Juegos de Combinatoria

Juegos de Combinatoria1. Problemas DinmicosDentro de los pasatiempos dinmicos se engloban aquellos que consisten en hallar la serie demovimientos necesaria para resolver cierta tarea. De entre estos, los problemas relativos recorridosen tableros de ajedrez (algunas de las cuales son modelizables mediante grafos) y los de cruces deros son algunos de los ms conocidos. Tambin son famosos el juego del 15, las torres de Hanoi ylos anillos chinos (ver Ball y Coxeter, pginas 312-323, y Dewney, pgina 194).

Recorridos de caballos

El problema de los cuatro caballos

Problema: En la siguiente figura

invertir las posiciones de los caballos blancos y negros, en un nmero mnimo de jugadas.

El problema de los seis caballos.

Problema: En un tablero 43, con tres caballos blancos situados en las 3 casillas superiores y 3negros en las 3 casillas inferiores, intercambiar las posiciones de los caballos blancos con las delos negros, en un nmero mnimo de jugadas.

Cmo cruzar el ro?Dentro de los juegos que podramos considerar de combinatoria, uno de los acertijos ms viejos esel del granjero que viaja con un lobo, un cordero y una cesta de repollos. Por razones obvias nopuede dejar solos en ningn momento al lobo y al cordero, ni al cordero y los repollos. En unmomento dado llegan a un ro. Para cruzarlo tiene un bote en el que solamente puede cruzar l conuno de los tres "objetos".

Problema: Cmo har para cruzar el ro?

Problema: Una variante tambin clsica es la de los tres hombres y los tres nios con larestriccin de que el bote nicamente permite cruzar a un hombre o dos nios cada vez. Cmoharn para cruzar el ro?

Problema: Cuntas travesas habran sido necesarias si solamente hubiera habido dos nios? Eneste ultimo caso, cuntas travesas seran necesarias para cruzar un regimiento de 1000 soldados?

Juegos de Combinatoria http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa...

1 de 11 26/02/14 12:22

Problema: Una ltima variante es las dos (o tres) parejas en las que los maridos son tan celososque no permiten a su mujer estar con otro hombre, aunque haya ms personas presentes, si noestn ellos presentes. Sabras resolver esta ltima variante?

Problema: Estdiese el caso de cuatro (o ms) parejas?

Problemas ferroviarios.Otra familia clsicas de problemas tiene por protagonistas trenes y cambios de agujas.

Problema: En la figura est representada una va principal (horizontal), junto con dos ramalessecundarios curvos. El rectngulo mayor situado en la va principal representa una mquina. Losdos rectngulos menores representan vagones.

El extremo comn A de los ramales no puede ser utilizado por la mquina, aunque s porcualquiera de los vagones (aunque no los dos a la vez). El problema consiste en utilizar la mquinapara intercambiar los vagones, dejando la mquina en su misma posicin inicial. La mquinapuede enganchar los vagones tanto delante como detrs. Adems un vagn puede engancharse conel otro.

Problema: El problema es ahora el mismo pero en la siguiente figura.

Ahora B solo puede albergar la mquina y un vagn, mientras que C nicamente puede serutilizado por uno de los vagones.

Problema: El problema consiste ahora en permitir el cruce de dos trenes, uno que viene de laizquierda y otro que viene de la derecha, con 40 vagones cada uno, si el ramal auxiliar nicamentepuede alojar nicamente 40 vagones o una mquina y 39 vagones.


2 de 11 26/02/14 12:22

Problema: Un nuevo tren con 40 vagones y un furgn de cola quiere utilizar el ramal anterior paracambiar de sentido. El orden de los vagones se puede alterar en la maniobra, aunque ha determinar con la locomotora en la parte delantera y el furgn de cola en ltimo lugar. Es posiblehacerlo?

Juegos con monedasProblema: Uno de los juegos con monedas ms antiguos consiste en colocar en fila 8 monedas, ytratar de agruparlas, en 4 movimientos, en 4 montones de 2 monedas cada uno. En cadamovimiento cada moneda debe saltar exactamente sobre otras dos (independientes o apiladas).

