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INVESTIGANDO LAS PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LAS MINAS DE LÁPIZ

RESUMEN

En este trabajo se determina experimentalmente la resistencia y resistividad de

diferentes minas de lápiz comercial. Se demostró que tanto la resistencia como la

resistividad está en dependencia de la concentración de grafito en la mina. Para ello

se construyó un circuito conectado en serie, el cuál fué alimentado por una fuente de

poder variable, una resistencia de valor conocido y minas de diferentes durezas (6B,

4B, 2B, HB, 2H, 4H, 5H y 6H). Se midieron valores de voltaje en las minas a

determinadas longitudes (2, 4 y 8 cm). Obteniendo que la resistencia de la mina

incrementa con el valor de su longitud, sin embargo, en el valor de la resistividad no

hubo cambio apreciable, por lo que es independiente de la longitud, demostrando así

que es una propiedad intrínseca de las minas. Por otra parte, se demostró

experimentalmente que la resistencia y resistividad decrecen exponencialmente con el

incremento de la cantidad de grafito en la mina, encontrando que las minas que tienen

una mayor concentración de grafito (minas tipo B) presentan mayor conductividad,

mientras que las minas tipo H, muestran menor conductividad debido a un mayor

porcentaje de arcilla. Con la realización de este proyecto se logró explorar como

pueden cambiar las propiedades físicas de la materia en dependencia de la

concentración de ciertos materiales que presentan propiedades de conducción (grafito)

o que son aislantes (arcilla), para este caso en particular. Se encontraron relaciones

empíricas que describen el comportamiento de la resistencia y la resistividad en

dependencia de la concentración de grafito en la mina.

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I. INTRODUCCIÓN

La conductividad eléctrica de un material es una medida de la facilidad con la que

los electrones de valencia se mueven a lo largo de su estructura, por lo tanto, está

dictada por su enlace. El enlace metálico es uno de los que presenta mayor

conductividad, ya que implica una red de núcleos cargados positivamente, con

electrones libres para moverse a través de la red [1]. Así, cuando se le aplica un campo

eléctrico a un metal, los electrones son capaces de moverse fácilmente a través de él y

se concluye que es un buen conductor. Los materiales que poseen un enlace covalente,

por otra parte, son usualmente malos conductores (aislantes) ya que los electrones se

mantienen estrechamente dentro de los enlaces covalentes [2,3]. Sin embargo, existen

algunas excepciones, por ejemplo, en la estructura del grafito tres de sus electrones se

encuentran unidos covalentemente a otros tres átomos formando una estructura

hexagonal similar a la de un panal de abejas, mientras que el electrón restante puede

moverse libremente por dicha estructura y así brindar al grafito propiedades de

conducción. Por tal motivo, el grafito puede ser considerado como un semimetal [4,5].

De igual forma, se ha demostrado que las propiedades eléctricas de un material

están estrechamente relacionadas con su estructura. En particular el carbono presenta

formas alotrópicas que pueden cambiar sus propiedades de manera significativa. Por

ejemplo, en 2004 Andre Geim y Konstantin Novoselov fueron capaces de sintetizar

experimentalmente una sola hoja de grafeno demostrando que este nanomaterial es el

mejor conductor que se conozca actualmente [6]. Cabe mencionar que los

investigadores fueron galardonados con el premio Nobel de Física en el año 2010 por

sus investigaciones. Además, sabemos que el diamante es uno de los materiales más

aislantes que se encuentra en la naturaleza y sin embargo está constituido

exclusivamente de átomos de Carbono [7].

Por tanto, en nuestro trabajo limitamos el problema a investigar si la concentración

de grafito y arcilla en las minas de lápices afecta sus propiedades eléctricas.

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Objetivos del proyecto:

• Diseñar un experimento relativamente simple con el que se puedan medir la

diferencia de potencial a diferentes longitudes de las minas.

• Determinar experimentalmente la resistencia de diferentes tipos de minas en

dependencia de su longitud.

• Obtener ecuaciones empíricas que relaciones la variación de la resistencia y

resistividad conforme la concentración de grafito en las minas de lápices varié.

Para resolver el problema se ocuparon minas de diferente dureza, las cuales

tienen una concentración especifica de grafito, arcilla, grasas o aceites. Por lo que a

continuación, se dará una breve explicación del contenido de una mina de lápiz.

Composición de una mina de lápiz

La mina de lápiz está compuesta predominantemente de una combinación de

grafito y arcilla, con cera o grasas junto a otros compuestos en pequeñas cantidades.

