarrollo
personal y social.
En la medida que evoluciona la sociedad, la Matemática ha experimentado un gran
desarrollo, por lo que se han ingeniado nuevas representaciones para enseñarla y
aprenderla, hasta llegar a la denominada Matemática Moderna, que se ha
introducido en los diferentes niveles de enseñanza.
“Si la introducción de las matemáticas modernas en los niveles más precoces
constituye en principio un gran progreso desde el punto de vista psicopedagógico,
las realizaciones pueden ser, según los casos, excelentes o discutibles de acuerdo
con los procedimientos empleados”. ( Piaget, J. 1988, p.58)
Esta declaración se vincula directamente a la necesidad imperante de conjugar
coherentemente el qué y el cómo se enseña, pues si bien los cambios curriculares
constituyen una necesidad ineludible, estos deben relacionarse con la utilización de
procedimientos de aprendizaje que garanticen la efectividad de su introducción.
La enseñanza de la Matemática en los currículos escolares de la Educación
Primaria, desempeña un rol indefectible en los momentos actuales. El acelerado
23
desarrollo tanto científico-técnico como social, demanda de esta disciplina, la
preparación de las nuevas generaciones para que puedan vivir en estos tiempos
complejos no como simples espectadores, sino como agentes activos de los
procesos de cambio.
En correspondencia con lo expresado anteriormente “a los docentes e
investigadores en Educación Matemática, se les plantea como problemática
universal la de encontrar vías que garanticen un adecuado aprendizaje de las
Matemáticas que les permita a las generaciones venideras enfrentar los retos y
resolver los múltiples problemas a los que tendrá que buscar soluciones”.
( Llivina, M. 1999; p.1 ).
A.H Schonfeld (1991) refiere que la responsabilidad fundamental del maestro de
Matemática es la de enseñar a los alumnos a pensar, por lo que entre los objetivos
de su enseñanza se destaca el aporte que debe ofrecer esta disciplina al desarrollo
del pensamiento.
En tal sentido, conviene destacar que según el criterio de muchos investigadores
realmente, el énfasis durante el perfeccionamiento del proceso de enseñanza-
aprendizaje, se destina a lo relacionado con la adquisición de conocimientos y no
al desarrollo de los procesos lógicos que favorecen el desarrollo del pensamiento.
En general, las variadas situaciones que los estudiantes deben resolver, como
demandas propias de la Matemática, generan por sí solas contradicciones, que
requieren de la realización de renovadas acciones para alcanzar el producto final o
resultado. Los problemas matemáticos simbolizan una de estas situaciones donde
se evidencia esta afirmación.
Los problemas constituyen uno de los recursos didácticos más empleados en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, no solamente en la Matemática, sino en las
restantes ciencias, por considerarse uno de los aspectos más efectivos para
promover y fortalecer el conocimiento científico.
El trabajo con problemas matemáticos en la Educación Primaria constituye uno de
los complejos de materia que históricamente se ha empleado para consolidar y
24
producir conocimientos relativos a esta disciplina. Se puede decir que en estos dos
sentidos se utiliza esencialmente el trabajo con estos en los diferentes niveles de
enseñanza.
En la literatura que aborda el trabajo concerniente a los problemas matemáticos,
en la que se incluyen los resultados de investigaciones recientes, existen diferentes
definiciones de problemas, entre las que se pueden citar las siguientes:
“Un problema matemático con texto puede considerarse como una exposición en el
lenguaje cotidiano de determinado hecho, proceso u objeto, del cual nos dan
directamente ciertas características (magnitudes, valores, etc.) y se nos pide
(exige) hallar otras, que no son directamente ofrecidas en el enunciado”
( Labarrere, A. 1987; p.95)
“Desde el punto de vista psicológico, un problema es una situación nueva o
sorprendente, a ser posible interesante o inquietante en la que se conoce el punto
de partida y donde se quiere llegar, pero no los procesos mediante los que se
puede llegar”. ( Pozo, J I. 1995; p.17)
“Un problema es una determinada situación en la cual existen nexos, relaciones,
cualidades de y entre los objetos que no son accesibles directa e inmediatamente a
la persona. Un problema es toda situación en la cual hay algo oculto para el sujeto,
que este se esfuerza por hallar”. (Labarrere, A. 1996; p. 6)
“Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y
una exigencia que obliga a transformarla. La vía para pasar de la situación o
planteamiento inicial a la situación exigida, tiene que ser desconocida y la persona
debe querer hacer la transformación” ( Campistrous, L y Rizo, C. 1996; p.7)
“Contradicción entre una situación actual del objeto y una situación deseable.
Revela un segmento de la realidad donde el conocimiento es insuficiente o parcial,
o en la cual prevalecen modos de actuación insatisfactorios, expresando al mismo
tiempo, que la respuesta o solución no está contenida en la región de lo conocido.
Ello conduce al despliegue de una actividad para resolver la contradicción y llegar
a la situación deseable” (Llivina, M y Otros. 2000; p.21).
25
“Un problema es una situación o dificultad prevista o espontánea, con algunos
elementos desconocidos para el sujeto, pero capaz de provocar la realización de
acciones sucesivas para darle solución”. (Mazarío, I. 2002; p.13)
El criterio expuesto por González, D. (2001) en su tesis doctoral, plantea que
acepta la definición de Labarrere, A. (1987), pero añade dos elementos no
explícitos en ella y que refieren Campistrous, L. Y Rizo, C. (1996), es decir:
La vía de solución debe ser desconocida, para provocar el proceso de búsqueda
que desarrolle el pensamiento.
La persona debe querer resolver el problema (motivación).
Se asume en esta investigación la definición que propone González, D. (2001),
pero se sugiere añadir un aspecto de vital importancia, al abordar el trabajo con
problemas matemáticos en la Educación Primaria y es el siguiente:
La situación que se describe en el problema debe evidenciar el reflejo de la
realidad objetiva en correspondencia con el contexto de actuación de los alumnos.
La razón que conduce a que se asuma esta definición, tiene una implicación
directa para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje en los momentos
actuales, pues:
Desde el punto de vista de la actividad cognoscitiva que se debe desplegar, una
misma situación puede o no constituir un problema para los diferentes alumnos de
un mismo grupo. Esto requiere, además de la habilidad del maestro para detectar
esta realidad, a través del uso sistemático de los resultados del diagnóstico y de la
interacción con los alumnos, la utilización de diferentes alternativas para proponer
de manera ágil otros ejercicios que favorezcan el desarrollo del pensamiento.
En la definición se explicita el componente motivacional, o sea que el alumno
quiera, que sienta interés por resolver el problema y este aspecto el maestro debe
atenderlo, no únicamente durante el proceso de resolución, sino y
fundamentalmente, en la precisión de las características que deben reunir los
problemas propuestos para lograr en ellos la motivación intrínseca.
26
El componente relacionado con el reflejo de la realidad objetiva de la situación que
se describe en correspondencia con el contexto de actuación del alumno, tiene a
juicio del autor una importancia relevante, pues beneficia su preparación para el
aprendizaje continuo, lo vincula con los aspectos de la vida de la sociedad en las
diferentes esferas y favorece su formación axiológica.
Es necesario que el niño cuando resuelva un problema esté consciente de la
presencia de una dificultad que debe ser motivante para él, al mismo tiempo, debe
explorar que el sistema de conocimientos que conserva y el cúmulo de
experiencias atesoradas a través de su actividad práctica, no le permiten obtener
de manera inmediata la solución del mismo. Cuando en el modo de proceder del
niño ocurre lo contrario, se evidencia una contradicción con la definición planteada,
que la práctica pedagógica debe resolver.
En este último caso, el problema se convierte en un simple ejercicio rutinario que
promueve en los escolares efectos contrarios a los se aspiran con la resolución de
este tipo de ejercicio.
Matemáticos e investigadores como G. Polya (1964), L. Campistrous y C.Rizo
(1996), Llivina, M (1999), González, D (2001), Cruz, M (2002) por mencionar
algunos, han destacado la importancia que tiene el trabajo con los problemas
matemáticos atendiendo a dos razones fundamentales: una histórica y otra
psicopedagógica.
Históricamente se ha demostrado que el desarrollo de teorías y conceptos
matemáticos casi siempre ha estado motivado por la necesidad de identificar,
formular y resolver problemas concretos y desde el punto de vista
psicopedagógico, el trabajo con problemas matemáticos constituye una vía idónea
para contribuir al desarrollo del pensamiento en los alumnos.
La relación orgánica entre el trabajo con problemas y el desarrollo del pensamiento
en los escolares constituye la base y el punto de partida para la formación de la
actividad cognoscitiva. Para ello se hace indispensable el uso de técnicas idóneas
que favorezcan la interacción consciente del alumno con el ejercicio que se
27
propone, lo que debe beneficiar la planificación de la estrategia específica para
resolverlo.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación
Primaria, debe privilegiarse especialmente el trabajo con problemas matemáticos,
con una visión transformadora para contribuir a desarrollar la comprensión de la
utilidad de esta tarea docente en el orden personal y social.
En la literatura psicológica y en la referida a la Metodología de la Enseñanza de la
Matemática consultada por el autor, se explican tres funciones generales que
desempeña el trabajo con problemas matemáticos.
Estas son las siguientes:
Función instructiva.
Función educativa.
Función de desarrollo.
Función instructiva.
Tradicionalmente los problemas matemáticos han servido como vía para adquirir,
ejercitar y consolidar sistemas de conocimientos matemáticos y para la formación
de habilidades y hábitos correspondientes a esta asignatura, pero no siempre en
esta actividad se benefician todas las potencialidades para la adquisición de
conocimientos propios de la Matemática y de otras disciplinas o para el desarrollo
de habilidades y hábitos necesarios a otras asignaturas, por lo que no se favorece
el vínculo interdisciplinario tan necesario en los momentos actuales.
De igual forma, teniendo en cuenta la concepción de enseñanza desarrolladora, es
necesario poner en práctica la unidad entre lo instructivo y lo educativo y que a
través de esta actividad docente, se favorezca la formación de un niño que sea
cada vez más independiente para que pueda ser también creativo, lo que debe
contribuir al logro de un aprendizaje desarrollador y a su preparación consciente
para que pueda transformar la sociedad en que vive.
• Función educativa.
28
En la función educativa hay que tener en cuenta que el trabajo con los problemas
matemáticos ejerce una influencia significativa sobre la formación de la
personalidad de los estudiantes, es decir, sobre el desarrollo de la concepción
científica del mundo y de una posición activa y crítica sobre los fenómenos y
hechos naturales y sociales. Por ello, no es suficiente dirigir acertadamente el
proceso de resolución, sino también seleccionar adecuadamente los ejercicios a
través de los cuales es posible actuar sobre determinada esfera de la personalidad
del alumno.
En ocasiones los problemas matemáticos que aparecen en los libros de texto, no
siempre reflejan situaciones relacionadas directamente con el contexto de
actuación del estudiante, lo que provoca un desencuentro del estudiante con la
realidad.
Los problemas matemáticos constituyen una vía idónea para contribuir a la labor
político-ideológica y a la formación de valores. Permiten recopilar, analizar,
expresar y valorar datos sobre la obra de la Revolución en diferentes esferas,
preparando a las nuevas generaciones para defender con argumentos nuestras
conquistas. En este sentido es necesario tener en cuenta las condiciones en las
cuales se resuelven conjugando convenientemente el trabajo individual y grupal.
• Función de desarrollo.
La función de desarrollo reconoce la influencia que ejerce el trabajo con problemas
en general y específicamente los matemáticos, sobre el desarrollo intelectual del
escolar, en particular sobre la formación de cualidades del pensamiento. Esto
reviste una especial importancia en los momentos actuales si se tiene en cuenta
que el desarrollo de la ciencia y la técnica exige cada vez más la necesidad de
fomentar en el alumno las posibilidades para adquirir conocimientos por sí solo.
La función de desarrollo está muy interrelacionada con las funciones anteriores y
hay que considerar como un aspecto fundamental, la adecuada dirección por parte
del maestro del trabajo con problemas matemáticos, tanto por el contenido de los
ejercicios como por las diferentes formas en que se organice la actividad de
29
resolución y análisis de los resultados y procedimientos empleados por los
alumnos.
El análisis de estas funciones permite reflexionar acerca de que el proceso de
enseñanza-aprendizaje relativo al trabajo con problemas matemáticos ofrece
amplias posibilidades educativas, que permiten al maestro influir de manera
especial en el desarrollo de cualidades de la personalidad.
“El desarrollo de la personalidad del niño depende de las actitudes que tengan
hacia las figuras adultas significativas, de su interacción con otros niños y de su
experiencia de éxito y fracaso tanto en sus actividades académicas como no
académicas” ( Valdés, H y Pérez, F. 2001; p.28).
En el proceso de enseñanza-aprendizaje, pertinente al trabajo con problemas
matemáticos, el dominio de los elementos de su estructura externa, se considera
de significativa importancia tanto para la identificación, como para la formulación y
resolución de problemas.
Las concepciones teóricas acerca de la estructura externa de un problema
matemático, se inscriben desde diferentes puntos de vista; aunque existe
coincidencia en los criterios expuestos por parte de los autores consultados, al
expresar la necesidad de proporcionar especial atención a este aspecto a través
del proceso de enseñanza-aprendizaje. A continuación se exponen algunos de
estos criterios:
“Cada problema – en nuestro caso los matemáticos- presenta una organización
peculiar de las magnitudes y valores que lo conforman. Esta organización se
presenta como determinada estructura que no varía cuando en el problema
(durante la solución) se producen transformaciones (operaciones)”.
( Labarrere, A. 1987; p.9).
“Los elementos esenciales del problema por resolver son: incógnita, datos y
condiciones” (Davidson, L y otros. 1987; p. 3)
“Cuando se habla de la estructura externa de un problema matemático con texto,
se asumen las partes o los elementos estructurales que, desde el punto de vista
30
externo, conforman el problema y no el concepto estructura propiamente
matemático” ( González, D. 2001, p.22).
Considerando las declaraciones teóricas anteriores, se asume que la estructura
externa de un problema matemático está dada por los elementos que aparecen
declarados de manera implícita o explícita en el texto del problema (datos,
condiciones y exigencias), entre los cuales se descubren determinadas relaciones
implicadas, dirigidas a orientar al alumno en el proceso de búsqueda de la vía de
solución.
Los elementos de la estructura externa de un problema matemático, se
caracterizan a continuación:
• Datos: Magnitudes, números, relaciones matemáticas entre los números
como: el triplo de; la quinta parte de ; aumentado en; el cuadrado de; entre
otras, que aparecen dados directamente en el texto del problema o que
pueden ser investigados por el alumno.
• Condiciones: Relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado y lo
buscado, vinculadas con la estrategia de solución, como: las derivadas de
los significados prácticos de las operaciones de cálculo, propiedades,
teoremas, recursos matemáticos a utilizar, no declarados en el problema.
• Exigencias: Las exigencias en el problema matemático son aquellos
elementos de la estructura externa (que pueden estar expresadas en forma
de pregunta o no) y que orientan al alumno a precisar qué es lo que tiene
que averiguar para resolver la contradicción planteada.
Para contribuir a fortalecer el carácter dinámico, flexible, participativo y
desarrollador del proceso de enseñanza-aprendizaje relativo al trabajo con
problemas matemáticos, de forma tal que se logre en el alumno el cambio de una
posición pasiva a una posición activa, donde se destaque su protagonismo en los
diferentes momentos del aprendizaje, es necesario potenciar el trabajo grupal.
31
El trabajo en pequeños grupos, favorece el logro de una adecuada socialización en
cada uno de los alumnos, lo que constituye la principal función social de la
escuela.
“Cuando se habla de grupos, usualmente se toman algunos indicadores básicos
como los siguientes:
• La presencia de interacciones entre personas.
• La percepción de membresía-pertenencia.
• La existencia de una independencia entre las personas.
• Las motivaciones y emociones comunes.
• La estructura de las interrelaciones.
• La influencia mutua”. ( Calviño, M. 1998; p.7)
Este ambiente de trabajo en grupo, de sentido de pertenencia a él y la disposición
de cooperar con los demás miembros, sin dudas se revertirá en resultados
positivos para que los alumnos desarrollen cualidades de la personalidad que se
correspondan con nuestros ideales y principios.
En el trabajo con problemas matemáticos, está reconocido el papel que
desempeña la formación de pequeños grupos para lograr más efectividad en la
realización de los ejercicios, porque:
• “Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento al permitir percibir
las diferentes formas de afrontar una misma situación-problema.
• Se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces
en el papel de moderador del grupo, otras veces como observador de su
dinámica.
• El grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera
puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que se
requiere.
• El trabajo con otros da la posibilidad de contrastar los progresos que el
método es capaz de producir en uno mismo y en los otros.
32
• Proporciona la posibilidad de preparase mejor para ayudar a los
estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los
resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas”.
(Campistrous, L y Rizo, C. 1999; p.32)
Si se tienen en cuenta, las condiciones en las que se desarrolla la Educación
Primaria en los momentos actuales, se puede afirmar que existen razones
objetivas que favorecen la organización del aprendizaje en pequeños grupos.
1.4 La Identificación de problemas matemáticos en la Educación
Primaria.
En el trabajo con problemas a través del decursar histórico de la Matemática como
ciencia, “hay tres actividades humanas que han caracterizado el quehacer
matemático, estas son identificar problemas, plantear problemas y resolverlos”.
( Llivina, M y otros. 2000. p.18).
Los propios autores consideran que estas tres actividades son básicas en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y que la coherencia que se
logre al trabajar las mismas, beneficiará el aprendizaje desarrollador en los
alumnos.
La transformación positiva en cuanto al desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje, relativo al trabajo con problemas matemáticos, precisa algo más que
el reconocimiento de las carencias que existen tanto en la resolución, como en la
formulación de problemas matemáticos. Se debe profundizar, por tanto, en el
estudio de la identificación de problemas matemáticos, considerando que es muy
limitado el análisis teórico que existe al respecto.
Al sistematizar la obra de los investigadores que han abordado recientemente
el análisis de las capacidades como: Llivina, M (2000), González, D (2001),
Parra, I (2002), Castellanos, B (2003) se consideró necesario resumir los
siguientes postulados:
33
• En la Psicología de orientación histórico cultural se considera a las
capacidades como propiedades y cualidades complejas.
• Las capacidades existen como potencialidades del ser humano. Son
cualidades psíquicas de la personalidad que asumen un carácter de
condición o potencialidad para la ejecución exitosa de determinados tipos de
actividad.
• Las capacidades son de naturaleza psicológica. Se asocian a
particularidades psicológicas individuales que distinguen a una persona de
otra.
• Las capacidades tienen un condicionamiento histórico y se forman y
desarrollan en condiciones sociales de actividad, en el proceso de
apropiación de la cultura y son el resultado de ella, de ahí su innegable
connotación social.
• En las capacidades se destaca la participación de componentes de orden
afectivo-motivacional tanto en su dinámica como en las formas concretas de
expresión.
• En el proceso de formación y desarrollo de las capacidades se establece la
dialéctica entre las bases naturales o aptitudes y lo social, considerando el
papel determinante que desempeña este último componente.
• El proceso de formación y desarrollo de las capacidades, influye en la
formación de la personalidad del alumno, pues este proceso se desarrolla
en un entorno histórico social concreto.
• Las capacidades se manifiestan en el desempeño del sujeto que expresa la
calidad con que es capaz de lograrlo.
“Las capacidades son estructuras psicológicas superiores de origen sociohistórico,
constituyen una construcción individualizada y representan potencialidades para el
desempeño exitoso” ( Castellanos, B y Otros. 2003. p.14)
Las capacidades generales, cuando se ponen de manifiesto en una actividad muy
específica “se transforman tanto que, manteniendo su carácter general por su
34
naturaleza, actúan ya como una capacidad específica. En este sentido dialéctico
son generales y específicas” (Llivina, M y otros, 2000; p.17)
Se asume por “capacidades específicas aquellas que caracterizan y se
manifiestan en una sola actividad social y en el lenguaje propio del contexto en que
esta transcurre”. (Llivina, M y otros. 2000; p.17)
A partir de la sistematización teórica realizada por Llivina, M y otros (2000), y
asumiendo los postulados teóricos que exponen los autores, se concibe la
identificación, la formulación y la resolución de problemas matemáticos como
capacidades específicas que se forman y se desarrollan a través del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Siguiendo esta concepción, se define la identificación de problemas matemáticos
desde el punto de vista funcional como: una capacidad específica que se forma y
se desarrolla en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y que se
configura en la personalidad del individuo al adquirir y consolidar la base de
contenidos y desarrollar el sistema de acciones intelectuales, haciendo uso de la
metacognición y con una adecuada motivación.
Se considera como base de contenidos para identificar un problema matemático la
siguiente:
Concepto de problema matemático.
Elementos de la estructura externa de un problema matemático.
Conocimientos matemáticos específicos sobre los que trata el problema.
Conocimientos generales sobre la situación narrada en el problema.
Sentimientos, actitudes, convicciones y valoraciones.
Como sistema de acciones intelectuales, se considera el siguiente:
Analizar el objeto o fenómeno de la realidad objetiva para descomponerlo en sus
partes y poder precisar las características del mismo.
Caracterizar el objeto o fenómeno de la realidad mediante la síntesis de las
características determinadas en el análisis.
35
Establecer relaciones entre el objeto o fenómeno de la realidad con los
conocimientos que posee el alumno.
Distinguir el objeto o fenómeno de la realidad de otros, considerando sus rasgos
esenciales.
Descubrir la contradicción existente entre el estado actual del objeto o fenómeno
de la realidad y el estado deseado.
Desde el punto de vista operativo la identificación de problemas matemáticos, se
concibe como una actividad de estudio que consiste en reconocer la existencia de
una contradicción entre determinados elementos conocidos por el alumno acerca
de los contenidos matemáticos objeto de estudio y otros elementos desconocidos.
El trabajo dirigido a la identificación de problemas matemáticos por los escolares
de la Educación Primaria se considera muy necesario, entre otras razones, por la
contribución que brinda a la formación de la actividad cognoscitiva, pues propicia
que asimilen los conocimientos específicos relativos a qué es un problema
matemático y a los elementos que conforman su estructura externa. Igualmente
propicia la asimilación de los conocimientos relacionados con la situación general
que se describe en el problema, lo que proporciona que los alumnos adviertan el
papel que desempeñan para la comprensión de la realidad objetiva.
Los alumnos deben desarrollar un profundo proceso de análisis que lleve implícito
el establecimiento de relaciones, a partir de los conocimientos adquiridos y de su
propia experiencia, que permitan, además de identificar el problema, argumentar
su respuesta.
Al analizar que el proceso de identificación de problemas transcurre desde que el
alumno se enfrenta a la necesidad de identificar el problema (que representa un
segmento de la realidad objetiva) hasta que es capaz de determinar la
contradicción entre lo dado y lo buscado, es necesario que se favorezca el
intercambio con los alumnos, encaminado a que sean diestros en argumentar las
razones por las cuales se sustenta su adhesión o no, a la respuesta dada.
36
En este proceso de identificación de problemas, se establece la unidad entre lo
afectivo y lo cognitivo. Lo afectivo, determinado por la motivación que siente el
alumno hacia la tarea de identificar el problema y lo cognitivo por los conocimientos
que posee para realizarla.
El dominio por parte de los alumnos de la base de contenidos, y dentro de ella,
fundamentalmente del concepto de problema matemático y de los elementos de su
estructura externa, así como el desarrollo de las acciones intelectuales relativas a
la identificación de problemas matemáticos, permite organizar y estructurar de
manera más eficiente el trabajo con problemas en la Educación Primaria.
En este proceso el alumno establece relaciones entre la situación de la realidad y
los conocimientos que él posee. Se produce la determinación de los rasgos
esenciales, dados por los elementos que forman la estructura externa del problema
y descubre la contradicción entre la situación actual y la situación deseada.
Todo el proceso descrito anteriormente puede desarrollarse solamente si se
establecen las interrelaciones entre los procesos psíquicos y la metacognición,
a través de la autorregulación del alumno. “ En tal sentido, es que hablamos de
configuración psíquica predominantemente cognitiva” (Llivina, M. 2000; p.22)
La unidad dialéctica entre lo individual y lo social en la identificación de problemas
matemáticos como una configuración psíquica, se expresa en el hecho de que lo
social se sintetiza cuando los alumnos aceptan las acciones intelectuales
necesarias para la identificación de problemas matemáticos. Lo individual, está
condicionado por la comprensión de que la interiorización de estas acciones
intelectuales, se expresa de manera particular en cada alumno, donde cada cual
pondrá de manifiesto el desarrollo alcanzado.
La identificación de problemas matemáticos, en la enseñanza-aprendizaje de esta
asignatura, está conformada por tres dimensiones: la dimensión procesal, la
dimensión operacional y la dimensión motivacional.
37
En la dimensión procesal de esta capacidad específica, están implícitos los
procesos psíquicos que intervienen en la identificación de problemas matemáticos.
Estos son: memoria, imaginación, pensamiento y sensopercepción.
( Rubinstein, S.L 1986; Córdova M.D 1997)
Para la caracterización de esta dimensión se asume el referente teórico que
aporta Rubinstein donde expresa que para el estudio de las capacidades, hay que
abordar “la calidad de los procesos mediante los cuales se regula el
funcionamiento de estas operaciones”. (Rubinstein, S.L. 1979; p.63). Se refiere a
las operaciones a través de las cuales el sujeto desarrolla la actividad
correspondiente.
Lo expuesto anteriormente conduce a que se considere como un indicador la
calidad procesal, que “expresa la caracterización cualitativa de las acciones
intelectuales, por ende, de los procesos sobre cuya base estas transcurren”
(Córdova, M.D. 1997; p.63)
Para caracterizar este indicador se sugiere la utilización de los subindicadores
aportados por la referida autora en su tesis doctoral y contextualizados en esta
tesis, en correspondencia con la capacidad objeto de estudio. Los subindicadores
que se asumen son:
Independencia: Está dada por la posibilidad que manifiesta el alumno al
seguir una línea propia de pensamiento y modos de procesamiento autónomo,
relacionada con el tipo de orientación y los diferentes niveles de ayuda que
requiere para identificar un problema matemático.
Fluidez: Se manifiesta en el número de ideas que el alumno puede emplear
o generar en el proceso de identificación de problemas matemáticos a partir de una
situación determinada.
