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Isidoro Lander
MAGIA MATEMÁTICA
Colección CONOCIMIENTOS CIENTÍFICOS / JUEGOS
(A partir de los 12 años)
Edición digital: Sargont (2019)
2.ª edición: 1986
© Isidoro Lander
Editorial Labor, S. A., 1985
Cubierta: Jordi Vives
Depósito legal: B. 27.009 – 1986
ISBN: 84-335-8452-9
Printed in Spain - Impreso en España
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Presentación
Este libro ha sido escrito con la intención de hacer pasar a los
lectores unos ratos agradables, de entretenimiento, demostrando que
las matemáticas también pueden ser divertidas, y los números, esos
signos que en la escuela nos han dado tantos quebraderos de cabeza,
pueden convertirse en motivo de juego y entretenimiento, e incluso
de magia.
Este libro ha sido dividido en seis capítulos:
I. La magia de los números
Una serie de sencillos juegos, algunos de ellos de magia, con los
que podrás ser admirado en las reuniones.
II. Adivinación de números
Juegos que podrían incluirse en el capítulo anterior, pero que he
preferido colocarlos en capítulo aparte por tener todos ellos algo en
común, y es que se trata de adivinar números pensados.
III. Curiosidades y pasatiempos matemáticos
Este capítulo ha sido dividido en dos partes. La primera la com-
ponen una serie de curiosidades numéricas y la segunda unos breves
pasatiempos también numéricos.
IV. Cuadrados numericomágicos
Algunos de los juegos o pasatiempos de este capítulo son real-
mente curiosos e interesantes. De todos ellos puedes obtener más de
una solución por rotación del cuadrado, y en algunos casos sin nece-
sidad de recurrir a esta rotación.
V. Las probabilidades
Aquí encontrarás una breve y elemental explicación de la ley de
probabilidad y su aplicación, incluyendo algunos juegos basados en
esta teoría.
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VI. Ingenio y matemáticas
Este último capítulo incluye una colección de juegos o problemas
de ingenio y lógica matemática que te harán pensar en tus ratos de
ocio, pues pensar también es divertido.
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I
La magia de los números
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El mágico número 1089
Vuelto de espaldas pídele a un amigo que escriba en una hoja de
papel un número cualquiera de tres cifras. Dile a continuación que
debajo escriba el mismo número, pero en sentido inverso. Seguida-
mente, deberá restar este último número al anterior, si el número in-
vertido es mayor que el primero deberá restarse el primero a éste.
Para el juego puede servir cualquier número de tres cifras siempre
que no sea capicúa, pues en este caso el resultado siempre será 0.
A continuación, indícale que debajo del resultado vuelva a escri-
bir el mismo número, pero en sentido inverso, y que sume las dos
cantidades.
Hecho todo esto pídele, o hazlo tú mismo, que eche sobre el re-
verso de tu mano un poco de ceniza y que frote esta parte de la mano
con los dedos. Aparecerá escrito el resultado final de las operaciones
hechas por tu amigo. Si no coinciden dile que repase las cuentas, pues
seguramente se ha equivocado, ya que tu mano no comete errores.
Llegar hasta este resultado final es de lo más sencillo. Hechas las
operaciones indicadas, el resultado final es siempre el mismo: 1089.
Ejemplo:
351 – 153 = 198
198 + 891 = 1089
Conocido esto, es fácil conseguir el efecto de la aparición del nú-
mero en la mano. Antes de comenzar el juego se habrá escrito en el
reverso de la mano el número 1089 con un palillo mojado en anís. Al
frotar después con ceniza aparecerá el número ya conocido.
Si no tienes anís a mano, puedes escribir el número ya conocido
en un papel y mostrarlo al final antes de que tu amigo haya dicho el
resultado de sus operaciones, demostrando así tus dotes de precogni-
ción, o de telepatía, si escribes el número después de realizadas las
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operaciones por tu amigo. No obstante, te aconsejo el truco del anís
por dar un efecto más vistoso.
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Producto curioso
Escribe en una hoja de papel el número 12345679 (observa que
falta el 8) y dile a un amigo que puede multiplicar este número por
otro y el producto será una misma cifra repetida varias veces, la cual
podrá elegir tu amigo. Supongamos que elige el 4, entonces le dices
que multiplique el número de arriba por 36.
12 345 679 × 36 = 444 444 444.
Como puedes ver, el resultado es nueve cuatros.
Para hallar el multiplicador correspondiente en cada caso se mul-
tiplica la cifra que el amigo eligió por 9.
El mismo efecto puede conseguirse con cualquiera de los núme-
ros de la tercera, cuarta, quinta y sexta curiosidad del capítulo «Cu-
riosidades y pasatiempos numéricos». El de la séptima curiosidad es
el mismo que se utiliza en este juego, con diferente enunciado.
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Sumemos
En este sencillo juego «caen» prácticamente todos a los que se les
pone a prueba. Para empezar, pregunta a un amigo si sabe sumar y al
responder afirmativamente puedes decirle que vas a demostrarle que
no domina muy bien esa operación aritmética.
Pídele que responda rápidamente a las preguntas que se le irán
haciendo. Es muy importante, para el feliz resultado de este juego,
que las preguntas y respuestas se hagan con rapidez. Hazle las si-
guientes preguntas, a las que seguramente responderá correctamente:
—¿Cuánto es 2030 más 20?
—2050.
—¿Y 15 más?
—2065.
—¿Y 10 más?
—2075.
—¿Y 15 más?
—2090.
—¿Y 10 más?
A esta última pregunta es muy posible que responda errónea-
mente, pues, si las preguntas y respuestas se han hecho con rapidez,
su respuesta será 3000, siendo en realidad 2100.
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Cómo adivinar al momento un día de la semana
Resulta de gran efecto poder nombrar al momento el día de la
semana que corresponde a una fecha cualquiera, imaginada por un
amigo o espectador. Por ejemplo:
—¿Qué día de la semana fue el 2 de marzo de 1925?
—Lunes.
—¿Y el 14 de agosto de 1940?
—Miércoles.
Para poder llevar a cabo este juego es necesaria cierta práctica,
con el fin de ejercitar la memoria y poder retener la clave, pero esto
no es muy difícil.
Ten en cuenta que a los meses del año les corresponden los si-
guientes valores:
Mayo 1
0-3-3-6
1-4-6-2
5-0-3-5
Agosto 2
Febrero, marzo y noviembre 3
Junio 4
Septiembre y diciembre 5
Abril y julio 6
Enero y octubre 0
Y a los días de la semana estos números:
Domingo 1
Lunes 2
Martes 3
Miércoles 4
Jueves 5
Viernes 6
Sábado 0
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Para responder correctamente a la pregunta hecha por el especta-
dor deberá hacerse, mentalmente, una suma compuesta por los si-
guientes sumandos:
1) El número del día nombrado por el espectador.
2) Las dos últimas cifras del año nombrado.
3) La cuarta parte entera de esas dos cifras.
4) Una unidad, si el año es posterior a 1900, y tres si es anterior.
5) El número que corresponde, en la tabla de más arriba al mes indi-
cado por el espectador.
La suma de todos los números se dividirá por 7 y el resto que
quede indicará el día de la semana, según la tabla de los días.
Si el año indicado es bisiesto y el mes es enero o febrero, se res-
tará una unidad. Puedes saber si un año es bisiesto dividiendo las dos
últimas cifras por 4, si no queda resto es bisiesto. Ejemplos: 25 /4 =
6, queda de resto 1; 1925 y todos los terminados en 25 no son bisies-
tos. 40 / 4 = 10, no hay resto; 1940 y todos los terminados en 40 son
bisiestos. El año 1900 no es bisiesto.
Hagamos una comprobación con las fechas que se dieron al prin-
cipio. ¿Qué día fue el 2 de marzo de 1925?
1) Número del día 2
2) Dos últimas cifras de 1925 25
3) Parte entera de 25 dividida por 4 6
4) Uno más por ser posterior a 1900 1
5) Número del mes de marzo 3
Total 37
Dividimos 37 por 7 y nos da 5, quedando de resto 2, que corres-
ponde al lunes.
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Segundo ejemplo: ¿Qué día corresponde al 14 de agosto de 1940?
1) Número del día 14
2) Últimas cifras del año 40
3) 40 dividido por 4 10
4) Una unidad por ser posterior a 1900 1
5) Número correspondiente a agosto 2
Total 67
Dividiendo el total por 7 el resultado es nueve, con un resto de 4,
y nos queda 3, por lo que el 14 de agosto de 1940 fue miércoles.
En lugar de dividir el total por 7 puede facilitarse la operación
quitando los sietes y múltiplos de siete a medida que se hace mental-
mente la suma. En este último ejemplo el 14 se quedaría en 0; el 40
en 5; 5 más 10 igual a 15, quedaría 1; más 1 igual a 2; más 2 igual a
4; menos 1, por ser año bisiesto, igual a 3.
Si nos limitamos a hacer la experiencia con un solo año, resulta
más sencillo. Para ello debemos averiguar el número clave de ese
determinado año. Si, por ejemplo, el año es 1926, quitamos el múlti-
plo de 7 de 26 y quedan 5, el resultado de la parte entera de 26 divi-
dido por 4 es 6. Cinco más 6 más 1, por ser posterior a 1900, es igual
a 12; quitando 7 queda 5, que es el número clave de 1926. Teniendo
en cuenta este número clave, sólo queda sumarlo al número del día
que se trata de averiguar y al número correspondiente al mes. Ade-
más de los efectos mágicos o de exhibición de memoria, este sistema
tiene utilidades prácticas, pues en muchas ocasiones nos interesa sa-
ber en qué día cae determinada fecha del año actual, del anterior, o
del siguiente.
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Las tablas numéricas
Copia en siete tarjetas o cartulinas las tablas numéricas de este
juego basado en el sistema binario. Con estas siete tablas podrás adi-
vinar la edad de una persona, un número pensado inferior a 100, etc.
Para ello basta con entregar las tablas a una persona pidiéndole
que devuelva sólo aquellas en las que figure el número pensado, o
su edad, etc. Una vez devueltas, basta con que sumemos el primer
número de cada una de las tarjetas devueltas y sabremos el número
que buscamos.
