INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS

= IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN LA INGENIERÍA=

Catedrático: M.C. Juan Carlos Niños Torres

Ingeniería Bioquímica

4to semestre

Grajales Constantino Nayelly Gabriela

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas. Febrero 24, 2011.

INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios

Es por ello que tienen una aplicación trascendental en áreas como:

Ingeniería Industrial Ingeniería Química Ingeniería Civil Ingeniería Mecánica Ingeniería eléctrica

En muchos casos, la solución de problemas recurre a la repetición de una o varias operaciones, o en casos especiales se recurre a interpolaciones o a iteraciones con el fin de obtener resultados lo más cercanos posibles a los

reales (es necesario recordar que la “base” sobre la que trabajan los métodos numéricos son las aproximaciones numéricas), y para ello resulta muy útil el uso de ordenadores y de un software especial para resolver problemas matemáticos (como es el caso de programas como el MatLab, Mapple, SciLab, Derive, entre otros).

OBJETIVO:

Describir la importancia de la aplicación del análisis numérico y sus diversos métodos en la ingeniería.

IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA

La ingeniería es el conjunto de conocimientos y técnicas científicas aplicadas a la invención, perfeccionamiento y utilización de técnicas para la resolución de problemas que afectan directamente a los seres humanos en su actividad cotidiana.

En ella, el conocimiento, manejo y dominio de las matemáticas, la física y otras ciencias, obtenido mediante estudio, experiencia y práctica, se aplica con juicio para desarrollar formas eficientes de utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad y del ambiente. En este aspecto, cabe resaltar que dicho conocimiento se caracteriza por utilizar principalmente el ingenio de una manera más pragmática y ágil que el método científico, puesto que una actividad de ingeniería, por lo general, está limitada a un tiempo y recursos dados por proyectos. El ingenio implica tener una combinación de sabiduría e inspiración para modelar cualquier sistema en la práctica.

Pese a que la ingeniería como tal (transformación de la idea en realidad) está intrínsecamente ligada al ser humano, su nacimiento como campo de conocimiento específico está unido al comienzo de la revolución industrial, constituyendo uno de los actuales pilares en el desarrollo de las sociedades modernas. Ahora bien, es necesario para el desarrollo de la ingeniería la resolución de diversos problemas, que implican el diseño y modelado de sistemas que permitan llegar a una resolución de dicho proyecto, y para ello las matemáticas son la clave: en general, el uso de los métodos matemáticos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a dicho problema, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa (por ejemplo, la física experimental nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales).

Las áreas de estudio en que se enfocan los métodos numéricos son:

Cálculo de los valores de una función Interpolación, extrapolación y regresión Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones Descomposición espectral y en valores singulares Optimización Evaluación de integrales Ecuaciones diferenciales Error de aproximación Error absoluto Error relativo Orden de convergencia Redondeo Sistema de numeración Truncamiento

Finalmente, es importante mencionar algunos ejemplos de las áreas de la ingeniería en que el uso de los métodos numéricos es de total importancia, así como una descripción de dichas aplicaciones:

Ingeniería mecánica Se usa principalmente en la determinación de zonas de falla en materiales frágiles como el concreto, laminados de materiales compuestos, cerámicos, así como en el estudio de piezas en rango plástico para predecir su comportamiento en situaciones extremas, lo que permite crear modelos de daño para predecir el comportamiento de piezas mecánicas que ya están fracturadas y se requiere medir el grado de seguridad que aun pueden tener, o también modelos que permiten simular fatiga de los materiales que forman una pieza mecánica sometida a acciones dinámicas.

Ingeniería automotriz En este campo su uso es general, en la concepción y producción de cualquier vehículo (ya sea un automóvil, un avión o un barco) es muy común utilizar modelos numéricos de dinámica de fluidos para simular el comportamiento

del vehículo en movimiento (ya sea en tierra, en aire o en ambos). Esto permite optimizar la forma geométrica exterior del mismo de manera que su resistencia al avance sea la mínima posible, lo que permitirá tener una vida útil más larga, menor consumo de combustible, menor emisión de contaminantes, que sea más ligero (más barato de producir), entre otros aspectos. Los modelos anteriormente descritos deben acoplarse con estudios que permitan el modelado de situaciones extremas de servicio del vehículo que podrían afectar la seguridad de sus ocupantes, tales como: choque, vuelco, aterrizaje forzoso, etc., lo que exige hacer uso de modelos avanzados de dinámica estructural no lineal. Por otra parte, cada vez es más usual utilizar simulaciones numéricas para reproducir el ciclo de diseño y fabricación de piezas de los vehículos. Ejemplos de estos procesos pueden encontrase en: la embutición, el doblado y el corte de piezas de chapa para carrocerías y fuselajes; el modelado de la fabricación del monoblock de un motor, de una biela o de un pistón (problema termo-mecánico con cambio de fase para modelar la solidificación del colado de la pieza); el diseño de mejores sistemas de seguridad activos y pasivos en caso de colisión (refuerzos estructurales, bolsas de aire, etc.) La integración de todos estos modelos computacionales, que están fuertemente ligados a la aplicación de los métodos numéricos, están permitiendo concebir la denominada “fabrica virtual”, que permitirá optimizar todo el ciclo productivo. El continúo estudio y desarrollo de los métodos numéricos ha permitido poder hacer simulaciones cada vez más realistas de la vida útil de un vehículo. Se ha logrado desarrollar modelos que permiten determinar el grado de deterioro que puede tener una pieza y modelar su comportamiento como parte de un sistema.