Problema: Puede resolverse el problema anterior con 10 monedas en 5 movimientos? Y 12 en 6movimientos? Hay alguna estrategia general para 2n monedas en n movimientos?

Problema: Obtener, para 10 monedas un mtodo de apilamiento en el que los montones de 2monedas resultantes al final sean equidistantes.

Problema: Podras conseguir que las monedas terminaran en los lugares impares?

Problema: Otro juego consiste en colocar, alternadas, 8 monedas de dos tipos distintos (4 de cadatipo), dejando sitio en un extremo para poner 2 monedas ms. Tras 4 movimientos, las monedas decada han de estar alineadas, en 2 grupos separados. En cada movimiento hay que mover juntas dosmonedas adyacentes a otro lado.

El puzzle del 14-15.A principios de siglo fue comercializado el siguiente juego, consistente en un caja de madera con15 bloques que podan ser deslizados por la caja (sin sacarlos de ella). Los bloques venan en laposicin inicial

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 15 14

El puzzle consista en llevarlos a su posicin natural

1 2 3 4


3 de 11 26/02/14 12:22

5 6 7 89 10 11 1213 14 15

Por ejemplo, a partir de la posicin inicial, tras realizar un nico movimiento, podemos obtenernicamente 2 posiciones,

1 2 3 4 1 2 3 45 6 7 8 5 6 7 89 10 11 12 9 10 11 13 14 15 13 14 15 12

Y a partir de stas (si no retrocedemos),

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 45 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 5 6 7 89 10 11 12 9 10 12 9 10 11 8 9 10 1113 14 15 13 14 11 15 13 14 15 12 13 14 15 12

El inventor del puzzle, Sam Loyd, ofreci 1000 dlares (de 1900) a quien lo resolviera. Miles depersonas aseguraban haberlo resuelto, pero lamentablemente no recordaban los movimientos quehaban realizado. No es de extraar puesto que el puzzle no tiene solucin.

Problema: Intenta justificar esta ltima afirmacin.

Cmo construir un calendario con dos dados?Un problema, quizs no tan viejo, pero s sencillo, se refiere a esos calendarios formados por doscubos con nmeros en sus caras con los cuales es posible construir cualquier fecha del mes.Sabras determinar los nmeros que han de aparecer en cada uno de los dados?

2. Las Torres de HanoiEl rompecabezas de las torres de Hanoi consta de tres varillas verticales fijas en un tablero. En unade las varillas se encuentra ensartada una pila de n discos de tamao decreciente, con el discomayor en la base.


4 de 11 26/02/14 12:22

El problema consiste en trasladar la pila a otra varilla, moviendo un disco cada vez, de manera queen ningn momento un disco descanse sobre otro de menor tamao. Inicialmente slo es posiblemover el disco de menor tamao. El segundo movimiento tambin est forzado. A partir del tercermovimiento, la eleccin ya no es nica.

Problema: Busca la serie de movimientos para los problemas de 2, 3 y 4 discos.

El anlisis de estos primeros casos acerca rpidamente a la clave de la solucin. Si se puede moverla torre formada por los cuatro discos superiores, por qu no va a poder moverse toda la torre?Cmo puedo aprovechar la manera en que se mueven 4 discos, para intentar mover 5? Y siconsigo mover 5, como podr mover 6?

Problema: Cmo se puede aprovechar la estrategia de movimiento de k discos, para mover k+1?

La solucin de este ejercicio nos proporciona una solucin recurrente, que nos permitir obtener, apartir de la estrategia para k discos, la estrategia para k+1.

Problema: Utilizar la relacin de recurrencia anterior para determinar el nmero de movimientosnecesarios para trasladar n discos.

Problema: Considera nuevamente los casos de 2,3 y 4 discos. En cada uno de ellos intentacontestar a las siguientes preguntas:

Cada cuantos movimientos se mueve el disco pequeo?En que sentido los hace?En los movimientos en que no se mueve el disco pequeo, hay varias posibilidades?Da una estrategia general basndote en las observaciones anteriores.

