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JUAN XXIII CARTUJA MATEMÁTICAS II: ANÁLISIS CURSO 2020-21
SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 1
BLOQUE TEMÁTICO I
ANÁLISIS
TEMA 0
Repaso de logaritmos, trigonometría y geometría
plana.
TEMA 1
Funciones reales de variable real. Límites y
Continuidad.
TEMA 2
Derivadas y técnicas de derivación.
TEMA 3
Aplicaciones de las derivadas
TEMA 4
Integral indefinida.
TEMA 5
Integral definida.
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TEMA 0. REPASO LOGARITMOS, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA PLANA
1ª.- Definición de logaritmo.
2ª.- Propiedades de los logaritmos.
3ª.- Ecuaciones logarítmicas.
4ª.- Gráfica de la función logaritmo.
5ª.- Medidas de ángulos.
6ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
7ª.- Inversas de las razones trigonométricas.
8ª.- Propiedades de las razones trigonométricas.
9ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría.
10ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables.
11ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
12ª.- Reducción al primer cuadrante.
13ª.- Ecuaciones trigonométricas.
14ª.- Fórmulas de la trigonometría.
15ª- Gráficas de las funciones trigonométricas.
16ª.- Ecuaciones de una recta en el plano.
17ª.- La función cuadrática y su gráfica: La parábola.
18ª.- Ecuaciones bicuadradas.
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1ª.- Definición de logaritmo.
Se llama logaritmo en base a (a > 0 y a ≠ 1) de un número positivo x, a otro
número y, que es el exponente al que hay que elevar a para obtener el número x.
loga x = y ay = x
(a > 0; a ≠ 1; x > 0)
A los logaritmos en base 10 (a = 10) se les denomina logaritmos decimales. Su escritura
se abrevia omitiendo la base:
log10 x = log x
A los logaritmos en base e (a = e) se les denomina logaritmos neperianos y se
designan como ln, Ln ó simplemente L:
Loge x = ln x = Ln x = L x
Ejemplo resuelto 0 – 1º
a) log2 4 = 2 porque 22 = 4 b) log2 8 = 3 porque 2
3 = 8
c) log2 1/2 = -1 porque 2-1 = ½ d) log2 2 = 1 porque 2
1 = 2
e) log2 1 = 0 porque 20 = 1 f) log 1 = 0 porque 100 = 1
g) Ln e = 1 porque e1 = e h) log 100 = 2 porque 102 = 100
i) log 0,01 = -2 porque 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01
j) ln e = 1/2 porque e1/2 = e
Ejercicio 0 – 1º
Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos, justificándolo:
a) log2 16 = b) log4 16 = c) log2 ¼ =
d) log 10 = e) log3 1 = f) ln 1 =
g) ln (1/e) = h) log 0,1 = i) Ln e3 =
j) ln 3 e =
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2ª.- Propiedades de los logaritmos
Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:
1ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la unidad siempre vale 0:
loga 1 = 0
2ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la base siempre vale 1:
loga a = 1
3ª- En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números coincide con la
suma de los logaritmos de dichos números:
loga (A.B) = loga A + loga B
4ª.- En cualquier base, el logaritmo del cociente (división) de dos números
coincide con la resta de los logaritmos de dichos números:
loga (A/B) = loga A - loga B
5ª.- En cualquier base, el logaritmo de una potencia coincide con el producto del
exponente por el logaritmo de la base:
loga An = n.loga A
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3ª.- Ecuaciones logarítmicas
Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión afectada
por un logaritmo:
2 2a) 5log (x+3)=log 32 ) logx+log50 3 ) 2lnx-ln(10-3x)=0b c
Para resolver una ecuación logarítmica se modifican sus miembros con la ayuda
de las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en cada miembro haya solo un
logaritmo y luego se aplica:
log loga aM N M N
Y se resuelve la ecuación M N .
Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no
están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos.
Ejemplo resuelto 0 – 2º
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
A) 2 25log (x+3)=log 32
5 5 5 5
2 2 2 25log (x+3)=log 32 log (x+3) =log 32 ( 3) 32 ( 3) 2
( 3) 2 1
x x
x x
Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.
B) logx+log50 3
logx+log50 3 log(50 ) 3 log(50 ) log1000 50 1000 20x x x x
Puedes comprobar que x = 20 sí es solución de la ecuación inicial.
C) 2lnx-ln(10-3x)=0
2 22
22
1 2
2lnx-ln(10-3x)=0 lnx -ln(10-3x)=0 ln =0 ln =ln1(10-3x) (10-3x)
=1 3 10 0 2; 5(10-3x)
x x
xx x x x
La solución x = - 5 no es válida porque en la ecuación original aparecería log(-5) que no es válido.
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D) |lnx|=1
Esta ecuación con valor absoluto se convierte en dos ecuaciones:
1
ln 1
|lnx|=1 1ln 1
x x e
x x e xe
Las dos soluciones son válidas.
Ejercicio 0 – 2º
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
2) 5log 3log 2log6 ) log(3 5 30) - log(3 8) 1
log 1) log 2 ) |ln( ) | 2
2 2
A x x B x x x
xC D x
SOLUC: A) x = 6 B) 10 y -5/3 C) x = 20 D) x1 = e2 x2 = e
-2 = 1/e
2
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4ª.- Gráfica de la función logaritmo
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5ª.- Medidas de ángulos
El sistema de medidas angulares más utilizado es el sexagesimal, cuya unidad es
el grado sexagesimal (º). En la calculadora se identifica como “DEG”.
El grado sexagesimal es la noventava parte del ángulo recto, es decir, del ángulo
comprendido entre dos segmentos perpendiculares. Por esta razón al ángulo recto se le da
el valor de 90 grados sexagesimales (90º).
Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos
sexagesimales y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos
sexagesimales.
El valor de un ángulo en el sistema sexagesimal se puede dar de dos formas:
En forma decimal: 34,5º
En forma compleja: 34º 30’ 0’’
La calculadora te permite pasar de una a otra forma indistintamente.
Sin embargo, en el SI (Sistema Internacional de Unidades), los ángulos se
miden en radianes (rad). En la calculadora se identifica como “RAD”.
Un radián es un ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es
igual a la del radio:
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente:
360º = 2π radianes
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Existe un tercer sistema para medir ángulos: el sistema centesimal. En este
sistema el ángulo recto mide 100 grados centesimales, es decir, un grado centesimal el la
centésima parte del ángulo recto. En la calculadora se suele identificar como “GRAD”
Ejercicio 0 – 3º
Completa la siguiente tabla correspondiente a la equivalencia entre grados
sexagesimales y radianes:
ÁNGULOS
GRADOS 0º 90º 180º 270º 45º 30º 60º
RADIANES
GRADOS 150º 120º 135º 2250º 210º 330º 300º
RADIANES
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6ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Considera el triángulo rectángulo de la figura, el cual consta de tres lados: dos
catetos (a y b) y la hipotenusa (c); y de tres ángulos: dos agudos (α y β) y uno recto (90º)
β = 90º-α
a c
90º α
b
Se define el seno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto
opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:
cateto opuesto
senα=hipotenusa
ac
Se define el coseno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto
contiguo a dicho ángulo y la hipotenusa:
cateto contiguo
cosα=hipotenusa
bc
Se define la tangente del ángulo α como el cociente entre su seno y su coseno, es
decir, entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto contiguo a dicho ángulo:
cateto opuestotgα=
cos cateto contiguo
asen ac
b bc
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7ª.- Inversas de las razones trigonométricas
Se define la cosecante del ángulo α como la inversa del senα, es decir, el cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto opuesto a dicho ángulo:
1 hipotenusacosec =
cateto opuesto
csen a
Se define la secante del ángulo α como la inversa del cosα, es decir, el cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto contiguo a dicho ángulo:
1 hipotenusasecα=
cos cateto contiguo
cb
Se define la cotangente del ángulo α como la inversa de la tgα, es decir, el
cociente entre el cosα y el senα, o sea, el cociente entre las longitudes del cateto contiguo
y el cateto opuesto a dicho ángulo:
1 cos cateto contiguocotgα=
cateto opuesto
bbc
atg sen ac
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8ª.- Propiedades de las razones trigonométricas
De la definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo se pueden
deducir múltiples propiedades. Destacamos las siguientes:
1ª.- La definición de seno, coseno y tangente no depende del tamaño del triángulo
elegido, sólo depende de los ángulos
C´´
β=90º-α C´
β=90º-α
C
α
B´´ B´ B A
En efecto los triángulos ABC, AB´C´ y AB´´C´´ son semejantes, es decir, aunque sus lados
no tienen las mismas longitudes, sus ángulos sí son iguales y por tanto la relación entre
sus lados siempre es la misma.
