2.4 UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA

El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que

requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no

corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este caso

no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Esta

consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen

cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de

población infinita y no con el real.

Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de un

sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la sección 3.4

se convierten en series finitas y generan de manera análoga los siguientes resultados9.

Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m) elementos

de esa población piden ese servicio, entonces P0 (t) se calcula mediante el uso simultáneo

de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación9-1:

Pn(t)P0(t)

= m!(m−n ) !

¿ (3.20)

P0 (t )= 1

∑n=0

m Pn(t )P0(t )

(3.21)

Una vez conocida Po (t) se calcula L, W, Ts, Tw de:

L=m− ƛ+µƛ

(1−P0 ( t )) (3.22)

W=L+ (1−P0 (t ) ) (3.23)

Ts=¿ L

µ(1−P0)¿ (3.24)

T w=T s+1µ

(3.25)

Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera:

Pn ( t )=P0 (t ) m!(m−n )!

¿ (3.26)

Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo jumbo

747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971 y, en

especial, las fallas de las turbinas. Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de

cualquier avión es una variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas

consecutivas de cualquier avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y

compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año). Solamente se tienes

un equipo humano de expertos para dar servicios y se proporciona servicio bajo la política

de “primero que entra al taller, primero que se le sirve”. Durante el periodo de

mantenimiento el avión no vuela. Describa cuantitativamente al sistema de espera.

9−1∑n=0

∞

Pn ( t )=1

Pn(t)P0(t)

∑n=0

∞

Pn (t )=1

P0 ( t )∑n=0

∞ Pn(t)P0(t)

Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces

ƛ=1 , 1ƛ=1 , 1

µ=18,m=4.

Como ρ=ƛµ=18<1, se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20 para n

= 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan compostura y m es

la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.

n m m!(m−n ) !

¿ Pn(t)P0(t)

= m!(m−n ) !

¿

0 4 4 !4 !

=1 ¿ 1.00000

1 4 4 !3 !

=4 ¿ 0.50000

2 4 4 !2 !

=12 ¿ 0.18750

3 4 4 !1 !

=24 ¿ 0.04688

4 4 4 !0 !

=24 ¿ 0.00576

Tabla 3.2 ∑n=0

4 Pn(t )P0(t )

=1.74024

Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:

P0 (t )= 1

∑n=0

4 Pn(t )P0(t )

= 11.74024

=0.57463

Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún avión

jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t.

La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es:

P2 (t )= 4 !(4−2 )!

¿

El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de:

L=4−(1+8 )1

(1−0.57463 )=.017aviones

Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en el

taller) es:

W=0.17+(1−0.57463 )=0.60aviones

El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:

T s=0.17

8(1−0.57463)=0.05deaño

O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema (espera

más servicio) es de:

T w=0.05+18=0.175 deaño

O sea casi 64 días:

¿Qué representa esto en costo?

Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil cuando

está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos aviones

vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les proporcionaría

mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla de turbina) que dura

en promedio 100 horas. Se supone que el sueldo mensual del personal especializado de

reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación (luz,

depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos.

El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo tanto, la

suma de los siguientes costos:

a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).

b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por

compostura de turbinas.

c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir Tw – Ts.

Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a costo

por año.

En un año (365 días) el avión vuela:

365diasaño

∗14 horasdias

=5110 horasaño

Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total de

500 horasaño

de servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo anterior

quiere decir que:

8760 – (5110 + 500) = 3150 horasaño

Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será de:

(5110 horas devuelo

año∗10,000 pesos

horade vuelo ) + (500

horas demantenimientoaño

* 5000

pesoshorade mantenimiento

) + (3150 horas entierra

año∗¿ 2000

pesoshoraen tierra

) = 59.9

millonesde pesosaño−avion

Si un avión de este tipo pasa Tw = 0.175 de año (64 días), en el sistema de compostura de

turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:

(59.9 millonesde pesosaño−avion ) (0.175 años) = 10.48

millonesde pesosavion

El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por año);

por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la compostura de una

turbina será:

T w (4.8 )

numerodeavionesaño

=(0.175años )(4.8 millonesde pesosaño )

4 aviones

¿0.21 millonesde pesosavion

La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325 mil

pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de reparación por

avión, sin tomar en cuenta refacciones es:

(T w−T s )año (3.9millones de pesosaño−avion )=(0.175−0.05 ) (3.9 )

¿0.49 millonesde pesosavion

El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:

(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58 millonesde pesos

avion

Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo

especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el

costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de

reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio?