Investigación y ciencia 329 - Febrero 2004.pdf

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FEBRERO 2004

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¿EXISTEN LAS RAZAS? • ILUSIONES GEOMETRICAS

EL EPISODIO DE IMPACTODE CHICXULUB

EL EPISODIO DE IMPACTODE CHICXULUB

AGUJEROS NEGROSEN CONDENSADOS DE BOSE-EINSTEIN

LA NUEVA LUNA

BORRADO CUANTICO

ULUGH BEG

AGUJEROS NEGROSEN CONDENSADOS DE BOSE-EINSTEIN

LA NUEVA LUNA

BORRADO CUANTICO

ULUGH BEG



Febrero de 2004Número 329

El episodiode impactode Chicxulub David A. Kring y Daniel D. Durda

El impacto que aniquiló los dinosauriosdesencadenó una oleada de incendiosque arrasaron los bosques de la Tierra.

Ilusiones geométricas Jacques Ninio

Las distintas prioridades que el cerebrogestiona engendran una multitud deilusiones geométricas. La observaciónnos las hace “ver” y la imaginación nosincita a crearlas.

3HACE...

50, 100 y 150 años.

4

APUNTESEtología...

Electrónica...Vida en el espacio...

Astronomía...Astrofísica...Inmunología.

32CIENCIA Y SOCIEDADImportancia del suelo,

en el cultivo de caña de azúcar...Origen de los perrosdel Nuevo Mundo... Cetonas...

Limpieza con láser.

38DE CERCA

Pequeños parásitos del mar.

6¿Existen las razas? Michael J. Bamshad y Steve E. Olson

Si las razas se definencomo grupos genéticamenteseparados, no. Pero sepueden utilizar marcadoresgenéticos para agruparindividuos con fines

médicos y terapéuticos.

24

13



83CURIOSIDADES DE LA FÍSICA

Manzanas que se atraeny cortinas de baño molestas,

por Wolfgang Bürger

86JUEGOS MATEMÁTICOS

Las ventajas de la solidaridad,

por Juan M.R. Parrondo

88IDEAS APLICADASEsquíes electrónicos,por Mark Fischetti

90LIBROS

Islam, saber exacto...Biotecnología...

Evolución de la meteorología...Matemática.

96AVENTURAS PROBLEMÁTICAS

¡No me digas!,por Dennis E. Shasha

La nueva Luna Paul D. Spudis

Las recientes misiones a la Lunahan revelado que todavía hay muchopor aprender del vecino más cercanoa la Tierra.

Agujeros negros en condensados de Bose-EinsteinCarlos Barceló y Luis J. Garay

Los condensados de Bose-Einstein nos ofrecen la posibilidad de experimentaren laboratorios terrestres con “maquetas en miniatura” de objetos celestestan esquivos como los agujeros negros.

Borrado cuánticoStephen P. Walborn, Marcelo O. TerraCunha, Sebastião Pádua y Carlos H. Monken

En mecánica cuántica cada historiatiene dos caras, pero sólo se puede veruna de ellas a la vez. Los experimentosmuestran que, al “borrar” una, aparecela otra.

48

59

40

Ulugh Beg Bernhard Du Mont

Uno de los astrónomos más famososde Oriente en el siglo xv, este soberanohizo construir en Samarcanda un granobservatorio astronómico y realizó unacompetente investigación del firmamento.

Las tablas de Ulugh Beg Heiner Schwan

El núcleo del Zidj de Ulugh Beg (“Tablasde Ulugh Beg”) es un catálogo con1018 estrellas, sus brillos y posiciones.

68



Portada: Alfred T. Kamajian

COLABORADORES DE ESTE NUMERO

Asesoramiento y traducción:

Antonio Arnáiz: ¿Existen las razas?; Luis Bou: Ilusiones geométricas y Aventuras problemáticas; Joandomènec Ros: El episodio de impacto deChicxulub; M.ª Rosa Zapatero: La nueva Luna; Adán Cabello: Borradocuántico; Francesc Castelló: Ulugh Beg y Las tablas de Ulugh Beg; J.Vilardell: Hace. .., Apuntes e Ideas aplicadas ; Jürgen Goicoechea:Curiosidades de la física

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Difusión

controlada



INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2004 3

...cincuenta años

MIEDO ROJO. «El mes pasado, la his-toria de los espías de Fort Monmouthse desinfló. El senador Joseph McCar-thy finalizó una serie de audienciaspúblicas, de las que había afirmadoque ‘demostrarían la existencia deespionaje’ en el laboratorio de radarde Fort Monmouth. Su desfile de tes-tigos no ha conseguido revelar testi-monio alguno sobre espionaje. Delos aproximadamente 30 científicosdel Cuerpo de Transmisiones sus-pendidos por el Ejército a resultas delas investigaciones de McCarthy, nin-

guno fue acusado de espionaje. WalterMillis, redactor del New York Herald Tribune , comentaba en su columna:‘Se ha arruinado un establecimientomilitar verdaderamente vital y sensi-ble, con mayor saña de lo que habríasoñado un saboteador soviético... [me-diante] la caza de brujas, el máspuro fanatismo, la cobardía, los pre- juicios raciales y una absoluta in-competencia’.»

PLAGA DE CONEJOS. «Con senti-mientos diametralmente opuestos seasiste en diferentes partes del mundoa las dos caras del fenómeno objeto de este artículo: la mixomato-sis, enfermedad infecciosa mortal delos conejos. Deliberadamente intro-ducida en Australia hace tres años,se ha extendido por áreas inmen-sas, produciendo una gran epizoo-tia en los conejos. En Australia, sesaluda la enfermedad como una sal-vación que libra al continente de su

peor plaga; en Europa, donde brotóen 1952, se la ve como un asesinomalévolo que amenaza con aniqui-lar a un animal muy preciado parala mesa, la caza, la compañía y ellaboratorio. Con la intención de con-trolar la enfermedad en Europa, sepersigue una vacuna contra el vi-rus mixoma.»

...cien años

RAYOS QUÍMICOS. «El señor Aug.Charpentier plantea un interesanteproblema: la diferencia entre losrayos desprendidos por los seres vi-

vos y los rayos N descubiertos porel señor René Prosper Blondlot. Ensu opinión, esa radiación de los or-ganismos se compone de rayos Ny alguna forma nueva de radiación.Esto vale en especial para los ra-yos procedentes de los centros ner-viosos, o nervios; presentan la sor-prendente característica de que losinterrumpa parcialmente una pan-talla de aluminio. Una lámina de0,5 mm basta para rebajar consi-derablemente los rayos emitidos porun punto del cerebro. Por el con-trario, la pantalla de aluminio ape-nas modifica los rayos procedentesdel corazón, el diafragma y losmúsculos. Esto constituye una di-ferencia característica entre las ra-diaciones musculares y las nervio-sas. El efecto generado por losnervios aumenta fuertemente conla compresión; el de los músculos,mucho menos.» [Nota de la redac- ción: Acabaría comprobándose que

ninguna de estas formas de radia- ción existía.]

LA TORRE EIFFEL. «En Scientific American del 26 de diciembre seanunciaba que la famosa Torre Eiffelestaba a punto de venirse abajo,dada la acusada tendencia al vuelcoque mostraba. El señor Eiffel niegatal cosa y se refiere al informe delseñor Mascart, presidente de laAcademia de Ciencias, en el quese dice que ‘la torre se halla en unperfecto estado de conservación, sinque se hayan notado cambios deposición ni en los cimientos ni en

la estructura’. Toda comisión com-petente que hasta ahora haya es-tudiado la torre ha defendido el buenestado de la estructura y avaladosu utilidad científica.»

Y AHORA LOS MALVADOS ÑUES. «Noparece haber dudas de que el as-pecto tan grotesco del ñu es unaprevisión de la naturaleza para pro-teger al animal. Cuando se les asustao molesta, esos notables antílopesrealizan una serie de extrañas evo-luciones y extraordinarios gestos,al objeto de acentuar la rareza yfealdad de su apariencia y ahuyentara los intrusos.»

...ciento cincuenta años

PELIGRO OCEÁNICO. «El grabado ad- junto corresponde a una locomoto-ra marina, invento de Henry A. Frost,de Worcester (Massachusetts). Lasaletas helicoidales son solidarias dela cara exterior del casco. El cilin-dro interior, montado en el fondo,

mantiene siempre la misma posi-ción. Dispone de un salón que ocupatoda la longitud del buque. El in-ventor confía plenamente en haberpuesto en marcha una revolución to-tal en los viajes oceánicos.»

ERROR ESTADÍSTICO. “«En la Tierrahay 1.000.000.000 de habitantes, delos que cada año mueren 33.333.333,o sea, uno cada segundo. Esas pér-didas son compensadas por un nú-mero casi igual de nacimientos.»

HACE

Locomoción marina antes de la dinámica de fluidos, 1854



APUNTES

4 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2004

B R U C E

A . C A M P B E L L I n s t i t u c i ó n S m i t h s o n i a n a

G E O R G E

D . L E E P

C o r b i s

Cuando se nos muestra una serie deimágenes, solemos recordar mejor

las primeras y las últimas; si se nos pre-gunta por las intermedias, no sabremosqué contestar. Se ha sometido a lamisma prueba a unos monos rhesus.Rehusaban dar una respuesta, por lo ge-neral, ante las imágenes intermedias.Aunque no manifestaban las sensaciones

de duda propias de humanos, sí pareceque sopesan opciones alternativas en si-tuaciones inéditas. Podría investigarsequé otras especies cuentan con esa ca-pacidad. Al parecer, las ratas y las palo-mas no; los delfines, sí.

—J. R. Minkel

Los animales también dudan

ETOLOGIA

Perplejidad

Este mismo mes publicamos un artículo donde se ha-bla de que una estación lunar podría obtener el agua

que necesitase en la propia Luna. George Bush, por otraparte, anuncia el propósito de enviar de nuevo seres hu-manos al satélite; la intención es que “vivan y trabajenallí durante períodos cada vez más largos”. Pero, aunquese cumpliesen las palabras presidenciales, no pareceque los futuros astronautas pudie-ran conseguir su agua lunar arran-cando pedazos de hielo de una masacompacta. Los sondeos por radarde hace unos años dejaban abiertala posibilidad de que hubiese depó-

sitos semejantes a glaciares en laszonas sombreadas de los cráterescercanos a los polos. Los datos,sin embargo, se han interpretadode forma muy dispar. La detecciónde hidrógeno por el Lunar Prospectordespierta menos dudas. En todocaso, estas investigaciones no ahon-daron más de un metro o dos en elsuelo de la Luna. El radar de Arecibolo ha escrutado ahora, con ondasde 70 centímetros de longitud, hastauna hondura de más de cinco me-tros, en pequeños cráteres del Polo

Norte y en los cráteres Shoemaker y Faustini del PoloSur. Al recibirse en el observatorio ecos débiles, se con-cluyó que no se había dado más que con roca lunar ypolvo, que absorben la mayor parte del haz. La decep-ción de no haber encontrado depósitos potentes no quieredecir que no haya agua. El suelo podría contener crista-les del tamaño de pelotas de golf. Pero si fuesen sólo

como copos de nieve, recolectarlossería difícil. Además, si hubiera ha-bido agua por debajo de los dos me-tros de profundidad, la cantidad to-tal habría sido mucho mayor que losdiez mil millones de toneladas que,

según se calcula en estos momen-tos, posee la Luna, poco más queuna laguna. Con sólo esa cantidad,se trataría de un recurso muy es-caso. Pese a todo, no es imposibleque haya agua en sitios aún no ex-plorados. Ben Bussey, de laUniversidad Johns Hopkins, cree quela extensión de las “trampas géli-das” que encierran el hielo lunarduplica la supuesta hasta ahora.Podría haber depósitos en suelos decráteres invisibles desde laTierra. —Sarah Simpson

VIDA EN EL ESPACIO

Agua potable

Los cráteres Shoemaker y Faustinidevolvieron ecos débiles de la señal

de radar.

SHOEMAKER

FAUSTINI

El creador del diodo emisor de luz, Nick Ulanyak, el di-señador del transistor bipolar más rápido, Milton Feng,

y Walid Hafez, estudiante de doctorado —tres generacio-nes de ingenieros—, han anunciado la consecución delprimer transistor emisor de luz. Se trata de un transistorbipolar de heterounión de fosfuro de indio y galio y arse-niuro de galio. En la base del transistor se recombinanelectrones y huecos —cargas positivas ligadas a la faltade electrones—. Por lo general, el diseño persigue que seminimice este efecto, porque genera un calor inútil. En cam-

bio, Holonyak, Feng y Hafez lo han maximizado para quela base emita fotones infrarrojos. Es parecido a lo queocurre en los diodos emisores de luz, pero permite mo-dular la luz de salida a velocidades mucho mayores. Demomento, han logrado hacerlo a 1 MHz. Si se consiguie-sen velocidades mayores, y parece muy posible, el dis-positivo —que ofrece además de la nueva salida ópticauna electrónica— sería apto para su inclusión en chips,donde las conexiones conductoras entre los componentespodrían sustituirse, o combinarse, con conexiones ópticas.

ELECTRONICA

El transistor emisor de luz




Una mutación impide la producción de una proteína celular a laque se liga el VIH; así, protege del sida. Como mucho, alrededor

de un diez por ciento de los europeos cuenta con esa mutación. Debe

de ser reciente; quizá se originó hace sólo 700 años. Se ha supuestoque ofrecía resistencia a la peste bubónica que asoló Europa en otrostiempos. Unos genetistas de la Universidad de California en Berkeleysostienen, en cambio, que protegía de la viruela. La distribución ge-ográfica de ésta concuerda bien con las frecuencias de la mutaciónen Europa. La viruela, además, encaja mejor con la idea de que unamutación permanecerá en el acervo génico si proporciona alguna ven-taja: la peste bubónica desapareció del mundo hace 250 años; la vi-ruela, sólo hace 26. Además, el agente de la peste es una bacteria,mientras que el VIH es un virus de ARN.

—Charles Choi

INMUNOLOGIA

La resistencia al sida y la viruela

La resistencia al VIH podría deberse a una mutaciónque se originó hace 700 años y protegía de la viruela

Titán, la mayor de las lunas de Saturno y único cuerpo del sistemasolar, aparte de la Tierra, con una atmósfera rica en nitrógeno,

esconde su superficie bajo una espesa neblina anaranjada. Las observa-ciones de radar efectuadas con radiotelescopios instalados en tierra hanatravesado esa cortina nubosa. Al parecer, hay allá lagos de hidrocarbu-ros líquidos. En los ecos de radar se descubrieron unos picos agudos,

que señalan la existencia en Titán de zonas reflectoras lisas y oscuras;lo más probable es que sean líquidas. ¿Y qué líquidos puede haber enTitán, con temperaturas de –180 grados? Análisis anteriores de la atmós-fera del satélite hallaron metano y otros hidrocarburos, que podrían caercomo lluvia sobre la superficie (se cree que formada por agua congelada)y crear lagos de metano y etano líquidos. —J. R. Minkel

Titán, la mayor de las lunas deSaturno, podría albergar, bajo su velo

anaranjado, lagos de hidrocarburos

ASTRONOMIA

Mares de metano

N A S A / L a b o r a t o r i o d e P r o p u l s i ó n a C h o r r o

VIH

Virus de la viruela

E Y E

O F

S C I E N C E

P h o t o R e s e a r c h e r s ,

I n c .

Si cayéramos de pie en un agujero negro, experimentaría-mos una atracción más fuerte en el calcañar que en la

coronilla. Nos estiraría y estrujaría. En cualquier agujero

esférico y sin rotación, sólo pasarían 0,0904 segundosdesde que la diferencia de aceleración entre la cabeza y lospies empezara a desmembrarnos —cuando decuplicase g,celeridad que imparte la gravedad en lasuperficie de la Tierra— hasta que sealcanzara el centro del agujero. SegúnJ. Richard Gott y Deborah L. Freed-man, rodeándonos de un aro más pe-sado que un asteroide podríamos de-morar el momento de la muerte. Estafantasía tiene el interés de mostrarcómo se entrelazan diversos fenó-menos físicos, en apariencia desliga-dos, en un problema concreto. Paraque el aro no se derrumbase sobre sí

mismo por su propio peso, debería es-tar dotado de carga, de suerte que larepulsión electrostática compensase la atracción gravitato-ria entre sus partículas; éstas se moverían, pues, en meracaída libre. El radio del salvavidas sería en todo momentoproporcional a la distancia al centro del agujero. Así, al tirar

el aro hacia arriba desde nuestros pies y hacia abajo desdenuestra cabeza con su propia atracción gravitatoria, lo haríaen cada momento (si su masa y radio fuesen adecuados)

con una intensidad que contrarrestaría las cada vez mayo-res fuerzas de marea del agujero. El intenso campo eléc-trico del salvavidas cargado no nos afectaría si nos rodease

una esfera conductora, una “jaula deFaraday”. Ahora bien, ese campo esti-mularía la producción de pares deelectrones y positrones en el vacío al-rededor del aro; éste atraería a loselectrones y repelería a los positrones,hasta que se descargase. Con unamasa del anillo del orden de una mi-llonésima de la masa de la Tierra y unradio —en el momento en queempezáramos a desmembrarnos— de28,47 metros, el tiempo de descarga

sería de 1,3 segundos y el que pasaríaentre ese comienzo de la tortura y el

final en el centro del agujero, de sólo 3,46 × 10–3 segundos.Gracias al anillo, se habrían contrarrestado fuerzas de ma-rea de 6760 g. La muerte vendría tan deprisa, que no sepercibiría su llegada.

ASTROFISICA

Experimento mental

M E H A U K

U L Y K

P h o t o R

e s e a r c h e r s ,

I n c .



¿Existen las razas?Si las razas se definen como grupos genéticamente separados, no.Pero se pueden utilizar marcadores genéticos para agrupar individuos

con fines médicos y terapéuticos

Michael J. Bamshad y Steve E. Olson


M

ire a su alrededor, en una calle decualquier gran ciudad. Verá una mues-tra de la variedad externa que reinaentre los seres humanos: tonos de piellechosos y oscuros, texturas de pelo

finas y lisas, gruesas y crespas. A partir de ca-racterísticas físicas como éstas, del origen ge-ográfico y de la cultura, las personas se agrupanen “razas”. Pero, ¿qué validez tiene, desde unpunto de vista biológico, el concepto de raza?¿Informan acerca de la constitución genética deun individuo las características físicas, más alláde indicarnos que posee genes determinantes deojos azules o del pelo rizado?

Entre otras razones, el problema resulta com-plicado porque los criterios de pertenencia a unaraza varían de una región a otra. Alguien deno-

minado “negro” en EE.UU., por ejemplo, podríaser considerado “blanco” en Brasil y “coloreado”(una categoría distinta de “negro” y “blanco”) enSudáfrica.

Sin embargo, las definiciones ordinarias de lasrazas generan en ocasiones grupos que se corres-ponden bastante bien con propensiones genéti-cas a sufrir ciertas enfermedades. La anemiafalciforme, por ejemplo, se da sobre todo enpersonas de ascendencia mediterránea o africana,mientras que la fibrosis quística abunda bas-tante más entre las de ascendencia europea. Segúnvarios estudios —cuyos resultados no están exen-tos, en absoluto, de controversia—, los negrosnorteamericanos responden peor que otros gru-pos a determinados fármacos indicados en car-diopatías.




I L U S T R A C I O N E S F

O T O G R A F I C A S D

E N

A N C Y B

U R S O N



En los últimos años se han acu-mulado datos sobre la constitucióngenética de poblaciones de todo elmundo, con la mira puesta en la po-sible relación entre la herencia ylas pautas de alguna enfermedad.Estos datos aportan respuestas adiversas cuestiones, muy sensiblesy delicadas. Así ¿podemos apelara la información genética para se-parar grupos humanos que compar-ten una herencia común y asignarindividuos concretos a uno u otrogrupo? ¿Se corresponden tales gru-pos con las descripciones habitua-les de las razas? Desde un puntode vista práctico, las divisiones, sebasen en las definiciones racialesordinarias o en el parecido gené-tico, ¿nos enseñan algo útil acercade cómo afectan las enfermedadeso los fármacos a los miembros de

cada grupo?En general, cabría contestar de

manera afirmativa a la primera cues-tión, negativa a la pregunta segunday con un sí matizado a la tercera.Para ello nos basamos en algunasgeneralizaciones sobre raza y gené-tica. Hay grupos que difieren deotros en su contenido génico, perola división en grupos depende delos genes que se examinen. Dichode manera simplista: uno puede que-dar incluido en un grupo conformea los genes responsables del colorde la piel y en otro si atendemos auna característica distinta. Muchosestudios han demostrado que alre-dedor del 90% de la variabilidadgenética humana ocurre en el senode una población que vive en undeterminado continente; sólo entorno al 10 % de la variabilidad dis-tingue a las poblaciones de conti-nentes diferentes. En otras palabras,

los individuos de poblaciones di-versas son, en promedio, sólo unpoco más diferentes que los indi-viduos de una misma población. Laspoblaciones humanas guardan unaestrecha semejanza, si bien puedendistinguirse.

Clasificaciónde los seres humanos

Como primer paso para unir lasdefiniciones sociales de raza

y de herencia genética, se necesitauna forma fiable de dividir gruposde acuerdo con su linaje. Durantelos últimos 100.000 años, los hom-bres anatómicamente modernos emi-graron desde Africa hacia todas laspartes del mundo e incrementaron

muchísimo su número. Esta expan-sión ha dejado una clara huella ennuestro ADN.

Para determinar el grado de pa-rentesco entre grupos, los genéti-cos se basan en polimorfismos delADN; en particular, los relativos alas secuencias de pares de bases quecomponen los bloques de ADN. Lamayoría de estos polimorfismos noaparecen en los genes, segmentosde ADN que codifican la informa-ción para la síntesis de proteínas(las moléculas que constituyen granparte de nuestro organismo y man-tienen las reacciones químicas dela vida). Se trata, pues, de varia-ciones neutras, en el sentido de queno afectan directamente a ningúnrasgo particular. No obstante, sí hayalgunos polimorfismos en los ge-nes; pueden contribuir a la variabi-lidad de rasgos y de enfermedadesgenéticas de un individuo a otro.

Al secuenciarse el genoma hu-mano (todo el ADN nuclear), se hanidentificado millones de polimor-fismos, cuya distribución en las po-blaciones refleja la historia de és-tas y los efectos de la selecciónnatural. Para distinguir entre gru-pos, el polimorfismo genético idealsería uno que estuviera presente entodos los miembros de un grupo yausente en los miembros de los gru-pos restantes. Pero los principales

grupos humanos se han separado en-tre sí muy recientemente, para mez-clarse luego en alto grado. No exis-ten, pues, grandes diferencias entreellos.

Con todo, las diferentes frecuen-cias con que aparecen los polimor-fismos por el mundo sirven para cla-sificar a las personas, de maneraaproximada, en grupos. Un poli-morfismo útil lo constituye el Alu,cortos segmentos de ADN de se-cuencia afín. De cuando en cuandolos Alu se replican; las copias re-sultantes se reparten al azar en unanueva posición, dentro del cromo-soma original o en otro cromosoma;por lo normal, en una parte dondeno afecten al funcionamiento delos genes. Cada inserción constituyeun episodio único. En cuanto la se-cuencia Alu se ha insertado en unlugar, puede permanecer ahí durantemiríadas de años; se hereda en esesitio de padres a hijos. Por tanto,si dos personas presentan la mismasecuencia Alu en un mismo punto

del genoma, se deduce que tienenun antepasado común, que les donóese segmento específico de ADN.

Uno de los autores (Bamshad),con Lynn B. Jorde, Stephen Woodingy W. Scott Watkins, de la Univer-sidad de Utah, y con Mark A. Batzer,de la Universidad de Louisiana, es-tudió 100 polimorfismos Alu dife-rentes en 565 personas nacidas enel Africa subsahariana, Asia y Euro-pa. Empezamos por determinar lapresencia o ausencia de los 100 Alu


MICHAEL J. BAMSHAD Y STEVEE. OLSON han llegado a la variabi-lidad genética humana desde lados dis-tintos. Bamshad es genético de la fa-cultad de medicina de la Universidadde Utah; Olson, escritor científico.

Los autores

Resumen / Genética de la “raza”■ Los signos externos en que se basan la mayoría de las definicionesde raza (el color de la piel, la textura del pelo) están determinadospor unos pocos genes. Pero el resto del genoma de dos personasde la misma “raza” varía en sumo grado. A la inversa, la semejanzagenética puede ser mayor entre dos personas de diferentes “razas”que entre un par de individuos de la misma “raza”.

■ Pese a ello, cabe recurrir a la genética para clasificar la mayoría delas poblaciones según su origen geográfico ancestral. Este enfoqueno ofrece tan buenos resultados cuando las poblaciones actualesproceden de la mezcla reciente de diferentes grupos.

■ Las implicaciones médicas de las diferencias genéticas raciales siguensiendo objeto de controversia.



en cada individuo. De los datos ob-

tenidos, eliminamos luego las seña-les identificadoras (lugar de origeny grupo étnico), para clasificar alas personas en grupos de acuerdocon un solo criterio: la informacióngenética.

Se crearon así cuatro grupos dis-tintos. Cuando restituíamos las eti-quetas de identificación para ver sila asignación de cada individuo aun grupo guardaba correlación conlas designaciones habituales de razao etnia, observamos que dos de los

grupos contaban sólo con individuos

del Africa subsahariana; uno de ellosestaba constituido nada más que porpigmeos mbuti. El tercer grupo loconformaban individuos proceden-tes de Europa; de Asia oriental, elcuarto. Resultó que necesitábamos60 polimorfismos Alu para asignar,con un 90 % de seguridad, a los in-dividuos a su continente de origen;para alcanzar casi el 100 % de se-guridad, se requerían unos 100 Alu.

Se han obtenido resultados simi-lares en otras investigaciones. Noah

A. Rosenberg y Jonathan K. Prit-

chard, por entonces en el laborato-rio de Marcus W. Feldman, de laUniversidad de Stanford, se valie-ron de unos 375 polimorfismos STR(“short tandem repeats”, “repeti-ciones seriadas cortas”) para abor-dar un millar largo de personas de52 grupos étnicos de Africa, Asia,Europa y América. De acuerdo conla variación de sus frecuencias, dis-tinguieron cinco grupos diferentes,cuyos antepasados quedaron sepa-rados por océanos, desiertos o mon-


AFRICANOS

SUBSAHARIANOS

95 % Alu del cromosoma 1


ASIATICOS



(10% ambos)

DIVERSIDAD GENETICA HUMANASUELEN UTILIZARSE UNOS SEGMENTOS CORTOS

de ADN, los polimorfismos Alu, para determinar si va-rias poblaciones están emparentadas entre sí. Aunquecarecen de función conocida, los Alu se copian e in-sertan de manera aleatoria por el genoma. Como losAlu que se insertan se mantienen invariables, sus pa-

trones sirven de marcadores para estimar el grado deparentesco genético entre dos personas (y como pro-medio, dos poblaciones). En el cromosoma 1 se ha ob-servado cierto polimorfismo Alu en el 95 % de los afri-canos subsaharianos, el 75 % de los europeos y

norteafricanos y el 60% de los asiáticos; mientras quealrededor del 5% de los subsaharianos, el 50 % de loseuropeos y norteafricanos y el 50 % de los asiáticosportan otro polimorfismo Alu diferente en el cromoso-ma 7. Algunos individuos tienen ambos. Por sí solo,ningún polimorfismo permite distinguir a todos los

miembros de un grupo importante humano de todoslos miembros de otro grupo; ahora bien, si se analizancientos de polimorfismos, resulta posible agrupar indivi-duos procedentes de distintas áreas geográficas a par-tir de sus perfiles genéticos.

EUROPEOS

Y NORTEAFRICANOS



(25% ambos)

Alu del cromosoma 1

Alu del cromosoma 7

Los dos tipos de Alu

N A D I A S

T R A S S E R



tañas: subsaharianos, europeos yasiáticos del oeste de los Himalayas,asiáticos del este, habitantes de Nue-va Guinea y Melanesia y, por fin,amerindios. Identificaron tambiénsubgrupos dentro de cada región;solían concordar con la etnia quese había asignado a sí misma cadaindividuo.

Estos estudios demuestran que losanálisis genéticos pueden distin-guir grupos de personas según suorigen geográfico. Sin embargo, hande interpretarse con mucho cuidado.Los grupos que menos costaba sin-gularizar eran los más separados geo-gráficamente; presentaban la mayorvariabilidad genética intergrupal.Cuando Bamshad y sus colabora-dores utilizaron 100 polimorfismos Alu para encuadrar en un grupo pro-pio a los individuos del sur de la

India, vieron que mostraban mayorafinidad con los europeos o con losasiáticos. En otras palabras, los ha-bitantes del subcontinente indio con-formaban un grupo genuino, sinoque se repartían por otros grupos.

Se debe a que la India ha conocidoun flujo genético europeo y asiá-tico. Por consiguiente, tenemos quebarajar cientos (o quizá miles) depolimorfismos para distinguir entregrupos cuyos antepasados hayan pro-cedido de muchas poblaciones.

La raza humanaCabe, pues, agrupar, en términos

muy generales, a las personasgracias a los datos genéticos. Pero,¿concuerdan las razas, conforme asu definición ordinaria, con agru-paciones genéticas? En algunos ca-sos sí, pero frecuentemente no. Porejemplo, el color de la piel o losrasgos faciales —caracteres influi-dos por la selección natural— seemplean de forma rutinaria para di-

vidir a la humanidad en razas. Sinembargo, grupos a los que la se-lección natural ha dotado de carac-terísticas físicas similares puedenexhibir bastantes diferencias gené-ticas. Los individuos del Africa sub-

sahariana y los aborígenes austra-lianos tendrán una pigmentación depiel similar (por su adaptación a lafuerte insolación), pero divergenen su constitución genética.

En cambio, dos grupos genética-mente similares pueden hallarse ex-puestos a una presión de seleccióndistinta. En este caso, la selecciónnatural exagerará algunas diferen-cias entre los grupos, de manera quea simple vista parezcan más dese-mejantes de lo que en realidad son.Puesto que el color de piel y otrosrasgos vienen condicionados por laselección natural, no reflejan nece-sariamente los procesos poblacio-nales que han ido conformando ladistribución de polimorfismos neu-tros ( Alu o STR). Más aún, los ras-gos o polimorfismos afectados porla selección natural tal vez sean ma-

los indicadores de la pertenenciade un individuo a un grupo gené-tico; quizá den a entender una re-lación de parentesco genético dondeapenas existe.

Otro ejemplo de la dificultad queentraña cualquier clasificación delas personas nos lo ofrecen los es-tadounidenses. Allí, la mayoría delas personas que se consideran afro-americanas tienen unos antepasadosbastante recientes en Africa occi-dental; los naturales de esa regiónexhiben en general unas frecuenciaspolimórficas que difieren de las deeuropeos, asiáticos y aborígenes nor-teamericanos. Sin embargo, la pro-porción de variación genética quecomparten afroamericanos y africa-nos occidentales dista de ser uni-forme, ya que durante siglos losafroamericanos se han mezclado congrupos originarios de otras partesde Africa y de fuera de Africa.

En los últimos años, Mark D.Shriver, de la Universidad estatal dePennsylvania, y Rick A. Kittles, de

la Universidad Howard, han defi-nido un conjunto de polimorfismospara evaluar, con él, la fracción delos genes de un individuo origi-nada en cada región del continente.Han encontrado que la contribu-ción de los africanos occidentalesal patrimonio génico de los afroa-mericanos es, en promedio, de un80 %, aunque oscila entre el 20 %y el 100 %. La mezcla de gruposqueda clara también en muchos in-dividuos cuyo linaje suponen ex-


LAS ILUSTRACIONESDEBEMOS A NANCY BURSON, artista neoyorquina, las fotografíasalteradas que ilustran este artículo. Para su creación se ha servidode un dispositivo de su invención, al que llama “máquina de las razas

humanas”. La máquina toma una fotografía de un individuo (en estecaso una mujer blanca) y añade o quita diversos rasgos externos dela identidad racial; se muestra así qué aspecto tendría si perteneciesea otra raza. Se propone así subrayar lo que de común tiene la huma-nidad. El aspecto externo dice poco de la constitución genética globalde una persona. La máquina de las razas humanas fue una de lasatracciones más populares del Domo del Milenio, en Londres.

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clusivamente europeo. Según loscálculos de Shriver, un 30 % de losestadounidenses que se considerana sí mismos “blancos” tiene menosdel 90 % de ascendencia europea.Por tanto, la autoasignación de an-tepasados no predice con fiabilidadla composición genética de un grannúmero de estadounidenses. En re-sumen, el concepto habitual de razano siempre refleja la composicióngenética de los individuos.

Efectos de la pertenenciaa un grupo

La relación entre raza y variabi-lidad genética tiene importan-

tes aplicaciones de orden aplicado.Hay polimorfismos cuyas frecuen-cias difieren de un grupo a otro queoperan efectos específicos en la sa-lud. Las mutaciones responsables dela anemia falciforme y ciertos ca-sos de fibrosis quística son el re-sultado de cambios genéticos cuya

frecuencia parece haber aumentadogracias a que protegían de enfer-medades arraigadas en Africa yEuropa. Los individuos que here-dan una sola copia del gen de la ane-mia falciforme presentan resisten-cia a la malaria; los que heredanuna sola copia del gen de la fibro-sis quística están menos expuestosa la deshidratación producida por elcólera. Los síntomas de esas dosenfermedades genéticas sólo se ma-nifiestan en los individuos que hanheredado dos copias de la mutación(una del padre y otra de la madre).

La variabilidad genética intervienetambién en la susceptibilidad indi-vidual a uno de los flagelos de nues-tra época: el sida. Hay quienes tie-nen una pequeña deleción en susdos genes homólogos —las dos co-pias del gen— que codifican el re-ceptor de quimiocina 5 (CCR5). Esosindividuos no producen receptoresCCR5 en la superficie de sus célu-las. La mayoría de las cepas del vi-rus del sida (VIH-1) se unen a losreceptores CCR5 para entrar en las

células; por eso, quienes carecende tales receptores resisten la in-fección del virus del sida. Este po-limorfismo del gen del receptorCCR5 se encuentra, casi exclusiva-mente, en grupos procedentes delnordeste de Europa.

Diversos polimorfismos de CCR5no evitan la infección, pero modi-fican la frecuencia con que su cursoderiva hacia el sida y la muerte.De éstos, algunos ejercen efectos si-milares en poblaciones diferentes;otros sólo alteran la velocidad dela progresión de la enfermedad en

grupos determinados. Por ejemplo,uno de los polimorfismos se asociaa la propensión a ralentizar la en-fermedad en los europeo-america-nos, pero la acelera en los afroa-mericanos. Sólo resultará posibleestudiar tales efectos, específicos depoblaciones, y aprovecharlos con fi-nes terapéuticos, si nos permiten dis-tribuir a la gente en grupos.

En estos y otros ejemplos un po-limorfismo repercute, de maneraapreciable en el curso de una pa-


Europeos o de Oriente Medio

Africanos

AAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAG

AAAGAAAGAAAG AAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAGAAAG

Porta entre dos y tresunidades de repetición:

de probable linaje africano

Porta entre 6 y 8unidades de repetición:de probable linajeeuropeo o mesooriental

Número de repeticiones en un cromosoma

N ú m e r o r e l a t i v o d e p o r t a d o

r e s

Cromosoma heredado de la madre

Cromosoma heredado del padre

2 3 4 5 6 7 8

Unidad

de repetición

ADN

LOS ORIGENES HUMANOSCONTAR EL NUMERO DE CIERTAS UNIDADES deADN, las repeticiones seriadas cortas, permite agru-par a los individuos según sus probables ancestros.Una de esas repeticiones, AAAG, se encuentraseriada entre dos y siete veces en quienes cuentancon herencia africana, y entre cinco y ocho en los in-

dividuos cuyo linaje procede de Europa o de OrienteMedio. (Cada persona hereda un conjunto de repeti-

ciones de su madre y otra de su padre.) Por ello, esprobable que quien porte dos o tres repeticiones per-tenezca a un linaje africano, mientras que alguien quepresente de seis a ocho repeticiones probablementetendrá ancestros de Europa o de Oriente Medio.Individuos con cinco, seis o siete repeticiones existen

en ambas poblaciones; con sólo AAAG, no resultaríafácil clasificarlos.

N A D I A S

T R A S S E R



tología dada. Si los rastreos gené-ticos fuesen baratos y eficaces, sepodría analizar a todos los indivi-duos en busca de todas las varian-tes génicas asociadas a enfermeda-des. Pero las pruebas genéticas soncaras. Además, preocupa lo que su-pondrían para el libre consentimientoy la privacidad los análisis genéti-cos generalizados; algunas personasquizá no deseen saber si tienen fac-tores genéticos que incrementan elriesgo de desarrollar una cierta en-fermedad. Hasta que estas cuestio-nes no encuentren soluciones satis-factorias, la pertenencia a un linaje,manifestada por el propio paciente,seguirá siendo un método de diagnós-tico potencialmente útil.

La información acerca del linajepodría también ser pertinente paraciertas patologías extendidas en de-

terminadas poblaciones. Las más co-munes, como la hipertensión y ladiabetes, se deben a polimorfismosde genes diversos, cada uno con supequeña influencia. Parece, se sabedesde hace poco, que hay polimor-fismos que causan un determinadoefecto en un grupo y no en otro. Se-mejante complejidad impediría quese les tomara como guía terapéutica.Hasta que no se conozcan con exac-titud las contribuciones genéticas yambientales a las enfermedades com-plejas (poligénicas), los médicostendrán que fiarse de la autoinclu-sión de los pacientes en un grupou otro a la hora de escoger el mejor tratamiento para las mismas.

Raza y medicina

En estos años se ha debatido conespecial intensidad qué impor-

tancia pueda tener, en el marco dela administración sanitaria, la per-tenencia a un grupo concreto. En

enero del año pasado la Agencia deAlimentación y Fármacos de EstadosUnidos dictó unas directrices queobligaban a tomar nota de la raza yla etnia en todos los ensayos clíni-cos. Algunos investigadores objeta-ron tal medida, basándose en que lasdiferencias entre los grupos son tanpequeñas y los abusos históricos aso-ciados a la clasificación de los se-res humanos en razas tan grandes,que lo mejor sería que no se mez-clasen las cuestiones raciales con los

estudios médicos y genéticos. LaAgencia, pues, debería retirar su re-comendación e impulsar, en cambio,la toma de datos genómicos de losindividuos que participen en ensa-yos clínicos. Otros sostienen, por elcontrario, que sólo gracias al grupoétnico, aunque se defina de la ma-nera más simple, por el color de lapiel, cabe comprender cómo contri-buyen a la patología las diferenciasgenéticas y ambientales entre gru-pos. Este debate sólo se resolverácon investigaciones más exhaustivassobre la validez de la “raza” comovariable científica.

En el número del 20 de marzo de2003, la revista New England Journalof Medicine publicó varios artícu-los, desde ópticas contrapuestas, so-bre las implicaciones médicas de lanoción de raza. En el artículo fir-

mado por Richard S. Cooper, de lafacultad Stritch de medicina de laUniversidad Loyola, Jay S. Kaufman,de la Universidad de Carolina enChapel Hill, y Ryk Ward, de laUniversidad de Oxford, se razonabaque la raza no ofrecía a los médi-cos un criterio adecuado cuando setrata de elegir un medicamento paraun paciente dado. Señalaban doshallazgos relativos a las diferenciasraciales que ahora parecen dudo-sos: 1) que una combinación de cier-tos medicamentos vasodilatadoresera más efectiva en el tratamientode los fallos cardíacos de pacientescon antepasados africanos, y 2) quelos inhibidores de la enzima con-versora de angiotensina (ACE) re-sultaban poco eficaces en ese mismotipo de pacientes. En otro artículo,el equipo dirigido por Neil Risch,de la Universidad de Stanford, con-traargüía que las diferencias gené-ticas entre grupos étnicos o racialestienen importancia clínica; estosautores citaban un estudio que de-

mostraba que la tasa de complica-ciones de la diabetes tipo II varíasegún la raza, incluso una vez se hantenido en cuenta los factores socia-les (las diferencias de educación ode ingresos, por ejemplo).

La viveza de esta discusión refleja factores científicos y sociales porigual. Muchos estudios biomédicosno han definido rigurosamente el cri-terio de pertenencia a un grupo; selimitan a inferir relaciones a partirde las categorías raciales. La dispu-

ta sobre la importancia que tiene lapertenencia a un grupo étnico ilus-tra, además, hasta qué punto las pers-pectivas sociales y políticas mol-dean la percepción de la “raza”.

En los casos donde la pertenen-cia a un grupo definido cultural ogeográficamente se ha correlacio-nado con caracteres genéticos aso-ciados a la salud, saber acerca dela pertenencia de un paciente a undeterminado grupo podría servir deayuda al médico. Y en la medidaen que los grupos humanos vivenen diferentes ambientes o padecendiferentes experiencias que afectena la salud, la pertenencia a un gruporeflejará también factores que, aun-que no sean genéticos, cuentan desdeun punto de vista clínico.

Aparte de las implicaciones mé-dicas de la genética de la raza, los

hallazgos científicos que hemos co-mentado aquí revisten interés porsí mismos. Desde hace siglos noshemos preguntado de dónde proce-den los diferentes grupos humanosy qué parentescos hay entre ellos,por qué varía la apariencia físicade unas poblaciones humanas a otrasy si las diferencias biológicas sonmás profundas que la piel. Los nue-vos datos genéticos y los nuevosmétodos de análisis nos permitenahora abordar estas cuestiones. Elresultado será un conocimiento mu-cho mayor tanto de nuestra natura-leza biológica como de la interco-nexión humana.


MAPPING HUMAN HISTORY: GENES,RACE, AND OUR COMMON ORIGINS.Steve Olson. Mariner Books, 2003.

HUMAN POPULATION GENETIC STRUC-TU RE AN D INFERENCE OF A GROUP

MEMBERSHIP. Michael J. Bamshadet al. en American Journal of Hu-

man Genetics, vol. 72, n.o 3, págs.578-589; marzo, 2003.

THE IMPORTANCE OF RACE AND ETH-NIC BACKGROUND IN BIOMEDICAL

RESEARCH AND CLINICAL PRACTI-CE. Esteban González Burchard etal. en New England Journal of Me-dicine, vol. 348, n.o 12, págs. 1170-1175; 20 de marzo, 2003.

RACE AND GENOMICS . Richard S.Cooper, Jay S. Kaufman y Ryk Warden New England Journal of Medi-cine, vol. 348, n.o 12, págs. 1166-1170; 20 de marzo, 2003.

Bibliografía complementaria




El cerebro es geómetra notable. Resuelve, pormétodos misteriosos todavía, los problemasde geometría que plantea la comprensión delas formas y las relaciones espaciales. Lo

hace automáticamente, con la rapidez delrayo, sin que nos percatemos del trabajo lle-

vado a cabo. Su capacidad para apreciar defectos ín-fimos de alineación y de paralelismo, o diminutas va-riaciones de longitud y curvatura, resulta excelente.En tareas de comparación, alcanza sensibilidades deluno por ciento en la apreciación de discrepancias eincluso mejores.

Junto a este nivel de exigencia geométrica, la per-cepción visual da pruebas de una flexibilidad muy no-table. En la lectura, por ejemplo, el cerebro disciernelos trazos de un texto manuscrito entre la multitud desus variantes y nos permite reconocer un rostro a pe-sar del sinfín de sus expresiones o de sus alteracionespor la edad.

La visión adquiere las informaciones geométricas pormúltiples vías. Cuando nos desplazamos, la imagendel mundo exterior que se proyecta en la retina se mo-difica. El cuerpo avanza, la cabeza sube y baja conrespecto al cuerpo, los ojos efectúan movimientos ex-ploratorios. Ciertos elementos de la escena se mueventambién. Nos será necesario deducir, a partir de estariada de información óptica, en qué dirección nos mo-vemos, determinar qué elementos del ambiente se en-cuentran fijos y cuáles en movimiento, comprender sudisposición geométrica e identificar las formas. Lamisma escena, fijada en un fotograma, obedecería a

las leyes de la perspectiva lineal, pero nada obliga alcerebro a extraer del flujo visual representaciones queobedezcan a las leyes de la perspectiva, lo cual, porcierto, no realiza: ¡tiene otras prioridades!

Mecanismos de corrección

En primer lugar, como ocurre también en el caso delcontraste, nuestra representación de lo real busca

hacernos captar las propiedades permanentes de las co-sas, más que su aspecto momentáneo. Aunque inclineusted la página que está leyendo, aun cuando la incline

mucho, los caracteres conservan su forma y su legibi-lidad, a pesar de que la proyección sobre la retina haexperimentado compresiones enormes. El cerebro, sinaparente esfuerzo, ha efectuado las anamorfosis inver-

sas con el fin de restituir a las letras su forma habitual.Las líneas paralelas (por ejemplo, las líneas de se-

paración de los ladrillos de un muro), vistas bajo una

Ilusiones geométricasLas distintas prioridades que el cerebro gestiona engendran una multitud

de ilusiones geométricas. La observación nos las hace “ver”y la imaginación nos incita a crearlas

Jacques Ninio

1. SOMBRAS Y RELIEVE. El motivo repetido de esta figura, am-

pliado en el centro, corresponde a esos botones que, en las pan-tallas de ordenador, remedan una superficie resaltada o hundida,en la que se inscribe una opción. El motivo se ha reproducido, muyampliado, en el centro. El relieve se invierte al girar la página 180grados. Si partimos de lo alto, y hacemos el recorrido de los mo-tivos de las dos coronas, por la derecha o por la izquierda, llegaun momento en que la interpretación bascula: el resalte se tornaen hueco, o recíprocamente. Podemos entonces volver hacia loalto, “pensando ver” en hueco el mayor tiempo posible. Se com-prueba igualmente que un mismo botón es susceptible de ser juz-gado como depresión o como resalte. El prejuicio del cerebro res-pecto a la posición de la fuente de luz responsable de las luces ylas sombras no es, pues, demasiado estricto. J

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fuerte inclinación (y, en especial, envisión lateral), deberían, en pers-pectiva, converger fuertemente.Ahora bien, el hecho mismo de “veren profundidad” equivale a des-comprimir, a devolver a las cosasel espacio, a tornar un poco menosconvergentes las proyecciones delas líneas paralelas.

La búsqueda de propiedades per-manentes se aplica igualmente al ta-maño de los objetos. El rostro dela persona sentada frente a nosotros,a un metro de distancia, parece te-ner el mismo tamaño que el de otraa dos metros. Sin embargo, en laproyección sobre la retina, el se-gundo de estos rostros ocupa unasuperficie cuatro veces menor queel primero. La percepción nos pro-porciona, pues, una representaciónretocada, en la que el tamaño apa-

rente de los objetos varía poco consu lejanía, al menos hasta varios me-tros de distancia.