Problema: Quizs hayas observado ms pautas en la obtencin de la estrategia general.

Cuantas veces se mueve el disco mayor? Y el siguiente en tamao?En que sentido lo hacen?Qu ocurre con los discos menores? Cada cunto se mueven los discos 2,3,4,...? En quesentido lo hacen?Con estos nuevos datos, podras dar ms detalles de la estrategia anterior?Podras demostrar ahora que esta estrategia es la misma que la obtenida recurrentemente?


5 de 11 26/02/14 12:22

3. Problemas de ProbabilidadesUn hombre que viajaba un montn estaba preocupado por la posibilidad de que hubiera unabomba en alguno de los aviones en que viajaba. Determin la probabilidad de que ocurriera esto yaunque era baja no lo era tanto como hubiera deseado. Desde entonces viaja siempre con unabomba en su maleta. Piensa que la probabilidad de que haya dos bombas a bordo debe ser ahoradespreciable.Razonamientos como el anterior son comunes. Este hecho hace que a veces sea sorprendente elresultado real de algunos razonamientos sobre probabilidades.

Cuntos cumpleaos repetidos?Uno estos resultados a primera vista sorprendente surge de la siguiente pregunta (es interesanteresponder primero rpidamente, sin efectuar grandes clculos, y dar despus una respuesta msmeditada).

Problema: Cunta gente estimas que debera haber en una habitacin para tener deprobabilidad de que haya la menos dos personas con el mismo cumpleaos?

Un posible contraataque de un escptico es el siguiente: "Muy bien, listillo, te voy a demostrar queestas equivocado. A ver cuanta gente hay aqu? Unas 100 personas. A ver, mi cumpleaos es el28 de Febrero. Alguno de ustedes cumple aos tambin ese da? Ves, ninguno.

Pregunta 2: Qu falla en este razonamiento?

La moraleja de esto es que el que ocurra un suceso improbable cualquiera es mucho ms probableque el que ocurra un suceso improbable en particular. Que me toque la lotera es muchsimo msimprobable a que le toque a alguien. De hecho, siempre que se vendan todos los dcimos, laprobabilidad de esto ltimo es 1.

El timo de las tres cartasProblema: Supongamos que dispongo de tres cartas. Una de ellas tiene un as de oros en cadalado, otra un as de copas en cada lado y la tercera un as de oros en un lado y un as de copas en elotro. Echa las tres cartas en un sombrero y extrae una al azar. Supongamos que en la cara visibletiene un as de oros. Por tanto solamente puede ser la carta que tiene un as de oros en cada lado, ola que tiene un as de oros en un lado y un as de copas en el otro. Por tanto la probabilidad de quelas dos caras sean iguales es, aparentemente, igual a la de que las dos caras sean diferentes. Si meapuesto entonces algo a que son iguales no te estoy timando. O s?

El juego de las tres nueces (o la paradoja de las tres puertas)Problema: Ahora dispongo de tres medias nueces y de una canica, que escondo debajo de una delas tres nueces. Intenta adivinar debajo de qu nuez la he puesto. Una vez que has elegido una delas nueces destapo una de las otras dos que no esconda la canica. Llegado este punto, hay dosnueces boca abajo, una de las cuales esconde la canica. Por tanto, de nuevo aparentemente, laprobabilidad de que ests sealando la nuez que esconde la canica es . Si me apuesto entoncesalgo a que no has acertado es una apuesta justa. O te estoy timando otra vez?


6 de 11 26/02/14 12:22

Problema: Visto esto, cul ser la estrategia que habrs de seguir si alguna vez te encuentras enel lugar de la vctima?

El tragasuertes (nadie da duros por pesetas)El ltimo timo que presentar y en que tambin es fcil caer es el siguiente. Es un juego que sejuega en los casinos de Estados Unidos y en los pubs ingleses al grito de tres ganan y tres pierden.El juego consiste en lanzar tres dados, debiendo acertar uno de los que van a salir. En ese casorecibes tu apuesta tantas veces como haya salido ese nmero. Si no, la pierdes.Si se tirara nicamente un dado el nmero que has elegido saldra una de cada seis veces, si setiraran dos dados ese mismo nmero saldra una de cada seis veces: Como se tiran tres dadossaldr una de cada dos veces. As que estas a la par. Incluso se dira que tienes las de ganar porqueuna de cada dos partidas saldr el nmero que has elegido y cubrirs prdidas. Pero si adems elnmero sale en dos dados empezars a ganar dinero.