2ª.- Los valores de las tres razones trigonométricas de un ángulo agudo siempre
serán un nº mayor o igual a 0.
3ª.- El seno y el coseno de un ángulo agudo nunca será superior a 1, puesto que
los catetos son menores o iguales que la hipotenusa. La tangente sí.
4ª.- El seno de un ángulo α siempre coincidirá con el coseno de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto opuesto a α es el cateto contiguo a β = 90º-α.
β = 90º-α
a c
90º α
b
cateto opuesto cateto contiguo
senα= cos(90º )hipotenusa hipotenusa
a ac c
5ª.- El coseno de un ángulo α siempre coincidirá con el seno de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α.
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cateto contiguo cateto opuesto
cosα= (90º )hipotenusa hipotenusa
b bsen
c c
6ª.- La tangente de un ángulo α siempre coincidirá con la cotangente de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α y
viceversa.
cos(90º )tgα= cot (90º )
cos (90º )
sen ag
b sen
9ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría
Si elevamos al cuadrado el seno y el coseno de un ángulo y sumamos los
resultados siempre obtenemos el mismo valor, la unidad. Veámoslo:
22 2
2 2 2 2 222 2
2 2 2 2 22 2
2
( )cos 1
(cos ) cos
PITÁGORAS
asen sen a b a b Cc sen
b c c c Cc
A este resultado se le conoce como ecuación fundamental de la trigonometría:
2 2cos 1sen
Esta ecuación puede transformarse en otras dos ecuaciones equivalentes. Para ello,
primero dividamos ambos miembros de la ecuación por 2sen :
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2
cos 1 cos 11 cos
sen senctg c
sen sen sen sen sen
2 21 cosctg c
Si ahora dividimos la ecuación fundamental de la trigonometría por 2cos :
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2
cos 1 cos 11 sec
cos cos cos cos cos
sen sentg c
2 21 sectg c
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Ejemplo resuelto 0 – 3º
Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula el resto de sus razones
trigonométricas y sus inversas, a partir del dato que te dan:
A) sen α = 2/3
Aplicamos la ecuación fundamental de la trigonometría y obtenemos el valor del cos α:
2 2 2 2 2 22 4 5 5
cos 1 ( ) cos 1 cos 1 cos cos3 9 9 3
sen
Pero desechamos el valor negativo porque las razones trigonométricas de los ángulos agudos son siempre
positivas.
5
cos3
Ya podemos calcular la tangente y las inversas:
2 / 3 2 2 5
cos 55 / 3 5
sentg
1 3 1 3 3 5 1 cos 5cos c cot
2 cos 5 25ec se g
sen tg sen
B) tg α = 2
Si aplicamos la ecuación equivalente a la ecuación fundamental de la trigonometría
2 21 sectg c obtenemos el valor de la sec α y a continuación cos α:
2 2 2 2 21 sec 2 1 sec 5 sec sec 5tg c c c c
1 5
sec 5 cos55
c
De nuevo hemos desechado el signo negativo al tratarse de un ángulo agudo.
Ahora podemos calcular el sen α y podemos hacerlo con la ecuación fundamental de la
trigonometría o con la definición de tangente:
5 2 5cos . .2
cos 5 5
sentg sen tg sen sen
Calculemos las inversas que nos faltan:
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1 5 5 1 1
csc2 22 5
ctgsen tg
Ejercicio 0 – 4º
A) Sabemos que sen α = 1/2 y que α es un ángulo agudo. Calcula el resto de
razones trigonométricas y sus inversas.
B) Sabemos que β es un ángulo agudo y que tg β = 3. Calcula el resto de razones
trigonométricas y sus inversas.
C) Sabemos que 3
3cotg y que α es un ángulo agudo. Calcula las razones
trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.
SOLUC: A) 3 3cos2 3
tg B) 10 3 10
cos10 10
sen
C) 1 3
cos2 2
sen
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10ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables
Las razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º se pueden calcular
fácilmente mediante geometría y son tan utilizadas que conviene conocerlas.
10.1 Razones trigonométricas de 45º
Consideremos un cuadrado de 1 m de lado. Si trazamos una cualquiera de sus
dos diagonales obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles con los ángulos agudos
iguales y de 45º:
2m 1m
45º
1 m
1 2 1 2
45º ; cos45º ; 45º 12 22 2
cateto opuesto cateto contiguosen tg
hipotenusa hipotenusa
Como vemos el seno y el coseno de 45º valen lo mismo y, por tanto, la tangente vale 1.
10.2 Razones trigonométricas de 30º y 60º
Consideremos un triángulo equilátero de de 2 m de lado. Los tres ángulos son
iguales y valen 60º. Si trazamos la altura de uno cualquiera de sus lados, obtenemos dos
triángulos rectángulos escalenos de los que conocemos sus ángulos agudos que son de
30º y 60º:
60º
2m 60º 2m 2m 30º 30º 2m
60º 60º 60º 3 m 60º
2m 1m 1m
1 3 1 3
30º ; cos30º ; 30º2 2 33
cateto opuesto cateto contiguosen tg
hipotenusa hipotenusa
Como puede comprobarse 60º = 90º - 30º es el ángulo complementario de 30º y, por tanto
cumple las propiedades 4ª, 5ª y 6ª vistas en la pregunta 7ª.
3 1
60º cos30º; cos60º 30º; 60º 3 cot 30º2 2
sen sen tg g
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10.3 Razones trigonométricas de 0º y 90º
En este caso lo haremos por aproximación. Consideremos un triángulo rectángulo
y hagamos que el ángulo α vaya disminuyendo hasta hacerse 0º:
c
a α
b
Si disminuimos el ángulo α, el cateto a va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos
a 0º mas se aproximará el valor del cateto a a 0. Cuando α sea 0,º, el cateto a valdrá 0 y
por tanto el sen0º = 0
Del mismo modo, si disminuimos el ángulo α, manteniendo la longitud del cateto b, la
hipotenusa c va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos a 0º mas se aproximará el
valor de la hipotenusa al cateto b. Cuando α sea 0º c y b serán iguales y por tanto el cos0º
= 1
0 0
0º 0; cos0º 1; 0º 01
b ccateto opuesto cateto contiguosen tg
hipotenusa c hipotenusa
Teniendo en cuenta que 90º es el ángulo complementario a 0º, obtenemos:
90º 1
90º cos0º 1; cos90º 0º 0; 90ºcos90º 0
sensen sen tg
En la siguiente tabla se recogen todos los resultados obtenidos:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
senα cosα tgα
0º = 0 rad 0 1 0
30º =
6 rad
1
2 3
2
3
3
45º =
4 rad 2
2
2
2 1
60º =
3 rad 3
2
1
2 3
90º =
2 rad 1 0 ∞
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11ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Hasta ahora hemos hablado solo de ángulos agudos (de 0º a 90º). Pero también
hay ángulos mayores de 90º y ángulos negativos.
