Juan M. Rodr guez P. PhD. · 2020-02-05 · Homogeneidad Dimensional Homogeneidad Dimensional La...

Analisis dimensional y modelado

Juan M. Rodrıguez P. PhD.

Universidad EAFIT

[email protected]

2020

Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 1 / 91

Contenido

1 IntroduccionMotivacionConceptos basicos

2 Homogeneidad Dimensional

3 Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de BuckinghamEjemplosNumeros adimensionales establecidos.Correlacion de datos experimentales

4 Similitud modelo/prototipoEjemplos

5 Referencias

6 Fin


Introduccion Motivacion

Un modelo a escala 1: 46.6 de un destructor de la flota de la Armada delos EE. UU. que se esta probando en el tanque de remolque de 100 m delargo en la Universidad de Iowa. El modelo mide 3.048 m de largo. Enpruebas como esta, el numero de Froude es el mas importante parametrono dimensional.Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 3 / 91

Introduccion Conceptos basicos

Dimensiones y unidades

Dimension: Es una medida de una cantidad fısica (sin valoresnumericos).

Unidad: Es una manera de asignar un numero a dicha dimension.

La longitud es una dimension

Los metros (m), centımetros (cm), kilometros(km) son unidades delongitud

Hay siete dimensiones principales (tambien llamadas dimensionesfundamentales o basicas): masa, longitud, tiempo, temperatura, corrienteelectrica, cantidad de luz y cantidad de materia.

Dimensiones de fuerza: {Fuerza} =

{Masa

Longitud

Tiempo2

}={mL/t2

}




Cantidad Sımbolo Dimension

Longitud L L

Area A L2

Velocidad V Lt−1

Aceleracion dV /dt Lt−2

Caudal Q L3t−1

Flujo masico m mt−1

presion, esfuerzo p, τ mL−1t−2

viscosidad µ mL−1t−1

viscosidad cinematica ν L2t−1

Fuerza F mLt−2




Cantidad Sımbolo Dimension

Momento M mL2t−2

Potencia P mL2t−3

Densidad ρ mL−3

Peso especifico γ mL−2t−2


Homogeneidad Dimensional


La ley de la homogeneidad dimensional :Todo termino aditivo en unaecuacion debe tener las mismas dimensiones.Es aconsejable escribir todas las unidades de los terminos aditivos paraevitar sumar cantidades que se encuentran en unidades diferentes.



Homogeneidad Dimensional: Bernoulli

La ecuacion de Bernoulli es un buenejemplo de una ecuaciondimensionalmente homogenea.Todos los terminos aditivos tienen lasmismas dimensiones. En terminos dedimensiones primarias, cada terminotiene dimensiones m/(t2L).

{P} = {Presion} ={

FuerzaArea

}={MasaLongitud

Tiempo21

Longitud2

}={

mt2L

}{

12ρV

2}

=

{Masa

Volumen

(LongitudTiempo

)2}

={

Masa×Longitud2Longitud3×Tiempo2

}={

mt2L

}{ρgz} =

{Masa

VolumenLongitudTiempo2 Longitud

}={

Masa×Longitud2

Longitud3×Tiempoe2

}={

mt2L

}Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 9 / 91


No dimensionalizacion de ecuaciones

Objeto que cae en el vacıo. La velocidad vertical se dibuja positivamente,entonces w <0 para un objeto que cae.Ecuaciones de movimiento: d2z

dt2 = −gResultado Dimensional: z = z0 + w0t − 1

2gt2




Variables dimensionales: cantidades dimensionales que cambian ovarıan en el problema. Ejemplos: z y t.

Variables no dimensionales (o adimensionales): Cantidades quecambian o varıan en el problema, pero no tienen dimensiones.Ejemplo: angulo de rotacion.

Constante dimensional: constante gravitacional g

Parametros: consulte el conjunto combinado de variablesdimensionales, variables no dimensionales y constantes dimensionalesen el problema.

Constantes puras: la constante 1/2 y el exponente 2 en la ecuacion.Otros ejemplos comunes de constantes puras son π y exp.