1 27 53 79 2 27 54 79 4 28 52 76
3 29 55 81 3 30 55 82 5 29 53 77
5 31 57 83 6 31 58 83 6 30 54 78
7 33 59 85 7 34 59 86 7 31 55 79
9 35 61 87 10 35 62 87 12 36 60 84
11 37 63 89 11 38 63 90 13 37 61 85
13 39 65 91 14 39 66 91 14 38 62 86
15 41 67 93 15 42 67 94 15 39 63 87
17 43 69 95 18 43 70 95 20 44 68 92
19 45 71 97 19 46 71 98 21 45 69 93
21 47 73 99 22 47 74 99 22 46 70 94
23 49 75 23 50 75 23 47 71 95
25 51 77 26 51 78
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8 28 56 76 16 28 56 84
9 29 57 77 17 29 57 85
10 30 58 78 18 30 58 86
11 31 59 79 19 31 59 87
12 40 60 88 20 48 60 88
13 41 61 89 21 49 61 89
14 42 62 90 22 50 62 90
15 43 63 91 23 51 63 91
24 44 72 92 24 52 80 92
25 45 73 93 25 53 81 93
26 46 74 94 26 54 82 94
27 47 75 95 27 55 83 95
32 44 56 64 76 88
33 45 57 65 77 89
34 46 58 66 78 90
35 47 59 67 79 91
36 48 60 68 80 92
37 49 61 69 81 93
38 50 62 70 82 94
39 51 63 71 83 95
40 52 96 72 84 96
41 53 97 73 85 97
42 54 98 74 86 98
43 55 99 75 87 99
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Trucos de cálculo mental
Cualquier niño con ciertos conocimientos sabe que para multipli-
car un número por la unidad seguida de ceros basta con añadir esos
ceros al número en cuestión.
Aquí trataremos otros trucos o métodos de cálculo mental algo
más «dificilillos».
1) Multiplicar un número por otra cifra (que no sea la unidad),
seguida de ceros.
Se multiplica la cifra anterior a los ceros por el otro número y
después se añaden a la derecha los ceros que seguían a la cifra.
Ejemplo:
(53 × 200)
53 × 2 = 106
Se añaden dos ceros y el resultado es 10 600.
2) Multiplicar un número de dos cifras por 11.
Se suman entre sí las dos cifras del primer número y se colocan
en el medio las unidades obtenidas. La decena, si la hay, se añade a
la cifra de la izquierda.
Ejemplo:
(48 × 11)
4 + 8 = 12
Como resultan dos unidades, se coloca el 2 entre el 4 y el 8 y la
decena se suma al 4, con lo que el resultado es 528.
3) Hallar el cuadrado de un número de dos cifras, siendo la última
de ellas el 5 (15, 25, 35, etc.).
Se multiplica la primera cifra por su inmediata superior y al re-
sultado se le añade por la derecha el número 25.
Ejemplo:
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(Cuadrado de 65)
6 × 7 = 42
Se coloca a la derecha el número 25 y el resultado es 4225.
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II
Adivinación de números
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Primera adivinanza
Se le pide a un amigo que piense un número. Cuando lo haya
pensado se le dice que lo multiplique por 2, que al resultado le añada
2 unidades, que este nuevo resultado lo multiplique por 5, y que a
este último resultado le reste un número que le damos, menor de 10,
y que en cada caso puede ser distinto.
A continuación, se le pregunta qué número había pensado. La úl-
tima cifra será la diferencia hasta 10 del número que le hemos dado
para restar y la anterior, o anteriores, si ha pensado un número de
más de un dígito, será el número pensado.
Ejemplo:
Piensa el número 12.
12 × 2= 24
24 + 2= 26
26 × 5 = 130
130 – 4 = 126
Ha pensado 12 y 6 es la diferencia de 4 a 10.
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Segunda adivinanza
En este caso, tu amigo deberá hacer las siguientes operaciones
con el número pensado: multiplicarlo por 10, añadirle 20, multipli-
carlo por 10 y sumarle 165. Después de conocer el resultado, deberás
restarle 365 y, sin tener en cuenta los dos ceros de la derecha, el resto
será el número pensado.
Ejemplo:
El número pensado es el 15.
15 × 10 = 150
150 + 20 = 170
170 × 10 = 1700
1700 + 165 = 1865
Ahora pregunta cuál es el resultado y a éste le restas 365.
1865 – 365 = 1500
Eliminando los dos ceros finales podrás afirmar con toda seguri-
dad que el número que había pensado tu amigo era el 15.
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Tercera adivinanza
Pídele a un amigo que escriba un número de tres cifras, que no
sea capicúa, y a continuación el mismo número en sentido inverso, y
que reste el menor del mayor.
Hecho esto le pides que te indique cuál es la primera o la última
cifra de la resta y, cuando diga una de ellas, ya estarás en disposición
de saber cuál es el resultado.
Haciendo lo que se pide, la cifra del centro del resultado de la
resta es un 9 y la suma de las dos de los extremos también es 9; así,
sabiendo cuál es una de ellas conocerás fácilmente el total.
Veamos un ejemplo:
842 – 248 = 594 (5 + 4 = 9)
Pero también ten en cuenta estos otros ejemplos:
435 – 543 = 099 (0 + 9 = 9)
y
100 – 001 = 099 (0 + 9 = 9).
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Cuarta adivinanza
Se pide que piensen un número y cuando lo hayan hecho que te
digan si es par o impar. Si el número pensado es par indica que lo
multipliquen por 3, que el resultado lo dividan por 2 y que el producto
lo multipliquen por 3. A continuación, deberán dividir el resultado
por 9 y decimos qué da. Bastará con que tú dobles el resultado de la
última división para saber el número pensado.
Ejemplo:
Piensan el número 6.
6 × 3= 18
18 / 2 = 9
9 × 3 = 27
27 / 9 = 3
El doble de 3 es 6.
Cuando el número pensado es impar se ordenan las mismas ope-
raciones, pero en primer lugar, se pide que al número que han pen-
sado añadan una unidad y tú al final restarás esa unidad.
Ejemplo:
Número pensado, el 7.
7 + 1 = 8
8 × 3 = 24
24 / 2 = 12
12 × 3 = 36
36 / 9 = 4
Doblando el 4 y restando 1 el resultado es 7.
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Quinta adivinanza
Pide a un amigo que escriba un número de cuantas cifras desee y
después le preguntas cuántas cantidades más de la misma cifra quiere
escribir debajo. Entonces le puedes decir que por cada vez que él
escriba un número tú escribirás otro debajo y la suma total que dé
será la que ahora anotas tú aparte.
Lo que debes hacer para averiguar el producto es multiplicar (sin
que te vea el amigo) una cantidad compuesta de tantos nueves como
cifras tenga el número que escribió tu amigo por el número de canti-
dades que él diga que quiere escribir. Y luego, cada vez que él escriba
una cantidad, tú escribirás debajo la diferencia que haya entre cada
una de sus cifras hasta nueve.
Ejemplo:
Él escribe el número 53 201.
Quiere escribir con éste cuatro números.
Tú haces aparte la siguiente operación:
99 999 × 4 = 399 996
Procedes a escribir las siguientes cantidades:
53 201
46 798
23 563
76 436
96 390
03 609
12 377
87 622
(Él)
(Tú)
(Él)
(Tú)
(Él)
(Tú)
(Él)
(Tú)
399 996
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Con este procedimiento siempre resulta una cantidad compuesta
por nueves a excepción de la primera y última cifras, que también
serán factores de 9.
Esto puede llamar la atención, lo que hará que no se pueda repetir
el juego, por ello presentamos a continuación un juego parecido, pero
con otro desarrollo, que lleva a un resultado final más variado.
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Variación sobre la quinta adivinanza
En este caso también se pide que escriban un número de varias
cifras y luego que te digan cuántas cantidades más quieren escribir
debajo, y cuando te contesten dices que vas a escribir la suma que
todas esas cantidades darán y así lo haces.
Supongamos que escriben el número 27 862 936 y quieren escri-
bir con éste tres números. Para saber cuál será la suma final deberás
escribir la primera cantidad ya conocida, pero restándole a la última
cifra el número de cantidades que quieren escribir, y que en este caso
son tres, y colocar esa misma cantidad al principio del número, con
lo que el número de este caso se convertiría en 327 862 933, el cual
no mostrarás hasta el final.
A continuación, debajo de la primera cantidad que han escrito tú
colocas otra restando el número de cantidades que han elegido para
escribir, en este caso tres. Si la cifra de la que has de restar es inferior
a 3 restarás a ese número con la unidad delante. Debajo anotarás otra
cantidad que se compondrá de la diferencia que haya hasta 9 de cada
cifra de arriba.
Hasta aquí los números que tendrás en la columna serán:
27 862 93
94 539 603
05 460 396
(Él)
(Tú)
(Tú)
Después, puede escribir su segundo número y tú colocarás otro
mediante el mismo sistema, con lo que cada cifra suya con la que tú
pongas debajo sumarán 9. Así, continuarás hasta el final.
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Veamos cómo sería la suma completa:
27 862 936 (Él)
94 539 603 (Tú)
05 460 396 (Tú)
46 352 112 (Él)
53 647 887 (Tú)
32 590 314 (Él)
67 409 685 (Tú)
327 862 933
Hecha la suma mostrarás el resultado que habíamos anotado de-
mostrando que ambas son iguales.
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Adivinar una cifra borrada de un número
Pídele a un amigo que escriba un número de cuatro cifras y que
le reste el valor absoluto de las mismas; es decir, la suma de todas las
cifras. Seguidamente, le pides que quite una cifra cualquiera del re-
sultado y te diga cuál es el valor absoluto de las tres cifras que que-
dan.
El número que se busca es la diferencia de la cantidad dada por
el amigo hasta 9; o hasta 18, si el valor absoluto es superior a 9; o
hasta 27, si es superior a 18.
Ejemplo:
8 430 – 15 (valor absoluto) = 8 415
Si se elimina la primera cifra el valor absoluto de las restantes es
10. De 10 a 18, la diferencia es 8 (la cifra borrada). Comprueba los
resultados quitando cualquier otra cifra.
Ten presente que si después de quitar una cifra las otras tres su-
man 9, la cifra borrada puede ser tanto el 0 como el 9.
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Adivinar dos números
Pide a tus compañeros que piensen dos números distintos del 1 al
9, que el primero lo multipliquen por 2, que añadan el número 8 (en
cada caso puede darse un número diferente), que multipliquen el re-
sultado por 5 y que añadan el segundo número pensado.
Hecho todo esto pregunta cuál es el resultado y de éste resta el
resultado de multiplicar por 5 el número que le diste para sumar. El
primer número de este resultado final será el primer número pensado
y el otro el segundo:
Ejemplo:
Piensan los números 2 y 4.
2 × 2 = 4 8 × 5 = 40
4 + 8 = 12 64 – 40 = 24
12 × 5 = 60
60 + 4 = 64
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III
Curiosidades y pasatiempos matemáticos
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Curiosidades
Primera
Dividiendo el número 370 370 370 (tres veces 370) por 3 el co-
ciente resulta 123 456 789.