Para representar cualquier ángulo (ángulos comprendidos entre 0º y 360º, ángulos
mayores de 360º y ángulos negativos) se utiliza la denominada circunferencia
goniométrica, es decir, una circunferencia de radio la unidad y centrada en el origen de
coordenadas cartesiano.
Los ángulos se representan siempre partiendo del semieje positivo de las x y se
consideran positivos si se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y negativos
cuando se miden en el sentido de las agujas del reloj.
1 m ángulo positivo
α
O
ángulo negativo
Utilizando esta representación, a cualquier punto de la circunferencia goniométrica
se le puede asociar con un ángulo positivo entre 0º y 360º, llamado ángulo reducido o a un
ángulo negativo.
Cada punto de la circunferencia goniométrica también representa a cualquier
ángulo que sea igual al ángulo reducido más un múltiplo entero de 360º (ó 2π radianes)
1 m α, α + 360º, α + 2.360º, … (α + n.360º ó α + n.2π rad)
α
O
Según el valor del ángulo reducido α el plano se divide en cuatro zonas o
cuadrantes:
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90º π/2 rad
2º cuad. 1er
cuad
180º = π rad O 0º = 0 rad
3er
cuad. 4º cuad
270º 3π/2 rad
Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
0º < α < 90º
0 < α < π/2 rad
90º < α < 180º
π/2 < α < π rad
180º < α < 270º
π < α < 3π/2 rad
270º < α < 360º
3π/2 < α < 2π rad
Si representamos un ángulo del primer cuadrante en la circunferencia
goniométrica y aplicamos la definición de seno y coseno, podemos observar que la
ordenada del punto A coincide con el valor del seno del ángulo α y la abscisa coincide con
el valor del coseno.
La tangente del ángulo α, aplicando el Teorema de Tales a triángulos semejantes,
correspondería con la longitud del segmento verde.
A tgα A = (x, y)
cosxy sen
1 α y = senα
O x = cosα
Esta nueva definición de las razones trigonométricas a través de las coordenadas
de los puntos de la circunferencia goniométrica se puede extender a cualquier ángulo sea
o no agudo.
De esta nueva definición mediante coordenadas se pueden deducir múltiples
consecuencias:
1ª.- Por ejemplo, podemos deducir fácilmente las razones trigonométricas de los
ángulos que separan a los diferentes cuadrantes:
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B = (0,1)
cos90º 0
90º 1
90º
xy sen
tg
cos180º 1
180º 0
180º 0
xy sen
tg C = (-1,0)
A = (1,0)
cos360º 1
360º 0
360º 0
xy sen
tg
D = (0,-1)
cos270º 0
270º 1
270º
xy sen
tg
2ª.- También podemos deducir cuales serán los signos de las razones
trigonométricas en los diferentes cuadrantes:
cos 0
0
0
xy sen
tgB = (x,y) A = (x,y)
cos 0
0
0
xy sen
tg
cos 0
0
0
xy sen
tgC = (x,y) D = (x,y)
cos 0
0
0
xy sen
tg
cuadrante ángulo α abscisa ordenada senα Cosα Tgα
1º 0º < α < 90º + + + + +
2º 90º < α < 180º - + + - -
3º 180º < α < 270º - - - - +
4º 270º < α < 360º + - - + -
0º
90º
180º
270º
-
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3ª.- Los valores del seno y del coseno de cualquier ángulo siempre estarán
comprendidos entre los valores -1 y 1, es decir, no pueden valer ni más de 1, ni menos de -
1. La tangente puede tomar cualquier valor real.
4ª.- También podemos descubrir que un ángulo α y cualquier otro ángulo que
difiera de él en un nº entero de vueltas (α + n.360º ó α + n.2π rad) tienen las mismas
razones trigonométricas:
A tgα A = (x, y)
( 0,1, 2, ...)
cos cos( .360º )
( .360º )
( .360º ) n
x ny sen sen n
tg tg n
1 α y = senα
O x = cosα
5ª.- También podemos observar que hay dos ángulos reducidos de diferentes
cuadrantes que comparten algunas razones trigonométricas:
cos(180º ) cos
(180º ) ( , )
(180º )
xsen y sen B x y
tg tg
cos 0
( , ) 0
0
xA x y y sen
tg
xsen y sen C x y
tg tg
cos(180º ) cos
(180º ) ( , )
(180º )
cos(360º ) cos
( , ) (360º )
(360º )
xD x y sen y sen
tg tg
Esta propiedad es importante tenerla en cuenta cuando se resuelven ecuaciones
trigonométricas.
-
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Ejercicio 0 – 5º
A) Sabemos que sen α = -1/2 y que α es un ángulo del cuarto cuadrante. Calcula
el resto de razones trigonométricas y sus inversas.
B) Sabemos que β > 90º y que tg β = 3. Calcula el resto de razones
trigonométricas y sus inversas.
C) Sabemos que 3
3cotg y que su seno el positivo. Calcula las razones
trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.
IMPORTANTE: Ten en cuenta en qué cuadrante están los ángulos para poner los
signos adecuados a las razones trigonométricas.
SOLUC: A) 3 3cos2 3
tg B) 10 3 10
cos10 10
sen
C) 1 3
cos2 2
sen
-
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12ª.- Reducción al primer cuadrante
La consecuencia última de la pregunta anterior permite calcular las razones
trigonométricas de cualquier ángulo no agudo a partir de las razones trigonométricas de
uno del primer cuadrante, es decir, de uno que sea agudo.
12.1 Ángulos suplementarios
Dos α y β ángulos son suplementarios si suman 180º, es decir, β = 180º - α.
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su suplementario β =
180º - α (2º cuadrante) y la relación que existe entre las razones
trigonométricas de ambos ángulos:
12.2 Ángulos que difieren en 180º
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que difiere
de él en 180º (β = 180º + α) y que es del 3er cuadrante. La relación que existe entre las
razones trigonométricas de ambos ángulos es:
sen (π+α)
sen (π- α)
cos α
cos (π-α)
sen α
tg (π- α)
tg α
cos α
sen α cos (π+α)
tg (π+α)
tg α
sen (180º - α) = sen α
cos (180º - α) = - cos α
tg (180º - α) = - tg α
sen (180º + α) = - sen α
cos (180º + α) = - cos α
tg (180º + α) = tg α
-
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12.3 Ángulos que suman 360º
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que suma
con él 360º (β = 360º - α) y que es del 4º cuadrante.
La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
12.4 Ángulos negativos (ángulos opuestos)
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su ángulo opuesto - α
que es del 4º cuadrante.
La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
12.5 Ángulos mayores de 360º
Como ya se dijo las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360º son las mismas
que las de su ángulo reducido correspondiente.
cos α
cos (2π-α
sen (2π-α)
sen α tg α
tg (2π-α)
α
sen α
sen (-α)
cos α
cos (-α)
tg α
tg (-α)
sen (360º - α) = - sen α
cos (360º - α) = cosα
tg (360º - α) = - tg α
sen (- α) = - sen α
cos (- α) = cos α
tg (- α) = - tg α
-
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13ª.- Ecuaciones trigonométricas
Son ecuaciones en las que la incógnita se ve afectada por las razones
trigonométricas.
Ejemplo resuelto 0 – 5º
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones
positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:
A) 1
2senx
1
( 0,1, 2, ...)
1
30º .360º .21 1 6
( )2 2 5
150º .360º .26
n
x n ó n radsenx x arcsen
x n ó n rad
B) 1tgx
1
( 0,1, 2, ...)
1
45º .360º .24
1 (1)5
225º .360º .24
n
x n ó n radtgx x arctg
x n ó n rad
C) cos 1x
( 0,1, 2, ...)1cos 1 arccos( 1) 180º .360º .2 nx x x n n rad
D) 3
2senx
1
( 0,1, 2, ...)
1
60º .360º .23 3 3
s arc ( )2 2 2
120º .360º .23
n
x n n radenx x sen
x n n rad
-
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E) 2 5cos
4sen x x
2 2 2 25 5
cos 1 cos cos 4 4cos 4cos 5 4cos 4cos 1 04 4
sen x x x x x x x x
Como vemos hemos obtenido una ecuación de 2º grado en cosx que podemos resolver
222 4 4 4.( 4).( 1)4 4 0 14cos 4cos 1 0 cos
2 2.( 4) 8 2
b b acx x x
a
1
( 0,1, 2, ...)
2
260º .360º .2
1 1 3cos cos( )
2 2 5300º .360º .2
3
n
x n n radSi x x arco
x n n rad
F) x x2cos 3cos 2 0
222 3 ( 3) 4..1.24 3 1 cos 2( )cos 3cos 2 0 cos
cos 12 2.1 2
b b ac x imposiblex x x
xa
El primer valor es imposible pues el cosen de un ángulo está comprendido entre -1 y 1.
( 0,1, 2, ...)cos 1 cos(1) 0º .360º .2 nSi x x arco x n n rad
G) 2cos 1 0x
2 2 2cos 1 0 cos 1 cos 1 cos 1x x x x
( 0,1, 2, ...)
cos 1 arccos(1) 0º .360º .2
cos 1 arccos( 1) 180º .360º .2n
Si x x x n n rad
Si x x x n n rad
-
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Ejercicio 0 – 6º
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones
positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:
2 2 2) 2 1 ) 1 ) 0 ) 1A sen x B tgx C tg x tgx D sen x
2 2 2) 2cos cos 1 ) ) cos 1E x x F senx tgx G sen x x
2) 2cos 1H x senx
SOLUC: A)
1 2
( 0,1, 2, ...)
3 4
345º .360º .2 135º .360º .2
4 4
5 7225º .360º .2 315º .360º .2
4 4
n
x n n rad x n n rad
x n n rad x n n rad
B)
1
( 0,1, 2, ...)
2
3135º .360º .2
4
7315º .360º .2
4
n
x n n rad
x n n rad
C)
1 2
( 0,1, 2, ...)
3 4
0º .360º .2 180º .360º .2
545º .360º .2 225º .360º .2
4 4
n
x n n rad x n n rad
x n n rad x n n rad D)
1
( 0,1, 2, ...)
2
90º .360º .22
3270º .360º .2
2
n
x n n rad
x n n rad
E)
1
( 0,1, 2, ...)2
3
60º .360º .23
5300º .360º .2
3
180º .360º .2
n
x n n rad
x n n rad
x n n rad
F)
1( 0,1, 2, ...)
2
0º .360º .2
180º .360º .2n
x n n rad
x n n rad
G)
1
( 0,1, 2, ...)
2
90º .360º .22
3270º .360º .2
2
n
x n n rad
x n n rad
H)
n
x n n rad
x n n rad
x n n rad
1
( 0,1, 2, ...)2
3
7210º .360º .2
6
11330º .360º .2
6
90º .360º .22
-
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14ª.- Fórmulas de la trigonometría
14.1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
( ) cos cossen sen sen
cos( ) cos cos sen sen
( )
1
tg tgtg
tg tg
14.2 Razones trigonométricas de la resta de dos ángulos
( ) cos cossen sen sen
cos( ) cos cos sen sen
( )
1
tg tgtg
tg tg
14.3 Razones trigonométricas del ángulo doble
(2 ) 2 cossen sen
2 2 2 2cos(2 ) cos 1 2 2cos 1sen sen
22
(2 )1
tgtg
tg
-
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14.4 Transformación en productos de la suma y resta de senos y cosenos
2 cos
2 2
A B A BsenA senB sen
2cos
2 2
A B A BsenA senB sen
cos cos 2cos cos
2 2
A B A BA B
cos cos 2
2 2
A B A BA B sen sen
15ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones trigonométricas:
f(x) = sen x g(x) = cos x h(x) = tg x
podemos construirlas mediante una tabla de valores adecuados y teniendo en cuenta que
sus valores se repiten cada vuelta, cada 360º, es decir, cada 2π radianes. También
podemos ayudarnos de la interpretación gráfica de estos valores en la circunferencia
goniométrica:
X f(x) = sen x g(x) = cos x (x) = tg x
0º = 0 rad 0 1 0
90º = π/2 rad 1 0
180º = π rad 0 -1 0
270º = 3π/2 rad -1 0
360º = 2π rad 0 1 0
-
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f(x) = sen x
-
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g(x) = cos x
h(x) = tg x
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-
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16ª.- Ecuaciones de una recta en el plano.
Para escribir las diferentes expresiones de la ecuación de una recta r en el plano,
necesitamos un punto cualquiera P = (x0, y0) de la recta y un vector cualquiera
u = (ux, uy) paralelo a dicha recta llamado VECTOR DIRECTOR O VECTOR DIRECCIÓN.
u = (ux, uy)
. P = (x0, y0)
r
IMPORTANTE:
1º.- Como punto P, sirve cualquier punto de la recta.
2º.- No hay un único vector director de la recta, hay infinitos, y todos ellos son
proporcionales entre sí (LD). Por esta razón siempre podremos elegir, de entre todos ellos, a aquel vector que tenga las coordenadas más sencillas.
3º.- A veces, sólo nos dan dos puntos A = (x0, y0) y B = (x1, y1) de la recta. En
este caso nosotros siempre podemos hallar como vector director de la recta al vector
AB = (x1 - x0, y1 - y0) ó cualquiera proporcional a él, y como punto P a uno de los dos puntos: A ó B.
B .
A .
AB =B - A
r
Una recta en el plano puede describirse mediante diferentes ecuaciones. Nosotros vamos a recordar tres de ellas:
Ecuación explícita
Ecuación punto pendiente
Ecuación general
-
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Ecuación explícita
y mx n
“m” es la PENDIENTE DE LA RECTA, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas y nos indica la inclinación de la recta.
Si m > 0, la recta es creciente.
Si m < 0, la recta es decreciente.
Si m = 0, la recta es horizontal (paralela al eje de abscisas).
“n” es la ORDENADA EN EL ORIGEN, es decir, la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Si n > 0, la recta corta al eje y por encima del origen de coordenadas.
Si n < 0, la recta corta al eje y por debajo del origen de coordenadas.
