1 - 40 -

LA DERIVADA Introducción: Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como se nos ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento, conceptos básicos de la Dinámica. En el Cálculo Diferencial es fundamental comprender esta idea de incremento que se asocia a la noción de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores máximos o mínimos de las funciones. La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil, conocida su ley de movimiento como también a la solución de otros problemas ligados a economía, demografía, costos, ingeniería, etc. La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado .

2 - 40 -

LA DERIVADA

SÍNTESIS TEÓRICA: I.- DEFINICIÓN:

1. Analítica: Sea y=f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dxdy , se

define por

xylim

dxdy

x ∆∆

=→∆ 0

o bien

xxfxxflim

dxdy

x ∆−∆+

=→Η

)()(0

con tal de que este límite exista.

• a la derivada se le llama también coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de

una función se denomina diferenciación. • si la derivada de una función existe en un punto particular, significa que f es diferenciable en ese

punto. • La derivada de y=f(x) con respecto a x también se denota por símbolos tales como

)(','),(,),( xfyfdxd

dxdfy

dxd

• dxdy representa un símbolo y no deberá interpretarse como un cociente.

2.- Geométrica : la derivada de una función representa la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el

punto cuya abcisa es x.

II.- METODOS DE DERIVACION

Dadas las múltiples aplicaciones de la derivación a diferentes disciplinas de la educación superior, se hace necesario estudiar las formas en que se presenta esta operación del cálculo diferencial en ellas, y así sacarle el máximo provecho.

Existen dos métodos de derivación: a) Derivación por pasos b) Derivación por fórmulas

Cada uno de estos métodos se utilizan según las condiciones del problema a resolver, como es el primer método que se analizará más adelante en el caso de la economía, como la tasa de cambio de una función, o variación o incremento de la función producción, etc.

3 - 40 -

También se asocia el concepto de derivada en física, aplicada a la velocidad de un cuerpo en

movimiento, la velocidad media e instantánea, etc. III.- DERIVACION POR PASOS: Procedimiento: 1º) Sea y=f(x) una función real derivable. 2º) Cálculo de )( xx ∆+ : reemplazar )( xx ∆+ en lugar de x. 3º) Restar f(x) a ambos lados de la igualdad. 4º) Despejar y∆ , y dividir por x∆ 5º) Hallar el límite cuando

0→∆xlim

Ejemplo: Hallar la derivada dada la función 532 2 +−= xxy Solución; 1º Sea 532)( 2 +−= xxxf 2º 5)(3)(2)( 2 +∆+−∆+=∆+ xxxxxxf 3º )532(533242)()( 222 +−−+∆−−∆+∆+=−∆+ xxxxxxxxxfxxf

4º 324324)()( 2

−∆+=∆

∆−∆+∆=

∆−∆+

=∆∆ xx

xxxxx

xxfxxf

xy

5º 34)()(0

−=∆

−∆+→∆

xx

xfxxflimx

4 - 40 -

III.- DERIVACIÓN POR FÓRMULAS: • Propiedades sobre las funciones derivadas de funciones reales:

1) Se designa por; )(, xfdxd

dxdyy ==

2) Derivada de una constante; ( ) 0=cdxdy

3) Derivada de la función identidad; ( ) 1=xdxd

4) Derivada de una constante por una función; ( )dxduccu

dxd

=

5) Derivada de una suma y/o resta; ( )dxdw

dxdv

dxduwvu

dxd

−+=−+

6) Derivada de un producto; ( )dxduv

dxdvuvu

dxd

+=⋅

7) Derivada de un cuociente; 2vdxdvu

dxduv

vu

dxd −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

8) Derivada de una potencia; ( )dxdunuu

dxd nn 1−=

9) Derivada de una raíz; ( )dxdu

uu

dxd

21

=

10) Regla de la cadena; ( ) ( )dxduuf

duduf

dxd

=

11) Derivada del logaritmo; ( )dxdu

uu

dxd 1ln =

12) Derivada de exponencial; ( )dxduee

dxd uu =

13) ( )dxduuu

dxd cossen =

5 - 40 -

14) ( )dxduux

dxd sencos −=

15) ( )dxduuu

dxd 2sectg =

16) ( )dxduuuc

dxd 2csctg −=

17) ( )dxduuuu

dxd tgsecsec =

18) ( )dxduuucu

dxd tgcsccsc −=

6 - 40 -

EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO POR PASOS 1) Sea 2xy = . Hallar:

a) derivada por pasos b) analice que sucede para x=3 c) ecuación de la tangente en P(3,9) d) ecuación de la recta tangente en P(-4,16)

Solución: a) aplicando procedimiento de la derivada por pasos

( )( )

( ) xxxlim

xxx

xxxxy

xxxxxxfxxf

x22

22

2)()(

0

2

222

=∆+

∆+=∆

∆+∆=

∆∆

−∆+∆+=−∆+

→∆

b) la ecuación de la recta, es la derivada representada por xxfdxd 2)( =

luego 6)3( =fdxd representa la pendiente de la recta tangente en x=3 para 2)( xxf =

c) la ecuación de la recta tangente en P(3,9) se obtiene considerando la pendiente m=6 y la ecuación de

la recta dados estos dos elementos:

96)3(69

)( 11

−=−=−−=−

xyxy

xxmyy

d) para obtener la ecuación de la recta tangente en P(-4,16) se evalúa la derivada(m) en x=-4

8)4( =−fdxd

luego

168

)4(816−−=+−=−

xyxy

7 - 40 -

2) Hallar dxdy para 0,)( >= xxxf y determinar la cotangente en )5,5(P .

