Jesus guerrero 18079599
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN
TUTORIAL TEORICO PRACTICO PARA LA MATERIA VIRTUAL DE
MATEMATICA IV PARA EL INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO, NUCLEO MATURIN ESTADO
MONAGAS
Autor: Jesús Guerrero
Tutor: Ing. Jesús Coa
Maturín, Agosto de 2014
INDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 1
CAPÍTULO I………………………………………………………………………. 3 EL PROBLEMA…………………………………………………………….......... 3
Contextualización del Problema…………………………………………....... 3 Objetivos de la Investigación……………………………………………........ 6 Objetivo General…………………………………………………………....... 6 Objetivo Específicos….………………………...…………………………….. 7 Justificación……………………………………...…………………………….. 7
CAPÍTULO II……………………………………...…………………………….. 9 DESARROLLO……………………………………...…………………………… 9
Antecedentes de la Investigación…………………………………….............. 9 Funciones de Variable Compleja……………………………………............... 10 De la recta real al plano complejo.. …………………………………….......... 10 Continuidad en el plano complejo……………………………………............. 15 Definición de transformación lineal.……………………………………......... 16 Formas Cartesiana y Polar……………………………………......................... 17 Formula de Euler y Teorema de Moivre………………………………………. 21 Demostración De La Fórmula De Euler……………………………………….. 21 Teorema de Moivre…………………………………….................................... 22 Regiones del plano complejo. Funciones de variables compleja. Límite y continuidad. Derivación compleja. Regiones del plano complejo………….. 22 Funciones de variables complejas……………………………………............. 22 Límite y continuidad……………………………………................................. 23 Continuidad…………………………………….............................................. 25 Derivación compleja……………………………………................................. 26 Condiciones de Cauchy-Riemann……………………………………............. 27 Fórmula integral de Cauchy……………………………………...................... 28 Función armónica conjugada…………………………………….................... 29 El principio del máximo……………………………………............................ 30 Integral de línea……………………………………......................................... 31 Ecuación diferencial…………………………………….................................. 31 Verificación de la solución de una E.D……………………………………….. 32 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden…………………………. 32 Ecuación lineal…………………………………….......................................... 34 Ecuación de Riccati…………………………………….................................... 35 Ecuación de Lagrange……………………………………................................ 35 Ecuación de Clairaut……………………………………………………………. 36 Soluciones Singular………………………………………………………......... 36 Separación de variables………………………………………………………… 37 Función homogénea. Ecuación diferencial homogénea. Resolución de ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas. Función homogénea…. 37 Ecuación diferencial homogénea…………………………………………….. 37 Resolución de Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas………….. 38 Ecuaciones diferenciales exactas……………………………………………… 41 Método de resolución………………………………………………………….. 42 Ecuaciones diferenciales de primer orden……………………………………. 43 Ecuación diferencial de Bernoulli……………………………………………… 44
Efecto Bernoulli……………………………………………………………….. 46
Ecuación de Cauchy-Riemam……………………………………………......... 47
Función Gamma-propiedades……………………………………………......... 49
Función de Bessel………………………………………………………………. 50
Integrales de Bessel……………………………………………………………… 50
Definición de la Transformada………………………………………………… 50
Propiedades de la Transformada………………………………………………. 51
Teorema de la Convolución……………………………………………………. 54
Transformadas de laplace por definición……………………………………... 60
Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.
Transformada Inversa de Laplace……………………………………………… 62
Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace………………………... 63
Teorema de la Convolución……………………………………………………. 64
Serie de Fourier…………………………………………………………………. 66
Ortogonalidad…………………………………………………………………… 67
CONCLUSION……………………………………………………………………… 70
REFERENCIAS……………………………………………………………………. 71
INTRODUCCIÓN
Desde tiempos remotos, el hombre se ha visto en la necesidad de organizarse y
crear sistemas de información que le facilite el trabajo a diario, las computadoras
fueron diseñadas o ideadas como una herramienta mediante la cual se pueden realizar
operaciones de cálculo complicadas en un lapso de mínimo tiempo. A medida que
pasa el tiempo, se siguen generando nuevas formas y herramientas tecnológicas que
ayudan al hombre a ser dependientes de éstos sistemas de información.
Es de suma importancia contar con un tutorial que le permita al estudiantado en
general buscar información de manera rápida y concisa, en el cual se pueda
identificar cualquier información que se necesite.
La investigación consta de dos (2) capítulos:
En el capítulo I, se desarrolla la contextualización del problema, donde se
describe la problemática existente, además se trazan los objetivos generales y
específicos para lograr la meta propuesta, la justificación del estudio para obtener las
soluciones deseadas por la empresa. Capítulo II, se describe el desarrollo de este
estudio.
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CAPÍTULO I EL PROBLEMA
Contextualización del Problema
Mundialmente, cada día es mayor el número de universidades, liceos y colegios
que han descubierto la necesidad e importancia que tiene en los tutoriales
automatizados dependiendo de las necesidades de cada uno. Es por esto que en la
actualidad la mayoría de éstos se encuentran en la búsqueda de procedimientos que le
ayuden a mejorar sus actividades, para así obtener mayor eficacia y eficiencia, de tal
modo que puedan alcanzar las metas, objetivos y resolver las complicadas
operaciones actuales.
En éste ámbito, el buen manejo de la información es fundamental para cualquier
organización, para poder mantenerse competitivamente y estar en progreso constante
en cada una de sus áreas. Es por esto que, antes de la aparición de los sistemas, las
personas se preguntaban si se tendría la libertad de razonar y pensar la manera de
reorganizar la información para que sus actividades fueran rápidas y eficientes. Para
solventar esto, en la actualidad existe el internet, dedicada a manejar la información
de tal manera que las personas tengan un mayor rendimiento y organización.
De acuerdo a lo anterior, para lograr éste rendimiento, se deben desarrollar entre
otros aspectos importantes los planes que deben realizar en alcanzar las metas
establecidas de manera eficaz y eficiente, por lo que se considera la aplicación de la
tecnología al obtener una provechosa administración o gestión del tiempo
suministrado en el internet y ésto se alcanza a través, de una organización, lectura y
planificación.
Con base en esto, las universidades, se ha propuesto una mejor coordinación de
sus actividades en la cuales se decide lo que ha de hacerse, a través de la formulación
de objetivos estratégicos para así lograr las metas. Dentro de estos objetivos se tienen
planteados la actualización tecnológica a través de la aplicación de sistemas y equipos
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Que ayuden al cumplimiento de dichas metas de forma eficiente. Para actualizar el
manejo de estas funciones de administración y control, se utilizan sistemas de
información, como soluciones tecnológicas, que se encargan de procesar, almacenar
datos para controlar las actividades y la información.
Estas soluciones tecnológicas y sistemas de información tienen como objetivo
principal minimizar el tiempo que el personal emplea para realizar cualquier
actividad, así como disminuir en gran parte los errores que pueden cometerse. Por lo
que para cada institución, es de vital importancia llevar un estricto control de las
actividades que se realizan, y poder verificar de manera constante los objetivos, para
sí observar si se están cumpliendo las metas propuestas.
En la Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, donde también
toma ventaja de los adelantos científicos y tecnológicos, está inmersa en éstos nuevos
cambios, automatizando los procesos dentro de la institución, para así llevar un
control de los estudios que faciliten el rendimiento eficacia, eficiencia y la
productividad, desarrollando al máximo la capacidad de los estudiantes. Es por esto,
que las instituciones deben adaptarse a los cambios tecnológicos y estar a la
vanguardia con los programas y técnicas existentes en la actualidad, para así mejorar
el rendimiento y calidad.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Desarrollar un tutorial teórico práctico para la materia virtual de matemática IV para
el Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, núcleo Maturín estado
Monagas.
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Objetivo Específicos
1. Diseñar un tutorial teórico práctico para la materia virtual de matemática IV
para el Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, núcleo Maturín
estado Monagas.
Justificación de la investigación
El enfoque que plantea sobre el sistema de gestión en ésta investigación, ofrece
la posibilidad de realizar evaluaciones para reordenar las actividades, al tiempo que se
documenta el proceso y se plantea la instrumentación de soluciones en aquellas áreas
que muestren una mayor debilidad. Por su parte, el aplicar el enfoque de gestión por
procesos permitirá estudiar a la institución como un sistema, teniendo presente la
relación existente entre cada uno de las áreas que lo conforman, incluyendo sus
procesos y funciones.
Toda las organizaciones y las instituciones en específico I.U.P. “Santiago
Mariño”, planifica en búsqueda de lograr sus objetivos y metas, buscan procesos para
optimizar su funcionamiento, por lo que el sistema es la mejor forma de llevar el
control, las automatizaciones son las herramientas idóneas para desarrollar un
programa que permita de una manera sistemática ahorrar tiempo y horas de estudio;
lo que impondrá un dinámico proceso de cambio con el nuevo sistema para el
crecimiento de la misma.
La propuesta del tutorial proporcionó un esquema general de procesos y
procedimientos que se empleará para garantizar que la organización realice todas las
tareas necesarias para alcanzar sus objetivos. Mediante la aplicación informática se
pretende minimizar los problemas como lo es la falta de automatización en los
procesos de estudios, para así facilitar los registros y tráfico de estudiantes al igual
que la obtención de los datos de relacionados con el estudio, todo esto utilizando el
tutorial que estará en capacidad de proporcionar necesaria.
De la misma manera lograrán los siguientes beneficios que se exponen a
continuación:
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a) Una definición ágil y flexible de la materia;
b) La unión de procesos y procedimientos;
c) Una mayor flexibilidad y agilidad para adaptación al cambio;
d) Una ruta de mejoramiento y eficiencia continua, al convertir actividades
ineficientes en eficientes, a través de uso de tecnologías enfocada en procesos;
e) Aplicación de la tecnología de información para la mejora de procesos.
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CAPÍTULO II
DESARROLLO
Variables Compleja, Transformación lineal, Forma cartesianas y polar.