Si n = 0, la recta pasa por el origen de coordenadas.
n > 0
n = 0 n > 0
n < 0 n = 0
n < 0
Rectas con pendiente positiva (m > 0) Rectas con pendiente negativa (m < 0)
Ecuación en forma punto pendiente
y y m x x0 0
( )
Ecuación en forma general
Si en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores agrupamos todos los términos en el primer miembro y ordenamos quedaría de la forma:
ax by c 0
-
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17ª.- La función cuadrática y su gráfica: La parábola
Se denomina FUNCIÓN CUADRÁTICA a aquella función cuya expresión analítica es un polinomio de segundo grado, es decir, a la expresión:
f(x) = ax2 + bx + c o bien y = ax2 + bx + c con a ≠ 0 La representación gráfica de la función cuadrática es una PARÁBOLA.
La parábola tiene los siguientes elementos: ramas, vértice, eje de simetría, puntos de corte con el eje de abscisas y punto de corte con el eje de ordenadas (véase figura)
El signo del coeficiente del monomio de segundo grado, es decir, el signo de a, nos
indica si la parábola tiene sus ramas hacia arriba (el vértice es un mínimo) o hacia abajo (el
vértice es un máximo)
-
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La forma de la parábola de funciones cuadráticas sencillas es fácil de representar. Por
ejemplo:
Cuando la forma de la parábola no sea tan inmediata, para dibujar la parábola, podemos
calcular los puntos siguientes:
Coordenadas del vértice
La abscisa del vértice de la parábola es b
xa0 2
; para calcular la ordenada
sustituimos este valor en la función, ( )2
bf
a .
Puntos de corte con los ejes
Con el eje OX: y ax bx c20 0
Con el eje OY: x y c Punto c0 0,
La parábola puede tener dos puntos de
corte con el eje de abscisas, uno sólo o ninguno. Esto depende del signo del signo del discriminante (∆ = b2 – 4ac) de
la ecuación de segundo grado que hay que resolver para hallar las abscisas de dichos puntos.
Independientemente de si el vértice es un mínimo o un máximo, la parábola, con el
eje de ordenadas, siempre tendrá un punto de corte y este será el punto de coordenadas (0, c)
Observa que una vez localizada la abscisa del vértice, podemos construir la forma de la
parábola creando una tabla con valores de la abscisa a ambos lados del vértice.
-
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18ª.- Ecuaciones bicuadradas
Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado que no tiene los monomios de grado impar, es decir, una ecuación del tipo:
4 2 0 ( 0)ax bx c a
Para resolver este tipo de ecuaciones se hace un cambio de variable para convertirlas en
ecuaciones de 2º grado en la nueva variable.
2 4 2Si x t x t
Resolvemos la ecuación de 2º grado en la nueva variable y, a continuación, los valores permitidos de la variable x.
Supongamos que hemos resuelto la ecuación de 2º grado en t y que sus soluciones son t1 y t2. Pero como:
1 1
2 12
3 2
4 2
x t
x tSi x t x t
x t
x t
Es decir, obtenemos las cuatro soluciones de la ecuación inicial, la ecuación bicuadrada:
CONSIDERACIONES SOBRE LAS SOLUCIONES
- Si t1 = 0, en vez de dos soluciones (una raíz negativa y una positiva) tendremos
sólo una: x = 0.
Ocurre lo mismo si t2 = 0.
- Si t1 < 0, entonces no proporciona ninguna solución ya que no existen las raíces
negativas.
Ocurre lo mismo para t2 < 0.
-
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NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA
El número de soluciones reales de una ecuación bicuadrada depende de los valores de t1 y t2 y pueden ser:
- Ninguna solución: si t1 < 0 y t2 < 0
Por ejemplo, la ecuación x4 + 4x2 + 4 = 0
- Cuatro soluciones distintas: si t1 > 0 t2 > 0 y t1 ≠ t2
Por ejemplo, la ecuación x4 - 3x2 + 2 = 0
- Tres soluciones distintas: si t1 = 0 y t2 > 0 (o al contrario)
Por ejemplo, la ecuación x4 - 3x2 = 0
- Dos soluciones distintas si t1 < 0 y t2 > 0 (o al contrario)
Por ejemplo, la ecuación x4 - x2 - 2 = 0
- Una única solución si t1 = 0 y t2 < 0 (o al contrario)
Por ejemplo, la ecuación x4 + 3x2 = 0
Ejercicio 0 – 7º
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x4 - 25x2 + 144 = 0 (SOLUC: ± 4, ± 3) b) 4x4 + 19x2 - 5 = 0 (SOLUC: ± 1/2) c) 9x4 - 40x2 + 16 = 0 (SOLUC: ± 2, ± 2/3) d) x4 + 5x2 + 4 = 0 (SOLUC: No tiene) e) x4 + 3x2 - 10 = 0 (SOLUC: 2 )
f) x4 - 9x2 = 0 (SOLUC: 0, ± 3) g) x4 + 9x2 = 0 (SOLUC: 0)
-
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. LIMITES Y CONTINUIDAD
1ª.- Funciones reales de variable real.
2ª.- Dominio de definición de una función: Cálculo.
3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y cálculo.
4ª.- Límites laterales.
5ª.- Propiedades algebraicas de los límites.
6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y cálculo.
7ª.- Indeterminaciones.
8ª.- Regla de L’Hôpital.
9ª.- Asíntotas.
10ª.- Continuidad de una función.
11ª.-Teorema de Bolzano (o Teorema de los ceros de una función).
12ª.- Teorema de Weierstrass.
-
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1ª.- Funciones reales
Una función es una relación de dependencia
entre dos conjuntos en la que a cada elemento x del
conjunto inicial le corresponde un único elemento y
del conjunto final. Se simboliza mediante la notación:
:
( )
f A Bx y f x
Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable
real.
La expresión gráfica de una función permite interpretar
algunas de sus características, como monotonías, extremos
relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de
expresión presenta generalmente mucha dificultad para
encontrar la ley matemática que la define.
No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de
x debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una
función:
Las funciones las podemos clasificar en:
Algebraicas:
Constantes: f x ( ) 2
Polinómicas: f x x x 2( ) 3 5 7
Racionales: x
f xx
( )2
Irracionales: f x x 2( ) 4
Transcendentes:
Exponenciales: xf x 2( ) 3
Logarítmicas: f x x ( ) log( 7)
Trigonométricas: f x senx g x x h x tg x( ) ( ) cos ( ) (3 6)
Empíricas (definidas a trozos o ramas)
-
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2 2 05 2( ) ( ) 1
1 2 0
x si xx si x
f x g xsi x si x
x
IMPORTANTE: Las funciones valor absoluto pueden ser expresadas analíticamente
mediante funciones a trozos (o por ramas).
Ejemplo resuelto 1 – 1º
Expresa las siguientes funciones mediante una función a trozos (o por ramas)
A) ( )f x x x
0
x x x
x x 2( )x x x
2.x x x
2
2
0( )
0
x si xf x x x
x si x
B) ( ) 2 5f x x x
-5 2
2x 2x 2x
2x
5 x 5 x
5 x
5 x
2 5x x
( 2) ( 5 ) 7x x
2 3x
7
7 5
( ) 2 5 2 3 5 2
7 2
xf x x x x x
x
-
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2) ( ) 9C f x x
-3 3
2 9x
2 9x
2 9x
2 9x
2
2 2
2
9 3
( ) 9 9 3 3
9 3
x xf x x x x
x x
Ejercicio 1 – 1º
Expresa a las siguientes funciones mediante una función por partes:
a f x x b g x x x c h x x x
d f x x e g x x x f g x x x2 2 2) ( ) ) ( ) 2 1 ) ( ) 5
) ( ) 1 ) ( ) 5 2 ) ( )
2ª.- Dominio de definición de una función. Cálculo.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de números reales que
puede tomar la variable independiente, x, para los cuales está definida la función.
