La ecuación lineal Bis I.docx

7/25/2019 La ecuación lineal Bis I.docx

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“Si no puedes resolver un problema, entonces hay

una manera más sencilla de resolverlo: encuéntrala”

G. Polya

“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de

descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto,

pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves

por tus propios métodos, puedes eperimentar la tensión y disfrutar del triunfo del

descubrimiento.!

George Pólya (1887 – 1985)

Matemático húngaro impulsor de diversas ramas de matemática avanzada.

Ecuaciones en una variable.

Existen situaciones de la vida cotidiana como en el esparcimiento en amilia como adivinar la

edad de una persona, o de un n!mero al reali"ar las operaciones básicas de la aritmética, en las

transacciones comerciales en los supermercados, etc., son estas al#unas de las ra"ones por las $ue es

necesario saber plantear y resolver las ecuaciones lineales en una variable.

Ense#uida nuestra tarea como proesores es dar a los estudiantes una parte te%rica de las

ecuaciones lineales en una variable, y a través del planteamiento de situaciones cotidianas dar al#unos

e&emplos y proponer problemas de planteamiento y soluci%n de las ecuaciones lineales en una variable.

'einici%n (. )Ecuación*. +na ecuaci%n en una variable, es una i#ualdad $ue se establece entre

dos expresiones, llamadas cada una miembros de la i#ualdad. a expresi%n $ue está del lado i"$uierdo

de la i#ualdad se llama primer miembro, y la $ue aparece del lado derecho recibe el nombre de se#undo

miembro de la i#ualdad, por e&emplo:

2 x+¿3 x+¿

2 x+1 , es llamado primer miembro de la i#ualdad y 3 x+2 , es llamado se#undo miembro

de la i#ualdad.



'e la deinici%n (, se derivan dos proposiciones a ser consideradas de suma importancia. +na de

ellas es la de ecuaci%n idéntica o identidad y la de ecuaci%n condicional o ecuaci%n.

'einici%n -. )Ecuación Idéntica*. +na identidad es una proposici%n $ue es verdadera para

cual$uier valor de la variable para los cuales están deinidos los miembros de la i#ualdad, por e&emplo:

x

x−1≡1+

1

x−1

Suele representarse una identidad por el smbolo ≡ , $ue media entre los dos miembros de la

ecuaci%n. Esta ecuaci%n idéntica se satisace para cual$uier n!mero real, excepto (.

'einici%n /. )Ecuación condicional o ecuación*. +na ecuaci%n condicional o simplemente

llamada ecuaci%n, es una proposici%n $ue es verdadera solo para cierto valor, o ciertos valores de lavariable.

'einici%n 0. )1a" o soluci%n de una ecuaci%n lineal*. Se dice una ra" o soluci%n de una

ecuaci%n , es a$uel valor o valores de la variable $ue satisace a la reerida ecuaci%n, más a!n, la reduce

a una identidad.

2onsideremos el e&emplo citado en la deinici%n (, hallar el con&unto soluci%n de la ecuaci%n

3 x+2=2 x+1

3 x+1=2 x+¿ 2 ⟹3 x−2 x=¿ 2−1

⟹ x=1

ue#o entonces, el con&unto soluci%n es: x=¿ 1 .

a comprobaci%n: x=1⟹3 (1 )+1=2 ()

3+1=2+2

4 ≡4



" partir de las propiedades de los n#meros reales, se establece el siguiente teorema para

resolver cualquier ecuación lineal en una variable.

Teorema. La ecuación lineal con una inc%#nita ax+b=0 , a≠0 , tiene la soluci%n !nica

x=−¿ ❑❑

Ejemplos .

3allar el con&unto soluci%n de las si#uientes ecuaciones lineales:

(. 4−2 x=3 x +14

Solución. 4#rupando términos, se tiene $ue: 4−14=¿ 3 x+2 x⟹−10=5 x , esto a su ve", nos

lleva a $ue x=

−10

5=−2

, lue#o entonces, la soluci%n es: x=−2 . Por simple visuali"aci%n, se

puede comprobar $ue la ecuaci%n $ueda satisecha para ese valor de la x encontrada.

-.❑❑

❑❑

Solución. 4#rupando y reduciendo términos seme&antes, tenemos(❑❑❑

❑ )❑❑❑❑

❑❑

∴ x=2 , es la soluci%n de la ecuaci%n.

/.❑❑()❑❑()

Solución.

❑❑

❑❑ (

❑❑❑❑ )

()

❑

∴ x=−17 , es la soluci%n de la ecuaci%n.

roblemas de aplicación.

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