Flexibilidad: Se expresa en la variedad de recursos que el alumno puede
utilizar al identificar un problema matemático, en la posibilidad de generar
diferentes modos para analizar la situación que se describe y de transformar la
dirección de la actividad intelectual cuando la situación lo requiere.
38
Elaboración: Se evidencia en la posibilidad de analizar con riqueza de
detalles la situación de la realidad objetiva, hasta llegar a la elaboración de un
proyecto.
Logicidad: Está dada por la posibilidad que manifiesta el alumno de seguir
un orden lógico en la identificación de los elementos que componen la estructura
externa del problema matemático y de sus relaciones.
Profundidad: Se refiere a las posibilidades que tiene el alumno de penetrar
en la esencia de la situación que se describe, descubriendo la contradicción entre
la situación dada y la situación deseada.
El otro indicador que se asume para caracterizar la dimensión procesal, es la
metacognición y como subindicadores, se establecen los siguientes:
Metaconocimiento: Se asume como el conocimiento acerca del
conocimiento, es decir, el conocimiento y conciencia que el alumno tiene de las
estrategias utilizadas, de los lados fuertes y débiles de su ejecución, preferencias y
tendencias a un determinado estilo o modalidad de procesamiento, y de sus
posibilidades intelectuales, así como del grado de conciencia acerca de la tarea
que realiza, sus condiciones, prerrequisitos, exigencias y obstáculos involucrados.
Control ejecutivo: Está dado por el dominio y uso efectivo de la planificación,
supervisión, corrección, comprobación, evaluación y los procesos que caracterizan
el control y autorregulación de la actividad que realiza.
A la dimensión operacional se asocia el sistema de acciones intelectuales que el
alumno requiere para identificar problemas matemáticos.
En esta dimensión se incluyen como indicadores:
Analizar el objeto o fenómeno de la realidad objetiva para descomponerlo
en sus partes y poder precisar las características del mismo.
Caracterizar el objeto o fenómeno de la realidad mediante la síntesis de las
características determinadas en el análisis.
Establecer relaciones entre el objeto o fenómeno de la realidad con los
conocimientos que posee el alumno.
39
Distinguir el objeto o fenómeno de la realidad de otros, considerando sus
rasgos esenciales.
Descubrir la contradicción existente entre el estado actual del objeto o
fenómeno de la realidad y el estado deseado.
Para que el estudiante se enfrente exitosamente a la identificación de problemas
matemáticos, es condición previa indispensable el dominio de contenidos
matemáticos relativos al trabajo con problemas. Debe dominar, por tanto,
conocimientos matemáticos específicos, el concepto de problema, los elementos
de la estructura externa del problema, así como las relaciones que pueden
establecerse entre ellos.
Se asume como otro indicador de la dimensión operacional la base de contenidos y
como subindicadores, los siguientes:
Volumen: se expresa en la riqueza de conocimientos que posee el alumno
sobre una o más áreas, pero fundamentalmente en el nivel de conocimientos
generales que posee el alumno.
Especialización: se expresa en el nivel de profundidad y solidez de la
información que posee el alumno sobre el concepto de problema matemático,
sobre los elementos de su estructura externa y en la posibilidad que manifiesta
para penetrar en los nexos que existen entre ellos.
Organización: se asume como el nivel de estructuración y sistematización
de conocimientos al poder relacionar la situación nueva que se presenta con los
conocimientos que posee para realizar transformaciones y generar la nueva
información.
La tercera dimensión, es la dimensión motivacional.
En el trabajo con problemas matemáticos, resulta estimulante para el alumno el
hecho de descubrir la contradicción entre la situación dada y la situación deseada.
Esto genera la motivación para resolver dicha contradicción.
Como indicadores, se asumen los siguientes:
40
Motivaciones predominantemente intrínsecas hacia la identificación de
problemas matemáticos. Se manifiesta en el interés personal del alumno por el
contenido de la actividad que se le propone y por la satisfacción que experimenta
al realizar esta actividad.
Sistema de autovaloraciones y expectativas positivas con respecto al
aprendizaje escolar. Incluye las autoevaluaciones y sentimientos de autoeficiencia
en lo académico y las expectativas positivas argumentadas a partir de los logros y
los fracasos que manifiesta el alumno en el proceso de identificación de problemas
matemáticos.
1.5. Consideraciones teóricas sobre la estructuración didáctica. La ejecución de las diferentes tareas planificadas para el desarrollo de esta
investigación, permitió al autor conformar un criterio para la realización de la
propuesta inicial de estructuración didáctica para la identificación de problemas
matemáticos en la Educación Primaria. Para ello, se consideraron los siguientes
momentos:
• Indagaciones teóricas y empíricas acerca del estado actual de la
identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria.
• Análisis de las propuestas de estructuración didáctica para la
Educación Primaria elaboradas recientemente por investigadores de los
Institutos Superiores Pedagógicos.
• Conceptualización de la estructuración didáctica para la identificación de
problemas matemáticos en la Educación Primaria.
• Determinación de los elementos generales y los componentes
esenciales de la propuesta de estructuración didáctica y las
interrelaciones entre ellos.
Al estudiar la obra de investigadores con resultados notables en el campo de la
Didáctica entre los cuales se pueden señalar Silvestre, M ( 1999), Castellanos, D
(2001), Zilberstein, J (2002), Addine, F (2003) conviene realizar algunas reflexiones
acerca de la Didáctica y sus retos contemporáneos. Por ello es necesario señalar
que:
41
• La Didáctica debe reconocer su aporte tanto a la enseñanza como al
aprendizaje, por tanto la Didáctica tiene en cuenta las relaciones regulares
que se establecen entre el acto de enseñar y el de aprender, favoreciendo
un proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador.
• Destaca el papel del diagnóstico del aprendizaje con un enfoque integral,
dirigido a obtener evidencias con un carácter científico, acerca del desarrollo
real y potencial de los alumnos.
• Las relaciones entre la Didáctica y el proceso de enseñanza-aprendizaje
han ido cambiando, las tareas de la Didáctica se revisan continuamente
porque median en ellas la relación entre la teoría y la práctica.
• El avance de la Didáctica no se explica solo por su evolución como ciencia,
sino además por la interrelación con otras ciencias
Se considera a “la Didáctica como una de las Ciencias de la Educación, en la que
la Pedagogía es la Ciencia integradora de todas ellas: El objeto de estudio de la
Didáctica lo constituye el proceso de enseñanza-aprendizaje, en su carácter
integral, desarrollador de la personalidad de los alumnos y alumnas.”
(Silvestre, M y Zilberstein, J. 2001, p.20)
Como uno de los fundamentos que se consideran para dar unidad y coherencia a
la propuesta de estructuración didáctica para la identificación de problemas
matemáticos, se encuentran los principios didácticos. Se asume que “los principios
didácticos son aspectos generales de la estructuración del contenido organizativo-
metodológico de la enseñanza, que se originan de los objetivos y de las leyes que
los rigen objetivamente”. (Klingberg, L. 1972; p.243).
Al realizar el análisis de diferentes propuestas de principios didácticos se adopta
la que se obtiene como resultado de las investigaciones desarrolladas por el grupo
TEDI (Técnicas para la Estimulación del Desarrollo Intelectual), y perfeccionada en
publicaciones recientes. Estos son:
• “Diagnóstico integral de la preparación del alumno para las exigencias del
proceso de enseñanza-aprendizaje, nivel de logros y potencialidades en el
contenido de aprendizaje, desarrollo intelectual y afectivo valorativo.
42
• Estructurar el proceso de enseñanza-aprendizaje hacia la búsqueda activa
del conocimiento por el alumno, teniendo en cuenta las acciones a realizar
por este en los momentos de orientación, ejecución y control de la actividad.
• Concebir un sistema de actividades para la búsqueda y exploración del
conocimiento por el alumno, desde posiciones reflexivas, que estimule y
propicie el desarrollo del pensamiento y la independencia en el escolar.
• Atender las diferencias individuales en el desarrollo de los escolares, en el
tránsito del nivel logrado hacia el que se aspira.
• Vincular el contenido de aprendizaje con la práctica social y estimular la
valoración por el alumno en el plano educativo.”
(Silvestre, M y Zilberstein, J. 2000; p.22)
Las transformaciones que se operan en la Educación Primaria, han motivado el
interés de los investigadores por la elaboración de propuestas de estructuración
didáctica, con la finalidad de contribuir al perfeccionamiento continuo del proceso
de enseñanza-aprendizaje en este nivel de enseñanza. Se realizó el análisis de
las propuestas elaboradas recientemente por los siguientes investigadores:
González, D (2001) propone una estructuración didáctica para la formulación de
problemas matemáticos que constituye una conceptualización, un ordenamiento y
una operacionalización de la base de contenidos y del sistema de acciones
intelectuales necesarias para la formulación de problemas matemáticos con texto.
En esta propuesta se ofrecen orientaciones y sugerencias, así como ejemplos de
ejercicios y actividades prácticas dirigidas a la superación de los maestros con
vistas a su preparación para el trabajo con los alumnos de la Educación Primaria.
Bosque, R (2002), elaboró una propuesta de estructuración didáctica de la
excursión docente para la Educación Primaria. Este autor expresa que se entiende
por estructuración didáctica de la excursión docente el modo en que se encuentran
ordenados y relacionados los diferentes componentes que posibilitan su
realización, de manera que constituya una unidad de conexiones estables entre
ellos: las etapas, los elementos y las categorías didácticas, donde los elementos
son el núcleo de la propuesta, los que se han ordenado con un carácter de
43
sistema, se manifiestan las etapas a tener en cuenta en una excursión docente, así
como las diferentes categorías del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Capote, M (2003) elaboró una propuesta de estructuración didáctica de la etapa de
orientación para la resolución de problemas aritméticos con texto, que comprende
el diseño de un proceder didáctico para el tratamiento de la solución de problemas
aritméticos en el primer ciclo de la Educación Primaria.
A partir del análisis de estas propuestas de estructuración didáctica, se evidencia la
presencia de determinados rasgos encaminados a favorecer el desarrollo de un
proceso de enseñanza-aprendizaje que eduque, instruya y desarrolle, entre los que
se pueden mencionar los siguientes:
• Tienden a favorecer a través de la concepción teórica y metodológica que
se sigue las interacciones que necesariamente deben establecerse en el
proceso de enseñanza-aprendizaje: alumno- alumno, alumno- maestro,
alumno- grupo y alumno- ejercicio.
• La precisión en el papel del diagnóstico, como un proceso permanente de
obtención de evidencias, cuya presencia resulta incuestionable en la
actualidad, en función no solo de compensar las dificultades, sino de elevar
la calidad de la preparación de los alumnos a planos cualitativamente
superiores, en correspondencia con las potencialidades individuales y
grupales.
• Las diferentes alternativas propuestas contribuyen a estimular la búsqueda
creativa de soluciones que favorezcan el papel protagónico de la actividad
del alumno durante el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje, o
sea, en la orientación, ejecución y control de los ejercicios propuestos. Se
destaca la importancia de combinar adecuadamente la realización de
ejercicios individuales y colectivos.
• Apoyándose en los postulados de la teoría histórico cultural, la atención a la
diversidad resulta de gran importancia en función de garantizar la igualdad
de oportunidades a todos los alumnos.
44
• Se ofrecen precisiones que tienden a reforzar la importancia de lograr una
adecuada motivación en los alumnos, apoyándose en los postulados
teóricos que la Psicología aporta al respecto, pero enfatizando de igual
modo, en la importancia de las características del ejercicio propuesto.
El análisis de las diferentes propuestas elaboradas recientemente, constituyó una
premisa indispensable para asumir que la estructuración didáctica, es una
concepción teórico-metodológica que implica la determinación de los elementos
estructurales y las relaciones que se establecen entre ellos, para la enseñanza y el
aprendizaje de un objeto de estudio previamente determinado.
La determinación de los elementos estructurales, constituye un punto de partida
necesario para realizar la modelación de la propuesta.
Para la modelación de esta propuesta de estructuración didáctica, se asumen los
principios que fueron sistematizados por el doctor José Bringas Linares y que
aparecen en su tesis doctoral (1999) y fueron aprobados por el Grupo de Expertos
del ICCP como resultado de un proyecto de investigación científica. Estos
principios son:
• Deducción por analogía. Se pretende establecer una analogía entre el
sistema real y el modelo.
• Principio de la consistencia lógica del modelo. Se refiere a la
fundamentación científica del modelo y a los elementos teóricos que lo
sustentan.
• Principio del enfoque sistémico. Revela las cualidades resultantes del objeto
de investigación. Las relaciones que tienen que existir entre los
componentes del modelo.
• Principio de la simplicidad y la asequibilidad. Sin perder valor ni carácter
científico, debe ser asequible, comprensible, funcional y operativo.
En la propuesta de estructuración didáctica, se asumen como elementos
estructurales los siguientes: el objetivo general y los objetivos específicos, la
caracterización general, los componentes esenciales (diagnóstico, ejercicios
propedéuticos y consideraciones metodológicas) y la evaluación.
45
El objetivo es “el propósito, la aspiración que el sujeto se propone alcanzar en el
proceso para que, una vez transformado, satisfaga sus necesidades y resuelva el
problema de enseñanza-aprendizaje”. (Castellanos; D y Otros. 2002; p. 57)
La caracterización general está dirigida a revelar las razones fundamentales que
motivan la necesidad de elaborar la propuesta de estructuración didáctica, teniendo
en cuenta:
• Las transformaciones que se operan en la Educación Primaria en los
momentos actuales.
• Los resultados que se derivan de las indagaciones teóricas y empíricas,
relativas a la identificación de problemas matemáticos.
El diagnóstico favorece que el maestro adquiera criterios objetivos con respecto a
la situación que manifiesta cada alumno en el aprendizaje. Esto implica
necesariamente que se considere como un proceso permanente, continuo,
dinámico de obtención de evidencias, que permita concentrar la atención no solo
en la determinación de las dificultades que manifiestan los alumnos, sino
fundamentalmente, en prever su ocurrencia.
El diagnóstico del aprendizaje se asume como el “proceso de obtención y
evaluación de información acerca de la situación de aprendizaje de los y las
estudiantes, con la finalidad de:
• Caracterizar el nivel de desarrollo actual alcanzado por cada estudiante y
por el grupo, así como sus potencialidades para realizar nuevos
aprendizajes, en correspondencia con las dimensiones de la activación-
regulación, la significatividad y la motivación para aprender
• Pronosticar las posibilidades de transformación de lo potencial en actual,
atendiendo a la caracterización individual y grupal y a las condiciones del
contexto educativo concreto
• Proyectar, a partir del pronóstico educativo, alternativas para la organización
de un proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador”
(Llivina, M y otros. 2001; p.31)
46
En esta estructuración didáctica, el diagnóstico desempeña un papel esencial para
las precisiones relacionadas con las características de los ejercicios que con
carácter propedéutico, debe diseñar el maestro.
La concepción para la planificación de los ejercicios, implica que exista la suficiente
flexibilidad para modificarlos a partir de la información que se obtenga al realizar el
diagnóstico, lo que se sustenta en el carácter dialéctico del conocimiento.
Las consideraciones metodológicas constituyen un sistema de ideas dirigidas
especialmente a precisar las exigencias a tener en cuenta para: la elaboración, la
realización y el control de los ejercicios, encaminadas a favorecer que el proceso
de enseñanza-aprendizaje relativo a la identificación de problemas matemáticos
instruya, eduque y desarrolle.
Se asume que la evaluación es “un componente al servicio de la educación,
entendida como un proceso de comunicación que retroalimenta y fortalece
sistemáticamente las relaciones maestro-alumno, estimulando el
perfeccionamiento continuo de la actividad educativa en general del proceso de
enseñanza-aprendizaje” ( Ferrer, M. 2002; p.29)
La Evaluación está dirigida al perfeccionamiento continuo del trabajo que se
desarrolla en una institución educacional, especialmente el relacionado con la
calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje. Para la estructuración didáctica
que se propone se asumen los siguientes tipos de evaluación:
Evaluación Diagnóstica: Se orienta a caracterizar el desempeño en un momento
determinado, dirigido a identificar el estado real del objeto, a partir del cual se
proyectarán las acciones a desarrollar para alcanzar el estado deseado.
Evaluación formativa: “Implicada con el proceso y dirigida a perfeccionarlo. Genera
información relacionada con la marcha del proceso del objeto que se evalúa para
formular reajustes o replanteamientos en su funcionamiento intrínseco”.
(González, D y Valcárcel, N. 2001; p.15)
Evaluación sumativa: “Orientada a valorar los resultados logrados, tratando de
hallar la congruencia de estos con los intereses y necesidades de los beneficiarios.
Genera información sobre los resultados parciales y finales para tomar decisiones
47
respecto a mantener, modificar, concluir o sustituir el objeto evaluado”.
(González, D y Valcárcel, N. 2001; p.15)
Evaluación de impacto se define como: “El grado de trascendencia en el entorno
socioeconómico concreto, con el fin de valorar su efecto sobre los objetos
aplicados y asegurar la selección mejorada de nuevos objetos de evaluación”
(Añorga, J. 2001 p.48)
Conclusiones del capítulo
Las indagaciones teóricas realizadas permitieron constatar que no se logra la
adecuada integración entre la educación e instrucción, o sea lo instructivo y
cognitivo se ve separado de lo afectivo y educativo. Este aspecto se manifiesta
tanto en las características de los ejercicios que se plantean a los alumnos, como
en las limitaciones para aplicar diferentes variantes para su realización y para el
análisis que realizan a partir de los resultados de su propio aprendizaje.
La formación y desarrollo de la capacidad específica para identificar problemas
matemáticos, presupone de la sistematización de la base de contenidos y el
desarrollo de las acciones intelectuales por parte de los alumnos de la Educación
Primaria.
El análisis de las propuestas de estructuración didáctica, dirigidas específicamente
a la Educación Primaria, conduce a que se asuma como una concepción teórico-
metodológica, que implica la determinación de los elementos estructurales y de las
relaciones que se establecen entre ellos, en correspondencia con el objeto de
estudio previamente determinado.
48
CAPÍTULO 2 Propuesta de estructuración didáctica para la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria. Contenido del capítulo. El presente capítulo contiene la propuesta de solución del autor al problema
científico que se asume en esta tesis. Para ello se presenta el diseño de una
estructuración didáctica dirigida a favorecer la formación y desarrollo de la
capacidad específica para identificar problemas matemáticos en la Educación
Primaria, tomando en consideración los resultados obtenidos de las indagaciones
teóricas y empíricas realizadas, esencialmente los criterios de expertos a partir de
la valoración de la propuesta inicial.
2.1. Estado actual de la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria. El estado actual de la identificación de problemas en la Educación Primaria, se
constató a partir de las indagaciones teóricas y empíricas, realizadas por el autor
en las diferentes etapas de la investigación.
Las indagaciones teóricas, se ejecutaron a partir del análisis de los resultados
obtenidos en diferentes investigaciones desarrolladas por profesionales cubanos,
entre los que podemos señalar Campistrous, L y Rizo, C (1980,2002),
Torres, P (1993) Suárez, C y otros (1995), Llivina, M (1999), González, D (2001),
Mazarío, I (2002), Cruz, M (2002), Capote, M (2003), Informes Nacionales de los
resultados obtenidos a partir de las comprobaciones aplicadas por el Sistema de
Evaluación de la Calidad de la Educación (SECE) y por el Laboratorio
Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE) en el
período 1996-2002.
Los resultados de investigaciones recientes, considerados por el autor, se exponen
a continuación.
49
Miguel Jorge Llivina Lavigne (1999) caracteriza la resolución de problemas
matemáticos como una capacidad específica que se desarrolla a través del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y a partir de los resultados
de las indagaciones teóricas y empíricas, elabora una propuesta metodológica para
contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos.
Daniel González González (2001) realiza la conceptualización y sustentación
teórica de la formulación de problemas matemáticos como una competencia
específica de la enseñanza de la Matemática y presenta el diseño de una
estrategia de superación para los maestros primarios, sobre la base de la
combinación sistémica de varias formas de Educación de Avanzada. Como
contenido de la estrategia de superación propone una estructuración didáctica para
la formulación de problemas matemáticos, precisando la base de contenidos
precedentes y las acciones intelectuales que deben dominar los maestros
primarios para formular estos problemas.
Israel Mazarío Triana (2002) aborda el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
resolución de problemas matemáticos a través de la instrumentación de una
propuesta pedagógica para contribuir al desarrollo de la habilidad de resolver
problemas. Esta propuesta se fundamenta en una estructuración operacional de la
resolución de problemas matemáticos como habilidad y el autor tiene en cuenta
además otros elementos cognoscitivos y educativos inherentes a este proceso.
Miguel Cruz Ramírez (2002) propone una estrategia metacognitiva dirigida a
favorecer la formulación de problemas matemáticos por parte de los profesores en
formación. La estrategia está conformada por un conjunto de acciones y
operaciones que propician la aplicación simultánea de técnicas de naturaleza
algorítmica, lógica y heurística para la formulación de nuevos problemas y se
modela la compleja actividad cognitiva que debe realizar el futuro maestro al
formular problemas.
Manuel Capote Castillo (2003) propone una estructuración didáctica para la etapa
de orientación en la solución de problemas aritméticos con texto en el primer ciclo
de la escuela primaria.
50
Si bien es cierto que los trabajos referidos, realizan un aporte significativo a la
Didáctica de la Matemática y constituyen obras de obligada consulta para toda
investigación pedagógica relacionada con el proceso de enseñanza-aprendizaje
relativo al trabajo con problemas matemáticos, la práctica revela dificultades que
justifican la necesidad de continuar profundizando en este campo, si tomamos en
consideración, entre otros, los siguientes aspectos:
• Necesidad de potenciar el aprendizaje desarrollador en la enseñanza de la
Matemática a través del trabajo con problemas, lo que implica el desarrollo
de las tres capacidades específicas: identificar, formular y resolver
problemas.
• Aunque en las obras referidas se reconoce la existencia de estas tres
capacidades, en la práctica, la investigación educativa privilegia la
resolución y la formulación.
Los resultados de estas indagaciones revelan que no existe una sistematización
teórica relacionada con la identificación de problemas matemáticos en la
Educación Primaria, que sitúe al maestro en condiciones favorables para dirigir el
proceso de formación y desarrollo de esta capacidad específica.
Las investigaciones reseñadas, evidencian que los alumnos presentan dificultades
al identificar los elementos de la estructura externa del problema, aspecto que se
asocia directamente con algunos conflictos que exteriorizan los escolares al
resolver o formular problemas matemáticos. En este sentido, también se destaca
que establecen incorrectamente las relaciones entre los datos, las condiciones y
las exigencias del problema.
Para las indagaciones empíricas, se efectuaron observaciones a clases, pruebas
pedagógicas, encuestas a directores, jefes de ciclo y maestros de la Educación
Primaria. Los resultados obtenidos se exponen a continuación.
Observaciones a clases: Las observaciones a clases se desarrollaron en el curso escolar 2002-2003 en
situaciones de enseñanza-aprendizaje relativas al trabajo con problemas
51
matemáticos en los diferentes grados de la Educación Primaria, en escuelas del
Municipio Playa. Se utilizó la guía que aparece en el ANEXO 1.
En sentido general, se destacan como aspectos positivos los siguientes:
• Existe una disposición favorable por parte de los maestros, para
perfeccionar el trabajo relacionado con problemas matemáticos, en
correspondencia con las transformaciones que se operan en este nivel de
enseñanza.
• Los maestros formulan problemas con la intención de brindar a los alumnos
una información actualizada de la realidad nacional e internacional.
• Se observa un marcado interés por brindar una atención diferenciada a los
alumnos durante la realización de los ejercicios.
No obstante, se evidencia un enfoque homogéneo teniendo en cuenta las
características de los problemas propuestos por el maestro (ANEXO 2), la forma de
organización que se asume durante su realización, así como las variantes
empleadas para el control del proceso y de los resultados, frente a necesidades y
realidades heterogéneas, o sea, sin tener en cuenta la diversidad que,
incuestionablemente, existe en cada aula. Esta realidad contradice la demanda
objetiva de atender las necesidades y potencialidades de los alumnos a partir de la
utilización científica de los resultados del diagnóstico.
Dificultades relacionadas con la selección y/o elaboración de los ejercicios.
• No se proponen ejercicios a los alumnos que exijan una alta dosis de trabajo
mental, por lo que constituyen ocasionalmente simples ejercicios rutinarios.
• Generalmente aparecen explícitamente en el texto del problema, solamente
aquellos datos necesarios para la resolución del mismo. La situación antes
referida, trae como consecuencia que los alumnos se formen una
representación esquemática en cuanto a la presentación de los datos, lo que
justifica la tendencia a incluir en el proceso de resolución del problema
todos los datos que aparecen en el texto.
• Las exigencias del problema, se exponen generalmente como interrogantes
y aparecen al final del texto; frecuentemente, contienen expresiones que
52
sugieren la operación a realizar, o sea, se incluyen las denominadas
palabras claves.
• Los problemas propuestos, casi en su generalidad, revelan contradicciones
que pueden resolverse. Se manifiesta la ausencia de los denominados
problemas experimentales, o sea, problemas que no pueden resolverse (por
contradicciones que se manifiestan con el propio concepto de problema
matemático, o entre los elementos de su estructura externa).
• En muchas ocasiones, la situación que se describe en el problema no
resulta interesante para los alumnos, lo que no favorece que se impliquen
conscientemente en el proceso necesario para resolverlo.
Dificultades relacionadas con la realización de los ejercicios.
• La forma que emplea el maestro para orientar la realización de los
ejercicios, no favorece el desarrollo de un clima armónico, que fomente
relaciones interpersonales y estados emocionales favorables. Los ejercicios
fueron resueltos en todos los casos en forma independiente.
• Solamente de manera ocasional, se sugiere la realización de algunos
ejercicios adicionales para los denominados alumnos aventajados, lo que
desde el punto de vista psicológico por la forma en que se orientan, puede
incidir negativamente en los restantes alumnos.
• Los alumnos realizan un análisis superficial del texto del problema,
orientando esencialmente su atención, a los datos y a las exigencias que
se declaran explícitamente en el mismo.
• La forma que el maestro emplea para ofrecer niveles de ayuda a los
alumnos durante la realización de los ejercicios, interfiere en el proceso
mental que deben desarrollar.
Dificultades relacionadas con el control.
• El control se orienta generalmente, a verificar si el alumno logró obtener la
respuesta correcta, y no al esfuerzo desplegado, lo que provoca estados de
frustración en aquellos que no obtuvieron éxitos en la tarea planteada.
53
• Se evidencia que los maestros no logran establecer una adecuada
correspondencia entre las exigencias del ejercicio propuesto y el tiempo
aproximado que necesitan los alumnos para resolverlo.
• Las formas de control que se emplean tienen, en la mayoría de los casos,
un enfoque tradicional. No se entrenan a los alumnos para la aplicación de
procedimientos de control y valoración por parejas, o en equipos. Los
maestros se anticipan a los juicios que deben emitir los alumnos para
argumentar la respuesta obtenida.
• En el control no se orienta al alumno hacia la reflexión relacionada con el
mensaje educativo del problema, se centra el análisis en los elementos
inherentes al conocimiento, minimizando de esta forma las funciones
educativas y de desarrollo.
• No se brinda por parte del maestro el tratamiento pedagógico adecuado a
los alumnos cuando cometen errores. Pruebas pedagógicas.
Dificultades relativas a la representación que tienen los alumnos del concepto de problema matemático. Para constatar la situación que manifiestan los escolares de la Educación Primaria,
con respecto a la representación que tienen de lo que es un problema matemático,
se aplicó la prueba pedagógica No.1 ( ANEXO 3) a 216 alumnos de cuarto a sexto
grados.
Las indagaciones realizadas con respecto a lo que entienden los alumnos por
problema matemático, evidencian resultados de interés que permiten establecer
determinadas relaciones con los conflictos que frecuentemente ellos manifiestan
concernientes al trabajo con estos ejercicios.
Al respecto, es necesario aclarar que no se aspira a que los alumnos estén en
condiciones de expresar la definición, pero debe lograrse “que sus conocimientos
acerca de lo que es un problema matemático con texto reflejen, en mayor o menor
grado la noción real de este”.(Labarrere, A. 1987; p.63)
54
Se evidencia que lo asocian siempre a ejercicios donde hay que realizar
operaciones de cálculo. Por otra parte, un número considerable de alumnos
manifiesta, que los problemas son ejercicios que siempre hay que resolver, lo que
entre otras consecuencias, origina la tendencia a la ejecución.
Otro aspecto no menos importante, es que generalmente asocian el problema con
la existencia de datos y no refieren los restantes elementos de su estructura
externa. En algunos casos hacen referencia a la exigencia. Por ejemplo, el alumno
J. L. P de quinto grado, plantea que un problema matemático es un texto con una
pregunta y varios números.
En algunas respuestas se manifiesta un estado de frustración al considerar que es
imposible llegar a determinar la solución de este tipo de ejercicio. Por ejemplo, la
alumna E.G.G de 5to grado expresó: yo no tengo la capacidad para razonar
problemas.
La aplicación de la prueba pedagógica No.2 que aparece en el ANEXO 4, cuyo
propósito estuvo encaminado a que los alumnos a partir de las diferentes
situaciones que se proponían, identificaran cuáles eran para ellos problemas
matemáticos y que los resolvieran y cuáles no argumentando por qué, los
resultados evidencian las limitaciones relacionadas con la definición de problemas
matemáticos que se asume en esta tesis. Resulta interesante revelar algunos de
estos resultados.
• Ningún alumno logró responder correctamente todos los ejercicios
propuestos.
• Ningún alumno logró identificar correctamente todos los ejercicios que no
eran problemas matemáticos.
• Solamente tres alumnos, lograron responder correctamente 5 ejercicios.
• Prácticamente para la totalidad de los alumnos, situaciones como las que se
describen en los ejercicios 2 y el ejercicio 6, se asumen como problemas
matemáticos.
Aún cuando los alumnos identifican correctamente, que una situación dada, no es
un problema matemático, la fundamentación que exponen no se considera
55
adecuada, en correspondencia con las condiciones que se declaran explícitamente
en la definición de problema matemático.
Algunos resultados asociados a cada uno de los ejercicios propuestos. El primer ejercicio, fue resuelto correctamente por 15 alumnos. Si se observan las
características del mismo, se tiene que aparecen declarados datos que no son
necesarios para resolver el problema y esta fue la causa fundamental que provocó
los errores cometidos por los alumnos, pues se evidencia la tendencia a incluir
todos los datos en el proceso de resolución del problema. Esta dificultad, no es
privativa de los alumnos de la muestra seleccionada, sino que alcanza un grado de
manifestación bastante generalizado en los escolares de la Educación Primaria.
Al realizar el análisis a partir de los resultados obtenidos en el segundo ejercicio,
donde aparecen datos que resultan contradictorios con la realidad, o sea: la
mochila de Luis pesa 45 kilogramos y la de María pesa 3 kilogramos más que la de
Luis, los alumnos no advierten la existencia de esta contradicción.
Consecuentemente, es muy importante considerar que los conocimientos
generales sobre los que trata el problema, constituye uno de los aspectos de la
base de contenidos para la identificación de problemas matemáticos.
El tercer ejercicio, aunque prácticamente la totalidad de los alumnos, lo identifican
como un problema matemático, resulta interesante el hecho de que solamente 2
alumnos lo resuelven correctamente y el error casi generalizado, consistió en
plantear el producto de 5.4. Aquí se evidencia, por una parte, la tendencia a la
ejecución y por otra, que los alumnos no están entrenados para realizar el análisis
en función de los datos que no aparecen declarados de manera explícita en el
texto del problema.
En el enunciado que aparece en el cuarto ejercicio, donde se hace evidente la
contradicción entre los datos que se ofrecen y la exigencia, 11 alumnos plantearon
operaciones y realizaron cálculos para dar una respuesta, o sea, que para estos
alumnos constituye un problema matemático.
56
El quinto ejercicio, que puede ubicarse en los denominados problemas de
razonamiento, prácticamente todos los alumnos lo identifican como un problema
matemático, aunque solamente lo resuelven correctamente 16 alumnos.
En el caso del enunciado que aparece en el ejercicio 6, solamente un alumno
expresó que no era un problema matemático porque estaba muy fácil. Situaciones
similares se presentan frecuentemente en las aulas de la Educación Primaria.
Prueba Pedagógica No.3 encaminada a que los alumnos seleccionen a partir de diferentes alternativas los elementos que corresponden a la estructura externa del problema matemático propuesto (ANEXO 5) Con la aplicación de esta prueba pedagógica, donde a los alumnos se les solicitó
que identificaran los elementos de la estructura externa de un problema
matemático a partir de diferentes opciones relativas a los datos, las condiciones y
las exigencias, solamente tres alumnos lograron identificar correctamente todos los
elementos de la estructura externa del problema propuesto.
Si se realiza el análisis de los resultados obtenidos, considerando
independientemente a cada uno de los elementos de la estructura externa, se
aprecia una contradicción en el sentido de que aunque pueden identificar las
opciones que realmente se corresponden con los datos del problema, al no
identificar correctamente las condiciones y las exigencias, el análisis realizado
carece de sentido y no conduce a precisar que el alumno ha realizado un
razonamiento correcto encaminado a determinar la solución.
Al realizar el análisis individual del modo de proceder que emplearon los
alumnos, se observa la tendencia a no establecer las interrelaciones que
objetivamente se dan entre los elementos de la estructura externa de un problema
matemático y revelan contradicciones en el modo de responder que evidencian un
análisis superficial de la situación que se propone.
Análisis de los resultados obtenidos a partir de las encuestas aplicadas:
A directores de la Educación Primaria. (ANEXO 6)
57
La encuesta fue aplicada a 15 directores de Educación Primaria del Municipio
Playa, que representan el 34% de los directores de este Municipio y se obtuvieron
los siguientes resultados:
Para el análisis de los resultados se aplicó el Método Delphy y se pudo constatar
que todos los aspectos se evaluaron como Poco Adecuado (ANEXOS 7.1 al 7.5).
Estos resultados evidencian que los criterios expresados por los directores, refieren
que el trabajo que realiza el maestro en función de garantizar la preparación de los
alumnos para identificar problemas matemáticos, es en sentido general, deficiente.
Se destacan como los aspectos menos favorecidos los siguientes: la preparación
de los alumnos para que trabajen adecuadamente con las exigencias del problema
y los ejercicios con carácter propedéutico que realiza el maestro encaminados a
garantizar la preparación de los alumnos para la identificación de problemas
matemáticos.
• A jefes de ciclo de Educación Primaria. (ANEXOS 8 y 8.1) y (ANEXOS 9.1 al 9.5)
La encuesta se aplicó a 32 jefes de ciclo de Educación Primaria del municipio
Playa, que representan el 36 % del total. Los resultados revelan que los jefes de ciclo de la muestra seleccionada,
consideran entre las mayores dificultades las siguientes: el poco dominio que
demuestran los alumnos al operar con los datos de un problema matemático, las
limitaciones para aplicar diferentes vías de solución, la poca motivación que
manifiestan los alumnos al trabajar con problemas y las restricciones para aplicar
procedimientos de control interno o autocontrol. Como puede observarse en el
ANEXO 9.5, fueron evaluados como Adecuado 7 aspectos y 11 como Poco
Adecuado.
• A maestros de Educación Primaria. (ANEXOS 10.1 al 10.5) Se seleccionó una muestra de 20 maestros del Consejo Popular Miramar que
representan el 23, 5% del total. Los resultados obtenidos al evaluar el dominio que
demuestran los alumnos de aspectos relacionados con la identificación de
problemas, tienden a ubicarlos en la categoría de Poco Adecuado. Las mayores
58
dificultades se relacionan con la aplicación de diferentes vías de solución por parte
de los alumnos, las dificultades para operar con los datos que aparecen en el
problema, limitaciones para realizar el control interno o autocontrol y para
argumentar la vía empleada.
Se constató que existe correspondencia en cuanto a las valoraciones que realizan
los jefes de ciclo y maestros, teniendo en cuenta los aspectos que fueron
propuestos para su evaluación. (ANEXO 10.6)
A modo de resumen, después de realizar el análisis de los resultados obtenidos a
partir de las indagaciones empíricas realizadas y considerando la base de
contenidos y las acciones intelectuales correspondientes a esta capacidad
específica se destaca que:
• Los alumnos de la Educación Primaria, no logran una adecuada
representación del concepto de problema matemático.
• Los alumnos realizan valoraciones, que resultan limitadas, sobre la vía
seleccionada para resolver el problema y sobre la situación general que se
describe en el mismo.
• No realizan un análisis adecuado al establecer las relaciones entre los
elementos de la estructura externa del problema matemático.
• Se evidencia la ausencia casi generalizada, de la valoración que debe
realizar el alumno del sentido lógico del problema.
Los resultados de las indagaciones empíricas (observaciones a clases, pruebas
pedagógicas y encuestas), permiten afirmar que a pesar de los esfuerzos
desplegados y los logros emanados de estos esfuerzos, en función del
perfeccionamiento de la Didáctica de la Matemática, y específicamente en lo que al
trabajo con problemas matemáticos se refiere, la realidad que coexiste con relación
a la identificación de problemas matemáticos, presenta signos de vulnerabilidad
que demuestran la existencia de un conjunto de carencias que requieren de la
proyección de nuevos enfoques encaminados a transformar este escenario.
Por esta razón se consideró oportuno proponer una estructuración didáctica para la
identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria.
59
La ejecución de las diferentes tareas planificadas para el desarrollo de esta
investigación, permitió al autor, conformar un criterio para la realización de la
propuesta de estructuración didáctica para la identificación de problemas
matemáticos en la Educación Primaria. Para ello, se consideraron los siguientes
momentos:
• Indagaciones teóricas y empíricas acerca del estado actual de la
identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria.
• Análisis de propuestas de estructuración didáctica para la Educación
Primaria elaboradas recientemente por investigadores de los Institutos
Superiores Pedagógicos.
• Conceptualización de estructuración didáctica
• Determinación de los elementos estructurales de la estructuración
didáctica para la identificación de problemas matemáticos.
60
2.2. Validación empírica de la propuesta inicial de estructuración didáctica. Resultados obtenidos a partir de la consulta a expertos.
Para seleccionar los expertos se aplicó la encuesta revelada en el ANEXO 11.
Se encuestaron 36 profesionales y de ellos fueron seleccionados 32. La relación de
los expertos seleccionados y su coeficiente de confiabilidad aparecen en los
ANEXOS 12 y 12.1 respectivamente.
Para someter a consideración de los expertos, la propuesta inicial de
estructuración didáctica, se elaboró una síntesis de la misma, de forma tal que a
partir de su análisis, pudieran ofrecer las valoraciones y recomendaciones de
manera objetiva. (ANEXO 13)
Se precisaron los 10 aspectos que se debían evaluar. En síntesis son los
siguientes: (ANEXO 13.1)
1. Los presupuestos teóricos de partida.
2. La concepción general de la propuesta de estructuración didáctica.
3. La propuesta del objetivo general y los objetivos específicos.
4. Las orientaciones relativas al diagnóstico.
5. Las precisiones relacionadas con los ejercicios de carácter propedéutico.
6. Las consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios.
7. Las consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios.
8. Las consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios.
9. La concepción para la evaluación de la estructuración didáctica
10. Su adaptabilidad a las condiciones actuales de la Educación Primaria.
Cada uno de estos aspectos, se evaluó por los expertos, empleando cinco
categorías: Muy Adecuado (C1); Bastante Adecuado (C2); Adecuado (C3); Poco
Adecuado (C4) y No adecuado (C5). Los expertos, además de evaluar debían
expresar todos los criterios, críticas y recomendaciones que consideraran útiles y
necesarias para el perfeccionamiento de esta propuesta.
Para el procesamiento de los criterios expresados por los expertos, se procedió a
la aplicación del Método Delphy y a partir de los pasos establecidos, se llegó de
manera normalizada a la determinación de la evaluación de cada aspecto.
61
Los pasos desarrollados fueron:
1.Tabulación de las 32 encuestas, en una tabla de doble entrada. (ANEXO 14)
2. Obtención de la tabla de frecuencias acumulativas, derivada de la anterior. ( ANEXO 15)
3. Obtención de la tabla de frecuencias relativas acumulativas. ( ANEXO 16)
4. Asignación, a partir de la tabla z (distribución normal), del valor de las imágenes
que corresponden a cada una de las frecuencias relativas acumulativas obtenidas.
( ANEXO 17)
5. Obtención de los puntos de corte. Para ello, se divide la suma de los valores
correspondientes a cada columna, entre el número de aspectos. ( ANEXO 17)
6. Obtención de la media tipificada para cada uno de los 10 aspectos evaluados. Al comparar cada uno de estos valores con los puntos de corte (ANEXO 18), se
verifica que los expertos otorgaron la categoría de Bastante Adecuado a dos
aspectos (que representan el 20% de los aspectos considerados) mientras que
ocho se evaluaron con la categoría de Muy Adecuado
Se debe destacar que independientemente de estos resultados, donde el 80 % de
los aspectos fueron evaluados como Muy Adecuado, varios de los expertos,
ofrecieron un número considerable de criterios, recomendaciones y críticas que
aportaron elementos de extraordinario valor.
Los aspectos fundamentales tributados por los expertos, que reflejan la
necesidad de perfeccionar esta propuesta son los siguientes:
• En cuanto a la concepción general de la propuesta de estructuración
didáctica, se recomienda revisar las relaciones que se establecen entre
los elementos estructurales de la misma y que se reflejan en el
diagrama funcional.
• Los elementos que se declaran en la caracterización general, apuntan
más a la justificación para la elaboración de la estructuración didáctica
que a su caracterización.
• No quedan claras las relaciones que se establecen entre el objetivo
general y los propósitos específicos que se proponen.
62
• Resulta insuficiente la información y la ejemplificación que se ofrece,
encaminada a favorecer la comprensión de la intencionalidad que se
persigue al sugerir la realización de los ejercicios con carácter
propedéutico.
• Se sugiere que se considere en la propuesta de estructuración didáctica,
vías para garantizar la preparación de los maestros primarios, teniendo
en cuenta que en su mayoría poseen poca experiencia como docentes. Las valoraciones de los expertos no se limitaron a los aspectos que se prefijaron
por el autor, lo que evidencia tanto la calidad de su preparación, como el interés
por contribuir al perfeccionamiento de la propuesta.
Resultó de vital importancia, el intercambio personal con los expertos, lo que
permitió el desarrollo de espacios de reflexión que fueron en muchos casos, más
allá de los marcos de la propuesta, para penetrar en aspectos de vital importancia
relativos a la Didáctica de la Matemática y específicamente, dirigidos al trabajo con
problemas matemáticos en la Educación Primaria.
Como parte del proceso de validación empírica de la propuesta de estructuración
didáctica, se desarrollaron talleres metodológicos en 12 escuelas primarias del
municipio Playa. La guía empleada para su realización, así como la síntesis de las
principales reflexiones derivadas de los mismos, aparecen en el ANEXO 19.
El análisis integral realizado por el autor a partir de las valoraciones de los expertos
y las reflexiones derivadas de los talleres metodológicos, posibilitó comprender la
necesidad de rediseñar la propuesta de estructuración didáctica.
63
2.3. Propuesta de estructuración didáctica dirigida a favorecer la formación y desarrollo de la capacidad específica para la identificación de problemas matemáticos. Para el rediseño de la propuesta de estructuración didáctica, se procedió como se
describe a continuación:
1. Análisis de los señalamientos críticos y/o sugerencias que realizaron los
expertos y su valoración en correspondencia con lo que aparece declarado
en la propuesta inicial.
2. Realización de talleres metodológicos en las escuelas primarias, a partir de
la presentación de la propuesta de estructuración didáctica. 3. Determinación de las modificaciones necesarias en correspondencia con las
evidencias obtenidas como resultado de los dos pasos anteriores.
Según la concepción teórica que se asume, se considera que la estructuración
didáctica para la identificación de problemas matemáticos, constituye una
conceptualización y un ordenamiento de los elementos estructurales que la
integran, con vistas a lograr la consolidación de la base de contenidos y el
desarrollo de las acciones intelectuales correspondientes a esta capacidad
específica, a través del proceso de enseñanza-aprendizaje relativo al trabajo con
problemas matemáticos.
64
Para la estructuración didáctica, se establecen como elementos estructurales los
siguientes:
Objetivo general y objetivos específicos.
Caracterización general.
Los componentes esenciales:
Diagnóstico
Ejercicios propedéuticos
Consideraciones metodológicas
Evaluación.
A continuación se representan los elementos estructurales en un diagrama
funcional.
65
Diagrama funcional de la estructuración didáctica para la la identificación de problemas matemáticos.
El objetivo general qu
Identificar problemas m
problemas en la Educa
A ello debe contribu
didáctica, en la que se
CO
DIAGNÓSTICO
OBJETIVO GENERAL
CARACTERIZACIÓN
e se propone es el siguiente:
atemáticos como elemento potenciador para el trabajo con
ción Primaria.
ir fundamentalmente esta propuesta de estructuración
precisan como objetivos específicos los siguientes:
MPONENTES ESENCIALES
EJERCICIOS PROPEDÉUTICOS
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
EVALUACIÓN
66
• Consolidar la base de contenidos necesarios para la identificación de
problemas matemáticos
• Desarrollar las acciones intelectuales correspondientes a esta capacidad
específica.
Caracterización General. Las transformaciones que deben operarse en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, con la finalidad de transmitir la experiencia histórico-social acumulada,
tiene que caracterizarse, ante todo, por la flexibilidad, al incluir nuevas alternativas
que rompan esquemas y propicien verdaderamente el papel protagónico del
alumno en la construcción de su propio aprendizaje.
Es necesario fortalecer de manera coherente a través del desarrollo del proceso
de enseñanza-aprendizaje relativo a la identificación de problemas matemáticos, la
interacción entre el alumno y el ejercicio, entre el alumno y el maestro, entre los
alumnos entre si y entre los alumnos y el grupo.
Esta forma de trabajo no debe ceñirse en modo alguno a la actividad cognoscitiva,
sino que debe apoyar el intercambio de ideas, el análisis de diferentes alternativas,
consiguiendo la interrelación de lo cognitivo con lo afectivo y lo motivacional.
Para ello resulta necesario que el maestro en su papel de guía y a partir del
diagnóstico integral con un carácter dinámico, proponga ejercicios que cumplan,
entre otras exigencias, la intención de que el alumno erradique las dificultades y
sienta la satisfacción del éxito.
Para el diseño de esta propuesta de estructuración didáctica, se consideraron los
siguientes aspectos:
Las transformaciones que se han operado recientemente en la Educación Primaria y que tienen una implicación directa en el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje en este subsistema, entre las que se destacan las
siguientes:
• Las aulas de la Educación Primaria, cuentan actualmente con una matrícula
de hasta 20 alumnos, lo que favorece la aplicación de nuevas variantes para
el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
67
• La incorporación de un número significativo de maestros noveles a las aulas
de la Educación Primaria, en Ciudad de la Habana, origina la necesidad de
ofrecer alternativas en función de garantizar el éxito en su desempeño
profesional para elevar la calidad de la educación en este nivel de
enseñanza.
Los resultados obtenidos a partir de las indagaciones teóricas y
empíricas realizadas por el autor, relativas a la identificación de problemas
matemáticos en la Educación Primaria, revelan:
• La ausencia de una sistematización teórica relacionada con la identificación
de problemas matemáticos, que pueda ser utilizada como fundamento por
los maestros primarios, para contribuir a la formación y desarrollo de esta
capacidad específica en los alumnos.
• Las deficiencias que manifiestan los escolares de la Educación Primaria
relacionadas con el dominio de la base de contenidos y con el desarrollo de
las acciones intelectuales necesarias para la identificación de problemas
matemáticos.
Las características de los escolares de la Educación Primaria en
correspondencia con el grado y el ciclo.
El diagnóstico, los ejercicios propedéuticos y las consideraciones metodológicas se
consideran componentes esenciales en la propuesta de estructuración didáctica,
porque en ellos se expresan las relaciones principales, que con un carácter
dinámico, promueven los resultados deseados en el tránsito progresivo entre el
nivel de desarrollo real y potencial con respecto a la identificación de problemas
matemáticos.
Diagnóstico La labor del maestro demanda que su trabajo docente se caracterice por una
actuación diversificada, que se acompañe de una reflexión constante acerca de lo
que ocurre en el aula y cómo ocurre. Para ello debe identificar las necesidades
individuales y grupales de los alumnos, con la perspectiva de proponer acciones
68
transformadoras, lo que presupone el conocimiento integral de su actuación
durante el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
El diagnóstico estará dirigido a la obtención de evidencias sobre el estado actual
de los escolares, con respecto a la identificación de problemas matemáticos y a
precisar las potencialidades de desarrollo que existen en cada alumno, así como
las tendencias más generales que se manifiestan en el grupo.
Específicamente, en este proceso de diagnóstico se asume como objeto, la
identificación de problemas matemáticos y como marco conceptual la base de
contenidos y el sistema de acciones intelectuales necesarias para la formación y
desarrollo de la capacidad específica para identificar problemas matemáticos.
Si bien el autor de esta tesis sugiere la aplicación de determinados instrumentos
para complementar el diagnóstico, se aspira esencialmente a que el maestro a
través de su trabajo sistemático y a partir de un diseño adecuado de los ejercicios
propuestos relativos al trabajo con problemas matemáticos, de la organización
para la realización de los mismos y de la aplicación de técnicas novedosas y
variadas para el control, pueda obtener el diagnóstico integral, (individual y grupal)
con respecto al desarrollo alcanzado por los alumnos en un momento dado.
El maestro podrá realizar un pronóstico de las tendencias de cambio de los
alumnos, partiendo del desarrollo real de cada escolar, lo que permitirá ofrecer
oportunidades a través de la proyección de estrategias individuales y grupales,
para acortar la distancia entre la zona de desarrollo real y la zona de desarrollo
potencial de cada alumno.
El diagnóstico, visto como el proceso sistemático que corresponde a la
identificación de las dificultades y las potencialidades de los alumnos, en el
aprendizaje relativo a la identificación de problemas matemáticos, propicia la
atención diferenciada a cada alumno y posibilita la creación de las condiciones
para contribuir a la formación y desarrollo de esta capacidad específica a través
del proceso de enseñanza-aprendizaje. La acción del maestro demanda que su trabajo docente se caracterice por una
actuación diversificada que se acompañe de la reflexión constante acerca de lo
69
que ocurre en el aula y cómo ocurre, qué manifestaciones existen en cada alumno
con la perspectiva de que se conviertan en planificadores de su propio
aprendizaje.
Ejercicios con carácter propedéutico. Los ejercicios con carácter propedéutico constituyen herramientas importantes que
propician el tránsito progresivo de los escolares hacia la zona de desarrollo
potencial, a través de la creación de condiciones favorables para el desarrollo de
procesos cognitivos y afectivos. Se emplean con el fin de revelar y consolidar la
base de contenidos y el sistema de acciones intelectuales necesarios para la
identificación de problemas matemáticos, a través de la realización de actividades
cuya intencionalidad es fomentar formas heterogéneas y poco empleadas para su
elaboración, realización y control.
Los ejercicios con carácter propedéutico permiten que los alumnos establezcan
conexiones más profundas entre los elementos que componen la estructura
externa de un problema matemático, lo que propicia que se hagan más diestros no
solo en la identificación de cada uno de ellos, sino en la comprensión de las
relaciones que se establecen entre los mismos, de tal modo que no los perciban
como elementos dispersos en el problema.
Los ejercicios con carácter propedéutico que se proponen, se agrupan en:
• Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la
identificación de las exigencias en un problema matemático.
• Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la
identificación de los datos en un problema matemático.
• Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la
identificación de las condiciones en un problema matemático.
• Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a
identificar si una situación dada es o no un problema matemático.
• Ejercicios destinados a precisar los elementos que se solicitan a partir de la
descripción de una situación determinada.
A continuación se presentan algunos ejemplos.
70
Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la identificación de las exigencias en un problema matemático. En función de alcanzar el objetivo general que se propone con esta estructuración
didáctica, se hace necesario que los alumnos se manifiesten cada vez más
diestros al analizar las relaciones que se establecen entre las exigencias y los
datos del problema, destacándose el hecho de que al modificar las exigencias,
pueden provocarse cambios también, por ejemplo, en la operación a realizar para
resolver el problema.