Solución:

xxxxlim

xxxxxxxxx

xxxx

xy

xxfxxf

xy

xxxyxxfy

xxxxfyy

x 211

1

)()()(

)(

0=

+∆+

+∆+=

+∆++∆+

⋅∆

−∆+=

∆∆

∆−∆+

=∆∆

−∆+=−∆+=∆

∆+=∆+=∆+

→∆

evaluando la derivada x

xdxd

21

= en )5,5(P con x=5

5,422,0 += xy

3) Calcular la ecuación de la tangente en ),5( yP = para la función 17125 2 −+= xxy

Solución:

1210

1210)12510(

12510

12)(51017)(12)(5)(

0

2

2

+=

+=+∆+

+∆+=∆∆

∆+∆+∆=∆

−∆++∆+=∆+=∆+

→∆

xdxdy

xxxlim

xxxy

xxxxyxxxxxxfyy

x

evaluando la derivada para x=5 mxdxd

==+ 62)1210(

en x=5 evaluamos la función 1681751255 2 =−⋅+⋅=y la ecuación de la recta tangente en x=5 es 4262 −= xy

8 - 40 -

4) Sea 212 3 += xy . Calcular la ecuación de la curva tangente en la abcisa; x=0 e x = -2. Solución:

dxdyxxxxxlim

xxxxxy

xxxxxyxxxxxxxy

xxyy

x==∆+∆+

∆+∆+=∆∆

∆+∆+∆=∆

+−+∆+∆+∆+=∆

+∆+=∆+

→∆

222

0

22

222

33223

3

36)123636(

123636

)(12)(3636)212(2))()(33(12

2)(12

evaluando la curva en x=0 ⇒ y=-2 ,o sea en P(0,2), se obtiene la pendiente m=0 por lo tanto la ecuación pedida es

2

)0(02=

−=−y

xy

evaluando la curva en x=-2 ⇒y= 942)2(12 3 −=+− , o sea en P(-2,-94) se obtiene la pendiente m=144, por lo tanto la ecuación pedida es

194144

)2(14494+=+=+

xyxy

9 - 40 -

EJERCICIOS I- Determinar la primera derivada, usando las operaciones básicas de derivación; 1) 8542 23 +−+= xxxy 586' 2 −+= xxy

2) 32 72335 xxxy −−+−= 22133' xxy −−=

3) ( )42−= xy ( )324' −= xy 4) ( )32 2+= xy ( )22 26' += xxy 5) ( )1024 xy −= ( )92420' xxy −−= 6) ( )62 542 −+= xxy ( ) ( )445426' 52 +−+= xxxy

7) 35

31

51 xxy += y’= 2

34

5 21

21 x

xx

x+

8) 43 2 −= xy 432

3'−

=x

y

9) 21 xy −= 21

'x

xy−

−=

10) 32

346xxx

y −+= 432

986'xxx

y +−−=

11) ( )23 1+= xxy ( ) ( )1213' 322 +++= xxxxy 12) ( ) ( )23 31 −+= xxy ( ) ( ) ( ) ( )312313' 322 −++−+= xxxxy 13) ( ) ( )32 22 xxy −+= ( ) ( ) ( ) ( )223 223222' xxxxy −+−−+=

14) 11

−+

=xxy

( )211

11'

−+

−−

=xx

xy

15) 2

2 32x

xxy −+= 3

2

2

32222'x

xxxxy −+

−+

=

10 - 40 -

16) 21

2

2

++

=xxy

( )22 22'+

=x

xy

17) ( )312

1+

=x

y ( )412

6'+

−=x

y

18) 9

12 −

−=

xy

( )32 9'

−=

x

xy

II.- En los siguientes ejercicios aplicar las propiedades de las derivadas antes mencionadas;

1) xxy

2323

+−

= 2)23(12'

xy

+−=

2) 243 xxy −+= y

xy −=

2'

3) xy += 1 ( ) xxy

+=

141'

4) ( )23sen2 += xy )46sen(3' += xy

5) xxy 2sentg21

⋅= xy 2sen'=

6) ( )23ln += xy 3

2'+

=x

y

7) ( )xy 3senln= xgy 3cot3'=

8) ( )21ln xxy ++= 2

1

1'x

y+

=

9) xexy ⋅= 2 )2(' += xxey x 10) xey x cos⋅= − )cos(sen' xxey x +−= −

11 - 40 -

11) xxy sen23 ⋅= ( ) xx

xx

y cos1sen3

2'623

+=

12) ( )φω += tAy cos ( )φωω +−= tAy sen' 2

13) ( ) 51

2ln2 −= xy ( )252'−

=x

y

14) .,2 ln cteaay xx == − ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= −

xaay xx

211ln2' ln

15) xy 22 += xx

y224

2'+

=

16) 13

2

+=

xxy

( )23

4

12'

+

−=

xxxy

17) ( )372 −= xy ( )2726' −= xy 18) ( )4493 −= xy ( )349108' −= xy

19) 2

1−

=x

y ( )22

1'−

−=x

y

20) 2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

xy

( )332'−

−=x

y

21) 4

33 −

=x

y ( )23

2

49'−

−=x

xy

22) ( )42 2−= xxy ( ) )23)22' 3 −−= xxxy

23) xy −= 1 x

y−

−=121'

24) 122 −+= xxy ( )12

1'2 −+

+=

xxxy

12 - 40 -

25) 3 2 49 += xy ( ) 3

22 49

6'+

=x

xy

26) 242 xy −= 24

2'x

xy−

−=

27) ( ) 3229 xy −=

( ) 31293

4'x

xy−

−=

28) 2

1+

=x

y ( ) 2

322

1'+

−=x

y

29) 21 xxy −= 2

2

2121'

xxy

−

−=

30) 12 +

=x

xy ( )32 1

1'+

=x

y

31) 123

−+

=xxy

( )215'−

−=x

y

32) xxy cos212 −= xxy sen

212' +=

33) xx

y sen31−= x

xy cos31' 2 −−=

34) xxy cos34 += xx

y sen32' −=

III.- Aplicar las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas; 1) xy sen5= 2) xy cos7= 3) xy tg2= 4) xcy tg6−= 5) xy sec3= 6) xy csc5= 7) xxy sen2 ⋅= 8) xxy sec3 ⋅=

13 - 40 -

9) xxy sen3= 10) xxy −= tg 11) xxcy −−= tg 12) xy 2tg= 13) xy 3sen2= 14) xy 2sen3= 15) xy 3sen= 16) xxy 4sen3cos ⋅= 17) xy 4cos3= 18) xxy 3sen52 ⋅= 19) ( )23sen5 += xy 20) ( )523sen += xy 21) xxxy cossen −= 22) xxy tgsen ⋅= 23) xcxy tg2csc3 += 24) xxxxxy coscos2sen2 2−+= 25) xxxxxy sensen2cos2 2+−= 26) xxy 2sen52= 27) xxxy cossen ⋅−=

28) xy 2sen= 29) xxy csc

=

30) x

xycos

sen1+= 31)

xxy

cossen1−

=

32) x

xytg

sec31+= 33)

xxysec1+

=

34) xxxy sencos += 35) xy 3tg2= 36) xy 2sec5= 37) xcy tg=

38) 3

cscxxy = 39) 33 cos

91cos

31 xxy +−=

40) 21 xy −= 41) cbxaxy ++= 2

14 - 40 -

42) axy

35−= 43)

xxx

xy lnln21

−+=

44) xxcy tg= 45) xxy arcsen= 46) xey x cos⋅= 47) xxy −= tgh 48) 55 sen xxy = 49) ( )2mm xaty +=

50) 2ln+=xry 51)

dxcbxay

++

=

52) xey x arcsen⋅= 53) xxy senh⋅=

54) x

xycosh

2

= 55) 3

ln3

3 xxxy −=

56) xexy 7= 57) ( )21−= xey x

58) xexy

5

= 59) ( )222 +−= xxey x

60) ( )3 2bxay += 61) xxxy 53 tg51tg

31tg +−=

62) 2xey

x

= 63) xxy logln ⋅=

64) xxy

2cos12cos1

−+

=

65) 222 xaa

xy−

= 66) ( )42

8

18 xxy−

=

67) t

ctbtaty2

)( ++= 68)

2

)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

xbaxy

69) xxxxy

cossencossen

−+

= 70) ( )2

arctg1 2 xxxy −+=

15 - 40 -

71) xarctxy ln⋅= 72) xey xx 2ln22 −−=

73) 3 21ln xy += 74) 1cos1cos

+−

=xxy

75) 322 tgcos3sen3 xxxy ++= 76) 4

33x

xxy −=

77) ( )zxy += 32cos ω 78) xy 3ln=

79) x

xy arcsen= 80)

2ln xey =

81) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xe

y 1ln 82) gxarcxxy cotarctg2 += 83) xxy 3sencos 3 ⋅=

84) xxxxxy sen2cos2sen2 −+= 85) xxy 2sentg21

⋅=

86) xey1ln

= 87) x

y 3arctg=

88) xy21arccos= 89) ( )1arcsen −= xy

90) xy 3arcsen= 91) x

xy 2arccos2=

92) ax

xaxy arcsen

22−

−= 93) ( )xxy senln=

Respuestas: 1) xy cos5'= 2) xy sen7' −= 3) xy 2sec2'= 4) xecy 2cos6'= 5) xtanxy sec3'= 6) anxecxy cotcos5' −= 7) )cossen2(' xxxxy +=

16 - 40 -

8) )3(sec' 2 xtanxxxy += 9) )cossen3(' 2 xxxxy += 10) xtany 2'= 11) xany 2cot'=

12) x

xtanxtany21' +

=

13) xxy 3cos3sen6'= 14) xxy 2cos2sen6' 2= 15) xxy cossen3' 2= 16) xxxxy 4cos3cos44sen3sen3' +−= 17) xxy 4sen4cos12' 2−= 18) xxxxxy 3cos3sen153sen2' 425 += 19) ( ) ( )23cos23sen15' 4 ++= xxy 20) ( )( )( )45 2323cos15' ++= xxy 21) xxy sen'= 22) xxxtanxy 2secsencos' += 23) xananxecxy 2cot22cotcos3' −−−= 24) xxy sen' 2= 25) xxxxxy cossen4cos4' 2−−= 26) xxxxxy 2cos2sen102sen2' 425 += 27) xy 2sen2'= 28) xy 2cos2'=

29) 3

cos21cotcos'

xecx

xanxecxy −−=

30) xxxy sen

cossen11' 2

++=

31) xxxy sen

cossen11' 2

−+−=

32) ( )xtanxtan

xxy 22 1sec31sec3' +

+−=

33) ( )2sec1

secsec11'

xxtanxx

xy

+−

+=

34) xxy cos'= 35) ( )xtanxtany 3136' 2+= 36) xxtany 22sec10' 5=

37) ( )anx

xanycotcot1

21'

2+−=

17 - 40 -

38) 3/43 3coscotcos'

xecx

xanxecxy −

−=

39) ( ) 232 sen31sencos' xxxxy −=

40) 21

'x

xy−

−=

41) baxy += 2'

