IV - Estadistica - 2°Corte - Investigacion

8/17/2019 IV - Estadistica - 2°Corte - Investigacion

1/15

Estadifica y Probabilidad

Investigación 2°

Edinson Lopez

Carlos Marrugo

Brayan Mollogon

Daniela Narváez

William Wood

Ingeniería Civil Cuarto Semestre

Universidad de Cartagena

Cartagena de Indias

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


2/15

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la quepuede ser de dos tipos:

1. Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar

diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al aar !discreta porque solo puede tomar valores enteros ! un n"mero finito de ellos.

#$emplos: x⟶ Variable que nos define el n"mero de burbu$as por envase de vidrio

que son generadas en un proceso dado. x⟶ %, 1, &, ', , , etc, etc. burbu$as por envase

x⟶ Variable que nos define el n"mero de productos defectuosos en un

lote de & productos. x⟶ %, 1, &, ',....,& productos defectuosos en el lote

x⟶ Variable que nos define el n"mero de alumnos aprobados en la

materia de probabilidad en un grupo de % alumnos. x⟶ %, 1, &, ', , ,...,% alumnos aprobados en probabilidad

*on los e$emplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valoresde la variable x siempre ser+n enteros, nunca fraccionarios.

&. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente alaar ! continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios !un n"mero infinito de ellos.

#$emplos: x⟶ Variable que nos define el di+metro de un engrane en pulgadas

x⟶ .%, .--, .-, .%, .%1, .%, .-/

x⟶

Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utiliado en unarn0s de auto

x⟶ &%. cm, &%.1, &%.%, 1-., &%,/, &%.%, &%.%

x⟶ Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas

muestras de mineral


3/15

x⟶ 1.gramos, 1&.%, 1%.%, &.', 1.%, 1., 1-.%, &1.%, &%.

*omo se observa en los e$emplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata deuna variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla,

mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo,cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco onegro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc, etc. as variables descritas anteriormente nos generan una distribución deprobabilidad, las que pueden ser.

1) 2istribución de probabilidad discreta.&) 2istribución de probabilidad contin"a.

as caracter3sticas de cada una de las distribuciones anteriores semencionar+n a continuación:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

*aracter3sticas:1. #s generada por una variable discreta (x).

x⟶ Variable que solo toma valores enteros

x⟶

%, 1, &, ', , , /, 4, , ... etc,etc.

&. p( xi)≥0 as probabilidades asociadas a cada uno de los valores que

toma x deben ser ma!ores o iguales a cero.

'. ∑ p( xi)=1 a sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno delos valores que toma x debe ser igual a 1.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA

*aracter3sticas:1. #s generada por una variable continua (x).

x⟶ #s una variable que puede tomar tanto valores enteros como

fraccionarios.


4/15

x⟶ 1.%, '.4, .%, ./, 4.-, .%, .', 11., ... , ∞

&. f ( x)≥0 as probabilidades asociadas a cada uno de los valores que

toma x deben ser ma!ores o iguales a cero. 2ic5o de otra forma, la función

de densidad de probabilidad deber+ tomar solo valores ma!ores o iguales acero. a función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida enlos cuadrantes 6 ! 66.

'. a sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno delos valores que toma x debe ser igual a 1. #l +rea definida ba$o la función dedensidad de probabilidad deber+ ser de 1.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

as caracter3sticas de esta distribución son:a) #n los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se

esperan dos tipos de resultados, e$em. 2efectuoso, no defectuoso, pasa, nopasa, etc, etc., denominados arbitrariamente 70xito (que es lo que seespera que ocurra) o 7fracaso (lo contrario del 0xito).

b) as probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados sonconstantes, es decir no cambian.

c) *ada uno de los ensa!os o repeticiones del experimento sonindependientes entre s3.

d) #l n"mero de ensa!os o repeticiones del experimento (n) es constante.

8 partir de un e$emplo. 2esarrollaremos una fórmula que nos permitacualquier problema que tenga este tipo de distribución.

#$emplo:

Se lana al aire una moneda normal ' veces, determine la probabilidad de queaparecan & +guilas.

Solución:

8ntes de empear a resolver este problema, lo primero que 5a! que 5acer esidentificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, ! podemosdecir que efectivamente as3 es, !a que se trata de un experimento en dondesolo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanar la moneda, +guila osello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de loslanamientos es independiente de los dem+s ! el n"mero de ensa!os orepeticiones del experimento son constantes, n 9 '.


5/15

ara dar solución a este problema, lo primero que 5a! que 5acer es undiagrama de +rbol, en donde representaremos los tres lanamientos, de a53 seobtendr+ el espacio muestral ! posteriormente la probabilidad pedida, usandola fórmula correspondiente.

d= {AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}

ara obtener la fórmula, definiremos lo siguiente: n 9 n"mero de lanamientos de moneda

x 9 n"mero de 70xitos requeridos 9 n"mero de +guilas 9 &

p 9 probabilidad de 70xito9 p(apareca +guila) 91;&

q 9 probabilidad de 7fracaso9 p(apareca sello) 91;&

#ntonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula<

(aparecan & +guilas)9(=o. 2e ramas del +rbol en donde ap. & +guilas)(probabilidad asociada a cada rama)

#ntonces el n"mero de ramas en donde aparecen dos +guilas se puede obtener


6/15

#numerando las ramas de inter0s, estas ser3an: 88S, 8S8, S88, >?@A T6B 2# 8CC#DBS SB= #STBS ##E#=TBS 2# #S8*6B E@#STC8F, Sonpermutaciones en donde algunos ob$etos son iguales, entonces, el n"mero deramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,

2onde n 9 x1Gx&G...GxH

Sustitu!endo en esta fórmula, tenemos lo siguiente<

esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dostipos de ob$etos, si 5a! m+s de dos tipos de ob$etos, definitivamente solo se usa lafórmula original, como se observar+ en el caso de la distribución multinomial, pero>porqu0 vamos a cambiar de fórmulaF, simplemente porque en todos los libros de

texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar dela de permutaciones, que es la siguiente,

! sustitu!endo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son ' las ramasde inter0s, que son donde aparecen dos +guilas, donde n 9 ', x 9 &.


7/15

¿I la probabilidad asociada a cada ramaF

robabilidad asociada a cada rama 9 p(+guila)Jp(+guila)Jp(sello)9 pJpJq 9 p&q9

uego la fórmula de la distribución Kinomial ser3a:

2onde:

p( x, n, p) 9 probabilidad de obtener en n ensa!os x 0xitos, cuando la probabilidadde 0xito es p

2ando solución al problema de e$emplo tenemos lo siguiente:n 9 ', x 9 &, p 9 L

ara calcular la media ! la desviación est+ndar de un experimento que tengauna distribución Kinomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor e!erado.


8/15

2onde:

n 9 n"mero de ensa!os o repeticiones del experimento

9 probabilidad de 0xito o la probabilidad referente al evento del cual se deseacalcular la media que se refiere la media

? 9 complemento de

Devia"i#$ e%&$dar .

E'e(!lo)

1. Se dice que el 4M de los accidentes de una planta se atribu!en a errores5umanos. Si en un per3odo de tiempo dado, se suscitan accidentes,determine la probabilidad de que< a) dos de los accidentes se atribu!an aerrores 5umanos, b) como m+ximo 1 de los accidentes se atribu!a a erroresde tipo 5umano, c) tres de los accidentes no se atribu!an a errores5umanos.

Solución:

a) n 9

x 9 variable que nos define el n"mero de accidentes debidos a errores5umanos

x 9 %, 1, &,..., accidentes debidos a errores de tipo 5umano

p 9 p(0xito) 9 p(un accidente se deba a errores 5umanos) 9 %.4

q 9 p(fracaso) 9 p(un accidente no se deba a errores 5umanos) 9 1Np 9 %.&


9/15

b)

c) #n este caso cambiaremos el valor de p<

n 9

x 9 variable que nos define el n"mero de accidentes que no se deben aerrores de tipo 5umano

x 9 %, 1, &,..., accidentes debidos a errores 5umanos

p 9 p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores 5umanos)

9 %.&q 9 p(probabilidad de que un accidente se deba a errores 5umanos) 9 1Np 9 %.4

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Cara"%er*%i"a)#n este tipo de experimentos los 0xitos buscados son expresados por unidad de+rea, tiempo, piea, etc, etc,:

N O de defectos de una tela por m2

N O de aviones que aterrian en un aeropuerto por d3a, 5ora, minuto, etc, etc.

N O de bacterias por cm2

de cultivo

N O de llamadas telefónicas a un conmutador por 5ora, minuto, etc, etc.

N O de llegadas de embarcaciones a un puerto por d3a, mes, etc, etc.

ara determinar la probabilidad de que ocurran x 0xitos por unidad de tiempo,+rea, o producto, la fórmula a utiliar ser3a:


10/15

donde:

p( x , l) 9 probabilidad de que ocurran x 0xitos, cuando el n"mero promedio deocurrencia de ellos es l

l 9 media o promedio de 0xitos por unidad de tiempo, +rea o producto

e 9 &.41

x 9 variable que nos denota el n"mero de 0xitos que se desea que ocurra

Pa! que 5acer notar que en esta distribución el n"mero de 0xitos que ocurren por unidad de tiempo, +rea o producto es totalmente al aar ! que cada intervalo detiempo es independiente de otro intervalo dado, as3 como cada +rea esindependiente de otra +rea dada ! cada producto es independiente de otroproducto dado.

#$emplos:

1. Si un banco recibe en promedio / c5eques sin fondo por d3a, >cu+les sonlas probabilidades de que reciba, a) cuatro c5eques sin fondo en un d3adado, b) 1% c5eques sin fondos en cualquiera de dos d3as consecutivosF

Solución:

a) x 9 variable que nos define el n"mero de c5eques sin fondo que lleganal banco en un d3a cualquiera 9 %, 1, &, ', ....., etc, etc.

l 9 / c5eques sin fondo por d3a

e 9 &.41

b) x9 variable que nos define el n"mero de c5eques sin fondo que llegan albanco en dos d3as consecutivos 9 %, 1, &, ', ......, etc., etc.

l 9 / x & 9 1& c5eques sin fondo en promedio que llegan al banco endos d3as consecutivos


11/15

=ota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dic5o de otraforma, debe 75ablar de lo mismo que x.

&. #n la inspección de 5o$alata producida por un proceso electrol3tico continuo,se identifican %.& imperfecciones en promedio por minuto. 2etermine lasprobabilidades de identificar a) una imperfección en ' minutos, b) al menosdos imperfecciones en minutos, c) cuando m+s una imperfección en 1minutos.

Solución:

a) x 9 variable que nos define el n"mero de imperfecciones en la 5o$alatapor cada ' minutos 9 %, 1, &, ', ...., etc., etc.

l 9 %.& x ' 9%./ imperfecciones en promedio por cada ' minutos en la5o$alata

b) x 9 variable que nos define el n"mero de imperfecciones en la 5o$alatapor cada minutos 9 %, 1, &, ', ...., etc., etc.

l 9 %.& x 91 imperfección en promedio por cada minutos en la5o$alata

9 1N(%.'/4-1G%.'/4-1) 9 %.&/1/

c) x 9 variable que nos define el n"mero de imperfecciones en la 5o$alatapor cada 1 minutos 9 %, 1, &, ', ....., etc., etc.

l 9 %.& x 1 9 ' imperfecciones en promedio por cada 1 minutos en la5o$alata.


12/15

9 %.%-%&/ G %.1-% 9 %.1--&1%/

DISTRIBUCIÓN NORMAL

*aracter3sticas:

a) #s generada por una variable de tipo continuo, denominada x<

−∞


13/15

sumamos a μ±3σ , entonces el --.4M de los datos caer+ dentro de

esos l3mites. #sta caracter3stica es a la ve una forma emp3rica ! r+pidade demostrar si los datos que se analian tienen una distribución=ormal< !a que para traba$ar los datos con esta distribución, debeverificarse que efectivamente as3 se distribu!en, !a que de no 5acerlo,las decisiones que en un momento dado se tomar+n de un an+lisis delos datos con la distribución =ormal, ser3an erróneas.

¿C#(o e de%er(i$a$ !ro+a+ilidade "o$ la di%ri+"i#$ Nor(al-

2e acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas en la

unidad 666, lo m+s lógico es que la función f ( x , μ , σ 2) , se integre entre los l3mites

de la variable x< esto es,

a integral anterior nos dar3a el +rea ba$o la curva de la función, desde a 5asta b,que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

2ebido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada ve que sea

necesario, lo que se 5ace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x setransforma en un valor de , de la siguiente manera:

#ste valor de es buscado en una tabla donde vienen +reas asociadas a estevalor, ! 5aciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidadrequerida. a tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos dael +rea que se muestra a continuación:


14/15

E'e(!lo:

#l acero que se utilia para tuber3as de agua a menudo se recubre internamentecon un mortero de cemento para evitar la corrosión. #n un estudio de losrecubrimientos de mortero de una tuber3a empleada en un pro!ecto de transmisión

de agua en *alifornia (Transportation #ngineering Qournal, =oviembre de 1-4-) seespecificó un espesor de 4;1/ pulgadas para el mortero. @n gran n"mero demediciones de espesor dieron una media de %./' pulgadas ! una desviaciónest+ndar de %.%& pulgadas. S3 las mediciones de espesor, ten3an una distribución=ormal, >qu0 porcenta$e aproximado fue inferior a 4;1/ de pulgadaF

Solución:x 9 variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas μ 9 %./' pulgadas

σ 9 %.%& pulgadas


15/15

p( 9 N&.1) 9 %.-& p(x R 4;1/ pulgadas) 9 %.N p( 9 N&.1) 9 %.N%.-& 9 %.%% or tanto, %.%% x 1%%M 9 %.M de los recubrimientos de mortero tienenun espesor menor de 4;1/ pulgadas

BIBLIORA/IA

1. 5ttp:;;.itc5i5ua5ua.edu.mx;

IV - Estadistica - 2°Corte - Investigacion

Documents

Transcript of IV - Estadistica - 2°Corte - Investigacion