Tales compensaciones se aplicansobre todo en el plano horizontal,no tanto en la dirección vertical: vis-tos desde un balcón, los paseantesparecen menores de lo que serían

2. ESPIRAL DE FRASER. En la figura su-perior, los arcos blancos adyacentes a losarcos negros parecen arrollarse en espi-ral; sin embargo, forman parte de círcu-los concéntricos. El efecto ilusorio quedaamortiguado, si no eliminado, en la partede abajo. La diferencia entre ambas fi-guras es sutil: en la superior, los arcosblancos pasan a través de cuadrados os-curos, de color azul marino, mientras que,abajo, lo hacen a través de cuadrados másclaros, de color amarillo. En la de arriba,el cerebro diferenciaría los arcos blancosde los negros; trataría estos dos conjun-tos por separado. En la de abajo, los ar-cos blancos y los negros, que tienen me-nor contraste con los cuadrados que

atraviesan, se tratarían conjuntamente y,en consecuencia, agrupados en coronascirculares. La problemática de la coope-ración o de la separación del blanco y delnegro, o de lo claro y lo oscuro, importatambién en los cuadrados de fondo. Seorganizan éstos en arcos, en los que, porejemplo, los cuadrados oscuros, de colorazul marino, quedan adosados por sus la-dos a cuadrados intermedios, rojos. Laorganización radial, que asociaría los cua-drados por sus vértices, no se percibe,pese a ser perfecta. J

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INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2004




vistos a su nivel, en la calle, desdela misma distancia. De esta consta-tación resulta la práctica que con-siste en exagerar, en las esculturasmonumentales, las partes más ele-vadas de las estatuas; en cambio,nunca se siente la necesidad decompensar en sentido horizontal lasdeformaciones provocadas por laperspectiva. Al contrario que lostamaños, las orientaciones quedanbien compensadas en el sentido ver-tical: las aristas verticales de losinmuebles no parecen converger ha-cia lo alto, mostrando incluso ten-dencia a separarse, mientras que enlas fotografías su convergencia re-sulta manifiesta.

La corrección de tamaños en fun-ción de la distancia comienza a plan-tear problemas cuando la evaluaciónde las distancias se torna errónea.

El pajarillo que vuela en la niebla,el roedor que atraviesa de noche lacarretera, observados brevemente através del parabrisas de un au-tomóvil, se agrandan desmesurada-mente. Cuando la Luna está a pocaaltura sobre el horizonte suele pa-recer muy grande, sobre todo sihay una ligera bruma. Nada tieneen ello que ver la óptica: se tratade una ilusión visual. La Luna seríatratada como un objeto situado adistancia finita. Diversos indicios(sobre los cuales debaten los espe-cialistas) intervendrían sobre estadistancia implícita, y por conse-cuencia, sobre el factor de correc-ción del tamaño que nosotros atri-buimos. A mi entender, en estailusión lo esencial es que, de todos

modos, las compensaciones de ta-maño intervienen mucho menos en

el sentido vertical que sobre el planohorizontal. La ilusión resultaría ental caso idéntica a la que se pro-duce cuando se ve a unas personasen un balcón, que parecen más pe-queñas que vistas a la misma dis-tancia en un plano horizontal.

También resulta corregido otro as-pecto no realista de la perspectiva.Pensemos en la fachada rectangu-lar de un inmueble, muy alargadoen sentido horizontal, visto de frente.

En un dibujo en perspectiva, la basey la cornisa de la fachada se re-

presentan mediante líneas horizon-tales; el contorno del inmueble esrectangular. Ahora bien, si el deli-neante evalúa las proporciones delinmueble por el método del lápiz(estirando el brazo en dirección alobjeto con un lápiz en la mano ydeterminando qué porción del lápizrecubre la parte cuyo tamaño apa-rente desea conocer), constatará quela altura aparente del inmueble esmayor en el centro, donde la dis-

3. APLANAMIENTO DE LOS ARCOS PEQUEÑOS. Los tres arcos de la figura a se han

extraído de un mismo círculo. Sin embargo, cuanto más corto es el arco, más planoparece, un efecto que figura en el repertorio de ilusiones geométricas. Por otra parte,lo que denominamos forma de una figura designa un carácter que no depende de la am-pliación: un círculo es siempre igual de circular, tanto si su radio es grande como sies pequeño. Los dos arcos de la figura b, homotéticos, tienen la misma forma y radiosdiferentes, mientras que los de la figura a no son homotéticos; constituyen dos frag-mentos diferentes de un mismo círculo, al igual que los fragmentos de un mismo polí-gono que vemos en c. Los arcos, con independencia de su tamaño, tienden a parecerdemasiado planos, como se observa en la figura d , en la que tres arcos, pertenecien-tes al mismo círculo, parecen formar parte de un círculo mayor venido a menos.

a b c d

4. ¿QUE ES ESTO? Este dibujo, publicadoen La Nature en 1890, muestra una “mar-mita de erizos” en una roca litoral. Enrealidad, el dibujo, que representa la rocaen sección, se ha girado 180 grados. Según

que examinemos la hoja al derecho o alrevés, el dibujo parece en hueco o en re-salte. La interpretación que debió desearel dibujante en el grabado original casamal con la versión invertida. En el dibujoen corte, uno imagina que la parte tra-sera de la marmita se continúa en laspartes laterales, visibles. En la imageninvertida, las partes visibles se convier-ten en bloques separados. Un mecanismode completación debería inducirnos a pen-sar en una superficie envolvente por de-lante del plano de corte. J

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5. ANISOTROPIAS. Las dos figuras son iguales, pero lade la derecha parece mayor: nos hallamos ante la “ilusión

del cuadrado y de la loseta” (square/diamond , eninglés). Se trata de una ilusión atípica, mal com-

prendida; se halla aquí un tanto exagerada porno equivalencia de la ubicación de las dos

figuras (la de la derecha “apunta” haciala de la izquierda). Se manifiesta asi-

mismo un efecto, más sutil, de rea-grupamiento en franjas de los cua-

drados pequeños. A la izquierda, loscuadrados parecen organizados en fran-

jas horizontales y verticales. Un cuadraditonegro está asociado, en una franja, a dos cua-

drados blancos, con los que contacta por dos desus lados. A la derecha, la organización sigue siendo

por verticales u horizontales, pero se trata de alineacio-nes de cuadrados negros o de alineaciones de cuadradosblancos conectados por sus vértices.

6. INCERTIDUMBRE DE ORIENTACION. La ilusión de Münsterberg,a, data de 1897; anterior, pues, a la espiral de Fraser descu-bierta en 1908. Las líneas grises, de mortero, que separan losladrillos, son todas ellas paralelas, pero no lo parecen. Al igualque en la espiral de Fraser, la percepción de la orientación pa-rece depender del contraste con el ambiente local. Arriba y ala derecha, b, las diagonales grises parecen doblarse en senti-dos opuestos, según que atraviesen a los cuadrados de bandasverticales o a los de bandas horizontales (conviene examinar lafigura de arriba abajo para apreciar mejor la diferencia). Muchoslectores serán igualmente sensibles a un segundo efecto, inde-pendiente del primero: uno de los sistemas de bandas parece

tener fuerte contraste, mientras que los cuadrados del otro sis-tema presentan un aspecto desvaído. El carácter ilusorio de es-tas diferencias de contraste se comprueba girando la página90 grados. Abajo a la izquierda, c, el cuadrado texturado pa-rece hallarse inclinado. De forma general, las rectas paralelasque inciden en otra formando un ángulo pequeño (alrededor de22 grados) hacen que esta última pivote en el sentido de aumen-tar el ángulo de incidencia. Abajo a la derecha, d , vemos orga-nizarse alineaciones que forman un ángulo pequeño con la ho-rizontal, asociando elementos alargados, alternativamente blancosy negros. Estas bandas parecen ondulantes, pese a ser com-pletamente rectas. J

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a

c d

b




tancia es mínima, que en las extre-midades, más lejanas.

De atender a esta lógica, que esla de la perspectiva curvilínea, undibujo realista daría al inmueble unaspecto ovalado, no rectangular. Laperspectiva rectilínea corresponde auna visión “fotográfica”, en la queel ojo permanece fijo e inmóvil. Laperspectiva curvilínea corresponde

a una toma móvil, en la que el ojose vuelve sucesivamente hacia cadaporción que ha de ser evaluada.

La obtención de una adecuada re-presentación perceptiva del espacioy de las formas es, así pues, muchomás delicada de lo que comúnmentese cree. En ocasiones vemos una ilu-sión donde sólo hay una deficientedestreza en el análisis de formas(véase la figura 3a). Las ilusionesgeométricas no son aberraciones dela visión, sino, más bien indicios deuna geometría perceptiva efectuadaa instancia nuestra por conjuntos deneuronas cerebrales.

Además de las ilusiones asocia-das a la percepción del tamaño, exa-minaremos las ilusiones de orien-tación y las nacidas de la proyecciónde una figura del espacio sobre undibujo. Trataremos, por último, deexplicar algunos de los principiosque sustentan estas ilusiones, cuyoestudio revela algunos procesos neu-ronales que participan en nuestrapercepción.

Inversiones

Desde el siglo XV los pintores hanlogrado crear excelentes efec-

tos de volumen plasmando reflejossobre metal, vidrio o madera bar-nizada, mediante la delicada gra-dación de sombras y luces sobre lapiel de sus personajes. En nuestrosdías, los infografistas disponen deútiles que calculan los reflejos y

las sombras en función de las fuen-tes de luz primarias y secundarias.Tanto el éxito de los procedimien-tos antiguos como el de los más re-cientes implican que el cerebro“sabe” suficiente geometría pararesolver el problema inverso: la ex-tracción de la forma de los objetosa partir de los indicios que propor-cionan las luces y las sombras. Una

de las dificultades que esta tareaentraña es que, a menudo, las imá-genes no hacen figurar las fuentesluminosas, cuya posición no se co-noce bien.

La relativa claridad de una por-ción de superficie indica que se en-cuentra próxima de la fuente de luzo que se halla orientada de tal modoque encamina la luz hacia el ojodel observador, salvo que se trate

de una variación local del color o

de la reflectancia de la propia su-perficie.

Una sombra yacente sobre una su-perficie denota, por ejemplo, la pre-sencia de otra superficie que se in-terpone entre la primera y la fuentede luz. Las sombras sirven, así, paradotar de profundidad a las superfi-cies. En esta operación, el cerebroconjetura la dirección de la fuentede luz: la sitúa hacia lo alto de la

7. INTERPRETACION PERSPECTIVISTA de las ilusiones geométricas. Este grabado, pu-blicado en La Nature del 18 de enero de 1896, iba acompañado del siguiente comen-tario de Emile Javal: “Nos resultaría difícil creer que las líneas ab y cd son perfec-tamente iguales, porque sabemos perfectamente que el armario tiene menor altura quela habitación.” Las líneas ab y cd , completadas por los rincones y esquinas en las queconcluyen, forman configuraciones del tipo Müller-Lyer. La disposición en cola de fle-cha salientes en los extremos de ab tropieza con líneas verticales lejanas, mientrasque la disposición que rodea a cd se observa, sobre todo, en objetos cercanos. Deaquí la explicación perspectivista: tenemos la costumbre de estimar más largas las lí-neas semejantes a ab y, menos largas las líneas como la cd “y seguimos conservandoeste hábito cuando ya no existe su razón de ser”.

8. LAS MESAS DE SHEPARD. Los tableros de ambas mesas, y sus enlosados, admi-ten una superposición exacta. En una interpretación perspectivista, la mesa de la de-recha es más ancha y la de la izquierda, más larga, porque nosotros imaginamos queestán representadas en profundidad. La impresión de divergencia hacia el fondo de laimagen se justifica por el deseo de agrandar lo lejano. Al dar la vuelta a la página,las mesas se tornan divergentes hacia abajo, como si, estando suspendidas del techo,fueran sus partes bajas en el dibujo las más alejadas. La diferencia de forma (tableroancho/tablero alargado) se mantiene en todas las orientaciones. Esta ilusión se ob-serva asimismo —aunque de forma atenuada— con dos simples paralelogramos sin flo-rituras, dispuestos según la configuración de los dos tableros representados. J

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imagen y bastante a la izquierda(véase la figura 1).

Hay multitud de imágenes, en es-pecial, fotos de paisajes montaño-sos, graderíos y huellas, que se pres-tan a una inversión del relieve. Encuanto lo fotografiado sea una su-perficie para la cual la profundidad—o la elevación, si se trata de unafoto desde abajo— sea una funcióncontinua de las coordenadas x e y

del plano de la imagen, resulta fá-cil que se produzca una inversiónde relieve, según queramos ver laimagen.

Las cosas se complican cuandose da una interposición y aparece so-bre la imagen una línea de contornoque separa un objeto situado en pri-mer plano de otro situado en el fondoen segundo plano. En este caso, cadapunto del contorno corresponde ados puntos de la escena, situadosuno detrás del otro, a dos diferen-

tes profundidades. Aquí, los índicesde interposición se oponen a la in-versión del relieve. A mi entender,las inversiones más interesantes sonaquellas en las que, tras la inver-sión de sentido de la imagen, se pro-duce una reorganización perceptivaque no se reduce a un cambio designo de la profundidad ( figura 4).

Apreciaciónde orientaciones

Con independencia del problemade la apreciación de la orien-

tación exacta de una línea —si esposible, en el espacio— se requieresaber ya por dónde pasa la línea, loque a veces resulta menos sencillode lo que se cree. Comparemos undamero cuyas casillas estén alinea-das verticalmente con el mismo da-

mero tras haber sido girado 45 gra-dos ( figura 5). Se observará, paraempezar, una ilusión clásica: la fi-gura de la derecha parece mayor quela de la izquierda. Se presenta tam-bién otro efecto, que pocas perso-nas señalan espontáneamente. A laizquierda, el damero se organizasegún bandas horizontales o verti-cales, en las que se van alternandolas casillas negras y las blancas, ado-sadas por los costados. La figuragirada, sin embargo, se organiza enalineaciones de casillas, todas ne-gras o todas blancas, unidas por losvértices. Esta modalidad de funcio-namiento perceptivo, que separa elblanco del negro, es más frecuenteque la primera, aunque se sabe decasos donde se da la cooperaciónde elementos de valor opuesto.

Abundan las ilusiones ópticas

engendradas por los problemas deconjunción o disyunción de ele-mentos blancos y negros. La másfamosa es la ilusión de la espiral,descrita por Fraser en 1908 ( fi -gura 2). En esta figura, tanto arribacomo abajo, los arcos blancos y ne-gros contiguos forman círculosconcéntricos. Ahora, en la imagensuperior, los arcos parecen hallarsearrollados en espiral, mientras queen la inferior resulta la disposi-ción en arcos concéntricos muchomás perceptible. ¿A qué se debeesta diferencia?

Los arcos negros, consideradospor separado, se encuentran, porconstrucción, organizados en espi-ral. Otro tanto vale para los arcosblancos. Parece como si en la in-terpretación de la imagen superior,el cerebro disociase los arcos blan-cos de los negros, mientras que enla imagen inferior los tratara conjuntamente, integrándolos en unamisma forma. La diferencia de cons-trucción entre las dos imágenes se

debe a que, en la superior, los ar-cos blancos se hallan sobre un fondooscuro y los negros sobre un fondoclaro, mientras abajo sucede a lainversa. El valor del contraste lo-cal decide, según el caso, la sepa-ración o la unión de lo blanco y lonegro. Los errores de orientaciónse observan en numerosos motivos,que son, casi siempre, motivos vi-sualmente cargados con redes delíneas paralelas o que tienen orien-taciones parecidas ( figura 6 ).

9. ILUSION DE MÜLLER-LYER es la ilusión geométrica más conocida (a). Los dos seg-mentos AB y CD tienen igual longitud; sin embargo, AB parece más pequeño que CD.Esta ilusión, y sus numerosas variantes, puede describirse por un principio de asimi-lación, según el cual la apreciación de la longitud de un segmento resulta modificadapor la longitud de los segmentos vecinos: AB sería “atraído” hacia EF; CD lo sería ha-cia GH. El efecto Müller-Lyer se detecta incluso en la variante minimalista del centro( b), que carece de flechas. En la variante de Judd ( c), los puntos señalados, que ocu-pan el punto medio de su segmento, parecen dividirlos de forma desigual y parecenser atraídos hacia las puntas de las flechas. En el paralelogramo de Sander ( d ), lasdos diagonales en gris son iguales; empero, la de la izquierda parece mayor. El prin-cipio de asimilación se aplica a esta figura, lo mismo que a las precedentes. No obs-tante, se podría partir de un principio inverso y llegar a las mismas predicciones.Imaginemos que la percepción de las relaciones geométricas se altere en el sentido deun mayor contraste (principio del contraste): GH sería visto de mucho mayor tamañocon respecto a EF de lo que es en realidad. El segmento CD se vería agrandado, y elAB, empequeñecido, para mantener cierta coherencia. La explicación se extiende aotras figuras. Ahora bien, en la figura e, el principio de asimilación y el principio decontraste efectúan pronósticos contrarios. En esta figura, tres segmentos verticalesadosados a arcos de círculo parecen curvos. Si tomamos el punto medio de un seg-mento y uno de sus extremos, y comparamos sus distancias a los puntos correspon-dientes de los arcos, en la misma horizontal, tales relaciones resultan amplificadas,

de conformidad con un principio de contraste.

a

A B

b

d e

c E

C

G

D

H

F

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Ilusionesde geometría pura

Incluso los dibujos de extrema sim-plicidad pueden ocasionar erro-

res de apreciación, que afectan a laorientación de líneas, su alineacióny su curvatura o a las relaciones dedimensión entre diferentes partes deuna figura ( figuras 9-13). El campoes muy amplio; con un poco de sen-tido de la observación se aprecianpor doquier ilusiones geométricas;con imaginación, se las crea en pro-fusión. Podemos distinguir dos ni-veles de explicación.

En el plano de la función desem-peñada, está claro que el cerebro le-vanta sus planos geométricos y cons-truye sus representaciones atendiendoa un “pliego de condiciones”. Los

procedimientos que podría utilizar,aun siendo perfectamente legítimosy fiables en situaciones naturales,producen sin embargo resultados nodeseados en el caso de las figurasartificiales denominadas “ilusionesgeométricas”. Para Richard Gregory,que ha sistematizado ideas del si-glo XIX, en los dibujos se dan cier-tos motivos, típicos de configura-ciones presentes en las imágenes enperspectiva, donde dichos motivosproporcionan indicaciones de pro-fundidad.

Si los mecanismos responsables dela constancia del tamaño tomasenen consideración tales indicios,tendrían por efecto agrandar o redu-cir ciertas figuras geométricas, segúnque conllevaran uno u otro motivo,incluso cuando no fuese aplicable laperspectiva. En este mismo ordende ideas generales, Mark Changizi,de la Universidad Duke, ha propuestoque, dado que al caminar normal-mente somos nosotros quienes avan-zamos hacia los objetos, y dado que

los cálculos geométricos son dema-siado lentos, el cerebro introduciríafactores de corrección que se anti-ciparían a las relaciones geométri-cas que se percibirían una fracciónde segundo más tarde.

No se conoce ningún mecanismoneuronal capaz de dar cuenta de lasilusiones geométricas. Se ignoran,por ejemplo, los fundamentos de laapreciación del paralelismo (tareaque el cerebro realiza a la perfec-ción) y carecemos de ideas verosí-

miles sobre el modo en que se re-presentan los puntos en el cerebro.El punto es una entidad elementalen la geometría euclídea. Ahora, sinos ceñimos a la ortodoxia neuronaldel momento, un punto constituyeuna entidad sumamente compleja, re-presentada en el cerebro por la su-perposición de un gran número deentidades del tipo de ondículas.

Se podría esperar, cuando menos,una explicación de las ilusiones a

través de un mecanismo formal, sinintervención neuronal. Suele justi-ficarse la ilusión de Müller-Lyer porun mecanismo de asimilación (comoen los efectos de inducción colo-reada, cuando un color, que ocupauna pequeña superficie, es atraídohacia los colores de las superficiesvecinas). Por ejemplo, en la figura 9,el segmento AB se vería menor queel CD, resultado de la contracciónde AB por la presencia vecina deEF. Por mi parte, yo asocio la ilu-

sión de Müller-Lyer a un efecto ra-dicalmente opuesto: un gran núme-ro de ilusiones geométricas reflejanuna tendencia a exagerar los con-trastes. Cuando un segmento es real-mente mayor que otro (aquí, GH encomparación con EF), el cerebro ten-dería a aumentar la relación de sustamaños. En la ilusión de Müller-Lyer, la causa motriz consistiría enque la representación de GH seríademasiado grande con relación a EF.

Entonces CD resultaría dilatado, yAB, contraído, para preservar laforma de los motivos (en detrimentode la exactitud de las longitudes).Esta explicación por contraste pare-ce, a primera vista, más complicadaque la explicación por asimilación;tiene en cambio el mérito de unifi-car numerosos efectos, que desbor-dan el campo de las variantes deMüller-Lyer.

El anterior tipo de análisis cabeaplicarlo a numerosas ilusiones. Se

10. ILUSION DE ZÖLLNER. Los bloques de tres segmentos paralelos parecen separarsepor arriba y aproximarse por abajo (a). La ilusión se aprecia de forma atenuada al eli-minar los ejes ( b). En cierta variante (Ninio y O’Regan), dos bloques idénticos no pa-recen ser la prolongación exacta uno de otro ( c). El desplazamiento percibido en estailusión se encuentra muy próximo del percibido en la configuración a, lo que indicaque la ilusión de Zöllner no puede justificarse en términos de repulsión entre dos blo-ques simétricos. Se podrían invocar los efectos de una rotación individual de los blo-ques o de una transformación de tipo de cizalladura, que harían deslizarse las barri-

tas en el sentido de la formación bloques más rectangulares; o, incluso de un efectode acordeón: una ampliación en una dirección perpendicular a las barritas. Según otrainterpretación, la ilusión de Zöllner sería testimonio de una tendencia a acercar a 90grados el ángulo que forman las barritas y la gran barra mediana. ¿Por qué habría en-tonces la ilusión de ir en el mismo sentido en la variante d ? En la ilusión de los tra-pecios (e), el trapecio central parece mayor que el situado bajo él, pero menor que elsuprayacente. Los lados oblicuos de los trapecios forman una configuración de tipoZöllner y la ilusión de los trapecios va en el sentido pronosticado por la de Zöllner.El principio según el cual una forma que engloba habría de parecer mayor que la formaenglobada se ve refutado en la ilusión de las medias lunas ( f ). La media luna englo-bante situada por encima parece menor que la englobada, situada bajo ella. Esta ilu-sión se explica, en cambio, si la interpretamos como una ilusión de Zöllner relativa alas puntas de las medias lunas.

a b c

d e f

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dice a veces que la ilusión de Zöllnerse debería a la repulsión de los dosbloques simétricos. O bien, que re-sultaría de una tendencia a la orto-gonalidad, que hace ver los ángu-los más cercanos a 90 grados de loque realmente son.

Sin embargo, la ilusión podríareflejar igualmente un efecto de ci-zalladura o un efecto de expansión

ortogonal a las barritas: se tendríauna tendencia a agrandar en unadirección perpendicular a las barri-tas. Mediciones cuidadosas efec-tuadas en la Escuela Normal Superiorcon Kevin O’Regan, del Laboratoriode Psicología Experimental de laUniversidad París 5, indican que lavariante expuesta en la figura 10c,en la que se prolongan dos bloquesidénticos, proporciona en todas lasorientaciones, cuantitativamente, elmismo valor de ilusión que el mo-tivo de Zöllner propiamente dicho.La explicación por repulsión no esaplicable a esta variante. La co-rrespondiente a la tendencia a or-togonalidad resulta demasiado pocopredictiva, pues no dice qué es loque debe girar para agrandar losángulos pequeños. La explicaciónde una expansión ortogonal de lasbarritas unifica numerosos efectos.

Principiosde interpretación

Con mayor generalidad, se plan-tea el problema de la reduc-

ción de las ilusiones geométricas aun pequeño haz de principios. Contal propósito, recopilo, con toda laprecisión posible, datos relativos ala forma en que cada ilusión varía

con la orientación. Ciertas ilusio-nes son casi isotrópicas, otras pre-sentan efectos máximos a ± 45 gra-dos con respecto a la horizontal,otras culminan hacia los ± 22 o los± 67 grados y las hay que poseenun “perfil de orientación” más com-plejo todavía. El estudio de estas re-laciones contribuirá al estableci-miento del grado de parentesco entrelas distintas ilusiones y permitirá,con ello, acceder a sus componen-tes esenciales.

En ocasiones, los efectos se su-man; en otras, se manifiestan de ma-nera independiente, según la formade considerar la figura. A veces,afloran efectos jerárquicos, comosucede en el caso de que una ilu-sión resulte atenuada debido a queuna indicación de alineación o deparalelismo permite corregir el error.

Dos operaciones de primer orden

serían el soporte de las ilusionesgeométricas. La primera guarda re-lación con las orientaciones que son“anamorfoseadas” por la perspec-tiva, al producirse compensacionesautomáticas de tendencia contrariaa las anamorfosis de la perspecti-va. Así sucedería en las ilusionesde orientación; en especial, en la deZöllner.

Concierne la segunda operaciónal aspecto métrico: los errores re-lativos a las razones de dos longi-

a b

c d

a b c

11. ILUSION DE POGGENDORF. Se ilus-tra la ilusión en su forma clásica (a). Losdos segmentos incidentes en las parale-las están alineados, pero el de abajo, sise prolonga mentalmente, parece alcan-zar a la otra paralela un poco por encimade la unión con el otro segmento. El errorde puntería hacia el punto rojo es to-

davía mayor en la variante con un solosegmento ( b). En otra variante (c), existeuna tendencia a ver el segmento de la iz-quierda alineado con el más bajo de lossegmentos a su derecha, mientras que sualineación es con el superior. Por último,en la variante en esquina (d ), dos seg-mentos se prolongan, pero no parecen te-ner la misma orientación. Estas varian-tes, y algunas otras, parecen quedar biendescritas por adición de dos efectos: unefecto menor de desplazamiento obser-vado en las líneas grandes, como el indi-cado en la figura c, y una tendencia a

hacer que los ángulos difieran de 90 gra-dos en menos de lo que lo hacen real-mente. Esta tendencia resulta evidenteen la variante d , pero en ella sería com-pensada por los dispositivos de aprecia-ción del paralelismo. En las otras figuras,un eventual error angular explicaría el errorde puntería; no entraría en conflicto conla apreciación del paralelismo. El mayorvigor de la ilusión en la variante de unsegmento que en las demás variantes co-nocidas con dos segmentos podría obe-decer a la intervención en las variantes

de dos segmentos de dispositivos detec-tores de la alineación de segmentos.

12. SUBDIVISIONES. Cuando una figura se halla finamente subdividida, experimentaun efecto de expansión en una dirección perpendicular a las líneas de subdivisión. Enel dibujo de arriba (a), la parte subdividida parece ilusoriamente mayor que la partevacía. Debajo, los bloques son iguales dos a dos, pero parecen alargarse en la direc-ción perpendicular a las divisiones. En la imagen central ( b), con motivos divididos endos, se produce el efecto inverso: los dos brazos de la cruz tienen la misma longitudque las agujas aisladas, pero parecen menores. En la ilusión de Delboeuf (c), existeun equilibrio delicado: los cuadrados y los círculos subdivididos parecen ilusoriamente

menores que los cuadrados grandes o los círculos aislados, en tanto que los cuadra-dos o los círculos internos parecen ilusoriamente mayores que los círculos pequeñoso los cuadrados aislados.

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tudes (por ejemplo, en la ilusión deMüller-Lyer). El problema consisteen conciliar la geometría dada poruna “toma” a “ojo fijo”, que obe-dece a las leyes de la perspectiva,y las tomas de una exploración por

la mirada, que no las obedecen.Cuando vemos, no advertimos la

vía por la que hemos adquirido lainformación: toma con ojo fijo,cuerpo fijo y movimiento explora-torio de los ojos o, incluso, ex-tracción en el curso de un movi-miento, por modificaciones del flujovisual. Pasamos de un modo a otrosin apreciar en la imagen modifi-cación geométrica alguna. Todoacontece como si los “procesadoresneuronales” nos proporcionasen res-puestas idénticas. El auténtico pro-blema de la extracción de informa-ción consiste en poner todas lasinformaciones en formatos compa-tibles, para contrastarlas sin dis-continuidades durante la percepción.De esta necesidad de compatibili-dad emana la necesidad de que cadacategoría de datos reciba una “ayu-dita” de armonización con lo quese espera de los demás canales.

Toda imagen podría, en princi-pio, interpretarse de infinidad de for-mas. En efecto, un punto de una ima-

gen podría ser representación de todopunto del espacio situado en el rayovisual que va desde el ojo hasta esepunto. Si, por ejemplo, observo uncírculo desde el plano que lo con-tiene, la información recibida se re-duce a un segmento. Recíprocamente,este segmento podría representar unsegmento rectilíneo del espacio, uncírculo o cualquier curva en el plano.Ahora bien, en los dibujos, un seg-mento se interpreta, casi siempre,como la proyección de un auténtico

segmento. La elección de la inter-pretación no está guiada por la sen-cillez, sino por el principio de “ge-nericidad”.

En virtud de este principio, las re-gularidades y las coincidencias que

presenta una figura no se percibencomo meros accidentes, tributariosde un punto de vista muy particu-lar, sino como reflejo de propieda-des verídicas del objeto. Han de ser,por consiguiente, estables con res-pecto a los cambios de punto devista. La proyección de un segmentoserá, casi siempre, un segmento;pero, excepcionalmente, puede cons-tituir un punto. Un círculo, en cam-bio, no se proyecta como un seg-mento sino en direcciones muyparticulares de la mirada.

El principio de genericidad estáatemperado por la voluntad de otor-gar, siempre que sea posible, una in-terpretación tridimensional a tododibujo (el contorno de un jarrón se

interpretará como un jarrón y nocomo un corte plano en forma de jarrón). Los dos trapecios a la iz-quierda de la figura 14 ilustran demanera inesperada un caso dondela tendencia a la interpretación tri-dimensional se impone al principiode genericidad. Este opera tambiénen los “objetos imposibles”, comola triple viga de Penrose. Nada im-pide que un objeto real del espaciose proyecte según el croquis de latriple viga (la construcción de talobjeto es posible, es un clásico delos museos de ciencias), pero nues-tro cerebro, fiel al principio de ge-nericidad, interpreta el dibujo su-poniendo que: (1) las líneas rectas

13. ¿CONTRASTE O NORMALIZACION? Los círculos situados en el centro de las cons-telaciones de lo alto son iguales (a), pero el de la izquierda, que está rodeado de círcu-los grandes, parece menor que el de la derecha, circundado por círculos pequeños. Elmismo efecto se observa con cuadrados o con figuras subjetivas ( b). Volvemos a ha-llar el efecto, en forma atenuada, en las figuras de la parte inferior (c), construidas demanera que las acciones se ejerzan en una sola orientación; en este caso, la horizon-tal. Un principio de asimilación (tamaño percibido “atraído” por el tamaño de las for-mas vecinas) pronosticaría efectos inversos de los que se observan aquí. Un principio

de contraste (la tendencia a exagerar los contrastes) iría en este caso en el sentidocorrecto. No obstante, al autor le parece que la interpretación idónea sería un princi-pio de normalización, que tendería a magnificar globalmente las figuras pequeñas y adisminuir las grandes mientras que el contraste podría actuar en el interior de las cons-telaciones. Este principio daría buena cuenta de la separación de los ápices de los trián-gulos en la figura inferior derecha.

a

b

c

14. DIBUJOS AMBIGUOS. A la izquierda, no se ve, al principio, más que dos trape-cios planos. Pero es posible otra interpretación. Cabe verlos como cintas retorcidas,giradas hacia atrás por los lados verticales y hacia delante por los horizontales. Latriple viga de Penrose (a la derecha) constituye uno de los grandes prototipos de “fi-guras imposibles”. Tres vigas de sección cuadrada parecen ensamblarse dos a dos for-mando ángulos rectos, cosa imposible. Pero sí se podrían concebir objetos con torsiónen el espacio, que, desde cierto punto de observación, serían representables por la fi-gura de la derecha. La triple viga de Penrose es imposible en tanto se sigan los con-venios habituales en dibujo, es decir, al suponer que las vigas son rectas, están en-sambladas y son perpendiculares. J

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del contorno del dibujo se corres-ponden debidamente a bordes rec-tilíneos del objeto; (2) las ternas desegmentos paralelos corresponden avigas paralelepipédicas; (3) las vi-gas están ensambladas dos a dos yconectadas en ángulo recto. La tri-ple viga no es imposible, sino en lamedida en que se aplican a los tresvértices los convenios habituales deinterpretación de los dibujos.

En un dibujo, una línea verticalpodría representar una vertical autén-tica, pero también una recta hori-zontal que arranca justo delante denosotros y se dirige directamente

hacia el horizonte. Así lo pone demanifiesto un croquis en el que dosparalelogramos adyacentes puedenrepresentar, ya un libro abierto enposición vertical, ya el techo de unatienda.

Mas el cerebro no carece de recur-sos para enfrentarse a los problemasde ambigüedad en la apreciaciónde orientaciones en el espacio. A de-cir verdad, los resuelve con brío,haciendo intervenir la visión este-reoscópica. Cuando un objeto se nosofrece desde dos diferentes puntosde vista, resulta posible, por com-paración de las dos vistas planas,deducir de ellas su forma tridimen-sional. En la visión se cuenta, enprimera aproximación, con las pro-yecciones en las dos retinas, toma-das a través de dos pupilas separa-das entre seis y siete centímetros. En

visión estereoscópica, los cálculos seefectúan fuera de la conciencia, enuna fracción de segundo, inclusocon estereogramas bastante com-plejos. Con el estereograma de la fi-gura 16 vemos, en cada una de lasimágenes, una forma que interpre-taríamos, salvo que fuésemos ex-quisitos geómetras, como un prismade caras planas. Ahora bien, al me-nos una de las caras de cada prismaestá plisada. Para quienes sabenapreciar el relieve en los estereo-gramas, el aspecto plisado les saltaa la vista, sin esfuerzo de reflexión.Nuestro cerebro inconsciente reve-la ser mejor geómetra que nuestrocerebro cultural.

Se ha hablado con mucha fre-cuencia de “ilusión de relieve” alreferirse al efecto producido porlos estereogramas. Cuando se des-cubrieron estereogramas en una ima-gen, hace un decenio, se reputaronimágenes mágicas. Estas imágenesse calculan por medio de un es-tricto algoritmo; de haber magia,se encuentra en la facilidad con laque el cerebro extrae la forma tri-dimensional. Se conocen, empero,algunas paradojas de la visión es-

tereoscópica, pudiéndose hablar asu respecto de “ilusiones estere-oscópicas”. De todos modos, estasilusiones no entrañan ninguna ideageneral novedosa.

El mecanismode la demostración

Cada vez que se descubre unnuevo efecto visual, se plantea

la cuestión del lugar de su nacimiento.¿Se produce en la retina? Una delas formas de responder consiste enconstruir una imagen estereoscópicaen la cual el estímulo generador delefecto ilusorio no se halla presenteen ninguna de las dos retinas; notoma cuerpo hasta después de la ex-tracción de la estructura tridimen-sional. Así se ha hecho, por ejem-plo, en el autoestereograma de lafigura 17 izquierda, en el que apa-rece la figura de Müller-Lyer entres dimensiones, que es percibida

por visión estereoscópica, mientrasque, vista en dos dimensiones, quedacompletamente enmascarada. De estadiferencia se deduce que la ilusiónno ha nacido en la retina, sino quese ha constituido con posterioridadal estadio en que se combinan losflujos visuales procedentes de las dosretinas. Se pueden descartar así, porno retinianas, casi todas las ilusio-nes visuales conocidas.

Se puede demostrar también que,en la mayoría de las ilusiones, no se

15. ORIENTACIONES EN EL ESPACIO. Eldiedro de Mach ( izquierda) podría esque-matizar un libro abierto, apoyado verti-calmente sobre los bordes de la cubierta,o bien el techo de una tienda de cam-paña. De igual forma, suele interpretarseque las aristas pegadas de los cuatro pa-neles de la derecha son horizontales. Perotambién es compatible con la geometríaespacial que esas aristas se levantencasi verticalmente. Es difícil representarcon un dibujo esta configuración, propuestapor Leonid Kontsevich.

16. ¿PLANOS O TETRAEDROS? A primera vista, las tres imágenes representan pris-mas de caras planas. Pero si en uno de estos prismas la arista casi vertical medianaestuviera a la vez en un mismo plano que la arista vertical de la izquierda y en unmismo plano que la arista vertical de la derecha, tal arista debería cortar a cada unade estas dos aristas en sendos puntos que se hallarían contenidos en el plano poste-rior del prisma. La arista mediana se encontraría, pues, enteramente contenida en esteplano y el objeto representado no tendría volumen. La visión estereoscópica tiende estetipo de trampas. Utilizando la visión estereoscópica y fundiendo la figura central, seacon la de la izquierda, sea con la de la derecha, vemos inmediatamente que las carasdelanteras del prisma ya no son planas: forman tetraedros. (A quienes no logren verlos estereogramas, las figuras coloreadas les darán una idea de esta profundidad.) J

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JACQUES NINIO, adscrito al Labo-ratorio de Física Estadística de la Es-cuela Normal Superior, viene estu-diando las ilusiones ópticas desde hace25 años.

El autor




requieren los movimientos de los

ojos: los efectos son igualmente ob-servables cuando las imágenes se ilu-minan por un destello o flash, queno concede a los ojos tiempo paramoverse. Se observan, asimismo, enel caso de “imágenes estabilizadas”,

proyectadas sobre la retina por un

dispositivo que, fijado a la córnea,ocupa una posición fija con respectoa la retina, cualesquiera que seanlos movimientos de los ojos.

¿Tendrán relación las ilusionesgeométricas con nuestra cultura y

nuestro ambiente urbano, que pri-

vilegian las líneas rectas y los án-gulos rectos? Antropólogos que hanviajado hasta tribus africanas haninformado que la sensibilidad a lasilusiones geométricas sería en ellasbastante distinta de la sensibilidadde los occidentales. No obstante, es-tos trabajos, realizados sin exce-sivo rigor, no merecen la resonan-cia que se les ha dado. En el otroextremo, se publican a menudo enlas mismas revistas mediáticas ar-tículos según los cuales tal o cualanimal —en cierta ocasión, el ca-ballo, en otra, la mosca— sería sen-sible a las mismas ilusiones ge-ométricas que nosotros.

Lo que realmente importa, sin em-bargo, no consiste en saber si lasilusiones se experimentan con ma-yor fuerza en unos u otros, sino lacomprensión, por medio de estasparadojas en la percepción de for-mas, del principio de los procesosneuronales que nos proporcionan tanfinos diagnósticos sobre las alinea-ciones, el paralelismo, la curvatura,

las dimensiones y la geometría enel espacio.

L’OEIL QUI PENSE. VISIONS, ILLU-SIONS, PERCEPTIONS. Roger Shepard.Seuil; París, 1992.

LA SCIENCE DES ILLUSIONS . JacquesNinio. Odile Jacob; París, 1998.


17. ILUSION DE MÜLLER-LYER en autoestereograma. En visión es-tereoscópica vemos emerger la figura de Müller-Lyer, que no sedistingue en el estereograma de la izquierda. La ilusión está pre-sente; ello sugiere que cobra vida bastante tardíamente en el tra-tamiento de la información visual, después del estadio en el quese combinan en el cerebro las informaciones procedentes de los

ojos. La imagen de la derecha torna explícita la codificación de laforma en el estereograma. Los motivos de Müller-Lyer aparecenen ella en dos ejemplares en azul, en la parte central. Las “co-pias” en azul que vemos a uno y otro lado forman parte del fondo.En visión estereoscópica veremos, pues, que los motivos en azulse despegan de un fondo que contiene también motivos azules.

18. ILUSION DE LA “T” EN ESTEREOGRAMA DE DOS IMAGENES, para visión cruzada.Al fundir, en visión cruzada, las imágenes de lo alto, se verá la forma en T, explíci-tamente representada en las imágenes de la parte baja. La ilusión consiste en que labarra horizontal parece ser más corta que la barra vertical. J

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El episodio de impacto

de ChicxulubEl impacto que aniquiló los dinosauriosdesencadenó una oleada de incendios

que arrasaron los bosques de la Tierra

David A. Kring y Daniel D. Durda



Se acepta que fue el impacto de un asteroideo un cometa lo que acabó de forma bruscacon la era de los dinosaurios. Pero descono-cemos de qué forma esos reptiles y otras mu-chas especies se extinguieron. Ignoramos tam-

bién cómo consiguieron los ecosistemas recuperarse.El cataclismo en cuestión superó de lejos los azotesregulares que sufren los organismos, de los que debenrecuperarse. El cuerpo celeste atravesó el cielo a másde 40 veces la velocidad del sonido. Era tan enorme,que cuando su extremo anterior pegó contra el suelo,su extremo de cola se hallaba por lo menos a la al-tura de crucero de un avión comercial. Produjo unaexplosión equivalente a 100 billones de toneladas deTNT: la mayor liberación de energía que nuestro pla-neta ha experimentado en los 65 millones de años trans-curridos desde entonces.

Los restos de aquella colisión permanecen enterra-dos bajo la selva tropical del Yucatán, las ruinas ma-yas de Mayapán, el pueblo costero de Progreso y lasaguas del golfo de México. El cráter, denominadoChicxulub en homenaje a los pueblos mayas de la re-

gión, alcanza unos 180 kilómetros de diámetro. Lo ro-dea una falla circular de 240 kilómetros de diámetro,producida, según parece, con la reverberación corticalsubsiguiente al impacto.

El asteroide o cometa destruyó un mundo y abriópaso a otro. La investigación reciente sugiere, sin em-bargo, que el impacto no eliminó las especies de ma-nera directa o inmediata. Antes bien, desencadenó unaserie de efectos ambientales asoladores y complejosque extendieron la devastación por todo el planeta.Una de las fuerzas más destructivas fueron los enor-mes incendios forestales que arrasaron continentes en-teros. El fuego aniquiló hábitats críticos, destruyó labase de las cadenas alimentarias continentales y con-tribuyó a una suspensión global de la fotosíntesis.

Horno asador

Las huellas de esta muerte en masa resultan visiblesen varios afloramientos rocosos del oeste de los

Estados Unidos, de Europa meridional y de otras re-

giones. Merece mencionarse, por su interés geológicoy paleontológico, la cuenca Ratón, en Colorado y NuevoMéxico. Entre los estratos rocosos del Cretácico y losdel Terciario, se intercala un horizonte de arcilla, deun centímetro de potencia, entreverado con elementosexóticos. Estudiando dicha franja en diversos lugaresdel planeta, el grupo dirigido por Wendy S. Wolbach,de la Universidad DePaul, nos sorprendió en 1985 conel hallazgo de un componente extraño. Encontraron res-

tos de hollín: partículas esféricas de carbón, a menudoagrupadas en racimos, cuya composición coincide conla del humo de los incendios forestales. La cantidadglobal de hollín asciende a unos 70.000 millones detoneladas: las cenizas del mundo del Cretácico.

La presencia del hollín se esgrimió como una pruebamás de la naturaleza del agente de la extinción: uncuerpo celeste, no las erupciones volcánicas, cuyo efectono habría sido tan brusco ni generalizado [véase “Causade la extinción en masa: un impacto de un cuerpo ex-traterrestre”, de Walter Alvarez y Frank Asaro; INVES-TIGACIÓN Y CIENCIA, diciembre 1990]. En 1990, H. JayMelosh, astrónomo de la Universidad de Arizona, avanzó,con su grupo, un modelo sobre el proceso mediante elcual un impacto pudo haber desencadenado incendiospor todo el planeta. Al chocar con la Tierra, el cuerpoceleste se desintegró y vaporizó un pedazo de cortezaterrestre, con la creación consiguiente de una pluma openacho de escombros incendiarios. Con una veloci-dad acelerada, la pluma ascendió del cráter hacia laatmósfera, transportando cristales de cuarzo que, mo-mentos antes, se encontraban a profundidades de hasta10 kilómetros bajo la superficie.

El penacho creció. Llegó a alcanzar un diámetro de100 a 200 kilómetros y después se expandió hasta en-volver el planeta entero. Entonces, el material empezóa caer por gravedad, cortando la atmósfera casi con la

misma energía con la que había sido lanzado al espa-cio desde Chicxulub. Precipitándose a velocidades de7000 a 40.000 kilómetros por hora, las partículas ilu-minaron el cielo como billones de bólidos y caldearonun gran volumen de la atmósfera hasta varios cientosde grados. Por fin, se depositaron lentamente en elsuelo y formaron la capa que vemos en la actualidad.

Según los cálculos de Melosh, esta lluvia de teaspudo haber quemado la vegetación que cubría buenaparte del globo. Pero en 1990 nadie conocía todavíala ubicación ni el tamaño preciso del impacto, razónpor la cual el equipo de Melosh no logró precisar lacantidad total de calor ni la distribución de los incen-


A L F R E D T

. K A M A J I A N ( P á g i n a s a n t e r i o r e s )

DAVID A. KRING Y DANIEL D. DURDA se conocieroncuando ambos trabajaban en la Universidad de Arizona.Kring formaba parte del equipo que atribuyó el cráter deChicxulub al impacto de un asteroide o cometa y lo rela-cionó con la extinción en masa de la transición del Cretá-cico al Terciario. Durda estudiaba la evolución de las co-lisiones y la dinámica de los asteroides. Elaboraron lasecuencia de acontecimientos que siguieron al impacto. Kringpermanece en Arizona; Durda trabaja ahora en el Institutode Investigación del Sudoeste en Boulder.

Los autores

■ El impacto de Chicxulub causó la extinción en masa dela transición del Cretácico al Terciario, que acabó conlos dinosaurios y más del 75 por ciento de las especiesde animales y plantas terrestres. Queda, sin embargo,mucho por conocer sobre los incendios forestales deextensión planetaria que dicho episodio provocó.

■ Cuando los escombros comburentes sobrecalentaron laatmósfera, la vegetación ardió en la mayor parte delplaneta. Los animales no tenían hacia dónde huir. Losecosistemas se desplomaron. El fuego constituyó unazote catastrófico sin par entre las calamidades ambien-tales generadas por el impacto.

■ No todas las regiones sufrieron por igual. Muy al nortedel lugar de impacto, sobrevivieron numerosas especies.A partir de esos núcleos, la vida repobló el planeta.

Resumen / Planeta en llamas



LA VISPERA IMPACTO

40 MINUTOSDESPUES

UN AÑO DESPUES 50 AÑOS DESPUES

UNA SEMANADESPUES

Colapso y recuperación del ecosistema

EN EL CRETACICO TARDIO, las ciénagas y los ríos de Norteamé-rica poseían una vegetación arbórea mezcla de coníferas y de plani-folios perennifolios y deciduos. Formaban bosques de bóveday bosques abiertos con sotobosques de helechos, plantas acuáticasy matorrales con flores.

EL IMPACTO DE CHICXULUB tuvo lugar en un mar somero.Inmediatamente, eyectó escombros rocosos, fundidos y vaporizadosa la atmósfera. La mayor parte de estos restos se depositó en lasregiones continentales cercanas, pero una cantidad considerable seelevó a gran altitud, hacia el espacio exterior.