Los alumnos deben prepararse para formular sus propias interrogantes,
considerando, entre otras razones, que “un procedimiento que hemos
experimentado que motiva a los estudiantes hacia el aprendizaje de las ciencias es
que aprendan a elaborar preguntas de lo que estudian“. (Zilberstein, J. 2002; p.15)
Se considera necesario que para lograr la preparación de los alumnos con vistas a
que puedan identificar correctamente las exigencias de un problema matemático,
estableciendo consecuentemente las relaciones con los restantes elementos de su
estructura externa, se deben entrenar en:
• Identificar las exigencias que pueden hacerse corresponder con la situación
que se describe. Ejemplo:
Analiza la situación que se describe a continuación y selecciona las preguntas que
corresponden:
El rendimiento de papa por hectárea en el año 1995, fue de 21,09 toneladas y en el
año 2000 este rendimiento se incrementó en 6,08 toneladas por hectárea
___ ¿ Cuántas toneladas de papa se obtuvieron en el año 2000 en 15 hectáreas?
___ ¿ En cuántas toneladas de papa por hectárea aumentó la producción en el año
2000 con respecto al año 1995?
___ ¿ Cuántas toneladas de papa se obtuvieron en el año 1996 en 10 hectáreas?
___ ¿ En cuántas toneladas por hectárea aumentó la producción de papa en el año
2000 con respecto al año 1998?
71
___ ¿ Cuántas toneladas de papa se obtuvieron en el año 1995 en 9 hectáreas?
Resulta muy importante que en cada caso los alumnos argumenten por qué
seleccionan determinadas opciones, de forma tal que se logre la profundización
necesaria con respecto a las relaciones que se establecen entre los elementos de
la estructura externa del problema a partir de la situación de la vida real que se
describe. Debe recomendarse que los alumnos resuelvan los problemas que se
originan al considerar cada una de las exigencias en el aula o como estudio
independiente.
• Ejercicios destinados a identificar lo que se exige determinar en el problema
formulado. Analiza el siguiente problema y selecciona lo que se te solicita determinar en el
mismo.
En el año 1965 existían en nuestro país 6238 médicos y gracias a los esfuerzos
que realiza nuestra Revolución por garantizar un servicio de salud óptimo tanto en
nuestro país como en otros pueblos hermanos, ya en el año 2000 existían 65 997
médicos, de ellos 30 133 eran médicos de la familia, ¿en cuántos médicos se
incrementó el total existente en el año 2000 con respecto al año 1965?
En este problema se solicita que determines:
___ Los médicos de la familia que habían en Cuba en el año 2002.
___ En cuánto excede el total de médicos que existían en Cuba en el año 2000
con respecto a los médicos que existían en el año 1965.
___ Cuántos de los médicos cubanos en el año 2000, no eran médicos
de la familia
Se sugiere la realización de otros ejercicios. Por ejemplo:
• Ejercicios donde las exigencias no aparezcan formuladas como
interrogantes.
• Ejercicios donde se proponga al estudiante modificar la exigencia del
problema con una determinada intencionalidad.
72
• Ejercicios donde se ofrezca la descripción de una situación y se le solicite al
alumno elaborar varias exigencias derivadas de la situación que se
describe. Ejemplo: Analiza la situación que se describe y formula exigencias para que se origine un
problema matemático. En nuestro país se desarrolla un gran esfuerzo por elevar la cultura general integral
del pueblo y como parte de este programa se encuentra la campaña por la lectura.
En el año 1998 se editaron 621 títulos, en el año 1999 se editaron 764 títulos y en
el año 2000 se editaron 1026 títulos Estos ejercicios tienen una gran importancia porque contribuyen a consolidar
procedimientos didácticos muy necesarios para los escolares de la Educación
Primaria, en esta caso, se trata específicamente del procedimiento aprendo a
preguntar. “Este procedimiento implica que el escolar elabore preguntas, lo que
contribuye a implicarlo en el proceso de enseñanza-aprendizaje, a motivarlo y
estimular procesos lógicos de su pensamiento, su atención y su independencia
cognoscitiva, además de fortalecer sus modos de expresión”.
( En Caballero, E. 2002; p.84)
73
Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la identificación de los datos en un problema matemático. Entre otros ejercicios se sugieren los siguientes tipos:
• Ejercicios donde aparezcan datos que no se deben utilizar para resolver el
problema, en correspondencia con la exigencia planteada.
• Ejercicios donde algunos datos no están declarados explícitamente en el
texto del problema y los alumnos deben investigarlos, con la finalidad de
contribuir a su entrenamiento en la búsqueda reflexiva de la información.
• Ejercicios que generen contradicción a partir de los datos que se ofrecen y
la(s) exigencia(s) planteada(s). Ejemplos:
En el año 1958 existían en Cuba 6 286 médicos. En 1990 ya contábamos con
38 690 médicos y en el año 2001, esta cifra se incrementó en 28 438
médicos, ¿ cuántos médicos existían en nuestro país en el año 2001? El mayor río de Cuba con desagüe en la vertiente norte es el río Sagua la Grande,
con una longitud de 163 km, ¿en cuántos kilómetros excede la longitud del mayor
río con desagüe en la vertiente sur, a la longitud del río Sagua la Grande?
74
Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a la identificación de las condiciones en un problema matemático. Para lograr esta finalidad, se sugiere que se propongan ejercicios como los
siguientes:
• Ejercicios donde se solicite al alumno que establezca la correspondencia
entre las operaciones de cálculo con números naturales y los significados
prácticos asociados a las mismas.
Ejemplo:
Selecciona la operación que corresponde a cada uno de los significados dados y
coloca en el espacio en blanco el número que indica la operación correspondiente:
1. Adición 2. Sustracción 3. Multiplicación 4. División.
___ Reunir las partes para hallar el todo
___ Reunir partes iguales para hallar el todo.
___ Dada una parte y el exceso de otra sobre ella, hallar la otra parte.
___ Hallar el exceso de una parte sobre otra.
• Ejercicios donde no se utilicen datos numéricos.
Ejemplos:
Ernesto realizó varias jornadas de trabajo voluntario, en el huerto escolar. Si
conoces la cantidad de horas que trabajó en cada jornada y que estas cantidades
representan números diferentes, ¿ qué operación te permite calcular el total de
horas trabajadas por Ernesto?
En una competencia de cálculo oral participaron dos equipos. Si conoces el
número de respuestas correctas del equipo ganador y la cantidad de
respuestas correctas que le dieron ventaja sobre el otro equipo, ¿ qué operación
realizarías para calcular la cantidad de respuestas correctas del equipo derrotado?
Ejercicios que requieran un alto nivel de razonamiento, en correspondencia con el desarrollo alcanzado por los alumnos. Ejemplos:
75
Si tú me das una naranja de las tuyas, yo tendré el doble de las que tú tendrías y si
yo te doy una de las mías tendremos cada uno la misma cantidad. Determina
cuántas naranjas tenemos tú_____ yo_____
Se necesita extraer 7 litros de agua de una cisterna. Se cuenta con recipientes de
5 litros y 3 litros respectivamente, ¿cómo podríamos combinarlos para obtener los
7 litros?
Ejercicios destinados a lograr la preparación de los alumnos con vistas a identificar si una situación dada es o no un problema matemático. Dada varias situaciones, identificar cuál de ellas representan problemas
matemáticos y argumentar la respuesta. Ejemplos:
Los huracanes atendiendo a la intensidad de los vientos se clasifican en huracanes
de poca intensidad, de moderada intensidad y de gran intensidad. En el período
1800-2000 azotaron a Cuba, 92 huracanes, 50 de poca intensidad, 28 de
moderada intensidad, ¿cuántos huracanes de gran intensidad azotaron a la Isla en
este período?.
El rendimiento de papa por hectárea en el año 1995 fue de 21,08 t, ¿Cuántas
toneladas de papa se obtuvieron en el 2000 en 15 ha?
La organización sistemática de situaciones de aprendizaje, donde los alumnos
resuelvan ejercicios como estos, permite que se vayan familiarizando con una
diversidad de realidades que influye considerablemente en la debida atención que
debe prestar a todas las características del ejercicio, evitando que se produzca la
denominada tendencia a la ejecución.
Ejercicios destinados a precisar los elementos que solicitan a partir de la descripción de una situación determinada. Ejemplos:
Se necesita entregar la misma cantidad de libretas a cada alumno de cuarto
grado, ¿qué datos necesitamos conocer?
76
Hasta el año 2000, los colaboradores cubanos que habían prestado sus servicios
en Asia y Medio Oriente, América Latina y África, ascendía a 132 764 profesionales
de diferentes sectores. De ellos, 6 041 habían colaborado en Asia y Medio Oriente
y se desea conocer la cifra de colaboradores que brindaron sus servicios en África
hasta este año. Responde :
La situación que se describe, ¿contiene toda la información necesaria para
determinar lo que se desea conocer? ¿ Por qué?
Analiza diferentes posibilidades que pueden existir para poder satisfacer la
exigencia planteada.
Información adicional para el maestro: La cifra de colaboradores cubanos en
América Latina, hasta el 2000 era de 43 677 profesionales.
posible inclusión en las escuelas primarias del país.
77
Bibliografía:
Addine, F. (1996): Alternativa para la organización de la Práctica Laboral
Investigativa en los Institutos Superiores Pedagógicos. Tesis en opción al grado
científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico
Enrique José Varona. La Habana.
Addine, F. y otros. (1999): Aproximación a la sistematización y
contextualización de los contenidos didácticos y sus relaciones. Cátedra de
Pedagogía y Didáctica del Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona.
La Habana Addine, F y otros. (2002): Didáctica. Teoría y Práctica. En proceso de edición.
La Habana.
Amador, A y otros. (1989): Conoces a tus alumnos. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana. Almendros, H. (1961): Ideario Pedagógico de José Martí. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
Álvarez, A y otros. (2002): La solución de problemas en el área de ciencias, un
enfoque comunicativo. Ponencia presentada en el V Evento Internacional “ La
Enseñanza de la Matemática y la Computación”. Matanzas.
Álvarez, C. (1982): Fundamentos Teóricos de la dirección del proceso docente-
educativo en la Escuela Superior Cubana. Editorial Pueblo y Educación.
La Habana.
_______ (1988): Fundamentos Teóricos de la dirección del proceso de
formación del profesional de perfil amplio. Editorial Pueblo y Educación. La
Habana
_______(1992): La escuela en la vida. Editorial Pueblo y Educación. La
Habana.
________(1997): Hacia una escuela de excelencia. Editorial Academia. La
Habana.
Añorga M., J. y otros (2001): Concepciones teóricas y metodológicas de la
Educación. Centro de Postgrado de la U.M.R.P.S.F.X.CH. Sucre.
Ballester, S. y otros (1995): Metodología de la Enseñanza de la Matemática.
Universidad autónoma de Sinaloa. Méjico..
1
Ballester, S. (1999). Enseñanza de la Matemática y dinámica de grupo.
Editorial Academia. La Habana.
Barrel, J. (1999): El aprendizaje basado en problemas. Un enfoque
investigativo. Editorial Manantial. Buenos Aires. Argentina.
Bermúdez S., R. y Marisela, R. R. (1996): Teoría y Metodología del
Aprendizaje. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Bosque, R. (2002): La excursión docente en la educación primaria: una
propuesta para el perfeccionamiento de su realización. Tesis en opción del
grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior
Pedagógico “Enrique José Varona”. La Habana.
Brown, J y otros. (2002): Una práctica que impulsa el desarrollo de las
estructuras mentales. Aportes a la formación de docentes en ejercicio en las
áreas de matemática y ciencia. Revista Latinoamericana de Estudios
Educativos. México, Vol. XXXII, núm. 1, 89-103
Bringas, J. (1999): Propuesta de modelo de planificación estratégica. Tesis en
opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior
Pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
Brito, H. (1987): Psicología general para los Institutos Superiores
Pedagógicos( tomo I, II y III). Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Burlatski, F. (1981): Materialismo Dialéctico. Editorial Progreso. Moscú.
Caballero, E. (2002): Didáctica de la escuela primaria. Selección de lecturas.
Compilación. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Calviño, M. (1998): Trabajar en y con grupos. Experiencias y reflexiones
Básicas. Editorial Academia. La Habana
Camilloni, A. et al. (1996): Corrientes Didácticas Contemporáneas. Editorial
Paidós, Buenos Aires.
Campanario, J y Moya, A. (1999): ¿Cómo enseñar ciencias? Principales
tendencias y propuestas. En: Enseñanza de las Ciencias. Volumen 17.No 2. P.
179-192. Junio. Barcelona.
Campistrous, L y Rizo, C. (1996): Aprende a resolver problemas Aritméticos.
Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Campistrous, L y Rizo, C. (1998): Indicadores e investigación educativa. En
soporte magnético. La Habana
2
_______ (1999): Didáctica y solución de problemas. Evento sobre Didáctica
de la Matemática. La Habana.
Canfux, V. (1990): “La formación psicopedagógica y su influencia en el
desarrollo de cualidades del pensamiento del profesor”. Tesis en opción al
grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Universidad de La
Habana, Centro de Estudios para el Perfeccionamiento de la Educación
Superior. La Habana.
Capote, M. (2003): Una estructuración didáctica para la etapa de orientación en
la solución de problemas aritméticos con texto en el primer ciclo de la escuela
primaria. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias
Pedagógicas, Universidad Hermanos Saiz Montes de Oca. Pinar del Río.
Carpio Del, R y otros. (1998): Diccionario y guía de ideas sobre educación.
Editorial San Marcos. Perú.
--------- Carrascosa, J. Y Gil, D. (1999): Concepciones alternativas: sus
implicaciones didácticas en la renovación de la enseñanza de las ciencias.
Editorial Academia. La Habana.
Castellanos, B. (1995): La encuesta y la entrevista en la investigación.. Centro
de Estudios Educacionales. Instituto Superior Pedagógico Enrique José
Varona. La Habana.
Castellanos, B. (1998): Investigación educativa: nuevos escenarios, nuevos
actores, nuevas estrategias. Centro de Estudios Educacionales. Instituto
Superior Pedagógico”Enrique José Varona”. La Habana.
Castellanos, B. (1999): Comprensión del proceso investigativo desde un
enfoque dialéctico. Centro de Estudiaos Educacionales. Instituto Superior
Pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
Castellanos, B. (2000): Taller de problemas actuales de la investigación
educativa. Centro de Estudios Educacionales. ISPEJV. La Habana.
Castellanos, B y otros. (2002):La formación de la competencia investigativa.
Una necesidad y una oportunidad para mejorar la calidad de la educación.
Ponencia presentada al Evento Pedagogía 2003.La Habana.
Castellanos, B y otros. (2003): La gestión de la actividad de ciencia e
innovación tecnológica y la competencia investigativa del profesional de la
educación. Instituto Latinoamericano y Caribeño. La Habana.
3
Castellanos. D. (2001). Educación, Aprendizaje y Desarrollo. Instituto
Pedagógico Latinoamericano y Caribeño. La Habana.
___________ y otros. (2001). Hacia una concepción de aprendizaje
desarrollador. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”. Colección
PROYECTOS. La Habana, Cuba.
Castellanos, D y otros. (2002): Aprender y enseñar en la escuela. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
Castro, F. (2001): Discurso pronunciado por el Comandante en Jefe Fidel
Castro Ruz, en el acto de graduación del primer curso emergente de formación
de maestros primarios, en el teatro “ Carlos Marx “, el 15 de marzo del 2001. La
Habana.
Castro, F. (2003): Tres discursos pronunciados en La Habana en enero y
febrero de 2003. Oficina de publicaciones del consejo de estado. La Habana.
Cerda, H. (1996): Los elementos de la investigación. Editorial El Bhuo.
Colombia.
Chávez, J.A. (1993): Problemas contemporáneos de la Pedagogía en América
Latina. Instituto Central de Ciencias Pedagógicas. La Habana.
Chávez, J. (1996): La investigación educativa en América Latina. Ponencia
presentada en el Primer Taller de Metodología de la Investigación de la
Facultad de Educación Infantil del Instituto Superior Pedagógico. La Habana.
Chirino, M. (2003): Perfeccionamiento de la formación inicial investigativa de
los profesionales de la educación. Tesis en opción del grado científico de
Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José
Varona”. La Habana
Córdova, M. (1997) La estimulación intelectual en situaciones de aprendizaje.
Tesis en opción del grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas.
Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”. La Habana.
Colectivo de autores (1999): La resolución de problemas de lápiz y papel.
Material de trabajo del Tercer Ciclo. Universidad de Valencia, España.
Cruz, M. (2002): Estrategia metacognitiva en la formulación de problemas para
la enseñanza de la Matemática. Tesis en al grado científico de Doctor en
Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico José de la Luz y
Caballero. Holguín.
4
Danilov, M.A y Skatkin, M. N (1980): Didáctica de la escuela media. Editorial de
Libros para la Educación. La Habana.
Davidson, L y otros. (1987): Problemas de matemática elemental. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
Davis, R.H. et al. (1997): Diseño de sistemas de aprendizaje. Editorial Trillas,
S.A de C.V., México.
De Guzmán, M. et al. (1991): Matemáticas Bachillerato 1, 2 y 3. Grupo Anaya
SA. España.
De Guzmán, M. (1993): Tendencias innovadoras en Educación Matemática.
EDIPUBLI, SA. España.
De Guzmán, M. (2002): La actividad subconsciente en la resolución de
problemas. http://www.mat.ucm.es/dptos/am/guzman/guzman.htp. España.
Delors, J. (1996): La educación encierra un tesoro. Informe a la UNESCO de la
Comisión Internacional sobre la Educación para el siglo XXI. Editorial
Santillana/UNESCO. Madrid.
Del Carpio, R y otros. (2000): Diccionario y guía de ideas sobre educación.
Editorial “San Marcos”. Perú.
Díaz Barriga, F y Hernández, G. (1998): Estrategias docentes para un
aprendizaje significativo. Una interpretación constructuvista. Editorial Mc
GRAW-HILL. México.
Fariñas, G. (1999): Maestro: una estrategia para la enseñanza. Editorial
Academia. La Habana.
Ferrer, M. (2003): Modelo para la evaluación de las habilidades pedagógicas
profesionales del maestro primario. Tesis en opción del grado científico de
Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José
Varona”. La Habana.
García, J y otros. (1996): Autoperfeccionamiento docente y creatividad.
Editorial Pueblo y Educación. La Habana
García, L y otros. (1996): Los retos del cambio educativo. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana
---------- Gil, D y otros. (1999): Atención a la situación mundial en la educación
científica para el futuro. Editorial Academia. La Habana
5
__________ (1996): Autoperfeccionamiento docente y creatividad. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
González, A. (1995): Pensamiento reflexivo y creatividad. Editorial Academia.
La Habana
González, D y otros. (2000a): La competencia formular problemas
matemáticos. Instituto Superior Pedagógico “ Enrique José Varona. La Habana.
González, D y otros. (2000b): La formulación de problemas matemáticos. En
Revista Varona. Número 31. julio- diciembre, p.46-53. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
González, D. (2001a): La superación de los maestros primarios en la
formulación de problemas matemáticos. Tesis en opción del grado científico de
Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José
Varona”. La Habana.
González, D y Valcárcel, N. (2001b): Evaluación y acreditación institucional.
Universidad Mayor, Real y Pontificia de San Francisco de Xavier de
Chuquisaca. Bolivia.
Guzmán, J y Hernández, G. (1993): Implicaciones educativas de seis teorías
psicológicas. Departamento de Psicología Educativa. División de Estudios
Profesionales. Facultad de Psicología. UNAM. México.
Hernández, H. (2003): Cambio curricular para un aprendizaje desarrollador.
Experiencias en Matemática. En soporte magnético. Universidad de la Habana.
Hernández, R y otros. (1998): Metodología de la Investigación. Editorial Mc
Rau-Hill. México.
Hernández, V. (1996): Algunas conjeturas sobre la noción de problema,
lingüística, y educación matemática y las perspectivas del uso de la tecnología.
vhernngauss.mat.uson.mx
Huaranga, O. (1997): Calidad educativa y enfoques constructivitas. Editorial
San Marcos. Perú
Jiménez, D. (1999): La aventura de la Matemática: Sus secretos, protagonistas
y grandes momentos. Colección Quirón. No.28. Editorial C.E.C., Caracas,
Venezuela.
Klingberg, L. (1972): Introducción a la Didáctica General. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
6
Klingler, C. y G. Vadillo (1997): Psicología cognitiva. Estrategias en la práctica
docente. Litográfica Ingramex, México.
Krinitski, N. (1988): Algoritmos a nuestro alrededor. MIR, Moscú.
Labarrere, A. (1987): Bases psicopedagógicas de la solución de problemas en
la escuela primaria. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
_________(1983): La solución y la formulación de problemas como forma de
contribución al desarrollo de habilidades y el pensamiento matemático. Material
mimeografiado. La Habana.
_________(1980): Sobre la formulación de problemas matemáticos por los
escolares. Revista Educación. Año X. No 36. La Habana.
__________(1988): Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver
problemas. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
__________(1996): Pensamiento. Análisis y autorregulación de la actividad
cognoscitiva de los alumnos. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Labarrere, G y Valdivia, G. (1988): Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación. La
Habana.
Leontiev, A. N. (1979): La actividad en la personalidad. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
López, J y otros(2000): Selección de temas Psico-pedagógicos. Compilación.
Editorial Pueblo y Educación. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
López, J. (1990): Sabes enseñar a tus alumnos a describir, definir,
argumentar.”Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de la Habana.
1. López, J. (1997): Vigencia de las ideas de L. S. Vigostky. Pedagogía 97. La
Habana.
Lorenzo, R y Martínez, M.(1999): Talento para la Ciencia: una estrategia para
su desarrollo. Editorial Academia. La Habana
Llivina, M. J. (1999): Una propuesta metodológica para contribuir al
desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos. Tesis en
opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior
Pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
Llivina, M. y otros. (2000): Un sistema básico de competencias matemáticas.
Centro de Estudios Educacionales. Instituto Superior pedagógico Enrique José
Varona. La Habana.
7
Llivina, M y otros. (2001): Los proyectos educativos: una estrategia para
transformar la escuela. Centro de Estudios Educacionales. Instituto superior
Pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
Llivina, M. (2003). La hipótesis en la investigación científica. Dirección de
Ciencia y Técnica. Ministerio de Educación. Material mimeografiado. La
Habana.
Machado, R. (1988): Cómo se forma un investigador. Editorial Ciencias
Sociales. La Habana.
Martínez, M. (1998): Calidad educacional, calidad pedagógica y creatividad.
Editorial Academia. La Habana.
Martínez, M. (2002): El maestro ante las demandas del siglo XXI. Ponencia
presentada en el claustro del ISP “Enrique José Varona. La Habana.
Masachs, A y otros. (2002): Evaluación de las actitudes hacia la
Matemática.Pinkarrobafai.unne.edu.ar. Argentina
Mazarío, I. (2002a ): La resolución de problemas en la Matemática I y II de la
carrera de Agronomía. Tesis en opción al grado científico de Doctor en
Ciencias Pedagógicas. Universidad de Matanzas. Matanzas.
Mazarío, I. (2002b): La resolución de problemas: un reto para la educación
matemática contemporánea. Conferencia V Evento Internacional “La
enseñanza de la Matemática y la computación”. Matanzas.
MINED. (1997): Programa Director de Matemática. Material Impreso. La
Habana.
McCombs, B. (1991): “Metacognitio and the motivation for higher level thinking”.
Ponencia presentada en la reunión anual de la American Educational Research
Association. Chicago,Illinois.
MINED. (1999a): Precisiones para la dirección del proceso docente- educativo.
Secundaria Básica. Material Impreso. La Habana.
MINED. (1999b). Precisiones para el desarrollo del programa de Matemática en
las Secundarias Básicas seleccionadas. Material impreso. La Habana
MINED. (2000): Seminario Nacional para Educadores. Material impreso. La
Habana.
MINED (2001): Seminario Nacional para Educadores. Material impreso. La
Habana.
8
MINED (2002): Seminario Nacional para Educadores. Material impreso. La
Habana.
MINED. (2002): Proyección Estratégica para la Ciencia, la Innovación
Tecnológica y el Medio Ambiente. Quinquenio 2003-2007. Material Impreso. La
Habana.
Miranda, J. (2003): Una estrategia para atender el proceso educativo de la
Matemática: la integración entre el departamento de Matemática del ISP y el
departamento de Ciencias Exactas del preuniversitario. Tesis en opción del
grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior
Pedagógico “Rafael María de Mendive”. Pinar del Río.
Munich, L. (1993): Métodos y Técnicas de Investigación. Editorial Trillas.
México.
Muller, H. (1988): Formas de trabajo heurístico en la enseñanza de la
Matemática. Revista Sociedad Cubana de Matemática. No.9. La Habana.
Ortiz, E. (1996): Concepciones teóricas y metodológicas sobre el aprendizaje.
Departamento de Formación Pedagógica General. Instituto Superior
Pedagógico "José de la Luz y Caballero". Holguín.
Parra, I. (2002): Modelo Didáctico para Contribuir a la Dirección del Desarrollo
de la Competencia Didáctica del Profesional de la Educación en Formación
Inicial. Tesis en opción del grado científico de Doctor en Ciencias
Pedagógicas. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”. La
Habana.
Pérez, D. (2002): El diagnóstico en el contexto individual: una alternativa para
la solución de problemas teóricos y metodológicos. En revista Varona. Número
34/2002 ( Enero- Junio). La Habana, P. 15- 26
Pérez, O. (1999): Subsistema Teórico Metodológico de la Estadística para un
enfoque científico en la práctica pedagógica del docente. Material impreso y en
diskette. Instituto Superior Pedagógico “ Rubén Martínez Villena”. La Habana.
Cuba.
Petrosvsky, A. V. (1972): Psicología Pedagógica y de las Edades. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
_______________. (1982a): Psicología Evolutiva. Editorial Pueblo y Educación.
La Habana.
9
_______________. (1982b): Psicología de las Edades. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana
Piaget, G. (1972): La construcción de lo real en el niño. Edición Revolucionaria.
La Habana.
Piaget, J. et al. (1986): La Enseñanza de las Matemáticas Modernas. Alianza
Editorial, Madrid, España.
Piaget, G. (1988): Psicología y Pedagogía. Editorial Ariel. Argentina.
Polya, G. (1984): Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Tretion. Méjico. Polya, G. (1989): Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, México.
Pozo, J.I. et al. (1994): La solución de problemas. Santillana. Aula XXI. Madrid. Pozo, J y otros. (1995): Aprendizaje de estrategias para la solución de
problemas en ciencias. Didáctica de las Ciencias Experimentales. La resolución
de problemas. Alambique No. 5. año 11. España
Rebollar, A. (1995): Una alternativa en la preparación de los alumnos para
resolver problemas matemáticos en la enseñanza media. En Memorias de
Pedagogía 95. IPLAC. La Habana.
