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La eNSeÑaNza De La DiviSióN eN 4.º aÑOentrevista a la profesora ángela crochi

¿Cuáles son las dificultades que presenta la enseñanza de la división en 4.º año? De las cuatro operaciones básicas, la división es la de mayor dificultad didáctico-metodológica. En el caso particular de 4.º año, adquiere dificultades específicas que se relacionan, funda-mentalmente, con:•laintroduccióndenúmerosdedoscifrascomodivisores.Estocomplejizaeltrabajoquesevenía haciendo en años anteriores con la división por una cifra.•lapresentacióndeenunciadoscadavezmáscomplejosymenosevidentesdesituacionespro-blemáticas que se pueden resolver mediante una división. Por ejemplo, en este ciclo los alumnos deben interpretar que cuando aparece la palabra “repartir” en el enunciado, no necesariamen-te hay que dividir. Por ejemplo: “Luisa tenía cierta cantidad de dinero. Repartió $400 entre sus cuatro hijos y le quedaron $350. ¿Qué cantidad de dinero tenía?”. Este problema no requiere de la división para ser resuelto.

Por otro lado, mientras que en primer ciclo los alumnos solo trabajan con números naturales (enteros positivos), desde el inicio del segundo ciclo se incorporan a la currícula los números racionales. En los siguientes casos, la división no tiene solución entera:

•Dividendomenorqueeldivisor. Por ejemplo, 1 : 4 = 14 = 25

100 = 0,25.•Dividendomayorqueeldivisor. Por ejemplo, 15 : 12 = 15

12 = 125100 = 1,25.

¿Qué proponen los diseños curriculares con respecto a la enseñanza de la división en 4.º año? Los diferentes diseños y documentos curriculares expresan claramente que la enseñanza de una operación aritmética no se agota de manera alguna en el dominio mecánico del algoritmo; se trata de construir el sentido de cada una de las operaciones. Básicamente, la enseñanza de la división se apoya en el trabajo sobre tres ejes que se van re-troalimentando:

1- Resolver, plantear y discriminar problemas asociados a la división.Este eje, a su vez, se sostiene en los siguientes lineamientos:

•Losproblemascomounobjetodeestudiomásenlasclasesdematemáticaynocomoun mero medio para que “practiquen cuentas”.

•Lasdiversasyvariadasformasmediantelascualessepuederesolverunproblema.

Ángela Crochi es profesora de Enseñanza Primaria, licenciada en Psicología y especialista en neuropsicología cognitiva.Actualmente se desempeña como docente universitaria en la carrera de Psicopedagogía de la UCA y como consultora sobre temas de la especialidad.

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•Losdiferentessentidosquepuedeadquirirlaoperaciónendistintoscontextos(repar-to, partición, organización rectangular, iteración) y la diferenciación entre divisiones exactas y con resto distinto de cero.

En los ejemplos se muestran los diferentes sentidos de la división:- Reparto: Se deben repartir 40 cartas entre 5 participantes. ¿Cuántas cartas recibe cada uno? Respuesta: Recibe 8 cartas cada uno. Se reparte equitativamente la cantidad expresada en el dividendo.

- Partición: Marcos tiene 40 stickers y quiere colocar 6 en cada página de su cuaderno. ¿Cuántas

páginas completas puede decorar con stickers? Respuesta: Puede decorar 6 páginas completas. Estos casos de partición presentan dificultades para los alumnos porque el reparto ya

está planteado en el enunciado.

- Organización rectangular: Una biblioteca tiene 10 estantes con la misma cantidad de libros en cada uno. Si en

total la biblioteca tiene 1.200 libros, ¿cuántos libros hay en cada estante? Respuesta: Hay 120 libros en cada estante. En este tipo de problemas los chicos pueden plantear la multiplicación para resolverlos

apoyándose en la tabla pitagórica. Es interesante promover el uso de la tabla también para resolver problemas donde se trabajen otros sentidos de la división.