TRAS LOS INCENDIOS, en el paisaje asolado sólo quedaron algunostroncos y esqueletos desnudos. Sobre el suelo se depositaron lenta-mente el hollín de los incendios y el polvo del impacto. La luz del solse debilitó de manera espectacular, si no total, durante meses.

EL PENACHO rico en material vaporizado se expandió hasta recubrirel planeta. Cuando estos escombros regresaron al suelo, atravesaronla atmósfera convertidos en billones de bólidos, caldeándola en algu-nos lugares en cientos de grados.


EL AMBIENTE POSTERIOR AL IMPACTO albergaba poca diversidad.Primero se recuperaron helechos y algas. Las especies vegetales delas ciénagas y de sus márgenes sobrevivieron por lo general mejorque las especies de otros ecosistemas. Entre las más perjudicadas,las coníferas.

LOS MATORRALES SE APROVECHARON del paisaje vacío y empezarona cubrirlo. Las especies polinizadas por el viento tuvieron más éxito quelas que necesitaban de insectos. Comenzaron a desarrollarse los árboles,pero la reconstitución de bóvedas arbóreas tardó decenios. No se puedeafirmar a ciencia cierta cuánto tiempo duró la recuperación.



dios. Si bien el hollín se había encontrado por todo elplaneta, no era necesario que el fuego se hubiera pro-ducido en todas partes; el viento pudo haber trans-portado el hollín a otros lugares.

Lluvia azul

Poco después de que Melosh publicara su estudio,un grupo de siete científicos (procedentes de Esta-

dos Unidos, Canadá y México), entre los que figurabauno de los autores (Kring), descubrió que el cráter deChicxulub constituía el lugar del impacto. Este hallazgozanjó el debate sobre la causa determinante de la ex-tinción. Desde entonces, la investigación se ha cen-trado en los pormenores del acontecimiento.

En 2002 terminábamos otro estudio sobre los in-cendios forestales. Conocer la ubicación del impactonos permitió reconstruir las trayectorias y la distribu-ción del material expulsado desde el cráter y evaluarla extensión de los fuegos. De acuerdo con nuestroscálculos, parte de los escombros llegó a medio caminoentre la Tierra y la Luna antes de volver a caer sobrenuestro planeta. A los cuatro días, casi todo el mate-rial había regresado a la Tierra. Poco más del 10 por

ciento escapó de la gravedad terrestre. Salió disparadopor el sistema solar, para terminar aplastado, posible-mente, contra otros planetas. (De forma parecida arri-baron a la Tierra fragmentos procedentes de Martey la Luna, si bien mediante un proceso de eyeccióndiferente.)

Los fragmentos de corteza que volvieron a penetraren la atmósfera terrestre la caldearon tanto que de-sencadenaron incendios forestales en las regiones me-ridional y central de Norteamérica, central de Sudamérica,central de Africa, el subcontinente Indio y el sudestede Asia (que, debido a la deriva continental, se en-contraban en posiciones distintas de las actuales). En

función de la trayectoria del cuerpo celeste (asteroideo cometa) que impactó, los incendios pudieron asolar,asimismo, otras zonas de estos continentes y, quizá,también Australia, la Antártida y Europa.

La peor parte se la llevaron Chicxulub y la India,que hace 65 millones de años se hallaba en sus an-típodas y se convirtió, pues, en punto focal de losresiduos comburentes. En las horas y días que siguie-ron, la rotación terrestre transportó las masas conti-nentales hacia el este, situándolas bajo la lluvia dematerial eyectado. Así, la oleada de ignición de in-cendios forestales se desplazó hacia el oeste, redu-ciendo lentamente su intensidad.

En la mayoría de los casos, no importaba demasiadosi la vegetación crecía en un lugar seco o húmedo. Lastemperaturas elevadas duraron tanto tiempo que, igualque la leña en un horno, la vegetación se secó y ter-minó por arder. ¿Se asustaron los animales cuando elcielo empezó a fulgurar con la lluvia de escombros?¿Se alarmaron ante la subida de la temperatura?¿Permanecieron quietos o, por el contrario, empezarona correr en alguna dirección, hacia el agua, por ejem-plo? Por su fortuna, la mayoría de ellos debieron caerinconscientes cuando el calor se hizo insoportable.Posiblemente nunca llegaron a sentir el fuego abrasa-dor de matorrales y árboles que les rodeaban.


F U E N T E : D A V I D A

. K R I N G

Y D A N I E L D

. D U R D A ; L A U R I E G

R A C E ( i l u s t r a c i ó n )

Lugar de impacto

Antípoda

1. UN PLANETA ABRASADO. Para desecar las plantas y pren-derles fuego se requieren 12.500 watt de calor por metrocuadrado durante al menos 20 minutos. Dichas condiciones sealcanzaron en dos áreas principales, centradas en Chicxuluby en su antípoda, la India. Desde estas regiones, se avivaroncorredores de fuego hacia el oeste, a medida que la Tierrarotaba bajo una lluvia de escombros que reingresaban en suatmósfera. Esta simulación por ordenador supone una determi-nada configuración del impacto; en otros modelos teóricos lasáreas incineradas resultan todavía mayores.



Además de asolar los bosques, los incendios produ-

jeron una importante contaminación atmosférica. Elhollín y el polvo generados por el impacto cubrieronel cielo, que se tornó impermeable a la luz solar. Algunoscálculos sugieren que la superficie del planeta se obs-cureció como una cueva sin luz. Las plantas fotosin-tetizadoras se agostaron y las cadenas alimentarias sedesplomaron, incluso en zonas no afectadas por los in-cendios forestales, como el mar. Se ha comparado estafase con el “invierno nuclear”, un período frío quepodría seguir a una guerra nuclear [véase “Efectosclimáticos de una guerra nuclear”, de Richard P. Turco,Owen T. Toon, Thomas P. Ackerman, James B. Pollachy Carl Sagan; INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 1984].

La suciedad tardó meses en desaparecer. Probablemente

cayó como una lluvia azul, similar a la lluvia de esatonalidad, rica en cenizas, que se produce después deuna erupción volcánica.

A partir de los incendios forestales modernos, hemosestimado que la conflagración liberó 10 billones de to-neladas de dióxido de carbono, 100.000 millones de to-neladas de monóxido de carbono y 100.000 millonesde toneladas de metano. En total, una cantidad de car-bono equivalente a 3000 años de consumo de com-bustibles fósiles al ritmo actual. Por ello, a las condi-ciones de oscuridad e invernales siguió un intervalo decaldeamiento por efecto invernadero. Los incendios pro-dujeron pirotoxinas, cloro y bromo, gases extenuantes.


T O D O S L O S D E R E C H O S R E S E R V A D O S

, A R C H I V O S D E I M

A G E N E S

, M U S E O D E C I E N C I A Y N A T U R A L E Z A D E D E N V E R ( a r r

i b a ) ; D O N N A B R A G I N E T Z ( a b a j o )

PARQUE CRETACICODURANTE EL CRETACICO TARDIO, inmediatamenteantes de que un cuerpo celeste (asteroide o cometa)chocara contra la Tierra, hace 65 millones de años, elclima era más cálido que ahora. No había casquetespolares. Algunos dinosaurios llegaron, en su migra-ción septentrional, hasta la actual Alaska y, en suavance meridional, hasta las islas Seymour de laAntártida. Un brazo de mar atravesaba Norteamérica;unía el golfo de México con el océano Artico. Entrelos ecosistemas cretácicos se encontraban desde hu-medales hasta bosques deciduos. Los paleobiólogoshan cartografiado dichos ecosistemas en Norteamé-rica, donde los sedimentos continentales que contie-nen fósiles se conservan bien. (Se conoce poco sobrela vegetación de otras partes del mundo en las postri-merías del Cretácico.)

En lo que constituye hoy el sur de Colorado y nortede Nuevo México, serpenteaban ríos meandriformesdesde las nacientes montañas Rocosas hasta unallanura de la costa oriental. Charles L. Pillmore y suequipo, del Servicio de Inspección Geológica deEE.UU. (SGEEUU), han cartografiado varios marcossedimentarios; entre ellos, canales fluviales, depósi-tos de ribera, llanuras de inundación y pantanos. Fun-dado en hojas fósiles de dichos sedimentos, JackWolfe y Garland Upchurch, también del SGEEUU,han demostrado que la vegetación estaba dominadapor árboles planifolios perennifolios casi tropicalesque formaban un bosque de bóveda abierta.

Donde actualmente se encuentran las dos Dakotas,Kirk R. Johnson, del Museo de la Naturaleza y la Cien-cia de Denver, ha encontrado hojas fósiles que sugie-ren que la vegetación consistía en un bosque domi-nado por angiospermas (plantas con flores), en sumayoría árboles pequeños (del tamaño del cornejo)

a medianos (del tamaño de un álamo). Wolfe yUpchurch aducen que las condiciones eran máshúmedas cuanto más al norte, lo que permitía un bos-que planifolio perennifolio. Este bosque era más densoy con la bóveda probablemente cerrada en ciertasáreas. Algunas trepadoras poseían hojas anchas conpuntas de goteo por las que el agua se escurría.

Arthur Sweet y sus colaboradores, del Servicio de Ins-pección Geológica del Canadá, han demostrado que, encontraposición con las plantas con flores que dominabanen los EE.UU., en lo que ahora es Canadá occidentalabundaban las coníferas y otras gimnospermas.

1. EL BOSQUE DEL CRETACICO era cálido y húmedo. Albergabaárboles planifolios, palmeras, plantas tropicales de hojas grandes,herbáceas y helechos.

2. EL BOSQUE TERCIARIO inicialmente contenía menos biodiversidad.La cubierta original de helechos y herbáceas dejó paso a parientesde los sicomoros, nogales y palmeras modernos.



Los dos últimos contribuyeron a la destrucción de lacapa de ozono. Todos estos efectos agravaron de formaespectacular las demás consecuencias ambientales delimpacto, como la lluvia de ácido nítrico y de ácidosulfúrico y la vaporización del dióxido de carbono al-macenado en las rocas del lugar de impacto.

El día siguiente

El registro fósil contiene un patrón de perturbaciónecológica que encaja con el supuesto origen de la

oleada de incendios forestales. Los sedimentos depo-sitados inmediatamente después del impacto entrañanuna signatura biológica, advertida por Robert H. Tschudyy sus compañeros, del Servicio de Inspección Geológicade los Estados Unidos, que se asocia a los incendios:una concentración, anómala por su desmesura, de es-

poras de helechos. Siguiendo el mismo comportamientopionero que muestran en los bosques quemados ac-tuales, los helechos (Cyathidites) fueron las primerasespecies vegetales que repoblaron el paisaje denudadopor el cataclismo. A veces, los helechos aparecían juntoa Ulmoideipites, plantas con flores polinizadas por elviento. En ciertos ecosistemas sin pteridófitos, cumplíantal misión colonizadora los mantos algales.

En sedimentos depositados en los actuales Coloradoy Montana, Iain Gilmour y su equipo, de la Universidada Distancia de Inglaterra, hallaron huellas químicas eisotópicas de bacterias oxidantes del metano. Esto in-dica que la pérdida de tanta vida pudo haber creado

temporalmente condiciones anóxicas en microecosis-temas de aguas continentales. Aunque el éxito de ta-les bacterias no constituye en sí mismo una señal delincendio, sí refleja el carácter ominoso y súbito de lamortandad, que sólo admite explicación si la desen-cadenó una conflagración global.

Cabría preguntarse cómo pudo sobrevivir un orga-nismo en semejante infierno. Hubo un elemento deci-sivo: la distribución desigual del fuego. Las simula-ciones muestran, y la paleobotánica lo corrobora, quelas regiones más septentrionales de Norteamérica yEuropa se libraron de la devastación considerada ensu grado máximo. En los actuales Territorios delNoroeste, Arthur Sweet, del Servicio de InspecciónGeológica del Canadá, descubrió que la concentraciónde polen de gimnospermas (coníferas y otras plantascon ellas emparentadas) se reducía de manera espec-tacular, si bien no llegaba a desaparecer. Parte, pues,de la bóveda arbórea de los bosques sobrevivió a losincendios forestales, incluso en aquellos casos en losque los fuegos quemaron un sotobosque de angios-permas (plantas con flores). En estas y otras regionesrelativamente intactas, el calor fue menos intenso. Lasciénagas o los bordes de las mismas proporcionaron

cierta protección a plantas y animales.Fundado en estudios de plantas, esporas y polen fó-siles, el grupo encabezado por Kirk R. Johnson, delMuseo de la Naturaleza y la Ciencia de Denver, cal-culó que el 51 por ciento de las especies de angios-permas, el 36 por ciento de las gimnospermas y el 25por ciento de los pteridófitos se extinguieron enNorteamérica. El polen y las hojas fósiles sugierenque los árboles caducifolios sobrevivieron mejor quelos perennifolios, quizá porque permanecían latentes.

Los árboles de polinización eólica también se de-senvolvieron mejor. Por una razón sólida: pudieron me-drar pese al exterminio de insectos y otros animales


D A N I E L D

. D U R D A ( i z q u i e r d a ) ; D A V I D A

. K R I N G

( c e n t r o y d e r e c h a ) ; W E N D Y S

. W O L B A C H U N I V E R S I D A D D E P A U L ( i n s e r t o )

2. EL GRAN CEMENTERIO levantado por el cataclismo de Chicxulub seha conservado en una capa de arcilla de color claro y grosor parecidoal de una navaja del ejército suizo (arriba). Uno de los autores (Kring)señala dicha capa en un afloramiento rocoso de la cuenca Ratón, enlos Estados Unidos sudoccidentales ( izquierda). Al acercarnos al hori-



polinizadores. Conrad C. Labandeira y sus colabora-dores, de la Institución Smithsoniana, sostienen quemuchos insectos desaparecieron o se extinguieron;fundan su hipótesis en un dato del registro fósil deDakota del Norte, que se libró de los efectos más de-vastadores: la escasez de hojas dañadas por insectos.

Sweet ha mostrado que un primer ecosistema “desupervivencia”, dominado por las especies más robus-tas, pronto dejó paso a un ecosistema “oportunista”,compuesto por un tipo distinto de helecho ( Laeviga-tosporites) y varios tipos de plantas con flores quepodían beneficiarse de la tabla rasa ecológica. Tomadasen su conjunto, estas plantas tejieron un tapiz herbá-ceo. En la fase final de ese proceso de recuperación,retornó la bóveda arbórea. Si tomáramos por referen-cia la evolución de un bosque moderno, la repoblacióntardaría al menos 100 años. Pero Sweet y Upchurchcoinciden en que el proceso real avanzó con mayorparsimonia; a juzgar por la proporción de plantas fó-siles halladas en los sedimentos posteriores al im-pacto, se prolongaría unos 10.000 años.

Disponemos de otro parámetro para computar eltiempo de recuperación: la respuesta del ciclo globaldel carbono. La pérdida de bosques, que contienen

más del 80 por ciento del carbono situado sobre elsuelo (al menos en la actualidad), junto con la emi-sión de dióxido de carbono generado en los incen-dios y la caliza vaporizada en el lugar del impactoelevaron drástica y repentinamente la concentraciónatmosférica de carbono. En un análisis isotópico delos sedimentos depositados tras el impacto, Nan C.Arens, de la Universidad de California en Berkeley,y A. Hope Jahren, de la Universidad Johns Hopkins,llegaron a la conclusión de que, en las regiones conti-nentales, el ciclo del carbono pudo tardar 130.000 añosen recuperar el equilibrio. En los ambientes marinos,Steven L. D’Hondt, de la Universidad de Rhode Island,

y otros investigadores sugieren que se necesitarontres millones de años para que el flujo de materiaorgánica hasta las profundidades oceánicas volvieraa sus valores normales.

Primavera silenciosa

Tras el episodio de Chicxulub, el planeta presentaba

un aspecto, olores e incluso sonidos diferentes. Sipudiéramos transportarnos al Cretácico, oiríamos di-nosaurios moviéndose entre la maleza, sus gritos (dereclamo, de alerta) y el zumbido de ciertos insectos.Los mamíferos, en cambio, pasarían casi inadvertidos,moviéndose con un susurro entre las hojas, como lostopillos de nuestros días. Pero en los meses subsi-guientes al impacto, el sonido animal desapareció delplaneta. El viento, los cursos de agua y la lluvia do-minaban el paisaje sonoro. Poco a poco, los insectosprimero, los mamíferos después, volvieron a oírse.Hubieron de transcurrir cientos de años, si no cientosde miles de años, para que los ecosistemas constru-

yeran arquitecturas nuevas y robustas.La tormenta de fuego originada por el impacto deChicxulub y la subsiguiente contaminación resultarondevastadoras. Pero, probablemente, lo más mortíferofue la combinación de tantos efectos ambientales.Asolaron ecosistema tras ecosistema, aunque de formadiferente y a escalas de tiempo distintas: días en elcaso de los cascotes incendiarios, meses en el caso delpolvo estratosférico y años para los aerosoles de ácidosulfúrico.

La vida encontró en su diversidad la tabla de sal-vación. Aunque se perdieron multitud de especies eincontables individuos, algunos organismos sobrevi-vieron y proliferaron. El impacto abrió nichos ecoló-gicos para la evolución de los mamíferos, lo que, an-dando el tiempo, condujo al desarrollo de nuestra propiaespecie. En este sentido, el cráter de Chicxulub cons-tituye el crisol de la evolución humana.


MAJOR WILDF IRES AT THE CRETACEOUS /TERTIARY BOUN-DARY. Wendy S. Wolbach, Iain Gilmour y Edward An-ders en Global Catastrophes in Earth History. Dirigidopor Virgil L. Sharpton y Peter D. Ward. Geological So-ciety of America, número especial 247, págs. 391-400; julio 1990.

EXTINCTION: BAD GENES OR BAD LUCK? David M. Raup.W. W. Norton. 1991.

T. REX AND THE CRATER OF DOOM. Walter Alvarez. Prin-ceton University Press, 1997.

NIGHT COMES TO THE CRETACEOUS. James Lawrence Po-well. Harvest Books. 1999.

TRAJECTORIES AND DISTRIBUTION OF MATERIAL EJECTEDFROM THE CHICXULUB IMPACT CRATER: IMPLICATIONS FORPOSTIMPACT WILDFIRES. David A. Kring y Daniel D. Dur-da en Journal of Geophysical Research: Planets, vol. 107,n.o E8, págs. 6-22; agosto 2002.


ESTRATOSUPERIOR

ESTRATOINFERIOR

ESQUISTO CRETACICO

zonte de arcilla observamos dos subcapas (derecha). La inferior apa-ece sólo en localidades próximas al impacto; está constituida por rocaundida expulsada por el cráter. La subcapa superior contiene escom-

bros que salieron eyectados hacia el espacio y cayeron de nuevo alsuelo, así como hollín generado por los incendios (detalle).



Importancia del suelo

en el cultivo de caña de azúcar

Los suelos cultivados con caña de azúcar superanlas 611.124 hectáreas, siendo México uno de los

principales productores mundiales. Con el objetivo delograr una producción rentable y competitiva en elmercado agroindustrial, el suelo cañero se ha conver-tido en uno de los más laboreados y mecanizados.

El manejo intensivo del suelo altera sus propieda-des de manera significativa. Actividades como la lim-pia y preparación del terreno, la siembra, las laboresde cultivo y la aplicación de insumos, entre otras, hantenido un impacto negativo sobre el suelo. Entre los

efectos más notorios observados en los cultivos de cañade azúcar destacan las elevadas tasas de absorción

de nutrientes por parte de la planta, principalmente delos elementos primarios nitrógeno, fósforo y potasio.El potasio encabeza la lista de elementos más absor-bidos. Le siguen el nitrógeno, el calcio, el magnesio yel fósforo.

El rendimiento promedio del suelo cañero en Méxicooscila entre las 53 y las 150 toneladas por hectárea,en función de la fisiografía de la zona, la variedad decaña y el manejo del cultivo. Este bajo rendimiento se

debe al empobrecimiento del suelo en condiciones debaja fertilización, el nulo aporte de los residuos de lacosecha y la quema de la caña de azúcar, que se rea-liza para facilitar el corte. En promedio, el 40% de losresiduos agrícolas que se producen cada año en losdiferentes países en vías de desarrollo se queman enel mismo campo. De éstos, el 11% se genera en elcultivo de caña de azúcar. La quema constituye unode los factores que más afectan a los contenidos demateria orgánica del suelo, pues se separan los tallos,las puntas y la paja, que se eliminan para limpiar elterreno. Estas actividades constituyen la principal víade salida de los nutrientes del suelo.

Existe una gran diversidad de suelos de cultivo decaña de azúcar. En las regiones cañeras de Méxicoabundan el fluvisol, el vertisol, el cambisol, el luvisol

y el leptosol. Son suelos generalmente profundos y defertilidad regular, aunque pueden presentar una gran

variabilidad en otras características. La combinaciónde todas ellas determina el rendimiento del cultivo. Elfluvisol, un suelo de textura media, se origina a partirde aluviones antiguos y presenta un color pardo. Elvertisol se origina también a partir de aluviones; pre-senta textura fina, color pardo, agrietamiento pronun-ciado en épocas secas y una permeabilidad modera-damente lenta. El cambisol procede de rocas calizasy areniscas, posee colores amarillentos o anaranjados


C IENCIA Y SOCIEDAD

Demanda y suministro de nutrientes (en kg por hectárea) para el cultivo de la caña de azúcar

en un ingenio de Tenosique, Tabasco

Unidadde suelo

FluvisolVertisolCambisol

LuvisolLeptosol

1359797

171128

9010065

116120

192321249

444274

Demanda

N P2O5 K2O

555454

5756

8788619

1102

420303283

355262

N P2O5 K2O

Suministro

Dosis de fertilización recomendadas según el rendimiento del cultivo en un ingenio de Tenosique,

Tabasco. Todas las magnitudes se expresan en kg por hectárea

Unidadde suelo

FluvisolVertisolCambisolLuvisolLeptosol

1201008090120

160120120140160

6080608080

6080608080

Rendimiento N P2O5 K2O




y textura media. Colores amarillentos y grisáceos y

textura fina caracterizan al luvisol. El leptosol, desa-rrollado a partir de rocas calizas del terciario, muestracolores oscuros y textura media.

Se ha acometido la investigación de la extracción denutrientes de la caña de azúcar. Se busca, en con-creto, un indicador del agotamiento del suelo a partirde la cantidad de nitrógeno u otro elemento extraídopor tonelada de tallos molederos. En México se ex-traen en promedio 1,3kg de nitrógeno, 0,36kg de fós-foro y 2,3kg de potasio por tonelada de caña. Dadoque se trata de un sistema dinámico, el suelo cañerose enfrenta a un abastecimiento irregular de nutrien-tes. En tales circunstancias, la fertilización constituyeun buen aporte externo que ayuda a incrementar elrendimiento del cultivo.

En las últimas décadas se ha intensificado el de-sarrollo de métodos para gestionar la fertilización. Debi-do al incremento de los precios y a la voluntad de con-servar el medio, cada vez resulta más necesario unuso eficiente y racional de los fertilizantes. Las dosisrecomendadas de fertilización se deducen del balanceentre la demanda y el suministro de nutrientes. Si lademanda resulta mayor que el suministro, se crea undéficit de nutrientes, que se puede suplir mediante lafertilización, dependiendo siempre del tipo de suelo.Cuando la demanda cae por debajo de la aportación,se recomienda mantener la fertilidad del suelo y los

rendimientos del cultivo, mediante dosis de fertiliza-ción que igualen a la extracción.Existe otra forma de evitar la degradación de estos

suelos cultivados. Nos referimos al manejo viable. Alargo plazo, éste debe garantizar una producción acordecon los recursos del medio y contribuir a la mejora dela calidad de vida de los productores. La estabilidadeconómica que proporciona el cultivo se puede inver-tir en maquinaria agrícola para realizar la cosecha enverde; ello aumenta los beneficios económicos y am-bientales.

Varias prácticas agrícolas benefician los suelos cañe-ros: asegurar los contenidos de materia orgánica (un

3% permite mantener la fertilidad, retener la humedady conservar la estructura), evitar la quema de residuosde cosecha, promover las rotaciones con otros culti-vos y utilizar los residuos agroindustriales para mejo-rar las propiedades del suelo. Por último, resulta bá-sico concienciar a todos los que participan en estaactividad. Sólo si se toman las medidas adecuadas seevitará la pérdida de la productividad de los suelos de-dicados a la caña de azúcar.

DAVID JESÚS PALMA LÓPEZLILIANA ARMIDA ALCUDIA

SERGIO SALGADO GARCÍAColegio de Posgraduados, Campus Tabasco

México

Origen de los perros del Nuevo Mundo Proceden de los euroasiáticos

Hace 6000 años, antes de la aparición de los gran-des imperios y de los viajes transoceánicos, exis-

tían ya dos mamíferos cuya distribución abarcaba Euro-pa, Asia, Africa, Oceanía y América: el hombre y elperro. El perro constituye un elemento fundamental enla mayoría de las culturas humanas. Convive tanto conlos aborígenes australianos, como con los esquimalesde Alaska o con nosotros mismos. Mucho antes deque ninguna otra especie animal o vegetal fuese do-mesticada, perro y hombre ya coexistían.

El perro deriva de lobos domesticados en algún lu-gar de Eurasia —quizás en varios lugares—. La ar-queología revela que, como resultado de la selecciónejercida por el hombre, los perros ya se encontrabanmorfológicamente diferenciados de los lobos hace 15.000años. Hasta la fecha, los fósiles más antiguos de cá-nidos identificados como perros proceden de Europacentral y del cercano Oriente.

Los restos más antiguos de perros encontrados enel Nuevo Mundo proceden del estado norteamericanode Utah, y datan de hace unos 10.000 años. Tanto lagran distancia que separa estos restos de los encon-trados en Europa y Asia, como su antigüedad, unidasal hecho de que la comunicación entre Asia yNorteamérica se cortase hace unos 12.000-13.000 años(debido al ascenso del nivel del océano Pacífico tras

la última glaciación), han llevado a muchos investiga-dores a pensar que los perros americanos derivan deuna domesticación independiente del lobo en ese con-tinente. Esta hipótesis se puede estudiar mediante elanálisis genético de perros de origen americano y sucomparación con los perros europeos y asiáticos. Sinembargo, tal análisis no resulta simple, ya que es muyprobable que los perros americanos y los del resto delmundo se hayan entrecruzado frecuentemente durantelos últimos 500 años. Para precisar el origen de losperros americanos es necesario estudiar cómo eran an-tes de la llegada de los europeos (con sus perros) du-rante los últimos siglos.

Rebrote de plántulas de caña de azúcar en el segundo ciclo de cultivo “soca” en Tabasco




Hemos analizado secuenciasdel ADN mitocondrial aisladasa partir de restos óseos deperros precolombinos de Amé-rica Latina y de perros de Alas-ka que datan de antes de lallegada de los primeros explo-radores en 1741. Los análisisgenéticos sugieren que losperros nativos americanos te-nían el mismo origen que loseurasiáticos y, probablemente,derivaban de perros que lle-garon con los primeros pobla-dores del continente america-no, hace al menos 13.000 años,procedentes de Asia. La grandiversidad de linajes observadaentre los perros nativos ame-ricanos indica que debieron de llegar acompañando alos hombres en varias oleadas y no en una sola inva-sión. Al arribar al Nuevo Mundo esos cánidos queda-

ron aislados de sus ancestros y evolucionaron dandolugar a unos linajes únicos, ligeramente diferenciados.El hecho de que los perros nativos americanos ten-

gan el mismo origen que los eurasiáticos abre unasperspectivas fascinantes. Hace 13.000-15.000 años,al final del Paleolítico superior, perros con un origencomún se encontraban desde Europa central hastaNorteamérica. Las poblaciones humanas eran todavíanómadas y carecían de animales o plantas domésti-cos que les permitiesen un cierto control del medio:eran autosuficientes, en el sentido de que su super-vivencia no solía depender del comercio con sus ve-cinos. Sin embargo, nuestros resultados indican queun elemento cultural, el perro, ya se compartía a lolargo y ancho de tres continentes, abarcando distan-cias de más de 9000 kilómetros. Esto implica, por unlado, que el intercambio y la relación entre esas so-ciedades pueden haber sido mucho más extensos delo que habitualmente pensamos. Por otro indica queya existía un gran interés por poseer perros.

Hoy por hoy desconocemos las razones por las quelos perros fueron domesticados. Hay quienes piensanque se vería en ellos fuente de alimento, pero resultadifícil imaginar que la primera especie en ser domesti-cada fuese un carnívoro de mediano tamaño en lugarde un herbívoro mayor. Se han sugerido otras posi-bles razones: compañía, protección, animal de carga,

ayuda para la caza, consecuencia de una relación co-mensal... No sabemos las razones que llevaron a laíntima asociación entre hombres y perros. Sin embar-go, los resultados de los estudios genéticos sugierenque, fuese cual fuese la causa, esta asociación re-presentaba un beneficio tal, que muchas sociedadespaleolíticas en todo el mundo se interesaron en poseerperros. Resulta imprescindible un mayor conocimientosobre la relación entre hombre y perro en sociedadesprimitivas para poder comprender el modo de vida alfinal del Paleolítico.

En la actualidad ese mismo fragmento de ADN mi-tocondrial ha sido estudiado en cientos de perros de

todo el mundo, incluyendorazas de origen americano.Ahora bien, no se han en-contrado los linajes que exis-tían en los perros nativos delNuevo Mundo. Aparentemente,estos linajes quedaron ex-cluidos del origen de las ra-zas actuales más comunes. Elimpacto que la llegada de loseuropeos a América tuvo so-bre muchos grupos nativos ysus culturas comportó queincluso sus perros fuesen deun modo u otro discriminadosrespecto a los de los invaso-res. Quizá los linajes de losperros nativos americanos handesaparecido, llevándose con-

sigo parte de nuestra historia. Sin embargo, como lasrazas de perros modernas dependen más de los gus-tos de los criadores que de los procesos naturales, es

posible que esos linajes hayan sido excluidos de lasrazas más reconocidas pero existan aún entre perroscimarrones, asilvestrados o de razas no reconocidas,perros ignorados por los criadores y por las socie-dades canófilas. Quizá son precisamente ésos losauténticos herederos de los perros nativos del NuevoMundo.

CARLES VILADepto. de Biología Evolutiva,

Universidad de Uppsala

JENNIFER LEONARDDpto. Biología Sistemática, Museo Nacional de

Historia Natural, Institución Smithsoniana,Washington

Cetonas Reducción estereoselectiva

En las transformaciones químicas operadas por losorganismos, la reducción de compuestos carboní-

licos mediante alcohol deshidrogenasas constituye un

proceso de interés primordial. La explicación técnicanos dice que se crea un nuevo centro estereogénicoa partir de una estructura simétrica.

El proceso biotransformador puede hacerse medianteenzimas aisladas o en células enteras. Ambas aproxi-maciones ofrecen ventajas e inconvenientes. Las en-zimas libres permiten un proceso simplificado de re-cuperación del producto de reacción, sin aparición deproductos secundarios. Pero exige desarrollar el es-calado de la síntesis de la enzima y su purificación.Además, al utilizar cofactores (NADH/H o NADPH/H),se requiere la adición de cantidades estequiométricasdel cofactor —que es caro—, pues la regeneración in

El lobo es el ancestro del perro. Sin embargo los perros americanos no derivan de lobos

americanos

C A R L O S S

A N Z




vitro del mismo no resulta económicamente rentable niescalable.

Si se recurre a células enteras, el proceso de re-ducción de compuestos carbonílicos puede originarproductos secundarios o provocar la desaparición de pro-ductos que se transforman en biomasa, debido a lapresencia de muchas enzimas intracelulares. La recu-peración del producto resulta entonces complicada. Peroofrece la ventaja de que la coenzima se regenera in situ

sólo con el suministro de glucosa, sacarosa, etcétera.A partir de una colección taxonómica de 421 microor-

ganismos, confeccionamos una biblioteca microbiana.La reacción test fue la reducción de ciclohexanona enciclohexanol. Se trata de una reacción que puede se-guirse por cromatografía de gases de forma automati-zada. Con la misma se nos permite seleccionar, demanera rápida y segura, los microorganismos activosen la reacción de reducción.

De 231 microorganismos que resultaron positivos enel análisis, se seleccionaron 11. Cumplían dos crite-rios discriminantes: una actividad reductasa frente aciclohexanona por encima del 50% y una actividad

oxidasa frente a ciclohexanol baja o nula (por debajodel 10%).Se aplicó luego un rastreo secundario (“screening”).

En efecto, las cepas seleccionadas intervinieron en lareducción de diversas cetonas monocíclicas de tama-ño diferente: ciclobutanona, ciclopentanona, ciclohep-tanona, ciclooctanona, y ciclododecanona. De este es-tudio se seleccionaron los tres microorganismos másactivos: Gongronella butleri , Diplogelasinospora grovesi y Schizosaccharomyces octosporus . Procedimos luegoa un rastreo terciario, que consistió en estudiar unaserie de compuestos con funciones estereoquímica yregioquímica diferentes (figura 1).

En toda búsqueda de nuevos microorganismos seintenta predecir qué requerimientos estéricos, electró-nicos o ambos deben cumplir las cetonas para ser subs-tratos de nuevas enzimas. El conocimiento global dela interacción entre enzima y substrato, así como desus consecuencias, se puede alcanzar por dos cami-nos diferentes. En primer lugar, por el estudio del si-tio activo de la enzima, vía que no pudimos seguir portratarse de microorganismos desconocidos. En segundolugar, el análisis de las propiedades moleculares delsubstrato y su actividad biológica mediante simulacio-nes teóricas. Nos servimos del método CoMFA paraanalizar la energía de interacción entre moléculas sonday substratos, en los puntos del espacio que rodean a

las moléculas de interés.En el presente estudio seleccionamos, por moléculade referencia, la 2-adamantanona. Por regla de alinea-ción de las moléculas que forman nuestra base de da-tos tomamos el solapamiento del carbono carbonílicoy de los carbonos adyacentes. En el caso de que laestructura presente radicales substituyentes o constede varios ciclos, se solaparía, sobre el carbono 4, elprimer carbono situado en la parte de la molécula másvoluminosa.

La optimización de la geometría de las moléculasutilizadas en la conformación que consideramos activase llevó a cabo mediante cálculos de mecánica mole-

cular. Las cargas eléctricas centradas en el átomo secalcularon, a partir del potencial electrostático mole-cular, mediante un procedimiento común para la si-mulación de proteínas, ácidos nucleicos y moléculasorgánicas. Se calcularon las energías de solvataciónde los substratos con un modelo polarizado continuo.

Una vez realizado el CoMFA obtuvimos una estruc-tura tridimensional donde aparecen representadas lasdistintas zonas de interés desde el punto de vistaestérico y electrostático. Para la representación grá-

fica de distintas zonas tridimensionales nos servimosde un código de colores.¿Qué se concluye de esta investigación? Existe una

zona donde se privilegia la presencia de potencial ne-gativo en el centro de la estructura y una amplia zonaque reconoce potenciales electrostáticos positivos. Estemodelo predictivo nos justificaría las buenas conver-siones obtenidas (por encima del 70%) con las 2-de-calonas y la baja conversión (12%) de la 1-tetralona.Nos confirma, además, que desde la 2-tetralona de-bería conducir a una conversión en alcohol muy ele-vada, teniendo en cuenta las características estéricascompletadas con el gradiente de carga negativa pro-

1. Algunas cetonas de gran tamaño reducidas por los microorganismos seleccionados

O CO H

CH3

OH3C

H3C

H3C CH2

CH3 CH3 CH3 CH3

O

HC H3C CH2C

O

H

O

CH3

CH3

CH3 CH3

CH

OO

O

O

O

H

O

H

O

H

O

H

2120

24

22

23 25

26

31 32 33 34

27

29 30

O




pio del anillo aromático, superpuesto sobre la zona elec-trostática. La presencia del anillo aromático (rico enelectrones) de la 1-tetralona en una zona donde se

encuentra favorecida la presencia de potencial posi-tivo, determina que la actividad alcanzada en la re-ducción de este substrato sea menor (12%) que paralas 1-decalonas. Comprobamos también que se ob-tiene más de un 50% de conversión en alcohol conDiplogelasinospora grovesii .

De la figura 3 deducimos que la Diplogelasinospora grovesii es un nuevo microorganismo capaz de redu-cir con buenos rendimientos todos los estereoisóme-ros de las 1 y 2 decalonas, así como los estereoisó-meros 2R5R y 2SS de las dihidrocarbonas y todas las

halocetonas precursoras de los β-bloqueantes adrenér-gicos. El centro activo debe ser muy grande en com-paración con el resto de los microorganismos estu-diados. Por ello admite mucha mayor variedad deestructuras en su centro activo; dicho de otro modo,está menos restringido que en los otros casos. Si aello sumamos su rapidez de crecimiento y los buenosresultados demostrados en las pruebas preliminares uti-lizando el liófilo del mismo como biocatalizador, cabrásuponer que se trata de un microorganismo muy pro-metedor en el desarrollo de este tipo de biotransfor-maciones y útil para la preparación de diversos fár-macos con buen rendimiento y enantioselectividad.

J. D. CARBALLEIRA y J. V. SINISTERRADepto. de Química Orgánica y Farmacéutica

Facultad de Farmacia de la UniversidadComplutense, Madrid

E. ALVAREZCentro de Investigación Básica,

Glaxo-SmithKline, Madrid

M. CAMPILLO y L. PARDOLaboratorio de Medicina Computacional

Unidad de BioestadísticaUniversidad Autónoma de Barcelona

Limpieza con láser

Una herramienta en la conservación de pinturas artísticas

La idea de utilizar láseres como herramientas de lim-pieza y análisis superficial data de los años se-

senta. Es tan antigua como el primer sistema láser, cons-truido por Maiman en 1960. Ya en esa década se rea-lizaron los primeros estudios de ablación por láser y seesbozaron muchas de las aplicaciones que hoy día co-nocemos. En el proceso de ablación, la interacción deun haz láser con un material sólido da lugar a la for-mación de un plasma en el que se eyectan desde lasuperficie átomos, moléculas o agregados. El plasmava acompañado de una emisión luminosa, cuyo análi-sis espectral permite determinar la composición elemental

del material que constituye el blanco de ablación. Estees el principio de operación de la técnica denominadaLIBS (Laser Induced Breakdown Spectroscopy , espec-troscopia de ruptura inducida por láser).

El uso del láser en el tratamiento de superficies dealto valor histórico-artístico es una aplicación más re-ciente, pero el progreso en ese campo resulta impa-rable. La limpieza por láser de fachadas arquitectóni-cas y esculturas es un procedimiento ya incorporadoa la práctica de la restauración. Existen hoy en díasistemas comerciales basados en láseres de Nd:YAG(neodimio dopado con itrio, aluminio y granate), emi-sores en la región del infrarrojo, que cumplen dicha

3. Zonas estéricas y electrostáticas en el CoMFAde la D. grovesii

Rastreo de microorganismos que se mostraron activos

en la reducción de ciclohexanona a ciclohexanol

Familia

Hongos filamentosos

Levaduras

Basidiomicetos

Actinomicetos

Bacterias

Hongos marinos

Total

148

59

60

43

71

33

421

73

14

9

42

45

21

204

Cepas estudiadas Cepas activas

Y<0

Y> 0

Z> 0

Z<0

X<0 X>0O

12

34

2. Modelo de ajuste de las distintas cetonas para el estudio CoMFA




función. Numerosos monumentos europeos han sidorecientemente restaurados con esta nueva técnica, en-tre ellos la catedral Notre Dame de París. Pero mien-tras la limpieza láser de superficies pétreas se hallamuy desarrollada, su aplicación a la limpieza de su-

perficies pictóricas (cuadros, policromías, etcétera) esmás reciente. Los materiales pictóricos son muy sen-sibles a la radiación luminosa. Se requiere por tantouna investigación previa y sistemática de las condi-ciones de aplicación, que garantice la salvaguarda desus propiedades.

Investigaciones previas han demostrado que los lá-seres de excímero, de emisión ultravioleta (UV), pue-den ser utilizados para la eliminación de los barnicesenvejecidos y repintes que constituyen las capas másexternas de las superficies pictóricas. Un láser deexcímero consiste en un láser de impulsos que operaa una longitud de onda fija, dependiente de la mezclade gases utilizada como medio de ganancia. En par-ticular, el láser de criptón flúor (KrF), que opera a248 nm, resulta el más adecuado para esta aplicación.La radiación UV del láser se absorbe de manera efi-caz en la capa más externa de barniz. Esta capapuede eliminarse mediante ablación. La cantidad deluz transmitida a las capas interiores, donde se en-cuentran los materiales más sensibles a ella, como los

pigmentos o el medio aglutinante (el material que seemplea para sustentar el pigmento y que puede serhuevo, en la témpera, o un aceite de origen vegetal,en la pintura al óleo), es mínima. Para la eliminaciónde las capas más externas de la superficie medianteel proceso de ablación, la energía de cada impulso lá-ser por unidad de superficie, o fluencia, debe sobre-pasar un cierto valor umbral. Dada esta condición, laablación va acompañada de un plasma luminoso cuyoanálisis espectroscópico, mediante la mencionada téc-nica LIBS, permite analizar la composición elementaldel material eliminado y proporciona un diagnóstico “so-bre la marcha” del proceso de limpieza que posibilitadiscriminar entre la capa de barniz y la capa pictórica.Esta herramienta de control confiere al procedimientode limpieza láser una gran selectividad y fiabilidad.

En el marco de un reciente Proyecto Europeo conparticipación de institutos de investigación y restaura-dores, se han evaluado de manera sistemática las mo-dificaciones físico-químicas inducidas por la radiacióndel láser de excímero de KrF en los materiales pictó-ricos de la pintura a la témpera, incluidos pigmentos,

medios aglutinantes y barnices. Utilizando muestrasmodelo, diseñadas para simular una pintura real a latémpera y diversas técnicas analíticas y espectroscó-picas se determinaron las modificaciones en la morfo-logía de las superficies, cambios de color y químicos.Se observó que la irradiación láser directa de lascapas pictóricas sin protección de barniz ocasionaprocesos de decoloración que operan en mayor o me-nor grado dependiendo de la naturaleza y composicióndel pigmento. Este efecto tiene lugar en la capa másexterna de la muestra, tal como se observa en la fi-gura 1. El medio aglutinante se degrada asimismo enpresencia de pigmentos inorgánicos. En algunos ca-sos se observan alteraciones en la composición mo-lecular de éstos. Cuando la capa pictórica se encuen-tra protegida por otra de barniz, no se detectan esosefectos de decoloración o degradación. Como resul-tado de estas investigaciones, ha sido posible diseñaruna estrategia adecuada para la limpieza láser de lassuperficies pictóricas recubiertas de barniz. Si se eli-minan mediante ablación controlada las capas más ex-ternas de barniz envejecido y se preserva una fina capasobre el substrato pictórico, ésta actuará como pro-tección, impidiendo el paso de la luz del láser a lascapas más internas y protegiendo los materiales pictó-ricos del posible efecto negativo de la exposición di-recta a la radiación láser.

Los resultados de esta investigación demuestran laviabilidad del láser como instrumento para la restaura-ción de pinturas artísticas. Para la eliminación de bar-nices y repintes, el grado de control del proceso de lim-pieza puede superar al que se obtiene con métodostradicionales basados en medios químicos (disolventes)o mecánicos. El ensayo del procedimiento sobre su-perficies pictóricas reales ha resultado altamente satis-factorio, como se aprecia en el ejemplo de la figura 2.

MARTA CASTILLEJOInstituto de Química Física Rocasolano, CSIC

Madrid

1. Irradiación con láser de KrF, 248 nm, de una muestra de témpera de amarillo de Nápoles. Se observa una

fina capa de material carbonizado

R .

T E U L E e

t a

l , J .

C U L T .

H E R I T .

4

( 2 0 0 3 ) 2 0 9 s

2. Limpieza láser parcial (KrF, 248 nm) de capas de suciedad sobre una pintura dañada en un incendio

R .

T E U L E e

t a l , J .

C U L T .

H E R I T .

4

( 2 0 0 3 ) 2 0 9 s




DE CERCATexto: Alf Skovgaard y Enric Saiz

Fotos: Alf Skovgaard y Albert Calbet

El término parásito proviene del griegoπαρασιτος , que indica la acción de co-

merse la comida de otro. En biología,se entiende por parásito el organismo, animalo vegetal, que vive en íntima relación conotra especie (el huésped ), del cual obtiene sualimento. En esa relación unilateral sólo elparásito obtiene un beneficio. Por lo comúnse nutre de los tejidos vivos del huésped,pero en ciertos casos se aprovecha de su in-gesta. Los parásitos no matan a su huéspedde forma inmediata; lo depauperan en mayoro menor grado, aunque a largo plazo puedenredundar en la muerte del huésped.

El parasitismo constituye un fenómeno muyextendido. Conocemos su presencia en el hom-bre (lombrices intestinales), en plantas y enanimales domésticos. Fuera del dominio de losexpertos, muy pocos saben, sin embargo,que incluso los organismos más pequeños quehabitan el planeta se hallan expuestos al pa-rasitismo. Tal es el caso de los copépodos ma-rinos, crustáceos integrantes del plancton ani-mal (zooplancton).

El plancton marino se estructura en redes tróficas, muycomplejas e imbricadas, en cuya base se encuentra el fi-toplancton, formado por organismos fotosintéticos de muypequeño tamaño que sintetizan materia orgánica. Parte deesta materia orgánica, a través de interacciones tróficas,se transfiere en última instancia hacia niveles tróficos su-periores. Dentro de estas redes tróficas marinas, los copé-podos desempeñan una función muy importante, pues aldepredar sobre las algas microscópicas son el principalvehículo de transferencia de la producción primaria planctó-nica hacia organismos superiores, como los peces.

Los copépodos integran el grupo de metazoos másabundante del planeta. Como ocurre en todo animal, nosólo son explotados por sus depredadores, sino tambiénpor sus parásitos. Curiosamente, en este caso algunas delas microalgas unicelulares que constituyen su dieta pare-cen haber abandonado su tradicional modo de vida y sehan especializado en alimentarse de sus propios depre-dadores. Ocurre así con ciertos dinoflagelados y otros gru-pos afines, que parasitan el interior del cuerpo de loscopépodos (endoparásitos ).

No se conoce bien el ciclo biológico de los endoparási-

tos de copépodos. Se cree que infectan al copépodo trasla ingestión de una zoospora. En lugar de ser digerida,esta zoospora crece y se divide; tras un posterior períodode maduración, liberará al medio cientos o miles de nue-vas zoosporas, que nadarán libremente hasta infectar a otrohuésped. La presencia del parásito mermaría las tasas decrecimiento y reproducción del huésped y, en última ins-tancia, podría acarrear su muerte.

Dada la ubicuidad del parasitismo en los copépodos, esde prever que desempeñen una función ecológica impor-tante en el control de la demografía de estos crustáceos,amén de otros factores como la depredación y la disponi-bilidad de alimento.