Funciones de Variable Compleja
Es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se
obtiene un valor. Cuando la variable es un número complejo, a la función se llama
función de variable compleja. Podemos imaginarnos la función como una máquina a
la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
Ejemplo: Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una
variable compleja. Expresando A y z en la forma exponencial:
A = a eia
z = r eib
Entonces w = ar ei(a + b)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano
los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z
al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al
rededor del origen un ángulo a.
Sea la función w = z + A.
Expresando A y z en forma binaria:
A = a1 + ia2
z = z1 + iz2
Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)
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Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano
los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido
desplazados según el vector A.
Sea la función w = 1/z .
Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia (u
- 1/2c)2
+ v2
= (1/2c)2.
Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v
- 1/2c)2
+ u2= (1/2c)
2. Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias
anteriores obtendremos las rectas correspondientes.
De la recta real al plano complejo
La idea de función de variable (o variables) reales puede ser extendida
(continuada, le dicen también) al Plano complejo. La idea es la de siempre: si en una
determinada región del plano complejo R a un número complejo z le corresponde un
número (o varios números) complejos w = f(z), diremos que f(z) es una función de
variable compleja z. Obvio que f(z) puede ser biyectiva, en cuyo caso tendremos que
a z le estará asociado uno y solo un numero complejo w = f(z). Es claro también que
siempre se podrá expresar f(z) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) la parte real y v(x, y) la
parte imaginaria (1), Esta representación tiene una interpretación adicional. Como
representamos un numero complejo en el plano 0xy como z = x + iy, pero w = f(z)
también podrá ser representada como un punto en el plano 0uv.
Entonces, desde el punto de vista geométrico una función de variable
compleja podrá ser entendida como una ley de transformación entre pares de puntos
(x, y) del plano 0xy del argumento z y los puntos (u, v) del plano 0uv de valor w.
Continuidad en el plano complejo
Podemos también extender el concepto de continuidad de una función de
variable real a una función de variable compleja. Esto es: diremos que una función
compleja1 w = f(z) será continua en z0 si para un 1A partir de ahora y por razones de
simplicidad llamaremos a f(z) función compleja en vez de función de variable
compleja.
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ejemplo:
Vamos a estudiar la función sobre el circuito
adjunto con lo que tendremos:
Y la integral es nula por no haber ningún polo de f(z) en el circuito. Continuando
resulta
Y tenemos: en BC.- z = R+i.y , con O < y < a , dz = i.dy:
Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta
para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera : en CD.- z = x +
i.a , x en el intervalo (R,-R) :
Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta
para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera: en CD.- z = x +
i.a , x en el intervalo (R,-R) :
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De ese modo, finalmente:
Siendo la integral una que aparece en el estudio de la función Gamma de
Euler. Por otro lado , para la función de variable real que estamos estudiando,
tenemos :
Pero el primer integrando es una función par que nos permite continuar la igualdad en
la forma:
Con lo que finalmente resulta:
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Ejemplo:
Resolver las integrales de Fresnel:
Tomaremos como función a estudiar , y como circuito el representado en la
figura adjunta. Aplicando el teorema de los residuos, y considerando que no hay
ningún cero en el recinto, tenemos:
Para la segunda integral tenemos:
Y esto resulta de que en AB:
Nos queda calcular la última de las integrales, para la que tenemos:
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En consecuencia:
Donde nos aparece la integral de Euler, vista en otros problemas. Continuando nos
queda:
Ejercicios propuestos:
Se demuestra en teoría que si una función es analítica, la suma de todos sus residuos,
comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral:
Ejercicio:
Sea f(z) una función analítica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho
dominio. Si z1,… , zk son polos exteriores, se demuestra que podemos escribir:
donde el símbolo indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en
cuenta lo anterior podemos escribir:
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Y tenemos:
Si z = es cero de primer orden, entonces: Res (f, ) = -Lím z.f(z) (cuando z )
Si z =
Si z =
es cero de orden >, entonces: Res (f,
es polo de orden n, entonces: Res (f,
) = 0
) = - Res [(1/z2).f(z) , 0]
Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral:
Definición de transformación lineal
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las
siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación
lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv
ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T (∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Ejemplos propuestos:
1. Sea T: R2
→ R2
definida por T(x, y) = (x + y, y). Determina si T es una
transformación lineal.
2. Sea T: R2
→ R2
definida por T(x, y) = (-x, y). Esto es, T (1, 2) = (-1, 2).
Determina si T es una transformación lineal.
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3. La función f: R → R definida por f(x) = x2
no es una transformación lineal, pues,
(x + y)2
≠ x2
+ y2. En particular, 5 = 2 + 3 pero:
F(5) = 52
= 25 ≠ 13 = 22
+ 32
= f(2) + f(3).
Ejercicios resueltos:
Es una transformación lineal.
Veamos primero que respeta la suma.
Sean cualesquiera en
T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
= (y+y';x+x')
= (y;x)+(y';x')
= T((x;y))+T((x';y'))
Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en
T(a(x;y)) = T((ax;ay))
= (ay;ax)
= a(y;x)
= aT((x;y))
con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.
Demostrar que la siguiente función
Es una transformación lineal.
