Ricardo Cantoral UrizaOIda Covián Chávez

Rosa María Farfán MárquezJavier Lczama AndalónA"enilde Romo Vázquez

INVESTIGACIONES

SOBRE ENSEÑANZA

Y APRENDIZAJE

DE LAS MATEMÁTICAS:

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Colaboració" c, ,braha'll Francisco Espinosa Pa!Jarha ~,1aldonado Rosaleset cia SánC'lez García

':"gradecemos a '" )nseJo Nac onal de CienCIS y Tecno ogia por su apoyo a través del¡royecto "Cons" ,ción social del coro::::i'lller:o ma:ematico avanzado, Estudios sobre laeproducibilidad y obsolesce"lcia oe s :uaclones dldactlcas. de la investigación a laealidad del auli1 No 41740-$

@EL' PAPEL DE LA NOCiÓN DE

RAZÓN EN LA CONSTRUCCiÓN DELAS FRACCIONES EN LA ESCUELA

PRIMARIA

David Block*

21.1. RESUMEN

Las ra:wnes de números naturales fueron, en la historia de las matemáticas. precursoras delas fracciones. ¿Es posible identificar elementos de esta relación en el aprendizaje de lasfracciones? En este articulo se argumenta tal posibilidad: se analizan resoluciones de alumnosde primaria, indicativas de fonnas en que la noción de razón precede a la noción de fracción,tanto en su papel de expresar medidas, como en su papel de expresar operadores multipli­cativos. Despué!l, se describen secuencias didácticas de estudios experimentales que hanpropiciado génesis escolares de las fracciones a panir de las razones.

21.2. INTRODUCCiÓN

Las medidas fraccionarias o decimales, por ejemplo, pasos de ~ de metro, hojas de 0.02

cm de espesor, porciones de 1de pastcl. puedcn cllprcsarse mediante razones de medidas

• BIDC~ , D. (2007). El ""pel de la """ión <le ruón on la cO'1I1lUCCión <le ~·....,ci<>na .... la E""u<:la Primari..En R. Canlnnl. O. Covi'n. R. Farfh. J. Llzama y A. Romo (Edl.). f"~~llgad"".~ ."ó•• uulla"." yap••"d/%a¡. d. la. m"l.mállctu: U" rlp<JrI. IÓ••.,,,,,,.,;c,,,,,, (pp. H,·470). M~.ico DF. MÜico: Comil~

Lalinoam.riclllo de Mllcm'lica Educativa A.C.-Dlu de SanlOl.

•

DIVERSOS ENCUADRES TEORICOS

con números naturales: "2 metros por cada 3 pasos",1 "100 hojas tienen un espesor de2 cm", "un pastel para 3 ninos", Lo mismo ocurre cuando las fracciones juegan el papelde operadores multiplicativos, por ejcmplo, un factor de escala como X3f4 o XO.75 puedeexpresarse medianle la rclación "3 cm por cada 4 cm" ¿Qué implicaciones puede tenereSle- hecho desde el punto dc vista del aprendizaje y de la enseñanza de las fracciones?A continuación presentaré algunos datos que fortalecen la hipótesis según la cual laenseflanza de los númerol racionales podría verse enriquecida al considerar conocimien·tos que los alumnos han desarrollado, y podrfan desarrollar sobre las razones de númerosnaturales. Los datos son de dos tipos: por una parte se trata de procedimientos quealumnos de primaria desarrollaron para ciertos problemas de proporcionalidad que lesfueron planteados en entrevistas individuales y, por otra parte. se presentan algunaspartes de seeucncias didácticas que fueron disenadas cx profeso para estudiar procesosde aprendizaje y de enseñanza de los números racionales.

21.3. ALGUNOS ANTECEDENTES

La noción de razón se encuentra en la intersección de dos temas muy estudiados, laproporcionalidad, sobre todo desde la perspectiva del desarrollo cognitivo (e.g. lnheldery Piaget, 1955; Noelthing, 1981 a y 1981 b; Karplus lit al., 1983) y los numeros racionales,desde una perspectiva didáctica (e.g. Hart, 1988; Kieren, 1988 y 1993: Behr el al., 1990).Una tendencia apuntalada en gran medida por los trabajos de Vergnaud (1988) sobre lasestructuras multiplicativas, ha consistido en integrar el estudio de estas dos problemáti­cas: se considera que la adquisición de aspectos fundamentales de la noción de numeroracional se registra en el marco de las relaciones de proporcionalidad, a la vez que laresolución de problemas de proporcionalidad puede requerir, en algunos casos, de laaplicación de herramientas aritméticas. en particular, el cálculo con fracciones y decima·les. La noción de razón constituye un ejemplo claro de esta articulación. Vergnaud (1988)por ejemplo. habla de fracciones y de razones como dos nociones del campo conceptualde las estructuras multiplicativas destinadas a sintetizarse en el concepto de numeroracional:

'H No resulta sensato estudiar el aprendizaje y la enseí'lanza de las fraccionesy de las razones indepcndientemente de las estructuras multiplicativas. Es sólohasta que todos estos significados se siutetizan eu el concepto de númeroracional que es posible pensar en las fracciones y las razones corno purosnumeros (V;rgnaud 1988: 156-158).

I u..ndo 01 lenguoje dá,;co dc lo. ,","One., podrfo dcdroe. por ejemplo, "el poso .. 01 melro como 2 e. o r .

...