Pregunta 6: Juegas entonces?

Las tres monedasProblema: Supongamos que lanzo tres monedas al aire. Si salen todas iguales te pagar, digamos,100 ptas; pero si no son todas iguales tendrs que pagarme 50 ptas.De las tres monedas dos habrn de ser necesariamente iguales. La tercera podr ser igual odiferente que esas dos. La probabilidad de ambos casos son iguales. Por tanto en una de cada dostiradas las tres monedas sern iguales. Como en caso de ser iguales ganas el doble de lo quepierdes si son distintas el juego te favorece. Ests de acuerdo y juegas?

El duelo triangularProblema: Tres tiradores A,B y C acuerdan batirse en un duelo triangular con las siguientesreglas: Situados en los vrtices de un tringulo equiltero y despus de acordar el orden,dispararn por turno un disparo a aquel de los otros dos que prefiera. El duelo continuar en esteorden hasta que nicamente quede uno de los duelistas. Se sabe que A acierta siempre, B un 80%y C un 50%. Suponiendo que todos escogen la mejor estrategia y que nadie resulta herido por undisparo no dirigido a l, quin tiene ms probabilidades de sobrevivir?

Pregunta 7: Sabras calcular la forma en que es de esperar que se desarrolle el juego para unocualquiera de los jugadores (esperemos que no seas t uno de ellos) a lo largo de un nmeroadecuado de partidas?

Mellizos desconcertantesProblema: Tengo un amigo que tiene un hermano mellizo. Cul es la probabilidad de que sea unchico? Y si sabemos adems que su hermano mellizo es menor que l?

El problema de tener dos noviasProblema: Fulanito, que vive en Aluche, tiene dos novias: una en Alcorcn y otra en Atocha.Como nunca sabe con cul de las dos quedar, ha llegado al siguiente convenio consigo mismo.Como los trenes a Atocha y Alcorcn pasan cada 20 minutos coger el primer tren que pasa,


7 de 11 26/02/14 12:22

dejando as que los trenes decidan por l. Despus de un tiempo, su novia de Atocha, que estlocamente enamorada se ha empezado a quejar de que solamente va a verla un da de cada cuatro.Por otra parte, su novia de Alcorcn, que ya est empezando a estar harta de l, se queja de que vaa verla 3 de cada 4 das. Aparte de ser un cretino, cul es el problema de Fulanito?

Una de saludProblema: Supongamos que te has hecho una prueba, para una cierta enfermedad, que tiene unafiabilidad del 98%, esto es, si alguien tiene esa enfermedad, la prueba dar resultado positivo el98% de los casos, mientras que si no la tiene, ser negativo el 98% de los casos. Supongamostambin que 1 de cada 200 personas que se realizan la prueba realmente padece la enfermedad.Supongamos finalmente que te has hecho la prueba y ha dado positivo. Cmo de preocupado (opreocupada) deberas estar?

Una de deportesProblema: El entrenador del equipo de baloncesto de mi pueblo est dudando entre dos fichajespara esta temporada, llammosles A y B. Tanto en la primera mitad de la temporada pasada, comoen la segunda mitad, A ha tenido un mejor porcentaje de canastas por partido jugado que B. Comoadems, el fichaje de A es ligeramente (100 millones) ms barato que el de B, parece que elentrenador lo tiene claro. An as me ha pedido consejo. Qu consejo le daras t?

La apuesta a los caballos de carrerasProblema: El siguiente problema est ntimamente relacionado con el anterior. Supongamos quese tiene la siguiente relacin entre dos caballos de carreras: Para cada tiempo t, es ms probableque el caballo A cubra la distancia de la carrera en un tiempo inferior a t a que lo haga el caballoB. Se deduce de esto que en una carrera es ms probable que el caballo A gane al caballo B?