Dimensiones primarias de todos los parametros:{z} = {L} {t} = {t} {z0} = {L} {w0} = {L/t} {g} =

{L/t2

}variables adimensionales: z∗ =

z

z0t∗ =

w0t

z0

d2z

dt2=

d2(z0z∗)

d(z0t∗/w0)2=

w20

z0

d2z

dt∗2= −g → w2

0

gz0

d2z∗

dt∗2= −1

DondeFr =

w0√gz0

es lo que se conoce como el Numero de Froude




Ecuaci on de movimiento adimensional : d2z∗

dt∗2 = − 1Fr2

Resultado Adimensional : z∗ = 1 + t∗ − 12Fr2 t

∗2

De donde se puede concluir:

z∗ = f (t∗,Fr)

El Numero de Froude es importante en los flujos de superficie libre comoel flujo en canales abiertos.



Ventajas de las ecuaciones no dimensionales

Relaciones entre parametros clave del problema son identificadas

El numero de parametros en una ecuacion no dimensional es menorque el numero de parametros en la ecuacion original.



No dimensionalizacion

En un problema tıpico de flujo de fluido, los parametros de escalageneralmente incluyen una longitud caracterıstica L, una velocidadcaracterıstica V y una diferencia de presion de referencia P0 − P∞. Otrosparametros y propiedades del fluido, como la densidad, la viscosidad y laaceleracion gravitacional, tambien entran en el problema.



No dimensionalizacion

En un problema general de flujo de fluido inestable con una superficielibre, los parametros de escala incluyen una longitud caracterıstica L, unavelocidad caracterıstica V , una frecuencia caracterıstica f , y una diferenciade presion de referencia P0 − P∞. La no dimensionalizacion de lasecuaciones diferenciales del flujo de fluido produce cuatro parametrosadimensionales: el numero de Reynolds, el Numero de Froude, elnumero de Strouhal y el numero de Euler.


Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de Buckingham

Objetivos del analisis dimensional

Los tres propositos principales del analisis dimensional son

1 Generar parametros no dimensionales que ayuden en el diseno deexperimentos (fısicos y / o numericos) y en el informe de resultadosexperimentales.

2 Para obtener leyes de escala para poder predecir el rendimiento delprototipo a partir del rendimiento del modelo.

3 Para predecir tendencias en la relacion entre parametros.



Si se tiene una ecuacion fısica que refleja la relacion existente entre lasvariables que intervienen en un cierto problema debe existir una funcion ftal que:

q1 = f (q2, q3, ..., qk )

El teorema Π establece que dada una relacion como la anterior, estos sepueden agrupar en grupos adimensionales independientes, que se puedenexpresar de la forma funcional como:

Π1 = g (Π2,Π3, ...,Πk−r )



Metodo de repeticion de variables

1 Enumere los parametros en el problema y cuente su numero total n.

2 Liste las dimensiones primarias de cada uno de los n parametros.Establezca la reduccion j como el numero de dimensiones primarias.

3 Calcule k, el numero esperado de Π,

k = n − j

4 Elija j parametros repetitivos.

5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario.