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Solución: Veamos primero que respeta la suma.
Sean cualesquiera en
T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
= (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y'))
= (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y')
= (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y')
= T((x;y))+T((x';y'))
Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en
T(a(x;y)) = T((ax;ay))
= (2ax+3ay;ax-3ay)
= (a(2x+3y);a(x-3y))
= a(2x+3y;x-3y)
= aT((x;y))
Con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.
Formas Cartesiana y Polar
En coordenadas polar
El sistema de coordenadas polares es un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina
por un ángulo y una distancia.
Coordenadas polares
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y
el ángulo que se forma:
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Coordenadas cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y
la distancia vertical:
Ejemplos:
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Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplos
2120º
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
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260º
2120º
2240º
2300º
(2, 0)
18
20º
(−2, 0)
2180º
(0, 2)
290º
(0, −2)
Formula de Euler y Teorema de Moivre.
Fórmula de Eule
La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:
Para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad
imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas.
Ó bien:
Siendo Z la variable compleja formada por: Z=a+ix.
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Demostración De La Fórmula De Euler
Partiendo de las Series de Taylor (1), (2) y (3):
Si en (1) sustituimos x por z·i,
Si consideramos que i1
= i, i2
= -1, i3
= -i, i4
= 1, etc.
Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:
Sustituyendo (2) y (3) tenemos:
Sustituyendo z por π (PI)
Por lo tanto, obtenemos la Identidad de Euler / Lindeman:
ei · π
+ 1 = 0
Teorema de Moivre
Fórmula para calcular las potencias zn
de un número complejo z. El teorema de De
Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn
=
rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y
exponentes fraccionarios.
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:
Aplicando leyes de la exponenciación
Entonces, por la fórmula de Euler,
Regiones del plano complejo. Funciones de variables compleja. Límite y continuidad.
Derivación compleja.
Regiones del plano complejo
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso
endiagramas de Argand. El concepto de plano complejo permite
interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos
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se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números
complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la
magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo
contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los término.
Funciones de variables complejas.
Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se
obtiene un valor. Cuando la variable es un número complejo, a la función se llama
función de variable compleja. Podemos imaginarnos la función como una máquina a
la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
Dada una función de variable compleja, w = f (z), no es posible representar, a la
manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable
independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las
funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z)
correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con
la función.
Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la
transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.
Ejemplos propuestos:
Calcular los ceros exteriores a = 1 , para F(z) = z8
- 4.z5
+ z2
+ 1
Encontrar los ceros de z7
- 5. z3
+ 12 en el anillo 1< < 2.
Estudiar la derivación de la función f (z) = x en el caso real y en el caso complejo.
Ejemplos resueltos:
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Estudiar si son derivables o en que dominio lo son, las siguientes funciones de
variable compleja:
Para el primer caso tenemos:
Con lo que resulta:
Se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman y las funciones ux, uy, vx,
vy son continuas para todos los valores x e y , por lo que la función estudiada es
holoforma para todo valor de z.
Para la segunda función tenemos:
En este caso se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman pero las
derivadas dejan de ser continuas en = 0 y, en consecuencia, f (z) es
derivable en todo el plano salvo el punto (0, 0). En el tercer caso podemos escribir:
En este último caso, las condiciones de Cauchy – Riemman únicamente se
cumplen si x = 0 ó y = 0, es decir, sobre dichas rectas. De todos modos, en ningún
punto de dichas rectas es derivable la función.
Ejemplo.
Determínense las regiones de convergencia de las siguientes series:
a) La expresión dada se puede transformar en una más sencilla escribiendo:
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Por el criterio de la raíz tenemos:
Y la región de convergencia será el interior del círculo
b) Para la segunda serie aplicamos el criterio logarítmico, que dice: Si existe el
límite de la expresión:
Y este es mayor que 1, entonces la serie an es convergente. Según eso tenemos:
Y a partir de ahí:
Con lo que la región de convergencia será el exterior del círculo
Límite y continuidad
Límite y continuidad. Derivación compleja.
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el
cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que
el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende
a un número determinado o al infinito.
Ejemplo:
1 ----- Cuando x → 3, la cantidad 3x2-4x+2 se acerca a 17, y entonces
23
lim 2
x→3 (3x -4x+2) = 27
Nota que esto es sencillamente el valor de la función evaluada a x = 3
2 ----- Por otro lado, la función
x2
- 9
x - 3
No está definida en x = 3. Sin embargo, en otros valores de x, se simplifica a
x2
- 9
x - 3 =
(x - 3)(x + 3)
x - 3 = x + 3,
Y, cuando x → 3, esta cantidad se acerca a 6. Entonces,
x2
- 9
x - 3 → 6 cuando x → 3,
O
lim
x→3
x2 - 9
x - 3 = 6
Continuidad
Una función f es continua a si limx → a f(x) existe, y es igual a f(a).
La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. El
enfoque algebraico a límites es basado en el hecho que todas las funciones de forma
cerrada son continuas en sus dominios.
