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Introducción a la Topo Diferencial en el leng Juan Diego Septiembre 2 J UNAL-Me 1//111111 640000018
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Introduccioacuten a la Topologiacutea y Geometriacutea Diferencial en el lenguaje de sheaves
Juan Diego Veacutelez
Septiembre 2 de 2003
J UNAL-Medelliacuten
I~III ~IIIII~I ~~1111111 ~II~IIIII~ IIIIII~IIIIII 1shy
64000001807372
U~~IONAtDB CoLOMBIA liD 1Ul1t)1gtlt
DFPTO DE BIBLTOTECAS BIBLIOTECA EFE GOMEZ
Contents
1 PRELIMINARES 1 11 Algebra Multilineal 2
11 1 Conceptos baacutesicos de lineal 2 112 Productos Tensoriales j
1l~~ Tensores 10 114 Productos Cuntildea 12
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea 20 121 Espacios cociente 21 122 Acciones de grupos 22 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lR 25 131 Diferenciacioacuten en]RlI 25 132 Particiones de la unidad 31
14 Sheaves y espacios anillados 38 141 Introduccioacuten 38 142 Preliminares (liacutemites directos) 38 143 Imagen directa de Ulla sheaf lO 144 Suma directa d sheaws JI 145 B-Sheaves 52 146 Espacios Anillados 53 1A7 Sheaves de Moacutedulos 55
2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS 59 21 Manifolds suaves 59 22 de manifolds suaves 66 23 Funciones suaves 74 24 Estructuras suaves inducidas 78 25 Cocientes de manifolds por la accioacuten de un grupo 79 26 tangent0 81
261 Definicioacuten geomeacutetrica 81 262 Definicioacuten algebraica 82 26~1 Definicioacuten tradicional de la fiacutesica 89 261 Observaciones sobre el espacio tangente 89
27 Imnersiones submersiacuteones y embebimiento 90 28 Submanifolds D3
jji
UNIVERSIDAD NACiONAL) COLOMBIA ---------W~MEJmiddot~
DFPTO DE BIBLIOTECAS BJBLlOTECA EFE GOMEZ
lV CONTESTS
281 Puntus criacuteticos y regulares valores criacuteticus y regalan 99 282 Teorema del embebimiento de Whitney 101
29 Orientacioacuten 101 291 Orientacioacuten de superficies en y campos normales 107
210 Manifolds con frontera 110 21U1 FUllciolles suaves ni 2102 Tangente 115 2103 Diferencial llG 2104 Orientacioacuten 117 2105 Embebimientos y submunifolds 118
3 FIBRADOS VECTORIALES 121
31 ~ociolles baacutesicas 121 32 Secciones de un ti 1mulo 130 33 Subfibraelos y secuencias exactas 131 34 Slwaf ele secciones el un filmtdo 137 35 Operaciones con fibrados 130
351 Fibraelo Tangente 11U 352 Fibrado dual 113 353 Fibraelo Cotangente 144 351 Producto exterior 145
36 k-formas diferenciales 146 361 Pull-Back ele k-formas 148 362 Suma de Whitney 151 363 Producto tensorial 152
364 Campos tensoriales 154 37 Pullback ele Ull fibrado 156
371 Fibraelo Tautoloacutegico 158
4 INTEGRACIOacuteN DE FORMAS Y COHOMOLOGIacuteA DE DE RHAM 161 41 Derivada exterior 161 12 Integracioacuten en manifoltls 166 43 Teorema de Stokes 169 44 Cohomologiacutea de De Rhalll 175 45 Invarianza homotoacutepica de la COhOlllOlogIacutelt1 181 46 Secuencia de Mayel-Vietoris 186
5 GEOMETRIA RIEMANNIANA 195
51 Tensor moacutetlico 195 52 vIeacutetricas inducidas 197 53 Longitud ele curvas y voluacutemenes 201
531 Paradoja de los lllellizos 205
54 Volumen de un m8uifold Riemnl111iHllo 208 55 Conexioacuten estaacutendar en 210 56 Curvatura Gaussiana 213
CONTENTS v
22157 Conexiones afines 58 Transporte paralelo y geodeacutesicas 223
59 ConexIacuteoacuten de Levi-Civita 226
510 Curvatura 229
Introduccioacuten
Fue Riemanl1 qUlell por primera vez intuyoacute el papel ceIltral que ingariacuteau la Topologiacutea y la Geometriacutea en el desarrollo cio las matemaacuteticas 1lucllos problcshymas pertenecientes a aacutereas aparentemente tall alejadas de cuestiones geomeacutetricas como por ejemplo la Teoriacutea de ~uacutemeros o el Aacutelgebra Conmutativa han sido reconocidos corno problemas geomeacutetricos Este es el easo de la famosa Conjeshytura de vVeil y dc MordelL En realidad el uacuteltimo siglo y medio ha preseuciaclo el desarrollo de aacutereas enteras de la Geometriacutea (la Glolletriacutea DifereneIacuteaL la Geshyometriacutea Algebraica Compleja la Topologiacutea Algebraica y la formacioacuten de toda una red de interacciones entre estas aacutereas y lt1( dlas eacutel su (Z COIl otras ramHS de la matemaacutetica algunas veces llltrieacutendolas y otras v(ns sirvi(ndos de ellas En las uacuteltimas dos doacutecadas ha surgido una rdacioacutell profuuda y mlly fructiacutefera entre la Geometriacutea y las teoriacuteas de uuificacioacuten de la fiacutesicH Dnsd( la deacutecada de los setenta IOH fiacutesicos han reconocido lo quP Einst(Uacutell ya habiacutea illtuiacutedo claramente el papel fundamental que jugariacutea la Geollletriacutea el la foacutenllulacioacutell y
unificacioacuten de los principios fiacuteHIacuteCOS Podriacutea decirse sin exagera qne las lllodershynas teoriacuteas fiacutesicas no son otra cosa que teoriacuteas geomeacutetricas como si el Programa de ETlangen se extendiera a otros dominios Las ideas de las teoriacuteas gauge y de la supersimetriacutea por ejemplo han inspirado la formulacioacuten de lllWVOS poshytentes invariantes en topologiacutea diferencial 11-dimellSioual sin duda HilO de los avances maacutes grandes y revulocionarios en esta aacuterea COlllO la teoriacutea de DOllalcboll y teoriacutea de Seiberg-vVitteu Estas intenucionei hacnl posible que 1II1 d(sarrollo en fiacutesica teoacuterica sirva indirectamente para clItendcl HU f(lIOacutelllClIO eH T(orIacuteCt t( ~ uacutemeros Hay numerosos ejemplos de (osta situacioacuten COlllO por (j(olllplo la sllpershysinwtriacutea la teoriacutea de los Calabi Ya-u de campos y la profuuda cou0xioacuteu cutre la series de Poincarc y sus aacutellalogos diofamiacutellos ((I [1OD- Este esl ado de cosas ha forzado a que los matemaacuteticos se hayall isto obligados a hablar varios idiomas
Existe Ull buen nuacutemero de obras introductorias a la Topoloiexcliacutea y la G(olll(middottriacutea DiferenciaL A juicio del autor la prcsclllt ubra SI separa de las dmwts (H
varios aspectos En primer lugar los cOlceptoi gt( IJICselIt al uSHudu el lfuguaje de sheaves Esto hace quc el estudiante aCOStlllllhl( desele el inicio (k su formacioacuten a un lcuguajc muy versatil y poteute aUllqU( difiacutecil ((-([( d pIUItO d( vista teacutecnico Esto ofrece muchas ventajas porque lmce que f(lIOacutellWllOS di-iacuteulikti se vean corno manifestaciones de principios maacutes generales Asiacute muclJOs de los resultados de la teoriacutea de manifolds suaves se puedfm apreciar COIIIO caso-
Vil
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
U~~IONAtDB CoLOMBIA liD 1Ul1t)1gtlt
DFPTO DE BIBLTOTECAS BIBLIOTECA EFE GOMEZ
Contents
1 PRELIMINARES 1 11 Algebra Multilineal 2
11 1 Conceptos baacutesicos de lineal 2 112 Productos Tensoriales j
1l~~ Tensores 10 114 Productos Cuntildea 12
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea 20 121 Espacios cociente 21 122 Acciones de grupos 22 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lR 25 131 Diferenciacioacuten en]RlI 25 132 Particiones de la unidad 31
14 Sheaves y espacios anillados 38 141 Introduccioacuten 38 142 Preliminares (liacutemites directos) 38 143 Imagen directa de Ulla sheaf lO 144 Suma directa d sheaws JI 145 B-Sheaves 52 146 Espacios Anillados 53 1A7 Sheaves de Moacutedulos 55
2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS 59 21 Manifolds suaves 59 22 de manifolds suaves 66 23 Funciones suaves 74 24 Estructuras suaves inducidas 78 25 Cocientes de manifolds por la accioacuten de un grupo 79 26 tangent0 81
261 Definicioacuten geomeacutetrica 81 262 Definicioacuten algebraica 82 26~1 Definicioacuten tradicional de la fiacutesica 89 261 Observaciones sobre el espacio tangente 89
27 Imnersiones submersiacuteones y embebimiento 90 28 Submanifolds D3
jji
UNIVERSIDAD NACiONAL) COLOMBIA ---------W~MEJmiddot~
DFPTO DE BIBLIOTECAS BJBLlOTECA EFE GOMEZ
lV CONTESTS
281 Puntus criacuteticos y regulares valores criacuteticus y regalan 99 282 Teorema del embebimiento de Whitney 101
29 Orientacioacuten 101 291 Orientacioacuten de superficies en y campos normales 107
210 Manifolds con frontera 110 21U1 FUllciolles suaves ni 2102 Tangente 115 2103 Diferencial llG 2104 Orientacioacuten 117 2105 Embebimientos y submunifolds 118
3 FIBRADOS VECTORIALES 121
31 ~ociolles baacutesicas 121 32 Secciones de un ti 1mulo 130 33 Subfibraelos y secuencias exactas 131 34 Slwaf ele secciones el un filmtdo 137 35 Operaciones con fibrados 130
351 Fibraelo Tangente 11U 352 Fibrado dual 113 353 Fibraelo Cotangente 144 351 Producto exterior 145
36 k-formas diferenciales 146 361 Pull-Back ele k-formas 148 362 Suma de Whitney 151 363 Producto tensorial 152
364 Campos tensoriales 154 37 Pullback ele Ull fibrado 156
371 Fibraelo Tautoloacutegico 158
4 INTEGRACIOacuteN DE FORMAS Y COHOMOLOGIacuteA DE DE RHAM 161 41 Derivada exterior 161 12 Integracioacuten en manifoltls 166 43 Teorema de Stokes 169 44 Cohomologiacutea de De Rhalll 175 45 Invarianza homotoacutepica de la COhOlllOlogIacutelt1 181 46 Secuencia de Mayel-Vietoris 186
5 GEOMETRIA RIEMANNIANA 195
51 Tensor moacutetlico 195 52 vIeacutetricas inducidas 197 53 Longitud ele curvas y voluacutemenes 201
531 Paradoja de los lllellizos 205
54 Volumen de un m8uifold Riemnl111iHllo 208 55 Conexioacuten estaacutendar en 210 56 Curvatura Gaussiana 213
CONTENTS v
22157 Conexiones afines 58 Transporte paralelo y geodeacutesicas 223
59 ConexIacuteoacuten de Levi-Civita 226
510 Curvatura 229
Introduccioacuten
Fue Riemanl1 qUlell por primera vez intuyoacute el papel ceIltral que ingariacuteau la Topologiacutea y la Geometriacutea en el desarrollo cio las matemaacuteticas 1lucllos problcshymas pertenecientes a aacutereas aparentemente tall alejadas de cuestiones geomeacutetricas como por ejemplo la Teoriacutea de ~uacutemeros o el Aacutelgebra Conmutativa han sido reconocidos corno problemas geomeacutetricos Este es el easo de la famosa Conjeshytura de vVeil y dc MordelL En realidad el uacuteltimo siglo y medio ha preseuciaclo el desarrollo de aacutereas enteras de la Geometriacutea (la Glolletriacutea DifereneIacuteaL la Geshyometriacutea Algebraica Compleja la Topologiacutea Algebraica y la formacioacuten de toda una red de interacciones entre estas aacutereas y lt1( dlas eacutel su (Z COIl otras ramHS de la matemaacutetica algunas veces llltrieacutendolas y otras v(ns sirvi(ndos de ellas En las uacuteltimas dos doacutecadas ha surgido una rdacioacutell profuuda y mlly fructiacutefera entre la Geometriacutea y las teoriacuteas de uuificacioacuten de la fiacutesicH Dnsd( la deacutecada de los setenta IOH fiacutesicos han reconocido lo quP Einst(Uacutell ya habiacutea illtuiacutedo claramente el papel fundamental que jugariacutea la Geollletriacutea el la foacutenllulacioacutell y
unificacioacuten de los principios fiacuteHIacuteCOS Podriacutea decirse sin exagera qne las lllodershynas teoriacuteas fiacutesicas no son otra cosa que teoriacuteas geomeacutetricas como si el Programa de ETlangen se extendiera a otros dominios Las ideas de las teoriacuteas gauge y de la supersimetriacutea por ejemplo han inspirado la formulacioacuten de lllWVOS poshytentes invariantes en topologiacutea diferencial 11-dimellSioual sin duda HilO de los avances maacutes grandes y revulocionarios en esta aacuterea COlllO la teoriacutea de DOllalcboll y teoriacutea de Seiberg-vVitteu Estas intenucionei hacnl posible que 1II1 d(sarrollo en fiacutesica teoacuterica sirva indirectamente para clItendcl HU f(lIOacutelllClIO eH T(orIacuteCt t( ~ uacutemeros Hay numerosos ejemplos de (osta situacioacuten COlllO por (j(olllplo la sllpershysinwtriacutea la teoriacutea de los Calabi Ya-u de campos y la profuuda cou0xioacuteu cutre la series de Poincarc y sus aacutellalogos diofamiacutellos ((I [1OD- Este esl ado de cosas ha forzado a que los matemaacuteticos se hayall isto obligados a hablar varios idiomas
Existe Ull buen nuacutemero de obras introductorias a la Topoloiexcliacutea y la G(olll(middottriacutea DiferenciaL A juicio del autor la prcsclllt ubra SI separa de las dmwts (H
varios aspectos En primer lugar los cOlceptoi gt( IJICselIt al uSHudu el lfuguaje de sheaves Esto hace quc el estudiante aCOStlllllhl( desele el inicio (k su formacioacuten a un lcuguajc muy versatil y poteute aUllqU( difiacutecil ((-([( d pIUItO d( vista teacutecnico Esto ofrece muchas ventajas porque lmce que f(lIOacutellWllOS di-iacuteulikti se vean corno manifestaciones de principios maacutes generales Asiacute muclJOs de los resultados de la teoriacutea de manifolds suaves se puedfm apreciar COIIIO caso-
Vil
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
UNIVERSIDAD NACiONAL) COLOMBIA ---------W~MEJmiddot~
DFPTO DE BIBLIOTECAS BJBLlOTECA EFE GOMEZ
lV CONTESTS
281 Puntus criacuteticos y regulares valores criacuteticus y regalan 99 282 Teorema del embebimiento de Whitney 101
29 Orientacioacuten 101 291 Orientacioacuten de superficies en y campos normales 107
210 Manifolds con frontera 110 21U1 FUllciolles suaves ni 2102 Tangente 115 2103 Diferencial llG 2104 Orientacioacuten 117 2105 Embebimientos y submunifolds 118
3 FIBRADOS VECTORIALES 121
31 ~ociolles baacutesicas 121 32 Secciones de un ti 1mulo 130 33 Subfibraelos y secuencias exactas 131 34 Slwaf ele secciones el un filmtdo 137 35 Operaciones con fibrados 130
351 Fibraelo Tangente 11U 352 Fibrado dual 113 353 Fibraelo Cotangente 144 351 Producto exterior 145
36 k-formas diferenciales 146 361 Pull-Back ele k-formas 148 362 Suma de Whitney 151 363 Producto tensorial 152
364 Campos tensoriales 154 37 Pullback ele Ull fibrado 156
371 Fibraelo Tautoloacutegico 158
4 INTEGRACIOacuteN DE FORMAS Y COHOMOLOGIacuteA DE DE RHAM 161 41 Derivada exterior 161 12 Integracioacuten en manifoltls 166 43 Teorema de Stokes 169 44 Cohomologiacutea de De Rhalll 175 45 Invarianza homotoacutepica de la COhOlllOlogIacutelt1 181 46 Secuencia de Mayel-Vietoris 186
5 GEOMETRIA RIEMANNIANA 195
51 Tensor moacutetlico 195 52 vIeacutetricas inducidas 197 53 Longitud ele curvas y voluacutemenes 201
531 Paradoja de los lllellizos 205
54 Volumen de un m8uifold Riemnl111iHllo 208 55 Conexioacuten estaacutendar en 210 56 Curvatura Gaussiana 213
CONTENTS v
22157 Conexiones afines 58 Transporte paralelo y geodeacutesicas 223
59 ConexIacuteoacuten de Levi-Civita 226
510 Curvatura 229
Introduccioacuten
Fue Riemanl1 qUlell por primera vez intuyoacute el papel ceIltral que ingariacuteau la Topologiacutea y la Geometriacutea en el desarrollo cio las matemaacuteticas 1lucllos problcshymas pertenecientes a aacutereas aparentemente tall alejadas de cuestiones geomeacutetricas como por ejemplo la Teoriacutea de ~uacutemeros o el Aacutelgebra Conmutativa han sido reconocidos corno problemas geomeacutetricos Este es el easo de la famosa Conjeshytura de vVeil y dc MordelL En realidad el uacuteltimo siglo y medio ha preseuciaclo el desarrollo de aacutereas enteras de la Geometriacutea (la Glolletriacutea DifereneIacuteaL la Geshyometriacutea Algebraica Compleja la Topologiacutea Algebraica y la formacioacuten de toda una red de interacciones entre estas aacutereas y lt1( dlas eacutel su (Z COIl otras ramHS de la matemaacutetica algunas veces llltrieacutendolas y otras v(ns sirvi(ndos de ellas En las uacuteltimas dos doacutecadas ha surgido una rdacioacutell profuuda y mlly fructiacutefera entre la Geometriacutea y las teoriacuteas de uuificacioacuten de la fiacutesicH Dnsd( la deacutecada de los setenta IOH fiacutesicos han reconocido lo quP Einst(Uacutell ya habiacutea illtuiacutedo claramente el papel fundamental que jugariacutea la Geollletriacutea el la foacutenllulacioacutell y
unificacioacuten de los principios fiacuteHIacuteCOS Podriacutea decirse sin exagera qne las lllodershynas teoriacuteas fiacutesicas no son otra cosa que teoriacuteas geomeacutetricas como si el Programa de ETlangen se extendiera a otros dominios Las ideas de las teoriacuteas gauge y de la supersimetriacutea por ejemplo han inspirado la formulacioacuten de lllWVOS poshytentes invariantes en topologiacutea diferencial 11-dimellSioual sin duda HilO de los avances maacutes grandes y revulocionarios en esta aacuterea COlllO la teoriacutea de DOllalcboll y teoriacutea de Seiberg-vVitteu Estas intenucionei hacnl posible que 1II1 d(sarrollo en fiacutesica teoacuterica sirva indirectamente para clItendcl HU f(lIOacutelllClIO eH T(orIacuteCt t( ~ uacutemeros Hay numerosos ejemplos de (osta situacioacuten COlllO por (j(olllplo la sllpershysinwtriacutea la teoriacutea de los Calabi Ya-u de campos y la profuuda cou0xioacuteu cutre la series de Poincarc y sus aacutellalogos diofamiacutellos ((I [1OD- Este esl ado de cosas ha forzado a que los matemaacuteticos se hayall isto obligados a hablar varios idiomas
Existe Ull buen nuacutemero de obras introductorias a la Topoloiexcliacutea y la G(olll(middottriacutea DiferenciaL A juicio del autor la prcsclllt ubra SI separa de las dmwts (H
varios aspectos En primer lugar los cOlceptoi gt( IJICselIt al uSHudu el lfuguaje de sheaves Esto hace quc el estudiante aCOStlllllhl( desele el inicio (k su formacioacuten a un lcuguajc muy versatil y poteute aUllqU( difiacutecil ((-([( d pIUItO d( vista teacutecnico Esto ofrece muchas ventajas porque lmce que f(lIOacutellWllOS di-iacuteulikti se vean corno manifestaciones de principios maacutes generales Asiacute muclJOs de los resultados de la teoriacutea de manifolds suaves se puedfm apreciar COIIIO caso-
Vil
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CONTENTS v
22157 Conexiones afines 58 Transporte paralelo y geodeacutesicas 223
59 ConexIacuteoacuten de Levi-Civita 226
510 Curvatura 229
Introduccioacuten
Fue Riemanl1 qUlell por primera vez intuyoacute el papel ceIltral que ingariacuteau la Topologiacutea y la Geometriacutea en el desarrollo cio las matemaacuteticas 1lucllos problcshymas pertenecientes a aacutereas aparentemente tall alejadas de cuestiones geomeacutetricas como por ejemplo la Teoriacutea de ~uacutemeros o el Aacutelgebra Conmutativa han sido reconocidos corno problemas geomeacutetricos Este es el easo de la famosa Conjeshytura de vVeil y dc MordelL En realidad el uacuteltimo siglo y medio ha preseuciaclo el desarrollo de aacutereas enteras de la Geometriacutea (la Glolletriacutea DifereneIacuteaL la Geshyometriacutea Algebraica Compleja la Topologiacutea Algebraica y la formacioacuten de toda una red de interacciones entre estas aacutereas y lt1( dlas eacutel su (Z COIl otras ramHS de la matemaacutetica algunas veces llltrieacutendolas y otras v(ns sirvi(ndos de ellas En las uacuteltimas dos doacutecadas ha surgido una rdacioacutell profuuda y mlly fructiacutefera entre la Geometriacutea y las teoriacuteas de uuificacioacuten de la fiacutesicH Dnsd( la deacutecada de los setenta IOH fiacutesicos han reconocido lo quP Einst(Uacutell ya habiacutea illtuiacutedo claramente el papel fundamental que jugariacutea la Geollletriacutea el la foacutenllulacioacutell y