Segunda
Multiplicando un número compuesto sólo de unos por sí mismo,
es decir, elevándolo a la segunda potencia, el resultado es un número
que empieza con cifras ascendentes hasta el número de unos que se
ha elevado a la segunda potencia, para terminar con cifras descen-
dentes. Veamos algunos ejemplos:
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
Tercera
Haz las siguientes operaciones y observa los resultados:
3 × 37 = 111
11 × 101 = 1111
41 × 271 = 11111
239 × 4649 = 1111111
Duplicando cualquiera de los dos factores el resultado estará for-
mado por doses, triplicándolo por treses, etc.
Cuarta
Multiplicar el número 37 por 3 y sus múltiplos y observar los re-
sultados:
37 × 3 × 1 = 111
37 × 3 × 2 = 222
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37 × 3 × 3 = 333
37 × 3 × 4 = 444
37 × 3 × 5 = 555
37 × 3 × 6 = 666
37 × 3 × 7 = 777
37 × 3 × 8 = 888
37 × 3 × 9 = 999
Quinta
Multiplicar el número 101 por 11 y sus múltiplos, y observar los
resultados:
101 × 11 × 1 = 1111
101 × 11 × 2 = 2222
101 × 11 × 3 = 3333
101 × 11 × 4 = 4444
101 × 11 × 5 = 5555
101 × 11 × 6 = 6666
101 × 11 × 7 = 7777
101 × 11 × 8 = 8888
101 × 11 × 9 = 9999
Sexta
Multiplicar el número 8 547 por 13 y sus múltiplos, y observar
los resultados:
8 547 × 13 × 1 = 111 111
8 547 × 13 × 2 = 222 222
8 547 × 13 × 3 = 333 333
8 547 × 13 × 4 = 444 444
8 547 × 13 × 5 = 555 555
8 547 × 13 × 6 = 666 666
8 547 × 13 × 7 = 777 777
8 547 × 13 × 8 = 888 888
8 547 × 13 × 9 = 999 999
― 32 ―
Séptima
Multiplicar el número 15 873 por 7 y sus múltiplos, y observar
los resultados:
15 873 × 7 × 1 = 111 111
15 873 × 7 × 2 = 222 222
15 873 × 7 × 3 = 333 333
15 873 × 7 × 4 = 444 444
15 873 × 7 × 5 = 555 555
15 873 × 7 × 6 = 666 666
15 873 × 7 × 7 = 777 777
15 873 × 7 × 8 = 888 888
15 873 × 7 × 9 = 999 999
Octava
Multiplicar el número 3367 por 33 y sus múltiplos, y observar los
resultados:
3367 × 33 × 1 = 111 111
3367 × 33 × 2 = 222 222
3367 × 33 × 3 = 333 333
3367 × 33 × 4 = 444 444
3367 × 33 × 5 = 555 555
3367 × 33 × 6 = 666 666
3367 × 33 × 7 = 777 777
3367 × 33 × 8 = 888888
3367 × 33 × 9 = 999 999
Novena
Multiplicar el número 12 345 679 (nótese que falta el 8) por 9 y
sus múltiplos, y observar los resultados:
12 345 679 × 9 × 1 = 111 111 111
12 345 679 × 9 × 2 = 222 222 222
12 345 679 × 9 × 3 = 333 333 333
12 345 679 × 9 × 4 = 444 444 444
12 345 679 × 9 × 5 = 555 555 555
― 33 ―
12 345 679 × 9 × 6 = 666 666 666
12 345 679 × 9 × 7 = 777 777 777
12 345 679 × 9 × 8 = 888 888 888
12 345 679 × 9 × 9 = 999 999 999
Décima
Realizar las operaciones que se indican a continuación y observar
los resultados:
0 × 9 + 1 = 1
1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111
1234 × 9 + 5 = 11111
12345 × 9+ 6 = 111111
123456 × 9 + 7 = 1111111
1234567 × 9 + 8 = 11111111
12345678 × 9 + 9 = 111111111
123456789 × 9 + 10 = 1111111111
Decimoprimera
Realizar las operaciones que se indican a continuación, y obser-
var los resultados:
9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8888
9876 × 9 + 4 = 88888
98765 × 9 + 3 = 888888
987654 × 9 + 2 = 8888888
9876543 × 9 + 1 = 88888888
98765432 × 9 + 0 = 888888888
987654321 × 9 – 1 = 8888888888
Decimosegunda
Hacer las operaciones siguientes y observar los resultados:
― 34 ―
1 × 91 = 091
2 × 91 = 182
3 × 91 = 273
4 × 91 = 364
5 × 91 = 455
6 × 91 = 546
7 × 91 = 637
8 × 91 = 728
9 × 91 = 819
Como puede verse, las cifras de la primera y tercera columnas de
los resultados aumentan una unidad en cada línea, mientras las cifras
de la columna central disminuyen una unidad.
Decimotercera
Haz las siguientes operaciones y observa qué curiosos son los re-
sultados:
1 × 8 + l = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
1234 × 8 + 4 = 9876
12345 × 8 + 5 = 98765
123456 × 8 + 6 = 987654
1234567 × 8 + 7 = 9876543
12345678 × 8 + 8 = 98765432
123456789 × 8 + 9 = 987654321
Decimocuarta
Multiplicar el número 142 857 por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, y ver el
resultado de las siete operaciones:
142 857 × 1 = 142 857
142 857 × 2 = 285 714
142 857 × 3 = 428 571
142 857 × 4 = 571 428
142 857 × 5 = 714 285
― 35 ―
142 857 × 6 = 857 142
142 857 × 7 = 999 999
Al ser el número 142 857 un número cíclico, multiplicándolo por
cualquier número no superior al de cifras de que se compone el
mismo, el resultado será un producto con las mismas cifras y en el
mismo orden cíclico, es decir, empezando por distinta cifra, pero si-
guiendo el mismo orden hasta el final, para después continuar con las
cifras del principio del número original. Multiplicándolo por una uni-
dad más, el resultado estará compuesto únicamente por nueves.
Los mismos resultados pueden obtenerse con otros números ma-
yores, como el 0 588 235 294 117 647. Puedes hacer las operaciones
poniendo como multiplicador desde el 1 al 16, si utilizas el 17 el pro-
ducto estará compuesto por nueves. El tercer número cíclico es el
052 631 578 947 368 421.
Otra de las propiedades de los números cíclicos es que partiendo
por la mitad dicho número, o cualquiera de los resultados obtenidos
al hacer las multiplicaciones indicadas, el producto que da es una hi-
lera de nueves.
Ejemplo:
142 + 857 = 999
Decimoquinta
Se dice, se cuenta, se comenta, que el inventor del ajedrez fue un
tal Palamedes, soldado de Alejandro el Magno. Y que éste hizo lla-
mar a Palamedes para recompensarle por tan ingeniosa invención.
—¿Con qué queréis que os recompense? —preguntó Alejandro.
—Me conformo con que me entreguéis un grano de trigo por el
primer cuadro del tablero del juego que he inventado, dos granos por
el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, y así progresi-
vamente, doblando en cada cuadro el número de granos del cuadro
anterior.
Alejandro el Magno sonrió y quedó agradecido a Palamedes, por
su modestia. Seguidamente ordenó que se le entregara la recompensa
― 36 ―
acordada, pero no tardaron en comunicarle que tal petición no podía
ser cumplida. ¿Por qué?
Porque no disponían de tan gran cantidad de trigo, ya que ha-
ciendo lo que Palamedes pedía, cuadro por cuadro, doblando en cada
uno de ellos la cantidad del anterior, para los 64 cuadros del tablero
de ajedrez serían necesarios 18 446 744 073 709 551 615 granos de
trigo. Esta cantidad de granos de trigo compuesta por 20 cifras no la
posee ningún país, pues supone la producción mundial durante mu-
chos años.
Para hacemos una mayor idea de lo que representa esta cantidad
estudiaremos un poco el asunto con algunos ejemplos prácticos:
1) Un metro cúbico contiene 15 millones de granos de trigo, por lo
que la cantidad pedida por Palamedes ocuparía un volumen de 12
000 km3.
2) Si el granero tuviera 4 metros de alto y 10 de ancho alcanzaría una
longitud de 300 millones de km, o lo que es igual, daría 7 vueltas
y media alrededor de la Tierra.
3) Si pudiéramos contar, lo que es mucho decir, día y noche sin des-
canso, a razón de un grano por segundo, serían necesarios 500
000 millones de años.
― 37 ―
Pasatiempos
Uno
Con seis unos, y realizando las operaciones que sean necesarias,
obtener como resultado 15.
Solución
Dos
Con cinco treses, y haciendo las operaciones que sean precisas,
obtener como resultado 100.
Solución
Tres
Con diez treses, y realizando las operaciones precisas, obtener
como producto 111.
Solución
Cuatro
Con cuatro cuatros hacer las operaciones que sean necesarias para
expresar en cada caso los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
Solución
Cinco
Con cinco cuatros realizar las operaciones precisas para conse-
guir como resultado 100.
Solución
Seis
Con seis cuatros, y haciendo las operaciones precisas, obtener
como resultado 3.
Solución
― 38 ―
Siete
Con seis cuatros realizar las operaciones precisas para que resulte
como producto 100.
Solución
Ocho
Con siete cuatros, y tras hacer las operaciones oportunas, obtener
como resultado 100.
Solución
Nueve
Con ocho cuatros realizar las operaciones oportunas para obtener
como producto 500.
Solución
Diez
Con diez seises hacer las operaciones oportunas para que el pro-
ducto que resulte sea 222.
Solución
Once
Con ocho ochos, y haciendo las operaciones necesarias, obtener
como resultado 1000.
Solución
Doce
Con cuatro nueves, y realizando las operaciones que sean nece-
sarias, obtener como producto 100.
Solución
Trece
Con seis nueves realizar las operaciones oportunas para que el
producto resultante sea 100.
Solución
― 39 ―
Catorce
Con tres números iguales que no sean el cuatro hacer las opera-
ciones necesarias para que el resultado dé 12.
Solución
Quince
Escribir los dígitos del 1 al 9 (ambos inclusive), Intercalando los
signos aritméticos que sean necesarios para que dé como resultado
100.
Solución
Dieciséis
¿Sabes hallar la mitad del número 745 674 822 897 432 sin divi-
dir por 2?
Solución
Diecisiete
Hallar dos números que tengan entre sí una diferencia de 5 uni-
dades y entre sus cuadrados una diferencia de 175.
Solución
Dieciocho
¿Qué números dan el mismo resultado sumados que multiplica-
dos?
Solución
Diecinueve
Escribir tres cantidades de tres cifras cada una, empleando las
nueve cifras del 1 al 9 sin repetir ninguna, y con la condición de que
la segunda cantidad debe ser el doble que la primera y la tercera el
triple que la segunda.
Solución
Veinte
¿Cuántas veces puede restarse 1 de 10?
Solución
― 40 ―
Veintiuno
¿Serías capaz de quitar a diecinueve uno y que dé como resultado
veinte?
Solución
Veintidós
¿Podrías demostrar que la mitad de doce no siempre es seis?
Solución
Veintitrés
Escribir un número de cuatro cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior. Tiene dos
soluciones.
0 1 2 3
Solución
Veinticuatro
Escribir un número de cinco cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior.
0 1 2 3 4
Solución
Veinticinco
Escribir un número de siete cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior.
0 1 2 3 4 5 6
Solución
― 41 ―
Veintiséis
Escribir un número de ocho cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior.
0 1 2 3 4 5 6 7
Solución
Veintisiete
Escribir un número de nueve cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Solución
Veintiocho
Escribir un número de diez cifras, una en cada casilla, de modo
que el dígito de cada casilla indique las veces que en el número que
has escrito aparece la cifra indicada en la parte superior.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Solución
Pasar al Capítulo IV
― 42 ―
Solución a los pasatiempos matemáticos
Uno
11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15
Volver
― 43 ―
Dos
33 × 3 + 3/3 = 100
Volver
― 44 ―
Tres
3 + 3 + 3 + 3 + 33 + 33 + 33 = 111
Volver
― 45 ―
Cuatro
44 / 44 = 1
4
4+
4
4= 2
4 + 4 + 4
4= 3
4 +4 − 4
4= 4
(4 × 4) + 4
4= 5
4 + 4
4+ 4 = 6
44
4− 4 = 7
4 + 4 + 4 – 4 = 8
4 + 4 +4
4= 9
44 – 44 = 0
Para expresar el número 4 existen varias fórmulas, aunque aquí
sólo damos una.
Volver
― 46 ―
Cinco
(44 − 4
4)
√4
= 100
Volver
― 47 ―
Seis
4 / 4 =
4 / 4 =
4 / 4 =
1
1
1
3
Volver
― 48 ―
Siete
444 − 44
4= 100
Volver
― 49 ―
Ocho
44 + 44 + 4 + 4 + 4 = 100
Volver
― 50 ―
Nueve
4 + 4 + 4 + 44 + 444 = 500
Volver
― 51 ―
Diez
6 + 6 + 6 + 66 + 66 + 66 = 222
Volver
― 52 ―
Once
8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000
Volver
― 53 ―
Doce
99 +9
9= 100
Volver
― 54 ―
Trece
99 / 99 + 99 = 100
Volver
― 55 ―
Catorce
11 + 1 = 12
Volver
― 56 ―
Quince
123 – 45 – 67 + 89 = 100
Volver
― 57 ―
Dieciséis
Puede hallarse la mitad de cualquier número multiplicándolo por
0,5.
Volver
― 58 ―
Diecisiete
El 15 y el 20.
Volver
― 59 ―
Dieciocho
El 2.
(2 + 2 = 4) (2 × 2 = 4)
Volver
― 60 ―
Diecinueve
1.ª = 219
2.ª = 438
3.ª = 657
Volver
― 61 ―
Veinte
Una vez solamente: 10 – 1 = 9, ya no puede restarse del 10 sino
del 9 y luego del 8, del 7, etcétera.
Volver
― 62 ―
Veintiuno
Escribir diecinueve con números romanos (XIX) y quitar el palito
que equivale a uno, quedará veinte (XX)
Volver
― 63 ―
Veintidós
Se escribe doce en números romanos (XII) y trazando una línea
horizontal se parte el número por la mitad. En la parte superior que-
darán siete (VII).
Volver
― 64 ―
Veintitrés
2 0 2 0 y 1 2 1 0
Volver
― 65 ―
Veinticuatro
2 1 2 0 0
Volver
― 66 ―
Veinticinco
3 2 1 1 0 0 0
Volver
― 67 ―
Veintiséis
4 2 1 0 1 0 0 0
Volver
― 68 ―
Veintisiete
5 2 1 0 0 1 0 0 0
Volver
― 69 ―
Veintiocho
6 2 1 0 0 0 1 0 0 0
Volver
― 70 ―
IV
Cuadrados numericomágicos
― 71 ―
Ejercicios
Uno (3 × 3)
Anotar en los cuadros nueve de las diez cifras del 0 al 9 de forma
que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 15.
Dos (3 × 3)
Anotar en las casillas nueve de las diez cifras del 0 al 9 de modo
que en cada horizontal y vertical sumen 14.
Tres (3 × 3)
Escribir en los cuadros nueve de las diez cifras del 0 al 9 de tal
forma que en todas las horizontales y verticales sumen 13.
Cuatro (3 ×3)
Anotar en las casillas nueve de las diez cifras del 0 al 9 de modo
que en todas las horizontales, verticales y diagonales sumen 12.
Cinco (3 × 3)
Colocar en las casillas los números del 2 al 10 de tal modo que
en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 18.
Seis (3 × 3)
Escribir en los cuadros los nueve primeros números pares para
conseguir que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 30.
Siete (3 × 3)
Anotar en las casillas los nueve primeros números impares de
modo que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 27.
3 × 3
― 72 ―
Ocho (4 × 4)
Colocar en los cuadros los números del 0 al 15 de modo que en
todas las horizontales, verticales y diagonales sumen 30.
Nueve (4 × 4)
Anotar en los cuadros los números del 1 al 16 de tal modo que en
cada horizontal, vertical y diagonal sumen siempre 34.
Diez (4 × 4)
Escribir en las casillas 16 de los 17 primeros números de modo
que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 37. *
Once (4 × 4)
Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros números de forma
que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 36.
Doce (4 × 4)
Colocar en las casillas 16 de los 17 primeros números de modo
que sumando cada horizontal y vertical el resultado sea 35.
Trece (4 × 4)
Anotar en las casillas los 16 primeros números pares de modo que
en cada horizontal, en cada vertical y en cada diagonal sumen 68.
Catorce (4 × 4)
Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros números de modo
que en cada horizontal, en cada vertical y en cada diagonal sumen
64.
4 × 4
― 73 ―
Quince (5 × 5)
Colocar en las casillas los números del 1 al 25 de forma que en
cada horizontal, vertical y diagonal sumen 65.
Dieciséis (4 × 4)
Anotar en cada casilla una cifra del 1 al 4, repitiéndolas cuatro
veces, de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sume 10.
Diecisiete (5 × 5)
Escribir en cada cuadro una cifra del 1 al 5, repitiéndolas cinco
veces, de modo que en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 15.
5 × 5
Dieciocho (8 × 8)
Anotar en las casillas los números 1, 2, 3 y 4 repitiendo cada uno
las veces que sea necesario para conseguir que cada horizontal y ver-
tical sumen 20. Por otra parte, en uno de sus sentidos, cada diagonal
deberá estar formada por el mismo número repetido.
Diecinueve (3 × 3)
Anotar en los cuadros los primeros números en progresión doble
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y 256), de modo que multiplicando los tres
números de cada horizontal, vertical y diagonal el producto sea siem-
pre 4096.
Veinte (6 × 6)
Escribir en las casillas los números del 1 al 36 de modo que todas
las horizontales, verticales y diagonales del cuadro completo sumen
111 y las del cuadro central 74.
― 74 ―
6 × 6
Veintiuno (4 × 4)
Fig. 1 Fig. 2
Dibujar un cuadrado dividido en 16 casillas (fig. 1). El juego con-
siste en anotar en las casillas los números del 1 al 16 (uno en cada
cuadrito) en un orden que permita dar el mismo resultado sumando
los números de cuatro cuadritos o casillas según varias combinacio-
nes, algunas de las cuales se indican más abajo.
Deberá obtenerse el mismo total (34) sumando las cuatro casillas
de las siguientes series:
1 a Cada línea horizontal.
2.a Cada columna.
3.a Las dos diagonales.
4.a Las 4 casillas del centro, señaladas con un cuadrado punteado
(véase fig. 2).
― 75 ―
5.a Las 4 casillas de cada esquina, señaladas con círculos punteados
(véase fig. 2).
6.a Las casillas de cada esquina, indicadas con un asterisco.
7.a Las dos primeras casillas de la primera línea y las dos de la cuarta
(véase A).
8.a Las dos últimas casillas de la primera línea y las dos primeras de
la cuarta (véase B).
9.a Las dos primeras casillas de la primera columna y las dos últimas
de la cuarta (véase C).
10. a Las dos últimas casillas de la primera columna y las dos prime-
ras de la cuarta (véase D).
11.a Las dos casillas centrales de la primera y cuarta líneas (véase E).
12.a Las dos casillas centrales de la primera y cuarta columnas (véase
F).
Todavía hay más combinaciones que tú mismo podrás descubrir
una vez que conozcas la solución de este curioso juego. Me he limi-
tado a exponer las principales.
Veintidós (8 × 8)
Fig. 1
― 76 ―
En la figura 1 deberás anotar los números del 1 al 64 cumpliendo
las condiciones que se indican más abajo. En la figura número 2 te
señalo, para mejor comprensión, un ejemplo de cada condición o
combinación aunque sin colocar los números correspondientes.
1.a El total de la suma de las 8 cifras de cada fila debe ser 260.
2.a El total de la suma de las 8 cifras de cada columna debe ser 260.
3.a El total de la suma de las 4 primeras o 4 últimas cifras de cada fila
debe ser 130.
4.a El total de la suma de las 4 primeras o 4 últimas cifras de cada
columna debe ser 130.
5.a El total de la suma de 4 cifras ascendiendo en diagonal, para se-
guir sumando las 4 siguientes, descendiendo también en diago-
nal, debe ser 260.
6.a El total de la suma de 4 cifras descendiendo en diagonal, para
seguir sumando las 4 siguientes, ascendiendo igualmente en dia-
gonal, debe ser 260.
7.a El total de la suma de las 4 cifras de las esquinas más las 4 del
centro será 260.
8.a El total de la suma de cuatro casillas cualesquiera que estén juntas
formando un cuadrado sumarán 130.
― 77 ―
Veintitrés (8 × 8)
8 × 8
Anotar en un cuadrado dividido en 64 cuadritos los números del
1 al 64 de forma que se den las siguientes combinaciones:
1 a Sumando las 8 cantidades de cada horizontal el total es 260.