Ejemplo
La función f(x) = 3x2-4x+2 es de forma cerrada, y entonces continua a cada punto de
su dominio (todos los números reales).
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La función
g(x) = 4x2+1
x - 3
Es también de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (todas núeros reales
excepto 3).
Por otro lado, la función
h(x) =
-1 si -4 ≤ x < - 1
x si -1 ≤ x ≤ 1
x2-
1 si 1 < x ≤ 2
No está de forma cerrada y en realidad es discontinua a x = 1
Derivación compleja
La derivada compleja es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación
lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de
una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más
elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más
se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente
relacionado es el diferencial de una función.
La derivada de una función compleja f(z)enz0 ∈ℂ Es, si existe, el límite siguiente:
f'(z0) =limz→z0 f(z) -f(z0) .
z-z0
Ejemplos propuestos:
Hallad las funciones derivadas de las funciones
F (z) = e-jz,g(z) =sin(2z + 3i),h(z)
Buscad también las derivadas en el punto z0 = i de las funciones anteriores.
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Ecuacion de Cauchy-Riemann. Formula integral de Cauchy.Funciones armónicas
conjugada. Integral de linea.
Condiciones de Cauchy-Riemann
Las condiciones de Cauchy-Riemann son básicas en el Análisis Complejo, debido a
que su verificación constituye una condición necesaria para la derivabilidad de este
tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z = x + iy y f(z) se puede descomponer en suma de
dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy)
= u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z)sea derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces
deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:
ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
f'(z0) = ux'(x0,y0) + ivx'(x0,y0) = vy'(x0,y0) − iuy'(x0,y0)
Existen formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann:
fx + ify = 0
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condición necesaria, pero no son condición
suficiente para demostrar la derivabilidad de una función en un punto. Sin embargo,
existen condiciones suficientes de la misma si la función, además de cumplir las
ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v con
derivadas parciales primeras continuas en un entorno de z0 = (x0,y0).
Ejemplo resuelto:
Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las
ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier z = x + iy. Consideramos
la función f(z) =z2. Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.
F (x + yi) = (x + yi)2
= (x2
− y2) + i2xy
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Por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son u(x,y) = x2
− y2
y v(x,y) = 2xy
respectivamente. Derivado con respecto a x e y es inmediato que ux = 2x = vy y que
uy = − 2y = − vx. Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La
derivada de f es claramente f'(z) = 2z (las reglas para derivar funciones complejas es
similar a las funciones reales) por lo tanto f'(x + iy) = 2(x + iy) =
2x + i2y = ux + ivx = vy − iuy
Fórmula integral de Cauchy
Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de
grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También
investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones
diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Enunciado 1
Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces
para cualquier punto contenido en el interior de D y para cualquier
camino C cerrado simple que contenga al punto se tiene
k = n + 1.kordenpolodevalorz = z0
Donde la integración está tomada en sentido antihorario.
Enunciado 2
Sea una función holomorfa (función analítica) sobre γ, γ un camino (una
curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y
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Siendo un punto, el índice del punto respecto a la curva (el número de
veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).
Función armónica conjugada
Función armónica, es una función dos veces continuamente
derivable f: D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) que cumple
la ecuación de Laplace, i.e.
En D. Esto se suele escribir como
o también como
Ejemplos
Ejemplos de funciones armónicas de dos variables La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa
f(x1, x2) = ln(x12
+ x22) definida en R
2 \ {0} (asi como los ies por
ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial
gravitatorio debido a una masa cilíndrica)
Si u es una función armónica y le aplicamos una transformación
conforme del plano, continúa siendo armónicA.
Ejemplos de funciones armónicas de n variables
Las funciones afines, en particular la función constante.
La función
Siempre que .
28
Propiedades de las funciones armónicas conjugada
Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la
ecuación de Laplace.
El teorema de regularidad para las funciones armónicas
Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones
analíticas.
El principio del máximo
Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido
como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D,
entonces f, enK, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.
Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales,
excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).
Integral de línea
Es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva
es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de
contorno.
Ejemplos prácticos:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se
posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a
lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por
campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Ejemplo:
29
Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de
un tanque a través de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al
alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas
completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del
tanque.
Aplicación De La Integral De Línea Al Cálculo Del Trabajo
El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por
distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd ,
donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al
desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.
Unidad II: Definición de ecuación diferencial. Clasificación, grado y orden de una ecuación diferencial, tipo de soluciones, verificación de la solución de una E.D
Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no
trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida
con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida
depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el
contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene
como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero
son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la
función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable.
Otro ejemplo es
30
Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable
derivable. ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación
diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como
variable independiente se acostumbra expresar en la forma
Para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma
Ejemplo
La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya
vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como
veremos.
Por Orden
El orden de la derivada mayor que existe en la ED, entiéndase por orden a la cantidad
de veces que se deriva una función ejemplo:
31
El orden es 3 puesto que la mayor de las derivadas es y“`.
Por Grado
Es el grado de la derivada de mayor orden que existe en la ecuacion diferencial.
Entiéndase por grado la potencia a la que esta elevada la derivada. Ejemplo:
El grado de esta ED. Es 2 ya que “y” esta elevada a la segunda potencia.
