XIV Simposio Internacional de Processos Civilizadores

Resumen de ponencia

Mesa 7: Horizontes de una sociología de las expresiones a partir de Norbert Elias.

Compromiso y distanciamiento en el desarrollo del conocimiento humano: el caso de

Julio Garavito a finales del siglo XIX en Colombia.

Carlos Daniel Pérez Ruiz

Historiador

Universidad Nacional de Colombia

Abstract:

This research will try to evaluate the conditions that could preclude the comprehension of

No Euclidian geometry and the Relativity in the case of Julio Garavito at the end of XIX

century in Colombia. In this way, we will use the notions of Involvement and detachment

that Norbert Elias postulated because we think that only with this notion we will be able to

explain the conservative position of the Colombian scientist toward the more advantages

theories in mathematics and physics in his time.

Resumen:

Este trabajo pretende evaluar las condiciones que imposibilitaron a un científico

colombiano como Julio Garavito a finales del siglo XIX la comprensión de los postulados

de las geometrías no euclidianas y la relatividad general. En este sentido, nos parece

indispensable incluir las nociones de Compromiso y Distanciamiento formuladas por

Norbert Elias para entender la posición tan conservadora que dicho científico mantuvo

frente a teorías y postulados que claramente superaban en poder explicativo a los que él

defendía.

Introducción:

Hacia finales del siglo XIX un científico colombiano -Julio Garavito- rechaza tácitamente

algunos de los avances en matemáticas, en particular, a las geometrías no euclidianas

desarrollados por Nikolái Lobachevski y Carl Friedrich Gauss. Unos años después, cuando

la teoría especial de la relatividad es formulada por Einstein, Garavito no acepta las

premisas de las cuales parte dicha teoría y se propone refutarlas aunque es sorprendido por

la muerte mientras lo intenta.

Para la época, Julio Garavito era conocido como el más importante científico colombiano:

sus aportes como ingeniero y astrónomo hacían de él el más reconocido de aquellos que

dedicaban su vida a la ciencia, y su conocimiento de la mecánica clásica le llevaron a

obtener varios cargos a nivel gubernamental y académico. Sin embargo, su posición frente

a los adelantos mencionados, que a posteriori se mostraron indispensables para entender el

universo físico en una lógica moderna, lo dejan claramente por debajo de los científicos

más brillantes de su época a nivel mundial. ¿Por qué Julio Garavito, a pesar de haber sido

uno de los más competentes matemáticos y físicos colombianos, no acepto las ideas de las

geometrías no euclidianas y la física relativista? ¿Qué le impidió a Garavito dar este

decisivo paso en el entendimiento del universo físico?

Creemos que las premisas necesarias para explicar este hecho pueden encontrarse en la

teoría formulada por Norbert Elias frente al desarrollo del conocimiento humano, en

particular sus postulados frente a Compromiso y Distanciamiento. Partiremos describiendo

la situación de las matemáticas y la física en Colombia desde la segunda mitad del siglo

XIX. Posteriormente, analizaremos el giro que sobrevino con la llegada de las geometrías

no euclidianas y la relatividad y la posición de Garavito frente a ellas. Finalizaremos con

una explicación de este caso a partir de los postulados que Elias hace frente al compromiso

y al distanciamiento, en particular cuando estos dos principios se vinculan en la posibilidad

de aprehender y generar nuevas perspectivas en la comprensión del universo.

Las matemáticas y la física en la formación de Julio Garavito.

Desde principios del siglo XIX la Física y las Matemáticas se abrían paso lentamente en

Colombia guiadas por las demandas en de las necesidades empíricas de la ingeniería civil y

militar: en este ambiente, las aplicaciones a problemas prácticos más que el interés

investigativo era lo que primaba entre aquellos que se dedicaban al estudio de estas

disciplinas.1

El panorama comenzó a cambiar a partir de de la década de los cuarenta de dicho siglo,

cuando una serie de reformas enfocadas hacia la educación llevaron a la creación del

Colegio Militar en 1846. La posibilidad de una profesionalización de las Matemáticas y la

Física solo fue posible con los presentes que había sentado este colegio: gracias al esfuerzo

de personajes como Lino de Pombo, quien se formo como ingeniero en el ―Real Cuerpo de