2.a Sumando las 8 cantidades de cada vertical el total es 260.
3.a Sumando las 4 primeras o 4 últimas cantidades de cada vertical el
total es 130.
4.a Sumando 4 casillas cualesquiera que estén juntas formando un
cuadrado el total es 130.
Como puede verse, las dos primeras combinaciones son las mis-
mas del cuadrado anterior, la tercera corresponde a la cuarta y la
cuarta a la octava del anterior. Las otras tres no se cumplen de la
misma forma sino como se indica seguidamente:
Si sumamos las 4 primeras cantidades de cada horizontal el total
es 98 y las 4 últimas 162, o viceversa, alternativamente. Sumando en
diagonal 4 cantidades ascendiendo y 4 descendiendo, o viceversa, el
total es 324 y 196, alternativamente.
― 78 ―
Veinticuatro (8 × 8 cruzado)
8 × 8
cruzado
En un cuadrado de 64 casillas dividido a su vez en cuatro cuadra-
dos de 16 casillas (véase la figura), escribir los números del 1 al 64
de modo que se cumplan las siguientes combinaciones:
Cuadrado completo:
1.a La suma de las ocho casillas de cada horizontal da un total de 260.
2.a La suma de las ocho casillas de cada vertical da un total de 260.
3.a La suma de las ocho casillas de cada diagonal da un total de 260.
4.a La suma de las cuatro casillas de las esquinas y las cuatro del
centro da un total de 260.
Cada uno de los cuatro cuadrados:
1.a La suma de las cuatro casillas de cada horizontal da un total de
130.
2.a La suma de las cuatro casillas de cada vertical da un total de 130.
3.a La suma de las cuatro casillas de cada diagonal da un total de 130.
4.a La suma de cuatro casillas formando un cuadrado en las cuatro
esquinas y en el centro de cada uno de los cuatro cuadrados da un
total de 130.
― 79 ―
Cuadrados numricomágicos
Soluciones
Uno Dos Tres Cuatro
6 1 8 9 1 4 8 5 0 7 0 5
7 5 3 5 7 2 2 7 4 2 4 6
2 9 4 0 6 8 3 1 9 3 8 1
Cinco Seis Siete
3 8 7 12 2 16 15 5 7
10 6 2 14 10 6 1 9 17
5 4 9 4 18 8 11 13 3
Ocho Nueve Diez
7 10 12 1 2 12 5 15 2 13 6 16
13 0 6 11 13 7 10 4 14 8 11 4
2 15 9 4 11 1 16 6 12 1 17 7
8 5 3 14 8 14 3 9 9 15 3 10
Once Doce Trece
17 11 1 7 17 10 1 7 30 8 12 18
6 16 12 2 6 16 11 2 10 20 32 6
3 5 15 13 3 5 15 12 24 14 2 28
10 4 8 14 9 4 8 14 4 26 22 16
Catorce Quince Dieciséis
1 7 5 2 7 1 5 1 5 1 7 4 6 2 3 2 4 3 1
1 1 3 1 1 2 1 2 2 1 4 1 6 3 1 0 3 1 2 4
7 1 9 1 3 2 5 9 2 1 1 3 2 0 2 1 3 4 2
2 9 9 2 3 3 1 8 2 5 1 2 1 9 4 2 1 3
1 8 5 7 2 4 11
― 80 ―
Diecisiete Dieciocho
1 5 3 2 4 1 3 4 3 1 3 2 3
5 2 4 3 1 3 4 3 1 3 2 3 1
4 3 5 1 2 4 3 1 3 2 3 1 3
3 1 2 4 5 3 1 3 2 3 1 3 4
2 4 1 5 3 1 3 2 3 1 3 4 3
3 2 3 1 3 4 3 1
2 3 1 3 4 3 1 3
3 1 3 4 3 1 3 2
Pueden conseguirse otras soluciones trasladando las líneas o co-
lumnas de un lado a otro, o bien corriendo las diagonales formadas
por el mismo número. En cualquier caso, cada horizontal y cada ver-
tical estará formada por dos unos, un dos, cuatro treses y un cuatro.
Diecinueve Veinte
2 64 32 31 10 8 28 33 1
256 16 1 2 23 18 22 11 35
8 4 128 3 13 20 16 25 34
32 12 21 17 24 5
7 26 15 19 14 30
36 27 29 9 4 6
Veintiuno
Este juego tiene varias soluciones, pero todas ellas se derivan de
la que aquí presentamos y, para no extender nos demasiado, no nos
entretendremos en explicar las normas de construcción de estos cua-
dros. Nos limitaremos a exponer un sencillo sistema para realizar el
cuadro numérico y que a la vez es muy fácil de recordar.
Se cuentan las casillas en el orden normal, comenzando por la
primera situada en la parte superior izquierda, pero solamente se ano-
tan los números correspondientes a los cuadritos de las cuatro esqui-
nas y a los cuatro centrales (fig. 1). Para escribir los números que
corresponden a las casillas que quedan en blanco se procederá de
igual modo, pero esta vez comenzando por la casilla 16 y conti-
nuando del 1 al 16 siguiendo las casillas en orden inverso y anotando
― 81 ―
los números correspondientes en los cuadraditos que quedan en
blanco (fig. 2).
Como podrás comprobar, es fácil construir el cuadro numérico y
en él se cumplen las condiciones indicadas en la presentación del
problema. Hay otras más que también son curiosas, pero las dejo para
el ejercicio de tu ingenio.
1 4 1 15 14 4
6 7 12 6 7 9
10 11 8 10 11 5
13 16 13 3 2 16
Fig. 1 Fig. 2
Veintidós
17 32 33 48 49 64 1 16
47 34 31 18 15 2 63 50
24 25 40 41 56 57 8 9
42 39 26 23 10 7 58 55
22 27 38 43 54 59 6 11
44 37 28 21 12 5 60 53
19 30 35 46 51 62 3 14
45 36 29 20 13 4 61 52 Fig. 3
― 82 ―
Veintitrés
14 19 30 35 46 51 62 3
52 45 36 29 20 13 4 61
5 28 21 44 37 60 53 12
59 38 43 22 27 6 11 54
7 26 23 42 39 58 55 10
57 40 41 24 25 8 9 56
16 17 32 33 48 49 64 1
50 47 34 31 18 15 2 63
Veinticuatro
1 63 62 4 9 55 54 12
60 6 7 57 52 14 15 49
8 58 59 5 16 50 51 13
61 3 2 64 53 11 10 56
17 47 46 20 25 39 38 28
44 22 23 41 36 30 31 33
24 42 43 21 32 34 35 29
45 19 18 48 37 27 26 40
― 83 ―
V
Las probabilidades
― 84 ―
Problemas
Comenzaremos este capítulo con unos problemas a cuyas pregun-
tas procurarás responder antes de continuar leyendo. Las soluciones
las encontrarás a lo largo del capítulo.
1.°) Si arrojamos un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que
obtengamos 3 puntos?
2.°) ¿Cuántas combinaciones posibles existen lanzando cuatro
monedas al aire?
3.°) Pedro y Juan se encuentran en un bar y se disponen a jugarse
las consumiciones a «cara o cruz». Antes de soltar la moneda aparece
Luis, que también quiere participar en el juego. Como no pueden ju-
gar los tres con una sola moneda lo hacen con dos. Si las dos monedas
salen cara, paga Pedro. Si las dos salen cruz, paga Juan. Y si salen
una cara y la otra cruz paga Luis. ¿Cuáles son las probabilidades de
pagar las consumiciones que tiene cada uno de los participantes?
La teoría de la probabilidad es una ley matemática fundamental
para el estudio del azar. A ella se han dedicado hombres como Jules
Bienaymé, Galileo Galilei, Antoine Augustin Cournot, Andreï An-
dreïevitch Markov, Blaise Pascal, Pierre Simón Laplace, Denis Poi-
sson, Abraham de Moivre y Pierre de Fermat.
Para averiguar la probabilidad de que se realice un determinado
acontecimiento se divide el número de casos favorables por el de ca-
sos posibles o totales. Generalmente se expresa con esta fórmula:
P =Cf
Ct
siendo P la probabilidad que se desea hallar, Cf los casos favorables
y Ct los casos posibles.
Veamos algunos ejemplos:
― 85 ―
1.°) ¿Cuál es la probabilidad de que lanzando una moneda a cara
o cruz se obtenga cara? Naturalmente existe una probabilidad entre
dos, pues dos son las posibilidades que hay de salir la moneda cara o
cruz y con la ecuación anterior se expresa:
P =1
2
Lógicamente no se cuenta con el hecho de que la moneda pueda
quedar de canto, pues esta probabilidad se consideraría nula y se vol-
vería a arrojar la moneda.
2.°) ¿Cuál es la probabilidad de que si lanzamos al aire un dado
con puntos en sus caras del 1 al 6 obtengamos una cara determinada,
por ejemplo la de 5 puntos? Las posibilidades son una entre seis, que
expresaremos:
P =1
6
Tendremos un sexto de probabilidad. Esta respuesta sirve tam-
bién para el problema 1.° del principio del capítulo, puesto que se
trata del mismo problema.
Al hacer la evaluación de los casos posibles y favorables debes
tener mucho cuidado en hacerlo correctamente, pues en algunos ca-
sos son frecuentes los errores, especialmente en el cálculo de los ca-
sos posibles.
El matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) redactó en 1654
su Tratado del triángulo aritmético y mantuvo correspondencia con
Fermat, la cual es el inicio del cálculo de probabilidades. En el trián-
gulo de Pascal cada número es el resultado de la suma del que tiene
sobre él y el de la izquierda de este último. Además, es igual a la
suma de la columna que tiene a su izquierda a partir de la línea in-
mediata superior. Su utilización es de gran ayuda en el cálculo de
probabilidades.
― 86 ―
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Para saber cuántas combinaciones existen al echar una moneda al
aire dos veces (o, lo que es lo mismo, dos monedas una vez) basta
con sumar los números de la tercera línea:
1 + 2 + 1 = 4.
Si queremos saber las combinaciones que existen lanzando una
moneda tres veces (o tres monedas una vez) se suman los números
de la cuarta línea:
1 + 3 + 3 + 1 = 8.
Tratándose de lanzar una moneda cuatro veces (o cuatro monedas
una vez) sumaremos los números de la quinta línea y las probabili-
dades serán:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
Este resultado es la solución del 2.° problema del principio del
capítulo y el desarrollo de las posibilidades de caída de este ejemplo
sería:
1.A 2.A 3.A 4.A
C C C C
C C C X
C C X X
C X X X
― 87 ―
X X X X
X X X C
X X C C
X C C C
C C X C
C X C C
X X X C
X C X C
X C C X
C X C X
siendo C = cara y X = cruz.