Rodríguez, E. (1997): La enseñanza de los significados de las operaciones con
números naturales en la escuela primaria. Tesis en opción al título de Master
en Educación Primaria. Instituto Superior pedagógico Enrique José Varona. La
Habana.
Rodríguez, M. (1999): Formación de los conocimientos científicos en los
estudiantes. Editorial Academia. La Habana.
Rubistein, S. L. (1979): El desarrollo de la Psicología. Principios y métodos.
Editorial Pueblo y Educación.
Rico, P y otros. (2000): Hacia el perfeccionamiento de la Escuela Primaria.
Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Rico, P. (2002): Aprendizaje desarrollador en la Escuela primaria actual:
indicadores para su estudio. ICCP. MINED. Pedagogía 2003. La Habana.
Rubistein, S. L. (1979): El desarrollo de la Psicología. Principios y métodos.
Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
Ruiz, G. (1965): Cómo enseñar aritmética en la escuela primaria.Editorial
Pedagógica. La Habana.
10
Sandoval, R (1999): Métodos de enseñanza y de investigación pedagógica.
Editorial Latinas Editores. Bolivia.
Santos, L. M. (1992): Resolución de problemas. El trabajo de Alam Schoenfeld:
una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas. En Revista
Educación Matemática. Volumen IV, No 2. Agosto 1992. Méjico D. F.
Santiesteban, M. L. (2003): programa educativo para la superación de
directores de escuelas primarias del municipio Playa. Tesis en opción del
grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto Superior
Pedagógico “Enrique José Varona”. La Habana.
Shardakov. M. N. (1988): Desarrollo del pensamiento en el escolar. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
Schoenfeld, A. H. (1985): Mathematical Problems Solving. Academic Press
Schoenfeld, A. H. (1991a): Ideas y Tendencias en la Resolución de Problemas.
EDIPUBLI S.A., Argentina.
Schoenfeld, A.H. (1991b): On mathematic as sense-making: as informal attack
on the unfortunate divorse of formal and informal mathematics. INJ.VOSS, D.
PPerkins & J. Segal (Eds). New Jersey.
Silverio,M. (1999): Aproximación al objeto de estudio en la investigación
educativa. Instituto Superior pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
_________ y otros. (1999): Didáctica integradora de las ciencias. Experiencia
cubana. Editorial Academia. La Habana
Silvestre, M. (1999): Aprendizaje, educación y desarrollo. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
Silvestre, M y Zilberstein, J. (2000a): Enseñanza y Aprendizaje Desarrollador.
Editorial CEIDE. México
Silvestre, M y Zilberstein, J. (2001b): ¿Cómo hacer más eficiente el
aprendizaje?. Editora Magisterial. Lima. Perú.
Suárez, C y otros. (1995): La formación de los conceptos de las operaciones de
cálculo con números naturales, sus significados prácticos y la formulación de
problemas. Informe de investigación. Instituto Superior pedagógico Enrique
José Varona. La Habana.
Suárez, C y González, D. (2002): : Una alternativa metodológica para el logro
de un aprendizaje desarrollador a través del tratamiento de los problemas
11
matemáticos. Ponencia presentada en el V Evento Internacional “La
Enseñanza de la Matemática y la Computación”. Matanzas.
Suárez, C y González, D. (2003a): Una alternativa metodológica para el trabajo
con los problemas matemáticos en aulas de 20 alumnos de la Enseñanza
Primaria. Ponencia presentada en el Evento Internacional Pedagogía 2003. La
Habana.
Suárez, C y González, D. (2003b): Una alternativa metodológica para el trabajo
Talízina, N. (1988): Psicología de la enseñanza. Editorial Progreso. Moscú.
Torres, P. (1993): La enseñanza problémica de la Matemática en el
nivel Medio Básico. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias
Pedagógicas. Instituto Superior pedagógico Enrique José Varona. La Habana.
Torres, P y otros. (2001): Tendencias Iberoamericanas en la Educación
Matemática. Imprenta Universitaria. Sinaloa. México.
----------- (1999): Didácticas cubanas en la enseñanza de la Matemática.
Editorial Academia. La Habana
----------- (1999): Métodos problémicos en la enseñanza de la Matemática.
Editorial Academia. La Habana.
Turner, L y Pita, B. (2002): Pedagogía de la ternura. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
Valdés, H y Pérez, F. (2001): Calidad de la Educación Básica y su Evaluación.
Editorial Pueblo y Educación.
Venguer, L. (2001): Pedagogía de las capacidades. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
Vigostky, L. S. (1982): Pensamiento y Lenguaje. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
Vigostky, L. S. (1987): Historia de las funciones psíquicas superiores. Editorial
Científico Técnica. La Habana.
Zilberstestein, J (2002): Una concepción desarrolladora de la motivación y el
aprendizaje de las ciencias. IPLAC. La Habana.
Zilberstein, J. (2002): Aprendizaje desarrollador: Curso postevento. IV Taller
Internacional “El maestro ante los retos del siglo XXI. Asociación de Pedagogos
de Cuba. La Habana.
12
ANEXO 1
GUÍA DE OBSERVACIÓN A CLASES. Grado:__________ Escuela:__________________________.
1. Motivación que se logra en los diferentes momentos de ejecución de la tarea.
2. Vías que propicia el maestro para que el alumno establezca nexos entre lo
conocido y las exigencias que plantea la tarea.
3. Propicia la aplicación de vías que estimulen el desarrollo de la habilidad de
análisis de la tarea.
4. Formas en que se organiza el grupo para la ejecución de la tarea.( individual,
por dúos, por equipo)
5. Atención a las necesidades y potencialidades de los alumnos durante la
realización de la tarea.
6. Variantes que se emplean para el control de la tarea.
7. Estimula la argumentación por parte de los alumnos acerca de los resultados
obtenidos y de la vía seleccionada para la solución de la tarea.
8. Se valoran diferentes vías para la solución de la tarea
9. Tratamiento que ofrece el maestro en caso en caso de que se produzca un error
al resolver la tarea propuesta.
10. Posibilidades que se ofrecen para que se realice una valoración consciente y
reflexiva relacionada con el mensaje educativo contenido en la tarea propuesta.
ANEXO 2 EJEMPLOS DE ALGUNOS PROBLEMAS PROPUESTOS POR LOS MAESTROS EN LAS CLASES OBSERVADAS. Grado 2do. 1. Un edificio tiene 54 apartamentos. La sexta parte de las viviendas ya están
terminadas. ¿ Cuántas viviendas están terminadas?
Ejercicio 1 p. 124.
2. 2. En un edificio nuevo hay 6 apartamentos en cada piso. ¿ Cuántas
familias pueden recibir apartamentos, si el edificio tiene 5 pisos?
Ejercicio 2 p. 124
3. Para cada piso de un edificio se necesitan 6 planchas de hormigón. El
edificio debe tener 8 pisos. ¿ Cuántas planchas se necesitan para todo el edificio?
Ejercicio 3 p. 124
Grado 4to. 1. A un concurso de Matemática, asistieron 857 niños, resultaron ganadores en
cálculo 378, en geometría 249, en problemas 36. ¿ Cuántos alumnos no resultaron
ganadores?.
(Formulado por el maestro).
2. Para adornar el comedor por el Día Internacional de la mujer, Rosita trajo 18
m de cordel y Raiza trajo el triplo ¿ Cuántos metros de cordel se trajeron? (Formulado por el maestro). 3. Una caja de lápices trae 28 lápices, a la escuela llegaron 7 cajas, se han
repartido 58 lápices ¿ Cuántos lápices quedan en el almacén?
4. Formula un problema a partir de la siguiente situación.
456 pollitos 125 gallos 256 gallinas.
Orientado como tarea para que los niños lo formulen.
5. Un barco ha transportado 285 turistas por viaje y ha efectuado 78 viajes en lo
que va de año. En cada viaje la tripulación está integrada por 12 personas.
¿ Cuántas personas en total ha transportado el barco durante este año?
Ejercicio 37 p.108.
6. Un chofer tiene que recorrer 1 342 kilómetros; ya han recorrido 127. Si cada
día se propone recorrer la misma cantidad y dispone de 5 días, ¿ cuántos kilómetros
debe recorrer, por día, para cumplir?
Ejercicio 67 p. 133
7. Un campamento de pioneros tiene capacidad para 10 000 niños. Si el primer
día entraron 4 170 niños y en el segundo, 1 140 menos que el primer día, ¿ cuál es
la cantidad de pioneros que aún pueden entrar?
Formulado por el maestro
8. Trabajando durante 30 días dos obreros han ganado $540 entre los dos. Uno
de ellos ganó $8 diarios. ¿ Cuánto ganó el otro cada día?.
Ejercicio 67 p. 161.
9. Un camión carga 200 kg de plátano; otro carga tanto como el primero más 25 kg
y un tercer carga tanto como los dos primeros juntos. ¿ Cuánto cargan en total los
tres camiones?
Ejercicio 32 p. 83
10. Los pioneros de una escuela primaria recogen materia prima. El
destacamento 4.A recogió 528 pomos y el 4.B, 684 pomos. El compromiso que
habían hecho era de recoger 1 000 pomos entre ambos destacamentos. ¿Cuántos
pomos recogieron por encima del compromiso?
Ejercicio 42 p.94
Grado 5to.1 1. En un partido de fútbol, Miguel hizo 3/5 de los 105 puntos que anotó su
equipo. ¿ Cuántos puntos dio a su equipo Miguel?
Formulado por el maestro.
2. En el área protegida de la meseta de cajálbana, de 60 caballerías de tierra,
se dedica 1/3 a árboles maderables, ½ a árboles frutales y el resto a semilleros,
¿ Cuántas caballerías se dedican a semilleros?
Formulado por el maestro.
3. María Elena pagó en el mes de enero $47,80 por consumo de electricidad,
en el mes de febrero pagó $10 menos y en el mes de marzo, pagó tanto como en
los dos meses anteriores juntos. ¿ Cuánto pagó en total en estos tres meses?
Formulado por el maestro.
4. La suma de las longitudes de los tres lados de un triángulo es 25,5cm. El
lado a mide 8,4 cm, el lado b es 2 cm más corto que el lado a, ¿ qué longitud tiene
el lado c?
Ejercicio 18 p.103
5. El contorno de una superficie triangular de pasto es 2,065 Km. Un lado tiene
0,455 Km. de longitud. Otro lado es 0,5 Km. más largo. ¿ Qué longitud tiene el
tercer lado?
Ejercicio 19 p.103.
Grado 6to. 1. Carlos y Manuel realizaron entre los dos 96 horas de trabajo voluntario.
Manuel realizó el quíntuplo de las horas que realizó Carlos, ¿ cuántas horas de
trabajo voluntario realizó cada uno?
Formulado por el maestro
2. Un camión transporta televisores y videos para las escuelas, en total son 58.
hay 38 televisores más que videos, ¿ cuántos televisores y cuántos videos hay en el
camión?
Formulado por el maestro.
ANEXO 3 PRUEBA PEDAGÓGICA No 1. Objetivo: Constatar la representación que tienen los alumnos de un problema
matemático. NOMBRE:___________________________________ GRADO:_____________
¿Qué es para ti, un problema matemático?
Para iniciar este análisis, se refieren los rasgos que mayor frecuencia, manifiestan
los alumnos de los diferentes grados, acerca de lo que ellos entienden por
problemas matemáticos.
Cuarto grado.
• Es donde haya una o varias operaciones de cálculo
• Es un ejercicio donde se dan datos
• Es un ejercicio donde aparecen las operaciones siguientes: suma, resta,
multiplicación y división.
Quinto grado:
• Es un ejercicio donde hay que calcular
• Hay que buscar los datos
• Hay que resolver lo que te piden
• Hay que pensar, razonar
Sexto grado.
• Tienes que buscar los datos.
• Hay que pensar, analizar
• Es algo que hay que resolver, buscar la solución
• Hay que calcular
ANEXO 4 PRUEBA PEDAGÓGICA No 2. Objetivo: Comprobar si los alumnos son capaces de analizar si un enunciado
dado, es o no un problema matemático, argumentando su respuesta.
Nombre: ________________________________________________
En cada caso, tú debes analizar, si los enunciados que te proponemos, son o no
problemas matemáticos
Los que consideres que son problemas matemáticos resuélvelos. En el caso de
que consideres que no sea un problema matemático, explica por qué.
1. Como consecuencia de los esfuerzos que realiza nuestra revolución, por elevar
el nivel cultural del pueblo, en el curso escolar 1998-1999, se graduaron 16 707
estudiantes universitarios, que representan 222 menos que los graduados en el
curso 2000-2001, en el curso 1999-2000 se graduaron 16 496 estudiantes
universitarios. ¿ Cuántos estudiantes universitarios se graduaron en el curso
escolar 2000-20001?
2. La mochila que Luis utiliza para ir a la escuela pesa 45kg y la de María pesa
3kg menos que la de Luis, ¿cuánto pesa la mochila de María?
3. Un listón de madera de 10 m de longitud lo necesito dividir en 5 partes iguales,
en cada corte me demoro 4 minutos, ¿cuántos minutos demoraré para realizar
este trabajo?
4. Raúl recoge 12 cajas de limones y Alfredo recoge 3 menos que Raúl, ¿qué
edad tiene Alfredo?
5. En una jaula hay conejos y palomas, si hay 5 cabezas y 14 patas, ¿ cuántos
conejos y cuántas palomas hay en la jaula?
6. En el parque de diversiones están jugando 17 niños. De ellos, 8 son varones,
¿cuántas hembras están jugando en el parque?
ANEXO 5 PRUEBA PEDAGÓGICA No 3. Objetivo: Comprobar si los alumnos son capaces de identificar los elementos de la
estructura externa de un problema matemático.
En nuestro país se desarrolla un gran esfuerzo por elevar la cultura general
integral del pueblo y como parte de este programa se encuentra la campaña por la
lectura. En el año 1998 se editaron 621 títulos, en el año 1999 se editaron 764
títulos y en el año 2000 se editaron 1026 títulos, ¿ cuántos títulos más se editaron
en al año 2000 con respecto a cada uno de los años anteriores?.
1.Seleccione entre los siguientes datos, los que corresponden a este problema
____Total de títulos editados en el año 1996
____La cantidad de títulos vendidos en el año 1998
____La cantidad de títulos que fueron editados en el año 2000
____Títulos editados en el año 2000 que corresponden a Literatura Infantil.
____Total de títulos editados en el año 1999
____ Total de títulos editados en el año 1997.
____Títulos que fueron editados en el año 1997 para la Educación Primaria.
____La cantidad de títulos editados en el año 1998
2. Entre las relaciones que se establecen en el problema están:
____Relación entre el total de libros editados en los tres años y la cantidad editada
en cada año.
____ Relación entre la cantidad de libros que fueron editados en el año 2000, con
respecto a los libros que fueron editados en cada uno de los dos años anteriores.
_____ Relación entre los libros editados en el año 1998 con respecto a los libros
editados en el año 1999.
3. En el problema se exige determinar:
____ La cantidad de libros que fueron editados entre los tres años.
____Cuántos libros menos se editaron en el año 2000 con respecto al año 1998.
____ En cuánto excede el total de libros editados en el año 2000, con respecto
cada uno de los años anteriores.
____Cuántos libros más se editaron en el año 1999 con respecto al año 1998.
ANEXO 6 ENCUESTA A DIRECTORES DE EDUCACIÓN PRIMARIA. Años de experiencia: en el cargo:_____ en la docencia:____________
Compañero(a):
Recabamos de su cooperación para nuestro trabajo de investigación relativo a la
identificación de problemas matemáticos por parte de los escolares de la enseñanza
primaria, con la finalidad de conocer el estado actual existente y proponer
soluciones alternativas. Agradecemos su colaboración.
1. Agradecemos que marque con una (X), según la categoría que usted
considere, (MA Muy Adecuado, BA: Bastante Adecuado, A: Adecuado, PA: Poco
Adecuado, I: Inadecuado) en cada uno de los aspectos que se relacionan a
continuación.
No Aspectos a valorar MA BA A PA I
1 El trabajo que realiza el maestro en función de lograr que los
escolares de la enseñanza primaria adquieran el concepto de problema
matemático es:
2 El trabajo que realiza el maestro para propiciar que los alumnos
trabajen adecuadamente con los datos del problema matemático es:
3 El trabajo que realiza el maestro para propiciar que los alumnos
trabajen adecuadamente con las condiciones del problema matemático
es:
4 El trabajo que realiza el maestro para propiciar que los alumnos
trabajen adecuadamente con las exigencias del problema matemático
es:
5 Los ejercicios preparatorios que propone el maestro para favorecer la
preparación de los escolares para identificar problemas matemáticos
los considera:
6 El trabajo sistemático que realiza el maestro, en función de proponer
problemas para propiciar la aplicación de diferentes vías de solución, la
considera:
7 La ayuda que el docente ofrece al estudiante durante la realización de
los ejercicios, generalmente es:
8 Las condiciones que crea el docente para lograr la interacción entre los
alumnos al realizar las tareas relativas al trabajo con problemas
matemáticos es:
9 El trabajo sistemático dirigido a proponer problemas matemáticos que
tengan una solución, varias soluciones o que no tengan solución es:
10 El diagnóstico integral, con un carácter dinámico que realiza el
maestro, relativo al trabajo con problemas matemáticos, lo considera:
11 La motivación que se logra en los alumnos al realizar tareas relativas al
trabajo con problemas matemáticos es:
12 La orientación del maestro encaminada a que el alumno supere las
dificultades y sienta la satisfacción del éxito al realizar tareas
relacionadas con el trabajo con problemas matemáticos es:
13 El trabajo en función a que el alumno proponga tareas relacionadas
con los problemas matemáticos es:
14 La atención diferenciada que ofrece el maestro a partir de la
realización de la tarea es:
15 El trabajo que desarrolla el maestro para garantizar el tránsito
progresivo del control externo al control interno es:
16 Las posibilidades que propicia el maestro para que los estudiantes
argumenten la vía empleada y el resultado obtenido son:
17 El tratamiento que realiza el maestro, ante el error que pueden cometer
los estudiantes es:
18 La orientación del maestro para la realización de tareas relativas al
trabajo con problemas matemáticos en forma colectiva es:
2. En los libros de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, consultados por
usted ¿ se ofrecen orientaciones relativas a la identificación de problemas
matemáticos?
Si_____ NO_____
3. En las Orientaciones Metodológicas y programas vigentes, ¿ se ofrecen
orientaciones relativas a la identificación de problemas matemáticos?
Si_____ NO_____
4. En las orientaciones sistemáticas que se ofrecen por las diferentes niveles
instancias, municipal, provincial y Nacional, ¿ se ofrecen orientaciones relativas a la
identificación de problemas matemáticos?
Si_____ NO_____
5. Mencione los aspectos que usted considera que los alumnos de la
enseñanza primaria deben tener en cuenta para identificar problemas
matemáticos.
6. ¿ Considera necesario que se aborde explícitamente, la identificación de problemas
matemáticos, en la enseñanza primaria?
Si_____ No____ ¿ Por qué?
ANEXO 7.1 RESULTADOS DE LA ENCUESTA APLICADA A LOS DIRECTORES DE LAS ESCUELAS PRIMARIAS.
No MA BA A PA NA
1 - 2 4 8 1
2 - 2 5 7 1
3 - 1 2 11 1
4 - - 1 11 3
5 - - 2 9 4
6 - 2 3 8 2
7 1 1 2 10 1
8 - 2 1 10 2
9 - 1 2 10 2
10 - 1 2 11 1
11 - 2 5 8 -
12 - - 4 10 1
13 - 2 - 12 1
14 - - 5 9 1
15 - - 4 8 3
16 - 1 2 10 2
17 1 2 1 10 1
18 1 1 6 6 1
Fuente: Modelo para la recogida de los criterios. ( Encuesta del ANEXO 6)
( Año 2002)
ANEXO 7.2
FRECUNCIA ACUMULATIVA
No C1 C2 C3 C4 C5
1 2 6 14 15
2 2 7 14 15
3 1 3 14 15
4 1 11 15
5 2 11 4
6 2 5 13 15
7 1 2 4 14 15
8 - 2 3 13 15
9 1 3 13 15
10 - 1 3 14 15
11 - 2 7 15 15
12 - - 4 14 15
13 - 2 2 14 15
14 - - 5 14 15
15 - - 4 12 15
16 - 1 3 13 15
17 1 3 4 14 15
18 1 2 8 14 15
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 7.1 (Año 2002)
ANEXO 7.3
FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS.
No C1 C2 C3 C4 C5
1 0 0,1333 0,4000 0,9333 1
2 0 0,1333 0,4666 0,9333 1
3 0 0,0666 0,2000 0,9333 1
4 0 0 0,0666 0,7333 1
5 0 0 0,1333 0,7333 1
6 0,0666 0,1333 0,3333 0,8666 1
7 0 0,1333 0,2666 0,9333 1
8 0 0,1333 0,2000 0,8666 1
9 0 0,0666 0,2000 0,8666 1
10 0 0,6666 0,2000 0,9333 1
11 0 0,1333 0,4666 1 1
12 0 0 0,2666 0,9333 1
13 0 0,1333 0,1333 0,9333 1
14 0 0 0,3333 0,9333 1
15 0 0 0,2666 0,8000 1
16 0 0,0666 0,2000 0,8666 1
17 0,0666 0,2000 0,2666 0,9333 1
18 0,0666 0,1333 0,5333 0,9333 1
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 7.2
ANEXO 7.4
Imágenes de las frecuencias relativas acumulativas por la tabla de distribución
inversa de la curva normal.
No C1 C2 C3 C4 C5 Suma Promedio N-P
1 -3,09 -1,11 -0,25 1,50 3,09 0,14 0,02 -0,07 PA
2 -3,09 -1,11 -0,09 1,50 3,09 0,30 0,06 -0,03 PA
3 -3,09 -1.50 -0,84 1,50 3,09 -0,84 -0,16 0,07 PA
4 -3,09 -3,09 -1.50 0,62 3,09 -3,97 -0,79 0,7 PA
5 -3,09 -3,09 -1,11 0,62 3,09 -3,58 -0,71 0,62 PA
6 -3,09 -1,11 -0,43 1.11 3,09 -0,43 -0,08 -0,01 PA
7 -1.50 -1,11 -0,62 1,50 3,09 1,36 0,27 0.36 PA
8 -3,09 -1,11 -0,84 1.11 3,09 -0,84 -0,16 0,07 PA
9 -3,09 -1.50 -0,84 1.11 3,09 -1,23 -0,24 0,15 PA
10 -3,09 0,43 -0,84 1,50 3,09 1,09 0,21 0,3 PA
11 -3,09 -1,11 -0,09 3.9 3,09 2,7 0,54 -0,63 PA
12 -3,09 -3,09 -0,62 1,50 3,09 -2,21 -0,44 0,35 PA
13 -3,09 -1,11 -1,11 1,50 3,09 1,50 -0,30 0,21 PA
14 -3,09 -3,09 -0,43 1,50 3,09 -2,02 -0,40 0,31 PA
15 -3,09 -3,09 -0,62 0,85 3,09 -2,86 -0,57 0,48 PA
16 -3,09 -1.50 -0,84 1.11 3,09 -1,23 -0,24 0,15 PA
17 -1.50 -0,80 -0,62 1,50 3,09 1,67 0,33 -0,42 PA
18 -1.50 -1,11 0,08 1,50 3,09 2,06 0,41 -0,5 PA
Puntos
de
corte
-2,85
-1,67
-0,64
1.41
3,09
-8,66
Fuente: Datos de la tabla del ANEXO 7.3, tabla de distribución normal,
aplicaciones de operaciones matemáticas. N = –0,09.
C1 Muy adecuado: x ≤ –2,85 C2 Bastante adecuado –2,85 < x ≤ –1,67
C3 Adecuado –1,67 < x ≤ –0,64 C4 Poco adecuado–0,64 < x ≤ 1,41
C5 No adecuado 1,41 < x ≤ 3,09
ANEXO 7.5 CATEGORÍAS OTORGADAS POR LOS DIRECTORES A LOS ASPECTOS EVALUADOS EN LA ENCUESTA QUE APARECE EN EL ANEXO 6.
Aspectos evaluados Categorías otorgadas.
1 Poco Adecuado
2 Poco Adecuado
3 Poco Adecuado
4 Poco Adecuado
5 Poco Adecuado
6 Poco Adecuado
7 Poco Adecuado
8 Poco Adecuado
9 Poco Adecuado
10 Poco Adecuado
11 Poco Adecuado
12 Poco Adecuado
13 Poco Adecuado
14 Poco Adecuado
15 Poco Adecuado
16 Poco Adecuado
17 Poco Adecuado
18 Poco Adecuado
Fuente: Datos que parecen en la tabla del ANEXO 7.4
ANEXO 8 ENCUESTA A JEFES DE CILO Y MAESTROS DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA. Responsabilidad que ocupa:_________________________________________
Años de experiencia en el cargo:_____________________________________
Años de experiencia en la docencia:__________________________________
Compañero(a):
Recabamos de su cooperación para nuestro trabajo de investigación relativo a la
identificación de problemas matemáticos por parte de los escolares de la
enseñanza primaria, con la finalidad de conocer el estado actual existente y
proponer soluciones apropiadas.
I. Agradecemos que marque con una (X), según la categoría que usted
considere,
(MA: Muy Adecuado, BA: Bastante Adecuado, A: Adecuado, PA: Poco
Adecuado, I: Inadecuado) en cada uno de los aspectos que se relacionan a
continuación.
