Universidad Fermín ToroVice Rectorado Académico

Escuela de Ingeniería

Integrales Definidas

Integrantes: Julio Panza Profesor: Domingo Méndez

Notación Sigma

Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.

    La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (∑).

Donde “M" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior

Suma superior o inferiorSi queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real. 

Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación. 

 En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

  Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.

La Integral Definida y sus propiedades

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

Teorema Fundamental del Calculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

El Teorema fundamental del calculo establece que el diferencial y la integral son inversos, el uno del otro.

Primer teorema fundamental del calculo

Segundo teorema fundamenta del calculo

Sustitución y cambio de Variable  No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración.

Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su anti derivada.    

Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos.

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial: