Juan León - Dinámica de Máquinas (1)

/

I

Este texto ha sido concebido con la finalidad de cerrar la brecha que elestudiante de Ingeniert'a Mecnica encuentra entre las asignaturas MecnicaRacional y Diseo Mecnico.

A lo largo del libro se presenta, en forma concisa, una metodolog(a basadaen los principios fundamentales.de la mecnica, que permite analizar tanto sis-temas mecnicos como sus componentes, e ilustrada con una serie de ejemplosresueltos y propuestos.

Entre los tpicos tratados destacan los siguientes:

Ecuacin fundamental de los sistemas mecnicos rotativos. Aplicacinal anlisis de volantes y a la determinacin de tiempos de arranque yparada.

Estudio de transmisiones:juntas universales, acoplamientos r(gidos, transmisiones hidrulicas,transmisiones por engranajes, correas y embragues.

Dispositivos de frenado mecnico. Equilibrado de mquinas rotativas. Anlisis de mecanismos de barras. Aplicacin al caso de un mecanismo

motor y al equilibrado de mquinas alternativas. Vibraciones libres y forzadas de sistemas de un grado de libertad. Elementos de simulacin analgica.

Por su claridad de exposicin y la buena organizacin del material, es unexcelente libro de texto para estudiantes de Ingenierla Mecnica. Adems, esde gran utilidad para profesores e ingenieros especializados en esta rama.

z

.-

ACERCA DEL AUTOR,

El Profesor Juan Lon L. se gradu de Inge-niero Mecnico en la Universidad Central deVenezuela, Caracas, en 1966, ingresando deinmediato como Instructor en la misma Uni

versidad.En 1970 obtuvo el ttulo de "Master of

Setenee" en el "California Institute of Techno-

logy" (Pasadena, Callf

Dinmicade mquinas

"

Dinmica, .

e maquInasJuan Len

Universidad Simn Bolvar. CaracasUniversidad Central de Venezuela. Caracas

EDITORIAL LIMUSAMEXICO

Prlogo

La enseanza tradiciona! de la asignatura Dinmica de Mquinas se hacaracterizado por la presentacin de una serie de tpicos aislados, aparente-mente sin ninguna interrelacin, dando la impresin de estar constituida ne-cesariamente por una coleccin de compartimientos estancos.

La razn de escribir este texto, producto de una experiencia docente devarios aos en la Universidad Simn Bolvar, Caracas, Venezuela, ha sido lade superar la dificultad anteriormente presentada a! exponer en forma racio-na! un esquema simple para analizar los sistemas mecnicos basado en las ca-ractersticas dinmicas de los dispositivos motores y su acoplamiento adistintos tipos de carga.

As, el primer captulo se destina a la formulacin de la llamada "Edu-cacin FW1damentaI de los Sistemas Mecnicos", ecuacin sta que permitepredecir el comportamiento mecnico de W1 sistema, sea en rgimen per-manente o transitorio, en funcin de las curvas caractersticas de los disposi-tivos motor y resistente y de la forma como se los acople, esto es, de lascaractersticas de la transmisin.

En el scgundo captulo se estudian las transmisiones, analizadas comoaquellas componentes de los sistemas mecnicos responsables de la conexinentre la carga y el motor. En consecuencia se puntualiza la relacin entre lascaractersticas dinmicas en los ejes de salida y entrada del mismo.

El tercer captulo permite analizar el comportamiento de sistemas mec-nicos en los que se incorpora un dispositivo del frenado.

Estos tres captulos constituyen de por s el ncleo del presente texto.Los restantes captulos se destinan al desarrollo de algunos tpicos especialesque complementan la formacin del ingeniero mecnico.

Se presenta as el estudio del estado de equilibrado (balanceo) de mqui-nas rotativas y alternativas, tratado bsicamente en forma tradicional en loscaptulos 4 y 5. En ellos se enfatiza el mostrar el efecto de las fuerzas din-micas de trepidacin producidas por el desequilibrio inherente de los mecanis-mos que constituyen una mquina Estos dos captulos constituyen una intro-duccin al estudio de la vibraciones mecnicas, por ser las mquinas una delas fuentes fundamentales de excitacin de sistemas.

7

-8 Prlogo

En forma natural, surge la necesidad de estudiar la respuesta dinmicade sistemas mecnicos a excitaciones permanentes o transitorias. En el pre-sente texto se limita el estudio de las vibraciones mecnicas al caso de los sis-temas de un grado de libertad, lo que se cubre en el captulo 6.

Finalmente se ha credo conveniente incorporar un ltimo captulopara iniciar al estudiante en las tcnicas de simulacin analgica.

Este texto ha sido conformado de manera que en cada captulo se pre-senta un planteamiento conciso de la teora, ilustrarla con ejemplos de interspara el ingeniero mecnico que permitan afianzar el conocimiento adquirido.Est escrito de forma tal que el estudiante pueda aplicar sistemticamentelas ecuaciones fundamentales de la dinmica para plantear y luego resolverproblemas concretos surgidos del estudio de las mquinas y de los sistemasmecnicos. Cada captulo finaliza con una serie de ejercicios propuestos pa-

ra su resolucin.En cuanto al nivel del presente texto, escrito para estudiantes de inge-

niera mecnica y de ramas afines, debe decirse que es el indicado para un estudiante de pregrado que haya cursado tanto la asignatura mecnica comolos cursos ordinarios de clculo, tal como se les conciben en cualquier currcu-lum de ingeniera mecnica.

El autor expresa su ms profundo agradecimiento a profesores y estu-diantes, quienes con su colaboracin y constantes crticas han permitidomejorar la presentacin y contenido del presente texto.

El Autor

9

2.1.2.2.2.3.2.3.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.7.12.7.2.2.7.3.2.8.

1423

6565666773748086889294

13

65

252936394955

98100107109118

GENERALIDADESACOPLAMIENTOS RIGIDOSACOPLAMIENTOS FLEXIBLESAcoplamiento de HookeTRANSMISIONES HIDRAULICASACOPLAMIENTOS HIDRAULICOSCONVER'TIDORES DE PARTRANSMISION POR ENGRANAJESTransmisiones por engranajes entre ejes paralelosTransmisiones por engranajes entre ejes que se cortanTransmisiones por engranajes entre ejes que se cruzanTRENES DE ENGRANAJES SIMPLES YCOMPUESTOS

2.8.3. Trenes epicclicosEjemplo 2.6 Diferenciales2.8.3.2. Anlisis dinmico de trenes epicclicos2.8.4. Anlisis transitorio de trenes de engranajes

1.1. CURVAS CARACTERISTICAS DE LAS MAQUINA S1.2. TRANSMISIONES1.3. ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS

MECANICOS ROTATIVOSEjemplo 1.2. Tiempo de arranque1.4. EFECTO DE VOLANTE EN SISTEMAS MECANICOSCaso 1 Clculo de volantes para cargas intermitentesCaa l1 Clculo de volantes para cargas continuas1.5. EJERCICIOS

CAPITULO 1 SISTEMAS MECANICOS

CAPITULO 2 TRANSMISIONES

Contenido

171

171175176182183194

151157

199

120121123124129129130130133135136

223

223226

137147150

C.-\.'iISMO-

FRE."OS DE CI:\TAFRE'O DE ZAPATAF l"C:DOS de~ de ex ternaFrea05 de upua. de colllnCc:iD cxte:n13.F..... el< ~a. uticwbd>EJUlCICIOS

2.9. TRANSMISIONES POR CORREAS2.9.1. Anlisis de una transmisin por correas2.9.2. Par transmitido a la polea2.9.3. Efecto de la pretensin de la correa2.10. EMBRAGUES2.10.1. Embragues dentados2.10.2 Embragues de friccin2.10.2.1. Embragues de disco2.10.2.2. Embragues cnicos2.10.2.3 Embragues unidireccionales2.10.2.4. Embragues centrfugos2.10.3. Anlisis transitorio de sistemas mecnic05 que

incorporan UD embrague2.10.4. Disipacin de energa mecnica en un embrague2.10.5 Observaciones finales

Apndice. Programa para d anlisis traJuitorode sistemas mecnicos que incorpon:.n unembrague

2.11. EJERCICIOS

U. ODt:

Contenido 11

5.4.5.5.

5.6.

5.6.1.5.6.2.5.7.

INTRODUCCIONANALISIS DINAMICO DE UN MECANISMO MOTORFUERZAS DE TREPIDACION GENERADAS POR UNMECANISMO MOTORESTADO DE EQUILIBRADO DE MAQUlNAS DEVARIOS CILINDROSDisposicin en lneaDisposicin en "V"EJERCICIOS

226230

237

243243249255

CAPITULO 6 VIBRACIONES MECANICAS 267

6.1. INTRODUCCION 2676.2. RESPUESTA LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO

DE LIBERTAD 269Caso 1. Respuesta libre no.amortiguada 272Caso 2. Respuesta libre sub-amortiguada 272Caso 3. Respuesta libre sobre-amortiguada 275Caso 4. Respuesta libre crticamente amortiguada 2766.2.1. Disipacin de energa mecnica 2866.3.1. Aplicaciones: 290

a) Resorte de masa no despreciable 291b) Vibraciones laterales de vigas (mtodo de Rayle~'hg) 293

Vibraciones laterales de viKas de masa despreciable 2966.3. RESPUESTA FORZADA DE SISTEMAS DE UN GRADO

DE LIBERTAD, EXCITACION ARMONICA 2986.3.1. Excitacin armnica 298

Determinacin de la componente permanente 2996.3.2. Respuesta permanente de un oscilador no

amortiguado a una excitacin de tipof(t) ::::: MRw'1 senwt 3116.3.3. Teora del aislamiento de motores 3136.3.4. Vuc:Itas crticas 3166.3.5. Instrumentos para la medicin de vibraciones. Fundamentos 3266.3.6. Sobre la respuesta permanente de un oscilador caracterizado

por mecanismos de disipacin no viscosos 3296.4. RESPUESTA FORZADA DE SISTEMAS DE UN GRADO

DE LIBERTAD. EXCITACION ARBITRARIA 331Ejemplo 6-11 Respuesta indicial 332Ejemplo 6-13 Respuesta impulsiva 3366.4.1. Integrales de superposicin 3396.4.1.1. A. Integral de convoluc'in 3396.4.1.2. B. Integral de Duhamel 3416.4.2. Espectro de la respuesta 349

Apndice. Transformada de Laplace 3556.5. EJERCICIOS 359

CAPITULO 7 ELEMENTOS DE SIMULACION ANALOGICA

7.1. INTRODUCCION

381

381

Contenido 12

7.2.7.2.1.7.37.4.

7.5.7.6.

ELEMENTOS DE COMPUTADOR ANALOGICOElementos lineales

COMPONENTES NO LINEALESE1ABORACION DE UN DIAGRAMA ANALOGICODiagrama no acotadoDiagrama acota4.o respecto al voltajeDiagrama acotado respecto al tiempoTECNICAS PARA LA GENERACION DE FUNCIONESEJERCICIOS

383839139339439i409421438

Captulo 1

SISTEMAS MECANICOS

Se llama stema mecnico a todo sistema que realiza una funcin deter-minada mediante el movimiento de uno o ms elementos.

En la figura 1.1 se muestra esquemticamente un sistema mecnico con,us distintas componentes. En dicho esquema se distinguen:

b:i\MotorVolante, ;;); :v~

Transmisin

Figura 1.1

a) Motor: Es el elemento motriz responsable de la entrega de energamecnica al sistema. Como ejemplos de elementos motores se puedenmencionar a las turbinas, motores elctricos y motores de combustininterna.

b) Carga: Es el elemento receptor de la energa mecnica, la cual utilizapara realizar una funcin especfica. Tal es el caso de las mquinasherramientas, b~mbas, compresores y generadores elctricos ~

e) Transmisin: Es el responsable de la transmisin de energa desde elelemento motor hasta el elemento conducido o carga. Su funcin sereduce pues a modificar variables mecnicas tales como magnitud odireccin de velocidades, fuerzas y pares.

d) Dispositivos auxiliares: Pertenecen a esta categora todos aquelloselementos responsables de funciones especficas tales como volantes,frenos, reguladores, medidores. .. etc.

13

14 Sistemas mec:niCOll

Rgimen de un sistema mecnico

Se dice que un sistema es: ~ do la velocidadde sus distintas compoor:n= se =1D:ir::o~""""~,,,.~-d eropo. Cuando lavelocidad de las com en= se se dice que el sistemaest en rgimen pmfxi" o - ~ de rgimen tran-sitono.

1.1 CURVAS CARACII:RblIC -

=,,::i::...:!ciecI e:ntregado por elmotor o requerido por la c:arp. -. ocidad angular de sueje. La representacin grfica de se c: caracteristicade la mquina.

Sin pretender cubrir la~algunos ejemplos decun-as carac-.as .

1.1.1. Motores elctricos

En la figura 1.2 se muestran las c:aractfi:x:z! cn=:s;:",,,;jia;.;rs a un motor trifsico de induccin. En la misma se . . ,,_

M

-1-

E

Figura 1.2. Cun'a caracte::rstica de

d

Curvas caractersticas de las mquinas 15

(i) Marcha continua: corresponde a la porcin ED. El motor es capazde trabajar sobre cualquier punto de esta porcin en forma conti-nua. Al par en D se le llama par nominal o par de placa. A la dife-rencia entre la velocidad angular del motor en ausencia de carga:w E Y su velocidad en el punto de par nominal: w D se le llama des-lizamz'ento s. Se tiene as que

(ii) Porcin DC. El motor es susceptible de tolerar cualquier sobrecargaque caiga en esta porcin siempre y cuando sea de corta duracin.

(iii) Porcin CEA. Esta parte de la caracteristica, que rige los perodosde arranque y parada del motor, es inherentemente inestable, estoes, el motor es incapaz de funcionar en forma sostenida sobre dichaporcin sin que se produzca de inmediato un calentamiento excesiva. El punto A proporciona las condiciones de arranque del motor.

La figura 1.3 muestra las curvas caractersticas, tpicas de varios tiposde motores elctricos industriales con el mismo punto de placa.

Observe que el motor sincrnico es el nico que gira a velocidad angularconstante al variar la carga. Los motores de induccin polifsicos y los mo-tores tipo shunt de corriente directa experimentan pequeas fluctuaciones ensu velocidad al variar la carga.

M

Par de placa

e

B

A

w

Figura 1.3 Curvas caractersticas tpicas de motores elctricos. A: motor sin-crnico. B: Motor induccin polifsico. C: ~'lotoT "Shunt" D.C. D: Motorcompuesto n.e.E: Motor serie D.C.

16 Sistemas mecnicos

Las tres variables fundamentales en la seleccin de un motor elctrico son:

Par de trabajo apropiado para accionar la carga. Par de arranque. Dispositivos tales como bombas y compresores alter-

nativos, correas transportadoras que se arrancan cargados requierende un motor de alto par de arranque. Ventiladores, bombas centrfu-gas, mquinas herramientas, correas transportadoras descargadasusualmente requieren un bajo par de arranque.

Deslizamiento: Muchas cargas industriales requieren de una velocidadesencialmente constante (variaciones de velocidad permisible del

10% ), tales como bombas, compresores, correas transportadoras, m-quinas herramientas. Tales cargas deben accionarse con motores debajo deslizamiento, tales como un motor de induccin trifsico, unmotor sincrnico o un "shunt" de corriente directa. Por otro lado sila carga debe experimentar variaciones apreciables en su velocidad,tal como sucede en las prensas mecnicas y en ciertas maquinarias enla industria del papel, se debe seleccionar un motor de gran desliza-miento.

1.1.2. Otros motores

En la figura 1.4 se muestran las caractersticas de otros dispositivos mo-trH.;es.

O

450

400

350

300

M (Nw - m)

V

Motor de

Pistn

1000 2000 3000 4000

M(%)

W(>pm )

t M(%)200I-~t-HH

100 Turbinaa gas

o 20 40 6080 100w(%)

2001---,---,----.------,

1001---+------"'"---+----1

Turbinahidrulica

o 100 200W(%)

Figura 1.4 Caractersticas de dispositivos motores.

Cwvas caractersticas de las mquinas 17

1.1.3. Cargas

En la figura 1.5 se presentan los tipos de curvas caractersticas de cargasde uso ms frecuente:

(i) Carga constante: M =constante. Este tipo de caracterstica es re-presentativo de las cargas de friccin, mquinas de elevacin, m-quinas herramientas, frenos ... etc.

(ii) Carga lineal: M =Kw (K constante). Los generadores de corrientecontinua y las cargas de friccin viscosa, tales como las mezcladorasy amortiguadores torsionales, son representados por este tipo decaracterstica.

(iii) Cargas cuadrticas: M = K w 2 (K constante). Este tipo de curva escaracterstico de las bombas y ventiladores.

(iv) Cargas hiperblicas: M = KJw (K constante). Este tipo de curvaes tpica de las devanadoras de papel.

M

Hiperblica

ConstanteLineal

""'''- --.JL.- -.w

Figura 1.5 Curvas caractersticas de cargas.

Ejemplo 1.1: Ciclo de trabajo de una mquina

Se Ilarna ciclo de trabajo de una mquina a la ley de variacin del mo-mento en su eje de entrada o salida con respecto al tiempo, esto es

M = M (t)

siendo M el par generado por el motor o requerido por la carga.

A fin de ilustrar esta definicin, en la figura 1.6 se presenta el caso deuna cepilladora, esto es, una mquina herramienta utilizada para el mecani-zado de superficies planas.

Por accin de la manivela AC, la palanca BD es obligada a oscilar alrede-dor del pivote B, Y sta a su vez, obliga al bloque E a describir un movimientorectilneo oscilatorio. La superficie de trabajo SS se mantiene fija sobre una


mesa ajustable. La herramienta, solidaria al bloque E, se mueve hacia la derecha en la carrera de trabajo, con velocidad esencialmente constante, para luegoretomar rpidamente a la posicin extrema izquierda sin arrancar material.Durante este perodo de retomo, el mecanism


De la figura 1.7 se tiene que

x = htg 'Y

Aplicando el teorema de los senos al tringulo ACB

(a)

de donde se obtiene que

sen 'Yr

= sen (O - 'Y)1

tg'Y = sen O1- + cos Or

Denotando por e< a la relacin de longitud 1: r, esto es

1e< =-r

el desplazamiento x adopta la forma

(b)

(e)

xh

=sen Oe


l.40

.20

'y

hw

.2 .4 .6

xh

.20y

h W mx

X mx

r-l 0,:1:1 para el avance- 1,00 para el retomo

=0.58 h

Figura 1.8 Diagrama velocidad-desplazamiento de un mecanismo de retomo rpido.

Entre otros factores, la resistencia al corte de un material depende de lavelocidad y profundidad del corte, y de la geometra de la herramienta. Con-secuentemente, si se utiliza una misma herramienta, la fuerza resistente queofrece el material en una cepilladora es esencialmente constante, si no se mo~difica la profundidad del corte.

Se tiene as que la fuerza resistente F( t ) viene dada por

- [-F (t) = F = constante carrera de avanceO ... _.. _. . . . . . . . . . .. carrera de retorno

A continuacin se proceder a evaluar el par que debe aplicarse a la manivela para accionar la cepilladora. Con este fin se sealan los diagramas decuerpo libre de las distintas componentes del mecanismo, despreciando lamasa de la corredera e y los efectos de friccin.

lt;LJE --r--... ~

r -_ _ F(ll

/' ~jJ,I,

/ 1JJ ... nguJo de corte

Figura 1.9.


Tomando momento alrededor de A para la manivela, y teniendo presente quetu es constante se tiene

M=Crcos(O-.y) (f)'

Finalmente, tomando suma de fuerzas en direccin horizontal para el bloque E

(i)

(g)

(h)

sen 11=

JI+a2 +2acosOsen 'Y

h m;; + h F cos "'] cos (O - Xlcos2 a JI + a2 + 2 a cos O

Ecos l' - F cos '" = mx

rcJI+a2 +2acosO

a + cos O=J I + a 2 + 2 a cos O

M = [ lB 'Y +

cos l'

siendo lB , , .. , momento de inercia de la palanca, referido a Bm masa del bloque porta herramienta

F . . . . . . . . . . . . . . fuerza de corte

Note que (b) y (d) permiten evaluar (i) en funcin de parmetros conocidos,ya que

siendo M el par motor requerido,Para eliminar C se procede a tomar momentos para la palanca, alrededor

de B:

siendo lB el momento de inercia de la palanca, referido al extremo B,Por geometra se tiene

IcBI =J 2 + r2 + 2 Ir cos O = r JI + a2 + 2 a cos O ; ~BI= hJcos 'Y

por lo que la ltima ecuacin de momentos se transforma en

Eliminando E Y C entre las expresiones (j), (g) y (h) se concluye

siendo m la masa del bloque E.


sen e'Y = -2(a2 .1)aw21 + a 2 + 2 a cos e

x = - h w 2 sen e (a2 - 2 - a cos e) (a + cos e)-3

Se deja al lector la obtencin de la expresin fmal.

Si en particular se desprecian los efectos inerciales, esto es, si

lB = O ; m = O

M= cos (e - :y).J 1 + a2 + 2 a cos e

la expresin (i) se transforma en:

h po cos >/icos 2 'Y

Desarrollado cos (e - 'Y) Ysustituyendo sen 'Y y cas 'Y por las correspondientes expresiones en funcin de e, se tiene que

a cos e + 1M = h FH (t) (a + cas e)2 (j)

x ;;;. O

x < O

SI

SI

constante

siendo FH F cos J la componente horizontal de la fuerza de corte, lacual viene dada por:

[

FHFH(t) = O

Se concluye, pues, al recordar (e) y (j)

r O=1

l+acose, (a + cos e)2

si acose+1

Transmisiones 23

1.2 TRANSMISIONES

Se llama transmisin a todo dispositivo utilizado para unir dos compo-nentes de un sistema mecnico, a la vez que permite una eventual modificac!nde sus variables mecnicas, tales como direcion y magnitd de velocidades,fuerzas y momentos_

En la figura 1.11 se muestra una transmisin usada para unir dos ejes enrotacin. Consiste esencialmente de un eje de entrada E, que gira con una velocidad angular wE transmitiendo un par ME; Y de un eje de salida S, quetransmite un par Ms con velocidad angular w s '

Con el fin de describir el comportamiento mecnico de una transmisin, ,se introducen a continuacin dos parmetros:

M~ E

We

w,S ~.

(1.1)

Figura 1.11 Esquema de una transmisin.

1.2.1 Relacin de transmisin: n

Este parmetro adimensional viene definido por la relacin entre las magni-tudes de las velocidades angulares de los ejes de salida y entradarespectivamen-te. Denotando por n a la relacin de transmisin se tiene:

In =:; IEn general, la relacin de transmisin es un parmetro variable que dependede la geometra y naturaleza de la transmisin .

.. A continuacin se indican algunos tipos de transmisiones:

a) Acoplamiento directo (figura 1.12): En este caso el eje de salida estrgidamente unido al eje de entrada. Se tiene entonces que n =1.

Figura 1.12.


b) Engranajes (figura 1.13): La conexin entre los ejes de entrada y sa-lida se logran mediante ruedas dentadas. En el captulo 2 se demostrarque esta transmisin es cinemticamente equivalente ala generada pordos discos en contacto que ruedan sin deslizar alrededor de los ejesE y S. Los radios rE y rs de los discos son llamados radios primitivosde los engranajes de entrada y salida respectivamente.

Dado por sentado lo expuesto anteriormente, la condicin de roda-dura permite escribir que

por lo que la relacin de transmisin es constante a igual a

n ~ ;:] ef> 0J~- tt 1E

Figura 1.13.

e) Transmisin por correas (figura 1.14): La conexin entre los ejes deentrada y salida se logra a travs de dos poleas de radios rE Y r s uni-das entre s mediante una correa flexible. Bajo la hiptesis de que lacorrea no desliza sobre las poleas, la relacin de transmisin en estecaso es tambin constante e igual a

Figura 1.14.

Ecuacin fundamental de los sistemas mecnicos 25

1.2.2. Eficiencia de la transmisin: 1)

En general, el efecto de las resistencias pasivas inherentes a un dispositivo detransmisin, tales como friccin, viscosidad, etc., provocan una disipacinde la energa mecnica transmitida en la forma de calor. Como medida de laintensidad de la disipacin se introduce un parmetro,llamado eficiencia dela transmisin: 1],que relaciona la potencia mecnica en el eje de salida Ps conla potencia mecnica en el eje de entrada Pe' esto es

(1-2)

Una transmisin se califica de ideal cuando '1 = 1, esto es cuando la energamecnica que fluye a travs de ella se conserva.

Como el mecanismo de disipacin de energa mecnica depende de ml-tiples y complejas variables, en la prctica se determina el valor del parmetroadimensional'l por medios experimentales.

La relacin entre las magnitudes de los pares en los ejes de salida y entradade una transmisin puede evaluarse directamente en funcin de los parmetrosn y 'l. En efecto, recordando que

(1-3)

esto es, la potencia transmitida por un eje viene dada por el producto del parque transmite y su velocidad angular, las expresiones (1-1) y (1-2) permitenescribir

1:; = 1n '11 (1-4 )Finalmente el lector debe observar que las definiciones (1-1) y (1-2) son inde-pendientes de la posicin relativa de los ejes de entrada y salida.

1.3 ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMASMECANICOS ROTATIVOS

A continuacin se establecer la ecuacin general que rige el comportamientodinmico de los sistemas rotativos. Con este fin considere un dispositivo motor que se conecta con una carga mediante una transmisin, de manera tal quela configuracin de los ejes conductor y conducido sea arbitraria, tal comosugiere la figura 1.15.


I11

, IE i

',:'1' T,"fl'misin,1\

Figura 1.15.

De acuerdo alos sentidos de rotacin indicados en la figura 1.15 se pucdenconstruir los "semidiawamas de cuerpo libre" (figura 1.16) para los ejesconductor y conducido. Suponga que estos ejes son rigidos

Figura 1.16

en donde

l m ,l, representan los momentos de inercia polares de todas las masasasociadas al eje motor y al eje conducido, respectivamente.

Mm, M, representan las magnitudes del par de carga y del par motor.Observe que en la figura se han orientado estos pares en formaconsistente con los sentidos de rotacin de los ejes correspondientes.

ME, M. representan las magnitudes de los pares de entrada y salida,respectivamente, de la transmisin


Al aplicar las ecuaciones de Euler para la rotacin de un cuerpo rgidoal eje motor y al eje de la carga se obtiene, respectivamente

,

dW mdt (1.5 )

(1.6)

Ahora bien, estas ecuaciones no son independientes ya que estn relacionadasentre s mediante los parmetros de la transmisin

r = WcWm

(1.7)

1 M.-r=-n ME

(1.8)

El conjunto de ecuaciones 1.5, 1.6, 1.7 Y 1.8 describen el comportamientodinmico del sistema en estudio, y en particular permiten reducir el sistemamulti-eje dado por uno ms sencillo. En efecto, de 1.7 Y 1.8 se tiene

W c = n Wm

y al sustituir en (1.6)

M. = .!L MEn

1r-ME -Mc(nw ) =/cnn . m

dwm

dt

y al eliminar ME entre esta ltima expresin y 1.5 se concluye que:

2+--1L )r c

dW mdt (1.9)

Esta es la llamada ecuacin fundamental del sistema mecnico referida al ejemotor, la cual expresa que todo sistema mecnico rotativo puede reducirse aun sistema de un solo eje que gira con la velocidad angular del eje motor W m :cuyo momento de inercia, llamado momento de inercia equivalente del sistemareferido al eje motor viene dado por

(1-10)


y sobre el cual se aplica un par de magni tud

n

l)

llamado par aceleran te del sistema.La figura 1.17 resume lo expuesto anteriormente

Ma

Figura 1.17,

Las expresiones 1.10 y 1.11 permiten establecer las siguientes reglas .;c.-L''''transferencia de momentos de inercia y pares desde el eje conducido 11Meje motor:

a) Todo momento de inercia en el eje conducido se refleja en el eje rnafectado por el factor n2/7), siendo n y l) los parmetros de redy eficiencia de la transmisin, respectivamente.

b) Todo par aplicado sobre el eje conducido se refleja sobre el eje roafectado por el factor n/l), siendo n y l) los parmetros de la trans .

Al aplicar la regla (b) el lector debe prestar atencin al carcter motor o.tente del par que pretende reducir, ya que ste se debe conservar despllC:5realizada la reduccin.

El criterio de reduccin expuesto anteriormente genera un sistema nequivalente al sistema dado no slo desde el punto de vista de la segun -universal de la mecnica (anlisis de momentos) sino desde l de la tley universal (anlisis de energa), tal como se verificar a continuacin: ees sabido la ecuacin de la energa para un sistema rgido en rotacindado por

(W Mwdt = (t PdtJw o Jto

o equivalente, al derivar con respecto al tiempo

P=lwOl

siendo P la potencia genel!llda por los pares aplicados al sistema, mientra> _w y Ol representan, respectivamente, la velocidad y aceleracin angular dri_


Aplicando 1-12 a los ejes motor y conducido del sistema mecnico seobtiene respectivamente:

=1 w 01.m m m

=le W e OI.e

siendo: Pm = lW m W m , PE = ME W m , Ps = Msws Y Pe = Alew e.Recordando que: Ps = 11 PE, las dos ecuaciones anteriores pueden combinarseentre s para obtener

o equivalentemente

Las expresiones 1.10 y 1.11 permiten escribir la ecuacin anterior en laforma

lo que demuestra la equivalencia entre el sistema original y el sistema reducidodesde el pun to de vista de la tercera ley universal de la mecnica.Ejemplo 1.2: Tiempo de arranque de un sistema mecnico rotativo

Un motor de caracterstica J\1 m (w m) acciona una carga de caractersticaMe (we ) a travs de una transmisin de parmetros n y 11. Se desea calcular eltiempo requerido por el motor para llevar la carga desde el reposo hasta lacondicin de rgimen permanente.

Con el fin de responder a la pregunta formulada suponga reducido el sis-tema al eje motor. De acuerdo a los resultados del prrafo anterior, el comportamiento dinmico del sistema est gobernado por la ecuacin

(a)

siendo W la velocidad angular instantnea del eje motor,

,\le (w)n= .\1", (w) -r Me (n w) el par acelerante, ('

112+ - le11

el momento de inercia equivalentedel sistema


Al arrancar el sistema, la velocidad del eje motor empieza a aumentardesde cero hasta alcanzar el valor Wo para el cual cesa la accin aceleradora.Esta es la llamada velocidad de rgimen del sistema.

Se tiene as que la velocidad de rgimen W o viene determinada por laecuacin

nM. (wo ) = Mm (wo)- -:; Me (nwo) =

Lcorresf!~nde al punto de~ntersgcinde curvas caractersticas del motor ydela carga, reducida esta r tIma al e'e motor (figura 1.18).

Deacuerdo-a (a) el tiempo de arranque t viene dado por

le [O dw (e)tM. (w)

M~ M e (1Jw)

j

Mm(w)

w

Figura 1.18.

Con relacin a esta expresin, el lector debe observar que la integral esimpropia, consecuentemente el tiempo requerido para alcanzar la condicinde rgimen permanente es infinitamente grande. Desde el punto de vista prc-tico, se define el tiempo de arranque a aquel que requiere el sistema para llevarsu velocidad angular desde cero hasta un valor vecino a W o escogido convenien-temente. Se tiene as que:

siendo usualmente

dw(d)

0,95";;; < 1

Ejemplo 1.2.Como aplicacin numrica considere el caso del accionamiento de un venti-lador centrfugo mediante un motor trifsico de induccin a travs de unatransmisin de engranajes de parmetros n = 1/2 Y1/ = 0,9.


Las caractersticas de los dispositivos motor y conducido, referidas a lavelocidad de rotacin de cada mquina se indican en la figura 1.19.

Se desea evaluar el tiempo requerido por el sistema para alcanzar el90% de la velocidad de rgimen. Suponga despreciable las inercias de la transomisin, I m =3 kg'm 2 , le =4.5 kg o m2

Ventilador

Figura 1.19.

SolucinEn primer lugar se proceder a reducir la caracterstica de la carga al eje mo-tor. En la figura se muestran sucesivamente las curvas

Me (nw),y, ; Mc (nw),conn=t,T)=9

La in terseccin de las curvas Mno (w) y .!:! Me (n w) corresponde al puntor

de rgimen permanente. De la figura 1.20, se tiene entonces quewo =1780 rpm.

En la figura 1.21 se muestran grficamente las funciones

1Me (w), y I Me (w)

M [Nw no]6U

40

20

w{rpm)~

1800

Figura 1.20.

n


---------20

10

O 400 800 1200

w

Figura 1.21.

De acuerdo a los datos del problema se tiene que

El tiempo de arranque t*, con = 0.9, vendr dado por la expresin (d)

)

1600t* = le

o

dwM.(w)

(e)

Evaluando la integral numrica o grficamente* se nene que

por lo que

dw---=M.(w)

4,69 1

t* 19,93 seg '" 20 seg

En las aplicaciones es frecuente encontrarse con cargas q ~ l'C

*En este ejemplo se aplic la regla de Simpson usando 16 sub-intervalos. Obscn.-y que b m~~senta el rea encerrada por la curva lIMa Y el eje W, entre los puntos w=O y W=f"-b.


Ejemplo 1.3El motor de combustin interna, cuya caracterstica se muestra en la figura1.22, se acopla a una transmisin variable de cuatro etapas cuyos parmetosse muestran en la tabla

Etapa n 11Primera 0,25 0,93Segunda 0,39 0,95Tercera 0,63 0,~7Cuarta 1,00 1,00

w

'Pm

1000 2.000 3.000

G4Gs

G2 GI...... -.....- ~

M (Nw' m)

O'----:-:::----::=---::-;~..

200

100

'00

E

ElSs S2 SI

Figura 1.22.

Solucin.

a) Descripcin de la transmisin. En la figura 1.22 se muestra esquem-ticamente una transmisin variable de cuatro etapas en su posicinneutra. Bsicamente est constituido por tres ejes:

El eje de entrada E, al cual se fija el engranaje El. El eje auxiliar, al cual se fijan los engranajes Gl, G2, G3 Y G4. El eje de salida S, los engranajes Sl, S2, y S3 giran con este eje y

estn montados sobre ranuras para permitir su desplazamiento late-ral a voluntad de un operador.


El funcionamiento de la unidad es como se indica a continuacin:Tanto el eje de entrada como el eje auxiliar siempre estn rotando,ya que los engranajes El y G4 estn siempre acoplados. Existencinco posibles etapas de movimiento para el eje de salida, depen-diendo de la posicin ocupada por los engranajes S 1, S2 YS3.

Posicin neutral. Corresponde a la indicada en la figura. En ella eleje de salida est desacoplado y en consecuencia no hay transmi-sin de movimiento

= O

Primera posicin: En este caso el engranaje S 1 se desplaza haciala derecha para acoplarse con Gl, as la potencia fluye del ejede entrada al eje auxiliar a travs del acoplamiento de El y S4 Ydel eje auxiliar al eje de salida a travs del acoplamiento de G1Y S1. Los parmetros de la transmisin correspondientes a estaposicin son

, y 111

siendo rx el radio primitivo de la rueda X. Segunda posicin: En este caso el engranaje S2 se desplaza hacia

la derecha para acoplarse con G2. Los parmetros de la transmi-sin son

= ~ Y1]r ' 2S2

Tercera posicin: El engranaje S3 se desplaza hacia la derechapara acoplarse con G3 se tiene entonces

=

Cuarta posicin: La rueda S3 se desplaza hacia la deredla paralograr una conexin directa con el eje de en trada. En este casose tiene

= 1 1]4 ~ 1


De acuerdo a lo anteriormente indicado, seleccionando adecua-damente las dimensiones de los distintos engranajes se obtienen va-lores apropiados para la relacin de transmisin en cada etapa_ Enparticular, en el ejemplo que se est considerando se tiene

ni = 0,25 ; n2 = 0,39 ; n3 = 0,63 ; n4 = 1,00

b) Determinacin de las caractersticas de salida de la transmisin. Deacuerdo a las expresiones 1.1 y lA el par y la velocidad de salida de latransmisin viene dada por

M=...!L M, n E

en donde r y n represen tan los parmetros correspondien tes a una po-sicin de la transmisin, mientras que M E Y w E vienen dados por lacaracterstica del motor.

Aplicando las expresiones anteriores para cada una de las posicionesde la transmisin se obtienen las cuatro curvas que se muestran en lafigura 1.23, las cuales representan la caracterstica del conjunto motor-transmisin.

Observe que el par mximo del conjunto es 3.72 veces mayor queel par mximo entregado por el motor directamente (en este caso par-ticular la curva caracterstica del motor coincide con la curva corres-pondiente a la cuarta posicin.)

M, (Nw-m)

100

80

60

400

200

... Primera

\'"'---SegWl.C1a

OL_~1;-0l;0"'0---;2oiooi


Tambin el conjunto es susceptible de funcionar a velocidades bajas,del orden de la 125 rpm. La tabla 1.1 muestra algunos puntos de lacaracterstica de salida del conjunto

Tabla 1.1

Motor Cuarta Tercera Segunda Primera

w", Mm W4 M4 W, M3 W, M, W M

500 260 500 260 315 400 195 633 125 9671000 280 1000 280 630 431 390 682 250 10421500 280 1500 280 945 431 585 682 375 10422000 270 2000 270 1260 416 780 658 500 10042500 230 2500 230 1575 354 975 560 625 8563000 190 3000 190 1890 292 1170 463 750 707

1.4 EFECTO DE VOLANTE EN SISTEMAS MECANICOS

Como es sabido, el comportamiento de un sistema mcanico rotativo est re-gido por la ecuacin fundamental

dwdt (1.13 )

en donde Mm, Mc e 1 representan los pares motor y resistente, y el momentode inercia total del sistema, reducidos al eje que gira con velocidad angular w.De acuerdo a 1.13 la condicin de rgimen permanente se alcanzar cuandoel par aceIerante sea nulo, esto es, cuando Mm =Me' Tal situacin se presenta,entre otros, en los siguientes sistemas .

Motor elctrico accionando una bomba centrfuga. Turbina a gas accionando un generador elctrico.

En una variedad de aplicaciones, sin embargo, la cO:ldicin de operacinde un sistema mecnico no corresponde precisamente a un rgimen perma-nente ya que debido a la naturaleza del dispositivo motor o/y del ciclo de tra-bajo de la carga, el par motor no se ajusta en cada instante al requerido por lacarga, obtenindose Wla variacin cclica para los pares motor y conducido,tal como se sugiere en la figura 11. 24. En tales casos se dice que el sistemamecnico est animado de un rgimen perdico, del perodo T

La ecuacin fundamental del sistema permite establecer las siguientescondiciones de acolJlamiento IJara un sistema mecnico en rrimen IJerdico.

a) En un ciclo, los valores medios del par motor y del par de la carga,reducidos a un mismo eje, son iguale~

Efecto de volante en sistemas mecnicos 37

En efecto, integrando 1.13 durante un ciclo completo'

(t+

1

T

) (Mm -Me)dt = 1 [w (t + T) -w (t)] = O

de donde

1 ('+ TT), Mm dt

o equivalentemente

=

Siendo Mm y Me los valores medios por ciclo de los pares motor y re-sistente, respectivamente

b) En un ciclo, la energa mecnica entregada por el motor es igual ala energa mecnica requerida por la carga, siempre y cuando am-bos elementos hayan sido reducidos al mismo eje.*

En efecto, multiplicando ambos miembros de 1.13 por w e integran-do durante un ciclo, se obtiene

~I+T )'+T

Mm wdt - .1 '1

quedando demostrada la propiedad.

Me wdt = O

En la figura 1.24 se muestran las caractersticas del elemento motor yde la carga, reducida a un mismo eje, de un sistema mecnico animado de r-gimen peridico.

En tales sistemas, aunque la energa total entregada por el motor y la requerida por la carga son iguales en cada ciclo, las tasas instantneas de sumi-nistro y de demanda de energa son diferentes. Durante una o varias porcionesdel ciclo el par motor es mayor que el par de la carga (en la figura 1.24, losintervalos AB, eD y EF), suministrndose al sistema ms energa que la reque-rida, por lo que la velocidad aumenta hasta que el exceso de energa se trans-forma en energa cintica. Durante el resto del ciclo, la carga requiere m".energa que la suministrada directamente por el motor, consecuentemente ladiferencia es compensada por la energa cintica almacenada, lo que equivalea una reduccin en la velocidad del sistema.

Observe que los valores reducidos del par motor y del par de la carga toman en cuenta la eficiencia dela transmisin.


Finalmente los puntos de corte de las curvas caractersticas del motor yde la carga corresponden a los valores estacionarios de la velocidad angular delsistema.

Con el fin de visualizar la transferencia de energa antes descrita, en lafigura 1.24 se presenta un diagrama cualitativo de fluctuacin de la velocidadangular del sistema. Para construir este diagrama se integr la ecuacin 1.13entre dos instantes arbitrarios tI Y t 2 , obtenindose

(1.14)

El incremento experimentado por la velocidad angular de un sistemamecnico rotativo en un intervalo de tiempo es igual al rea encerrada por lascurvas caractersticas del motor y de la carga en el correspondiente intervalo,dividido por el momento de inercia total del sistema.

M

~~~-_._-----

A e D E F GI I I I rw t

wmx II

,..J,m'n

A

Figura 1.24 Par motor y par resistente para un sistema en rgimen peridico, con su co-rrespondiente diagrama cualitativo de fluctuacin de velocidades.

Una consecuencia de la expresin 1.14 es que, en un sistema de elemen-tos motor y conducido dados, cuanto mayor sea el momento de inercia equi-valente del sistema tanto menor ser la mxima fluctuacin de velocidad. Poresta razn, en muchas aplicaciones se introduce intencionalmente un rotor,solidario a uno de los ejes del sistema, con un momento de inercia tal queasegure que las fluctuaciones cclicas de velocidad se mantengan dentro delmites apropiados. Este rotor es llamado volante, y el efecto que produce:


el de acumulador de energa, es llamado efecto de volante. Algunos ejemplosde sistemas que requieren volantes son:

Generador elctrico accionado por un motor de combustt,"n interna.En este caso la funcin del volante ser la de garantizar una fluctua-cin mnima en la velocidad del sistema.

Prensa mecnica accz'onada por un motor elctrico. En este caso elvolante permitir utilizar un motor relativamente pequeo para cum-plir con los requerimientos de la carga.

Problemas de volantes

Caso 1. Cargas intermitentes

En una gran variedad de sistemas mecnicos, tales como prensas, punzonado-ras, etc., el trabajo til se produce durante una fraccin pequea del ciclo deoperacin. La mayor parte de la energa requerida es tomada de! volante, yslo una pequea porcin es suministrada directamente por e! motor. Durantee! resto de! ciclo e! motor suministra progresivamente la energa utilizada alsistema, la cual se va acumulando en e! volante y otras partes rotativas, hastaalcanzar e! nivel que se tena antes de! ciclo de trabajo. As, en este tipo deproblemas la provisin de un volante permite distribuir la energa requeridapor la carga durante todo e! ciclo de operacin permitiendo la utilizacin deun motor de menor capacidad.

A continuacin se presentan dos ejemplos que ilustran e! clculo de estetipo de volan tes:Ejemplo 1.4En la figura 1.25 se muestra esquemticamente una mquina punzonadoraconstituida por un motor elctrico que acciona un volante mediante una trans-misin por correas, y un mecanismo de barras deslizantes cuya corredera llevala herramienta perforadora. Durante e! ciclo de trabajo la herramienta realizala perforacin, con la consiguiente reduccin en la energa cintica del volante.

Herramienta

Acoplamiento

Engranajes

Figura 1.25.

Volante

Correa


Finalizada la perforacin el motor acelera al sistema hasta que se recu-nera el estado inicial en la velocidad del sistema, reinicindose el ciclo.

Datos Parmetros de la transmisin por correas.... .nl = 0,22 '71 = 0,94 Parmetros de la transmisin por engranajes . .n. = 0,14 '7. = 0,96El accionamiento se logra mediante un motor de induccin de gran desli-

zamiento, con una velocidad de sincronismo de 1500 rpm, y cuya caracters-tica se muestra en la figura 1.26: Mximo deslizamiento permisible, medidoen el eje motor: 17% de la velocidad de sincronismo; velocidad nominal delmotor 1425 rpm.

1.5 '--1.7

2.0M

M pQ

tUs . .. . velocidad de sincronismoMP' ., par de placa

0.5

I1.0 L _

IIi ~

0.83~ w,'-- -+_~-'L.->__.L....\_ -

0.7 0.8 0.9 1.0

Figura 1:26

Mecanismo porta-herramienta:

Longitud de la manivela Longitud de la biela Eficiencia del mecanismo

T = 5 cm1= 50 cm

"173 = 0.93

Del diseo del mecanismo es sabido que la mxima fuerza permisibleactuando sobre el pistn porta-herramienta es P m

r

~tulo 2

NSMISIONES

;LRALIDADES

o fuera indicado en el captulo 1, se llama transmisin a todo dispo-rilizado para unir dos componentes de un sistema mecnico. En este

.::I!;':'".}o se proceder a analizar el comportamiento mecnico de las transmi-mue ejes en rotacin.~ su funcionamiento se clasifican las transmisiones en dos grandes

=~~ri'as:

Transmisiones permanentes: tal como lo sugiere su nombre son aque-llas transmisiones que establecen una conexin permanente entre losejes. Tal es el caso de los acoplamientos rgidos y flexibles, transmi-siones hidrulicas, correas, engranajes, ... etc.

~ Embragues: esta categora corresponde a los acoplamientos tempora-es, utilizados para conectar o desconectar ejes a voluntad de un ope-

rario externo. Como ejemplos se tienen los embragues de dientes, defriccin, hidrulicos, centrfugos, etc.

ACOPLAMIENTOS RIGIDOS

:>quellos acoplamientos que por su construccin no permiten ningn grado- xibilidad angular, axial o rotacional entre los ejes vinculados. Consecuen-eme se les utiliza para acoplar ejes colineales.

65

66 Tnnsmisiones

2.2.1 Acoplamientos de brida

Tal como sugiere la figura 2.1, las bridas colocadas en los extremos de los ejesse fijan entre s mediante tornillos, luego la transmisin se logra mediante fric-cin entre los platos apretados pur los tornillos, o simplemente por corte enlos tornillos.

Figura 2.1 Acoplamiento de brida.

2.2.2 Acoplamientos de collar

Consiste de un collar cilndrico que se ajusta a presin con los ejes a conectar,y asegurados mediante tornillos para prevenir su deslizamiento (figura 2.2).Esta categora de acoplamientos es muy sencilla y de bajo costo, y su nicoinconveniente es que requiere que los ejes a conectar estn perfectamente ali-neados para evitar esfuerzos de flexin severos y el desgaste excesivo de loscojinetes.

Figura 2.2 Acoplamiento de collar.

2.3 ACOPLAMIENTOS FLEXIBLES

Dentro de esta categora se encuentran aquellos acoplamientos susceptiblesde experimentar cierto grado de movilidad, tal como excentricidad entre losejes, desplazamiento axial o angular de los ejes, angularidad entre los ejes, etc.

2.3.1 Acoplamiento de material elstico

Tal como indica la figura 2.3, el acoplamiento entre los dos ejes se logra mediante una pieza de material elstico (neopreno, tefIn, .. ) permitindose asun alto grado de movilidad.

..+-r%3,Matenal elastlco---

Figura 2.3 Acoplamiento de material elstico.

Acoplamientos flexibles 6"7

2.3.2 Acoplamiento de Oldham

Tal como sugiere la figura 2.4, el acoplamiento se logra a travs dc un discoque lleva solidario dos guas diametrales, una en cada una de sus caras, per-pendiculares entre s, de manera que cada gua calza en las ranuras practica-das en las bridas de los ejes de entrada y salida.

El diseo de este dispositivo permite pues acoplar dos ejes paralelos nocolinealcs, e independientemente de la excentricidad existente el conjunto gi-ra con una velocidad angular nica.

9(

Figura 2.4 Acoplamiento de Oldham.

2.3.3 Acoplamiento de Hooke

r

..

w,

Este acoplamiento consiste fundamentalmente en un miembro cruciforme yrgido AA 'OBB' que se articula a los ejes de entrada y salida, y cuyos brazosAA' Y BB' son perpendiculares entre s. Esta disposicin permite acoplar ejesque se cortan en el punto O (centro de la cruceta) (figura 2.5). -'i'

. Ao /B'o

Figura 2.5 Acoplamiento de Hooke.

Anlisis cinemtica:

A continuacin se proceder a detem1inar la relacin de transmisin en unacoplamiento de este tipo: Con este fin se definen los siguientes vectores uni-tarios (figura 2.6):


e) La perforacin se produce al final de la carrera de avance de! pistn.d) Aunque e! diagrama fuerza de corte-penetracin de! punzn depende

de muchos factores tales como la ductilidad de! material, forma yuso de la herramienta, etc., se supondr una variacin parablica, talcomo se indica en la figura 1.27.

Fmxr------':.cc:=-_F

Penetracindel punzn

Figura 1.27.

SolucinEn primer lugar se proceder a reducir e! subsistema constituido _por las dostransmisiones y e! motor, al eje de! acoplamiento. Par ser ste el eje conducido,en cada etapa de la transmisin e! par motor se ver afectado por e! factor71/n, mientras que e! momento de inercia lo ser por e! factor 71/n2 . Consecuen-temente se tiene que e! par motor reducido viene dado por

M* = Mm .!l!.., 712m. n, n2 (a)

mientras que e! momento de inercia equivalente es

(b)712+ Iv=

Figura 1.28.

siendo Iv e! momento de inercia de! volante.Consecuentemente e! subsistema considerado se puede representar como

se indica en la figura 1.28, siendo Me e! par resistente medido en e! acopla-miento.


Se tiene pues que e! comportamiento dinmico de! sistema est regidopor la ecuacin diferencial

1 dUlL-= M* - M~ dt m e (e)

Ahora bien, dado que una integracin directa de esta ecuacin es muycompleja (por e! lgebra involucrada y e! tiempo requerido), se proceder aresolver e! problema aproximadamente. Con este fin se multiplican ambosmiembros de (e) por w, y se integra la expresin resultante entre dos posicio-nes de! sistema: A y B, obtenindose:

12

esto es

(d)

siendo (e;;' )A B Y (ee)A B la energa entregada por el motor (medida en e! ejede la carga) y la requerida por la carga en e! intervalo AB, respectivamente.

Determinacin de la potencia del motor

Particularizando (d) para un ciclo completo, se tiene

(e)

A continuacin se, proceder a evaluar cada tnnino.

a) Energa requerill por la carga, por ciclo

De acuerdo a la hiptesis (d), la fuerza de perforacin depende de lapenetracindel punzn segn una ley parablica. Se tiene entonces que

siendo e el espesor de la placa a perforar; Fmx la fuerza mxima de perforacin, y 113 la eficiencia del mecanismo porta.herramienta.

En general F m% se puede calcular a travs de la expresin

F m% = 11" de T,


siendo d el dimetro de la perforacin y T f el esfuerzo cortante en el puntode fluencia. Sin embargo, en este problema se proporciona directamente el va-lor mximo de F permitido por el mecanismo, el cual corresponde a la fuerzarequerida para perforar huecos de dimetro mximo en una placa de materialy espesor dados:

Fmx = 39.000 kg

Sustituyendo en (f) se obtiene

2 (g)

b) Energa entregada por el motor, por ciclo

De acuerdo al enunciado del problema, el punto P en la curva caractersticadel motor corresponde al punto de placa. A partir de este punto se inicia laperforacin, por lo cual la velocidad del motor se reduce hasta alcanzar unpunto Q para el cual el deslizamiento es igual al 17% de su velocidad de sin-cronismo. Se tiene as que

= 0,17 ws

de donde

= 0,83 w = 1245 rpms

siendo el correspondiente par, de acuerdo a la grfica

(h)

(i)

Alcanzado el punto Q (punto final de la etapa de perforacin), el motorse acelera retornando al punto P, reinicindose el ciclo.

Conclusin: Durante un ciclo la velocidad angular del motor vara entre

1425 rpm y 1245 rpm

mientras que el par motor vara entre

~----

y


Dado que una evaluacin directa de (e;:'. )ciclO es en general complicada,pues se requerira determinar la dependencia de W c con el tiempo, se proce-der a estimar su valor. Aplicando el teorema del valor medio del clculo inte -gral a la expresin

se obtiene

f=Jciclo

M* w dtm e

(e:r )ciclo =!>i* J w dt = 2 l' M*m e mciclo

siendo M': un valor intermedio del par motor medido ~n el eje de la carga_Recordando (a), la expresin anterior se puede escribir como

e~ = 21' '11 '12 ,Q".nI n2

(j)

siendo Mm un valor intermedio del par motor medido en su propio eje, estoes:

Suponiendo que Mm puede evaluarse como la media aritmtica de losvalores mximo y mnimo de Mm' durante el ciclo I

se tiene que

fJm = i (M m1n + M mx ) = 1.35 M p (k)

e*m_ -,-11,,-1--=11."-2_- 2 l' X 1.35 Mp = 248.52 Mp (1)

Comparando entonces (i) y (1) se obtiene que Mp = 22 Nw-m, por loque se requiere una potencia nominal de

Nw-mseg

= 4,46 c.v.

Se selecciona un motor de 5 C.V. con un par nominal = 24,65 Nv.rm.


Determinacin de la inercia del volante

Al aplicar la ecuacln(d) durante una perforacin se tiene:

siendo (wc)f y (wC)i fo.....vafores de la velocidad angular del eje de la carga alfinalizar y al iniciarse la perforacion respectivamente.

a) Estimacin de la energa entregada por el motor durante una perfora-cin

( E *) = J Mm* w dtm p.,r e

aplicando el teorema del valor medio de la integral anterior se obtiene:

--*(dh)pnf = M ro (J p (n)

siendo M:' un valor intermedio del par motor que se supone correspon-de al promedio de sus valores extremos, esto es:

M*m

\

mientras que (J corresponde al ngulo girado por el eje de la cargap

durante la perforacin, tal como se indica en la figura 1.29.

~Ll~+e-j-

.j... di ~II I

Figura 1.29

Determinacin de (J p: observe en primer lugar que:

r rsen rfp = -1- sen (J p ,;;;

esto es:


por lo que se puede supon"r que cos


Ejemplo 1.5

En un cierto proceso, un motor elctrico acciona directamente a una carga in~termitente de tipo peridica. -

La caracterstica del motor se idealiza mediante una lnea recta en elintervalo W I < W < W2. tal como sugiere la figura 1.31; mientras que el ciclode trabajo de la carga se representa mediante un par constante de magnitudMo aplicado durante un intervalo de tiempo T, que se repite peridicamente

(figura 1.30) .Se desea determinar el tamao del volante requerido, de manera que la

velocidad del sistema se mantenga entre los lmites w, y W2' as como el tiem-po requerido por el sistema para recuperar su estado inicial de velocidad.

-

Figura 1.30

r----- ..I 'I I I

I :I ,I II ,, ,, ,I ', ,, ,, ,, ,I

Tp---+Figura 1.31

Solucin

Durante la etapa de trabajo la velocidad del eje motor se reduce de w 2 a w,tomando para ello un tiempo T. Finalizada esta etapa el sistema se acelerahasta alcanzar nuevamente la velocidad W 2 , repitindose el ciclo.

Con el fin de responder las dos preguntas formuladas se proceder a anali-zar cada etapa del ciclo por separado, utilizando para ello la ecuacin fun-damental

M - M = Im e e ...f!:...s:!...dt (a)

siendo le la inercia equivalente del sistema. Observe que el par motor puedeescribirse en la forma

en donde

a =

Mm = a-bw

M,w 2 -M 2 w,w 2 -W 1

b=M,-M2w 2 -w 1

(b)

(e)


mientras que el par de la carga ,-

[

.\l.

Me (t) = O(d)

siendo Tp el perodo del ciclo de la ca:= :.;:::===0:::>.. -;-- esteproblema resulta conveniente exp= ' ~==~5:==::. deMm' Combinando as a) y b) se obti~

1__e

b L = e)

Anlisis de la etapa de trabajo O,;; t ,;;

En este caso la ecuacin (e) se transforma en

le dMmb dt

cuya solucin general es

+ JI =

Determinando la constante K mediante la con

cuando

se obtiene

(j)

Del enunciado del problema se tiene que cuando ; = T JI = MI' esto es

.l!,Mi - Mo = (M 2 -Mo);re

Despejando l,. Y utilizando (e) se concluye que

1e Ln(Mo M 2 l Ln(Mo M)

T(g)

Efccto dc volante cn sistemas mecnicos 49

Observe que el momento de inercia calculado mediante (g) es la suma delos momentos de inercia de la carga, del motor y del volante.

Anlisis de la etapa de aceleracin T"'; t ",; Tp

En esta etapa la ecuacin fundamental (a) toma la forma

cuya solucin general es

le dMmb dt + Mm = O

La constante K puede evaluarse a partir de la condicin

M = M cuando t = Tm 1

obtenindose

-f (t-T)Mm = Mi e e (h)

La determinacin del perodo de la carga puede determinarse a partir de(h) ya que cuando t =Tp , Mm =M2 , concluyndose que

~=T 1 + M MLn (o ')

M o - MI

Caso Il Cargas continuasConsidere el caso de un dispositivo motor accionando una carga continua. Su-ponga que las caractersti s motriz y resistente son conocidas en funcin deltiempo (o de otro parmetro CI ico), y que satisfacen las condiciones deaco-plamiento descritas anteriormente.

Dado que las tasas instantneas de entrega y demanda de energa son di-ferentes, la velocidad del sistema variar de acuerdo a la expresin 1.14 dentrode ciertos lmites, esto es

W,mm~w~w_

ma.


De acuerdo a la tercera ley universal de la mecnica, la mxima variacinde energa mecnica del sistema: Emx , esto es, la energa mecnica neta en-tregada por el sistema cntre los instantes para los cuales la velocidad angularalcanza sus valores extrelllOS W , y W _ viene dada por

mln max

,

)

tmxE ,= 1M -M)wdt

max t,' m emm

(1.15)

consecuentemente, el momento de inercia equivalente requerido para que lavelocidad angular del sistema flucte dentro de los lmites w , y w ,ven,mm maxdr dado por

(1.16)

Con el fin de cuantificar la variacin de velocidad del sistema se introduce elllamado coeficiente de fluctuacin de velocidad er- definido como

ef (1.17)

l

siendo w el valor medio de la velocidad angular

W; ): wdt

A ttulo ilustrativo se indican a continuacin algunos valores tpicos de C,:

Bombas 0,05 Mquinas herramientas 0,02 Generadores 0,005 Alternador 0,002 Motores de combustin interna 0,003Tal como sugiere la tabla anterior en muchas aplicaciones el coeficiente

de fluctuacin es muy pequeo, esto es

ef < < 1


lo que equivale a decir que el sistema gira con una velocidad angular esencial-mente constante: w, luego l' j

y w mx + wmn '" 2 W

Combinando estas expresiones con 1.17 y 1.16 se obtiene

1e (1.18)

A continuacin se presentan dos ejemplos que ilustran el clculo de volan-tes para el caso de una carga continua.

Ejemplo 1.6Un dispositivo motor que gira con una velocidad angular esencialmente cons-tante de 500 rpm acciona una carga mediante una reduccin de parmetros:

n =0,5 1) = 1.00_

tal como sugiere la figura 1.32.Con el fin de garantizar un coeficiente de fluctuacin de velocidad de

C, =0,02, medido en el eje motor, se coloca un volante solidario al eje de la _carga_ .

Suponiendo que las caractersticas motriz y conducida vienen dadas por

Mm = 2500 + 675 sen 2 eMe = 5000 + 540 sen 2 e

(Nw-m)

(Nw-m)

b

siendo e el ngulo de rotacin del eje de la mquina correspondiente, calcularla inercia del volante requerido. Suponga adicionalmente que

Figura 1.32.


Solucin

Al reducir el sistema al eje motor se tiene:

Mm = 2500 + 675 sen 2 e

siendo e el ngulo de rotacin del eje motor. De igual manera

(u) I

M~ = 0.5 (5000 + 540 sen 2( ~ e) ) = 2500 + 270 sen e, (b)

ya que el ngulo de rotacin del eje de la carga es la mitad del rotado por eleje motor.

La inercia equivalente viene dada por

I = I + n 2 (1 + I ) = 7,3 + 0,25 Ie m e v u (e)

siendo Iv la inercia del volante.En la figura 1.33 se representan las caractersticas Mm y M~ referidas al nguloe.

4000

E

2000 ID I, .

1000 I78.41

0 I . o281.38

oI 90 180

270 360

\i

Figura 1.33.

en donde los puntos de corte son soluciones de la ecuacin

M = M*m e

esto es

2500 + 675 sen 2 e = 2500 + 270 sen e


obtenindose los siguientes valores:

0; 78.41; 180; 281.38; 360

De inmediato se verifica que el rea encerrada por las curvas Mm YMe *,entre dos puntos IJ 1 Y IJ2 del ciclo, es igual a la correspondiente variacin de

la energa mecnica del sistema. En efecto, recordando que w =~ se tiened t

E =r (Mm - M~) w dt = ~: (Mm -~) dIJ1

Consecuentemente, por simple inspeccin de la figura anterior se tiene que lamxima variacin de energa mecnica ocurre entre los puntos B y e (o entree yD), siendo su valor

E ouix = (ISOo

o (675 sen 2 IJ - 270 sen IJ) dIJ) 78.41

= 972Nw-m

De acuerdo a la expresin simplificada 1.18 se tiene que

luego

le = 7.3 + 0.25 Iv 9720.02 (~.~ ')2 12.31

II" = 20 kg - m 21Observe que de colocarse el volante en el eje motriz se requerira un momentode inercia cuatro veces menor, pero girando con una velocidad angular dos ve-ces mayor.

Ejemplo 1.7Un dispositivo motor acciona directamente una carga constante, de maneraque el conjunto gira con una velocidad angular esencialmente constante w.Suponiendo que el motor entrega un par

M=M (IJ)

.~,===============~-----


siendo e el ngulo de rotacin del eje del sistema, el cual es peridico (pero-do (8); y que el coeficiente de fluctuacin de velocidad es conocido

e < < 1

construir un diagrama de flujo que permita evaluar:

a) El par requerido por la carga.b) El momento de inercia equivalente del sistema.

SolucinEn la figura 1.34 se muestra el diagrama rquerido.

SI

I T.....-=---'-.-."76-,-.~

NO E> SUP SI,SUP=E

Figura 1.34.

Ejercicios 55

Observe que la mxima variacin de energa mecnica puede expresarsecomo

consecuentemente el algoritmo presentado se basa fundamentalmente en de-terminar los valores mximo y mnimo de la funcin

E(O) = ~: (M-Me) dO

para una particin del perodo de amplitud /',0.

1.5

1.1

1.2

1.3

1.41 ,.:>

1.6

EJERCICIOS

A partir de la caracterstica del motor de pistn indicado en la figura1.4 obtenga la curva potencia/velocidad angular del motor. A partir deella obtenga la mxima potencia entregada por el motor y la velocidadde rotacin del motor cuando entrega 140 c.v.Calcular el par resistente medio por ciclo requerido por la mquina ce-pilladora del ejemplo 1.1. Dibuje la correspondiente curva caracterstica,justificando su respuesta. Dibuje adicionalmente 1'1 curva de potenciacontra velocidad angular.Encontrar la ecuacin fundamental de un sistema mecnico rotativo re-ferida al eje conducido. Comente brevemente cmo se vera afectadaesta ecuacin si se toma en cuenta el efecto de la friccinReducir al eje motor cada uno de los sistemas indicados (figura 1.35).Con relacin al sistema indicado en el ejemplo 1.2, determinar la relacinde transmisin requerida: n si se desea un tiempo mnimo de arranque.Como se vera afectado su resultado si se considera un motor de grandeslizamientoConsidere un carro de l~ siguientes caractersticas:

Motor y caja de velocidades descritos en el ejemplo (1.3) Parmetros del diferencial (transmisin entre el eje de salida de la caja

de velocidades y el eje trasero del vehculo) n = 0,31 1) = 0,97 Peso del carro W = 1800 kg Dimetro efectivo de las ruedas d = 70 cm Resistencia al avance, en newtons 0,0149 W + 1,1316 y2 siendo Wel

peso del carro, en newtons, y V su velocidad en m/seg.

Si el carro parte del reposo, calcule el tiempo mnimo (mariposa total-mente abierta) requerido para alcanzar una velocidad de 90 km/hr, as


Figura 1.36

F (t)

"",bm:;,q;,:,:;;;i7PP'~';;'-

Figura 1.35

hf--1' CugaU ,}

~rrrr

I Motor

b) Accionamiento de un ascen-sor con contra~somedian-te un motor.

a) Carga accionada por unmotor mtdiantt unatransmisin por correas.

Reduccin de la transmisin: 48 Eficiencia de la transmisin: 0,75 Dimetro del tambor: 630 mm Inercia del eje motor: 4,6 kgm2 Inercia de los ejes intermedios: 16 kgm' Inercia del tambor: 640 kgm2

lB r,I I1 I

----1 I, 11 ,L"

c) Una cremallera accionadapor un motor medianteun pin.

1.8 El tambor de arrollado de una gra es accionado por un motor elctricoa travs de una reduccin de tres etapas idnticas (figura 1.37).

como la correspondiente distancia recorrida. Suponga la masa totaldel carrO incrementada en un 20% para tomar en cuenta el efecto dela inercia rotativa de los distintos mecanismos.

1. 7 En la figura se muestra un disco de inercia lA girando con velocidad an-gular constante W o J conectado a una transmisin de parmetros n y TI.Si sbitamente se acopla la salida de la transmisin con un disco de iner-cia lB' inicialmente en reposo, determine la velocidad de rotacin decada eje despus de finalizado el impacto.

Ejercicios 57

Determinar la potencia del motor cuando la gra levanta un peso de15 ton. a una velocidad de 0,12 m/seg

Figura 1.37

Suponiendo que el motor entrega un par constan te, determine el tiemporequerido para nevar la carga desde el reposo hasta la velocidad de ascenso.

1.9 Un motor de induccin clase D, de alto par de arranque y gran desliza-miento tiene la siguiente caracterstica

w/w 1.00 0.99 0.85 0.66 0.40 0.20 0.10I m

M/Mm O 1 2 3 3.3 3.2 3

siendo W m y Mm los valores nominales de W y M.El motor acciona una carga constante (que requiere un par igual al

nominal) bajo condicioncs permanentes cuando el voltaje de la red caesbitamente en un 50% y permanece as por 0.6 seg. hasta que se recu-pera el voltaje nuevamente.

Se desea saber si el motor se para debido a la cada de tensin. Si larespuesta es negativa, determine el tiempo requerido por el motor paraalcanzar nuevamente su velocidad de rgimen.

La inercia del conjunto es tal que se requieren 1,2 seg para nevar elsistema desde el reposo hasta la velocidad nominal cuando se le aceleracon un par constante igual al nominal.

El par entregado por un motor de induccin es proporcional al cua-drado del voltaje de su armadura.

58 Sistemas meclnicos

1.10 En instrwnentacin es frecuente encontrarse con sistemas mecnicos enlos que la inercia de la carga es prcticamente despreciable, y la nicafuncin del elemento motor es lograr un movimiento del eje de salida,venciendo por supuesto la resistencia debido a la friccin. En este tipode problema resulta pues importante disear la transmisin de maneraque, sin modificar la relacin de transmisin total, el momento de inerciadel tren referida el eje motor sea mnimo.

Considere una transmisin de engranajes de dos etapas, de manera quelas ruedas motrices en cada escaln sean idnticas. Verifique que, parauna relacin de transmisin total n, la relacin entre el momento de iner-cia de la primera rueda motriz es mnima cuando

6 42 ni + n 2 ni - n 2 =o

siendo ni la relacin de transmisin para la primera etapa de la reduccin.Considere que el momento de inercia de un engranaje es proporcional

a la cuarta potencia de su radio primitivo. Represente entonces la relacinmomento de inercia del tren/momento de inercia de la primera ruedaconductora cn funcin de la relacin de transmisin total, y compare conel caso de una transmisin de una sola etapa.

1.11 Calcular la variacin de velocidad que experimenta la mquina punzonadora descrita en el ejemplo 1.4 cuando se la utiliza para perforar agujerosde 2 cm de dimetro en una placa de acero de un centmetro de espesor.Suponga que en el lmite de fluencia.

T = 30.000 Nw/cm 2

1.12 Obtenga un programa Fortran que permita resolver el ejemplo 1.4. Coneste fin suponga que la caracterstica del motor puede ser asimilada a unalnea recta.

1.13 Un motor cuya caracterstica viene dada por una expresin del tipo

Mm = a -b w 2

acciona una carga cuyo ciclo de trabajo, expresado en funcin del angulode rotacin de su eje: e, se indica en la figura 1.38.

..-~I II II II II II I

I :I I

e8 p

.~e

M2f-------+----~

Mll-----~"

L- ...L -'_-t_ W

(,JI ~ ~:~.~------Figura 1.38. e

Ejercicios 59

Determine el ngulo rotado por el eje del sistema entre dos operacio-nes consecutivas~ as como el tiempo transcurrido entre ellas.

1.14 Un motor cuya caracterstica viene dada por

M = 1600 + 300 sen20 (Nw-m)m

siendo O el ngulo de rotacin de su eje, acciona directamente una cargaque ofrece un par resistente

Me = 1600 + 170 senO (Nw-m)

Si la mxima velocidad angular del sistema es de 200 rpm, determinan

a) el coeficiente de fluctuacin de velocidadb) la potencia media desarrollada por el motor

La inercia equivalente del conjunto es le = 50 kg m 2

1.15 En la figura 1.39 se muestra un motor diesel accionando un generadorelctrico a travs de una reduccin ideal (n = 0.25,1/ = 1,00). Medicioneshechas sobre el sistema indicado muestran unas variaciones cclicas en suvelocidad de 1.22 rpm cuando el motor gira a su velocidad nominal de250 rpm. Ahora bien, las especificaciones del generador establecen quepara un funcionamiento adecuado el coeficiente de fluctuacin no debeser mayor de un 0.02% por lo que se debe modificar los requerimientos

. de volante del sistema.

,-----, Volante Transmisin

Moto' ~.---~ f- Carga

J~;m;;;.~,,.,. r 7;:- ,., ",l;;;;;;;;;;;J"..

Figura 1.39.

Analice las dos alternativas siguientes, y establezca conclusiones

a) aadir un volante solidario al eje del generador.b) incrementar el tamao del volante del motor.

1.16 Considere un sistema constituido por un motor~ un volante y un genera-dor elctrico acoplados directamente.

El generador, que se utiliza para suministrar potencia elctrica a un

molino, absorbe 750 Kw del eje del volante durante un perodo de 10seg y 60 Kw durante los prximos 5 segundos, despus de los cuales serepite el ciclo.


Sabiendo que el motor entrega una potencia constante, y que las velo-cidades mximas y mnimas del eje son 500 y 400 rpm, calcular:

a) la inercia del volante requerido.b) expresiones para la velocidad del sistema en funcin del tiempo, ca

rrespondientes a las etapas de aceleracin y desaceleracin.

1.17 La figura 1.40 muestra una idealizacin de la curva caracterstica de unmotor en combustin interna de cuatro tiempos, monocilndrico, quegira a una velocidad esencialmente constante de 1.200 rpm.

M(Nw m)500'!--'----'--,

400

300

200

100 ,-f-~~_+~-+~+~_+_'~+-~~__,-,(' )

I540

I360

I180-200

-100

Figura 1.40

~ '" t,,;V) Determinar la potencia del motor. ,-~ ti~ w ," 0". 'tlT b) Determinar la inercia equivalente del sistema requerida para accionar

una carga constante con un coeficiente de fluctuacin de 0.1 %.e) Resolver de nuevo el ejercicio suponiendo que el motor posee 4 cilin-

dros del tipo descrito y cuyas carreras tiles (carreras de potencia) estndistribuidas uniformente sobre el ciclo.

1.18 En la figura 1.41 se muestra esquemticamente una mquina de elevacinusada para desplazar una carga verticalmente.Suponiendo que

A

DispositivoMotor

Mm (NW'm)

1600r-------,

Figura 1.41. ,

'---------'-_W'" ('1'm)240

Ejercicios 61

Radio del tambor D 30 cm Radio polea B 30 cm Masa polea B. .................. 12 kg Carga til (W) 10.000 Nw

lomentos de inercia:

Eje motor .Ion =13,25 kg m 2 Polea B /B =1.00 kg m 2

se desea saber:

a) elementos de reduccin del sistema al eje motor.b) ticmpo requerido para llevar la carga desde el reposo hasta la velocidad

de rgimen.

1.19 Un motor de caracterstica conocida (ver figura 1.42) acciona una cargaconstante mediante un acoplamiento rgido de manera que el conjuntofunciona bajo un rgimen peridico con velocidad media de 600 RPM.

Se desea saber si el montaje cumple con la siguiente especificacindada por el fabricante de la mquina conducida "la mxima desviacinpermisible en la velocidad angular del eje de la mquina, referida a suvelocidad nominal, es de 0.5 RPM".

La inercia equivalente del conjunto es de 1.00 kg m 2

8120480

Figura 1.42.L\ \

240

Mm(Nw-m)

"-

---._-i ,

::;~ I I I I ,----1I 1 I

!1 I

' II I

1

I,

I IIIIi I

o o o

18

20

22


1.20 Un motor de combustin interna, cuya caracterstica se seala en la figu-ra 1.43, b se utiliza para accionar una carga a travs de un reductor de ve-locidades.

Sabiendo que la carga requiere una potencia de 10 C.V., Y que la efi-ciencia del reductor es 1] = 95% , calcular la velocidad angular a la quedebe funcionar el motor.

,....,Reductor

Motor II

: CaIga I' q"Figura 1.43 a.

PaI N w m

40

30 c'

20

, ,10

w1000 2000 3000 4000 (",m)

Figura 1.43 b.

1.21 Un motor de potencia constante igual a 20 C.V., y con una velocidadnominal de 1800 rpm, acciona dos cargas, una directamente el, y la otramedian te una transmisin por correa, tal como sugiere la figura:

La carga 1 realiza una operacin continua, requiriendo una potenciaconstante de 10 C.V.

MotorI 1 ... C2 "l J tt

CI '1

Figura 1.44.

Ejercicio~ 63

Parmetros de la transmisin por correa

n = 1/3 1J = 100%

= 3 kg.m 2

= 9 kg.m 2

= 4 kg.m2

1m

1, I

1'2

Eje motor:Eje carga 1:Eje carga 2:

La carga 2 realiza una operacin intennitente, requiriendo de una poten-cia constante de 40 C.V, durante 5 seg., repitindose con una periodici-dad de 20 seg.Momentos de inercia:

Si las condiciones de funcionamiento del conjunto exigen que la veloci-dad del motor no experimente desviaciones mayores de 20 rpm., con res-pecto a la velocidad nominal, discuta las necesidades. de volante.

1.22 Para el montaje indicado en la figura, se dispone de la siguiente informa-cin:

Velocidad angular del eje motor Radio de las poleas matrices (PI y P2) Radio de la polea conducida P3 Radio de la polea conducida P4 Potencia requerida por la carga 1 Potencia requerida por la carga 2 Momentos de inercia de los ejes: motor

carga 1carga 2

1800 rpm.15 cm30cm45cm4CV8CV2 kR.m2

4 kg.m 2

15 kR.m2

PI P2

Motor IITU

P3 P4

Carga 1 Carga 2

"''''1'/. '~/I' , I''/'/'I'

11-----------

w1800

M p . .. par de placaWp = 1800 rpm (vel. ang. nominal)

Figura 1.45 a. Figura 1.45 b Curva caractersticadel motor.


Se desea saber:

a) Potencia del motorb) Reducir el conjunto al eje motor.e) Encontrndose el sistema en condicin de rgimen se produce la rotu

ra de la correa que conecta el eje motor con la carga 1.Describa el comportamiento subsiguiente del sistema y "estime" el tiem-po requendo para su estabilizacin. Ante esta situacin de operadordecide apagar el motor para proceder a la reparacin corresp.ondiente.Cunto tiempo transcurre para que el conjunto se deten~a?

1.23 En el montaje sealado en la figura 1.46, la rueda central gira a razn de1800 rpm. en el sentido indicado. Determinar la velocidad con que sedesplaza el peso P.

84 dientes96 dientes

---~

50cmdimetro

Figura 1.46.

El)

EL

Captulo 2

TRANSMISIONES

2.1 GENERALIDADES

Tal como fuera indicado en el captulo 1, se llama transmisin a todo dispo-sitivo utilizado para unir dos componentes de un sistema mecnico. En estecaptulo se proceder a analizar el comportamiento mecnico de las transmi-siones en tre ejes en rotacin.

Segn su funcionamiento se clasifican las transmisiones en dos grandescategoras :

a) Transmisiones permanentes: tal como lo sugiere su nombre son aqueHas transmisiones que establecen una conexin permanente entre losejes. Tal es el caso de los acoplamientos rgidos y flexibles, transmisiones hidrulicas, correas, engranajes, ... etc.

b) Embragues; esta categora corresponde a los acoplamientos temporales, utilizados para conectar o desconectar ejes a voluntad de un ope-rario externo. Como ejemplos se tienen los embragues de dientes, defriccin, hidrulicos, centrfugos, etc.

2.2 ACOPLAMIENTOS RIGInOS

Son aquellos acoplamientos que por su construccin no permiten ningn gradode flexibilidad angular, axial o rotacional entre los ejes vinculados. Consecuen-temente se les utiliza para acoplar ejes colineales.

65

66 Transmisiones

2.2.1 Acoplamientos de brida

Tal como sugiere la figura 2.I,las bridas colocadas en los extremos de los ejesse fijan entre s mediante tornillos, luego la transmisin se logra mediante fric-cin entre los platos apretados por los tomillos, o simplemente por corte enlos tomillos.

-i-jJI .. J-Figura 2.1 Acoplamiento de brida.

2.2.2 Acopiamientos de collar

Consiste de un collar cilndrico que se ajusta a presin con los ejes a conectar,y asegurados mediante tomillos para prevenir su deslizamiento (figura 2.2).Esta categora de acoplamientos es muy sencilla y de bajo costo, y su nicoinconveniente es que requiere que los ejes a conectar estn perfectamente ali-neados para evitar esfuerzos de flexin severos y el desgaste excesivo de loscojinetes.

Figura 2.2 Acoplamiento de collar.

2.3 ACOPLAMIENTOS FLEXIBLES

Dentro de esta categora se encuentran aquellos acoplamientos susceptiblesde experimentar cierto grado de movilidad, tal como excentricidad entre losejes, desplazamiento axial o angular de los ejes, angularidad entre los ejes, etc.

2.3.1 Acopiamiento de material elstico

Tal como indica la figura 2.3, el acoplamiento entre los dos ejes se logra me-diante una pieza de material elstico (neopreno, tefln, .. ) permitindose asun alto grado de movilidad.

. 'f-~~-n.MatenaJ elastico----

Figura 2.3 Acoplamiento de material elstico.

Acoplamientos flexibles 6-7

2.3.2 Acoplamiento de OIdham

Tal como sugiere la figura 2.4, el acoplamiento se logra a travs de un discoque lleva solidario dos guas diametrales, una en cada una de sus caras, per-pendiculares entre s, de manera que cada gua calza en las ranuras practica-das en las bridas de los ejes de entrada y salida.

El diseo de cste dispositivo permite pues acoplar dos ejes paralelos nocolineales, e independientemente de la excentricidad existente el conjunto gi-ra con una velocidad angular nica.

Figura 2.4 Acoplamiento de Oldham.

\ ,i

-

er

.9T(O +1>.9)seo(-

I 2I

b)

b) Vista frontal

1>."T(O)seo (--)

2

Figura 2.51,

_2f-

2 nTd 8 sen fJ

a) Vista lateral

.. -;:::.

Figura 2.52 Diagrama de cuerpo libre del elemento de correa.

1_l>.O

\ I /T(e + 1>.9) 2\ , I

\ r.w 2 f, I\ I\ I\ I\ I

I\..~ O,

er;--\ Iia)

Suma de fuerzas en direccin tangencia! a! elemento:

1[-;T(O) + T(O +~O)l cos (2~9)-2fr~9 =0

T(O)

Bajo la hiptesis de que la correa no desliza, la primera ley univeJla mcanica permite escribir:

Transmisiones por correas 123

Suma de fuerzas en direccin nonnal al elemento:

1 .2n r A Osen fJ - [T (O) + T (O + AO)] sen (- A O) = - (r A O A) r ",2

2

(2.40)dT~-2fr=OdO

Considerando e! caso lmite A O -+ O, y despreciando infinitsimos de ordenigualo superior al segundo, las dos ecuaciones anteriores permiten escribir:

_ O ~-.o /JO 1',

124 Transmisioncs

M=t r. 2fd8

_---2/ i'

0=0

Figura 2.53.

Recordando (2.40) se puede evaluar directamente la integral anterior.

la dT

M= r(-)dO=r[T(a)-T(O)]o dO

esto es

(2.46)

(2.47)~~~

M..lU MC'---__.-.1

o equivalentemente, haciendo uso de (2.44),M=r[l-e-~alsen~](Tmx_ Xr 2 w 2)11-

2.9.3 Efecto de la pre-tensin de la correa

La expresin (2.44) permite escribir:

T T = (T '2 2) ( ~a/sen ~ )mx - mn mn - f\ T W e - 1 (2.48)

luego, el efecto del trmino )..r2 w 2 es provocar una disminucin en la va-riable Tmx - Tm n para la cual el deslizamiento de la correa es inminente,con la consiguiente reduccin en el mximo par capaz de transmitirse. Unamanera de reducir el efecto de la inercia de la correa es aumentar los valoresde T . Y T de manera que el trmino ",2 w 2 sea despreciable. Ello se

max m nlogra al pretensar la correa a un valor To : esto es, cuando la transmisin estestacionaria se tensa la correa hasta alcanzar una tensin inicial To. Al operarel sistema la tensin de la correa variar entre T YT' Ahora bien, su-m x m npomendo que la correa es elstica y cumple con la ley de Hooke, la igualdaden las longitudes de los lados de alta tensin y baja tensin de la correa per-mite escribir:

Transmisiones por correas 125

~ tiene as que

.empre que se suponga constante el rea de la seccin transversal de la correa.

'" '

\ Trnh + Trnfn ~2To )~:,=-1: ..1-. (2.49)L_ -~'Observe que el valor de la tensin inicial est limitado por la capacidad de lacorrea para transmitir carga sin romperse. (\t"!' I()

Escribiendo (2.49) como

(T - Xr2 w 2 ) + (T - Xr2 w 2 ) =2 (T - Xr2 w 2 )m!x m{n o

. recordando (2.44) se tiene

(2.50)

ustituyendo en (2.47), se obtiene una expresin para el par mximo capazde transmi tir la correa en funcin de la tensin inicial ~

Observe entonces que' la potencia transmitida por la polea viene dada por

"

CUando la condicin de deslizamiento es inminente. Analizando esta ltima expresin se tiene que:

(2.51)

j IJLTo 3 A1 - e -~/sen 13

1 + ",,sen ~e.4

P =-m Ix _ 3

1 _ e-~o:/sen fJM =2r~~~~~~ (To - Xr2 w 2 )1 + e-JlCl/sen f1L-- ~ "

T(e""'/sen~ -1) {T . _"M2 w 2 -2"M2 w 2 ]=mm

p

-v fO/ 3M2Figura 2.54.

tal como se comprueba al derivar (2.52).Estos resultados se resumen en forma cualitativa en la figura 2.54.

P=MW=TW(Tmin _"M2 w2)(e""'I,en~-_I)

Una polea de IODO mm de dimetro gira a 200 rpm y se conecta mediante un.correa de cuero a otra polea girando a IODO rpm, siendo el ngulo de abrace

Ejemplo 2.10

Nota"': En la bibliografa es frecuente encontrarse con la siguiente derivacinde la potencia mxima: Usando (2.46) y (2.48) se tiene

Derivando con respecto a W se concluye equivocadamente que

o sea

Consecuentemente la potencia mxima sera:

Transmisiones por correas 127\

..., la ltima de 175. Si la tensin inicial de la correa puede ajustarse entre.Vw y 1400 Nw, cul es la mxima potencia que puede transmitirse?

__ n"" que la tensin mxima admisible para la correa es de 1600 Nw, yonalmcnte que

ci n

f.l =0,25 A=0.5 kg/m v-,

ordando la definicin de relacin de transmisin, se tiene que el radio de

200 rpm _ O v'lea pequea vendr dada por r =0,5 m c:-::-::c:--'-- ,1 m

1000 rpm

otando por TAf y Tm a las tensiones mxima y mnima de la correa encondicin genrica, la potencia transmitida se p'J-ede expresar como

P=rw(T-T)VM m (a)

~do r y w el radio y velocidad angular de lapolea pequea, respectivamente.

Ahora bien, la potencia mxima a transmitirse est limitada por dos fac-. a saber, la tensin mxima permisible y la condicin de deslizamiento

nente que aparece en la polea pequea. Dado que estos dos factores sonependientes, se proceder a analizarlos por separado:

Si la correa no desliza, la mxima capacidad de transmisin de poten-cia depender dc la tensin permisible en la correa (y de la tensininicial: To),Recordando que

al p"ede re-escribirse como

P=2rvJ (T", -Tol

~o, si Tp

representa la tensin permisible TM~ T

p' consecuentemente

P

128 Transmisiones

Si la correa no tiene lmite de sobrecarga, la potencia mxima se al-canza cuando el deslizamiento es inminente. Utilizando (2.51), la m-xima capacidad de transmisin de potencia para una velocidad derotacin dada es

P. =WMmx =2rw ----max 1 + e-~C:X

o sea, al sustituir valores nmericos

P mx =7,63 To -418,3

Consecuentemente, la potencia transmitida P satisfae la relacin

P~7,63 To -418,3 (f)

Se tiene as que la potencia transmitida por este dispositivo debe sa-tisfacer simultneamente las inecuaciones

P ~ 33510 - 20,49 To

P~ 7,63 To -418,3

En la figura 2.55 se muestra grficamente la regin solucin de dichosistema, correspondiente al intervalo 1000 Nw " T o" 1400 Nw.

P (vatios)

p ~ 33510 - 20,5 To

p* =8800 vatios

12000

8000

4000

oo'"

oo... oo'"

oo'"

ooo-

oo'"

..

Figura 2.55.

Embragues 129

Por simple inspeccin de la figura se concluye que la potencia mxi-rransmitida se obtiene cuando To =1205 Nw, siendo su valor

p* = 8,8 Kw

:!o10 EMBRAGUES

al como fuera indicado en la introduccin de este captulo, los embraguesson transmisiones utilizadas para conectar o desconectar ejes a voluntad de

operario externo.Antes de discutir d comportamiento de los sistemas mecnicos que in-

corporan un embrague se proceder a presentar algunos dispositivos de em-rague:

_10.1 Embragues dentados

tos embragues estn caracterizados porque la conexin entre los ejes con-- etor y conducido se logran mediante dos miembros dentados que giran so-

amente con cada eje, de manera que los dientes de uno calcen en losecos del otro.

En la figura 2.56 se muestran esquemticamente dos tipos comunes dennbragues de dientes: embragues de dientes cuadrados y de dientes en espi-::al; el segundo capaz de transmitir momento, y en consecuencia movimientosro dos sentidos, mientras que el primero en un solo sentido.

Es de hacer notar que stos son los acoplamientos ms simples de con-cebir, adaptndose perfectamente a aquellas situaciones en las cuales se re-_ "eren una conexin y/o desconexin rpida. La relacin de transmisin en

embrague dentado toma los valores O 1, segn que est desacoplado oJroplado.

Figura 2.56. Embragues dentados.

130 Transmisiones

2.10.2. Embragues de friccin

2.10.2.1 Embragues de disco

III".~Figura 2.57 Embragues de disco ......- -- - 2R--

A__o

M, =1 PdF=r 1'71" IlP(p)p'dpdOr o

Tal como sugiere la figura 2.57, las superficies de contacto entre los ejes aacoplarse corresponden a sendos anillos circulares.

dF =P (p )pdpd8 11

siendo J1. el coeficiente de friccin de la interfase. As, el momento torsionaJtransmitido por el embrague ser

Cuando el disco del eje motor (1) se pone en contacto con el disco del ejeconducido (2) por accin de una fuerza axial A, se producir una transmisinde movimiento sobre el eje (2) que persistir hasta tanto no cese la accin decontacto.

A continuacin se proceder a determinar la ~pa;idad de transmi ., nde momento desde el eje conductor hasta el eje conducido en un embraguede disco, bajo el supuesto que el mecanismo de friccin corresponde al mode-lo de Coulomb. -

Si se denota por p =p(p)a la intensidad de la presin distribuida sobreel rea de contacto entre los dos discos, se tendr que sobre un rea elemen-tal pdpdO acta una fuerza tangencial de magnitud

Son aquellos embragues caracterizados porque el mecanismo de transmisinde movimiento, y en consecuencia de potencia, se logra mediante el contactoentre dos superficies rugosas, una solidaria al eje conductor, la otra al condu-cido.

A continuacin se discutirn dos configuraciones comunes en los embra-gues de friccin: los embragues de discos y los cnicos:

:bir

y

(2.54)

(2.55 )

(2.56)

(2.58)

(2.57)

fR 2M = Jl NA J ,P op (p) d p

I J; pop(p)dp

Esta situacin es representativa de los siguientes casos:

Embragues 131

i) Discos con cierto grado de rigidez.ii) Discos usados.

o Po un valor caracterstico de la presin entre los discos, y

132 Transmisiones

Teoria de la presin uniforme: supone que la ley de variacin de lapresin es constante, esto es:

Juan León - Dinámica de Máquinas (1)

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