No Aspectos a valorar MA BA A PA I
1 La representación que adquieren los escolares de la enseñanza
primaria acerca del concepto de problema matemático es:
2 Los escolares de la enseñanza primaria al operar con los datos que
aparecen en los problemas matemáticos, obtienen resultados:
3 Los escolares de la enseñanza primaria al operar con las exigencias
que se establecen en el problema, obtienen resultados:
4 Los escolares de la enseñanza primaria al operar con las condiciones
que se establecen en el problema: obtienen resultados:
5 Los ejercicios preparatorios que realiza el docente favorecen la
preparación de los escolares para identificar problemas matemáticos
de una manera:
6 La aplicación de diferentes vías de solución, por parte del alumno,
para realizar un mismo ejercicio es :
7 La ayuda que solicita el alumno al realizar una tarea relativa al trabajo
con problemas matemáticos es:
8 La interacción entre los alumnos al realizar las tareas relativas al
trabajo con problemas matemáticos es:
9 El análisis que realizan los alumnos al resolver problemas que tienen
una, varias o ninguna solución lo considera:
10 La correspondencia que existe entre el nivel de desarrollo de los
alumnos y los resultados en las tareas relativas al trabajo con
problemas matemáticos es:
11 La motivación que manifiestan los alumnos al realizar tareas relativas
al trabajo con problemas matemáticos es:
12 La disposición que manifiesta el alumno para superar las dificultades
al realizar los ejercicios es:
13 El trabajo que el alumno realiza al proponer tareas relacionadas con
los problemas matemáticos es:
14 Los resultados que logran los alumnos, a partir de la atención
diferenciada del maestro son:
15 Las posibilidades que manifiesta el alumno para garantizar el tránsito
progresivo del control externo al control interno es:
16 Las posibilidades que manifiestan los estudiantes para argumentar la
vía empleada y el resultado obtenido son:
17 Las posibilidades que manifiestan los estudiantes para reaccionar
ante el error al resolver el problema son:
18 Los resultados que se obtienen al resolver problemas matemáticos,
en equipos, dúos, tríos son:
II. En los libros de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, consultados
por usted ¿ se ofrecen orientaciones relativas a la identificación de problemas
matemáticos?
Si_____ NO_____
III. En las Orientaciones Metodológicas y programas vigentes, ¿ se ofrecen
orientaciones relativas a la identificación de problemas matemáticos?
Si_____ NO_____
IV. En las orientaciones sistemáticas que se ofrecen por las diferentes niveles
instancias, municipal, provincial y Nacional, ¿ se ofrecen orientaciones relativas a
la identificación de problemas matemáticos?
Si_____ NO_____
V. Mencione los aspectos que usted considera que los alumnos de la
enseñanza primaria deben tener en cuenta para identificar problemas
matemáticos.
¿ Considera necesario que se aborde explícitamente, la identificación de
problemas matemáticos en la enseñanza primaria?
Si_____ No____ ¿ Por qué?
ANEXO 8.1 INSTRUCCIONES QUE RECIBIERON LOS MAESTROS Y JEFES DE CICLO CON VISTAS A GARANTIZAR UNA MAYOR OBJETIVIDAD EN LA EVALUACIÓN DE CADA UNO DE LOS ASPECTOS SOLICITADOS EN LA ENCUESTA. Agradecemos que antes de evaluar cada uno de los aspectos que se proponen
en la encuesta, analice las consideraciones que se ofrecen a modo de
resumen, lo que favorecerá la valoración objetiva de los mismos.
1. Para valorar la representación que tienen los alumnos de la Educación
Primaria del concepto de problema matemático, es necesario considerar si son
capaces de identificar que el enunciado que se le presenta es o no un
problema matemático, considerando cada una de las condiciones que se
establecen en la siguiente definición.
“Un problema matemático con texto puede considerarse como una exposición
en el lenguaje cotidiano, de determinado hecho, proceso u objeto, del cual nos
dan directamente ciertas características (magnitudes, valores, etc.) y se nos
pide (exige) hallar otras, que no son directamente ofrecidas en el enunciado”
La vía de solución debe ser desconocida, para provocar el proceso de
búsqueda que desarrolle el pensamiento.
La persona debe querer resolver el problema (motivación).
La situación que se describe en el problema debe evidenciar el reflejo de
la realidad objetiva en correspondencia con el contexto de actuación de los
alumnos.
2. Los datos se consideran como las magnitudes, números, relaciones
matemáticas entre los números como: el triplo de; la quinta parte de;
aumentado en; el cuadrado de, entre otras, que aparecen dados directamente
en el texto del problema o que pueden ser investigados por el alumno.
Los alumnos deben ser capaces de operar con los datos del problema
considerando las diversas posibilidades en cuanto a la forma en que se
plantean los mismos, deben discriminar los datos necesarios de los
innecesarios, de asumir como datos no solamente los números y magnitudes,
sino todas las relaciones matemáticas entre estos elementos, de determinar
posibles contradicciones con la realidad que se evidencien a partir de los datos
e investigar cuando sea necesario, datos que no se declaren explícitamente en
el texto del problema.
3. Las exigencias en el problema matemático son aquellos elementos de la
estructura externa ( que pueden estar expresadas en forma de pregunta o no) y
que orientan al alumno a precisar qué es lo que tiene que averiguar para
resolver la contradicción planteada.
Los alumnos deben ser capaces de identificar las exigencias del problema
considerando los casos en que estas no estén planteadas en forma de
interrogante o que no aparezcan, como generalmente ocurre, al final del texto
del problema. De igual forma, deben reconocer las exigencias que no se
declaran explícitamente en el texto del problema.
4. Las condiciones son las relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado
y lo buscado, vinculadas con la estrategia de solución, como las derivadas de
los significados prácticos de las operaciones de cálculo, propiedades,
teoremas, recursos matemáticos a utilizar, no declarados en el problema.
El alumno debe ser capaz de determinar con exactitud las condiciones que se
planten en el problema, asociadas a los conocimientos matemáticos
específicos que posee, como los que se ejemplifican en la caracterización que
se ofrece al respecto.
5. Para valorar en qué medida, los ejercicios preparatorios que realiza el
maestro, favorecen la preparación de los alumnos para la identificación de
problemas, es necesario considerar los siguientes presupuestos teóricos:
Se define la identificación de problemas matemáticos desde el punto de vista
funcional como: una capacidad específica que se desarrolla en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática y que se configura en la personalidad
del individuo al sistematizar la base de contenidos y el sistema de acciones
intelectuales necesarios.
Se considera como base de contenidos para identificar un problema matemático
la siguiente:
Concepto de problema matemático.
Elementos de la estructura externa de un problema matemático.
Conocimientos matemáticos específicos sobre los que trata el problema.
Conocimientos generales sobre la situación narrada en el problema.
Sentimientos, actitudes, convicciones y valoraciones.
Como sistema de acciones intelectuales, se considera el siguiente:
Analizar el objeto o fenómeno de la realidad objetiva para descomponerlo en
sus partes y poder precisar las características del mismo.
Caracterizar el objeto o fenómeno de la realidad mediante la síntesis de las
características determinadas en el análisis.
Establecer relaciones entre el objeto o fenómeno de la realidad caracterizado
con los conocimientos que posee el individuo.
Distinguir el objeto o fenómeno de la realidad de otro por sus rasgos
esenciales.
Descubrir la contradicción existente entre el estado actual del objeto o
fenómeno de la realidad y el estado deseado.
Desde el punto de vista operativo, se concibe como una actividad de estudio que
consiste en reconocer la existencia de una contradicción entre determinados
elementos conocidos por el alumno acerca de los contenidos matemáticos objeto
de estudio y otros elementos desconocidos.
6. La aplicación de diferentes vías de solución por parte de los alumnos, al
resolver un mismo ejercicio, implica que sistemáticamente analicen mas de una
vía para resolver el problema propuesto y que argumenten la preferencia por
una de estas vías.
7. La ayuda que solicita el alumno al maestro o a otro compañero, debe ser en
los casos estrictamente necesarios y estará dirigida a esclarecer modos de
actuación y no a precisar que vía deben utilizar en la solución de la tarea
propuesta.
8. Los alumnos sistemáticamente deben establecer relaciones con sus
compañeros, brindar ayuda, estimular el esfuerzo en la realización de la tarea
propuesta, trabajar en dúos, tríos, equipos, con la calidad requerida.
9. Los alumnos deben argumentar a partir de sus propios conocimientos, si el
ejercicio propuesto no tiene solución, si la solución es única o si tiene varias
soluciones.
10. Para valorar la correspondencia que existe entre el nivel de desarrollo de
los alumnos y los resultados que obtienen al resolver tareas relativas al trabajo
con problemas matemáticos, se considerarán los resultados del diagnóstico
integral de cada estudiante y se evaluará en qué medida estos se
corresponden con los que se obtienen al resolver este tipo de tarea docente.
11. La motivación que manifiesta el alumno se expresa en su interés personal
por realizar la actividad que se le propone y por la satisfacción que experimenta
por el éxito obtenido. 12. La disposición que manifiesta el alumno para superar las dificultades, se
manifiesta en los recursos que emplea para reiniciar el análisis de la tarea
planteada cuando comete errores, así como en el esfuerzo que manifiesta para
realizar tareas que impliquen un alto nivel de razonamiento.
13. El trabajo que realiza el alumno al proponer tareas relativas al trabajo con
problemas matemáticos se debe valorar fundamentalmente por las
posibilidades que manifiesta al formular problemas matemáticos.
14. Los resultados que alcanzan los alumnos cuando reciben una atención
diferenciada por parte del maestro se valorarán a partir del éxito que alcanzan
en la solución de la tarea y en el empeño que manifiestan por continuar el
trabajo a partir de las orientaciones recibidas.
15. El trabajo que realiza el alumno para garantizar el tránsito progresivo del
control externo (el que realiza el maestro u otro compañero) al control interno
se manifiesta en las posibilidades de autocontrolar sistemáticamente los
resultados, determinar la calidad de estos resultados y modificarlos cuando sea
necesario.
16. Las posibilidades que manifiesta el alumno para argumentar la vía
empleada y el resultado obtenido, se evidencian en el análisis reflexivo que
realiza para expresar con seguridad los recursos empleados al resolver la tarea
propuesta.
17. Los alumnos al reaccionar ante el error, deben asumir el mismo como algo
natural, analizar las causas que lo provocaron y reorientar el modo de
actuación para resolver el ejercicio adecuadamente.
18. La valoración de los resultados que se obtienen al realizar tareas
colectivamente, se sustenta en la experiencia del maestro al emplear esta
forma de organización teniendo en cuenta las ventajas que ofrece el trabajo
grupal.
ANEXO 9.1 RESULTADOS DE LA ENCUESTA APLICADA A JEFES DE CICLO DE LAS ESCUELAS PRIMARIAS.
Número MA BA A PA NA Total
1 2 1 2 20 7 32
2 0 3 3 25 1 32
3 0 5 15 10 2 32
4 1 2 2 15 12 32
5 0 2 3 20 7 32
6 0 3 5 18 6 32
7 0 10 15 4 3 32
8 0 0 4 16 12 32
9 0 0 5 26 1 32
10 0 15 15 2 0 32
11 4 3 23 1 1 32
12 7 3 17 3 2 32
13 1 2 7 15 7 32
14 4 10 15 2 1 32
15 0 0 3 20 9 32
16 2 2 3 24 1 32
17 2 2 20 6 2 32
18 0 1 18 10 3 32
Fuente: Modelo de recogida de criterios. Encuesta que aparece en el ANEXO 8
ANEXO 9.2 FRECUNCIA ACUMULATIVA
No C1 C2 C3 C4 C5
1 2 3 5 25 32
2 0 3 6 31 32
3 0 5 20 30 32
4 1 3 5 20 32
5 0 2 5 25 32
6 0 3 8 26 32
7 0 10 25 29 32
8 0 0 4 20 32
9 0 0 5 31 32
10 0 15 30 32 32
11 4 7 30 31 32
12 7 10 27 30 32
13 1 3 10 25 7
14 4 14 29 31 32
15 0 0 3 23 32
16 2 4 7 31 32
17 2 4 24 30 32
18 0 1 19 10 3
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 9.1
ANEXO 9.3 FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS.
No C1 C2 C3 C4 C5
1 0,0625 0,0937 0,1562 0,7812 1
2 0 0,0937 0,1875 0,9687 1
3 0 0,1562 0,6250 0,9375 1
4 0,0312 0,0907 0,1562 0,6250 1
5 0 0,0625 0,1562 0,7812 1
6 0 0,0937 0,2500 0,8125 1
7 0 0,3125 0,7812 0,9062 1
8 0 0 0,1250 0,6250 1
9 0 0 0,1562 0,9687 1
10 0 0,4687 0,9375 1 1
11 0,1250 0,2187 0,9375 0,9687 1
12 0,2187 0,3125 0,8437 0,9375 1
13 0,0312 0,0937 0,3125 0,7812 1
14 0,1250 0,4375 0,9062 0,9687 1
15 0 0 0,0937 0,7187 1
16 0,0625 0,1250 0,2187 0,9687 1
17 0,0625 0,1250 0,7500 0,9375 1
18 0 0,0312 0,5937 0,3125 1
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 9.2.
ANEXO 9.4
Fuente: Datos que aparecen en el ANEXO 9.3.
No C1 C2 C3 C4 C5 Suma Promedio N-P
1 -1,53 -1,32 -1,01 0,78 3,09 0,01 0,002 0,10
2 -3,09 -1,32 -0,79 1,86 3,09 -0,25 -0,05 0,16
3 -3,09 -1,01 0,32 1,53 3,09 0,84 0,16 -0,05
4 -1,86 -1,34 -1,01 0,32 3,09 -0,80 -0,16 0,27
5 -3,09 -1,53 -1,01 0,78 3,09 -1,76 -0,35 0,46
6 -3,09 -1,32 -0,67 0,89 3,09 -1,1 -0,22 0,33
7 -3,09 -0,47 0,78 1,32 3,09 1,63 0,32 -0,21
8 -3,09 -3,09 -1,15 0,32 3,09 -3,92 -0,78 0,67
9 -3,09 -3,09 -1,01 1,86 3,09 -2,24 -0,44 0,55
10 -3,09 -0,08 1,53 3,09 3,09 4,54 0,90 -0,79
11 -1,15 -0,78 1,53 1,86 3,09 4,55 0,91 -0,80
12 -0,78 -0,47 1,01 1,53 3,09 4,38 0,87 -0,76
13 -1,86 -1,32 -0,47 0,78 3,09 0,22 0,04 0,07
14 -1,15 -0,16 1,32 1,86 3,09 4,96 0,99 -0,88
15 -3,09 -3,09 -1,32 0,58 3,09 -3,83 -0,76 0,87
16 -1,53 -1,15 -0,78 1,86 3,09 1,49 0,29 -0,18
17 -1,53 -1,15 0,68 1,53 3,09 2,62 0,52 -0,41
18 -3,09 -1,86 0,24 0,24 3,09 -1,38 -0,27 0,38
IMÁGENES DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS POR LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN INVERSA DE LA CURVA NORMAL.
ANEXO 9.5
CATEGORÍAS OTORGADAS POR LOS JEFES DE CICLO A LOS ASPECTOS EVALUADOS EN LA ENCUESTA QUE APARECE EN EL ANEXO 8.
Aspectos evaluados Categorías otorgadas.
1 Poco Adecuado
2 Poco Adecuado
3 Poco Adecuado
4 Poco Adecuado
5 Poco Adecuado
6 Poco Adecuado
7 Adecuado
8 Poco Adecuado
9 Poco Adecuado
10 Adecuado
11 Adecuado
12 Adecuado
13 Poco Adecuado
14 Adecuado
15 Poco Adecuado
16 Adecuado
17 Adecuado
18 Poco Adecuado
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 9.4
C1 Muy adecuado: x ≤ -2,34
C2 Bastante adecuado –2,34 < x ≤ –1,36
C3 Adecuado –1,36 < x ≤ –0,10
C4 Poco adecuado–0,10 < x ≤ 1.27
C5 No adecuado 1,27 < x ≤ 3,09
ANEXO 10.1 RESULTADOS DE LA ENCUESTA APLICADA A MAESTROS DE LAS ESCUELAS PRIMARIAS.
Número MA BA A PA NA
1 1 1 1 16 1
0 0 0 5 14 1
3 0 3 15 1 1
4 0 1 2 15 2
5 0 0 3 15 2
6 1 2 1 14 2
7 1 3 15 1 0
8 0 1 2 15 2
9 0 0 4 14 2
10 1 5 12 1 1
11 2 4 9 3 2
12 0 0 2 13 5
13 0 2 2 14 2
14 1 6 10 3 2
15 2 1 3 12 2
16 2 1 2 14 1
17 1 1 1 14 3
18 1 6 11 1 1
Fuente: Modelo de recogida de criterios. Encuesta del ANEXO 8.
ANEXO 10.2 FRECUNCIA ACUMULATIVA
No C1 C2 C3 C4 C5
1 1 2 3 19 20
2 0 0 5 19 20
3 0 3 18 19 20
4 0 1 3 18 20
5 0 0 3 18 20
6 1 3 4 18 20
7 1 4 19 20 20
8 0 1 3 18 20
9 0 0 4 18 20
10 1 6 18 19 20
11 2 6 15 18 20
12 0 0 2 15 20
13 0 2 4 18 20
14 1 7 17 18 20
15 2 3 6 18 20
16 2 3 5 19 20
17 1 2 3 17 20
18 1 7 18 19 20
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 10.1
ANEXO 10.3 FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS
No C1 C2 C3 C4 C5
1 0,0500 0,1000 0,1500 0,9500 1
2 0 0 0,2500 0,9500 1
3 0 0,1500 0,9000 0,9500 1
4 0 0,0500 0,1500 0,9000 1
5 0 0 0,1500 0,9000 1
6 0,0500 0,1500 0,2000 0,9000 1
7 0,0500 0,2000 0,9500 1 1
8 0 0,0500 0,1500 0,9000 1
9 0 0 0,2000 0,9000 1
10 0,0500 0,3000 0,9000 0,9500 1
11 0,1000 0,3000 0,7500 0,9000 1
12 0 0 0,1000 0,7500 1
13 0 0,1000 0,2000 0,9000 1
14 0,0500 0,3500 0,8500 0,9000 1
15 0,1000 0,1500 0,3000 0,9000 1
16 0,1000 0,1500 0,2500 0,9500 1
17 0,0500 0,1000 0,1500 0,8500 1
18 0,0500 0,3500 0,9000 0,9500 1
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 10.2
ANEXO 10.4
No C1 C2 C3 C4 C5 Suma Promedio N-P
1 -1,64 -1,28 -1,03 1,65 3,09 0,78 0,15 -0,02
2 -3,09 -3,09 -0,67 1,65 3,09 -2,11 -0,42 0,55
3 -3,09 -1,03 1,29 1,65 3,09 1,91 0,38 -0,25
4 -3,09 -1,64 -1,03 1,29 3,09 -1,38 -0,27 0,40
5 -3,09 -3,09 1,03 1,29 3,09 -2,83 0,56 0,69
6 -1,64 -1,03 -0,84 1,29 3,09 0,87 0,17 -0,04
7 -1,64 -0,84 1,65 3,09 3,09 5,35 1,07 -0,94
8 -3,09 -1,64 -1,03 1,29 3,09 -1,38 -0,27 0,40
9 -3,09 -3,09 -0,84 1,29 3,09 -2,64 -0,52 0,65
10 -1,64 -0,52 1,29 1,65 3,09 3,87 0,77 -0,64
11 -1,28 -0,52 0,68 1,29 3,09 3,26 0,65 -0,52
12 -3,09 -3,09 -1,28 0,68 3,09 -3,69 -0,73 0,86
13 -3,09 -1,28 -0,84 1,29 3,09 -0,83 -0,16 0,29
14 -1,64 -0,38 1,04 1,29 3,09 3,40 0,68 -0,55
15 -1,28 -1,03 -0,52 1,29 3,09 1,55 0,31 -0,18
16 -1,28 -1,03 -0,67 1,65 3,09 1,76 0,35 -0,22
17 -1,64 -1,28 1,03 1,04 3,09 0,18 0,03 0,10
18 -1,64 -0,38 1,29 1,29 3,09 3,65 0,73 -0,60
Puntos
de
corte
-2,22 -,145 -0,19 1,44 3,09
ANEXO 10.5 CATEGORÍAS OTORGADAS POR LOS MAESTROS A LOS ASPECTOS EVALUADOS EN LA ENCUESTA QUE APARECE EN EL ANEXO 8. EVALUADOS
Aspectos evaluados Categorías otorgadas.
1 Poco Adecuado
2 Poco Adecuado
3 Adecuado
4 Poco Adecuado
5 Poco Adecuado
6 Poco Adecuado
7 Adecuado
8 Poco Adecuado
9 Poco Adecuado
10 Adecuado
11 Adecuado
12 Poco Adecuado
13 Poco Adecuado
14 Adecuado
15 Poco Adecuado
16 Poco Adecuado
17 Poco Adecuado
18 Adecuado
Fuente: Datos que aparecen en la tabla del ANEXO 10.4
ANEXO 10.6 COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS A PARTIR DE LA ENCUESTA APLICADA A LOS MAESTROS Y A LOS JEFES DE CICLO.
Categorías otorgadas. Aspectos evaluados
Jefes de ciclo Maestros
1 Poco Adecuado Poco Adecuado
2 Poco Adecuado Poco Adecuado
3 Poco Adecuado Adecuado
4 Poco Adecuado Poco Adecuado
5 Poco Adecuado Poco Adecuado
6 Poco Adecuado Poco Adecuado
7 Adecuado Adecuado
8 Poco Adecuado Poco Adecuado
9 Poco Adecuado Poco Adecuado
10 Adecuado Adecuado
11 Adecuado Adecuado
12 Adecuado Poco Adecuado
13 Poco Adecuado Poco Adecuado
14 Adecuado Adecuado
15 Poco Adecuado Poco Adecuado
16 Adecuado Poco Adecuado
17 Adecuado Poco Adecuado
18 Poco Adecuado Adecuado
Fuente: Datos que aparecen en las tablas de los ANEXOS 9.5 y 10.5
ANEXO 11.
ENCUESTA APLICADA A LOS EXPERTOS PARA EVALUAR SU COEFICIENTE DE COMPETENCIA. Estimado(a) colega: La visión que la comunidad internacional tiene de la Educación Matemática, ha
evolucionado considerablemente durante los últimos treinta años. En la
actualidad existe un cierto consenso al considerar que el trabajo con problemas
matemáticos, continúa desempeñando un papel trascendental en la enseñanza
y el aprendizaje de esta disciplina, en los diferentes niveles de educación,
especialmente en la Educación Primaria. Se considera necesario abordar el
trabajo con problemas matemáticos a partir del desarrollo de tres capacidades
específicas. Identificación, formulación y resolución de problemas.
Como resultado de las indagaciones teóricas y empíricas desarrolladas por el
autor, se ha podido constatar que sobre la resolución de problemas existe una
amplia bibliografía basada en los resultados de investigaciones desarrolladas
por autores nacionales y extranjeros; más recientemente se ha incursionado en
la formulación de problemas matemáticos, pero con respecto a la identificación
de problemas matemáticos, no se manifiesta la misma situación.
Por tal razón, se propone una estructuración didáctica para la identificación de
problemas matemáticos en la Educación Primaria y es de nuestro interés
someterla al criterio de expertos. Necesitamos como paso inicial una
autovaloración (objetiva, real, sin exceso de modestia) de los niveles de
información y argumentación que posee sobre el tema.
1. Según su criterio, marque con una cruz, en orden creciente, el valor que
se corresponde con el grado de conocimiento que usted tiene sobre el
tema:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. Entre las fuentes que le han permitido enriquecer sus conocimientos
relacionados con el tema, sometemos a su consideración algunas de ellas,
para que evalúe el grado de influencia de cada una, en las categorías de: Alto,
Medio, y Bajo.
34
Grado de influencia de cada una de las fuentes Fuentes de argumentación
A ( alto) M (medio) B (bajo)
Análisis teórico realizado
por usted.
Su propia experiencia
Trabajos de autores
nacionales.
Trabajo de autores
extranjeros
Su conocimiento del estado
del problema en el
extranjero
Su intuición
35
36
ANEXO 12.RELACIÓN DE EXPERTOS.
No Nombre y apellidos GC/CD Centro Cargo A.E
1 María Teresa Ferrer Madrazo DrC/Auxiliar ISPEJV Vicedecana 35
2 Daniel González González DrC/Auxiliar ISPEJV J Dpto. 31
3 Justo Che Soler DrC/Titular ISPEJV Profesor 34
4 Delfina Ledesma MsC/Asistente ISPEJV Profesor 32
5 Cosme Matías Burgos MsC/Auxiliar ISPEJV J Dpto. 35
6 Hilario Santana de Armas MsC/ Auxiliar ISPEJV Profesor 41
7 José Benito Rodríguez Sosa DrC/Titular ISPEJV J Dpto. 24
8 Luisa M. Valdés Glez de la P. MsC/Auxiliar ISPEJV Decana 29
9 Cristina González Dosil MsC/Auxiliar ISPEJV Vicedecana 25
10 Josefina Piñón González DrC/Auxiliar ISPEJV Vicerrectora 33
11 Mayra Rodríguez Aruca MsC/Auxiliar ISPEJV Directora Sede 26
12 Jorge Carbonell Pérez MsC/ Auxiliar ISPEJV Profesor 32
13 María Victoria Gómez Castro MsC/Auxiliar ISPEJV Profesora 30
14 Raúl González Barreto MsC/ Asistente ISPEJV Profesor 40
15 Amelia Cárdenas Trujillo Lic/Asistente ISPEJV Profesor 32
16 Eduardo Villegas Jiménez DrC/ Titular MINED Met-inspec 32
17 Robert Barcia Martínez DrC/ Auxiliar ISPCB J de Disciplina 32
18 Longino Muñoz del Sol DrC/ Auxiliar ISPCB J de Dpto.-. 34
19 Juan Carlos Pérez Castillo MsC/ Asistente ISPCB Viced. EI 33
20 José Carlos Pérez González DrC/ Auxiliar ISPCB Vicerrector 30
21 Eloy Arteaga Valdés DrC/ Asistente ISPCB Decano.Fac.Me 25
22 Mirtha Velazco Navarro MsC/Asistente ISPEJV Profesora 34
23 Maritza Vázquez González MsC/ Asistente ISPEJV Profesora 25
24 Magdalena Vázquez González Lic/Asistente ISPEJV Profesora 31
25 María T.Casaña Castellanos Lic. en Edu.Prim EPE.de camb. Directora 26
26 Elena Gordon Rodríguez Lic.enEd. Primaria. EP R Guitart Jefa de Ciclo 32
27 María E González Hernández Lic.enEd. Primaria. EP R Guitart Directora 34
28 Magda Del Río González Lic.enEd. Primaria. EP E. Cambodia J de Ciclo 34
29 Mercedes Área de Armas Lic.enEd. Primaria. EP E. Cambodia Maestra 30
30 Bernardino Almeida Carazo MsC/ Asistente ISP Matanzas Profesor 34
31 José T. Borges Echeverría MsC/ Asistente ISP Matanzas Profesor 35
32 Guillermo Soler Rodríguez DrC/ Titular ISP Félix Varela Vice-rector 29
37
ANEXO 12.1 RELACIÓN DE EXPERTOS SELECCIONADOS Y SU COEFICIENTE DE COMPETENCIA. No Nombre y apellidos VALOR 1 María Teresa Ferrer Madrazo 0,5 (1+1) 1
2 Daniel González González 0,5 (1+1) 1
3 Justo Che Soler 0,5 (1+1) 1
4 Delfina Ledesma 0,5 (1+0,9) 0,95
5 Cosme Matías Burgos 0,5 (1+1) 1
6 Hilario Santana de Armas 0,5 (1+1) 1
7 José Benito Rodríguez Sosa 0,5 (1+0,9) 0,95
8 Luisa M. Valdés Glez de la P. 0,5 (1+0,9) 0,95
9 Cristina González Dosil 0,5 (0,9+1) 0,95
10 Josefina Piñón González 0,5 (1+1) 1
11 Mayra Rodríguez Aruca 0,5 (1+0,9) 0,95
12 Jorge Carbonell Pérez 0,5 (1+0,9) 0,95
13 María Victoria Gómez Castro 0,5 (0,8+0,9) 0,85
14 Raúl González Barreto 0,5 (0,8+0,9) 0,85
15 Amelia Cárdenas Trujillo 0,5 (1+0,9) 0,95
16 Eduardo Villegas Jiménez 0,5 (1+0,9) 0,95
17 Robert Barcia Martínez 0,5 (1+0,9) 0,95
18 Longino Muñoz del Sol 0,5 (0,8+0,9) 0,85
19 Juan Carlos Pérez Castillo 0,5 (0,8+1) 0,90
20 José Carlos Pérez González 0,5 (0,7+0,8) 0,75
21 Eloy Arteaga Valdés 0,5 (1+1) 1
22 Mirtha Velazco Navarro 0,5 (1+0,9) 0,95
23 Maritza Vázquez González 0,5 (0,8+1) 0,90
24 Magdalena Vázquez González 0,5 (0,8+1) 0,90
25 María T.Casaña Castellanos 0,5 (0,8+1) 0,90
26 Elena Gordon Rodríguez 0,5 (0,7+0,9) 0,80
27 María E González Hernández 0,5 (0,8+0,9) 0,85
28 Magda Del Río González 0,5 (0,6+0,9) 0,75
29 Mercedes Área de Armas 0,5 (0,7+0,9) 0,80
30 Bernardino Almeida Carazo 0,5 (0,8+1) 0,90
31 José T. Borges Echevarría 0,5 (0,8+1) 0,90
32 Gullermo Soler Rodríguez 0,5 (1+1) 1
38
39
ANEXO 13 SÍNTESIS DE LA PROPUESTA DE ESTRUCTURACIÓN DIDÁCTICA ENTREGADA A LOS EXPERTOS PARA SU VALORACIÓN.
• Presupuestos teóricos de partida En el proceso de enseñanza aprendizaje que se desarrolla en la Educación
Primaria, se debe privilegiar el trabajo con problemas matemáticos, no
solamente dirigido a la resolución sino también a la formulación y a la
identificación de estos problemas, por parte de los escolares.
La identificación de problemas matemáticos se define desde el punto de vista
funcional como una capacidad específica que se desarrolla en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática y que se configura en la personalidad
del individuo al sistematizar la base de conocimientos y el sistema de acciones
intelectuales necesarios para el desarrollo de esta capacidad específica.
Se debe lograr una determinada calidad en esta adquisición y sistematización de
los conocimientos y acciones, haciendo uso de la metacognición y con una
adecuada motivación.
Desde el punto de vista operativo, se concibe como la actividad de estudio que
consiste en reconocer la existencia de los elementos de la estructura externa de
un problema matemático y las relaciones entre ellos, así como la
correspondencia de la situación narrada con la realidad.
Para lograr identificar un problema matemático es condición necesaria poseer
una base de conocimientos adecuadamente estructurada, que siguiendo el
criterio que se asume en esta tesis, está conformada por
Concepto de problema matemático.
Elementos de la estructura externa de un problema matemático.
Conocimientos matemáticos específicos sobre los que trata el problema.
Conocimientos generales sobre la situación narrada.
Para que la identificación de problemas matemáticos constituya una manera de
pensar, de dar sentido a la tarea propuesta, de favorecer un entorno apropiado
para el trabajo con problemas, los alumnos deben realizar las siguientes
acciones intelectuales.
40
Analizar la información dada.
Reconocer los elementos de la estructura externa del problema.
Establecer las relaciones entre los elementos de la estructura externa
Descubrir la contradicción entre lo dado y lo buscado.
Valorar el sentido lógico del problema.
La identificación de problemas matemáticos, en la enseñanza aprendizaje de
esta asignatura, está conformada por tres dimensiones: la dimensión procesal, la
dimensión operacional y la dimensión motivacional. En la dimensión procesal de esta capacidad específica, están implícitos los
procesos psíquicos que intervienen en la identificación de problemas
matemáticos.
Estos son: sensopercepción, memoria, imaginación y pensamiento.( Rubistein,
S.L 1986; Córdova M.D 1997)
Para la caracterización de esta dimensión se asume el argumento que aporta
Rubistein (1986), donde expresa que para el estudio de las capacidades, hay
que abordar la calidad de los procesos mediante los cuales se regula el
funcionamiento de estos.
Este argumento, conduce a que se considere como un indicador la calidad
procesal que “expresa la caracterización cualitativa de las acciones intelectuales,
por ende, de los procesos sobre cuya base estos transcurren”
(Córdova, M.D. 1997; p.63)
El otro indicador que se asume para caracterizar la dimensión procesal, es la
metacognición, que incluye dos aspectos que se consideran esenciales para la
identificación de problemas matemáticos en la enseñanza aprendizaje: el
metaconocimiento y el control ejecutivo, los que permiten valorar la
autorregulación de la actividad intelectual, así como el carácter consciente del
proceso de identificación de problemas matemáticos.
La dimensión operacional, incluye como indicadores el sistema de acciones
intelectuales, necesario para identificar un problema matemático y la base de
conocimientos adecuadamente estructurada que deben poseer los escolares de la Educación Primaria, para ejecutar exitosamente esta actividad. Debe dominar,
entre otros aspectos, el concepto de problema matemático, los elementos de la
estructura externa del problema, así como las relaciones que pueden
41
establecerse entre ellos.
En la dimensión motivacional para el trabajo con problemas matemáticos, resulta
estimulante para el alumno el hecho de descubrir la contradicción entre la
situación dada y la situación deseada. Esto genera la motivación para resolver
dicha contradicción. Se asumen como indicadores las motivaciones
predominantemente intrínsecas hacia la identificación de problemas matemáticos
y el sistema de autovaloraciones y expectativas positivas con respecto al
aprendizaje escolar.
La concepción general de esta propuesta de estructuración didáctica, se puede
observar en el esquema que se ofrece a continuación, donde se expresan las
relaciones entre los componentes que la integran.
42
ESTRUCTURACIÓN DIDÁCTICA
C
O
IDENTI
E
OBJETIVO GENERAL
CARACTERIZACIÓN
OMPONENTES ESENCIALES
EJERCICIOS PROPEDÉUTICOS
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
DIAGNÓSTICFICACIÓN DE PROBLEMAS
VALUACIÓN
43
La estructuración didáctica que se propone, constituye una conceptualización y
un ordenamiento de la base de conocimientos y del sistema de acciones
intelectuales necesarios para la identificación de problemas matemáticos,
expresados en las relaciones de interdependencia que se establecen entre los
componentes esenciales: diagnóstico, ejercicios propedéuticos y las
consideraciones metodológicas para la elaboración, realización y control de los
ejercicios.
El objetivo general que se propone es: Identificar problemas matemáticos como
elemento potenciador para el trabajo con problemas en la Educación Primaria.
Los propósitos específicos son los siguientes:
• Estimular el desarrollo de la flexibilidad del pensamiento en los
escolares de la Educación Primaria.
• Contribuir al desarrollo del pensamiento creador.
• Fortalecer el trabajo en función del establecimiento de las relaciones
entre la unidad y la diversidad.
• Favorecer el aprendizaje desarrollador de la Matemática a través de
la identificación de problemas matemáticos por parte de los escolares
de la Educación Primaria.
Caracterización.
Esta propuesta se diseña teniendo en cuenta:
a. Las transformaciones que se han operado en la Educación Primaria y que
tienen una implicación directa en el desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje en este subsistema, entre las que se destacan las siguientes:
• Las aulas de la Educación Primaria, en Ciudad de la Habana, a partir del
curso 2002-2003, cuentan con una matrícula de hasta 20 alumnos, lo que
44
favorece la aplicación de nuevas variantes para la conducción del proceso
de enseñanza aprendizaje.
• La incorporación de un número significativo de maestros noveles a las
aulas de la enseñanza primaria, en la Ciudad de la Habana, origina la
necesidad de ofrecer alternativas metodológicas en función de garantizar
el éxito en su desempeño profesional para elevar la calidad de la
Educación Primaria. b. Los resultados obtenidos a partir de las indagaciones teóricas y empíricas
realizadas por el autor, relativas a la identificación de problemas matemáticos
en la Educación Primaria, revelan:
• Las deficiencias que manifiestan los escolares de la Educación Primaria
relacionadas con el dominio de la base de conocimientos y el desarrollo
de las acciones intelectuales necesarios para la identificación de
problemas matemáticos.
• La ausencia de una sistematización teórica relacionada con la
identificación de problemas matemáticos.
Diagnóstico:
La labor del maestro demanda que su trabajo docente se caracterice por una
actuación diversificada que se acompañe de una reflexión constante acerca de lo
que ocurre en el aula y cómo ocurre, o sea identificar las necesidades
individuales y grupales con la perspectiva de proponer acciones
transformadoras, lo que presupone el conocimiento integral de la actuación del
alumno en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje.
El diagnóstico está dirigido a la obtención de evidencias sobre el estado actual
de los escolares, con respecto a la identificación de problemas matemáticos y a
precisar las potencialidades de desarrollo que existen en cada alumno, así como
las tendencias más generales que se manifiestan en el grupo docente.
Específicamente, en este proceso de diagnóstico se asume como objeto, la
identificación de problemas matemáticos y como marco conceptual la base de
conocimientos y el sistema de acciones intelectuales correspondientes a esta
capacidad específica.
Si bien el autor de esta tesis sugiere la aplicación de determinados
instrumentos para complementar el diagnóstico, se aspira esencialmente a que
45
el maestro a través de su trabajo sistemático y a partir de un diseño adecuado
de los ejercicios propuestos relativos al trabajo con problemas matemáticos, de
la organización para la realización de los mismos y de la aplicación de técnicas
novedosas para el control, pueda obtener el diagnóstico integral, (individual y
grupal) con respecto a la identificación de problemas matemáticos.
El maestro podrá realizar un pronóstico de las tendencias de cambio de los
estudiantes, partiendo del desarrollo real de cada escolar, y ofreciendo oportunidades a través de la proyección de estrategias a nivel individual y
grupal, para acortar la distancia entre la zona de desarrollo real y la zona de
desarrollo potencial de cada alumno.
Ejercicios propedéuticos.
Los ejercicios propedéuticos constituyen herramientas importantes que
propician el tránsito progresivo de los escolares hacia la zona de desarrollo
potencial, a través de la creación de condiciones favorables para el desarrollo de
procesos cognitivos y afectivos, tomando como punto de partida la
determinación del nivel en que se ubica cada alumno con respecto a la
identificación de problemas matemáticos.
La finalidad de estos ejercicios es entrenar a los alumnos para que puedan
ejecutar otros con un mayor nivel de complejidad, tomando en consideración los
resultados del diagnóstico, así como las exigencias de los ejercicios que serán
propuestos a los escolares, favoreciendo el tránsito del nivel logrado al nivel
que se aspira obtener en cada alumno.
Un propósito que se persigue con estos ejercicios es, contribuir a través de su
realización, a que los alumnos profundicen en los elementos que componen la
estructura externa de un problema matemático ( datos, condiciones y
exigencias), así como en el concepto de problema matemático, tomando en
consideración que estos aspectos le dan unidad y coherencia al trabajo con
problemas matemáticos en la Educación Primaria.
Los ejercicios propedéuticos permiten que los alumnos establezcan conexiones
más profundas entre los elementos que componen la estructura externa de un
problema matemático, lo que propicia que se hagan más diestros no solo en la
identificación de las características esenciales de cada uno de estos elementos,
sino en la identificación de las conexiones subyacentes entre ellos.
46
Consideraciones metodológicas.
Las consideraciones metodológicas constituyen un conjunto de ideas dirigidas
especialmente a precisar las exigencias a tener en cuenta para: la elaboración,
la realización y el control de los ejercicios, encaminadas a favorecer que el
proceso de enseñanza aprendizaje relativo a la identificación de problemas
matemáticos instruya, eduque y desarrolle.
Consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios.
Las consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios,
expresan las exigencias a tener en cuenta desde el punto de vista afectivo,
cognitivo y motivacional, a partir de las evidencias emanadas del diagnóstico,
con vistas a favorecer la adecuada interacción de los alumnos con el ejercicio
objeto de estudio, lo que ayudará a fomentar el interés de los mismos, hacia la
identificación de problemas matemáticos.
Para ello, se debe profundizar en la importancia que adquiere el desarrollo de
esta capacidad, con la finalidad de subyugar determinados obstáculos en el
trabajo con problemas matemáticos en este nivel de enseñanza.
Debe lograrse que la situación inicial que aparece explícita en el ejercicio
propuesto
( lo dado), esté en correspondencia con el nivel de desarrollo actual del
estudiante, pero que el proceso requerido para resolver dicho ejercicio ( lo
buscado, lo desconocido por el estudiante), esté en correspondencia con el
desarrollo potencial para que de esta forma se genere el componente
desarrollador.
Se sugiere la selección de situaciones que expresen los logros de la Revolución
en las diferentes esferas: económica, política, cultural, deportiva, recreativa y
social, donde se refleje la situación actual, especialmente el impacto de los más
de 150 nuevos programas de la revolución que se desarrollan actualmente en
el país.
Lograr que la forma de presentación de los ejercicios, propicie que los alumnos
no se formen esquemas que le resulten dañinos para el análisis que deben
realizar ante nuevas situaciones, por lo que estos deben propiciar la búsqueda
reflexiva de la información.
47
Garantizar que se produzca en el alumno un estado de alerta al analizar cada
ejercicio para evitar, entre otros conflictos, la tendencia a la ejecución.
La situación que se describe en el ejercicio, debe resultar motivante para el
alumno, teniendo en cuenta que la contradicción que se genere lo propicie y
considerando los intereses, inquietudes y necesidades de los alumnos.
Se sugiere la planificación previa de ejercicios diferentes, a partir de las
características individuales de cada alumno y que los mismos admitan la
aplicación de determinadas transformaciones para que se puedan obtener
ejercicios con nuevas exigencias.
Los ejercicios que se formulen, deben favorecer el adiestramiento necesario de
los alumnos, para la asimilación de la base de conocimientos y para el desarrollo
de las acciones intelectuales correspondientes a la identificación de problemas
matemáticos.
La concepción a seguir para la elaboración de los ejercicios, se considera
decisiva para garantizar el cumplimiento del objetivo general y de los propósitos
específicos a los que se aspira con esta Estructuración Didáctica, teniendo en
cuenta las posibilidades que deben ofrecer para despertar el interés de cada
alumno y del grupo en general, hacia la identificación de problemas
matemáticos.
Consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios.
Las consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios expresan
las exigencias a tener en cuenta para favorecer la interacción maestro-alumno y
alumno- alumno, durante el proceso de resolución de los ejercicios propuestos
por el maestro y/o creados por los propios alumnos.
La interacción maestro- alumno, durante la realización de los ejercicios, permite
al maestro la indagación sistemática de las posibilidades de cada alumno y en
consecuencia, la orientación precisa de la ayuda que cada uno requiere.
Para lograr la adecuada interacción alumno-alumno, se precisa de la
combinación ordenada de las formas de trabajo individual y grupal. Para ello, el
maestro debe conjugar armónicamente aspectos tales como: las características
de los ejercicios, los resultados del diagnóstico de cada alumno, el momento del
curso, entre otros aspectos.
48
Los enfoques contrapuestos a la enseñanza tradicional, relativos al trabajo con
problemas matemáticos, exigen que los alumnos desempeñen un papel cada
vez más activo en la realización de los diferentes ejercicios, por lo que se
considera que la acción del alumno no debe limitarse a resolver los que propone
el maestro, sino a generar, a crear otros que puedan resultar interesantes.
En la realización de los diferentes ejercicios que se proponen, se debe
conseguir la armonía entre el trabajo individual y grupal, estimulando la
socialización de los resultados entre los alumnos, como una de las vías para
garantizar la motivación durante este proceso.
Lograr que los alumnos se sientan motivados durante la realización de los
ejercicios, contribuye a que estos ganen claridad de la importancia de la
identificación de problemas matemáticos, para el trabajo con problemas.
Tanto el maestro como los alumnos deben estar dispuestos a proporcionar la
ayuda a los que la necesiten, pero siempre se debe propiciar que los alumnos
sean capaces de superar las dificultades por si solos.
El maestro, en la realización de estas actividades debe lograr que los alumnos
puedan crear situaciones similares y diferentes a las propuestas, más que
enseñarles como deben resolverse.
Durante la realización de los ejercicios por parte de los escolares, el maestro
observará sistemáticamente el comportamiento que los mismos manifiestan, con
respecto al tránsito progresivo del nivel logrado, al nivel deseado. En este
sentido, se aprovecharán las posibilidades para la orientación de manera
dinámica, de otros ejercicios, cuando el alumno concluya los orientados.
El maestro debe incentivar el desarrollo de relaciones éticas fundamentadas en
el éxito y en la cooperación de los alumnos, tanto en lo académico como en lo
formativo.
Consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios.
Las consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios expresan las
exigencias a tener en cuenta en función de favorecer el tránsito progresivo del
control externo (el que realiza el maestro u otro compañero), al control interno o
autocontrol, enalteciendo cada vez más el control que el niño despliega de su
propio aprendizaje.
49
El maestro debe identificar acertadamente cuándo y cómo promover conflictos
entre los alumnos con la finalidad de motivarlos, no solamente para el análisis de
la solución del ejercicio planteado, sino para la creación de nuevas situaciones
como un elemento esencial para propiciar el desarrollo de una cultura para el
tratamiento del error así como para el análisis reflexivo de las causas que lo
originan, siendo crítico con los demás y al mismo tiempo tolerante, desarrollando
una actitud de cooperación hacia los compañeros.
Resulta de gran utilidad el hecho de que el maestro ofrezca igualdad de
oportunidades a todos los alumnos para que expongan sus puntos de vista. El maestro debe lograr que los alumnos hagan explícitas sus concepciones
acerca de la vía seleccionada y de la solución obtenida. El énfasis que el
maestro debe realizar, cuando solicita a los alumnos que expliquen el modo de
proceder empleado, está justificado por el hecho de que aún cuando dos o más
alumnos obtienen el mismo resultado y es el correcto, existen diferencias en el
nivel de desarrollo alcanzado por ellos, que evidencian modos de proceder
desiguales al resolver un mismo ejercicio.
En el control de los ejercicios se propiciará la relación alumno-grupo, para lo
que el maestro estimulará la participación de la mayor cantidad posible de
alumnos y la valoración colectiva de los resultados expuestos, estimulando el
análisis reflexivo, derivado de la manifestación de puntos de vista que pueden
ser diferentes.
Evaluación La evaluación concebida en esta estructuración didáctica, es el componente que
influye en todo el proceso de desarrollo de la capacidad para identificar
problemas matemáticos. Permite valorar cuantitativa y cualitativamente los
cambios que ocurren en el aprendizaje de los alumnos, así como el rediseño de
acciones transformadoras.
Se sugiere la aplicación de cuatro tipos fundamentales de evaluación, que se
emplearán atendiendo a los propósitos de cada uno en diferentes momentos y
que son los siguientes:
• Evaluación Diagnóstica: Se realizará al inicio de cada curso escolar y a
partir de las evidencias obtenidas por el maestro de manera sistemática.
Permitirá conocer la situación del aprendizaje de cada escolar relativo a la
50
identificación de problemas matemáticos y propiciará determinar tanto el
nivel actual, como el nivel potencial. Derivado de ello se proyectarán acciones transformadoras en correspondencia con las tendencias de
cambio relativas a este objeto.
• Evaluación Formativa: Se realizará de manera sistemática durante todo
el curso escolar, empleando como formas fundamentales las siguientes:
los resultados de cada alumno en las clases relativas al trabajo con
problemas matemáticos, la realización de cortes parciales y las
evaluaciones al concluir cada uno de los tres primeros períodos.
• Evaluación Sumativa: Esta evaluación se aplicará al concluir cada curso escolar para determinar el nivel alcanzado por cada alumno con respecto
al dominio de la base de conocimientos, así como el desarrollo de las
acciones intelectuales correspondientes a la identificación de problemas
matemáticos. En la instrumentación práctica de estos tres tipos de evaluación, se realizará el
análisis de los resultados a partir de una escala que permita determinar si el
estado de cada alumno es: Muy Adecuado, Bastante Adecuado, Adecuado,
Poco Adecuado e Inadecuado, lo que facilitará el diagnóstico objetivo del grupo
y la elaboración de estrategias en el ámbito grupal.
• Evaluación de Impacto: Para la evaluación de impacto se prevé la
posibilidad de su aplicación: al concluir el 2do, el 4to y el 6to grados de
la Educación Primaria. O sea, en correspondencia con los tres
momentos del desarrollo en los escolares primarios. Posibilitará
determinar, además del dominio que manifiestan los escolares de la
identificación de problemas matemáticos, la incidencia de la
instrumentación de esta estructuración didáctica en la formulación y en
la resolución de problemas.
51
ANEXO 13.1 ENCUESTA APLICADA A LOS EXPERTOS PARA SOMETER A SU CONSIDERACIÓN LA PROPUESTA DE ESTRUCTURACIÓN DIDÁCTICA. La visión que la comunidad internacional tiene de la Educación Matemática, ha
evolucionado considerablemente durante los últimos treinta años. En la
actualidad existe un cierto consenso al considerar que el trabajo con problemas
matemáticos, continúa desempeñando un papel trascendental en la enseñanza
y el aprendizaje de esta disciplina, en los diferentes niveles de educación,
especialmente en la Educación Primaria. Se considera necesario abordar el
trabajo con problemas matemáticos a partir del desarrollo de tres capacidades
específicas. Identificación, formulación y resolución de problemas.
Las indagaciones teóricas y empíricas desarrolladas por el autor, han podido
constatar que sobre la identificación de problemas matemáticos en la
Educación Primaria, no se ha logrado el mismo nivel de profundización que
existe con la resolución y formulación de problemas matemáticos.
Por tal razón, se propone una estructuración didáctica para la identificación de
problemas matemáticos en la Educación Primaria y es de nuestro interés
someterla al criterio de expertos.
Al haber sido seleccionado como experto(a) experto en la materia, necesitamos
someter a su consideración esta propuesta, teniendo en cuenta el resumen que
se ofrece y los aspectos sobre los cuales se solicita su opinión.
Marque con una X, según su opinión, la alternativa que considere en cada uno
de los siguientes aspectos, atendiendo a las categorías:
MA: Muy adecuado BA: Bastante adecuado PA: Poco adecuado I:
inadecuado
No Aspectos a valorar
C1
Muy
Adecuado
C2
Bastante
Adecuado
C3
Adecuado
C4
Poco
Adecuado
C5
No
Adecuado
1 Presupuestos teóricos
de partida
52
2 La concepción general
de la propuesta de
estructuración didáctica
3 El objetivo general y los
propósitos
4 Las orientaciones
relativas al diagnóstico
5 Las precisiones
relacionadas con los
ejercicios
propedéuticos
6 Las consideraciones
metodológicas para la
elaboración de los
ejercicios
7 Las consideraciones
metodológicas para la
realización de los
ejercicios
8 Las consideraciones
metodológicas para el
control de los ejercicios
9 La concepción para la
evaluación de la
estructuración didáctica
10 Su adaptabilidad a las
condiciones actuales
de la Educación
Primaria
53
Considerando los números correspondientes en que aparecen los diferentes
aspectos de la estructuración didáctica, refiera lo que sugiere modificar o
adicionar en cada uno de ellos.
Aspectos
de la estructuración
A modificar A incluir
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
54
ANEXO 14 RESULTADOS DE LA CONSULTA A EXPERTOS.
No Aspectos a valorar
C1
Muy
Adecuado
C2
Bastante
Adecuado
C3
Adecuado
C4
Poco
Adecuado
C5
No
Adecuado
1 Presupuestos teóricos de
partida
20 8 4
2 La concepción general de
la propuesta de
estructuración didáctica
21 5 6
3 El objetivo general y los
propósitos
15 10 4 3
4 Las orientaciones
relativas al diagnóstico
22 5 5
5 Las precisiones
relacionadas con los
ejercicios propedéuticos
16 11 3 2
6 Las consideraciones
metodológicas para la
elaboración de los
ejercicios
23 6 3
7 Las consideraciones
metodológicas para la
realización de los
ejercicios
23 5 4
8 Las consideraciones
metodológicas para el
control de los ejercicios
25 6 1
9 La concepción para la
evaluación de la
estructuración didáctica
21 7 4
10 Su adaptabilidad a las
condiciones actuales de
la Educación Primaria
23 5 4
55
Fuente: Encuesta aplicada para la recogida de los criterios de los expertos.
ANEXO 13.1.
ANEXO 15 TABLA DE FRECUENCIAS ACUMULATIVAS
C1 C2 C3 C4
1 20 28 32 32
2 21 26 32 32
3 15 25 29 32
4 22 27 32 32
5 16 27 30 32
6 23 29 32 32
7 23 28 32 32
8 25 31 32 32
9 21 28 32 32
10 23 28 32 32
Fuente: Datos de la tabla que aparece en el ANEXO 14.
56
ANEXO 16 TABLA FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS.
