roMO RESOLVER ProBLEMAS A TFAVES !lE LA TEOHCA DEL DESCUBRIMIENTO DE POLYA.

George P61ya, Sobresaliente científico con más de setenta años'

de carr<lra, notable matemático, extraordinario expositor y maestro, está se

guro de que hay procedimientos para descubrir, y de que la aptitud para des

cubrir e invent ar, pueden fortalecerse mediante una adecuada anseñanza, dan

do al estudiante oportunidad de practicar y dominar t ales principios, yen'

consecuencia logra r despertar en ~l, la curiosidad que le ha de llevar al -

encanto de inventar y descubrir y al goce del triunfo , puesto que experien­

cias así , a una edad conveniente, pueden determinar la afición y el gusto -

por el traobaojo intelectual .

PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER W PROBLEMA.

10. COMPRENDA EL ProBLEMA.

Trate lo más serenatrO:lnte posible , de ver el problema com:> un t~

do, sin detenerse por lo pronto en detalles . hasta que esté chm y grabado

en su mente, para así poder de~pués ais lar las partes principales del pr~

blema (la hip6tesis y la conclusi6n, son las partes principales de un pr~

bl ema por demostrar, la inCÓgnita, los datos y las condiciones, son las

principales partes d<! un problema por resolver) . Trabaje con las partes

principales del problema, examínelas una a una, y despu~s reflexione combi­

nándolas entre si para decidir el enlace que hay entre cada detalle y los -

otros, y en t re cada detalle con la totalidad del problema .

20 . AVERlGUE QUE CONEXlOOES HAY EN'l'RE LOS DATOS Y loAS INCOGNITAS.

Empiece por tener claramente comprendidas l~a partes princi~ -

les del problem~, mírelaa atenta~nte y señ31e el enlace qu<! hay entre los'

datos y las inc6gnitas, observe el problema desde varios puntos de vista, -

examine los diferentes detalles va rias veces y de distintas formas, combine

los de t alles entre si de di ferente modo. acérquese por diversos l ados, sub­

raye las distintas partes, trate de ver algún nuevo significado en cada de-

- , -

- , -

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-:)I'lUOO 8p .cqund ,.nbsnq l' '~un~u= 1,"" U9P"1-.ld.>: llut """"U .. un6y. ' I n.l

dhponer en cualquier momento, t&mbU;n acrece"tar~ y perfe=lonar' .U cap!'

cidad p.o.r ..... ol...er proble....... (1)

EJEMPLO.

~En un teorema .encill0 de geometrfa, r econstruiré la luceS Ión

de idea. q .... _ Uevaron .. su de/llOstraci6n. Avanzaré muy l""tallente, &ndo

a conocer una indicación trae otr .. de fo ........ gradual. creo que antea de ter.

minar, el lector hab", captado la idea principal. la cual "S muy ineapera­

da, por lo cu.l el lector poddi experhaentar el pl<ocer de un peque"o deseu

brladeneo •

A. Si t ..... circunferencia. de igual radio ¡>asan por un punto, la eir.:unf!.

reneia que pa.a por Su, otroa tr.. puntos de intersección tiene tambi én­

el 1\Ihll'lCl radio.

He aquí el t eorema que debemos demos t rar . Su enunciado es bre­

ve y claro . pero no ~ •• tra 108 detallea aon suficiente claridad. Si traza

II'VO' una Uqura (ti9. 1). e introduci!l'lCl8 un .. not"ci6n adecuada . llegu'IOl •

la retormulad6n .1gulente. 1I'I/ÍsexplÍcita:

o. 'a. circunferencial '. >. • tienen el ~.~ radio , y paBan "" "' "'.~ punto O. 10&1 .. '" ,

, , • le coran en el ,=~ 0, . , , •• 0,

, , , , •• <. Entonces, la circunterencia que pasa por 0, 0, < tienen

teabi'n radio lq\JIIl a , .

laJl cuatro circunferencias k, 1, • Y e.

y su. CUIJ.U'O punto. de intersección JI, B, e y O. Sin embargo, la H9ura

puede no re.ult.r •• ti.tactoria del todo, pues no e. sencilla, y todavía

el inCOJlf>let.J d" la i .. presi6n de que le fal tara a1<]O; al par..:er, heJllO.

&:Ij.oo de tener en cuenta algo. eJlencial .

(1) POLn, ,::~::,;, NOvena r

~~",",,"-',",,",", .. Editorial Trillas.

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---

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E.tamol manejando circunferencias . ¿Qué es una circunferencia?

una circunferencia •• ti determinada por su centro y su radio; todoe su_ -­

puntos le encuentren a le ~i sma distancia del centro, medida por le longi­

tud de IU rldio. No hemo. introducido el radio común r y, por lo tanto,

no heme. tenido en cuente una perte e sencial de le hipétesia. Introduze~­

IKIS, POOl. 101 eentros K de k, L de 1, Y Jo! de m. ¿06nde deberhllOl /!Xl!.

trar el radio r1 NO ~",C<II haber n.~n para dar pr .. !" .... ne!. de trato lO

una de l., circunferencias k, 1,. dadas ni a uno de 101 tres puntOI 0.'

intersección A, B Y C. Ello no. induce I conectar cada uno ~ lo. tr •• -­

centros con ~ 101 puntOI de interlección de la respectiva circunferen-

ch.1 K oon B. e y 0 , y ..,iloqamente con los demS. ...