42) a

xy215´ −

=

43) xx

xy 2ln2´ 2 ++−

=

44) ( )xanxanxy 2cot1cot´ +−=

45) 21

arcsen´x

xxy−

+=

46) ( )xxey x sencos´ −= 47) xtanhy 2´ −=

48) x

xxxxy54

4

sen

cossen255

´ +=

49) ( ) 12´ −+= mmm mxxaty

50) 2´x

ry −=

51) ( ) ( )( )2

´dxc

bxadxcby+

+−+=

52) 21

arcsen´x

exeyx

x

−+=

53) xxxy coshsenh´ +=

54) xxx

xxy 2

2

coshsenh

cosh2´ −=

55) xxy ln3´ 2= 56) ( )xexy x += 7´ 6 57) ( )1´ 2 −= xey x 58) ( )xxey x −= − 5´ 4 59) 2´ xey x=

60) 33

2´bxa

by+

=

61) xtany 61´ += 62) ( )2´ 3 −= − xxey x

18 - 40 -

63) x

xy ln2´=

64) ( )22cos1

2sen4´xxy

−−

=

65) ( )2

322

1´xa

y−

=

66) ( ) 527 1´ −−−= xxy

67) 23

2321´

tactbty +−−

−=

68) ( )baxbxy −= −32´

69) 1cossen2

2´−

=xx

y

70) xarctanxy =´

71) x

arctanxx

xy ++

=1

ln´ 2

72) x

xe

eyxx

xx ln2222

2ln22´ −−

−=

73) ( )132´ 2 +

=x

xy

74) ( )21cos

2´+

−=

xy

75) 3 2

322 tg1

31sen26sen9'

xxxxxy +

+−=

76) 43

5

4331´x

xy −=

77) ( ) ( )( )zxzxxy ++−= 332 sencos6´ ωωω

78)x

y31´=

79) 233 2arcsen1´

xx

xxy −

−=

80) xy 2´= 81) 1´ −=y

82)x

arctanxx

xy21

2´ 2 ++

−=

83) 332

3

cos3cos33

sen3sen´ xxx

xxy +−

=

84) xxy cos´ 2= 85) xxy cossen2´=

19 - 40 -

86)32

1´x

y −=

87)9

3´ 2 +−

=x

y

88)24

1´x

y−

−=

89)22

1´xx

y−

=

90)291

3´x

y−

=

91)

241

22arccos2´

xx

xy−

+=

92) ( ) 2322

2

´xa

xy−

=

93) ( )xxxxy

sencossenln´ +=

20 - 40 -

DERIVACION IMPLICITA

SINTESIS TEORICA: • Las funciones de la forma y=f(x) expresan a y explícitamente en términos de x, y pueden derivarse o

diferenciarse de acuerdo con las reglas vistas anteriormente, apropiadas al tipo particular de funciones.

• Sin embargo, existen ecuaciones en las que intervienen x e y, de la forma f(x,y)=0, que no se presenta

a y explícitamente en términos de x y no pueden manipularse de manera que se logre ese propósito, como es el caso de la función

142),( 3223 +−++= yxyyxxyxF

en que ambas variables aparecen como argumentos de F, está expresada la relación entre x y y , pero y no está definida explícitamente en términos de x.

• Tales ecuaciones definen a y como una función de x en el sentido de que para cada valor de x hay un

correspondiente valor de y que satisface la ecuación. En consecuencia, se dice que la ecuación determina a y como una función implícita de x.

• En general ( )dxdyyfyf

dxd )(')( =

• Es posible calcular dxdy a partir de tales ecuaciones mediante el método de la derivación implícita

que indica derivar cada término en la relación implícita dada, con respecto ala variable independiente. • Procedimiento: la derivada de y con respecto a x se obtiene derivando la ecuación f(x,y)=0 término a

término, considerando a y como una función de x y despejando luego en la ecuación resultante, la

derivada dxdy .

21 - 40 -

Ejemplo:

1. Determinar dxdy en la ecuación 022 =+− yxxy .

Solución; Derivando con respecto a x

122

2)12(

022

2

2

2

+−

=

−=+

=+−+

xyyx

dxdy

yxdxdyxy

dxdyxy

dxdyxy

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Obtener dxdy para la ecuación 0333 =−+ axyyx

Solución: derivando con respecto a x

axyxay

dxdy

xaydxdyaxy

aydxdyax

dxdyyx

−−

=

−=−

=−−+

2

2

22

22

)(

03333

2) Determinar dxdy para la ecuación 0tgcossen =− yyx

Solución: derivando con respecto a x

yyxyx

dxdy

dxdyy

dxdyyxyx

2

2

secsensencoscos

0secsensencoscos

+=

=−−

22 - 40 -

3) Calcule dxdy si 422 =+ yx

Solución: Derive cada término con respecto a x

)4()()( 22

dxdy

dxdx

dxd

=+

aplicando derivada implícita

022 =+dxdyyx

despejando dxdy

yx

dxdy

−=

4) Determinar dxdy para la ecuación 0tgcossen =− yyx

Solución: derivando con respecto a x

yyxyx

dxdy

dxdyy

dxdyyxyx

2

2

secsensencoscos

0secsensencoscos

+=

=−−

5) Calcule dxdy si 7)ln( 2 =+ xyxy

Solución: aplicamos propiedad del logaritmo de un producto 7ln2ln =++ yxxy

derivamos con respecto a x )7()(ln2)(ln)(dxdy

dxdx

dxdxy

dxd

=++

por regla de derivadas 021=+++

dxdy

yxdxdyxy

23 - 40 -

EJERCICIOS PROPUESTOS Aplique el procedimiento indicado para diferenciación implícita y verifique los resultados: Respuestas

