PROBLEMA 1Una firma de contadores pblicos especializados en preparar liquidaciones y pago de impuestos y tambin auditoras en empresas pequeas. El inters es saber cuntas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los mximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y direccin y 320 horas para revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y direccin y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidacin de impuestos requiere de 8horas de trabajo directo y direccin y 5 horas de revisin y produce un ingreso de 100 dls. Se pueden realizar tantas auditoras como se desee, pero el mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.OBJETIVO: Maximizar los ingresos totales VARIABLE DE DECISION: X1 = Cantidad de auditorasX2 = Cantidad de liquidaciones RESTRICCIONES: Tiempo disponible para trabajo directo Tiempo disponible para trabajo de revisin Nmero mximo de liquidaciones Maximizar.Problema2Una empresa manufacturera est considerando dedicar su capacidad a fabricar 3 productos; llammoslos productos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las mquinas que podra limitar la produccin se resume en la siguiente tabla: Tipo de Mquina Tiempo Disponible (horas mquina) Fresadora500Torno350Rectificadora150El nmero de horas requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Tipo de Mquina Producto 1Producto 2Producto 3 El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor que la tasa de produccin mxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20unidades por semana. La utilidad unitaria sera de 30, 12 y 15 dls., respectivamente, para los productos 1, 2 y 3.Formlese el modelo de programacin lineal para determinar cunto debe producir la empresa de cada producto para maximizar la utilidad.OBJETIVO: Maximizar la utilidad VARIABLE DE DECISION: Cantidad a fabricar del producto 1. (X1).Cantidad a fabricar del producto 2. (X2).Cantidad a fabricar del producto 3. (X3).RESTRICCIONES: Capacidad disponible para produccin de cada mquina (3 restricciones) Potencial de ventas para el producto 3. (1 restriccin)Maximizar.

Ejercicios del mtodo de Transporte:

1. Una aerolnea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de tres proveedores. Las necesidades de la aerolnea para el prximo mes, en cada uno de los tres aeropuertos a los que da servicio, son 100 galones en el aeropuerto 1. 80 en el aeropuerto 2, y 350 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios que se dan en el siguiente cuadro:

Aeropuerto 1Aeropuerto 2Aeropuerto 3Proveedor 1928990Proveedor 2919195Proveedor 3879092Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al nmero total de galones que puede proporcionar durante un mes dado.

Estas capacidades son 320 para el proveedor 1.

270 galones para el proveedor 2 y 190 para el proveedor 3.

Determine una poltica de compra que cubra los requerimientos de la aerolnea en cada aeropuerto, a un costo mnimo.Cual es el costo de esa poltica de compra.2. Considere el problema de asignar cuatro categoras diferentes de mquinas y cuatro tipos de tareas. El nmero de mquinas disponibles en las cuatro categoras son de 25, 30, 20 y 30. El nmero de trabajos en las cuatro tareas son 20, 20, 30 y 25. Para los costos unitarios dados formule un modelo matemtico para determinar la asignacin ptima de mquinas a tareas. Tarea 1Tarea 2Tarea 3Tarea 4Categora 110239Categora 2510154Categora 31551415Categora 42015138 Determine una poltica de asignacin que cubra los requerimientos de trabajo en cada maquina, a un costo mnimo.Cual es el costo de esa poltica de asignacin. 3. El Sr. Joaquin Arenas posee varios camiones usados para acarrear piedra molida para proyectos de carreteras en el municipio. El contratista de carreteras para quien trabaja le ha dado el programa de la semana siguiente. Calcule el costo ptimo de transporte usando el mtodo de multiplicadores. ProyectoNecesidades Semanales, Cargas de Camin PlantaDisponibilidad Semanal, Cargas de CaminA50W45B75X60C50Y60Informacin de Costos: DeAl proyecto AAl proyecto BAl proyecto CPlanta W$ 4$ 3$ 3Planta X67 6 Planta Y425 Obtencin de la solucin ptima: Mtodo de banquillo (stepping stone) La solucin inicial puede ser ahora considerada como la asociada con la iteracin actual. La forma de verificar si la solucin actual puede mejorarse es examinar las variables no bsicas actuales en busca de mejoras potenciales en el valor de la funcin objetivo. Si existe una de tales variables, ser la variable que entra, en cuyo caso una de las variables bsicas actuales debe dejar la solucin( como en el mtodo simplex ). A fin de determinar la variable que entra y la que sale, se identifica un circuito cerrado para cada variable no bsica. El circuito comienza y termina en la variable no bsica designada. Consiste en segmentos horizontales y verticales sucesivos (conectados) cuyos puntos extremos deben ser variables bsicas, excepto para los dos segmentos de inicio y de terminacin en la variable no bsica. La Tabla 9 ilustra un circuito para la variable no bsica x31que da la solucin bsica de la Tabla 4. Este circuito puede definirse en funcin de las variables bsicas como: x31 x11 x12 x22 x24 x34 x31. Es indiferente si el circuito se recorre en el sentido horario o en el sentido contrario. Se observa que para una solucin bsica dada slo un circuito nico puede construirse para cada variable no bsica. El circuito se utiliza para comprobar si el valor de la funcin objetivo puede mejorarse cuando la variable no bsica asociada se aumenta sobre su valor actual de cero. Por ejemplo, en la Tabla 9, si x31 se aumenta en una unidad, entonces, a fin de mantener la Destino 1 2 3 4 Oferta 10 0 20 11 1 15 5 - 10 + 12 7 9 20Origen 2 25 5 - 15 5 + 0 14 16 18 3 5 x31 + 5 - Demanda 5 15 15 10 Tabla 9factibilidad de la solucin, los elementos en las esquinas del circuito x31 deben ajustarse de la manera siguiente. Disminuir x11 en una unidad, aumentar x12 en una unidad, disminuir x22 en una unidad, aumentar x24 en una unidad y finalmente disminuir x34 en una unidad. Este procedimiento se resume con los signos + y en las esquinas apropiadas de la Tabla 9. El cambio mantendr satisfechas las restricciones de oferta y demanda. Variable no bsica Circuito asociado x13 x13 x12 x22 x23 x13 x14 x14 x12 x22 x24 x14 x21 x21 x11 x12 x22 x21 x32 x32 x22 x24 x34 x32 x33 x33 x23 x24 x34 x33 Considerando Dc31 el aumento o disminucin neto en costo como resultado de aumentar x31 en una unidad. Entonces, Dc31 = c31 c11 + c12 c22 + c24 c34 = 0 10 + 0 7 + 20 18 = $15 Es importante aumentar x31 sobre el nivel cero, ya que cada aumento de una unidad reduce el costo de transporte en $ 15. Haciendo lo mismo para los otros circuitos se obtienen los siguientes valores: Dc13 = +$18, Dc14 = $2, Dc21 = $5, Dc32 = + $9 y Dc33 = + $9. Ya que x31 proporciona la mayor disminucin por unidad de costo, se elige como variable que entra ( como en la condicin de optimidad del mtodo simplex ). La variable que sale se elige de las variables en las esquinas del circuito, las cuales disminuirn cuando la variable de entrada x31 aumente sobre el nivel cero. Estas se indican en la Tabla 9 por las variables designadas con el signo . De la Tabla 9 x11, x22 y x34 son las variables bsicas que disminuirn cuando x31 aumente. La variable que sale se elige como aquella que tiene el valor ms pequeo, ya que ser la primera que llegue al valor cero y cualquier disminucin adicional causar su negatividad. En este ejemplo, las tres variables de signo tienen el mismo valor, en cuyo caso cualquiera de ellas puede elegirse como la variable que sale. Supongamos que x34 se toma como variable que sale; entonces el valor de x31 se aumenta en 5 y se ajustan los valores en las esquinas ( bsicas ). La nueva solucin est dada en la Tabla 10. Su nuevo costo es: SS xij cij = 0 * 10 + 15 * 0 + 0 * 7 + 15 * 9 + 10 * 20 + 5 * 0 = $ 335 Destino 1 2 3 4 Oferta 10 0 20 11 1 15 0 15 12 7 9 20Origen 2 25 0 15 10 0 14 16 18 3 5 5 Demanda 5 15 15 10Tabla 10 Este difiere del asociado a la solucin de la Tabla 4 en 410 335 = $75, el cual es igual al nmero de unidades asignadas a x31 multiplicado por la disminucin en costo por unidad. La solucin bsica en la Tabla 10 es degenerada, ya que las variables bsicas x11 y x22 son cero. Sin embargo, la degeneracin no necesita provisiones especiales y las variables bsicas iguales a cero se tratan como cualquier otra variable bsica positiva. Se verifican las nuevas variables no bsicas para ver la posibilidad de mejorar la solucin actual. El procedimiento dado en la Tabla 9, se repite para la Tabla 10, determinando los circuitos y verificando luego la optimidad para cada variable no bsica. Los nmeros en la esquina inferior de cada cuadrado no bsico en la Tabla 11, resumen si un aumento unitario en la variable puede aumentar el costo total del transporte. Destino 1 2 3 4 Oferta 10 0 20 11 1 15 0 - 15 + +18 -2 12 7 9 20Origen 2 25 -5x21 + 0 - 15 10 0 14 16 18 3 5 5 +24 +24 +15 Demanda 5 15 15 10 Tabla 11 En la Tabla 11 entra la variable x21 y sale x11 o x22 ( se elige arbitrariamente x11 ). La Tabla 12 da la nueva solucin bsica junto con la evaluacin de las variables no bsicas asociadas, la cual muestra que x14 es la variable de entrada y x24 es variable de salida. Destino 1 2 3 4 Oferta 10 0 20 11 1 15 +5 15 - +18-2x14 + 12 7 9 20Origen 2 25 0 0 +15 10 - 0 14 16 18 3 5 5 +19 +19 +10 Demanda 5 15 15 10Tabla 12 Cuando x14 entra a la solucin y x24 la deja, resulta la nueva solucin de la Tabla 13. La evaluacin de todas las variables no bsicas muestra que la solucin es ptima, ya que un aumento en el valor de cualquier variable no bsica sobre su valor actual de cero aumentar los costos totales. La solucin ptima se resume como sigue: transportar 5 unidades 1 (origen) a 2 ( destino ), 10 unidades de 1 a 4, 10 unidades de 2 a 2, 15 unidades de 2 a 3 y 5 unidades de 3 a 1. El costo total de transporte del programa es $ 315. Existen otros mtodos y criterios para conseguir la solucin inicial bsica, como por ejemplo: Mtodo de los multiplicadores, Solucin numrica de Houthakker, Primal Dual para el transporte. Destino 1 2 3 4 Oferta 10 0 20 11 1 15 +5 5 +18 10 12 7 9 20Origen 2 25 0 10 15 0 14 16 18 3 5 5 +19 +19 +12 Demanda 5 15 15 10