- Iteración: Juan cumplió 9 años el 11 de marzo de 2012. Luego de 8.435 días ¿cuántos años más

habrá cumplido? Respuesta: Habrá cumplido 23 años más. En estos casos, es esperable que los alumnos planteen sumas (o restas) reiteradas, ya

que todavía es muy difícil que usen la división para resolverlos.

2- Descubrir, profundizar y sistematizar estrategias de cálculo.En los problemas presentados, a menos que respondan a un objetivo específico de enseñanza, no se debe exigir una forma única y privativa de resolverlos. Se deben promover situaciones para que los alumnos desplieguen sus conocimientos y pongan a prueba diferentes hipótesis a través de distintas estrategias de resolución.

3- Relacionar la división con otros temas de particular interés, fundamentalmente series pro-porcionales y divisibilidad.

¿Qué temas se deben trabajar en 4.º año? En 4.º año se deben desarrollar los siguientes temas relacionados con la enseñanza de la división.

•Diferenciacióndelosdistintoselementosdeladivisión(dividendo,divisor,cocienteyresto).

•Clasificacióndelasdivisionesen“exactas”(conrestocero)y“conrestodistintodecero”.

•Usodelatablapitagóricapararesolverdivisiones.

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•Usodelatablapitagóricaparaconceptualizarladivisióncomooperacióninversadelamultiplicación.

•Aplicaciónyanálisisdelalgoritmodeladivisiónpor1cifray2cifras.•Cálculomental:exactoyaproximado.•Distintossentidosdeladivisión:reparto,partición,organizaciónrectangular,itera-

ción.•Problemasquesepuedensolucionaratravésdeunadivisión,siendolaincógnitael

cociente, el divisor, el dividendo o el resto. •Conceptualizarelrestocomo“necesariamentemenorqueeldivisor”(análisisdelres-

to). •Propiedadesdelasoperacionesaritméticasconrespectoaladivisión:investigarcuá-

les se cumplen y cuáles no a través de comparación de resultados.•Propiedadesdeladivisióncomoformadeaplicarestrategiasdecálculo.•“Ecuaciones”sencillasparaaveriguareldividendo,eldivisoroelresto.•Divisióncombinadaconotrasoperaciones,yaseaensituacionescontextuadasoen

cálculos combinados con y sin uso de paréntesis. •Relaciónentreladivisiónplanteadayelnúmerodecifrasdelcociente.

¿Cómo se trabaja la enseñanza de la división en GPS+ Matemática 4?En GPS+ Matemática 4, la enseñanza de la división se inicia en la actividad 13 del capítulo 2 (pág. 27) donde se utiliza la tabla pitagórica para conceptualizar la división como operación inversa de la multiplicación. En la actividad siguiente se presentan tres problemas en donde aparecen distintos sentidos de la división (“reparto” en a., “organización rectangular” en b. y “análisis del cociente y del res-to” para reconocer cuál es la solución en c.). Es fundamental realizar una puesta en común con los alumnos para que se evidencien los distin-tos sentidos trabajados en cada problema, poniendo especial atención en el ítem c. Asimismo, es importante guiar a los alumnos para que recurran a la tabla pitagórica como “me-dio de consulta”, ya sea para buscar y/o comparar resultados, para realizar autocorrecciones, etc. De la misma forma, puede resultar interesante usar la tabla pitagórica en las divisiones exactas y en las que tienen resto distinto de cero. Por ejemplo, para calcular el resto de una división.Particularmente, creo fundamental analizar con detenimiento las posibilidades conceptuales que ofrece la actividad 17 del capitulo 2 (pág. 28), donde se presentan cuatro problemas que se pueden resolver con la misma división (32 : 5). En “Recalculando” se plantean preguntas para que los alumnos lleguen a la conclusión de que, si bien en todos los casos se resuelve el proble-ma con la misma cuenta, la solución no es la misma, ya que se deben tener en cuenta distintos elementos de la división.Esta actividad se puede enriquecer y profundizar comparando los planteos; por ejemplo, con preguntas como las siguientes: ¿Qué ocurre con “el resto” en el problema a.? ¿Y en el c.? En este caso, se busca que los alumnos identifiquen que los $2 que quedaban como resto en el problema c. se pueden seguir repartiendo y en el caso de las tarjetas (problema a.), no. Este tipo de contextualizaciones permitirán "preparar el terreno” para la enseñanza de las ex-presiones decimales.

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¿Qué páginas web pueden resultar útiles para que el docente profundice el tema? Algunas páginas web que el docente puede utilizar son las siguientes:

•http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/division.pdf

•http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/La_Divisibilidad#Hablemos_un_poco_m%C3%A1s_de_la_divisi%C3%B3n

•http://recursostic.educacion.es/primaria/cifras/web/pr/generales/probMultDiv.pdf•http://www.fundacionsocrates.org/materiales/primaria/cuarto

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NOtaS

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Nuestra propuesta

Entendemos que aprender matemática es un proceso en el cual intervienen muchos factores; no alcanza con manejar técnicas o memorizar conceptos. Su enseñanza debe plantearse de forma tal que permita la construcción de conocimientos a partir de la resolución de problemas. Las actividades propuestas deben plantear un desafío para los alumnos y favorecer procesos de reflexión permanente. La propuesta incluye la discusión sobre la práctica realizada en el aula tanto entre los alumnos como entre los alumnos y el docente. La idea es promover ambientes de trabajo en donde los alumnos expliquen cómo resolvieron una actividad, debatan acerca de los procedimientos uti-lizados, decidan cuál es el más adecuado o el más económico para llegar a una conclusión.Este tipo de trabajo hace que la construcción del conocimiento sea una actividad verdadera-mente significativa.Incluimos también momentos para que los alumnos socialicen las soluciones obtenidas: mu-chos problemas tienen más de una solución o no tienen ninguna y es importante que se analice la validez de las mismas.

estructura general de GPS+ Matemática

El libro está dividido en bloques de dos o tres capítulos. De esta forma el docente puede op-tar por variar el orden de acuerdo con su plani-ficación anual. Por ejemplo, se puede trabajar el primer capítulo del bloque de Geometría y espacio antes de finalizar el de Números ra-cionales.Cada bloque comienza con una portada. Allí se detallan los capítulos que incluye y los conte-nidos. Se hace una breve introducción a tra-vés de una referencia histórica o curiosa para generar interés en los alumnos.

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estructura general de cada capítulo

En cada capítulo se desarrollan siempre tres contenidos.Las actividades, además de seguir una secuencia adecuada para la construcción del conocimien-to, están pensadas estratégicamente para que cada contenido quede en una hoja. Entendemos que esto puede ayudar al docente para realizar tareas de seguimiento y corrección.Las actividades especiales que se plantean en cada capítulo tienen como objetivo que los alumnos:

•desarrollenestrategiasderesolucióndeproblemas;•propongandistintasconclusionesylasregistren;•comprendanlamatemáticadesdeotraperspectiva;•utilicenmediostecnológicosparaaprendermássobreloscontenidostrabajadosenla

clase.

características especiales de cada capítulo

• Apertura del capítulo: cada capítulo comienza con una ilustración a doble página que aporta información para la situación problemática que se de-sarrolla.Estas situaciones, además de ser in-troductorias del capítulo, apuntan a trabajar distintos aspectos del pro-blema para que los alumnos utilicen y desarrollen estrategias de resolución.Por ejemplo, se pide a los alumnos:

•queescribanpreguntasapartirdeunainformación;•queescribanunapreguntaapartirdeunasituaciónylarespuesta;•queresuelvansituacionesquenotenganunaúnicasolución;•quecambienlosdatosdeunproblema,peroquesemantengalamismasolución,etc.

Cada apertura incluye una nueva estrategia de resolución. Este tipo de actividades aparecen también durante el desarrollo de los contenidos para afianzar su utilización.Además de trabajar una estrategia de resolución de problemas determinada, con esta actividad se busca recuperar conoci-mientos previos para ponerlos “en acción”. En la página siguiente a la apertura, se propone una reflexión grupal acerca de la estrategia de resolución utilizada en la aper-tura.

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• MateTic: en esta plaqueta se presentan distintos recursos tecnológicos para trabajar los te-mas del capítulo.Se puede utilizar para ampliar lo visto en la apertura o para dar una mirada general sobre próxi-mos temas. En los primeros capítulos se trabaja con la calculadora para afianzar su uso e introducir distin-tas estrategias de cálculos. En los siguientes, básicamente se invita a visitar distintas páginas web con videos, juegos y actividades para recuperar los contenidos. Se invita también a volver a estas páginas una vez que se hayan visto esos contenidos.

• Plaquetas teóricas: brindan definiciones breves y algunos ejemplos que ayudan a resolver las actividades sin tener que recurrir al comple-mento teórico.Hay plaquetas teóricas centrales, que son previas a las actividades de las que sirven de apoyo, o laterales, que están asociadas a una acti-vidad concreta.

• Plaqueta Recalculando: se presentan preguntas para la reflexión grupal; están rela-cionadas con las activida-des precedentes y permiten registrar conclusiones sobre el trabajo realizado. Aparece siempre una por cada contenido trabajado.

• El Integrador: se brindan más actividades para in-tegrar todos los temas trabajados en el capítulo.

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en el libro aparecen distintas secciones especiales

Desafío GPS: se incluyen juegos, desafíos y curio-sidades para desarrollar diferentes capacidades en los alumnos. El objetivo es brindar un espacio distinto de trabajo para que sigan disfrutando de la matemática.Esta sección aparece al final de cada bloque, previo a los trabajos prácticos.

Trabajos prácticos: sirven para afianzar lo trabajado al finalizar cada bloque y se presenta uno por cada capítulo. Al igual que las actividades de cada con-tenido, se desarrollan en una hoja para favorecer procesos de corrección.Al comienzo de esta sección hay una portada, y en la página siguiente, una tabla para el registro de fechas de en-trega y escritura de la evaluación.

Recortables: aparecen al final del libro. Se in-cluyen figuras, tarjetas, tablas y cuadros para registrar y organizar la información. Es un mate-rial que está relacionado con las actividades del libro, plaquetas y secciones.

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Saberes para guardar

Este complemento presenta una serie de fichas teó-ricas que sirven para el repaso de los temas, siendo una excelente herramienta de apoyo para los alum-nos, padres y docentes. Dejamos abierta la forma de uso teniendo en cuenta la realidad de la escuela y del grupo de alumnos.

Las explicaciones son claras y amigables para que puedan ser exploradas y comprendidas tanto por los alumnos como por sus padres. En general, se propo-nen ejemplos para que los alumnos analicen distintas estrategias de resolución y les sirvan de base para ge-nerar otras.

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actividades de apertura de capítulo: tabla de estrategias

estrategia actividad actividad de reflexión

capí

tulo

1 (p

ágs.

10-1

1)

Escribir pregun-tas que se co-rrespondan con un enunciado y la solución.

1. Piensen dos preguntas que se puedan responder teniendo en cuenta la imagen de la fábrica de ham-burguesas.2. Inventen preguntas para cada una de las siguien-tes respuestas.•Faltancargar93cajasde1.000hamburguesascadauna.•Elcamiónpuedecargarhasta100.000hambur-guesas.

•Vuelvanaleerlaspre-guntas que pensaron. ¿Qué información de la imagen tuvieron en cuenta para poder responderlas?

capí

tulo

2 (p

ágs.

20-2

1) Resolver pro-blemas que no tienen solución con los datos disponibles. Modificar datos para llegar a una solución.

1. Observen la situación y respondan.•Camilacompróunanotebook. Si tenía $4.000, ¿cuán-to dinero le sobró?•Además,quierecomprarunmouse, un teclado y un pen drive. Si el pen drive cuesta más caro que el mouse, ¿cuánto dinero gastará?

•¿Pudieronresolverlassituaciones anteriores? Expliquen la respuesta.•Inventendatosparaquesea posible responder a las situaciones que no pudieron. Luego, resuélvanlas.

capí

tulo

3 (p

ágs.

30-3

1)

Inventar un enunciado y pre-guntas a partir de información verbal y gráfica.

1. Inventen una situación problemática que tenga una de las siguientes respuestas.•Pudohabercomprado17botellasdeagua.•Malenanogastarálomismoporque5botellasde 1 litro de gaseosa cuestan más caro que el paquete.2. Escriban las preguntas adecuadas para cada una de las siguientes situaciones problemáticas.•Malenafuealsupermercadoycompró3paquetesdebotellas de agua y 4 paquetes de botellas de jugo.•Silas10latasdegaseosacuestan$30.

•Vuelvanaleerlaspregun-tas que pensaron. ¿Todos hicieron las mismas? Escri-ban una de cada situación y luego, respóndanlas.

capí

tulo

4 (p

ágs.

50-5

1)

Modificar datos de un problema, que ya ha sido resuelto, para obtener una so-lución distinta.

1. Emilio ya repartió las pilas, las linternas y la leche en polvo. Ahora quiere repartir la leche que le sobró.•¿Cuántoskilogramosdelechellevaronloschicosalcampamento?•¿Puederepartirtodalalecheenpolvo?Expliquenlarespuesta.•¿ParaquélepuedeserviraEmilioelvasodemedidasy las bolsitas de plástico?2. ¿Qué habría que cambiar en esta situación para que no sobre nada cuando se reparte?

•¿Todospensaronlosmismos cambios? Elijan un cambio de los que hayan propuesto y escríbanlo.

capí

tulo

5 (p

ágs.

60-6

1) Inventar un enunciado y preguntas a partir de una imagen sin datos numéricos y respuestas dadas.

1. Piensen un enunciado y las preguntas correspon-dientes a cada una de las siguientes respuestas.•Lacintaquetienelamaestratiene100cm.•100cmdecintaalcanzanparahacer10cintasde 10 cm.•Cadacintade10cmrepresenta 1

10 de la cinta que tiene la maestra.

•Vuelvanaleerlosenuncia-dos y las preguntas que es-cribieron. ¿Qué información tuvieron en cuenta cuando las pensaban? ¿Todos escri-bieron las mismas?

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estrategia actividad actividad de reflexiónca

pítu

lo 6

(pág

s. 70

-71)

Modificar datos de un problema para que se ade-cuen a la solu-ción propuesta.

1. Lean la siguiente situación y realicen los cambios necesarios para que la respuesta dada sea correcta.“Mauro está contando el dinero que recaudó con las entradas vendidas hasta el momento. ¿Qué representa el número 3,5 que se observa en la calculadora?Respuesta: El 3,5 representa la cantidad de entradas vendidas”.2. Cada talonario tiene 20 entradas. ¿Cuántas le que-dan a Mauro en su talonario?

•Expliquenelcambioquerealizaron en la actividad 1 de la página anterior.•Piensenunapreguntaquese responda mirando los datos que aparecen en la calculadora.•¿Quécuentatendríaquehacer Mauro si hubiera ven-dido 10 entradas.

capí

tulo

7 (p

ágs.

90-9

1)

Resolver pro-blemas donde los datos de la imagen no están visibles.

1. En el cuadro Cuerpos, la persona que vemos de espaldas está tapando la imagen de un cuerpo cuyas caras se unen en un punto y que tiene base rectangular. ¿De qué cuerpo geométrico se trata?2. Si el cuerpo que está tapado fuera un cubo, ¿qué pistas podrían dar a sus compañeros para que sepan de qué cuerpo se trata?