Para terminar, una proposicin deshonesta.Supn que durante los 6 ltimos meses has recibido una carta de una agencia burstilanticipndote la tendencia (al alza o la baja) de determinadas acciones, habiendo acertado siempre.Acabas de recibir una carta de la misma agencia en la que se te pide la cantidad de 15.000 pesetaspara seguir recibiendo informacin. Aparentemente, los tipos de esta agencia son unos fieras yaciertan siempre (la probabilidad de acertar 6 veces seguidas al azar es de 1 entre 46.656), con loque sera altamente provechoso seguir disponiendo de informacin. As por fin podras hacer algocon esos ahorrillos que tenemos en el banco y que te producen un miserable 8% anual. Aceptasentonces y les envas las 15.000 pesetas?Mejor no lo hagas no sea que pierdas las 15.000 pesetas y tambin tus ahorros.

Pregunta 13: De que manera es posible para alguien sin la menor idea sobre la Bolsa enviarte 6predicciones exactas?

4. Paradojas Los problemas de esta seccin difieren de los de la anterior en que, mientras que aquellosadmitan soluciones, aunque sorprendentes, eran correctas, los de esta seccin, salvo el primero,


8 de 11 26/02/14 12:22

no admiten una solucin que est comnmente aceptada.

Una paradoja electoralSupongamos que tenemos tres candidatos a la presidencia A, b y C. Una encuesta indica que 2/3del electorado prefieren a A antes que a B, y que 2/3 del electorado prefieren a B antes que a C.se deduce de esto que la mayora de votantes prefiere a A antes que a C?

Problema: Disear tres grupos de poblacin (de igual tamao), de tal forma que los individuos decada grupo comparten las mismas preferencias electorales, de forma que se cumplan losporcentajes anteriores, pero tambin se cumpla que 2/3 del electorado prefieren a C antes que A.

Este es un ejemplo de que la relacin de preferencia 2 a 2 no es transitiva. Esta paradoja se conocecomo la paradoja de Arrow, en recuerdo de Kenneth J. Arrow, premio Nobel de Economa, quiendemostr a partir de ella y de otras consideraciones lgicas que un sistema perfecto de votacindemocrtica es, en principio, imposible.

Problema: Supongamos que en otra eleccin, tanto el candidato A como el B cuentan cada unocon ms del 40% de los votos (y por tanto C cuenta con menos del 20%). Supongamos que laeleccin se realiza enfrentando primero 2 candidatos, y despus el vencedor con el tercero. Esposible que gane C?

Problema: Supongamos ahora que, entre 4 partidos polticos A, B, C y D las preferencias sereparten como sigue:

Un 17% prefiere C a A, A a D y D a BUn 32% prefiere A a B, B a D y D a CUn 34% prefiere D a B, B a C y C a AUn 17% prefiere B a A, A a C y C a D

Determnese un orden de votacin segn la cual resulte ganadora la opcin C.

Problema: Demustrese que cualquiera de los partidos puede resultar vencedor, eligiendoconvenientemente el orden de los enfrentamientos.

Problema: Es posible que, determinando nicamente el primer enfrentamiento, gane C,independientemente de los enfrentamientos posteriores?

La paradoja de San Petersburgo.Supongamos que se lanza una moneda. Si sale cara te pago 1 peseta. Si sale cruz se vuelve alanzar la moneda. Si sale cara ahora te pago 2 pesetas. En caso contrario se vuelve a lanzar lamoneda y si sale cara te pago 4 pesetas. En caso contrario se sigue lanzando la moneda hasta quesalga cara. Tu ganancia ser n pesetas, siendo n+1 el nmero de tiradas que has necesitado paraobtener cara.La pregunta es, cunto debera cobrarte para dejarte jugar?

Si por ejemplo, juegas 16 partidas:

En la mitad, es decir, en 8 partidas, ganars 1 peseta,en la cuarta parte, es decir, en 4 partidas, ganars 2 pesetas,


9 de 11 26/02/14 12:22

en la octava parte, es decir, en 2 partidas, ganars 4 pesetas,en 1 partida ganars 8 pesetas,en la partida restante, no sabemos cunto, aunque algo ganars.