6 Escribe la relacion funcional final y verifica tu algebra



Metodo de repeticion de variables: bola que cae al vacıo

1 Enumere los parametros en el problema y cuente su numero total

z = f (t,w0, z0, g) n = 5


z{L1} t{

t1} w0{

L1t−1} z0{

L1} g{

L1t−2}

Reducci on: j = 2

3 Calcule k, el numero esperado de Π,

Numero de Π′s esperados: k = n − j = 5− 2 = 3




4 Elija j parametros repetitivos

par ametros repetidos: w0 y z0





Π Dependiente: Π1 = zw0a1z0

b1

Dimensiones de Π1

{Π1} ={

L0t0}

={zw0

a1z0b1

}={

L1(L1t−1

)a1Lb1

}Tiempo {

t0}

={

t−a1}

0 = −a1 a1 = 0

Longitud{L0}

={

L1La1Lb1

}0 = 1 + a1 + b1 b1 = −1− a1 b1 = −1

Se obtiene Π1

Π1=z

z0





Primer Π independiente: Π2=tw0a2z0

b2

Dimensiones de Π2

{Π2} ={

L0t0}

={tw0

a2z0b2

}={

t(L1t−1

)a2Lb2

}Igualando exponentes de tiempo y longitud{

t0}

={

t1t−a2}

0 = 1− a2 a2 = 1

{L0}

={

La2Lb2

}0 = a2 + b2 b2 = −a2 b2 = −1

Se obtiene Π2

Π2 =w0t

z0




5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario. Segundo Πindependiente

Π3 = gw0a3z0

b3

Dimensiones de Π3

{Π3} ={

L0t0}

={gw0

a3z0b3

}={

L1t−2(L1t−1

)a3Lb3

}Igualando exponentes de tiempo y longitud{

t0}

={

t−2t−a3}

0 = −2− a3 a3 = −2{L0}

={

L1La3Lb3

}0 = 1 + a3 + b3 b3 = −1− a3 b3 = 1

Se obtiene Π3

Π3=gz0

w02




5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario. Π3 modificado

Π3, modificado =

(gz0

w02

)−1/2

=w0√gz0

= Fr




6 Escribe la relacion funcional final y verifica tu algebra Relacionesentre Π′s

Π1 = f (Π2, Π3) → z

z0= f

(w0t

z0,w0√gz0

)Resultado final del analisis dimensional

z∗ = f (t∗, Fr)




z = z0 + w0t − 12gt

2

Problema de caıda libre sin analisis dimensional.




z∗ = 1 + t∗ − 12Fr2 t

∗2

Problema de caıda libre con analisis dimensional.


Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de Buckingham Ejemplos

Metodo de repeticion de variables: Ejemplo 1

Sustentacion de una ala.Unos estudiantes de ingenierıa mecanica desean disenar un aeroplano yquieren predecir la sustentacion que produce el nuevo diseno de ala.Suponga que todo lo que se sabe es que la sustentacion FL depende de lavelocidad del fluido V , de la longitud de cuerda Lc , de la densidad delfluido ρ, de la viscosidad dinamica µ, la velocidad del sonido en el fluido cy el angulo de ataque del ala α. Los ingenieros deciden enfrentar elproblema con el uso del analisis dimensional




Sustentacion de una ala.


FL = f (V , Lc , ρ, µ, c , α) n = 7


FL{m1L1t−2

} V{L1t−1

} Lc{L1} ρ{

m1L−3} µ{

m1L−1t−1} c{

L1t−1} α

{}

Reducci on: j = 3

3 Calcule k , el numero esperado de Π,







par ametros repetidos: V , Lc y ρ






Π Dependiente: Π1 = FLVa1Lb1

c ρc1

Dimensiones de Π1

{Π1} ={

m0L0t0}

={FLV

a1Lb1c ρ

c1

}={

(m1L1t−2)(L1t−1)a1(L1)

b1(m1L−3)c1}

Se obtiene Π1

Π1 =FL

ρV 2L2c

Π1 es similar al coeficiente de arrastre.





5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario. Primera Πindependiente

Π2 = µV a2Lb2c ρ

c2

Dimensiones de Π2

{Π2} ={

m0L0t0}

={µV a2Lb2

c ρc2

}={

(m1L−1t−1)(L1t−1)a2(L1)

b2(m1L−3)c2}

Se obtiene Π2

Π2 =µ

ρVLc

El inverso de Π2 se conoce como numero de Reynolds





5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario. Segunda Πindependiente

Π3 = cV a3Lb3c ρ

c3

Dimensiones de Π3

{Π3} ={

m0L0t0}

={cV a3Lb3

c ρc3

}={

(L1t−1)(L1t−1)a3(L1)

b3(m1L−3)c3}

Se obtiene Π3

Π3 =c

V

El inverso Π3 se conoce como numero de Mach.





6 Escribe la relacion funcional final y verifica tu algebraRelaciones entre Π′s

Π1 = f (Π2, Π3,Π4)

En terminos de numeros adimensionales conocidos queda:

CL =FL

12ρV

2A= f (Re,Ma, α)





Influencia del numero de Reynolds: Perfil aerodinamico NACA 0009.




Flujo alrededor de un cilindro.Considere el flujo de un fluido incompresible de densidad y viscosidadconocidas, alrededor de un cilindro de diametro D. Se ha encontradoexperimentalmente que la fuerza de arrastre FD es funcion de la densidadρ, la viscosidad dinamica µ, la velocidad del fluido V y del diametro delcilindro D. Estudie el problema con numeros adimensionales.




Flujo alrededor de un cilindro.


FD = f (V , ρ, µ,D) n = 5


FD{m1L1t−2

} V{L1t−1

} ρ{m1L−3

} µ{m1L−1t−1

} D{L1}

Reducci on: j = 3








par ametros repetidos: V ,D y ρ






Π Dependiente: Π1 = FDVa1Db1ρc1

Se obtiene Π1

Π1 =FD

ρV 2D2






Π2 = µV a2Db2ρc2

Dimensiones de Π2

{Π2} ={

m0L0t0}

={µV a2Db2ρc2

}={

(m1L−1t−1)(L1t−1)a2(L1)

b2(m1L−3)c2}

Se obtiene Π2

Π2 =µ

ρVD







Π1 = f (Π2)


CD =FD

12ρV

2A= f (Re)




Flujo alrededor de una esfera.




Flujo alrededor de una esfera.

Trace en Excel el Coeficiente de arrastre CD versus el numero deReynolds Re, usando la ecuacion White (1991).




Caso general donde se obtienen 2 numeros adimensionales.

(a) Relacion lineal (b) Relacion no-lineal.




Friccion en un tubo.Considere el flujo de un fluido incompresible de densidad y viscosidadconocidas, a traves de un tubo redondo de diametro D. Debido a lasfuerzas de friccion entre el fluido y la pared del tubo, existe un esfuerzo decorte sobre la superficie interior del tubo τw . Dicho esfuerzo es funcion dela velocidad media del fluido V , la rugosidad de la interna del tubo ε, ladensidad del fluido ρ, la viscosidad µ y el diametro interno del tubo D.Estudie el problema usando numeros adimensionales




Friccion en un tubo.


τw = f (V , ε, ρ, µ,D) n = 6


τw{m1L−1t−2

} V{L1t−1

} ε{L1} ρ{

m1L−3} µ{

m1L−1t−1} D{

L1}


Reducci on: j = 3







par ametros repetidos: V ,D y ρ






Π Dependiente: Π1 = τwVa1Db1ρc1

Se obtiene Π1

Π1 =τw

ρV 2

El parametro adimensional establecido mas similar a Π1 es el factor defriccion de Darcy.

Π1, modificado =8τw

ρV 2






Π2 = µV a2Db2ρc2

Dimensiones de Π2

{Π2} ={

m0L0t0}

={µV a2Db2ρc2

}={

(m1L−1t−1)(L1t−1)a2(L1)

b2(m1L−3)c2}

Se obtiene Π2

Π2 =µ

ρVD






5 Construya los k Π y manipule segun sea necesario. Segunda Πindependiente

Π3 = εV a3Db3ρc3

Dimensiones de Π3

{Π3} ={

m0L0t0}

={εV a3Db3ρc3

}={

(L1)(L1t−1)a3(L1)

b3(m1L−3)c3}

Se obtiene Π2

Π3 =ε

D






Π1 = f (Π2,Π3)


f =8τw

ρV 2= f (Re, ε/D)

f se conoce como el factor de friccion de Darcy. Hablaremos mas delfactor de friccion cuando se aborde el tema de perdidas en tuberıas.




Cable que cuelga de dos soportes.Un cable es instalado entre dos soportes. Un fluido pasa a traves de este ygenera una deflexion δ en el centro del cable. Asuma que:

δ = f (l , d , ρ, µ,V ,E )

donde l es la longitud del cable, d es su diametro,V es la velocidad delaire y E el modulo de elasticidad del material del cual esta fabricado elcable. Encuentre los un numeros adimensionales. Ayuda: Las unidadesdel modulo de elasticidad son Pa.




Cable que cuelga de dos soportes. Los numeros adimensionales delproblema estan dados por:

Π1 =δ

d

Π2 =l

d

Π3 =µ

ρVD

Π4 =E

ρV 2

Relaciones entre Π′sΠ1 = f (Π2,Π3,Π4)




BombaLa potencia P requerida para accionar una bomba es funcion del caudalQ, el diametro del rotor D, la velocidad de rotacion ω y la densidad ρ yviscosidad dinamica del flujo µ. Determine los numeros adimensionales delproblema




Bomba Los numeros adimensionales del problema estan dados por:

Π1 =P

D5ω3ρ

Π2 =Q

D3ω

Π3 =µ

D3ωρ

Relaciones entre Π′sΠ1 = f (Π2,Π3)




Onda explosivaEn 1940, expertos en explosivos concluyeron que el alcance maximo de laonda expansiva de una bomba nuclear R, era funcion de la energıa totalliberada E , la densidad del aire ρ y el tiempo t. Calcule los numerosadimensionales del problema.




Onda explosivaCuando el fenomeno estudiado esta representado por un solonumero Π, este debera ser una constante.

Π1 =Rρ1/5

E 1/5t2/5= C

C es una constante.




Placa delgadaUna placa delgada de ancho W y altura h se expone a un flujo, que semueve de manera normal a la superficie. Asuma que la fuerza de arrastreFD es funcion de la viscosidad dinamica µ, la densidad ρ y la velocidad delfluido V , ası como de las caracterısticas geometricas de la placa.Determine los numeros adimensionales del problema.




Placa delgadaLos numeros adimensionales del problema estan dados por:

Π1 =FD

ρV 2h2

Π2 =µ

ρVh

Π3 =h

W

Relaciones entre Π′sΠ1 = f (Π2,Π3)


Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de Buckingham Numeros adimensionales establecidos.

Algunos numeros adimensionales establecidos.

Reynolds

Re =ρVD

µ

Coeficiente de arrastre

CD =FD

12ρV

2A

Coeficiente de sustentacion

CL =FL

12ρV

2A

Numero de Mach

Ma =V

c


Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de Buckingham Correlacion de datos experimentales

Datos experimentales.

A continuacion se presenta la medicion de la fuerza de arrastre FD ejercidapor el aceite SAE20W-50 a 40◦C sobre una esfera de diametro D = 0.1mpara diferentes valores de la velocidad del aceite. Useρ = 893kg/m3, µ = 0.15Pa.s

Fuerza arrastre (N) 2.4×10−6 2.4×10−5 4.9×10−5 7.5×10−5

Velocidad (m/s) 1.6×10−5 1.6×10−4 3.35×10−4 5.0×10−4

Para estimar el coeficiente de arrastre CD y el numero de Reynolds Re


Metodo de repeticion de variables: Teorema de PI de Buckingham Correlacion de datos experimentales

Datos experimentales.

A continuacion se presenta la medicion de la fuerza de arrastre FD ejercidapor el aceite SAE20W-50 a 40◦C sobre una esfera de diametro D = 0.1mpara diferentes valores de la velocidad del aceite. Useρ = 893kg/m3, µ = 0.15Pa.sSe obtuvieron los siguientes valores de coeficiente de arrastre y de numerode Reynolds.

CD 2415.2 247.4 125.9 85.24

Re 0.01 0.1 0.2 0.3


Similitud modelo/prototipo

Modelo/prototipo

Prototipo: escala real. Modelo: escala de laboratorio.



Modelo/prototipo

El principio de similitud. Tres condiciones necesarias para una similitudcompleta entre un modelo y un prototipo.

1 Similitud geometrica: el modelo debe tener la misma forma que elprototipo, pero puede ser escalado por algun factor de escalaconstante.

2 Similitud cinematica: la velocidad en cualquier punto del flujo delmodelo debe ser proporcional (por un factor de escala constante) a lavelocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo.

3 Similitud dinamica: cuando todas las fuerzas en el modelo escalanen un factor constante a las fuerzas correspondientes en el flujoprototipo (equivalencia de escala de fuerza).



Modelo/prototipo

En un problema de analisis dimensional general, hay uno Π que llamamosΠ dependiente , dandole la notacion Π1.El parametro Π1 es en general una funcion de varios otros Π’s, quellamamos Π’s independientes.

Relacion funcional entre Π′s: Π1 = f (Π2, Π3, ... , Πk )



Modelo/prototipo

Importante

Para garantizar una similitud completa, el modelo y el prototipo deben sergeometricamente similares, y todos los grupos independientes debencoincidir entre el modelo y el prototipo.

Si Π2,m = Π2,p y Π3,m = Π3,p ... y Πk,m = Πk,p,

luego Π1,m = Π1,p



Modelo/prototipo

Similitud geometrica entre unautomovil prototipo de longitud Lp yun automovil modelo de longitud Lm.

Π1 = f (Π2) where Π1 =FD

ρV 2L2and Π2 =

ρVL

µ



Modelo/prototipo

Para el caso especial en el que el airedel tunel de viento y el aire que fluyesobre el prototipo tienen las mismaspropiedades (ρm =ρp , µm = µp), yen condiciones de similitud(Vm = VpLp/Lm), la fuerza dearrastre aerodinamica sobre elprototipo es igual a eso en el modeloa escala. Si los dos fluidos no tienenlas mismas propiedades, las dosfuerzas de arrastre no sonnecesariamente las mismas, inclusoen condiciones dinamicamentesimilares



Modelo/prototipo

Si se utiliza un tunel de agua en lugar de un tunel de viento para probar sumodelo a escala de 1/5, la velocidad del tunel de agua requerida paralograr similitud esta dado por igualar los Reynolds del prototipo y delmodelo

Rem = Rep

Vm = Vp

(µm

µp

)(ρp

ρm

)(Lp

Lm

)= (50.0 mi/h)

(1.002× 10−3 kg/m · s1.849× 10−5 kg/m · s

)(1.184 kg/m3

998.0 kg/m3

)(5)

= 16.1 mi/h

La velocidad en el tunel de agua es de 16.1 mi/h y la velocidad en el tunelde viento es 50 mi/h. Podemos probar el modelo en un tunel de agua amenor velocidad.Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 73 / 91

Similitud modelo/prototipo Ejemplos

Similitud: Ejemplo 1

Flujo alrededor una columna elıptica. Un componente estructural de unpuente tiene una seccion elıptica, y cuando el flujo de aire pasa a traves deeste elemento estructural largo se presenta una alteracion en el flujo quepuede generar vortices a una frecuencia especıfica. Dado que estosvortices pueden crear fuerzas armonicas sobre la estructura, es importantedeterminar la frecuencia ω de dichos vortices.




Flujo alrededor una columna elıptica. Para este caso en particular, setienen unas dimensiones de D = 0.1 m, H = 0.3 m y una velocidadrepresentativa del viento de unos 50 km/hr. Para determinar la frecuenciade los vortices se usa un puente a escala para ser puesto a prueba en untunel de agua en el laboratorio; para este modelo se tiene una dimensionDm = 20 mm y el agua se encuentra a una temperatura de 20◦C . Lafrecuencia ω encontrada en el modelo fue de 49.9 Hz, Cual es la frecuenciaen el prototipo?




