MANUAL DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES II

CATEDRTICO: m. c. RAL LEONEL GUZMN SAMPAYO. REALIADO POR: CASTRO OCHOA AGUSTIN. ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO. RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C. SONI SANTOS IRIS ABRIL. ESPECIALIDAD: INGENIERA INDUSTRIAL PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE 2008CERRO AZUL, VER.

NDICE UNIDAD I: PROGRAMACIN DINMICA 1.1 Caractersticas de la programacin dinmica: etapas, estados, frmula recursiva, programacin en avance y retroceso.. .........................4 1.2 Algunos modelos de ejemplos de Programacin Dinmica...6 1.3 Programacin dinmica determinstica..7 1.4 Programacin dinmica probabilstica...8 1.5 Problema de dimensionalidad de Programacin Dinmica8 Ejercicios resueltos....10 Ejercicios propuestos..21 UNIDAD II: TEORA DE COLAS 2.1 Introduccin y casos de aplicacin24 2.2 Definiciones caractersticas y suposiciones.24 2.3 Terminologa y notacin. ....26 2.4 Proceso de nacimiento y muerte Modelos Poisson. ....27 2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. .28 2.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita.30 2.7 Servidores mltiples, cola infinita, fuente infinita. 32 2.8 Servidores mltiples, cola finita, fuente finita. ..34 Ejercicios resueltos..36 Ejercicios propuestos..40 UNIDAD III: TEORA DE DECISIN 3.1 Caractersticas generales de la teora de decisiones. ..43 3.2 Criterios de decisin determinsticos y probabilsticos..44 3.3 Valor de la informacin perfecta. ..45 3.4 rboles de decisin. ...46 3.5 Teora de dualidad. .47 3.6 Decisiones secuenciales. ...49 3.7 Anlisis de sensibilidad. .....49 Ejercicios resueltos..51 Ejercicios propuestos..55 UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.1 Introduccin. .58 4.2 Formulacin de las cadenas de Markov. .58

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4.3 Procesos estocsticos. .60 4.4 Propiedad Markoviana de primer orden. 60 4.5 Probabilidades de transicin estacionarias de un solo paso...61 4.6 Probabilidades de transicin estacionarias de n pasos...63 4.7 Estados absorbentes. 64 4.8 Probabilidades de transicin estacionarias de estados estables. Tiempos de primer paso. .65 Ejercicios resueltos66 Ejercicios propuestos72 UNIDAD V: OPTIMIZACIN DE REDES 5.1 Terminologa75 5.2 Problema de la ruta ms corta. Redes cclicas y acclicas. 77 5.3 Problema del rbol de mnima expansin. 80 5.4 Problema de flujo mximo. ...81 5.5 Problema de flujo de costo mnimo. ...83 5.6 Programacin lineal en teora de redes. 86 5.7 Uso de programas de computacin. ..88 Ejercicios resueltos...95 Ejercicios propuestos..103 Bibiliografa....105

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UNIDAD I:

PROGRAMACIN DINMICA1.1 CARACTERSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN DINMICA: ETAPAS, ESTADOS, FRMULA RECURSIVA, PROGRAMACIN EN AVANCE Y EN RETROCESOLa programacin dinmica es una tcnica matemtica que se utiliza para la solucin de problemas matemticos seleccionados, en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial. Proporciona un procedimiento sistemtico para encontrar la combinacin de decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el problema en etapas, las que pueden ser completadas por una o ms formas (estados), y enlazando cada etapa a travs de clculos recursivos. La programacin dinmica es un enfoque general para la solucin de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolucin futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrar en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearn en el futuro. La programacin dinmica parte de una pequea porcin del problema y llega a la solucin ptima para esa pequea parte del problema, entonces gradualmente se agranda el problema hallando la solucin ptima en curso a partir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solucin ptima del problema original. El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas de programacin dinmica. Por tanto una manera de reconocer una situacin que se puede formular como un problema de programacin dinmica es poder identificar una estructura anloga a la del problema de la diligencia.

Caractersticas bsicas. 1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una poltica de decisin en cada una de ellas. 2.- Cada etapa tiene cierto nmero de estados asociados con su inicio. Los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema. 3.- El efecto de la poltica de decisin en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. 4.- El procedimiento de solucin est diseado para encontrar una poltica ptima para el problema completo.

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5.- Dado el estado actual, una poltica ptima para las etapas restantes es independiente de la poltica adoptada en etapas anteriores. Este es el principio de optimalidad para programacin dinmica. 6.- El procedimiento de solucin se inicia al encontrar la poltica ptima para la ltima etapa. 7.- Se dispone de una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para la etapa n, dada la poltica ptima para la etapa n+1. La forma precisa de relacin recursiva difiere de un problema a otro de programacin dinmica, pero usaremos una notacin anloga a la siguiente: N = nmero de etapas. n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N) sn = estado actual para la etapa n xn = variable de decisin para la etapa n xn* = valor ptimo de xn (dado sn) fn(sn,xn) = contribucin a la funcin objetivo de las etapas n, n+1,...,N, si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisin inmediata es xn y en adelante se toman decisiones ptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) La relacin recursiva siempre tendr la forma: fn*(sn) = mn fn(sn,xn) fn*(sn) = max fn(sn,xn) 8.- Cuando se usa esta relacin recursiva, el procedimiento de solucin comienza al final y se mueve hacia atrs etapa por etapa, hasta que encuentra la poltica ptima desde la etapa inicial.

Procedimiento de solucin. 1. Se construye una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para cada estado en la etapa n, dada la solucin ptima para cada estado en la etapa n + l. 2. Se encuentra la decisin ptima en la ltima etapa de acuerdo a la poltica de decisin establecida. Comnmente la solucin de esta ltima etapa es trivial, es decir, sin ningn mtodo establecido, tomando en cuenta solamente la "contribucin" de la ltima etapa. 3. La idea bsica detrs de la relacin recursiva es trabajar "hacia atrs", preguntndose en cada etapa: qu efecto total tendra en el problema si tomo una decisin particular en esta etapa y acto ptimamente en todas las etapas siguientes?

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Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primera etapa hacia la sera necesario realizar una enumeracin exhaustiva de todas las alternativas, que resolvindolo "hacia atrs" reducimos el nmero de alternativas a analizar, simplificando la solucin del problema. Cuando se llega a la etapa inicial se encuentra la solucin ptima.

1.2 EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICAEl problema de la diligencia. Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia, y quiere viajar de la forma ms segura posible. Tiene los puntos de salida y destino conocidos, pero tiene mltiples opciones para viajar a travs del territorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como pasajero de la diligencia. El costo de la pliza estndar (cij ) se muestra en la tabla siguiente.

El problema de las monedas. Para el problema de las monedas con programacin dinmica se necesita crear un algoritmo que permita a una mquina expendedora devolver el cambio mediante el menor nmero de monedas posible. Mediante la programacin dinmica se solucionar el caso en el que el nmero de monedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante el algoritmo voraz el que el nmero de monedas es ilimitado.

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El problema de la mochila. Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. El peso mximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochila con objetos, tal que se maximice el beneficio. Los pasos que vamos a seguir son los siguientes:

Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.

1.3 PROGRAMACIN DINMICA DETERMINSTICALos problemas determinsticos de programacin dinmica son aquellos en los cuales el estado asociado en la etapa siguiente est totalmente determinado por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual. La siguiente figura describe el funcionamiento de la programacin dinmica determinstica.

Sn Contribucin al objetivo fn (Sn,Xn) Cn (Xn)

Sn+1

fn+1* (Sn+1* )

Los problemas de programacin dinmica determinstica son aqullos en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado por el estado y la poltica en la etapa actual. Una manera de catalogar los problemas de programacin dinmica determinstica es por la forma de la funcin objetivo. Por ejemplo, el objetivo podra ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas individuales, o bien minimizar un producto de tales trminos y as sucesivamente. En un problema de programacin dinmica, las temporadas deben ser las etapas.

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1.4 PROGRAMACIN DINMICA PROBABILSTICALa programacin dinmica probabilstica difiere de la programacin dinmica determinstica en que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la decisin de la poltica en el estado actual. En lugar de ello existe una distribucin de probabilidad para lo que ser el estado siguiente. Sin embargo, esta distribucin de probabilidad todava esta completamente determinada por el estado y la decisin de la poltica del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramticamente la estructura bsica que resulta para la programacin dinmica probabilstica, en donde N denota el nmero de estados posibles en la etapa n+1. Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de rbol de decisin. Si el rbol de decisin no es demasiado grande, proporciona una manera til de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.

1.5 PROBLEMA DE DIMENSIONALIDAD EN PROGRAMACIN DINMICALa programacin dinmica tradicional permite obtener las trayectorias ptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo de funcional o ndice de desempeo y con restricciones en las variables. Los algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cmputo digital ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicacin de estos algoritmos a sistemas continuos exige la discretizacin de las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso o sistema, as como la cuantificacin de las variables de estado, de las variables de decisin o control y del tiempo. Para obtener resultados tiles se debe construir una rejilla de estados suficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, se deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las variables de decisin cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza el ndice de desempeo. Se generan requisitos adicionales de clculo cuando la trayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado cuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizar interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisin o control ptima y del ndice de costo. Con un nmero del orden de cinco variables de estado, los algoritmos tradicionales de programacin dinmica exigen elevados requisitos de memoria y de tiempo de clculo a los sistemas de procesamiento digital. Esta caracterstica de la metodologa fue denominada maldicin de dimensionalidad por el propio Bellman, lo cual desalent el empleo de la programacin dinmica tradicional durante ms de veinte aos.

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Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programacin dinmica para la solucin de problemas de control ptimo, tales como, la obtencin de una solucin ptima global, el tratamiento de sistemas no lineales y variantes, la utilizacin de cualquier ndice de desempeo, y el hecho de que cuanto ms restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de tiempo de cmputo y memoria, promovieron el inters de muchos investigadores por encontrar mtodos alternativos para superar los problemas que presenta la tcnica tradicional

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EJERCICIOS RESUELTOSEjercicio # 1 Considere la siguiente red en la que cada nmero junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es encontrar la ruta mas corta del origen al destino. Utilice programacin dinmica para resolver este problema construyendo manualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.

Solucin: n=3 S3 D D n=2 sx2 A B C n=1 sx1 O A 9+11=20 B 6+13=19 C 7+13=20 f1(s) 19 X1* B D 5+6=11 7+6=13 ---------E ---------8+7015 6+7=13 f2*(s) 11 13 13 X2* D D E f3*(s) X3* 6 T 7 T

Ruta: 0BDT

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Ejercicio # 2 Una compaa esta planeando una estrategia de publicidad durante el ao prximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son bastante diferentes, cada esfuerzo de publicidad estar dedicado a un solo producto. Se dispone de un total de 6 millones de dlares para esta campaa de publicidad y se supone que el gasto para cada producto deber ser un nmero entero mayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto con el fin de maximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento estimado en ventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad: Gasto publicidad 1 2 3 4 en Producto 1 7 10 14 17 Producto 2 4 8 11 14 Producto 3 6 9 13 15

Utilice programacin dinmica para resolver este problema.

Solucin: n=3 S3 1 2 3 4 f3*(s) 6 9 13 15 X3* 1 2 3 4

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n=2

X2 = 1

f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10

X2 = 1 X2 = 2

f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17

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X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 S2 1 2 3 4 n=1 1 10 13 17 19

f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 2 14 17 21 3 4

= 19 = 21 = 20 = 20 f2*(s2) 10 14 17 21 X2* 1 2 1,2,3 2

17 20

20

X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3 X1 = 4 X2 S2 6 1 28

f1(6,1) = P1(1) + f2*(6-1) = 7+21 f1(6,2) = P1(2) + f2*(6-2) = 10+17 f1(6,3) = P1(3) + f2*(6-3) = 14+14 f1(6,4) = P1(4) + f2*(6-4) = 7+10 2 27 3 28 4 27

= 28 = 27 = 28 = 27 f2*(s2) 28 X2* 1,3

123 = 7+8+13 = 28 321 = 14+8+6 = 28

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Ejercicio # 3 El World Health Council, se dedica a mejorar la atencin mdica en los pases subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas mdicas para asignarlas a 3 de estos pases con el fin de mejora el cuidado de la salud, la educacin para la salud y los programas de capacitacin, entones, el consejo necesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno de estos pases para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas. Los equipos deben mantenerse como estn formados por lo que el nmero asignado a cada pas debe ser un entero. La medida de desempeo se tomara en trminos de los aos de vida adicionales por persona (para una pas especifico, esta medida es igual al incremento en el promedio de vida esperado en aos, multiplicado por su poblacin). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos aos de vida adicionales de vida por persona (en mltiplos de mil) para cada pas y para cada nmero posible de brigadas mdicas asignadas. Cual es la asignacin que maximiza la medida de desempeo? Brigadas Medicas 0 1 2 3 4 5 Pas 1 0 45 70 90 105 120 Pas 2 0 20 45 75 110 150 Pas 3 0 50 70 80 100 130

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Solucin: n=3 S3 0 1 2 3 4 5 n=2 X2 = 0 X2 = 0 X2 = 1 f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0 f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20 f3*(s3) 0 50 70 80 100 130 X3* 0 1 2 3 4 5

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X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 = 5 X2 S2 0 1 2 3 4 5 0 0 50 70 80 100 130 1

f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45 f2(3,0) = P2(0) + f3*(3-0) = 0+80 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 20+70 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 45+50 f2(3,3) = P2(3) + f3*(3-3) = 75+0 f2(4,0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 80 = 90 = 95 = 75 = 100 = 100 = 115 = 125 = 110

f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150 2 3 4 5 f2*(s2) 0 50 70 95 125 160 X2* 0 0 0,1 2 3 4

20 70 90 100 120

45 95 115 125

75 125 145

110 160

150

n=1 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 = 5 f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 160 = 170 = 165 = 160 = 155 = 120

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X2 S2 5

0 160

1 170

2 165

3 160

4 155

5 120

f2*(s2) 170

X2* 1

131 = 45+75+50=170

Ejercicio # 4 Una estudiante universitaria tiene 7 das para preparar los exmenes finales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de la manera ms eficiente posible. Necesita por lo menos un da para cada curso y quiere concentrarse solo en un curso cada da, por lo que quiere asignar 1, 2, 3 4 das a cada curso. Como hace poco tom un curso de investigacin de operaciones, ha decidido aplicar programacin dinmica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos. Estima que las distintas opciones de das de estudio redituarn puntos de calificacin segn la siguiente tabla:

Nmero Das 1 2 3 4

Puntos de calificacin estimados de Curso 1 Curso 2 Curso 3 3 5 6 7 5 5 6 9 2 4 7 8

Curso 4 6 7 9 9

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n=4 S4 1 2 3 4 n=3 X3 = 1 X3 = 1 X3 = 2 X3 = 1 X3 = 2 X3 = 3 X3 = 1 X3 = 2 X3 = 3 X3 = 4 X3 S3 1 2 3 4 n=2 X2 = 1 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13 f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14 f2(6,1) = P2(1) + f3*(6-1) = 5+14 f2(6,2) = P2(2) + f3*(6-2) = 5+13 f2(6,3) = P2(3) + f3*(6-3) = 6+10 f2(6,4) = P2(4) + f3*(6-4) = 9+8 = 19 = 18 = 16 = 17 18 1 8 9 11 11 2 10 11 13 f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8 f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10 f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14 3 4 F3*(s3) 8 10 13 14 X3* 1 2 2 3,4 F4*(s4) 6 7 9 9 X4* 1 2 3 4

13 14

14

X2 S2 1 2 3 4 X1 = 1 X2 = 2 X3 = 3 X4 = 4 X2 S2 7

1 13 15 18 19

2 13 15 18

3

4

F3*(s3) 13 15 18 19

X3* 1 1 1 1 = 22 = 23 = 21 = 20 X3* 2

14 16

17

f2(7,1) = P1(1) + f2*(7-1) = 3+19 f2(7,2) = P1(2) + f2*(7-2) = 5+18 f2(7,3) = P1(3) + f2*(7-3) = 6+15 f2(7,4) = P1(4) + f2*(7-4) = 7+13 1 22 2 23 3 21 4 20 F3*(s3) 23

2131 =5+5+7+6=23

Ejercicio # 5 Una compaa est a punto de introducir un nuevo producto al mercado muy competido y est planeando su estrategia de comercializacin. Ha tomado la decisin de introducir el producto en 3 fases. La fase 1 incluir ofertas especiales de introduccin a un precio muy reducido para atraer a los compradores de primera vez. La fase 2 comprender una campaa intensa de comerciales y anuncios para persuadir a estos compradores de primera vez, que continen comprando el producto a precio normal. Se sabe que otra compaa introducir otro nuevo producto competitivo ms o menos cuando termine la fase 2. La fase 3 entonces, incluir una campaa de seguimiento de promocin para tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de la competencia. Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dlares para esta campaa comercial. El problema consiste ahora en determinar como asignar este dinero de la manera ms efectiva a las 3 fases. Sean m el porcentaje de mercado inicial que se logra en las fases, f2 la fraccin de este mercado que se retiene en la fase 2 y f3 la fraccin restante del porcentaje de mercado que se retiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, aplique programacin dinmica para determinar cmo asignar los $ 4 millones de dlares para maximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo producto, es decir, maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras mltiplos de 1 milln en cada fase y que el mnimo permisible es 1 para la fase 1 y 0 para las fases 2 y 3.

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n=3 S3 0 1 2 3 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 S2 0 1 3 3 X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3 0 0.6 0.1 0.12 0.14 1 0.12 0.2 0.24 F3*(s3) 0.3 0.5 0.6 0.7 X3* 0 1 2 3 f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12 f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15 f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 2 3 F2*(s2) 0.2 0.12 0.2 0.250 = 0.14 = 0.24 = 0.25 = 0.18

X2* 0 1 1 2 =5 =6 = 4.8 = 10 20

0.15 0.25

0.18

f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2

X2 S2 4

1 5

2 6

3 4.8

4 10

F3*(s3) 10

X3* 3

3 millones en la 1a fase 1 millones en la 2a fase 0 millones en la 3a fase

EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio Propuesto # 1 El gerente de ventas de una editorial de libros de texto universitarios tiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas del pas. Ha decidido que cada regin debe tener por lo menos un agente y que cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones con el fin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en las ventas de cada regin si se le asignan diferentes cantidades de agentes. Agentes 1 2 3 4 Regin 1 35 48 70 89 Regin 2 21 42 56 70 Regin 3 28 41 63 75

Ejercicio Propuesto # 2 Una campaa poltica se encuentra en su ltima etapa y las preliminares indican que la eleccin est pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en 4 reas diferentes. Con base en la informacin de las preliminares se hizo una estimacin del nmero de votos adicionales que se pueden ganar en las diferentes reas de difusin segn el nmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la siguiente tabla en miles de votos. Comerciales 0 1 2 3 4 5 rea 1 0 4 7 9 12 15 rea 2 0 6 8 10 11 12 rea 3 0 5 9 11 10 9 rea 4 0 3 7 12 14 16

21

Utilice programacin dinmica para determinar como deben distribuirse los 5 comerciales entre las 4 reas con el fin de maximizar el nmero estimado de votos ganados.

Ejercicio Propuesto # 3 El propietario de una cadena de tres supermercados compr 5 cargas de fresas frescas. La distribucin de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3 supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativas no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, esta de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas: Numero de cargas 0 1 2 3 4 5 Tienda 1 0 5 9 14 17 21 Tienda 2 0 6 11 15 19 22 Tienda 3 0 4 9 13 18 20

Utilice programacin dinmica para determinas cuantas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.

Ejercicio Propuesto # 4 La presidenta de un partido poltico en un estado est haciendo planes para las prximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboracin de 6 voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar a 4 distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa que sera ineficiente asignar un voluntario a ms de un distrito pero est dispuesta a no asignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr ms en otro distrito. La siguiente tabla da el aumento estimado en el nmero de votos para el candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos nmeros de voluntarios: Voluntarios 0 1 2 3 4 5 6 Distrito 1 0 4 9 15 18 22 24 Distrito 2 0 7 11 16 18 20 21 Distrito 3 0 5 10 15 18 21 22 Distrito 4 0 6 11 14 16 17 18 22

Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos voluntarios deben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total esperado en la popularidad del candidato del partido. Utilice programacin dinmica para encontrar todas las soluciones ptimas, para que la presidenta del partido pueda hacer una seleccin tomando en cuenta otros factores.

Ejercicio Propuesto # 5 Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo PERT, donde el nmero junto al arco es el tiempo requerido para la actividad correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria ms grande (el mayor tiempo total) a travs de esta red desde el vento uno (inicio del proyecto) al evento 9 (terminacin del proyecto), ya que la trayectoria ms larga es la ruta crtica. a) Cules son las etapas y los estados para la formulacin de programacin dinmica de este problema? b) Utilice programacin dinmica para resolver este problema construyendo las tablas usuales.

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UNIDAD II:

TEORA DE COLAS2.1 INTRODUCCIN Y CASOS DE APLICACIN.Las lneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, vehculos esperando pagar ante una estacin de peaje o continuar su camino, ante un semforo en rojo, Mquinas daadas a la espera de ser rehabilitadas. Los anlisis de colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atencin de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparacin de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). Desde la perspectiva de la Investigacin de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontlogo o las prensas daadas esperando reparacin, tienen mucho en comn. Ambos (gente y mquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

2.2 DEFINICIONES CARACTERSTICAS Y SUPOSICIONES.Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen sistemas de lnea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algn tipo y salen despus de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas La teora de colas es el estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un servidor, el cual tiene una cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la lnea de espera. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Los servidores del sistema seleccionan miembros de la cola segn una regla

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predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema, pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas. Fuente Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidades que piden un servicio. Si el nmero de unidades potenciales es finito, se dice que la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamao de la fuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. Tiempo entre llegadas Existen dos clases bsicas de tiempo entre llegadas: Determinstico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clsico es el de una lnea de ensamble, en donde los artculos llegan a una estacin en intervalos invariables de tiempo. Probabilstico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilsticos se describen mediante una distribucin de probabilidad. Mecanismos de servicio Se llama capacidad del servicio al nmero de clientes que pueden ser servidos simultneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay ms de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio. Disciplina de la cola En sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios (prioridades):

El que lleg antes. El que lleg el ltimo. El que menos tiempo de servicio requiere. El que ms requiere.

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Supuestos El modelo simple de teora de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador del servicio y una sola fase. b) Distribucin de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en lnea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.

2.3 TERMINOLOGA Y NOTACIN.Caractersticas operativas.- Medidas de desempeo para una lnea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la lnea, el tiempo de espera promedio, etc. Operacin de estado estable.- Operacin normal de la lnea de espera despus de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las caractersticas operativas de las lneas de espera se calculan para condiciones de estado estable. Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalacin de servicio en un periodo dado. Lnea de espera de canales mltiples.- Lnea de espera con dos o ms instalaciones de servicio paralelas. Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la lnea de espera debido a que el sistema est lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las lneas de espera o cuando las lneas de espera tienen una capacidad finita. Poblacin infinita.- Poblacin de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un lmite superior especificado. Poblacin finita.- Poblacin de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito.

Usualmente siempre es comn utilizar la siguiente terminologa estndar:

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P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que estn siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. Todas estas caractersticas operativas de estado estable se obtienen mediante formulas que dependen del tipo de modelo de lnea de espera que se este manejando. Para calcular stas, se necesitan los siguientes datos: = la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegadas) = la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio)

2.4 PROCESO POISSON.

DE

NACIMIENTO

Y

MUERTE.

MODELOS

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teora de probabilidad tiene aplicaciones en varias reas. Sin embrago en el contexto de la teora de colas, el trmino nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el trmino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el nmero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en trminos probabilsticos cmo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera ms precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIN 1. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para el prximo nacimiento (llegada) es exponencial con parmetro (n=0,1,2,.).

27

SUPOSICIN 2. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para la prxima muerte (terminacin de servicio) es exponencial con parmetro (n=1,2,.). SUPOSICIN 3. La variable aleatoria de la suposicin 1 (el tiempo que falta hasta el prximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposicin 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. Excepto por algunos casos especiales, el anlisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condicin transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribucin de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso prctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribucin despus de que el sistema ha alcanzado la condicin de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla).

Distribucin de llegadas. Definir el proceso de llegada para una lnea de espera implica determinar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de lnea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrir. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribucin de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripcin del patrn de llegadas. La funcin de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo especfico. La funcin de probabilidad es como sigue: P(x)= xe- x! para x= 0,1,2,

2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA.Para los modelos de lnea de espera introducidos hasta ahora, la poblacin de unidades o clientes que llegan para servicio se han considerado ilimitadas. En trminos tcnicos, cuando no se pone lmite respecto a cuntas unidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una poblacin infinita. Bajo esta suposicin, la tasa media de llegada permanece constante sin importar cuntas unidades hay en el sistema de lnea de espera. Esta suposicin de una poblacin infinita se hace en la mayora de los modelos de 28

lnea de espera. En otros casos, se asume que la cantidad mxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finita. En esta situacin, la tasa media de llegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la lnea de espera y se dice que el modelo de lnea de espera tiene una poblacin finita. Las frmulas para las caractersticas operativas de los modelos de lnea de espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la poblacin finita. El modelo de poblacin finita que se expone en esta seccin se basa en las siguientes suposiciones.1. 2. 3.

Las llegadas para cada unidad siguen una distribucin de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada . Los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio . La poblacin de unidades que pueden buscar servicio es finita.

Con un solo canal, el modelo de lnea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una poblacin finita.

La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una poblacin finita se define en funcin de cun a menudo llega o busca servicio cada unidad. Esta situacin difiere de la de modelos de lnea de espera anteriores en los que denotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una poblacin finita, la tasa media de llegada para el sistema vara, dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cambiante, en el modelo de poblacin finita indica la tasa media de llegada para cada unidad. Caractersticas operativas para, el modelo M/M/1 con una poblacin finita de demandantes. Las siguientes formulas se usan para determinar las caractersticas operativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una poblacin finita donde: = la tasa media de llegada para cada unidad = la tasa media de servicio N = el tamao de la poblacin 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

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2. Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

7. Probabilidad de n unidades en el sistema:

2.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA.Las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal se citarn ms adelante. Las frmulas son aplicables si las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial. Mostramos cmo pueden usarse las frmulas para determinar las caractersticas de operacin de un sistema de un servidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a la administracin informacin til para la toma de decisiones. La metodologa matemtica usada para derivar las frmulas para las caractersticas operativas de las lneas de espera es bastante compleja. Sin embargo, el propsito no es proporcionar el desarrollo terico de estos modelos, sino mostrar cmo las frmulas que se han elaborado pueden dar informacin acerca de las caractersticas operativas de la lnea de espera.

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Caractersticas operativas. Las frmulas siguientes pueden usarse para calcular las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde: = la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada). = la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio). P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera:

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que estn siendo atendidos):

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera:

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

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Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.

2.7 SERVIDORES INFINITA.

MLTIPLES,

COLA

INFINITA,

FUENTE

Una lnea de espera con canales mltiples consiste en dos o ms canales de servicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operacin de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la lnea de espera de dos canales de Burger Dome. En esta seccin presentamos frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de varios canales. Estas frmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1.-Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson. 2.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial. 3.- La tasa media de servicio es la misma para cada canal. 4.- Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio.

Caractersticas Operativas

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Pueden usarse las siguientes frmulas para calcular las caractersticas operativas de estado estable para lneas de espera con canales mltiples, donde: .- la tasa media de llegada para el sistema. .- la tasa media de servicio para cada canal. k.- la cantidad de canales. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que estn siendo atendidos).

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera.

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio:

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Debido a que es la tasa media de servicio para cada canal, k es la tasa media de servicio para el sistema de canales mltiples. Como sucedi con el modelo de lnea de espera de un solo canal, las frmulas para las caractersticas operativas de las lneas de espera con mltiples canales slo pueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para el sistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras, las frmulas son aplicables slo si k es mayor que .

2.8 SERVIDORES MLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA.Este tipo de modelo es el M/M/c : DG//, donde el lmite del sistema es finito igual a N; eso quiere decir que el tamao mximo de la cola es N c. Las tasas de llegada y de servicio son y . Las caractersticas operativas para este sistema se calculan como sigue:

Probabilidad de n unidades en el sistema:

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

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Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

Para determinar Wq, W y L, se calcula el valor de ef como sigue:

EJERCICIOS RESUELTOSEjercicio Resuelto # 1 Martys Barber Shop tiene una peluquera. Los clientes llegan a la tasa de 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco 35

por hora. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales para responder las siguientes preguntas. a.-Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este esperado? c.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente este esperando? d.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos cliente este esperando? = 2.2 clientes/hr. = 0.037 clientes/min. = 5 cortes/hr. = 0.083 cortes/min. a) P0 = 1 - 2.2 5 = 0.56

b) P0 = 2.2 5

0

0.56 = 0.56

c) P1 =

2.2 5 2.2 5

1

0.56 = 0.2464

d) P2 =

2

0.56 = 0.1084

Ejercicio Resuelto # 2 Willow Brook Bank opera una ventanilla para atencin de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos, en las maanas de los das hbiles, las llegadas a las ventanillas ocurren al azar, con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora o 0.4 clientes por minuto. a.- Cul es la cantidad media o esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutos? b.- Suponga que puede usarse la distribucin de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso a y

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calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes durante un periodo de cinco minutos. c.- Se esperan demoras si llegan ms de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos. Cul es la probabilidad de que ocurran esas demoras? a) 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. =

b) P0 =

(2)0 e-2 0! (2)1 e-2 1! (2)2 e-2 2! (2)3 e-2 3!

= 0.1353

P1 =

= 0.2707

P2 =

= 0.2707

P3 =

= 0.1804

c) P(demoras) = 1 (0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804) = 0.1429

Ejercicio Resuelto # 3 En el sistema de lnea de Willow Brook National Bank, suponga que los tiempos de servicio para la ventanilla de atencin en el automvil siguen una distribucin de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribucin de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas. a.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos? b.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o menos? c.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de do minutos?

a) P (tiempo de servicio 1 min) = 1 e-0.6(1) = 0.4512 37

b) P (tiempo de servicio 2 min) = 1 e-0.6(2) = 0.6988

c) P (tiempo de servicio 2 min) = 1 0.6988 = 0.3012

Ejercicio Resuelto # 4 Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media de 2.8 pacientes por hora. El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3 pacientes por hora. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientes muestra que, en promedio, un paciente espera 30 min de ver al dentista. a) Cules son las tasas medias de llegada y de tratamiento en funcin de pacientes por minuto? b) Cul es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera? c) Si un paciente llega a las 10: 10 A. M. A que hora se espera que salga del consultorio? = 2.8 pacientes / hrs. = 3 pacientes / hrs. Wq = 30 min. a) = 2.8 / 60 = 0.0467 pacientes / min. = 3 / 60 = 0.05 pacientes / min. b) Lq = (0.0467 * 30) = 1.401 pacientes c) Wq = 30 min. W = 30 + (1/0.05) = 50 minutos 10: 10 + 50 min. = 11: 00 A. M.

Ejercicio Resuelto # 5 Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado; suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribucin la probabilidad

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exponencial. A continuacin se muestra dos diseos propuestos para la operacin de ensamblado de la planta. TIEMPO DE SERVICIO DISEO MEDIA DESVIACIN ESTNDAR A 6. 0 3. 0 B 6. 25 0. 6 a) Cul es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseo? b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, Qu diseo parece proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rpida? c) Cules son las desviaciones estndar de los tiempos de servicio en horas? d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las caractersticas operativas para cada diseo e) Cul diseo proporciona las mejores caractersticas operativas? Por qu? = 5 trabajos / hra = 0.0833 trabajos / min. a) Para A.- = 6.0 min. / trabajo = 10 trab / hra = 0. 167 trabajos / min. Para B.- = 6.25 min. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.16 trabajos / min. b) La del diseo A c) A.- = 3.0 min / 60 min. = 0.05 hrs B.- = .6 min / 60 min. = 0.01 hrs d) A.Po = 1 5/10 = 0.5 Lq = (52 * 0.052)+ (5 /10)2 = 0.3125 trabajos 2* (1-(5/10) L = 0.3125 + 5/10 = 0.8125 trabajos Wq = 0.3125 / 5 = 0.0625 hrs. W = 0.0625 + 1/ 10 = 0.1625 hrs. Pw = 5/10 = 0.5 B.Po = 1 5/ 9.6 = 0.4792 Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.6)2 = 0.2857 trabajos 2 * (1 5)/9.6)

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L = 0.2857 + 5/9.6 = 0.8065 trabajos Wq = 0.2857/ 5 = 0.0571 hrs W = 0.2857 + 1/9.6 = 0.1613 hrs Pw = 5 / 9.6 = 0.5208 e) El diseo B. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor y existe mayor probabilidad de que no haya ningn cliente en la fila.

EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio Propuesto # 1 El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribucin de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora que describe el patrn de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 12 solicitudes de ayuda en el sistema? a.- Cul es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b.- Cul es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio? c.- Cul es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empiece el servicio? d.- Cul es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos (tiempos de espera mas tiempo de servicio? e.- Cul es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio? Ejercicio Propuesto # 2 El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidad de agrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerse para cargar combustible y recibir servicio de manera simultanea. Suponga que la tasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de servicio para cada canal es de 10 por hora. a) Cul es la probabilidad de que el muelle estar ocioso? b) Cul es a cantidad promedio de embarcaciones que estar esperando por servicio? c) Cul es el tiempo promedio que pasara una embarcacin esperando por servicio en el muelle? d) Cul es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle? e) Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft, Estara satisfecho con el nivel d servicio que proporcionara su sistema? Por qu?

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Ejercicio Propuesto # 3 Un estudio de una operacin de servicio de comidas con canales mltiples en el parque de bisbol Red Birds muestra que el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido surtido es de 10 minutos. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto. La operacin de servicio de comida requiere un promedio de 2 minutos por pedido del cliente. a) Cul es la tasa media de servicio por canal en funcin de clientes por minuto? b) Cul es el tiempo de espera promedio en la lnea antes de colocar un pedido? c) En promedio Cuntos clientes hay en el sistema del servicio de comidas? Ejercicio Propuesto # 4 3.-Movies Tonight es un establecimiento tpico de renta de videos y DVD para clientes que ven pelculas en casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientes por minuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de dos clientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. a.- Cul es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b.- Cul es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio? c.- Cul es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? d.- Cul es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? e.- Las caractersticas operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable? Ejercicio Propuesto # 5 Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricacin de automviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2.5 automviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribucin exponencial. a.- Cul es la capacidad promedio de automviles en el sistema? b.- Cul es el tiempo promedio que espera un automvil para que comience el servicio de aceite y lubricacin? c.- Cul es el tiempo promedio que pasa un automvil en el sistema?

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d.- Cul es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

UNIDAD III:

TEORA DE DECISIN

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3.1 CARACTERSTICAS GENERALES DE LA TEORA DE DECISIONES.En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupacin ahora se refiere a tomar quiz una sola decisin (o a lo ms una secuencia de unas cuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No obstante, todava se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que crean cierta incertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes cursos de accin. El anlisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una metodologa para la toma de decisiones racional en este contexto. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisin necesaria en este momento o hacer primero algunas pruebas (con algn costo) para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisin. Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promocin de prueba de un nuevo producto propuesto para ver la reaccin del consumidor antes de tomar la decisin de proceder o no con la produccin y comercializacin a gran escala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizar experimentacin. Entonces, el anlisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentacin y con experimentacin.

Ejemplo prototipo. La GOFERBROKE COMPANY es duea de unos terrenos en los que puede haber petrleo. Un gelogo consultor ha informado a la gerencia que piensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petrleo. Debido a esta posibilidad, otra compaa petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90 000. Sin embargo, la Goferbroke est considerando conservarla para perforar ella misma. Si encuentra petrleo, la ganancia esperada de la compaa ser aproximadamente de $700 000; incurrir en una prdida de $100 000 si encuentra un pozo seco (sin petrleo). Sin embargo, otra opcin anterior a tomar una decisin es llevar a cabo una exploracin ssmica detallada en el rea para obtener una mejor estimacin de la probabilidad de encontrar petrleo. Este caso es de una toma de decisiones con experimentacin, y en ese momento se proporcionarn los datos adicionales necesarios. Esta compaa est operando sin mucho capital por lo que una prdida de $100 000 sera bastante seria.

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3.2 CRITERIOS DE PROBABILSTICOS.Determinsticos.

DECISIN

DETERMINSTICOS

Y

Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren un conocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apropiados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianza en su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable un anlisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones enfoques diferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisiones necesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el enfoque especfico que, de acuerdo con su juicio, sea el ms apropiado. Enfoque optimista El enfoque optimista evala cada alternativa de decisin en funcin del mejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisin que se recomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en el que se desea la ganancia mxima el enfoque optimista conducira al tomador de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Para problemas que implican minimizacin, este enfoque conduce a elegir la alternativa con el resultado ms pequeo. Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejor resultado para cada alternativa de decisin; luego, seleccionamos la alternativa de decisin que proporciona el mximo resultado global. Estos pasos identifican de manera sistemtica la alternativa de decisin que proporciona la mayor ganancia posible

Enfoque conservador

El enfoque conservador evala cada alternativa de decisin desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisin recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia el enfoque conservador conducira al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximiza la ganancia mnima posible que podra obtenerse. Para problemas que implican minimizacin, este enfoque identifica la alternativa que minimizar el resultado mximo. Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos el resultado mnimo para cada una de las alternativas de decisin, luego, seleccionamos la alternativa de decisin que maximiza el resultado mnimo. Este enfoque de decisin se considera conservador debido a que identifica el peor resultado

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posible y luego recomienda la alternativa de decisin que evita la posibilidad de resultados extremadamente "malos".

Probabilsticos. En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando estn disponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperado para identificar la mejor alternativa de decisin. Definamos primero el valor esperado de una alternativa de decisin. Sea N= el nmero de estados de la naturaleza P(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj Debido a que puede ocurrir uno y slo uno de los N estados de la naturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones:

El valor esperado (VE) de la alternativa de decisin d1 se define como sigue:

En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisin es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisin. El peso para un resultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y, por consiguiente, la probabilidad de que ocurrir el resultado.

3.3 VALOR DE LA INFORMACIN PERFECTA.Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Existe un mtodo que supone (de manera poco realista) que la experimentacin eliminar toda la incertidumbre sobre cul es el estado de la naturaleza verdadero y despus hace un clculo rpido sobre cul sera la mejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentacin). Esta cantidad, llamada valor esperado de la informacin perfecta proporciona una 45

cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces, si esta cota superior es menor que el costo del experimento, este definitivamente debe llevarse a cabo. Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esto, informacin perfecta. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado, se elegir la accin con el mximo pago para ese estado. No se sabe de antemano cul estado se identificar, por lo que el clculo del pago esperado con la informacin perfecta (ignorando el costo de la experimentacin) requiere ponderar el pago mximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidad a priori de ese estado. Para evaluar si debe de realizarse el experimento, se usa la cantidad del pago esperado para calcular el valor esperado de la informacin perfecta (VEIP); ste se calcula como: VEIP= pago esperado con informacin perfecta pago esperado sin experimentacin. As, como la experimentacin casi nunca puede proporcionar informacin perfecta, el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado de la experimentacin.

3.4 RBOLES DE DECISIN.Un rbol decisin proporciona una forma para desplegar visualmente el problema y despus organizar el trabajo de clculos. Estos rboles de decisin son especialmente tiles cuando debe tomarse una serie de decisiones. Ejemplo de un rbol de decisin:

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Los nodos del rbol de decisin se conocen como nodos de decisin y los arcos se llaman ramas. Un nodo de decisin, representado por un cuadrado, indica que una decisin necesita tomarse en ese punto del proceso. Un nodo de probabilidad, representado por un crculo, indica que ocurre un evento aleatorio en ese punto.

3.5 TEORA DE DUALIDAD.El dual es un problema de PL que se obtiene matemticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal estn relacionados a tal grado, que la solucin smplex ptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automtica a la solucin ptima del otro. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociacin y una relacin muy importante con otro problema de programacin lineal, llamado precisamente dual. Si el Primal es:

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Mx Z = CX s.a. AX b xi 0 El Dual es: Min Z = bTY s.a. AT Y CT yi 0 Usos de la formulacin dual. Las estructuras duales permiten entre otras cosas: a) Resolver problemas lineales que tienen ms restricciones que actividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal por medio de una computadora est en funcin del nmero de filas de la matriz A y no en el nmero de columnas, al aplicarse la dualidad a un problema primal donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde el nmero de filas n es menor al nmero de columnas m. b) Hacer interpretaciones econmicas de las soluciones ptimas de los problemas de programacin lineal. c) Crear nuevos algoritmos para la solucin de problemas de redes de optimizacin. d) Generar mtodos como el dual simples para el anlisis de sensibilidad de los programas de programacin lineal. Propiedades del primal y del dual. a) Si el Primal es un problema de Maximizacin (Minimizacin), el Dual es un problema de Minimizacin (Maximizacin). b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la funcin objetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de la funcin objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual. c) La matriz de los coeficientes tecnolgicos del Dual es la matriz transpuesta de los coeficientes tecnolgicos del Primal. Y como (AT)T=A entonces el Dual(Dual)=Primal. d) El nmero de restricciones del Primal es igual al nmero de variables de decisin del Dual, es decir, por cada restriccin del Primal existe una variable Dual asociada. 48

e) El nmero de variables de decisin del Primal es igual al nmero de restricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe una restriccin asociada del Dual. f) Si una restriccin del Primal esta en la forma cannica del problema, la variable Dual asociada es no negativa y viceversa. g) Si una restriccin del Primal no esta en la forma cannica del problema, la variable Dual asociada es no positiva y viceversa. h) Si una restriccin del Prima es una igualdad, la variable Dual asociada es sin restriccin de signo y viceversa.

3.6 DECISIONES SECUENCIALES.Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante que se resuelve con lo que se denomina un rbol de decisiones. Para estos casos es necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativas a la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que se desea ofertar y ello arrojara un % tal que sera el peso subjetivo que se utilizara en el rbol de decisiones. a su vez los rendimientos segn alternativas se hara con el valor actualizado de una anualidad constante, a fin de conocer el van (valor actualizado neto) segn cada inversin para cada alternativa. Pero siempre considerando el van de la decisin de no hacer nada o sea de seguir con sus servicios actuales. Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidad de contratar por 10 aos sus servicios para una nueva operacin diferente a su actual operacin. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo 500.000 unidades monetarias por ao, y tendra que abandonar ese servicio para aceptar el nuevo contrato, que incluso le supone realizar una nueva inversin estimada en 6 millones de unidades monetarias, entonces se deben comparar a valor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir.

3.7 ANLISIS DE SENSIBILIDAD.El anlisis de sensibilidad puede usarse para determinar cmo los cambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o los cambios en los resultados afectan la alternativa de decisin recomendada. En muchos casos, las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados se basan en afirmaciones subjetivas. El anlisis de sensibilidad ayuda al tomador de decisiones a entender cules de estas entradas son crticas para la eleccin de la mejor alternativa de decisin. Si un cambio pequeo en el valor de una de 49

las entradas causa un cambio en la alternativa de decisin recomendada, la solucin para el problema de anlisis de decisin es sensible a esa entrada particular. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional para asegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. Por otra parte, si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradas no causa un cambio en la alternativa de decisin recomendada, la solucin al problema de anlisis de decisin no es sensible a esa entrada particular. No se requerira tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entrada estimado. Un enfoque para el anlisis de sensibilidad es seleccionar valores diferentes para las probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados y luego resolver el problema de anlisis de decisiones. Si cambia la alternativa de decisin recomendada, sabemos que la solucin es sensible a los cambios hechos. Es obvio que podramos continuar modificando las probabilidades de los estados de la naturaleza y aprender an ms acerca de cmo afectan los cambios en las probabilidades a la alternativa de decisin recomendada. El inconveniente de este enfoque son los numerosos clculos que se requieren para evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidades del estado de la naturaleza. Para el caso particular de dos estados de la naturaleza, puede usarse un procedimiento grfico, para determinar cmo afectan los cambios de las probabilidades a la alternativa de decisin recomendada.

EJERCICIOS RESUELTOSEjercicio # 1 50

Pinsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado, que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamnicas. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2. Sean y1, y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que adems resulten atractivo para los responsables de la granja. a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debera pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sera: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultaran rentables las pastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 2. b) Cada kilogramo del preparado P2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio que debera pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sera: 3y1+3y2+1,5y3. A la granja no le resultaran rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 3. c) Por supuesto, los precios de las pastillas vitamnicas deben ser positivos, por tanto se tienen adems las condiciones de no negatividad de y1, y2 y y3. Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarn justamente las necesarias para aportar las necesidades mnimas del ganado de cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y da se compraran 27 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas seran de Z = 27y1+15y2+9y3 por animal y da. Para establecer los precios, la empresa debera plantearse el programa lineal: PRIMAL Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3 s.a. 5y1 + 1,5y2 + 1y3 2 3y1 + 3y2 +1,5y3 3 y1, y2, y3 0

DUAL Max = 2y1 + 3y2 51

s. a. 5y1 + 3y2 27 1.5y1 + 3y2 15 y1 + 1.5y2 9 Solucin: (1.5) 5y1 + 3y2 = 27 (-5) 1.5y1 + 3y2 = 15 7.5y1 + 4.5y2 = 40.5 -7.5y1 - 15y2 = - 75 - 10.5y2 = -34.5 y2 = - 34.5 / - 10.5 y2 = 3.29 y1 + 1.5y2 = 9 y1 = 9 1.5(3.29) y1 = 4.07

Max = 2(4.07) + 3(3.29) = 18.01

Ejercicio # 2 Suponga que de sea invertir $10, 000, en el mercado de valores, comprando acciones de una de dos compaas: A y B. Las acciones de la compaa A son arriesgadas, pero podran producir un rendimiento de 50% sobre la inversin durante el prximo ao. Si las condiciones del mercado de valores no son favorables, las acciones pueden perder el 20% de su valor. La empresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado a la alza y solo 5% en un mercado a la baja. Todas las publicaciones que consulto predicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alza y 40% de que este a la baja. Dnde debera invertir su dinero?

Invertir en Mercado a la alza (0.6) $ 5, 000 acciones de A

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2Mercado a la baja (0.4) - $ 2, 000

1Invertir enMercado a la alza (0.6) $1, 500 acciones de B

3Mercado a la baja (0.4) $ 500

Para las acciones A = $ 5, 000 *0.6 + (-200) * 0.4 = $2200 Para las acciones B = $ 1, 500 * 0.6 + $ 500 * 0.4 = $ 1100 En base a estos clculos se recomienda invertir en la empresa A. Ejercicio # 3 Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en los que se construir un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicacin proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del Triangulo Dorado, donde se unen los ros Allegheny y Monongahela para formar el ri Ohio. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre $300, 000 y $ 1 400 000 cada una. PDC comisiono los bocetos arquitectnicos preeliminares para tres proyectos de diferente tamao: uno con 30 condominios, otro con 60 y uno ms con 90. El xito financiero del proyecto depende del tamao del complejo de condominios y del evento fortuito para la demanda que exista de los inmuebles. El problema de decisin de PDC es seleccionar el tamao del nuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre en la demanda de los condominios. d1 = complejo pequeo con 30 condominios. d2 = complejo mediano con 60 condominios. d3 = complejo grande con 90 condominios. Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de la naturaleza son para PDC: s1 = Demanda fuerte para los condominios. s2 = Demanda dbil para los condominios. Enfoque optimista Alternativa de dedicin Resultado mximo

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Complejo pequeo, d1 Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3

8 14 20

El mximo de los valores de resultados mximos es 20, por lo que se recomienda la alternativa de decisin de un complejo de condominios grande.

Enfoque conservador Primero, identificamos el resultado mnimo para cada una de las alternativas de decisin; luego, seleccionamos la alternativa de decisin que maximiza el resultado mnimo. Alternativa de dedicin Pago mnimo Complejo pequeo, d1 7 Complejo mediano, d2 5 Complejo grande, d3 -9 El mximo de los valores de resultados mnimos es 7, por lo que se recomienda la alternativa de decisin de un complejo de condominios pequeos. Enfoque de arrepentimiento mnimax. Suponga que PDC construya un complejo de condominios pequeos y la demanda resulta ser fuerte. LA ganancia resultante para PDC seria de $8, 000, 000 sin embargo, dado que ha ocurrido en el estado de la naturaleza de demanda fuerte, nos damos cuenta que la decisin d construir un complejo de condominios grande, que produce una ganancia de $20, 000, 000, abra sido al mejor decisin. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa de decisin y el pago por la dedicin de construir un complejo de condominios pequeo es la perdida de oportunidad o arrepentimiento. Para este caso la perdida de oportunidad o arrepentimiento es: $ 20 000 000 - $ 8 000 000 = $12 000 000. Generalmente, al siguiente expresin representa la perdida oportunidad o arrepentimiento: Rij = | Vj* - Vij | El siguiente paso es enlistar el arrepentimiento mximo para cada alternativa de decisin. Tabla de prdida de oportunidad o arrepentimiento. Estado de la naturaleza Alternativa de dedicin Demanda fuerte s1 Demanda dbil s2 Complejo pequeo, d1 12 0 54 de

Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3

6 0

2 16

Arrepentimiento mximo para cada alternativa de decisin Alternativa de dedicin Complejo pequeo, d1 Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3 Arrepentimiento mximo 12 6 16

Se toma el mnimo del arrepentimiento mximo que es 6, el cual corresponde a un complejo mediano.

EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio # 1 Tiene usted oportunidad de invertir en tres fondos de ahorros: servicios, de crecimientos agresivos y globales. El valor de su inversin cambiara, dependiendo de las condiciones del mercado. Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje, 50% de que quede estable, y 40% de probabilidades de que suba. La tabla siguiente muestra el cambio porcentual en el valor de la inversin bajo las tres condiciones: Rendimientos en un ao por inversin de $10,000 Alternativa Mercado baja (%) Mercado moderado (%) Mercado sube Servicios +5 +7 +8 Crecimiento -10 +5 +30 global +2 +7 +20 a) Represente el problema con un rbol de decisin b) Cul fondo de ahorro deber seleccionar?

Ejercicio # 2 Escribir el dual del siguiente problema y determinar su solucin ptima usando la base primal optima. Minimizar z = 3x + 5y Sujeto a: x1 + 2 x2 + x3 =5 - x 1 + 3 x2 + x4 = 2

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x1, x2, x3, x4 0

Ejercicio # 3 La siguiente tabla de resultados muestra las ganancias para un problema de anlisis de decisiones con dos alternativas y tres estado de la naturaleza. Alternativa decisin d1 d1 Estado de la naturaleza de S1 S2 S1 250 100 100 100 25 75

a) Construya un rbol de decisin para este problema. b) Si el tomador de cisiones no sabe nada sobre las probabilidades de los tres estados de la naturaleza, Cul es la decisin recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mnimax?

Ejercicio # 4 La decisin de Sowthland Corporation de producir una lnea nueva de productos recreativos a dado como resultado a la necesidad de construir ya sea una planta pequea o una grande. La mejor seleccin del tamao de al planta depende de cmo reaccione el mercado a la nueva lnea de produccin. Para realizar un anlisis, la gerencia de mercadotecnia ha decidido calificar la posible demanda a largo plazo como baja, media o alta. La siguiente tabla de resultados muestra la ganancia proyectada en millones de dlares. Demanda a largo plazo Tamao de la planta baja media Alta pequea 150 200 200 Grande 50 200 500 a) Cual es la decisin que se ve a tomar y cual es el evento fortuito para el problema de Sowthland? b) Construya un rbol de decisin. c) Recomiende una decisin basada en el uso de los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax.

Ejercicio # 5

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La tabla de resultados siguiente muestra la ganancia para un problema de decisin con dos estados de la naturaleza y dos alternativas de decisin. Alternativa decisin d1 d2 Estado de la naturaleza de S1 S2 10 4 1 3

a) Use una anlisis de sensibilidad grafico para determinar le rango de probabilidades del estado de la naturaleza S1. b) Suponga que P (s1) = 0.2 y P (s2) = 0.8. Cul es la mejor decisin usando el enfoque del valor esperado?

UNIDAD IV: 57

CADENAS DE MARKOV4.1 INTRODUCCIN.En los problemas de toma de decisiones, con frecuencia surge la necesidad de tomar decisiones basadas en fenmenos que tienen incertidumbre asociada a ellos. Esta incertidumbre proviene de la variacin inherente a las fuentes de esa variacin que eluden el control o proviene de la inconsistencia de los fenmenos naturales. En lugar de manejar esta variabilidad como cualitativa puede incorporarse al modelo matemtico y manejarse en forma cuantitativa. Por lo general este tratamiento se puede lograr si el fenmeno natural muestra un cierto grado de regularidad de manera que sea posible describir la variacin mediante un modelo probabilstico. Este captulo presenta modelos de probabilidad para procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilstica. Tales procesos se llaman procesos estocsticos. El capitulo est dedicado a un tipo especial llamado cadena de Markov. Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionar en el futuro dependen slo del estado actual en que se encuentra el proceso y, por tanto son independientes de los eventos ocurridos en el pasado. Muchos procesos se ajustan a esta descripcin por lo que las cadenas de Markov constituyen una clase de modelos probabilisticos de gran importancia.

4.2 FORMULACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV.Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov; el generador de Markov produce uno de n eventos posibles. E j. donde j = 1, 2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este estado se describe por el ltimo evento generado. En la figura 4.1.1, el ltimo evento generado fue Ej. de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

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La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transicin del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transicin. Probabilidades de transicin. Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama estados, como el que se muestra en la figura de abajo. En sta se ilustra sistema de Markov con cuatro estados posibles : M1, M2 , M3 y M4 . probabilidad condicional o de transicin de moverse de un estado a otro indica en el diagrama: de un La se

Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz de transicin. . La matriz de transicin para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla siguiente .

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Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz de transicin. . Para n = 0, 1, 2, ....

El superndice n no se escribe cuando n = 1.

4.3 PROCESOS ESTOCSTICOS.Un proceso estocstico se define sencillamente como una coleccin indexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subndice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una caracterstica de inters medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocstico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar la coleccin de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la coleccin de demandas semanales (o mensuales) de este producto. Un estudio del comportamiento de un sistema de operacin durante algn periodo suele llevar al anlisis de un proceso estocstico con la siguiente estructura. En puntos especficos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un nmero finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocstico. Aunque los estados pueden constituir una caracterizacin tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay prdida de generalidad con las etiquetas numricas 0, 1, . . , M , que se usarn en adelante para denotar los estados posibles del sistema. As la representacin matemtica del sistema fsico es la de un proceso estocstico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M . Estos enteros son una caracterizacin de los M + 1 estados del proceso.

4.4 PROPIEDAD MARKOVIANA DE PRIMER ORDEN.Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocstico de orden 1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presente est especificado.

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Cuando una probabilidad condicional depende nicamente del suceso inmediatamente anterior, cumple con el Principio de Markov de Primer Orden, es decir:P ( X (t + ) = j X (0) =K 0 , X (1) =K 1 ,....., 1 X (t ) =i ) =P ( X (t + ) = j X (t ) =i ) = p ij 1

Definiciones en los procesos de Markov de primer orden: Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente sucesos posibles. Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. Probabilidad de Transicin: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un perodo tiempo, y se denota por pij (la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una transicin perodo) Caractersticas de los procesos de Markov de primer orden: Se pueden usar como modelo de un proceso fsico econmico que tenga las siguientes propiedades: a) Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. b) Existencia de un nmero finito de estados. c) Las pij son constante con respecto al tiempo perodo. d) Ensayos en perodos iguales. Si un suceso depende de otro adems del inmediatamente anterior, este es un proceso de Markov de mayor orden. Por ejemplo, un proceso de segundo orden describe un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores.

4.5 PROBABILIDADES DE TRANSICIN ESTACIONARIAS DE UN SOLO PASO.Una tienda de cmaras tiene en almacn un modelo especial de cmara que se puede ordenar cada semana. Sean d1, d2, ... las demandas de esta cmara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas que tienen una distribucin de probabilidad conocida. Sea X0 el nmero de cmaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X 1 el nmero de cmaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el nmero de cmaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sbado en la noche la

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tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente poltica ( s, S)1 para ordenar : si el nmero de cmaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cmaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o ms cmaras en el almacn, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocstico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el nmero posible de cmaras en inventario al final de la semana. Observe que {Xi}, en donde Xi es el nmero de cmaras en el almacn al final de la semana t ( antes de recibir el pedido }), es una cadena de Markov. Se ver ahora cmo obtener las probabilidades de transicin (de un paso), es decir, los elementos de la matriz de transicin ( de un paso).

Suponiendo parmetro . Para obtener Entonces durante As, aleatoria y Si durante esto, encontrar si .

que

cada

Dt

tiene

una

distribucin

Poisson

con

es necesario evaluar . Por lo tanto, fue de tres parmetro se puede debe

. Si

,

la

semana con

significa que la demanda o ms cmaras.

Poisson

, la probabilidad de que una variable tome el valor de 3 o ms; obtener de una manera parecida.

, entonces la semana

. Para obtener ser 1 o .

, la demanda ms. Por Para

,

observe

que

En consecuencia, si , entonces la demanda durante la semana tiene que ser exactamente 1. por ende, . Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transicin ( de un paso):

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4.6 PROBABILIDADES DE TRANSICIN ESTACIONARIAS DE N PASOS.Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un mtodo para calcular estas probabilidades de transicin de n pasos :

Estas ecuaciones simplemente sealan que al ir de un estado i al estado j en n pasos, el proceso estar en algn estado k despus de exactamente m (menor que n) pasos. As, Es solo la probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso vaya al estado k despus de m pasos y despus al estado j en n- m pasos.

Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transicin de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transicin de un paso de manera recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven :

Note que las

son los elementos de la matriz P (2) , pero tambin debe

de observarse que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transicin de un paso por s misma; esto es , P(2) = P * P = P2 . 63

En trminos ms generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transicin de n pasos se puede obtener de la expresin: P(n) = P * P .... P = Pn = PPn-1 = Pn-1 P. Entonces, la matriz de probabilidades de transicin de n pasos se puede obtener calculando la n-sima potencia de la matriz de transicin de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matriz de transicin de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales clculos resultan tediosos y, ms an, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.

4.7 ESTADOS ABSORBENTES.Se dice que un estado i es absorbente si la probabilidad de transicin (de un paso) pij es igual a 1. Una cadena de Markov es Absorbente si: a) Tiene por lo menos un estado Absorbente. b) Es posible ir de cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esta transicin en un paso; ni es necesario tener la posibilidad de alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente. A partir del anlisis de estas cadenas, es posible determinar los siguientes datos: 1) El nmero esperado de pasos antes de que el proceso sea absorbido. 2) El nmero esperado de veces que el proceso est en cualquier estado dado no absorbente. 3) La probabilidad de absorcin por cualquier estado absorbente dado. Una vez que la cadena llega al estado k permanece ah para siempre. Si k es un estado absorbente y el proceso comienza en el estado i, la probabilidad de llegar en algn momento a k se llama probabilidad de absorcin al estado k dado que el sistema comenz en i. Esta probabilidad se denota por fik. Si se tienen dos o ms estados absorbentes en una cadena de Markov y es evidente que el proceso ser absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrar estas probabilidades de absorcin. Dichas probabilidades pueden obtenerse con slo resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el estado k es un estado absorbente, entonces el conjunto de probabilidades de absorcin fik satisface el sistema de ecuaciones

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sujeta a las condiciones

Las probabilidades de absorcin son importantes en las caminatas aleatorias. Una caminata aleatoria es una cadena de Markov con la propiedad de que, si el sistema se encuentra en el estado i, entonces en una sola transicin, o bien permanecer en i o se mover a uno de los estados inmediatamente adyacentes a i. Por ejemplo, la caminata aleatoria con frecuencia se usa como a modelo para situaciones que incluyen juegos de azar.

4.8 PROBABILIDADES DE TRANSICIN ESTACIONARIAS DE ESTADOS ESTABLES. TIEMPOS DE PRIMER PASO.Sea P la matriz de transicin de una cadena de M estados. Existe entonces un vector tal que:

Se establece que para cualquier estado inicial i ,

.

El vector a menudo se llama distribucin de estado estable, o tambin distribucin de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribucin de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transicin es P, segn el teorema, para n grande y para toda i , (1).

Como Pij (n + 1) = ( rengln i de Pn )(columna j de P), podemos escribir (2)

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E