As, en 16 partidas es de esperar que ganes ms de 81+42+24+18=32 pesetas, con una gananciamedia superior a 32/16=2 pesetas.Pero si juegas 32 partidas:

En la mitad, es decir, en 16 partidas, ganars 1 peseta,en la cuarta parte, es decir, en 8 partidas, ganars 2 pesetas,en la octava parte, es decir, en 4 partidas, ganars 4 pesetas,en 2 partidas ganars 8 pesetas,en 1 partida ganars 16 pesetas,en la partida restante, no sabemos cunto, aunque algo ganars.

As, en 32 partidas es de esperar que ganes ms de 161+82+44+28+116=516 pesetas, con unaganancia media superior a 2.5 pesetas.Es fcil ver que, conforme aumenta el nmero de partidas que juegas, la ganancia media aumentade forma que si juegas 2n partidas, es de esperar que ganes ms de n/2 pesetas.Cmo, inicialmente puedes jugar tantas partidas cmo quieras, tenemos que la ganancia quepuedes esperar es infinita.Calculado ms directamente, cmo tenemos la siguiente tabla de probabilidades y ganancias,

Ganancia 1 2 4 8 16 32 ..Probabilidad 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 ..

la ganancia a esperar ser de . Esto es, para jugar deberas

pagar una cantidad infinita de pesetas.

Entre las diferentes maneras propuestas para hacer la probabilidad finita, una es la propuesta porCramer (en una carta a Nicolas Bernouilli) en 1730. Cramer supuso que la fortuna del banquero esfinita (por ejemplo 224 pesetas). En este caso, el jugador recibir 2n pesetas con probabilidad1/2(n+1), siempre que n sea menor o igual que 24. En el resto de los casos recibir siempre 224pesetas. Como

,

la ganancia esperada es ahora nicamente de 13 pesetas, una suma razonable.

Un juego ventajoso para todosEl juego que proponemos ahora es el siguiente: Dos personas apuestan sobre la cantidad de dineroque llevan encima. Aquel que lleve menos dinero gana todo el dinero del otro.Cada uno de los dos apostantes razona de la siguiente manera: "Si yo tuviera ms dinero perderatodo el dinero que llevo, pero si soy el que menos dinero lleva de los dos, ganar ms dinero del


10 de 11 26/02/14 12:22

que llevo. Es decir, lo que puedo perder es menos de lo que puedo ganar. El juego me favorece!"Pero este razonamiento se lo hacen los dos jugadores. Cmo es posible que el juego sea favorablea los dos jugadores?

Por qu es ventajoso creer en DiosEl razonamiento de Pascal para ser cristiano aparece en el Pensamiento 233 de sus Penses: Nadiepuede decidir inequvocamente si debe aceptar o rechazar la doctrina de la Iglesia Catlica. Puedeser verdadera o falsa. Independientemente de las probabilidades de cada una de estas 2posibilidades, cules son los beneficios de ambas elecciones?

Supongamos que rechazamos a la Iglesia. Si su doctrina es falsa, nada perdemos niganamos. Pero si es verdadera tendremos que afrontar infinitos sufrimientos en el infierno.Supongamos ahora que aceptamos la doctrina de la Iglesia. Si resulta ser falsa, nadahabremos ganado y solamente habremos perdido tiempo. Pero si es verdadera alcanzaremosla salvacin eterna.

Por tanto, la balanza de ganancias y prdidas se inclina a favor de la Iglesia. Ests de acuerdo?

William James, en su ensayo The will to believe aduca que la decisin de creer en Dios es paranosotros una buena apuesta, porque al no haber pruebas ni en un sentido ni en otro, respecto a laexistencia de Dios, uno debera decidir aquello que ms feliz pueda hacerle en esta vida.


11 de 11 26/02/14 12:22

Juegos de Combinatoria

Documents

Transcript of Juegos de Combinatoria