Flujo alrededor una columna elıptica.Considere las siguientes propiedadesPropiedades del prototipo

ρp = 1.204 kg/m3, µp = 1.8251×10−5 Pa·s, Vp = 50 km/h = 13.88 m/s,Dp = 0.1 m, Hp = 0.3 m

Propiedades del modelo

ρm = 1000 kg/m3, µm = 1.002×10−3 Pa·s, Vm = ?, Dm = 20 mm =0.02 m, Hm = 0.06 m




Flujo alrededor una columna elıptica.Igualamos el Reynolds del modelo y el prototipo

Rem = Rep

De donde se obtiene que la velocidad del modelo Vm = 4.58 m/s




Flujo alrededor una columna elıptica.Ahora igualamos el numero adimensional

∏1 = ωD

V de la siguiente manera:

∏1,m

=∏

1,p

ωmDm

Vm=ωpDp

Vp

De donde se obtiene que la frecuencia de vibracion del prototipo es de ωp

= 30.245 Hz




Flujo en una tuberıa arrastrando partıculas. Una capa delgada departıculas descansa en el fondo de un tubo horizontal como se muestra enla figura. Cuando un fluido incompresible fluye a traves del tubo, seobserva que algunas partıculas comienzan a moverse a traves de la tuberıacuando se alcanza cierta velocidad crıtica en el flujo. Asuma que estavelocidad, Vc , es funcion del diametro del tubo, D, del diametro de laspartıculas, d , de la densidad ρfluido y viscosidad del flujo µ, de la gravedadg y de la densidad de las partıculas ρpartıcula. ¿Cual sera la velocidadcrıtica en el prototipo, si el modelo esta disenado a escala 1:2 y lavelocidad crıtica medida en este fue de 15 m/s?. Asuma que la densidaddel fluido ρfluido y de las partıculas ρpartıcula es igual en modelo y prototipo.




Flujo en una tuberıa arrastrando partıculas.Los numeros adimensionales del problema estan dados por:

Π1 =Vc√Dg

Π2 =ρpartıcula

ρfluido

Π3 =d

D

Π4 =µ

D32 ρfluidog

12

Relaciones entre Π′sΠ1 = f (Π2,Π3,Π4)




Flujo en una tuberıa arrastrando partıculas.Igualamos el numero Π1 entre modelo y prototipo :

Π1 =Vc√Dg

y teniendo en cuenta que

Dm =1

2Dp

Se obtiene que la velocidad crıtica del prototipo Vc,p = 21.21 m/s. Elnumero Π1 se conoce como el numero de Froude.




Tuberıa con aceite.A traves de una tuberıa de 0.91 m de diametro se bombea aceite SAE30W a 20◦C (ρp = 891 kg/m3, µp = 2.9×10−1Pa·s) a una velocidad de0.403 m/s. Se piensa disenar un modelo de esta tuberıa usando un tubode 0.0762 m de diametro y agua a 20◦C (ρm = 998 kg/m3, µm =1×10−3Pa·s) como fluido de trabajo. A fin de mantener la semejanza delos numeros de Reynolds entre modelo y prototipo, ¿que velocidad delfluido se requiere en el modelo?.Igualamos el Reynolds del modelo y el prototipo

Rem = Rep

Se obtiene una velocidad del modelo Vm = 0.0148 m/s (velocidad delagua en la tuberıa pequena)




Fuerza arrastre auto deportivo.Se debe predecir la fuerza aerodinamica de arrastre de un auto deportivonuevo a una velocidad de 50 mi/h a una temperatura del aire de 25◦C(ρp = 1.184 kg/m3, µp = 1.894×10−5Pa·s). Los ingenieros automotricesconstruyen un modelo a 1/5 de escala del auto para probarlo en un tunelde viento. Es invierno y el tunel de viento se localiza en un edificio dondela temperatura del aire es de 5◦C (ρm = 1.269 kg/m3, µm =1.754×10−5Pa·s). Determine que tan rapido deben correr los ingenieros elaire en el tunel de viento con la finalidad de lograr similitud entre elprototipo y el modelo.Igualamos el Reynolds del modelo y el prototipo