Ingenieros de Alcalá de Henares y en la Écolede Ponts et Chaussés‖ y Aimé Bergeron,

quien hizo parte de la comisión francesa que apoyo esta iniciativa, el Colegio Militar (con

un pensum basado en cálculo diferencial e integral, geometría, trigonometría y algebra)

comenzó a formar un grupo de estudiantes quienes posteriormente conformarían la ―ilustre

élite científica‖ colombiana que jugaría un papel fundamental en la formación de

ingenieros.2

1 Michel Paty y Regino Martínez Chavanz, «Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La

física de 1880 a 1940.», en Formación de cultura científica en Colombia. Ensayos sobre Matemáticas y Física. (Cali: Universidad del Valle, 2004), 118. 2 Clara Helena Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», en Miguel Antonio Caro Y

La Cultura De Su Época (Universidad Nacional de Colombia, 2002), 348; Paty y Martínez Chavanz, «Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La física de 1880 a 1940.», 121. Tal es el caso de Indalecio Lievano quien se busco “llenar los vacios” que la matemática tenía como disciplina científica.

Hacia 1867 el Colegio Militar se une a la Universidad Nacional de Colombia. La creación

de esta institución y con ella la formación profesional en ingeniería llevó a que una gran

cantidad de personas se vinculara a carreras poco tradicionales comparadas con aquellas

que habían sido las más requeridas hasta mediados del siglo XIX: durante la década de los

setenta, la cantidad de estudiantes matriculados a Ingenieras y Matemáticas supero a

aquellos matriculados en Derecho y Medicina, aunque esta tendencia solo se mantuvo hasta

la década siguiente cuando los dos grupos se equilibraron.3 Para el periodo, la posibilidad

de vincularse laboralmente en la apertura ferroviaria del país pudo haber jugado un papel

muy importante en la tendencia hacia la elección de carreras más ―prácticas‖ que las

tradicionales profesiones liberales, dando de paso un fuerte impulso a la profesionalización

de las matemáticas y la ingeniería en una institución universitaria.

Desde finales de los setenta y hasta principios del siglo posterior el ambiente político

colombiano sería en extremo volátil: la pérdida del poder para los liberales en 1875

desencadenaría una inestabilidad política que tuvo como principal consecuencia la guerra

de los mil días a principios de siglo; a la vez, nuevas reformas conservadoras fueron

implementadas por el gobierno de la época, en particular en la constitución de 18864.

En este ambiente y hacia 1888, tras una larga pugna entre distintas formas de concebir la

formación académica se crea una institución dedicada en exclusividad a la formación en

Matemáticas en la cual los estudiantes podían obtener un título en ―Profesor en Ciencias

Matemáticas‖ tras haber cursado un pensum de cinco años5. Esta institución llamada

―Instituto Central de Matemáticas y Facultad de Matemáticas‖ se adscribió a la Universidad

Nacional y fue la primera en la cual la profesionalización del estudio de las ciencias exactas

que se puso en práctica de manera sistemática. El instituto funcionó hasta 1903 cuando fue

cerrado sin un aparente motivo eliminando las posibilidades de que los adelantos más

grandes en matemáticas pudieran ser difundidos y desarrollados en el país6.

La formación de Julio Garavito como ingeniero y matemático comienza en el Instituto

Central de Matemáticas del cual se gradúa en 1891. Al parecer, inmediatamente después de

su graduación, su manejo de cálculo diferencial e integral lo llevaron a obtener una cátedra

universitaria a la vez que muy tempranamente se convirtió en el director del observatorio

astronómico7. La formación recibida tanto como ingeniero y matemático fue fundamental a

lo largo de los distintos intereses que Garavito mantuvo entre los que se encuentran la

elaboración de una cartografía colombiana a partir de determinaciones astronómicas, la

explicación de la mecánica celeste de cometas y orbitas, una explicación al movimiento de

3 Marco Palacios y Frank Safford, Colombia : país fragmentado, sociedad dividida : su historia (Bogotá: Grupo

Editorial Norma, 2002), 443. 4 Ibid., 451.

5 Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», 351.

6 Ibid., 351–532.

7 Ibid., 360.

la luna y la dinámica de los electrones.8 Sin embargo y ante las geometrías no euclidianas y

la relatividad, la perspectiva en que el científico colombiano evaluaba el universo lo

obligaba a rechazar tácitamente los postulados que contradicen a la realidad euclidiana.

Las geometrías no-euclidianas y el rompimiento de paradigmas matemáticos.

Podríamos preguntarnos ahora que cambia en las matemáticas con el advenimiento de las

geometrías no euclidianas: ante todo, estamos frente a un cambio en la manera en que se

observa el espacio que reformaría radicalmente la postura de los matemáticos y prepararía

el terreno para la aceptación de nuevas perspectivas en que se evaluó el universo, en

particular la relatividad. Comencemos con el problema del quinto postulado.

Desde la formulación de los postulados en la geometría euclidiana, el quinto postulado

siempre represento problemas para los matemáticos que intentaban trabajar en su

demostración. Este postulado se enuncia de la siguiente forma:

Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado ángulos internos

menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se encontrarán en el

lado en que estén los ángulos menores que dos rectos9.

El postulado de las paralelas en un plano bidimensional como el presentado por Euclides

fue un agudo problema para los matemáticos de distintas épocas puesto que en él se dejaba

consideraciones intuitivas (como la prolongación hacia el infinito de rectas) sin una

sustentación formal y puesto que no había una forma para deducirlo de los postulados

previamente enunciados en el libro de los elementos de Euclides.

En vista de la imposibilidad de esta demostración bajo los principios euclidianos, desde

comienzos del siglo XIX se busca construir una geometría en la cual se pueda entender este

postulado desde otra perspectiva. Esto supone un rompimiento muy grande con la tradición

matemática que hasta ese momento se había caracterizado por la creencia de que la

geometría ―era una representación de características básicas e invariantes del mundo real, y

que la verdad matemática era absoluta‖.10

En este espíritu, las geometrías no euclidianas desarrolladas por Gauss, Lobachesky y

Bolyai a principios del XIX critican la adopción del plano bidimensional en donde se

desarrolla la geometría euclidiana y presentan construcciones que solo pueden

comprenderse en planos curvos o esféricos en los cuales el quinto postulados euclidianos se

relativiza. Por ejemplo, en la geometría propuesta por Lovachesky es factible formar dos

8 Jorge Arias de Greiff, Julio Garavito Vida Y Obra, Palabras Rodantes (Medellín: Comfama, 2009); Paty y

Martínez Chavanz, «Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La físicade 1880 a 1940.», 122. 9 Víctor Samuel Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», Revista de la Academia

Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, n.o 21 (80) (1997): 1.

10 Ian Stewart, Historia de las Matemáticas : en los últimos 10.000 años (Barcelona: Crítica, 2008), 183.

paralelas pasen por un punto exterior a un recta11

o que la suma interna de los ángulos

internos de un triangulo no sea igual a la suma de dos ángulos rectos, cosas impensables en

un plano bidimensional. Al criticar la adopción del plano bidimensional, la geometría

comienza a entrar en un mundo contra-intuitivo en el cual las experiencias en nuestra

realidad inmediata tridimensional no pueden relacionarse en forma directa con los

postulados que comienzan a demostrarse.

A partir del desarrollo de las geometrías no euclidianas y a diferencia de lo que había

venido pasando hasta este momento, el paradigma en el cual la geometría y las matemáticas

eran una representación de la realidad se rompe: ahora, aparece la posibilidad de integrar

distintas perspectivas en una sola, independientemente que dichas perspectivas estén o no

vinculadas con la realidad más evidente e inmediata a nuestras percepciones. En la nueva

relativización del espacio, las matemáticas ya no son una representación de las

características invariantes del mundo y no hay una relación de necesidad, como lo afirmaría

Kant, para entender la geometría del espacio solo en el plano euclidiano caracterizado por

la caja tridimensional que nos es conocida por nuestras experiencias inmediatas.