La arcilla, a diferencia del grafito, es un aislante: es decir, no conduce bien la

electricidad, debido a los enlaces covalentes que tienen los electrones de valencia

firmemente en su lugar.

Tabla 1. Porcentaje de cantidad de masa de

grafito, arcilla y partículas de grasa de

acuerdo a la dureza de los lápices.

Dureza del lápiz

% grafito

% de arcilla

% grasas

6H 50 45 5

5H 52 42 5

4H 55 39 5

3H 58 36 5

2H 60 34 5

1H 63 31 5

HB 68 26 5

1B 71 23 5

2B 74 20 5

3B 76 18 5

4B 79 15 5

5B 82 12 5

6B 84 10 5

La dureza del lápiz depende del

porcentaje de cada componente, por

ejemplo, en la tabla 1 se muestran las

concentraciones de grafito, arcillas y

grasas en dependencia de la dureza de

los lápices (las marcadas en color son las

que se utilizaron en este trabajo) [8,9]. De

acuerdo al Quality Systems Manager of

the Cumberland Pencil Company los

lápices H contienen más cantidad de

arcilla y menos grafito, mientras que los B

menos arcilla y más grafito [10].

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Planteamiento de la hipótesis:

La resistencia eléctrica como la resistividad de una mina de un lápiz comercial está

en dependencia de la concentración de grafito. Mientras mayor sea la concentración de

grafito (lápices tipo B) la resistividad es menor (mayor conductividad), por lo que al

incrementar el contenido de arcilla (lápices tipo H) el valor de la resistividad

incrementara (menor conductividad). Además, la resistencia eléctrica de un conductor

cilíndrico incrementa con la longitud, pero la resistividad se mantiene constante.

En seguida se da una breve descripción de los conceptos y leyes físicas que se

aplicaron para abordar la problemática de este proyecto.

Ley de Ohm

Cuando un voltaje (diferencia de potencial) ∆V se aplica a través de las terminales

de un conductor metálico, ver Fig. 1(a), tenemos que la corriente en el conductor es

proporcional al voltaje aplicado; I ∝ ∆V. Si la proporcionalidad se mantiene en un cierto

rango, se puede escribir:

∆V = RI ⋯ (1)

donde la constante de proporcionalidad R se llama resistencia del conductor. La

resistencia (R) del conductor es la medida de la diferencia de potencial (V) que se debe

aplicar a través del objeto para hacer que por él fluya una corriente de un ampere (A):

La unidad de resistencia es el ohm (Ω). Es importante mencionar que los experimentos

demuestran que la resistencia permanece constante sobre un amplio rango de voltajes

o corrientes aplicados, para ciertos materiales [11].

La ley de Ohm es una relación empírica válida sólo para algunos materiales. Los

materiales que obedecen la ley de Ohm y por lo tanto tienen una resistencia constante

sobre un amplio rango de voltajes, se dice que son óhmicos. Estos tienen una relación

corriente-voltaje lineal sobre un gran rango de voltajes aplicados, ver Fig. 1(b). Por otra

parte existen materiales en los cuales la resistencia cambia con el voltaje o corriente.

Este tipo de materiales son no óhmicos y su relación corriente-voltaje es no lineal (por

ejemplo, los diodos, transistores, etc.), ver Fig. 1(c).

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Resistividad de un conductor cilíndrico

Los electrones no se mueven en trayectorias en línea recta a través de un

conductor, en vez de ello, experimentan repetidas colisiones con los átomos del metal.

Considere un conductor con un voltaje aplicado a través de sus extremos. Un electrón

gana rapidez conforme lo acelera la fuerza eléctrica asociada con el campo eléctrico

interno, lo que le proporciona una velocidad en la dirección opuesta a la del campo

eléctrico. Una colisión con un átomo “aleatoriza” la velocidad del electrón y la reduce en

la dirección opuesta al campo. Entonces el proceso se repite a sí mismo. En conjunto,

estas colisiones afectan un poco el electrón, conforme lo haría una fuerza de fricción

interna. Este paso es el origen de la resistencia de un material.

R = ρA

𝑙⋯ (2)

donde la constante de proporcionalidad, 𝜌 , se llama resistividad del material. Todo

material tiene una resistividad característica que depende de su estructura electrónica y

su temperatura.

Fig. 1. (a) Conductor uniforme de longitud 𝒍 y

área de sección transversal 𝑨. La corriente 𝑰 en

el conductor es proporcional a la diferencia de

potencial o de manera equivalente al campo

eléctrico y la longitud. (b) Curva corriente-

voltaje para un material óhmico. La curva es

lineal y la pendiente proporciona la resistencia

del conductor. (c) Curva corriente-voltaje no

lineal para un diodo semiconductor. Este

dispositivo no obedece la ley de Ohm.

La resistencia de un conductor óhmico

aumenta con la longitud, lo cual tiene

sentido porque los electrones que pasan

a través deben experimentar más

colisiones en un conductor más largo.

Un área transversal menor también

aumenta la resistencia de un conductor,

tal como una tubería más pequeña frena

el fluido que se mueve a través suyo. La

resistencia, entonces, es proporcional a

la longitud del conductor 𝑙, e

inversamente proporcional a su área

transversal A,

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II. DESARROLLO EXPERIMENTAL

Para llevar a cabo este proyecto se ocuparon los siguientes materiales y equipo:

A fin de obtener las minas se retiró la madera del lápiz utilizando un cutter

(teniendo precaución para evitar un accidente y que la mina se rompa), ver Fig. 2(a).

Posteriormente, se conecta el circuito con la ayuda de los cables banana caimán a los

polos positivos y negativos de la fuente de voltaje. El cable caimán se conecta a la

resistencia de valor conocido (para ello se ocupó el código de colores para determinar

su valor teórico y se midió directamente con el multímetro para verificar su valor). Al otro

extremo de la resistencia se conectó la mina. Con la ayuda de una cinta adhesiva se fija

la mina a una hoja de papel, en donde se pondrán referencias que servirán para medir

los valores de voltaje a diferentes longitudes (2, 4 y 8 cm). Es relevante mencionar que

estas distancias se eligieron por la longitud total de la mina, porque a pesar que los

lápices tienen una longitud de 17.50 ±0.05 cm algunos de ellos presentaban espacios

huecos (no se pretende evidenciar a la marca) por lo que se tomó como referencia el de

Tabla 2. Valores numéricos de la resistividad de algunos materiales a

20°C.

𝐌𝐚𝐭𝐞𝐫𝐢𝐚𝐥 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐬𝐭𝐢𝐯𝐢𝐝𝐚𝐝 (𝛀 ∙ 𝐦)

Plata 1.59×10−8

Cobre 1.7×10−8

Oro 2.44×10−8

Carbono 3.15×10−5

Germanio 0.46

Silicio 640

Vidrio 1010 − 1014

Cuarzo 75×1016

Los buenos conductores eléctricos tienen

resistividades muy bajas y los buenos aislantes

tienen resistividades muy altas. La tabla 2

muestra las resistividades de algunos materiales

a 20 °C. Puesto que los valores de la resistencia

están en ohm, los valores de resistividad deben

estar en ohm-metros (Ω ∙ m).

• Minas de diferente dureza (6H, 5H, 4H,

2H, HB, 2B, 4B y 6B) marca Stabilo.

• 2 cables banana-caimán y caimán-

caimán.

• Resistencias (33, 56, 47 y 82 Ω)

• Cutter.

•

• Fuentes de voltaje de 18 V.

• Multímetro.

• Programa procesador de datos

y graficas Origin 8.

• Vernier.

• 2 cables banana-caimán y

caimán-caimán.

•

7

menor longitud 11.00 ±0.05 cm para así tener una medición con las longitudes antes

mencionadas para todas las minas. Una vez conectado el circuito se procedió a hacer

circular una corriente eléctrica por él, mediante el uso de la fuente de poder, ver Fig.

2(b). Después, se midió el voltaje con el multímetro en la resistencia y en la mina a

diferentes longitudes (2, 4 y 8 cm), ver Fig. 2(c). Es importante mencionar que la

medición con las puntas del multímetro se realizó de manera paralela. Después se fue

incrementando el voltaje hasta obtener 10 mediciones como mínimo. Se procuró que la

corriente que circula sobre el circuito sea relativamente pequeña (del orden de mA)

para evitar en lo posible calentamiento térmico en la mina por efecto Joule y para que

las mediciones entren en el rango de materiales óhmicos. Finalmente, se mide el

diámetro de la mina usando un vernier, Fig. 2(d). Cabe mencionar que el número de

mediciones por cada mina fue mayor a 10 para así tener una mejor estadística y

certeza de los resultados.

Fig. 2. (a) Obtención de la mina a partir de los lápices. (b) circuito conectado en serie. (c) medición del voltaje en la resistencia y a diferentes valores de longitud de la mina. (d) Medición del diámetro de la mina con el vernier.

III. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En las tablas 3-10 se presenta los valores de voltaje medidos en la resistencia VR y

en la mina a longitudes de 2, 4 y 8 cm ( V2, V4 y V8). Para la incertidumbre en la

medición se tomó la mitad de la mínima escala que puede medir el instrumento (en este

caso el multímetro) [12]. Una vez obtenidas las mediciones experimentales, se

determinó el valor de la intensidad de corriente en el circuito mediante la ley de Ohm, es

8

decir, calculando la relación entre el valor VR y la resistencia de valor conocido. Se

utilizaron diferentes valores de resistencia para poder tener un intervalo de corrientes

cercano para las minas. Debido a que se tiene un circuito en serie, el valor de la

intensidad de corriente deberá ser la misma en todas las longitudes de la mina. Por tal

motivo, se tienen valores de voltaje y corriente. En las Fig. 3(a-i) se presentan las

gráficas de corriente vs voltaje para cada una de las minas a diferentes longitudes. En

primera instancia se puede observar un comportamiento lineal, por lo que se realizó el

ajuste por el método de mínimos cuadros e interpretando el valor de la pendiente con la

ley de Ohm, se tiene que dicha pendiente es el valor de la resistencia correspondiente a

cada longitud.

En la tabla 11 se presentan los valores numéricos del ajuste, con su respectivo

coeficiente de correlación (R2), el cual fue muy cercano a 1, lo que indica que en este

rango las minas tienen un comportamiento óhmico. De los resultados obtenidos se

puede ver que a mayor longitud el valor de la resistencia incrementa para todas las

minas, lo cual es congruente con la teoría, ya que los electrones tienen una mayor

distancia que recorrer y por ende habrá una mayor probabilidad de colisionar. También,

se puede observar que conforme la concentración de grafito en la mina disminuye, ver

tabla 1, es decir, para los lápices que van desde 6B hasta el 6H el valor de la

resistencia incrementa para todas las longitudes.

Tabla 3. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 6B a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 2.78 0.0842 0.0219 0.0394 0.0849

3.12 0.0945 0.0251 0.0456 0.0936

3.26 0.0987 0.0241 0.0477 0.0977

3.49 0.1057 0.0269 0.0507 0.1058

3.56 0.1078 0.0274 0.0516 0.1085

3.69 0.1118 0.0288 0.0535 0.1117

3.89 0.1178 0.0305 0.059 0.1192

4.00 0.1212 0.0321 0.0602 0.1249

4.11 0.1245 0.0317 0.0621 0.1277

4.21 0.1275 0.0332 0.0633 0.1296

9

Tabla 4. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 4B a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 0.14 0.0025 0.0008 0.0017 0.0034

0.42 0.0075 0.0031 0.0063 0.0125

0.30 0.0053 0.0019 0.004 0.0075

0.53 0.0094 0.0039 0.0075 0.0144

1.05 0.0187 0.0066 0.0139 0.0261

1.76 0.0314 0.0117 0.0233 0.0435

1.81 0.0323 0.0120 0.0240 0.0560

1.86 0.0332 0.0127 0.0244 0.0461

2.15 0.0383 0.0145 0.0288 0.0534

2.52 0.0450 0.0167 0.0327 0.0616

Tabla 5. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 2B a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 0.73 0.0155 0.02 0.03 0.07

1.04 0.0221 0.02 0.05 0.1

1.31 0.0278 0.03 0.06 0.12

1.58 0.0336 0.03 0.07 0.14

2.14 0.0455 0.05 0.10 0.19

2.65 0.0563 0.06 0.12 0.24 2.97 0.0631 0.07 0.14 0.27

3.52 0.0748 0.08 0.16 0.32

3.97 0.0844 0.10 0.18 0.38

Tabla 6. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 5B a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 1.78 0.0217 0.05 0.10 0.20

2.20 0.0268 0.06 0.12 0.25

2.62 0.0319 0.08 0.16 0.31

3.06 0.0373 0.08 0.18 0.36

3.50 0.0426 0.10 0.20 0.41

3.92 0.0478 0.11 0.22 0.45

4.35 0.0530 0.13 0.25 0.51

4.79 0.0584 0.15 0.29 0.57

5.22 0.0636 0.16 0.31 0.62

Tabla 7. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 2H a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 1.30 0.0158 0.06 0.12 0.23

1.73 0.0210 0.07 0.11 0.31

2.45 0.0298 0.11 0.2 0.41

2.56 0.0312 0.12 0.24 0.43 2.75 0.0335 0.14 0.19 0.47

3.40 0.0414 0.16 0.32 0.57

3.78 0.0460 0.16 0.33 0.64

4.10 0.0500 0.2 0.38 0.7

4.47 0.0545 0.23 0.4 0.83

10

Tabla 8. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 4H a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 1.54 0.0187 0.13 0.26 0.5

2.41 0.0293 0.2 0.32 0.79

2.82 0.0343 0.24 0.4 0.92

3.05 0.0371 0.25 0.51 1

3.33 0.0406 0.27 0.55 1.08

3.51 0.0428 0.29 0.6 1.16

3.68 0.0445 0.33 0.64 1.22

3.87 0.0471 0.34 0.67 1.28

4.01 0.0489 0.36 0.68 1.32

Tabla 9. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 5H a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 1.30 0.0158 0.28 0.59 1.16

1.42 0.0173 0.24 0.5 0.99

1.54 0.0187 0.28 0.54 1.09

1.80 0.0219 0.35 0.7 1.39

2.05 0.0250 0.4 0.8 1.56

2.30 0.0280 0.44 0.9 1.77

2.58 0.0314 0.5 1.01 1.96 2.88 0.0351 0.57 1.11 2.2

3.08 0.0375 0.58 1.19 2.38

Tabla 10. Mediciones de voltaje en la resistencia y en la mina 6H a diferentes longitudes, así como el cálculo

de la intensidad de corriente.

𝐕𝐑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐈(𝐀) 𝐕𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 𝐕𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝐯) 0.48 0.0058 0.12 0.26 0.56

0.40 0.0048 0.1 0.2 0.4

0.98 0.0119 0.21 0.43 0.87

1.11 0.0135 0.25 0.48 1

1.29 0.0157 0.27 0.57 1.15

1.53 0.0186 0.35 0.66 1.36

1.69 0.0206 0.39 0.72 1.51

1.89 0.0230 0.41 0.84 1.67

2.21 0.0269 0.46 0.99 1.96

2.46 0.0300 0.55 1.1 2.2

Tabla 11. Valor de las resistencias a diferentes longitudes en dependencia de la concentración de grafito.

Dureza % de grafito 𝑹𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝛀) 𝒓𝟐 𝑹𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝛀) 𝒓𝟐 𝑹𝟖 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝛀) 𝒓𝟐

6B 0.84 0.264 0.967 0.557 0.991 1.083 0.993

4B 0.79 0.373 0.997 0.729 0.998 1.408 0.998

2B 0.74 1.166 0.980 2.158 0.997 4.377 0.995

HB 0.68 2.640 0.986 5.039 0.993 9.928 0.998

2H 0.6 4.397 0.970 7.869 0.956 14.429 0.988

4H 0.55 7.743 0.982 15.319 0.955 27.298 0.999

5H 0.50 16.957 0.977 31.394 0.977 63.769 0.981

6H 0.52 17.443 0.990 35.344 0.994 69.721 0.996

11

Fig. 3. (a-i) Grafica de corriente vs voltaje para las diferentes minas de lápiz (según a longitudes de 2, 4 y 8 cm), correspondientes a diferente concentración de grafito.

12

En la Fig. 4 se muestran las gráficas de la concentración de grafito vs el valor de la

resistencia para cada longitud. Se puede observar que el valor de la resistencia decrece

exponencialmente conforme la concentración de grafito incrementa, con lo cual

podemos comprobar la hipótesis planteada en este trabajo, es decir, mientras una mina

tiene mayor concentración de grafito es más conductora. Se realizó el ajuste de los

puntos experimentales con una función exponencial de la forma:

𝑅(Ω) = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 (−𝑐

𝑡) + 𝑦0

En donde 𝑐 es la concentración de grafito en la mina. En la tabla 12 se muestran

los valores de los coeficientes, 𝐴, 𝑡 y 𝑦0, correspondientes a las longitudes de 2, 4 y 8

cm.

Para ello se midió el diámetro de las minas con un vernier, ver Fig.2(d), obteniendo

los siguientes resultados: 3.00±0.05 mm para las minas 6B y 4B, 2.05±0.05 mm para

2B, HB y 2H, 2.2±0.05 mm para 4H, 5H y 6H. Debido a que la sección transversal de la

mina es circular, se puede determinar el área a partir del radio de la mina mediante la

expresión, A = πr2. Es importante mencionar que las unidades se manejaron en el

sistema internacional, de tal forma que las unidades de la resistividad son Ω ∙ m. En la

tabla 13 se muestran los valores numéricos correspondientes a cada longitud, para

cada una de las minas estudiadas.

Como se puede observar por los resultados obtenidos el valor de la resistividad no

varía de una forma apreciable con respecto a la longitud, por tanto, la resistividad es

una propiedad intrínseca de la mina de lápiz.

Tabla 12. Valor de los coeficientes del ajuste, correspondientes a cada longitud.

𝑨(𝛀) 𝒕 𝒚𝟎(𝛀)

𝑹𝟐(𝛀) 14219.54 0.075 0.201

𝑹𝟒(𝛀) 19920.91 0.078 0.082

𝑹𝟖(𝛀) 81837.79 0.070 0.096

Del ajuste se puede observar que el

parámetro 𝑡 permanece aproximadamente

constante con el valor de la longitud.

Después, se determinó el valor de la

resistividad con la Ec. (2).

13

Tabla 13. Valor de las resistividades para diferentes longitudes de la mina

Dureza % de grafito 𝝆𝟐(×𝟏𝟎−𝟓𝛀 ∙ 𝒎) 𝝆𝟒(×𝟏𝟎−𝟓𝛀 ∙ 𝒎) 𝝆𝟖(×𝟏𝟎−𝟓𝛀 ∙ 𝒎)

6B 0.84 9.34 9.85 9.57

4B 0.79 13.18 12.88 12.44

2B 0.74 19.24 17.81 18.06

HB 0.68 43.58 41.58 40.96

2H 0.60 68.56 64.93 59.53

4H 0.55 147.17 145.58 139.71

5H 0.50 256.36 246.56 250.42

6H 0.52 331.53 335.88 331.29

En la Fig. 5 se muestra que la resistividad decrece exponencialmente conforme la

concentración de grafito incrementa. Realizando el ajuste de los puntos experimentales

con una función exponencial se obtiene la siguiente relación:

𝜌(×10−5Ω ∙ m) = 1.97×106 𝑒𝑥𝑝 (−𝑐

0.057) + 13.88

Fig. 4. Decrecimiento exponencial del valor de

la resistencia en las minas con respecto a la

concentración de grafito en las minas. Lo

anterior para las longitudes de 2 cm (negro), 4

cm (azul) y 8 cm (rojo).

Sin embargo, tenemos que la

resistividad va incrementando si la

cantidad de grafito decrece, por lo que

se comprueba la hipótesis planteada en

este proyecto, es decir, conforme la

concentración de grafito incrementa en

las minas la resistividad disminuye, por

ende la conductividad incrementa y esto

se cumple para los lápices tipo B.

Para observar como disminuye la

resistividad con la concentración de

grafito, se determinó el valor promedio

de las resistividades para cada longitud.

14

Fig. 4. Variación de la resistividad con respecto a la concentración de grafito en la mina.

IV. CONCLUSIONES

En este trabajo se realizó el estudio de las propiedades eléctricas de diferentes

minas de lápices. Encontrando que estas propiedades están estrechamente

relacionadas con la concentración de grafito en las minas, es decir, mientras mayor sea

la concentración de grafito, la resistividad de las minas tiende a disminuir

exponencialmente, por lo que incrementa la conductividad, caso de los lápices tipo B.

En el caso de los lápices tipo H se tiene que el contenido mayoritario de arcilla haga

que presente una mayor resistencia y resistividad. Con este proyecto se logró

comprender como pueden cambiar las propiedades físicas de la materia en

dependencia de la concentración de materiales que presentan diferentes propiedades,

grafito (conductor) y arcilla (aislante), como en este caso. Es importante mencionar que

se pudieron comprar minas de determinada dureza para lapicero, y no tener la

necesidad de quitar madera al lápiz, sin embargo, el costo sería mayor al realizado para

este proyecto, ya que cada lápiz marca Stabilo tiene un costo de aproximadamente $10.

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V. BIBLIOGRAFÍA

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[2] Giancoli,D.C. (2006). Física, principios con aplicaciones (6 ed.), México: Pearson

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