A continuación, ofrecemos unos problemas matemáticos basados
en la teoría de la probabilidad.
1.°) Tomamos una baraja española de 40 cartas y la mezclamos de-
bidamente. A: ¿Cuál será la probabilidad de que al extraer una
carta cualquiera ésta sea el As de oros? B: ¿Y de que sea un Rey?
C: ¿Y de que sea una figura? D: ¿Y de que sea del palo de copas?
2.°) Supongamos que al hacer la prueba anterior sale el Rey de oros.
Sin volver esta carta a la baraja, ¿cuáles serían las probabilidades
de A, B, C y D al sacar una segunda carta?
3.°) Si se echan al aire dos monedas iguales, ¿cuál es la probabilidad
de que queden en el suelo las dos con la cara hacia arriba?
4.°) Un hombre coloca seis etiquetas en otras tantas botellas de dife-
rentes vinos, pero al hacerlo no tiene en cuenta qué etiqueta es la
que corresponde a cada botella, por lo que algunas de las etiquetas
pueden estar mal colocadas. ¿Cuál es la probabilidad de que so-
lamente cinco de las etiquetas estén colocadas correctamente?
― 88 ―
Soluciones
Primero
A: 1/40
B: 4/40 = 1/10
C: 12/40 = 3/10
D: 10/40 = 1/4
Segundo
A: 1/39
B: 3/39 = 1/13
C: 11/39
D: 10/39
Tercero
Este es un típico caso en el que, como decíamos anteriormente,
se suelen cometer errores de cálculo al considerar los casos posibles.
Suele entenderse que, como las dos monedas son iguales, los casos
que se pueden dar son 3:
CC, CX, XX
De donde se desprende que la probabilidad es 1/3.
Pero esta respuesta es incorrecta. En realidad, el hecho de que las
dos monedas sean iguales no influye para nada en el resultado, el cual
hubiera sido el mismo de ser diferentes. Aunque sean iguales debe-
mos diferenciarlas, aunque sea numerándolas mentalmente puesto
que no se trata de la misma moneda.
Así verás que los resultados que pueden darse con las dos mone-
das son cuatro:
1
C 2
C
1
C 2
X
1
X 2
C
1
X 2
X
― 89 ―
y que la respuesta correcta al problema es que la probabilidad de que
caigan las dos monedas de cara es de 1/4.
Si has cometido el error que se indica aquí seguramente tampoco
habrás resuelto correctamente el 3.er problema del principio del capí-
tulo pues aunque el enunciado es diferente, ambos tienen la misma
base.
Las probabilidades que tienen los jugadores de pagar las consu-
miciones no son las mismas para los tres, por las razones que ya te
he explicado.
La respuesta correcta es la siguiente:
Pedro: 1/4
Juan: 1/4
Luis: 2/4.
Cuarto
La probabilidad es 0, ya que si cinco de las etiquetas están bien
colocadas la sexta también debe estarlo.
― 90 ―
VI
Ingenio y matemáticas
― 91 ―
Gallinas y conejos
Un niño va con sus padres a pasar el fin de semana a un pueblo,
en casa de unos parientes, y el niño se propone contar las cabezas y
las patas de todas las gallinas y conejos que tienen sus tíos. El resul-
tado son 36 cabezas y 100 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos
tienen los tíos del niño?
Solución
Los sobrinos
Una mujer fue de visita a casa de su hermano y entregó 18 pesetas
a cada uno de sus sobrinos. Como el pequeño debía dinero a sus her-
manos repartió su paga entre ellos, los cuales se quedaron con 22
pesetas cada uno, excepto el mayor, que tenía 24. ¿Cuántos sobrinos
son?
Solución
Las 12 cerillas
Colocar 12 cerillas como indica la figura, de modo que en cada
uno de los cuatro lados haya 4 cerillas. El problema consiste en cam-
biar de lugar 4 de las cerillas y colocarlas de modo que sumen 5 en
cada lado.
Solución
― 92 ―
Las cervezas
Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y
medio, ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días?
Solución
Las fincas
Amadeo ha comprado una parcela cuadrada de 100 metros de
lado y Benito ha comprado la mitad de una parcela, también cua-
drada, de 200 metros de lado. ¿Quién ha comprado más terreno?
Solución
El esquiador
Un esquiador se desliza por la pista y a medida que va bajando lo
hace cada vez más rápido, tanto es así que a cada minuto dobla su
velocidad, tardando media hora en llegar al final de la pista. ¿Cuánto
tardó en llegar hasta la mitad?
Solución
Las colillas
Eran unos tiempos tan difíciles que un fumador empedernido se
vio obligado a recoger colillas del suelo para poder fumar.
En una caja tiene almacenadas ya 64 colillas y con cada 4 de ellas
se hace un cigarrillo. ¿Para cuántos cigarrillos tiene colillas?
Solución
El piñón y la rueda dentada
Una máquina tiene un engranaje formado por un piñón de 6 dien-
tes y una rueda dentada con 30 dientes. ¿Cuántas veces girará el pi-
ñón sobre su eje, en el tiempo que da una vuelta alrededor de la
rueda?
Solución
Los botellones de vino
Dos hombres tienen que repartirse 8 litros de vino de buena co-
secha a partes iguales. Para hacer el reparto no disponen más que de
― 93 ―
un botellón de 8 litros, en donde tienen el vino, y dos botellones más
pequeños vacíos de 5 y 3 litros. ¿Cómo podrán hacer el reparto?
Solución
La cadena rota
Una cadena de 15 eslabones se ha roto en 5 trozos de 3 eslabones
cada uno.
¿Qué mínimo de soldaduras serán necesarias para que la cadena
quede arreglada?
Solución
Los cuentos
Ángel fue a visitar a un hermano suyo, el cual tenía dos hijos; el
mayor se llamaba Luis y el menor Antonio. Ángel les regaló unos
cuentos entregando mayor cantidad al mayor que al menor. Más
tarde, Luis propuso a su hermano:
—Dame un cuento para que yo tenga el doble que tú.
A lo que Antonio replicó:
—No, me parece más justo que seas tú quien me dé un cuento a
mí y así los dos tendremos la misma cantidad.
¿Cuántos cuentos dio el tío Ángel a cada uno de sus sobrinos?
Solución
El investigador y la cadena
Un investigador llega a un pequeño pueblo de la costa donde pre-
tende estudiar la erosión de las rocas. Encuentra una casa en la que
están dispuestos a hospedarle durante el mes que el investigador cal-
cula que estará en el pueblo, pero la señora de la casa exige que el
pago estipulado le sea entregado diariamente. El investigador dice
que durante el viaje le han robado todo el dinero y no puede pagar
como pretende la señora, pero sí podrá hacerlo después de 15 días,
cuando llegue un compañero suyo. Como no se ponen de acuerdo, el
investigador muestra a la señora una cadena de 15 eslabones de plata
y le propone entregarle diariamente un eslabón, y a los 15 días,
― 94 ―
cuando llegue su compañero, pagar lo que debe de esos días y recu-
perar los eslabones. La señora accede y el investigador piensa en
cómo cumplir con el trato rompiendo el menor número posible de
eslabones para que le cueste menos la reparación de la cadena. ¿Cuál
es el mínimo de eslabones que debe romper?
Solución
La ley de la isla
En una isla murió un hombre dejando a su esposa que esperaba
dar a luz a los pocos días. En estos casos, la ley de la isla indicaba
que el capital que dejaba el marido muerto sería repartido del si-
guiente modo: Si la viuda daba a luz un niño, la madre recibiría la
mitad que el hijo, y si era niña la madre recibiría el doble que la niña.
El capital a repartir era de 3500 dólares y la viuda dio a luz un niño
y una niña. ¿Cómo debe hacerse el reparto para cumplir con la ley?
Solución
Los sacos de monedas
En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo
valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error,
ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas, pero idén-
ticas en todo menos en su peso, ya que pesan un gramo menos que
las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las mo-
nedas falsas haciendo una sola pesada?
Solución
Las monedas
He aquí otro problema de monedas y pesadas que aunque pueda
parecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud en
su planteamiento.
Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado una mo-
neda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve mone-
das son idénticas, salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centi-
gramos menos que las otras. El coleccionista dispone de una balanza
muy sensible y se prepara para pesar las monedas y así poder apartar
― 95 ―
la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el mínimo de pesadas que de-
berá hacer para conseguir su propósito?
Solución
De regreso al cuartel
Varias compañías de infantería regresan andando al cuartel des-
pués de estar unos días de maniobras. Caminan por la carretera a tres
kilómetros por hora, formando una columna de 3 kilómetros de lon-
gitud. A la cabeza va el comandante, quien entrega a un cabo un men-
saje con orden de que lo entregue al sargento que camina en la reta-
guardia e inmediatamente vuelva a la cabeza. El cabo sale corriendo
y exactamente una hora más tarde regresa a la cabeza de la columna,
después de haber cumplido su misión. Tanto a la ida como a la vuelta
el cabo corrió a la misma velocidad. ¿A qué velocidad fue el cabo?
Solución
Las golosinas
Tres niños van a una tienda y compran unos caramelos y otras
golosinas. El dependiente les dice que todo ello vale 60 pesetas. Pa-
gan a 20 pesetas cada uno, pero enseguida el dependiente les de-
vuelve 5 pesetas disculpándose porque se ha confundido al hacer la
cuenta. Los tres niños se reparten una peseta cada uno y las dos que
sobran se las entregan a un mendigo que hay en la puerta de la tienda.
Más tarde, uno de los niños saca la siguiente cuenta: Cada uno de los
amigos pagó 19 pesetas; 19 × 3 = 57, más 2 que dieron de limosna,
suman 59. ¿Dónde está la peseta que falta?
Solución
El capitán y los soldados
Un capitán del ejército ve salir del cuartel a un grupo de soldados
y dirigiéndose a ellos pregunta:
—¿A dónde vais cien soldados a estas horas?
—No somos cien —responde uno de los soldados.
—¿Cuántos sois entonces?
― 96 ―
—Si además de los que somos fuésemos tantos más como los que
somos más la mitad de los que somos, con usted seríamos cien.
¿Cuántos soldados son?
