Investigación de Operaciones 1

Investigación de Operaciones

Elaboró Maricela Cárdenas

Programación Lineal Es una técnica que ayuda a tomar decisiones. Las siguientes situaciones muestras algunas

aplicaciones típicas: Una planta de manufactura desea desarrollar un programa de

producción y una política de inventarios que satisfaga la demanda.

Análisis financiero para seleccionar portafolios de inversión. Determinar donde se aloja el presupuesto de mercadotecnia

para publicidad como radio, televisión, periódicos o revistas. Una compañía tiene diferentes almacenes y quiere determinar

cuanto embarcar a cada cliente.


Programación Lineal Se tiene que maximizar o minimizar alguna cantidad

objetivo.

Se tienen restricciones que limitan el grado en el que se cumplan los objetivos.


Programación Lineal Formulación de Problemas

Es el proceso de traducir un problema escrito a un modelo matemático.

1.- Entender el problema. Leer cuidadosamente y toma notas.2.- Describe el objetivo. Maximizar o minimizar.3.- Describe cada restricción. 4.- Definir las variables de decisión.5.-. Escribir la función objetivo en términos de las variables de

decisión.6.- Escribir la restricción en términos de las variables de decisión.


Método del Transporte Es un problema especial de programación lineal. Nos ayuda a la planeación de la distribución de bienes y

servicios de varios proveedores a varios clientes. La cantidad de productos en cada proveedor (origen)

están limitados y la cantidad de productos requeridos en cada cliente es un número conocido.

El objetivo de estos modelos es minimizar el costo de embarque de productos de su origen a su destino.

Se genera una gráfica de redes, se tienen nodos y arcos. El objetivo es determinar las rutas y la cantidad de

materiales que deben ser embarcados a cada ruta para minimizar el costo.


Método del Transporte Ejemplo:

La empresa Foster tiene plantas en Cleveland, Bedford y York. La capacidad de producción de cada una de las plantas es de 5000,6000 y 2500 unidades respectivamente para tres meses. La empresa tiene cuatro centros de distribución Boston, Chicago, St. Louis y Lexington con las demandas de 6000,4000,2000 y 1500 respectivamente.

xij = número de unidades embarcadas del origen i al destino j.

Tabla de costos


Origen Boston Chicago St. Louis LexingtonCleveland 3 2 7 6Bedford 7 5 2 3York 2 5 4 5

Método del Transporte


Cleveland

Lexington

St. Louis

Chicago

Boston

Bedford

York

5000

6000

2500

6000

4000

2000

1500

Nodos Origen

NodosDestino

32

76

7 523

254

5

Costo de transportepor unidad

Método del Transporte

Min 3x11+2x12+7x13+6x14+7x21+5x22+2x23+3x24+2x31+5x32+4x33+5x34

Sujeto ax11+x12+x13+x14 <=5000

x21+x22+x23+x24 <=6000

x31+ x32+ x33+ x34 <=2500

x11 x21 x31 =6000

x12 x22 x32 =4000

x13+ x23+ x33 = 2000

x14+ x24+ x34 =1500


Método del Asignación

Es un problema especial de programación lineal. Nos ayuda a asignar trabajos a máquinas. Sólo un agente es asignado a uno y solo una tarea. Objetivo es minimizar el costo, minimizar el tiempo y

maximizar la utilidad.


Método del Asignación Ejemplo:

Fowle Marketing ha recibido tres propuestas de estudios de mercado de tres clientes. La empresa tiene que asignar las tareas a un líder de proyecto y a cada cliente.

El tiempo para completar los estudios dependerá de la experiencia y habilidad del líder de proyecto asignado.

xij = 1 si el líder del proyecto i está asignado al cliente j

0 otro caso


Líder del proyectoCliente

1 2 3

Terry 10 15 9

Carle 9 18 5

McClymonds 6 14 3



Terry

Cliente 2

Cliente 2

Cliente 1

Carle

McClymonds

1

1

1

1

1

1

Líderes deProyectoNodos Origen

ClientesNodosDestino

1015

9

9 185

6 14

3

Días en completartiempo


Min 10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+14x32+x33

Sujeto ax11+x12+x13 <=1

x21+x22+x23 <=1

x31+ x32+ x33 <=1

x11 x21 x31 =1

x12 x22 x32 =1

x13+ x23+ x33 = 1

xij >=0


Líneas de Espera Las empresas necesitan saber determinar las formas de

mantener las líneas de espera dentro de las tolerancias. A las líneas de espera se les conoce también como colas y se le

conoce como Teoría de Colas. Las líneas de espera consiste en generar formulas matemáticas

y relaciones que pueden ser usados para determinar las características de operación. Las cuales incluyen: La probabilidad de cero unidades en el sistema El promedio de número de unidades en las líneas de espera. El número de unidades en el sistema ( número de unidades en espera más el

número de unidades en servicio). Promedio de tiempo que una unidad pasa en la línea de espera. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (tiempo de espera más

el tiempo de servicio). Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y tenga que esperar.