En los desarrollos posteriores de la física relativista, las geometrías no euclidianas jugaron

un papel determinante: la curvatura del espacio-tiempo que ocurre a causa de la gravedad

de un objeto muy denso en el universo solo puede ser explicada en un espacio que no tenga

forma euclidiana, sino en un plano hiperbólico como el desarrollado por Lobachesky. Por

otro lado, la relatividad va aun más lejos y relativiza las nociones de tiempo que hasta

principios del siglo XIX se consideraban constantes y permanentes: ya que la relatividad de

la duración del tiempo y de la longitud del espacio dependen de la velocidad a la cual se

esté moviendo un objeto determinado, ni el tiempo ni el espacio son características

invariantes del mundo y dejan de ser consideradas como permanentes en el universo. El

hecho de que el tiempo-espacio se relativice implica que la naturaleza del universo mismo

no es estática como hasta ese momento se pensaba, por el contrario su dinamismo es latente

y vigoroso.

Estas eran las nuevas perspectivas que se habrían para la matemática y la física cundo Julio

Garavito desarrollaba sus estudios en Colombia. Para el periodo cuando este autor llego a

ser conocido como ―sabio‖ entre los científicos era clara la consolidación de las geometrías

no euclidianas como sistemas de referencia por lo menos tan consistentes como el de la

geometría euclidiana. Sin embargo, su persistencia en demostrar la falsedad de los

postulados de algunos de estas geometrías era tenaz.

Garavito y las geometrías no euclidianas:

En la lógica de pensamiento de Garavito, las geometrías no euclidianas solo podían ser

entendidas como juegos lógicos puesto que no tenían ninguna representación de la realidad;

11

Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», 13.

para él, no había otra geometría posible más que la euclidiana puesto que ―sus postulados

son evidentes y lo evidente es verdadero‖12

. En esta lógica, y conociendo los postulados de

las geometrías no euclidianas a través de las publicaciones secundarias de Poincaré y

otros13

, emprende la demostración de la falsedad de dichas geometrías.

Es interesante resaltar que Garavito siempre erra en esta demostración puesto que introduce

de una u otra forma el quinto postulado de Euclides cada vez que intenta descartar los

hallazgos de Lovachezky. En ninguna de sus demostraciones logró deshacerse de la

tendencia de incluir al plano bidimensional y por consiguiente el postulado de las paralelas

o una de sus variantes como premisa de lo que buscaba demostrar.14

Como afirmamos arriba, las geometrías no euclidianas rompen con la tradición de

representación del universo en que se hallaban presas la geometría y las matemáticas. Sin

embargo, para Garavito se hace impensable y en cierta forma terrible que se logre este

rompimiento. En la siguiente cita podemos observar no solo la posición de Garavito frente

a las geometrías no euclidianas sino sus juicios valorativos acerca del pueblo donde ellas se

desarrollan:

Se necesita una perversión intelectual como la que existe hoy en Europa para poder

digerir la geometría no euclidiana. El cerebro no se perfecciona indefinidamente

sino se transforma con la herencia de los antepasados. La herencia de diez o veinte

generaciones hace sustituir en la masa cerebral las intuiciones propias de la

naturaleza por el convencionalismo nominalista hasta el punto de conferir a las

palabras y a las convenciones una realidad mayor que la de los hechos mismos15

.

Garavito considera que solo una mente insana puede comprenderse algo que va claramente

contra la intuición propia de la naturaleza, es decir contra las percepciones y experiencias

en el universo más inmediato el cual claramente está inscrito en una lógica euclidiana: las

geometrías no euclidianas solo son ―convencionalismos nominalistas‖ desde este punto de

vista. Por otro lado, el científico colombiano tambien considera que en la mente del pueblo

Europeo se ha presentado una corrupción sustancial que se trasmite de generación en

generación, una corrupción capaz de ―formar generaciones de locos intelectuales es decir

de gentes que nacen locas sin volverse locas‖16

, locos quienes son los únicos que pueden

pensar que las palabras y las convenciones pueden llegar a ―una realidad mayor que los

hechos mismos‖. Estos mismos juicios se aplican para la Relatividad, ante todo en el caso

del tiempo, aunque Garavito nunca llego a conocer profundamente este desarrollo de la

física.

12

Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», 363. 13

Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», 13–14. 14

Ibid., 18. 15

Clara Helena Sánchez, «Los cuadernos de Julio Garavito una antología comentada.», Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales XXXI, n.

o 119 (junio 1, 2007): 258.