1) 12

2

2

2

=+by

ax

yaxby 2

2

´ −=

2) ( ) xyxarctan =+ ( )2´ yxy +=

3) cex xy =+ −ln xy

exyy +=´

4) ( )22ln21 yx

xyarctan +=

yxyxy

−+

=´

5) xy yx = ( )( ) x

yxxyyyxy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=lnln´

6) 0223 =++ yyxx ( )( )yx

yxxy2

23´ 2 ++−

=

7) ayx =+ ( )( )yx

yxxy2

23´ 2 ++−

=

8) xytany = yx

yyy 2

2

cos1cos´

−=

9) xyyx 422 =+ yxyxy

22'−−

=

10) 15222 =++ yyx 1

'+−

=y

xy

11) 333 ayx =+ 2

2

'yxy −=

12) 122 =+ yx 13) 12 =+ yxy 14) cyx =32 15) 2=−+ xyyx 16) 122 =+ xyyx 17) ayxy =+ 22

18) 112

+−

=xxy

19) 133 =+− yxyx 20) 0sentgcos2 =+ yxx 21) 0tgtgseccos =++− xcyxecx

24 - 40 -

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Una de las razones de abordar el Cálculo Diferencial en las carreras de Ingeniería de Ejecución es por la utilidad de sus aplicaciones. Para esto, existen modelos matemáticos que facilitan la resolución de problemas cotidianos o interpretar ciertas situaciones complejas. A continuación se ofrece una serie de problemas que son posibles de resolver mediante el modelo de máximos y mínimos de una función de acuerdo al criterio de la segunda derivada. Procedimiento: 1. Sea y= f(x) una función real y continua 2. Determinar y’ 3. Hacer y’=0 y obtener los valores críticos cx 4. Determinar y’’

5. Evaluar y’’ con los valores críticos )('' cxy y examinar los signos obtenidos

6. a) Si →⟩0)('' cxy entonces existe un Punto mínimo (Min)

7. b) Si →⟨0)('' cxy entonces existe un Punto máximo (Max)

8. c) Si →= 0)('' cxy entonces existe un punto de inflección (Inf) 9. 7. Evaluar la función original con los valores críticos y determinar los puntos críticos, es decir )( cxy

Ejemplo: Sea 896 23 −+−= xxxy . Determinar sus puntos críticos.

9123' 2 +−= xxy

091230' 2 =+−→= xxy :/3 (x-3)(x-1)=0 3=cx 1=cx

126'' −= xy 06)3('' ⟩=y entonces existe Punto mínimo (Min)

06)1('' ⟨−=y entonces existe Punto máximo (Max)

20'' =⇒= ixy entonces existe Punto de inflección (Inf)

8)3( −=y por lo tanto Min =(3,-8) 4)1( −=y “ Max=(1,-4) 6)2( −=y “ Inf = (2,-6) Representa estos puntos en un gráfico para observar estos puntos críticos.

25 - 40 -

INTERPRETACION DE LA PRIMERA DERIVADA

Dos de las interpretaciones clásicas de las derivadas se dan en términos de la velocidad de un cuerpo en movimiento, y de la tasa de cambio de una función. Ambas interpretaciones tuvieron su origen en el estudio de diversos problemas de Física y de Matemáticas, sin embargo, desde entonces han encontrado aplicación en muchas áreas.Por ejemplo, el análisis marginal en Economía se comprende más fácilmente en términos de la tasa de cambio de una función.

I.- VELOCIDAD DE UN CUERPO EN MOVIMIENTO

Consideremos un cuerpo o una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea. Sea t el tiempo medido a partir de algún instante fijo, y s la distancia de la partícula desde un origen fijo sobre la recta, siendo s positiva o negativa según sea el sentido de su desplazamiento con respecto al origen. Supóngase que la distancia desde el origen se da en términos del tiempo mediante una función s= f(t), denominada ley del movimiento. Supóngase también que al cabo de cierto tiempo tt , la partícula se encuentra a una distancia ts a partir del origen 0, y

supongamos además que durante el siguiente intervalo de tiempo t∆ dicha partícula recorre una distancia s∆ alejándose aún más del origen.

La relación de cambio respecto del tiempo al cociente ts

∆∆

es constante, de modo que distancias iguales siempre

se recorren en tiempos iguales de tiempo, se dice que el movimiento es uniforme.

Al cociente ts

∆∆

se le denomina velocidad del móvil en cualquier instante t.

Si el movimiento no es uniforme, el cociente ts

∆∆

variará a medida que cambie t∆ y ya no puede representar la

velocidad en cualquier instante. En cambio lo que representa es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo particular t∆ .

Es decir, la velocidad media durante el intervalo t∆ es ts

∆∆

a medida que el intervalo de tiempo t∆ se aproxima a cero, este valor promedio de la velocidad ts

∆∆

puede tender

a un límite. Si así ocurre, se dice que dicho límite es la velocidad instantánea en el tiempo tt . En consecuencia la velocidad instantánea en el tiempo es

tslim

t ∆∆

→∆ 0

pero por definición tslim

t ∆∆

→∆ 0 es la primera de f(t) en el punto derivada ttt =

26 - 40 -

Ejemplo 1:

La distancia de un tren medida desde su punto departida, cuando viaja a lo largo de una vía recta, está dada por la ecuación tts 216 2 += en la cual s es la distancia en kilómetros, y t el tiempo en horas.

a) evaluar la distancia recorrida al cabo de 2 horas. b) Evaluar la velocidad al cabo de2 horas.

Solución: considerando la ecuación tts 216 2 += al cabo de 2 hr. recorridoskms 68464 =+=

la velocidad se calcula como )23(0

+=→∆

tlimdtds

t

y al cabo de 2 hr. .662662 hrporkmdtds

t =+==

Ejemplo 2: Uno de los juegos en un parque de diversiones es el de “Pruebe su fuerza”, en el que suena una campana si una palanca es golpeada con un martillo con la suficiente fuerza para impulsar una bola de hierro hacia arriba, que se desliza en un poste vertical, hasta llegar a la campana montada en el extremo superior. Cuando es golpeada la palanca con una fuerza de 25 kilogramos, la distancia a la que se encuentra la bola, medida desde la base del poste, está dada por la expresión

2105,12 tts −= , en donde s es la distancia al pie del poste en metros, y t es el tiempo en minutos que transcurre desde que la palanca es golpeada. a) si la campana está situada en lo alto de un poste de 4,5 m. ¿Será suficiente una fuerza de 25 kg para hacer que

suene? b) ¿A que distancia de la base del poste estará la bola al cabo de 30 segundos, 45 segundos, 1 minuto y 75

segundos, respectivamente?. Solución:

a) la velocidad dtds

será cero cuando la bola deje de ascender sobre el poste,

2105,12 ttdtds

−=

al resolver la ecuación 0=dtds

se obtendrá el tiempo que la bola emplea en subir hasta el punto más

alto

por lo tanto 625,020

5,12==t min.

así mismo ms 91,362510

855,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

de modo que no basta esta fuerza para tocar la campana.

27 - 40 -

b) Si t=30 seg entonces ms 75,34110

215,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

si t=45 seg entonces ms 75,316910

435,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

si t=1 minuto entonces ms 5,2105,12 =−= en dirección descendente

si t=75 seg entonces 0162510

455,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=s o sea, la bola ha regresado a la base del poste.

II.- TASA DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN La interpretación de una derivada como la relación de cambio instantánea de una función es aplicable en problemas económicos y administrativos. Tales aplicaciones comprenden los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y elasticidad en la teoría microeconómica y ahorro propensión marginal al ahorro y propensión marginal al consumo, en la teoría macroeconómica. Sean p y q las letras que designan las magnitudes de dos variables relacionadas, y considérese a q como una función de p, es decir q=f(p).

la razón pq

∆∆

es la relación de cambio instantánea de q con respecto a p, o bien, la tasa de cambio de q con

respecto a p.

la relación de cambio instantánea de una cantidad variable q con respecto a una cantidad variable relacionada p,

equivale a la derivada de q respecto a p, esto es dpdq

.

la expresión tasa de cambio de una función es matemáticamente equivalente a derivada de la función.

Si la variable q puede expresarse como función del tiempo, entonces dtdq

es la rapidez de cambio p o tasa de

cambio respecto al tiempo.

28 - 40 -

APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA ( Análisis Marginal )

En los estudios económicos se describe la variación de una cantidad y con respecto a otra cantidad x en términos de los conceptos de valor medio (o promedio) y valor marginal.

Un valor medio o promedio expresa la variación de y sobre un intervalo de valores de x , que frecuentemente abarca desde cero hasta cierto valor seleccionado.

Un valor marginal, se refiere a la variación de y “en el margen”, para pequeñas variaciones de x a partir de un

valor dado.

Los conceptos económicos de promedio y marginal corresponden respectivamente a los conceptos matemáticos más generales de la relación de cambio media de una función sobre un intervalo, y de relación de cambio instantánea, o sea, la derivada de una función.

1.- COSTOS: Sea C el costo total de producir y comercializar x unidades C(x)

el costo promedio o costo medio por unidad es xxcxC )()( =

incremento medio del costo por unidad de aumento de producción es tC∆∆

el costo marginal es el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra

tiende a cero. '0

Cdxdy

xClim

x==

∆∆

→∆

el costo total y el costo marginal se representan mediante líneas rectas.

• Consideraciones acerca de las funciones lineales de costo:

costo total 0,0, ≥>+= babaxy

el costo promedio queda representado por la rama de una hipérbola equilátera, del primer cuadrante, con asíntota horizontal ay =

costo promedio ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+==

xba

xyy

costo marginal adxdy

=

costo marginal medio 2xb

dxyd

−=

• Consideraciones acerca de las funciones de costo cuadráticas:

costo total 0,0,0,2 ≥≥>++= cbacbxaxy

costo promedio ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++==

xcbax

xyy

29 - 40 -

costo marginal baxdxdy

+= 2

costo marginal medio 2xca

dxyd

−=

el costo total se representa por la parte de una parábola correspondiente al primer cuadrante. el costo promedio se representa por la rama de una hipérbola situada en el primer cuadrante. el costo marginal se representa por una línea recta.

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Sea la función de x costo total la función 25,0220 xxy ++= en la cuál y representa el costo total, y x, la cantidad producida. Determinar el costo promedio y el costo marginal.

Solución;

el costo promedio es xxx

yy 5,0220++==

el costo marginal es xdxdy

+= 2

a medida que aumenta la producción se incrementa el costo total, como lo indica el gráfico siguiente

A medida que se eleva la producción, el costo promedio unitario primero decrece y después crece, mientras que el costo marginal o tasa de aumento del costo total siempre es creciente, como lo indica el siguiente gráfico

30 - 40 -

2) Un fabricante de cierto artículo descubre que a fin de producir x de estos artículos a la semana, el costo total está dado por

203,0200 xC += . ¿Cuál es el costo si produce 100 unidades a la semana? ¿Cuál es el costo si se incrementa la producción semanal?.

Solución: Datos; Sea x=100 (producción semanal) entonces el costo está dado por 500)100(03,0200 2 =+=C

el costo promedio es 5$100500

=

Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a )100( x∆+ unidades por semana, en donde x∆ representa el incremento en la producción semanal, el costo es;

[ ]2

2

2

)(03,06500)(200000.1003,0200

)100(03,0200

xxxx

xCC

∆+∆+=

∆+∆++=

∆++=∆+

o sea el costo extra determinado por la producción de los artículos adicionales es

2

2

)(03,06500)(03,06500)(

xxxxCCCC

∆+∆=

−∆+∆+=−∆+=∆

el costo promedio por artículo de las unidades extras es

xxC

∆+=∆∆ 03,06

o sea que; - si la producción semanal crece de 100 a 150 artículos 50=∆x

el costo promedio de los 50 artículos adicionales es

50,7$)50(03,06 =+=∆∆

xC

- si el incremento es de 100 a 110 10=∆x

31 - 40 -

el costo promedio extra es 30,6$ por cada uno

costo marginal dxdC

corresponde a

6)03,06(

0

0

=∆+=∆∆

=

→∆

→∆

xlimxClim

dxdC

x

x

3) Sea la función de costo 1000403,0001,0)( 23 ++−= xxxxC . Determine el costo marginal como una función de x. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por x=50, x=100 y x=150.