Tipo de solución de una ecuación diferencial
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la
función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la
ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o
más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de
infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a
una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente
infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se
logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la
ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no
dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular
de la ecuación completa.
2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde
debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un
único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación,
éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el
punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso
particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe
un valor específico.
32
3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se
obtiene particularizando la solución general.
Verificación de la solución de una E.D
Demostrar que
Es una solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la
relación de variables satisface la ecuación
Demostrar que
Es una solución particular de la ecuación diferencial
Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la
siguiente forma:
33
Donde es la condición inicial.
Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:
Ecuación de variables separables
En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en
función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:
En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación
De donde es posible obtener la solución
Una ecuación de la forma:
Ecuación exacta
Se dice exacta si existe una función F que cumpla:
y
Su solución es entonces:
34
Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).
Ecuación lineal
Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:
Y que tienen por solución:
Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli,
con n=0.
Ecuación de Riccati
Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco
Riccati cuando presenta la estructura:
Para resolverla, se debe hacer la sustitución , donde yp es una solución
particular cualquiera de la ecuación.
Ecuación de Lagrange
Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:
Resolviéndose con la sustitución y' = p, obteniéndose una solución general y una
solución particular.
35
Ecuación de Clairaut
Suponga que es una función real. Si la recta
tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por
Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro .
Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta
familia de curvas. Si y tiene una inversa cerca de ,
entonces y podemos reescribir la ecuación de la recta tangente como
La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce
como ecuaciones de Clairaut.
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la
forma
Se conoce como ecuación de Clairaut . Donde es una función continuamente
diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como
solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas
tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución
singular, de la ecuación de Clairaut.
Demostración
36
Para resolver la ecuación hacemos la sustitución para obtener
Derivando ambos lados respecto a
De donde obtenemos que
Surgen dos casos
Caso 1:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación obtenemos la solución
general .
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la
ecuación por .
Caso 2:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación
, es decir
Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe
que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de
una solución singular.
37
. En la figura se muestra la familia de rectas tangentes
y la envolvente
.
Ejemplo:
Solución:
La solución general es la familia de rectas y como
la solución singular está dada por
Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio
2,
Figura 1.2: Envolvente y rectas tangentes .
38
Separación de variables
Se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular
para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie
cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es
uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a
problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de
funciones que contienen las variables separadas.
Ejemplo:
Separando obtenemos
que nos da
Si queremos despejar y obtenemos
Función homogénea
Una función homogénea es una función que presenta un comportamiento
multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un
factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces
el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la
función homogénea.
Decimos que una función (x,y) es homogénea de grado 'n' si:
39
Determine si la función es homogénea:
Solución:
Por lo tanto
La función es Homogénea de grado 3
Ecuación diferencial homogénea
Es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto
de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas.
El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una
ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una
representación de la forma:
Nótese que el hecho básico es que en ninguno de los miembros aparezca un término
que sea simplemente una función de la incógnita.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es
homogénea si la función es homogénea de orden cero.
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
Serían homogéneas sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneas del mismo grado.
40
Resolución de Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas:
Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas.
Ejemplos De Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas
Ejemplo 1.- Resolver la ecuación diferencial:
Podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas
puesto que P y Q son funciones homogéneas de grado 3. Haciendo el cambio v = y/x
tenemos:
Y separando variables para integrar:
Que después de deshacer el cambio queda en la forma:
La ecuación puede tener soluciones singulares que vienen dadas por:
El caso x = 0 es una solución incluida en la general, ya que basta sustituir x por 0 en
la ecuación diferencial para ver que esta se hace idénticamente nula. Para el otro caso
tenemos:
41
Que es una solución singular no incluida en la general.
Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
Son homogéneas si se tiene c1 = c2 = 0.
Cuando se tiene , la anterior ecuación puede transformarse en homogénea
mediante una traslación de ejes, es decir, poniendo x = X + h; y = Y + k, donde h y k
vienen dados por el sistema:
Si este sistema no es compatible, siempre podemos poner:
Con lo que obtenemos:
Y haciendo el cambio:
42
Con lo que sustituyendo:
Que es una ecuación en variables separadas cuya solución viene dada por:
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:
Para convertir esta ecuación diferencial en homogénea hacemos el cambio sugerido
en la parte de teoría, con lo que resulta:
Y para que sea homogénea se ha de cumplir:
Según esto nos queda:
Y haciendo el cambio v = Y/X, obtenemos:
43
Y separando variables:
Para resolver la primera integral aplicamos el método de fracciones simples:
Con lo que tenemos:
Y deshaciendo el cambio:
Ecuaciones diferenciales exactas
En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son
iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que
44
Donde y . Dado que F(x,y) es una función
diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la
condición .
Método de resolución.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes
pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas
parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y)
obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función
incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable
independiente de g.
Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando
y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se
encontrará la función g.
Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .
Ejemplos Resueltos De Ecuaciones Diferenciales Exactas
Sea la función diferencial:
Solución
45
Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas hacemos:
Y tenemos:
Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular
con facilidad la función integral:
Para conocer el valor de la función derivamos U(x, y) respecto de y, e
igualamos el resultado a Q:
Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:
Ejercicios:
sea la función diferencial:
Solución.
Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una
46
ecuación diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los términos por
1/xy2 nos queda:
Con lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser
diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el método que estamos desarrollando:
Derivando respecto de y e igualando a Q:
Y de esa forma, la solución general será:
Que es válida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.
Aparte de la solución general, podemos ver que existe una solución singular para el
caso y = 0 ó x = 0 ya que entonces la ecuación se verifica trivialmente.
El término 1/xy2 recibe el nombre de factor integrante y resulta fácil comprobar que,
en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con él.
Resolución de E.D de primer orden por factor integrante. Ecuación de Bernoulli.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma
Siendo M y N funciones de X e Y
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos.
47
Ecuación diferencial de Bernoulli
Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:
(5a)
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1
viene dada por:
(5b)
Efecto Bernoulli
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de
Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad
del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que
el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por
debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se
levanta.
Ecuación de Cauchy-Riemam
Las condiciones de Cauchy-Riemann son básicas en el Análisis Complejo, debido a
que su verificación constituye una condición necesaria para la derivabilidad de este
tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z = x + iy y f(z) se puede descomponer en suma de
dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy)
= u(x,y) +iv(x,y). Si la función f (z) sea derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces
deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:
48
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
f'(z0) = ux'(x0,y0) + ivx'(x0,y0) = vy'(x0,y0) − iuy'(x0,y0)
Ten formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann:
fx + ify =
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condición necesaria, pero no son
condición suficiente para demostrar la derivabilidad de una función en un punto.
Sin embargo, existen condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además
de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos
funciones u y v con derivadas parciales primeras continuas en un entorno de z0 =
(x0,y0).
Función Gamma-propiedades.
Cálculo fraccionario:
La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de la
siguiente manera:
Como n! = G(n + 1) entonces donde n puede
ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.
De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive
de una constante c = cx0:
49
Propiedades:
De la representación integral se obtiene:
.
Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de
reflexión de Euler
y la fórmula de duplicación
La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación
Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma, que puede obtenerse a partir
de la definición mediante productos infinitos de Euler es:
Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es
La cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la fórmula de reflexión o en la fórmula
de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más
abajo con x = y = 1 / 2 o haciendo la sustitución en la definición integral de
la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para
valores impares den se tiene:
Donde n!! Denota a la doble factorial.
(n impar)
50
Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por
ejemplo:
La función Gamma tiene un polo de orden 1 en z = − n para todo número natural y el
cero. El residuo en cada polo es:
El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que
generalizan el factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma
es logaritmo convexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función
Gamma es una función convexa.
El desarrollo en Serie de Laurent de Γ(z) para valores 0 < z < 1 es:
Donde ζ(n) es la función zeta de Riemann.
Valores de la función Gamma
51
Función de Bessel
Las funciones de Bessel o funciones cilíndricas, se utilizan en la mecánica
gravitatoria, pero también se aplican en otros campos como la propagación de ondas
electromagnéticas y de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en
las series de expansión de la perturbación indirecta de un planeta causada por el
movimiento del Sol.
Aplicaciones
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de
Laplace o a laecuación de Helmholtz por el método de separación de
variables en coordenadas cilíndricaso esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son
especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas,
potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de
Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven
sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero
(α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de
Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:
Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.
Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.
Conducción del calor en objetos cilíndricos.
Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de
anillo).
Difusión en una red.
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado
de señales.
Integrales de Bessel
Para valores enteros de n, se tiene la siguiente representación integral:
52
Que también se puede escribir como:
Esta es la aproximación usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a
partir de esta definicion dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición
integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:
También se tiene, para
Propiedades
Para enteros de orden α = n, Jn(x) se puede definir a partir de la serie de Laurent de la
siguiente función generatriz:
Aproximación tomada por P. A. Hansen en 1843. Esta expresión puede generalizarse
a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros métodos. Otra expresión
importante para órdenes enteros es la identidad de Jacobi-Anger:
Identidad que es usada para expandir ondas planas en una serie infinita de ondas
cilíndricas o para encontrar la serie de Fourier de un tono de una señal de FM.
53
Más generalmente, una función ƒ se puede expandir en una serie de la forma
Que se denomina expansión de Neumann de ƒ. Los coeficientes de esta serie en el
caso ν = 0 tienen la siguiente forma explícita
Donde Ok son los polinomios de Neumann.
Existen funciones que admiten la siguiente representación especial
Con
Debido a la relación de ortogonalidad
Más generalmente, si f tiene un punto de ramificación donde
f(z) = ∑ akJν + k(z), k = 0
Entonces
o
Donde es la transformada de Laplace de ƒ.17
54
Otra manera de definir las funciones de Bessel son la representación de Poisson y la
fórmula de Mehler-Sonine:
Donde ν > −1/2 y z es un número complejo Esta fórmula es especialmente útil
cuando se trabaja con transformadas de Fourier.
