JUEGOS CON MATRICES INFINITAS

Miguel Martin Diaz

Summary

We study the games with an infinite matrix.

Then, we consider two extension of the game with finitely additive probabilities, according to the selected order of integration.

It is showed, Theorem l, that the first extension has a value and that the player 1 has, at least, an optimal finitely additive strategy, which is the limit in a definite sense of o-additive probabilities defined

on a countable field properly chosen.

The same can be said of player 2, regarding the second extension.

Theorem 2 and its corollary relate the values of the these two

extensions to the value of the o-additive extension and show that the latter has a value if and only if the both finitely additive extensions have

the same value.

In theorem 3 we find a sufficient condition so that the o-additive

extension has a value.

Finally, two examples are presented.

263

Notaciones

N.

N representar~, siempre, el conjunto de nflmeros naturales.

~9 D (N) representarg la clase formada por todos los subconjuntos de

El mos en

El mos en pies.

Aies uni6n de conjuntos disjuntos.

A veces, emplearemos el tdrmino de variable aleatoria en lugar del tdrmino variable aleatoria real.

t6rmino variable aleatoria respecto de una o-~lgebm 1o empleare- el sentido usual (por ejemplo: Lo6ve).

tdrmino variable aleatoria respecto de un ~ilgebm lo empleare- el sentido siguiente: lfmite uniforme de variables aleatorias sim-

El t6rmino probabilidad o-aditiva lo emplearemos en lugar de pro- babilidad (en el sentido usual), para distinguirlo de la probabilidad fini- tamente aditiva. Esta tiene las propiedades de una probabilidad o-aditiva salvo, quizfis, la probabilidad de continuidad; A,, ,~ 0 =~ p (A,,) .1, O.

Si X es una variable aleatoria y p una probabilidad, finitamente aditiva, Ep (X) representar~i la esperanza matem~itica de X con respec- to ap .

Introducci6n al problema

En ref. 4, prig. 59, se da un ejemplo de juego con matriz, de p6rdi- da, infinita de elementos uniformemente acotados que no tienen valor, cuando se consideran probabilidades o-aditivas.

En la misma referencia, p~ig. 152, se considera la extensi6n de un

juego sobre el cuadrado unidad utilizando probabilidades tinitamente aditivas.

En esencia, se demuestra que si la funci6n de pdrdida es acotada y medible da lugar a un juego con valor, si se juega sobre un espacio fun- cional conveniente.

En ref. 3, p~g. 2073; se demuestra que si los jugadores utilizan es- trategias finitamente aditivas todo juego, con una funci6n de p6rdida

264

conveniente, tiene valor; 4ste depende, en general, del orden de integra-

ci6n.

Este resultado est~i basado en un teorema de separaci6n, de Hahn-

Banach, que presupone el axioma de Zermelo. Nosotros consideramos el caso particular de juego definido por una matriz infinita. Demostra- remos un resultado an~ilogo al anterior sin utilizar el axioma de Zermelo; y probaremos que uno de los jugadores, al menos, dispone de una es-

trategia 6ptima finitamente aditiva, l/mite de probabilidades o-aditivas.

Despu4s relacionaremos esto con la prolongaci6n o-aditiva.

La idea principal es utilizar un ~ilgebra numerable respecto de la

cual sean variables aleatorias las aplicaciones obtenidas fijando cada co-

lumna de la matriz y variando la ilia.

Lema 1

Sea a un filgebra de subconjuntos de [2 y Pn' n = 1, 2, ... probabili - dades finitamente aditivas sobre a que verifican:

lim Pn (A) = p (A) para VA e n . - ~ o o

Entonces:

p (A) es una probabilidad finitamente aditiva sobre a

Si X es una variable aleatoria real, en ([2 a),

lim Epn (X)=Ep (X). n --~ o o

se verifica:

Demostraci6n

A, B e a , A NB=c~ =*" lim Pn (A U B) = p (A) + p (B)

p ( ~ ) = lfm Pn([2 )=l n .--4. ~

Esto demuestra que p (A) es finitamente aditiva sobre ot

Sea X una variable aleatoria real, en ([2 c~). k k

S i X e s s i m p l e s e r ~ i d e l a f o r m a : ~-, xi lAi , con Y. Ai=[2 i = 1 i = 1

265

k k lfm Ep,, (X) = lfm E xipn (Ai) = E p (A i )=Ep (X)

n ---} ** n - - - } 0 " i = 1 i = 1

Si X no es simple y e )> 0 es arbitrario, existe una variable aleatoria simple Z tal que se verifica

I X ( c o ) - Z ( c o ) l < e , para V c o e ~ =*

lEt," (X) - Ep, (Z) I < e V n e N t =,

} I Ep (X) - Ep (Z) { < e l fm Epn (X)=Ep (X) n . . . ~ r

Lema 2

Sean:

o una o-~ilgebra de subconjuntos de ~2.

P,, n = I, 2 . . . . . probabilidades finitamente aditivas sobre o

Xj; j = 1, 2, ..., variables aleatorias acotadas, definidas en (~2 o)

Entonces, existen:

Un filgebra numerable ~, contenida en o, tal que X i, V ] e N, es una variable aleatoria en ( f /o0 .

Una sucesi6n k n i = 1, 2, ..., de nflmeros naturales y una probabi- lidad p, finitamente aditiva sobre ot tales que se verifica:

lfm Epk (Xj) = Ep (Xj) V ] e N r l " " ~ m ' n

Demostraci6n

Sea 7 la clase formada por todos los intervalos de extremos racio- nales de R, incluyendo los intervalos que tienen los extremos en + oo.

Sea o~ el filgebra engendrada por la clase de todos los subconjuntos

de f / c u y a s imfigenes respecto de alguna Xj son elementos de 3'.

Por ser Xj acotada, puede demostrarse que es lfmite uniforme de

variables aleatorias simples en cr

266

Por lo tanto, Xj es una variable aleatoria en (I2 c0.

No damos la demostraci6n porque es totalmente anfiloga a la dada en M. Lo6ve - Probability Theory prig. 107, para el caso de variables aleatorias definidas sobre o-algebras. Evidentemente, ot C o.

Por otra parte, a es numerable por ser el algebra engendrada por

una clase numerable.

Ahora por el conocido procedimiento diagonal puede obtenerse

una sucesi6n kn, n = 1, ..., de nfimeros naturales tal que existe

l/m Pk,, (.4) V A e ol; si llamamos p (A) a este limite, aplicando el le- n

ma ~resulta: lfm Et, (Xj) = Ep (Xj) V j e N. n "-> oo - - R n

Introduciremos algunas notaciones que utilizaremos on adelante:

A es una matriz infinita de elementos aij, i, j = 1,2 . . . . .

or representara un ~lgebra numerable cualquiera tal que la aplica- ci6n Xj sea, para V j e N, una variable aleatoria en (N o0.

En virtud del lema 2, esta clase existe siempre.

pa es el conjunto de todas las probabilidades finitamente aditivas sobre o_~ (IV).

P es el conjunto de todas las probabilidades o-aditivas sobre ~ (N).

pa es el conjunto de todas las probabilidades finitamente aditivas sobre oc

Pa es el conjunto de todas las probabilidades o-aditivas sobre ot.

En lo que sigue supondremos I aij I < M V i j e N.

A partir de ahora llamaremos (A) al juego definido por la matriz A. (A) ~ representara la extensi6n o-aditiva del juego (A).

Es decir: el jugador I elige p e P; el jugador II elige q e P; II paga a

I la cantidad r (p, q) = ~. aiy Pi qi = Eq [Ep (Xj)]; siendo p = (Pl ...); q =(ql ...).

Llamaremos primera extensi6n finitamente aditiva de A al juego (A) a definido del siguiente modo:

E1 jugador I elige p eP~ ; el jugador II elige q ePa; II paga a I la can-

tidad r a (p q) = Eq [Ep (Xy)].

267

Obs6rvese que Xj es para V j e N, una variable aleatoria en (N cO. Por 1o tanto, existe Ep ( X i) para V p e P~.

La aplicaci6n: j ~ Ep (Xj) es una variable aleatoria en (N ~ (N)).

Por 1o tanto, r~ (p, q) estfi bien definida.

Como ya hemos observado, en el caso de probabilidades finitamen-

te aditivas es necesario tener en cuenta el orden de integraci6n.

De un modo an~ilogo se podrfa definir otra extensi6n finitamente

aditiva cambiando el papel de las filas de A por el de las columnas.

Teorema 1

Si la matriz A = (aq) verifica I aq I < M, para V i, j e N, el juego

(A) a tiene valor y el jugador I tiene, al menos, una estrategia 6ptima.

Demostraci6n

Sean:

v = inf Sup ra (t9, q) q e P a p e P a

v = Sup Inf r a (p, q) p e p a q e P a

Por ser I aij I < M se verifica v >~ v

Vamos a demostrar que existe p* e pa tal que se verifica: 0t

Ep * (Xj) >~ v para V j e N. (Si demostramos esto quedarfa demostrado

de modo inmediato el teorema) en efecto;

Sea An la matriz formada por las filas de A y sus n primeras colum-

has.

Sea (An) ~ la extensi6n o-aditiva del juego definido por An.

Es sabido (ref. 1 p~g. 46) que (An)~ tiene valor, que llamaremos Vn.

Supongamos e,~ ~ 0 cualquiera n = 1 . . . .

Tomamos Pn e P de modo que sea Epn (Xy) > Vn - en para V

j = l , 2 . . . . . n.

En virtud del lema 2, existen: k n e N n = 1, 2, ... y p* e P~ tales

268

que se verifica: nl~m.. Eph,, (Xj) = Ep , (Xj). Por otra parte existe

lfm Vn, po r ser Vn decreciente .

Si es v = l fm Vn se obt iene : Et,, (Xj) >1 v para V j e N. n . . .+ ~

Por o t ra par te , vn /> v =* v /> v .

En vir tud de la definici6n de v- es v-~< v. Resulta v-= v.

F ina lmente se t iene E~ (Xj) >1 v- c.q.d;

Corolar io

Si es l aq] < M existe l im Vn y e s el valor d e l j u e g o ( A ) a, (se ha n --I- ~

probado al demos t ra r el t eorema) .

En el t eo rema siguiente ut i l izaremos las siguientes notaciones:

An es la matr iz fo rmada por todas las filas de A y sus n primeras

columnas.

(An)" es la extens i6n o-aditiva del juego def in ido por An , vn es el

valor del juego (An)~

An es la matr iz fo rmada por todas las co lumnas de A y sus n pri-

meras filas.

(A n)o es la extens i6n o-aditiva del juego def in ido por A n.

v n es el valor del juego (An) ~

T e o r e m a 2

Si es I aql < M , una condic i6n necesaria y suf ic iente para que (A) ~ tenga valor es que se verif ique: lfm v n = lfm vn. Cuando esto se

verif ique, este l fmite c o m 6 n es el valor de (A) ~ .

Demostraci6n

La condic i6n es necesaria:

Supongamos que v es el valor del juego (A) ~

Sea e > 0 arbitrario.

Sea p e P una estrategia e 6pt ima para el j ugador I. 2

269

Tomamos L > 0 de modo que se tenga: Z Pi ( e V n ) L . i = , + l 2 M

Sea Pi ~ = P i " i = 1, ..., n con n i> L cualquiera.

i = l

Se tiene:

para

n , ( ~, aij P i ' t ' - ~, ai j Pi - ~-, j Pi ~

n i= 1 i = n

i - I

e M - e > ~ v - v - e

2 2 M

Esto demuestra que es v" >~ v - e para V n >i L.

Por otra parte, v n es creciente y verifica Vn <~ v.

Por lo tanto, se verifica: lfm v n = v. n ---~ oe)

De un modo an~logo se demuestra que se verifica: lim vn = v.

Esto demuestra que la condici6n es necesaria.

La condici6n es suficiente:

Supongamosque severifica: lira v n = lim vn = v .

Sea e > 0 arbitrario.

Tomamos L de modo que se tenga v n > v - e para V n > L.

Sea p e P, con soporte en el conjunto: 1 ,2 , ..., n tal que: E t, ( X j ) >1

>t v n para V j e N (Esto es posible (ref. 1 p~ig. 46).

De este modo, n > L ~, El, ( X i ) >~ v - e para V ] e N.

De modo an~ilogo:

Si Z i es la aplicaci6n: Zi ( j ) = a q c u a n d o / v a r i a en N, se demuestra

que existe q e P tal que es Eq ( Z i ) ~ v + e para V i e N.