( ) | ( )Dom f x x R f x R
Se llama recorrido o imagen de una función al
conjunto de números reales que toma la variable
dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el
conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto
final.
Ejemplo resuelto 1 – 2º
Analiza y describe, en las siguientes funciones reales dadas mediante sus gráficas, el dominio y el recorrido.
-
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a) b)
( ) , 3 3,
Im ( ) 7,5
Dom f x
f x
Dom g x R
Im g x
( ) 4
( ) 5,
Ejercicio 1 – 2º
Asocia cada gráfica con su dominio
Como acabamos de ver, si conocemos la gráfica de una función f(x), podemos
descubrir fácilmente su dominio y su recorrido.
Veamos ahora como hallar el dominio de una función si conocemos su expresión
analítica:
a) Polinómicas
Son aquellas cuya expresión analítica es un polinomio. Su dominio coincide con el
conjunto de los números reales, ( )Dom f x R .
b) Racionales
Son aquellas cuya expresión analítica es una fracción algebraica, es decir, el
cociente entre dos polinomios: ( )
( )( )
P xf x
Q x
El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que
se anule el denominador (ceros o raíces):
-
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Dom f x R x R Q x ( ) | ( ) 0
valores que anulan el denominadorDom f ( x ) R
Ejemplo resuelto 1 – 3º
Dada la función x
f xx
( )2
, su dominio es Dom f x R( ) 2 , ya que el número 2 es el cero del denominador.
Ejercicio 1 – 3º
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
2
2 3
2
3 1 4 3 4 2) ( ) ) ( ) ) ( )
2 4 2 4
) ( ) 3 7 ) ( ) 5 2
x x x xa f x b f x c f x
x x x x x x
d f x x e f x x x
c) Irracionales
Son aquellas cuya expresión matemática presenta un radical: ( ) ( )nf x g x
Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):
( ) ( )Dom f x Dom g x
Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que
( ) 0g x :
0( ) | ( )Dom f x x R g x
-
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Ejemplo resuelto 1 – 4º
Dadas las siguientes funciones reales, hallar su dominio
A) Dada la función f x x 53( ) 2 , su dominio coincide con el de la función x 5 2que son todos los números reales ( ( )Dom f x R )
B) Dada la función f x
x
7
1( )
3, su dominio coincide con el de la función
x1
3que, al
ser una función racional, son todos los números reales salvo los que anulan a su
denominador (es
Dom f x R( ) 3 .
C) f x x 2( ) 4
El dominio de f(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o
igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación x 2 4 0 Resolvemos la inecuación de segundo grado anterior y descubrimos que sus soluciones
son: , 2 2, ( 2,2)R Por tanto:
Dom f x R( ) , 2 2, ( 2,2) .
D)
xg x
x5
( )7
El dominio de g(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o
igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación
xx
50
7
Resolvemos la inecuación racional anterior y descubrimos que sus soluciones son:
,5 7, (5,7]R Por tanto
( ) ,5 7, (5,7]Dom g x R
Ejercicio 1 – 4º
Halla el dominio de las siguientes funciones:
2
2
2) ( ) 13 ) ( ) 2 18 ) ( )
2 16 24
3 6 1) ( ) 4 3 ) ( ) ) ( )
1 3
xa f x x b f x x c f x
x x
x xd g x x x e h x f g x
x x
-
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d) Exponenciales
Son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente: ( )( ) g xf x a ,
con a > 0 y a ≠ 1.
El dominio de estas funciones coincide con el dominio de g(x):
( ) ( )Dom f x Dom g x
Ejemplo resuelto 1 – 5º
A) Dada la función xf x 2( ) 3 , su dominio es ( )Dom f x R .
B) Dada la función xf x 3
5( ) 7 , su dominio es Dom f x R( ) 5 .
e) Logarítmicas
Son aquellas en las que la incógnita se encuentra dentro de una expresión
logarítmica: ( ) log ( )af x g x , con a > 0 y a ≠ 1.
El dominio de estas funciones, es el subconjunto de los números reales tales que
hacen g(x) positivo (g(x) > 0):
0( ) | ( )Dom f x x R g x
Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni tampoco
está definido el logaritmo de 0.
Ejemplo resuelto 1 – 6º
Dada la función ( ) log( 7)f x x , su dominio coincide con las soluciones de la
inecuación 7 0x cuyas soluciones son: 7x Por tanto:
Dom f x ( ) 7,
Ejercicio 1 – 5º
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
x
xa f x x b f x x x c f x
xx x
d f x e f x f f xx xx x
g f x
2
2 22
7
2) ( ) 2 ) ( ) 2 ) ( )
11 2 6 5
) ( ) ) ( ) ) ( ) log25 1 62
) ( ) 7
-
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f) Definidas a trozos
En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio
en los que se encuentre la variable independiente.
Ejemplo resuelto 1 – 7º
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
xx
x si x x si xA f x B g xx
si x si xx
2
7
2 8
5 2 1 0) ( ) ) ( )7
2 5 02 6
A) El dominio de definición de la función x2- 5 es todo R y por tanto también lo será el intervalo (-∞,2] que es donde está definida la rama x2- 5
El dominio de definición de la función
xx
7
2 6 es R 3 y cómo esta rama está definida
para x > 2 habrá que eliminar el nº x = 3
Por tanto
Dom f x R( ) 3
B) El dominio de definición de la función x1 es el intervalo (-∞,1] y por tanto también lo
será el intervalo (-∞,0] que es donde está definida la rama x1
El dominio de definición de la función
7
2 85x
x es R 4 y como esta rama está definida para x > 0 habrá que eliminar el nº x = 4.
Por tanto
Dom g x R( ) 4
-
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3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y
cálculo
Límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es el valor hacia el que
tiende o se aproxima la función f(x) cuando a la variable independiente x le vamos dando
valores cada vez más próximos a a.
Escribiremos:
lim ( )x a
f x L
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x No existe
Este límite puede existir o no existir y, si existe, puede valer un número real L, puede valer
+ ó - tal y como se puede observar en las gráficas de las funciones siguientes:
f(x) f(x) f(x)
5
0 a 0 a 0 a
lim ( ) 5
x af x
lim ( )
x af x
lim ( )
x af x
1
lim ( ) 2x
f x
2
lim ( ) 2lim ( )
lim ( ) 3x a
x ax a
f xf x No existe
f x -3
Los límites laterales no coinciden
2
0 a a
-
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lim ( )lim ( )
lim ( )x a
x ax a
f xf x No existe
f x
lim ( )lim ( )
lim ( ) 2x a
x ax a
f xf x No existe
f x
Los límites laterales no coinciden Los límites laterales no coinciden
Como hemos tenido la oportunidad de comprobar en los ejemplos anteriores, el
límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es “relativamente” fácil de calcular si
conocemos la gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión
analítica de la función f(x)? En estos casos para calcular el límite de una función f(x) en un
punto de abscisa x = a, sustituimos a en la función f(x). Según que el resultado tenga
sentido o no, existen dos posibilidades:
1ª.- Si x = a SI pertenece al dominio de f(x) y f(x) NO es una función por partes
entonces obtenemos f(a) que es un número real, que será el valor del límite.