Las funciones Jα(x), Yα(x), y cumplen las
siguientes relaciones de recurrencia:
Donde Z denota J, Y, H(1)
, o H(2)
.
Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones
distintas. Por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de mayores órdenes (o
mayores derivadas) a partir de funciones de Bessel de menor orden o de derivadas de
menor orden. En particular, se cumple:
Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares:
55
Las relaciones de recurrencia serán en este caso:
Donde Cα denotará a Iα o a eαπi
Kα. Estas relaciones son útiles para problemas de
difusión discreta.
La división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación hermética o auto-adjunta,
por lo que sus soluciones deben cumplir determinadas relaciones de ortogonalidad
para unas condiciones de contorno adecuadas. En particular, se cumple:
Donde α > − 1, δn,m es la delta de Kronecker, y uα,m es el m-ésimo cero de Jα(x). Esta
relación de ortogonalidad puede ser usada para extraer coeficientes de las series de
Fourier-Bessel, donde una función se expande en una base de funciones de
Bessel Jα(xuα,m)para α fijo y m variable. (Obtener una relación análoga para funciones
de Bessel esféricas es trivial.)
Se puede obtener de forma inmediata una relación análoga para funciones de Bessel
esféricas:
Otra relación de ortogonalidad es la ecuación de cierre:
56
Para α > − 1 / 2 y siendo δ(x) la función delta de Dirac. Esta propiedad se usa para
construir expansiones de funciones arbitrarias como series de funciones de Bessel
mediante la transformada de Hankel.
Para funciones de Bessel esféricas, la relación de cierre es:
Para α > − 1. Otra propiedad importante de la ecuación de Bessel, que se deriva de
laidentidad de Abel, es el Wronskiano de las soluciones:
Donde Aα y Bα son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de
Bessel y Cαes una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones
de Bessel consideradas). Por ejemplo, se cumple:
Existe un gran número de integrales e identidades que involucran a funciones de
Bessel que no están aquí reproducidas, pero que se pueden encontrar en las
referencias.
57
Unidad III: Definición de transformada de Laplace. Linealidad. Propiedades de la transformada de Laplace.
Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace def(t) se define
como
cuando tal integral converge
Notas
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de
integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion
en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos
Linealidad
Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que
poseen transformada de Laplace.
1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion,
58
Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas
y saca constantes que multiplican.
Versión para la inversa:
2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion,
Donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en
una traslación en la variable s.
Versión para la inversa:
3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos,Demostracion,
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivadamultiplicando por la
variable s.
4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos
5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos
59
Siempre y cuando exista
6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos
7. Transformada de la función escalón (Ejemplos
Si representa la función escalón unitarioentonces
8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos
9. Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
60
Ejercicios:
Transformadas de laplace por definición:
1.
L
2.
L
Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.
Transformada Inversa de Laplace
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada
para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es
transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la
álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La
transformada inversa deLaplace para recuperar las soluciones de los problemas
originales.
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la
función f(t)que cumple con la propiedad
donde es la transformada de Laplace.
61
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace
tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas
dinámicos lineales. Las características fundamentales de la transformada de Laplace
son:
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden
convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de
un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente.
Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que
poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in
Differential Equations with modelling applications
1. Linealidad
Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas
y saca constantes que multiplican.
Versión para la inversa:
2. Primer Teorema de Traslación
62
Donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en
una traslación en la variable s.
Versión para la inversa:
3. Teorema de la transformada de la derivada
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivadamultiplicando por la
variable s.
4. Teorema de la transformada de la integral
5. Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
63
6. Teorema de la derivada de la transformada
7. Transformada de la función escalón
Si representa la función escalón unitarioentonces
8. Segundo teorema de Traslación
9. Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
Serie de Fourier. Relaciones de ortogonalidad. Funciones par e impar.
Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a
una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier
64
constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para
analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una
suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de
senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático
francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba
la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y
publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se
llama algunas veces Análisis armónico.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función
Ortogonalidad
Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:
Donde δ es la delta de Kronecker.
Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz cuyo
elemento Ai,j es
De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De
hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían
la normalización y la convención de signos).
Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de
cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los
principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.
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Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por
ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los
que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).
función impar:
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se
tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con
los valores de f(x) y de f(-x).
Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de
f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás
notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por
el origen, punto del cual equidistan.
función par:
Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface
la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:
.
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al
eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el
eje y.
Ejemplos
La función y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x
pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).
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ejemplo:
La función f(x)=x2
es par ya que f(-x) = (-x)2
=x2
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CONCLUSIONES
Se diseñó la herramienta informática en base a las especificaciones establecidas
cumpliendo con los requisitos de los usuarios. Precisando la automatización de los
procesos por medio del desarrollo de un tutorial que permita controlar y hacer más
eficientes las tareas realizadas. Siguiendo los lineamientos dictados por la
metodología empleada y tomando como referencia las características propias de la
actual forma de estudios, realizando el diseño de alto nivel, a fin de establecer una
arquitectura base, logrando con esto obtener el modelo de datos, el modelo de
interfaz.
REFERENCIAS
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