Solución
Las bandejas de pasteles
Una mujer espera recibir unos invitados a tomar el té, por lo que
sobre la mesa ha dispuesto 8 bandejas con 32 pasteles, como se ve en
la figura. Sabiendo que su hijo es muy goloso, le advierte que no debe
comer ningún pastel hasta que lleguen los invitados, y que si falta
alguno lo notará inmediatamente pues en cada hilera de bandejas
tanto en un sentido como en otro hay 9 pasteles.
Unos minutos después el niño se come 4 pasteles y cuando la
madre comprueba si falta alguno hay 9 pasteles en cada una de las
cuatro hileras. Poco después come otros 4 pasteles y en una nueva
inspección de la madre sigue habiendo 9 en cada lado. Luego el hijo
vuelve a comer- por tercera vez otros 4 pasteles y cuando llegan los
invitados la madre comprueba que todavía hay 9 pasteles en cada
lado. ¿Qué táctica ha empleado el niño para comer 12 pasteles enga-
ñando a su madre?
Solución
Las manzanas
Un hombre recorre varias tiendas para vender su mercancía con-
sistente en manzanas. En la primera tienda le compran la mitad más
medio kilo. En la segunda tienda vende la mitad de las que le quedan
menos medio kilo. En la tercera tienda, la mitad de los que le quedan.
En la cuarta deja los 16 kilos que le quedan. ¿Con cuántos kilos de
manzanas comenzó la venta?
Solución
El viaje
Cristóbal sale con su coche de Castañar y se dirige a Terranova,
pasando por Aguaclara. A los 15 minutos comprueba que lleva reco-
rrido la mitad de lo que le falta para llegar a Aguaclara. Después de
― 97 ―
90 km más de viaje comprueba que le falta para llegar a Terranova
la mitad de lo que hay hasta Aguaclara. Media hora después llega a
Terranova. Si ha hecho el trayecto a la misma velocidad y sin dete-
nerse, ¿qué distancia hay desde Castañar hasta Terranova?
Solución
Una polilla en la librería
En la estantería de una librería hay una obra de la literatura clá-
sica, editada en dos tomos colocados en su orden correcto. Cada una
de las tapas tiene un grosor de 0,40 cm y las hojas del texto de cada
tomo tienen un grosor de 4 cm. Una polilla atraviesa, paralelamente
a la base de la estantería, desde el prólogo hasta el epílogo. Como
seguramente sabrá el lector, el prólogo se halla al principio de la obra
y el epílogo al final. ¿Qué distancia atraviesa la polilla?
Solución
Las vacas
Un granjero al morir dejó en herencia las 19 vacas que tenía para
que fueran repartidas entre sus 3 hijos del siguiente modo: Al mayor
de los hermanos le pertenecería la mitad de las vacas, al segundo la
cuarta parte y al tercero la quinta parte. Como no hallaban la forma
de hacer el reparto cumpliendo con el deseo del padre, y sin partir
ninguna de las vacas, consultaron con un granjero vecino por si él
veía alguna solución. Aunque no lo esperaban, el vecino les dio la
solución para repartir las reses en los porcentajes indicados por el
difunto y sin tener que matar ninguna de las vacas. ¿Cuál fue la so-
lución que dio?
Solución
El campeonato de ajedrez
En Madrid se celebra un campeonato de ajedrez en una sala en la
que hay 15 mesas disponibles. Se emplean las necesarias, jugando
una partida en cada mesa, es decir entre dos personas.
Entre los participantes hay dos hombres por cada mujer. Entre los
hombres son el doble los morenos que los rubios y, en total, entre
― 98 ―
hombres y mujeres, son más morenos que rubios. Laurentino es el
único pelirrojo, quien precisamente tiene tres hermanas que partici-
pan en el campeonato. ¿Cuántos son en total los participantes en el
campeonato de ajedrez?
Solución
Las cajas de fruta
En un almacén de frutas hay 6 cajas que contienen, respectiva-
mente, 3, 10, 11, 13, 19 y 24 kg. Sabemos que unas de las cajas con-
tienen manzanas y las otras peras, y que si apartamos una de las cajas
en las otras habrá el doble de kilogramos de manzanas que de peras.
¿Cuál es la caja que debemos apartar?
Solución
Los autobuses
De Arcar sale diariamente un autobús que se dirige a Bandor y de
Bandor salen cada día tres autobuses que van hasta Arcar. El viaje de
una localidad a otra lo hacen en dos días. ¿Con cuántos autobuses de
los que salen de Bandor para ir a Arcar se cruzará el que sale de Arcar
hasta que llega a Bandor?
Solución
Paquete postal
Un hombre quiere enviar por correo un objeto que mide 92 cm de
largo por 2 cm de ancho, pero las normas de correos de su país prohí-
ben los paquetes postales superiores a 55 cm. ¿Cómo podría enviar
el objeto por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las ordenan-
zas de correos?
Solución
― 99 ―
Soluciones
Gallinas y conejos
22 gallinas y 14 conejos.
Volver
― 100 ―
Los sobrinos
Son 5 sobrinos. El pequeño repartió sus 18 pesetas entregando 6
al mayor y 4 a cada uno de los otros.
Volver
― 101 ―
Las 12 cerillas
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― 102 ―
Las cervezas
Beberán 24 cervezas.
Explicación: Si un hombre y medio beben una cerveza y media
en un día y medio, seis hombres beberán seis cervezas en el mismo
tiempo, es decir, en un día y medio, y en seis días beberán cuatro
veces más, que son las veces que un día y medio se contienen en seis
días. Puedes llegar a la solución correcta haciendo una regla de tres.
Volver
― 103 ―
Las fincas
Benito ha comprado más terreno. La mitad de la parcela de 200
metros de lado es el doble de la que ha comprado Amadeo.
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― 104 ―
El esquiador
29 minutos.
Volver
― 105 ―
Las colillas
Para 21 cigarrillos.
Explicación: Con las 64 colillas fabrica 16 cigarrillos, de éstos le
quedarán 16 colillas con las que se podrá hacer 4 cigarrillos y con las
4 colillas que le queden de éstos podrá hacerse un cigarrillo más.
Volver
― 106 ―
El piñón y la rueda dentada
Seis veces. Si fuera la rueda dentada la que girara alrededor del
piñón, este último giraría sobre su eje cinco veces, pero como es el
piñón el que da la vuelta a la rueda dentada, gira sobre su eje una vez
más.
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― 107 ―
Los botellones de vino
Para explicar la solución indicaremos los litros que quedan en
cada botellón después de cada trasvase. La primera columna corres-
ponde al botellón de 8 litros, la segunda al de 5 y la tercera al de 3.
1.° Se llena el botellón de 3 litros 5 0 3
2.° Estos 3 litros se pasan al de 5 5 3 0
3.° Se vuelve a llenar el de 3 litros 2 3 3
4.° Del botellón de 3 litros se vuelve a pasar vino al de
5 litros hasta llenarlo 2 5 1
5.° El contenido del botellón de 5 litros se escancia en
el de 8 hasta llenarlo 7 0 1
6.° El litro que queda en el botellón de 3 litros se pasa
al de 5 7 1 0
7.° Con el vino del botellón de 8 litros se llena el de 3 4 1 3
Volver
― 108 ―
La cadena rota
Tres. Se desmonta un grupo de eslabones y con cada uno de ellos
se unen los otros cuatro grupos.
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― 109 ―
Los cuentos
Entregó 7 cuentos a Luis y 5 a Antonio.
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― 110 ―
El investigador y la cadena
Deberá romper tres eslabones, dejando cuatro grupos de 1, 2, 4 y
8 eslabones cada uno.
Explicación: Véase la tabla explicativa, en la que la primera co-
lumna se refiere al orden de los días, la segunda a los eslabones que
el investigador entrega y la tercera a los que le devuelve la señora.
Los días 9 a 15 repetirá las operaciones de los siete primeros días.
Día Entrega Devolución
1.° 1 —
2.° 2 1
3.° 1 ―
4.° 4 3
5.° 1 -
6.° 2 1
7.° 1 ―
8.° 8 7
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― 111 ―
La ley de la Isla
La viuda recibe 1000 dólares, el hijo 2000 y la hija 500 dólares.
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― 112 ―
Los sacos de monedas
Se toma una moneda del primer saco, dos monedas del segundo,
tres del tercero, y así sucesivamente hasta coger ocho monedas del
octavo saco. De esta forma tendremos 36 monedas, las cuales pesa-
remos. Si todas ellas fueran auténticas pesarían 360 gramos, pero
como hemos tomado alguna moneda del saco de las falsas el peso
total será menor, y esto nos permitirá averiguar cuál es el saco que
contiene las monedas falsas. Si falta un gramo para los 360, el saco
de las falsas es aquel del que cogimos una moneda, si faltan dos gra-
mos es el saco del que tomamos dos, si faltan tres es del tercero, etc.
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― 113 ―
Las monedas
Basta con que haga dos pesadas. En la primera pesa seis monedas,
poniendo tres en cada platillo, pudiendo darse dos casos:
1.° Si pesan igual las de un lado como las del otro, la falsa está
entre las tres no pesadas, y en tal caso se aparta una de ellas y pesando
las otras dos se averigua cuál es la moneda falsa.
2.° En el supuesto de que en la primera pesada se inclinara la ba-
lanza hacia un lado indicaría que la moneda falsa estaba en el lado
contrario y en este caso en la segunda pesada se hace la operación de
pesar dos monedas del grupo en que sabemos se encuentra la falsa.
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― 114 ―
De regreso al cuartel
A 6 kilómetros por hora.
Explicación: Para cuando el cabo llegue al final de la columna
ésta habrá avanzado, por lo que andará menos de los tres kilómetros
que ocupa la columna, pero mientras regresa también avanzará la co-
lumna y lo que a la ida le faltaba para hacer los tres kilómetros será
exactamente lo que a la vuelta pasará de los tres kilómetros. Es decir,
que en una hora hizo 6 kilómetros, tres de ida y otros tres de vuelta.
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― 115 ―
Las golosinas
19 × 3 = 57, más 2 suman 59, pero esta forma de sacar la cuenta
no es correcta. La forma correcta de hacerlo es, después de multipli-
car lo que pagó cada uno por los que estaban, añadir lo que se repar-
tieron. Así resulta que 19 × 3 = 57 + 3 pesetas que se repartieron =
60.
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― 116 ―
El capitán y los soldados
Son 36 soldados.
Explicación: Como en la suma que da 100 figura como sumando
la mitad de la mitad del número de soldados, este número debe ser
divisible por 4, y el único número que puede cumplir con los datos
que da el soldado es el 36. (36 + 36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100).