unificacioacuten de los principios fiacuteHIacuteCOS Podriacutea decirse sin exagera qne las lllodershynas teoriacuteas fiacutesicas no son otra cosa que teoriacuteas geomeacutetricas como si el Programa de ETlangen se extendiera a otros dominios Las ideas de las teoriacuteas gauge y de la supersimetriacutea por ejemplo han inspirado la formulacioacuten de lllWVOS poshytentes invariantes en topologiacutea diferencial 11-dimellSioual sin duda HilO de los avances maacutes grandes y revulocionarios en esta aacuterea COlllO la teoriacutea de DOllalcboll y teoriacutea de Seiberg-vVitteu Estas intenucionei hacnl posible que 1II1 d(sarrollo en fiacutesica teoacuterica sirva indirectamente para clItendcl HU f(lIOacutelllClIO eH T(orIacuteCt t( ~ uacutemeros Hay numerosos ejemplos de (osta situacioacuten COlllO por (j(olllplo la sllpershysinwtriacutea la teoriacutea de los Calabi Ya-u de campos y la profuuda cou0xioacuteu cutre la series de Poincarc y sus aacutellalogos diofamiacutellos ((I [1OD- Este esl ado de cosas ha forzado a que los matemaacuteticos se hayall isto obligados a hablar varios idiomas
Existe Ull buen nuacutemero de obras introductorias a la Topoloiexcliacutea y la G(olll(middottriacutea DiferenciaL A juicio del autor la prcsclllt ubra SI separa de las dmwts (H
varios aspectos En primer lugar los cOlceptoi gt( IJICselIt al uSHudu el lfuguaje de sheaves Esto hace quc el estudiante aCOStlllllhl( desele el inicio (k su formacioacuten a un lcuguajc muy versatil y poteute aUllqU( difiacutecil ((-([( d pIUItO d( vista teacutecnico Esto ofrece muchas ventajas porque lmce que f(lIOacutellWllOS di-iacuteulikti se vean corno manifestaciones de principios maacutes generales Asiacute muclJOs de los resultados de la teoriacutea de manifolds suaves se puedfm apreciar COIIIO caso-
Vil
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Introduccioacuten
Fue Riemanl1 qUlell por primera vez intuyoacute el papel ceIltral que ingariacuteau la Topologiacutea y la Geometriacutea en el desarrollo cio las matemaacuteticas 1lucllos problcshymas pertenecientes a aacutereas aparentemente tall alejadas de cuestiones geomeacutetricas como por ejemplo la Teoriacutea de ~uacutemeros o el Aacutelgebra Conmutativa han sido reconocidos corno problemas geomeacutetricos Este es el easo de la famosa Conjeshytura de vVeil y dc MordelL En realidad el uacuteltimo siglo y medio ha preseuciaclo el desarrollo de aacutereas enteras de la Geometriacutea (la Glolletriacutea DifereneIacuteaL la Geshyometriacutea Algebraica Compleja la Topologiacutea Algebraica y la formacioacuten de toda una red de interacciones entre estas aacutereas y lt1( dlas eacutel su (Z COIl otras ramHS de la matemaacutetica algunas veces llltrieacutendolas y otras v(ns sirvi(ndos de ellas En las uacuteltimas dos doacutecadas ha surgido una rdacioacutell profuuda y mlly fructiacutefera entre la Geometriacutea y las teoriacuteas de uuificacioacuten de la fiacutesicH Dnsd( la deacutecada de los setenta IOH fiacutesicos han reconocido lo quP Einst(Uacutell ya habiacutea illtuiacutedo claramente el papel fundamental que jugariacutea la Geollletriacutea el la foacutenllulacioacutell y
unificacioacuten de los principios fiacuteHIacuteCOS Podriacutea decirse sin exagera qne las lllodershynas teoriacuteas fiacutesicas no son otra cosa que teoriacuteas geomeacutetricas como si el Programa de ETlangen se extendiera a otros dominios Las ideas de las teoriacuteas gauge y de la supersimetriacutea por ejemplo han inspirado la formulacioacuten de lllWVOS poshytentes invariantes en topologiacutea diferencial 11-dimellSioual sin duda HilO de los avances maacutes grandes y revulocionarios en esta aacuterea COlllO la teoriacutea de DOllalcboll y teoriacutea de Seiberg-vVitteu Estas intenucionei hacnl posible que 1II1 d(sarrollo en fiacutesica teoacuterica sirva indirectamente para clItendcl HU f(lIOacutelllClIO eH T(orIacuteCt t( ~ uacutemeros Hay numerosos ejemplos de (osta situacioacuten COlllO por (j(olllplo la sllpershysinwtriacutea la teoriacutea de los Calabi Ya-u de campos y la profuuda cou0xioacuteu cutre la series de Poincarc y sus aacutellalogos diofamiacutellos ((I [1OD- Este esl ado de cosas ha forzado a que los matemaacuteticos se hayall isto obligados a hablar varios idiomas
Existe Ull buen nuacutemero de obras introductorias a la Topoloiexcliacutea y la G(olll(middottriacutea DiferenciaL A juicio del autor la prcsclllt ubra SI separa de las dmwts (H
varios aspectos En primer lugar los cOlceptoi gt( IJICselIt al uSHudu el lfuguaje de sheaves Esto hace quc el estudiante aCOStlllllhl( desele el inicio (k su formacioacuten a un lcuguajc muy versatil y poteute aUllqU( difiacutecil ((-([( d pIUItO d( vista teacutecnico Esto ofrece muchas ventajas porque lmce que f(lIOacutellWllOS di-iacuteulikti se vean corno manifestaciones de principios maacutes generales Asiacute muclJOs de los resultados de la teoriacutea de manifolds suaves se puedfm apreciar COIIIO caso-
Vil
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Vll1 CONTENTS
particulares de teorema maacutes gellerale lo cual 1lt facilitani al lector sin mucho esfuerzo hacer una transicioacuten a los temas de la GltolIHtriacutea Algebraica Compleja y la Teoriacutea de esquemas que el HutOl pIacutefllm r(snrrollar en un segundo vulumen qU( la continuacioacuten uatural (k (st(
Por otro lado y en forma simultaacutenea la teoriacutea se ha pns(Jltculo (11 forma claacutesica lo cual ofrece grandps veutajas p(dagoacutegicas y el lllahrial se ha HCOlllshy
pauumlado de IlUlIlerosos ejemplos escritos (n Ull lenguaje ql( es COlllUacuteU 11 fiacutesicos y matenuiacutetiacutecos
El libro COlIsta de einco capiacutetllos El prilllcr capiacutet ulo cs iexclmlilllinar al
resto de la obra En eacutel se desarrollan los pwlimillares (Id iacutelgd mt llHlltiIIacutelHal y se hace un repaso de los y resultados buacutesicos de T()[lologiacutea Gmwlal y Caacutelculo Diferencial que seraacuten lIsados en capiacutetulos post0riorps Este capiacutetulo contiene ademaacutes una introduccioacuten autocouteuida a la teoriacutea de slHaves y espacios anilladoH
En el segundo capiacutetulo He introduCtn los objetos baacutesicos de ifolds suaves y sus rnorfislllos se presentan las cOllstrucciones mHlt
En el tercer capiacutetulo se hace un ostuclio de las propiedadlH Huiacutes h(iexclsiacutecas de loiexcl fibrados vectorIacutealos y sus slwaveiexcl de iexcleccioucs Los claacutesicos (1ltgt la geometriacutea campos vectoriales te11sores formas etc He i1111odl((n COlllO
elementos dl~ la correspondiente sheaf de secciones asociada el HU fiacutelJrado En el cuarto capiacutetulo se hace un etitlHlio de la integracioacuten lt11 IWtllifo(ls y
se da una prueba del teorema de Stokes y sus ajJlica(i(llH~s So illtrodlc(~ la Cohomologiacutea de De Rham sp dellHwstran sus propiedades I)(iacutetiicas y se da al fiacutenaluna serie de aplicaciones Se ([(lIllleSra d T(~orellla de la curva dc JonlHlI
el Teorema del punto fijo de Brower v el Teorellla dc iuvaliallZa de dOlllillio En el quinto y uacuteltimo capiacutetulo se illtrodllC(1l los COllceptos ()iexcl~ la geacute()lldliacutea
Riemallllialla la meacutetrica los campos tcnsorialps las (owxioHs afillPs la noshycioacuten de transporte paralelo de curvatura pte y se dClllWstrHIl de los teoremas claacutesicos como el Teorema d( GHUS y el Teorema de LevishyCivita
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Chapter 1
PRELIMINARES
El este capiacutetulo desarrollaremos las herramientas baacutesicas del lllllltililleal e introduciremos cllenguaje de sheaves y Plpacios anillados Cou d propoacutesito d(middot fijar la notaciOacutell y facilitar la l(~ctura de los capiacutetulos siguIacutecmtps ]W1l10S incluido todas aquellas definiciones y teoremas que seraacutell usados lllclS addallh omitido la demostracioacuten de aquellos teoremas que hacclI partlt d( los Clll)()S baacutesicos de Topologiacutea y Caacutelculo y que cllector puede ellloutrar ll la mayoriacutea d( los textos estaacutendar Sin embargo el lector Cllcontraraacute un tratamicllto antocoll(lliltlo y
completo de los resultados maacutes especializados como por cjClIlplo la (xistcucla de particiones de la unidad y la forma local (lP illlU(rsiollCs y slllmHrsioHs en ]Rn Por otro lado ell lo que cOllcierne al aacutelgebra slpoIldnlllo soacutelo uu miacutenimo de prerrcquisitos por parte del lcctor baacutesicamente (l Illahrial de Illl
primer curso de aacutelgebra lineal Se ha incluido un tratamieuto cOll[lleto (1lt los productos tensoriales y los productos clll~m que pued( (xtelld(rsc sin dificultad a la categoriacutea de moacutedulos sobre una anillo eOIlmutativo ya la categoriacutea de shcaves Esto permitiraacute al lector la posibilidad sil esfuerzo adicioual de (nlemler las mismas construecIacuteoues en otras categoriacuteas que aparecell Pl aacutelg(bra y g(ollHtriacutea
algebraica
Estas uotas han sido escritas en el letlguaj(c de sheaves y cspacios Huillados Es difiacutecil encontrar UIla buena refercucia Cll el terna ya que cada autor (scog( la presentacioacuten y grado de generalidad que maacutes le cOllvimle clepemlienclo eh su imereses y necesidad Por esta razoacuten lIerllos incluido Ul tratallliento sucinto pero completo de los conceptos baacutesicos y ]iexcl(lllOS (lesalTollaclo las llociOlIC- el llll
grado de generalidad adpclIado para IlIHstros propoacutesito El lector 110 teudruacute ninguna dificultad en hacer los ajustes necesarios pma cOlllpnmdeacuter lllH pr0shyselltacioacuteu maacutes geueral como por ejemplo aquella que aparece (11 la categoriacutea de esquemas sobre anillos conmutativos
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
2 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 Algebra Multilineal
En esta seccioacuten construiremos el producto censorial y pI producto cuuacutea d( esshypacios vectoriales sobre un campo cualquiera k Si el lector lo prefiere Jlllcde suponer que k es un campo de caracterIacute~tica cero () qlW A es Jt Helllos optado por una presentacioacuten distinta a la que aparece en la mayoriacutea de los textos de topologiacutea y geometriacutea diferencial y que a pesar de ser maacutes abstracta ofrecc ventajas considerables ya que permite extem[(J en fOrJneacutel casi autolllMica las mismas construcciones a otras categoriacuteas El ledor podraacute ellcontrar la mayshyoriacutea de lal definiciones y dplllotracioues en cualquier texto (tltllHlar de aacuteliexcllebra lineal Un tratamiento completo s iexclmed( COlSllltar (11
111 Conceptos baacutesicos de aacutelgebra lineal
Bases y matrices
Sean V y TV espacios vectoriales de dimensioacuten finita sohre un camJlo k Cada escogencia de bases Ev VI V n y Ew 11J 1 l11t para V y rv da
a una representacioacuten matricial de los vectores de V (respectivamente de
lV) como columnas con entradas ~n A a cada v V v l(~ asocimnos
el vector (que denotaremos por [VjL)
Si J ltT bull H es Ulla transformacioacuten lillenl dello aremos por F - eacutel la matriz asociada a la funcioacuten f en las bases El y Bw la COtUlllla i-oacutesinm de F es el vector colnmna COl eulTadas al j an) que SOl los coeficientes cld
veetor Jiv]) expresado en la base Bmiddot Es (keir fCc)) (1i j 11Jj Como caso I
particular si V lV y J es la identidad la lllkuriz [ld]HIIG ln-cismncn( la(Ciexcl
matriz de cambio de base de la base B a la lgtase E C01l esta notacioacutell se ve faacutecilmente que
[V]Bn = [Id]BlB
Esta correspondencia entre trallsfonllaciones lineales y matrices se comporta bien con respecto a la composicioacuten dI funcionuumls Es decir si f V lF Y 9 middotV -) U son transformacioneti lineales y El B vii Y son bases para V lF v U respectivamente cntonces se demuestra en los cursos elementales de aacutelgebra
lineal qUf
[9 () Bl
Dual de un espacio vectorial
Recordemos por otro lado 4UC el dual de tl que dCllotnrmnos por V es el (spashycio vectorial de todos los funcionales lillcales a k es decir despacio HomdV
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
011 ALGEBRA MULTILINEAL
Si f V _ vV es UIla trallsformacioacuten lineal f iucluce calloacuteuic8mellt( uua traUiishy
formacioacuten lineal vV -- V la cual enviacutea a cada w H e11 01 fUllcional w () f E V En otrao paJabras f es el modismo que r8sulta de aplicar a f V --+ vV el functor HOIDk k) Para cada base B~ = 11 iexcl bull v denoshy
ntaremos por BV a la base dual de Bv vI bull u la cual cOllsiste dp todos los funcionales v l que toman el valor 1 el v y cero en cualquier otro I) (011
j liacute Es fuacuteeil ver que si F ~flsol3 representa a f eH las ba-es Biexcl Y BImiddot eJl tOllC(e- la nUlt1iz de F que cieno taremos po F c]llIcscnta a
en la5 JaSC8 es decir
F=
En generaL si V y IV son espacios vectoriales HOlIlkCV n) den()ta el espctciu vectorial de todas las funciolles lineales de V a H eOIl las op(~ra(i()ll(- llaturales Si la dimellsioacutel1 de V es n y la de Hi es 11 e-it(~ (spHcio ti(ll( dIacutelt(u-iioacutell mu Ademaacutes cada escogeucia de bases Bv Y Bn para 1 v IV definemiddot 1111 IacuteSOlllorfislllo
eutre d cOlljunto lvlat nx (k) de todas las matrices 11 x n COll PlltradiexcllS (11 k HomA( V W) viacutea d
Homk(V H) --+ Matnxn(k)
f l3 w 8
Funciones bilineales
Recordclllos que Ulla funcioacuten B 1 x H --t Z se llama bilineal si es lilleal 011 V Y ell IV Si fijamos bascs Bv Y Bw para V y IV cutollces B puediacute SiClllllH
representarse el forma uacutellica como
B(v = [v A (11)
donde la entrada j) de A eotaacute dada por Wiexcl) (como (ll el paacuterrafo anterior hemos denotado por el la trallSplW-it a -v(ctor tila- dd (COl )o
A esta matriz se le denomina la rrwb-iz I1socuacuteula 11 B (U las has( B y B Y la denotaremos por lBl 13 w l3 Vu caso pHrtIacutecl1lmllHllte IacutelllportallU (S Hltjlld
donde V iexcly Supongamos que Biexcl y B2 SOl dos has para V COlllO
[11]13 y = [Irl] 8 213 cmo que
B(v w) [B]l3c l32 ([V]8 [Id]6
2 6) [B]3 ([Idjl3c3iexcllv]siexcl)02 132
[VjB (tldlB02l3iexcl [B]H262 [Id]B 2 6iexcl )
De la unicidad de la representacioacutel (11) sigue que la matriz dada por el producto en pareacutentesis debe ser [B]3iexclBiexcl de d()ll(h~ se dpduc( que las lllatrius qm representan a B en las bnses B1 y B2 estaacuteu relacionada por la f6nllula
[I el] 130 l3 iexcl bull (12)
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
4 ClJAPTEH 1 PHEUMINARFS
Recordemos que una fUIlCioacutelI bililleal se llama uacutell(gttllm si E( u l) - 1) Es faacutecil ver que la condicioacuten necesaria y suncicllt( para q1llt n sea silllNrica (S
que su matriz asociada lo sea B se dice deinida si u) () y (S
cero si y soacutelo si 11 O Si B es siacutemeacutetriceacutel y definida positiva sobre los lIUacutellWl(JS reales ell)nceso de Gmm-Schmuacutelt produce H partir (k UIla has cualquIacute(ra B ~ V1 V Ulla base ortonolmal para B es d(~cir ulla base e iexcl 1middotmiddotmiddot en I n tal que B(eiexcl ej) 1 si i = j y B(ei ) = 0 sii =1 j El vpctor CI se defilJ(
corno e1 v 1111 1 donde deuoa la norma de v r(~HI)(cto a B) ( inductivamente se COllstruyen e2 ek C01l (Amiddot ICAI y
k-j
Ck e - L D(cJ ( 13) i=1
112 Productos Tensoriales
Sean V yrv dos (spacios vectoriales so1gtn 1 El objetivo (S cOllstrllir llIl (siexcliexclacio vectorial V IX rv con la siguieute propiCclad lllliv(rsal dado nwhiexcllli(l flucioacuteu hishylineal entre espacios vedoriales B V x IV Z existe UlJa iexclmica t ramrorIla(iuacutell
lineal L f3 f IX rv -gt Z que hace COllltlutar el sigllicllllt diagraltla
v x lV eacutel
VW donde la funcioacuteu eacute estaacute dada por v w-Jo es difiacutecil lt1 qW
la pareja (V IX rv eacute) es uacutenica salvo isomorfismos d(~ espacios vedoriaks siacute (U eacute) fuese otra pareja con (sta propieclcHl hacielldo Z U y B El existiriacutea
V rv U tal que -c El En forma similar existiriacutea U -7 V) iV
tal que L E Por tanto ( e ) o E de donde se sigue que
hace conmutar el diagrama
V x lji E v
leacute V vV
Pero la fuucioacuten idCIltiacutedad Id VIl -gt IV tmnhihiexcl hace COlllllnt ar (stlt
diagrama y esta fUIlcioacutelI (S lIacuteuica por t alIto (Le 1d EIl fuacutenultl similar se Illuestra que L L es la i(kutiduumld de lo cllal se (ollduve qw L (S iexclm
isomorfismo con iuversa
Construccioacuten del producto tensorial
Sea F el espacio vectorial sobre k el cual tiene por base al coujuuto B W) e E VW IV Este espacio consiste de todas las posibles combinaciolIes
lineales finitas de elementos e(11 tU)
Vi fw E W 11 01F f f al
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 ALGEBRA MULTILINEAL
domlc do elelllentos de F son iguales si y soacutelo si sus codicieutes SOH iguales con las operaciones llaturales
(JI 12)(1 Ji h(vw)
(ctf) (J w) nf(u n k
Es flticil ver que F es un espacio vectorial v que B ps mm Jase para F Sea iexcl1 [ subespacio de F generado por todos 1m vc([ons de las formas igllIacuterut(s
l + 12 w) m) ((U2 w) H
2 w) w)
3 Wiexcl T wiexcl) - W2 )
4 (XW) - w)
Para todos lo u Vi V 1L lO iexclV e k El espacio V vV se define COlIlO el PS1Jaciacuteo cociellt ( F H es ducir COllO
el couj unto de clases de equivalencia de elemeut os de F moacutedulo la relacioacuteu de
eq uivalencia
Si f deuota la clase de equivaleucia de f las opelaCiOlles de espacio vectorial ell
1 vV se definen el forma natmal como
D(~notarelIlOS a la clase de equivalencia de w) por U lfI Como B iexclS UIla 1)Hse para las imaacutegenes de sus elementos son generadores PI el c()cieIluuml y por t auLo
todo elemento de l VV es una suma finita de la fOfma 0 v lUiacute Admmiacutes
como los vectores de tipo (1) estaacuteH en H se deduce que la clase ele e(v Wiexcl + y la clase de e(v Wiexcl )W2) son la misma Y por falllo (1 producto satisface
V (Wl VUgtiexcl v W2
En torma similar se ve que
Wiexcl V 1J2 V
y que a(c = uumll Ui = U (t11
DefimmlOs ahora l x vV V l COlllO d 11) 11 oSln1I10S qlC
(ll vV E-)satisface la propiedad universal ltllllllciada lwb arriba SU[lOngalllos que V ~V Z SOll eiexclvacIacuteos vectorIacute8les y que J] x ~r Z es It]lit tuumlmioacutell bilineal Mostremos que existe una uacutenica tnms[orlllacioacutell lilwal L u tal quP J] LB o iquest Sea lB F - Z la uacutellica tnlllsforlIlactOacutel liwal que satislan
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CHAPTER 1 PHELl[[INARES6
1B B (v 11J) para cada elemGllto de la bw-e 10) PUCOitO que B POi
tauto 1J5 iacutelldu((biiineal lB debe enviar a cada elemento de H ell
una transformacioacuten lineal LB F H -t Z tal que L 3 l3(ul1l De la
definicioacuten de LB Y se sigue qlW
La unicidad de LB es clara ya qult si Lu Y L~i satisfanll la igualdad ctlltltrior
coinciden en todos los dmuelltn de la forma e 11 CO110 esto gClInitll a
V W coinciden en todo V IV
Observacioacuten 111 Si L V )(i ~V - Z 18 una tnl1sImmucilIacuteI illl(ul cUlllqut(O
eliste B V x ~V Z biexclhncaltal que L J iexcliexcl basta delnir B( 1 U)II)
De aq1d se sig1Le sin d1ieultad que el vedoriacuteal de todas las hallsIorshyrnacione8 biacutelineales de V x IV a Z BiI(V x 117 Z) es natllmlmcnte zsolllOlfo a HOTlIk (V vv y el e) iexclJTIoacutesamenle lo julUiacuteoacuten ([fU (lva
B f--- Liexcliexcl
Proposicioacuten 112 Sean V[ 1 v W Z natumles
1 V Hl W V donde v w se envio ellu v
2 V (H Z)
W)iexcl(F2ln 1 (ldW) donde4middot (11 U V2 IV 11 bull V 11)(VI
5 En fOTma maacutes gcneml eTuacutedeun tsmlorfislllo (VI 1 i ~~ ) ( [VI iexcl j
~Vm) Ci 1 ~VI iexclJ) bull v H
6 SeanB I = VlVn lB2 = WlWII fiexcla8cs para V 11 vV vamente Entonces
nl jll
es una iexclase paTa 1 ~v lo Cual ([Uf daacuten( ~I IV) = 11111
Denl0stracIacuteoacuten Demostraremos soacutelo 4 y 6 Y dejamos al lector la pnwba de 1amp) afirmacIacuteoues re3tantes que sigue uua liacutenea de razollimuuml(iexcllto similar Para
demostrar 4 definamos la funcioacuten
B (VI ( 1 xW 11lraquowr IV IV
COlIIO
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
bullbullbull
11 ALGEBRA MULTILINEAL
E~ fuacuteci ver que B e~ bilineal Por la propiedad universal dd producto teusorial existe uua trallsformacioacuten lilleal
LB Ul (1
que cnviacutea a cada generador (v 1 v) 1J) en W bull bullbull U (() Por 01 ro lado para cada i defillamos Bi como la funcioacuten
VxHmiddot--iexcl 1middot 1) IV
B -(OmiddotmiddotmiddotViacutemiddotmiddotmiddotO) W
Es faacutecil ver que Bi e8 biliueal y por tanto iuducc UIla rrallsfonlla(ioacuteu iU1]
Ahora sea
() ePa VI lel 1 middotmiddot1 V IV
la suma directa de los Este mapeo enviacutea a cada generador
(VI exl 111 VI
(U
lgtltW)middot (vn w))
Un coacutemputo elmnclItal muestra que 06 o L H y LH o ti) la funcioacuten idnllida(l y por tauto LB c un isomorfismo DCllloStnlIIo~ ahom 5 Seau V y tV esshypacios vectoriales y Bv viexcl Un B Ull W iexcl bases para V IV l(spectivamcnte Entonces
V ti (kv 1 ( (1 (kv1 (iexcl) IlwlIl )
De 5 se que
V lel kVl kWII
Ahora de 3 se deduce que 11) (1 ((gtlS((WWa V 1 es isomorfo a la suma directa de los espacios k(viexcl u) lo CHal d(IIJlws(ra qw B Bw es ulla base _
Proposicioacuten 113 Sean f V --4 V Y g Hl --iexcl leV trauofornuuiacuteows lineales
1 f y 9 inducen forma natural una tnrn8oTrnaCIacuteoacuten lineal f y F ~V
F Xl leV dada 1)07
(J g)(u f(l)) X g(w)c=
si f V ---+ F Y g vV ~V son lineales 81 fiene ([U
(J 00 gil o (J g) V w~ F rv
18 iguol a (J f) (g og) V W iacute I
7
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
8 Cl1APTEH 1 PHELlillNARES
8 Sean Bv Bv bases JiI1H 1 Y V Ji BII y Biexclv bnw iexclmla H Ji iacuteV I resjJ(dlshy
varnente Si denotamos 1)07 F 6 ti G i(jjBl a las IILrlCCS
asocwdas a f ti 9 en estas bases entonces 111 matnz
a80Clada a f (j en las bases B Bw y Sv SIL es el iexclrloducto (Iacute(
Kronecker de F y G
Rec(lilemos que si A = y B sun lIatnc de t(llIa110 Ji X n 1
su pI()(lacto de KiOlleckf1 (jui deJlot([nIIws (po almso
es la IIWIiU de talwro I)( x uln duda el bluques pUl
A T3 [ B B 1
GpiexclB 011
DeInostracioacuten Para dmnotral 1 iJata definir f x IJ V xII ) V IV como f x g(v w) f(v) y(w) De las propuuml~(IHdcs dd producto j(llsorial s( sigue que f x 9 es bilinea Por la propiedad ulliverml del producto t(llsorial existe
Llty V -lt1 IV
que enviacutea a cada generador v XI W en
(u w) Hu) g(w)
y que es precuumlmrnmtte la fUllcioacuten cuya existellcia se queriacutea demostrar Para demostrar 2 basta ver quP U l) U (j) y (JI o f) ((j e cOIacutellcIacuterlell
ell cada demellto ele In forlllal gt 11 Pero (slo es claro Vil ij1H
((J g) ())(1) iexcl(f(u)) y(y(tl))-ce
Demostremos 3 Sean
B --- t 1 (JI Bu = w iexcl uu - J
y uiexcl
bases para 1 W V y ~V rcsprctivamcllte Sabemos qUl
Bv Bw II w] 1 Si nl S jlll
Bv x) S~~ v~ gtlt 1 Si S p 1 lt j q
S01l bases para V ~V y V n y que
U g)(Vi Wj) = f(u) Y(Wj)
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 ALGEBRA IULTILfNEAL
AdelllUacuteS
f(v)
En COllieCUellCia
p riexcl )LL
=] 5=1
Por otro lado F XJG es una matriz cuya columna iacute-eacutesima estaacute dada Cl hloqlJ(~s
por OiexclIB]
[ niexclB A su ve la columna i -oacutesIacutema de (Cita uacuteltima Illatriz e el (ctor
) IXP1( shycuyas entrada son precisamente lotl coeficiclltcs del vector tiado 811 la base Bv BR lo cual demuestra la proposicioacuteu shy
exiacutestean isoTlwfiwrw limeal cut V iexcllyEjercicio 114 Demuestre que XU E Vx IV en la IILnIorlIwrioacuteIHOl7lk(V ~V) el cual envIacutea a cada
lineal
PAQ)W V -- W iexcl (1))10
Productos rnultiacutetensoriales Vi Vmiddot EH forma similar se puede construir el producto tpuorial de (siexcllacios vntori shy
ales Viexcl bull Vo como Ulla pareja
12)
que satisface la siguiente propiedad ulliversal dada mm fllllcioacuten Illllltilillpal T existe una uacutenica transformacioacuten lineal LJ la cual lacc CO]lIl11lar el siguinlt
diagrama VI X X lro T Z
el Lr VI Cltiacute Vr
1 Ejercicio 115 Demuestre qUCA iexclx ~ El criste y es uacutenicu ouo Demuestn q1le si Ir V -- IV 801 lilshy
liulal
1 W
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
10 Cl-IAYTER L PHELl1I1NAHES
que entIacutea a c(u1a genef(u1oiexcl- u I 1 111 f I ( l 1 ) Ir (1) S( V12 V[ V2- Si V 2- I ya Iw iexcldo definido iexclIjilll iOmtlIc()1 VJ
I
corno 1) V
DeniacuteLcstle q1e eJIacutedc 111 iSOTnorfisuw (alloacutenim lu VI
liexcliexcluiPS para VI y lt ~i nmiddotSean Bv = v~ v~) y Bwiexcl W) 1 Bv de todos los
spectiVeacutetlllcnte Demuestre que el conjunto B = B productos
B Vl DV )1
es lna hase para VI gtltiexcl ~~ ~[Il(stH ltiexcll(o la mallIacutey que lql(oS(ollta a II iexcl Ir en las bases B y
Diexcl)
doude Aes el producto de Kroueckcr (le las llmtricc Al
113 Tensores uccfOluacuteiexclJ lJ V s[ dful Defilll1los 11 ClU()Definicioacuten 116 Sea V un
de tiexclpo (p q) como 1111 elemeno del
(V)
Si f V --gt V e V7LG fra(sfolTLGnoacuten lineal dd e8jiucio V 11 (mis1IIo JIIIshy
d7ue en f07rna naturol otm transformacioacuten liacuteneal que del1oalcllOs ]JO Tl) (I)
como
(V) (V)
iJJI
la cual cnula o cada elellulIto
T (JI y
en T - f(Ul) 1)
Iiexcl T I ) al p -lllllltdndu(Denotemos po Ip
tod(1~ la8 ji- tuplaOrdenado (COIl P lgtr
lil S
y por y a los vectores
(Vmiddot
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
1I ALGEBRA JULTILINEAL II
Sellu S el y 1 e l el dos hases clIa]csqlli(ra para iexcl y sean Smiddot l e ll
y 1 e l bull el f las COITCS])(llldi(llt(S Ims(s duaks para 1 Sabemos que
y 11 recorren todos 10s]J y q - lllllltiiacutell(licei ordenadus
y
1(Pq) Ip Y Sq recorren todos los 11 y q lllultiiacutelldicrs ord(uados
SOll bases para (V) (notemos que bitas contiellc ni~f demcnto ) S(iL
il B la matriz dc cambio de base de S a l~ Sabmllos (PI( A ( la lllatriz de cambio de base de 1 a S e decir il = 1 V(aIlIOS ahora como computar la matriz de cambio de base eutre y 1(11) ( cl()cir la Dmtrgt A(iexclIq) 1[31 Por defillicioacutell la colulllna j-oacutesillm lt1( il cstuacute
11
conformada por las entradas oi) de il talc que el
[3 Si bU cHl las (mIradas de esta matriz se) ti(ll(B a la matriz (il
bi) e Lu(go 1
- (l(t aiacutej Ci) xmiddotmiddotmiddot e) (
L-t 1)
=1 i=1
(lA)L (iexclj t 1151
Sea r un elemento de CI) y sean
L (TIT e JI
]fjTiexcl
eSl L 1 eiexclJ)gt1middotmiddotmiddot
IS
las escrituras ele T en las bases B(PI) y 1(11) resjwdivalllcntc Se Slgl L Cllshy
tonees de la ecuacioacuten 1A que los coeficieutes de l el la bas(~ Si rltlaciollall con los coeficientes el la base 1ediautlt I eL f(iexclrlllllla
l lJlia llotilii(iexclU precisa d(hmiacutea illcluir la dilll(llSiuacuteli (](gt V (jI omitinlllOi si (middot11 cs clam (11 d cOlltexlo
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
12 CilAPTEH 1 PHELI1lINAHES
114 Productos Cuntildea
Definicioacuten y propiedades
Sean 1 y H1 espacios vectOl iales sobre 1111 caltlpo f D(Il(LI~lll()S pOI al
Hproducto cartesiano l(r) de 1 copias lt( V Reconlelll()s qlllt 111lH hlltjuacuten lllllltishy
iliueal h V( r ---f se llama altelllwiexclfe si h( 1] bull 1 ) O (IHIlldo dos dI [as entradamps en el argUIllellto son esto (s (lIHldo 11 COl 1 Es fuacutecil ver que esta cOlldicioacuten (S ((plIacutevaleullt H ltjlllt
sig(a)h(ul Ir) (15 )
donde a es una permutacioacuten cualquiera de los sIacutembuloti 1 1 Y sig(a) dmlota el signo de la permutacioacuten 1 si a es par y (--1) si a es illl par) Para demostrar lo anterior basta ver que la afinrlltcioacuteu es ciprta para tnUlsposicioll(s Supongamos que a intercambia a ~ COll j es decir a (1)) C01lO h es alternallte
h(-c I ) bull + v j 1 + Lj bull Vf) c= O
lo cual implica que
h(Vl Vi Vj 1) = -h(v] 1 Pi middotbull
Definicioacuten 117 El plodllrfo CUfl(1 se d(~fil( mllo unll
NV es un vectonal ti
una TlLUlt ilineal alt (111011 te el clal suJisfaacutecl la Ji miexclnedo d
uIIive18al dada una IIIIIlilinen UtiTliillC f V(I) 11 iltSc 11(
uacutenica quc hace (()III1I11al c sUIIiexcln( datjllllU
1f(I) IV 1 T (Ui) AV
La pareja (11 1- T) es uacutellica salvo iSOllOrliHllOS COllO se ([(dlCC sill diflcultltHI de la propiedad universal Si (er
( V) TI) fuera otra pareja C011 (sta lllisma propiedad tomando V e r (V) en el diagrallla anterior y f= TI (~xistir(a LT NV cr(1f) liueal tal que LT T Ti Eu forma silllilar (~xistiriacutea
C(V) ---- 111-1 tal que 11 TI = T Por tallto (lT LT) o T T de dOlHlu se sigue que (L o L T ) hace COlllIlIl tar el diagmmicl
T 1 V ( L
T
Pero la fUllcioacuten idellt idad Idmiddot V t V taIllhi(1l hac( (Olllllll iexclal este diagrama por la condicioacutell ([( Ullicidad (l la propiedad llllivelsal se dcdllc( que (L T o L T ) Id En forllla similar se lI11wstra que Le O (S la icklltiacuterhHI de lo cual se concluye que L-r es Ull isomorfislllo COl iuvcrsn
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 ALGEBRA MULT1LINEAL
Construccioacuten
Si ] = O definimos to = y T como la identidad Para l O dCllotelllm por r (V) al producto (x) (lt) V T veces Sea IJj~ d subepaeio (~ctorial (h T( ) generado por todos los elementos (lc la forIlln
VI Vr~
donde J = Vj parai el j DefinlllW8 lV (OTlO el cooelle dI (YP(CWST(Ol
aes
y a T como a la compuesta T = Tiacute o
7T T()_--shy21~
donde recordemo que E(VI VI iexclYr y Tiacute e la funcioacuten canoacutenica al cociente A clase de equivalencia dp VI 1 e k d(llolarltIacute por VI t t Es claro de la definicioacuten qllP si dos entradas 1m este producto OIl
iguale el producto es cero En forma imilar a como vimos en (1
Vlt7(1) (VI v r )
para cualquier permutacioacuten (J Ahora mi h (r) _ H uua fUllCieacutelll lllultililHal alterllallte a Ull vectorial V y sea Lh la tnulsfonnaciciacutell lillPaI inducida en T( tOlllB el valor uro e11 cada g(lHrador (1( ll( Liexcl descIacutellldiexclgt al es decir induce U11 mapeo liacuteneal que por abuso de llot l(iciacutell dell()~
(aremos nuevamellte po) Lh
T(V)L V
hmiddot 211
Por otro lado por la propiedad universal de 1 (V) tiC i icm q1H h = f-iexcl () dmiddot lo cual se
h = Lh LII o T
La unicidad de es clara ya que dos mapeos que llagan COlllll1liar a (1G) coincideu eH los generadores de TV por tanto son Esto muestra iexcliexclUl
(N V es un producto C1llla
Ejercicio 118 Sea B = Wiexcl W lUla base pma V Si Vj 8( eiexclprCS(L 11 11
esta base corno Vj = iquest (Jiexcl)1i j 1 r ti A = de nota o matriz 1 x r 1=1
con entradas ai mueshe que
VI t v (irmiddot
donde la nmw TlXOTTe todos los T- mnltuacutenduacutec onlenado~ npelicioacuten) ([nI
denotaTemo8 por Ir 1 S iiexcl lt i2 lt n ti Al denota la matriz qnl SI
olJtiene de A seleccionando la) filasiacute 1 bull bull
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 CHAPTER l PRELIMINARES
Sea f V ---) lV una trausformacioacuten lineal EtiUumll fUllCioacutell illdlln otra tnmsforshyrnacioacutenlineal Tr(V) Tr(v) la cual cIIviacutea a caJa prodlldo 11 u en f(viexcl) CltJ bull Obviamcnte f(21~) 21 1v y por tanlo (kscieuce al eocicIlte Al mapeo illClucido lo dellotarmllOti por
If (V-4 (IV
ClaraIllellte si VI U son ectorCs di SI tiell( ltiexcll(
(rf)(UI 1 1) == (it) (11)
Ejercicio 119 Demllcstn (iexclal r 1 d Jd donde Id dCloto lu uacutellutldllll IJ
q1JC si g vV Z es entonces ll o f) = I f
Sean ahora B1 VI V y Bw 1It 11m 1iexcllSPS para V y 11 Sabemos que
Vil ( v] 1 S JI lt lt ni - I
y
TB w =middotwimiddotmiddotWil 11 lt1 In
son bases para middotV y iexclH Si A = [aIacutel dellotaAacuteI
calculemos la matri rA = (21 (de talllauacuteo es (-) merelllOS las filas y las (olmImas de Istn matriz usalldo 1 S i I lt ir S ni y J 1 S 1 1 lti n tomados (11 un ()J
del1 cualquiera por ejemplu ell ordell lexicognHico COIl esta llU1wracioacutell la colul1lna J-eacutesima puede calcularse de la IllHlHra
(l ( l7 tmiddotmiddotmiddot
y COlllO I1
1Liexclh middotw el Ej(rciacutecio 111- lOS piacuterlllitlt cOllcluir que i=
( vJ ) Ldd(AIJ)WilmiddotmiddotmiddotilIi
Ir
Esto muestra que la entmda (In J T) de A = Rw 13 estaacute dada flor el deshyterrninante de la submatriz A Ir r que 81 obtiene de [11 mut-iz A selecclu lando las tilasiacute1 ir ti las collllnTWS ji 1
Ejemplo 1110 8iacuteVyHtieelbasp8B t iexclviquestuiexcll ljB
]j f V -gt vV es [incal con 7Iwtliz A fflBil B SI tu 11 Iiexclue
(2Bl
2 Biexcli (IJ 1 W2 W I Iliexcl 112 Uj
son base pILrlL Vy IV Y 2I H fiacuteen( por InatTiz
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 ALGEBRA MULTILINEAL 15
IlA =
al a12 aliexcl a13 deg12 ( Iiexcl
021 deg22 I I U2l (2 I I (22 alj
al al2 aliexcl al (f12 (11
031 oll n~iexcll Gliexcl 0J2 (11I
([21 a22 (21 1L21 (22 (2
0J1 G12 (Lj iexcl (jj ilJ2 all
I I
I I I I Ejercicio 1111 Sea
donrp
- EBT(l) lo suma din1i a de los TW) 120
k
1 Ivluestre q1Le tipne una eslructila de 1 aacutelqebra aiOCluwa donde
el ]iTOducto de dos dementuuiexcl T () Y el () gt1 iexclefin( ((JIlO
UiexclWZ T+S(V) el cl1al hace de una riacuteY(J17 gmdladll
Sen 21v EB 21~ T(V) DPIIII1CS( (jn 21 es un ideal IJlII1Ial (Iwshy
1 1 1)1iU de T(V) Al cocientcT-- il le dcnota Ji 01 1 tiacute
Y se le llama el aacutelgebra alternallte de V IvFuebe qllc eriquestste lin iSOIIOIfiMIIO
canoacutenico
Il V ~ EB A V raquoO
y pOI tanto 1 V tiene una estrl1ctum de k- aacutelgclnmiddot(J qmdwula donde el iexclrI-oducto de dos clemento8 (iexcl = V iexcl 1 IV V IJ wiexclmiddotmiddotIC
10lt V estaacute dado POI (iexcl 1 VI JI 1 v 1 W iexcl 1 1 u (-j
J DemIlPstTC que el definido el 2 es asociativo y ItnIUmiddotOlIIlU(JliIJo
es decir qw(iexcl (-1 I(iexcl
Sea B = el en UIla hase para middotV Veamos qUf V (imH (omo hase al coujullto
8 1 I i 1I 1 lt iacute iexcl 12 lt 1 _ l
en particular 1(1 dinwIlsioacutell de NV es C) DenotPlllOS pm Alt(V) nl espashy
cio vectorial km C011 71 = e) y d(not(~lllOS a lo vectoJ(s de la hai( fstaacutew lar por el donde Ir recorre todo0 los p00ible lllllltiiacutelldiccs onlltgtlltHlus sill rcpdishyciOacutell lvlostraremos como construir una [ullcioacutell altcnmllt(gt alt (k tal rorllHl ltiexcllE
(AltF(V)alt) sea Ull producto cuila COlllO este producto (~s se dedll((~ que Alt(V) es isomorfo a (FV bajo el isomorfismo que enviacutea eacutel cada V(~(Lor Pll C-iiexcl 1 eil~ de lo cual se sigue que lrB es HIla base parel r~
Comencemos por fijar un orden cualquiera para la base
[ el Ir recorre lo multiiacutendiccs ordcnados SIacutell rejJetici(iexcln
Por ej(gtmplo el Ord(ll lexicograacutefico usual Ahora para l vectoresiexcl 1
1 sea Afla Inatriz n x [ cuya j-eacutesima columna es el vector col ulllllH (Ol (ntradn~
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
16 CHAPTEH PRELlIINAHES
alj anj las COllllOlj(clltltS de I (11 la lms l3 (S (kcir 11 11 liexcl l 1 f 11( 11 ) (
Definimos a1t (Vi bull 1Jr ) Ldet(AiJ)CJ
1
Proposicioacuten 1112 La (Alt(1l) iexcliexclIt) a iexclrlOpiedadlllll(TsIIJ de un pTlHlvcto curIa
Demostracioacuten Es claro que ah eiexcl lllUltilillpal a1tnllautp por laiexcl propinlad( elemeutales de la [uncioacutelI detenniwllltc Dado lll espacio v(ctorial V y mm hlllshycioacuteu f -t TV multiliuCit1 altJflwute vealUoiexcl q1lC cxiste uua uacutellica L iexcl liwa1 de enWtalque f LiexcloaltBastnddiluumlrLf(cL)=f(l ei)y extender este mapeo lillealmeute a AltT (V) Por definicioacutell ll(ei (iexcl) e bull y es claro tambioacuten que
)) I(Iiexcl ()
De esto se deduce qw
L iexcl(al1(viexcl f(PI bull 1)
ya que L iexcl es lineal alternante y fes 111lllriliacutelleal sen 1)
11
al t ( V iexcl VI) alt( al (eacutel L (ttlt iacute=l iexcl
n
1 s t
Pero
11
Lf(alt(viexcl U)) iexcl lt 11
(aI middot(Il(It It) l laquo1 lt
f( l 1 V )
ya que f es multilineaL _
Corolario 1113 Sea1lun JecorialrledimilIsioacuteullyl3- 11 bull ell
una base iexclJara V Corno rv lJ (Alt r (1l) (lit) 1(1 IIlOJiIClad IIni((shy
sal de 1ln pmducto son nahnulmentc i~OIWrf08 bajo un isommfismo que envIacutea a cada vector el de la base estaacutendul de AW(V en eiacute iexcl 1 leiacute PO tanto el conjunto
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
(8
n I ( 02 se e iexcliexclrfa
el pmdllcto
11 ALGEDRA MULTILlNEAL 17
EjeIllplo 1114 Sea B eiexclc2el la base UIu)nim de Rnol(CS I)
1 e2 eiexcl ea e2 1 ea r e8 UUI Jase para V SelLlUI ILI el + (12(2 + (( y
V2 blel + b3e3middot Si v denota el producto cIlfla de VI l11 IClIOS que
+112 el)
donde lo coeficientes ni) estaacuten dados pO1 los 111lIoei
at3
EEisfe un iSOIn01fisTno nauml entre l
eiexcl 1 e3 en -C2 Y 1 e3 en el Y que baJO e8te
en el Iedol ID ~ a2ciexcl aiexcliexclc2 t (12(3 EL ledol 11
iexcljedoriacutealusual (iexcl xv de 111 iexclgtOT 12 (lo (llJIl jWitiexclfic(l 1( del signo(i(((jll( I(f
menos para
iexcliexclcetorialesnn uacutewmorfiiirno de
Otra construccioacuten del producto curia
Supondremos en esta seccioacuten que d call1po 1 tielH carnd(riacutestica ((ro trlla construccioacuten alternativa dd producto CUIla bastanU eomuacutelI en la lIIayoriacutea c(
los textos de Geometriacutea Diferencial es la siguiente Denotemos [lor al gllpO
simeacutetrico de permutaciones en los siacutembolos 1 2 T Y definamos
(T) v) 1)
La cxprcsieacutem dd lado derecho es tlll dCllWllto de S(a Al t (F) (hu (al t)) Ved el lll)~s[laciacuteo de gellerado por la illlaglll ltlo la fllucioacuten alt El fllH al t sea lIlultilineaL se sigue sin dificultad ele la defillicioacuten Para ver qtI( (s altershyllante fijemos T (iJ) con i i j una transposidoacuteu cual(lllima Si (To (T SOliexcl los r elemelltos die Sr cualquier ordell) mltollClS C01llO (T Tia si (T i as sigue que aoT (TT SOll estos lllIacuteSllIOS lPlllCUumlOS esnitos (11 otro orden y por tanto
iacutell r
Vi Vi 01) I (Siglcr(l) -v- -v-
j
1)
(U)
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
18 CHAPTER L PHEUIlSARFS
Para cada pennut acioacutell a d sumando(T 1) ) (0 igual ltl 1)
vcrT(r) yen COIlS(gtcllcwia cada tnnino en (1) riplle Il1l (OT(SPOlH[illI( Iltnllillo en (11) que lo cancela Por tanto 2alt(vl r( 1 1) - (J de lo nml e (llt~duclt la alterllHllciH
Ahora dada f V(I) ~ TI Illlil flll)(ioacutell 1l11Jtililleal llkIllHllt( pOl la propiedad ulliversal ltId prodlcto fcllsorinL exis( llllil IrallCii)j)tlH(i(iexcl1l liwill riexcl
Lr Viexcl-)- 1 Iiexcl-)
Sea = LiexclIAlt (V) Se entonces quP
1 (VlVI)) [(PI 1)7~
a(S
~rf(vJ II) - f(lJ r
lo cual llluestra que la (Alt( ) alt) la pro11nlad unllcriol
dr un PTOrlucto cmla En psta construccioacuten (lO natural dellotar n cada el1l1PlltO
1)) por VI 1 1 VI
Ahora si uacute1 W SOl1 dPlllPltOS (lt V gtosihk idflltiJIacutelnr a j 1 middotIw
eH Al tI () COll uu objeto mlS fallliliar 101 (UlOS prillHro (IIJ(
Cada teacutermino del lado derecho de la igualdad PIll(l- iUlcrpr ars( (11 forma natural como ulla runeIacuteuacuten Illultiliueal definida COlllO
) WIT(r)(v r )
Bajo esta ideIltificacioacuten la Slllllatoria del lacio derecho es pr(ciacuteUlllullt el dct(rshyminan te de la matriz [w(viexcl)j y por lo hUlto l-cj 1 Iuacute se pll((k idclltiticaI ltl
su vez C011 la funcioacuten lllultilimal alterui1llt(
WImiddotmiddotmiddotIW
Denotemos por 1) el conj unto d(middot todas fllliCi()Jlls 1 ~mu] tilill(iexcliexcliexcls alterllantp a k Este COUjUlltO tUacute~IW Ulla estructura lIalund dc vectoril con las operaciacuteollc usuales de SUllla de flllwiOlws producto dp mm fuuciacuteuacuteu por un escalar Vealllos (ptlt (sLc (-iiexcliexclneio vectorial (S eillllmicHIlJltllliexclgt iolllorfo i1
IIV En prilller lugar la id(mtificacioacuteu (] 7) (S COllS(CHllCia dd isolllori-illlO
canoacutenico que exite CIl (re (1) y (vgtr)
V Vk)
que ellviacutea cada W (JI el fUllCiOlWI
(VI u) ) )
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 ALGEBRA 1JULTILINEAL iD
Ejercicio 1116 DemIJfst1e que A es un iSOIrwrfisllw de CSjlIUwslwctOnal8
Por Im(alt)) V V
Denotemos mteuamente por A 11 su Ieiitriccuacuteiacutell al subesj(lcju Alt( V) Deshymucstn ItIHA(Altl(V)) es ducdml(l
AlterwUltes( k)
Teorerna 1117 Sea (l en iexcluna basc para y dClotellw8 po e 1 en su base dual en V Entonces existe un ISOlImfisllto (auoacutenuacuteu
1 rv --t AlternautesV X x 11)
quc enViacutea a cada cLerrwnto eJ I iacute de La )(18e B v en la fU lfuacute5n ILaLtuumlmeal
alternante
l [e] I (V tl ( 1I (1 1 1 ~ det r ~ 1 ) (uiexcl)
Demostracioacuten Se del ejercicio anterior bull
Ejercicio 1118 Seai 1 -t Alt(I) el qHe (11 ufa IIU I Al
fn iexclalt(u l ) y sea
e A V iacute ------) V
La linea defiTLida COllW
(u 1 A t A v r +) 1 lA ( V A v iexcl
Dcmucstn que el es conmutativo
ei1 ~ iexclsV -)
donde el mapeo s estaacute qUe enviacutea elida clnilcnto de la
f(YIma
(V+ 1 +)
en L sig(aiexcl (JI
donde La sUrna se toma subTe todas las de bulOo 01 (s deeuacute sobre todas las perlTlutacwnes ([ue prcsClIluriquest PI Oden de lo~ cOllJuntos 1 iexcl yrtl s
Ejercicio 1119 Sea V liexcl V fa sIUfa directa de lo iexcliexclwspalios y 2
Denfuestn que existe un isomOfismo natural
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
20 CHAPTEH 1 [gt[(ELIJlJVAIU-S
12 Conceptos baacutesicos de topologiacutea
C011 el propoacutesito de fijar la llotacillll y fadlitm la kcl ma de lus capiacutelulos Siacutegll~ haremos mI esta seccioacuten un reCllltlltu de llOCiacuteOlWS baacutesicas de
topologiacutea y enunciarellos sin cPlIlostracioacutell resultados solmgt Illtl ri(tcioacutell de espacios topoloacutegicos qle S(nIacutelI (k utilidad (On (1 CH piacutet llJo 1 L El kcl UI podni encontrar las ddilliciolles y n~slll arios d( (sta S(gt((i()ll (11 cllalqIIUumli los t ltxtos baacutesicos de topologiacutea de jJlllltos por ltj(llIplo lt11 [1 i
Del1ocarelllOs 1111 espacio topoloacutegico COIlO UII panjn (X J) dOlld( X (s 1Il1
conjunto y T la coleccioacuten de abiertos que dcJiuc la topologiacutea COll el [rltJp()sito de simplificar la notacioacuten omitiremos C()Il frcctwlcia a T y nos rd(~rinlllos H
X como el espacio topoloacutegico Si Z X (S cualq11i(r sllbcOlljUllto Z lwreda de X en forma natural Ulla topologiacutea en la cllal los abiltrtos SOll ele la forllla U n Z COH U E T A esta topologiacutea la llalllanlllos la fopololjo h(cdllda de O topologiacutea relatiu(J o inducida CH Z
Los Cspacios topoloacutegicos formall tma cuyos lllorfislllos sOll las clones continuas Como es costllmbre a los isolllOrlisllHli (11 (sta catcgoriacutea los llamarelIlofi horneomolfisTnos v SOl prr~ciacutesalllCllt( atiexcllldlas fllllclUHS hiy((ti Veacutel
contilluas con inversa contilllla
Por llll entorllo abieTto de llll iexclHllltO iexcl E X o simplrlll(llte HU cllturno dI 1 que dellotaremos Jlor (lltrlldpre1110S Hit ahi(rto di T qul ((lllt(llga a 1
Recordemos que X SI llanln uu (siexcliexclneio si iexclmra cada par d( Pllttos distilltos1 y y cxistell ClltOlUOS ahi(rtos disjlluCos U ~ Fil H((orc(IIlOS ljlle uua base para T es uua cokccioacutell dE ahj(rtos U J COll la propuacutedad lt1lt qlll ltIndo cualquim abierto U y iexcl U exista llIl Pltlllruto d( In has( U U 1111lt (()llCUgi
al punto t X se llama conaMe si existe lila lm-gtc 1tlIlWUlhlc para 7 Por ejemplo si (X el) es un mNriu) (ti dellota ]iexcl fUIlCiuacutell distancia) lllta
base para X estaacute formada por todas las holas abiertas cI( (eutro p E X Y radio 7 gt 0 que denotaremos por D (p) 1 E X d(p lt La bola ((ITada sc
dellotaraacute por Br(p) Sea Y X UIl SUbCOlljUllto cualquiera La dalt8um ([( y laquo(11( ([ellotmullOs
por el (Y) se define como la iuterscccioacutell dc todos los cerrados (ll X quc cotlli(l(ll
a Y Su uacutedlIiOI que cellotanlllos yo sr defineacute COItlO nl conj1llto cI( todos los puntos y E Y para los cuales existe lll eutol110 abiero Y La flOlItila de Y que denotaremos por Fr(Y) es por defillicioacuteu d(Y) n d(X- ) Notellos que aquellos pUlltos de Y que no estaacuten en d illterior Iilt Y etAn Ilicesnrialtlent( en su frontera aUllque eacutesta el geiexcliexcl(~ral Illwele nmUller otros plulos quc lO estiacute1l
7Cll 1 Es claro cutollces qw Y yo U ( 11 Y) Por un (ubruacuteniento abieT o ele X (ntellrc~lrI()C uua colt(CiOacutell dI nLuacuterlos
A EA tal que X U Uo El cllhrimIacutecuto S( d(llomillH lO((hllenc 1
finuumlo si para cadar X existe uu clltonlO ahierto V qUi soacutelo IacutenterSicta un nUacutelllero finito de elemelltos de la co]((CiOacutell A Por 111lIefinlJlwJlo aiexclin10 de A se entemleraacute una coleccioacuten de abierto B H-iexcl I COll In propi(~dHiexcl (P que para cada VVo existe al mellOS un Un di la colcccioacutell A q1le lo COItiIJ(
Recordemos que Y e Xmiddot se llama (olleiexclo si 110 (s posihl( (IlCOlll rar abiertos
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
12 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE TOPOLOGIacuteA 21
u V en X tales que Y n U y Y n V sean eluumlijnntos 110 vaciacuteos Y sn lI11ioacutelI sea todo Y Esta propiedad es preservada bajo flllHiollei contin1(ti En gemIal todo Y e X se liuede escribir COllUi la unioacuten de (DUeTO
decir conCJ08 que no
en coneJO maacutes 9Tilrule) Y llamados las faacutecil ver que cada ~ es un cerrado
Recordemos que X se llama si de todo cnbrilllipllto ahierto de X sr puede ()xtraer una slIbcoicccioacutell finita quc cubra a X Cn SlI1HOlljllllto 1 X s( llama compacto si K lo es como espacio COll la topologiacutea rdaliva La propiedad de ser compacto preserva hajo fUlJ(i()I(s cOlUilllIas SI f X es continua y K X es compacto entonces f (K) taliexcleacute lo es En gClwraL
si L Y es compacto su preimagen l(L) no es llecesariaIllPllw Illl COlljuuto compacto La funcioacuten f se denomina JiTOpia si csto OCUlTe para (odo cOlllpacto LeY X se llama un espacio sccucncuacuteLlrrumfr cornllar(u si toda secmiddotwncia illfillita eH X tiene una sllbecuencin convergeutp S(~ cCHJletra (ll lo clIso elementales de topologiacutea que todo compacto eu Illl espacio Hausdorfl es CllTado y que todo cerrado en un espacio compacto talllbin es COllliexclmcto En llll espa(io moacutetrico las uociones de secuellcialmente (Ol1liexclHtcto Y compacto COillciacutedcll y Cl
IR 1m subconjuntos compactos S011 prpcisalllelltc aquellos conjuntos quc S011
cerrados y acotados El espacio X se denomina pamcompacto si X es Hausdortf y tiell( la [Jlo[luumlclnd
ele que para cualquier cubrimie1lto abierto A de X dado sielllpre (S [osilik (llshy
contrar un refinamiento abierto E localmente finito X se ccgtnominft lIIehuacuteable si es posible (hfillir una fllClOacuteII ti
X x X X de tallllallera que los abiertos cld (spacio lllNuumlco (Xd) semI los misllos abiertos de T X se denomilla localmpnfe mcrriaiexclc si pilla cada puuto
r E X existe un entorno U1 metrizable COl110 veremos (ll d priulIl capiacutetulo todo mallifold es locahnente hOlreomorfo iexcl mi uliexclicrto de [fl por tauto es localmente metriacutezable El teorema fUlldallHut id ltjllt clIad(riza a los espacios topoloacutegicos 1I10trizablps es el iguiengt
Teorema 121 (Smuacutenov) Un iacuteOJioloacuteqiro X es paracompacto y localrnente metuacuteable
Como veremos todo manifold es por definicioacuten Hausuorff y paracolllpaco Y como ya observamos localmente metriiacutemble de clomlc se sigue que todo Itanifold
es rnetriable
121 Espacios cociente
S0a X HU espacio topoloacutegicoy Ulla relacioacuten de equivakllcia e1l X DpllotaHlllOS por ~ al conj1l11to de clases de equivaleucia y por 1f X XI ~ a la fUllCioacutell canoacutenica que enviacutea a cada1 en HU clase de equivalencia que (1ltllutarnllOS por x La tOJioloJa cociente en XI se defilc como la coleccieacutem de todo los subconjuntos V cuya preilllagell J (V) (S alliacute(r (IIX TiacutepicUHlIU un espacio cociellte se obtiene o uacuteleufiexcljicllnlo dos (pacios tool(Jgi(os a traveacutes de un cierto subconjunto como se lIIuestra a cOlltimmci(Jll
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CHAPTER L PRELlJII1VlHES22
Sean Yiexcl Y Y2 dos espacios topoloacutegicos disjuutus y sean U ~ abintos Supongamos que cp U] ~~gt lh es un hOlllcomorfilllo y s(~a X la llllioacutell disjullla Y1 U Y2 con la topologiacutea obvia (rV X es abierto si y soacutelo Hi ~V (l y e Y es un abierto) Denotemos por R a la riexcl]acioacutell de (~qllivnl(llcia qm COllHistp (le todos los pares de la forma (ti E - o d(~ la forma (iexcl cp(())r U iexcl V sus
simeacutetricoH [ E Al espacio XI R SI le ceHllllimt d pSiexclJaeiacuteo ltiexclle SI
obtiene de ideutificar a Yiexcl Y YZ pegando o id(iexclltiacuteiicltlltO a U i con l2 Es luacutecil ver que si j Yi ~-gt XRes la COlllpupstn (le In illclllSiuacutell uatural iexcl l)
y la fUlcioacuten canoacutenica Jr pntOlI((0S cada ji es UlI HillllOIl1odisIIIO a su illlag(n y
jiexcl (Yiexcl) U h XI R Ademaacutes JI (UIJ f2([2) y i2~ I Dil p
122 Acciones de grupos
En esta seccioacuten el lector CllCOIttraraacute aquellos COIHCpos mc(sarios para la 011shy
st Iuccioacuten de manifolds cocielltc En Ulla prinwrn ((lira d kctol PIHltI( hanr caso omiso de aquellos resultados que hacen rdmellcia a manifolds y releer ltCila
seccioacuten despueacutes de que haya asimilado los conceptos hsicos del Capiacutetulo T
Definicioacuten 122 Sea G mi 9nLlO y Xun conjunto Una (uiaacuten de G (1 X pG X Xtalquep(Liexcl)=lyp(yp(hiexcl-)) p(yh r)
T E X donde 1 E G denota el dCIflento nl1dlv
Es costumbre escribir p(y 1) comu tJ 1 de lllodo CiexcllIlt las dos (olldiciOlI(S
anterior se convierten ell
1 r 1 11 (h (iexcliexclJ) x
para todo g h G( X fotelllos que para todo y G la apiacutecacIacute(iacutell
Pg X ---+ X defilliacuteda por (1) p (y 1) es hiVf(otivH COIl illYlISH (J) 1 Si S (X) dCllota el grupo d las livlt(i()[t(s (11 X (011 la o[wra(i(m dI (Olllj)(lSiciacuteOacutell
(mtollces la fUllcioacuten
py PI S(X)
es un hOlllomorfismo de grupos fcCIacuteprOCHIJWlIl( dado UI1 hOlllolllorlislllo de grupos Ji G S (X) g iexcl- p(y) (1) defill(~ una accioacuten iexcl[( G (lI X PO] tanto definir UIla aceioacuten en X es equivalellte a dar lIIIa f(prcselltacioacutell del grupo G Pl
8(X) Para cada c X d estalrilizador o iUbylupo dI isotmpia dI 1 sr ddill(
como el COljulIto Gx ~~ y E G y ~ 1 J
Es faacutecil verificar que (~S en efecto Ul snllgrupo de G Cuando = l pariexcl tocio 1 X decimos quC la accioacuten lt10) G (ll X iexcls hbl( Observ(lllus qlH
kelp ~~ nGx
rEX
(y por tanto nXFX Gr es un subgrupo normal dI G) Cuando U 1 (es decir cuulld() p cs illyectiva) clinlIIos que la acciuacutell dI G (11 es elaacute-tilo
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
12 CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIacuteA
En etc caso p establece un isomorfismo putre e y Il1l Cubgrupo de Si S (~ uu subconjunto de X denotaremo por es al couj lluto
es = g x g e S e X
Eu parti(ular si S consuumlitc olamcllt( del pUlltO J e(rf se (kllOla por 01 se llama la oacute1bita de 1 Asociada a Ulla accioacuten p e x XX sr ddiacutew lllla
relacIacuteoacuten d( (quivalencia en X como
1 r-v y lt==gt existe 9 e tal que y 1 iexcl
Es faacutecil e1 que es en efedo una relacioacuten de equivalellcia (ll X A la das( de equivakllcia e11 el pllllto iexcl E X se le dCllotanl por f Al conjullto lti( todas la clases de equivalencia de r-v lo dCBotarmllOf) por XC y ( llamaniacute p (Siexcl)(UO
cociente de X bajo la accioacuten de G Cualldo UBa accioacutell fI POP( ulla uacutenica (iexclrllIacuteta
(es decir para todo e y E X existE g G COll y ~ SI r) la accioacutell sc llallla tmnitiua
Cualldo X es U11 espacio topoloacutegico (rcspcctinullclltc Ull iexclwwiluld llm() PS natural otudiar aquellas acciones CH X que sean continlHs (npcctIacuteVlll11clllC suaves en
Definicioacuten 123 Seu G un 91111)0 y lvl WI f(1)oloacuteyuacuteo tUI lIUJUiexclshy
foldJ Una accioacuten continua (suave) de G en Al e5 ww accioacuten p G x 11- Al de G en el conjunto 11 tal que pum todo g G la biycccuacute5iexcliexcl
cunUnull suaue) y por- tanto un hOTneonlmfisllw (re]
A1 con invesa Al espacio Af G con la topologiacutea cucuacutelIte lo llamarelos espacio topoloacutegico cocieacutente de j1 pOl G
Lema 124 Sea e un grupo X lOli01oacute9UO 11 SUpOlIatIl08 que fI (
una accioacuten continua de G ell X la ][()ytccuacuteiacuten CWloacutenUacute(1 iacuteT X xe e8 una abierta
DenlOstracioacuten Sea U X un abiacuteertu Para motra1 qlH (li) (S uu ahiprto en X debclIIos verificar que T I ) ( llll a hiprl0 (11 X P(]o
1 (iacuteT r Xmiddot 7T (iexcl ) 7T (U)
1 E X c gU ]Jara alguacute11 ( G
UyU iexclEC
Como cada es abierto e11 X se (U)) tmubiuumlu (S abierto (11
X bull
Definicioacuten 125 Sea e un grupo y M un topoloacutegico fold) Una accioacuten contIacuterwa (resp de G en lJ s( lallaraacute
satisface las conduacuteiones
1 Pmn todo p E Al elisteun abierto U j1 que ron tiene (L p tal I[ne
(1 U 0 para todo g E eJ 1
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
24 CHAPTEn 1 PHELIAllNAUES
2 PaTa lodo p q E Al ((JI (1 Ve Gp (rifel (iquestII(uacuteiexcl- U ~ e Al ((JI Ji U
q E Y gU n V = (1 ]JafL todo U G
Observemos que la primera cOlldicioacutell implinl que los Hbj(~lt()S yU lltlE( SOIl
disjuntos pOI pares En decto iexclj y h J h miexcl(ClllCPS
pues h -1 g cf lEll forma silllilar la cOllllicioacutell implica qlW (fU 1 h V v1 para todo g h E G En efecto
gUnhV=h((h 1 V) h~1 ~1
Ellellla siguielltp llOS Imwsra el significado dI la cOllclicioacutell 2
Lema 126 Sea Al un VmiddotllflfUJ Ui 1Iwniloldj Sup(mqa (jUC
G actuacutea contIacutermarnente EI1JOII((8 la condi(uacuteiacuten 2 11
la definicioacute 11 de accioacuten i 11 soacutelo si el cspano top()riacuteqic()
1lG es HrwsdOlif
DeulOstracioacuten Supongamos (lll~ (s HallsdorfL Dados J (1 E JI con q ltt Gp lo cual illlplica que iacuteT (1) TI (q) SOll pllntos distintos de lUG podelllos enccmtrar abiertos Uubull Iacuteloacute (011 (p) (riexcl) ~iexcliacute Esto implica (Jli(
U = 7r- 1 (Uo) y V = 7r- 1 (oacute) S01l abiertos (11 Al COIl P U riexcl Vv gUiacutei = 11
para todo riexcl E G lo cual demuestra (2) Reciacuteprocamente supongamos que la cOlldidoacuten 2 se atisran SCall p q E
A1G puntos clistilltos y elijamos dos leprpsuumllltltmtcs que cClIotan1II0S lIlWV(lshy
Hleutc como Pq E IVI es dccir 7r (p) ] 7f (q) 7] ClarmlJ(llt( ) y q 110 SOIl
equivalentes es decir q ~ Gp y por tanto existen abilrtos U V e 11 COl ji E U q E V y gU n V - V) para tOllo tI E G COlllO la proyeccioacutell canoacuteuica (~S abierta Uo - iacuteT(U) y Vi] = 7r(V) son abierto) ltl MC Oiexclvimlllt~llt(] c Uo fj E ~iexcl] v Uu y Va SOl disjulltos Luego Ale es Hilusdorff bull
Ejercicio 127 A11lPstrc (jILe siexcl X es un fSpU(I() infllndo (onfauacutele cnlolce8
cociente SUlO )( ta1llJuacute~ lo (s
EII muchas de las situacjOllcs que (JJ(olllralHIIOS (11 d Capiacutetlllo TI G es llll
grupo finito El este caso rpstuumlln muy uacutet il (1 sigtti(lIt(l l(llil
Lema 128 Si X es un (ICllll 111 I(Ishy
itoacuteld) y G I1I gnl]JO Ellfonr(s toda wcuJu liblf dI ImnsfOlllliU io mllshy
tinuas (fsiexclJecUuamente dr G en X es
Demostracioacuten Verifiquclllos primero la cOIldicioacutell Sea E X COIllO la accioacuten es libre tellelIlOS que los e1emelltos de la familia y iexcl yEC SOIl distintos dos a dos Como X es Hausdorff y G es podemos mlcolltrar UIla familia Ug EU de abiertos disjulItos dos a dos ell X (liexcl lllOelO qlleacute (J 1 E U pma todo 9 E a Asiacute que
U n I U) (U)
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFERENCIAL E [RN
eo UlI entorno abierto de iexcl
Veamoo que gU U 0 para todo g GIJ l 1 Eu efecto 1(tJ(lllOo qu U y~1 Y por lo tanto gU Ug adellliexclUumli U UIv [ UI vl lWS (] 1 Luego gU y U SOll disjulltos
SemI ahora 1Ij E X cmllj Giexcl Para todo y G (()lll() Y IJ J (xis(lI
abiertos diacutesjUlltoS Ult) c X con y E Ug y y VI Siacute 0( ddillP (J lt01110 Cll
(18) y V como 1 Vy se ve que U es un cntolllo ahIacuteltlto de 1 V (O 1111 c1ltomo abierto de y que para todo rJ G yU e UIJ y 11 de dOIH( SI sigue que gU 1 = 0 bull
13 Conceptos baacutesicos de caacutelculo diferencial en lItU
En esta seccioacuten hell1oo recopilado las nocioues y corelIlaS bbicos del cuacutelculo on
IRvariao variable que nos sPIaacuten de utilidad lllaacutes nddalltc COIlO es c()otlllllhn
II denutaraacute el eucliacutedeo n~dimellsional COl la topologiacutea IlSW1 v (11 (1 cual cada punto recibe coordelladas que dellotal(llloo 1011 (r l ) IR Al producto interno estaacutendar d(~ IR 0lt le denotaraacute por ti) 1 11 v a su llorma por 1 1
11 ) IUl I
1) - = LiexclI)~ (
=1
DellotarcIllOS por e 1 el la hase Ci1ll61lIacuteca dI iexclR donde I (S In C011 1 en la posicioacuten i-middoteacuteoilna y ceros en las restaut(o
Para p E IRn y 7 gt O denotamos por (p) a la bola abitrta (k cel ro fJ Y radio definida por
B(p) q iexcliexcliexcl Ip j 1lt 7
y por BI (p) a la bola cerrada
131 Diferenciacioacuten en IR
Sea U IRn 1111 abiCTto y f U IR U11a fIlIHioacutell Rlaquocord(lIIOi que I ( diferenewble en el ]J1l7lto iexclJ U si cxistt llnH trallsfolllla(Iacuteuacuten liucn 1~ Ift u
IRI Ulla fUlloacuteoacuten 7 definida en un cutorllO de jJ tal qul
f (1) + h) = f (p) -+ (h) + Ihlt (h)
y la cual satisface la condicioacuten limh_o I (h) O En forma equivalente f 00 diferenciagtl en jJ U si existe
lineal tal que lim ~f~(p_~__h_li_(_1)_)~__Tl_(_h) o
Ihl Es faacutecil ver que la transformacioacuten liueal TI si existe lts uacuteni(a y 0( ltlllOllliwl la Ihfewneial de f en el panto ]J la cual deuotarmnos por IIJ
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
26
Sea v un vector cualquiera de ]R La delivlLda direccwlUlI de f (1 el punto
p ti In la direccioacuten de v que dellotanlllos por D(f) () COIllO v(f)(p) c( ddIacutelw como
(p) -- liacutem --f_~ __~~_----------~ l ~l)
si este liacutemih (xiste La derivada dir((cIacuteowl (11 la diacuten(Ti()1I dI ( S( ([PilO a usualIllPllte por (Ji) y s(~ CkllOlllillit la rrl(Udfl pOCII dI I nlll ns])I ()iexcl In variable eH el punto Ji Es faacutecil V(1 qlle si r (fiexcl IOl )SOIl las (()()rd(lIadas dQ j dOllde fi U ~ eltOHCPS
(Df) = 1 )
En los cursos baacutesicos de Caacutelculo ell varias variables s(~ dellluestra (PW Sl f PS
difcrellciable Pll p entonces
Df (p) = (u) para todo U E IR
y reciacuteprocamente si las derivadas parciales de f pxbt(m (ll nula p U SOl
FcoutIacuteuuas f (S difcrcllciab]p ell cada ]J U
IR(cordcHiexclOS que si T F VI es UWl trHllsrorUJltl(Iacute(lI) liexclH(al de V a bull (sshy
pacios Vf~(t()riales de diacutenwllsioncs n v 11 y I~ VI 111 2Y - 11 bases para V y VI elltollccS la matriz ql[( J(pnS(llta a T (11 (~sta lJis()s SI
denota por 221 Y Pi la matriz dr ordnl 11 1 Cllva (lit rada 011 la tila iacute columna j) eacutes la i-Piima cooJ(cltada dd vector T (11) (x]Jn~sHdo (11 la lm( )3
Si f U ]R- IR es UllH fllncIoacutell dif(l(WUacuteI hle (Il el iexclmil o p e U la matriz jacobiana de f en p qlllt lkllotaJ(luos por liexcl (p) (S la Ulalriz qlle
repretienta a la tnllltifonnwioacutell lilleal fl IR (ll las haes (iexcliexclmmi(as ltk ]iexcln y ]Rm y viene dada por
(p)
Jiexcl (p) [ (p)
Por SI In 1 el jacohiauo de f eti PWciSHllWllt( d griUliellh di f (l 1)
Df uf 7f (p) -)-1 (p) l- (J)) 1( uiexcl ur)
y sc satisface la foacuterlllula
Duf(p)=fp(v) (7f(p)u)
Sean allOra f U ]R ~ IRHI Y fJ V IR L~i npli(aciolHs (Oll U e iKt
1 e Rtll abiertos y f (U) -iexcl Si f es dif(nl](ial)k (11 (1 pllutO JI e U y g es diferenciable en el pUllto f V la (olllposiciuacuteu Iiexcl 1) f U es diferellciablc en el punto p UV lar(jlo de la (([riela IlOS ltli(( ltiexcl1I( su diknlwla estaacute dada por
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL riexclV TI~N
Escribiendo la- diferenciales en las bases estaacutendar se obtiene la igualdad lllatrishycial
(f (p)) Jf (p)
En la notacioacuten claacutesica la regiR de la cadena s(~ expnSil (U la forllla
doude 1) ili delloran las coordenadas de Rfi v Ri 1ltSI HdiQllHIl1lt
y f y y se escribell como rdaciOJlPs fuuciollahs (nin la middotariahlcs y(iexclI yi zi(yl yn)
Derivadas de orden superior
Sea f U e lRn ]Rm Ulla funcioacuten defillida en 1Il1 abierto U LlI Si f es dif(reneiable en todos los pUlltos de U denuamos f( 1) UlUlO la fllllcioacuten que a cada 1) [J le asiglla su diferencial
f()[JclR L 8)
El espacio vectorial L naudo a cada transformacioacuten lineal f p S11 matriz jacohiana (CII las bas(s (sshytaacutendar) que se idClltinca cml Cl vedor dC lRfIII que s(gt uJiexcltiPlI(gt cOllcakllHlldo
las filas de mita matriz en forma de vector COtllllllll d( III Si Pi) (S
diferenciable en todos los punros de U se denlll 1)) (1) (11 g(IHral U(k-I) ) si f puede ser difercllciacla k vpc(s (11 U El ( i(orClllH
se demuestra en los CllISOS baacutesicos de ClJculo
Teorema 131 una condicioacuten necesaTia y es qlLe todas las derivadas paTeales
~~-----=-~- (p)
eIIacutestaiexcliexcl en cada p E U scan pam todo 1 JI 111 S rl
Los opemiddotmdomiddotles conmutan y ]lo tanto estas derivadas fml(Jmiddoti
en OTilen esta hipoacutetesis se dccurwi (11M f (s una de das CI en U
Una funcioacuteu se llama sIlave en U si y soacutelo si es mm fUllcioacuten iexcl[( das en U para todo k gt l
El siguiente lema conocido como el Lenw de lJori( lOS seraacute de gran utilishydad en el primer capiacutetulo Este lema puede iuierpretnrs( emitO llIl dI tiullstellensatz de HilbeTl en la categoriacutea de fUllciolles suaves (gt11 1I~ ntintla ell el lenguaje de shuumlaves que el ideal (le goacutenu(lles d( fluciolles SUltlmiddot(~ qlC se allulall en el origen estaacute generado por las fUIlCiollCS coordelladns 1 I JII
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
28 CHAPTEH 1 PRELJAllNAHES
Lema 132 Sea Be (O) una bola abieTta di Huio f centro en el oriyclI de coo(icnadas de Ifli1l ti f B( (O) 1W Inncu5n 8UOOI Hntul(cs (DIstCI
suaves h1bull B (O) Ifli tille qlle
1 11 ) 1f (1 1 iexclII) (0) + L ( ~
)=1
y hiexcl (O) (O) parai L n
Dernostracioacuten Para cada c-c (iexcl1 bull iexcl) E (O) y cada I ( [O ]Lel puuto tJ estaacute contcllido (11 B (O) )
d Df -1 -middotlfr)dt ihmiddot j middot
Por el Teorema fundamelltal del caacutelculo 11
1middot1 n 1 dI
f (1) f (O) = (b) dt (t)di o ()iexcl1
J=l (J
1Definamos h j (x) (tr) dt Es claro qlle (stas fllwiolllS SOll snm(s (JI
(J
Ee (0) que 1
f f (()) = L iexcl tI 1 iexcl )
=I
y quc hj (O) (O) bull
Teorerna de la funcioacuten inversa
Sean [j V Ifli1I abiertos y f U - l IlIla fUllcioacuten Dinlllos 1m f (S mI
si f es y Lanto f U It~ COIlO f I y r~ son suaves El siguiente teorema es lUm herraminlta SlIpHIllHIllln[( uacutetil d(1 cuacutelnd() en varias variable que proporciolla lUI criterio qlH 1(rlllit( ddcnllIacuteuar i J (S
localmente un difeoItlorfisrno Para dIo hasta v(r quc In diacutefel(wial dc I (ll dicho punto e un isomorfismo lineaL Esto CIl gmlm-al es UIl problcIllH lllUacute siacutelllpl( ya que ello equivale eacutel demostrar que el detennillitlltC dc la matriz jacobiauH de f en ete punto es no nulo nlielltras que cOllstruir (H forllla dinctn ulla immiddotmiddot(1a
local suave de f en lO lo es
Teorelna 133 Sea f U IR una 8 1 a (e 11 1111 abierto U Ifli 1 Ji U tal que la IR n
Ifli es un LollmlislllO hneal Entunces eaacuteste vn entu1lw UiexclUacuteIUacuteiexcl [JI de l (1 IR conteHuacutelo en U tui
que f( U ) es un abicIto de IRn 1 f U I f (U I) eslII dii(Ywrtislw
Hay un gran nUacutelnero de clemotraciollcs d eu t(OrClIlH 01 ClJal (1 ntlido para [uneioues de ti po de C k k 1 auuq l( en los cn piacutet tilo (iexcllo llSHnIll0S
la versiOacutell suave del mismo El neto] pued( ellcontrar IUlH dClllostraciuacuten uumle (sIl
teorema en praacuteeticalllellte cllalquIacuteCl texto lt1( Caacutelculo ell varias variacuteahl(s [l0l
ejemplo [2] deg [3]
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCEPTOS R~SICOS DE CAacuteLCULO DIFEHENCIAL EN [Riexcl W
Corolario 134 Sea f U -7 ]R 11na 8lUUW definzda (1 111 alJcIto
U ]RTI Si fp es un luacutewal 1)(Im todo ]J e U f (8 una flllCuill
abierta Si f es I1n diexclfeornrnfis1fw con tnvenw SUIJW
Inlnersiones locales
Sea f U -7 ]Rm Ulla funcioacuten suave definida en llll abierto U ]RII Si - ]Rm es illyeetiva dinll1oogt que f eogt mm illlwzsiexcloacuten en el ]Junto Ji ClanUllfllt( para qU( f sea Ulla illll1ersioacutell eH p es ncceOiario que n s w ya que si la dif(rpllcial dI I es i1lyecti va 811 ]J la imagen de PS 1111 vectorial d( dillHllsi(m n y pOI
ser subespacio de iexcliexcliexclm es a lo SUIllO In El ejemplo tiacutepico dI llllltl irullmsiuacutell (S la illdusioacuten natural de lR enlRm que enviacutea a (11 iexclII) l rJl
bull () bullbullbull O) A continuacioacuten veremos que despueacutes ele hacer HU nlmbjo apropIacuteltHlo dI variables toda inmersioacuten es localrnellte de esta forma
Teorema 135 (forma local de las inmersiones) Sea f U jRlII U1UL
IJrIIln suave definida en un ahUacute~lmiddotto U IlI1 y uponga que f es ww illlll(Isioacuten
en el punto p E U Entonces eiexcliuuml un entorno abierto de p Uf e U ~ abiertos ~V Hr Il tales qiexclUeacute f(Up ) H yun difeolnOlfisllw IV ~V
(cambio de coonienudas) de rnodo que
cpof (11 iexcl O O)
para todo = (iexcl 1 iexcl) E
Demostracioacuten COlllO f1 es illyectiva la lllatriz jicolJimm el p JI(P)
[f7f (p)J tiene TI coluIllnas linealrlHlIte illuq)(IHlielltlts y pUl tallto tillllbi(1l
debe tener n filas lIacutellealmeIlte Iacutendepcnduumlluumles PodnIlos Sll)()ICL Sill iexcliexcl(Hlida de gem~ralidad que las primeras 11 filas SOll linealmente indqHlldiacute(1IIPS jlPrlllllshy
tando las coordcnadas de JRH siacute fuera lIecesario Defiwulos e U 1fl1 LRPJI
corno
11) 4(ry) (fl(x) fn(x) 1 (J) -i- 1) I bullbull f (1) +
donde hemo dcnotado por
( 11 iexclJI u 1 11)~ ~ ~lt J
a la coordenadas de U x iexcliexcliexcl-n y por fl (1) a las COllll)()lwlItes diacute f ClaralIlPllteijiexcl iacuteS um fUllcioacuten suave y su lllatriz jacolJiallH Cl (1 pUlllO (JI ())
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
30
es igual a
(p) (p)
df Eh Cp) (p)
OX(III
O) =
(p) (1)
() fU Eh Cp) j
donde x (IIi dtllotcl la Illatriz identidad (111 n) (111 ti) Lil lIIatriz J(p O) es invertibk ya quc su rango por lilas cs IIIPor Pi T(o(nlll (( la flllI(ioacutelI inversa existe un cutorllO abierto UI x V el( (Ji (J) (11 IRI (()jl1(~llid() (l U x RIII-II
tal que xV 1 F ( TI1I1
es llll diacutefeomorfiacutestllo DenotPlllOS por
x O) e IV
y epo (iexclI XII O bull o)
para todo 1 = iexcln) E Uf) bull
Submersiones locales
Sea f U IR una fUllCioacuteu suave en llll ahIacutel1rto U f~p IRt ~~ ]Rm PS dinlt1os que f ( 111m umwsuacute5n 111 el F Clanu[Jcllv i f U e L~I IR S(H IIW1 ni JllH rsiltIacutell (11 (1 pUlltUuml Ji U ClltOll(S
n In El ejelllplo cl(~ ltIHt SUIJIlIlfsioacutell (gt la pr()v(CCiOacutell cHw)lIica lt1( lf~iexcliexcl (1
lm en las prillHrilS nI coordllladas Es bkil ver (Oltil (11 ([ [(u(JUH an eriUL que despueacutes de hacer lIlI cHmhiu apropiado ltlt C()(lrdmwdlls (oda SllIJlIHT-juacutell (S
localmente de esta forma Ell fonrw precisa
Teorema 136 Sea f U --- lUllu flicuacutein 81U111 dejillllio (11111 abierto
U e IRTI y 8vponga que f es una mmfTsiriacuten ni el iexclmllto Ji U )lrOlIIi (tiste un entmTW abipTto lp e U IR un abilrto [1 U~ JI un (bjiorllmfisllIo
P [1 ~ Up de tal modo lJue
j (11 )0y v
pam todo 1 bull iexcl) [1
Ejercicio 137 Use la dpmosflncioacuten del lhillIUl 115 ((110 fjHlI pllliI iexclIshy
mostrm pi te(wema uuteiexclUacuteY
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCElTOS BAsICOS DE CALCULe) DIFJ~HEXCIAL EN H
Supongamos que f U ]1 ---gt Re es suave y (~a
s p U raugo(fiexcl) lI
Un demento de S es por definicioacuten UIl punto dOllde f lW (~ ulla sulJlWlsIacute()Ii v Si
dellomina un punto criacutetico de f A su imagen f(8) se le d(llOlnIacuteWl ltd COlljUlItO
de valores crlticos de f y a su complenwllto el conjullto d(ultlons de
f El ceacutelebre Teorema de Sanl [] afirllla que feS) tiCJl(~ m(elida dc Lclwsgw cero en ]R1II
Teorema 138 (Sard Sea f U R--gt IlIL una fUlJuacuteiacuten 81all( 11 S(U
S ]R el de iexclJlmtos C1ltuacuteos de f Enlolces feS) tiene IIIduacuteia ((TO
En ]Rm_f(S) es denso en]RIII
El lector puede ellcontrar una de11lotracioacutell diacute (ste tlt~()](tlm (JI [7]
132 Particiones de la unidad
La particiolles de la unidad son UIla llPrnlluie11ta ([( greta l1ili(lad cllitwlo se quiere COllstruir una fllncioacuten a partir de fuwioHs (~iexcl)((ifi(adas pO lIi1 data local Eu esta seccioacuten mostrarelllOS la exIacutest(llia de iexclmr1iciow~s di la Iluidild para lllilnifolds suaves Esta 8eccu5n debeniacute leerse como un aprndiacute(( al iexclninwl
y se ha incluido para comodidad dd l(ctal y por razollcs dI (Huplet fZ Recordemos que si X es un topoloacutegico y f X - ]K es Hllll fllllcioacutell
conti11ua el soporte de f se define como la clausura del COUjUllto rilo pUlltos
doude f 110 se anula
SoporteU)
Definicioacuten 139 Sea Al un manifold SILaW y 8(a jU - UilIn (ulruacutenuacutelIto
abwrto de AJ Una jHLIUumlCUacuteiacute1l de la unidad nbmdinada culJ7i1lliellfo iexcltI shyUu (8 una Xi de 8UILI8 I AJ tule IrUl
1 O Xi (p) S 1
2 U
3 La fillnilia Si = i) f es localmente findll 111 Af 18 dc iexcliexcl(lU
cada punto ji E A[ erijte un ento11W Iacute1~ (JIU uacuteloinJln(ctuli 11 nlIacutellwro
fiexcluito de l08 cOIJuntos S
4middot f Xi (1) 1 pora todo jJ E AJ
Las particiOlJfS de la unidad permitell (~sc1Iacutebir lila fuucioacuteu Cllave f Al R como suma de funciones suaves con soporte pequcuumlo Mas cxpliacutecitHIIj(mtl~ tUacute
IiEf Xi = 1 es una particioacuten de la unidad subordinada a Ull cllbrIacutemi(lI1o abierto Ai = UiEl Ui entollces para todo i l la uJlcioacuteu fi = (s suav( Sll soport estaacute coutenido en y f Esto es uacutetil en llmchas situaciolls como
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CHAPTEH 1 PHELLlIVAHES
por ejClllplo (11 el estu(iiacuteo de la iacutellt(iexcl2rHcioacutell (11 Im1lliacutefolltls iexclmudo particiOll(
de la unidad podelllos (kfillir la illtegral tI( f (11 tUI IlIallifold oriltllhd iexcl]( iH como suma de integrales de cada Ulla ltle las ftlllciacuteOIHS l (lIVo sOj)orf(s (siill contenidos en dominios elc y por tauto S1I i III [JI wdiacute ddi 11 irsp COlllO
se hace usualnwllte en ]RIl
Observemos que la COlldicioacuteu 3 han qlllt la sUllla
f iquestl
sea una funcioacuten suave bien definida Dado]) Al pod(ltlos (llcontrar tlll abierto de p U lVI tal que UvrSoporte(x) 1- 0 soacutelo iexclmm lIU llUacutellllt1O fiui() ltlep
Iacutendices digamos para Iacute i 1 Eutonees la rcstriccioacuteu de gt1 1 H Uiexcl (8
igual a L~= 1 k que es una fUIlCioacutell uav( Luego todo pUllto de 1 ]l0S(( llll entOI110 abierto donde la rpstIIacutecciuacuten de I a dicho (l1t oruo (S swwc
Nuestro objetivo es probar que eu todo cuhrilllieulo abierto de HU mallishy
fold suave podemos encontrar una particioacuten de la ullidad sullOnlimHla a dicho cubrimiento Para esto llecesitamos algullos 1(lIlas I)(paratorios CUll)(llZillnOs mostrando la E~xiacutestellcia de fUllciones Sllaves 110 milas y lt1( soporte I)(qucuumlo (liacute
IR1I
Lema 1310 Ert8tc una l([le Al IR El (I quc Al ( (10 Iiexcl Al (t) O pam todo t E IR COII It 2 2 y Al (1) 1 pum lodo t L~ con iexclI 1c
Demostracioacuten Sea n IR IR la fllllcioacutelI ddIacutellIacuteda pOI
t gt O IX (t) O 11
t o
Claramente (~ es suave y n (t) 0 para todo t O Defimmws ni R
como ol(t)=n((l t)(t 2))
para todo t lR EntollCCS (~I (s suave (tI (l) gt (l si t (12) y 01 (t) (L para t rf (12) La funcioacutell (2 ~ IR defillida por
a2 (t) (YI ( -nl(l)
para tudo t es mJa fllllCioacutell impar suav( tiexcl1[( coincid( (Ol I Pl el intcrndo
(O Sea Al R R dehllida COIIlO
I iexclf (2 (~) iexcll8
A- -ltx
para todo t IR donde k = (ti (s) lt18 01 (i) d (J j() qw ll
iutegral que dtfine Al es siempre ya qllP (iquest lO sr Hlluln por fll(ra del intervalo cerrado [~2 2]
Verifiacutequelnos que 1 satisface las propiedad(~0 deseadas ()hvialllclIte Al es suave y -h Al t n2 Ademaacutes Al es constante en los intcrVidos -x
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
11 CONCEPTOS nASfCOS DE CALCULO DIFEl I~NCTA L EN 3~1
[ Ll] Y [2 +(0) JlH(S n2 es 1l1lla en esos illlfrvalos [bHJJlOS talllhihl (l(~ es cslriclUllcntc cr((i(III(~ (11 el illtr~rval() [-2 1] (lllHS 112 iexcl~S (()sil iva (n
el inlNio de (~sl( illtPrvitlo) y es eslriclumlltc dCCJciplllc en el illl(rvalo 12]
(pues (2 es Ilcgalivit ell el ilJterior de este intervalo) Obvialllelllc 1 (1) () para t ~ -2 ya lllC (12 (t) O pnra t -2 tmllhi(1l A (O (1 para l 2 pIHS (2 (S 1llla fUIJ(i(iexcl1l impar y ]lo) tanto r l
- (12 (8) ds (j Para cOlllpklm
In demostracioacuten Imcln verificar ahorno qlw ( 1) = 1 lo ellal R( dedll(( de 1lt
igualdades
bull Corolario 1311 Eristc UlI(] muiexcloacuten sIave AH U~ IF a qu (Ift) e
1 1)(111 lodol 1M[01] A (1) O 1om lodo t E ]R con 1 2)f (1) con r 1
Demostracioacuten Basta toma A (c) (1) donde ( l111a fllllCi(lIl eOlll0
ell el ellllllcinltlo de1 Lellla lttllterior OllViallleiexcllIe gt11 ef sllave en 1ft () CO110
An es constante en 1111 (~lltor1l0 del origen se sigile qlw es de IHclto SI11ve 811
lodolRbull
COlolmiacuteo 1312 Sea JI un 1IuniIofd S1W1( Dados 11 0 J 1 1111 (II(OIW
niexcliacutec1() IV e 111 eriacutesl( una IU11(~ioacuten 811(1Ve X Af 11 tal qut (~) iO 1] SO]io1lc(x) e Hiexcl 11 lal fj1LC X ($ conslanlr ( iacuterJlIol 01 111 un cierto enlonw dr 1i
indllido (11 IV
Demostracioacuten Sea (U lp) Ulla carta en JI[ con Ji U COlllll (U n lFl) (s llIl
nbierto de IR que COIlti(~IlC a P (p) existe l gt O tal qlle IJ (P (JI)) e p (lrl n U) (tunde rccorclnmos qlle 73(P (p)) denota In bola ccrrada de celltro P () Y rad io
) Defillamos
para todo 1 E ]Rn Eu(oucps
PI = no P U ---- n (ltiexcl~ (U))
iexclS 1I11a carta en M ltiexclIle satjsfacc PI (1l) 0 Adctruiacutes n clliacuten 7J~(p(T)) s()hiexcl(~ In bola ccrnHb de centro en el orig(tl y rHdiacuteo 2 y por (lIlllo
PI (U rl W) l (P (U n IV)) =) 712 (0)
Sca An l11la [uucioacuten (1110 en el Corolario H11ninf DdillilllOS X M-gt ~ haciendo
iexcl [1
~ ~ U
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
GHAPTEH 1 PHELIAllNAHES
COIllO (O) (U r vV ) la hola abierta [31 (O) dp ((lltro (l pi origell IeacuteHlioI1 es U11 entumo abierto de y 1 (p) O cOllwlliuumlo mi y 1 ([1 n Wiexcl) Como
es llll hOIIleOlllorfislIlo mitre abintos se que 1]1 I (3 1(O)) es Ull cutOl110 abitrto de l incluido el] U n TV1i Por tanto la flllHi(iexclll es COlst allt(~ (~ igual a 1 en I 1 (rJiexcl (O) Yobviallwute e [01] lam completar la delllost mCi()ll verifiquemos que Soportp() 111 Y ltiexclue X (S suavc (milo es IUI subshyconjunto compacto de PI n lVl) s( qlH r~l 1 (O)) (S UI slIl)(ol1jlllltO
cOlllpacto de U~lVl ObvimrwJlte X es iiexcllaquo(lIticall1(ut (no fllcra de 1 1 CBc(O)) COIno 1vI es Hausdorff J es cerrado y por tauto
Soportc(x) e 1 I (BAO))
La restriceioacuten de X a U es suave ya quc coincide cou AII P l Por otro lado para cualquier punto que no est(~ en U existe uu entomo abierto incluido (eH d complemento del de X que el soporU de X (staacute el U) v por t alijo
X es id611ticarnente cero mi este abi(~rt() Esto llluestra que X es suave bull El lema siguiente es el ingrediellt( escncial 111 la d(~lllostraci(iexcl1I de la (xist(IJ(ia
de lIna particioacuten de la unidad suhmuumlimHla a llll cubrilllipllUumll abierto arbitrario
Lema 1313 Sea NI un manifold SWW( y sea lH 1m clil)ilnUacutelIto
abuacuteTto de At Entonces eJi~teiexcliquestn(1 famil-ia Iiiexcl
Al 1amp las cuoles laB
1 (1) 20 paTa todo ji E JI Ij lodo j J
2 pam todo j E J eristi i 1 lllllJwmiddot SO()f((Ji) U
J La fiLmt1iacutea SOlOImiddottC(Iiexcl) es o((iexclIIwne finito (11 iexcl]
4 ( iexcl ) () Jiam todo p Al
Demostracioacuten Sea [Vl Ungt I In UIla cubrimiento por cOUlpactos para A el cual satisfaee que K e J(~I para todo n 2 1 Definamos 1( Vl para n O Para tudo entero n el cOlljunto GI J( J~_I es COllliexclmeo va ql(
es igual a la interseccioacuten del COlll[gtCl(jo iexcl(II (011 d ((rrado (h Irmiddot COlllO JI (8
Hausuumlorff cada compacto J( es cerrado Veamos qll(
Af = U (1 1) U 111
En efecto dado]J Al si 11 1 Y es el mellor entero tal que p E iexcl(1 elltollces
Intuitivamente los compactos [(ti pllfgtUumlCll se isualizados como ulJa scCwllcia creciellte de discos corH(lItricos liU( culmll a JI v los (()lllpactos spriacuteall
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCEPTOS BAsTeos DE CAacuteLCULO DlFIUENC1iexcllL EN 3[)
K J int K~ shy
~ KJ
Ks
K l
Figure L 1 Anillos cerrados
l1louces los anillos celTado~ eutre cada pal dt diacutesco~ (ousecutivos VPHIllOS ahora COacutelllO cubrir cada anillo C COH un HUlIlero fiuito dp sopores de fllICiacuteOllltS SllaV(S
l ([oude (~st as fUllcioHe~ se escogen (h~ lllodo que sus soportps iUUIs(Ci (11 s()lo
llll 1I11llwro finito de anillos Cm y por consigui(lt( csthl COll(Cllidos (~Il algllllo de los del cnbrimiento dado Sea 11 1 lIU entero y s(~a JI e COlllU
jJ - es un cubrimieuto existe i I tal que JI iquest Ui El conjunto
(~ UlI cntOIllo abierto de p i pOI d Corolario milerior lxist P mm n pi IacuteCHioacuten
suave 1(11) Al ---gt lR tal que 11(uiacute ( iexcl v
Soporte(71(1lJ)) 1~t I (11_2 ri U
y la cual satisface que 71(niexcl) es igual a 1 (11 un cntoIllo ahimlo de ji
Obtenemos para cada 11 2 1 llll cubrimiento abierto C UIEC V(I) de] compacto Este cubrimiento potice entonces un tiUbCllbrilllicllto finito y por tanto existe uu subconjunto finito de tal lttw
Esto 1l1ll(1stra que existe una familia I)I J de aplicaciones suav(s liexcl 11 --- lR
donde J pe el conjullto
J = (n r) n 1r E F iexcl
PUl const ruccioacutell 11) (M) e 0] ]Jara todo 1 J Ad(1lliiti iexclmm todu j e J (xiste iacute 1 tal que Soportp() ) lo cual dmlllHstra las prupi(dad(- 1 v 2
1
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
36
lVlostremos ahora que la familia SoPorW(IIiexcl) J (S [ocHlllHUP fiuita el JI
Sea p lvI y sea n 1 COH P E 1( - ln- lmiddot EntOll(PS P iexcl 1 Y P I
por tanto 1 1 es un entorllO abierto lt1( p AfillunHlO-i qw CJ 1 1
iacutentersecta a Soporte(7j) en un nUacutellwro finito 1[( iacutemi((sl J Sen j e J tal que Soporte(7j 1 1(n--1 sea llO vaciacuteo y seai (1IIIIJ J (OH 11 gt l y
q F Soporte(Tlj) estaacute contenido en 1(~+ 1 n 1(( y por tallto
(10 1 1_ iexcl) rl (I~-l ~1lJ le 1[11(~_lrll~+lnlII_2 vi
El hecho de que l KIII+ I fl 1(( V)
muestra que
t 1 gt1-1
Vi implica n -1
11
In
1 2
111
Siltlilanucltl n I 2 Esto
1112
U llll Fl 111
y de aquiacute que Soportc(T)j) intertitete a l~+ 1 - J 1 s610 (n I1n llUllHIO tiuito (k iacutendices i J Esto completa la dClllostracioacutell (llt la PwpiPdad 3 Fillalmcllt( probemos la propiedad 4 Como cada fUlIlioacutell JIiexcl (S uu es sUticiltlll(
verificar que para todo Ji E Al existu i E J con Jlj (J)) tal qle ]J E P E 1(111) para alguacuteu q E FII Y por tnllto (n IJ J 1 J y (ll COllsuclcncia -- 1 bull
Finalmentc estamos Cll condiciollcs (1( probar (1 t(~Onllla ((ll(ntl de est a seccioacuten
1314 Sea A1nn manitild oLale Dado UJI (ibrIacutelniento abierto 1J - enconfml una ]articioacuten de la iexclwidal s-alouluacutewda ( este
Dernostracioacuten Sea 7l iE I llua familia de aplicaltIacuteOlHs ((jUlO (U el L(lllH aut(shyi
rior Para cada J J escojaJllOS i () U) 1 (ilt- lal fmula qlH ) Uiacute-C
y dUllotUntOS por a J J a (sta fuucioacuten de Pm a cada I [dll1shy1
namos 1vI JR como
iacute IIL )(0 ( i)
doude = 0 si ()- j (i) J Como la familia SoPort(IIiexcl) 1) (H lucalshy J 1
rmeacuteute fillita se sigue del primer lema d( (sI a scccioacuteu ql(~ iexcl(S SIUW( Not(lllO
talllbieacuten que Xi es Ulla fumIacutec)iexcliexcl 110 negativa ya que cada 71) es 110 wgativa Ahora para todo i E 1 se da la inclusioacuten
p kl (p) Oiexcl U SoPortlt~(llj) I (iacute)
Uando lluevamente el hecho de que la falllilia Sopor((IIiexcl) (S localshy
rnclltc finita y teniendo en cuenta que la uuioacuten dp uua fmllilin finita
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
13 CONCEPTOS BAacuteSICOS DE CLCULO DIFERENCIAL EN L~N 37
de COllJUlltOS cerrado es 1111 coUjUllto c(rrado cOllcluilllOS ltiexclu Uiexcl es 111 COlljuuto ccrrado
Soportel~iexcl) e U Soporte(ll) ) JEa I (t)
Veamos que la falnilia SoporteL~iexcl) fiE I es localmelIte fuumllIacuteIacuteH Sea J 111 Illl
puuto Como la familia Soporte(Tlj) jEJ es localmellte fillila existe Illl ahierto
U en ll1 que contiene a p y que illtersecta a Soporte(1iexcliexcl) soacutelo (l UU llUlII(W
finito de iacutelldices j E J Si Iacute E l eH tal que ) v1 eutollcns ) ~1 para alguacuten j E a~l Ci) EH otras palabraH Hi U illtc~rsecta
a Soporte(x es porqueo a (j) parR alguacuten j E J tal que U iut(rsec(a a
Soporte(IIiexcl) Es decir
i l U 1 Sopor ter X) =f v) a ( J e J U fl Soporte(II) f vi ) Eso muestra que i El U (1 Soportdxiexcl) iexclc 0 es 1m eoujuuto Huito y por tnuto la familia iE l es localmente finita Se siguc ltid Lellla dlt esta seccioacutell que la funcioacuten
es SUHW Ademaacutes X es Ulm fUllcioacuten [Josit iva El (middotf(gtcto COIllU cada lUacutellcIacuteUacuteU eH JlO negativa es suficieute mostrar que para todo jJ E- fU exist(~ i r tal
que X (p) gt OPero sabemos que existe j J tal que 1) (1)) gt O Y por titulo (p) 0 ii = (J Sea
XiXi = --
X para todo l Entonces Xi ]11 lR es ulla funcioacutell 110 negativa para todo i ( 1 y Soportc(xJ =Soporte(Xiexcl) Luego la familia Soport(iiexcll es locallllelltc finita y Soporte(x) para torlo i E l OlrdaIlIClltc I Xi = 1 y COlllO cada fUlICioacutelIiexcl es no negativa Xi ( [O ]] para todo i 1 lo cual comluyt la demostracioacuten del teorerna shy
Recordemos que el Lema de [Jri8ohn afirma que si X eH HU (~spaci() t ()[Joloacutegico Hormal y Hi G e X S01l cerrados disjuutos cxiHte mm fUllCioacutell (outillna X X iexcl01 tal que Ce) L para tocio r E F Y (1) O iexclJam todo Ci A coutiacutenuacioacutell dejamos como ejercicio al h~ctor (lar Illla d(llIosl rnci(iexcliexcliexcl de llllli
versioacuteu suave de este lema
Ejercicio 1315 Sea Mun 8wue IJ scan F G Al (ernulo (isJIIIishy
tos Derrmestre que etiste una iexcli(we X 111 ---gt lR la Ctwl (JIU
X (An e [01] X (p) = 1 pwv todo p F J X (p) 0 iexclmm todo ) C
RecorueIIlOs que el TeoTema de Tietze afirma que i X es un ppacio topoloacutegico Horlllal y F e Y es un subconjuuto cerrado elltollce toda aplicacioacuten cOlltiuuH f F lR admite una extensioacuten continua a todo el eHpacio X
Ejercicio 1316 8eo Al un nwnifold SIWIJe y sea f U lR lino suave en un abuacuteIfe) U 1vl Entonces para todo cernulo F en Al contenido en U eiexclisteuna f1Jncioacuten g ]11 lR r lal que y Iiexcl = f i iexcl
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
38 CHAPTEH 1 PUELIAIINAHES
14 Sheaves y espacios anillados
141 Introduccioacuten
La teoriacutea de cheaves flw ckseacutelrrullada (~1I la dcada de loti CllaHllt a pUl I J Cnrlall
en anaacutelisis complejo (siguicl(lo los trabajo~ d(~ Ok y ckl 1I1IacuteC1I1O [1 Cartnll) v por 1 Leray en Topologiacutea Esta temiacutea (s tlllH llCrmllluacutellta ftllldHllHlItal para la descripcioacuten y comprensioacuten de fenoacutemenos globales definidos a partir clc Illllt data local Esta teoriacutea pruporciona UIl lenguaje COllluacuten ell el cllal es posihl(~ desarrollar ck UIla maIlera unificada gnm parte de los chisicoti clc la Topologiacutea y la Geometriacutea Diferencial como se lllostraraacute (11 los capiacutetulos Es ademaacutes la herramienta fUlldamelltal C[IW penuitc extellder ulla grall iexclmrtC C[C
las Hocioues claacuteuumlcas) tales como la lIocioacutell d( lIliexclmifold r(al o (olllplcjo la dc tibrado vcctorial seccioacuten de uu tibrado (tc a (middotiexclt[ego]Iacuteac lllltIacuteS alll[Jliac talpc com() la categoriacutea de variedades algebraica o la categoriacutea cI( (sqUCltlitS La W()riacutea dI
shmwcs juega ademaacutes un papel fuuclalll8lltal (ll d desarrollo d la lllodclw t(mIacutea de definida como functores derivados a clenclm dd flludor tOlllarH
secciolles globales de mm c[iexcl(nJ (ll la cllal la teoriacutea (hiacutesica (OT(spowlp a la co1()lloogiacutea COlI coeficiellt(s (11 la sIeat ([( fllllcjHI IO(([iexclWllh nmstalltCti COl valores e11 llll anillo COI1lIlUt al iyc)
142 Preliminares (liacutemites directos)
Definicioacuten 141 Un conjullto dirigido I 18 1111 conjlluJo duwio de 1111 oldcl
con la de ([UC lIlTa cada pa1 de iacutendices i j f erislc I con i lt k Y j Spa R I1n autilo COIlwfatiacuteuo mil ((IIIlto iexcliexcl(eululad
y sea Aliacute i E I UU1 de R-moacuteduJo8 iwlizudu pOI L Supollflamui Ijue
pam cualquieT ii E [ con 7 euacutesfe un R-wIIulIIorfimO iexclJi el elal S(d7sfaee las gtIIIIII(middot(ImiddotmiddotS d08 eonruacuteewnes
1 fii es el mapco uacutelentufad en NI
2 Pala i j lt k se tiene Ijue hi = hi
Un conjunto de moacuteduloi iI ijEJ que 1 y 2 llamaraacute nn sistfma
Sobre la llllioacutell disjunta U AI defiuilllos In iexcleacutel
dos eemellto Vi E A1i Y Vi Alj son (Cjlliva](lltec si y cuacutelo si (xistp iexclIll Iacutelldi(( k
j k tal que hi ) hmiddot) (1) El (OlljUllto d c1accs de ((Jllivnlpllcia2 quc denotaremos por
ni E 1
Sill p(nliacuteda lt1 geiacuteHwlidad podemos SlI)lOl(1 11lt los Al SOIl disjlllltoS siacute lO 11IltS( asiacute plriacutealllos r(lIIplazH al (oujuul () li pOI l 11Xi dolar esl 1I1Ha (opia d lXadalliacutelt1I1 iexcl
la misma sttlIctllm lt1 H-lIluacutedll[ iexclIlt 1
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
tiene estructura natural de R-moacutedlllo donde la accIacuteOacutell de R (stl ddiuida COIlO
l [v] = [1 y si E llin NI su sUllla estaacute ddillida COlllO
[Viexcl] =
donde 1 J es cualquier iacutendice tal que i j k Es faacutecil verificar qUi estas opshy
ent(~iones estaacute bien definidas y dotan a llin Nli de estructura de R-moacutedulo El Rshy
moacutedulo llin iexclVii se dellomilla el muumle diTecto del sistema dirigido 1Al j~iexcl 1 Para cada lvli hay un homomorfismo Hatmal de R~moacutedl1losti Al ~11i
definido corno Ji Claramente estos hOlllolIlorfislllos satisfacen que fJ o = Ji El liacutemite directo fulJA1i Ji es U11 objeto uniacuteversal por tanto
llHIacutevocamellte determinado) el cual satisface la siguientE li1vpicdadllnweaL HTDado un R-llloacutedulo VV y una familia de R-holllomornslllos hiacute Af-+
los cuales satisfaceu que hJ o Jj i h para todo i lt i exist(~ tUl uacutenico Rshyhomomorfismo h fulJAli lV tal que h h o para todo i
Ejercicio 142 DemuestTe que limiVIiexcl Ji la propiedad 1llitClsal (1iacute1lshy__ ciada en el j)(iacuterrafo antelior
en nWTfisrno entre sistemas dirigidos Aiquest ajiacute y U hJiacute iexclIle I (sobre d miS1110 conjunto indizallte 1) es una coleccioacuten de R~ltOlllOlllOlfislll()S hiexcl
los cuales hacen conmutar el diagrama siguieute
h ---gt B
ajiacute bJi
AJ
h By
Ulla secuencia de sistemas dirigidos A BI Ciacute S( llallla erada si la correshyspolldiellte secuencia de R~lIloacutedulos es exacta para ntda ~
Proposicioacuten 143 Si Bi Ciacute es Ilua secuencia ea((a de sisel(i dirigidos de R-moacutedulos entonces
I~Ci - ()
tambieacuten es exacta
Dernostracioacuten La delllostracioacutelI se deja COlllO cjltITIacutecio al 1((lm bull
Ejemplo 144 Supongamos qlle N Ni iexclEl es una colccruacute)n de submoacutedulos de Un R~1Tloacuted1tlO 11 la c1wl satisface que dados Ni y N j en eruacutede Nk en la
tal que Ni N j e Ih Dotemos a 1 del oTdeni S j si Ni e Ni La condicioacuten anterior implica que J es dirigido Si iS definarrws TI ---+
como la inclusioacuten de Ni en Clammenle Ni T JI es un conjnnto diriyuacutelo Al liacutemite directo de este cOTlJunto se le denornina la wlioacuten directa le los submoacutedulos Ni yident~ficuT8e natumlmcnte cunan 8u)rnoacutednlo de ilf que contiene a odas los N
39
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
40 CHAPTER 1 PRELiMINARES
Ejenlplo 145 Sea X UTI topoloacuteyuacuteo y 1) e X UII punto lJOtlIW8
al conjunto de todos los enO1W8 niexcluacutefo iexclj( J dI la relwU)1I di ()uiell
U lt V si V e U Gmamente El con esta relalloacuteu de o(ilI parcwJ (
un duacuteigido Sea CO (U) PV [ el conjunto dinyuio donde cado CO(U) denota el conjunto de (gtontmwi 11 U 1I i U V
denota el mapeo restnccioacuten qCle a codu f le WNiJIW su lIsllicnuacuten a shy
Alliacutem-lte duacuteCcto lliQUEEiexclCO(U) se le denOllwa el COlfltllto de de
funciones continuas en el pwtto p Y a la clase de ((ula f eO (U) SI 1( denmllina
el gerrrten de la funcioacuten f en]J NotCIW8 qlll dos cluses de [fl [J]c_
donde f E elJ(U) Y y eO(V) 50n si tiexcl soacutelo si cristc un entorno (bUacuterto
de p W e U n V tal que fll ylnmiddot
Ejercicio 146 Decirnos qlle fp eH (CTO ell 1) si f (]Y) [J l0ralt
clwlquiem del yermen f l A17Ustre ([lit esta lwIuacute5n estaacute )ten definuia y lJue
= ()
el conjunto de todos aquellos PTIPP de fll1(Wmiddotlws contilnus (jiI s( anlllnn ni
p es un ideal maJIlfwI de iexclIvtrc (J( es ti Iiexcl[cal IS (1 liacutenuacuteu ld((I 1111111(11
de eO 1 po tnnto estc ( locoT J
Sugcreneia deTnnestrc que todo eell(lto f l que 110 SI anule 11 JI e inllrtmiddot
~ble
Con estos prelimillares illtrodutcalllos ahma PI CUllccpto di slHnJ y lHmiddotcshcaf
Definicioacuten 147 Seo Xun Una prcsheaf F de gllljHil)
abeliano8 sobre X eonstste de la
1 PaTa todo abiedo U e X un l]ru]gto abchano F (lJ)
2 Paniexcl toda inclUSioacuten V e U de aiJuacutelUacuteiexclS de X UlI IWlrlOl101jismo di yllpO
abeluacuteuws PluF (U) --- F ( que satLstaacuten las (()Ildiciol(gts
bull F(0) OPuu es el Tnapeo idenflilwiF F (U) para Cnali[IWI
abieTfo U
Lo elementos de F ) SOll llalllados S(CCUacuteIIi di F obrlt U los iPlllllltoS
de F (X) SOll llamados secciones qlobales Llal1liUCHlOS el los ]iexclOJllolllornslllos
Pvu h07710rnOlis771os feacutesf-iexcluacutenoacuten y escrilliiexclllIlos l (JI lugar d( PI IJ (8) SI
S E F(U) Es comUacutell dCIlotar a F(U) por I(U Si cada F tiene UIla estru(tura adiciollaL por Pj(llIplo iexcl[p atlillo
rnoacutedulo espacio vectorial etc v cada Pvu ns 1l111110rfUumlIllO (Hln COlT(SPOlHlicllte
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
lA SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
direlllos que F es UIla pre]iexcleHf de alliacutellos llluacuted1110
etc ElI el lltlIguaje ele categoriacuteas pmleulos frasear la ddiuicioacutell COIIIO sigUI
Para cualquier espacio topoloacutegico clefinalllo la categoriacutea Top (X) cllyo obshyjetos on logt CCHljUlltos abiertos de X y los modismos SOll los lmlW()S inclusioacutelI Una pnsheaf de grupos abeluacuteuw8 C8 un fundO conlHlvanllnc de la (aiexcleloriacuten Top (X) a la 2lb de giexcluiexclos abduacutemos Eu fOlllm muacutes se puedl dcfiuir ulla preshcaf COl valores el llllH ([ sllslIacutetU(IHlo H cada F (U) por un de ([ y a cada PIU por lH morfiacuteslllo d( ([
LIua sheaf es a rasgos lllla prelwal cuyas SP(TjOlJ(S (stUacutell ddiacutertllishy
nadas ell forma UIlIacutevoca por sus restricciacuteOlWS local(s
Definicioacuten 148 Una wtQtIPtl to]oloacuteql(o X (8 una slwaf
SL para abic7to U X Y]JaIIl cu1wtmuacutento aiexcluacuteto U = U de U se 8utisface la riexclIIIPn condicioacuten
SI S F(UoJ es Una culeccioacuten de secciones tal qlle 8 I(f rl( 1[I(11 1J (~ t
para todo y entonas eJIacuteste una uacutelIim F(U) fol que 8 = 81i JlUIU
cada
En otras valabras si las secciones 10cale- sobre los COlljUllto~ U COiacutellCidlll ell las illwrseccioIles podpll1oS ellcoutrar lIla uacutenica seclIacuteoacuteu glohal 0[)1( [r cuyas n~tricciolles son las secciones dadas Obsoacutervcs( que la cOlldiciuacutell Hllt(rior (S
eq1livalente a decir que In siguiltute SCC1l811cia es ()xada
o TIF TI F (Un (1 (U))
(n raquo)
donde
(
f (8) f1 S U g ( f1 sn ) f1 18 ) n (n))
Ejemplo 149 Sea Run anillo conrnutatiacuteuo y X un fopoloacuteyuacuteo Paa
cada abierto U c X F (U) es el anillo de las de U en R nm la 81111111
y rnultipl-icacioacuten usual de Ahom si V U tUllwmos PIU (0110 la restriexclccioacutenu8ual de de U eL V Se le iacutenrnedialalllcnte iexcliexclue F (S 111(
shcaf de anillos sobre X
Ejelnplo 1110 En el ante1lOl l)()delllo8 tOIlUlI (1 H ((IIO el ((JIII]iO
de los nuacuteiexclneros 1eales o de los nuacuteme1OS complejos I (1 F (U) ((mw el (OIlJll1ltO
de toda [a8 con la 1tstuacutenUacute1I UiIWl de fulcwl(i 88
uer que yo que la continuidad es 11710 local F (8 ulla s1ua( de auilshyntlllos 80b7( X Esta se denota-raacute iexcllO Simila17ncnt( SI X (o (11(8
rnaTifold y tomarnos F (U) como el de todas
suaves COTuooresrleacutelIlei o SI ObtU11lt ot( siexcl(of que SI
denota usualmente po CXl si los valoes son reales y JlO 81 SOl COlllli1eshy
Asiacute misTfw las huloIIt0toacute8 (con Ir Iltstrunoacuten 1 S ltu 1 defiacutellldas
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
42 CHAPTEH 1 PRELIMJNARES
el ahiedo de nn IIwiacutefold so UII src(ll () IlIs sohTeuna variedad o WI (sljwcma Ot()8 objetos JIU OCIIII(I natulnlllwnte 111
geometruumlJ y topologa pueden verse ()(I() sen1UlfS de (iexclntas (0110 por
ejemplo Las seccione de nn fibnuio IJIIfOlwJ o los Frlmas dlfellIUwls SOIl(1I1I
abieTto de un rnandold COTlIO 8( ((IOacute (11 el mprtldo liexcl((IV
Ejemplo 1411 Si en el 141() SI loma I (U) (OIlD d IOIlJIIIIlo di todas las funciones entoneieacute I no es UlIll shlILI de lmilos L08 (lrWlIlUS
de se satisfacen llelO no la condicioacuten de shmf pOI ejemplo HU U shy
y = p E JR2 Ipl lt n Sn UlI - IR C01lO 8 (p) Ipl La uacutenicll (1lucioacuten s cuyas TestTzcciacuteoncs a eada coincide con Sil SIeacuteUumliexcl la s(p) p12 pam todopE peTO dnf(1ll1ente (5dajuacutencioacuten 11011 amada
Ejemplo 1412 Sea X un tOJUlaacutegim tJ G un ym]o alwlullw no Irluia Sea Qx la ]resheaf 801ne X de (()iexcliexclstardes definido por G para todo 0 cc U e X y Gx (0) O con IIIUJ(()S resfr(eioacuten PI iexcldi i o V e U y pu O si V (11 SlL]Jolgallw8 que X (()lfuacutene Ufl mlljnnto
abieIto disconexo U evcscnlado corno launuacutein disjunta de mIJuntos alnerto U UI uU2 con UI iU2 0 Sean 0102 E G dos clelll(lIto distintos y SI
al E Gx (Ud = G 12 - 112 ) G Lu rOrdieioacuten 8111 nU 82 (iexclJo
se trivialmente ya (1(1C Uiexcl n Uiquest -- 1 jCf(I millO ( I iIlO ense
8 E Qx (U) = G tal que 2middot
Si Q (U) se di fUllIwlls [ulahllcuh (Ollsallh
en U con unloIes en G 11 SIL iexclWJII lna sllaI de qw abusando de la flotacioacuten denotaHlIw$ talllbirn ]lO G
Loo elementos de pueden pellsarse ell forma iutuit iva COIllO fUllCioucs en U que satisfacen Ulla cierta propiedad dr caraacutecter COlllO por jPlllplo la continuidad la diferemiabilidad la jllopiltdacl de pr ocalmelltl collstallt( etc Es necesario advertir sill embargo que lIO todas la sh(a(~i q lIe H[lallCell
ImtllrallllRute en Geometriacutea Algebraica SOlI sJiexcleitves de iexcluumluciacuteOHS itllll(]lW (Olll()
se eraacute maacutes adelante toda slwaf rltsulta ser iSOlllorfa a 111m cimtn hlHf de funciones donde la retriccioacutell (S la usuaL
Ejercicio 1413 DenweslTP qlle la inshea( C(Z de fllli(UacuteJlIi conlinlw- 7(iiexcl
valuadas es Ua
De cada presheaf COllstruirse en forItta calH)llica Hna slwaf Pariexcliexcl dIo lwcesitamos introducir la nocioacuten (Ir- stall dI UIla prlsh(af el Illl pUll O
Definicioacuten 1414 Sea T tila soJ X 11 ((1 jJ Y Sob la lllilIacutelI
U I (U) a lIluIacuteoacuten dI eCjllillle(lo I ( pEr
tE I() son equivalpnte~ siJ soacutelo si cuacute-de 1111 (111010 alerto dI 1) Ir Urn tal que slw = tlv La clase de equiuuenelo de se dllwtaniexcl iexclJln 81 IJ SI
denominaraacute el germen de en]J Al conjnuto f~ de clases dI lo lomaTemos el stalk dc la iexcl)f(swof I en p
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPAC10S ANILloADOS
Para todo p E U existe un mapen restriccioacuten PI F - Fiexcl ltiexclue (uvia cada seccioacuten s en su germen 8] Para cada HUltO p (l X d ~talk tiacuteC1J(
pstrllctura uatnral de grupo abeliano de tal llH1lWra quc d lllitiexclHO piexcl[ f es lJll
homomorfismo de grupos abelianos para nula entorllO U de p Para ddinir la adicidn tomemos dos clases sI y tp en F p con 8 E F(U) y tE F(iacute) Sea IV tUl
entoruo de p contenido en un iacute Definimos la SUllla 71 tI de 8]1 y t l iexcl como la
clase ell de Pwut- Pwv (t) Es claro que la definicioacuten es indepeacuteHldielltc de los representantes s F (U) y t F (V) y de las clases 8 1) y asiacute mIllO del cntOl110 Il-
Como vimos en el Ejemplo 145 si F cs mm presheaf sohre X y si)) ( la restriccioacuten de F a los entornos de p forman uu sistellla dirigido F (U) fil l donde el stalk FI) de la presheaf F en el punto jl X (~s lt1 liacutemite lt1i1(cto de los conjultos F(U)
lilllF (U) -_
Si F es mm sheaf ulla pccIacuteoacuten 8 F dp F sohreacute U (taacute cOlllphlallHutlt
determinada por sus imaacutegenes ell los stalks F para todo ji E U Es cecir s = t si y soacutelo si S1l tl para todo J E U Esto Sp sigue illlllcdiatmtlltllt( (k la defiuicioacutell de sheaf En efecto si p = t p para todo Ji e U (U(()ll((S para nlda ]J existe un entorno Up de ]J en U tal que y COlUO ol)ialll(lllt los
entornos U1l cubreu a U se sigue que t e11 (U) En la categoriacutea de las preslleaves sobre UlI espacio X la llocioacutell (( modislllo
es la siguiente
Definicioacuten 1415 Si F Y 9 son 101m X un morfismo P F - 9 consiste de un homomorfismo dI glupos (Lbelian08 p[j F g para cada aluacuteerto U tal ql1e paro todo mclusioacuten ~iacute e U
F PI 9 (U)
PVl ) J (110)
F(iacute) g(V)
conTrLda donde PI UY Y son 108 wrfIollwrisrrws lodlC(ioacuten de F ti Sl F IJ g son hea(l(s y es un 1iOIjislllO si lo ei (OfflO
Si F 11 G son iquesteuIJe de muacutellos uacutel(jcblas CSl)(L(WS
p denornino un uLOIhi1IW de heal(s de IlTlilloi aacutelyclnns fpacw etc si Pu es WI mtnfisllo (1 la mcIlolIacutea El mapeo y se den01nina un isol1lorfismo si eriste un 1I10ri811U1 1 g F
inuerso a y a dcrecha
Si F y 9 son presheaves sobre X el ccllljunto de modismos de pnsheavcs ele F en Q se denotaraacute por Homx g) Si 9 es una sheaf de grupos abeliauos Homx es tambieacuten un grupo abeliHIlo COl la opmacioacutel natural (P
tJu Ademaacutes los morfismos puedell componerse en forma uatural y ()s faacutecil ver que esta cOlllposicioacuten es asociativa Lo anterior 110S Hllwslra que la preheaves (respectivamente sheaw) sobre X forman a su vez uua categoriacutea
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CHAPTER 1 fHEUIIllNAIUS
Proposicioacuten 1416 Un de lJleshmols p F ~ iexclndlll( en i)7iexclW
natural un sobre los stalk -~ 91 lIiL1n cada lJ X
Demostracioacuten Para cada]J E X ddinimos PI ----gt 91 la f1lllCioacuten lt[lll enviacutea cada germell p en F p en el germen (Pu (s) dowle PS cualquier J([Jl(S(lltmti
de sI Cll Ull abierto U que couti(lIC a 11 NotCllloc ltiexclIt( (c(uacute bictl ddilliacutedo PUi
si [ F (UI ) y 82 F (U2 ) tiCllPlI pI mismo iexcllt~rulell (11 p (lltiHCPS p()r dlillli~
ciOacutell existe V rl U2 tal que 11 ti S2 Lmiexclgto PI (sil I ) y (21 ) Y por ser p UlI morfismo de sllPHves (SI )1 - y(l (-z)k Por lo talltll
= lt1[ (sraquo y dararnclltc su IacutelUillgt(gtl lO dC)Clldc rlltl n]mS(mtallte Se 1 f1i r --2 P
ve (gt11 fonna inIIlediata qlle es lit lOllomorfis1lI0 bull
Ejercicio 1417 DplJmestll Ijue lodo mmfis 711 o de ste(lo(s P F 9 estaacute_o)
dPttTminado ))01 los lIwrfuacutemwslndu(ido8 sonI los itakll (8 dClir si y 1 iOI
Fn01isrnos de iheaIHi tales Ilue P-- l PIlU iexcl-iexclua Ji X (lItOII( y t
Definicioacuten 1418 Una sllbslpaf de lila hiOF n IIU hlilf F tul Ijlll pura todo abielto U XP (U) 111 subljIlpo dI F 11 1()~IIalw()s 1 fIil(joacuten
de la sheaf son inducidoi 1JOI 108 m apeos nstrIacuteccuacute5n di F SI SliJIU de la
definicioacuten que pam todo punto p el stalk e~ un sllbylupo de F1
Sea cp F 9 un rn01fismo de SI deilr la presheaf keruCl de y la presheaf cokernel de cp y la preshcaf de l eomo la que a
cada abieTto U le los gTUp08 U ker Pu U coker Pu 11 U Illl
Proposicioacuten 1419 Sea y F o un morfis11-O de heaves TAl plcsiexcleuj
kelnel de cp es una 8ubsheaf de F
Demostracioacuten Sea U UUa UI1 cubrimiento aIJIacute(rto le U COllsidcrelllos pi siguiellte diagrama conllllltativo
ker Yt F lt(
0 I -gt
ker F - e 1 1
km F ni j
G rl[
donde las lineas verticales denotan los lllapeos restriccioacuten corn~sp()llClielltcs Seall 8laquo ker SU tales (llie s Ir CO110 F es uua slt(af existebull a nu
F(U) tal que slu Adclllaacute3 ltlp cOlulmtatiyiclad dd diiexcl)iexclrallla se que Pu () 1u = O Como 9 es tilia sllCaf s( ticue que fu (s) O Y por cOllsiguientp q ker Pu Para demostrar la lillicidad diacute 8
basta ver qlle si s E k(r Pu e F es tal que si U O ker Pu e F ) entonces -i = O Pero (sto es claro ya qw F (S una slHaf bull
Proposicioacuten 1420 En las -nn~lPIflt1f cOAelnel ( illuu)rl no 8011 1PiLU
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
O el plano complejO nWlws el ouiexclcn J
holomOlfas sobrc X y O~ la sheaf holomoTfas qve no se anulan 11 nmqiexcliacuten plnto de X
Si exp 0 --gt 0X es el nunfismo pOI
eXPr f exp(27rif) f 0 (U)
entances la ]J7esheaf dada por U ) 1m (pxpiexcl no c sheof En etlclo si
U I ltC iexcl IR c ~ () bull
e - r 1 2gt rn = en eltoll(( 1m (expiexcl ) ya que
U I ) son coneTOS y en consecuenCIacutea paede d(~finuacutes( en ((ula 11()
de estos abiertos una mmo de la logaritmo y pOI
Ji E 0- definidas corno Yi = log() las cnales
el Ui PeTO no eaacuteste f E 1m (expu uuJ eon r [ji Ji (i - 12) ya que una de tales fuacutenciones seria nn logaritmo en X (jue como 8( demuestra en los (UIi08
elementales de anaacutelisis complejo no se definido en (C
La proposicioacuten siguiente nos lI1U(stra que de toda pj(~sJiexclCaf pupdc ((Jllstrlirs( en forllla canoacutenica U11a sheaf asociada
Proposicioacuten 1422 Dada una VIIsheaf F ertste Lila F+ lJ un 1IiexcliexclItL~1I1() O F F+ tal que lla7U sheaf g y morfisfIIo F g existe lIU uacutenico uwrfisTno pT F+ - g tal que p = o IJ POI tunto el par
(F+ O) uacuteniCO salvo Iacutel-iO mOfjism 08 F-t- e8 llamada la sh(afificnci(ill dI la F
DernostracIacuteoacuten Comencemos por cOllstruir H Fi Pnm ciexcliexclda iexclthiltrt (iexcl U e X sea (U) el conjunto de todas 1m fU11Cioll0s i d( U ltl la lllUumlUacutell disjUllln U FI
Ie l
de IoIi stalks de F sobre los puntos de U caks que
i para cada p E U s (p) Fp bull
ii para cada p E tJ existe un entorno V de ji contenido en U y Illl Cl(11)(1Ito t E F tal que para todo q V el gelmell tiexcl de 1 el q es igual (
Plllde verificarse diH~ctamellte que F+ con las restricciones naturaleli ( lllJa
lwaL Si (J F --+ FT es el morfislHo deuumlllido por (J II (t) es la fumIacute6u que C11 p
toma d valor t (p) entonces claramente (t) E Es faacutecil v(~l que Oes un moruumlslIlo de presheaves Veamos que se satisface la propiedad universal descrita Sea g una sheaf Y P F g 1111 lIloruumllimo Tomemos E (U) Por la condicioacuten b existe un cuhlimiPnto abierto (J U[]n d( [ y dCIlWlltO-eC
t o F (Ue) talcs que para todo pE (t) p == (ji) Si (1)1 )l parH todo p n se sigup q llC
15
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
46 CHAPTER 1 PHELIJiIINAHES
Luego
y VOl tallO
Como Q es UIla sheaf por los axiomas de s[lCaL exist( lllI lIacutelllC() U ~ (e) tal
que (tn) 111u para cada Ddinillllosp ~oacutetese que si ]J Uacute entonces (p para alguacuten (Y)
(i (p))
Por tanto la construccioacutell de lIO depende de la coleccioacuten Un 8 (sco)id( si es otra coleccioacutelI 11 (8) para todo p U y asiacute = u para todo p U Se sigue ClltOIlCCS qH 1 U en ( (U) n(ta probar (JI( si s = con t F(Ul entoIlces y7 (8) (tl Tonllll11lo C- [ji COlllO
cubrin1IacutecIJto de U se tiene que
(8) = (t I ) YI ()
Es faacutecil ver que es lIacuteuica ya que coincide local11[(ute C011 y bull
La sheaf puede intcrprct ars( como la l[(ltlf qW uwior aproxillla lt1 la
presheaf F
Definicioacuten 1423 Si y F G es nI llmfislw de sh(lu(s d(fuacutellllW~ la
imagen de p como la de la lrlcshluf uacutelagell lt11 y JI que lellotu(liliS
(ab118ando de la tambirn como 1m f DeIiexclnilw~ el cok(]J]lt de y
denotado coke tp como la de la lJlCslwoj coke1wl de y
Ejercicio 1424 DemucstTe usando la lropudad unIacutevelsal de la 8heaMi((iexclciuacute que eaacuteste una mapeo nafiexcliacuteml Imp Q (dondei delota la inclu8ioacuten de la en Q ) el rual es y de (da fln11u IIIl identificaTse como ulla sIJbshcaf dI U
Definicioacuten 1425 Dncllws que un TIOIti~1I1O de she(ues P F 0 es in-SI ker tp O Y sobreyecrivo Iacute + Imp --7 0 es UI TS OIII()fiacutes nO Es
costumbe eSCIibi1 Imp = Q ruando SI que p es 8obnlectiuo
Diremos que 111111 secUIllcia de sheavcs
1 __ Fi ___ F - 1 f
es exacta si para cada i SI da iJue [(11 Ill1
Lellla 1426 Seap F---gt Q un mOlfislllo de shc(vei sol)c X Entonces iexclJam
cada p (kcr ker e (1111p))) 1m Pp
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Delnostracioacuten Ambas afirmaciones se siguen directamente dd siacutegnielltc COacuteIllshyputo
ker = liW (ker (U) lli kcr fu - kel
Similarlllellte
(U) = 1m P 1lll
bull Proposicioacuten 1427 Sea y F - 9 un mortislllo de 811((10( solnr X Enshytonecs las ion
II el mapco znducuacuteio 8obre lo stak) punl lodu ]) X
iii yu es inyectivo iexclJam todo U
Demostracioacuten (i) (ii) Supongamos que P e iuyectivo Elltollces k(1 p cee
O Por el Lema 1426 se tielle que ker (kerP)) O y por tanto (s illyecti vo
(iacutei) (iiiacute) Supongamos que P es inymtivo Probemos quc PI CS iIlVlctIacuteVOp
para todo abierto U Sea s F(U) y supongamos qlle (s) E (iacute (U) es O Entonces para todo p E U la imageIl Pu (s)p de yu (s) eH e[ stalk 9 es o Puesto que yp es illypctivo para cada p se siguc qne 8 p = O (11 F p para cada 1) U Por lo tanto existe un entorno abierto lVI de Ji con IV c U tnl que 81 Wiexcl = O Ahora U es eu bierto por enturnos tV) d( cada tlllO de SIlS
puntos asiacute por los axiomllS de slwaL B es O sobrn U Lwgo yu (S inycctiva
(iii) (i) Supongamos que Pu es iuyectivo vara todo U ElltOll(IS (U) ker yu Opara todo U Por tanto ker 0 y el COllSCClCllcIacutea y es ill)enivo
bull Proposicioacuten 1428 Sea P F 9 un rnOfismo de iexclI(UIS sohc X EIIshytonceB y es un si y soacutelo 81 el TWp(O UldlUido 8olJe iexclo slalk es un pom todo Ji X
Demostracioacuten Si es Ull isomorfismo es claro que talllbieacuteu lo (s Reciacutepshyrocamellte supongamos que es un isomorfismo para toelo ]J X Para probar que P un isomorfismo basta probar que yu F ~ (U) es 111l
isomorfismo para todo U puesto que podemos definir d modismo inverso 4 como 1 para cada U De la Proposicioacuten 1427 se sigue que yu (S
illycctiva Veamos que Pu es sobrevectiva Para caela l e dc la solmycctivishydad de fiexcl se sigue que dado 8 9 (U) (xish Ull cntomo ~) U di P tal quP
(t (1) ) si vj para alguacuten t (1) E F ( Siacute p q son (los pUlItOS Cllalesquiera
se ticue que t (p) IVm~iexcl Y t (q) IVnviexcl son dos SeCCiacuteOllCS el F (~ n 11) q1H SOlI
ellviadas por en si v nI Por la illyectividad de y estas secciolles COillCicktl j) 1
Y del axioma de slteaf se deduce cIltonces que existe lna Heccioacutell t F (U) tal que tl viexcl t(p) para cadap Ya que IPu(t)i v si debi H(~r lIacutemto qm
yU (l) = 8bull
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
CJlAPTER f PflLLIIJAHES
Corolario 1429 Uno serwncia F F - FI ( erada SI 1 soacutelo SI jmrll
cada p X la ()VJf F es
exacta
Delllostracioacuten Es cOllseclwncia directa di la ProlosiciOacutell 112~ bull
Proposicioacuten 1430 Sea p F- 9 I1nmorfislfw de how(s -)l( X LII
afinnacioues 8011 equivalentes
es sOIeyectiacuteuo
11 el rnapcoindl1eiquestdo sob( los 8tlll8 es sobl(yediacutello parll todo p X
iexclii para todo abierto U XI pnm todo g (U) ensll 1111 (nlwilllilIto Un de U 11 e~ristell elementos t ~ F ) tale qu (( ) ]Jara
todo Un
DeIllostracioacuten (i) (ii) sllpollgalllo ltJ( f (S solmv((IiYI) Elltoms Imy = (j Por el Lema 1126 se timl( que hll (lulIp) -- 0 y por tauto
es sobreyectivo (ii) = (Hi) supongamos que Yj es sobleycctivo iexclmm todo ]J X Sea
s O (U) Para cada p E U sea Sil E gil d germell dI) s (11 11 COlllO e
sobrcyectiva podemos Cllcolltrar tI Fp tal fJlW (t) = 11 SUiexcl)(Jlgalllo qw tJi esta representado pOI Hila seccioacuten t (1raquo) en llIla wltIacutelldad ~~ ele )i EIlIOlJ(S
P~~ (t (p)) y 81 Flt son dos c1ClIlCUtOS de 9 ( V~raquo) cuyo gelllWJl es ltl mIacutelllo (pues
(t (r))i Pp (tr) = sp) Por tanto reelllplazando IIiexcl pUl lllla wcimlad dI Ji
mas pequeuumla si fuera podelllos SupUl(r ltiexclIIP PI (t()) = V Esto proporciona un eH orimiento abierto de U y secciones t (p) F (1)) 1m cuallts satisfacen las condiciones requeridas Cll (iii)
(iii) (ii) se sigue illlllerliatallluumlllte dn las ltcnui(Iacuteoll(s
Veamos que (iacutei) ~ (i) Si se satiacutesfau (iiacute) elltollns PI (S iexclYO y pOI tanto talllbieacuten lo e tiexcl ) dOl([( j-+- [llliexcl --+ y ( e] UlH)(() calloacuteui(() indu(ido por la illclusioacuten de la presIHaf 1m P (11 g CO110 ya salHlUUS qUI (sIc Illap(o loS
inyedivo se sigue de la Progtosicioacutell 1128 quc ( 1111 isolllorfisllIo bull
El siguiente llOS muestra qllP ~7 iexclme-de S( so]iexclny(divo Sill que t~l lo sea en generaL El mapeo ex] c sobnypctivo COlllO s dllllwstla a cOlltillllacIacuteliacuten y sin embargo como se vio en el Ejemplo 1121 Pe- ) --+ ) uo lo (
EjeIllplo 1431 Seo Xo laquogt O 1 senl Oy In de qhlllllci dI
sub X JI 0x la shcaf de de funcione hshy
mmfas que no se anulan en punto de X Entoncs la (C1(II((1
de 8heaues
e8 exacta
O
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten El uacutenico punto 110 trivial es delllostrar que el lIlortiSlllO ltk sheaV(ii exp Ox 0x sobreyectivo Para cada iexclHilito 11 X Y para cada
0XfJ existe un entorno simplemente COllCXU U ltin p tal qll( f)) es el gerllHlI
en p de una fuucioacuten suave f U -) C Como f() O para todo [7 es posible cowitruir Ulla funcioacuten suave 9 U - C tal que (XP (y) - f hasl a ddiacutellir
g( = Wo
donde la integral se toma sobre cualquier camIacutellO que uua a Zo y coutellido en Uw() es cualquier complejo que satisfaga =0 De aquiacute se SiglH que CxP = 11 donde 91 Oxp es el germen de 9 en p y por tanto (xP (sp p
sohreyectivo De la Proposicioacuten 1430 se sigue qlW exp es sohrcyectivo bull
Proposicioacuten 1432 Para cada U X el r -) qurua le la cateshyip sheavps sobrr X a la ffII fgtfl(jYtl de yII1]O~ alwlWlw8 eSlln fumiddotndof erllto
( izquierda es 01 O----) F I F -) es una i3ccuencuacutet e)uca de hcaues e-ntonCf8 O ---t r (U F I
) F) --) r (U eh Ua 8(1IIUoacutea ewlfll de grupos
F IIDernostracioacuten Supougamos que la sccumlcia (J-- F (S ltxactmiddota Por la Corolario 1429 para cada p X se tielle que la SP(IHlllia
(111 )
es exacta Veamos que para cada U X la secuencia
o r (U F I ) PI r (U F) r (U Pi) (112)
m exacta Si kerpu entonces pu - O COlIJop es illyectivo se sigue que 8 O y ell consecuencia pu es illyectivo
Como o Pu (~) o ce O fltmmnos que llU e klt~r Para probar la otra inclusioacuten supongamos que 8 r (U es tal qult (8) = O Para cada 1) U sea p E el gerrnen en ]J de 8 Puesto que 111 es exacta Y ) - (s)1 01 = O podemos encontrar ti E tal que UII) iexcli