Líneas de Espera Estructura de una línea de espera con un solo canal.


Sistema

Línea de espera

Llegada de clientes

Servicio

El cliente seva después del servicio

Líneas de Espera Distribución de llegadas

Se ha definido que la distribución de llegadas en cualquier sistema se comporta con una Distribución de Probabilidad Poisson.

Por lo tanto la función de la probabilidad de x llegadas en un periodo de tiempo específico es:

P(x) =(ʎx e-ʎ)/x! x = 0,1,2…

Donde:

x = número de llegadas en un periodo de tiempo

ʎ= promedio de llegadas en un periodo de tiempo

e=2.71828


Líneas de Espera Distribución tiempos de servicio

Es el tiempo que el cliente invierte una vez que el servicio es empezado. Los tiempos de servicio no son constantes. Análisis cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad

que siguen los tiempos se servicio pueden asumirse con la distribución de probabilidad exponencial.

P(tiempo de servicio <= t) = 1 –e-µt

Donde:

µ = promedio del número de unidades que pueden ser atendidas en un periodo de tiempo

e=2.71828


Líneas de Espera Las características de operación para un solo canal con una

distribución Poisson en la llegadas y exponencial en los tiempos de servicio.

Donde:


µ = promedio del número de unidades que pueden ser atendidas en un periodo de tiempo

1.- Probabilidad de no unidades en el sistema:

P0 = 1- ʎ/ µ

2.- El promedio de unidades en la línea de espera:

Lq = ʎ2 / (µ (µ -ʎ))


Líneas de Espera3.- Promedio de unidades en el sistema:

L = Lq + ʎ / µ

4.- Promedio de tiempo que una unidad espera en la línea:

Wq = Lq / ʎ

5.- Promedio de tiempo que unidad pasa en el sistema:

W = Wq + 1 / µ


Líneas de Espera

6.- Probabilidad de que una unidad llegue y tenga que esperar por el servicio.

Pw = ʎ / µ

7.- Probabilidad de tener n unidades en el sistema:

Pn = (ʎ / µ )n P0


Líneas de Espera

Ejemplo:

P0= 0.25

Lq= 2.25 clientes

L= 3 clientes

Wq= 3 minutos

W = 4 minutos

Pw = 0.75

Conclusión: Los clientes están esperando 3 minutos antes de que se les comience tomar la orden. 75% de los clientes tiene que esperar.

Recomendaciones: incrementar el tiempo de servicio diseñando nuevas tecnologías o agregando al sistemas más canales que permitan servir a más clientes simultáneamente.


Número de clientes Probabilidad

0 0.25001 0.18752 0.14063 0.10554 0.07915 0.05936 0.0445

7 o más 0.1335

Líneas de Espera con Múltiples Canales Consiste en un sistema con dos o más canales de

servicio con idénticas características en términos de capacidad del servicio.

En este tipo de sistemas las unidades llegan a una línea de espera y se mueven al primer canal disponible para el servicio. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad

Poisson. El tiempo de servicio para cada uno de los canales sigue

una distribución exponencial. La media del servicio es la misma para cada canal. Las llegadas esperan en una misma línea y se mueven al

primer canal que esté disponible para recibir el servicio.


Líneas de Espera con Múltiples Canales Características de Operación


k = número de canales

µ = tasa promedio de servicio para cada canal


Sistema

Línea de espera

Llegada de clientes

Servicio 1

El cliente seva después del servicio

Servicio 2

Clientes van al siguiente canal

disponible

Líneas de Espera

1.- Probabilidad de no unidades en el sistema:

k-1

P0 = 1 / ((Ʃ(ʎ/ µ)/n!) + (ʎ/ µ)k/k! (kµ/ kµ-ʎ))

n = 0

2.- El promedio de unidades en la línea de espera:

Lq = ((ʎ/ µ)kʎµ)/((k-1)!(kµ-ʎ)2))P0

3.- Promedio de unidades en el sistema:

L = Lq + ʎ / µ


Líneas de Espera

4.- Promedio de tiempo que una unidad espera en la línea:

Wq = Lq / ʎ

5.- Promedio de tiempo que unidad pasa en el sistema:

W = Wq + 1 / µ


Líneas de Espera

6.- Probabilidad de que una unidad llegue y tenga que esperar por el servicio.

Pw = (1/k!)( ʎ / µ)k (kµ/(kµ- ʎ)P0

7.- Probabilidad de tener n unidades en el sistema:

Pn = (ʎ / µ )n /n!P0 n<=k

Pn = (ʎ / µ )n /k! ( k(n-k)) P0 n<=k


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