· 3.6. Aplicaciones del teorema de PoincaréBendixon. Para aplicar el teorema uno tiene que...
Transcript of · 3.6. Aplicaciones del teorema de PoincaréBendixon. Para aplicar el teorema uno tiene que...
3.6. Aplicaciones del teorema de PoincaréBendixon.
Para aplicar el teorema uno tiene que hallar un dominio 2RD ⊂ el cual contiene
solo puntos ordinarios y tiene que encontrar al menos una orbita la cual para 0≥t de él.
Entonces D debe contener al menos una orbita periódica.
Ejemplo 3.6.1.
El ejemplo típico es el sistema:
( )( )22
22
'
'
yxyxyy
yxxyxx
+−+=
+−−=
Por el criterio de Bendixon:
( ) 223223 442, yxyyxxyxyxyx −−=−−+−−−⋅∇
El único punto critico es ( )0,0 , este es un punto espiral con atracción negativa.
Nosotros construimos el dominio anular con centro en ( )0,0 y de radio interior 11 <r y
de radio exterior 12 >r . Por ser el origen un atractor negativo las orbitas que
comienzan dentro del circulo mas pequeño entraran en el anillo. Se pueden analizar las
isoclinas de el sistema y concluir que las orbitas que comienzan fuera del circulo mas
grande entraran en el anillo. Como el anillo no contiene puntos críticos, de acuerdo al
teorema de PoincaréBendixon debe contener al menos una orbita periódica.
Este análisis es confirmado transformando la ecuación a coordenadas polares:
1')1(' 2
=θ−= rrr
Existe una solución periódica: tttr +θ=θ= 0)(,1)( . En el plano de fase esto es
un ciclo limite.
Fig(3.12)
51
Ejemplo 3.6.2.
Considere el sistema:
( )( ) yxyxxx
xxyxyy
−−−+=
+−−+=
32'
32'22
22
El único punto critico del sistema es ( )0,0 , esto es un punto espiral con atracción
positiva. para ver si las orbitas cerradas son posibles apliquemos el criterio de
Bendixon:
( )
−+
−=−−+=⋅∇
1633
43
46644, 22
22 yxxyxgf
Dentro del circulo de Bendixon con centro en
0,
43
y radio 433 la expresión es de
signo definido y no hay orbitas cerradas en el interior de este circulo.
Las orbitas cerradas son posibles solo si interceptan el circulo de Bendixon o están fuera
de él. Transformando a coordenadas polares:
( ) ( )( )1'
332' 222
=θθ−−θ−=−θ−= CosCosrrrCosrrr
Si 1<r se ve que 0'<r , si 3>r se ve que 0'>r . De acuerdo con el Teorema
de PoincaréBendixon en el anillo 31 << r debe existir uno o mas ciclos limites.
Fig(3.13)
Ejemplo 3.6.3 (La ecuación de Liénard y de Van der Pool)
52
Considere la ecuación de Liénard:
0')('' =++ xxxfx (3.10)
con )(xf Lipchitzcontinua en R. Asumamos que:
a. ∫=x
dssfxF0
)()( es una función impar.
b. +∞→)(xF cuando ∞→x y existe una constante 0>β tal que para
0)(, >β> xFx y es monoticamente creciente.
c. Existe una constante 0>α tal que para α<< x0 , 0)( <xF .
Fig(3.14)
En la figura (3.14) el comportamiento de )(xF ha sido esquematizado donde el
número de oscilaciones de )(xF entre β− y β ha sido elegido aleatoriamente. Para
analizar la ecuación (3.10) es conveniente transformar xx →' , )(' xFxy +→ , entonces:
xy
xFyx
−=−=
')('
(3.11)
Debemos demostrar que la ecuación (3.10) tiene al menos una solución periódica.
Teorema 3.6.1.
Considérese la ecuación de Lienard (3.10) o equivalentemente el sistema (3.11).
Si las condiciones ac son satisfechas, la ecuación tiene al menos una orbita periódica o
solución periódica. Si β=α existe una única solución periódica y la orbita
correspondiente es el conjunto ω limite para todos las orbitas excepto para el punto
critico ( )0,0 .
53
a βaβ−
Prueba.
En primer lugar observemos que el sistema (3.11) tiene un único punto critico en
( )0,0 . Además:
−
−=
011)('
),(xF
yxJ y
−
−=
011)0('
)0,0(F
J y los valores propios
son:
4)0('21
2)0(' 2
2,1 −±−=λ FF
.