2. Imagen del copépodo ciclopoide Oithona sp. con el dinoflagelado endoparásito Blastodinium oviforme en su

interior. Los dinoflagelados son un grupo muy caracterís- tico de microalgas, con más de 2000 especies conocidas, de las cuales alrededor de 140 son parásitas de

peces, crustáceos e incluso ciliados y otras algas

Pequeños parásitos del mar

1. Imagen del copépodo calanoide Nannocalanus minorcon el dinoflagelado endoparásito Blastodinium contor-

tum en su interior. El parásito forma una masa celular dentro del tubo digestivo del copépodo, que puede apreciarse en la fotografía como un cuerpo amarillo




3. Imagen de la zoospora del dinoflagelado parásito Blastodinium oviforme, tras ser liberada

4. Imagen al microscopio de epifluorescencia del dinoflagelado

endoparásito Blastodinium manginien el interior del copépodo poecilostomatoide Oncaea sp.La mayoría de estos dinoflagelados parásitos conservan los cloroplastos,que aparecen en rojo en la fotografía debido a la autofluorescencia de la clorofila

5. Imagen del copépodo calanoide Paracalanus parvusinfectado por el dinoflagelado parásito Syndinium turbo.Podemos identificar las zoosporas, puntos blanquecinos,que se liberan al exterior. A diferencia de Blastodinium,este parásito devora el interior del copépodo, a medida

que se va multiplicando; sus zoosporas terminan por llenar el cuerpo del copépodo, provocando su muerte;

se liberarán luego al medio

6. Imagen del copépodo ciclopoide Oithona sp. infec- tado por el parásito mixomiceto Paradinium pouchetii.Este parásito medra en el cuerpo del huésped. Antes

de su liberación, las zoosporas salen por el ano y forman un esporangio, que aparece en la fotografía

como un cuerpo ovoide unido al urosoma del copépodo




L

a Luna no revela sus secretosfácilmente. Aunque nuestrosatélite fue el primer objeto pla-netario explorado con naves es-paciales y el único visitado hastaahora por astronautas, quedan

todavía muchas preguntas pendientesacerca de su historia, composición y es-tructura interna. En la actualidad, se harenovado el interés por la Luna; la Agen-cia Espacial Europea y Japón proyectansituar sondas en órbitas lunares; la NASA,por su parte, tiene pensado enviar unanave no tripulada a la cara oculta de laLuna. Estas misiones también arrojaránluz sobre la historia de los planetas in-teriores y rocosos del sistema solar:Mercurio, Venus, Marte y, en especial,la Tierra. La superficie de la Luna hapermanecido casi inalterada durante los

últimos tres mil millones de años; podríaguardar la clave de la formación y evo-lución de los planetas interiores.

Cuando se empezó a observar la Lunacon telescopios, hace 400 años, se vie-ron dos tipos de terrenos en la superfi-cie: las tierras altas, rugosas, brillantes,plagadas de cráteres, y las tierras bajas,con menos cráteres y más oscuras. GalileoGalilei llamó “maria” a las tierras bajas, que en latín significa mares, por suaspecto liso y oscuro. Una de las ma-yores sorpresas de la era espacial so-

brevino en 1959, cuando la nave sovié-tica Luna 3 fotografió la cara oculta,desconocida hasta entonces porque siem-pre permanece opuesta a la Tierra. Lasfotografías mostraron que carece, casipor completo, de los oscuros mares tannotorios en la cara visible. Ciertas teo-rías ya formuladas quizás eluciden estadicotomía de los terrenos, pero aún nose cuenta con una explicación segura.

El análisis de las rocas y la tierratraídas de la Luna por los astronautasdel Apolo y por algunas naves no tri-puladas ofreció una vislumbre de la evo-lución de la Luna. Se creó hará unos4500 millones de años, cuando un cuerpodel tamaño de Marte chocó contra laTierra primitiva. La colisión puso unchorro de roca vaporizada en órbita al-rededor de la Tierra; los pequeños cuer-

pos que lo componían se acumularon tandeprisa, que el calor generado en elproceso licuó las capas exteriores de laLuna naciente. Se formó así un océanode roca líquida, o magma. La cortezalunar surgió más tarde; se formó conlos minerales de baja densidad que emer-gieron hacia la superficie del océano demagma.

Siguió a esta fase temprana un viru-lento bombardeo de cometas, asteroidesy meteoros. Algunos de los mayores bó-lidos crearon enormes depresiones de más

La nueva LunaLas recientes misiones a la Luna han revelado que todavía hay mucho por

aprender del vecino más cercano a la Tierra

Paul D. Spudis




N A S A

EL POLO SUR DE LA LUNA. Este mosaico se compone de 1500 imágenestomadas en 1994 por la cámara de luz ultravioleta y visible de la naveClementine. El polo está justo en el centro del mosaico; el borde del mo-saico representa la latitud lunar de 70 grados sur. Tanto Clementine comoel Lunar Prospector hallaron pruebas de la existencia de agua helada en lasregiones en sombra permanente cercanas a los polos.



de 2000 kilómetros de diámetro. Lamayoría de los cráteres y las de-presiones, al menos en la cara visi-ble, se rellenaron durante los si-guientes 300 o 400 millones de añoscon lava basáltica rica en hierro;nacieron así los oscuros mares queobservamos hoy día. A medida quepasaba el tiempo, el bombardeo fueremitiendo; los impactos se hicie-ron menos frecuentes y violentos.Esto explica por qué los mares, más jóvenes que las tierras altas, tienenmenos, y menores, cráteres. Apenasnada más le ha ocurrido a la Lunaen los últimos tres mil millones deaños; después de que los fuegosvolcánicos se apagaran, la única ac-tividad registrada han sido los im-pactos esporádicos, la lluvia cons-tante de micrometeoritos y seis visitasfugaces de una docena de astronau-

tas hace más de 30 años.Puesto que la Luna ha sufrido

bombardeos y una actividad volcá-nica y tectónica, sirve de referen-cia para el conocimiento de esosprocesos. En concreto, su ligazón ala Tierra hace de ella un lugar idealpara el estudio de los aconteci-mientos extraplanetarios ocurridosen esta parte del sistema solar enetapas tempranas de la historia. Casitodas las huellas de los asteroidesy cometas que golpearon la Tierrahace miles de millones de años hansido borradas por la actividad ge-ológica de nuestro planeta. En cam-bio, se conservan en la Luna.

Se aprendió mucho con las ex-ploraciones de las misiones Apolo,si bien siguen sin resolverse un grannúmero de incógnitas. Se necesitacartografiar la Luna globalmentepor medio de sensores remotos. Losdos sobrevuelos que, de camino aJúpiter, realizó la nave Galileo al-rededor del sistema Tierra-Luna a

principios del decenio de 1990 pre-sagian los descubrimientos fasci-nantes que nos esperarían con in-vestigaciones así. Descubrieronrocas de alto contenido en hierroen el suelo de la depresión Aitkendel Polo Sur, en la cara oculta. Ex-ploraron también mares por mediode filtros espectrales que facilita-ron información de la composi-ción superficial; los resultados pro-baron que la detección remota puedeestablecer la sucesión de flujos delava en los mares.

Los mares lunaresy las tierras altas

En 1994, el Departamento deDefensa de los EE.UU. lanzó

la sonda espacial Clementine. Debíaprobar, mientras rodeaba la Lunaen órbita polar, unos sensores ul-traligeros concebidos para la defensacontra misiles. Clementine orbitó al-rededor de la Luna durante 71 días.Levantó un mapa completo de lasuperficie en 11 longitudes de ondadiferentes, tanto del visible como delinfrarrojo cercano. Llevaba un me-didor láser de distancias gracias alcual se dibujó, por primera vez, unmapa topográfico de la Luna en-tera. El seguimiento por radio de laórbita de la nave mejoró nuestroconocimiento del campo gravitato-rio lunar. Y mediante un experimentoimprovisado con un radar se obtu-vieron pruebas de la existencia deagua helada en las regiones del PoloSur siempre sombreadas.

Tras Clementine, la NASA situóen 1998 el Lunar Prospector en unaórbita polar alrededor de la Luna.Se trató de una las misiones que laNASA incluye bajo la rúbrica “Dis-

covery”; como tal, cartografió lacomposición de la superficie lunarmediante la espectroscopía de ra-yos gamma y de neutrones. Confirmóla existencia de hielo en el PoloSur y descubrió nuevos depósitosen el Polo Norte. Un espectrómetrode partículas alfa midió las emisio-nes de gas del interior lunar y unmagnetómetro trazó la distribuciónde las anomalías magnéticas de lasuperficie. De nuevo, el seguimientopor radio de la nave mejoró nues-tro conocimiento del campo gravi-tatorio. Finalmente, desde la Tierra,los controladores estrellaron el LunarProspector contra la Luna; queríanque así saltara un penacho de vaporde agua superficial. Los telescopiosde la Tierra y del espacio apunta-ron hacia la zona del impacto, perono observaron nada.

Al englobar los descubrimientosde los Apolo en una visión de conjunto, las mediciones de Clementiney Lunar Prospector han suscitadoun replanteamiento de lo que se sabede la Luna y su historia. Por ejem-plo, en el Oceanus Procellarum, unagran depresión al oeste de la caravisible, los astronautas del Apolo 12y del Apolo 14 hallaron rocas basál-ticas anómalas ricas en elementospresentes en cantidades de traza, o“KREEP” (la “K” por el potasio,“REE” por elementos raros terres-tres dicho en inglés, y la “P” porel fósforo). Según los geólogos, esastrazas de elementos son incompati-bles: no encajan bien en las es-tructuras cristalinas de los minera-les que forman las rocas comunes.La existencia de rocas ricas enKREEP indica que la Luna jovensufrió intensos procesos de licue-facción y diferenciación, durante loscuales los elementos incompatiblesse concentraron en la parte fundidade un sistema cada vez más sólido

y cristalizado. El Lunar Prospectordescubrió que las mayores concen-traciones de KREEP se dan en elOceanus Procellarum, aunque sedesconoce el motivo de esta atípicadistribución.

Es más, los satélites lunares con-firmaron que en las tierras altaspredomina la anortosita, una rocaígnea compuesta sobre todo de fel-despato y rica en calcio y alumi-nio. Estas rocas se crearon en unafase temprana de la historia de la


Resumen / Los misterios de la Luna■ En el decenio de 1990, las naves Clementine y Lunar Prospector

generaron mapas globales de la topografía, composición superficial,variaciones gravitatorias y anomalías magnéticas de la Luna.

■ Los descubrimientos dieron un contexto a los hallazgos de las misio-nes Apolo, pero también suscitaron nuevas preguntas. En especial,se quiere conocer mejor el violento bombardeo al que se viosometida la Luna hace unos cuatro mil millones de años.

■ La Agencia Espacial Europea, Japón y EE.UU. tienen proyectadoenviar sondas no tripuladas a la Luna para aclarar algunos de susenigmas.



Luna, cuando sus capas exterioresestaban completamente fundidas;la anortosita, poco densa, flotó ha-cia la superficie del océano demagma. Aunque ya se había supuestola existencia de una fase así en lahistoria lunar basándose en las mues-tras traídas por los Apolo, la pruebadefinitiva vino con los datos deClementine y Lunar Prospector, queestablecieron la distribución globaly la gran cantidad de anortosita.Puesto que la única fuente de calorque pudo haber licuado la Luna en-tera fue una acumulación muy rá-pida de cuerpos pequeños, la pre-sencia de grandes cantidades de

anortosita en la corteza apoya la teo-ría de que la Luna surgió de losrestos de una colisión planetaria.

Los satélites lunares también hanelucidado uno de los descubrimientosmás intrigantes de las misionesApolo: el ingente contenido de ti-tanio en los basaltos de mar lunarrecogidos por los astronautas delApolo 11 en el primer alunizaje. Losgeólogos lunares encontraban gran-des dificultades a la hora de expli-car cómo los magmas de alta den-

sidad y elevado contenido de tita-nio pudieron ascender por encimade la corteza de anortosita, menosdensa. Tanto Clementine como elLunar Prospector demostraron quelas lavas con grandes cantidades detitanio encontradas por el Apolo 11son, en realidad, raras en la Luna.Aunque los basaltos de los marespresentan diversas concentracionesde titanio, sólo una pequeña frac-ción contiene las cantidades extre-mas observadas en el Mar de laTranquilidad, el lugar del primer alu-nizaje. Los investigadores lunareshan aprendido la lección: las mues-tras tomadas en una región deter-

minada no tienen por qué represen-tar a áreas mayores.

Las coladas de lava ofrecen unacomposición semejante, que puedereconocerse con claridad: cabe, pues,aplicar los datos de Clementine yLunar Prospector a la hora de car-tografiar las ocurridas en los ma-res. La edad de cada colada se de-termina midiendo la densidad decráteres de impacto. Los mares másprimitivos han estado expuestos aun intenso bombardeo durante más

tiempo que los mares jóvenes, porcuya razón muestran una mayor den-sidad de cráteres. Se calculó la edadde los mares en los sitios donde alu-nizaron los Apolo mediante el aná-lisis de los radioisótopos de las ro-cas; la de otros mares se ha estimadocomparando las densidades de crá-teres en ellos con las densidades enlos lugares donde se alunizó. Losresultados revelan que, aunque laLuna tiene en sus mares lavas decomposiciones y edades muy di-versas, casi todas manaron hace en-tre 3000 y 3800 millones de años.

Los mares se reconocen por su co-lor oscuro; sin embargo, también hay


I N S T I T U T O

L U N A R Y P L A N E T A R I O

Mare Imbrium

Mare Tranquillitatis

Depresión Aitken del Polo Sur

Mare Serenitatis

CARA VISIBLE CARA OCULTA

15

17

OceanusProcellarum

1214

16

11

Luz y oscuridad

PAUL D. SPUDIS pertenece al Labo-ratorio de Física Aplicada de la Uni-versidad Johns Hopkins. Desde 1982es investigador principal del progra-ma de Geología Planetaria de la Ofi-cina de NASA para las Ciencias Es-paciales; se ha especializado en lainvestigación de impactos y volcanis-mo planetarios. Codirigió el equipocientífico de la misión Clementine.

El autor

Las imágenes tomadas por Clementine de la cara visiblede la Luna nos muestran los dos tipos principales de terre-no: las tierras altas, brillantes y repletas de cráteres, y lastierras bajas, oscuras y más llanas: los ”mares”. Por elcontrario, la cara oculta de la Luna carece casi por com-

pleto de mares. Seis misiones Apolo visitaron la cara visi-ble (los lugares del alunizaje se indican con círculos decolor amarillo, numerados conforme a la misión de que setratase). La NASA quiere ahora enviar una sonda robóticaa la cara oculta.



KILOMETROS

0 8–8 –4 4

0

8

16

<0,5

1

3

>6

HIERRO

TORIO

0,228–0,230

0,223–0,225

0,217–0,219

0,212–0,214

TOPOGRAFIA

P A U L D

S P U D I S E I N S T I T U T O L U N A R Y P L A N E T A R I O

( m a

p a s t o p o g r á f i c o

d e h i e r r o y d e t o r i o ) ; I M P R E S O C O N P E R M I S O D

E A

S

K O N O P L I V E T A L

GRAVEDAD

5

1

0

–2,5

CARA VISIBLE CARA OCULTA

POLO SURPOLO NORTE

A B U N D A N C I A

D E

O X I D O

F E R R O S O

( p o r c i e n t o )

A B U N D A N C I A

D E

T O

R I O

( p a r t e s p o

r m i l l ó n )

A C E L E R A C I O N

(

m i l í m e t r o s p o r s e g u n d o

y p o r s e g u n d o )


AGUA HELADA

EL LUNAR PROSPECTOR también hallórastros de agua helada en los polos de laLuna. Su espectrómetro de neutrones en-

contró un flujo de neutrones de mediaenergía que rebotaba sin cesar en las re-

giones en sombra perpetua (color morado).El hielo frena a los neutrones al chocar

éstos contra los átomos de hidrógenode las moléculas de agua. Estos resulta-

dos confirmaron el hallazgo por Clementinede hielo en esos lugares oscuros.

GRACIAS A LAS OBSERVACIONESde las naves Clementine y Lunar

Prospector se han confeccionado losprimeros mapas globales detallados de

la superficie lunar. Clementine llevabaun láser que medía la distancia a la su-

perficie una vez por segundo en cadauna de sus órbitas polares. Los resulta-

dos manifestaron la enorme extensiónde la depresión Aitken del Polo Sur

(mancha violácea de la cara oculta):ese impacto se extiende a lo largo de

más de 2600 kilómetros de diámetro.

LAS CAMARAS DE CLEMENTINE tomaron imágenes en once longitu-des de onda diferentes, del visible e infrarrojo cercano. Con los datosde dos de estas longitudes de onda (750 y 950 nanómetros), se haelaborado el mapa de la concentración de hierro en los suelos de lasuperficie lunar. Los niveles de hierro más altos se dan en los maresde la cara visible; los más bajos en la parte central de la cara oculta(por encima de la depresión Aitken del Polo Sur).

EL LUNAR PROSPECTOR midió con un espectrómetro de rayosgamma la abundancia de 10 elementos en la corteza de la Luna. Eltorio fue uno de ellos; se asemeja a las trazas de elementos englo-badas bajo el acrónimo KREEP: no se integra bien dentro de la es-tructura cristalina de los minerales de las rocas comunes. Los mayo-res niveles de torio se encuentran en el Oceanus Procellarum , en lacara visible, pero se desconoce la razón de esta distribución inusual.

AL DESCRIBIR UNA ORBITA que llegaba a estar sólo 7 kilómetrosde la superficie lunar, el Lunar Prospector pudo medir con precisiónlas variaciones de la gravedad lunar. El seguimiento de la órbita de lanave descubrió zonas con una gravedad mayor de la esperada (color rojo ) al sobrevolar algunas de las depresiones más recientes. Una po-sible explicación es que ciertas infiltraciones de roca densa del mantolunar emergieran a la superficie de las depresiones tras los impactosque crearon éstas.

Los mapas de la Luna

FLUJODE NEUTRONES

DE ENERGIAMEDIANA (neutrones

por centímetro cuadradoy por segundo



ciertas regiones de las tierras altascon una reflectancia intermedia y unalto contenido en hierro. Algunasde estas superficies no son más quedepósitos de mar, recubiertos por al-fombras de cascote de las tierras al-tas: capas de rocas proyectadas porlos impactos que crearon las depre-siones. Estas lavas de mares son másantiguas que las capas de desechosde las tierras altas, que se deposi-taron durante la creación de las de-presiones, hace 3800 millones deaños; por tanto, las erupciones delava en la Luna comenzaron muchoantes de que se produjesen las co-

ladas de mar de las que tomaronmuestras los Apolo. El mapa globalde la Luna demuestra que las cola-das más antiguas abundan en la caraoculta y en el limbo (el borde en-tre las caras oculta y visible).

Un mundo accidentado

La Luna es abrupta. La diferen-cia de altura entre el punto más

bajo de su superficie (en la depre-sión Aitken) y el más alto (en elborde de la depresión Korolev, dela cara oculta) es de más de 16 kiló-metros. En la Tierra, donde la má-xima diferencia de altitud es de unos20 kilómetros, la topografía superfi-cial resulta de la actividad tectónicaque levanta cadenas montañosas yabre fosas en el fondo del océano.La Luna, por el contrario, tiene unaenvoltura estática; la corteza lunarha permanecido rígida y fría durante,al menos, los últimos cuatro mil mi-llones de años. El relieve topográ-

fico lunar se debe por completo alos cráteres y a las depresiones. Noes, por tanto, una coincidencia quela mayor depresión sea también ellugar de las diferencias de altitudmás extremas, aunque sorprende queesta estructura tan grande y antiguaconserve aún su forma original.

Internamente, la Luna también pa-rece bastante irregular. El rastreopor radio de Lunar Prospector, cuyabaja órbita le acercaba incluso a sólo7 kilómetros de la superficie, halló

una gravedad más intensa de lo es-perado cuando sobrevolaba algunasde las depresiones más jóvenes. Nose cree que los basaltos sean el ori-gen de las anomalías gravitatorias;cada colada de lava parece muydelgada (de unos pocos metros aunas decenas de metros); las acu-mulaciones totales no pasan de los200 metros. Parece que las concen-traciones de masa consisten en in-filtraciones de roca densa proce-dentes del manto lunar; emergierona la superficie de las depresionesdespués del impacto.

La curiosa división del terreno

lunar, con la cara visible llena demares oscuros y la cara oculta re-pleta de tierras altas brillantes, podríatener su explicación en diferenciasestructurales ocultas bajo la super-ficie. Aunque no se ha zanjado to-davía la cuestión, la razón más pro-bable de esa diferencia entre lascaras es que la corteza de la caravisible sea más delgada que la cor-teza de la cara oculta; los magmasascendentes atravesarían, pues, conmás facilidad la superficie de la caravisible. La gran depresión Aitkendel Polo Sur contiene la mayoríade las lavas de mar de la cara oculta,pero incluso esos depósitos son muyfinos y no demasiado extensos: ensu mayor parte está casi vacía delava, que abunda en cualquier de-presión de la cara visible, por pe-queña que sea.

El mapa topográfico generadopor el medidor de distancias porláser de Clementine reveló las enor-mes dimensiones de la depresiónAitken: con un diámetro de

2600 kilómetros, no hay mayor im-pacto en todo el sistema solar. Cle-mentine también encontró otrasmuchas depresiones —entendiendopor tales los impactos con diáme-tros de más de 300 kilómetros—,algunas de las cuales eran desco-nocidas. Se calcula que hay en laLuna más de 45. De acuerdo conlas densidades de cráteres dentrode las depresiones, la Aitken delPolo Sur parece la más antigua yOrientale, la más joven.

Sólo se conocen las edades abso-lutas de las depresiones que fueronvisitadas por las misiones Luna yApolo. La datación radioisotópicade las muestras de rocas que se fun-dieron cuando un asteroide o cometachocó contra la Luna —revelado-ras, por tanto, del momento del im-pacto—, nos dice que las depresio-nes se formaron en un intervalo detiempo muy corto, entre hace 3800y 3900 millones de años. De estaigualdad de edades se deduce quela Luna experimentó un número ele-vadísimo de impactos en un tiempomuy breve: el “cataclismo lunar”.

Pero, ¿cómo pudo ocurrir tal di-luvio? Los modelos de las prime-ras etapas de la historia del sistemasolar predicen que la frecuencia deimpactos disminuyó hace más de4000 millones de años, ya que lamayoría de los planetesimales —pe-queños cuerpos rocosos nacidos dela nebulosa solar— fueron expul-sados del interior del sistema o ab-sorbidos por los planetas exteriores.Si se confirma que el cataclismolunar sucedió realmente, las conse-cuencias serían profundas para lahistoria de los planetas interiores.Es posible, por ejemplo, que haráunos 3900 millones de años se rom-piera un objeto muy grande del cin-turón de asteroides, cuyos restos fue-ran barridos hacia el sistemaTierra-Luna. Si aconteció así, la his-toria de los cráteres lunares no sehabría repetido en otra parte y novaldría como guía para la dataciónde los demás planetas, aparte de laTierra.

Para confirmar la realidad del ca-

taclismo lunar, puede medirse laedad absoluta de la depresión Aitkendel Polo Sur. No hay otra más an-tigua; se trata de la mayor depre-sión cuya edad se ha determinadomediante muestras fundidas de im-pactos es el Mar de la Serenidad,al que se le calcula una edad de3870 millones de años. El impactoque dio lugar a la depresión Aitkenocurrió, sin duda, después de quese solidificara la corteza lunar; deeso hace unos 4300 millones de años.


N A S A



La edad de la depresión ha de en-contrarse entre estos dos valores;pero, ¿más cerca de cuál?

Si la depresión Aitken tiene unaedad parecida a la de otras depre-siones, se contaría con un sólidoargumento a favor del cataclismolunar. Pero si la edad de la depre-sión Aitken se acerca más a la dela solidificación de la corteza, nohabrá necesidad de postular un ca-taclismo lunar. La historia de loscráteres de la Luna se podría en-tender como una prueba de la caí-da exponencial de la frecuencia delos impactos. En ese caso, la his-toria lunar serviría de guía para lainterpretación de los cráteres de losplanetas interiores, de Marte en con-creto. Para datar la depresión Aitken,no obstante, hay que obtener mues-tras del impacto.

Quizás el resultado más atractivode las misiones Clementine y LunarProspector fuese la detección de aguahelada en los polos de la Luna. Eleje de rotación lunar está inclinado

1,5 grados; es casi perpendicular alplano orbital del sistema Tierra-Sol.Visto desde la Luna, el Sol siem-pre se halla cerca del horizonte.(El eje de rotación de la Tierra tieneuna inclinación de 23 grados.) ElSol iluminará siempre cualquier lu-gar próximo al polo lunar que seencuentre más de 600 metros porencima de la elevación media de lasuperficie. Si un punto no llega aesos 600 metros de altitud, perma-necerá en una sombra perpetua. Esasregiones sin luz cuentan sólo condos fuentes de calor: la pequeñadesintegración radiactiva del inte-rior lunar y la débil radiación cós-mica. Llevan así desde hace 2000o 3000 millones de años. Estas tram-pas gélidas, con temperaturas delorden de –223 a –203 grados, acu-mularían el agua helada de los co-

metas y meteoritos que golpearonla Luna: nunca la evaporaría la luzdel Sol.

Aunque la misión Clementine nollevaba a bordo instrumentación es-

pecífica para detectar el hielo po-lar, el equipo científico improvisóun experimento con el transmisorde radio de la nave. Las superficiesrocosas dispersan las ondas radiode forma aleatoria; el hielo, en parteabsorbe las ondas y en parte lasrefleja coherentemente. Cuando Cle-mentine dirigió las ondas de radiohacia las regiones del Polo Sur ensombra permanente, las señales re-flejadas fueron las propias de unasuperficie helada. Cuatro años mástarde, el espectrómetro de neutro-nes del Lunar Prospector observógrandes cantidades de hidrógenoen las regiones oscuras de los dospolos; debió de detectar, es la ex-plicación más verosímil, el hidró-geno del agua helada. Las estima-ciones actuales apuntan a que existenmás de diez mil millones de tonela-

das de hielo, con un grosor de unos30 centímetros, en la superficie deambos polos. Se desconoce el es-tado físico de este material, su com-posición exacta, pureza o accesibi-

I N S T I T U T O

L U N A R Y P L A N E T A R I O


Regreso a la LunaEl resurgir de un nuevo interés científico por la Luna ha movido a las agencias espaciales a proyectar nuevas misiones lunares.

Nave

MISIONES PASADAS Y PRESENTES

País Fechade lanzamiento

Masa sin combustible(kilogramos)

Investigación en la Luna

Clementine

LunarProspector

SMART-1

EE.UU.

EE.UU.

AgenciaEspacialEuropea

25 de enero de 1994

7 de enero de 1998

27 de septiembrede 2003

227

158

280

Empleó cámaras y medidores de distancia por láser para cartografiarla topografía y la composición superficial. Un experimento de radarencontró la primera prueba de que había agua helada en los polos.

Los espectrómetros midieron las abundancias de los elementos enla corteza y detectaron más hielo. Un magnetómetro y un reflectó-metro de electrones determinaron los campos magnéticos.

A su llegada a la Luna a principios de 2005, una cámara y unos es-pectrómetros registrarán los minerales y examinarán los cráteresoscuros en busca de hielo.

Lunar A

SELENE

Envío a laTierra de lasmuestras dela depresiónAitken delPolo Sur

Japón

Japón

EE.UU.

Agosto-Septiembrede 2004

2005

Antes de 2010

520

1600

Por determinar

La nave enviará dos penetradores que se introducirán bajo la super-ficie en dos puntos opuestos de la Luna. Los sismómetros y los sen-sores de temperatura examinarán el interior lunar.

Un conjunto de cámaras, espectrómetros y otros instrumentos carto-grafiarán la composición superficial, la topografía y los camposmagnético y gravitatorio con mayor detalle.

Una sonda robótica recogerá muestras de rocas y tierra del suelo dela depresión; los enviará de vuelta a la Tierra para el análisis de suedad y composición.

MISIONES FUTURAS



lidad. Este conocimiento se puedeadquirir sólo con misiones futurasa la Luna.

Las imágenes tomadas por Cle-mentine muestran también que al-gunas regiones cercanas a los poloslunares reciben iluminación solar deforma casi constante. Una zona pró-xima al borde del cráter Shackletonpermanece iluminada durante másdel 75 % del período de rotación dela Luna. Lugares así cuentan conun entorno térmico algo más benig-no, con temperaturas superficialesde entre –60 y –40 grados. (La tem-peratura del ecuador de la Luna os-

cila entre los –150 y los –100 gra-dos.) Establecer una estación, conpersonal o no, en una de estas re-giones iluminadas próximas a lospolos facilitaría la supervivenciade los dispositivos en las tempera-turas extremas de la superficie lu-nar. Y si se pudiera recoger el hielode alguna zona oscura cercana, labase dispondría de una fuente deagua que mantendría vidas huma-nas o valdría como combustible paracohetes (mediante la ruptura delagua en hidrógeno líquido y oxí-geno, los dos combustibles quími-cos más poderosos).

Regreso a la Luna

Como resultado del éxito de Cle-mentine y Lunar Prospector,

nuevas misiones se encuentran aho-ra en diferentes estados de prepa-ración. En septiembre de 2003 laAgencia Espacial Europea lanzó lanave SMART-1, a fin de probar un

motor de propulsión iónica durantesu viaje de 16 meses a la Luna.SMART-1 porta una cámara y unsensor de rayos X para cartografiarla superficie de la Luna. La sonda japonesa “Lunar A”, arrojará con-tra la superficie dos “penetradores”equipados con sismómetros y sen-sores de temperatura. Reunirán in-formación acerca del interior lunary posiblemente confeccionarán unmapa de su núcleo. Japón piensaampliar esta misión con una nave

mayor, SELENE, que escrutará laLuna con más detalle mediante es-pectrómetros de rayos X y rayosgamma, una cámara de terreno, unaltímetro láser y un radar sonda.

Además, la reciente importanciaconferida a la depresión Aitken delPolo Sur ha dado nueva vida a laidea de que alunice allí una naveque recoja muestras y las envíe ala Tierra para ser analizadas. Elobjetivo principal de esta misiónconsistiría en la obtención de mues-tras del material fundido por el im-pacto de la depresión Aitken. Si seconsigue determinar cuándo se formó

la depresión, estas rocas respon-derían a la pregunta de si hubo ono un cataclismo lunar. Es más,puesto que el material fundido mez-cla todas las rocas golpeadas por elasteroide o cometa, su estudio podríarevelar la composición y la estruc-tura de la corteza lunar en la de-presión. Algunos piensan que elobjeto que se estrelló contra la Lunadebió de penetrar en la corteza ydejar al descubierto partes del mantoexterno, quizás a profundidades dehasta 120 kilómetros. Si la coladadel impacto contiene material delmanto, podremos caracterizar concierto detalle la composición delinterior de la Luna.

Los planificadores de la misióndeben seleccionar para el alunizaje,en la depresión Aitken, un sitio dondese puedan recoger muestras que re-suelvan las dudas sobre la edad ycomposición de dicha estructura.La información proporcionada porsensores remotos identifica las zo-nas más oportunas en virtud de su

composición y situación geológica.Se hallan en la cara oculta de laLuna: la sonda debería operar porsu cuenta o comunicarse con los con-troladores terrestres por medio de unsatélite repetidor.

La sonda debería obtener tanto ro-cas como tierra del lugar del alu-nizaje. Se necesitan las rocas parala datación y el estudio de la mi-neralogía de las muestras; con latierra se determina si las rocas re-cogidas son o no representativas de

la zona. (La tierra también contie-ne pequeños fragmentos de rocaspoco corrientes.) Las muestras secargarían en un pequeño vehículo,llevado hasta allá por la sonda. Gra-cias a su propio motor cohete, re-gresaría a la Tierra; la atmósfera lofrenaría, aterrizaría en algún lunarremoto y emitiría una señal de ra-dio para que el equipo de recupe-ración lo localizara. No sería unamisión sencilla, pero cae dentro delo hoy posible.

La NASA ya ha pedido propues-tas para su ejecución. Se podría lan-zarla antes de 2010. Pero, ¿cuándo

regresarán los astronautas a la Luna?Hay numerosas razones científicasque apoyan la exploración humana.Constituiría una oportunidad exce-lente para un gran número de estu-dios en campos diversos, desde laexploración planetaria hasta la as-tronomía. Y la existencia de aguahelada en los polos lunares facilitamucho la presencia humana per-manente. La NASA ha esbozado yaalgunas ideas, encaminadas a quepudieran realizarse nuevas misionestripuladas a la Luna con la infra-estructura actual de lanzamiento ytransporte; se ahorrarían así milesde millones de dólares.

[El 14 de enero anunciaba el pre-sidente Bush el propósito de volvera llevar seres humanos a la Lunapara el 2015.]


THE ON CE A ND FUTURE MOON. PaulD. Spudis. Smithsonian InstitutionPress, 1996.

A NEW MOON FOR THE TWENTY-FIRST CENTURY. G. Jeffrey Tayloren Planetary Science Research Dis-coveries, agosto de 2000.

LUNAR METEORITES AND THE LUNAR

CATACLYSM. Barbara A. Cohen enPlanetary Science Research Disco-veries, enero de 2001.

THE CLEMENTINE ATLAS OF THE MOON.D. Ben J. Bussey y Paul D. Spudis.Cambridge University Press, 2004.


N A S A



Estamos acostumbrados arecibir noticias sobre nue-vos avances de la mani-pulación de materiales aescalas microscópicas, enlas que su comportamiento

desafía nuestras intuiciones. En elotro extremo, a grandes escalas, laastronomía no se queda atrás a lahora de dejarnos sorprendidos conla riqueza de sus estructuras y losavances en su observación. ¿Guardanestas dos disciplinas alguna relación?Por extraño que parezca, la respuestaes afirmativa. Como se ha visto re-cientemente, la técnica y las teoríasfísicas que describen los materialespueden utilizarse para crear en la-boratorios terrestres “maquetas enminiatura” de objetos de interés as-trofísico; estos modelos reciben el

nombre de “análogos de la relativi-dad general”. En este artículo vamosa concentrarnos en un caso para-digmático que conecta algunos de losúltimos avances de la física de lamateria condensada con los objetosquizá más llamativos del firmamento:la simulación de un agujero negroen un condensado de Bose-Einstein.

Un condensado de Bose-Einsteines un estado especial de la materiaen el que un conjunto de átomoscon espín entero se comporta cohe-

Agujeros negros

en condensadosde Bose-EinsteinLos condensados de Bose-Einstein nos ofrecen la posibilidadde experimentar en laboratorios terrestres con “maquetas en miniatura”de objetos celestes tan esquivos como los agujeros negros

Carlos Barceló y Luis J. Garay


1. LOS CONOS DE LUZ describen las trayectorias espacio-temporales de los rayosde luz. En la figura, la dirección temporal es perpendicular a la superficie dibujada. Enun agujero negro, la luz emitida desde cualquier punto del exterior suficientemente ale-

jado del hori zonte de sucesos puede viajar en cualquier d irecc ión del espacio, con otraspalabras, los conos de luz son casi perpendiculares a la superficie espacial que re-presenta al agujero negro. En el interior, los conos de luz están inclinados respecto ala perpendicular y, por tanto, la luz sólo puede caer hacia el interior; no puede esca-par. El horizonte es la superficie límite en la que una de las generatrices del cono deluz es perpendicular a la superficie; se halla, pues, formado por el conjunto de todaslas trayectorias luminosas que no pueden ni escapar ni caer en el agujero negro y que,por tanto, se mueven eternamente en ese límite. E

. A R I L L A



rentemente, como los fotones en unhaz de luz láser. La naturaleza cuán-tica del mundo atómico hace quetoda partícula posea una cantidadde momento angular intrínseco (suespín) múltiplo entero o semiimparde una unidad fundamental, la cons-tante de Planck h; su comportamientoserá muy diferente en uno y otrocaso. Solamente las partículas conespín entero, denominadas bosones,pueden llegar a comportarse de unaforma coherente. A pesar de que estecomportamiento fue predicho porAlbert Einstein y el físico hindúSatyendra Nath Bose en 1924, suobservación experimental se resistióa lo largo del tiempo debido a queuna pequeña agitación térmica essuficiente para destruir el compor-tamiento coherente del colectivo debosones. Finalmente, en 1995, el gru-po de la Universidad de Coloradodirigido por Eric Cornell y Carl Wie-man consiguió enfriar un gas de áto-mos de rubidio lo suficiente comopara observar la aparición del com-

portamiento coherente (por ello, Cor-nell y Wieman recibieron el año 2001el premio Nobel de física, junto aWolfgang Ketterle, del Instituto deTecnología de Massachusetts, autorde importantes experimentos de con-densación de átomos de sodio).

Nos interesa aquí explicar cómo,en un futuro cercano, podría pre-pararse un condensado de Bose-Einstein (un conjunto de cientos demiles de átomos condensados en unaregión de décimas de milímetro) en

un estado con un comportamientoanálogo al de un agujero negro. Dela misma forma que cualquier emi-sión de luz desde el interior de unagujero negro no puede nunca ob-servarse desde su exterior, puestoque queda atrapada (véase la fi-gura 1), la configuración análoga aun agujero negro en un condensadoharía que cualquier emisión de on-das sonoras (perturbaciones en ladensidad del condensado) desde suinterior no pudiera percibirse desdeel exterior (véase la figura 2). Debidoa que la analogía utiliza las ondassonoras en lugar de las luminosas,estos “agujeros negros” se han lla-mado en ocasiones agujeros negrosacústicos o agujeros silenciosos.

Pero, ¿qué objeto tendría crearestas maquetas en miniatura de agu-

jeros negros? Los importantes de-sarrollos sobre la física de los agu-

jeros negros que nos ha deparadoel último cuarto del siglo XX hansido de un carácter completamenteteórico, sin mediar ninguna prueba

experimental. La experimentacióndirecta e incluso la mera observa-ción de muchos de los fenómenosrelacionados con los agujeros ne-gros está fuera de nuestro alcance.En una “maqueta a escala” pode-mos, en cambio, estudiar en detalleincluso regímenes cuyo equivalentereal nos es completamente desco-nocido, puesto que entendemos muybien la física que se halla detrásde estos sistemas de laboratorio.La analogía, manejada con cuidado,

ha sido una herramienta fundamen-tal en la historia del pensamientohumano. Es de esperar que el in-tercambio de ideas y formalismosentre campos de la física tan de-sarrollados nos ayude una vez mása profundizar en nuestro conoci-miento del mundo físico.

Agujeros negrosy radiación de Hawking

Los agujeros negros guardan es-

condida en su interior la res-puesta a una de las preguntas másimportantes de la física teórica ac-tual: ¿cuál es el destino final de lamateria en el universo? En la ca-dena de la evolución estelar, unossistemas se transforman en otros alo largo de un proceso que conser-va la energía pero causa un aumen-to constante e irreversible de laentropía (una medida del desordencon que se distribuye la energía).

La combustión nuclear en una es-trella como nuestro Sol y la consi-guiente emisión de radiación pue-den verse simplemente como laconversión de una energía muy or-denada, en forma de materia, enenergía desordenada, que toma laforma de fotones dispersos por eluniverso. La energía contenida enestos fotones de una frecuencia re-lativamente elevada (relacionada demanera directa con la temperaturade la estrella emisora) puede de-


E . A R I L L A

2. EN UNA CASCADA como la de lafigura, la velocidad del flujo ( represen-tada por las flechas) se hace supersó-

nica a partir de una cierta circunferen-cia límite. Fuera de este horizonte de

sucesos acústico, las ondas sonorasemitidas en un cierto punto puedenviajar en todas las direcciones. Sin

embargo, una vez sobrepasado el hori-zonte, el flujo es demasiado rápido y elsonido se ve arrastrado por él. El hori-zonte de sucesos acústico puede defi-

nirse, de manera análoga al de un agujero negro, como el conjunto de todaslas trayectorias del sonido que no pue-

den escapar hacia el exterior, ni caenirremediablemente en la cascada: se

mueven eternamente en ese límite.




sordenarse más aún si se redistri-buye en una mayor cantidad de fo-tones de menor frecuencia, y así sucesivamente, hasta confundirsecon la radiación cósmica de fondo—con una temperatura de 2,7 gra-dos Kelvin—. La vida misma en laTierra debe su existencia a su pa-pel de catalizador en esta cadenauniversal de aumento entrópico

Cuando una estrella agota sus va-rias fases de combustión nuclear,puede acabar como un pedazo inertede materia, que se enfriará hastaalcanzar la gélida temperatura defondo. Este sería el final del apro-vechamiento de la energía organi-zada contenida en la extinguida es-trella. Lo que resulta fantástico esque al agrupar varios de estos re-manentes, como la atracción gravi-tatoria se encarga de hacer por no-

sotros, se puede volver a entrar enuna nueva fase radiativa, tal vezdefinitiva, en la que quizá toda laenergía de los remanentes terminaríatransformada en radiación. A elloacaba por conducir la formación deun agujero negro.

Una vez que una estrella de masasuperior a una cierta masa críticaagota su combustible nuclear, nin-guna forma conocida de presiónpuede evitar que la estrella colapsebajo su propia atracción gravitato-ria y forme un agujero negro. Lacaracterística más intrigante y de-finitoria de este objeto es la exis-

tencia de una superficie esférica lí-mite (en el caso más sencillo enque no haya rotación) donde la atrac-ción gravitatoria se hace tan fuerte,que nada puede escapar de allí: paraun hipotético habitante de esta su-perficie incluso la emisión, desdeella hacia el exterior, de un fotón,cuya velocidad es la máxima al-canzable, se vería frustrada. Esta su-perficie límite constituye el “hori-zonte de sucesos” de un agujeronegro. El diámetro del horizonte desucesos es proporcional a la canti-dad de materia que colapsó para for-marlo. Por ejemplo, un agujero ne-gro con una masa equiparable a ladel Sol tendría un diámetro de tansólo 6 kilómetros (en vez del millónde kilómetros de nuestro astro).

El horizonte de sucesos de un agujero negro no está determinado por

nada material. Tal y como se en-tiende desde el nacimiento de la teo-ría de la relatividad general, la gra-vedad no es más que una deformacióndel espacio y del tiempo. Aunqueen la discusión que sigue no vamosa utilizar ningún concepto geomé-trico, baste decir que el horizontede sucesos no es más que la esferalímite donde la geometría espacio-temporal se curva de manera tal, quecualquier rayo de luz apunta haciasu interior (véase la figura 1).

En situaciones reales, el colapsode la materia en una cierta regióndel espacio daría lugar primeramente

a agujeros negros en rápida rota-ción. La conservación del momentoangular de un sistema hace que cual-quier rotación presente en la nubede materia que se desploma vayaacelerando su ritmo conforme el co-lapso avanza (piénsese en un pati-nador artístico que recoge sus bra-zos para acelerar su ritmo de giro).Un agujero negro puede acumularen forma de rotación hasta un 29%de su energía total y, lo que es másinteresante, esta energía puede serextraída del sistema, puesto que seacumula fuera del horizonte de su-cesos. A partir de complejos pro-cesos físicos, que no vamos a de-tallar aquí, la violenta caída del restode la materia de la zona circun-dante sobre un agujero negro querota pone en marcha un nuevo me-canismo de extracción de energía

del sistema, mucho más eficaz quela combustión nuclear. Se cree queeste mecanismo está detrás de lasfuertes emisiones de radiación decuásares y radiogalaxias. Pero, ¿quésucede cuando también este meca-nismo deja de actuar?

En un principio, se pensó que laacumulación de materia en formade agujeros negros (sin rotación) erasu destino final, pero esta conclu-sión descansa en un tratamiento clá-sico de la materia. Sabemos que lamateria se comporta de forma cuán-tica y que su descripción clásica sóloes una aproximación, que funcionamuy bien a la hora de entender fenó-menos macroscópicos. En 1974,Stephen Hawking, de la Universidadde Cambridge, mostró que, debidoal carácter cuántico de la materia,

3. EL VACIO ESPACIO-TEMPORAL

CUANTICO está continuamente bullendocon pares de partículas y antipartículasque se crean a la vez en un punto, viven

durante un corto período de tiempo y seaniquilan mutuamente en un instante pos-terior. En las proximidades de un agujeronegro, este proceso se ve ligeramentemodificado, puesto que uno de los com-ponentes del par puede caer en el agu-

jero negro. El otro componente puedecaer también, pero tiene otra alternativa:escapar al infinito constituida en partí-cula real. Esta radiación de origen cuán-tico generada en los alrededores de unagujero negro recibe el nombre de radia-ción de Hawking. E

. A R I L L A



algunos fotones y otros tipos departículas podrían escapar de la atrac-ción gravitatoria en el horizonte desucesos y llegar hasta nosotros enforma de una tenue radiación (véa-se la figura 3). Los agujeros ne-gros dejaban de ser completamentenegros para pasar a tener un pocode color. En concreto, su emisiónde radiación electromagnética seríaequivalente a la de un cuerpo ne-gro con una temperatura propor-cional al inverso del tamaño delhorizonte; la longitud de onda desu color predominante estaría di-rectamente relacionada con dichotamaño. Para un agujero negro demasa solar, la emisión se concen-traría en ondas de radio kilométri-cas y, por tanto, sería muy pocoenergética, con una temperatura aso-ciada de unas 100 millonésimas degrado Kelvin. En contra de lo quenos sugiere la intuición, la radia-ción emitida por un agujero negro

es tanto más energética cuanto máspequeño es éste. Para recibir ra-diación en el espectro visible pro-cedente de un agujero negro, éstetendría que ser del tamaño de unátomo.

De acuerdo con la predicción teó-rica de Stephen Hawking, la histo-ria de la materia no acaba con laformación de agujeros negros. Estosemiten radiación, por lo que se ha-cen cada vez más pequeños, se vanevaporando y se calientan más y más.

El resultado final de esta evapora-ción todavía es tema de debate. Elagujero negro podría evaporarse com-pletamente o bien terminar en unpequeño remanente que se disolveríaen un mar de agujeros negros sub-microscópicos virtuales. En lo querespecta a este artículo, sólo nos de-tendremos en la existencia de laevaporación en sí, y no en sus últi-mas etapas.

Agujeros negrosen la naturaleza

Los agujeros negros son objetosesquivos; casi han permaneci-

do ocultos en el dominio de la fí-sica teórica hasta nuestros días.Como hemos dicho, la única emi-sión de radiación que esperamos deun agujero negro es la predicha porHawking, debida a afectos cuánti-

cos. Para agujeros negros de tamañoastrofísico, esta emisión es tan dé-bil, que quedaría enmascarada porel resto de emisiones del entornodel agujero negro: la propia radia-ción de fondo de microondas es másenergética. Por lo tanto, no pode-mos esperar observar directamenteagujeros negros. Sin embargo, losagujeros negros no están aisladosen el universo, sino rodeados de ma-teria en diferentes formas. El campogravitatorio generado por un agu-

jero negro es tan intenso, que dejasu marca en el comportamiento dela materia de sus alrededores. Sonesas marcas de su presencia las quelos astrónomos llevan buscando du-rante los últimos 25 años, y las hanencontrado en abundancia. Es ne-cesario subrayar que ninguna deestas marcas podrá nunca asegu-rarnos la existencia propiamentedicha del horizonte de sucesos, perosí de superficies con un comporta-miento indefinidamente cercano alligado a la formación de un hori-zonte.

El primer candidato serio a agujero negro, y el más estudiado, fueCygnus X-1 (véase la figura 4),identificado por su intensa emisiónen rayos X y oscuridad en el visi-ble. Forma parte de una binaria; laestrella que la acompaña, HDE226868, se observa con claridaden el visible. La emisión de rayosX estaría producida por los choques

del material arrancado de la estre-lla que va cayendo en el agujeronegro. Estudios dinámicos revelanque la masa de este posible agu-

jero negro supera el tr iple de lamasa del Sol (por encima de estamasa crítica no existen estrellasestables) y que, por tanto, no puedeser una estrella de neutrones. En laactualidad, existen decenas de can-didatos como Cygnus X-1.

Aparte de los agujeros negros es-telares, existen diversos indicios de


4. IMAGENES DEL SISTEMA ESTELAR BINARIO Cygnus X-1.La imagen de la izquierda muestra la estrella acompañante HDE

226868 (la más brillante) de un agujero negro invisible, cuyaimagen en rayos X se muestra a la derecha.

N A S A



que los núcleos de las galaxias (enparticular el de la nuestra) alber-gan agujeros negros gigantes. Seha estimado que una región centralde nuestra galaxia, de tan sólo0,3 años-luz, contiene una masaequivalente a 3 millones de soles.La alta densidad de este núcleosólo parece compatible con la pre-sencia de un agujero negro giganteen su interior. Además, la existen-cia de estos agujeros negros gigan-tes en el centro de las galaxias, queatraen hacia sí la materia de los al-rededores, se ajusta de forma sa-tisfactoria con las potentísimas emi-siones de radiación de cuásares yradiogalaxias.

Cada día tenemos más pruebas dela realidad de agujeros negros es-telares y galácticos, pero compro-bar la existencia de la radiación de

Hawking está fuera de toda posi-bilidad… a no ser que ya haya sidoobservada. El universo tuvo que es-tar en el pasado mucho más calienteque en la actualidad. En un tiempo

suficientemente remoto, la tempe-ratura hubo de ser tan elevada, queincluso el propio espacio-tiempodebía comportarse de manera cuán-tica. Las fluctuaciones espacio-tem-porales podrían haber formado en-tonces, de manera directa, agujerosnegros de diversos tamaños. Estosagujeros negros primordiales se

habrían ido evaporando y calen-tando progresivamente. Así, en laactualidad, contaríamos en nuestroentorno galáctico con una distribu-ción de agujeros negros primordia-

les con tamaños del orden de unnúcleo atómico. Se hallarían en unafase de evaporación muy avanzada:emitirían un último chorro de ra-diación antes de desaparecer porcompleto. Se considera la posibili-dad de que, entre las explosionesde rayos gamma que se observantodos los días con nuestros satéli-

tes, las de más corta duración (me-nos de 100 milisegundos) se origi-nen en el proceso de evaporaciónde Hawking. Aparte de esta con-trovertida posibilidad, la construc-ción de modelos análogos a los agu-

jeros negros en laboratorios parecela única alternativa viable.

Análogos acústicosde agujeros negros

y otras analogías

Los fluidos nos proporcionan unamanera sencilla de imaginar

cómo son los agujeros negros. Pen-semos en un desagüe cualquiera denuestras casas. Si el agua le llega-se a un ritmo constante y desde to-das las direcciones por igual, ob-tendríamos una configuración comola de la figura 2. El agua se ace-lera más, cuanto más nos acercamosal centro de simetría. Las ondas

sonoras en el agua se propagan auna velocidad constante con res-pecto al agua en reposo. Llega unmomento, a una cierta distancia delcentro del desagüe, en que la velo-cidad del agua es mayor que la ve-locidad del sonido en el agua. Apartir de ese punto (globalmente unacircunferencia), el flujo del fluidoes supersónico y, por tanto, ningunaonda sonora producida puede salirde la circunferencia límite. Este fe-nómeno es análogo al que ocurre


5. TUNEL DE VIENTO transónico del Centro de Investigaciones Langley de la NASA. N A S A

CARLOS BARCELO y LUIS J. GARAY iniciaron su formación en la facultadde ciencias físicas de Zaragoza y Complutense de Madrid, respectivamente. Bar-celó se doctoraba en 1998 en la Universidad de Granada e Instituto de Astrofí-sica de Andalucía (CSIC). Es Marie Curie Fellow en la Universidad de Ports-mouth (Reino Unido). Sus investigaciones se centran principalmente en modelosde gravedad análoga y de gravedad en membranas. Garay se doctoró en cienciasfísicas por la Universidad Autónoma de Madrid en 1992. En la actualidad es in-vestigador contratado del Instituto de Matemáticas y Física Fundamental del Con-sejo Superior de Investigaciones Científicas. Se ha especializado en analogías degravedad en el laboratorio y en fluctuaciones cuánticas del espacio-tiempo.

Los autores



con la luz (y cualquier otra formade energía) en un agujero negro(véase la figura 1). Por supuesto,siendo estrictos, el desagüe tendríaque ser tridimensional, con el fluidocayendo radialmente hacia un pun-to del espacio desde todas las di-recciones, para tener una superficieesférica límite en vez de una cir-cunferencia y reproducir completa-mente la idea del agujero negro. Estaanalogía, propuesta por William Un-ruh, de la Universidad de la Colum-bia Británica, fue elaborada porMatt Visser, de la Universidad deWashington.

La analogía es más precisa de loque puede sugerir la descripción an-terior. La atracción gravitatoria deun agujero negro se halla codificadaen una distorsión de la geometríadel espacio-tiempo que lo rodea.

La ecuación que describe la propa-gación de una onda de tipo lumi-noso en una geometría curva, condistorsiones, resulta ser la mismaque describe la propagación de unaonda sonora en un fluido en movi-miento. A cada distribución de ma-teria en el universo le correspondeuna geometría curva del propio es-pacio-tiempo, con el control sobrela propagación de cualquier tipo deseñal. De manera equivalente, a cadaconfiguración que podamos asig-narle al fluido le corresponderá unageometría efectiva curva con el con-trol sobre la propagación de las on-das sonoras. Aquí reside la analo-gía; no debemos extenderla más allásin tomar precauciones. Por ejem-plo, las ecuaciones de evolución dela geometría propiamente dicha sonmuy diferentes en el caso gravita-torio y en el del fluido. La geome-tría espacio-temporal tiene que sa-tisfacer las ecuaciones de Einstein,mientras que la geometría efectivaen el fluido está determinada por las

ecuaciones de Euler de la hidro-dinámica.El punto crucial estriba en lo si-

guiente: la radiación de Hawking deun agujero negro debe su existen-cia a la forma específica de la geo-metría espacio-temporal curvada quelo define y no a ningún efecto diná-mico de esta geometría. Por tanto,dada una geometría análoga en unfluido, esperamos la existencia delanálogo de la radiación de Hawking.La emisión de partículas luminosas

—fotones— será sustituida por laemisión de fonones, partículas (cuan-tos) de sonido.

Hay muchas propuestas diferen-tes sobre cómo simular aspectos dela física de agujeros negros en unlaboratorio. Un estudio general lle-vado a cabo por uno de los autoresconcluye que la esencia de casi todomodelo análogo de la relatividad ge-neral reside en la separación deuna teoría de un medio continuoarbitrariamente complicada en dospartes: una configuración de fondo(el fluido en movimiento) y unasperturbaciones de esta configuración(las ondas de sonido).

Entre las distintas propuestas, cabedestacar las basadas en la propaga-ción de cuasipartículas en helio su-perfluido, así la sugerida por GrigoryVolovik, de la Universidad de Hel-sinki, y Ted Jacobson, de la Universi-dad de Maryland, por una parte, ylas que toman como sistema los con-densados de Bose-Einstein, por otra.Por motivos que quedarán clarosmás adelante, nosotros estamos in-teresados en estas últimas, que a suvez pueden ser de dos tipos. En la

sorprendente facilidad con que semanipula la velocidad de propaga-ción de la luz en un condensado sehan apoyado Ulf Leonhardt, de laUniversidad de St. Andrews, y suscolaboradores para reducirla hastalograr que la diferencia entre la ve-locidad del propio condensado y lade un rayo de luz que se propaguecontra corriente sobre él se anule,dando lugar al análogo de un hori-zonte de sucesos. Finalmente, la pro-pagación de ondas sonoras en uncondensado en movimiento propor-ciona, como ya hemos visto, unaposibilidad de simular agujeros ne-gros acústicos, punto central de este

artículo, en cuya investigación y de-sarrollo los autores y sus colabora-dores participamos.

Agujeros silenciososen la naturaleza

Hemos dicho que la observacióndirecta del horizonte de suce-

sos de un agujero negro genuinoqueda fuera de nuestras capacida-


T> Tc T< Tc

1,0 mm

T<< Tc

BEC@JILA, June 95(Rubidium)

BEC@MIT, Sept. 95(Sodium)

J I L A , M I T

6. RESULTADOS DE LOS PRIMEROS EXPERIMENTOS en los que se obtuvieroncondensados de Bose-Einstein, llevados a cabo por el grupo de Cornell y Wieman ( figura de arriba) y por el grupo de Ketterle (figura de abajo). Estas figuras muestranlas distribuciones de velocidades y posiciones respectivamente de los átomos a dis-tintas temperaturas: por encima de la temperatura crítica a la que tiene lugar la con-densación, a la temperatura crítica y por debajo de la misma. Se observa que, cuandoel condensado ya se ha formado, la mayoría de los átomos están concentrados en unaregión muy pequeña del espacio y poseen una velocidad también muy pequeña.



des actuales y futuras. Antes de pa-sar a explicar cómo construir el aná-logo de un horizonte de sucesos enun condensado de Bose-Einstein,conviene recordar que se han ob-servado ya en la naturaleza al me-nos tres tipos de horizontes de su-cesos acústicos.

El Sol radia hacia su exterior unanube de partículas cargadas a ve-locidades del orden de 400 kilóme-tros por segundo. Este viento departículas es el responsable de lasauroras boreales y de que la colade los cometas se oriente radial-mente y de espaldas al Sol. La den-sidad y presión de dicho fluido dis-minuye conforme nos alejamos delSol y, por tanto, también la velo-cidad del sonido en su interior. Auna distancia de unos pocos radiossolares, la velocidad del viento su-

pera la del sonido; se produce unflujo supersónico y, por tanto, unhorizonte acústico.

Otra situación en la que se haobservado la formación de un ho-rizonte acústico es en los procesosastrofísicos de agregación de mate-rial, el llamado acrecimiento deBondi-Hoyle. En este caso, esta-mos ante una situación invertida ala del viento solar. Un objeto cen-tral de masa muy grande va atra-yendo y agregándose las capas dematerial fluido de sus alrededores.A medida que el fluido va cayendo,acelera hasta llegar a velocidadessuperiores a las del sonido y formaasí un horizonte acústico.

Por último, ¿qué sucede en lostúneles de viento supersónicos di-señados para investigar la aerodi-námica de los aviones (véase la fi-

gura 5)? Como su nombre indica,en estos túneles de viento un flujode aire es acelerado hasta velocida-des supersónicas; se crea, por tanto,un horizonte acústico, en cuanto secruza el límite subsónico. La formaespecífica en la que ese fenómenose logra nos ha servido de guía ala hora de estudiar configuracionessupersónicas en condensados deBose-Einstein.

La existencia observada de estoshorizontes, aunque interesante, si-gue sin ayudarnos a desvelar la rea-lidad de la esperada radiación deHawking. Un cálculo aproximadonos dice que la temperatura deHawking para estos tres tipos de ho-rizontes acústicos sería mucho me-nor que la de un agujero negro es-telar; quedaría, pues, enmascaradaen su entorno mucho más energé-

tico. Veremos que no acontece así en un condensado de Bose-Einstein.

Condensadosde Bose-Einstein

Como ya expusimos al comienzodel artículo, un condensado

de Bose-Einstein designa un conjunto de átomos (u otras part ículasbosónicas) con un comportamientocoherente. Abordémolos con ma-yor detenimiento.

Desde un punto de vista clásico,un objeto puede considerarse pun-tual cuando su tamaño es muchomenor que las escalas de longituden las que estamos interesados. Porejemplo, para calcular cómo lanzaruna bala de cañón de 10 centíme-

tros de diámetro para hacer blancoen un barco de 10 metros de eslorapor 3 metros de manga situado a100 metros de distancia, podemossuponer que la bala de cañón es unobjeto puntual. Cuando nos aden-tramos en el mundo de lo muy pe-queño (con respecto a nosotros, claroestá) podemos asignar a cada fenó-meno una escala de longitud o, loque es lo mismo, una hipotética lupacon un número concreto de au-mentos. Conforme a un punto devista clásico, cuando el tamaño asig-nado (experimentalmente) a un ob-

jeto sea mucho menor que las di-mensiones que pueda resolver la lupacon la que nos dispongamos a ob-servarlo, el objeto nos parecerá, unavez bien enfocado, un punto carentede estructura. Sin embargo, a esca-las atómicas, no sucede así. Lo que

íbamos a enfocar en un punto, creía-mos, ahora lo vemos borroso; elpunto se difumina y no podemoshacer nada por evitarlo.

En mecánica cuántica, lo que an-tes era un objeto puntual en movi-miento se ha convertido en un puntodifuminado (como una pequeña man-cha o nube), con zonas de mayor ymenor intensidad que evolucionancon el tiempo. La formulación pre-cisa de este punto difuminado re-cibe el nombre de función de ondadel objeto. Una descripción completaen un instante de tiempo del puntodifuminado necesita dos funcionesde la posición: el patrón de intensi-dad de la mancha y el patrón de ve-locidad de cambio de la mancha.Estas dos funciones corresponden almódulo y a la fase de la función deonda compleja del objeto.

Cuando un sistema consta de va-rias partículas, la deslocalizaciónafecta al conjunto de las posicionesde forma global. La descripción me-canocuántica de un sistema de va-

rias partículas no nos da, en gene-ral, unos patrones de intensidad yvelocidades específicos para cadapartícula, sino que nos proporciona


M I T

2 0 0 µ m

7. MONITORIZACION de la oscilacióncolectiva de un condensado de Bose-Einstein en un pozo de potencial armó-nico. La figura muestra imágenessucesivas (una instantánea cada 10 mi-lisegundos) de la evolución de la nubecondensada.



información (en forma de correla-ciones) sobre cómo la presencia deciertos patrones concretos para unaspartículas tendría asociada la pre-sencia de otros patrones concretospara las restantes partículas.

Cuando las partículas que com-ponen el sistema son bosones idén-ticos, se puede presentar una si-tuación muy especial e interesante:existen estados a los que es posibleasignar unos patrones de intensi-

dad y velocidades específicos e idén-ticos para todos y cada uno de losbosones. Un condensado de Bose-Einstein no es más que un con-

junto de bosones idénticos en unode tales estados. En este caso, po-demos describir el sistema cuán-tico mediante una única función deonda. La nube ahora representa atodos los bosones de forma unifi-cada; es como si desde un puntode vista clásico todos los bosonesse hubieran colocado en un mismopunto y se movieran al unísono. Esecomportamiento coordinado de to-dos los bosones a la vez es a loque llamábamos comportamientocoherente.

Imaginemos ahora que colocamosun conjunto de bosones en unatrampa de potencial y que dejamosenfriar el sistema inhibiendo la en-trada de cualquier flujo de energíadesde el exterior. El estado cuán-tico de mínima energía y, por tanto,el preferido por el sistema, corres-ponde a una situación de conden-

sación, en la que casi todos los bo-sones se caracterizan por unosmismos patrones de intensidad y ve-locidad. A medida que se enfría elsistema, un número creciente de bo-sones pasan a formar parte del es-tado condensado de mínima ener-gía, mientras otros todavía tienensuficiente energía para comportarsede manera individual. Desde unpunto de vista clásico, una parte delos bosones han ido a ocupar unamisma posición en el fondo del po-

tencial, mientras el resto sigue mo-viéndose de un lado para otro.Podemos asimilar esas dos pobla-ciones a sendas nubes superpuestasde distinta naturaleza: una nube cuán-

tica asociada a los bosones con-densados (muy concentrada) y unanube térmica asociada a los restan-tes bosones (más diluida). La nubeasociada al condensado aparece ex-clusivamente como consecuencia deldifuminado cuántico de lo que, enun contexto clásico, entenderíamoscomo un punto. La nube térmica co-rresponde tanto al movimiento es-tadístico de un conjunto de partí-culas, un gas propiamente dicho,como a su naturaleza cuántica.

En julio de 1995, la portada delnúmero 269 de la revista Sciencereproducía la primera observacióndirecta de un condensado de Bose-Einstein (véase la figura 6 ). Se ha-bían colocado diez mil átomos derubidio en una trampa de potencialde unos cientos de micras de diá-metro. Aunque minúsculos desdenuestra perspectiva, los átomos seencuentran muy diluidos en el senodel potencial y, por tanto, interac-cionan entre ellos muy ligeramente.Allí, se habían enfriado siguiendo

varios procedimientos hasta llegara una temperatura inferior a 90 mil-millonésimas de grado Kelvin. Laimagen muestra claramente cómoal alcanzarse la temperatura de tran-sición se comienzan a distinguirlas dos nubes; la central, mucho másconcentrada, corresponde al con-densado. A medida que baja la tem-peratura, la nube condensada se hacemás prominente. Así, a temperatu-ra cero llegaría a ser prácticamentela única presente.

Agujeros negrosen condensadosde Bose-Einstein

Como acabamos de explicar, po-demos imaginar un condensado

de Bose-Einstein como una pequeñanube de fluido a bajísima tempera-tura, siempre que no perdamos devista la naturaleza cuántica de estefluido. Esta nube de fluido se ha-lla confinada en cierta región, elpozo de potencial, gracias a unoscampos electromagnéticos exter-nos producidos mediante láseres(véase la figura 7 ). La forma deestos campos puede ser moduladaa conveniencia; podemos, pues, de-terminar la configuración del con-densado y su dinámica: la densidaddel fluido (lo que llamábamos pa-trón de intensidad) y la velocidadcon la que fluye en cada punto yen cada instante de tiempo.

Aparte de la interacción del con-densado con el potencial externo,la configuración de la nube y sudinámica dependen también de lasligeras interacciones que se produ-cen entre los diferentes átomos del

condensado. Si las interacciones sonrepulsivas, como sucede en la mayo-ría de los condensados estudiados,proporcionan una presión interna,una resistencia a ser comprimido.Una vez que tenemos el condensadoen una cierta configuración, lo agi-tamos suavemente durante un ins-tante en una zona concreta. ¿Quéocurre? En virtud de las interaccio-nes mencionadas, la agitación setransmitirá por el interior del fluidoa una velocidad finita (vista desde


Sumidero láser

Horizontesde agujero negro Atomos desacoplados

"Singularidad"

8. CONFIGURACION DE SUMIDERO uni-dimensional con dos horizontes de agu-

jero negro y una “singularidad’ ’ en elcentro, donde los átomos se desacoplandel condensado mediante un láser. Las fle-chas y su tamaño indican la velocidad delflujo del condensado.

L . J . G A R A Y , J . A N G L I N , J . I . C I R A C Y

P . Z O L L E R



un observador en reposo con res-pecto al fluido), que depende de laintensidad de las interacciones y dela densidad del fluido en cada punto.Esta es la velocidad del sonido enun condensado: podemos imaginarla agitación anterior como la quese produciría si colocáramos alta-voces en miniatura en el interiordel gas (véase la figura 2).

Resumiendo, hemos llevado la dis-cusión hasta un estadio en el quese pone de manifiesto que un con-densado de Bose-Einstein se com-porta como un fluido compresible.Por lo tanto, basándonos en los ar-gumentos sobre analogías acústicasesgrimidos, debería ser posible ma-nipular un condensado de tal formaque nos proporcionase un modeloanálogo de agujero negro. Pero, ¿cuálsería la temperatura de Hawking del

horizonte acústico en el condensado?Un cálculo aproximado basado enlas características de los condensa-dos que se manejan hoy en día enlos laboratorios nos da una tempe-ratura de tan sólo 10 milmillonési-mas de grado Kelvin. Lo fantásticode este caso es que sabemos que latemperatura a la que está el con-densado mismo es de unas 100 mil-millonésimas de grado Kelvin; luego,en principio, podría ser discernibleexperimentalmente.

Aunque sea de un modo sumario,vale la pena detallar tres propues-tas específicas que podrían tomarsecomo base realista para la realiza-ción práctica de análogos de aguje-

ros negros en condensados de Bose-Einstein. La técnica necesaria parallevar a cabo estos experimentospodría estar disponible en un futuromuy cercano (quizás, en 5 o 10 años).

Sin embargo, antes de seguir ade-lante, importa subrayar una vez máslas precauciones que hay que teneren el manejo de las analogías. Porejemplo, en un condensado, la exis-tencia de una geometría efectiva sóloafecta a las ondas de sonido, puestoque son el único tipo de perturba-ciones que se propagan en estos sis-temas, mientras que, en relatividadgeneral, la geometría espacio-tem-poral determina el movimiento nosólo de los fotones, sino de todotipo de energía. Por otro lado, estavisión geométrica de la propagacióndel sonido en condensados de Bose-Einstein no es válida para ondas cuya

frecuencia sea mayor que una fre-cuencia de corte (normalmente muyalta). Estas ondas pueden viajar a ve-locidades mucho mayores que la ve-locidad del sonido y, por tanto,podrían remontar la corriente, inclusoen un fluido supersónico; es decir,no verían el horizonte de sucesosdel agujero acústico. Hay razonespara creer que algo similar pudieraocurrir con la visión geométrica delpropio espacio-tiempo cuando a éstase le añaden rasgos cuánticos (im-portantes para altas frecuencias). Laruptura de la visión geométrica enlos condensados de Bose-Einsteinmás que una dificultad resulta unainspiración; podría ayudarnos a en-

tender fenómenos cuánticos gravita-torios para los que no disponemosde una teoría satisfactoria.

El sumidero

A

la hora de ponerse a diseñarexperimentos concretos en los

que un condensado sirva como mo-delo análogo de un agujero negro,nos enfrentamos con dificultadesañadidas de tipo práctico. La supe-ración de las mismas requiere losesfuerzos conjuntos de físicos ex-perimentales y teóricos de variasdisciplinas (física del frío, ópticacuántica, materia condensada, rela-tividad general). Lo que sigue debeentenderse como los primeros pa-sos hacia el diseño de un experi-mento concreto realizable, a la vez

que muestra el tipo de dificultadesa las que habrá que enfrentarse.El primer tipo de configuración

que nos viene a la mente cuandopensamos en simular un agujeronegro es el modelo de desagüe tri-dimensional o sumidero, en el queun flujo de átomos condensados cae,cada vez más deprisa, radialmentey desde todas las direcciones, ha-cia un mismo punto del espacio. Serequiere, pues, un mecanismo quecontinuamente saque los átomos quese van acumulando en el centro dela configuración. Una configuraciónpropuesta por uno de los autores ysus colaboradores es la versión uni-dimensional de este sistema ( figu-ra 8). En este caso, tenemos un flujocuasilineal para el fluido: el fluidoentra por los dos extremos de untubo construido mediante camposelectromagnéticos adecuados; se vaacelerando hasta que, a una distan-cia determinada del centro del tubo,el flujo se hace supersónico. Desdeallí, el fluido continúa su viaje ha-

cia el centro del tubo, donde es ex-traído del condensado. En este casoexiste un procedimiento mediante elcual se podrían retirar los átomosdel centro del tubo: un láser de de-sacoplo. Un haz láser de suficientepotencia enfocado de forma per-pendicular al tubo sacaría los áto-mos que fueran llegando al centro.

Sin embargo, el establecimientode unas restricciones externas alflujo del condensado nos lleva aafrontar un nuevo problema. Cuando


Horizonte de agujero negro

Horizonte de agujero blanco

Nube atómica del CBE

9. CONFIGURACION DE ANILLO unidimensional con un horizonte de agujero negro yotro de agujero blanco y sin “singularidad’’: el condensado (CBE) fluye en un circuitocircular cerrado. Las flechas y su tamaño indican la velocidad del flujo del condensado. L

. J . G A R A Y , J . A N G L I N , J . I . C I R A C Y

P . Z O L L E R



un condensado fluye cerca de unapared a velocidades cercanas a lasdel sonido, cualquier rugosidad enésta puede provocar la formación devórtices en el condensado, con laconsiguiente alteración del flujo. Lareducción del grosor del tubo hastatamaños cercanos a cierta longitudde corte, relacionada con la frecuen-cia de corte mencionada anterior-mente, resuelve este problema, yaque, en esas circunstancias, no quedaespacio para que dichas alteracio-nes evolucionen.

Este modelo se encuentra con unadificultad importante: mantener es-tacionario un flujo apreciable defluido (al menos durante el tiemposuficiente) requiere una reserva defluido notable y no parece fácil ali-mentar el condensado manteniendola estacionariedad y sin complicar

muchísimo el diseño experimental.Parece, por tanto, que tenemosque pensar en otro tipo de confi-guraciones. Una configuración, tam-bién propuesta por uno de los auto-res, que consigue solventar esteproblema es la siguiente.

El anillo

Imaginemos ahora que los extre-mos del tubo de la configuración

anterior se juntan y forman un ani-llo. Por su interior el condensadofluye en sentido antihorario; lo hacede manera tal, que su velocidad essubsónica en una zona, acelera hastallegar a alcanzar la velocidad delsonido en un cierto punto, es su-persónica en otra zona y frena hastaconvertirse en subsónica otra vez apartir de otro cierto punto, para lle-gar al punto de partida. La confi-guración completa es un condensadode Bose-Einstein que gira en el in-terior de un anillo con una zona de

flujo subsónico y otra de flujo su-persónico (véase la figura 9).El punto en el que el flujo se hace

supersónico representaría un agujero negro (silencioso) y el punto enel que se vuelve a convertir en subsó-nico correspondería a un agujeroblanco, para un observador situadoen la zona subsónica. Esta propuestano necesita la extracción de átomosdel condensado ni la consiguientealimentación del mismo, puesto queéste fluye de forma continua.

Para llegar a tal configuraciónanular, primero tendríamos que dis-poner de un condensado que fluyerauniformemente en una trampa elec-tromagnética con la forma de ani-llo descrita. Luego, comenzaríamosa introducir modificaciones en es-tos campos, de forma que produje-

ran una aceleración o una desace-leración en las zonas deseadas hastaconseguir una configuración hidro-dinámicamente estable con hori-zontes acústicos. Los análisis mues-tran que, durante este proceso, esnecesario pasar transitoriamente porconfiguraciones no sólo estables sinotambién por otras inestables. Sin em-bargo, las simulaciones numéricasindican que es posible pasar porlos regímenes de inestabilidad sindestruir el flujo, puesto que las ines-tabilidades son pequeñas y operandurante intervalos de tiempo sufi-cientemente cortos.

El embudo de Laval

La experiencia acumulada por losdiseñadores de túneles de viento

supersónicos a la hora de propor-cionar flujos hidrodinámicamenteestables ha sugerido a uno de losautores y a sus colaboradores pro-poner como configuración realista

una adaptación de la forma de lostúneles de viento para condensadosde Bose-Einstein.

Consideremos de nuevo un tubocuasiunidimensional en el que el con-densado se introduce por un extremoa una velocidad subsónica. La ideabásica es que, para flujos subsóni-cos, un estrechamiento del tubo pro-duce una aceleración del flujo y vi-ceversa. Sin embargo, desafiando ala intuición, la situación se inviertecuando se tiene un flujo supersó-

nico: un estrechamiento del tubo pro-duce desaceleración y viceversa.

La configuración completa se ilus-tra en la figura 10. La sección trans-versal del tubo comienza a estre-charse de suerte que el fluido se vaacelerando. Así llegamos hasta uncuello de botella en el que el fluido

alcanza la velocidad del sonido (elhorizonte de agujero negro). El en-sanchamiento posterior del tubo con-tinúa acelerando el flujo, a la es-pera de que un estrechamientocomience a desacelerarlo. Entoncesse llega a otro cuello de botella (elhorizonte de agujero blanco), en elque el flujo vuelve a ser subsónico.La forma completa del tubo recibeel nombre de embudo de Laval, porsu inventor, el ingeniero sueco CarlGustaf Patrick de Laval.

Esta configuración puede versecomo complementaria al anillo quehemos descrito; proporciona unaforma específica de producir el tipode perfiles de velocidad buscados.Podemos imaginar un tubo anular desección uniforme, con un condensadogirando a velocidad constante y subsó-nica en su interior. Estrechando lasección del tubo en dos zonas con-cretas, podríamos conseguir la crea-ción de un horizonte acústico. Quizásentonces nos hallásemos en disposi-ción de observar por primera vez

una radiación de fonones análoga ala radiación de un agujero negro pre-dicha por Hawking.

Temperatura de Hawking

Gracias al gran desarrollo técnicoen materia de condensados de

Bose-Einstein que ha habido en losúltimos años, éstos se han conver-tido en sistemas que se manipulancon facilidad y de maneras muy


10. CONFIGURACION DE EMBUDO DE LAVAL con un horizonte de agujero negro yotro de agujero blanco situados en los estrangulamientos de la derecha y de la iz-quierda, respectivamente, y sin “singularidad’’. Las flechas y su tamaño indican la ve-locidad del flujo del condensado.

E . A R I L L A



sutiles en el laboratorio. Cabe es-perar que, en un futuro cercano,podamos obtener configuracionessupersónicas en estos condensados.Las configuraciones explicadas pre-sentan inestabilidades que, en lascondiciones adecuadas, son sufi-cientemente pequeñas como para noafectar al condensado durante untiempo demasiado largo. Las ines-tabilidades aparecen en la forma decreación de pares de partículas y an-tipartículas cerca del horizonte delagujero negro acústico, de manerasimilar a lo que ocurre con la ra-diación de Hawking (véase la figu-ra 3). Por otra parte, la temperaturade Hawking esperada en este tipode sistemas, 10 milmillonésimas degrado Kelvin, es comparable con latemperatura del condensado en sí mismo, menor de 100 milmilloné-

simas de grado Kelvin. Por tanto,el efecto podría ser observable.La temperatura de Hawking es di-

rectamente proporcional a la velo-cidad del sonido en el condensado.Las velocidades típicas que se en-cuentran en los laboratorios son delorden de unos pocos milímetrospor segundo. Esta velocidad depende,a su vez, de la fuerza con la quelos diferentes átomos del conden-sado se repelen entre sí. Para en-tender la forma en que dos átomosinteraccionan cuando pasan unocerca del otro, podemos visualizara un átomo como un minúsculo pozode potencial y al otro como un puntodifuminado (o nube) que incide so-bre él. Dependiendo de la profun-didad y anchura del pozo de po-tencial que describe el átomo, latrayectoria de la nube se desviaráde forma diferente al cruzar la zonade influencia del pozo de poten-cial. Desviación que puede ser detipo atractivo o repulsivo. Si pu-diéramos cambiar la naturaleza del

átomo en sí de tal forma que la an-chura del pozo de potencial se man-tuviera fija pero su profundidadcambiara, podríamos modificar lainteracción entre los dos átomos anuestra conveniencia. Existirían en-tonces unas profundidades concre-tas, que podríamos llamar singula-res, en las que la interacción pasaríade ser repulsiva a ser atractiva. Alacercarnos a una de ellas, aumen-tando la profundidad del pozo depotencial, una interacción repul-

siva se haría arbitrariamente intensa(teóricamente sin límite) hasta que,al cruzar la profundidad singular,la interacción cambiaría de signopara tornarse atractiva.

Lo que acabamos de explicar sepuede llevar a cabo en la prácticacolocando los átomos constituyen-tes del condensado en un estado in-terno manipulable con un campomagnético externo. Cuando el campomagnético se acerca a unos valoresconcretos, las llamadas resonanciasde Feshbach (las profundidades sin-gulares anteriores), el estado internoy, por tanto, la naturaleza de los áto-mos se modifican: se puede aumen-tar, mucho y de forma controlada,la fuerza de repulsión entre ellos.Distintos estudios experimentalessugieren que, por esa vía, no esdifícil multiplicar por diez la velo-

cidad del sonido en un condensado,hasta los 6 centímetros por segun-do. Así, la temperatura de Hawkingpodría llegar hasta las 100 milmi-llonésimas de grado Kelvin. No hayque olvidar, sin embargo, que unamayor velocidad del sonido tam-bién haría más dificultosa la conse-cución de flujos supersónicos.

Este es el estado de la cuestiónen la actualidad. Como vemos, lainterdependencia entre técnica yciencia básica, tanto teórica comoexperimental, nunca deja de asom-brarnos. Las sorprendentes propie-dades de los bosones postuladaspor Bose y Einstein en 1924 handado lugar en nuestros días a undesarrollo experimental y técnicoque puede ayudarnos a entender elcomportamiento de los agujeros ne-gros, la predicción quizá más im-portante de la teoría de la gravita-ción de Einstein. Una vez más, bajara la Tierra puede ayudarnos a com-prender los cielos.


LA MECÁNICA CUÁNTICA DE LOS AGU-JEROS NEGROS. Stephen W. Haw-king, en Investigación y Ciencia ,n.o 6, págs. 22-29, marzo de 1977.

AGUJEROS NEGROS Y TIEMPO CURVO.Kip S. Thorne. Ed. Crítica, 1995.

EL CONDENS ADO DE BOSE-EINSTEIN.Eric A. Cornell y Carl A. Wieman,en Inves tigación y Ciencia, n.o 260,páginas 6-12, mayo de 1998.





En 1801, Thomas Young, eru-dito caballero inglés, realizó

uno de los experimentos máscélebres de la historia de la

física. He aquí cómo lo describió,dos años más tarde, en una confe-rencia ante la Regia Sociedad deLondres:

Hice un pequeño agujero en unacontraventana y lo cubrí con ungrueso trozo de papel que perforé con una aguja fina... Interpuse enel rayo de luz una tira de cartónde aproximadamente la decimoter-cera parte de una pulgada, y ob-servé su sombra tanto en la pared como en otros cartones colocadosa diferentes distancias.

Young no vio sobre la paredopuesta, como podría suponerse, unasombra delgada, sino toda una hi-lera de rayas o franjas equiespa-ciadas, claras y oscuras, con la bandacentral siempre brillante. Cuandobloqueaba la luz a un lado de latira de cartón, las franjas desapa-recían. Llegó a la conclusión deque hacía falta la luz procedente deambos lados para obtener el patrón.

Pero, ¿cómo podían combinarse dosrayos de luz para crear una franjaoscura? ¿Por qué se encendía siem-pre el centro de la sombra y nuncaquedaba oscuro? Si la luz se com-ponía de partículas que viajabansiempre por rayos rectos, idea com-partida por muchos, incluido IsaacNewton, no era fácil encontrarle unaexplicación.

Con su “tira de cartón”, Youngpuso en marcha una revolución dela física cuyos ecos todavía se sien-

ten hoy. En la actualidad, el suyoes un experimento básico en los la-

boratorios de los estudiantes de pri-mer curso de física, aunque ahorase suele llevar a cabo perforandodos rendijas en un fragmento deopaco microfilm. (De ahí el nom-bre: “Experimento de la doble ren-dija de Young”). Puede llevarse acabo fácilmente una demostracióndel fenómeno que observó, la in-terferencia, con olas en un depó-sito de agua. Por analogía, el ex-perimento de Young parecía venira demostrar que la luz se componede ondas, como había defendidoChristiaan Huygens. Pero la histo-ria no acabó ahí.

A principios del siglo XX, se des-cubrió que la luz sí se comporta, enalgunos aspectos, como si estuvieracompuesta de partículas. En con-creto, existe una “cantidad mínima”,un “cuanto”, de luz, el fotón. En1909, Geoffrey Taylor repitió un ex-perimento similar al de Young; de-mostró que los fotones individualessufren otro fenómeno de interferen-cia, la difracción. Al atenuar la luz

hasta que los fotones llegasen a lapantalla de uno en uno, eliminó cual-quier posibilidad de que interfirie-sen entre sí. Pero, tras apuntar losresultados de varios experimentos,Taylor se encontró con el mismopatrón de franjas de difracción. Dabala impresión de que un fotón podía“interferir consigo mismo”.

Y no sólo los fotones. Otros objetos que parecían indiscutiblemen-te “corpusculares”, como los elec-trones, los neutrones e incluso las

moléculas del carbono 60, lasbuckybolas, mostrarían el mismo

comportamiento ondulatorio. Laautointerferencia de las partículasconstituye el mayor misterio de lafísica cuántica; Richard Feynman,premio Nobel, lo llamó “el únicomisterio” de la teoría cuántica.

En tiempos recientes se ha co-menzado a arrojar algo de luz so-bre este misterio mediante la reali-zación experimental de borradorescuánticos. Permiten optar por la apa-rición o desaparición de las franjasde interferencia. Mediante una ver-sión más elaborada del experimentode Young, nuestro grupo ha cons-truido un borrador cuántico y lo hautilizado para poner en práctica, enprincipio, la noción de “elecciónretardada”: la posibilidad de que quienlleva a cabo el experimento puedetomar la decisión correspondientedespués de que se haya detectadola partícula. Un experimento de elec-ción retardada evoca una suerte dealteración del pasado. Pero los bo-rradores cuánticos no cambian lahistoria. Sí aclaran, en cambio, cómo

surgen los fenómenos de interfe-rencia en la física cuántica.

Tirar una monedacuántica

Comprendemos bien por qué apa-recen franjas de interferencia

en el experimento clásico de la do-ble rendija. Según la teoría ondula-toria de la luz, cuando se encuen-

Borrado cuánticoEn mecánica cuántica cada historia tiene dos caras,

pero sólo se puede ver una de ellas a la vez.Los experimentos muestran que, al “borrar” una, aparece la otra

Stephen P. Walborn, Marcelo O. Terra Cunha, Sebastião Pádua y Carlos H. Monken




tran dos rayos de luz coherente conla misma longitud de onda, se com-binan. Las situaciones más extre-mas son la interferencia construc-tiva, donde las ondas se refuerzanmutuamente, o la interferencia des-tructiva, en la que se anulan total-mente la una a la otra.

En el experimento de Young notienen por qué medir lo mismo loscaminos entre un punto de obser-vación determinado y cada rendija.Cuando sí son iguales (es decir,cuando el punto de observación seencuentra en un punto equidistante

de ambas aperturas), las ondas lle-gan en fase e interfieren de ma-nera constructiva. Esto explica porqué Young siempre veía una bandade luz en el centro de la “sombra”de su tira de cartón. A ambos la-dos de esta banda central se en-cuentran las regiones donde unaonda ha tenido que viajar una lon-gitud de onda más que la otra. Ahí,las ondas interfieren de manera des-tructiva y aparece una banda os-cura. Después viene una región en

la que una onda viaja una longitudde onda más que la otra. Aquí vuel-ven a producirse una interferenciaconstructiva y una banda de luz.

Para entender por qué la interfe-rencia cuántica constituye un fenó-meno inesperado, podría ayudarnosla imagen de tirar una moneda alaire. Si la moneda no está trucada,la probabilidad de que salga caraes de un 50 %, y la de que salgacruz, otro 50%. La probabilidad deque salga cara o cruz es la suma deambas probabilidades:

Prob (cara o cruz) = Prob(cara) + Prob (cruz) = 100 %

Consideremos ahora un “lanza-miento de moneda” basado en el ex-perimento de Young. Enviemos unrayo de luz hacia la doble rendijae instalemos un fotodetector en ellado opuesto, a cierta distancia. Paraque resulte más teatral la paradoja,situémoslo en una franja de inter-ferencia oscura. Atenuemos la luz,de modo que los fotones pasen por

las rendijas de uno en uno. Cubramosprimero la rendija 2; nos encontra-remos, por ejemplo, con que un5 % de los fotones atravesará larendija 1 y activarán el detector. Así pues, Prob (rendija 1) = 5 %. Cubra-mos a continuación la rendija; ahoraun 5 % de los fotones atraviesan larendija 2, activando el detector: Prob(rendija 2) = 5 %. Cuando destapá-semos ambas rendijas, creando dosrutas posibles, esperaríamos encon-trarnos con un 10% de los fotones.¡Pero no! Debido a que situamos eldetector en una franja oscura, podría-

mos pasarnos horas llevando a caboel experimento sin ver un solo fotón.Es decir,

Prob (1 o 2) = 0% ≠ Prob (1) ++ Prob (2)

La explicación que la física cuán-tica ha encontrado para este com-portamiento es el principio de lasuperposición, según el cual losacontecimientos ondulatorios se com-binan de acuerdo con una amplitud

1. EN UNA VERSION MODERNA del experimento de la doble ren-dija de Thomas Young, un láser de helio-neón ilumina un frag-mento de microfilm en el que hay perforadas dos rendijas conuna separación de 0,1 milímetros. El rayo láser atraviesa unalente divergente (en el centro) que lo difumina, de manera quepueden verse con mayor claridad en la pantalla que hay detrás

las franjas de interferencia producidas por las dos rendijas. Ensu experimento de 1801, Young empleó un equipo mucho másmodesto: luz solar, un agujerito para hacer coherente la luz, untrozo de cartón para dividir el rayo y ninguna lente divergente.Aun así, distinguió al menos cinco bandas brillantes en la paredopuesta.

S . P . W A L B O R N , M . O . T E R R A , S . P A D U A Y C . H . M O N K E N




de probabilidad ; no se acomodan auna probabilidad. Matemáticamentehablando, una amplitud de proba-bilidad no es un número real posi-

tivo; se trata, por el contrario deun número complejo (es decir, unnúmero como 0,1 + 0,2i, donde i re-presenta la raíz cuadrada de –1). Así pues, dos amplitudes de probabili-dades no nulas (por ejemplo,0,1 + 0,2i y – 0,1 – 0,2i) pueden su-mar cero, lo que nunca sucede conlas probabilidades clásicas.

Desde el punto de vista meta-científico, el significado de las am-plitudes de probabilidades siguesiendo un gran misterio. De todos

modos, resulta evidente que una“moneda cuántica” no se comportaigual que una clásica. Gracias alprincipio de superposición, un fotón,

nuestra “moneda cuántica”, puedeofrecer una combinación de cara ycruz.

La materiaondula la materia

Si todo esto le parece bastanteincreíble, no será el único. In-

cluso los creadores de la física cuán-tica tuvieron dificultades con sus

conceptos, y algunos nunca acep-taron las teorías a las que se vie-ron forzados a llegar. Max Planck,quien propuso en 1900 que la luz

se comportaba como si estuvieracompuesta de cuantos, lo conside-raba un artificio matemático queconcordaba por casualidad con losdatos experimentales. A diferenciade Planck, Albert Einstein aceptabala teoría de los cuantos de luz,pero albergó dudas acerca de la evo-lución posterior de la teoría cuán-tica. No podía admitir que lo queobservamos y, en consecuencia, lla-mamos “realidad” fuera aleatorio.(La mecánica cuántica trata de po-

Interferencia constructivaa

Interferencia destructiva

Constructiva

Destructiva

Rendijas

Pantalla

c

200 fotones 6000 fotones

b

+

+

2. SE EXPLICA LA INTERFERENCIA DE YOUNG con la teoríaondulatoria de la luz. (a) Dos ondas de luz que se hallen en

fase se reforzarán constructivamente entre sí: se creará unrayo de luz más brillante. Cuando no lo estén, se atenuarándestructivamente. ( b) Una vez las ondas de luz han pasado porlas dos rendijas, interfieren constructivamente dondequieraque una viaje un número entero (0, 1, 2,...) de longitudes deonda más lejos que la otra. Interferirán destructivamente cuandouna onda viaje una fracción (1/2, 3/2, 5/2,...) de longitudesde onda más lejos. Según la geometría, se produce así una se-

rie de rayas equiespaciadas claras y oscuras, o franjas de in-terferencia. (c) En las versiones modernas del experimento de

Young resulta posible enviar los fotones de uno en uno através de la rendija. Como muestra esta simulación por orde-nador, el patrón de interferencia aparece a medida que au-menta el número de fotones. Aunque esos fotones no se in-terfieren mutuamente siguen produciendo franjas de interferencia.La única explicación parece ser que un fotón puede pasar demanera simultánea a través de ambas franjas e interferir con-sigo mismo.




sibilidades y, por lo tanto, no dicenada acerca de dónde se encuentrael fotón; sólo dice dónde es pro-bable o improbable que aparezca.)A Einstein tampoco le gustaba lainferencia de que esta realidad sóloexiste en un estado único e ine-quívoco cuando la estamos obser-vando. Así expresó su descontentoante Abraham Pais: “¿Acaso pien-sas que la Luna sólo existe cuandola miras?” Curiosamente, fue la in-satisfacción de Einstein la que mo-tivó y sigue motivando gran partede la investigación moderna en fí-sica cuántica.

A finales de la década de 1920,Niels Bohr formuló la “interpreta-ción de Copenhague” de la mecá-nica cuántica. Constituye el sistemateórico usual para eludir las para-dojas de la física cuántica. En par-

ticular, el principio de la comple-mentariedad afirma que, para unpar de variables u “observables” (laposición o el momento lineal), el co-

nocimiento preciso de una de ellasimpide determinar con exactitud laotra. La posición es un observable“corpuscular”: una partícula tieneuna posición concreta en el espa-cio, pero una onda no. No resultatan obvio que el momento linealsea un observable ondulatorio. En1927, Louis de Broglie propuso que,cuando una partícula, un electrón,adquiere momento lineal, adquieretambién una longitud de onda ca-racterística. Según Bohr, todos losobjetos cuánticos son al mismo tiem-

po onda y partícula; el comporta-miento que observamos viene deter-minado por el tipo de medición quedecidamos hacer. Si medimos unapropiedad corpuscular, el objeto ex-hibirá un comportamiento corpuscu-lar. Si después decidimos medir unapropiedad ondulatoria, el objeto ac-

tuará como una onda. Pero no po-demos hacer ambas cosas a la vez.

Einstein creía haber descubiertopuntos débiles en la interpretación

de Copenhague. Expresó una de esascríticas por medio de un “experi-mento mental”: suspender una do-ble rendija de unos muelles muysensibles de modo que pueda mo-verse hacia delante y hacia atrás.Cuando esas rendijas montadas so-bre muelles dispersasen un fotón,la máquina sufriría un ligero retro-ceso. Anotando el retroceso juntocon la posición en la que el fotónes detectado, el experimento des-cubriría la rendija por la que “pasó”el fotón (una medida de posición).Einstein sostenía que la medicióndel retroceso efectuada tras el pasodel fotón no alteraría su trayecto-ria; todavía podrían seguir siendoobservadas las franjas de interfe-rencia. La longitud de onda (unapropiedad ondulatoria) se deduciríade la separación de las franjas. ¡Así

cabría conocer tanto el momentolineal como la trayectoria; por tanto,el principio de complementariedadsería un fraude!

Atomos excitados

Atomos

Láser

Cavidadesmicromáser

Detectorde fotones

Fotónemitido

por un átomoexcitado

Pantalla de detección

3. EL EXPERIMENTO MENTAL del “borrador cuántico” de Scully,Englert y Walther elimina la interferencia (un producto ondula-torio) al guardar la información acerca de por qué rendija ha pa-sado un átomo excitado (una propiedad corpuscular). Con un lá-ser se excita un átomo a un estado de alta energía. Luego, eseátomo atraviesa el aparato de doble rendija. Tras cada rendijahay una cavidad de microondas de una longitud suficiente paraque el átomo salga de su estado de excitación antes de aban-

donarla. Se libera de esa manera un fotón que permite al expe-rimentador detectar por qué rendija ha pasado el átomo. Segúnel principio de complementariedad de Bohr, no puede entoncescomportarse como una onda. Por lo tanto, múltiples repeticionesdel experimento producirán una mancha extensa en la pantallade detección, en vez de franjas de interferencia. Pero al quitarla pared que separa a las cavidades se borraría la informacióndel camino seguido y se restablecerá la interferencia.