OAVlO BlOCK

Freudenthal (1983) destacó también la importancia del estudio de la noción de razónen las matemáticas elementales y, si bien no centró su atención en la vinculación con elconcepto de número racional, dejó vcr la existencia de dicho vínculo:

¡

El significado de la razón aparece cuando se habla de la igualdad (y ladesigualdad) de razones, sin conocer su tamaflo, cuando se dice, con sentido,"a es a b como c es a d". sin anticipar que "8 es 8 b" pucde reducirse a unnúmero o a un valor de magnitud aIb (...) La razón es una relación decquiva1cucia en el conjunto de parejas ordenadas (o de valores de magnitud)...Los cocientes y las fracciones constituyen formas de reducir esta compleji­dad, de bajar su estatuto lógico, 8 costa de la lucidez (Freudenthal, 1983)

Brousseau (1981 Y 1998), por su parte, al desarrollar una experiencia amplia deingeniería didáctica para la enseí\anza de los numeros racionales, mostró el importantepapel. eventualmente impllcito, que puede jugar en este proceso el estudio de situacionesde proporcionalidad. Revisaremos más adelante algunas partes de su estudio así como deotros estudios que se desarrollaron a partir de aquél (Block, 1987 y 2001; Balbucna 1988;Comin 2000), en los que se hace jugar a las razones un papel fundameutal en una génesisde las fracciones.

Por otra parte, análisis de los conocimientos de los alumnos, y de las prácticas dela ensenanza tienden a mostrar cierto nivel de divorcio entre fracciones y razones en laescuela. lIart (1981) por ejemplo, mostró desde hace ya un par de décadas que losestudiantes del nivel de secundaria tienden a utilizar. cuando es posible, lo que ella llamó"bllilding IIp procedllres" en lugar de operadores fraccionarios, al resolver problemas deproporcionalidad. Ramirez (2004), en un estudio de caso sobre prácticas de cnsenanzade la proporcionalidad, muestra cómo, en una serie de clases, se manifiestan procedi.mientos de resolución en dos planos. uno explicito y formal pero poco util para losalumnos. en el que se apela a las fracciones y a sus técnicas, y otro impllcito y utilizadocon frecuencia. en el que los alumnos resuelven con razones y no con fracciones.

21.4. PRIMERA PARTE:

ANÁLISIS DE RESOLUCIONES DE ALUMNOS DEPRIMARIA

Las resolu¡;iones que se comentan a conrinuación provienen de un conjunto de entrevistasaplicadas individualmente a 13 alumnos (cuatro de 4° grado; tres de 5° grado y seis de6° grado) de diferentes escuelas de la ciudad de México. Se aplicaron alrededor de 20problemas verbales de "valor faltante" y de "comparación de razones", en los que sevariaron los contextos, la manera de formular las razones, y el carácter entero o no entero

DiVERSOS ENCUADRES TEORICOS _ DAVID BLOCK

"Una rana avanza 5 varas en 3 saltos, ¿cuántas varas avanza en 12 saltos?"

Uno de los problemas planteados de valor faltante fue el siguienle:

Las parejas de cantidades (3s. Sv) y (l2s, 20v) que integran esta última resoluciónson razones que dIJn cuenta de una misma medida fraccionaria, saltos de S/3 de vara, la

Estas resoluciones, al mismo tiempo que ponen en evidencia un nivel bajo de apropia­ción de las fraccioncs como medidas, mucstran que los alumnos disponen de un conocimien­lo inluitivo sobre las razones, qlJe les permiten resolver problemas simples, sobre medidasfraccionarias. La p~gunla que se plantca entonces cs: ¿es posible enriquecer cl trabajo confracciones como eJlpresioncs de medidas y como panes de unidad, al considerar razona­mientos como los anteriores en el nivel de las razones? Hay numerosos indicios para suponerque esto último es factible. Por ejemplo, en varias ocasiones, los alumnos entrevistados, paraencontrar la fracciÓn de unidad que resulta de repartos "simplificables" como 4 pasteles entre16 niilos, 2 pasteles entre 6 niños. o S pasteles entn: 10 nifl.os, lograron simplificar lasrazones, para tener, respectivamente: un pastel entre 4 niños, un paslcl entre 3 niilos, o un

pastel entre 2 niflos, 10 cual les facilitó detenninar las fraccioncs; *'j, t. Asl, la fracción

cual permanece impllcita. Para lograr dar la mcdida de 12 saltos sin conocer la de unsalto. los alumnos consideran 3 saltos como una unidad compuesta que iteran.

Veamos un segundo ejemplo con un problema de comparación de razones:

I"En la mesa A se reparte 1 pastel enlre J niños; en ra mesa 8 se rcparten 2pasteles entre 7 niilos. ¿En cual mesa le toca ml!.s pastel a cada nillo?"

En este problema aparecieron los mismos dos tipos de procedimiento: seis alumnosde 13 intentaron detenninar la cantidad de paslel por niño, por lo general a partir derepresentaciones gráficas, pero solamente dos alumnos (de sexto grado) 10 lograron.·Siete alumnos consideraron la relación "Si hubiera 6 niños en la mesa 8, les tocarla lomismo, pero como hay 7, les toca menos..... y tuvieron éxito. Estos úhimos logrnroncomparar las frnccioncs de paslel sin hacer eJlpHcitas las fracciones. a partir de lassiguientes relaciones entre razones;"l pastel para 3 nifl.os" cs equivalente a "2 pastelespara 6 niilos" y esto es más que "2 pasteles para 7 niilos".

Cabe sellolar que en otros contextos la tendcncia o recurrir a razones de numerosnaturales en lugar de a frncciones, fue aun más notoria que en estos contextos, reparto depasteles o de saltos que se miden con varas. Una de las caracterlsticas de los problemas quemostró innuir en el tipo de procedimientos de los alumnos fue la manera de expresar laconstancia de la razón: cuando ésta se expresaba medianlc la expresión "por cada" (Le., lascanicas se venden a 3 pesos por cada 4 canicas), se tendia a favorecer la iteración deunidades compuestas y. por lo tanlo, el trabajo con razones de numeros entcros. En cambio,cuando la fonnulación de la conslancia de la razón evocaba valores unitarios iguales (porejemplo, "a cada uno le tocó la misma canlidad de pastel"), hubo más inlentos de detenninardichos valores.

• Primer comentario

• La dif"",,,,,ia enlr. 1.. fl'l<:oior.eo. 1/3 y '2!7 .n 1.. repre..nladon•• gr.r",u <k 1011 nilloo """ impen:.plibl....

,4 veces20

Saltos34 veces12

...

de lu razones. El conjunto de problemas se presentó en un documenlo que conlieneun problema por página, redactado bajo la forma de un tcxto con preguntas, sindibujos ni esquemas. Los problemas se aplicaron en sesiones individuales con cadaentrevistado a quien se le explicó el propósito del trabajo y se le insistió en que, pararesolver los problemas, estaban permitidos todos los recursos, por ejemplo, contarcon los dedos, hacer cuentas escrilas o hacer dibujos en los espacios en blanco O

en las hojas adicionales previstas para ello. El entrevistador leyó en voz alta ypausada cada problema. 2

Mediante el análisis de las resoluciones de eslos alumnos intentaré mostrar que, apesar de que habian recibido una ensellanza sistemática de las fracciones, y no de lasrazones, la tendencia fue poner en juego de manera espontánea a estas últimas paramanipular medidas y operadores racionales. Veremos primero algunos ejemplos represen­tativos de las formas en que los alumnos resolvieron los problemas que implicanfracciones en el papel de expresar mcdidas.

Excepto dos alumnos que aplicaron una constante aditiva, los demás siguieron unode dos caminos: algunos imenlaron, sin I!Jlito, determinar ellamailo de un salto (4 de 13alumnos);l aIras consideraron la relación multiplicativa entre 12 saltos y 3 saltos, en cuyocaso siempre tuvieron I!xito (4 de 13):

LA RAZÓN, PRECURSORA DE LAS FRACCIONES EN SU PAPEL DE

MEDIDAS

1 lal ....lr•• illu .. ",alizaron .n el m....o del lBbajo de 1.,it <locloral "lu razon.1 .n \10 mll.milicu delo elouela primaria. U••lludio didiolioo~ (Block. 2ool)

J Obl"".r lo medida de un ..l!o oabi.ndo que l 1011<» miden ~ ~o... ",'u1l6 muy difioil. "'ocho mta q..., porejemplo. -ropartir" ~ plllel.1 .ono l. Paro re...l.er lo dif'ouJ'&d olgullO' alumnOl propusi.ron salidos oomo••hOl de unO vora y lallOl de dOll .

DIVERSOS ENCUADRES TEOAICOS _

Yo, por ejemplo, aparece no solamente como el resultado del. reparto I :4, sin~ como elresultado de la familia de repartos que se generan de 1:4, Iterando los t~rm.nos (2:8,4:16... ), Otros ejemplos de formas en que pueden vincularse razone! de la for~a "xpasteles o pizzas entre y ni/los" con las fracciones x/y pueden verse en los trabajos deIblbuena et al, (1984). de Stredland (1993) Y de Solares (1999).

LA RAZÓN, PRECURSORA DE LAS FRACCIONES EN SU PAPEL

DE OPERADORES MULTIPLICATIVOS

DAVID BlOCK

Con dificultad obtuvo las parejas "por 21, 14~ Y ~por 20, 18- con 10 cual logróconcluir: en Sonora por más naranjas recogidas que en Visla Hermosa, dan menos.

Varios alumnos hicieron algo similar. Resolvieron como si no existiera un múltiplocomún, y ter¡ninaron aplicando un procedimiento parecido al que usaban los antiguosmatemáticos griegos para comparar razones entre cantidadn inconmensurables.' Manuel(6°) después de resolver algunos problemas parecidº" al empezar éSle hace parcialmenleell:pllcita esta idea:

Manuel: ( ..) "Porque \'e', ell MM superar al 9 .... o bueno. j para superaralfO".

Los ejemplos que mostraremos a continuación son con problemas de comparación de

razones, como el siguiente:

Varios n¡¡los deciden trabujar duran/e los ~'acaciones en 10.1 huertas cercanasa .fllj C(J$(J$. El /rabuja que lu ofrecen es recoger IlU naranjtll que ya secayeron y es/an sabre el piso, Cado agricultor fe.J ofrece un /roto dislinto. Losniilos tienen qlW- averiguar quil trato les COf/,,;eM mas.

En la huerta "SoOOl"l~ les ofrecenPor cada 3 naranjas Que recojan. se Quedan con 2En la buert. -Vista Hermo58~ les ofrecen:POt cada 10 naranjas Que recojan. se Quedan con 9"¿Cuál de 105 dos tratos les conviene más"

El problema implica comparar las razones (por cJ3n, 2'1) y (por ellOn, 9'1),. Lasfracciones que cuantifican a estas relaciones son 213 y 9/10. Una de I~ formas ~s.blesde resolución consiste por lo tanto en determinar y comparar estas fraCCiones, que Jueganel papel de razones, Sin embargo. solamente un alumno de KlI:tO ~rado resol~ió elproblema de esa manera. La mayoria .se dio a la tarea de generar parejas de cantuladesa partir de cada uno de 101 tralos, con la idea de igualar un término pa,ra pode~ comparar.Obtuvieron por ejemplo: (por 30, 20) v.! (por JO, 27). Veamos pnmero ejemplOS dealgunas de las dificultades que enfrentaron,

Adriana (SO grado) estimó primero que, de las razones "por ~3, 2" Y"por ellO.. 9",conviene más la segunda. Para estar .segura, generó otros pares, Iterando los térmmos,con el propósito. de igualar lo. primeros términos de cada pareja (3 y 10) a 20. No previóque 20 no es múltiplo de J.

21 14

\ lAoI 1krrnuoa,."

•"

Encuentra "por 12n, g,," v.t "por 10'1,9'1". En el primero, por mas naranjas recogidas,les dan menos.

Cabe observar, de paso, que estas resoluciones ofreccn una ocasión para plantearla cuestión de la existencia de los múltiplos de dos números (¡,ell:Ísl'en siempre? ¿cómopueden encontrarse?). La búsqueda de un múltiplo común ocurre lambién en la resolucióncon fraccioneJ: para comparar 9/10 con 2J3 es necesario obtener 27130 y 20130. peroaqul .se suele tratar de un algoritmo. Como en bte, en varios CI505 mb.se identificaron.en las resoluciones de los alumnos, algunas propiedades de lu razones (o bien, laausencia de dichas propiedades) que son esludiadas en la escuela directamente comoreglas para la manipulación de las fracciones.

Veamos ahora la resolución de una alumna que logra identificar un operador fraccio­nario, Esto ocurrió casi únicamente cuando los operadores más simples, "la mitad", o "latercera parte", pcnnilian comparar. Mariana (6° grodo), frcnte al mismo tipo de problemapero con otros datos ("de e/Sn, 2n" y "por c/20n, 6n") realizó la siguiente resolución enItes episodios.

Empieza hllCiendo una comparación de las razones contra la fracciÓn "!/¡ de":(por elS, 2) lO.f (por cf20. 6)

Mor: A/r... creo que u/oy descubriendo un tip... se trQ/a de que aquí... s;recogen J, se quedan can 1 (,,), .fe quedan con casi la mitad, y los otros,recogen 10 y ustedes se quedan con 6, pero es/ón recogiendo más naranjas.por eso fes Jan máJ, pero aqu{ no les ,están drllldo algo que Si! parezca a lamitad. 7 u 8 naranjaJ. Por eso aqu( es mát Justo (en J. 1).

Puede observarse la inteoción de considerar la relación entre las cantidades: no bastacoo saber que en un caso dan más naranjas que en el OltO, pueslO qu.e son a cambio demis naranjas recogidas. La intención de considerar las razones y no las cantidades,cristaliza en la cuantificllCión aproximada de una de lIS ruooes: estima que (5, 2) ti ~casi

la mitad" y que si se recogieran 20 naranjas. "casi la mitad" serian 7 u 8, pero no 6:

, SimplifICando, ~I ln>f~ma dic.: ML ón <le '" • B .., mayor qlOe la <Ic e a O, .i U,,."" ck» "11......... n y.... lJ.ln qlOe nA :> me .men.... q nB < me-

...

OIVERSOS ENCUADRES TEORICOS

(.5, 2) ~ ~cBsi 112 de" ~ (20, 8) Y(20, 6) < (20, 8)

. En seguida. optB por iterar el par (por e/S. 2) Y obtiene (por lO, 4). Le surgeentonCc:.s una duda:

Mor. Aq"i (J. 1). si recOge" /O naranjos, si pelUOIffOS en lo segundo vue1lo,recogen 10 naranjas. se quedan con ., y oi/i yo no es lo milad.E: ¿cual e" la mllud de JO?Mar: J. alt.... no... (rttlifiro). a mí se me hou que les conviene mas el o/ro. elprimero. el de J y les dan 1, porque siempre lu están donJo ccui la mllud de lcunaranjos, JI en el airo lo don mm noronjos. pero no lo don cosi la milad.

Una vez confinnado que 4 también es Mcui la mitad~ de 10, como 2loes de S, Marilltllgeneraliza: ~sinnpre les dan casi la mitad", e5 decir, en todas lu parejas de cantidades quese gene~ a panir de Mpor cada S, r una cantidad es ~casi la mitadM de la otra. La iteraciónde los términos 5 y 2 genera nuonn equivalentes y oto parece haccnc visible en laformulación de II raz6n con una fra«ión ~casi la mitad-o

Finalmente., opta por gct1C'rar ouu parejas. Sobre la marcha encuenlra que 6 de 20 csequin1cnte a JO de 100 y observa que JO de 100 es cercano a JO de 90. y por lo tantoes ~clSi 113~:

M: ( ..) "JO y JO. 60. (JI JO) 90. serian tercios (dibuja un t:frcllfo pequeito.lo divide en tres portes, como IIn postel. en codo porle anota JO) entonces aqulle eslá danda casi la milady aqul un lercio. asl. el tres tercios tienc tres lerciosJI nodo máf le t!stó dando l/J.

La fracción 113 emerge nuevamente como la expresión de una razón constante entrecantidades, en la que las Clntidades no figuran más:

(por cJ20. 6) • (por lOO, 30) ~(por 90, JO) "* "1/3 de-o

• Segundo comcntario

Estas relaciones entre parcjas de cantidades concretas que vanan. y el número quecxpresa 10 que es invariante, asl como las dudas que aparecen en el proceso. parecenconstituir UnH parte esencial del sentido de la noción fracci6n como expresi6n de unarazón constante. Estas renexiones dincilmente ocurrirlan en una situación en la que deentrada se exigier; la aplicación de fracciones.

El problema que vimos aqul tiene una caracterlstica que favorece el recurso a laconservación de la suma o de las razones internas: la formulación "por cada ": y tieneuna carllcterlstica que facilita eon~iderar un opcrador externo: las magnitudes son de lamisma naturaleza, la relación es entre un todo y una parte.