Si F(x) es impar, )0('F es negativa si es diferente de cero, así ( )0,0 es un atractor
negativo.
Para aplicar el teorema de Poincaré Bendixon debemos probar que para este sistema,
existe un dominio anular el cual es invariante positivo. Debemos usar la coordenada
polar r, o simplificar la expresión:
( )222
21
21
yxrR +==
Para las soluciones de (3.11) se tiene que : )('
)())(('''xxFR
xyxFyxyyxxR
−=−+−=+=
Notar que para α<<α− x se tiene que 0'≥R , esto esta de acuerdo con la atracción
negativa de ( )0,0 . Las orbitas que comienzan en la frontera de un dominio circular con
radio menor que α , no pueden entrar en este dominio circular. Debemos probar ahora
que para las orbitas que empiezan muy lejos del origen, las trayectorias deben decrecer
hasta una distancia del origen. Primero recordemos que al reemplazar (x,y) en (3.11) por
( )yx −− , el sistema no cambia pues F(x) es impar. Esto significa que si ( ))(),( tytx es
una solución, la reflexión a través del origen ( ))(),( tytx −− también es solución.
Investigaremos el comportamiento de las orbitas que comienzan en ( )0,0 y con
00 >y ; de (3.11) se tiene que para las orbitas:
)(xFyx
dxdy
−−
= (3.13)
La tangente a la orbita es horizontal si 0=x , y vertical si )(xFy = .
54
Debemos demostrar que eligiendo un 0y suficientemente largo el comportamiento
de las soluciones que comienzan en ( )0,0 y es semejante al comportamiento
esquematizado en la figura(3.15) donde 01 yy < . Si este es el caso la prueba esta
completa, pues la reflexión de la orbita produce en conjunto invariante, acotado por las
dos orbitas y os segmentos [ ] [ ]1001 ,,, yyyy −− ,
Fig(3.15)
Para probar que 01 yy < considere ),( yxR , en particular:
∫=−ABECD
dRyRyR ),0(),0( 01
∫∫∫ +−−
+=
BECCDAB
dRxFy
xdx)(
F(x) es acotado para β≤≤ x0 , así la primera integral tiende a 0, cuando
∞→0y ; notar que asumimos que −∞→1y cuando ∞→0y , sino, la prueba debe ser
finalizada.
Usando la ecuación (3.13), podemos escribir la segunda expresión en un camino
diferente:
∫∫ =BECBEC
dyxFdR )(
Si β>x se tiene que 0)( >xF ; la integración corre de valores positivos de y a
valores negativos, asi la integral es negativa. La integral se aproxima a ∞− cuando
55
1y−
1y
2y−
2y A
B
CD
Eα β
∞→0y , por el incremento sin acotación de la longitud de la curva BEC.
Concluimos que si 0y es suficientemente grande:
0101 0),0(),0( yydRyRyRABECD
<→<=− ∫
El teorema de PoincaréBendixon garantiza la existencia de al menos una
solución periódica.
El caso β=α (Figura 3.16):
Si uno elige 0y suficientemente pequeño, la orbita se comporta como 1C .
Estuvimos que 0)(111
11 >=− ∫DEA
AD dyxFRR pues 0)( <xF para α<< x0 . Así ninguna
orbita periódica puede comenzar en ( )0,0x con α<< 00 x . Ahora considere una curva
2C que intercepta el eje x en 2E , a la derecha de ( )0,α :
∫=−=222
22 )(DEA
AD dyxFRRI
Para α≥x , )(xF es monótonamente creciente de 0 a ∞+ .
Sabemos que esta integral tiende a ∞− cuando ∞→0y . Por la monotonía de
F(x), la integral I tiende a cero, es decir, un 0y tal que 22 DA RR = y así una solución
periódica.
El teorema 3.6.1. provee una demostración de la existencia de una única
solución periódica de la ecuación de Van der Pool:
')1('' 2 xxxx −µ=+ , 0>µ
En este caso )1()( 2 −µ= xxf ,
−µ= x
xxF
3)(
3
. Las condiciones a), b) y c) se
cumplen con 3=β=α .
56
A 1
A 2C 2
E 2
C 1
D 1
D 2
E 1
)( xF
β=α
Fig (3.16) Fig(3.17)
3.7. Ejemplos de sistemas no lineales clásicos.
3.7.1. El Atractor de Lorentz.
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el atractor de Lorentz es:
( )
zxyz
yxxzy
xyx
28
'
28'10'
−=
−+−=−=
En su forma general, las ecuaciones del Atractor de Lorentz son:
( )
bzxyz
yrxxzy
xyx
−=−+−=
−σ=
'''
En Matlab se ha efectuado la programación numérica que calcula la trayectoria
de las soluciones del Atractor de Lorentz. Este sistema es uno de los ejemplo
clásicos para mostrar un ejemplo de un sistema dinámico en el cual el caos
aparece, pues no es posible indicar una curva hacia la cual converge las orbitas
sino que, aparentemente “fluctúan” sin periodicidad en dos regiones del espacio.
Previamente se define en Matlab la función lorentz.m:
function a=lorentz(x,y,z)
x1=10*(yx);
y1=x.*z+28*xy;
z1=x.*y(8/3).*z;
a=[x1,y1,z1];
El código para el programa glorentz.m es el siguiente:
57
% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón.
% Departamento Académico de Matemática.
% Facultad de Ciencias.
% Universidad Nacional de Piura.
% figure(1);
hold on;
x0=0;
y0=1;
z0=0;
h=0.005;
for i=1:10000,
k1=h*lorentz(x0,y0,z0);
k2=h*lorentz(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);
k3=h*lorentz(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);
k4=h*lorentz(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
plot3(x0,y0,z0);
end
x0=0;
y0=1;
z0=0;
for i=1:1000,
k1=h*lorentz(x0,y0,z0);
k2=h*lorentz(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);
k3=h*lorentz(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);
k4=h*lorentz(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
plot3(x0,y0,z0,'.r');
end
view([1,1,1])
Para mostrar este sistema, es necesario digitar en Matlab el siguiente comando:
58
» glorentz
Si se quiere observar el atractor de Lorentz desde otra vista, basta digitar:
» view([1 1 0])
Las dos figuran siguientes muestran dos vistas diferentes del atractor de
Lorentz en las que se puede apreciar que las trayectorias el comportamiento caótico de
las orbitas:
59
3.7.2. El atractor de Chua
Este es un sistema en el cual el caos nuevamente aparece. Las ecuaciones
diferenciales que gobiernan este modelo matemático provienen de la aplicación
de las matemáticas a los circuitos eléctricos. Estas ecuaciones son las siguientes
( )( )ycz
zyxcy
xgxycx
3
2
1
'
'
)('
−=+−=−−=
, con ( )112
)( 101 −−+
−+= xx
mmxmxg
De la misma manera se define en Matlab la función chua.m:
function a=chua(x,y,z)
m1=5/7;
m0=8/7;
x1=15.6*(yx(m1*x+((m0m1)/2)*(abs(x+1)abs(x1))));
y1=xy+z;
z1=33.8*y;
a=[x1,y1,z1];
El código que dibuja las trayectorias en el espacio esta almacenado en el
programa gchua.m, este es el siguiente:
% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón
% Departamento Académico de Matemáticas
% Facultad de Ciencias
% Universidad Nacional de Piura
hold on;
%x0=1;
60
%y0=0;
%z0=0;
x0=1;
y0=0.5;
z0=0.8;
h=0.005;
for i=1:20000,
k1=h*chua(x0,y0,z0);
k2=h*chua(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);
k3=h*chua(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);
k4=h*chua(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
plot3(x0,y0,z0);
end
Para compilar este programa se debe digitar en Matlab el comando:
» gchua
Otras vistas de este modelo son:
61
En las figuras se nota que este es un sistema dinámico no lineal y caótico.
3.7.3. El atractor de Rossler
Otro ejemplo de dinámica no lineal lo constituye el Atractor de Rossler. Las
ecuaciones diferenciales en este caso son dadas por:
( ) zcxbz
ayxy
zyx
−+=+=
−−=
'''
Como en los ejemplo anteriores, se define la función rossler.m que
almacena el valor del campo vectorial para este atractor:
function a=rossler(x,y,z)
x1=yz;
y1=x+0.1*y;
z1=0.1+(x18).*z;
a=[x1,y1,z1];
Y para las órbitas se requiere crear el programa grossler.m:
% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón
% Departamento Académico de Matemáticas
% Facultad de Ciencias
% Universidad Nacional de Piura
hold on;
62
x0=15;
y0=15;
z0=0.2;
h=0.005;
for i=1:30000,
k1=h*rossler(x0,y0,z0);
k2=h*rossler(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);
k3=h*rossler(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);
k4=h*rossler(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
plot3(x0,y0,z0);
end
Para compilar este programa se debe digitar en Matlab el comando:
» grossler
Nuevamente mostramos vistas diferentes de este atractor:
63
64