•¿Todosdieronlasmismaspistas para que identificaran el cubo en la actividad 2 de la página anterior? Escriban las características que no tuvieron en cuenta.•¿Todaslaspistasquees-cribieron fueron correctas? Identifiquen las que son incorrectas y corríjanlas.

capí

tulo

8 (p

ágs.

100-

101) Resolver pro-

blemas cuya solución surge a partir de la lectura de la imagen.

1. Para dibujar uno de los triángulos, Santi usó el com-pás y para dibujar el otro, no. ¿En cuál usó el compás? ¿Cómo se dieron cuenta?2. La maestra de Santi les pidió que pintaran el único cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales. ¿Es posi-ble?

•Comparenconsuscom-pañeros las respuestas de la actividad 1 de la página anterior. ¿Todos eligieron el mismo triángulo? Escriban las distintas explicaciones y elijan la respuesta más completa.

capí

tulo

9 (p

ágs.

118-

119)

Resolver pro-blemas donde se trabaja la correspondencia entre la informa-ción que brinda la imagen y dis-tintas afirmacio-nes en lenguaje verbal.

1. Observen la imagen e indiquen si las siguientes afir-maciones son verdaderas. Expliquen las respuestas.•LacantidaddecuadrasentrelasparadasSantamaríay Balbastro es la misma que entre las paradas Monta-ñeses y Moldes.•Danielaysutíorecorreránunadistanciamayorquelaque hay entre las paradas Balbastro y Lezica.

•¿Quéinformaciónnecesi-tan para saber si son verda-deras o falsas las expresio-nes de la página anterior?

capí

tulo

10 (p

ágs.

128-

129) Inventar un

enunciado que se corresponda con varias preguntas y sus respuestas.

1. Observen la ilustración e inventen el enunciado de una situación problemática que tenga las siguientes preguntas y respuestas.•¿AquéhoraterminadeentrenarDiego?A las 19:00 horas.•¿Cuántoslitrosdeaguatomaduranteelentrena-miento? Toma medio litro de agua.•¿Cuántosgramostienenentotallasdosbarritasdecereal que come? Tienen 140 gramos en total.

•¿Suscompañerosinventa-ron el mismo enunciado que ustedes?•¿Quédatosdelailustra-ción tuvieron en cuenta para pensar el enunciado?

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analizamos Desafío GPS

En esta sección, ampliamos algunas respuestas brindadas en la versión docente para las acti-vidades de la sección Desafío GPS.

Números naturales (pág. 40)“A desconfiar del 24”: este juego suele ser muy atractivo para los alumnos.Sugerimos solicitar con anticipación a los alumnos mazos de cartas. También se puede pedir que lean previamente las reglas del juego.

Números racionales (pág. 80)“Hámsteres para repartir”: para resolverlo, los alumnos pueden hacer el recorrido inverso por el problema. Es decir, si llegó con un hámster y le acaba de dar la mitad a Matías, quiere decir que tenía 2 y entregó 1; luego, a Seba le dio 2, ya que se quedó con otros 2. Entonces tenía 4, que es lo mismo que le dio a Pablo, por lo tanto, salió de su casa con 8 hámsteres.Sugerimos preguntar cómo lo resolvieron y si verificaron su respuesta.

Geometría y espacio (pág. 110)“Juego con triángulos”: la pregunta sobre si hubo algún empate se justifica en que puede ocurrir que se completen todas las líneas y que ninguno de los dos jugadores logre formar un triángulo de su color.

Medida (pág. 138)“Formar rectángulos I y II”: se busca reforzar el trabajo de relación entre área y perímetro.En “Formar rectángulos I”, los alumnos podrán analizar la variación del perímetro en figuras que tienen la misma área. En “Formar rectángulos II”, podrán descubrir que el rectángulo que ocupa mayor superficie (manteniendo el mismo perímetro) es el cuadrado. Se puede profundizar esta reflexión generalizando para todas las figuras. Se puede preguntar si el cuadrado es la figura de mayor área entre las figuras que tienen un mismo perímetro. La idea es que lleguen a la conclu-sión de que es la circunferencia.

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