Esto demuestra que el valor de ( A ) a es v, y con ello queda demos-

trado el teorema.

270

Considerando un filgebra numerable /3 tal que las aplicaciones Zi anteriormente definidas sean variables aleatorias en (N f3) se puede de-

finir de un modo an~logo, a como definimos ( A ~ , la segunda exten-

si6n finitamente aditiva de A.

Llamaremos (A)~ a esta extensi6n. La relaci6n entre estas exten-

siones y (A) ~ viene dada por el siguiente

Colorario

Si es I aii I < M, (A) ~ tiene valor si, y s61o si, (A)~ y (A)~ tiene el mismo valor. En efecto:

Si vl es el valor de (A)a~ se ha demostrado, en el teorema 1, que se

verificav~ = lfm vn.

De un modo an~ilogo se demuestra que se verifica lfm v n = v2 (v: es el valor de (A~) . '1 -" 0"

Ahora de Teorema 2 resulta el corolario.

La significaci6n del corolario es la siguiente:

Cuando se consideran extensiones finitamente aditivas pueden re-

sultar diferentes segfin el orden de integraci6n. Entonces, la primera ex-

tensi6n puede ser inaceptable para el primer jugador del mismo modo

que la segunda extensi6n puede serlo para el primero.

Una soluci6n razonable para los dos podrfa ser aceptar las exten- siones (A) a y (A)~ como razonables para los dos jugadores cuando am-

bos juegos tienen el mismo valor. Pero en este caso del corolario resulta

que la extensi6n por probabilidades finitamente aditivas no aporta solu-

ci6n a juegos que no tengan valor por probabilidades o-aditivas. Lo 6ni-

co que afiade es la existencia de estrategias 6ptimas para alguno de los

jugadores. Esto no es demasiado, porque para V e > 0 siempre existirfi

una estrategia, a-aditiva, e-6ptima para ambos jugadores.

Teorema 3

Si lamatr izA =(aij) i, ] = 1, 2, ... verifica: 0 ~ai] ~ M y lfm aii= -- 0 para V / e N, el juego (A) a tienen valor y el jugadorI hene," i --al..menos

una estrategia 6ptima.

271

Demostraci6n

Sea v = inf sup r ( p , q). q c P p e P

Sea v~ el valor de ( A n ) a . (Extensi6n o-aditiva del juego definido por

la matriz A, ), de elementos aij, i = 1 , 2 , ..., o~, ] = 1, 2, ..., n).

Sean: e > O, e,, ~ 0 cualesquiera.

Tomamos Pn e P de modo que se tenga Ep,, ( X i) >t vn - e,~.

Por el procedimiento diagonal se puede obtener una sucesi6n de

nfimeros naturales k , de modo que exista lira Pkn (i) para V i e N.

Sea/a (i) este limite y E~, (Xj) = Z aij la (i) i = 1

Se verifica:

L [ Epj,, (X j ) - E u ( X i) 1~<1

i - - 1 aq (Pk, (i) - ~ (i)) I +

+ I i s lPk, (i) - # (i) l I

Por ser lim aq = 0, para V j e N. Se puede tomar L de modo que

el filtimo sumando est6 acotado pore . Para un L fijo cualquiera es llmi- te del primer sumando cuando n ~ oo, es 0. Por lo tanto E u (Xj) >i v para V ] e N.

Es fficil probar que Z # (i) ~< 1 i = l

Por 1o tanto, existe p e P tal que se verifica p (i) >i # (i) V i e N cualquier p e P que verifique esta condici6n es una estrategia 6ptima

para el jugador I. En efecto aq >~ 0 =~ Ep ( X i) >~ E u (Xj) para V ] e N siempre que sea p (/) >t/a (/). Esto demuestra el teorema.

A continuaci6n daremos dos ejemplos

Ejemplo I

= lfm a q = o p a r a V j e N . Sea A =(aij) con: aii ~ 0 aft 0 si i < j y i ~ **

En virtud del teorema anterior (A) ~ tiene valor.

Sean A n la matriz de elementos ai] i = 1, ..., n, ] = 1 ... y sea v n el

272

valor del juego ( A n ) ~ Evidentemente es v n = 0. Por 1o tanto, en virtud

del teorema 2, el valor de ( A ) ~ es 0. Cualquier estrategia es 6ptima para

el jugador I.

Vamos a buscar estrategias e-6ptimas para el jugador II.

Supongamos, sin p6rdida de generalidad, que es e < M.

Tomamos s e N de modo que se tenga s �9 e ~< 2 M < (s + 1) �9 e

Por ser l/m aii = 0 para V j e N, es posible tomar s nflmeros natu-

rales:

N1, N2 . . . . . Ns de modo que se verifique

NI < N 2 < ...... < N s

e i > N l =~ aii < - ~

i > N i = * " a i i -~ < e -L- ] = 2 , 3 , . . . , s (4) 2

Definimos q (]) j = 1,2 . . . . del siguiente modo

q (]) _ e si] toma alguno de los valores: N1, N2 ... . Ns 2 M

q ( j) = l s " e si j = Ns + l 2 M

q ( j ) = 0 para cualquier otro valor de j

Es evidente que q (]) define una estrategia para el jugador II.

Vamos a demostrar que es e-6ptima.

Si el jugador I elige la estrategia pura i su ganancia media ser~:

Eq ( i ) = a iN 1 q ( N 1 ) + aiN2 q ( N 2 ) + "'" + a iN s + I q (Ns + 1)

Segfin los valores de i podemos considerar los casos siguientes:

i < N s =~ aiN~ = aiN 2 . . . . . . . . NiNs+ I = 0 =* Eq ( i) = 0

N j < ~ i < Nj+l con 1 < ~ j ~ s ~ Eq ( i) =

= aiNt q ( N 1 ) + "'" + aiN i q ( N i ) + aiN i + I q (N i + l )

273

~< e . s ' e + M . e__e__ <~ e 2 2 M 2 M

i ~ N s + l ~ E q ( i ) <~ e--- 2

En cualquier caso e s Eq (i) ~ e. Por 1o tanto q (i) define una estra-

tegia e-6ptima para el jugador II. c.q.d.

Ejemplo 2

SeaA = ( a q ) i , j = 1 . . . . oo c o n : a q = 1 s i i > ~ j y a q = - I s i i < j

Sea ot el rilgebra formada por todos los conjuntos finos de N y sus

complementarios.

La aplicaci6n Xj : X j (i) = aij es una variable aleatoria en ( N o0.

Sea (A)~ la primera extensi6n finitamente aditiva del juego defini- do por A.

Si An es la matriz formada por elementos aij i = 1 ... oo, j = 1 ... n

el valor del juego ( A n ) ~ es 1. Una estrategia finitamente aditiva para el

jugador I es la siguiente:

p ( A ) -- 0 si A es finito

p ( A ) = 1 si A no es finito

Se tiene Ep ( X j ) = 1 para V j e N =' p es 6ptima.

Del mismo modo, el valor de la segunda extensi6n es - 1.

Entonces, por el corolario del teorema 2, ( A ) ~ no tiene valor.

Observaci6n 1

La condici6n I aij I < M es fundamental para asegurar que se veri- fica v I> v__ (teorema 1 ). Un ejemplo en este sentido, puede verse en ref. 4

prig. 59.

Observaci6n 2

Si admitimos el axioma de Zarmelo, en el Teorema 1 puede susti- tuirse a por la clase P (N); porque es sabido que cualquier probabilidad

274

finitamente aditiva sobre un ~ilgebra cualquiera contenida en P (N) admi- te, al menos, una extensi6n a P (AT).

BIBLIOGRAFIA

(1) Theory of Games and Statistical Desisions Blackwell Girshick.

(2) Solutions of Discrete Two - Person Games H.F Bohnemblus t . - S. Karlin, and L. S. Shapley Contributions to the Theory of ga- mes. Volume 1.

(3) On a theorem of de Finetti, Oddsmaking, and Game Theory David C. Heath and William D. Sudderth The Annals of Mathematical Statistics 1972 vol. 43 N ~ 6 2 0 7 2 - 2 0 7 7 .

(4) Operator treatment of minimaz principle S. Karlin Contritutions tothe Theory of Games - vol 1.

(5) Probabili ty Theory M. Lo6ve.

275