Bohr demostró que el argumentode Einstein tenía un fallo. Invocóotro principio de la mecánica cuán-tica: el principio de incertidumbrede Heisenberg. Pese a que su nom-bre sugiere vaguedad, este princi-pio proporciona información cuan-titativa sobre la mejor precisióncon que se pueden medir variablescomplementarias. Inevitablemente,el retroceso del aparato de la doblerendija altera el sistema y crea unaincertidumbre en la posición delfotón en la pantalla de detección.Esta incertidumbre basta para difu-minar las franjas de interferencia,de modo que ya no se podrá medirel momento lineal.

Durante muchos años se pensóque el cumplimiento de la comple-mentariedad se debía al principio deHeisenberg. Se supone ahora que

la complementariedad es más fun-damental, que sería posible “mar-car” la posición de una partículasin alterar su momento lineal. Ellonos lleva a un nuevo tipo de expe-rimentos: los borradores cuánticos.

¿Qué camino?

Hace unos 20 años, Marlan O.Scully y Kai Drühl, causaron

una conmoción con la idea del bo-rrado cuántico. De acuerdo con suargumentación, si se puede obtenerla información que indica la tra-yectoria de un objeto sin perturbarde manera significativa dicha tra-yectoria, la interferencia debería de-saparecer (en virtud de la comple-mentariedad); ahora bien, si despuésse procediese a “borrar” dicha in-formación, la interferencia deberíareaparecer. Podría incluso decirseque “la interferencia es igual a laignorancia” (de la trayectoria de lapartícula).

Posteriormente, Scully se unió aBerthold-Georg Englert y HerbertWalther en su propósito de llevar acabo la idea. En su modelo, el objeto que interfiere es un átomo conelectrones excitados a un nivel deenergía muy alto. Tras cada una delas rendijas hay una cavidad de mi-croondas diseñada para capturar unfotón emitido por el átomo cuandocae a un nivel de excitación infe-rior. Con sólo mirar en qué cavi-dad se encuentra el fotón, el expe-

rimentador sabrá por cuál de las ren-dijas pasó el átomo. La comple-mentariedad supone que las franjasde interferencia tendrían que desa-parecer. Pero si el experimentadorquitase la pared que separa las ca-vidades, la información extra de porqué camino han pasado se borraríay las franjas reaparecerían inme-diatamente.

No se ha conseguido efectuar elexperimento Scully-Englert-Walther,pero hemos realizado uno análogocon fotones, que facilitan mucho latarea.

Nuestro experimento utiliza lapolarización como marcador. La po-larización de una onda electro-magnética, pensemos en una lumí-nica, viene determinada por lasoscilaciones de los campos eléc-

tricos y magnéticos de los que secompone (véase la figura 4). Estoscampos oscilan siempre en un planoperpendicular al sentido de su pro-pagación, pero pueden apuntar endistintas direcciones dentro de esteplano: vertical, horizontal o en uncierto ángulo (45o o –45o, por ejem-plo) con respecto a la horizontal.Pueden incluso rotar a medida quese propagan hacia delante, a lamanera de un tornillo dextrógiro olevógiro. Se dice de estas ondasque están polarizadas circularmen-te a derechas o a izquierdas. Por me-dio de unos componentes ópticos,las láminas de onda, resulta posi-ble cambiar la dirección de lapolarización o transformar un rayolinealmente polarizado en uno cir-cularmente polarizado. Otro com-

Onda diagonalmente polarizada

Una lámina de cuarto de onda convierte una onda diagonalmente polarizadaen una onda circularmente polarizada

3 3

2

44

1 1 1

2

4. NUESTRA VERSION DEL BORRADO CUANTICO utiliza la polarización como marca-

dor de la rendija por la que pasa un fotón. Una onda de luz con polarización lineal( parte super ior ) consiste en campos alternativamente eléctricos o magnéticos. Aquísólo aparece el campo eléctrico. Dado que sus componentes verticales y horizontalesson iguales, se dice que está polarizado de manera diagonal ( parte superior, flechas

púrpura). Una lámina de cuarto de onda, como las que usan los autores en sus expe-rimentos, retrasa una de las componentes (figura inferior ). Esto hace que el campoeléctrico neto rote a medida que se propaga por el espacio ( parte infer ior, flechas 1,

2, 3, 4 ). Como esta rotación va, para quien esté observando la onda que llega, ensentido antihorario, se denomina al resultado onda polarizada circularmente a izquier-das. De haber retrasado la otra componente, se hubiera creado una onda polarizadacircularmente a derechas. Con su eje colocado verticalmente, la lámina de cuarto deonda convierte la luz diagonalmente polarizada en luz circularmente polarizada; con sueje a 45

o, convierte la luz verticalmente polarizada en luz circularmente polarizada.




ponente óptico común es el pola-rizador , que sólo permite el pasode luz con una polarización deter-minada. Cuando un rayo circular-mente polarizado atraviesa un po-larizador horizontal, es despojadode la parte vertical de la onda; quedasólo un rayo horizontalmente po-larizado con la mitad de la inten-

sidad del original.Repitamos ahora, en la imagina-

ción, el experimento de Young conmuchos fotones horizontalmente po-larizados. Coloquemos tras las ren-dijas dos láminas de cuarto de onda:una que convierta los fotones hori-zontalmente polarizados en fotonescircularmente polarizados a dere-chas, y otra que los polarice circu-larmente a izquierdas. Nos encon-traremos con una gran sorpresa: lasfranjas de interferencia desapare-

cerán, sustituidas por una sola franjade luz, más intensa en el centro. Sidibujamos la distribución de losfotones en un gráfico, obtendremosuna curva en forma de campana.

¿Qué ha pasado con la interfe-rencia? Los fotones parecerán ha-ber dejado de comportarse como mo-nedas cuánticas; se habrán convertido

en monedas clásicas. Las láminasde onda habrán correlacionado cadarendija con una polarización deter-minada. Mediante un polarizadorcircular podríamos medir la polari-zación y descubrir por qué rendijapasó cada fotón. Obsérvese que, paradestruir el patrón de la interferen-cia, no hemos de medir la polari-zación. Basta con que esté dispo-nible la información del caminoseguido; hacer caso omiso no res-tablecerá la interferencia.

Una historiaentrelazada

Para llevar a cabo el borrado cuán-tico se necesita algo más que

un modo de indicar el camino quetomó el fotón; también hay que mos-trar cómo se “borra” esa informa-

ción. Para ello insertamos un pola-rizador lineal horizontal entre lasláminas de cuarto de onda y el de-tector. Al repetir entonces el expe-rimento dejamos de observar ya lacurva con forma de campana; aldetectar los fotones, se nos pre-senta un patrón de interferencia. Escomo si nos pusiésemos unas gafasde sol y, de repente, viéramos loque nos rodea a rayas.

¿Por qué restablece la interferen-cia un polarizador horizontal? Porque

Fotón

Láminas de cuarto de onda que proporcionaninformación del camino seguido

Doble rendijay láminas

de cuarto de onda

Pantalla

Polarizador horizontal que borrala información del camino seguido

Doble rendijay láminas

de cuarto de onda

Fotón

Pantalla

5. EN LA VERSION DEL BORRADO CUANTICO de los autores secolocan tras las rendijas láminas de cuarto de onda, que con-vierten las polarizaciones de los fotones, respectivamente, en

circular a izquierdas y circular a derechas. Esto proporciona alexperimentador información de los caminos seguidos; las franjasde interferencia desaparecen ( parte superior ). Sin embargo, un

polarizador horizontal ( parte infer ior ) convierte cualquiera de laspolarizaciones circulares en polarizaciones horizontales; resultaentonces imposible distinguir entre los fotones que atravesaron

las rendijas superior e inferior. La información del camino se-guido se ha borrado y las franjas de interferencia reaparecen,como los autores han demostrado en el laboratorio.




borra la información del camino se-guido. Recordemos que nuestro po-larizador horizontal filtra un fotóncircularmente polarizado a derechaso a izquierdas y lo transforma enun fotón horizontalmente polarizado.No hay manera de distinguir en ade-lante si era lo uno o lo otro: unavez que un fotón pasa por el pola-rizador, no se puede determinar siprocedía de la rendija 1 o de la 2.Eliminada la información corpuscu-lar, los fotones quedan libres paravolver a actuar como ondas.

Del mismo modo, si instalamosun polarizador lineal vertical entrelas láminas de cuarto de onda y eldetector, volveremos a borrar lainformación del camino seguido.Sin embargo, en este caso obser-vamos un patrón de franjas, por locomún denominado de antifranjas,que no se halla exactamente enfase con el patrón que vimos con

el polarizador horizontal. Las anti-franjas presentan un mínimo cen-tral (banda oscura).

Disponemos, pues, de dos modosde dividir los resultados experi-mentales en subconjuntos. Medianteun polarizador circular separaríamoslos fotones en dos grupos: los quepasaron por la rendija 1 (circular aderechas) y los que pasaron por larendija 2 (circular a izquierdas). Conun polarizador lineal los separaría-mos en dos grupos distintos: los

que producen un patrón de franjas(horizontales) y los que producen unpatrón de antifranjas (vertical). Estaes la esencia del borrado cuántico.

¿Dice algo el principio de incerti-dumbre acerca de este experimento?No. La polarización y la posiciónno son variables complementarias;lo mismo que ocurre en la propuestade Scully-Englert-Walther, el prin-cipio de incertidumbre de Heisenbergno es, pues, aplicable aquí. ¿Por qué,entonces, se cumple el principio decomplementariedad?

La respuesta es: el entrelazadocuántico. Cuando un fotón pasa por

el aparato de la doble rendija, en-tra en una superposición de estadosde posición: rendija 1 + rendija 2.Las láminas de cuarto de onda lle-van a cabo una operación adicionalde lógica condicional. Si el fotónpasa por la rendija 1, emergerá po-larizado circularmente a derechas y,si lo hace por la rendija 2, emer-gerá polarizado circularmente a iz-quierdas. Así pues, la polarizaciónse habrá entrelazado con el camino.El estado del fotón puede descri-

birse como una nueva y más com-plicada superposición:

(rendija 1 Y polarizado a derechas)+(rendija 2 Y polarizado a izquierdas)

Dado que ahora los dos observa-bles están entrelazados, la manipu-lación de la información relativa acualquiera de ellos cambiará de ma-nera automática la información so-bre la otra. Equivale por completoa describir el estado del fotón como:

(franjas Y horizontalmente polarizado) +(antifranjas Y verticalmente polarizado)

Para volver a la analogía del lan-zamiento de una moneda, los ob-servables de posición y polarizaciónvendrían a ser ahora como dos mo-nedas “telepáticas”. La moneda 1cae de cara la mitad de las veces,igual que la moneda 2; por tanto,si se observa cada una de ellas demanera aislada, parecerá absoluta-mente normal. Su rareza cuánticasólo se manifestará cuando se des-cubra que cada vez que la moneda

Contador de coincidencias

Detector a

Detector b Láser de argón

Rayo láser ultravioleta

Lentes

Fotón b

(borrador cuántico)

Fotón a Cristal

no lineal

Fotonesentrelazados

Doble rendijay láminas de cuarto

de onda

6. EN EL EXPERIMENTO DE “ELECCION RETARDADA” se utiliza un segundo fotóncomo borrador cuántico. Se preparan los fotones a y b en un estado entrelazado paraque cualquier medición de la polarización de b se entrelace con la información del ca-mino seguido por el fotón a. La detección de coincidencias permite al experimentadordeterminar qué par de fotones están entrelazados uno con otro. Si los dos detectoresse activan en el lapso de un nanosegundo, es casi seguro que los dos fotones cons-tituyen un par entrelazado.




1 cae de cara, la moneda 2 hace lomismo.

Las monedas telepáticas le pa-recían bastante extrañas a Einstein.En un famoso artículo de 1935, es-crito con Boris Podolsky y NathanRosen, sostenía que violaban el prin-cipio de complementariedad. Sin em-bargo, el entrelazado cuántico esun fenómeno muy real. Los físicosensayan formas posibles de aplicarel entrelazado a ordenadores cuán-ticos y criptosistemas imposibles dedescifrar.

¿Cambiando la historia?

Nuestra última variante sobre elexperimento de Young incor-

pora el entrelazado cuántico de ma-nera mucho más manifiesta, para pro-

ducir una situación de aparienciaparadójica: la “decisión retardada”,ideada por John A. Wheeler. Inquietaaún más que las monedas telepáti-

cas, ya que parece abrir la posibili-dad de modificar el pasado. Lo pa-rece, pero no lo altera en absoluto.

En el experimento de la decisiónretardada creamos un par de fotonesentrelazados, a y b. Cuando la po-sición de a tenga una polarizaciónhorizontal, b tendrá forzosamente unapolarización vertical, y viceversa.(Llevamos esto a cabo mediante unproceso óptico no lineal, la “con-versión paramétrica espontánea a labaja”: se apunta un láser ultravio-leta de argón hacia un cristal fino,que emite, así iluminado, dos foto-nes “gemelos”.) Maniobramos elfotón a de modo que pase por ladoble rendija y las láminas de cuartode onda, y después por un detector,mientras que b se dirige directamentea un detector de polarización dis-tinto. Esta vez, la polarización del

fotón b será nuestro controlador delborrador cuántico.

Dado que a y b se hallan entre-lazados, cualquier medición sobre

b nos dirá algo sobre a. Podemoselegir si efectuamos una mediciónsobre b que nos proporcione infor-mación del camino seguido por a,o si efectuamos una medición quepreserve la interferencia. Si medi-mos la polarización horizontal o ver-tical de b, preservaremos la infor-mación del camino seguido. (Es así porque la expresión “a circular aderechas y b horizontal” implicaque el fotón a pasó por la rendija 1,mientras que “a circular a izquier-das y b horizontal” indica que pasópor la rendija 2). Para borrar la in-formación del camino seguido pora, podemos medir, en cambio, lapolarización diagonal de b. Una me-dición de la dirección diagonal po-sitiva (45o) dará franjas de interfe-rencia en la pantalla de detecciónde a; una medición de la dirección

diagonal negativa (–45o) produciráantifranjas.

En nuestro laboratorio hemos de-mostrado que el borrado cuántico

Polarizadordiagonalpositivo

Polarizadorhorizontal

Polarizadorvertical

Fotón b Fotón a

Franjas deinterferencia

Antifranjas deinterferencia

Polarizacióncircular

a derechasrendija 1

Polarizacióncircular

a izquierdasrendija 2

Polarizadordiagonalnegativo

P r o p o r c i o n a i n f o r m a c i ó n

d e l c a

m i n o s e g u i d o

B o r r a i n f o r m a c i ó n

d e l c a m i n o s e g u i d o

Cuenta total de fotones

Pico uno(polarizaciónhorizontal)

Pico dos(Polarización

vertical)

Medir la polarización horizontal o vertical del fotón b preserva la información del camino seguido

Medir la polarización diagonal para borrarla información del camino seguido

Franjas(polarización

diagonalpositiva)

Antifranjas(polarización

diagonalnegativa)

7. LA PARADOJA DE LA “ELECCION RETARDADA” equivale aun cambio en la contabilidad, no a un cambio de la historia. Elcomportamiento de un par de fotones entrelazados (a y b) puedeser anotado por dos observadores, cada uno por su lado. El ob-servador A repite muchas veces el experimento y dibuja un grá-fico que muestra dónde se detectan los fotones. Cualquiera quesea el método de medición que escoja el observador B , el grá-fico del observador A será una curva en forma de campana.(Esto se corresponde con la mancha que hemos visto en la fi-gura 5). Si el observador B elige medir la polarización horizon-tal/vertical, cada uno de sus fotones b conservará información

del camino seguido por sus gemelos entrelazados. Así, los foto-nes a medidos por A se separarán en dos grupos, uno de loscuales habrá pasado por la rendija 1 y otro que lo habrá hechopor la rendija 2. El recuento de los fotones de cada grupo pro-ducirá curvas en forma de campana, ligeramente desplazadasuna de otra (arriba derecha, líneas verdes). Si el observador Bdecide medir la polarización diagonal, se borrará la informacióndel camino seguido. En ese caso, los fotones entrelazados me-didos por A se podrán separar en otros dos grupos, uno queforma franjas de interferencia y otro que forma antifranjas( parte infer ior ).




se produce sin que importe el ordenen que se detecten a y b. Puestoque nuestro detector para el fotón bno está demasiado alejado (1,5 me-tros), el retraso en la detección esminúsculo: alrededor de 5 nanose-gundos. En principio no hay ningunarazón por la que no podamos enviarb a una gran distancia, aunque seaa Marte. Esto daría al observador

marciano varios minutos para deci-dir si nosotros, en la Tierra, obser-varemos franjas o no. Pero, ¿y si yahemos recopilado nuestros datos yobservado lo contrario?

Es imposible que esto ocurra. Lamedición retardada en Marte no cam-bia lo ocurrido en la Tierra; sólocambia nuestra contabilidad. Paraexplicarlo recurramos al consabidodiálogo entre Alicia y Bob. Supon-gamos que Alicia prepara en la Tierraun experimento de doble rendijacon láminas de cuarto de onda. Suamigo Bob, que vive en Marte, leenvía una caja de fotones. Aliciahace pasar cada fotón por el apa-rato de doble rendija, efectúa unamedición de su posición y anota lamedición: “Fotón 567 detectado enla posición x = 4,3”. Ignora que, enMarte, Bob, se ha quedado con ungemelo entrelazado de cada unode los fotones y mide su polariza-ción como le apetece, bien en lasdirecciones horizontal y vertical,bien en las direcciones diagonales

de 45o o –45o; los resultados losanota en su cuaderno de laborato-rio: “Al fotón 567(B) se le ha de-tectado una polarización horizon-tal”. Unas semanas más tarde, Bobvisita a Alicia.

Alicia: Mira, he hecho ese expe-rimento de la doble rendija y la lá-mina de cuarto de onda sobre elque escribieron esos físicos. Tal comodecían, obtuve una aburrida curvaen forma de campana sin la menorinterferencia.

Bob (un bromista): ¿Estás segura?Revisa tus resultados y dibuja úni-camente las posiciones de estos fo-tones. ( Entrega a Alicia una listade los fotones en los que obtuvo una

polarización de 45o). Alicia: ¡Franjas de interferencia!

¿Cómo has conseguido que los fo-tones interfieran después de haberanotado yo los resultados en mi cua-

derno? Bob: ¿Eso te parece genial? Echale

un vistazo a esto. ( Le entrega a Alicia una lista de los fotones enlos que obtuvo una polarización ver-tical.)

Alicia: ¡No tienen franjas! Vuelvea darse la curva en forma de cam-pana. ( Bob le entrega una lista delos fotones con una polarizaciónde –45o y ella dibuja sus posicio-nes). Reaparece la interferencia, peroesta vez con antifranjas. Esto esasombroso, Bob. Puedes controlarel pasado. ¿Puedes retroceder y cam-biar las notas que saqué en misexámenes, Bob?

Bob: Lo siento, Alicia, pero nohay nada mágico en ello. En reali-dad, los fotones que te envié esta-ban entrelazados con unos que mequedé. Realicé mediciones de po-larización y de ahí salieron estasmisteriosas listas de fotones. Pero

mis mediciones no han modificadola historia. Se limitaron a exponermecómo dividir tus resultados experi-mentales. Puedo dividirlos en franjas y antifranjas o en dos curvas enforma de campana. Pero no puedocambiar el lugar donde acaba cadafotón.

Alicia: Qué pena. Me hacía muchí-sima falta ese sobresaliente en fí-sica. (Se anima). ¡Pero oye! ¡Talvez podríamos convertir esto en unsistema para enviar mensajes!

Bob: Créeme, Alicia, ya hay al-guien trabajando en ello.

Conclusión

El borrado cuántico parece con-firmar que el principio de com-

plementariedad es una parte funda-

mental de la teoría cuántica. Aunquelos experimentos de este tipo hancontribuido a ilustrar la naturalezadual de los objetos cuánticos, losfísicos todavía no son capaces deexplicar por qué existe la dualidadonda-partícula. En esto seguiría-mos estando de acuerdo con RichardFeynman, que en 1960 escribió:“Explicándoos cómo funciona, nopodemos hacer que desaparezca elmisterio. Vamos a explicaros cómofunciona, nada más”.

Aun así, estamos progresando.Ahora comprendemos que el res-ponsable de la complementariedaden el experimento de la doble ren-dija es el entrelazado cuántico, partenecesaria del acto mismo de la me-dición, y no la “incertidumbre cuán-tica” asociada a la medición. Parece-rá una sutileza, pero gracias a ellamuchos físicos se sentirán más tran-quilos.

THE FEYNMAN LECTURES ON PHYSICS. R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands.Addison-Wesley; Reading, Massachusetts, 1965.

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STEPHEN P. WALBORN, MARCELO O. TERRA CUNHA, SEBASTIAO PA-DUA y CARLOS H. MONKEN investigan la óptica cuántica en la UniversidadFederal de Minas Gerais (UFMG), en Belo Horizonte, Brasil. Stephen P. Mal-born está a punto de terminar su tesis doctoral en óptica cuántica. Marcelo O.Terra Cunha es estudiante de doctorado de física y profesor ayudante de ma-temáticas. Sebastião Pádua y Carlos H. Monken son profesores adjuntos en laUFMG e investigadores principales del grupo experimental de óptica cuántica.© American Scientist Magazine .

Los autores



Ulugh BegUno de los astrónomos más famosos de Oriente en el siglo XV,

este soberano hizo construir en Samarcanda un gran observatorioastronómico y realizó una competente investigación del firmamento

Bernhard Du Mont

Tamerlán, o Timur Lang (1337-1405), fue uncaudillo de la respetada tribu mongola de Barlas,

venida a menos. Residía ésta en Shahrisabs,al sur de Samarcanda. Por parte materna, Timurdescendía de Gengis Jan. Por matrimonio ob-

tuvo el título de Guragan (yerno del Jan), crédito in-dispensable para un caudillo sucesor del imperio deGengis Jan.

Con habilidad política y una brutalidad despiadada,Timur persiguió su gran objetivo: reinstaurar el anti-guo imperio de Gengis Jan. Hasta su muerte arrasó

casi todos los estados islámicos de Asia y los des-pobló. Se adueñó así de un territorio que abarcaba desde

los Urales hasta Siria, y desde Delhi hasta Ankara.Aunque para ello mató a centenares de miles de mu-sulmanes, demostró por otro lado una comprensión fuerade lo corriente por la cultura islámica.

Cuando un filósofo notable, un poeta, un músico, unmatemático, un experto en ciencias naturales o un ar-tesano excepcional caía en manos de Timur en cual-quiera de los países conquistados, le respetaba la viday se lo llevaba a la nueva capital, Samarcanda. Allí



tuvo lugar, durante el paso al siglo XV, un florecimientosin igual del arte y de la ciencia islámicos.

Nada le detuvo en su proyecto de traer el progresoeconómico a la ciudad. Mediante la destrucción deSarai, la capital de la Horda de Oro en el Volga, deUrguendch, al sur del mar de Aral, y de Almalik, alsur del lago Baikal, cerró las vías de las caravanasque seguían la “Ruta de la seda”. Simultáneamente,ofreció la ruta que pasaba por Samarcanda, lo que su-ponía la anulación de Tabris como capital de losmongoles. Samarcanda se convirtió en nudo de co-municaciones para el comercio con Génova, Veneciay Pisa, las ciudades hanseáticas, Moscú, China, la In-dia y Asia Central.

Timur eligió como futuro soberano de este paraíso asu nieto Muhammad Taragay, nacido el 22 de marzode 1394 en Sultanieh, que pronto adoptó el nombre deUlugh Beg (“Gran Príncipe”). A la edad de 10 años locasaron con una princesa mongola, que procedía porparte de madre del Jan Özbeg. A partir de ese mo-mento obtuvo la prerrogativa de ser llamado tambiénGuragan.

Apoyado por su padre Shah Ruj y por su madreGauher Shad, que reinaban en Herat y cultivaban lasciencias y las artes, y mediante el trato cotidiano consabios, artistas y pensadores extraordinarios que Timurmantenía en su entorno, Ulugh Beg pudo desarrollardesde temprana edad su talento. Adquirió conoci-mientos profundos de matemáticas, astronomía, filo-sofía, política, historia, medicina y literatura, tantoárabe como persa. Cuando Shah Ruj, en el año 1409,

nombró soberano a Ulugh Beg en Samarcanda, teníaéste 15 años.

El reinado de Ulugh Beg

Ulugh Beg recibió de Timur una administración efi-caz. El país contaba con una división adminis-

trativa asentada y un sistema de impuestos y aduanasbien regulado. Ulugh Beg prosiguió la construcción, ini-ciada por Timur, de canales de riego, vías de circula-ción, parques públicos, mezquitas, palacios y serrallos.Samarcanda se convirtió en una de las metrópolis mássuntuosas de Asia, tal como Timur había soñado.

Una acertada elección de ministros eficientes, que per-manecieron también largo tiempo en sus cargos, le dejótiempo al soberano para dedicarse a los estudios acadé-micos. Con todo, en lo referente a las campañas mili-tares, Ulugh Beg era tan frívolo que fue desposeído desu cargo por un tiempo, en 1427, por Shah Ruj.

Las madrasas de Ulugh BegDel período de Ulugh Beg podemos hacernos una

idea inmediata a través de sus construcciones.Algunas se conservan en buen estado. Sus paredes ex-teriores muestran dibujos geométricos de gran formatode ladrillos vidriados de color azul oscuro, azul tur-quesa y blanco, así como restos legibles de caligrafíaen cúfico. Los portales de sus madrasas están cubiertos

Peshawar

Teherán

Esfahan

MosulMashhadRascht

KandaharQuetta

Kabul

ZhobFarah

Herat

Kuschka

Astracán

Baku

Aschkhabad

Zahedan

Bagdad

Al Basrah

Jammu y Cachemira

M a

r

C a s p i o

G o

l f o

P é r s i c

o D e s i e

r t o d

e

Mar de Aral

Lago Beljash

IRAK

IRAN

AFGANISTAN

PAKISTAN

KAZAKISTAN

TURKMENISTAN

AZERBAIJANA R M E N

I A

KIRGUISISTAN

TADJIKISTAN

KUWAIT

U Z B E K I S T A N

ARABIASAUDI

GEORGIA

Sarai

Almalik

Alma alta

Urguendch

Shahrisabs

Bujara

Tabris

Maragheh

SultaniehNischapur

Kerman

Shiraz

Samarcanda

Duschanbe

Taschkent

1. VISTA DE SHAH-I-ZINDE, conjunto de mausoleos junto a Samarcanda( izquierda). La zona de dominio de Ulugh Beg con las actuales fronterasestatales ( mapa ).

69

D A V I D C . W A U G H




con mosaicos vidriados cromáticos,que representan adornos en formade estrellas, plantas y frisos con es-critura entrelazada de tipo “tulut”.

Una madrasa (lugar de estudio)era originariamente una escuela su-perior unida a un internado. Cumplíalas funciones de un seminario te-ológico, de una escuela jurídica yde una mezquita. Las primeras ma-drasas de este tipo surgieron en elsiglo X. Con la construcción de unamadrasa en Bujara, en 1417, creóUlugh Beg el prototipo de una ins-titución totalmente nueva, una suertede universidad. En la madrasa deSamarcanda se enseñaba, además de

teología, disciplinas más mundanas:astronomía, matemáticas, lógica,geometría, geografía, medicina, de-recho, historia, literatura, poesía y

árabe. La posesión más valiosa dela madrasa era la biblioteca, con másde 15.000 volúmenes.

El edificio, sin ventanas exterio-res (81 × 56 m), circundaba un pa-tio interior cuadrado, que estabaparcialmente pavimentado si biendisponía también de algunos árbo-les y de una fuente que invitabanal descanso. En cada esquina habíaaulas cubiertas de cúpulas, aunquetambién se impartía docencia enlos cuatro iwanes. Detrás del iwan

principal (capilla oratorio), en di-rección a La Meca se encontrabaotra mezquita de invierno. Las cel-das, dispuestas en dos pisos; sus

puertas y ventanas daban al patio.Cada celda estaba dividida en com-partimentos para albergar a dos alum-nos. Sólo había 50 celdas, de modoque el número de estudiantes se li-mitaba a 100. Quien fracasaba enlos exámenes mensuales debía de-

jar libre su plaza. El alto rendimientocientífico, artístico y técnico atraíaa muchos estudiantes, conscientesde su valía, de toda Asia.

“La búsqueda del saber es el de-ber de todo musulmán y uno de los

2. LA MADRASA DE ULUGH BEGdel año 1420 en Samarcanda.

Vista desde el sureste.

3. LAS CELDAS DE LOS ESTUDIANTESde la madrasa de Ulugh Beg.Los pórticos (iwanes) servían tambiénde aulas.



de toda musulmana”. Esta inscrip-ción de la madrasa de Bujara erarevolucionaria, ya que la instrucciónde las mujeres se reputaba, entre losmusulmanes del espacio culturalárabo-persa, una indecencia. Entrelos mongoles las mujeres siempredisfrutaron de una consideración másalta. Ulugh Beg dedicó parte de sutiempo a atender las reclamacionesde las mujeres en lo referente auna buena instrucción y las aceptóen las madrasas

Astrónomoscolaboradoresde Ulugh Beg

El poeta persa Jameh (1414-1492)asistió a las lecciones de Salah

al-Milla ad-Din Musa, que proveníade Anatolia y que, por esta razón,era llamado Kazi Zadeh al-Rumi(1364-1436). Enviado por su ma-estro al-Fanari a Samarcanda, se en-contró, entrado ya en los cuarentaaños, en 1410, con Ulugh Beg, quienlo nombró profesor suyo y astró-nomo principal. La construcción dela madrasa debió de ser una suge-rencia de al-Rumi.

Compuso éste, entre otros, unoscomentarios al “Compendio de As-tronomía de Juwarizm” de Chagmini(m. 1220). Nos ha llegado tambiénun tratado de al-Rumi sobre la de-terminación de la dirección de LaMeca. Su cálculo muy exacto delseno 1o permitió la gran precisión

de las tablas de Ulugh Beg. Un co-mentario inacabado sobre la heren-cia astronómica de al-Tusi consti-tuyó uno de los prolegómenos parala construcción del observatorio.La memoria de al-Rumi persisteinmortalizada en un mausoleo, co-ronado por una cúpula, de la necró-polis de Shah-e Zindah.

Del entorno de Ulugh Beg en Sa-marcanda merece destacarse la fi-gura de Ghiyas al-Milla-ad-DinYamshid Ma’sud al-Kashi (1380-

1429). El soberano lo incluyó en elgrupo docente de la madrasa por su

claro sentido expositivo; fue tam-bién el planificador decisivo delnuevo observatorio. Anteriormenteya se había ocupado del observato-rio de Maragheh y sometido a criba

sus resultados. Desde 1408 estabaen Samarcanda y colaboraba con

Ulugh Beg. Allí creó unas tablaspara convertir los distintos siste-mas de coordenadas; inventó una ta-bla de cálculo para ortos planeta-rios y descubrió un algoritmo para


4. MOSAICOS DE LA FACHADAen al acceso de la madrasa

de Ulugh Beg. La bóveda, conadornos geométricos, fue calculada

posiblemente por al-Kashi.

No lejos del lugar donde nació Ulugh Beg, el Iljan de Ghazan levantó, treskilómetros al oeste de Tabriz, un observatorio. Ocupaba el centro de un

complejo formado por un hospital, una academia filosófica, una biblioteca y va-rias escuelas. Pero el observatorio más importante de la región se hallaba enMaragheh, al oeste del lago Urmia. Cuando el joven Ulugh Beg visitó Marag-

heh, el observatorio se había ya desmoronado. Debemos a Muayyad al-Din al-Urdi un afortunado relato del equipo instrumental. Había un cuadrante de pa-red, de 4 metros de radio, de cobre, así como un arco de meridiano de 18,4metros de radio. Los instrumentos se encontraban instalados en el interior deun recinto circundado por un segundo muro de escasa altura. Este muro, cuyoremate caía a la altura de los ojos, servía de “horizonte artificial”. El observato-rio fue construido entre 1259 y 1262 por Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) bajoel reinado protector de Hülagü, uno de los nietos de Gengis Jan.

La biografía de al-Tusi no desmerece la tensión de una novela de aventu-ras. Nacido en Mashad, estudió filosofía, medicina, matemática y astronomíaen Nishapur, donde cien años antes Omar Jayyam, astrónomo y matemático,amén de poeta, había llevado a cabo una reforma del calendario para elsultán selyuquí Malikshah (período Malikí). En su juventud al-Tusi se enrolóen una secta siíta extremista, la de los Asesinos. Cayó en manos del mongolHülagü durante el asalto a la fortaleza de Alamut. Dado que Hülagü se intere-saba por las ciencias naturales y los horóscopos, trató a al-Tusi con muchorespeto y lo tomó en su séquito. De este modo al-Tusi pudo presenciar el sa-queo e incendio de Bagdad en 1258 por los mongoles. Todo indica que al-Tusi reconoció el valor de los tesoros científicos de la “Casa de la Sabiduría”y de los eruditos adscritos a ella. Cuando, un año después, convenció a Hü-lagü para que construyera un observatorio, pudo contar con los expertos quenecesitaba. Creó una biblioteca de 400.000 volúmenes, la mayoría proceden-tes de Bagdad o robados de Siria y Mesopotamia.

Tras doce años de observaciones al-Tusi publicó el Zidj-i Iljani (“Tablas deIljan”). Compuesto en lengua persa, se tradujo más tarde al árabe. Ademásde ciertas tablas para saber el movimiento de los planetas, el Zidj contiene uncatálogo de estrellas. Al-Kashi relata que el observatorio de Maragheh sirvióde modelo para el de Samarcanda.

El observatorio de al-Tusi en Maragheh



calcular las raíces enésimas de unnúmero natural. Su cómputo delnúmero “pi” concuerda exactamenteen las primeras diecisiete cifras conel valor exacto. Redactó la parte teó-rica del Zidj de Ulugh Beg, una fa-mosa obra tabular.

Las construcciones de Ulugh Begllevaban el sello de al-Kashi, quienaplicó sus conocimientos matemá-ticos a la resolución de problemas

arquitectónicos. Se comprueba enun cielo de estalactitas (bóveda conrelieves) creado con muchos polí-gonos tridimensionales, algunosde ellos con sus superficies lisas yotros, retorcidas. Calculó la su-perficie de la cúpula cubierta conmosaicos que tenía que coincidircon la de los relieves de la bóvedainterna.

Al-Kashi dedicó sus escritos as-tronómicos al soberano, cuyas capa-cidades intelectuales y cuyo talento

organizador admiraba. Describió aUlugh Beg como “dotado por el ge-nio divino, con humana perfección,con cualidades angélicas y con ras-gos característicos de los profetas”.En el intercambio epistolar con supadre que se ha conservado, exponeal-Kashi las sesiones científicas mo-deradas por Ulugh Beg. Fuera delsoberano mismo y de al-Rumi nin-guno de los 60 sabios merecía el

aprecio de al-Kashi.En las sesiones consagradas a de-batir posibles fallos en los progra-mas de observación, Ulugh Beg de-testaba la adulación servil. Paradescubrir a los aduladores, caía aveces en errores manifiestos o for-mulaba preguntas capciosas. UlughBeg fue el tercero que llevó a caboestudios sobre Maragheh. Impartiócursos sobre al-Tusi y sobre su discí-pulo Kutb al-Din Mahmud ibnMasud Shirazi (m. 1311).

Cuando murió al-Kashi en el año1429, le sucedió en la direccióndel observatorio Ala-ud-Din Ali ibnMuhammad Kushi (1402-1472).Considerado el más conspicuo delos sabios en Samarcanda, UlughBeg le distinguió con el título de“mi más querido hijo”.

El observatoriode Samarcanda

El observatorio de Ulugh Beg nofue descubierto hasta el año

1908. Vladimir Vyatkin, arqueólogoaficionado ruso, lo halló a una lati-tud norte de 39o 37’ 28”, siguiendouna antigua descripción del si-glo XVII. Encontró las ruinas juntoal pie oriental de la colina de Chupan-Ata, en un altozano de 21 metrosde altura, contiguo al canal de Abu


5. TRAZADO DEL OBSERVATORIOde Samarcanda. La parte subterránea

del sextante Fahrí está cubiertapor una cúpula cilíndrica.

6. ASPECTO DEL OBSERVATORIOsegún una propuesta de reconstruc-ción de V. A. Nielsen (1941),B. A. Zaipkin y G. A. Purgachénkova(1958-1969), y M. Bulatov (1979).



Rahmat. Abarca una extensión denorte a sur de 170 metros y una ex-tensión este-oeste de 85 metros. Susituación, lindante con el desierto,le garantiza una visibilidad excep-cional. Alrededor del observatoriose extendía un parque; allí solía re-tirarse el soberano para meditar.

Hasta el año 1948 se fueron lim-piando los cimientos y la parte sub-terránea del sextante Fahrí (véase la

figura 5). Las últimas excavacio-nes de Shishkin de los años 1953y 1965 proporcionaron datos preci-sos. Era evidente que el observato-rio no sólo indicaba un eje que se-guía el meridiano, sino también uneje vertical. No es seguro si dosfragmentos de un arco de ocho anueve metros de radio pertenecíanal eje este-oeste. Para disponer eledificio conforme al meridiano exac-

tamente, se planificó con anteriori-dad la colina donde iba a levantarse.Después de cinco años de obra, elobservatorio se inauguró en 1429.

El fundador del imperio mogol dela India, Babur, un descendiente deTimur de quinta generación, pudocontemplar aún el observatorio, afinales del siglo XV. Lo describiócomo un gigantesco cilindro de trespisos. Su altura se estima entre 30y 33 metros. Sin contar el zócalode mármol, el diámetro tenía unalongitud de 46,65 m, y los muros,un espesor de 1,08 m. En el ladonorte, bajo el arco de meridiano, seabría un gran portal en forma deiwan. Al igual que en las madra-sas, una ornamentación de gran for-mato geométrico embellecía el zó-calo. De la superficie decoradaprofusamente se recuperaron abun-dantes fragmentos de esmaltadosde color amarillo teja.

Puesto que las fuentes no aportaninformación alguna sobre la cons-trucción y utilización del observa-

torio, debemos movernos entre con- jeturas. Algunos esquemas quereproducen el aspecto del observa-torio, realizados por Nielsen, Puga-chénkova y Bulátov entre 1949 y1979, resultan muy discutibles. Elobservatorio de Maragheh, que sir-

vió de modelo, es posible que fueramuy parecido. La prolongación dela tradición hasta el Djantar Mantarsde Djai Singh II en Djaipur y Delhien la India permite también retro-ceder, concluyendo en el modelode Samarcanda.

El instrumento principal, llamadosextante Fahrí, no era adecuado paraciertas tareas; por ejemplo, la ob-servación del último pico de la Lunay del primero (es decir, del comienzodel mes lunar) para determinar laLuna nueva. Esta tarea se acometíaen la parte superior del observato-rio, donde existía una terraza para

las observaciones con otros instru-mentos con los que se estudiabanlos fenómenos en el horizonte orien-tal y en el occidental. Allí se podíadeterminar también las elongacio-nes de los planetas interiores. Po-siblemente se observó también enSamarcanda el planeta Mercurio.

En el prefacio de su Zidj-i Mu-hammad Shahi, Djai Singh declarahaber construido instrumentos comolos de Ulugh Beg según antiguasdescripciones. Los dos fragmentoshallados de un arco de ocho a nuevemetros de radio podrían, pues, per-tenecer a un instrumento parecido


7. EL SEXTANTE FAHRI ( izquierda) desde el norte. A la derecha, el sextanteFahrí desde el sur.

8. LAS PLACAS DE MARMOLdel arco de meridiano con los cana-les de deslizamiento y las muescastransversales para un visor móvil.

D A V I D C . W A U G H



al de Samrath Yantra deDjaipur. También se da cuentade un cuadrante de mármol,de un triquetrum y de diver-sas esferas armillares de ma-dera o de metal que medíanaproximadamente un metro,móviles quizá. Para medir eltiempo se utilizaba probable-mente un reloj de sol o unaclepsidra (reloj de agua), quese graduaban observando elpaso del Sol por el meridianoy permitían, además, deter-minar la ecuación del tiempo.

La construcción cilíndricaofrecía espacio suficiente para lainstalación de materiales e instru-mentos. Había talleres de restaura-ción, aunque las esferas armillaresse construían en otro lugar. Un am-biente caldeado y una gran cocina

proporcionaban el confort necesariodurante los festines que Ulugh Begorganizaba en el observatorio. Losresultados de las observaciones searchivaban en el escritorio. Habría,a buen seguro, un gabinete de co-pia donde las tablas de Ulugh Begse iban reproduciendo sobre el terre-no. Dado que la gran biblioteca seencontraba en la madrasa, el ob-servatorio disponía de una pequeñabiblioteca para facilitar las tareas decómputo. La sala de sesiones nosería muy grande, pues el númerode personas adscritas al observato-rio era muy pequeño y vivían enun edificio anejo.

Así retrata Abd ar-Razzak su inte-rior: “Las imágenes de los NueveCielos y de los Siete Círculos Ce-lestes estaban reproducidas mara-villosamente y trazadas de maneraincomparable en el interior de aqueledificio sobresaliente, con los gra-dos, minutos, segundos y décimasde segundo; también se veían lasesferas giratorias con los círculos

de las siete estrellas móviles, imá-genes de las estrellas fijas, el globoterráqueo con sus divisiones en cli-

mas, montes, océanos, desiertos yotros objetos similares”.

El sextante Fahrí

Del instrumento más famoso, elsextante Fahrí, queda sólo la

parte subterránea en un sótano de2,5 metros de ancho y a una pro-fundidad de hasta 11 metros. Entrelas dos paredes paralelas lateralesdiscurre un doble arco de meri-diano de placas de mármol cuyo gro-sor abarca de diez a doce centíme-tros. Ambos arcos descargan sobreunos muros inferiores de ladrillode 29 centímetros de anchura y se-parados unos de otros 51 centíme-tros. Hay una escalera entre los ar-cos, enmarcados, a su vez, por dosescaleras laterales. El extremo su-perior del arco acababa posiblementea la altura de la línea del techo.

Sobre las placas de mármol puli-mentadas aparece una escala gradua-da de alturas. En el arco occiden-tal se distinguen unas graduacionescon cifras árabes a lo largo de unamuesca en la superficie. Las divi-siones mayores pertenecían a losgrados. Al inmenso radio del arcode 40,213 metros corresponde, para

un grado, un segmento de arco de701,8 milímetros. La subdivisiónmenor estaba en 0,4 milímetros ycorrespondía a 2 segundos de arco.

Se advierte, sobre las placas, uncanal de deslizamiento; en él secolocaba un visor corredizo que fun-cionaba según el principio de ladioptra (muesca y punto de mira),del que se recuperaron algunos frag-mentos. Como punto de mira seutilizaría en el “oculus”, que se en-contraba en el centro del arco, un

anillo con unos hilos cruza-dos. Durante las observacio-nes de los planetas, el astró-nomo y sus ayudantes subíano bajaban por la escalera hastaque el planeta era visible através del “oculus” y delpunto de mira del visor.Durante las observaciones delSol se formaba la imagensolar, que entraba por el “ocu-

lus” como en una cámara oscura enmitad de la escalera, sobre un listónque se deslizaba por dicho canal.En los orificios abiertos a cada ladode la superficie de mármol se fi-

jaba el listón y así se comparaba la

posición del Sol con la del día si-guiente. Mediante ese procedimientose podían verificar los solsticios,ya que el retroceso del Sol era ob-servable inmediatamente. El “ocu-lus” correspondía a las dimensio-nes del disco solar.

Hay que imaginarse la cámaradonde se encontraba el sextante comouna estancia sin ventanas, para po-sibilitar el contraste de la imagensolar. Ahora bien, puesto que losobservadores tenían que subir y ba-

jar por la escalera con una mínimaseguridad, se dejaba penetrar algode luz a través de una puerta quedaba al norte.

La graduación de 58o hasta 81o

se aprecia todavía hoy en la parteinferior del arco. Los arqueólogosdescubrieron entre los escombrosdos placas de mármol de un ta-maño de unos 70 cm que pertenecíana la parte superior. Una de las pla-cas contiene los grados 20 y 21; laotra, sólo los 19. Si se trata de lasúltimas placas, el arco de meri-

diano sería un instrumento cuya gra-duación, que abarcaría de los 19 gra-dos hasta los 80, correspondería aun arco de circunferencia de 61 gra-dos. De todo ello se deduce que noshallaríamos ante un sextante, no anteun cuadrante, pues éste cubre uncuarto de circunferencia.

La escala de 19o a 80o permite lamedición de todos los cruces del me-ridiano del Sol, la Luna y los pla-netas. El Sol se mueve en Samarcandaentre una altura de 26o,81 (invierno)


9. OBSERVACIONESen el sextante Fahrí con el visor móvil.

BERNHARD DU MONT, antiguo miem-bro del Instituto Astronómico de Cálcu-lo en Heidelberg, desde hace 25 añosenseña en Constanza.© Sterne und Weltraum.

El autor

S K Y & T E L E S C O P E 6 , 1 9 8

6



y 73o,83 (verano), la Luna, entreuna altura de 21o,66 y 78o,88.Mercurio varía entre una altura de19o,8 y 80o,8. Con todo, debido asu proximidad al Sol, quizá no pu-diera observarse en el meridiano.

El sextante facultaba para deter-minar los solsticios y, con ellos, laoblicuidad de la eclíptica. Tambiénhacía posible fijar la posición delecuador junto con la latitud ge-ográfica del observatorio. Con el sex-tante se podían determinar tambiénlos equinoccios y la precesión deleje de la Tierra. Con todo, el famosocatálogo de estrellas de Ulugh Begno se basa en observaciones hechascon este instrumento. El sextante esel punto culminante de una largaserie de realizaciones de la astro-nomía medieval islámica. Mientrasestuvo en servicio, Samarcanda fue

la capital astronómica del mundo.Sólo 150 años más tarde consiguiósuperar Tycho Brahe la exactitudde las mediciones de Ulugh Beg.

El Zidj de Ulugh Beg

El aforismo según el cual “lastareas principales de los astró-

nomos son los calendarios y losvaticinios” podría servir de lemapara el Zidj de Ulugh Beg (“Tablasde Ulugh Beg”), su obra principal.Escrita originariamente en tadjikis-tano, se tradujo pronto al persa yal árabe y, sólo más tarde, a laslenguas occidentales.