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― 117 ―
Las bandejas de pasteles
Después de comer los 4 primeros pasteles, los 28 que quedaban
los dejó así:
2 5 2
5 5
2 5 2
Después comió otros 4 pasteles, dejando los 24 restantes coloca-
dos de esta forma:
3 3 3
3 3
3 3 3
Por tercera vez comió 4 pasteles disponiendo en las bandejas los
20 que quedaron definitivamente del siguiente modo:
4 1 4
1 1
4 1 4
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― 118 ―
Las manzanas
Con 127.
Explicación: En la primera tienda vendió 64 kilos y le quedaron
63. En la segunda vendió 31 kilos y se quedó con 32. En la tercera
dejó 16 y le quedaron otros 16 kilos, que le compraron en la cuarta
tienda.
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― 119 ―
El viaje
135 kilómetros.
Explicación: A los 15 minutos ha recorrido la mitad de lo que le
falta para llegar a Aguaclara, luego es evidente que desde Castañar a
Aguaclara hay 45 minutos. Más tarde comprueba que falta para llegar
a Terranova la mitad de lo que hay hasta Aguaclara, localidad por
donde ya había pasado, y todavía tarda media hora en llegar a su des-
tino. De esto podemos deducir que desde Agua- clara hasta Terra-
nova hay una hora y media, que sumado a los 45 minutos anteriores
resultan dos horas y cuarto, que fue el tiempo que tardó en hacer todo
el recorrido. Como sabemos que desde que llevaba 15 minutos de
trayecto hasta que le faltaban 30 minutos anduvo 90 kilómetros, esta
distancia la hizo en una hora y media, luego llevaba una velocidad
de 60 km/h, y la distancia desde el punto de partida hasta el de llegada
es de 135 kilómetros.
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― 120 ―
Una polilla en la librería
0,80 centímetros.
Explicación: Estando colocados los dos tomos en su orden co-
rrecto, el primer tomo estará situado a la izquierda y tendrá a su de-
recha el principio de la obra con su prólogo. A la derecha del primero
estará el segundo tomo, que tendrá el final de la obra y el epílogo a
su izquierda. Por lo tanto, la polilla atraviesa solamente dos tapas.
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― 121 ―
Las vacas
El granjero vecino prestó a los hermanos una vaca, con la que
tenían 20. De éstas el hermano mayor se quedó con la mitad (10). El
segundo con la cuarta parte (5). El tercero con la quinta parte (4).
Después de hacer el reparto queda la vaca prestada por el vecino, que
se la lleva.
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― 122 ―
El campeonato de ajedrez
Son 24.
Explicación: Como son 15 las mesas disponibles que hay en la
sala y en cada una de las que emplean juegan dos personas, los par-
ticipantes son un número par y como máximo 30. Los hombres son
el doble que las mujeres, por tanto los hombres serán número par y
el total múltiplo de tres. Hasta 30, los números pares y múltiplos de
tres son: 6, 12, 18, 24 y 30. Como de los hombres son el doble los
morenos que los rubios y uno es pelirrojo, se deduce que el total de
hombres es múltiplo de tres más uno y, además, como hemos com-
probado más arriba, número par. Hasta 30, los números que tienen
estas condiciones son: 4, 10, 16, 22 y 28. Uno de estos números, más
la mitad del mismo, correspondiente a las mujeres, tiene que resultar
uno de los de la serie de más arriba, que sería el total de los partici-
pantes. Este número puede ser el 4 (4 + 2 = 6), o el 16 (16 + 8 = 24).
Dos mujeres no pueden ser, porque juegan tres hermanas de Lauren-
tino; por lo tanto, sólo pueden ser 8 mujeres y 16 hombres, que en
total hacen 24.
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― 123 ―
Las cajas de fruta
Debe quitarse la caja de 11 kg. Las de manzanas son las que con-
tienen 3, 19 y 24 kg, y las de peras, 10 y 13.
Para hallar la solución deben sumarse todos los números elimi-
nando aquel que sobre para que la suma del resto dé un número múl-
tiplo de 3, que a la vez pueda dividirse en dos cantidades, siendo una
el doble de la otra y estando ambas formadas por las cinco cantidades
que quedan. Así, apartamos el número 11 y los restantes suman 69,
número múltiplo de 3 y que puede desarrollarse en dos cantidades
(46 y 23), siendo la primera el doble de la segunda y que pueden
formarse ambas con la suma de los kilogramos de las cinco cajas que
quedan:
3 + 19 + 24 = 46
10 + 13 = 23
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― 124 ―
Los autobuses
Con 12.
Explicación: Para cuando sale el autobús de Arcar ya hay en el
camino 6 autobuses que han salido de Bandor, con los cuales se cru-
zará, y durante los dos días que tardará en llegar a su destino saldrán
otros 6, con los que también se cruzará.
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― 125 ―
Paquete postal
Puedes utilizar para el envío una caja en forma de cubo de 55 cm
de lado, pues una caja de estas características da una diagonal de 95
cm.
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― 126 ―
Índice
Presentación
I. La magia de los números
El mágico número 1089
Producto curioso
Sumemos
Cómo adivinar al momento un día de la semana
Las tablas numéricas
Trucos de cálculo mental
II. Adivinación de números
Primera adivinanza
Segunda adivinanza
Tercera adivinanza
Cuarta adivinanza
Quinta adivinanza
Variación sobre la quinta adivinanza
Adivinar una cifra borrada de un número
Adivinar dos números
III. Curiosidades y pasatiempos matemáticos
Curiosidades
Pasatiempos
Solución a los pasatiempos matemáticos
IV. Cuadrados numericomágicos
Ejercicios
Soluciones
V. Las probabilidades
Problemas
Soluciones
― 127 ―
VI. Ingenio y matemáticas
Gallinas y conejos
Los sobrinos
Las 12 cerillas
Las cervezas
Las fincas
El esquiador
Las colillas
El piñón y la rueda dentada
Los botellones de vino
La cadena rota
Los cuentos
El investigador y la cadena
La ley de la isla
Los sacos de monedas
Las monedas
De regreso al cuartel
Las golosinas
El capitán y los soldados
Las bandejas de pasteles
Las manzanas
El viaje
Una polilla en la librería
Las vacas
El campeonato de ajedrez
Las cajas de fruta
Los autobuses
Paquete postal
Soluciones
― 128 ―
El Libro de Bolsillo para jóvenes lectores
1 CANCIONES Y POEMAS PARA NIÑOS, Federico García Lorca
2 DONDE DUERME EL AGUA, Ángela C. Ionescu
3 CON PLUMA Y PINCEL, José Luis Velasco 4 LEYENDAS DE CATALUÑA. Anónimo
5 MADRE NIEVE, Hermanos Grimm
6 JUEGOS PARA VIAJES, Deborah Manley y Peta Rée
7 UN ROSTRO TRAS LA VENTANA, Wolfgang Ecke
8 MIS ABUELOS LOS INDIOS PIELES ROJAS, William Carr.us
9 LO QUE EL VIENTO CUENTA DE VALDEMAR DAAE, H. C. Andersen 10 AVENTURAS EN EL BAÚL DE LOS JUGUETES, Janosch
11 LEYENDAS DE ANDALUCÍA, Anónimo
12 LA MÁQUINA ANALÍTICA, Jeremy Bernstein 13 REVENTONES Y ALAMBRETES, André Maurois
14 DOCE CUENTOS DE CERDEÑA, Grazia Deledda
15 EL TALLER DE LOS EXPERIMENTOS, Varios 16 JUEGOS VISUALES, Karl H. Paraquin
17 ESCENARIOS FANTÁSTICOS, Joan Manuel Gisbert
18 HISTORIA DE MI INFANCIA, León Tolstoi 19 ¡AIRE, QUE ME LLEVA EL AIRE!, Rafael Alberti
20 EN EL FONDO DE LA CAVERNA. Ángela C. Ionescu
21 CUENTOS POPULARES ESPAÑOLES, Anónimo 22 DIOSES Y HÉROES GRIEGOS, Blas Carmona
23 YO VOY SOÑANDO CAMINOS, Antonio Machado
24 CONSTRUYAMOS UN MOTOR, Ramón Gonzalo Fernández 25 EXPERIMENTOS ELÉCTRICOS, Rudolf F. Graf
26 ARRIBA, EN EL MONTE, Ángela C. Ionescu 27 LA VISITA DEL ENANO EXTRATERRESTRE, Eduardo Quiles
28 EL EXTRAÑO ADIÓS DE ODIELMUNRO, Joan Manuel Gisbert
29 LA REBELIÓN DE LOS ESPEJOS. Stella Maris Moragues 30 EL PUCHERO DE ORO, Ernst T. A. Hoffmann
31 EL CASTILLO DE LOS MONOS ROJOS, Wolfgang Ecke
32 EL REY DE LOS LADRONES, Hermanos Grimm 33 ES LA PURA VERDAD. H. C. Andersen
34 CUENTOS Y LEYENDAS DEL JAPÓN, Amparo Takahashi
35 HAGAMOS CERÁMICA, María Dolores Giral 36 LA NOCHE DEL VIAJERO ERRANTE, Joan Manuel Gisbert
37 CUENTOS CON CUENTAS, Miguel de Guzmán
38 LEYENDAS DE GALICIA Y ASTURIAS, Anónimo 39 LEYENDAS DE CASTILLA, Anónimo
40 SE FUE POR EL PUENTE, Ángela C. Ionescu
41 PALOALTO Y LOS HOMBRES EXTRAORDINARIOS, Jesús Ballaz
― 129 ―
42 LOS ESPINGORCIOS, Miguel de Guzmán
43 LEYENDAS DEL PAÍS VASCO Y NAVARRA, Anónimo
44 CONTRA LA MUERTE NEGRA. EPIDEMIAS Y VACUNAS, Agustín Alba-rracín
45 LA SONÁMBULA EN LA CIUDAD-LABERINTO, Joan Manuel Gisbert
46 AVENTURAS CON ANIMALES PEQUEÑOS, Owen Bishop 47 EL ARTE DE HACER COMETAS DE PAPEL, Salvador Montserrat
48 MAGIA MATEMÁTICA, Isidoro Lander
49 DE UN PAÍS LEJANO, Ángela C. Ionescu 50 LEYENDAS POPULARES ESPAÑOLAS, Anónimo
51 LEYENDAS DE RUSIA, Anónimo
52 EL CABALLO DE ÉBANO Y OTROS CUENTOS DE LAS MIL Y UNA NO-CHES, Anónimo
53 DIBUJEMOS CÓMICS, Jordi Vives 54 LEYENDAS NÓRDICAS, Anónimo
55 EL REGRESO DE ION EL EXTRATERRESTRE, Eduardo Quiles
― 130 ―