Solución:

El costo marginal está dado por 'CdxdC

=

( )

406,0003,0

1000403,0001,0)('

2

23

+−=

++−=

xx

xxxdxdxC

esta función, el costo marginal, da el costo promedio por artículo de crecimiento de la producción si x=50 5,1740)50)(6,0()50)(003,0()50(' 2 =+−=C si x=100 1040)100)(6,0()100)(003,0()´( 2 =+−=xC si x=150 5,1740)150)(6,0()150)(003,0()(' 2 =+−=xC en resumen; - a medida que x se hace muy grande, los costos empiezan a aumentar a medida que la capacidad de las unidades de

producción existentes llegan a gastarse y empieza necesario invertir en una nueva planta o maquinaria o pagar horas extras a los trabajadores, etc.

- por lo regular, el costo marginal primero decrece al aumentar la producción y luego se incrementa de nuevo.

4) Sea la función de costo 21,0101000)( xxxC ++= . Determine el costo marginal y el costo promedio de producir x artículos.

Solución:

el costo marginal es xxC 2,010)(' +=

el costo promedio es xxx

xCxC 1,0101000)()( ++==

32 - 40 -

2.- INGRESOS:

- sea p= f(x) cualquier función de demanda, tal que “p” representa el precio unitario o por artículo y “x” el número de unidades vendidas.

- se denota como R(x) al Ingreso Total como )(xfxpxR ⋅==

- mientras más artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio, entre más alto se fije el precio, en

general, menor será el volumen de las ventas.

- se define Ingreso Marginal como xRlimxR

dxdR

x ∆∆

==→∆ 0

)('

Ejemplo 1: Sea la función de demanda 1043 =+ yx en la cual se representa el precio unitario, y “x” el número de unidades. Determinar el ingreso total y marginal. Solución:

despejamos “y” para conocer el precio unitario 2

43

25 xy −=

el ingreso total R es 2

43

25 xxyxR −=⋅=

el ingreso marginal es xdxdR

23

25−=

representando gráficamente los ingresos respecto al número de unidades

Note que: - a medida que la cantidad aumenta, el ingreso total también aumenta al principio, y posteriormente disminuye. - en cambio tanto el ingreso medio como el ingreso marginal decrecen linealmente cuando crece la cantidad.

Ejemplo 2: Sea la función de ingreso dada por 201,010)( xxxR −= , en donde x es el número de artículos vendidos. Determine el ingreso y evalúelo para x=200. Solución:

33 - 40 -

derivando la función ingreso x

xxdxdxR

02,010

)01,010()(' 2

−=

−=

esto nos da el ingreso marginal cuando se vende un número arbitrario x de artículos. Si x=200 obtenemos un ingreso marginal de 6)200)(02,0(10)(' =−=xR Así que, cuando se venden 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las ventas provoca un aumento en los ingresos de $6 por artículo. Ejemplo 3: Determine el ingreso marginal cuando x=300 si la ecuación de demanda es px 10010000 −= . Solución:

expresando p como función de x xp

xp01,010

1000100−=−=

la función de ingreso R(x) está dada por 201,010)01,010()(

xxxxpxxR

−=

−==

el ingreso marginal será xxR 02,010)(' −= cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por 4)300)(02,0(10)300(' =−=R

3.- UTILIDADES MARGINALES: • La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. • Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x artículos, y si la función de costo es C(x) al producirse esos mismos

x artículos, entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por )()()( xCxRxP −=

• La derivada )(' xP se denomina la utilidad marginal y representa la utilidad adicional por artículo si la producción

sufre un pequeño incremento.

34 - 40 -

Ejemplo : La ecuación de demanda de cierto artículo es 801,0 =+ xp y la función de costo es xxC 205000)( += . Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Solución; La función de ingreso está dada por )1,080()( xxxpxR −==

21,080)( xxR −= por lo tanto la utilidad generada por la producción y venta de x artículos está dada por

50001,060)205000()1,080(

)()()(

2

2

−−=

+−−=

−=

xxxxx

xCxRxP

la utilidad marginal es )(' xP )50001,060()(' 2 −−= xxdxdxP

xxP 2,060)(' −= si x=150 301502,060)150(' =⋅−=P es decir, la utilidad extra por artículo

adicional cuando la producción se incrementa en una pequeña cantidad es $30. Si x=400 204002,060)400(' −=⋅−=P es decir, un pequeño incremento en la

producción da como resultado una pérdida de $20 por unidad adicional. 4.- ELASTICIDAD:

la elasticidad η de una función y=f(x), se define como la tasa de cambio proporcional de y con respecto a x.

Se simboliza y define como dpdx

xp⋅=η

La elasticidad es independiente de las unidades en las cuales se miden las variables Ejemplo 1:

Calcule la elasticidad de la demanda si la ecuación de demanda es pkx = con k=cte>0.