Ejemplo resuelto 1 – 8º
Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
2) ( ) 2A f x x cuando x
2 22 2
. : lim ( ) lim 2 4x x
Sol f x x
) ( ) 13
xB f x cuando x
x
1 1
1 1. : lim ( ) lim
3 1 3 2x xx
Sol f xx
) ( ) 0xC f x e cuando x
00 0
. : lim ( ) lim 1xx x
Sol f x e e
) ( ) ( )D f x Ln x cuando x e
. : lim ( ) lim ( ) ( ) 1x e x e
Sol f x Ln x Ln e
1) ( ) ( ) 1xE f x e Ln x cuando x
1 1 1 21 1
. : lim ( ) lim ( ) (1) .0 0xx x
Sol f x e Ln x e Ln e
2ª.- Si x = a SI/NO pertenece al dominio de f(x) y f(x) SI es una función por
partes entonces procederemos del siguiente modo.
Sea f x si x c
f xf x si x c
1
2
( )( )
( ), consideraremos dos casos:
Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura
-
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Para calcular x c
f x
lim ( ) calcularemos x c x c
f x f c y f x f c
1 2lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) . Si
coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no existe.
Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio
Para hallar x a
f x
lim ( ) , a ≠ c, procederemos así:
Si a < c entonces x a
f x f a
1lim ( ) ( )
Si a > c entonces
x a
f x f a2lim ( ) ( )
Ejemplo resuelto 1 – 9º
Hallar los límites de la función f(x) en los puntos 3, 1 y 7:
2 5 3( )
7 3x si x
f xx si x
A) x = 3 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
3 3
33 33 3
lim ( ) lim (2 5) 2.3 5 1lim ( ) 1 lim ( ) 4 lim ( )
lim ( ) lim ( 7) 3 7 4x x
xx xx x
f x xf x f x f x No existe
f x x
B) x = 1 pertenece a la primera rama. Por tanto:
1 1
lim ( ) lim(2 5) 2.1 5 3x x
f x x
C) x = 7 pertenece a la segunda rama. Por tanto:
7 7
lim ( ) lim( 7) 7 7 0x x
f x x
Ejemplo resuelto 1 – 10º
Hallar el límite de la función g(x) en x = 0
5 0( ) 1
0
x si xg x
si xx
x = 0 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
0 0
00 0
0 0
lim ( ) lim ( 5) 0 5 5
lim ( ) 5 lim ( ) lim ( )1 1lim ( ) lim
0
x x
xx x
x x
g x x
g x g x g x No existeg x
x
Ejemplo resuelto 1 – 11º
Halla el 1lim ( )
xh x , siendo:
1( ) 11
xsi xh x x
x si x
-
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x = -1 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto estudiamos los límites laterales. Pero en este caso las
ramas a la izquierda y a la derecha son la misma. Por tanto
1 1
11 1
1 1
1lim ( ) lim
1 0 lim ( ) lim ( ) lim ( )1
lim ( ) lim1 0
x x
xx x
x x
xh x
x h x h x h x No existex
h xx
Ejemplo resuelto 1 – 12º
Halla el valor de m para que exista 2lim ( )
xf x , siendo:
12( )2
xsi xf x x
mx si x
x = -2 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto, para que exista el límite de la función f(x) cuando x tiende a
–2, los límites laterales tienen que coincidir. De esta condición sale el valor de m.
2 2
2 2
2 2
1 2 1 1 1lim ( ) lim 1 1
2 2 2 lim ( ) lim ( ) 22 4lim ( ) lim .( 2) 2
x x
x x
x x
xf x
x f x f x m mf x mx m m
Ejercicios 1 – 6º y 7º
6.- Halla el límite cuando x 2 en cada una de estas funciones:
2 3
2
2
3 1 2 2 2) ( ) ) ( )
9 2 5 2
12 3 4 1 23) ( ) ) ( )
1 1 221
x si x x x si xa f x b f x
x si x si x
xsi x x x si xxc f x d f x
x si xsi xx
7.- Halla el valor de k para que exista 1
lim ( )x
f x
, siendo:
2 2 1( )
1x si x
f xx k si x
Si x = a NO pertenece al dominio de f(x) pueden ocurrir dos posibilidades:
-
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1ª.- Obtener una expresión que contenga a un nº real k, distinto de cero,
dividido entre 0
; 00
kk . En este caso estudiamos los límites laterales para
ver si existe o no el límite y, en caso de que exista valdrá +∞ ó -∞.
Ejemplo resuelto 1 – 13º
Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
2
1) ( ) 0A f x cuando x
x
20 0
1 1. : lim ( ) lim
0x xSol f x
x Estudiamos los límites laterales
20 0
20
20 0
1 1lim ( ) lim 10 lim
1 1lim ( ) lim
0
x x
x
x x
f xx
xf xx
1) ( ) 1
1B f x cuando x
x
1 1
1 1 1. : lim ( ) lim
1 1 01x xSol f x
x Estudiamos los límites laterales
1 1
1
1 1
1 1lim ( ) lim 11 0 lim
1 1 1lim ( ) lim1 0
x x
x
x x
f xx No existe
xf xx
1
2) ( ) 2xC f x e cuando x
1 11
2 02 2
2 2. : lim ( ) lim x
x xSol f x e e e Estudiamos los límites laterales
1 1
2 01
2 2 21 1
22 0
2 2
1 1lim ( ) lim 0
lim
lim ( ) lim
x
x x x
xx
x x
f x e e ee e No existe
f x e e e
-
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) ( )
2D f x tgx cuando x
2 2 2
12. : lim ( ) lim limcos 0
cos2
x x x
sensenxSol f x tgx
x Estudiamos los límites laterales
2 2 2
2
2 2 2
1lim ( ) lim lim
cos 0lim
1lim ( ) lim lim
cos 0
x x x
x
x x x
senxf x tgx
xtgx No existe
senxf x tgx
x
) ( ) ( ) 0E f x Ln x cuando x
Sol: Este es un caso diferente porque:
1º.- Aunque x = 0 no es del dominio de f(x), si sustituimos x por 0 no sale una expresión: ; 00
kk
2º.- No existe un límite lateral 0lim ( )x Ln x ya que el dominio de f(x) es el intervalo (o,∞).
Pero podemos resolverlo dándole a x valores cada vez más próximos a cero por su derecha y vemos que Ln(x) tiende a -∞ (como
fácilmente podríamos recordar del curso pasado por la forma que tiene la gráfica de la función ( ) ( )f x Ln x .
Por tanto sí existe 0
lim ( )x
Ln x y vale -∞:
0lim ( )x
Ln x
2ª.- Obtener una expresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula
transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí
tengan sentido las operaciones y así poder llegar al valor del límite, en caso de
que exista.
Esto lo estudiaremos más adelante en una pregunta específica.
-
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Lo estudiado anteriormente se esquematiza en la siguiente tabla:
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DE ABSCISA x = a
x af xlim ( )
f(x) NO es
una función por partes
a Domf
Hallamos el valor de la función en x = a y ese número real será el valor del límite de la función en x = a.
x af x f alim ( ) ( )
f(x) SI es
una función por partes
a Domf o
a Domf y
es el punto de
ruptura
Hallamos los límites laterales de la función en x = a. Si existen y coinciden, ese será el valor del límite de la función en x = a. En caso contrario, la función no tendrá límite en esa abscisa.
x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )
x a x a x af x f x f xlim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )
x a
f xlim ( )
a Domf
y sale ; 00
kk
Estudiamos, si es posible, los límites laterales. Si coinciden, ese será el valor del límite (+∞ ó -∞) de la función en x = a. Si alguno no existe o no coinciden, la función no tendrá límite en x = a.
x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )
x af xlim ( )
x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )
x af xlim ( )
x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )
x a
f xlim ( )
a Domf y sale una expresión
indeterminada del
tipo:
0; ; ; 0. ; 1
0
El límite, si existe, se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí tengan sentido las operaciones y así poder
llegar al valor del límite.