Ingeniería biomédica Una de sus aplicaciones más inmediatas es realizar el registro de un cerebro espécimen con el de un atlas anatómico en el que se conoce perfectamente a qué corresponde cada uno de los voxeles que forman la imagen. El aplicar una buena técnica de registro de imágenes entre el atlas y el espécimen, nos permitiría segmentar muy fácilmente cada una de las partes que integran la cabeza del espécimen. Lamentablemente, hacer esto resulta una tarea muy compleja, dado que aunque el espécimen sea el de una persona normal y tenga el mismo tipo de órganos que el atlas, el volumen y la forma de estos es muy variable. Existirán zonas dentro de las imágenes que requieran

deformarse poco y otras que requieran de grandes campos de deformaciones. Además dichas zonas pueden estar contiguas lo que provocaría gradientes muy grandes del campo de deformaciones. Si tomamos en cuenta que el número de voxeles que debemos manejar es muy grande (decenas de millones), el diseño de algoritmos óptimos resulta en un sustancial ahorro de tiempo de cómputo.

Ingeniería industrial Las técnicas de optimización son altamente aplicables a la gran mayoría de los procesos industriales, sin embargo, hay algunas técnicas de optimización que requieren algunas condiciones muy características que los procesos requieren cumplir para poder ser económicamente viables. Es de todos conocido que las técnicas de optimización con varios objetivos han tenido un desarrollo sumamente importante en los últimos años, más aún cuando existe un compromiso entre los objetivos que se buscan. Una de las grandes virtudes de las técnicas de computación multiobjetivo es que permiten optimizar varias funciones de costo sin importar el tamaño del espacio de búsqueda ni la existencia de varios mínimos locales. Otra de sus virtudes es que puede trabajar con restricciones, las cuales pueden estar o no implícitas en la función de costo del problema. Una aplicación inmediata de este tipo de problemas es la optimización de formas. En este problema se desea obtener la mejor forma posible para una pieza mecánica que garantice condiciones de funcionalidad, servicialidad y que sea lo más económica posible. Este problema de bastante interés actualmente, en el cual están trabajando varios investigadores en el mundo. Un ejemplo típico de este tipo de aplicaciones es optimizar la forma de un puente.

Ingeniería eléctrica y electrónica Un problema común dentro de la Ingeniería Eléctrica, involucra la determinación de corrientes y voltajes en varios puntos en circuitos de resistores. Estos problemas se resuelven usando las leyes para corrientes de voltajes de Kirchoff. Por otro lado, en Ingeniería Electrónica, los especialistas en control se ocupan del diseño, supervisión y explotación de sistemas de control automático en líneas de montaje y procesos y de sistemas industriales. En el diseño de dichos controladores es común la aplicación del criterio de

Nyquist, que permite definir un margen de estabilidad alterno que complementa al margen de ganancia (o de estabilidad), y para dar solución a los sistemas planteados se recurre a diversos software como el SciLab.

Ingeniería bioquímica: Se pueden aplicar los métodos numéricos en los experimentos de balance de materia y energía, aproximando las cantidades de entradas y de salidas, el desgaste de material usado y ajustando los factores físicos como las presiones, cuestiones químicas, aproximando tiempo de balance de reacciones de reintegración y de reflujo, además de definir tiempos de término de algún producto.

CONCLUSIONES

La simulación numérica, con todas sus limitaciones, nos da una primera aproximación que nos permite tomar decisiones más acertadas cuando se trata de diseñar procesos de cualquier tipo, reduciendo significativamente el costo del diseño. Por ejemplo, en el ordenador podemos ser capaces de modificar las variables como presión, temperatura, composición, flujo, entre otras, y las dimensiones del equipo que se está diseñando con total libertad. ¿Qué queremos dar a entender con esto? Simple. Por ejemplo, pensemos en el diseño de un puente. Mediante el análisis numérico podemos determinar la inclinación (pendiente) adecuada, altura, el peso que podrá soportar, el peso del propio puente, podemos formular varios diseños y en base a los resultados que obtengamos de nuestro análisis determinar qué diseño es más conveniente. Lo mismo pasa con el diseño de reactores u otros simuladores, evitando gastos innecesarios e incluso evitando accidentes: un error en el diseño con modelos matemáticos podría significar pérdidas económicas, materiales e incluso humanas. Así pues, los métodos numéricos se han convertido en una rama matemática de suma importancia, que nos permite resolver problemas diversos en forma eficiente y lo más cercano a la realidad

Como ya se había comentado en un principio, y es importante recalcarlo, los métodos numéricos se basan en aproximaciones a la realidad, son simulaciones, una forma matemática y visual de observar y analizar algunos problemas, tanto físicos como químicos que requieren de tiempo o algún tipo de estabilidad. Por ello de su importancia en la ingeniería: porque permite la aproximación de datos, sobre todo en aquellos que debido a ciertos factores (como inestabilidad de los sistemas) carecen de exactitud.

BIBLIOGRAFÍA

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