Solución:

Si pkx = entonces 2p

kdpdx

−=

La elasticidad es 12 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

pk

pkp

dpdx

xpη

35 - 40 -

La elasticidad de la demanda es por tanto constante en este caso, y es igual –1. Esto significa que un pequeño incremento porcentual en el precio siempre llevará a un decrecimiento porcentual igual a la demanda. Ejemplo 2: Calcule la elasticidad de la demanda si )10(500 px −= para cada valor de p. a) p=2 b) p=5 c) p=6 Solu ón:

en este ci caso 500−=dpdx

por consiguiente )500()10(500−

−==

pp

dpdx

xpη

p

p−

−=10

η

la elasticidad de la demanda varía, dependiendo del precio p

a) si p=2 25,0)210(

2−=

−−=η

cuando el precio p=2, el decrecimiento porcentual en la demanda es un cuarto del incremento porcentual en el precio.

b) si p=5 1)510(

5−=

−−=η

cuando p=5, un pequeño incremento en el precio da un incremento porcentual igual en la demanda.

c) si p=6 5,1)610(

6−=

−−=η

la disminución porcentual en la demanda es una vez y media el incremento porcentual en el precio cuando p=6.

Ejemplo 3: La función de demanda de cierto producto es xp 2,010 −= , donde x unidades son vendidas a un precio p cada una. Utilice la elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio aumentará o disminuirá el ingreso total si la demanda es; a) 900 unidades b) 1600 unidades. Solución:

para calcular η ; xdx

dp 1,0−=

por lo tanto x

x

xx

dpdx

xp 1002

1,0

2,010

−=−

−

==η

a) cuando x=900 34

301002 −=−=η

36 - 40 -

como 134

−<−=η , la demanda es elástica y un incremento en el precio da por resultado una disminución en el ingreso

total.

b) cuando x=1600 21

401002 −=−=η

como 121

−>−=η , la demanda es inelástica y por tanto un incremento en el precio causará que aumente el

ingreso p

p−

−=10

η

37 - 40 -

EJERCICIOS PROPUESTOS DE OPTIMIZACION

I.- Determinar los puntos extremos de las funciones siguientes, en forma gráfica y analítica y verifique los resultados

1) 643 2 +−= xxy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

314,

32min

2) xxy 82 −= ( )16,4 −min 3) 842 +−= xxy ( )4,2min 4) 562 +−= xxy 5) 1863 2 ++= xxy 6) 896 23 −+−= xxxy )6,2inf()4,1()8,3( −− maxmin 7) 193 3 +−= xxy )1,0inf()7,1()5,1( −− maxmin

8) 8621

31 23 +−+= xxxy )11,

21inf()

211,3()

32,2( −−maxmin

9) 5242 3 +−= xxy )5,0inf()37,2()27,2( −− maxmin 10) 593 23 +++−= xxxy )32,3()0,1()16,1inf( maxmin − 11) 693 23 +−−= xxxy )21,3()5,1inf()11,1( −−− minmax 12) ( ) 51 3 +−= xy )5,1inf( 13) ( )32−= xy )0,2inf( 14) xxy 33 += )0,0inf(

15) 22 )4( −= xy max(0,16) min(2,0) inf ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

964,3

2

16) 33 23 +−= xxy max(0,3), min(2,-1), inf(1,1)

38 - 40 -

17) 34 2xxy −= )1,1inf()1627,

23()0,0( −

−mimax

18) 31292 23 −+−= xxxy )10,1()22,3( −− minmax

19) 1

42

+++

=x

xxy )3,1(),5,3( minmax −−

20) x

xy 22 += )3,1(min

21) 21

+−

=xxy no tiene valores extremos

22) 24 63 xxy −=

23) 2)1(31 3 +−= xy

39 - 40 -

PROBLEMAS CON ENUNCIADO DE OPTIMIZACION.

1. El costo promedio de fabricar cierto artículo es 23485 xx

C ++= , en donde x es el número de

artículos producidos. Encuentre el valor mínimo de .C (Rp:41 para el valor 2).

2. El costo de la producción anual de un artículo es 20

000.0000.805000 xx

C ++= , en donde x es el

tamaño promedio del lote por serie de producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a C. 3. El costo de producir x artículos de cierto producto es 231034000)( xxxC −++= (dólares). Determine el

valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo. (Rp: 2.000)

4. La función de costo para una empresa, está dada por 3

10300)(3

2 xxxxC +−= . Calcule la producción x

en la cual; a) el costo marginal es mínimo (Rp:10) b) el costo promedio es mínimo (Rp:15)

5. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dado por

35710)(

32 xxxxC +−+= dólares. Encuentre el nivel de producción x donde el costo marginal alcanza

su mínimo. 6. La función de demanda para cierto bien está dado por 315

xep −= para 80 ≤≤ x , donde p es el precio

por unidad y x es el número de unidades pedidas. Determine el precio p y la cantidad x para los cuales el ingreso es máximo. (Rp: x=3; ep 15= )

7. Repita el ejercicio 6 para la ley de demanda 322

10x

ep −= para 60 ≤≤ x .

40 - 40 -

8. Una empresa vende todas las unidades que produce a US4 cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades está dado en dólares por 2001,03,150 xxC ++= . a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función de x. b) Determine el volumen de producción de x de modo que la utilidad P sea máxima . c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

9. Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio obtenga el valor mínimo del costo

promedio mínimo y demuestre que dicho costo promedio mínimo, , el costo marginal y el costo promedio son iguales

a) 2825 xxy +−= b) xxy ln2 += c) 42 4220 xxy ++=

d) x

xy 1852 ++=

e) 43 3410 xxy +−= 10. La empresa denominada fábrica de máquinas-herramientas de precisión tiene una función de costo

total representada por la ecuación xxxy 1232 23 −−= , en donde y representa el costo total, y x la cantidad producida.

a).¿Qué ecuación representa la función de costo marginal? b)¿Cuál es la ecuación de la función de costo promedio?¿En qué punto este costo

promedio alcanza su valor mínimo?