-
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4ª.- Límites laterales
Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente,
x, se acerca por la izquierda (x a-) y por la derecha (x a+) a ese punto. Escribiremos:
x a x af x o f x
lim ( ) lim ( )
a - es un número próximo a a, pero menor que a. Igualmente, a + está próximo a a,
pero mayor que a.
Para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites
laterales en ese punto y ser iguales:
lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x f x f x
Ejercicio 1 – 9º
Dadas las siguientes gráficas de funciones, calcula, si existen, los siguientes límites:
A)
3 4 4
4
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
-
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B)
2 1 2
1
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x
x xx
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
5ª.- Propiedades algebraicas de los límites
1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.
Si x a
f x
lim ( ) y x a
g x
lim ( ) existen, entonces se cumple:
2. x a x a x a
f x g x f x g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
3. x a x a
k f x k f x
lim ( ) lim ( )
4. x a x a x a
f x g x f x g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
5. x a
x a x ax a
f xf xsi g x
g x g x
lim ( )( )lim , lim ( ) 0
( ) lim ( )
6. x a
g xg x
x a x a x af x f x si f x
lim ( )( )lim ( ) lim ( ) , lim ( ) 0
-
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6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y
cálculo.
Límite de una función f(x) cundo x tiende a +∞ ó a -∞ es el valor hacia el que tiende
o se aproxima una función cuando a la variable independiente x le vamos dando,
respectivamente, valores positivos cada vez más grandes o valores negativos cada
vez más pequeños.
Escribiremos:
xf x Llim ( )
xf xlim ( )
xf xlim ( )
Este límite puede valer un número real L, puede valer + ó - tal y como se puede
observar en las gráficas de las funciones siguientes:
f(x) f(x) f(x)
2
0 0 0
x
x
f x
f x
lim ( )
lim ( ) 0
x
x
f x
f x
lim ( )
lim ( ) 2
x
x
f x
f x
lim ( )
lim ( )
5 2
0 0 3
x
x
f x
f x
lim ( ) 5
lim ( )
x
x
f x
f x
lim ( ) 2
lim ( ) 2
x
x
f x
f x
lim ( )
lim ( )
-
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Igual que ocurría con el límite de una función en un punto, el límite de una función
f(x) cuando x ó cuando x
es “relativamente” fácil de calcular si conocemos la
gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión analítica de la
función f(x)? En este caso procederemos del siguiente modo:
1º.- Para calcular el límite de una función polinómica cuando x + , nos
fijaremos en su término de mayor grado, pues para valores grandes de x, el valor de las
potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo (se dice que el
monomio de mayor grado es un infinito de grado superior al resto de monomios).
Para cualquier función polinómica 1 0
( ) , 0 0nn n
f x a x a x a a n , se
cumple que:
0lim ( )
0n
x n
si af x
si a
2º.- En el caso de funciones exponenciales:
1 lim xx
si a a
0 1 lim 0x
xsi a a
3º.- En el caso de funciones logarítmicas:
1 lim log
axsi a x
0 1 lim logax
si a x
IMPORTANTE: El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya
que:
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
Ejemplo resuelto 1 – 14º
Calcular los siguientes límites:
2) lim ( 3 5 1)
xa x x
2 2 2 2. : min 3 ; lim( 3 5 1 lim( 3 ) 3.
x xSol ya que do a el monomio x Se puede escribir x x x
2) lim ( 2 8)x
b x x
2 2 2 2 2 2. : min ; lim ( 2 8) lim (( ) 2( ) 8) lim ( 2 8) lim ( )
x x x xSol ya que do a el monomio x x x x x x x x
-
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) lim 2x
xc
: lim 2 2x
xSol
1) lim
2
x
xd
1 1: lim 0
2 2
x
xSol
) lim x
xe e
1 1 1: lim lim lim 0x x
xx x xSol e e
e e
1) lim
2
x
xf
1 1 1: lim lim lim lim 2 2
2 2 1
2
x x
xxx x x x
Sol
Ejercicio 1 – 10º
Calcular los siguientes límites:
3 2 5 4 7) lim (2 7 4) ) lim ( 3 7 ) ) lim ( 2 3 5)
x x xa x x b x x c x x
3) lim (5 1) ) lim 5 ) lim ) lim ) limx x x
x x x x xd x e f e g e h Lnx
2 3) lim ) lim 5 ) lim 2 ) lim ) lim 2x x x x
x x x x xi e j k e l e m Lnx
Operaciones con el infinito serían (L representa a un nº real positivo distinto de cero):
L L ( )
L ( )L L ( )L ( ) ( )
L
L
L
L
0
L
L 0L 0
L L; 1 L L 0 ; 1
Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los
signos de la forma habitual.
-
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7ª.- Indeterminaciones
Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con
expresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar
casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el
límite está indeterminado.
Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular
directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la expresión de la función
dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las expresiones.
Las expresiones que indican indeterminación son:
0 00 ; ; ; 0 ; 1 ; 0 ;0
IMPORTANTE: Las tres últimas indeterminaciones NO se exigen para el examen de
selectividad en Andalucía
Resolución de indeterminaciones:
Indeterminaciones del tipo 0
0
Esta indeterminación aparece, entre otras situaciones, al calcular los límites de
funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales
en un punto de abscisa x = a.
Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas)
se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y
simplificando.
Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven
multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve
raíz.
Ejemplo resuelto 1 – 15º
Calcular los siguientes límites:
2
22
2 8) lim
2xx
ax x
2 2
2 2 2 2 20 2( 2 2) 8 8( ) lim lim
0 ( 2 1) 3 32 1 1x x
x x xIND
x x x
1
1) lim
2 2xx
bx
1 1
0 1 1 1( ) lim lim
0 2 22 1x xx
INDx
-
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x
xc
x
0) lim
4 2
20 0 0 0 0 02
0 ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2)lim ( ) lim lim lim lim lim ( 4 2) 4
0 ( 4) 44 2 ( 4 2)( 4 2) 4 2x x x x x x
x x x x x x x x xIND x
x xx x x x
Ejercicio 1 – 11º
Calcular los siguientes límites:
2 3 2
21 2 0
1 3 6 3 6) lim ) lim ) lim
1 9 18 9 18x x xx x x x
A B Cx x x x
x x x
x x xD E F
x x x xx x
2 2
3 20 1 1
3 1 2 1 7 6) lim ) lim ) lim
( 1) 1( 1)
Ejercicio 1 – 12º
x x x
x x x xA B C
xx x x x x
3 3 2
2 2 21 1 2
( 1) 4 5 2 3 4) lim ) lim ) lim
21 2 5 6
x x x
x x x xD E F
x xx 22 0 01 3 9 3 1 1
) lim ) lim ) lim2 3
Indeterminaciones del tipo
Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones
polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del
denominador, o bien, aplicando la regla de los grados:
-
JUAN XXIII CARTUJA MATEMÁTICAS II: ANÁLISIS CURSO 2020-21
SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 61
, ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (( )lim ,
min ( ) ( ))( )
0 , ( ) ( )
x
asi grado de P x grado de Q x el signo es el de
b
si grado de P x grado de Q x siendo a y b losP x acoeficientes de los tér os principales de P x y Q xQ x b
si grado de P x grado de Q x