Supongamos que tI estaacute IcpIes(~ntado por una seccioacutell t (p) eJl un (utoI110 ~I de p De aquIacute que exista una seccioacuten tEr (U tal qult ti v t (JI) para cada p
y PI (t) 8 Asiacute que Impl y por tanto kll 111lp1 Por (ullsiglli(lltl 112 es exacta bull
Ejercicio 1433 DemuestTe que pm() jlIesheof F sobe el III()Ishy
[iexclsmo eF -) induce un SU)f( 108 stalAs 811 F I ~ Fi SL F psuna en X demuesp IJW el mOTIi~llI() de jJlcstealws 8 F -) es un
Q un mOl[iexclsmo de tal (JIU Pu F (U)- Q(U) (8
1HITa cada U DemuestTe que el mapeo indIUiacutedo ltp+ F+ -- soe e8
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
50 CllAPTER 1 PlEL1f1NAlFS
Sea F una subsheaf de la steaf F Parn cada nhimlo U ddiwlllOli NI (U) F (U) (U) y PVUH como los mft)(os inducidos splll( (1 coci(llj( por los homolllorfismos PVUF DenotCllloS por rriexcl F (U) - N (F) al hOlllolllorfi-nuo canoacutenico al cociente y por a rr U para cada s e F (U) ElltOll((S para V U se tiene que
PVUh ([8]) = [ (JI (JF () 1 r8 i
para cada E Tiacute (U) Clarallwlltc PFUriacute estaacute biclI ddillido Si [811
elltollces 81 82 F (U) se que (SI 521 F (V) Y n iacute h II =-~ [211 Por lo tallto p( es Ulta preshcaf ele gl1lpOS abdiallos Ddiuimos la
cociente COlIJO la sheafifkacioacutell de la pnsl(af U f-cgt N irunediatamente de la definicioacuten qtI( para cada pUlIto IJ d stalk cocielltc El mapco natural rr F F F de F a la stcaf c()ci(lItf F F es sobreyectivo y tiene klrIwl F 1 De lo ilnt(rior sr Sigll( q11( para cada sllbslwaJ F ---+ F existe una secuellcia exacta
0----) F F F F O
Reciacuteprocamente si O F F () es 1llm sPcwllcia (xacla lt1( SWHV(S
podemos idemificar a r con la ~mbshcaf ) de F y a (Ol el ((Jcien
F F del ejercicio anterior s(~ que la S(~(lHll(ia
PS (1
o F (U)
induce llIl rnorfismo inyectivo O ~gt F (U) hll (U) y por lo taulo un morfisIIlo illyectivo de sheaves F j(F) de tal formH qw el cliagranm
o F F middotmiddotmiddotmiddot7 ----) ()
li I1
_middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot7O F F o
COllnmt a Se tliguc de quP F jj (F) Fl (~S Illl isomorfisllo (hasta lt1(shyltlotltrar esta uacuteltima comlicioacutell sobw los
143 Imagen directa de una sheaf
Sea f X Y Ulla funcioacuten continua de (iexclpacios o]muacutegic()s Para (wtqlli(r
presheaf F obre X definimos la presllPaJ dinda solm Y COllO
(fF) (V) F (f-l (V)) para cada abierto V Y Si IV f (lltollces el homomorfismo restriccioacuten
J (1)) ---+ F 1 (W))(W)j-(f)F F
induce UB homomorfismo restriccioacuten (fF) (V) ---+ (fF) (W)
Proposicioacuten 1434 Si F es lino 8heaf enlol(( tambihl lo es
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 51
Demostracioacuten Sea V = U un cubrimiento abielt o cl(~ 1 Y ElltollceH la siguiente secuencia es exacta
(V) ) rr F (f-l (V)) ln1)
donde los mapeos son como los definidos la Secuencia 19 P(~ro eS(H seclHucia es por definicioacuten
o UF) (V) rr UF) W I1 V3) (n))
que es exacta ya que F es ulla sheaf _ El stalk de viene dado por
(f-l(V))
donde el liacutemite directo se tolIla sobre todoH los cOlljUlItOS abiertos V tI( ([11(
contienen al punto q Notemos que f es un fundor de la categoriacutea 6~ ) ele shnav(s s()I)](~ X a
la categoriacutea 6~ (Y) de sheaves sobre Y
Ejercicio 1435 Demuestn que el fundor es elraeto (l es decir F I F 11sIacute O --+ bull F --+ --+ O es una secuencia exacta en 61) (X) entonces
0--+ fF fF --+ es una secuencia elTada en 6~ (Y) Pam cualqUier F sobre X dernnestle (JIU r f F) r (X F)
144 Suma directa de sheaves
Sea El una familia de sheaves sobre X Sea
H (U) = EB IEl
la suma directa de los grupos Fi (U) y para U ddilliUllOS (T iexcl COlllO
la SUIlla de los homomorfismos restrIacutecCIacuteuacuteu P~I (L ) (V) ElltO]l((S
iexcl11 cr~ es una presheaf obre X Sea U X UUn Illl
cubrimiento abierto uumle U Sea
tal que
Entonces
y por cOllsiguiente existen secciones (uacutenicas) s E (U) tal(s ([W - 811 1
Es claro qne es un elemento de EBiEl Eiacute (U) Y qtW I = (Ji Por lo tanto la preslwaf
U EBF(U) iE
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
52 CIL1PTER 1 PRELIMINARES
es una sltcaf llamada la sJma lioacutecdlL (1lt I Y In cual sr dllot aUl por EBicl F Para cada F xite mm illclusioacutell wtural TI F ) EBi( I ulla
pfoyeccioacutelJ natural 7ri EBJEl F) ---)
Ejercicio 1436 Dernucre que [n slHilJ I F es 1111 coprodllcto (1 [( ((llshy
egoda de sheaves Es decir dada una 8h((lf IJ III()ILII(J~ ~ F ~ (1181
un uacutenico 1 EBq FI ---+~ tol (t( V T tI
DeTlmestre qw 1HlfU nula jJ e X eaacuteslc un II(l1J1o 1iJIIIII
que res1iexcl[a ser peTO que en
Si la familia Ti 1 es finita la lwaf SUlllH directa satisfan la propildad universal ele un produdo en la categoriacutea d( sIHaes Es decir dada lIIla slwaf 9 y una familia de mOrfiSUlOti de s[iexcleaveti P id + F exish IUI uacutenico lllodislllO ([l
sheaves p 9 EBiacuteEI F tal quP Pi 7r p para todo i e J
145 o-Sheaves
EH un gran mhnero de tiituacioncs s( pariacutelt de llllH iexclmsll(f F ddiuiacuteda soJw ulla coleccioacuten rest lIacutellgida B de abiertos (1lt X r se quiere (ollstruir (11 forllla canoacutenica lllla cierta swaf asociada a pn rlIacuter dl (sra da a
Sea B una coleccioacuten de abuacutertos de X tals qle para (ada [lar T V (1 8 siplllpre existe uu V E B TV e U rl Por (j(lIlplo si [i PS llllil hasl iexcl)iexcl1m [os abiertos ele X B satisface esta propi(~dad D(~ll()t(ltl()S por B (() la (ategoriacutea cuyos objetos tiOll loa abiertos de B Y los lllorlislllOti S)] los lllap(os iacuteu(1tsioacutell Esta es una aubcategoriacutea de la categoriacutea Iop (X) Una B-VTesheaf F de grupos abelianos es un functor contravariantc do la uuumlltgoriacuten B (X) a la cat(~g()riacutea 2lb de grupos abelianos En forIlla expliacutecita lila B-sheaf cOllsisto de lllla asiglla(ioacutell U para cada abierto U E B y IltstriccjOl)(s (JI F(U) F(V) iexclmm cada par de abiertos Ven Btalcs qw (V (Hi (gt1 si [J V 11 B
COIllO siempre que U y V esloacuten en B (xiste un IV e U n V (11 B ti(lllt
sentido deflnir el stalk de F 1 en cada p X eu la nlIacuteslllH forma C01ll0 se hiiacutelo cuanelo construirnos la sheafifieacioacuten ck tilla os tlpcir como cIas(s lt1( pquivalencia de elementos en UF(Up ) tioore todo lo entornos de JI 11tH (stUacuteIl en el conjunto B Esto nos permite definiacuter UIla tilPeacutelf asociada a F shcafificeacutellldo a F de la lllisma forma como se hio allteriolllwute A (sta slwaf la llalllarelll()s la iheaf ilsuciada a la I3pleshelLf F Y lWllHlo no haya )(igro lt1( coiexcliexclfllsuacuteiacuteu
se denotaraacute (abusando la Jlotacioacuten) por F
Ejercicio 1437 Sea Xlln tO]Jo(yilO s(u X UUn 1111 (IJ11f11lenfo
abierto de X y i7Ll)(uJII (lU pam cada uuml estuacute defillilulilla I((f F soJn [
y pala cada a 3 un middot~l7lIlllnmiddotN1
- 1
tal que
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 53
1 Para cada G I P00 = Id
2 Para cadu G Pa Pa enUnUiexcl3nU Demuestre que existe 1tna uacutenica sheaf F sobre X e isomorfismos Flu -gt F tales qne pam cada G 8 zPafJ o en Un n UfJ
146 Espacios Anillados
Muchas de las estructuras geomeacutetricas naturales consideradas en Geometriacutea Diferencial o en Geometriacutea Algebraica pueden ser descritas de manera conveshyniente como espacios topoloacutegicos equipados con una cierta sheaf estructural la cual posee una estructura de anillo conmutativo con elemento identidad
Definicioacuten 1438 Un espacio anillado es un l)ar (X Ox) que consiste de un e8pacio tO]Joloacutegico X y una sheaf de anillos conmutativos con elemento identidad Ox sobTe X
Un modismo de espacios anillados de (X Ox) en (Y Oy) es un par (J1) donde 1 X -gt Y es una funcioacuten continua y 1 Oy -gt IOx es un m01fismo de sheaves de anillos sobTe Y es deciT para cada abieTto V e Y
es un homomorLsmo de anillos Si
(Jj) (XOx) (Y Oy) y (g g) (Y 01) -gt (Z Oz)
son morfismos de espacios anillados la composicioacuten (gg) o (J1) es el par que consiste de la funcioacuten gol X -gt Z y del morLSTlW (g o Ir = g (J) o g es decir el morLsmo dado por la composicioacuten
Definicioacuten 1439 Un espacio anillado (X Ox) se dice un espacio anillado local si para cada punto p EX el stalk OXp es un anillo local es decir un anillo que posee un uacutenico ideal maximal
Un IIlorfismo de espacios anillados locales es un morLsmo de espacios anilshylados tal que pam cada punto p E X el homomorLsmo inducido de anuumlZos locales 1 Oyt(p) -gt Oxp es un homomorfismo local de allillos es decir la imagen bajo 1 del ideal maxirnal de OFf(p) estaacute contenida en el ideal maximal de Oxp
El horneorn01Lsmo 1 se deLne de la signiente manem El morfismo de sheaves 1 Oy -gt IOx induce un homornorLsrno de anillos Ji Oy CV) -gt
Ox (1-1 (ll)) pam cada abierto V en Y Cuando II variacutea sobre todos los entornos de 1 (p) 1- 1 (V) variacutea sobre entornos de p y por tanto tiene sentido definir 1m homomorLsmo
limOy (V) ~Ox (r l (V))-----
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
54 CHAPTER 1 PRELIlvIINARES
Por la propiedad universal del liacutemite directo existe un uacutenico homomorfismo nahLml de anillos ~Ox (1-1 (V)) -Oxp
Un isomorfismo de espacio anillados locales es un modismo con inversa a izquierda y derecha En forma equivalente un morfismo (11) es un isomorshyfismo si y soacutelo si f es un homeonwrfismo de espacio8 topoloacutegicos y 1 es un isomorfismo de sheaves de anillos Dos espacios anillados se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos
Ejemplo 1440 Sea f X Y una flLncioacuten continua entre espacios tOJioloacutegishycos Pam cada abierto V e Y definimos el mapeo p1Lll-back C~ (V) -- C~ (1-1 (V)) por 9 -t 9 o fmiddot Este mapeo induce unmorfismo de sheaves 1 C~ -gt fC~ y por tanto un mapeo de espacios anillados (11) X C~O - (Y Cn Ejemplo 1441 Similarmente una funcioacuten slLave f lvI N entre manifolds suaves induce un morfismo de sheaves f -gt fCt que corresponde al lmll-back de f si VeN es un abierto pam cadCL 9 E COCV) 1g) = go fE CXJ (1-1 (V)) Por lo tanto f define 1m m07fismo de espacios anillados (que coacutemo se veraacute en el Capiacutetulo JI es local) (11) (MCt) -gt (NCN)
Los ejemplos anteriores son casos particulares de la siguiente situacioacuten genshyeral Supongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen las siguientes propiedades
1 Ox y Oy son subsheaves de la sheaf de funciones real valuadas en X (respectivamente en Y) y para cada par de abiertos U e X y V e Y tanto O x (U) como Oy (V) contienen a todal lal funciones constantes en U respectivamente en V Esta uacuteltima condicioacuten permite dotar a Ox (U) (respectivamente a Oy(V) de una estructura natural de lR-aacutelgebra si a f E Ox (U) a f se define como el producto ele la fUllcioacuten constante o por f (respectivamente si a fE Oy(V))
2 Para cada par de puntos p E X Y q E Y los ideales maximales mp de Oxp y mq de OYq consisten precisamente de aquellos geacutermenes de funciones que se anulan en p (respectivamente en q)
Teorema 1442 BlLpongamos que (X Ox) Y (Y Oy) son espacios anillados locales y que las sheaves Ox y Oy satisfacen [as dos condiciones anteriores Entonces cada funcioacuten continua f X - Y que satisfaga que
1(g) = 9 o fE OxU-I(V))
para cada 9 Oy(V) y V e Y abierto define un morfismo de espacios anillashydos locales U1) (X Ox) -gt (Y Oy) donde 1 Oy -gt fOx estaacute definido como 1(g) = 9 o fmiddot
Reciacuteprocamente si U 1) (X O)() -gt (Y Oy) es un morfismo de espacios anillados locales y el mapeo 1 es un homomorfismo de sheaves de lR-aacutelgebras entonces 1 es el pull-back determinado por f es decir para cada abierto V YIv es el homomorfismo de lR-aacutelgebTas que enviacutea a cada g E OdV) en 9 o f OxU1(V))
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
5514 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS
Demostracioacuten Claramente como f (g) E Ox (f~ I (V)) se sigue que fv Oy -gt fJJx estaacute bien definida Ademaacutes estos mapeos cOllmutan con la reshystriccioacuten usual de funciones y por tanto definen un morfismo f Oy ~ fOxmiddot Por uacuteltimo si q f(p) y griexcl E mriexcl es porque g(f(p)) == O Y por consiguieIlte f (09) E mp Esto muestra que el morfismo f es local
Reciacuteprocamente supongamos que (f f) satisface las hipoacutetesis del teorema y sea V e Y un abierto cualquiera y fijemos 09 E Oy (V) Para cada punto p E
f-I(V) la funcioacuten 9 g(q) E mriexcl donde q = f(p)middot Corno f es un homomorfismo
local de IR-aacutelgebras se tiacuteene que
ft(g - g(q)) fv(g) -- g(g(q)) E mp
Pero como f es IR-lineal NI (g(q)) = g(q) = (g o f)(p) de lo cual se sigue que
N(g)(p) - (09 o f)(p) = O
es decir fv(09)(p) (g o f)(p) Esto muestra que N(g) = (g o f) y por lo
tanto f coincide con el pull- back de fmiddot bull
Notacioacuten 1443 Todos los espacios anillados que considemrernos en los sigushyientes capitulos satisfacen las condiciones (1) Y (2) enunciadas maacutes (l7riba lo cual hace que f quede detenninada 1miacuteJocamente como el pull-back inducido por f Por tanto es razonable decir simplemente que f (X Ox) - (Y Oy) es 1Ti morfismo de espacios anillados locales o simplemente nn morfismo de
espacios anillados y omitir en la notacioacuten el par (t f)
147 Sheaves de Moacutedulos
En esta seccioacuten se introduce algunos conceptos que seraacuten utilizados maacutes adeshylante Sin embargo por razones de completez hemos incluido maacutes nociones de las que son estrictamente necesarias para la comprensioacuten de los capiacutetulos sigushyientes Si el lector lo desea puede extraer aquello que juzgue conveniente y leer superficialmente el resto del material A diferencia de otras secciones el lector encontraraacute en esta seccioacuten un tratamiento menos detallado y un gran nuacutemero de ejercicios que serviraacuten como complemento al texto
Definicioacuten 1444 Sea (X O)() un espacio anillado Una sheaf de OX-llloacuteculos o simplemente un Ox-moacutedulo es una sheaf F sobre X tal que pam cada abierto U e X el 9r111)0 F (U) es un Ox (U)-moacutedulo y pam cada inclusloacuten V e U el hornomorfismo restriccioacuten F (U) ~ F (V) es compatible con la estT1ctnTa de moacutedulo es decir si f E Ox(U) Y s E F(U) entonces siexclv flv = (s nv
1
Un morfismo F - 9 de sheaves de Ox -moacutedulos es un morfismo de sheavcs tal qve para cada abierto U e X el rnapeo F (U) -gt 9 (U) es un homomorfisrno
de Ox (U)-moacutedulos Una subsheaf F 1 de Ox-subrnoacutedulos de F es una 8ubsheaf de F tal q11e
F (U) e F(U) es un Ox (U)-submoacutedulo de F(U)
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
56 CHAPTER 1 PRELIMINARES
Si F es un Ox ~submoacutedulo de F la sheaf cociente F F estaacute dotada en forma natural de una estructura de Ox-moacutedulo
Ejercicio 1445 Demuestre que el kernel cokernel e imagen de un morfismo
de Ox-moacutedulos es un Ox-moacuted1iexcl[0 Demuest7e q1te la suma directa de Ox-moacutedulos es a su vez un Ox-moacutedulo
Notacioacuten 1446 Si F Y g son dos Ox-moacutedulos denota1errws al 9rulJO de
morfismos de F en g p01 Homox (F g)
Ejercicio 1447 Sea U un abierto de X y F un Ox -moacutedulo Entonces Fl u es 1m Ox 1U -moacutedulo Si F Y g son Ox -moacutedulos denwestr-e que la presheaf
es una sheaf de Ox -moacutedulos llamada la shc(4 Hom y la cual se denota P01
Homox (Fg)
Ejercicio 1448 Definirnos el producto tensorial Fwox g de dos Ox-moacutedulos como la sheafificacioacuten de la preshe(~f producto tensorial U f- F (U) (U)
g (U)
1 Demuestre que F wO g es canoacutenicamente isomorfa a g Fx
H) canoacutenicarnentp
3 Demuestre que existe un isomorfismo canoacutenico F (x)ox Ox F
Definicioacuten 1449 Un Ox-moacutedulo F se dice libre si es isomorfo 11 1Lna she~f suma directa EB Oxmiddot
iEI Si para cada punto eriste un entorno U tal que Fl u es un Ox iexclu-moacutedulo
librp entonces diremos quP F ps localmente libre En este caso pI rango de F sobre U es el nuacutemero de sumandos Ox Iu en caso de ser finito Es faacutecil vershyque siacute X es conexo el mngo de una sheaf local-mente libre es constante Una she~f localmente libre de mngo 1 es llamada una sheaf invcrtible
Sea (X Ox) un espacio anillado y sea E una sheaf localmente libre de Oxshymoacutedulos de rango finito Definimos el dual de E denotado por E como la sheaf
Homo x (E Ox)
Ejercicio 1450 Sea (X 0) un e8pacio anillado y sea E lLna sheet lomlmente
hbTe de OY -moacutedulo8 de rango finito
1 Demuestre ljue(E) ~ E
2 Demue8tre que para cualquier LJx-moacutechtlo F Hornox (E F) ~ E F
3 Demuestre que pam cualquier- par de Ox -moacutedulo8 F y g
Homox (EXio Fg) ~ Homox (F7iomo x (Eg))x
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
14 SHEAVES y ESPACIOS ANILLADOS 57
Ejercicio 1451 Sea f (X 0x) -- (Y Oy) un morfismo de espacios anillashydos SiF es un Ox-moacutedulo demuestre que fF es un f()x-moacutedulo l1uestTf qne el morfismo 1 Oy -gt fO( de sheaves de anillos sobre Y permite dotarshya fF de una estrltctum nauml de Oy-moacutedulo Llamaremos a eacuteste la imagen directa de F por el morfismo fmiddot
Finalmente definamos las sheaves de ideales que seraacuten de gran utilidad en el proacuteximo capiacutetulo una vez se introduzca la nocioacuten de sllbmanifold Las sheaves de ideales permiten definir la nocioacuten de ser un slt1JObjeto en categoriacuteas maacutes generales como la categoriacutea de variedades y esqnemas y es por esta ralOacutell que hemos fraseado el concepto de submanifold en este lenguaje
Definicioacuten 1452 Sea (X 0x) un espacio anillado Una sheaf de ideales soshyble X es una subsheafI de OX-8ubmoacutedulos de 0( Es decir I(U) e F(U) es Wt ideal pam cada abierto U e X
Las sheaves de ideales aparecen tiacutepicamente como kerllcles de morfisIl1os de espacios anillados si
(j1) (X 0x) -gt (Y Oy)
un morfismo de espacios anillados la sheaf kernel del morfisIllo r Oy -gt fOx es UIla sheaf de ideales
Ejercicio 1453 Sea X un espacio topoloacutegico y Z X un cer7Udo Denotemos por C~ y por C~ la sheaf de funciones continuas en X y Z respectivamente Sea p C~ --gt iacuteC~ el morfismo restriccioacuten a Z qliqueste enviacutea cada f E C~ (U) en su restTicciacuteoacuten fl unz en C~(U n Z) donde i denota la inclusioacuten de Z en X Denmestre que ker p es una sheaf de ideales y describa expliacutecitamente los elementos de ker p(U)
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
58 CHAPTER 1 PRELIMINARES
![C.U.A.O II~I~II]I~I~ I~I ~IIIII](https://static.fdocuments.mx/doc/165x107/62e7c5cd6166ec2783268653/cuao-iiiiiii-ii-iiiii.jpg)