Rem = Rep

Se obtiene que el tunel de viento debe correr a Vm = 99.88 m/s




Fuerza arrastre auto deportivo. Este ejemplo es una continuacion delejemplo 4. Suponga que los ingenieros corren el tunel de viento a 221mi/h para lograr similitud entre el modelo y el prototipo. La fuerzaaerodinamica de arrastre sobre el auto modelo se mide con una balanza dearrastre. Se registraron varias lecturas de fuerza de arrastre y resulta quela fuerza promedio sobre el modelo es FDm = 94.30 N. Prediga la fuerzade arrastre sobre el prototipo ( a 50 mi/h y 25◦C ).Igualamos el coeficiente de arrastre entre modelo y el prototipo

CDm = CDp

Se obtiene que la fuerza de arrastre sobre el prototipo FDp = 112.57 N .



Similitud incompleta

Desafortunadamente, a menudo es una historia muy diferentecuando aplicamos los resultados de nuestro analisis dimensional adatos experimentales.El problema es que no siempre es posible hacer coincidir todos los Π’s deun modelo con los Π’s correspondientes del prototipo, incluso si tenemoscuidado de lograr la similitud geometrica.Esta situacion se llama similitud incompleta.Afortunadamente, en algunos casos de similitud incompleta, todavıapodemos extrapolar los datos de prueba del modelo para obtenerpredicciones razonables a gran escala.




Sustentacion de una ala. Unos estudiantes de ingenierıa mecanicadesean disenar un aeroplano y quieren predecir la sustentacion que produceel nuevo diseno de ala. La longitud de cuerda del ala es 1.12 m y su areadel ala es 10.7 m2. El prototipo debe volar a 52 m/s cerca del suelo dondeT=25◦C . Los ingenieros construyen un modelo de ala a un decimo deescala para probarla en un tunel de viento presurizado. El tunel de vientose puedo presurizar maximo a 5 atm. ¿ A que velocidad y presion debecorrer el tunel de viento con la finalidad de requerir similitud dinamica?Considere la velocidad del sonido c = 343.2 m/s (1235.52 km/h)





FL = f (V , Lc , ρ, µ, c , α) n = 7 CL =FL

12ρV

2A= f (Re,Ma, α)

Para lograr similitud dinamica, es necesario que el numero de Reynolds Re,el numero de Mach Ma y el angulo de ataque α empaten entre el modeloy el prototipo.





FL = f (V , Lc , ρ, µ, c , α) n = 7 CL =FL

12ρV

2A= f (Re,Ma, α)

Empatar a la vez Re y Ma a la vez es difıcil porque:

Suponga que el tunel de viento corre a la misma temperatura ypresion del prototipo. La similitud en el numero de Re se lograrıa alhacer la velocidad del aire en el tunel de viento 10 veces la delprototipo (es decir 520 m/s).

Al comparar el numero de Ma se obtiene un valor 0.15 (subsonico)para el prototipo y de 1.15 para el modelo (supersonico).

Ahora si empato el numero de Ma, el numero de Reynolds del modeloseria 10 veces mas pequeno.




Empatar a la vez Reynolds y Mach a la vez es difıcil porque:

La similitud dinamica se puede lograr empatado el numero de Remientras el numero de Ma se mantiene por debajo de 0.3(compresibilidad despreciable).

Utilizando una presion de 5 atm y una temperatura de 25oC en eltunel de viento, la densidad del modelo serıa 5 veces la densidad delprototipo.

Igualando el numero de Re se llega a que la velocidad del modelodebe ser 2 veces la velocidad del prototipo.

Con la anterior velocidad del aire se obtiene un numero de Ma menora 0.3 (el fluido se puede considerar incompresible)


Referencias

Referencias

Mecanica de Fluidos: Fundamentos y aplicaciones. Cengel y Cimbala.Mc Graw Hill. Cuarta Edicion.

Fundamentos de mecanica de fluidos. Beltran. Ediciones Uniandes.Primera Edicion.

Fluid Mechanics. White. Mc Graw Hill. Quinta Edicion.


Fin

Gracias por su atencion


Juan M. Rodr guez P. PhD. · 2020-02-05 · Homogeneidad Dimensional Homogeneidad Dimensional La...

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