C1 C2 C3 C4
1 0,6250 0,8750 1,0000 1,0000
2 0,6562 0,8125 1,0000 1,0000
3 0,4688 0,7812 0,9062 1,0000
4 0,6875 0,8438 1,0000 1,0000
5 0,5000 0,8438 0,9375 1,0000
6 0,7188 0,9062 1,0000 1,0000
7 0,7188 0,8750 1,0000 1,0000
8 0,7812 0,9688 1,0000 1,0000
9 0,6562 0,8750 1,0000 1,0000
10 0,7188 0,8750 1,0000 1,0000
Fuente: Datos de la tabla que aparece en el ANEXO 15
57
ANEXO 17
58
C1 C2 C3 C4 SUMA PROMEDIO N - P
1
0,32 1,15 3,09 3,09 7,65 1,91 -0,06
2
0,40 0,89 3,09 3,09 7,47 1,87 -0,02
3
-0,08 0,78 1,32 3,09 5,11 1,28 0,57
4
0,49 1,01 3,09 3,09 7,68 1,92 -0,07
5
0 0,01 1,53 3,09 5,63 1,40 0,45
6
0,58 1,32 3,09 3,09 8,08 2,02 -0,17
7
0,58 1,15 3,09 3,09 7,91 1,98 -0,13
8
0,78 1,86 3,09 3,09 8,82 2,20 -0,35
9
0,40 1,15 3,09 3,09 7,73 1,93 -0,08
10
0,58 1,15 3,09 3,09 7,91 1,98 -0,13
Puntos
de
corte
0,40 1,1 2,8 3,09 - - -
IMÁGENES DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVAS POR LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN INVERSA DE LA CURVA NORMAL.
Fuente:
♦ Datos de la tabla del anexo 16
♦ Tabla de Distribución Normal
♦ Aplicación de operaciones matemáticas
( AÑO 2003 )
59
ANEXO 18 CATEGORÍAS OTORGADAS POR LOS EXPERTOS A LOS ASPECTOS EVALUADOS DE LA METODOLOGÍA Y DE LA ESTRATEGIA
Aspectos evaluados CATEGORÍAS OTORGADAS
1 Muy Adecuado
2 Muy Adecuado
3 Bastante Adecuado
4 Muy Adecuado
5 Bastante Adecuado
6 Muy Adecuado
7 Muy Adecuado
8 Muy Adecuado
9 Muy Adecuado
10 Muy Adecuado
.
C1: Muy Adecuado .............. ........................x ≤ 0,40
C2: Bastante Adecuado..................................0,40 < x ≤ 1,1
C3: Adecuado ..................................................1,1 < x ≤ 2,8
C4: Poco Adecuado........................................... 2,8 < x ≤ 3,09
C5: No Adecuado ............................................... x > 3,09
60
ANEXO 19 GUÍA PARA EL DESARROLLO DE LOS TALLLERES METODOLÓGICOS. 1. Objetivo General.
Perfeccionar la propuesta inicial de estructuración didáctica dirigida a favorecer
la formación y desarrollo de la capacidad específica para identificar problemas
matemáticos.
2. Orientaciones generales para el desarrollo del taller por parte del investigador.
3. Exposición de los presupuestos teóricos que sustentan la propuesta de
estructuración didáctica.
• Definición de problema matemático.
• Caracterización de los elementos de la estructura externa.
• Definición funcional y operativa de la identificación de problemas
matemáticos.
• Base de contenidos, sistema de acciones intelectuales, dimensiones e
indicadores correspondientes a esta capacidad específica.
• Resumen sobre los resultados obtenidos a partir de las indagaciones
empíricas: observaciones a clases, encuestas y pruebas pedagógicas.
4. Presentación de una síntesis de la propuesta de estructuración didáctica.
5. Formación de equipos integrados por maestros de primero y segundo ciclos,
para
el análisis de la propuesta a partir de los siguientes aspectos:
• Objetivo general y objetivos específicos.
• Las orientaciones relativas al diagnóstico.
• La tipología de ejercicios con carácter propedéutico.
• Las consideraciones metodológicas para la elaboración, realización y
control de los ejercicios.
• Su adaptabilidad a las condiciones actuales de la Educación Primaria.
6. Análisis colectivo a partir de las reflexiones realizadas por cada uno de los
equipos.
SÍNTESIS DE LAS PRICIPALES REFLEXIONES DERIVADAS DE LOS
TALLERES METODOLÓGICOS.
• Se valora que la propuesta de estructuración didáctica es viable y que su
aplicación en la Educación Primaria, puede favorecer el rendimiento de
61
los alumnos al resolver tareas relativas al trabajo con problemas
matemáticos.
• Resultó de gran interés el análisis de las dificultades reveladas a partir de
las indagaciones empíricas, lo que motivó el debate relacionado con las
causas que las generan. De igual forma, se reflexionó en aspectos en la
estructuración didáctica
• Las orientaciones que se ofrecen relativas al diagnóstico y a los ejercicios
propedéuticos, así como las consideraciones metodológicas para la
elaboración, realización y control de los ejercicios, son de gran utilidad
práctica.
• Se sugiere una mayor ejemplificación a partir de la tipología de ejercicios
con carácter propedéutico y la sugerencia de actividades a desarrollar en
el primero y segundo ciclos.
62
ENCUESTA A EXPERTOS. Estimado(a) colega: La visión que la comunidad internacional tiene de la Educación Matemática, ha evolucionado durante los últimos treinta años. En la actualidad existe un cierto consenso al considerar que el trabajo con problemas matemáticos, continúa desempeñando un papel trascendental en la enseñanza y el aprendizaje de esta disciplina, en los diferentes niveles de educación, especialmente en la Educación Primaria. Además se considera necesario abordar el trabajo con problemas matemáticos a partir del desarrollo de tres capacidades específicas. Identificación, formulación y resolución de problemas. Como resultado de las indagaciones teóricas y empíricas desarrolladas por el autor, a lo largo de esta última década, se ha podido constatar que sobre la resolución de problemas matemáticos existe una amplia bibliografía basada en los resultados de investigaciones desarrolladas por autores nacionales y extranjeros; más recientemente se ha incursionado en el campo de la formulación de problemas matemáticos. En esta dirección se ha comprobado que con respecto a la identificación de problemas matemáticos, no se manifiesta la misma situación. Por tal razón, se propone una Estructuración Didáctica para la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria, que puede favorecer el desarrollo de esta capacidad en los escolares de este nivel de enseñanza. En función de obtener información acerca de la propuesta y atendiendo a su experiencia profesional en la enseñanza de la Matemática, se solicita su valoración al respecto.
1. Según su criterio, marque con una cruz, en orden creciente, el valor que se corresponde con el grado de conocimiento que usted tiene sobre el tema:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Entre las fuentes que le han permitido enriquecer sus conocimientos relacionados con el tema, sometemos a su consideración algunas de ellas, para que evalúe el grado de influencia de cada una, en las categorías de: Alto, Medio, y Bajo.
Grado de influencia de cada una de las fuentes Fuentes de argumentación A ( alto) M (medio) B (bajo)
Análisis teórico realizado por usted.
Su propia experiencia obtenida
Trabajos de autores nacionales.
Trabajo de autores extranjeros
Su conocimiento del estado del problema en el extranjero
Su intuición
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Síntesis de los aspectos que componen la Estructuración Didáctica para la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria
• Presupuestos teóricos de partida En el proceso de enseñanza aprendizaje que se desarrolla en la Educación Primaria, se debe privilegiar el trabajo con problemas matemáticos, no solamente dirigido a la resolución sino también a la formulación y a la identificación de estos problemas, por parte de los escolares. La identificación de problemas matemáticos se define desde el punto de vista funcional como una capacidad específica que se desarrolla en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y que se configura en la personalidad del individuo al sistematizar la base de conocimientos y el sistema de acciones intelectuales necesarios para el desarrollo de esta capacidad específica. Se debe lograr una determinada calidad en esta adquisición y sistematización de los conocimientos y acciones, haciendo uso de la metacognición y con una adecuada motivación. Desde el punto de vista operativo, se concibe como la actividad de estudio que consiste en reconocer la existencia de los elementos de la estructura externa de un problema matemático y las relaciones entre ellos, así como la correspondencia de la situación narrada con la realidad. Para lograr identificar un problema matemático es condición necesaria poseer una base de conocimientos adecuadamente estructurada, que siguiendo el criterio que se asume en esta tesis, está conformada por
Concepto de problema matemático. Elementos de la estructura externa de un problema matemático. Conocimientos matemáticos específicos sobre los que trata el problema. Conocimientos generales sobre la situación narrada.
Para que la identificación de problemas matemáticos constituya una manera de pensar, de dar sentido a la tarea propuesta, de favorecer un entorno apropiado para el trabajo con problemas, los alumnos deben realizar las siguientes acciones intelectuales.
Analizar la información dada. Reconocer los elementos de la estructura externa del problema. Establecer las relaciones entre los elementos de la estructura externa Descubrir la contradicción entre lo dado y lo buscado. Valorar el sentido lógico del problema.
La identificación de problemas matemáticos, en la enseñanza aprendizaje de esta asignatura, está conformada por tres dimensiones: la dimensión procesal, la dimensión operacional y la dimensión motivacional.
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En la dimensión procesal de esta capacidad específica, están implícitos los procesos psíquicos que intervienen en la identificación de problemas matemáticos. Estos son: sensopercepción, memoria, imaginación y pensamiento.( Rubistein, S.L 1986; Córdova M.D 1997) Para la caracterización de esta dimensión se asume el argumento que aporta Rubistein (1986), donde expresa que para el estudio de las capacidades, hay que abordar la calidad de los procesos mediante los cuales se regula el funcionamiento de estos. Este argumento, conduce a que se considere como un indicador la calidad procesal que “expresa la caracterización cualitativa de las acciones intelectuales, por ende, de los procesos sobre cuya base estos transcurren” ( Córdova, M.D. 1997; p.63) El otro indicador que se asume para caracterizar la dimensión procesal, es la metacognición, que incluye dos aspectos que se consideran esenciales para la identificación de problemas matemáticos en la enseñanza aprendizaje: el metaconocimiento y el control ejecutivo, los que permiten valorar la autorregulación de la actividad intelectual, así como el carácter consciente del proceso de identificación de problemas matemáticos. La dimensión operacional, incluye como indicadores el sistema de acciones intelectuales, necesario para identificar un problema matemático y la base de conocimientos adecuadamente estructurada que deben poseer los escolares de la Educación Primaria, para ejecutar exitosamente esta actividad. Debe dominar, entre otros aspectos, el concepto de problema matemático, los elementos de la estructura externa del problema, así como las relaciones que pueden establecerse entre ellos. En la dimensión motivacional para el trabajo con problemas matemáticos, resulta estimulante para el alumno el hecho de descubrir la contradicción entre la situación dada y la situación deseada. Esto genera la motivación para resolver dicha contradicción. Se asumen como indicadores las motivaciones predominantemente intrínsecas hacia la identificación de problemas matemáticos y el sistema de autovaloraciones y expectativas positivas con respecto al aprendizaje escolar. La concepción general de esta propuesta de estructuración didáctica, se puede observar en el esquema que se ofrece a continuación, donde se expresan las relaciones entre los componentes que la integran.
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ESTRUCTURACIÓN DIDÁCTICA
COM
IDE
OBJETIVO GENERAL
CARACTERIZACIÓN
PONENTES ESENCIALES
EJERCICIOS PROPEDÉUTICOS
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
DIAGNÓSTICONTIFICACIÓN DE PROBLEMAS
EVALUACIÓN
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La estructuración didáctica que se propone, constituye una conceptualización y un ordenamiento de la base de conocimientos y del sistema de acciones intelectuales necesarios para la identificación de problemas matemáticos, expresados en las relaciones de interdependencia que se establecen entre los componentes esenciales: diagnóstico, ejercicios propedéuticos y las consideraciones metodológicas para la elaboración, realización y control de los ejercicios. El objetivo general que se propone es: Identificar problemas matemáticos como elemento potenciador para el trabajo con problemas en la Educación Primaria. Los propósitos específicos son los siguientes:
• Estimular el desarrollo de la flexibilidad del pensamiento en los escolares de la Educación Primaria.
• Contribuir al desarrollo del pensamiento creador.
• Fortalecer el trabajo en función del establecimiento de las relaciones
entre la unidad y la diversidad. • Favorecer el aprendizaje desarrollador de la Matemática a través de
la identificación de problemas matemáticos por parte de los escolares de la Educación Primaria.
Caracterización. Esta propuesta se diseña teniendo en cuenta:
a. Las transformaciones que se han operado en la Educación Primaria y que tienen una implicación directa en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje en este subsistema, entre las que se destacan las siguientes:
• Las aulas de la Educación Primaria, en Ciudad de la Habana, a partir del
curso 2002-2003, cuentan con una matrícula de hasta 20 alumnos, lo que favorece la aplicación de nuevas variantes para la conducción del proceso de enseñanza aprendizaje.
• La incorporación de un número significativo de maestros noveles a las
aulas de la enseñanza primaria, en la Ciudad de la Habana, origina la necesidad de ofrecer alternativas metodológicas en función de garantizar el éxito en su desempeño profesional para elevar la calidad de la Educación Primaria.
b. Los resultados obtenidos a partir de las indagaciones teóricas y empíricas realizadas por el autor, relativas a la identificación de problemas matemáticos en la Educación Primaria, revelan:
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• Las deficiencias que manifiestan los escolares de la Educación Primaria relacionadas con el dominio de la base de conocimientos y el desarrollo de las acciones intelectuales necesarios para la identificación de problemas matemáticos.
• La ausencia de una sistematización teórica relacionada con la
identificación de problemas matemáticos.
Diagnóstico: La labor del maestro demanda que su trabajo docente se caracterice por una actuación diversificada que se acompañe de una reflexión constante acerca de lo que ocurre en el aula y cómo ocurre, o sea identificar las necesidades individuales y grupales con la perspectiva de proponer acciones transformadoras, lo que presupone el conocimiento integral de la actuación del alumno en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje. El diagnóstico está dirigido a la obtención de evidencias sobre el estado actual de los escolares, con respecto a la identificación de problemas matemáticos y a precisar las potencialidades de desarrollo que existen en cada alumno, así como las tendencias más generales que se manifiestan en el grupo docente. Específicamente, en este proceso de diagnóstico se asume como objeto, la identificación de problemas matemáticos y como marco conceptual la base de conocimientos y el sistema de acciones intelectuales correspondientes a esta capacidad específica. Si bien el autor de esta tesis sugiere la aplicación de determinados instrumentos para complementar el diagnóstico, se aspira esencialmente a que el maestro a través de su trabajo sistemático y a partir de un diseño adecuado de los ejercicios propuestos relativos al trabajo con problemas matemáticos, de la organización para la realización de los mismos y de la aplicación de técnicas novedosas para el control, pueda obtener el diagnóstico integral, (individual y grupal) con respecto a la identificación de problemas matemáticos. El maestro podrá realizar un pronóstico de las tendencias de cambio de los estudiantes, partiendo del desarrollo real de cada escolar, y ofreciendo oportunidades a través de la proyección de estrategias a nivel individual y grupal, para acortar la distancia entre la zona de desarrollo real y la zona de desarrollo potencial de cada alumno. Ejercicios propedéuticos. Los ejercicios propedéuticos constituyen herramientas importantes que propician el tránsito progresivo de los escolares hacia la zona de desarrollo potencial, a través de la creación de condiciones favorables para el desarrollo de procesos cognitivos y afectivos, tomando como punto de partida la
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determinación del nivel en que se ubica cada alumno con respecto a la identificación de problemas matemáticos. La finalidad de estos ejercicios es entrenar a los alumnos para que puedan ejecutar otros con un mayor nivel de complejidad, tomando en consideración los resultados del diagnóstico, así como las exigencias de los ejercicios que serán propuestos a los escolares, favoreciendo el tránsito del nivel logrado al nivel que se aspira obtener en cada alumno. Un propósito que se persigue con estos ejercicios es, contribuir a través de su realización, a que los alumnos profundicen en los elementos que componen la estructura externa de un problema matemático ( datos, condiciones y exigencias), así como en el concepto de problema matemático, tomando en consideración que estos aspectos le dan unidad y coherencia al trabajo con problemas matemáticos en la Educación Primaria. Los ejercicios propedéuticos permiten que los alumnos establezcan conexiones más profundas entre los elementos que componen la estructura externa de un problema matemático, lo que propicia que se hagan más diestros no solo en la identificación de las características esenciales de cada uno de estos elementos, sino en la identificación de las conexiones subyacentes entre ellos. Consideraciones metodológicas. Las consideraciones metodológicas constituyen un conjunto de ideas dirigidas especialmente a precisar las exigencias a tener en cuenta para: la elaboración, la realización y el control de los ejercicios, encaminadas a favorecer que el proceso de enseñanza aprendizaje relativo a la identificación de problemas matemáticos instruya, eduque y desarrolle. Consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios. Las consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios, expresan las exigencias a tener en cuenta desde el punto de vista afectivo, cognitivo y motivacional, a partir de las evidencias emanadas del diagnóstico, con vistas a favorecer la adecuada interacción de los alumnos con el ejercicio objeto de estudio, lo que ayudará a fomentar el interés de los mismos, hacia la identificación de problemas matemáticos. Para ello, se debe profundizar en la importancia que adquiere el desarrollo de esta capacidad, con la finalidad de subyugar determinados obstáculos en el trabajo con problemas matemáticos en este nivel de enseñanza. Debe lograrse que la situación inicial que aparece explícita en el ejercicio propuesto ( lo dado), esté en correspondencia con el nivel de desarrollo actual del estudiante, pero que el proceso requerido para resolver dicho ejercicio ( lo buscado, lo desconocido por el estudiante), esté en correspondencia con el desarrollo potencial para que de esta forma se genere el componente desarrollador.
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Se sugiere la selección de situaciones que expresen los logros de la Revolución en las diferentes esferas: económica, política, cultural, deportiva, recreativa y social, donde se refleje la situación actual, especialmente el impacto de los más de 150 nuevos programas de la revolución que se desarrollan actualmente en el país. Lograr que la forma de presentación de los ejercicios, propicie que los alumnos no se formen esquemas que le resulten dañinos para el análisis que deben realizar ante nuevas situaciones, por lo que estos deben propiciar la búsqueda reflexiva de la información. Garantizar que se produzca en el alumno un estado de alerta al analizar cada ejercicio para evitar, entre otros conflictos, la tendencia a la ejecución. La situación que se describe en el ejercicio, debe resultar motivante para el alumno, teniendo en cuenta que la contradicción que se genere lo propicie y considerando los intereses, inquietudes y necesidades de los alumnos. Se sugiere la planificación previa de ejercicios diferentes, a partir de las características individuales de cada alumno y que los mismos admitan la aplicación de determinadas transformaciones para que se puedan obtener ejercicios con nuevas exigencias. Los ejercicios que se formulen, deben favorecer el adiestramiento necesario de los alumnos, para la asimilación de la base de conocimientos y para el desarrollo de las acciones intelectuales correspondientes a la identificación de problemas matemáticos. La concepción a seguir para la elaboración de los ejercicios, se considera decisiva para garantizar el cumplimiento del objetivo general y de los propósitos específicos a los que se aspira con esta Estructuración Didáctica, teniendo en cuenta las posibilidades que deben ofrecer para despertar el interés de cada alumno y del grupo en general, hacia la identificación de problemas matemáticos. Consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios. Las consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios expresan las exigencias a tener en cuenta para favorecer la interacción maestro-alumno y alumno- alumno, durante el proceso de resolución de los ejercicios propuestos por el maestro y/o creados por los propios alumnos. La interacción maestro- alumno, durante la realización de los ejercicios, permite al maestro la indagación sistemática de las posibilidades de cada alumno y en consecuencia, la orientación precisa de la ayuda que cada uno requiere. Para lograr la adecuada interacción alumno-alumno, se precisa de la combinación ordenada de las formas de trabajo individual y grupal. Para ello, el maestro debe conjugar armónicamente aspectos tales como: las
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características de los ejercicios, los resultados del diagnóstico de cada alumno, el momento del curso, entre otros aspectos. Los enfoques contrapuestos a la enseñanza tradicional, relativos al trabajo con problemas matemáticos, exigen que los alumnos desempeñen un papel cada vez más activo en la realización de los diferentes ejercicios, por lo que se considera que la acción del alumno no debe limitarse a resolver los que propone el maestro, sino a generar, a crear otros que puedan resultar interesantes. En la realización de los diferentes ejercicios que se proponen, se debe conseguir la armonía entre el trabajo individual y grupal, estimulando la socialización de los resultados entre los alumnos, como una de las vías para garantizar la motivación durante este proceso. Lograr que los alumnos se sientan motivados durante la realización de los ejercicios, contribuye a que estos ganen claridad de la importancia de la identificación de problemas matemáticos, para el trabajo con problemas. Tanto el maestro como los alumnos deben estar dispuestos a proporcionar la ayuda a los que la necesiten, pero siempre se debe propiciar que los alumnos sean capaces de superar las dificultades por si solos. El maestro, en la realización de estas actividades debe lograr que los alumnos puedan crear situaciones similares y diferentes a las propuestas, más que enseñarles como deben resolverse. Durante la realización de los ejercicios por parte de los escolares, el maestro observará sistemáticamente el comportamiento que los mismos manifiestan, con respecto al tránsito progresivo del nivel logrado, al nivel deseado. En este sentido, se aprovecharán las posibilidades para la orientación de manera dinámica, de otros ejercicios, cuando el alumno concluya los orientados. El maestro debe incentivar el desarrollo de relaciones éticas fundamentadas en el éxito y en la cooperación de los alumnos, tanto en lo académico como en lo formativo. Consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios. Las consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios expresan las exigencias a tener en cuenta en función de favorecer el tránsito progresivo del control externo (el que realiza el maestro u otro compañero), al control interno o autocontrol, enalteciendo cada vez más el control que el niño despliega de su propio aprendizaje. El maestro debe identificar acertadamente cuándo y cómo promover conflictos entre los alumnos con la finalidad de motivarlos, no solamente para el análisis de la solución del ejercicio planteado, sino para la creación de nuevas situaciones como un elemento esencial para propiciar el desarrollo.
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Fomentar el desarrollo de una cultura para el tratamiento del error así como para el análisis reflexivo de las causas que lo originan, siendo crítico con los demás y al mismo tiempo tolerante, desarrollando una actitud de cooperación hacia los compañeros. Resulta de gran utilidad el hecho de que el maestro ofrezca igualdad de oportunidades a todos los alumnos para que expongan sus puntos de vista. El maestro debe lograr que los alumnos hagan explícitas sus concepciones acerca de la vía seleccionada y de la solución obtenida. El énfasis que el maestro debe realizar, cuando solicita a los alumnos que expliquen el modo de proceder empleado, está justificado por el hecho de que aún cuando dos o más alumnos obtienen el mismo resultado y es el correcto, existen diferencias en el nivel de desarrollo alcanzado por ellos, que evidencian modos de proceder desiguales al resolver un mismo ejercicio. En el control de los ejercicios se propiciará la relación alumno-grupo, para lo que el maestro estimulará la participación de la mayor cantidad posible de alumnos y la valoración colectiva de los resultados expuestos, estimulando el análisis reflexivo, derivado de la manifestación de puntos de vista que pueden ser diferentes. Evaluación La evaluación concebida en esta estructuración didáctica, es el componente que influye en todo el proceso de desarrollo de la capacidad para identificar problemas matemáticos. Permite valorar cuantitativa y cualitativamente los cambios que ocurren en el aprendizaje de los alumnos, así como el rediseño de acciones transformadoras. Se sugiere la aplicación de cuatro tipos fundamentales de evaluación, que se emplearán atendiendo a los propósitos de cada uno en diferentes momentos y que son los siguientes:
• Evaluación Diagnóstica: Se realizará al inicio de cada curso escolar y a partir de las evidencias obtenidas por el maestro de manera sistemática. Permitirá conocer la situación del aprendizaje de cada escolar relativo a la identificación de problemas matemáticos y propiciará determinar tanto el nivel actual, como el nivel potencial. Derivado de ello se proyectarán acciones transformadoras en correspondencia con las
tendencias de cambio relativas a este objeto. • Evaluación Formativa: Se realizará de manera sistemática durante
todo el curso escolar, empleando como formas fundamentales las siguientes: los resultados de cada alumno en las clases relativas al trabajo con problemas matemáticos, la realización de cortes parciales y las evaluaciones al concluir cada uno de los tres primeros períodos.
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• Evaluación Sumativa: Esta evaluación se aplicará al concluir cada curso escolar para determinar el nivel alcanzado por cada alumno con respecto al dominio de la base de conocimientos, así como el desarrollo de las accione intelectuales correspondientes a la identificación de problemas matemáticos.
En la instrumentación práctica de estos tres tipos de evaluación, se realizará el análisis de los resultados a partir de una escala que permita determinar si el estado de cada alumno es: Muy Adecuado, Bastante Adecuado, Adecuado, Poco Adecuado e Inadecuado, lo que facilitará el diagnóstico objetivo del grupo y la elaboración de estrategias en el ámbito grupal.
• Evaluación de Impacto: Para la evaluación de impacto se prevé la
posibilidad de su aplicación: al concluir el 2do, el 4to y el 6to grados de la Educación Primaria. O sea, en correspondencia con los tres momentos del desarrollo en los escolares primarios. Posibilitará determinar, además del dominio que manifiestan los escolares de la identificación de problemas matemáticos, la incidencia de la instrumentación de esta estructuración didáctica en la formulación y en la resolución de problemas.
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Marque con una X, según su opinión, la alternativa que considere en cada uno de los siguientes aspectos, atendiendo a las categorías: MA: Muy adecuado BA: Bastante adecuado PA: Poco adecuado I: inadecuado
No Aspectos a valorar
C1 Muy Adecuado
C2 Bastante Adecuado
C3 Adecuado
C4 Poco Adecuado
C5 No Adecuado
1 Presupuestos teóricos de partida
2 La concepción general de la propuesta de estructuración didáctica
3 El objetivo general y los propósitos
4 Las orientaciones relativas al diagnóstico
5 Las precisiones relacionadas con los ejercicios propedéuticos
6 Las consideraciones metodológicas para la elaboración de los ejercicios
7 Las consideraciones metodológicas para la realización de los ejercicios
8 Las consideraciones metodológicas para el control de los ejercicios
9 La concepción para la evaluación de la estructuración didáctica
10 Su adaptabilidad a las condiciones actuales de la Educación Primaria
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Considerando los números correspondientes en que aparecen los diferentes aspectos de la estructuración didáctica, refiera lo que sugiere modificar o adicionar en cada uno de ellos.
Aspectos de la
estructuración
A modificar A incluir
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4
5
6
7
8
9
10
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