16 Ibid.

Como vimos antes, la formación en matemáticas de Garavito se fundamentaba

principalmente en el manejo del cálculo derivacional e integral y la mecánica clásica,

desarrollos que se hallaban profundamente ligados a la noción euclidiana del espacio. De

igual forma, los temas de su principal interés tenían que ver ante todo con movimiento de

cuerpos celestes y con la determinación astronómica de coordenadas geográficas, temas que

aunque podían ser explicados de una mejor forma con las geometrías no euclidianas (en

particular el de las coordenadas), pertenecían originalmente a los campos estudiados por la

mecánica clásica enmarcada en la geometría euclidiana. Así, tanto la formación como los

principales temas de interés que manejaba Garavito lo forzaban a considerar el plano

euclidiano como la mejor explicación de la forma que tenía el espacio. Pero la fuerza del

plano bidimensional como la mejor forma del espacio en las explicaciones de Garavito no

solo se derivaban de estos hechos: como el mismo lo reconoce, son ―las intuiciones propias

de la naturaleza‖, es decir las percepciones que llegan de la realidad más inmediata, las que

dan más fuerza a la caja tridimensional en que se hallan envueltas nuestras experiencias con

el mundo. El temor a abandonar estas explicaciones por otras que ofrecen un mayor poder

explicativo en la comprensión del mundo está en juego cuando Garavito conoce las

geometrías no euclidianas.

Una explicación a la posición de Garavito desde las nociones de Compromiso y

Distanciamiento formuladas por Norbert Elias

Norbert Elias explica cómo los niveles de compromiso y distanciamiento con los que

contamos en la manera en que evaluamos a un fenómeno en el cual nos hallamos inmersos

tienen un correlato en el tipo de explicaciones que hacemos frente a dicho fenómeno. En

una perspectiva fuertemente comprometida con nuestra experiencia y nuestras sensaciones

más inmediatas, las explicaciones que se pueden desarrollar frente a dicho fenómeno no

permitirán un dominio y un entendimiento real de él, a pesar de que sean emocionalmente

satisfactorias. En una perspectiva más distanciada de nuestras experiencias y sensaciones

más inmediatas, las explicaciones que se obtienen frente a cierto fenómeno pueden ser no

tan agradables emocionalmente, pero llevan a un mayor control y entendimiento de las

relaciones que se tejen al interior del fenómeno. En este caso estamos frente a ―una

interdependencia funcional entre el equilibrio de sentimientos de una persona y el proceso

global en qué está inmerso‖17

que deriva en explicaciones de distinto carácter –más o

menos comprometidas- dependiendo del grado de inseguridad que sintamos frente al

fenómeno a estudiar.

De igual forma, la posibilidad para dejar de lado explicaciones comprometidas y

emocionalmente gratas por explicaciones más distanciadas pero emocionalmente

insatisfactorias no siempre está abierta: ya que ―el margen de las variaciones sociales de

17

Norbert Elias, Compromiso y Distanciamiento (Peninsular Publishing Company, 2004), 109.

distanciamiento está supeditado a los patrones sociales de distanciamiento‖18

, la posibilidad

de que un miembro de una sociedad dada le puedan parecer plausibles explicaciones de una

sociedad distinta a la propia no siempre está abierta; dependiendo del tipo de sociedad, esta

posibilidad ni siquiera puede existir.

Por otro lado, Elias también indaga por el formato de las explicaciones que los hombres

utilizan para interpretar fenómenos: Elias observa que un esquema con una fuerza inusitada

en las explicaciones humanas se deriva de nuestra tendencia a anteponer un origen único y

absoluto al fenómeno que buscamos entender. Este esquema, que entre otras cosas define a

nuestras relaciones causales, es por definición, estático y no permite evaluar al fenómeno a

estudiar en función del proceso por el cual se desarrolló. De igual forma y con respecto a la

procesualidad de los fenómenos, este esquema se muestra rígido ya en él no hay cabida

para que el estado final en que encontramos a un fenómeno se deba al sin número de

relaciones que ha mantenido a lo largo de su existencia con su medio.