50

OAVIO BlOCK

El análisis de tas resoluciones de este tipo de problemas, permitió destacar, enprimer lugar, la utilización de razones y de algunas de sus propiedades, cuando losalumnos aún no disponen de los números que cuantifican a estas razones, o no puedenusarlos con e,te sentido. En segundo lugar. nos deja ver algunu formas en que lasfracciones mb simples, 112 y 1/3. emcrgen en eslOS procedimientos, con el senlido plenode ell:presioncs de conjuntos de razones equivalenles, es decir, como eX2TC5ioncs de unanuón conslAnte. Al mismo Ilempo, suaiere que k» alumnos de sexto grado han uanzadopoco en el proceso de ulilizar fracciones con el sentido de T1Izones o de operadoresmultiplicativos.

21.5. SEGUNDA PARTE: ALGUNAS SECUENCIAS DESITUACIONES DIDÁCTICAS

En esta segunda pMle del articulo veremos dos Cltudios didácticos en los que se propiciauna construcción de los números racionales I partir de la noción de razón. Estos estudiosprestl1lan formas posiblCl, muy especificas y claras de articular razones y fT1lcciones enun trabajo didáctico, lo cual ayuda a entender esla relaci6n epistemol6gica. No obstlnte,es imponante aclarar que no constituyen propuestas para cnsci'ianza, por mb de unarazón: constituyen secuencias dificilCl de implementar, presentan formas de construc­ción de las nociones muy distintas a las usuales y, adem", presentan también diversospuntos débiles.

CONSTRUCCIÓN DE LAS FRACCIONES COMO EXPRESIONES DEUNA MEDIDA

En el marco de un estudio amplio sobre la construcción de los racionales. Brouneau(1981) diselió una secuencia de situaciones para introducir las fracciones comoexpresiones de medidas, en la que la unidad no es fraccionable por ser muy pequenay que propicia relaciones de conmensuraci6n entre ta cantidad que sc mide y launidad. La situaci6n central es la siguiente: se forman pequeftos equipos de emisoresy receptores. Cada uno dispone de cinco paquetes de hojas, identificadas con lasletras de la A a la E. Las hojas se dislinguen entre si solamente por su espesor. Losalumnos disponen ademli.s de un vemier. Los emisores escogen un paquete y debenenviar información a tos receptores para que ellos identifiquen, entre sus paquetes,el que escogieron los emisores. La única restricci6n es no proporcionar la letra Queidentifica al paquete.

Dado que es imposible medir el espesor de una hoja con los instrumentos demedición disponibles. como la regla o el vernier. la idea de medir el espesor de pequenos

51.

DIVERSOS ENCUADRES TEORICOS ----------------------

OAVIO BLOCK

La distinción cntre el espesor de una hoja y la designación de una pila de hojas,agrega Brousseau. es esencial pero dilleil y sólo se aprcnde. poco a poco. ~~ ese pr~ceso

eslá el paso de la noción de razón, de relación enlre dos canlldades, a la nOClon de num..:ro

paqueles de hojas surge naturalmente. Los nil\os llegan ripidamente ~ utilizar .Ia- • (. d ho/lS mm de C'sOesor) para idC'ntificar el C'spesor de cada Ilpo de hOJa,

pareja n e , . . . l' . 'ó" 1 5. ho,"" .. mm LogTlln maneJ'ar las vanaclones debIdas a a Impreclsl n en

~r~empo , . . dla medición. por ejemplo. las parejas 50 hojas. 4 mm y 52 h~Jas. 4. mm correspon cnprobablemente a hojas con ti mismo espesor.. Establ~en parejas ~ulvalentes, es d~U.parejas que eltpre5l.n un mismo espesor de hOJa, ~r ejemplo SO ~Jn, 4 mm y 2S hOJas,

2Mediante estas relaciones de conmensuraCión. logran también antiCipar. entre dos

mm. . de "SO htipos de hoja, cual tiene mayor cspesor. por ejemplo. las hOjas que eorrespon 'n a .4 mm" son más gruesas que las que corresponden a "80 h, 4 mm" , .

El cstatuto matemálico de cstas parejas es momentáneamente ambIguo: en el ~ngen.son parejas de cantidades en relación. Podemos decir que son razon.es. La re~aCIÓl1 deequivalencia entre las parejas pone en juego implicitamenle una propIedad báSica de lasrazones que podría formularse asi: R(nA, mB) .. R(,u. kB), en donde A y B son

magnitudes y Ir. es un escalar natural. ..,Brousscau (1981: 104-105) COffiC1lla que en este manejO de la equlvalcne'~ puede ve~

un modelo implícito que incluye un acercamiento a la relación de equivalencia a~ge~lca

fundamental (n- de hojas A " espesor B .. " de hojas B por .es~sor A), aunque e~ mismoprecisa: "cienamenle 110 bajo esta forma, sino bajo la de aphc~clones de N en N ,y másadelante precisa que la linealidad se manifiesta por su canlclcristlCl de conserva~ ~as,~o~s.

A partir del monlenlo en el que se obtiene la rel.ación de con~ensuraclOn n ~oJa~.. m milímetros". es posible plantear diversas relaCiones en el nIvel de las medIdas.'cuánlOs milimetros corresponden a n' hojas? o bien, dadas dos relaciones de eonmcn­~uraeión. inferir qué hojas son más gruesas. Hasta esle punlo. el trabajo se desarrolla con

razones, para dar cuenla de medidas fraccionarias. . 'En este nivel el de la relación enlre medidas (y no de las magnlludes fíSicas). ocurre

el proceso de e¡¡'presión de estas razones con un n~mero. cs. decir, el pr~eso decOllstrueción de las fracciones: a panir de las parejas del lIpo (SO hOJas, 4 mm) se Introduce

la escriTUTll ..! como expresión de la medida de una hoja. Decir que el espesor de una5.

hoja mide :o con la unidad milimctro significa aquí que SO veces ese espesor es igual

a 4 milimelros. o bien. que ese espesor mide 4 milímetros entre SO:

Figura 21.1. 3 liras U :. .. tiras A

fraccionario. Podemos suponer que serin IIlS relaciones (la comparación) y IIIS operacio­

nes (suma, resta. mulliplicación) que los alumnos realizarin sobre este nUe\'O objeto, s~,las que le darán. poco a poco. su carácter de número.

En OIrO e~tudio realizado con alumnos de 4- y 5- grados (Block, 1987; Balbuena.1988), también se propició el recurso a la conmensuración como fonna de dar cuenta deuna medida no entera. pero utIlizando umdades que si eran susceptibles de ser fracCIO­nadas. Se partió dcl contexto del reparto. Los alumnos repartieron fhiellmente "barrasde chocolate" enlre nil\os. Después, resolvieron ciertos problemllS que los llevaron aestablecer la igualdad "lolal de barras anles de ser repartidas" tolal de porcionesrepartidas". Por ejemplo, sabicndo que se repartieron 3 barras enlre 4 oirlos y disponiendode la pardón por nino, debían reconslruir la barra entera. Para resolverlo, los nirlosunieron" poreiones y dividieron esa unión entre 3. En olro problema, disponiendo de unabarra enlera y de la porción que tocó a uo nil\o. debían averiguar cuAntas barras sereparlieron y entre cuánlos nillos. Para ello buscaron la coincidencia de ciertonumero de barras enteras con cierto numero de porciones. Observaron que hay másde una solución.

Finalmente. se planteó una situación de medición: un equipo tiene varias barrasenleras y varios pedazos (del mismo lamal\o). Ikbc mandar un mensaje escrito a otroequipo para que éste, que sólo tiene barras enteras. construya una porción del mismolamano que aquella. Debido a que en las siluaciones previas utili:t,aron el empate de nbarras con m porciones, en ésta la mayorla retomó dicha relación como recurso para darcuenta de la medida de las porciones. Aparecieron mensajes como: "junta tres barras yparte cn cuatro" o simplementc "tres barras enteras coinciden con cuatro pedazos"Posleriormente los mcnsajcs se rcdujcron a su mínima expresión: la lira A mide (m. 11)significa que ni unidades coinciden en longitud con n pedazos A (Figura 21.1)

Los alumnos utilizaron eslos pares para expresar la medida de las tiras. Establecieronla regla de equivalencia (m. n)" (km, kn). compararon parejas con la unidad (m, n) > l sim > n, las compararon entre si. las sumaron y las restaron.

Esta situación. a diferencia de la dcl espesor de las hojas, permite construir (y nosólo identificar) la longitud con la medida indicada. Sin embargo. JXlf esta misma razón.cn esla situación el recurso a la conll1ensuración no es óplimo, resulla más nalumlfraccionar la unidad. Si los niitos recurrieron a la conmensuración, fue por la influenciade las aClividades anlcriores.6 Cuando, después de unos mescs. se planteó nuevamente R

•;.50)

4:.50 .... 04150

,.(:SO)

I

... 50•

DIVERSOS ENCUADRES TEORICOS _ DAVID BLOCK

estos ninos la situación fundamental de comuntcación de la medida. la mayoria regresó a labúsqueda de unidades adicionales, o intentó el fraccionamiento de la unidad.

En In secuencias antenores, las fracciones se construyen a partir de lu razonesbajo el significado de cocientes. ESIU secuenciu presentan, no omtanle, .lgunos puntosdl!biles, uno, de orden cOflceptual, fue identificado por JI. RalSimba R.john (1982) quienet1COfltro dificultades pa'" que los .lumD05 construyuan•• panir del "modelo de bl5e~

de lu fraccione! como cocientes. el otro sjJnificado, el de unidades que se panen. Elautor losra mostrar que se trata efectivamente de dos concepciones de la noción defracción (fracción ~cociente~. fracción "partes de unidad M

) y que cualquiera de l!stastiende I erisine en obstiloculo para la adquisición de la otra.

CONSTRUCCiÓN DE LAS FRACCIONES COMO EXPRESIONES DEUN OPERADOR MULTIPLICATIVO

Los ni"os, sistcmiloticamente, proponen sumar] cm a iodas las medidas. Sin embargo,la situación proporciona una fonna de validación emplnca: cuando Icnninan sus piezas eintentan annar el rompecabezas con ellas., descubren. con azoro. que éstas no embonan. Apartir de esta fORStataeiÓG se suscita la ref1eltiÓR, Surge primero la sospecha de que se midi6mal. se rectifican las medidas. Surgen propuestas divcnas como ""mulliplicar por 2, Yrestu1~. lo cual acusa ya la bUsqueda de LlD operador COIISIante,

En la experieDClI que anahza Brousseau. la soluc::t6a que. DO sin difICUltad, se acabl

imponiendo es la determinación del valor unitario: 1 -+ ¡cm. El intms de instituciona­

lizar en este momento la solución en la que el valor unitario se expresa con una fracción(aunque 105 decimales acabanin imponiéndose milos adelante debido a las facilidades dedlculo que ofrecen) puede deberse a que el cilolculo con fracciones pcnnitid justificaral dlculo con decimales.

Una vez establecida la razón 1 -jo ¡.se calculan las imágenes, por ejemplo. para 5 cm:

, 1

" 2,,,,", ,

J '¡,:'or, \ I '~"r,' \

El operador externo constante.f~ subyace al conjunto de razones extemas (7 -jo 4).

(1 -jo ~), (5 --f ¡), y por lo lanto na interviene expllcitamente. Por su parte, el operador

intemo.f ~ subyace a l. composición (:7) (xS) y tampoco interviene expllcitamente. AsI.

hasia este punto. las fracciones intervienen únicamente como medidas, no como relaciÜ'­nes u operadores. Los operadores que intervienen son siempre naturales.

Detengámonos 5610 un momento para comparar el valor unitario 1 cm -jo Z cm con,olro valor unitario que ya se analiz6: 1 hoja -jo .! mm. Ambos proceden de razones entre

d'd ,.me t as enteras (4 cm -jo 7 cm) y (50 h -jo 4 mm). La diferencia más importante es lafunción que están destinados a cumplir: en el caso de las hojas. la raz6n (50 h-+4 mm)

funciona como precursora de una medidu racional: .! mm. No interesó, en ese momento,S.

V 1",'"•

• Una dificult.d mb en uta .itu""ioo ... el JI,uienlO: oJ.d.. dos ti .... de di'l;nla lonllitud, ¿qu~ .....ntiu que'epilihdol•• )l<)drlln emp.lar? En el eontuto en el que l,obajomo!l ..lO .o,.nllo "IUVO dad. por el "",cho<le que le tr.t.N de porciOMl de choc:olole que fueron hipol~tiClmenle obtenioJ., de un rel"'rlo equitativo.Si. emb....., en l. mo<!ioJ. .... q.... Ole ..n.en le oleja. 50 del.'•....,., ...., molivo.

Como vimos cn la primera parte de e,tll articulo, el que los Ilstudiantes no conozcan elsentido de multiplicar por una fracción, no impide que puedan generar conjuntos de paresde cantidades que guardan una misma razón. Al hacerlo, el operador racional pennancceimpllcito. La opción que veremos aqul consiste en definir la noci6n de operador multiplica­tivo meional a partir de dicho conjunto de pares de cantidades, y en particular, a partir dela razón canónica I--Hlla. Éste es el camino que utilizó Brousseau (1981. 1989) en lasecuencia a la que ya hicimos referencia y que lomaremos nuevamente como ejemplo.

Se plantea una primera situación en la que se debe agrandar un rompecabezas (véaseFigura 21.2). En la consigna se infonn. que el lado que mide 4 cm en la original. debemedir 7cm en la copia. Los nioos tienen un dibujo del rompecabezas original. con lasmedidas indicadas, y además, 1.5 piezas sueltas del mismo rompecabezas. Se les pide quese rep.nan las piezas enlre 105 integrantes de cada C<juipo.

•

•

•Figura 21,2, Rompecabezas que debe agrandarse.

,-----,--

5M ...

DIVERSOS ENCUAORES TEÓRICOSDAVID BLOCK

'q

.. q

I cm 0.25 cm--=---=----+=--=----- (")5 cm 5 vet"es 0.25 cm

><0.25

_, 1_:'_'__'4

-,---1:,,·,0

del lrabajo sobre rnones imemas. así como de la mulliplicación y la división de unamedida fratcionaria por un entero.

Subrayemos nucvamenle el het"ho de que. hasta aquí. las fraccione5 solamenleaparecen C011l0 expmioncs de medidas. Los operadores (los números que se usan paramultiplicar o dividir) son números naturales. L. multiplicación por fraccione5 siguecsI.ndo implícilL

La mullipliación explicita poi rr.cciones se introduce en un se¡uDdo momcnlO de la~nci •• destacando l. analogía funcional que guarda con el opcndor natural. pO{ ejemplo:

El operador ><q se convierte en una segunda forma de dar cuenta de una InInsfot­mación multiplicativa. que nace de la forma anterior J-lo q. Puede observarse unasimilitud entre esla dcfinición y las antiguas definiciones de la multiplicación según lascuale5 Oo. >< b e5 el número que e5 a • como b es a r .7 Podemos traducir esta últimacomo: • >< b es el v.lor que corresponde a a en la relación lineal /-lo b. La multiplitaciónse define a panir de la noción de razón.

Hay un punto débil no triv¡.l en esta definición: cuando se uliliza el valor unitariopara calcular las im'gencs. el número racional. digamos 0.25. fue siempre una medida(0.25 cm) a la que se aplicó un multiplicador natural:

Asl como la razón 1-+4 corresponde a la multiplicación x4, la razón I-loO,25 sedefine como una multiplicación y se expresa como xO.25,

De esta manera. multiplicar una medida c por un rncional q. significa encontrar laimagen de c dada por la razón l-lo q:

identificar al operadoT x si. mmlhojl. En cambio. en la situación del rompecabezas. la razón

(4 cm-lo7 cm) aunque también da lugar a una medida fraccionaria (1 cm-lo~ cm). tcndrá

una función que va mas allá: dar cuenta de una rrallSjormoció" cuantitativa de medidas.En este caso. interesará culminar el proceso identificándola explicitamente como el

operador multiplicativo constante x ¡A panir de esle objeli\o se: comprende el inlCTés de estuchar el método de reducción

a la unidad en el contt::'llo de una relación de semejanza geométriea y no. por ejemplo.de una relación entre magniludes distintas: 1) el operador que será construido másadelante es un operador sin dimensión 2) la situación facilita la posibilidad de verificaciónernplrica y 3) la situación da lugar a relacionar varios valOres de un conjunto inicial. convarios valores de un conjunto final. condición importante cuando interesa desatacarprogresivamente la noción de aplicación.

En la secuencia de 8rousseau se propicia mediante diversas situaciones que los

ninos identifiquen la razón (I-t ¡) como una razón privilegiada debido 11 una serie de

ventajas que ofrece: facilita el cálculo de cualquier imagcn, cuundo hay varias escalas enjuego. permite distinguir las que "achican" de las que "agrandan", y • sobre tooo. permiteordenarlas de la que achica más a la que agranda más. La expresión I-+b/u de la razón.equivalente a a-lob. se conviene asl en la representante canónica de lu transformaciones.

Con estas herramientas se abordan varios aspt."elos como la noción de "aplicaciónreclpr(l(:a" y la multiplicación (todavla impHcita) por fracciones y decimales en el papelde razón interna. Veamos un par de ejemplos.

Si la aplicación es t-H/4 ¿CuMlO mide en la Si la aplicación es 1~2_J ¿CuMIO mide en lacopia un lado que en el figura original mide h copia un lado que en la figura original midede cm? 0.7 cm?

A A' A A'

1 '" I l.}

• I 2JlIO

'. 7/44-1"16 10

.J 0.1 231100

'" 7t6~3- 2t t6 ·7

.0.7 1611100 -

1.61

Estas técnicas, bas.adas t.'TI la obtcnción (k: razones equivalentes a la rnzón e~tema a ...... bÓ l-lo b/u mediante la conservación de las razones internas. requieren de un buen dominio

..., El problble que c,ee lipo de deHnk;QflCI, medi.nle l. id.,. de ,.d.n, d.len de l. ~por. de Euoli~. Muebude.pk>él, en el lilllo VII, Alkh ...."~m; dolino l. muhipli<loilln de eae. mi"".... dolinioi/lll que .ub1,i,1i1l baila

fill.tel del liSio XIX r principios del XX, ell 1"" eexe"" de arilm<!,ice. ...

DiveRSOS ENCUADRES TEORICOS _O"VIO BLOCK

en cambio, al definir a 0.25 como operador, la medida es ahora 5 cm:

21.6. COMENTARIO FINAL

..

Los alumnos de 4,0 a 6- grado de primaria que entrevislamos mueSlran poder resolverproblemas dellipo "valor fahante" y "comparación de razones", que implican fraccioncs,tanlo cn el papel de expresar medidas como en el de expresar operadores mul!iplicativos,sin hacer explicitas las fracciones, manipulando razones de números naturales: "u de cadab", "u por cada b", "u entre b", en vez de "ulb de". En contra pane, mueSlran un bajodominio de las fracciones .

Las mismas entrevistas permiten conjeturar que, al favorecer un trabajo conrazones, además de poderse propiciar el desarrollo de la noción misma de razón lo cuales un objetivo de la enseflanza de las mllemáticas en la escuela primaria, se podrí~ ayudara enriquecer 11\ noción de fracción que g eSludia en esle nivel: una medida fraccionaria,digamos :y. de unidad, ademb de significar "tres panes de un cuano de una unidad M

,

podría vincularse con TIzones equivalentes del tipo '"por cada 4, se dan 3", o "3 entre 4~

I las que subyace dicha medida. El operador multiplicativo "alb de" podría sipifiearaquello que lieneo en común todas lIS razones del lipo "por cada a, b".

Sin embargo, las aniculaeiones entre razones y fracciones no son espontáneas,deben propiciarse, sin lo cual los alumnos, como tiende a ocurrir. se apropian solamentede esbozos de dos familias de técnicas para resolver problemas de proporcionalidad, unasformales y explicitas pero poco funcionales, las de las fracciones, otras implícitas.infonnales y funcionales, pero de a!cance muy limitado, las de las razones.

Las secuencias didicliclS que hemos revisado en lIS que se propicia una construc­ción de las fracciones a panir de las TlZOflCS muestran la posibilidad y el inlerés de lalconstrucción_ No obstante, eslas secuenciu son todavia muy complejas. Esludiar for­mas de articulación enlre razones y fracciones a lo larlo de secucncias didicticas es unatarea lodavla inconclusa que puede valer la pena continuar. Por ejemplo, las secuenciasdid'cticas que hemos comenlado podrian eonstiluir una scsunda introducción a lasfracciones en la escuela secundari.. cuando los niflos ya conocen la inlerpretación comopartes de unidad. En la primaria haria falta discflar y estudiar en mayor medida situacionesque aseguren cieno nivel de vinculación entre razones y fracciones.

..

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-

0.25 cm

0.25 por 5cm

xO.25

->->

10m

Som

Entonces, definir .1 operador xO.25 como l. relación 1-+0.25 implica considcrar l.conmulalivid.d de l. muhiplic.ción (5 veces 0.25" 0.25 veces 5), haciendo .bstracciónde 101 distintos papeles que juegan el muhiplicador y el mulliplicando, 10 cual no essimple.

o obstante, esla construcción presenta dos venlajas imponanles: por una panerecupera una noción que se: ha trabajado de manera implícita dunmte un lapso de liempoconsiderable, pricticamente desde los inicios de la multiplicación, a saber, la noción derazón conslanle 1~ n, lJI'~n, y despub 1-+n!m; por olra pane, recupera la conSlrucciónprevia de las fracciones como medidas.

Nolemos que ea esla definición, el openldor fraccionario nQ surge como un mediode cálculo. Los dlculos se han reslizado hasla aquí medianle operadores enteros,internos. El operador surse como el nombre de un tipo de relación. No seri sino hastaque se disponga de un algoritmo para aplicar eSle operador que éste se insenará en loscálculos.

En la secuencia de Brousseau, después de la definición explicita de la multiplicaciónpor una fracción en IInto operador externo, los procedimientos inlernos siguen consli­luyendo durante un tiempo la basc a panir de la cual se construyen y se justifican lasrelaciones y operaciones entre operadores. No es sino hasta el final de este proceso quelas cantidades quedan alfis y el Irabajo se realiza a nivel de los operadores. Es hasta estemomento que la noción de razón, como relación que se expresa medianle parejas decanlidades, liende a dejar su lugar a la noción número racional como aplicación lineal.Allf, esta secuencia pone de manifiesto el papel fundamenlal que juega la noción de razónen el proceso de aprendizaje de la nOlWión de fracción medida y de fracción aplicaciónlineal.

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David BlockCentro de Investigaciones y Estudios Avanzados

clblock@clayesllv.mxMéxico

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