A pesar de la época intermediade observación del catálogo de es-trellas (mayo de 1437), Ulugh Begrealizó modificaciones hasta pocoantes de su muerte. La última fechaque se cita en el Zidj es el 28 deenero de 1444, que Ulugh Beg men-ciona como el comienzo del ciclochino de Shan Wan. De este modo

el Zidj sería el resultado concretode 30 años de observaciones.Consta de cuatro libros y de un

prólogo. El primer libro del Zidj,de 13 capítulos, se consagra a loscálculos de calendario. Según éstese computa la duración del año si-deral en 365 días, 6 horas, 6 minu-tos y 18 segundos, es decir, sólo 68segundos más que el valor actual.

El libro segundo, en cuya confec-ción al-Kashi tiene una importan-cia esencial, contiene en sus 22 capí-

tulos los principios matemáticos del Zidj. En esta parte se utilizan al-goritmos para resolver ecuacionesde tercer grado. Cuando se aplicala trigonometría plana y la esféri-ca, sólo se calculan incorrectamen-te las dos últimas posiciones de 18decimales del seno de 1o. Sobre estevalor las tablas basan las funcionestrigonométricas. Otros capítulos seocupan de la astronomía esférica,la geografía matemática y la astro-logía. Se explica cómo se llevan acabo las observaciones y el meca-nismo de su valoración. A la obli-cuidad de la eclíptica se le da unvalor de E = 23o 30’ 17”, es decir,32” menos de su valor. La prece-sión tiene un valor, según UlughBeg, de 1o cada 70 años, es decir:

p = 51”,43 por año. El valor actualpara 1347 es: p = 50’,39 por año,

en torno a un segundo de arco máspequeño.

En uno de los capítulos se defi-nen los conceptos matemáticos, as-tronómicos y astrológicos utilizadospor Ulugh Beg. En el apartado ti-tulado “Las doce casas celestes” pro-pone la división del círculo delzodíaco. En el epígrafe “La cabezay la cola del dragón” recupera elmito antiguo según el cual el Sol o

la Luna son devorados por un dragóncuando la Luna se encuentra en unnódulo. De este modo muestra laforma de predecir los eclipses.Cierran este segundo libro unas ta-blas con los nombres y las coorde-nadas de 300 ciudades del cuartohabitado del hemisferio oriental, así como de Córdoba.

En los 13 capítulos del tercer li-bro Ulugh Beg rinde cuentas de losplanetas y de la astronomía estelar.Describe el movimiento aparente delSol, la Luna y los planetas en unaconcepción geocéntrica del univer-so. Esto corresponde a una versióncorregida del Almagesto, la obra más


10. BUSTO DE TAMAÑO NATURAL

de Ulugh Beg, reconstruidocon métodos técnicos de crimina-lística por Gerasímov.

11. ULUGH BEG EN EL CIRCULO de grandes astrónomos (de izquierda a dere-cha: Galileo, Tycho, Ulugh Beg, Timocares, Hiparco, la musa celeste Urania, elpríncipe Hass, Regiomontano y Copérnico). Grabado en cobre de 1687.



importante del antiguo astrónomogriego Ptolomeo. Se puede encon-trar, incorporado dentro de una teo-

ría sobre el movimiento de los pla-netas, el método para calcular “ladistancia desde el Sol y desde laLuna al centro de la Tierra”.

El valor del Zidj de Ulugh Begreside, sobre todo, en el catálogo deestrellas, que contiene el resultadode 30 años de observaciones y sebasa en un compendio de fórmulasde gran exactitud. En el apartado“Determinación del emplazamientode las estrellas fijas en longitud ylatitud” Ulugh Beg explica la entradade datos para este catálogo.

En el libro cuarto se aborda laastrología matemática, que debe pro-porcionar la base para las predic-ciones. Con todo, Ulugh Beg noacompaña ningún tipo de instruc-ciones para interpretar un horóscopoque ha sido levantado. Sí se pue-den encontrar ciertas afirmacionessorprendentes; por ejemplo, portérmino medio un embarazo, desdela concepción hasta el parto, dura273 días, 5 horas y 10 minutos, esdecir, exactamente 10 órbitas luna-

res. También se calcula la edad delmundo: desde el comienzo del uni-verso hasta la era de Noé han trans-currido 180.000 años solares, y 4180años solares desde el primer año deldiluvio universal hasta la entroni-zación de Malikshah (1072). Si am-bas cifras se suman a la era malikí se obtiene la edad del mundo.

De la producción de Ulugh Begnos ha llegado también su Tratadomatemático. La única copia que existese conserva en Aligarh. No hay que

descartar, sin embargo, que en los ar-chivos de la Academia de Cienciasdel Uzbekistán dormiten manuscritosque podrían dar fe de determinadosacontecimientos celestes. Por botónde muestra, tres “novas” (9.9.1430;4.1.1431; 11.3.1437) que podían serobservadas en Samarcanda a simplevista, estallaron en el período de ob-servación de Ulugh Beg.

Ulugh Begy el Islam ortodoxo

El fin de la astronomía en Sa-marcanda se debe, en última ins-

tancia, a las dificultades que tuvoUlugh Beg con fundamentalistas islá-micos. A diferencia de Timur y deShah Ruj, creyentes cumplidores detodos los preceptos religiosos, UlughBeg permitió el relajamiento de lascostumbres. Algunas miniaturas del

Libro de los reyes muestran a UlughBeg y a miembros de su familia ro-deados de su corte. Sobre un fondode ricas alfombras y tapices, les sir-ven muchachas de cadera cimbreanteal son de la música, mientras “her-mosos efebos” ofrecen refrescos. Conmotivo de la circuncisión de su hijoAbd al-Aziz, Ulugh Beg manda quese sirva vino al pueblo. Parece serque el jefe de la policía dijo a susoberano: “Has destruido la fe deMahoma introduciendo las costum-bres de los infieles”.

Sin embargo, lo que más contra-rió a los clérigos sufíes, integradosen la orden derviche de Nakshbandi,fue la filosofía extranjera y las ma-temáticas, así como el estudio delas ciencias naturales en las ma-

drasas. Los derviches considera-ban que todo lo que un musulmántenía que saber ya era conocido yhabía sido descrito en el Corán yen los Hadices (Tradiciones). Si sepretendía sobrepasar eso, se usur-parían los secretos de Alá.

Un Hadiz es un dicho atribuidoal profeta Mahoma. Consta de dospartes, el propio dicho y el isnad ,esto es, la cadena de transmisoresque de manera fiable y sin interrup-ciones debe remontarse hasta el

profeta. El imam al-Bujari (810-870)recogió en sus viajes 800.000 Ha-dices y, tras rigurosas comprobacio-nes, redujo a 7400 los auténticos.Mediante su conocimiento acríticode los Hadices, los derviches ape-nas lograban convencer en los de-bates mantenidos en las madrasascon los profesores y estudiantes depensamiento analítico. Por ello UlughBeg estimulaba a aquellos teólogosque sobresalían en la filosofía y enla lógica. No molestaban, aunqueél antepusiera las ciencias natura-les como fuente de conocimiento.

El menosprecio que los teólogosde mente abierta y otros científicosmanifestaban hacia los dervichesincultos resultó insoportable paraéstos. Cuando Ulugh Beg obligó alshaij Jwaya Muhammad Parsa, su-perior de los derviches Nakshwan-

di en Bujara, a rendir cuentas, antelos “especialistas del Libro de Dios”de la madrasa de Samarcanda, delisnad de diferentes Hadices que losfundamentalistas invocaban con mar-tilleante frecuencia, el abismo en-tre los derviches y Ulugh Beg consus teólogos se hizo insalvable.

El clero establecido temía ademáspor sus prebendas. El soberano pre-fería sabios en los puestos admi-nistrativos. Durante el reinado deTimur les habían ido bien las co-sas. Este había colocado a los se-guidores del profeta en los puestosde juez y de inspectores de los mer-cados que controlaban el comercio.También había puesto en manos delos mullahs la administración de lavida pública; a cambio, se asegu-raba su apoyo durante las crisis polí-ticas. El respaldo del pueblo, queno se dejaba dirigir por académi-cos, le faltó pronto a Ulugh Beg.Cuando se propagó la declaraciónde Ulugh Beg —“la religión se des-vanece como la niebla, los impe-

rios pasan y sólo permanecen eter-namente las obras de los sabios”—,muchos mullahs, aterrorizados, con-sideraron inevitable la muerte deUlugh Beg.

La muerte de Ulugh Beg

Cuando el 12 de marzo de 1447murió Shah Ruj en el oeste de

Persia, Gauher Shad colocó a Abdal-Latif, hijo de Ulugh Beg, al frente


12. MONUMENTO A ULUGH BEG en lacolina del observatorio.



del ejército. Como único hijo vivode Shah Ruj y único nieto de Timur,Ulugh Beg exigió el mando del im-perio mongol, pero no encontróapoyo. En las luchas sucesorias sealió Abd al-Latif con Hodsha Ubai-dullah Akrar, jefe de la orden deNakshband.

El pulso lo ganó Abd al-Latif con-tra su padre. Ulugh Beg y su hijoAbd al-Aziz se rindieron al vence-dor. Aquél pidió gracia y prometióque únicamente se dedicaría a laciencia. Abd al-Latif se lo conce-dió y lo mandó de peregrinación aLa Meca. Pero, a la vez y a escon-didas de Ulugh Beg, convocó un jui-cio según la sharia. Los dignata-rios religiosos elaboraron un decreto( fatwa), según el cual los imanesnombrados por Ulugh Beg en Sa-marcanda debían devolver sus cre-

denciales. Además, reconocieron aun comerciante llamado Abbas, cuyopadre había sido ajusticiado porUlugh Beg, el derecho a la venganzade sangre.

Ya durante el primer día de laperegrinación, el 27 de octubre de1449, Ulugh Beg, acompañado deuna pequeña escolta, fue desviadomediante engaño hacia la aldea deBegum, 15 kilómetros al sur deSamarcanda, donde le esperabanAbbas y los suyos. El vengador lodecapitó de un solo golpe de espada.La cabeza de Ulugh Beg fue ex-puesta sobre el iwan de su madrasaen Samarcanda.

Pocos días después Abd al-Latif hizo asesinar a su propio hermanomenor Abd al-Aziz. Tampoco él selibró de muerte violenta, al año si-guiente. Uno de los conjurados, AbdAllah, hizo trasladar el cadáver deUlugh Beg al mausoleo de Timur,Gur-i Mir, donde también reposa-ban los restos de Shah Ruj y de otrosmiembros de la familia. Las tum-

bas fueron excavadas por el an-tropólogo Mijail Gerasímov en 1941.

La divulgaciónde las tablasde Ulugh Beg

Temerosos del fanatismo religiosoque imperaba en Samarcanda

tras la muerte de Ulugh Beg, los

científicos huyeron. El último di-rector del observatorio, al-Kushdji,salvó una copia del Zidj en su huida,a través de Jurasán, hacia la iraní Kirman; allí residió hasta 1465.Después vivió ocho años en Tabris.En 1473 se estableció definitiva-mente en Estambul, donde agrupóa varios eruditos en una madrasa

junto a Santa Sofía y organizó lainvestigación matemática y as-tronómica. En Estambul se tradujoel Zidj del persa al árabe; en laspostrimerías del siglo XV, trabaja-ban con esa obra los astrónomos detodo el mundo islámico.

Cuando el Zidj llega a Occidenteya había sido superado por las me-diciones, más precisas, de Tycho ypor las teorías de Kepler. En el año1648 John Greaves, profesor de laUniversidad de Oxford, publicó una

traducción latina: “Quibus accesse-runt, Insigniorum aliquot StellarumLongitudines, et Latitudines, ExAstronomicis Obsevationibus UligiBeigi, Tamerlani Magni Nepotis”.El catálogo de estrellas no fue im-preso hasta 1655 por Thomas Hyde.Edmond Halley comparó posible-mente las posiciones de algunas es-trellas de este catálogo de entre las341 estrellas del cielo austral conlas coordenadas del Zidj, sin en-contrar grandes variaciones. Johan-nes Hevelius ya utilizó en su Pro-dromos Astronomiae (1690) los datosde Ulugh Beg. En el tomo tercero,póstumo, de su Historia Coelestis

Britannicae (1725) comparó JohnFlamsteed el catálogo de Ulugh Begcon otros catálogos y lo comentó.En el museo del observatorio semuestra un grabado occidental delaño 1687 con Ulugh Beg en uncírculo de los astrónomos más des-tacados.

Todavía en el siglo XVIII, el ma-harajá Jai Singh II de Jaipur cons-

truía cinco observatorios siguiendolas pautas de Ulugh Beg, con ins-trumentos gigantescos y midió denuevo en el Zidj-i Muhammad Shahilas estrellas del “príncipe mártir”300 años más tarde. Ahora, un crá-ter de la Luna de 54 km de diá-metro honra el nombre de UlughBeg.

La decadenciade la astronomíaen Samarcanda

Puesto que Abd al-Latif se inte-resaba también por la astro-

nomía, el observatorio pudo man-tener su actividad por lo menosdurante un año. Una escuela as-

tronómica subsistió también untiempo: Moin ud-Din, que completóel catálogo de estrellas, tuvo comocontinuador a un hijo suyo llamadoMansur Kashi, astrónomo que en-señó al famoso Abdul-Ali ibn Mu-hammad Birjandi.

Se ignora cuándo fue saqueadala biblioteca. Hacia el año 1500 eledificio del observatorio se habíaconvertido en cantera de mármolpara nuevas construcciones. Paraborrar cualquier recuerdo de su fun-ción primigenia, los derviches decla-raron la colina sepulcro de “40 vír-genes”, construyeron un mausoleoy crearon un lucrativo lugar de pe-regrinación.

A media altura de la colina se le-vanta hoy una estatua monumentalde Ulugh Beg, esculpida por artis-tas uzbecos en 1964 (véase la fi-gura 12). El gran astrónomo apoyala mandíbula sobre una mano. Parecemeditar sobre el modelo coperni-cano, representado a sus pies, quenunca fue el suyo.


ULUGH BEG UND SEINE ZEIT. W. Cathold. Leipzig 1935.

ULUGH BEG’S FORGOTTEN OBSERVATORY. E. W. Piini, en Sky & Telescope, págs.542-544; junio, 1986.

ULUGH BEG AND HIS OBSERVATORY IN SAMARKAND. H. Hobden, en Astronomy Now, págs. 32-36; agosto, 1988.

RECONSTITUTION DE L’OBSERVATOIRE DE SAMARKAND. J. F. Oudet, en Publica-tions de l’Observatoire Astronomique de Strasbourg, págs. 201-217; noviembre,1992.

AMIR TEMUR IN WORLD HISTORY. Dirigido por A. Iriskulov. Tashkent, 1996.




La obra de Ulugh Beg, so-berano de Samarcanda(1394-1449), se alinea

junto a una serie de ob-servaciones astronómicasimportantes que se re-

montan a los astrónomos griegosTimocares (ca. 280 a.C.) y, sobretodo, Hiparco de Nicea (ca. 190-120 a.C.). Este último fue tambiénquien comprobó, a través del cote-

jo de las propias observaciones dela estrella Spica de la constelaciónde Virgo con las de Timocares, 140

años más antiguas, que la longitudeclíptica de esta estrella había aumen-tado unos 2 grados. Aunque Hiparcoconsideraba las observaciones an-teriores menos exactas, llegó a laconclusión de que en esa diferen-cia se encerraba un desplazamientodel punto del equinoccio de prima-vera sobre la eclíptica (véase la fi-gura 2). Esto tiene que ver con elhecho de que la posición del eje dela Tierra en comparación con el es-pacio circundante no es fija. Dicha

posición describe, en un intervalode 26.000 años, un círculo alrededordel eje del plano de la órbita terres-tre, es decir, de la eclíptica. La Tierrase comporta aquí como un compás;debido a su situación inclinada,además de su propia rotación rá-pida, describe un movimiento rota-torio lento de la posición de su eje(precesión).

En razón de este movimiento, elpunto equinoccial de primavera, esdecir, la intersección del ecuadorceleste con el plano de la órbita

terrestre a lo largo de la eclíptica,se desplaza; realiza en unos 26.000años aproximadamente un recorri-do completo. El meridiano que pasapor el punto equinoccial de prima-vera recibió el apelativo de “meri-diano cero” dentro del sistema decoordenadas de la eclíptica. Despuésde observar un incremento de las lon-gitudes eclípticas de Spica de unos2 grados a lo largo de 140 años,Hiparco dedujo una velocidad deprecesión de 51,4 segundos de arco

Las tablas

de Ulugh BegEl núcleo del Zidj de Ulugh Beg (“Tablas de Ulugh Beg”) es un catálogo con1018 estrellas, sus brillos y posiciones. ¿Qué lugar ocupa ese elenco,comparado con los grandes catálogos de Ptolomeo y de Tycho Brahe?

Heiner Schwan


E c l í p t i

c a

E s f e r a cel e s t e

Ecu a d o r c e

l e s t e

Polode la

eclíptica

Poloceleste

Polode la

eclíptica

C í r c u l o d e

l a s l o n

g i t u d e

s

L a t i t u

d

e c l í p

t i c a

Longi tu

d

eclíp tic

a

2. SISTEMA DE COORDENADASeclípticas con la longitud y la latitud.

1. POSICION DEL PLANO de la órbitaterrestre (eclíptica) y del ecuador celes-te. Los puntos de intersección corres-ponden al equinoccio de primavera (delante) y el de otoño (detrás).



al año. Este es un dato de una pre-cisión sorprendente, si lo compara-mos con los datos modernos (el va-lor IAU para el año 140 a.C. da unvalor de 49,8 segundos de arco alaño). Como punto de intersecciónentre el ecuador celeste y la eclíp-tica, el equinoccio de primavera selocaliza observando el Sol en elfirmamento.

Así se veíael firmamento

Con ello se presenta el problema,por lo menos en aquel tiempo

(el telescopio aún no se había in-ventado), de cómo comparar las es-trellas, sólo observables de noche,

con las observaciones diurnas delSol, y con ello deducir las longitu-des eclípticas de las estrellas. Elloes posible si se toma la Luna comolazo de unión.

De día, se observa la Luna conrelación al Sol, y de noche, las es-trellas con relación a la Luna. Es-pecialmente útil resulta el momentode un eclipse total de Luna, ya queentonces el ángulo de separaciónentre el Sol y la Luna es exactamen-te de 180 grados. Del ángulo me-

dido entre una estrella y la Luna sededuce el que existe entre una es-trella y el Sol. Inferencia de la quesacaron partido Timocares e Hiparcoen sus observaciones de Spica. Lacircunstancia de que las observa-ciones fueron realizadas duranteeclipses nos permite fijar hoy la fe-cha exacta de los acontecimientos.

Ptolomeo

Los resultados y conocimientosde Hiparco se transmitieron a

la obra, grande y sistemática, deClaudio Ptolomeo (ca. 90-160 d.C.),que, vehiculada por los árabes, re-cibió el nombre de Almagesto. Enel Almagesto compiló Ptolomeo losconocimientos de la astronomía an-

tigua, expuso otros muchos propiose ideas importantes derivadas de laconcepción geocéntrica del mundo.Al difundirse la obra de Ptolomeo,lo escrito con anterioridad se diopor superado y superfluo. Por ellono nos han llegado ni originales nicopias de Hiparco. Ignoramos cómorealizaba sus observaciones.

El Almagesto contiene tambiénun catálogo estelar en el que Pto-lomeo aporta las coordenadas eclíp-ticas de 1028 estrellas. Estas coor-

denadas mantuvieron su vigenciahasta la época de Tycho Brahe(1546-1601). Aquí hemos utilizadoel catálogo ptolemaico en la versiónde C. H. F. Peters y E. B. Knobel.Ptolomeo dividió las estrellas enseis clases, en razón de su magni-tud, con subdivisiones de un ter-cio. Las estrellas más brillantes seintegran en la clase de magnitud 1;las más débiles, en la clase 6. Nues-tro sistema actual de clasificacióndel brillo se rige por este baremo.En el firmamento, las estrellas seagrupan, además, en 48 constela-ciones. Nuestras constelacionescontinúan fundándose en esa dis-tribución.

Tycho Brahe

Tycho Brahe fue el primer astró-nomo del Renacimiento que

cuestionó las observaciones dePtolomeo. Sospechaba que se basa-ban en mediciones de Hiparco re-calculadas para otra época; la obje-ción parece afectar a un gran númerode estrellas clasificadas, aunque nopor ello disminuye el mérito dePtolomeo, ya que se debe tomar elcatálogo en relación con la gran ideade este científico de elaborar una


3. TRES PAGINAS del Zidj de Ulugh Beg.



teoría global sobre el movimientode los cuerpos celestes. Debemos aG. Grasshoff una exposición deta-llada de la historia del catálogo dePtolomeo. Un catálogo que dio susfrutos, incluso en el Renacimiento,a conocimientos astronómicos. Y mástarde, Edmund Halley, a comienzosdel siglo XVIII, midió, en Greenwich,los movimientos propios de Sirius,Arcturus y Aldebarán y comparó suspropias observaciones con las del

Almagesto .

Ulugh Beg

En la docena de siglos que trans-currieron entre Ptolomeo y

Ulugh Beg se midieron sólo algu-nas posiciones estelares. Merecenmencionarse las tablas de Ibn Yunusy la uranometría de Abd al-Rahmanal-Sufi.

Ulugh Beg no realizó las obser-vaciones de su catálogo de estre-llas con el sextante Fahrí, sino con

su esfera armilar. Utilizada desdela antigüedad, la esfera armilar fun-ciona con dos círculos, perpendicu-lares entre sí, y unas mirillas dis-puestas en ellos. Uno de los círculos,fijo, está orientado hacia el planodel ecuador celeste o de la eclíp-tica. El otro, perpendicular, gira entorno a su eje vertical. Mediante elenfoque del cuerpo celeste y la lec-tura de los dos círculos se podía me-dir unos ángulos en dos planos, paraasí obtener las coordenadas de lasestrellas.

Ulugh Beg fue el último repre-sentante sobresaliente de la astro-nomía islámica. Recogió sus ob-servaciones en el Zidj Ulugh Beg(“Tablas de Ulugh Beg”). Pero lasobservaciones comenzaron ya en1420 con Salah ad-Din Musa, maes-tro del soberano, y Ghiyas ad-Din

Yamshid. Tras la muerte de ambosastrónomos concluyó Mu’in ad-Dinel programa de observaciones en1437. No está muy claro si UlughBeg publicó su obra originariamen-te en turco, persa o árabe. Algunosindicios apuntan a una versión ori-ginal en persa. Hacia finales delsiglo XV existía una edición árabe,difundida por todo el orbe islá-mico.

Una introducción subdividida encuatro partes precede al conjunto detablas de Ulugh Beg. A su vez,cada parte consta de una serie decapítulos dedicados a diversas cues-tiones astronómicas y métodos. Ladeterminación de las posiciones es-telares se entroniza en el capítulo13 de la tercera parte: “La fijaciónde las posiciones de las estrellas fi-

jas en longitud y lati tud”.En total, el catálogo contiene 1018

estrellas, que, salvo contadas ex-cepciones, concuerdan con las dePtolomeo. De ellas, según el pro-pio Ulugh Beg, no pudo observar

27, ya que estaban situadas dema-siado al sur de Samarcanda. Juntoa éstas hay una serie de pares deestrellas que nos llevan a compa-rarlas con las posiciones de Ptolomeo(porque las coordenadas coincideno las diferencias de las longitudesde ambas estrellas son iguales a lascorrespondientes de Ptolomeo); nofueron observadas por Ulugh Beg,sino introducidas por Ptolomeo ydifundidas sólo en el año 1437. Delcatálogo, pues, se reducen a 700 las


0o 100o 200o 300o–100'

–50'

0'

50'

100'

–100'

–50'

0'

50'

100'

∆ l

c o s b

( H – U )

∆ l

c o s

b

( H – P )

∆

l

c o s

b

( H – T )

∆ b

( H – U )

∆ b

( H – P )

∆ b

( H – T )

0o 100o 200o 300o

0o 100o 200o 300o 0o 100o 200o 300o

0o 100o

Longitud eclíptica l Longitud eclíptica l

200o 300o 0o 100o 200o 300o

–100'

–50'

0'

50'

100'

–100'

–50'

0'

50'

100'

–100'

–50'

0'

50'

100'

–100'

–50'

0'

50'

100'

b a

d c

f e

4. CATALOGOS DE ESTRELLAS de Ulugh Beg (U), Ptolomeo (P) y Tycho Brahe(T) comparados con el catálogo Hipparcos (H). Las diferencias ∆l cos b en laslongitudes eclípticas y ∆ b en las latitudes eclípticas se aplican en función delas longitudes eclípticas.



estrellas que pueden considerarseobservaciones originales de UlughBeg.

Comparación con elcatálogo HIPPARCOS

El “impasse” sufrido por las cien-cias experimentales a lo largo

de casi un milenio y medio se re-fleja también en el desarrollo dela exactitud de las mediciones delas posiciones estelares. Desde Pto-lomeo, apenas se realizaron pro-gresos en la exactitud de las ob-servaciones. Sólo las medicionesde Tycho en el siglo XVI conduje-ron a la confección de un catálogode estrellas con posiciones muchomás exactas. Esta larga pausa se

pone de manifiesto con algunos grá-ficos y cifras. Por eso comparare-mos los catálogos de Ptolomeo,Ulugh Beg y Tycho con las medi-ciones del satélite astrométricoHIPPARCOS. La misión HIPPAR-COS proporcionó posiciones y mo-vimientos propios para más de100.000 estrellas, en el período com-prendido entre 1989 y 1993, de unaexactitud nunca alcanzada hastaentonces.

Para las comparaciones trabaja-mos con coordenadas eclípticas, portratarse de las empleadas en los catá-logos antiguos. Hubo, pues, quetransformar los datos sobre posicio-nes del catálogo del HIPPARCOSen coordenadas eclípticas. Se pudoasí comprobar el desplazamiento delequinoccio de primavera por la pre-cesión, comparándolo con las me-diciones antiguas. Por último, lasestrellas debieron ordenarse por lascoordenadas y los brillos del catá-logo HIPPARCOS. Esto conllevadificultades considerables, deriva-

das de la enorme inseguridad de lasposiciones y de los brillos antiguos,

especialmente en Ptolomeo y UlughBeg, en áreas celestes densamenteocupadas por estrellas. Tuvimos queremontarnos a informaciones des-criptivas acerca de algunas posi-ciones de estrellas en los antiguoscatálogos; por ejemplo, que “la es-trella número 68 es la más septen-trional de otra con la que formapar y ambas siguen a la estrellanúmero 67 en dirección a Oriente”.

Tales datos, suficientes para iden-tificar las estrellas del catálogo dePtolomeo, facilitan la identificaciónde las correspondientes estrellasen el registro del HIPPARCOS. Enconjunto se identificaron casi 1000estrellas con las correspondientesestrellas del catálogo del satélite.

Errores sistemáticos

C

ada medición estaba inevita-blemente expuesta a errores.

Unos procedían de fallos casuales;otros, de fallos sistemáticos. Loserrores casuales varían de una es-trella a otra, sin ninguna vincula-ción. Los sistemáticos, al contra-rio, tienen causas desencadenantescomunes y dependen de uno o demás parámetros; por ejemplo, la si-tuación en el firmamento. En estecaso serían falsos por sistema y dela misma forma todos los resulta-dos de las mediciones en áreas con-cretas del cielo. La magnitud y la

dirección de los errores cambiande un área a otra. El origen de losfallos sistemáticos podría ser quizásuna colocación equivocada o uncalibrado erróneo del instrumentomedidor con el que se realizó laobservación.

Para distinguir entre los fallos sis-temáticos y los casuales se utilizanprocedimientos estadísticos. Nosotrosaplicamos un método desarrolladoen el Instituto de Cálculo Astro-nómico de Heidelberg. Se expuso

el conjunto de errores sistemáticosen forma de expresión analítica comofunción de la longitud y latitud eclíp-ticas. Para ello, se eliminaron lasestrellas con diferencias demasiadonotorias; un suceso fuera de locomún podría falsear la mediciónen posteriores investigaciones.

En la figura 4a se ofrecen los re-sultados del análisis para la longi-tud eclíptica del catálogo de UlughBeg. Cada punto representa una es-trella, colocada en el lugar de sulongitud eclíptica calculada (eje deabscisas). El eje de ordenadas re-presenta la diferencia ∆l cos b enminutos de arco entre la longitudeclíptica l de la estrella, tal comose calculó por un lado según losdatos del catálogo HIPPARCOS para1437,5, y tal como fue calculada porUlugh Beg por el otro. La curva,

en la figura 4a, representa el errorsistemático en las mediciones deUlugh Beg en función de la longi-tud eclíptica. El notable desplaza-miento sistemático hacia la zona ne-gativa indica que Ulugh Beg noconsiguió establecer con exactitud,en el firmamento, el equinoccio deprimavera.

De manera análoga se aplican enla figura 4b las diferencias en lalatitud eclíptica entre los datos delHIPPARCOS y los de Ulugh Begen función de la longitud eclíptica.En las figuras 4c a 4f encontramoslo mismo, tanto para el catálogo dePtolomeo como para los datos deTycho. Es llamativo el error cla-moroso para el punto cero en el catá-logo de Ptolomeo (el desplazamientopositivo en la figura 4c). Mayor in-cluso que el cometido por UlughBeg. Este determinó el equinocciode primavera bastante mejor quePtolomeo.

De la comparación con el regis-tro del satélite resultan evidentes los

minúsculos errores del catálogo deTycho, se trate de los sistemáticoso de los casuales. Todas las figurasse representan a la misma escala yen el mismo marco. El catálogo deUlugh Beg se mantiene en la tra-dición de la astronomía antigua,mientras que el catálogo de Tychopertenece ya a una nueva era, sincuya exactitud no se habrían po-dido descubrir las leyes de Keplerdel movimiento de los planetas. Lagran exactitud de las mediciones


Ptolomeo

Longitudeclíptica 23,2 18,6 2,5

20,6 16,6 2,4Latitudeclíptica

Ulugh Beg Tycho

5. ERRORES CASUALES (en minutos dearco) de la longitud y la latitud eclíp-

ticas en Ptolomeo, Ulugh Beg y Tycho.

HEINER SCHWAN trabaja en el cam-po de la astrometría en el Institutode Cálculo Astronómico de Heidel-berg. Ha sido responsable de la pues-ta a punto del Quinto Catálogo Fun-damental.© Sterne und Weltraum.

El autor



de Tycho se basaba en la calidadde sus instrumentos. Notable talentoobservador, Tycho se esforzaba porreconocer el origen de los erroresy reducir su repercusión.

Si atendemos a los desplaza-mientos globales del error del puntocero en las figuras 4a y 4c, apre-ciaremos que las variaciones res-tantes en la longitud eclíptica deambos catálogos son aproximada-mente iguales (entre unos –32 y +10minutos de arco en Ulugh Beg y+12 y +55 minutos de arco en Pto-lomeo). En el caso de la latitud eclíp-tica ( figuras 4b y 4d ) de UlughBeg, en cambio, se advierte mayorprecisión (variaciones entre +2 y+12 minutos de arco solamente enUlugh Beg y –20 y +20 en Ptolo-meo). Los errores, mucho más pe-queños en el catálogo de Tycho

( figuras 4e y 4f ), resultan casi irre-conocibles en esta escala.

Errores casuales

Obtenemos los errores casualessi extraemos de los errores ge-

nerales los que están representadosen el diagrama de la fracción sis-temática. Los errores casuales corres-ponden a las desviaciones de lasdiferencias totales (es decir, los pun-tos aislados de las figuras 4a-4f )

de la línea trazada. Los valores ca-racterísticos de estas desviacionesestán agrupados en la tabla.

En todos los catálogos, la exac-titud de medición de la latitud eclíp-tica es un poco mejor que la de lalongitud, tal como ya se indicó apropósito de los errores sistemáti-cos. Ulugh Beg vuelve a mostrarsealgo más exacto que Ptolomeo enambas coordenadas. Esta ligera di-ferencia demuestra que el catálogode Ulugh Beg se basaba en medi-ciones nuevas, independientes de lasptolemaicas. La exactitud del catá-logo de Tycho es, sin la menor duda,mucho mayor.

Conclusión

El catálogo de Ulugh Beg sigue

enraizado en la tradición dela astronomía antigua. Cierto es quesupera un tanto la exactitud del catá-logo de Ptolomeo; sobre todo, enla determinación del equinoccio deprimavera y en los errores sis-temáticos de la longitud de la eclíp-tica. Mas una mejora irrelevante,si tomamos en cuenta el tiempotranscurrido entre uno y otro. Elcatálogo de Tycho Brahe, muchomejor, marca un avance impor-tantísimo en la exactitud de cálculoastronómico.


CONSIDERATIONS ON THE CHANGE OF THE LATITUDES OF SOME PRINCIPAL FI-XED STARS. E. Halley, en Philosophical Transactions, vol. 30, págs. 736-738;1718.

THE CATALOGUES OF PTOLEMY, ULUGH BEIGH, TYCHO BRAHE, HALLEY, HEVE-LIUS. F. Baily, en Memoirs of the Royal Astronomic Society, vol. XIII, págs.29 y 127; 1843.

PTOLEMY’S CATALOGUE OF STARS: A REVISION OF THE ALMAGEST. C. H. F. Pe-ters y E. B. Knobel. The Carnegie Institution of Washington, 1915.

ULUGH BEG’S CATALOGUE OF STARS. E. B. Knobel. The Carnegie Institution of

Washington; 1917.VOM SCHATTENSTAB ZUM RIESENSPIEGEL. D. B. Hermann. Verlag Neues Leben

Berlin. Speziell, págs. 18-19; 1978.

HIPPARCOS — DER 100.000 STERNE-SATELLIT. U. Bastian, en Sterne und Wel-traum, n.o 10, pág. 524; 1986.

THE HISTORY OF PTOLEMY’S STAR CATALOGUE. G. Grasshof. Springer Verlag,1990.

HIPPARCOS: DIE WISSENSCHAFTLICHE ERNTE BEGINNT. U. Bastian, en Sterneund Weltraum, n.o 11, pág. 938; 1997.

DIE ARMILLARSPHÄRE ALS ZIMMERPLANETARIUM. J. Biefang, en Sterne und Welt-raum, n.o 1, pág. 40; 1999.

TYCHO BRAHE, WEGBEREITER DER HIMMELSMECHANIK. V. Witt, en Sterne und Weltraum, n.o 11, pág. 994; 2001.





Para su cumpleaños, nuestro homenajeado invitó auna tropa entera de amigos del colegio. En una ven-tana colgamos de unos largos hilos dos bonitas y co-loradas manzanas, juntas una cerca de la otra, perosuficientemente separadas para que se pudiera ver laluz diurna entre ellas. “¿Quién de vosotros”, pregun-tamos en el corro, “se atreve a separar las manzanassoplando?” Cada uno quería ser el primero en lograresta muestra de habilidad. Pero tantas veces como loprobara uno u otro, no sucedía lo que los niños habíanesperado, sino justo lo contrario: como magnetizadas,se atraían y chocaban en el chorro de aire. Entre losniños la perplejidad no duró mucho, pero los adultos(como ya sabía “El Principito” de Antoine de Saint-Exupéry) necesitan explicaciones...

En el chorro de aire que los niños impulsaban a travésde la separación con la fuerza de sus pulmones dis-minuye la presión del aire. La mayor presión del aireen reposo en las caras exteriores de la manzana lasmueve entonces una hacia la otra. Dentro de la co-rriente la presión del aire cae en la misma medida enque aumenta su energía cinética (por unidad de volu-men): una variación del principio de conservación dela energía, que en hidrodinámica se denomina “ecua-ción de Bernoulli”. Sólo en una “capa límite” muy del-gada, sobre la superficie de las manzanas, desem-peña la fricción interna del aire una función digna demención.

Un mal instrumento de viento: En el mismo momentoen que ambas manzanas se tocan, se interrumpe casidel todo la corriente de aire a través de la separación.En el siguiente instante sí que las separará el soplo.Pero volverán a tocarse, en una oscilación como la deun péndulo; eso sí, perderán demasiada energía en elchoque como para que sigan oscilando sin parar. Encambio, se puede inducir una oscilación continua enuna tarjeta postal menos pesada por medio de unacerbatana (de, por ejemplo, 25 cm de longitud y 8 mmde diámetro interior) con un disco dispersor plano (de12 cm de diámetro) en su extremo final. La oscilaciónno será visible, pero sí audible. Si se mantiene la cer-

batana a un par de milímetros sobre la postal y se so-pla fuertemente por la boquilla del tubo, el chorro deaire producido en el centro intenta en efecto alejar lapostal del disco final, pero, hacia fuera del centro, laaspira la presión negativa de la corriente radial en laseparación. Si la succión predomina sobre la presión,la postal se elevará hasta que tapone la abertura e in-terrumpa la corriente de aire; luego vuelve a caer. Siel soplador mantiene lo suficiente el resuello, la postalno se alejará mucho y volverá a ser succionada. Estosucede unos cientos de veces por segundo, a juzgarpor el tono del horroroso ruido que despide el aire en-tre el disco y la postal. También se puede hacer que

oscile un papel ligero. Vale un simple carrete, en vezde una cerbatana de verdad. Esta manera de generarsonido se asemeja a la de los instrumentos de vientode madera, como el oboe y el clarinete, aunque éstossuenan mejor, y al arte de silbar con un tallo de hierba(véase el recuadro ).

La cortina de baño: Las duchas rara vez son lo bas-tante grandes para los adultos. En mi próximo bañoinstalaré, si no una cabina con paredes fijas, al me-nos un plato de ducha de, como poco, 100 × 100 centí-metros (en vez de los típicos 80 × 80). Esto sólo sonveinte centímetros más en ambas direcciones espa-ciales, pero ¡aportan un 56 por ciento más de área!La estrechez en la ducha sería soportable si la tuviera

para mí solo. Pero apenas abro el agua caliente, vienea mi encuentro la cortina de baño. En vez del aguacaliente, que acaricia el cuerpo, se pega un frío PVCa los brazos y piernas. ¿A qué se debe? No cuestaplantear hipótesis, pero por el momento sólo estáclaro lo que vemos: cuando corre el agua, impera enel interior de la ducha una presión menor que fuerade la misma. Como la superficie de la cortina es muygrande, basta, si no es muy pesada, una pequeña di-ferencia de presión para que se genere una fuerzaque la empuje hacia dentro.

En una universidad politécnica hay especialistas detodo lo que tenga que ver con la técnica, sea para lacasa o para la industria. A fin de saber algo con ma-yor precisión telefoneé a un colega experto en proce-sos térmicos. Debía de ser competente para respon-

CURIOSIDADES DE LA FÍSICA

Manzanas que se atraen y cortinas de baño molestas

Wolfgang Bürger

G A B R I E L A E I N E N K E L

1. Cuando las manzanas no se separan soplando,se necesita un soplido mayor, ¿o no?




der mi pregunta: se ocupaba de lavavajillas, secado-ras, máquinas de café y, al menos eso esperaba yo,duchas. “El problema con la ducha lo conozco”, mecontestó desde el otro lado de la línea, “pero todavíano he reflexionado sobre ello. Yo siempre pego la cor-tina con un poco de agua al plato de la ducha”.

En la conversación siguiente, si bien no resolvimosel problema cuantitativamente, sí que aclaramos de unmodo general por qué no supone una gran diferencia

que la ducha sea fría o caliente: el aire no sólo se vuelvemás ligero al calentarse, sino también al humedecerse.En un aire más húmedo el vapor de agua, gas invisi-ble que no debe confundirse con la niebla compuestade pequeñas gotitas de agua líquida en suspensión, em-puja una parte del aire seco. Mientras que un mol deéste, en lo esencial una mezcla de un ochenta por cientode nitrógeno N2 y un veinte por ciento de oxígeno O2,pesa unos 29 gramos, un mol de vapor de agua H

2O

La corriente genera una presión negativaLa cerbatana: La corriente vertical de la cerbatana esdesviada por la tarjeta postal, en el espacio intermedioentre ésta y el disco dispersor, hacia una dirección ra-dial. Consideramos una corriente estacionaria: a travésde cada sección transversal del tubo fluyen por se-gundo tantos litros como los que el soplador aplica en

el extremo superior del tubo.La misma corriente volumé-trica Q atravesará cada es-trecha faja circular de radio r

encajada entre la postal y eldisco dispersor. De la cons-tancia de Q se puede deducirla velocidad del aire en losdiferentes puntos del sistema,ya que con estas bajas velo-cidades un gas compresiblecomo el aire mantiene su den-sidad ρ.

En el tubo de radio a , la velocidad del aire vale, pro-mediada sobre la sección transversal del tubo, v a = Q /(πa 2).Así el aire transporta una corriente F E = ρv a Q = ρQ 2 /(πa 2).Esta es la fuerza de empuje con la que intenta llevarla postal hacia el suelo, y al mismo tiempo la reaccióncon la que la postal desvía horizontalmente la corriente

de aire.En el vano, a un radio r del centro, la corriente radial

tiene, promediada a lo largo de la altura h de separa-ción, la velocidad v (r ) = Q /(2πrh ) (la corriente volumé-trica a través de la superficie, muy baja, de la capa cilín-drica). Esta origina la presión negativa p (r ) = –ρv 2(r )/2 == – ρQ 2 /(8π2r 2h 2 ) . (La fórmula no es exacta; en el bordeR del disco dispersor la presión negativa será cero.)Esta presión, integrada sobre la superficie del disco desder = a hasta r = R , dará lugar a la fuerza succionadora

La fuerza total del aire sobre la tarjeta postal es

Para valores negativos de F la postal será absorbida.Para mi cerbatana preferida (a = 4 mm, R = 6 cm), con

una densidad del aire ρ = 1,29 kg/m3, una separaciónh = 0,2 mm y una corriente volumétrica Q = 0,2 litrospor segundo se calcula una fuerza de F = –0,27 new-ton o 26 pondios, que puede poner en movimiento fá-cilmente una postal de 4 pondios de peso.La ducha: La temperatura T i en el interior de la cabinade la ducha es más alta que la temperatura T e en elexterior. Por ello, y por su mayor contenido de vapor

de agua, la densidad del aire en el interior es menorque en el exterior: ρi < ρ0. Dentro y fuera, la presión delaire es una función lineal de la altura h , pues los re-cintos de las duchas son muy pequeños en compara-ción con la altura de la atmósfera. En el exterior la pre-sión es hidrostática: p e(h ) = p 0 – ρ0gh . En el interior delespacio de la ducha, suponiendo una corriente sin fric-ción, la presión cumple la ecuación de Bernoulli:p i(h ) = p 0 – ρigh – ρiv

2 /2. Al entrar corr iente por abajo(h = 0), si se acelera hasta alcanzar la velocidad v , la

presión del gas devendrá menor en la misma medidaen que aumentará su energía cinética por volumen.Para la corriente que sale por arriba, la presión internay externa son iguales (p e = p i para h = H : “condición desalida de la corriente”). A partir de esto se calcula lavelocidad de la corriente v = √2gH (ρ0 / ρi – 1) y la diferen-cia de presión p e(h ) – p i(h ) = (ρ0 – ρi )g (H – h) para cadaaltura h . De ρi < ρ0 se obtiene p i < p e; si el gas tiene enla ducha menor densidad, también tendrá menor pre-sión, lo que hará posible que la mayor presión externaempuje hacia adentro la cortina del baño.

Q

R

a

h

v

v

p (0)

p p h

0

H

(h ) (h )

ρ ,T i i

ρ ,T i i

(H ) (H )=p p i e

e

ρ ,T e e

ρ ,T e

p ,ρ ,0 T e e

e

i

i

T H O M A S B R A U N / S P E K T R U M

D E R W I S S E N S C H A F T

F S

= ln .–ρQ 2

4πh 2R

a

F = F E + F

S=

(( )

2

– ln

).ρQ

2

4πh 2R a

2h a




se queda en 18. Bajo las mismascondiciones meteorológicas sólo tieneun 62 % de la densidad del aire seco.El aire caliente y húmedo del interiorde la ducha es por ello más ligeroque el aire seco del entorno.

Pero, ¿de dónde viene la bajapresión del interior, que aporta alaire exterior la fuerza para empu- jar la cor tina de baño hacia den-tro? El espacio de la ducha se pa-rece a un hogar de chimenea. Envez de formar el aire unos gasesde combustión a partir de unos com-bustibles en una cámara de com-bustión, es el chorro de agua de laducha el que aporta el calor y lahumedad que hacen que disminuya(aunque sólo sea un poco) la den-sidad del gas. El estado en reposode la mezcla de gas de la ducha,al estar rodeada por el aire más

denso del entorno, no es un es-tado de equilibrio. Si se lo ence-rrara en ese momento en una bolsade plástico, se tendría una especiede globo de aire caliente; si se ledejara a sus expensas y tuvierasuficiente empuje para levantar supropia envoltura, ascendería inme-diatamente. Sin el peso de la en-voltura, el gas sólo se pondría másrápidamente en movimiento. Cuantomás movimiento gane, más dismi-nuirá su presión.

2. Un tubo de cobre de la sección de sanitarios de una tienda de materiales de construcción, cromado,con el borde doblado, de 10 mm de ancho y 300 mm de largo, un

CD pegado a él... y ya está soplando el aprendiz de brujo una

grandísima “tarjeta postal” hacia las alturas

G A B R I E L A E I N E N K E L




Hace más de dos años que comenzamos esta nueva

etapa de la sección de Juegos matemáticos , ylo hicimos comentando dos juegos de azar cuyo

comportamiento es sorprendente (Juegos matemáti-cos, julio 2001). En ambos, un individuo juega contraun casino y tiene ciertas probabilidades de ganar yperder un euro en cada turno.

El primero de ellos —lo llamaremos juego A— essimilar a apostar un 1 euro a rojo o negro en la ru-leta de un casino: ganamos 1 euro con una probabi-lidad ligeramente inferior al 50 % y perdemos 1 eurocon una probabilidad ligeramente superior al 50 %, yaque con el cero gana siempre la banca. Supongamosque se gana con una probabilidad del 49,5 % y sepierde con una probabilidad del 50,5 % (estas proba-

bilidades no coinciden exactamente con las de la ru-leta, pero nos sirven para describir la paradoja). Podemostambién imaginar este juego como una apuesta sobreel resultado del lanzamiento de una moneda ligera-mente sesgada. El segundo juego —lo llamaremos juego B— es un poco más complicado y, obviamente,no puede encontrarse en ningún casino. Igual que enel juego A, en cada turno ganamos o perdemos 1 €,pero ahora las probabilidades dependen de lo que lle-vamos ganado hasta el momento (que puede ser unacantidad negativa): si lo que llevamos ganado —lo lla-maremos el capital — es múltiplo de tres, entoncesganamos 1€ con probabilidad 9,5 %; si el capital noes múltiplo de tres, la probabilidad de ganar es del74,5 %. Es decir, en el juego B se utilizan dos mo-nedas, una muy desfavorable para el jugador, que selanza cuando el capital es múltiplo de tres, y la otrabastante favorable, que se lanza cuando el capital noes múltiplo de tres. En la figura 1 se esque-matizan las reglas de los dos juegos, repre-sentándose en rojo las monedas desfavorablesy en verde la favorable.