Es precisamente este esquema en el que se expresa las observaciones de la geometría

euclidiana y la mecánica clásica, en particular en los fenómenos que tienen que ver con el

movimiento, y es precisamente este tipo de explicación la más valoradas por Julio Garavito

como lo vimos arriba. Al parecer en este esquema explicativo, que fue enriqueciéndose y

llevado a altos niveles de abstracción por Garavito a lo largo de su formación como

matemático, las experiencias intuitivas en relación con el espacio de una sociedad como

colombiana a finales del XIX se adaptan fácilmente, lo que da un peso emocional mayor

como explicación adecuada para entender distintas clases de fenómenos. Además, los

principales logros e intereses que Garavito alcanzó y mantuvo en Colombia se derivaban

mal que bien del conocimiento y manejo de la mecánica clásica y las geometrías no

euclidianas, lo que refuerza el peso emocional que ellas tenían como explicaciones. Por

estas razones podemos afirmar que el científico colombiano estaba muy comprometido con

la geometría euclidiana y la mecánica clásica como explicaciones de fenómenos físicos y

matemáticos.

De igual forma y como vimos, las geometrías no euclidianas y después la relatividad

especial, se muestran como explicaciones en las cuales el esquema no tiene cabida, o por lo

menos no de una forma directa. En las geometrías no euclidianas, el plano deja de tener las

propiedades de Euclides para dar paso a planos con características que no pueden ser

comprendidos a partir de las experiencias más inmediatas con la realidad, ni tampoco

pueden ser comprendidos como estáticos, universales e inmanentes en el espacio; En la

relatividad, se relativiza al tiempo y al espacio de acuerdo con el movimiento de un agente

y se afirma que la velocidad de la luz es una constante, lo que lleva a que las premisas

fundamentales de la mecánica clásica se reformulen. La perspectiva que estos nuevos

postulados exigen en el entendimiento del universo requiere de una distancia considerable

18

Ibid., 23.

con relación a las explicaciones que se habían dado desde la geometría euclidiana y de la

mecánica clásica. Esta nueva perspectiva exige, ante todo, poder asumir que ciertas

explicaciones funcionales durante dos milenios de la historia de la humanidad en el

entendimiento de ciertos fenómenos pueden estar equivocadas y tienen que ser reformadas

o transformadas para poder entender a otros fenómenos naturales o a los mismos

fenómenos en un plano más general.

Esta nueva perspectiva en el caso de Garavito simplemente no era posible: su apego

emocional por las explicaciones de las geometrías no euclidianas y la mecánica clásica

eran tan fuerte que le fue imposible distanciarse de ellas para observar los fenómenos desde

una perspectiva que le permitiera una mayor comprensión. Esto explica porque a Garavito

pensaba que las geometrías no euclidianas y posteriormente la relatividad no eran más que

juegos nominales que nada tenían que ver con la realidad. Por otro lado, en la sociedad

donde Garavito se formó como matemático los patrones sociales de distanciamiento estaba

lejos de ser altos: por el contrario y como lo vimos arriba, dada la importancia de las obras

civiles en el desarrollo que se buscaba de la sociedad colombiana, el prestigio de la

geometría no euclidiana y de la mecánica clásica era notablemente alto en comparación con

las nuevas teorías que se abrían paso, lo que daba un margen de compromiso muy alto con

esta clase de explicaciones para todos aquellos que hicieran parte de esta sociedad. En este

ambiente, era en extremo difícil que un científico pudiese cambiar hacia una perspectiva

más distanciada desde la cual observara las ventajas que traían las nuevas explicaciones

tanto de la física como de las matemáticas en términos del dominio y entendimiento de

ciertos fenómenos. En el caso de Garavito podríamos afirmar que su ―punto de vista ego

centrista‖ menoscabo ―el valor cognitivo de su labor‖19

: la posibilidad de que este científico

colombiano pudiese hacer suyas las explicaciones y experiencias que fueron desarrolladas

en otras latitudes a fenómenos que eran de su interés, explicaciones que claramente

pertenecían a un esquema explicativo distinto al del origen, no existía.

19

Ibid., 26.

Bibliografía:

Albis González, Víctor Samuel. «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia». Revista

de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, n.o 21 (80)

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historia. Bogotá: Grupo Editorial Norma, 2002.

Paty, Michel, y Regino Martínez Chavanz. «Formación y desarrollo de la cultura científica

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———. «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora». En Miguel Antonio

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Stewart, Ian. Historia de las Matemáticas   : en los ultimos 10.000 años. Barcelona:

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