La tiqura relultente (Fig. 2) está desconcertAnte.ente recarq!.

da. Son tanta. la. líneas , tanto recta. como circulares, que tenemos difi­

cultad en ~ver" s atisfactoriamente la figura, no paree<o "eetane quieta",

El dibujo es intenciona~nte confuso, deja ver una cierta figura ai sa -

mira de la forma aooa twobrada, pero al volverlo según una cie rta ~,lc16n'

y mirarlo ele,de cierto &ngul0, "" pronto ve".,s, co"", en un destello, otra'

figura, que augiere un comentario máa o menoS ingeni080 sobre ls primera,

¿Puede el l ector distinguir en nueatra recargada figura, repleta oo~ eatA:

- , -

de rectas y circunferencias, una eegunda figura que tenga sentido?

Pig . 2 . Demasiadas cosas .

Puede que demos de golpe COn la figura oculta en nuestro enrev~

sado di buj o , O puede que la vayamos distinguiendo poco a poco . Puede que -­

nos veamos llevados a ella en el esfuerzo por resolver el problema propues ­

to, o por alguna circunstancia secunda~ia y de poco valo~. Quizá , por ejem­

plo, al disponernos a dibujar nuestra insatisf actoria figura caigamos en la

cuenta de que la f i gura en t era está determinada por su parte rectilínea - --

(Hg. 3) .

Esta observación pa~ece tener importancia . Simplifica, por cie~

to, la f igu~a geométrica, y es posible que mejore l a situación desde el pun

to de vista 16gi co. Nos lleva a enunciar una vez más nuestro teorema en la'

fOnM s iguiente:

C. Si los nuevos segmentos

KO, KC, KB, Le, LO, LA, MB, M1\, MO,

- , -

SOn todo" 19\1ll1'. lO r, "dat. un punto E tal que loa tre .... qmento.

EA, EB, Re

$011 loa t.re. iguale" .. r.

Eate enunciado encam1na nuestra atenci6n hacia la lig o 3. E"ta

figura ea .t,activa, no. recuerda un objeto famili.u:. (¿Ml1)

rlg. 3 . ¿Quá le recuerda est o?

De.~ luego , cierto .. cuadriláteros de 1. figura 3, tal •• como . 1

Ol..'lM . tienen, por hip6tedl , cuatro 1<0.00$ iguales, y son roBOba •• un rombo e. \IIl objeto famUbr, tr .. h aberlo reconocido. podemos "ver" _jor 1& figura.

(¿En q~ no .. hace pen •• r 1. f igura entera?)

LO" lados opueato8 de un rori>o 50" paralelos. Al indatir en ea­

ta obaervaci6n no .. ckllOe cuenta de que 10$ nueve segmento .. de la figun, 3 --

8011 de U' •• el ... ., 1011 H9JI'I!ntoe de 1. misma clase, t al". cc.o foL."" Y

BK 80n p"releloa entre . r (lA qu6 no .. recuerda ahora la figura?)

NO deber!amoa perder de vina la conlulli6n que .a no .. pide obte ­

ner. SUponq..o1 que la 001l<:1".16n sea correct a. Al introducir en la figur a -

el centro E de la circunferencia e y l os t~es ~adi~ con e xtremoa en ~.

B Y e, obtenelDO. (aa de supon8r) ""~ roIIIbos to<! .. vr", tod .. vb mi. 89gNnt OI '

p"r"lelol, ve'.e 1" f1 g _ 4 (lA qu4 no8 recuerda 1 .. f i gur .. ahora7)

- , -

Fig. 4. ¡Pues claro!

.... . .......... . .. . .. . .. .. .... . .... . ... . . . . ... . ..... .. . .... ... . ..... .. . ... .

Evidentemente, la figura 4 es l a proyecci6n de las 12 aris t as de

un paralelepípedo que t iene la particula r idad de que todas las proyecciones

son de la misma longitud.

La figura 3 ea la proyecci6n de un paralelepípedo "no transpare!!.

te"; vemoa solo .3 caras, 7 viÍrtices y 9 aristas . En es t a figura hay .3 caras

1 vértice y 3 arist as que son i nvisibles. La figura 3 es precisament e una -

parte de la figura 4, pero es una parte que define la fi gur a entera . El~-­

giendo el paralelepípedo y la direcci6n de proyecci6n de modo que las pr~ -

yecciones de los nueve lados repres entados en la figura .3 sean todas de lo!!.

gitud igual a r (como tendrían que serlo , por hipÓtesis), l as proyeccio-

nes de los tres lados restan t es tienen que ser iguales a r. Estos tres se~

mentos de longitud r parten de la proyecci6n del octavo vértice . el invi ­

sible, y esta proyecci6n E es e l centro de una circunferencia que pasa - ­

por los puntos 11 . By C, el radio de la cual es r.

Nuestro teorema est& demostrado, y est' demostra do merced a una'

sorprendente y artística concepción de una figura plana como proyección de'

un sólido". (2)

(2) Tomado del libro de POLYA, George. ~thematical Discovery. Combi ned Edition. Editorial Wiley. U.S.A. 1981. Capítul o 10, pp. 54 - 58.

Pro fra . Laura Bucio Ortiz.