Aunque se trate de juegos de azar, el juga-dor pierde en media si juega muchos turnosseguidos a cualquiera de los dos juegos, A oB. Sin embargo, si juega alternándolos, ya seaal azar o siguiendo alguna secuencia perió-

dica como AABBAABB..., entonces gana en me-dia. Este comportamiento es a primera vistasorprendente y por ello se conoce a estos jue-gos como juegos paradójicos o también comoParadoja de Parrondo .

En los últimos años, algunos físicos y ma-temáticos han estudiado variantes de la pa-radoja original y encontrado nuevas propie-dades sorprendentes de estos juegos. En esteartículo vamos a comentar una de ellas, quetiene lugar cuando varios individuos juegan aB y se les permite repartir las ganancias en-tre turno y turno. Raúl Toral, de la Universidad

de las Islas Baleares, ha demostrado que un simplereparto del capital puede convertir un juego perdedoren ganador.

Para entender cómo es esto posible, analizaremosprimero uno de los mecanismos que explican la para-doja original. Piense por un momento cuántas vecesse utiliza la moneda mala cuando jugamos B un grannúmero de turnos seguidos. A primera vista, pareceque la moneda mala se debería utilizar un tercio delos turnos, puesto que se lanza siempre que el capi-tal es múltiplo de tres. Sin embargo, si se juega B entodos los turnos, resulta que la moneda mala se uti-liza 5/13 = 0,3846... de las veces que se juega, es de-cir, más a menudo que un tercio de las veces. Larazón se encuentra en las propias reglas del juego B

y se hace más clara si representamos el juego comoel movimiento de una ficha a lo largo de la línea dela figura 2. Cada vez que ganamos, movemos la fichauna casilla hacia la derecha y, cuando perdemos, unacasilla hacia la izquierda. Con las reglas del juego B,cuando la ficha está en una casilla roja, su movimientomás probable es hacia la izquierda, puesto que utili-zamos la moneda mala, que tiene una probabilidad deganar muy reducida, del 9,5 %. Por el contrario, en lascasillas verdes el movimiento más probable es haciala derecha. Si la ficha se encuentra en la casilla 2, porejemplo, su movimiento más probable es hacia la ca-silla 3. Pero, en el siguiente turno, lo más probable esque vuelva a la 2. Por tanto, la ficha se encontrará lamayor parte del tiempo saltando entre 2 y 3, o, en ge-neral, entre un múltiplo de tres y su inmediato inferior.Esto hace que la frecuencia con la que la ficha visitalas casillas rojas, es decir, la frecuencia con la que se

JUEGOS MATEMÁTICOS

Las ventajas de la solidaridad

Juan M.R. Parrondo

Juego A Juego B

Moneda 1

ganar perder

49,5 50,5 Moneda 2 Moneda 3

No Sí

ganar perder ganar perder

74,5 9,525,5 90,5

¿Es mi capital múltiplo de 3?

2. Representación esquemática del capital en el juego B

1-2-3 -1 0 32 54 6

1. Las reglas de los juegos paradójicos A y B. Las monedas que se utilizan en cada juego son rojas o verdes según sean

desfavorables o beneficiosas para el jugador




utiliza la moneda mala del juego B, sea superior a 1/3,ya que esta frecuencia es la que correspondería a unaficha que se mueve completamente al azar, sin nin-guna preferencia de salto. Pero precisamente estemovimiento por completo al azar es el que tiene el ca-pital cuando se juega al juego A. Esta es una de lasclaves de la paradoja: cuando el juego B se alternacon el A, este último, a pesar de ser perdedor, haceque se utilice menos frecuentemente la moneda maladel juego B y por ello su efecto final es positivo y laalternancia resulta ser ganadora.

El juego A hace que el capital sea más aleatorio delo que es cuando se juega sólo B; de este modo, laficha visita menos veces las casillas rojas. Podemosdecir que el juego A ayuda a “saltar” estas casillas rojas, en donde el juego B es muy desfavorable.

Si varios jugadores están jugando contra la banca,este mismo efecto se puede conseguir de una formamás sencilla: a los jugadores les es posible convertirel juego B en ganador sin más que redistribuir entreturno y turno sus ganancias.

Supongamos N individuos que juegan contra la banca

al juego B. Ahora no disponemos del juego A, pero po-demos redistribuir el capital entre los distintos jugado-res. Llamaremos a esta distribución o reparto juego R.Este juego R cumple el mismo papel que el juego A enla paradoja original. He elegido como forma de redis-tribución la siguiente: el jugador i le da un euro al i + 1con una probabilidad 1/2, y recibe un euro de él conuna probabilidad 1/2. Un turno de juego R consiste enrealizar estos intercambios para todos los jugadores i desde el 1 hasta el N – 1 (el jugador N sólo intercam-bia capital con el N – 1).

Los resultados de esos juegos se muestran en la fi-gura 3. En esta figura se representa el capital totalpara 100 jugadores en función del número de turnos jugados y para dist intas redistribuciones. La curva azulmuestra el capital cuando no se realiza ninguna redis-tribución, es decir, cuando cada individuo juega contrala banca al juego B sin intercambiar nada con sus com-pañeros. En ese caso, todos los jugadores pierden enmedia y eso se ve reflejado en la disminución paula-tina del capital total. Sin embargo, si se intercalan tur-nos de redistribución, como ocurre en las curvas roja,verde y añil, todos los jugadores ganan y el capital to-tal aumenta. Cuando se utilizan muchos turnos en laredistribución, la ganancia se hace menor, aunque si-gue siendo positiva. Como en el juego R el capital to-tal ni aumenta ni disminuye (el individual sí), si todos

los turnos se utilizan en redistribuir el capital y no se juega nunca al juego B, el capital no variará y el re-sultado será la recta horizontal morada de la figura.Como vemos, en estos juegos compartir es sin dudabeneficioso para todos. Volviendo al esquema de la fi-gura 2, lo que está ocurriendo es que, cuando se com-parte el capital, la ayuda del vecino puede facilitarle aun individuo saltar la casilla roja y que se beneficie delas monedas buenas del juego B. Se podría decir queesto es equivalente a superar una “mala racha” con elapoyo de algún amigo o de la colectividad.

El efecto se puede conseguir incluso con sólo dos jugadores. En este caso, la redistr ibución es muy sim-

ple: el primero le da al segundo 1 € con una probabi-lidad 1/2, o es el segundo quien le da al primero 1 €

con probabilidad 1/2 en cada turno de redistribución(juego R). Esta simple redistribución de capital tiene

unos efectos cruciales en el desarrollo del juego. Enla figura 4 mostramos el capital de cada uno de los jugadores cuando no hay reparto, cuando solamentehay reparto y no se juega nunca a B, y cuando se in-tercala un turno de juego B con dos turnos de reparto.La redistribución de capital beneficia a ambos, mien-tras que el juego en solitario es de nuevo perdedor.

El modelo de Toral enseña algo que es cada vezmás necesario recordar en los tiempos que corren, es-pecialmente a los defensores del neoliberalismo: la re-distribución de la riqueza es beneficiosa para la co-lectividad e incluso puede ser indispensable para generarcrecimiento económico.

0 200 400 600 800 10001000

500

0

500

1000

1500

2000

2500

Número de turnos

C

a p i t a l t o t a l

Sólo BRBRB...RRBRRB...RRRBRRRB...Sólo R

3. Capital total de 100 jugadores en función del número de turnos para distintas combinaciones del juego B

y la redistribución R

0 1 2 3 4 5

×105

5000

0

5000

10.000

Número de turnos

C a p i t a l d e c a d a j u g a d o r

RRR...

BBB...

RRBRRB...

4. Capital de dos jugadores en función del número de turnos cuando juegan sólo a B (curvas azules),a R (curvas moradas) y cuando alternan el juego B

y la redistribución R siguiendo la secuencia RRBRRB...(curvas verdes)



Durante muchos años, los esquiadores se han

deslizado por las laderas cubiertas de nievesobre largas tablas rectangulares. Pero, a

mediados de los años noventa, los fabricantesempezaron a ofrecer esquíes ahusados. Virabanmejor porque concentraban el peso del esquia-dor en el centro del canto interior de la hoja. Seconsigue así que el esquí no tienda tanto a sa-lirse de la senda que la hoja traza cuando hiendelas inevitables, pequeñas protuberancias de nievepresentes en cualquier pendiente. Este tipo deesquí domina hoy el mercado.

Hay un inconveniente. Las fuerzas concentra-das crean un fuerte momento angular en el senodel esquí. Para preservar su integridad estructu-ral, se debe construirlo más rígido. Pero esto im-plica que el esquí será proclive a vibrar. Resultamolesto e incluso puede llegar a levantarlo de lanieve; agota al esquiador.

En los últimos seis años, los fabricantes hanrevestido sus esquíes con diversos productos sinté-ticos que amortiguan las vibraciones. Pero la op-ción más eficaz quizá sea la ofrecida por las fi-bras piezoeléctricas, ya empleadas en las raquetasde tenis, que convierten en corriente eléctrica laenergía de vibración, de compresión o de flexión.Un chip incrustado en el esquí acumula, inviertey devuelve la corriente, de manera que las fibrasse dilaten y contraigan, contrarresten el momentoangular y se trace un viraje suave y tranquilo. Eluso de esquíes piezoeléctricos se está exten-diendo entre los deportistas profesionales.Reaccionan con mayor suavidad y se adaptan mejor a distintos estados de la nieve.

Por desgracia, los esquíes piezoeléctricos con-trolados por chips, o esquíes “activos”, cuestandel orden de un 50 por ciento más. Y algunoscreen que sus cualidades valen de poco en elesquí recreativo; sólo se perciben a altas veloci-

dades sobre nieve helada. K2, una empresa no-table del sector, ha desechado sus modelos pie-zoeléctricos, en los que las vibraciones eranabsorbidas pasivamente por unos parches pie-zoeléctricos, no por un chip de realimentaciónactiva. Otros diseñadores sostienen que un re-vestimiento de caucho concebido con inteligen-cia puede brindar casi las mismas ventajas porun precio mucho menor.

Pero Herfried Lammer, ingeniero de la casaaustríaca Head Sport AG, el mayor fabricante deesquíes piezoeléctricos, afirma que los esquia-dores prefieren la electrónica.

IDEAS APLICADASMark Fischetti

ESQUIES ELECTRONICOS

Contra el momento angular

Momento angular

ANTES DE LA REACCIONDE LAS FIBRAS

DESPUES DE LA REACCIONDE LAS FIBRAS

Fibras que se acortan

Fibras que sealargan

Posicióndel esquí sin fibras

Chip

Fuerzade cizalladura


F U E N T E : H E A D S

P O R T

A G ; I L U S T R A C I O N E S D

E K

E N T

S N

O D G R A S S P

r e c i s i o n G r a p h i c s

1. EN LOS VIRAJES, el peso del deportistapresiona hacia abajo en la proximidad del centrodel esquí, mientras que la fuerza reactiva de lanieve empuja hacia arriba a lo largo del bordeinterno del esquí. Esta desalineación de fuerzascrea un momento angular en el revestimiento supe-rior del esquí, cuyo canto tiende así a separarsede la nieve (esquí solo, a la izquierda ); el esquia-

dor debe oponerse a ello para evitar un patinazo.Durante el viraje, el momento no es constantey crea unas vibraciones que se perciben comogolpeteos y resbalones cuesta abajo.



ä CALZADO CALIENTE: Advanced Ceramics, de Lambertville(Nueva Jersey), está experimentando con unas botas para esquí y excursionismo autocaldeables por elementos piezoeléctricosinstalados en los talones; también unas botas militares que recar-gan baterías. Tiene además en proyecto unos cebos de pesca, consu propia fuente de energía, que emiten sonidos de presa de pez.

ä UN PROFETA DEL CAUCHO: Durante años, John Howe fuedirector de desarrollo de productos de Head Ski, de Baltimore, ydespués asesor de otros gigantes de los equipos de esquí. Pero

hoy trabaja en su hogar de Waterford (Maine), donde confeccionaa mano, cada año, de 50 a 100 pares de un producto innovadorque él llama Garra. Lleva una capa decaucho que, según afirma, amortigualas vibraciones mejor que cualquier

otro modelo de esquí. Los críticos dicen que es excelente paralas heladas pistas de Nueva Inglaterra, aunque puede resultarduro sobre nieve blanda. Howe considera que muchas novedadescomerciales no pasan de señuelos publicitarios.

ä ¿CODO DE TENISTA?: Head Sport empezó empleando ma-teriales piezoeléctricos en sus raquetas de tenis para reducir lasvibraciones que se producen en el mango tras golpear la pelota.En julio de 2002, Werner Zirngibl, del Instituto de Ortopedia yMedicina Deportiva de Múnich, entregó raquetas piezoeléctricas

a 55 jugadores aficionados que estaban siendo tratados de codode tenista, temporal o crónico. Tras seis semanas de juego re-gular, los que padecían la afección crónica hallaron poco o ningúnalivio, pero los aquejados por una afección transitoria informa-ron de una mejoría considerable.

¿ S A

B I A U

S T E D Q

U E . . . ?

Fuerza reactiva de la nieve

Peso

Fibras piezoeléctricas


3. UNAS PLACAS

DE CAUCHO, en otrosmodelos, absorben entre la

bota y el esquí parte de lasvibraciones; el golpeteo se re-

duce en alguna medida.

4. CIERTAS RAQUETAS DE TENIS

se hacen con fibras piezoeléctricasque amortiguan las vibraciones debi-das al impacto de la pelota. Alivianla tensión sobre el brazo del jugador.

2. HAY MATERIALES ESPECIALES que reducen esosefectos. El momento angular crea una fuerza de cizalladuramáxima justo delante de la bota del esquiador. En un mo-delo de Head Sport (arriba ), el esfuerzo mecánico acortay alarga las fibras piezoeléctricas, convirtiendo en corrienteeléctrica la energía mecánica. Un chip invierte, acumulay devuelve esa corriente; se provoca así el alargamientoy el acortamiento de las fibras. Cada cinco milisegundosse crea un momento de sentido opuesto que mantiene alborde contra la nieve y amortigua las vibraciones.




Islam

Saber exacto

THE ENTERPRISE OF SCIENCE IN ISLAM. NEW PERSPECTIVES.Dirigido por Jan P. Hogendijk y Abdelhamid I. Sabra.The MIT Press; Cambridge, Massachusetts, 2003.

THE TOLEDAN TABLES. Revisión de manuscritos y edi-ción de las versiones textuales por Fritz S. Pedersen.Historisk-filosofiske Skrifter 24:1-4. Det Kongelige DanskeVidenskabernes Selskab. C. A. Reitzels Forlag; Co-penhague, 2002.

MUSLIMS AND CHRISTIANS IN NORMAN SICILY, por Alex

Metcalfe. Routledge; Londres, 2003.

ESSAYS ON EARLY MEDIEVAL MATHEMATICS, por MensoFolkerts. Ashgate; Aldershot, 2003.

Entre el año 800 y el 1450 de nuestra era, la mate-mática tuvo en la madrasa su jardín de cultivo.

Los grandes centros de estudio de la aritmética, geo-metría y trigonometría con sus aplicaciones a la as-tronomía, astrología, geografía, cartografía y ópticase repartían por el mundo islámico. Hace sólo unosdecenios creíamos conocer el núcleo de ese saber através de las traducciones al latín. Merced a la tenazlabor de los medievalistas que ha recuperado ma-nuscritos, depurado fuentes y computado tablas, co-menzamos a entrever ahora un panorama nuevo (The Enterprise of Science in Islam ), una tradición cientí-fica mucho más rica y profunda, amasada con in-fluencias diversas.

A la apropiación islámica de la ciencia griega enlos siglos VIII y IX, coetánea con su absorción del co-nocimiento persa e hindú (la famosa numeración conel símbolo para el espacio vacío), siguieron, tras unapretado intervalo de reelaboración y desarrollo pro-pios, las traducciones latinas que posibilitaron el re-nacimiento del Occidente cristiano en el duodécimo.

Toledo y Sicilia (Muslims and Christians in Norman Sicily ) constituyeron los focos de esa transmisión. Perosólo una pequeña fracción del saber islámico pasó ala Europa cristiana. Y ello, pese al importante des-cubrimiento realizado por Charles Burnett: hubo untercer foco traductor de astronomía al latín de pisa-nos afincados en Antioquía (de la actual Turquía),antes de que emergiera Toledo como capital de latraslación y se produjera en Sicilia la primera tra-ducción, desde el griego, del Almagesto . De Orientevinieron, a través de Pisa, el libro máximo de Ptolomeo,una cosmología (Liber Mamonis ), que describe el sis-tema ptolemaico, y una versión de las tablas astro-

nómicas de al-Suffi. Todos estos textos fueron escri-tos en la segunda mitad del siglo XII . Todo indica quede ese influjo se beneficiaron los estudiosos reunidosen torno a Abraham ibn Ezra y sus seguidores de laribera del Ebro. Si las obras de Ibn Ezra, Robert deKetton, Hermann de Carinthia, Rodolfo de Brujas, Hugode Santalla y Esteban el filósofo, así como las for-mas orientales de los números hindú-arábigos conellas asociados, no persistieron más tiempo se debióa que, desde 1150, Toledo marcó la pauta de la as-tronomía y astrología bajo la dirección de Gerardo deCremona.

Entre los geómetras del siglo X, sobresalió al-Kuhi,fascinado por la certeza del método empleado en laconstrucción de las figuras y en la determinación delos volúmenes y centros de gravedad de los sólidos,

incluido el paraboloide. Junto al problema del métodoaportó valiosas innovaciones en el debate sobre aná-

L IBROS

1. MS Ait Ayache, p. 192 (posterior a 1344)




lisis y síntesis, la noción de “razón conocida” en co-nexión con la cuadratura del círculo y la legitimidaddel empleo del movimiento en geometría. En teoría denúmeros, los matemáticos islámicos abordaron las“disposiciones armoniosas de los números” (adad al-

wafq ), es decir, los cuadrados mágicos. Un cuadradomágico es la matriz cuadrática de números enteros:cuya suma de todos los elementos de cada columna,fila o diagonal son iguales. En términos modernos, elnúmero de elementos de cada fila, columna o diago-nal constituye el orden del cuadrado mágico; la sumade los elementos de cada fila, columna o diagonal formala constante mágica.

De las disciplinas matemáticas recibidas de los grie-gos, la óptica sufrió una transformación radical hastaconvertirse en ciencia genuinamente árabe. Con el tí-tulo de al-Manazir se vertieron los tratados de Optika de Euclides y Ptolomeo a comienzos ya del siglo IX.

En la primera mitad del siglo XI, al-Hasan ibn al-Haythampresenta su revolucionario (en términos de A. I. Sabra)Kitab al-Manazir , que vertido en España, determinó elnuevo enfoque de la ciencia de la luz que perviviríahasta bien entrado el siglo XVII. En línea con la opi-

nión aristotélica sobre la visión entendida como re-cepción de formas de luz y color, nuestro Alhacénconcedía a la psicología un papel nuevo y fundamen-tal, al tiempo que tendía un puente con el sistema pto-lemaico en astronomía.

En el ámbito de la medicina, la matemática im-portaba sobre todo en la administración e interpre-tación de la eficacia gradual de los fármacos. La tra-dición galenista había clasificado las medicinas encuatro grados; con mayor precisión, había caracteri-zado unas como templadas y otras que se alejabande ese equilibrio en cuatro grados. (Los grados sig-nificaban la potencia de la droga en función de las

BiotecnologíaTHE EVOLUTION OF DEVELOPMENTAL PATHWAYS, por

Adam S. Wilkins. Sinauer Associates, Inc., Publishers;

Sunderland, Massachusetts, 2002.

E

l prefacio de esta obra se inicia con una cita del

libro de G. G. Simpson, The Major Features of

Evolution , 1953 , que dice: “La historia de la vida, tal

como se ha producido en la naturaleza, es una amplia

sucesión de ontogenias de organismos. La sucesión

de ontogenias es la filogenia y ésta presenta un mo-

delo material establecido por la evolución de la mate-

ria viva y su desarrollo en los individuos.” Esta cita de

Simpson muestra la importancia que da Wilkins a la

evolución de las filogenias en los procesos evolutivos

de los seres vivos, o quizá sería más exacto decir de

los metazoos, puesto que el libro aquí reseñado no

trata del desarrollo en los vegetales.

“The Major Features of Evolution ” es una obra ex-

tensa y densa, con figuras no muy abundantes, que

trata los temas con considerable detalle y profundidad

a pesar de lo que el autor dice en el prefacio: “El enfoque genético se ha hecho, no obstante, con un

coste. No ha sido posible incluir todos los tópicos o

debates relevantes sobre el tema de la evolución del

desarrollo ”. Mas, aunque los conocimientos expuestos

no son exhaustivos, el contenido del libro y la ampli-

tud con que se tratan estos conocimientos, lo hacen

recomendable para los lectores interesados en adquirir

una buena base sobre la filogenia del desarrollo y su

significado en la evolución del Reino Animal, de

acuerdo con los objetivos expuestos por el autor.

También afirma el autor que la distribución del libro,

que comprende tres partes principales, está pensada

para conseguir que el desarrollo de su contenido sea

claro, lógico e interesante para el lector. Como se hadicho este objetivo se consigue gracias a la profundi-

dad y extensión de los conocimientos que aporta,

aunque la densidad con que éstos se tratan puede re-

sultar fatigosa para lectores que sólo deseen adquirir

un conocimiento general del tema.

La primera parte del libro comprende cinco capítu-

los, que tratan de cuestiones de fondo esenciales,

concretamente de las raíces históricas, la clase de da-

tos, las formas de análisis y algunas de las ideas

clave en que se basa el estudio de la evolución de

los procesos del desarrollo.

En los tres capítulos siguientes, que forman la se-

gunda parte, se presentan una serie de casos concre-

tos sobre la evolución del desarrollo, escogidos deli-

beradamente sobre organismos que suelen tomarse

como sistemas de referencia en el estudio de la onto-

genia, tales como Drosophila melanogaster ,

Caenorhabditis elegans , el ratón y el pollo. El primero

de estos capítulos trata de la evolución de la ontoge-

nia del sexo, especialmente en los Mamíferos y en los

Insectos, el segundo de la segmentación en los

Insectos y el tercero del desarrollo de la vulva de

Caenorhabditis elegans y de las extremidades de los

tetrápodos.

La tercera y última parte de la obra comprende seis

capítulos, donde se exponen cuestiones y problemasespecíficos de la evolución del desarrollo, así como

relaciones entre estas cuestiones y otros aspectos de

la evolución. Concretamente, en el primero de ellos se

estudian mecanismos genéticos tales como mutacio-

nes, duplicaciones génicas, poliploidía, variaciones en

las secuencias reguladoras de la función génica, junto

con conceptos generales importantes para entender

los procesos del desarrollo, concretamente los de ca-

nalización y asimilación genéticas. En el segundo de

estos capítulos se estudian los factores que retardan

y canalizan la evolución del desarrollo. En el tercero

se trata el crecimiento y la forma. En el cuarto, la es-

peciación y la evolución del desarrollo. En el quinto

se estudia el origen de los metazoos y el inicio de laevolución animal compleja. En el sexto y último, se

tratan las perspectivas que ofrece el futuro en los es-

tudios de la evolución del desarrollo.

—ANTONIO PREVOSTI




cuatro cualidades elementales: caliente, frío, seco,húmedo.) Averroes escribe su al-Kulliyyat , Kitab al- Adwiya wa-l-Aghdhiya (“Libro de medicamentos y ali-mentos”), contra la tesis innovadora de al-Kindi, delsiglo IX ; de acuerdo con éste, la intensidad del fár-maco crecía geométricamente con el aumento degrado, según la regla de la “razón doble”; así, la in-tensidad de una droga en primer grado dobla la deun fármaco templado; la de una medicina en se-gundo grado cuatriplica la intensidad de la templada;un fármaco en tercer grado es ocho veces más in-tenso; otro en cuarto grado, 16 veces más intensoque la medicina templada. A ello Ibn Rush contra-

propone un incremento algebraico.Los artículos dedicados en este número de la re-

vista a quien epitomiza la ciencia astronómica islá-mica después del período medieval, el Zij de UlughBeg, nos eximen de ponderar su figura. Según pa-rece, influyó en el Zij al-Sharif (“Manual de la astro-nomía noble”) redactado por Sabjaq Dar en Túnez enel siglo XVII y estudiado por Julio Samsó. En su re-paso por la transmisión del conocimiento astronómico,andalusí y magrebí, el profesor barcelonés se detieneen el fenómeno de la “trepidación”, que es la oscila-ción de las longitudes eclípticas de las estrellas fijascon respecto al punto vernal. (Tema sobre el que rea-

lizó su alumna Montse García Fajardo la tesis docto-ral, publicada recientemente.) Adviértase que, en loszijes andalusíes, las tablas de movimientos mediosson sidéreas.

La astronomía andalusí, en particular, y la historiade la ciencia española en general, han dado un pasode gigante con la publicación de The Toledan Tables ,una obra magistral en cuatro volúmenes preparada porFritz S. Pedersen. Las Tablas Toledanas , traducidasal latín en el siglo XII, perdidas las originales árabes,nos han llegado en revisiones latinas, tres principalesy varias menores. Las principales quizá divergían yaen la tradición árabe. Parten de una doble fuente

esencial, Albattani, del 900 d.C., y Alkhwarizmi, de laprimera mitad del siglo IX, a las que se sumaron ta-blas árabes posteriores. Alkhwarizmi empleó fuenteshindúes y persas; Albattani se apoyó principalmenteen las Tablas manuales de Ptolomeo, aunque aña-diendo bastante de su propia labor.

Para el manejo de las mismas se requerían deter-minadas reglas o cánones. También se ofrecen aquí.Los denominados Ca, Cb y Cc representan por lo me-nos dos traducciones independientes del árabe. Tablasy cánones sufrieron ulteriores revisiones; en concreto,la “vulgata tardía” se empleó en torno a 1270 y per-sistió hasta bien entrado el siglo XIV, cuando las Tablas

2. Cambrai, Biblioteca municipal 930, fol. 27v-28r, muestran la notación alfanumérica así como las formas orientales de los números hindú-arábigos




Toledanas cedieron paso a las Tablas Alfonsíes . (Loscánones Cb siguieron copiándose cien años más tarde.)Hasta entonces, las Toledanas se emplearon para loscálculos astronómicos y constituyeron el patrón paraotros cómputos: calendarios, resúmenes de teoríaplanetaria, tablas especiales derivadas para lugaresparticulares y otros escritos de interés educativo ycultural.

En las versiones completas se ofrecen tablas, esta-blecidas para el meridiano de Toledo, que permitencalcular la longitud eclíptica del Sol; las longitudes ylatitudes de la Luna y de los cinco planetas; los eclip-ses solares y lunares; la deriva de los equinoccios ylas fases de los planetas. Les acompañan tablas auxi-liares para la conversión entre fechas calendáricas deacuerdo con la era islámica (la Héjira) y con otraseras; y tablas para la trigonometría esférica (conver-sión entre conjuntos diferentes de coordenadas ce-lestes). Hay que añadir tablas de coordenadas de lasestrellas fijas y posiciones geográficas de diversasciudades, así como tablas para cálculos astrológicos.Por su parte, los cánones, en texto llano, forman un

todo coherente con las tablas.Al entramado lingüístico y sociopolítico de otro epi-

centro traductor, Sicilia, y en particular al período for-mativo del control normando (1061-1194), ha dedi-cado Alex Metcalfe su tesis de grado (Muslims and Christians in Norman Sicily ). Si en la víspera de la in-vasión musulmana de 827 se hablaban dialectos lati-nos o griegos, a la llegada de los normandos, entorno a 1060, el árabe y el Islam predominaban. Peroen 1250 Sicilia era ya casi exclusivamente cristiana yhablaba romance. Esas dos transiciones lingüísticasconcurrieron con cambios demográficos, sociales, ad-ministrativos y religiosos. El conflicto de los musul-manes con los normandos puede considerarse el demayor impacto cultural, si bien vino precedido por otrosenfrentamientos entre árabes y bizantinos; vándalos ybizantinos; cartagineses y romanos; fenicios y grie-gos. Con los normandos quedaría por fin, hasta hoy,en la órbita europea.

En puridad, la recuperación cristiana de la isla nofue ni invasión ni normanda. Una modesta fuerza mi-litar, al mando de Robert Guiscard y Roger de Hauteville,entró por el este de la isla para ayudar a un bandode la guerra civil. Robert no viviría para ver la caídadel último bastión árabe en 1091 y Roger fue asesi-nado diez años más tarde. Pero los hijos de Roger,el único conde normando, no tenían ya lazos que les

ligaran al lugar del progenitor. El mismo hacía dece-nios que partió de su tierra y, por tanto, sus recuer-dos debían estar muy desvaídos. Implantado el nuevoorden, algunas de las familias musulmanas más ricasde Sicilia emigraron hacia el Magreb, al-Andalus ynorte de Africa. Muchos tomaron el epíteto de al- Siquilli . Así, el poeta Ibn Hamdis, natural de Siracusa,abandonó la isla en 1078 y se asentó en Sevilla,para recalar por fin en el norte de Africa. Tambiénllegó a al-Andalus Ibn al Qatta, quien escribió sobrehistoria y gramática; se trasladó luego a Egipto,donde se ocupó de la educación de los hijos del wa- zir fatimida al-Afdal.

Pero los reyes de Sicilia, que hablaban árabe, seganaron pronta fama de “islámofilos” entre los pro-pios musulmanes. A lo largo de buena parte del si-glo XI persistió una elite cultural árabe que iría re-tirándose en favor de otra emergente latina. En laprimera parte del siglo XI I los consejeros áulicosJorge de Antioquía, Abd al-Rahman y Abu l-Daw pro-

cedían de círculos árabo-islámicos o cristianos quehablaban griego. De acuerdo con un autor de princi-pios de esa centuria, “había expertos en griego y enárabe en Sicilia y Salerno, donde podían encontrarsemaestros, a quienes consultar cuando se quisiera”. Elencargo de obras no era sólo una cuestión real.Maio, amir de amires desde 1154-60 le pidió a HenryAristippus que tradujera, del griego al latín, los librosde Diógenes sobre las vidas y doctrinas de los filó-sofos. En 1160 Aristippus sustituyó a Maio como jefede la administración un día después del asesinato deéste. Dos años antes, había llegado de una misióndiplomática de Constantinopla portando un ejemplar

Evolución de la meteorologíaEYEWITNESS: EVOLUTION OF THE ATMOSPHERIC SCIENCES,por R. G. Feagle. Historical Monograph Series. American

Meteorological Society; Boston, 2001.

He aquí un interesante libro que tendrá pocos lec-

tores. La razón de este pronóstico es que el in-

terés se limitará a una reducida tribu o, como se diríaen la jerga contemporánea, a un colectivo restringido.

En efecto, los potenciales interesados, para serlo,

habrían de cumplir ciertas condiciones: 1) Ser me-

teorólogos. 2) Ser veteranos, y 3) Ser buenos cono-

cedores de las interioridades no sólo de las universi-

dades norteamericanas sino incluso de las instituciones

políticas de aquel país.

En ausencia de una o más de estas condiciones, el

hipotético lector se encontrará frente a un galimatías

agravado por el necesario pero irritante y continuo

uso de siglas (ICAS, ICSU, NAS/CAS, GSFC, etc.;

menos mal que el autor se ha apiadado y ha tenido

la delicadeza de incluir un glosario de ellas en el

apéndice, lo que es un rotundo acierto), y lo más pro-bable es que renuncie a seguir leyendo.

La otra clase de lectores, los interesados en el

tema, convendrá en que el libro, pese a su brevedad

(sólo 129 páginas), resulta difícil de leer. Quien logre

llegar al final, hallará que el título está muy bien es-

cogido: en primer lugar, testigo presencial y en se-

gundo, evolución de las ciencias atmosféricas . En efecto,

el desarrollo del libro parece primar la personalidad

del profesor Feagle sobre la evolución y el progreso

de las ciencias atmosféricas, que se trata más bien

como un apéndice de la contribución de aquél. En cam-

bio, se pasa con cierta rapidez sobre las cuestiones

de más interés: a la segunda mitad del siglo XX (aque-

lla en que la meteorología ha progresado substan-cialmente) se dedica sólo página y media, si bien al-

gunos de los temas han sido ya tratados o mencionados.

Un proyecto frustrado.

—MANUEL PUIGCERVER




Matemática en la Academia de CienciasHORIZONTES CULTURALES. LAS FRONTERAS DE LA CIENCIA.2000: AÑO MUNDIAL DE LAS MATEMÁTICAS. Revista de laReal Academia de Ciencias. Vol. 95, n.o 1-2. RealAcademia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.Espasa, 2002.

El año 2000 fue proclamado Año Mundial de lasMatemáticas en la Declaración de Río de 1992. Ello

supuso que los matemáticos se cuestionaran, el 2000,qué problemas internos quedabanpor resolver, qué otros supondríanun reto para el futuro, cuál erala misión de difundir las ma-temáticas y cuáles las relacionesde la matemática con otras dis-ciplinas. La matemática, hacerproteico, no está encerrada enuna torre de marfil a pesar de sumala imagen mediática de incom-prensible y, en el fondo, respon-sable de los “fracasos escolares”.España no era una excepción ytodos tratamos de colaborar enla empresa.

La Real Academia de CienciasExactas, Físicas y Naturales acor-dó celebrar un ciclo de confe-rencias con este motivo. Se de-sarrolló en Madrid, Málaga, Jaén,Ciudad Real y Toledo. Catorceconferencias cuyo contenido com-pone este volumen. Como el ob-

jet ivo se centró en promover el in-terés social por la matemática másque en dirigirse a especialistas,

las conferencias abarcan un am-plio campo de temas predomi-nando el enfoque de las contri-buciones matemáticas a camposdel saber.

Tras un análisis de las rela-ciones de la Academia con lasmatemáticas por Martín Municio,no siempre cordiales, Javier Etayose centra en el primer tema planteado en la Declaraciónde Río: La imagen de las matemáticas. Imagen que hasido, en general, negativa. Etayo trata de convencer deque la matemática constituye una faceta de la culturavigente en cada momento histórico. A los momentosestelares de la matemática dedican su trabajo Montesinos

y Valdivia, al igual que López Pellicer, quien, desde lahistoria, trata de captar la estructura racional del pen-samiento matemático con el problema que a esa es-tructura planteó el infinito actual. Problema que con-duce a los teoremas de Gödel y sus generalizaciones,cuya exposición no técnica es el tema de RodríguezSalinas.

A partir de este ensayo se produce una inflexión y lostemas de los conferenciantes se dedican al papel de lamatemática. Darío Maravall analiza la utilidad de lasmatemáticas para el progreso material e individual hu-mano y Pilar Bayer retoma la pregunta de Dedekind:“¿para qué sirven los números?”. De modo histórico, hace

un recorrido desde los sistemas de numeración hasta lateoría matemática de la informática y la de los códigoscorrectores de errores que, para su desarrollo, exigendel ordenador. Sixto Ríos y Daniel Ríos contraponen elrazonamiento lógico con el plausible y, desde aquí, elpaso a las probabilidades. El enlace de física y geo-

metría es tan íntimo que, para Pedro Luis García, pue-den estimarse cara y cruz de una moneda. Rechazandola idea de que sólo es matemática la especulativa,

Fernández Pérez trata de mostrarla potencia de la matemática comoherramienta para modelizar y en-tender los mercados financierosmientras Ildefonso Díaz apuestapor criterios variacionales para sos-tener lo óptimo como estrategia.No podía faltar la modelización enmedicina que desarrolla GarcíaBarreno ni los temas del controlde la incertidumbre por GirónGonzález y J. M. Bernardo. DobadoGonzález y Gabilondo Tixaire vuel-ven a la relación entre matemá-tica y física ahora en los terrenosde la mecánica cuántica. El librotermina con un trabajo de Miguelde Guzmán en el cual trata el pri-mero de los objetivos del AñoMundial: los grandes desafíos delsiglo XXI centrándose en los pro-blemas de la matemática hacia elfuturo; como novedad, el texto com-pleto de la ponencia de Guzmánse incorpora en CD.

El libro está muy bien editado

y con numerosas fotografías delos grandes matemáticos, tablasy gráficos.

La labor de la Real Academiano se limita a promover ciclos deconferencias en algunas ocasio-nes. Uno de sus aspectos es laedición de la Revista donde pu-blicar trabajos de investigación, re-

visión y comunicaciones que se presentan en sus se-siones científicas. El volumen 95 es un número monográficoque contiene tres ciclos de conferencias de la Secciónde Exactas a lo largo del curso 2001-2002. El primeroconmemoró el tricentenario de Bayes con la edición fac-similar del ensayo en el que plantea su doctrina es-

tadística enfrentada a la frecuentista. El trabajo deBayes es analizado en los artículos de J. Bernardo, JavierGirón y M. Martínez, Ríos, Moreno y Moguerza. El 2002fue el centenario de la aparición de la integral de Lebesgue.Rodríguez Salinas e Ildefondo Díaz analizan esta inte-gral en sí y en sus aplicaciones. Finalmente, un tercerbloque dedica homenaje a uno de los matemáticos es-pañoles más ilustres del siglo XX: Luis Santaló. Lo ha-cen amigos y discípulos como Sixto Ríos, Claudi Alsina,Antonio Naveira y Miguel de Guzmán. Un magníficocomplemento monográfico al volumen dedicado al AñoMundial de las Matemáticas.

—JAVIER DE LORENZO

Andrej Andrejewitsch Markow (1856-1922)




del Almagesto de Ptolomeo como regalo del empe-rador Manuel II a Guillermo I. Otro ministro, Eugenio,lo vertió al latín. Con toda razón podía decirse que“la corte era una academia”.

Para entender el alcance del desarrollo de la ma-temática islámica hemos de compararlo con la situa-ción de la Europa latina, a la que Menso Folkerts haconsagrado largos años de fructífera investigación(Essays on Early Medieval Mathematics ). Lo primeroque trasluce la documentación recabada es la inani-dad de un viejo prejuicio, todavía persistente en al-gunos estamentos docentes superiores de nuestrospagos, según el cual la Edad Media Occidental an-tes de las traducciones del siglo XII constituiría unpáramo.

En la Alta Edad Media circularon muy pocos textosmatemáticos. La antigüedad tardía había heredado delos romanos un escaso interés por la matemática teó-rica. Bastaban los manuales de los agrimensores (topógrafos e inspectores) para resolver los problemaslegales de la vida diaria. Algunos, sin embargo, enparticular los de Balbus, Epaphroditus y Vitruvius Rufus,

aportaban procedimientos geométricos, con disertacio-nes sobre unidades de longitud, áreas y volúmenes,perímetros y diversas figuras del plano. Los altome-dievales manejaban también extractos de los Elementos de Euclides. Unos se tomaron de la traducción deBoecio; otros, de las enciclopedias de Marciano Capella,Casiodoro o nuestro Isidoro.

La mayoría de los textos geométricos del Corpus agrimensorum se compilaron en el monasterio de Corbie,durante los siglos VII y VIII. También en el scriptorium de ese cenobio se copió la Geometría I atribuida aBoecio, uno de los tratados más influyentes entre losanteriores a las traducciones del árabe. En su labor,los monjes no se movían tanto por fines de divisiónde las tierras cuanto por mor de la enseñanza de lageometría en el cuadrivio. En ese aspecto, los códi-ces diferían de otros escritos técnicos (medicina y agri-cultura), de claro sentido aplicado. Sobre el Corpus agrimensorum se fundó la Geometria incerti auctoris ,muy difundida desde finales del siglo nono. Esa de-pendencia se advierte en la segunda parte, que abordacálculos sobre triángulos, cuadriláteros y polígonos, elcírculo y los sólidos simples. De mayor interés, laparte primera se plantea cómo determinar la anchurade los ríos, la altura de las montañas y la profundi-dad de los pozos. Se citan diversos instrumentos ysegún parece hicieron amplio uso de la semejanza de

triángulos.Con todo, uno de los textos geométricos más im-

portantes escritos antes del siglo XII fue la Geometría de Gerbert. Se sirvió del Corpus agrimensorum , delcomentario de Calcidio sobre el Timeo de Platón, elDe quantitate animae de san Agustín, la Arithmetica de Boecio y su comentario a las Categorías deAristóteles, el comentario de Macrobio al Somnium Scipionis y la enciclopedia de Capella. Incompleto,explica los términos básicos de la geometría, intro-duce pesos y medidas con sus conversiones, indica,fundado en Euclides, los distintos tipos de ángulos yofrece procedimientos para resolver triángulos y cua-

driláteros. Pudo muy bien ser el texto empleado enla escuela catedralicia de Reims, que dirigió. En al-gunos manuscritos se reflejan los debates producidosen Lorena a comienzos del siglo XI en torno a lasuma de los ángulos de un triángulo y a las defini-ciones de ángulo interior y exterior. Disputa que llegaa los monasterios y escuelas catedralicias de Coloniay Liége.

La matemática recreativa, de resonancias griegas ybizantinas, gozó de manifiesto aprecio en el Occidentelatino. De la centuria nona proviene el texto más an-tiguo, el De arithmeticis propositionibus . Consta decuatro partes. Tres se ocupan de juegos matemáticosentre dos individuos (“piensa un número”, etc.) y ofre-cen procedimientos para encontrar el número busca-

do; en la cuarta hallamos reglas para la adición denúmeros positivos y negativos. Conocieron tambiénamplia aceptación las Propositiones ad acuendos iuvenes , donde se plantean 56 problemas para su re-solución; entre ellos, el del lobo-cabra-col. Genuinamentemedieval, inventado en el sur de Alemania en el si-glo XI, era el juego de la “Rithmomachia”, que se de-sarrollaba en un doble tablero de ajedrez con piezasinscritas en su parte superior con números especia-les. Tales números se generaban a partir de dígitospares e impares mediante el uso de las proporcionesnuméricas pitagóricas.

—LUIS ALONSO

3. Biblioteca Británica, Harley 5402, fol. 16r, escrito en notación alfanumérica



Yo me lo repito. Yo te lo pregunto.Quizás, al leer la primera oración, se

haya sentido intrigado. ¿Qué es lo que serepite? Sin duda, se habrá observado enel paralelismo de la estructura de la se-gunda y la primera, y tal vez se haya pre-guntado de qué se habla.

Este mes, el objetivo consiste en estu-diar esos paralelismos. Se dirá que unasecuencia de símbolos (cada uno de loscuales representa una o varias palabras)es “sorprendente” si, para cada par de sím-bolos X e Y, y para cada distancia D, a lo

sumo existe en la secuencia una posiciónen la que X precede a Y una distancia D.En las dos oraciones del comienzo la dis-tancia entre “Yo” y “lo” es la misma, porlo que esas frases de ocho palabras nosería considerada sorprendentes.

He aquí otros ejemplos, con símbolos:AAB es sorprendente, y también lo es AABA,pero AABB no lo es, porque en dos casosla A va seguida a dos pasos por la B (osea, a distancia 2). De igual manera,AAXYBB no es sorprendente, porque la Aestá seguida dos veces por la B a cuatrosímbolos de distancia.

Como ejercicio de calentamiento, expli-que por qué no es sorprendente la siguientesecuencia, compuesta por los símbolos A,B y C: BCBABCC. Inversamente, busqueuna secuencia sorprendente con los sím-bolos A, B y C que tenga una longitud de,por lo menos, siete símbolos.

He aquí tres problemas mucho más difí-ciles: Construya una secuencia sorpren-dente, de la máxima longitud de que us-ted sea capaz, que contenga cinco símbolosdistintos. Encuentre seguidamente se-cuencias tan largas como pueda que uti-

licen 10 símbolos y 26 símbolos, respec-tivamente. Le resultará cómodo utilizar lasletras del alfabeto (obviemos la Ñ y demássímbolos que sólo se utilizan en algunaslenguas): de la A a la E, de la A a la J,

y de la A a la Z, respectivamente. Sepodrá observar que la longitud no crecemuy rápidamente. Por mi parte, soy de laopinión de que, incluso con 26 símbolos,la secuencia sorprendente de máxima lon-gitud tiene menos de 100 letras.

De la noción de “sorpresa” que se hadefinido aquí se dice que es “de orden 2,”porque sólo concierne a pares. Cabría de-finir una de orden tres como sigue: paracada terna de símbolos y cada par de dis-tancias D1 y D2 existe en la secuencia, alo sumo, una posición en la que el primer

símbolo (X) precede al segundo (Y) unadistancia D1 y el Y precede al tercero (Z)en D2.

¿Cuál es la máxima secuencia tri-sor-prendente compuesta por las cinco prime-ras letras del alfabeto que logrará ustedencontrar? No conozco reglas sencillas queproporcionen las secuencias sorprenden-tes de orden k de máxima longitud com-puestas por subconjuntos de k símbolostomados de un conjunto de n . ¿Podrán loslectores hallar una teoría elegante?


N I N A

F I N K E L

AVENTURAS PROBLEMÁTICAS

¡No me digas!

Dennis E. Shasha

Solución del problema

del mes pasado:

Las permutaciones siguientes

no son posibles con tres

niveles de válvulas:

ADECB

AEDBC

BCDEA

CEDABDEACB

EABCD

No obstante, todas estas

permutaciones sí serían

posibles con cuatro niveles.

Solución en la Red

Se puede ver la solucióndel problema de estemes visitandowww.investigacionyciencia.es

¿Sorprendente, o no?

No:

No:

No:

Sí:

S O L U C I O N D E L P R O B L E M A P R E L I M I N A R : B C B A B C C n o e s s o r p r e n d e n t e , p o r q u e l a l e t r a B p r e c e d e d o s v e c e s a u n a s e g u n d a B s i t u a d a a d i s t a n c i a 2 . U n a s e c u e n c i a s o r p r e n d e n t e d e l o n g i t u d 7 e s B A C C B C A .



ACTIVIDAD DINAMICA DE LA VIA LACTEA,por Bart P. Wakker y Philipp Richter

Durante mucho tiempo supuesta una reliquia de un pasado lejano,la Vía Láctea es un objeto vivo y dinámico.

DESCODIFICACION DE LA ESQUIZOFRENIA,por Daniel C. Javitt y Joseph T. Coyle

Una comprensión más plena de la señalización cerebralen la esquizofrenia ofrece enfoques nuevos y esperanzas

de tratamientos mejores de esta enfermedad.

LA VIDA DIARIA EN ÇATALHÖYÜK, por Ian HodderEl mayor poblado neolítico conocido nos da algunas claves sobre los papelesque correspondían a los dos sexos en las primitivas sociedades agrícolas.

SISTEMAS DE IDENTIFICACION POR RADIOFRECUENCIA,por Roy WantYa habituales en sistemas de seguridad y cabinas telefónicas, las etiquetasde identificación por radiofrecuencia se conjugan con lectores para realizarnumerosos procesos hasta ahora confiados al esfuerzo humano.

ATOMOS DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO, por Lee SmolinPercibimos el espacio y el tiempo como si fueran continuos.Mas, si la extraña teoría de la gravedad cuántica de bucles fuera correcta,estarían formados por elementos discretos.

PERDIDA DE SINCRONIA DE LOS ECOSISTEMAS, por Daniel GrossmanLas temperaturas aumentan antes en primavera; las especiesde varios ecosistemas interdependientes se apartan cada vez másde la sincronía.

LA PRIMERA CALCULADORA DE MANO, por Cliff Stoll

E N

E L P R O X I M O

N U M E R O . . ....DE MARZO 2004

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